автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование хаотических колебаний гибких упругих пологих сферических оболочек

На правах рукописи

Папкова Ирина Владиславовна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ГИБКИХ УПРУГИХ ПОЛОГИХ СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Авт ореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов 2004

Работа выполнена в Саратовском государственном техническом университете

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор

Крысько Антон Вадимович

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук, профессор

Столяров Николай Николаевич

Ведущая организация - Саратовский государственный университет им.

Н. Г. Чернышевского

_ Защита состоится «14» января 2005 г. в 13 часов на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при Саратовском государственном техническом университете по адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, Саратовский государственный технический университет, корп. 1, ауд. .

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке Саратовского государственного технического университета.

Автореферат разослан « 6 » декабря 2004 г.

- доктор технических наук, профессор Джашитов Виктор Эммануилович

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В современных технических отраслях, особенно в авиастроении, ракетостроении, судостроении, машиностроении, приборостроении в качестве основных элементов конструкций применяются гибкие упругие сферические оболочки. При проектировании машин или сооружений необходимо уметь предсказывать поведение системы, находящейся под действием динамической нагрузки. Выбрав параметры, при которых возникает хаотический режим, инженер лишается возможности предсказывать поведение системы. Инженерная мысль с понятиями хаотической динамики знакома уже давно. Хаос называли шумом, помехами или турбулентностью, а фактор неопределенности или фактор надежности использовались инженерами для учета в проектах этих внешне случайных величин, которые непременно возникали в каждом устройстве.

Таким образом, для решения прикладных задач приборо- и машиностроения необходимо разработать, реализовать и исследовать математические модели гибких упругих сферических оболочек под действием знакопеременной нагрузки.

Проблема детерминированности и случайности, предопределенности и непредсказуемости, зародившись несколько веков назад, продолжает оставаться одной из фундаментальных и острых проблем естествознания. Однако широкомасштабные и планомерные исследования взаимосвязи хаоса и порядка ведутся относительно недавно. Они показали, что поведение сложных нелинейных систем со многими степенями свободы при определенных условиях могут возникать регулярные пространственные и временные структуры, названные И. Пригожиным диссипативными. Наряду с этим возможна и обратная картина: из упорядоченного движения рождается хаос. Большой прогресс в концепции временного динамического хаоса достигнут в таких современных областях знаний как физика плазмы, гидромеханика, электроника и радиофизика, теория управления, в задачах теории пластин и оболочек достижения не такие впечатляющие.

Сценарии перехода диссипативных систем при воздействии на них гармонических нагрузок в различных отраслях современной науки, таких как радиофизика, радиоэлектроника, гидромеханика, описаны достаточно подробно в работах П. Берже, Н. Помо, К. Видаля, А.С. Дмитриева,

A.Я. Кислова, Ю.И. Неймарка, П.С. Ланда, В.А. Крысько, Я. Аврийцевича,

B.C. Анищенко, Д.И. Трубецкова, Г. Шустера, О.М. Белоцерковского,

A.M. Опарина и др.

Исследованию хаотических колебаний круглых и прямоугольных пластинок, а также пологих оболочек посвящены работы Я. Аврийцевича,

B.А. Крысько, А.В. Крысько, Е.В. Салий, Т.В. Вахлаевой, А.А. Сопенко, Ю.В. Чеботаревского, Т.В. Щекатуровой. Однако в этих работах не рас-

FOC......*------

I

сматривались хаотические колебания секториальных и круглых в плане сферических оболочек с произвольными краевыми условиями.

Таким образом, важной и актуальной является задача построения детерминированных математических моделей, позволяющих исследовать хаотические колебания сферических оболочек при воздействии знакопеременной нагрузки.

Целью работы является построение математической модели нелинейных колебаний сложных механических систем в виде круглых, секто-риальных и прямоугольных в плане сферических оболочек. Для достижения этой цели необходимо решить задачи:

1. Разработка математической модели для сложных колебаний круглых, секториальных и прямоугольных в плане сферических оболочек для любых граничных условий под действием знакопеременной нагрузки.

2. Изучение сценариев перехода в состояние хаоса колебаний оболочеч-ных систем в зависимости от геометрического параметра или параметра пологости, граничных условий и геометрии плана оболочки.

3. Разработка алгоритма и комплекса программ на ПЭВМ для качественного исследования хаотических колебаний диссипативных систем в виде гибких круглых, секториальных и прямоугольных в плане сферических оболочек при произвольных краевых условиях.

4. Исследование возможности управления хаотическими колебаниями оболочек при помощи воздействия дополнительной знакопеременной локальной нагрузки или знакопеременного опорного момента. Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработаны математическая модель хаотических колебаний, методика и алгоритм для численной реализации гибких упругих пологих сферических оболочек, подчиняющихся кинематической модели Кирхгофа-Лява.

2. Исследована сходимость метода установления в зависимости от типа уравнений движения оболочек (гиперболический или параболический) и метода конечных разностей в зависимости от количества участков разбиения радиуса г е [0; г„] и угла 9 е [0; 0,] для сферических сектори-альных оболочек и для прямоугольных сферических оболочек, находящихся под действием знакопеременной нагрузки.

3. Разработан и реализован в виде пакета программ для ПЭВМ универсальный алгоритм расчета оболочечных систем при действии произвольной нагрузки с учетом и без учета диссипации и проведен качественный анализ хаотических колебаний гибких диссипативных систем в виде круглых, секториальных и прямоугольных в плане гибких упругих пологих сферических оболочек при произвольных краевых условиях. Построены карты зависимости характера колебаний от управ-

ляющих параметров {qa,6)p} для оболочек, находящихся под действием знакопеременной поперечной нагрузки вида q - q0 sin(ß}pt).

4. Проведена классификация по известным сценариям колебаний оболочек, находящихся под действием нагрузки, изменяющейся по гармоническому закону. Выявлены и исследованы новые сценарии перехода в хаос. Изучена периодичность А.Н. Шарковского для дифференциальных уравнений теории пологих круглых, секгориальных и прямоугольных в плане оболочек.

5. Предложен новый подход по управлению хаотическими колебаниями круглых и секториальных сферических оболочек при действии поперечной знакопеременной нагрузки с помощью дополнительного воздействия знакопеременной поперечной локальной нагрузки или знакопеременного опорного момента.

6. Выявлен момент наступления для указанного класса задач теории оболочек явления временного и пространственного хаоса. Достоверность полученных результатов обеспечивается корректной физической и математической постановкой задачи, применением известных численных методов, а также качественной теории дифференциальных уравнений и методов нелинейной динамики. В частном случае результаты, полученные автором диссертации, совпадают с уже известными результатами, полученными другими авторами, и не противоречат имеющимся физическим представлениям, основанным на экспериментах.

Практическая ценность иреализациярезультатов. Предложенная математическая модель позволяет решать широкий класс задач динамики геометрически нелинейных гибких упругих пологих круглых, секториаль-ных и прямоугольных в плане сферических оболочек при произвольных краевых условиях. Разработанный алгоритм позволяет исследовать колебания механических систем в зависимости от управляющих параметров (амплитуды и частоты возбуждения нагрузки, краевых условий, геометрического параметра, геометрии оболочки в плане). Институт проблем точной механики и управления РАН принял программный комплекс для проектирования элементов приборов точной механики.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 2003), XIII межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2003), Международной конференции "Нелинейные колебания механических и биологических систем" (Саратов, 2003), VII Международной конференции Dynamical Systems - Theory and Application (Lodz, Poland, 2003), федеральной итоговой научно-технической конференции творческой молодежи России по естественным, техническим, гуманитарным наукам (I место за работу по естественным наукам учащейся молодежи вузов России) (Москва, 2003), VI Международной конференции "Проблемы

прочности материалов и конструкций на транспорте" (Санкт-Петербург, 2004), III International symposium Trends in Continuum Physics (TRECOP'04), Posnan, Poland, November 17-19, 2004 (пленарный доклад).

В законченном виде диссертационная работа докладывалась на научном семинаре «Численные методы расчета пластин и оболочек» кафедры «Высшая математика» СГТУ под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.н., профессора ВАКрысько (Саратов, 2004 г.), на межкафедральном семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» СГТУ под руководством заслуженного деятеля науки РФ, д.ф-м.н., профессора В.Б.Байбурина (Саратов, 2004 г.). На защиту выносятся следующие положения:

1. Математическая модель хаотических колебаний гибких упругих сферических оболочек круглых, секториальных и прямоугольных в плане с произвольными краевыми условиями при действии поперечных распределенных знакопеременных, локальных знакопеременных нагрузок и знакопеременного опорного момента.

2. Разработаны и реализованы алгоритм, методика и комплекс программ анализа хаотических колебаний гибких диссипативных систем в виде круглых, секториальных и прямоугольных в плане гибких упругих пологих сферических оболочек с произвольными краевыми условиями, находящихся под действием поперечной знакопеременной нагрузки.

3. Построены новые математические модели перехода колебаний круглых, секториальных и прямоугольных в плане гибких упругих пологих сферических оболочек с произвольными краевыми условиями из гармонических в хаотические. Это дополняет классификацию известных сценариев перехода гармонических колебаний в хаотические.

4. Установлено, что временные и пространственные хаотические колебания оболочек наступают одновременно.

5. Дополнительное нагружение локальной знакопеременной поперечной нагрузкой или знакопеременным опорным моментом позволяет управлять хаотическими колебаниями сферических круглых и секто-риальных в плане гибких упругих пологих оболочек при действии поперечной знакопеременной нагрузки.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы и результаты исследований опубликованы в 11 научных работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы. Работа содержит 123 страницы наборного текста, 48 рисунков, 22 таблицы. Список использованной литературы включает 70 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении дается исторический обзор результатов по математическому моделированию нелинейной динамики оболочек, обосновывается актуальность темы диссертации и приводится краткое содержание работы.

В первой главе показаны основные соотношения и допущения для сферической круглой и секториальной оболочки, приводятся уравнения в смешанной форме для сферической круглой и секториальной пологой оболочки и алгоритм решения.

