автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование динамики пологих оболочек с учетом геометрической и физической нелинейностей

ВВЕДЕНИЕ (краткий исторический обзор исследований по теме и основное содержание работы).

Глава I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

В НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКЕ ОБОЛОЧЕК.

§ 1. Нелинейные эффекты в теории оболочек.

§2. Динамические системы и их классификации.

§3. Детерминированность, хаос, детерминированный хаос.

§4, Методы выявления хаотических эффектов в математических моделях оболочечных систем.

§5. Аттракторы.

§6. Отображение Пуанкаре.

§7. Бифуркационные механизмы перехода к хаосу.

Выводы по главе.

Глава И. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ВИДЕ ОБОЛОЧЕК С УЧЕТОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ

И ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ.

§1. Основные допущения теории пологих оболочек.

§2. Вариационные уравнения.

§3. Уравнения движения.

§4. Алгоритм.

§5. Достоверность получаемых результатов.

Выводы по главе.

Глава III. СЦЕНАРИИ ПЕРЕХОДА В СОСТОЯНИЕ ХАОТИЧЕСКИХ

КОЛЕБАНИЙ ДИССИПАТИВНЫХ ДВАЖДЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК НА ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПЛАНЕ ПРИ ДЕЙСТВИИ ПОПЕРЕЧНОЙ ЗН АКОПЕРЕМЕННОЙ НАГРУЗКИ.

§1. Шарнирно опертые по контуру оболочки.

§2. Скользящая заделка.

§3. О динамической потере устойчивости оболочечных систем с зависящей от времени нагрузкой.

Выводы по главе.

краткий исторический обзор исследований по теме и основное содержание работы)

Широкое использование в промышленности и строительстве различных тонкостенных конструкций обусловило интенсивное развитие теории оболочек, основной целью которой является описание напряжений и деформаций, возникающих в оболочечных системах под действием внешних нагрузок.

До начала 1970-х годов при исследовании оболочек решались главным образом задачи статики. Основные достижения теории за этот период отражены в монографиях В.В. Новожилова [48-50], В.З. Власова [13], A.JI. Гольденвейзера [16], А.С. Вольмира [14], Х.М. Муштари и К.З. Галимова [47] (см. также [46]), В.В. Болотина [10-11], М.С. Корнишина [27], П.М. Огибалова и М.А. Колтунова [51], Б .Я. Кантора [23], В.В. Петрова [53], В. А. Крысько [30].

Первоначально изучались малые прогибы оболочек, когда соотношения между деформациями и перемещениями, с одной стороны, и между деформациями и усилиями, с другой, можно было полагать линейными. Практическая необходимость учитывать большие прогибы, а таюке использовать материалы, упругие свойства которых не позволяют применять классический закон Гука, привела к рассмотрению нелинейных соотношений между деформациями и перемещениями (геометрическая нелинейность), а также между деформациями и усилиями (физическая нелинейность).

Отметим здесь, в частности, исследования И.А. Цурпала и Н.А. Шульги [58], Н.И. Дедова, М.С. Корнишина и Н.Н. Столярова [20], В.А. Крысько и А.А. Сопенко [35]. В первой из этих работ получены основные уравнения теории тонких пологих оболочек с учетом физической нелинейности по Каудереру [26]; во второй выведены дифференциальные уравнения больших прогибов прямоугольных в плане пологих оболочек из нелинейно упругого сжимаемого материала, т.е. учтено совместное влияние геометрической и физической нелинейностей; в третьей наряду с геометрической и физической нелинейностями принимается во внимание и температурный фактор.

Отметим несколько работ, опубликованных в последнее десятилетие.

М.М. Карчевский и Л.Ш. Заботина [25] предложили смешанную схему метода конечных элементов для задачи о физически и геометрически нелинейном изгибе тонкой пологой оболочки. Конечноэлементная формулировка, обеспечивающая решение геометрически и физически нелинейных задач в области расчета напряженно-деформированного состояния составных оболочечных конструкций, дана в статье Сорича [92]. Шиммельс и Палаиотто [89] рассматривали задачи о геометрически и физически нелинейном поведении оболочечных конструкций при больших деформациях. Сравнение различных подходов к проблеме геометрически и физически нелинейных оболочек проведено Сявяновской [91]. Причем полное совпадение с теорией Кирхгофа - Лява продемонстрировано для случая пологих оболочек. Нелинейное поведение сетчатых пологих оболочек, имеющих в плане прямоугольную форму, исследовали Ни и Лю [85]. Теорему о существовании решений краевой задачи физически и геометрически нелинейной теории пологих оболочек доказал С.Н. Тимергалиев [56]. Задачу определения напряженно - деформированного состояния геометрически и физически нелинейных пологих оболочек, не подчиненных никаким геометрическим граничным условиям, рассматривали И.Г. Терегулов и С.Н. Тимергалиев [55].