Рассмотрена неосесимметричная сферическая пологая оболочка, представляющая собой замкнутую двумерную область пространства Я1 в полярной системе координат, ограниченную контуром Г, введенную следующим образом: Й = £2 + Г = {(г, 6, г)| ге[0, г,], 9 е [0,041 г е \г/уУ^ ) ■ Систему уравнений динамики пологих оболочек запишем в виде у/ + Ы-- V2+ /?) + У2.Р + 4?,

= -Ч2XV-

„т дг{) 1 д(-) 1 д2() где У2() = —у + —и —и, дг г дг г 59

+ ^ 1 д{) I 1 а() ■ 2 д4() 2 Э'(.) , 4 дг{) , 1 э«0 дг* г дг3 г2 дг2 г3 дг г2 Э023г2 г3 3923г Э2»

5г2

Г ОТ Г СГ Г

ЛдР 1 д2/^ Э2^^ 1 д\у 1 Э2уу1 г дг + г2 502 I+ 5г2 I г Зг + г2 302

,,/ \ „ д2\у[ 1 дп

зе2

зе

4 »

'Згис^зЛгЗе,

1 а2иЛ АГ!^ г2ае2;~ авл

Здесь введены безразмерные величины: 1 = со0Г; <и0 = —

С

л/л ^з

г| = 12(1-у2);

Ь = где / - время; е - коэффициент сопротивления среды, в ко-

с

ш*

торой происходит движение оболочки, - функция усилий, - функция прогиба, - главный радиус кривизны у опорного контура и радиус

опорного контура в окружном направлении соответственно, - толщина оболочки, Ь - параметр пологости, V - коэффициент Пуассона, Е -модуль упругости, - расстояние от оси вращения до точки на срединной поверхности, - параметр внешней нагрузки, - частота собственных линейных колебаний. Для краткости черточка над безразмерными величинами в уравнении (1) опущена. Производные по / и далее обозначаются штрихом. К системе (1) следует присоединить граничные и начальные условия.

Граничные условия запишутся следующим образом (табл. 1):

Таблица 1

1. Шарнирное закрепление дуговой кромки + (2) дгг г дг дг 2. Шарнирное закрепление радиальных кромок

3. Скользящее закрепление дуговой кромки „=0, 5 = 0, Р = 0, |^ = 0 (4) дг дг 4. Скользящее закрепление радиальных кромок „ = 0,^ = 0,^0,0 = 0 (5) 30 30

Начальные условия: м> = /, (г,0) = 0,и/ = /2 (г, 0)= О в момент времени / = 0 .(6) Для сведения распределенной системы (1)-(6) к системе с сосредоточенными параметрами воспользуемся методом конечных разностей с аппроксимацией по пространственным переменным и

В большинстве случаев при решении численными методами допускается, что оболочка имеет центральное отверстие малых размеров, что несущественно влияет на характер получаемых решений в достаточном удалении от вершины. В данной же работе при решении неосесимметричных задач 0 = 2 • л искомые функции в точке г = 0 задавались интерполяционной формулой Лагранжа второго порядка. Результирующее выражение при применении метода конечных разностей имеет вид

где - расстояние между

узлами интерполяции. Для законтурной точки выполняется условие симметрии /_, у = /,_ у, для о 5 у £ т -1. (8)

Условия сшивания для неосесимметричных задач 0 = 2 • я запишутся в ви-

Задачу Коши для указанного типа задачи будем решать методом Рун-ге-Кутта четвертого порядка точности. Шаг по времени выбирается по правилу Рунге.

Положив 0 = 0 в системе уравнений (1)-(6) и проинтегрировав второе уравнение системы (константа, полученная при интегрировании С приравнивается нулю), система уравнений примет вид для осесимметричного случая:

Граничные условия запишутся в виде:

Таблица 2

ЫИарнирно-подвижный опорный контур: + = 0 (11) дг о 2. Жесткое защемление: дФ Ф л л ^ л лт\ --V— = 0, и<=0, — = 0 (13) дг Ъ дг 4 '

3. Скользящее защемление: Ф=н-=о, — = 0 (12) дг 4. Шарнирно-неподвижный опорный контур: (14) ЭФ ф л ^ п д2ы vдw п --V— = 0, Ф =м<=0, —- +--= 0 дг Ъ дг г дг

Начальные условия м„=/\(гк, 0), = /2(гц, 0), (0^Л £и), 0 £ I < со .(15)

Решается статическая задача двух типов: параболического и гиперболического для сферических осесимметричных оболочек методом установления. Количество итераций для гиперболического типа на порядок больше, чем для параболического, что дает нам сделать вывод о предпочтении параболического типа задач. Обсуждается вопрос о достоверности полученных результатов. Для этого проводилось сравнение с решениями, полученными для данных задач Н.В. Валишвили, методом сведения нелинейной краевой задачи к системе нелинейных алгебраических уравнений в сочетании с приемом деления отрезка интегрирования на промежуточные отрезки. Графики, полученные двумя методами, полностью совпали до первой критической нагрузки. Это показывает, что с помощью метода Феодосьева можно получить достоверные результаты, адекватно описывающие поведение оболочки. Приведено описание сценариев, обнаруженных в колебаниях сферических осесимметричных оболочек при действии знакопеременной распределенной нагрузки. Для описания переходных процессов в движении оболочки использовался анализ принятых в нелинейной динамике следующих характеристик: временной ряд и{г,{), фазовый портрет спектр мощности и сечение Пуанкаре

Поскольку исследования показали, что качественная картина процесса колебаний для всех точек оболочки одинакова, то весь анализ отнесен к ее центральной точке

Для исследования поведения оболочек под действием нагрузки, изменяющейся по гармоническому закону был разработан пакет программ, позволяющий строить карты характера колебаний в зависимости от управляющих параметров. Для построения карты с разрешением по частоте и амплитуде не менее чем 200x200 точек необходимо решить 4-104 задач динамики, построить и проанализировать спектр мощности для каждого набора управляющих параметров. Алгоритм позволяет выделять на картах зоны фейгенбаумановского сценария и зоны модифицированного сценария Рюэля-Таккенса-Ньюхауза, выявленный в настоящей работе.

Сущность данного механизма заключается в следующем. После гармонических колебаний, совершаемых на частоте возбуждения, при движе-

нии по параметру появляется новая линейно независимая частота, и переход к хаосу осуществляется через серию линейных комбинаций двух частот. В дальнейшем будем называть этот переход модифицированным сценарием Рюэля-Таккенса-Ньюхауза.

Предварительно исследовался вопрос о сходимости метода конечных разностей решения в зависимости от числа п разбиения радиуса сферической круглой оболочки и было установлено, что п = 20 является оптимальным в гармонических и хаотических областях карт характера колебаний для управляющих параметров т.е. на каждом шаге по времени

приходится решать систему 40 обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и систему 20 линейных алгебраических уравнений.

Рассматриваются колебания круглой сферической оболочки при действии равномерно распределенной знакопеременной нагрузки. Для исследования поведения оболочки в различных условиях были построены карты характера колебаний в зависимости от управляющих параметров при различных значениях параметра пологости оболочки

6 = 3, 4,5 и четырех типах закрепления (табл. 2). На рис. 1 показаны карты характера колебаний { Яо^р } на примере оболочки с шарнирно-подвижным опорным контуром.

Рис. 1.Карты характера колебаний в зависимости от управляющих параметров { <?о»шр ) Исследование поведения оболочки при любом типе закрепления ее с увеличением параметра пологости Ь = 3,4,5 и е = 0.1 картина становится разнообразнее: увеличивается площадь зоны хаотических колебаний, бифуркаций и независимых частот и уменьшается площадь зоны гармонических колебаний, что подтверждают карты управляющих параметров. С увеличением параметра пологости преобладающий сценарий перехода от гармонических колебаний к хаотическим не меняется. В настоящее время известны математические модели перехода динамической системы в состояние хаоса Л.Д. Ландау, М.Дж. Фейгенбаума, Помо-Манневиля, Рюэля-Таккенса-Ньюхауза. Проведенные исследования показали, что в колебаниях сферических оболочек с краевыми условиями подвижный шарнир и

подвижная заделка преобладают области, в которых переход в хаотическое состояние происходит по сценарию Фейгенбаума. Для сферической оболочки с 6=4 была выявлена последовательность пяти бифуркаций (табл. 3), что позволило подсчитать константу Фейгенбаума, которая равна с1к = 4.65608466..., к = 5. Теоретическое значение d = 4.66916224... Различие теоретических расчетов с данным численным экспериментом составляет 0.28%.

Таблица 3

жёсткого защемления, переход к хаотическим колебаниям в большинстве случаев происходит по модифицированному сценарию Рюэля-Таккенса-Ньюхауза.

Таблица 4

Тип 1 Тип 2 Тип 3 Тип 4

9 = 90Бт(шрО У/е[0; 20] # Я-Яо зт(е>р<) У1'е[8; 12] ? = 0 У/6[0; 7]и[9;20] д = 0 У/б [б; 20] 777777 | /7777/ М = М0 8т(сйр0

Изучался вопрос влияния на хаотические колебания типа нагрузки (табл. 4) для оболочки с шарнирно-подвижным опорным контуром, 6 = 4,

С этой целью исследовались четыре типа нагружения (табл. 4): 1 тип (рис.16); 2 тип (рис. 2а); 3 тип (рис. 26); 4 тип (рис. 2в).

Анализ карт характера колебаний показал, что в случае 1, 2 и 4 типа нагружения рисунок на картах почти не отличается, тем не менее при 4 типе нагружения площадь зоны хаотических колебаний меньше, чем в первых двух. Карта, полученная для третьего типа нагружения, отличается от

остальных обширной областью гармонических колебаний и двумя узкими полосами хаотических колебаний в области Следует от-

метить, что преобладающий сценарий перехода от гармонических колебаний к хаотическим в зависимости от типа нагружения не изменяется, что подтверждают зоны, отмеченные черным цветом (сценарий Фейгенбаума). а б в

Рис. 2.Карты характера колебаний в зависимости от управляющих параметров { Яо>ар I

Во второй главе решается задача для секториальной оболочки при действии знакопеременной распределенной нагрузки. Достоверность получаемых результатов была проверена путем сравнения полученных данных с исследованиями, проведёнными ранее Г.М. Губой при рассмотрении диссипативных систем под действием импульса бесконечной продолжительности во времени. Исследовалась сходимость метода конечных разностей для секториальной оболочки при действии распределенной знакопеременной нагрузки. Оптимальное число участков деления радиуса и угла сектора равно п = т = 15. Критерием оценки являлись шкалы типов сигнала, построенные на основании данных о спектре мощности сигнала.

Был обнаружен новый механизм перехода колебаний оболочек из гармонических в хаотические. Этот сценарий присутствует как в круглых, так и в секториальных сферических оболочках при действии распределенной знакопеременной нагрузки. Для оболочек с подвижно защемленным опорным контуром, углом сектора в-т: и параметром пологости Ь = 17 был обнаружен сценарий Фейгенбаума, который развивается на частоте ю0/5 и посчитана константа Фейгенбаума, равная <1к =4.6691649.... Различие теоретических расчетов с данным численным экспериментом составляет 0.01%.

Исследовано поведение системы в зависимости от краевых условий при фиксированном параметре пологости п =т = 15и угле раскрытия сектора вк = . Анализ производился путем изучения тех же зависимостей,

что и в предыдущей задаче. Анализ этих характеристик показал, что для шарнирно-подвижного опорного контура хаотические колебания наступают при меньшем параметре пологости, чем для скользящего защемления.

Для выявления влияния параметра пологости на характер колебания оболочки мы зафиксировали угол раскрытия сектора =п, а параметр пологости принимал значения ¿=10,12; 15; 20. Как и следовало ожидать, увеличение параметра пологости оболочки приводит систему в менее стабильное состояние, о чем свидетельствует наличие большего числа жёстких потерь устойчивости и рост зоны хаотических колебаний.

Для исследования влияния угла раскрытия сектора на характер колебаний было зафиксировано значение параметра пологости 6=15, а угол раскрытия сектора принимал значения

уменьшении угла раскрытия сектора фуркаций.

происходит увеличение числа би-_Таблица 6

Секториальная оболочка и = от =10 п-т = \5 л = т = 20

Время анализа сигнала, ч 0.16 0.96 3.025

Время счета шкалы характера колебаний, сут. 1.33 16.00 25.208

Время счета карты характера колебаний, мес. 8.90 84.03 168.067

Для исследования поведения оболочек под действием знакопеременной нагрузки q = q0 sin(coрi) не строились капты зависимости характера колебаний от управляющих параметров j^o»^}» т-к- в методе конечных разностей приходится на каждом шаге по времени решать систему обыкновенных дифференциальных уравнений (для n = m = 8 система 128 уравнений первого порядка, n = m=15- система 450 уравнений первого порядка, n = т = 20 - 800 уравнений) и систему линейных алгебраических уравнений (для n = т = 8 система 64 уравнений, n = т = 15- система 225 уравнений, n = т = 20 - 400 уравнений), что приводит к существенному увеличению времени работы алгоритма. В табл. 6 приведено время, требуемое для выполнения расчетов по изучению хаотических колебаний гибких сектори-альных оболочек методом конечных разностей на ПЭВМ Pentium 4 2000.

В третьей главе приведено исследование движения для прямоугольной в плане сферической оболочки. Алгоритм решения методом конечных разностей аналогичен алгоритму решения секториальных оболочек.

В этом случае исходными являются уравнения теории пологих оболочек, записанные в безразмерном виде, имеющие вид:

• + Л.1—г+2---------

12(1-ц2)^2 дх* дх* дххгдхг2)

, а2^ , дгр

Зх,

Зх,

г/ г,ч дн> , . .

-Цу>,Р)-—т~е—-д(х„х„0 = 0,

от от

1 а4^ , а4^

--т + А,

+ 2-

а4/1

х.2 ах,4 Зх,4 Эх,2ах

з^

дх,

+ к.

дгм> 1

дх.

+ -1(н',н') = 0

(16)

где Цм>,]Г)- известный нелинейный оператор, м> и Б - функция прогиба и усилия.

Система (16) приведена к безразмерному виду с использованием следующих безразмерных параметров: х, -ах\, х2 =ахг; к^ =й//ц д»

кХ} -^у^ ^ - геометрический параметр оболочки по х, и по х2 соответственно; и> = 2Лй' - п р о/^ВДЩ1 Р, - функция у с и л/и^; - время; Е(гну -

„2 »2 а о

■д - внешнее давление; Е = (2А)е - коэффициент демпфирования

среды. Черточка над безразмерными параметрами для простоты опущена. Также введены следующие обозначения: а, Ь- размеры оболочки в плане по х, и по х2 соответственно; ц - коэффициент Пуассона. К уравнениям (16) присоединим граничные условия:

1. Опирание на гибкие несжимаемые (нерастяжимые) ребра:

2. Защемление по контуру:

3. Свободное опирание по контуру:

4. Защемление с учетом гибких несжимаемых (нерастяжимых) ребер:

д» . .

—- = ф2(х1,х2). (21)

Начальные условия Цх,, х2) |„0 = ср, (х,, х2), — = <р2 (х,, х2).

Ы

Для решения этой задачи (16-21) был использован алгоритм, описанный выше для секториальной оболочки.

Для проверки достоверности получаемых результатов проводилось сравнение с решениями, найденными другими способами и другими авторами. В частности, при помощи метода установления был решен ряд задач для шарнирно опертой прямоугольной в плане оболочки с параметром

кх—ку = 0,24. Полученные результаты сравнивались с решением, которое

было опубликовано ранее В А. Крысько по методу Бубнова - Галеркина в высших приближениях. Максимальное различие в прогибах пластинки составляло от 1 до 3,25%.

Была исследована сходимость метода конечных разностей для прямоугольной в плане сферической оболочки с опиранием на гибкие несжимаемые (нерастяжимые) ребра и выбран оптимальный шаг по пространственным координатам дс, и хг, равный п = т = 14.

Также была исследована сходимость метода конечных разностей. Была построена карта характера колебаний сферической оболочки в прямоугольном плане в зависимости от управляющих параметров с использованием метода конечных разностей при п = 8 и результаты сопоставили с решением, полученным НЕ Савельевой методом Бубнова-Галеркина при N=11. Несмотря на различие методов, которыми были получены карты, можно отметить большое сходство очертаний зон характера колебаний, выделяющихся на картах. Различие между картами начинает проявляться в резонансной зоне (сор=а0), можно предположить, что это

связано с тем, что оба метода практически еще не сошлись (см табл. 6 -необходимое количество машинного времени для получения численных результатов)

кх=ку = 0 кх=ку = 24 кх =ку = 48

Рис. 3. Карты характера колебаний в зависимости от управляющих параметров j^o»®,}

Для прямоугольной в плане оболочки описываемой системы (16)-(21) были исследованы хаотические колебания при действии распределенной знакопеременной нагрузки. Переход системы из гармонического состояния в хаотическое осуществляется также по модифицированному сценарию Рюэля-Такенса-Ньюхауза и сценарию Фейгенбаума, построены карты характера колебаний в зависимости от управляющих параметров для четырех типов граничных условий и геометрического параметра оболочки кх> =кХг = 0, 24, 48. На рис. 3 показаны карты характера колебаний в зависимости от управляющих параметров на примере оболочки с защемленным опорным контуром (18). Следует отметить, что с увеличением па-

раметра кг =ку зона хаотических колебаний увеличивается и перемещается из области высоких частот в область низких частот, близкую к области резонанса.

В четвертой главе приведен анализ периодичности А.Н. Шарковско-го для дифференциальных уравнений теории пологих сферических оболочек. Анализ колебаний оболочки позволил обнаружить окна периодических колебаний из упорядочения А.Н. Шарковского:2*3; 2*5; 7; 5 для осе-симметричной оболочки с краевыми условиями подвижный шарнир (Ь = 4) и для секториальной оболочки с подвижным защемлением с углом 0 = я и параметром пологости Ъ = 20 при действии поперечной знакопеременной нагрузки # = . В табл. 7 показаны графики 5(г»/>)для для

Следует отметить, что указанные так называемые упорядочения А.Н. Шарков-ского в распределенной системе не следуют последовательно одна за другой, их приходится выделять во всей области карт характера колебаний в зависимости от управляющих параметров {^0,0)р}. Выявились следующие закономерности: для 2*3 в сигнале ярко выражено деление основного периода на 6 равных частей, а для 2*5 - на 10 равных частей и т.д. В отображении Пуанкаре наблюдается 6; 10; 7; 5 точек. В фазовом портрете наблюдается появление удвоения орбит. Данные орбиты являются окнами периодичности в хаосе, и их структура одна и та же во всем множестве. Подобные исследования проводились для прямоугольной в плане сферической оболочки и были сделаны те же выводы, что и для осе-симметричной и секториальной оболочки.

Исследован пространственно-временной хаос. Чтобы получить представление об изменении поведения системы во времени, необходимы следующие характеристики: сигнал его скорость и ускорение График функции обычно называют трехмерным фазовым порт-

ретом. Аналогично, для изучения изгибаний поверхности строятся характеристики функции прогиба тангенс угла наклона касательной

описываемых периодических колебаний.

Таблица 7

и кривизна поверхности м"г((,г) в точке г . Данный набор функций дает нам возможность изучить характер изгиба поверхности оболочки. Зависимость /(и'.м/м'*) позволяет судить о пространственном состоянии поверхности оболочки во время колебаний и о переходе механической системы из гармонических колебаний в хаотические. Данная зависимость была названа модальным портретом. Произведенный сопоставительный анализ фазового и модального портретов, построенных для гармонических и хаотических колебаний оболочек, показал, что пространственный и временной хаос наступают одновременно, т.е. можно говорить о наступлении пространственно-временного хаоса в оболочках.