Запросы в первую очередь авиационной и космической техники определили настоятельную потребность в изучении динамических процессов в оболочечных конструкциях. Среди вопросов динамики, подвергшихся интенсивному рассмотрению, важное место заняла проблема свободных и вынужденных колебаний, совершаемых оболочкой. Этим задачам посвящены монографии А.С. Вольмира [15], В.А. Крысъко [30], В.А. Пальмова [52], Э.И. Григолюка и В.В. Кабанова [18], А.Л. Гольденвейзера, В.Б. Лидского и П.Е. Товстика [17], В.Л. Агамирова [2]. См. также обзор Я.М. Григоренко и В.И.

Гуляева [19] и работу Лью и Лима [81], где изучаются свободные колебания пологих оболочек с прямоугольным планом.

Методы математического моделирования динамических процессов, применяемые в теории оболочек, разрабатывались и в работах, посвященных колебаниям других строительных конструкций, по большей части балочных. Из работ последних лет можно выделить следующие. Т.Д. Каримбаев и Ш. Мамаев [24] исследовали сопротивление ударным нагрузкам упруго-пластического тела в форме параллелепипеда с прямоугольным поперечным сечением. Разработанный ранее алгоритм решения динамических задач здесь обобщен на случай задач с движущимися граничными условиями. Проанализирован возможный характер разрушения балки при перемещениях области воздействия динамической нагрузки. Накано, Шинтани и Осуми [84] построили физико-математическую модель динамического поведения консольной упругой балки, основанную на результатах динамических испытаний на поперечные колебания. Предложен эффективный расчетный алгоритм идентификации посредством введения неизвестных параметров. Ямакава, Мураками и Синода [97] с целью исследования влияния совместного растяжения-сжатия, изгиба и поперечного сдвига на статическую и динамическую реакции анизотропных балок с узким прямоугольным поперечным сечением использовали теорию поперечного изгиба балок Тимошенко и с помощью составленных уравнений определили статические прогибы и показатели гармонического движения свободно опертых анизотропных балок. Анализ частот и форм колебаний балочных конструкций в условиях ударного нагружения провели Козыра и Шчесняк [74], найдены наибольшие амплитуды динамического прогиба упругой с признаками неоднородности балки в варианте шарнирного закрепления по концам. В работе Шпехта и Крампа [93] основное внимание уделено влиянию показателей свободных колебаний на несущую способность балок. Собственные частоты и коэффициенты демпфирования испытываемых балок определялись в зависимости от величины и частоты действующих нагрузок.

Чен и Ю [62] предприняли численно-аналитическое исследование показателей процесса динамического разрушения жесткопластичной защемленной балки с краевыми поперечными трещинами у опертых концов под действием вертикального удара твердым снарядом. Проанализировано влияние соотношения масс балки и снаряда, а также осевой силы на конечную деформацию. Ли и Йо [77] построили физико-математическую модель поведения консольной упругой балки с ограничением в виде нелинейной пружины на свободном конце под действием поперечного гармонического возбуждения. Редди [87] сделал краткий критический обзор различных моделей для ананиза показателей напряженно-деформированного состояния балок Тимошенко. Обсуждены динамические версии этих моделей. Представлены результаты численного расчета собственных частот поперечных колебаний свободно-опертых упругих балок для разных моделей. В монографии А.А. Ананеко и К.Л. Комарова [3] рассмотрены вопросы жестко- и упругопластического анализа поведения балок под воздействием динамических нагрузок, превышающих статически допустимые. Большое внимание уделено использованию современных методов решения задач динамического нагружения балок. Приведено большое число примеров, исследуется область применимости моделей жестко- и упругопластических сред.

В следующих работах исследовались математические модели оболочек.

И В. Андрианов и Е.Г. Холод [4] получили эффективное аналитическое решение в одном примере нелинейных колебаний пологой сферической оболочки. С использованием асимптотического метода А.И. Станкевич, А.Ю. Евкин и С.А. Веретенников [54] вывели обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее движение оболочки при значительных амплитудах прогиба. Результаты расчетов (по методу Рунге - Кутта) сопоставляются с известными экспериментальными данными. Метод расчета тонких пологих оболочек, позволяющий по единому алгоритму решать физически и геометрически нелинейные задачи статики, динамики и устойчивости, предложили Г.В. Васильков и Аль-Халаби [12]. Рассмотрен пример нелинейной пологой оболочки с билинейной диаграммой деформирования. Сатьямурти [88] использовал теорию пологих оболочек для геометрически нелинейного анализа колебаний с большими амплитудами умеренно толстых изотропных сферических оболочечных конструкций. Ли [80] аналитическим путем определил параметры нелинейных осесимметричных свободных и вынужденных колебаний ортотропных пологих оболочек вращения, особое внимание уделив исследованию динамического поведения тонких сферических оболочек в зависимости от их геометрических и физических характеристик. Устойчивость нелинейных колебаний оболочек при двухчастотном возбуждении исследовали Энеремаду, Цу и Римрот [64]. Задачи о собственных колебаниях толстых пластин и оболочек рассматривали Аврейцевич и В.А. Крысько [60]. Используются уточненные оболочечные теории типа Тимошенко и трехмерная теория упругости. В качестве модельной задачи исследованы свободные колебания прямоугольного параллелепипеда с двумя свободными гранями. Проводится сравнительный анализ применения оболочечных теорий различного порядка к расчету частот. Новую методику решения нестационарных задач теории оболочек с локальными конструктивными неоднородностями типа дополнительных опорных элементов предложил Л.Б. Лерман [43]. Она основана на применении разложений искомых величин в ряды по собственным формам колебаний. Догаки, Пек и Ионезава [63] провели численное исследование показателей динамической неустойчивости и выпучивания тонких прямоугольных упругопластических пластин с начальными деформациями под действием комбинации статической и периодической сдвигающих сил при учете геометрической нелинейности перемещений и физической нелинейности применяемого материала.