В пятой главе предложены возможные методы управления хаотическими колебаниями сферических оболочек путем дополнительного воздействия на оболочку знакопеременной локальной нагрузкой или знакопеременным опорным моментом.

Значения координат частоты

и момента или частоты и амплитуды дополнительной нагрузки выбирались после ряда проведенных экспериментов. Установлено, что воздействие дополнительной нагрузки эффективно, когда частота дополнительной нагрузки совпадает с частотой основной вынуждающей силы. Было выяснено, что с увеличением амплитуды дополнительного возбуждения увеличивается зона гармонических колебаний. Это привело к необходимости рассмотрения задачи, когда на оболочку действует равномерно распределенная знакопеременная нагрузка -йт^ •/) и локальная знакопеременная нагрузка <7, = 0 6 81п(о)„ /) (тип 1 + тип 2) или опорный знакопеременный момент М, = 9 б-Бт^ •/) (тип 1 + тип 4) при синхронном изменении частот у обоих вынуждающих воздействий.

Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод о том, что принудительная синхронизация внешних воздействий приводит механическую систему к совершенно другому характеру колебаний. Почти полностью удалось ликвидировать зоны хаоса, которые присутствовали в карте (<70, (йр ] (рис. 1а) при действии 1 типа нагрузки (табл. 4), при действии второго типа (рис. 2а) и при действии 3 типа (рис. 2б) практически в одних и

Рис.4. Карты характера колебаний в зависимости от управляющих параметров

тех же местах. В случае 1 + 2 типа нагружения (рис. 4а) характер колебаний в основном стал гармоническим. Осталась небольшая зона хаоса и бифуркаций на низких и на высоких частотах. В случае 1 + 4 типа нагружения (рис. 4б) присутствуют зоны бифуркаций и небольшие зоны хаоса только на низких частотах.

Таким образом, путём изменения характера нагрузки получена возможность управлять поведением колебаний оболочек, а именно существенно увеличить зону гармонических колебаний. Изменяя амплитуду нагрузки и ее частоту, автор добился такого момента, когда в системе отсутствует жёсткая потеря устойчивости, и колебания оболочки становятся гармоническими.

Было исследовано влияние геометрии сферической оболочки на вид управления хаотическими колебаниями. Основным результатом этого исследования явилось то, что методы управления хаотическими колебаниями упругих сферических оболочек одинаковы для осесимметричной и секто-риальной оболочки.

В заключении приводятся основные результаты и выводы по работе.

Основные выводы по диссертации

1. Построена математическая модель теории гибких пологих оболочек с учетом геометрической нелинейности для круглой, секториальной и прямоугольной в плане сферической оболочки.

2. Проведено исследование сходимости метода конечных разностей в зависимости от числа участков деления радиуса и угла для круглых и секториальных оболочек при действии поперечной равномерно распределенной знакопеременной нагрузки.

3. Проведена классификация по известным сценариям колебаний оболочек, находящихся под действием нагрузки, изменяющейся по гармоническому закону. Выявлен и исследован новый сценарий перехода в хаос, обнаруженный в колебаниях исследуемой механической системы.

4. Исследована периодичность А.Н. Шарковского для дифференциальных уравнений теории пологих сферических оболочек.

5. Разработан пакет программ для качественного исследования сложных колебаний сферических оболочек с помощью метода конечных разностей.

6. Построены карты зависимости характера колебаний от управляющих параметров для круглой, секториальной и прямоугольной в

плане сферической оболочки с рассмотренными краевыми условиями и типами нагружения.

7. Выявлены области сценария Фейгенбаума на картах для круглых, секториальных сферических оболочек при действии распреде-

ленной знакопеременной нагрузки, локальной знакопеременной нагрузки и знакопеременного опорного момента, где происходило до 5 бифуркаций Хопфа, что позволило вычислить константу Фейгенбау-ма.

8. Обнаружен новый сценарий перехода колебаний механических систем из гармонических в хаотические, который был назван модифицированным сценарием Рюэля-Таккенса-Ньюхауза,и выявлены его области на картах \д0,(Ор }. Данный сценарий присутствует в колебаниях круглых, секториальных и прямоугольных в плане сферических оболочек.

9. Исследована интегральная сходимость метода конечных разностей; дается сопоставление решений, полученных методом конечных разностей и методом Бубнова-Галеркина в высших приближениях для прямоугольной в плане сферической оболочки с опиранием на гибкие несжимаемые (нерастяжимые) ребра при действии распределенной знакопеременной нагрузки.

10. Исследована возможность управления хаосом с помощью дополнительного нагружения знакопеременной локальной нагрузкой или знакопеременным опорным моментом.

Публикации по теме диссертации

1. Кравцова И.В. (Папкова И.В.) Исследование стохастических колебаний гибких сферических и конических оболочек / В.А. Крысько, И.В. Кравцова, Т.В. Щекатурова // Зимняя школа по механике сплошных сред: Сб. науч. трудов / Ин-т механики сплошных сред УрО РАН. Пермь, 2003. С. 235.

2. Кравцова И.В. (Папкова И.В.) Мягкая и жесткая потеря устойчивости гибких осесимметричных сферических оболочек при знакопеременной нагрузке / В.А. Крысько, И.В. Кравцова // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды XIII межвуз. науч. конф. / Са-марск. гос. техн. ун-т. Самара, 2003. С. 100-103.

3. Kravtsova I.V. (Papkova I.V.) Stochastic vibrations of flexible flat axi-symmetric shells exposed inhomogeneous loading / V.A. Krys'ko, I.V. Kravtsova // Dynamical of System - Theory and Applications: International Conference. Lodz, Poland, 2003. P. 189-197.

4. Кравцова И.В. (Папкова И.В.) Компьютерное моделирование стохастических колебаний балок, сферических, секториальных и цилиндрических оболочек / Н.Е. Савельева, И.В. Кравцова, А.С. Десятова // Материалы федеральной итоговой научно-технической конференции творческой молодежи России по естественным, техническим, гуманитарным наукам. М., 2003. С. 9-10.

5. Кравцова И.В. (Папкова И.В.) Исследование влияния краевых условий на стохастические колебания гибких осесимметричных пологих обо-

»270 03

лочек / В.А. Крысько, И. В. Кравцова // Нелинейные колебания механических и биологических систем: Труды междунар. науч. конф. / Са-ратовск. гос. техн. ун-т. Саратов, 2004. С. 38-48.

6. Кравцова И.В. (Папкова И.В.) Стохастические колебания гибких осе-симметричных шарнирно-подвижных по контуру сферических оболочек / В.А. Крысько, И.В. Кравцова // Известия вузов. Машиностроение. 2004. № 1.С. 11-20.

7. Кравцова И.В. (Папкова И.В.) Стохастические колебания гибких сферических пологих оболочек при действии знакопеременного опорного момента / В.А. Крысько, И.В. Кравцова // Проблемы прочности материалов и конструкций на транспорте: Материалы VI междунар. науч. конф. / Петерб. гос. ун-т путей сообщения. СПб., 2004. С. 130-131.

8. Кравцова И.В. (Папкова И.В.) Динамика пологих сферических оболочек при действии знакопеременного опорного момента / В.А. Крысько, И.В. Кравцова // Проблемы прочности материалов и конструкций на транспорте: Труды VI междунар. науч. конф./С.-Петерб. гос. ун-т. путей сообщения. СПб., 2004. С. 198-209.

9. Кравцова И.В. (Папкова И.В.) Хаотические колебания сферических оболочек под действием неоднородного нагружения // Вестник Саратовского государственного технического университета. Саратов, 2004. № 1(2). С. 24-36.

10. Кравцова И.В. (Папкова И.В.) Динамика и статика гибких секториаль-ных пологих оболочек / В.А. Крысько, И.В. Кравцова // Вестник Саратовского государственного технического университета. Саратов, 2004. № 2(3). С. 27-36.

11. Кравцова И.В. (Папкова И.В.) Динамика и статика гибких осесиммет-ричных оболочек при действии распределенной знакопеременной нагрузки в зависисмости от величины параметра пологости и краевых условий / В.А. Крысько, И.В. Кравцова // Известия вузов. Машиностроение, 2004. № 12. С. 3-14.

Лицензия ИД № 06268 от 14.11.01

Бум. т и п . У с л . печл. 1,16 Тираж 100 экз. Заказ 523 Саратовский государственный технический университет

Подписано в печать 02.12.04

Формат 60x84 1/16 Уч.-издл. 1г0 Бесплатно

410054 г. Саратов, ул. Политехническая, 77

Копиприитер СГТУ, 410054 г. Саратов, ул. Политехническая, 77

Введение (Краткий исторический обзор исследований по теме диссертации)

Глава. 1 Математическое моделирование хаотических колебаний гибких упругих пологих сферических осесимметрич-ных оболочек

1.1. Математическая модель гибких упругих пологих сферических круглых в плане и секториальных оболочек. Постановка задачи и алгоритм расчета.

1.1.1 Постановка задачи

1.1.2 Уравнения в перемещениях

1.1.3 Уравнения движения в смешанной форме

1.1.4 Уравнения движения для осесимметричной оболочки

1.2 Метод конечных разностей

1.2.1 Секториальная оболочка

1.2.2 Осесимметричная оболочка

1.3 Достоверность получаемых результатов

1.3.1 Метод установления в теории гибких осесиммет-ричных оболочек

1.3.2 Статическое решение устойчивости оболочек 36 ^ 1.4 Динамические диссипативные задачи теории осесимметричных оболочек

1.4.1 Сходимость метода конечных разностей по пространственным координатам

1.4.2 Сходимость характера колебаний в зависимости от

1.5 Проблема турбулентности для гибких осесимметричных пологих оболочек

1.5.1 Анализ существующих математических моделей перехода из гармонических колебаний в хаотические

1.5.2 Новые математические модели сценариев перехода из гармонических колебаний в хаотические

1.5.3 Сложные колебания оболочки при действии равномерно распределенной знакопеременной нагрузки

1.5.4 Сложные колебания оболочки при действии локальной знакопеременной нагрузки

М 1.6 Сложные колебания оболочки при действии знакопеременного опорного момента

Выводы по главе

Глава. 2 Математическое моделирование хаотических колебаний гибких упругих пологих сферических секториальных оболочек

2.1 Статические задачи, полученные методом установления.