Особый раздел теории колебаний оболочек представляет исследование их нелинейных колебаний. При этом наибольший интерес при рассмотрении зависимости прогиба от нагрузки вызывает неустановившийся, переходный процесс движения оболочки от ее регулярных колебаний к полной потере устойчивости. Такой процесс обычно заключает в себе скачкообразные переходы (бифуркации) от установившегося движения одного типа к некоторому другому движению при достижении определенного критического значения нагрузки.

Естественную трактовку эти задачи нелинейной динамики оболочек получили в рамках общей теории динамических систем, новый этап в развитии которой начался также в 1970-е годы. Появление понятий детерминированного хаоса и странного аттрактора позволило лучше понять эволюцию колебательных процессов. Этим вопросам, в частности, посвящены монографии Муна [45], Берже, Помо и Видаля [9], B.C. Анищенко [5] (см. также [6]), Капитаника [71].

Хаотические движения строительных конструкций исторически рассматривались как непредсказуемые эффекты, вызванные случайными внешними факторами и не связанные со свойствами самой конструкции. Исследования по нелинейной динамике колебательных систем в других областях показали, что хаотические явления представляют собой один из характерных типов поведения нелинейных систем и что понимание механизма возникновения этих явлений дает возможность предвидеть дальнейшее развитие и предельное состояние движения.

Следует отметить ту важную роль, которую играют в этих исследованиях современная вычислительная техника и методы математического моделирования динамических процессов.

В последние два десятилетия появился ряд публикаций, в которых авторы выясняли условия возникновения хаотических реакций в строительных конструкциях под влиянием тех или иных внешних воздействий. Целью этих работ было также установление типичных сценариев перехода от регулярных движений к хаотическим.

Общей трактовке указанных вопросов посвящена, например, монография Капитаника [73], ориентированная на инженеров - практиков. Обзор результатов проведенных в 1980-е годы исследований свойств переходных процессов в колебаниях нелинейных систем опубликовал Капитаишс в [72]. Построены отображения Пуанкаре и типы фазовых траекторий с различными вариантами неустойчивости. Хаотические эффекты сопоставляются с различными характеристиками нелинейности системы. В его же работе [70] проведен анализ условий перехода к хаотическому поведению в авюномной самовозбуждающейся системе под действием периодического и случайного внешнего возмущения. Определены фазовые траектории с одной и двумя петлями и условия перехода к хаотическим фазовым траекториям. Х ан, Жапг и Янг [67] рассматривали хаотические вынужденные колебания динамической системы второго порядка с квадратичной и кубической нелинейаостями. Определялись условия возникновения хаоса по отображениям Пуанкаре, фазовым портретам и временным рядам.

В 1979 году Холмс [69] подробно исследовал хаотические движения слегка выпученного стержня, подвергающегося боковому синусоидальному возмущению. Мун [83] установил, что гармонически вынужденной движение выгнутого стержня отчетливо демонстрирует хаотический характер: анализ сечений Пуанкаре показывает сложную, но устойчивую структуру. В работе предложен критерий установления порогового для возникновения хаоса значения амплитуды вынужденных колебаний как функции частоты. Тенг и Доуэлл [95] определили пороговое значение нагрузки, вызывающей хаотическое перемещение выгнутого стального консольного стержня, на основе анализа временного ряда. Поддар, Мун и Мухерджи [86] усовершенствовали расчетную модель шарнирно закрепленного упруго-пластического стержня с учетом геометрической и физической нелинейности. Развита численная процедура определения хаотических движений стержня при периодическом нагружении.

Хаотическим колебаниям деформируемых систем посвящен доклад Ханагуда и Ашлани [68]. В частности, в нем для стержневых систем описаны различные пути перехода к хаосу в колебательных процессах. А.С. Беломытцев и В.Н. Карабан [8] для систем, моделирующих крутильные колебания силовых передач, обнаружили область странного аттрактора, возникающую ь результате серии бифуркаций удвоения периода решения. Изучены квазипериодические колебания периодически возбуждаемой системы и многорежимные периодические колебания. Хан, Ху и Янг [66] рассматривали стошсу с жестко защемленными концами, к одному из которых динамически приложена осевая сжимающая сила. Выявлены условия бифуркации форм движения: боковое выпучивание или осевые колебания прямолинейного стержня.