2.1.1 Достоверность получаемых результатов.

2.1.3 Сходимость метода конечных разностей по пространственным координатам

2.1.4 Сходимость характера колебаний в зависимости от N 66 2.2. Влияние краевых условий, величины параметра пологости и угла раскрытия сектора на хаотические колебания сферических секториальных оболочек при действии равномерно распределенной знакопеременной нагрузки

Выводы по главе

Глава 3. Математическое моделирование хаотических колебаний гибких упругих пологих прямоугольных в плане сферических оболочек

3.1 Постановка задачи

3.2 Метод конечных разностей у у

3.3 Метод Бубнова-Галеркина в высших приближениях

3.4 Достоверность получаемых результатов

3.5 Исследование сходимости методов конечных разностей

3.6 Сложные колебания оболочки при действии равномерно распределенной знакопеременной нагрузки

Выводы по главе

Глава 4. Периодичность А.Н. Шарковского в задачах нелинейной динамики гибких пологих оболочек

4.1 Двузначное отображение интервалов в себя

4.2 Осесимметричные сферические оболочки

4.3 Гибкие секториальные сферические оболочки

4.4 Прямоугольные в плане пластинки

4.5 Пространственно-временной хаос 106 Выводы по главе

Глава 5. Управление пространственно-временным хаосом гибких сферических оболочек

5.1 История вопроса

5.2 Управление пространственно-временным хаосом гибких сферических осесимметричных оболочек

5.3 Управление пространственно-временным хаосом гибких сферических секториальных оболочек

Выводы по главе

Выводы по диссертации

краткий исторический обзор исследований по теме и основное содержание работы) Быстрое развитие нелинейной теории оболочек обусловлено научными потребностями практики. Широкое применение новых материалов, использование оболочек в необычных условиях при большой интенсивности внешних воздействий настоятельно требует дальнейшего совершенствования методов расчета. Основы теории гибких пластин были заложены русским ученым И.Г. Бубновым. Теодором фон Карманом были даны общие уравнения для пластин. В 1949 г. В.З. Власов получил систему дифференциальных уравнений теории гибких пологих оболочек. Нелинейные уравнения осесимметричной деформации гибких пологих оболочек вращения вывели Д.Ю. Панов и В.И. Фео-досьев. Большой вклад в обоснование и развитие геометрически нелинейной теории внесли С.А. Алексеев, A.C. Вольмир, И.И. Ворович, К.З. Галимов, Б.Я. Кантор, Ю.Г. Коноплев, В.А. Крысько, Х.М. Муштари, В.В. Новожилов, A.B. Погорелов, JI.C. Срубщик, A.B. Саченков, В.И. Феодосьев.

Нелинейная динамика пластин и оболочек интенсивно начала развиваться со второй половины прошлого века. Изучение колебаний оболочек было начато еще Рэлеем в его знаменитой книге «Теория звука». В последующее время труды в этой области опубликовали такие выдающиеся ученые как H.A. Алумяэ [1], И.М. Бабаков [2], В.В. Болотин [3,4], Э.И. Григолюк [5] и другими авторами. В имеющейся литературе речь идет, как правило, о малых колебаниях упругих оболочек, когда соотношение между деформациями и перемещением с одной стороны и деформациями и усилиями с другой, могут быть приняты линейными. Однако в такой постановке подобные задачи оказываются весьма трудными. Если малые колебания пластинок сопровождаются лишь появлением напряжений собственно изгиба, то в случае оболочки к ним присоединяются цепные напряжения. В зависимости от очертания оболочки и условий закрепления мы получаем тот или иной спектр частот и форм колебаний. Для одних видов колебаний оказываются преобладающими изгибные усилия, для других -цепные. Характер напряженного состояния при колебаниях может сильно меняться вдоль главных размеров оболочки по мере удаления от края. Особый раздел теории колебаний представляет собой исследование нелинейных колебаний, имеющих важные специфические свойства. Такого рода движения могут возникать в пластинах и оболочках при больших перемещениях, когда деформации и перемещения связаны нелинейными соотношениями. С другой стороны, деформации могут лежать за пределами применимости закона Гука, и нелинейность зависеть от усилий. Одними из первых публикаций в этом направлении являются книги A.C. Вольмира [6], Б.Я. Кантора [7], В.А. Крысько [8], в которых авторы интересуются именно нелинейными колебаниями пластин и оболочек. Эта область представляет одну из частей общей нелинейной механики твердых деформируемых тел, или, в более широких рамках, нелинейной механики сплошных сред. Одним из важных практических приложений в этом направлении является вопрос о поведении пластин и оболочек при импульсных воздействиях. Этому вопросу в вышеперечисленных источниках уделяется большое внимание. В то же время при рассмотрении периодических колебаний может идти речь о некотором установившемся движении системы. В задачах о динамическом нагружении наибольшее внимание привлекают неустановившиеся переходные процессы. Такой процесс заключается обычно в скачкообразном переходе - перескоке системы от установившегося движения одного типа к некоторому другому движению. Подобное явление особенно характерно для оболочек и носит название хлопка или прощелкивания. Хлопок оболочки сопровождается, как правило, значительными перемещениями. Поэтому изучение поведения пластин и оболочек при импульсных воздействиях будет достаточно полным лишь в том случае, если оно проводится для больших прогибов с позиций нелинейной теории. Но чрезвычайно важным является вопрос о нелинейной динамике пластин и оболочек с учетом диссипации энергии под воздействием знакопеременных нагрузок и изучение сценариев перехода таких систем в состояние хаоса. Данное направление интенсивно развивается в научной школе, возглавляемой профессором В.А. Крысько. В этом направлении A.B. Крысько [9] исследованы прямоугольные в плане пластинки и оболочки при действии продольных и поперечных знакопеременных нагрузок с учетом диссипации энергии [10-11].

Отметим несколько работ, опубликованных в последнее десятилетие.

М.М. Карчевский и Л.Ш. Заботина [12] предложили смешанную схему метода конечных элементов для задачи о физически и геометрически нелинейном изгибе тонкой пологой оболочки. Конечноэлементная формулировка, обеспечивающая решение геометрически и физически нелинейных задач в области расчета напряженно-деформированного состояния составных оболочеч-ных конструкций, дана в статье Сорича [13]. Шиммельс и Палаиотто [14] рассматривали задачи о геометрически и физически нелинейном поведении оболо-чечных конструкций при больших деформациях. Сравнение различных подходов к проблеме геометрически и физически нелинейных оболочек проведено Сявяновской [15]. Причем полное совпадение с теорией Кирхгофа — Лява продемонстрировано для случая пологих оболочек. Нелинейное поведение сетчатых пологих оболочек, имеющих в плане прямоугольную форму, исследовали Ни и Лю [16]. Теорему о существовании решений краевой задачи физически и геометрически нелинейной теории пологих оболочек доказал С.Н. Тимергалиев [17]. Задачу определения напряженно - деформированного состояния геометрически и физически нелинейных пологих оболочек, не подчиненных никаким геометрическим граничным условиям, рассматривали И.Г. Терегулов и С.Н. Тимергалиев [18].

Запросы в первую очередь авиационной и космической техники определили настоятельную потребность в изучении динамических процессов в оболо-чечных конструкциях. Среди вопросов динамики, подвергшихся интенсивному рассмотрению, важное место заняла проблема свободных и вынужденных колебаний, совершаемых оболочкой. Этим задачам посвящены монографии A.C. Вольмира [6], В.А. Крысько [8], В.А. Пальмова [19], Э.И. Григолюка и В.В. Кабанова [20], А.Л. Гольденвейзера, В.Б. Лидского и П.Е. Товстика [21], В.Л. Araмирова [22]. См. также обзор Я.М. Григоренко и В.И. Гуляева [23] и работу Лью и Лима [24], где изучаются свободные колебания пологих оболочек с прямоугольным планом.

Методы математического моделирования динамических процессов, применяемые в теории оболочек, разрабатывались и в работах, посвященных колебаниям других строительных конструкций, по большей части балочных. Из работ последних лет можно выделить следующие. Т.Д. Каримбаев и Ш. Мамаев [25] исследовали сопротивление ударным нагрузкам упруго-пластического тела в форме параллелепипеда с прямоугольным поперечным сечением. Разработанный ранее алгоритм решения динамических задач здесь обобщен на случай задач с движущимися граничными условиями. Проанализирован возможный характер разрушения балки при перемещениях области воздействия динамической нагрузки. Накано, Шинтани и Осуми [26] построили физико-математическую модель динамического поведения консольной упругой балки, основанную на результатах динамических испытаний на поперечные колебания. Предложен эффективный расчетный алгоритм идентификации посредством введения неизвестных параметров. Ямакава, Мураками и Синода [27] с целью исследования влияния совместного растяжения-сжатия, изгиба и поперечного сдвига на статическую и динамическую реакции анизотропных балок с узким прямоугольным поперечным сечением использовали теорию поперечного изгиба балок Тимошенко и с помощью составленных уравнений определили статические прогибы и показатели гармонического движения свободно опертых анизотропных балок. Анализ частот и форм колебаний балочных конструкций в условиях ударного нагружения провели Козыра и Шчесняк [28], найдены наибольшие амплитуды динамического прогиба упругой с признаками неоднородности балки в варианте шарнирного закрепления по концам. В работе Шпехта и Крампа [29] основное внимание уделено влиянию показателей свободных колебаний на несущую способность балок. Собственные частоты и коэффициенты демпфирования испытываемых балок определялись в зависимости от величины и частоты действующих нагрузок. Чен и Ю [30] предприняли численноаналитическое исследование показателей процесса динамического разрушения жесткопластичной защемленной балки с краевыми поперечными трещинами у опертых концов под действием вертикального удара твердым снарядом. Проанализировано влияние соотношения масс балки и снаряда, а также осевой силы на конечную деформацию. Ли и Йо [31] построили физико-математическую модель поведения консольной упругой балки с ограничением в виде нелинейной пружины на свободном конце под действием поперечного гармонического возбуждения. Редди [32] сделал краткий критический обзор различных моделей для анализа показателей напряженно-деформированного состояния балок Тимошенко. Обсуждены динамические версии этих моделей. Представлены результаты численного расчета собственных частот поперечных колебаний свободно-опертых упругих балок для разных моделей. В монографии A.A. Анане-ко и K.J1. Комарова [33] рассмотрены вопросы жестко- и упругопластического анализа поведения балок под воздействием динамических нагрузок, превышающих статически допустимые. Большое внимание уделено использованию современных методов решения задач динамического нагружения балок. Приведено большое число примеров, исследуется область применимости моделей жестко- и упругопластических сред.