В 1985 г. Саймондс и Ю [94] теоретически обнаружили и экспериментально подтвердили, что при определенных условиях в колебаниях упруго - пластической балки с закрепленными концами, нагруженной коротким поперечным импульсом, наблюдается аномально высокая чувствительность к изменению ведущих параметров. Детально изучая этот эффект, Ли, Саймондс и Борино [76] нашли, что в начальный период нагружения балки движение неизбежно носит хаотический характер. Этот преходящий хаос регистрируется как во временном ряде, так и да фазовом портрете и спектрограмме. Установлена также экспоненциальная природа повышения чувствительности процесса к изменениям параметров. В серии статей, опубликованных Ю. Лепиком, эти наблюдения были продолжены и расширены. Например, в [78] анализируются нелинейные поперечные колебания выпученной при продольном сжатии балки под действием гармонического возбуждения. Дана оценка пороговой величины поперечной динамической нагрузки, при которой колебания упруго - пластической балки переходят в хаотический режим. При этом оказалось, что для балок указанного типа установившиеся хаотические колебания в случае гармонического возбуждения гораздо более обычны, чем при импульсном нагружении.

Бифуркационные механизмы перехода к хаосу в сложных колебаниях балок под действием квазипериодического нагружения проанализированы в статье Ягасаки [96]. Абхьянкар, Холл и Ханагуд [59] предложили новый метод численного решения дифференциальных уравнений в частных производных, на основе которого провели компьютерные эксперименты для выявления закономерностей перехода к хаосу в колебаниях балочных структур. Иосимура, Хино, Камата и Анантанараяна [98] описали хаотические колебания нелинейной шарнирно закрепленной балки переменного поперечного сечения под действием транспортной нагрузки. Жанг, Цай и Янг [99] решили задачу по выявлению условий возникновения хаотических вынужденных колебаний бесконечной деформируемой балки, лежащей на нелинейном упругом основании. Сложным колебаниям консервативных и диссияативных механических систем в виде многослойного пакета неспаянных балок посвящена работа В.А. Крысько, В.В. Бочкарева и Т.А. Бочкаревой [31]. Оказалось, что хаотические колебания в собственном смысле здесь не возникают, хотя и наблюдаются элементы переходного сценария Фейгенбаума.

В.А. Баженов, Е.С. Дехтерюк и Ю.С. Петрина [7] численно исследовали бифуркации установившихся режимов вынужденных колебаний пластин и оболочек под действием периодических во времени нагрузок. Отмечен переход от регулярных (периодических и квазипериодических) колебаний к хаотическим.

Аврейцевич, В.А. Крысько и А.В. Крысько [1] изучали общие механизмы перехода к хаосу в диссипативных пластинчатых конструкциях. Анализируя сложные колебания гибких пластинок при воздействии переменных во времени сдвиговых нагрузок, В.А. Крысько и А.Г. Ромакин [34] установили, что при любых заданных значениях частоты и коэффициента демпфирования существует значение амплитуды нагрузки такое, что при больших значениях амплитуды колебания становятся хаотическими. В.А. Крысько, Т.В. Вахлаева и А.В. Крысько [32] детально описали механизмы возникновения хаоса в случае вынужденных колебаний пластин. Переход к хаосу по сценарию Фейгенбаума в динамике пластин проанализирован в работе Аврейцевича и В.А. Крысько [61]. Хаотические эффекты в диссипативно-консервативных колебаниях двухслойных неспаянных пластин исследовали А.В. Крысько и Т.В. Бабенкова [28]. П.С. Ланда [75] рассматривал модель голосовых связок человека в виде двух пластин, прикрепленных пружинами к стенкам трубы, и установил, что под действием потока воздуха происходит возбуждение хаотических колебаний пластин.

В работе [79] Ю. Лепик пытался выяснить возможность хаотических реакций в осесимметричных колебаниях упруго - пластических цилиндрических оболочек. В большинстве проведенных компьютерных экспериментов установившиеся колебания имели регулярный характер. Хан, Ху и Янг [65] провели анализ нелинейных колебаний упругой цилиндрической оболочки вращения и нашли критические условия возникновения хаотического движения. Маэстрелло, Френди и Браун [82] изучали нелинейные колебания типовой панели фюзеляжа самолета. Для выбранного диапазона частот найдены линейные, квазилинейные при удвоении периода колебаний и хаотические динамические реакции панели при увеличении уровня акустического движения звуковой нагрузки. Сценарий перехода к хаотическим колебаниям для консервативных и диссипативных систем в теории гибких цилиндрических панелей при действии знакопеременных продольных нагрузок рассматривали А.В. Крысько, С.А. Мицкевич и Ю.В. Чеботаревский [29]. Хаотические движения квадратной в плане оболочки под действием импульсной периодической нагрузки исследовали В.А. Крысько и А.В. Кириченко [33]. Сделана попытка объяснить явление динамической потери устойчивости с позиций качественной теории дифференциальных уравнений.

На основе приведенного обзора публикаций, посвященных условиям возникновения хаотических движений в строительных конструкциях, подвергнутых переменным во времени нагрузкам, можно сделать следующие выводы.