В следующих работах исследовались математические модели оболочек.

И.В. Андрианов и Е.Г. Холод [34] получили эффективное аналитическое решение в одном примере нелинейных колебаний пологой сферической оболочки. С использованием асимптотического метода А.И. Станкевич, А.Ю. Ев-кин и С.А. Веретенников [35] вывели обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее движение оболочки при значительных амплитудах прогиба. Результаты расчетов (по методу Рунге - Кутта) сопоставляются с известными экспериментальными данными. Метод расчета тонких пологих оболочек, позволяющий по единому алгоритму решать физически и геометрически нелинейные задачи статики, динамики и устойчивости, предложили Г.В. Васильков и Аль-Халаби [36]. Рассмотрен пример нелинейной пологой оболочки с билинейной диаграммой деформирования. Сатьямурти [37] использовал теорию пологих оболочек для геометрически нелинейного анализа колебаний с большими амплитудами умеренно толстых изотропных сферических оболочечных конструкций. Ли [38] аналитическим путем определил параметры нелинейных осе-симметричных свободных и вынужденных колебаний ортотропных пологих оболочек вращения, особое внимание уделив исследованию динамического поведения тонких сферических оболочек в зависимости от их геометрических и физических характеристик. Устойчивость нелинейных колебаний оболочек при двухчастотном возбуждении исследовали Энеремаду, Цу и Римрот [39]. Задачи о собственных колебаниях толстых пластин и оболочек рассматривали Аврей-цевич и В.А. Крысько [40]. Используются уточненные оболочечные теории типа Тимошенко и трехмерная теория упругости. В качестве модельной задачи исследованы свободные колебания прямоугольного параллелепипеда с двумя свободными гранями. Проводится сравнительный анализ применения оболочечных теорий различного порядка к расчету частот. Новую методику решения нестационарных задач теории оболочек с локальными конструктивными неод-нородностями типа дополнительных опорных элементов предложил Л.Б. Лер-ман [41]. Она основана на применении разложений искомых величин в ряды по собственным формам колебаний. Догаки, Пек и Ионезава [42] провели численное исследование показателей динамической неустойчивости и выпучивания тонких прямоугольных упругопластических пластин с начальными деформациями под действием комбинации статической и периодической сдвигающих сил при учете геометрической нелинейности перемещений и физической нелинейности применяемого материала.

Особый раздел теории колебаний оболочек представляет исследование их нелинейных колебаний. При этом наибольший интерес при рассмотрении зависимости прогиба от нагрузки вызывает неустановившийся, переходный процесс движения оболочки от ее регулярных колебаний к полной потере устойчивости. Такой процесс обычно заключает в себе скачкообразные переходы (бифуркации) от установившегося движения одного типа к некоторому другому движению при достижении определенного критического значения нагрузки.

Естественную трактовку эти задачи нелинейной динамики оболочек получили в рамках общей теории динамических систем, новый этап в развитии которой начался также в 1970-е годы. Появление понятий детерминированного хаоса и странного аттрактора позволило лучше понять эволюцию колебательных процессов. Этим вопросам, в частности, посвящены монографии Муна [43], Берже, Помо и Видаля [44], B.C. Анищенко [45] , Капитаника [46].

Хаотические движения строительных конструкций исторически рассматривались как непредсказуемые эффекты, вызванные случайными внешними факторами и не связанные со свойствами самой конструкции. Исследования по нелинейной динамике колебательных систем в других областях показали, что хаотические явления представляют собой один из характерных типов поведения нелинейных систем и что понимание механизма возникновения этих явлений дает возможность предвидеть дальнейшее развитие и предельное состояние движения.

Следует отметить ту важную роль, которую играют в этих исследованиях современная вычислительная техника и методы математического моделирования динамических процессов.

В последние два десятилетия появился ряд публикаций, в которых авторы выясняли условия возникновения хаотических реакций в строительных конструкциях под влиянием тех или иных внешних воздействий. Целью этих работ было также установление типичных сценариев перехода от регулярных движений к хаотическим.

Общей трактовке указанных вопросов посвящена, например, монография Капитаника [47], ориентированная на инженеров - практиков. Обзор результатов проведенных в 1980-е годы исследований свойств переходных процессов в колебаниях нелинейных систем опубликовал Капитаник в [48]. Построены отображения Пуанкаре и типы фазовых траекторий с различными вариантами неустойчивости. Хаотические эффекты сопоставляются с различными характеристиками нелинейности системы. В его же работе [49] проведен анализ условий перехода к хаотическому поведению в автономной самовозбуждающейся системе под действием периодического и случайного внешнего возмущения. Определены фазовые траектории с одной и двумя петлями и условия перехода к хаотическим фазовым траекториям. Хан, Жанг и Янг [50] рассматривали хаотические вынужденные колебания динамической системы второго порядка с квадратичной и кубической нелинейностями. Определялись условия возникновения хаоса по отображениям Пуанкаре, фазовым портретам и временным рядам.

В 1979 году Холмс [51] подробно исследовал хаотические движения слегка выпученного стержня, подвергающегося боковому синусоидальному возмущению. Мун [52] установил, что гармонически вынужденное движение выгнутого стержня отчетливо демонстрирует хаотический характер: анализ сечений Пуанкаре показывает сложную, но устойчивую структуру. В работе предложен критерий установления порогового для возникновения хаоса значения амплитуды вынужденных колебаний как функции частоты. Тенг и Доуэлл [53] определили пороговое значение нагрузки, вызывающей хаотическое перемещение выгнутого стального консольного стержня, на основе анализа временного ряда. Поддар, Мун и Мухерджи [54] усовершенствовали расчетную модель шарнир-но закрепленного упруго-пластического стержня с учетом геометрической и физической нелинейности. Развита численная процедура определения хаотических движений стержня при периодическом нагружении.

Хаотическим колебаниям деформируемых систем посвящен доклад Хана-гуда и Ашлани [55]. В частности, в нем для стержневых систем описаны различные пути перехода к хаосу в колебательных процессах. A.C. Беломытцев и В.Н. Карабан [56] для систем, моделирующих крутильные колебания силовых передач, обнаружили область странного аттрактора, возникающую в результате серии бифуркаций удвоения периода решения. Изучены квазипериодические колебания периодически возбуждаемой системы и многорежимные периодические колебания. Хан, Ху и Янг [57] рассматривали стойку с жестко защемленными концами, к одному из которых динамически приложена осевая сжимающая сила. Выявлены условия бифуркации форм движения: боковое выпучивание или осевые колебания прямолинейного стержня.

В 1985 г. Саймондс и Ю [58] теоретически обнаружили и экспериментально подтвердили, что при определенных условиях в колебаниях упруго -пластической балки с закрепленными концами, нагруженной коротким поперечным импульсом, наблюдается аномально высокая чувствительность к изменению ведущих параметров. Детально изучая этот эффект, Ли, Саймондс и Бо-рино [59] нашли, что в начальный период нагружения балки движение неизбежно носит хаотический характер. Этот преходящий хаос регистрируется как во временном ряде, так и на фазовом портрете и спектрограмме. Установлена также экспоненциальная природа повышения чувствительности процесса к изменениям параметров. В серии статей, опубликованных Ю. Лепиком, эти наблюдения были продолжены и расширены. Например, в [60] анализируются нелинейные поперечные колебания выпученной при продольном сжатии балки под действием гармонического возбуждения. Дана оценка пороговой величины поперечной динамической нагрузки, при которой колебания упруго - пластической балки переходят в хаотический режим. При этом оказалось, что для балок указанного типа установившиеся хаотические колебания в случае гармонического возбуждения гораздо более обычны, чем при импульсном нагружении.

Бифуркационные механизмы перехода к хаосу в сложных колебаниях балок под действием квазипериодического нагружения проанализированы в статье Ягасаки [61]. Иосимура, Хино, Камата и Анантанараяна [62] описали хаотические колебания нелинейной шарнирно закрепленной балки переменного поперечного сечения под действием транспортной нагрузки. Жанг, Цай и Янг [63] решили задачу по выявлению условий возникновения хаотических вынужденных колебаний бесконечной деформируемой балки, лежащей на нелинейном упругом основании. Сложным колебаниям консервативных и диссипативных механических систем в виде многослойного пакета неспаянных балок посвящена работа В.А. Крысько, В.В. Бочкарева и Т.А. Бочкаревой [64]. Оказалось, что хаотические колебания в собственном смысле здесь не возникают, хотя и наблюдаются элементы переходного сценария Фейгенбаума.

В.А. Баженов, Е.С. Дехтерюк и Ю.С. Петрина численно исследовали бифуркации установившихся режимов вынужденных колебаний пластин и оболочек под действием периодических во времени нагрузок. Отмечен переход от регулярных (периодических и квазипериодических) колебаний к хаотическим.

Аврейцевич, В.А. Крысько и A.B. Крысько [65] изучали общие механизмы перехода к хаосу в диссипативных пластинчатых конструкциях. Анализируя сложные колебания гибких пластинок при воздействии переменных во времени сдвиговых нагрузок, В.А. Крысько и А.Г. Ромакин [66] установили, что при любых заданных значениях частоты и коэффициента демпфирования существует значение амплитуды нагрузки такое, что при больших значениях амплитуды колебания становятся хаотическими. В.А. Крысько, Т.В. Вахлаева и A.B. Крысько [67] детально описали механизмы возникновения хаоса в случае вынужденных колебаний пластин. Переход к хаосу по сценарию Фейгенбаума в динамике пластин проанализирован в работе Аврейцевича и В.А. Крысько [68]. Хаотические эффекты в диссипативно-консервативных колебаниях двухслойных неспаянных пластин исследовали A.B. Крысько и Т.В. Бабенкова [69]. П.С. Ланда [70] рассматривал модель голосовых связок человека в виде двух пластин, прикрепленных пружинами к стенкам трубы, и установил, что под действием потока воздуха происходит возбуждение хаотических колебаний пластин.

В работе [71] Ю. Лепик пытался выяснить возможность хаотических реакций в осесимметричных колебаниях упруго — пластических цилиндрических оболочек. В большинстве проведенных компьютерных экспериментов установившиеся колебания имели регулярный характер. Хан, Ху и Янг [72] провели анализ нелинейных колебаний упругой цилиндрической оболочки вращения и нашли критические условия возникновения хаотического движения. Маэстрел-ло, Френди и Браун [73] изучали нелинейные колебания типовой панели фюзеляжа самолета. Для выбранного диапазона частот найдены линейные, квазилинейные при удвоении периода колебаний и хаотические динамические реакции панели при увеличении уровня акустического движения звуковой нагрузки. Сценарий перехода к хаотическим колебаниям для консервативных и диссипа-тивных систем в теории гибких цилиндрических панелей при действии знакопеременных продольных нагрузок рассматривали A.B. Крысько, С.А. Мицкевич и Ю.В. Чеботаревский [74]. Хаотические движения квадратной в плане оболочки под действием импульсной периодической нагрузки исследовали В.А. Крысько и A.B. Кириченко [75]. Сделана попытка объяснить явление динамической потери устойчивости с позиций качественной теории дифференциальных уравнений.

На основе приведенного обзора публикаций, посвященных условиям возникновения хаотических движений в строительных конструкциях, подвергнутых переменным во времени нагрузкам, можно сделать следующие выводы.

1. В большинстве работ исследовались балочные системы. Тем не менее, и для них общие закономерности перехода к хаосу пока не выяснены, в основном идет накопление конкретных результатов для различных математических моделей.

2. Анализ нелинейных колебаний обол очечных конструкций, по-видимому наталкивается на еще большие трудности. Если для прямоугольных в плане пластин, подвергнутых продольным знакопеременным нагрузкам, удалось получить сценарии перехода к хаосу [67], то в случае собственно оболочек до сих пор были лишь проведены отдельные компьютерные эксперименты.

3. Математические модели круглых в плане, секториальных геометрически нелинейных пологих оболочек с точки зрения нелинейных колебаний, вызванных поперечной гармонической нагрузкой, не изучались.

Исследованию динамики пологих сферических на круглом плане оболочек методом конечных разностей в известной нам литературе не уделялось должного внимания.

Целью работы является построение математической модели нелинейных колебаний сложных механических систем в виде круглых, секториальных и прямоугольных в плане сферических оболочек. Для достижения этой цели необходимо решить задачи:

1. Разработка математической модели для сложных колебаний круглых, секториальных и прямоугольных в плане сферических оболочек для любых граничных условий под действием знакопеременной нагрузки.

2. Изучение сценариев перехода в состояние хаоса колебаний оболочечных систем в зависимости от геометрического параметра или параметра пологости, граничных условий и геометрии плана оболочки.

3. Разработка алгоритма и комплекса программ на ПЭВМ для качественного исследования хаотических колебаний диссипативных систем в виде гибких круглых, секториальных и прямоугольных в плане сферических оболочек при произвольных краевых условиях.

4. Исследование возможности управления хаотическими колебаниями оболочек при помощи воздействия дополнительной знакопеременной локальной нагрузки или знакопеременного опорного момента.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы. Работа содержит 143 страницы наборного текста, 48 рисунков, 22 таблицы.

Выводы по диссертации

1. Построена математическая модель теории гибких пологих оболочек с учетом геометрической нелинейности для круглой, секториальной и прямоугольной в плане сферической оболочки.

2. Проведено исследование сходимости метода конечных разностей в зависимости от числа участков деления радиуса и угла для круглых и секториаль-ных оболочек при действии поперечной равномерно распределенной знакопеременной нагрузки.

3. Проведена классификация по известным сценариям колебаний оболочек, находящихся под действием нагрузки, изменяющейся по гармоническому закону. Выявлен и исследован новый сценарий перехода в хаос, обнаруженный в колебаниях исследуемой механической системы.

4. Исследована периодичность А.Н. Шарковского для дифференциальных уравнений теории пологих сферических оболочек.

5. Разработан пакет программ для качественного исследования сложных колебаний сферических оболочек с помощью метода конечных разностей.

6. Построены карты зависимости характера колебаний от управляющих параметров |<70 ,сор \ для круглой, секториальной и прямоугольной в плане сферической оболочки с рассмотренными краевыми условиями и типами нагруже-ния.

7. Выявлены области сценария Фейгенбаума на картах ,сор\ для круглых, секториальных сферических оболочек при действии распределенной знакопеременной нагрузки, локальной знакопеременной нагрузки и знакопеременного опорного момента, где происходило до 5 бифуркаций Хопфа, что позволило вычислить константу Фейгенбаума.

8. Обнаружен новый сценарий перехода колебаний механических систем из гармонических в хаотические, который был назван модифицированным сценарием Рюэля-Таккенса-Ньюхауза, и выявлены его области на картах со }. Данный сценарий присутствует в колебаниях круглых, секториальных и прямоугольных в плане сферических оболочек.

9. Исследована интегральная сходимость метода конечных разностей; дается сопоставление решений, полученных методом конечных разностей и методом Бубнова-Галеркина в высших приближениях для прямоугольной в плане сферической оболочки с опиранием на гибкие несжимаемые (нерастяжимые) ребра при действии распределенной знакопеременной нагрузки.

Ю.Исследована возможность управления хаосом с помощью дополнительного нагружения знакопеременной локальной нагрузкой или знакопеременным опорным моментом.

1. Айнола Л.Я. Вариационные задачи в нелинейной теории упругих оболочек. //ПММ, 1957.21с.

2. Бабаков И.М. Теория колебаний. 3-е изд. М.: Наука, 1968. 245 с.

3. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гостехиз-дат, 1956. 600 с.

4. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой пластичности. -Физкнигиздат, 1961. 339 с.

5. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость круговых цилиндрических оболочек // Итоги науки. Механика твердых деформируемых тел (1967). М.: ВИНИТИ, 1969.

6. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластин и оболочек. -М.: Наука, 1972 432с.

7. Кантор Б.Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек. -Киев: Наукова думка, 1971. 136 с.

8. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. — Изд-во Саратов, ун-та, 1976. 216 с.

9. Крысько A.B. Математическое моделирование нелинейных распределенных систем в виде пластинчатых конструкций. Дис. . докт. физ.-мат. наук. — М., 2003.-347 с.

10. Ю.Салий Е.В. Математическое моделирование динамики пологих оболочек с учетом геометрической и физической нелинейностей: Дис. . канд. физ.-мат. наук. М., 2001. - 117 с.

11. Киреева О.Н. Математические модели сложных нелинейных колебаний балок при наличии ограничений на прогиб: Дис. . канд. физ.-мат. наук. -М., 2002.

12. Карчевский М.М., Заботина Л.Ш. Смешанный метод конечных элементов для нелинейных задач теории оболочек. Казань, 1993. - 22с. Деп. в ВИНИТИ 07.04.93, № 877 - В93.

13. Soric Jurica. Prilog nelinearnoi analizi slozenih ljuskastih konstrukcija // Strojar-stvo.- 1994.-36, № 1 -2.-P. 23-31.

14. Schimmels S.A., Palaiotto A.N. Nonlinear geometric and material behavior of shells structures with large strains // J. Eng. Mech. 1994. - 12,№2. - P. 320-345.

15. Siawianowska Anna. Comparison of two theories of geometrically nonlinear shells // Mech. teor. i stosow. 1996. - 34, № 4. - P. 749-766.

16. Nie Guo-hua, Liu Ren-huai. Non-linear elastic theory of rectangular reticulated shallow shell structures // Yingyong shuxue lie lixue Appl. Math, and Mech. -1994.- 15, №5.-P. 389-397.

17. Тимергалиев C.H. О разрешимости задач нелинейной теории пологих оболочек. Кам. политехи, ин-т. Набережные Челны, 1997. - 19 с. - Деп. в ВИНИТИ 21.05.97, № 1689-В97.

18. Терегулов И.Г., Тимергалиев С.Н. О существования решения одной задачи нелинейной теории пологих оболочек // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 1998. -№3.-С. 21 -29.

19. Пальмов В.А. Колебания упруго пластических тел. -М.: Наука, 1976.

20. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. -360 с.

21. Гольденвейзер A.JL, Лидский В.Б., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М., 1979.

22. Агамиров B.J1. Динамические задачи нелинейной теории оболочек. М.: Наука, 1990.

23. Григоренко Я.М., Гуляев В.И. Нелинейные задачи теории оболочек и методы их решения (обзор) // Прикл. мех. (Киев). 1991. - 27, № 10. - С. 3 - 23.

24. Liew К.М., Lim C.W. Vibration of doubly-curved shallow shells // Acta Mechanica. 1996. - 114, № 1 - 4.- P. 95-119.

25. Каримбаев Т.Д., Мамаев Ш. Изгиб балки при поперечном ударе по движущейся площадке // ЦИАМ. Препр. 2000. - № 33. - С. 1 - 29.

26. Nakano Nobuhide, Shintani Atsuhiko, Ohsumi Akira. Nihon kikai gakkai ronbun-shu // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. 2000. - 66, № 643. - P .48-56.

27. Yoshimura Т., Hino J., Kamata Т., Ananthanarayana N. Random vibration of nonlinear beam subjected to a moving load: a finite element method analysis // J. Sound and Vibr. 1988. - 12, № 2. - P. 317-329.