1. В большинстве работ исследовались балочные системы. Тем не менее, и для них общие закономерности перехода к хаосу пока не выяснены, в основном идет накопление конкретных результатов для различных математических моделей.

2. Анализ нелинейных колебаний оболочечных конструкций, по-видимому наталкивается на еще большие трудности. Если для прямоугольных в плане пластин, подвергнутых продольным знакопеременным нагрузкам, удалось получить сценарии перехода к хаосу [32], то в случае собственно оболочек до сих пор были лишь проведены отдельные компьютерные эксперименты.

3. Математические модели прямоугольных в плане геометрически и физически нелинейных пологих оболочек с точки зрения нелинейных колебаний, вызванных поперечной гармонической нагрузкой, не изучались.

В отличие от задач статики, где понятие о критических нагрузках можно считать общепринятым, для определения динамических критических нагрузок было предложено несколько критериев. Так, Б.Я. Кантор [23] в качестве динамического критерия условно принимает, что оболочка прохлопывает, если прогиб в центре достигает значения, большего относительной высоты оболочки w «If, где/- высота подъема оболочки над планом. Согласно А.С. Вольмиру [15] динамическим критерием считается быстрый рост прогиба при незначительном изменении нагрузки. Некоторые авторы в качестве динамического критерия потери устойчивости рассматривают момент появления пластических деформаций в оболочечных конструкциях. Шио, Сунг и Рот [90] отметили, что в начале динамического процесса потери устойчивости при увеличении нагрузки время, необходимое для достижения значительной амплитуды прогиба, также растет до тех пор, пока не будет достигнуто некоторое значение нагрузки, выше которого рассматриваемое время начинает убывать. Нагрузка, при которой начинается обратный процесс изменения времени, необходимого для достижения первого максимума, считается критической.

Все эти критерии предложены для автономных, т.е. находящихся под действием независящих от времени нагрузок обол очечных систем. Свойства, обнаруженные упомянутыми авторами, во многих конкретных случаях отмечаются и для нагрузок, зависящих от времени. Так, в упоминавшейся работе Холмс описывает физический эксперимент по слегка выпученному стержню, подвергающемуся боковому синусоидальному возмущению. Этот стержень можно рассматривать как бесконечно длинную пологую цилиндрическую панель. Показаны две близкие конфигурации потери устойчивости, два закритических равновесных состояния. Однако подобные наблюдения не выявили никаких общих подходов к формулировке динамических критериев потери устойчивости для неавтономных динамических систем.

Цель настоящей работы:

1. Построение математической модели для динамики прямоугольной в плане гибкой пологой оболочки с учетом геометрической и физической нелинейности.

2. Изучение сценариев перехода в состояние хаоса обол очечных систем при действии поперечной знакопеременной нагрузки в зависимости от шевеления граничными условиями, безразмерными геометрическими параметрами к1,к2, амплитудой и частотой вынуждающей нагрузки.

3. Получение динамического критерия жесткой потери устойчивости для неавтономных оболочечных систем.

Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы и двух приложений. Объем работы: 117 страниц, 59 рисунков, 7 таблиц.

Основные результаты и выводы по диссертации

1. С использованием вариационного принципа Гамильтона-Остроградского создана математическая модель для изучения колебаний геометрически и физически нелинейной пологой оболочки на прямоугольном плане под действием поперечной нагрузки.

2. Разработан и реализован в виде пакета программ для ПЭВМ алгоритм для численного исследования оболочечных систем, описываемых построенной математической моделью.

3. С помощью вычислительных экспериментов выявлены бифуркационные механизмы перехода в хаотическое состояние колебаний геометрически и физически нелинейных оболочек под действием гармонического возбуждения. Установлено, что переходные процессы зависят от кривизн оболочки, краевых условий, частоты вынуждающих колебаний и некоторых других параметров, т.е. единого сценария перехода нет. При этом составными элементами полученных сценариев являются схемы перехода к хаосу, известные из общей теории динамических систем.

4. На основании анализа зависимостей «нагрузка - прогиб», «нагрузка -интенсивность деформаций» и «нагрузка - усилие» сформулирован динамический критерий потери устойчивости для оболочечных систем с зависящей от времени нагрузкой. В предлагаемом критерии важным моментом является знак усилия в срединной поверхности: смена этого знака характеризует выпучивание оболочки. В критических точках происходит качественная перестройка формы колебаний системы.

1. Аврейцевич Я., Крысько В.А., Крысько А.В. Переход к хаосу в диссипативных пластинчатых конструкциях // Материалы 1. Белорусского конгресса по теоретической и прикладной механике. - Минск, 1999. -С.3-8.

2. Агамиров В.Л. Динамические задачи нелинейной теории оболочек. М.: Наука, 1990.

3. Ананенко А.А., Комаров К.Л. Динамика неупругих балок. Новосибирск: Наука, 1999. - 151 с.

4. Андрианов И.В., Холод Е.Г. Промежуточные асимптотики в нелинейной динамике оболочек // Изв. РАН. Мех. тверд, тела, 1993. №2. - С. 172 - 177.

5. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. -М.: Наука, 1990.-312 с.

6. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: СГУ, 1999. - 368 с.

7. Баженов В.А., Дехтерюк Е.С., Пегрина Ю.С. Численное исследование бифуркации установившихся режимов вынужденных колебаний пластин и оболочек // 2 Всес. конф. по нелин. колеб. мех. систем: Тез. докл. Горький, 1990. - 4.2. - С.58 - 59.

8. Беломытцев А.С., Карабан В.Н. Численный анализ установившихся колебаний в нелинейных механических системах // 2 Всес. конф. по нелин. колеб. мех. систем: Тез. докл. Горький, 1990. - ч.1. - С. 153 - 154.

9. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. М.: Мир, 1991. - 386 с.

10. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гостехиздат, 1956. - 600 с.

11. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз, 1961. - 339 с.

12. Васильков Г.В., Аль-Халаби М. Об одном методе определения критических нагрузок для нелинейных тонких пологих оболочек при динамическомнагружен ни // Рост, инж-строит, ин-т. Ростов н/Д, 1991г. - 15с. Деп. в ВИНИТИ 24.04.91, №1714 В91.

13. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. М.: Гостехиздат, 1949. - 784 с.

14. Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956. -420с.

15. Волъмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972.-432 с.

16. Гольденвейзер A.J1. Теория упругих тонких оболочек. М.: Гостехиздат, 1953. - 544с.

17. Гольденвейзер АЛ., Лидский В.Б., Товстик НЕ. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М., 1979.

18. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. -360 с.

19. Григоренко Я.М., Гуляев В.И. Нелинейные задачи теории оболочек и методы их решения (обзор) // Прикл. мех. (Киев). 1991. - 27, №10. - С. 3 -23.

20. Егурнов Н.В. Крысько В.А., Сопенко А.А. Решение задач статики через динамику в нелинейной теории пологих оболочек // Изв. вузов. Машиностроение. 1986. - №6. - С. 16-20.

21. Ильюшин А.А. Пластичность. М. - Л.: Гостехиздат, 1948. - 376 с.

22. Кантор Б.Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек. -Киев: Наукова Думка, 1971. 136 с.

23. Каримбаев Т.Д., Мамаев Ш. Изгиб балки при поперечном ударе по движущейся площадке // ЦИАМ. Препр. 2000. - №33. - С.1 - 29.

24. Карчевский M.M., Заботина Л.ILL Смешанный метод конечных элементов для нелинейных задач теории оболочек. Казань, 1993. - 22с. Деп. в ВИНИТИ 07.04.93, №877 - В93.

25. Каудерер Г. Нелинейная механика. М.: ИЛ, 1961. - 387 с.

26. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластан и пологих оболочек и методы их решения. М.: Наука, 1964. - 192 с.

27. Крысько А.В., Бабенкова ТВ. Диссипативно-консервативные колебания двухслойных неспаянных пластинок / В кн.: Нелинейная динамика механических и биологических систем. Саратов: СГТУ, 2000, с. 171-177.

28. Крысько В.А. Нелинейная статистика и динамика неоднородных оболочек. -Саратов: СГУ, 1976. 216 с.

29. Крысько В.А., Бочкарев В.В., Бочкарева Т.А. Динамика консервативных и диссипативных систем в виде многослойного пакета неспаянных балок // В кн.: Нелинейная динамика механических и биологических систем. -Саратов: СГТУ, 2000, с. 177-186.

30. Крысько В.А., Кириченко А.В. О динамических критериях потери устойчивости гибких пологих оболочек. // В кн.: Нелинейная динамика механических и биологических систем. Саратов: СГТУ, 2000, с. 144-152.

31. Крысько В.А., Ромакин А .Г. Сложные колебания гибких пластинок при воздействии переменной во времени сдвиговой нагрузки / В кн.: Нелинейная динамика механических и биологических систем. Саратов: СГТУ, 2000, с.186-191.

32. Крысько В.А., Сопенко А.А. Динамическая устойчивость геометрически и физически нелинейных пологих оболочек при учете связанности деформаций и температуры. // Прикл. механика. 1989. - 25, №11. - с. 49 -54.

33. Крысько В.А., Сопенко А.А., Салий Е.В. Исследование гамильтоновых систем, описываемых уравнениями теории тонких пологих оболочек с учетом геометрической и физической нелинейностей. СГТУ Саратов, 1999. - 18 с. Деп. в ВИНИТИ 24.02.99, №556-В99.

34. Крысько В.А., Сопенко А.А., Салий Е.В. Устойчивость гамильтоновых систем, описываемых уравнениями теории тонких гибких пологих оболочек с учетом физической нелинейности. СГТУ- Саратов, 1999. 18 с. Деп. в ВИНИТИ 21.06.99, Ш988-В99.

35. Крысько В.А., Сопенко А.А., Салий Е.В. Нелинейная динамика хаотических колебаний оболочек на прямоугольном плане. СГТУ Саратов, 2001. - 28 с. Деп. в ВИНИТИ 20.02.01, №426-В2001.

36. Кубенко В.Д., Ковальчук П.С. Нелинейные задачи колебаний тонких оболочек (обзор) // Прикл. мех. (Киев). 1998, - 34, №8. - С. 3 - 31.

37. Лерман Л.Б. О решении задач динамики пластин и оболочек с локальными конструктивными неоднородностями // Прикл. мех. (Киев). 1999. - 35, X9l0.-C.46-53.

38. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984.-528 с.

39. Мун Ф. Хаотические колебания. -М.: Мир, 1990.

40. Муштари Х.М. Нелинейная теория оболочек. М.: Наука, 1990. - 223 с.

41. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. -Казань: Таткнигоиздат, 1957. -432 с.

42. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гос. изд-во технико-теорет. лит., 1948. - 168 с.

43. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. - 370 с.

44. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромтиз, 1962. -431 с.

45. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. М.: МГУ, 1969. -695 с.

46. Пальмов В.А. Колебания упруго пластических тел. - М.: Наука, 1976.

47. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек. Саратов СТУ, 1975. - 173 с.

48. Станкевич А.И., Евкин А.Ю., Веретенников С.А. Устойчивость тонких сферических оболочек при динамическом нагружении // Прикл. мех. (Киев). 1993. - 29, Х»1. - С.42 - 48.

49. Терегулов И.Г., Тимергалиев С.Н. О существования решения одной задачи нелинейной теории пологих оболочек // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 1998. -Х23.-С. 21-29.

50. Тимергалиев С.Н. О разрешимости задач нелинейной теории пологих оболочек. Кам. политехи, ин-т. Набережные Челны, 1997. - 19 с.- Деп. в ВИНИТИ 21.05.97, № 1689 - В97.

51. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М.: Мир, 1968.

52. Цурпал И.А., Шульга Н.А. Основные уравнения теории тонких пологих оболочек с учетом физической нелинейности // Прикл. механика. 1965. - т. 1,№>12.-С. 15-21.

53. Abhyankar M.S., Hall Е.К., Hanagud S.V. Chaotic vibrations of beams: numerical solution of partial differential equations // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1993. -60, №1.-P. 167- 174.

54. Awrejcewicz J.A., Krysko V.A. Vibration analysis of the plates and shells of moderate thickness // J. Techn. Phys. 1999. - 40,№3. - P. 277-305.

55. Awrejcewicz J., Krysko V.A. Feigenbaum scenario exhibited by thin plate dynamics // Nonlinear Dynamics. 2001. - 24. - P .373 - 398.

56. Chen F.L., Yu T.X. Dynamic behaviour of a clamped plastic beam with cracks at supporting ends under impact // Trans. ASME: J. Pressure Vessel Technol. -1999.-121, №4.-P. 406-421.

57. Dogaki Masahiro, Pek Songbo, Yonezawa Hiroshi. Dynamic buckling of rectangular plates under periodic shear force // Kansai daigaku kogyo gijutsu kenkyujokenkyuhokoku. 2000. - 15.-P. 169-178.

58. Eneremadu K.O., Zu J.W., Rimrott F.P.J. Stability of nonlinear two-frequency oscillation of cylindrical shells // Proc. 3rd Int. Conf. Non-linear Mech., Shanghai, Aug. 17-20, 1998; ICNM-3 Shanghai, 1998. - P .634-640.

59. Han Qiang, Ha Haiyan, Yang Guitong. A study of chaotic motion in elastic cylindrical shells // Eur. J. Mech. A. 1999. - 18, №2. - P. 351-360.

60. Han Qiang, Hu Haiyan, Yang Guitong. The bifurcation problem of columns caused by elastic-plastic stress wave propagation // Appl. Math. And Mech. Engl. Ed. 1999. - 20, №6. - P. 604-614.

61. Han Qiang, Zhang Shanyuan, Yang Guitong. The study on the chaotic motion of < nonlinear dynamic system // Appl. Math. And Mech. Engl. Ed. 1999. - 20, №8 -P.830-836.

62. Hanagud S., Ashlani F. Routes to chaos in structural dynamic systems // 18th Int Congr. Theor. and Appl. Mech., Haifa, Aug. 22-28, 1992. Haifa, 1992 - P. 70.

63. Holms P.J. A nonlinear oscillator with a strange attractor. Phil. Trans. Roy. Soc London, Ser. A. - 1979. - 292. - P. 419.

64. Kapitaniak T. Chaos in a noisy mechanical system with stress relaxation // J Sound and Vibr. 1988. - 123, №3. - P. 391-396.

65. Kapitaniak T. Chaotic oscillations in mechanical systems. Manchester Manchester University Press. - 1991.

66. Kapitaniak T. Strange non-chaotic transients // J. Sound and Vibr. 1992. - 158 №1.-P. 189-194.

67. Kapitaniak T. Chaos for engineers: theory, applications, and control. Berlin -Heidelberg - New York: Springer. - 1998. - 142 p.

68. Kozyra Zofia, Szczesniak Waclaw. Obciazenie impulsowe beiek niejednorodnycl // Warsaw Univ. Technol. Fac. Civ. Eng. Warsaw. - 1999. - P. 300-307.

69. Landa P.S. Chaotic oscillations in a model of vocal source // Изв. вузов. Прикл нелинейн. динам. 1998, - 6, №4. - С. 57-67.

70. Lee J.-X., Symonds P.S., Borino G. Chaotic responses of a two-degree-of freedom elastic-plastic beam model to short pulse loading // Trans. ASME: J Appl. Mech. 1992. - 59, №4. - P. 711-721.

71. Lee Won Kyoung, Yeo Myeong Hwan. Two-mode interaction of a beam with ; nonlinear boundary condition // Trans. ASME. J. Vibr. and Acoust. 1999. - 121 №1. -P. 84-88.rt

72. Lepik Ulo. Elastic-plastic vibrations of a buckled beam // Int. J. Non-Lineai Mech. 1999. - 30, №2. - P. 129-139.

73. Lepik U. Axisymmetric vibrations of elastic-plastic cylindrical shells b} Galerkin's method // Int. J. Impact. Engng. 1996. - 18. №3. - P. 489-504.

74. Li Dong. Nonlinear vibrations of orthotropic shallow shells of revolution // Appl. Math, and Mech. (Engl.Ed.). 1992. - 13, №4. - P. 331-344.

75. Liew K.M., Lim C.W. Vibration of doubly-curved shallow shells // Acta Mechanica. 1996. - 114,№1-4.- P. 95-119.

76. Maestrello Lucio, Frendi Abdelkader, Brown Donald E. Non-linear vibration and rodiation from a panel with transition to chaos П AIAA Journal. 1992. -30,№11.-P. 2632-2638.

77. Moon F.C. Experimental models for strange attractor vibrations in elastic systems // New approaches to non-linear problems in dynamics (Proc. Conf, Pacific Grove, Calif., 1979). Philadelphia, Pa.: SIAM, 1980, P. 487-495.

78. Nakano Nobuhide, Shintani Atsuhiko, Ohsumi Akira. Nihon kikai gakkai ronbunshu H Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. 2000. - 66,№643. - P .48-56.

79. Nie Guo-hua, Liu Ren-huai. Non-linear elastic theory of rectangular reticulated shallow shell structures // Yingyong shuxue lie lixue Appl. Math, and Mech. -1994. - 15,№5,- P. 389-397.

80. Poddar В., Moon F.C., Mukherjee S. Chaotic motion of an elastic-plastic beam // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1988. - 55,№1. - P. 185-189.

81. Reddy J.N. On the dynamic behaviour of the Timoshenko beam finite elements // Sadhana. 1999. - 24,№3. - P. 175-198.

82. Sathyamoorthy M. Vibrations of moderately thick shallow spherical shells at large amplitudes // J. Sound and Vibr. 1994. - 172,№1. - P. 63-70.

83. Schimmels S.A., Palaiotto A.N. Nonlinear geometric and material behavior of shells structures with large strains // J. Eng. Mech. 1994. - 12,№2. - P. 320-345.

84. Shian A.C., Soong T.T., Roth R.S. Dynamic Buckling of Concial Shells with Imperfections // AIAA Journal. 1974. - 12,№6. - P. 1122-1132.

85. Siawianowska Anna. Comparison of two theories of geometrically nonlinear shells // Mech. teor. i stosow. 1996. - 34,№4. - P. 749-766.

86. Soric Jurica. Prilog nelinearnoi analizi slozenih ljuskastih konstnikcija // Strojarstvo. 1994. - 36,№l-2. - P. 23-31.ш

87. Specht Manfred, Kramp Michael. Der Einflub von freien Schwingungen aui ausgewahlte dynamische Parameter von Stahlbetonbiegetragem // Dtsch. Ausschuss Stahlbeton. P. 1-162.

88. Symonds P.S., Yu T.X. Counter-intuitive behavior in a problem of elastic-plastic beam dynamics // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1985. - 52,№3. - P. 517-522.

89. Tang D.M., Dowel! E.H. On the threshold force for chaotic motions for a forced buckled beam //Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1988. - 55,№1. - P. 190-196.

90. Yagasaki Takao. Bifurcations and chaos in quasi-periodically forced beam. Theory, simulation and experiment // J. Sound and Vibr. 1995. - 183,№1.1. P. 1-31.

91. Yamakawa Junya, Murakami Hidenori, Sonoda Yoshimi. On the static and free vibration analyses of anisotropic simply-supported beams // Mem. Nat. Def. Acad. 1995.-35,№1.-P. 9-20.

92. Yoshimura Т., Hino J., Kamata Т., Ananthanarayana N. Random vibration of nonlinear beam subjected to a moving load: a fmite element method analysis // J. Sound and Vibr. 1988. - 12,№2. - P. 317-329.

93. Zhang Jian-vven, Cai Zhong-min, Yang Gui-tong. The chaotic behaviour of the infinite beam on nonlinear elastic foundation // Proc. 3rd Int. Conf. Nonlinear Mech., Shanghai, Aug. 17-20,1998: ICNM 3. - Shanghai, 1998. - P. 428-431.