28. Kozyra Zofia, Szczesniak Waclaw. Obciazenie impulsowe beiek niejednorodnych // Warsaw Univ. Technol. Fac. Civ. Eng. Warsaw. - 1999. - P. 300-307.

29. Specht Manfred, Kramp Michael. Der Einflub von freien Schwingungen auf ausgewählte dynamische Parameter von Stahlbetonbiegetragern // Dtsch. Ausschuss Stahlbeton. P. 1-162.

30. Reddy J.N. On the dynamic behaviour of the Timoshenko beam finite elements // Sadhana. 1999. - 24, № 3. - P. 175-198.

31. Ананенко A.A., Комаров К.JI. Динамика неупругих балок. Новосибирск: Наука, 1999. - 151 с.

32. Андрианов И.В., Холод Е.Г. Промежуточные асимптотики в нелинейной динамике оболочек // Изв. РАН. Мех. тверд, тела, 1993. № 2. - С. 172 - 177.

33. Станкевич А.И., Евкин А.Ю., Веретенников С.А. Устойчивость тонких сферических оболочек при динамическом нагружении // Прикл. мех. (Киев). — 1993.-29, № 1.-С. 42-48.

34. Васильков Г.В., Аль-Халаби М. Об одном методе определения критических нагрузок для нелинейных тонких пологих оболочек при динамическом нагружении // Рост, инж.-строит. ин-т. Ростов н/Д, 1991г. - 15с. Деп. в ВИНИТИ 24.04.91, № 1714 - В91.

35. Sathyamoorthy М. Vibrations of moderately thick shallow spherical shells at large amplitudes // J. Sound and Vibr. 1994. - 172,№1. - P. 63-70.

36. Li Dong. Nonlinear vibrations of orthotropic shallow shells of revolution // Appl. Math, and Mech. (Engl.Ed.). 1992. - 13, № 4. - P. 331-344.

37. Eneremadu K.O., Zu J.W., Rimrott F.P.J. Stability of nonlinear two-frequency oscillation of cylindrical shells // Proc. 3rd Int. Conf. Non-linear Mech., Shanghai, Aug. 17-20, 1998: ICNM-3 Shanghai, 1998. - P .634-640.

38. Awrejcewicz J.A., Krysko V.A. Vibration analysis of the plates and shells of moderate thickness // J. Techn. Phys. 1999. - 40,№3. - P. 277-305.

39. Лерман Л.Б. О решении задач динамики пластин и оболочек с локальными конструктивными неоднородностями // Прикл. мех. (Киев). 1999. - 35, №10. - С.46 — 53.

40. Dogaki Masahiro, Рек Songbo, Yonezawa Hiroshi. Dynamic buckling of rectangular plates under periodic shear force // Kansai daigaku kogyo gijutsu kenkyujo kenkyu hokoku. 2000. - 15. - P. 169-178.

41. Мун Ф. Хаотические колебания. M.: Мир, 1990.

42. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. М.: Мир, 1991. - 386 с.

43. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: СГУ, 1999. - 368 с.

44. Kapitaniak Т. Chaotic oscillations in mechanical systems. Manchester: Manchester University Press. - 1991.

45. Kapitaniak T. Chaos for engineers: theory, applications, and control. Berlin -Heidelberg - New York: Springer. - 1998. - 142 p.

46. Kapitaniak T. Strange non-chaotic transients // J. Sound and Vibr. 1992. - 158, №1. - P. 189-194.

47. Kapitaniak T. Chaos in a noisy mechanical system with stress relaxation // J. Sound and Vibr. 1988. - 123, №3. - P. 391-396.

48. Han Qiang, Zhang Shanyuan, Yang Guitong. The study on the chaotic motion of a nonlinear dynamic system // Appl. Math. And Mech. Engl. Ed. 1999. - 20, №8. -P .830-836.

49. Holms PJ. A nonlinear oscillator with a strange attractor. Phil. Trans. Roy. Soc. London, Ser. A. - 1979. - 292. - P. 419.

50. Moon F.C. Experimental models for strange attractor vibrations in elastic systems // New approaches to non-linear problems in dynamics (Proc. Conf., Pacific Grove, Calif., 1979). Philadelphia, Pa.: SIAM, 1980, P. 487-495.

51. Tang D.M., Dowell E.H. On the threshold force for chaotic motions for a forced buckled beam // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1988. - 55,№1. - P. 190-196.

52. Poddar В., Moon F.C., Mukherjee S. Chaotic motion of an elastic-plastic beam // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1988. - 55,№1. - P. 185-189.

53. Hanagud S., Ashlani F. Routes to chaos in structural dynamic systems // 18th Int. Congr. Theor. and Appl. Mech., Haifa, Aug. 22-28, 1992. Haifa, 1992 - P. 70.

54. Беломытцев A.C., Карабан B.H. Численный анализ установившихся колебаний в нелинейных механических системах // 2 Всес. конф. по нелин. колеб. мех. систем: Тез. докл. Горький, 1990. - ч.1. - С. 153 - 154.

55. Han Qiang, Ни Haiyan, Yang Guitong. The bifurcation problem of columns caused by elastic-plastic stress wave propagation // Appl. Math. And Mech. Engl. Ed. 1999. - 20, №6. - P. 604-614.

56. Symonds P.S., Yu T.X. Counter-intuitive behavior in a problem of elastic-plastic beam dynamics // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1985. - 52,№3. - P. 517-522.

57. Lee J.-X., Symonds P.S., Borino G. Chaotic responses of a two-degree-of-freedom elastic-plastic beam model to short pulse loading // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1992. - 59, №4. - P. 711-721.

58. Lepik Ulo. Elastic-plastic vibrations of a buckled beam // Int. J. Non-Linear Mech. -1999.-30, №2.-P. 129-139.

59. Yagasaki Takao. Bifurcations and chaos in quasi-periodically forced beam. Theory, simulation and experiment // J. Sound and Vibr. 1995. - 183,№1. - P. 1-31.

60. Yoshimura Т., Hino J., Kamata Т., Ananthanarayana N. Random vibration of nonlinear beam subjected to a moving load: a finite element method analysis // J. Sound and Vibr. 1988. - 12,№2. - P. 317-329.

61. Zhang Jian-wen, Cai Zhong-min, Yang Gui-tong. The chaotic behaviour of the infinite beam on nonlinear elastic foundation // Proc. 3rd Int. Conf. Nonlinear Mech., Shanghai, Aug. 17-20, 1998: ICNM 3. - Shanghai, 1998. - P. 428-431.

62. Крысысо В.А., Бочкарев В.В., Бочкарева Т.А. Динамика консервативных и диссипативных систем в виде многослойного пакета неспаянных балок // В кн.: Нелинейная динамика механических и биологических систем. Саратов: СГТУ, 2000, с. 177-186.

63. Аврейцевич Я., Крысько В.А., Крысько А.В. Переход к хаосу в диссипативных пластинчатых конструкциях // Материалы II Белорусского конгресса по теоретической и прикладной механике. Минск, 1999. -С.3-8.

64. Крысько В.А., Бочкарев В.В., Бочкарева Т.А. Динамика консервативных и диссипативных систем в виде многослойного пакета неспаянных балок // В кн.: Нелинейная динамика механических и биологических систем. Саратов: СГТУ, 2000, с. 177-186.

65. Awrejcewicz J., Krysko V.A. Feigenbaum scenario exhibited by thin plate dynamics // Nonlinear Dynamics. 2001. - 24. - P .373 - 398.

66. Landa P.S. Chaotic oscillations in a model of vocal source // Изв. вузов. Прикл. нелинейн. динам. 1998, - 6, №4. - С. 57-67.

67. Lepik U. Axisymmetric vibrations of elastic-plastic cylindrical shells by Galerkin's method // Int. J. Impact. Engng. 1996. - 18. №3. - P. 489-504.

68. Han Qiang, Hu Haiyan, Yang Guitong. A study of chaotic motion in elastic cylindrical shells // Eur. J. Mech. A. 1999. - 18, №2. - P. 351-360.

69. Maestrello Lucio, Frendi Abdelkader, Brown Donald E. Non-linear vibration and radiation from a panel with transition to chaos // AIAA Journal. 1992. -30,№11. - P. 2632-2638.

70. Крысько В.А., Кириченко A.B. О динамических критериях потери устойчивости гибких пологих оболочек. // В ich.: Нелинейная динамика механических и биологических систем. Саратов: СГТУ, 2000, с. 144-152.

71. Krys'ko V.A., Kravtsova I.V. (Papkova I.V.) Stochastic vibrations of flexible flat axisymmetric shells exposed inhomogeneous loading // Dynamical of System — Theory and Applications: International Conference. Lodz, Poland, 2003. P. 189197.

72. Крысько В.А., Кравцова И.В. (Папкова И.В.) Стохастические колебания гибких осесимметричных шарнирно-подвижных по контуру сферических оболочек // Известия вузов. Машиностроение. 2004. № 1. С. 11-20.

73. Крысько В.А., Кравцова И.В. (Папкова И.В.) Хаотические колебания сферических оболочек под действием неоднородного нагружения // Вестник Саратовского государственного технического университета. Саратов, 2004. № 1(2). С. 24-36.

74. Крысько В.А., Кравцова И.В. (Папкова И.В.) Динамика и статика гибких секториальных пологих оболочек // Вестник Саратовского государственного технического университета. Саратов, 2004. № 2(3). С. 27-36.

75. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М, «Машиностроение», 1976, 279 с.

76. Феодосьев В.И. Об одном способе решения задач устойчивости деформируемых систем. ПММ, 1963, т. 27, № 2, с. 265 - 275.

77. Ландау Л.Д. К проблеме турбулентности. ДАМ СССР, 1944. т. 44. № 8. 339 с.

78. Pomean Y., Manneville P. Intermittent transition to turbulence in dissipativ dynamical systems // Comm. Math. Phys, 1980. v. 74. № 2. P. 189 197.

79. Rutile D., Takehs F. On the Nature of Turbulence // Commun. Math. Phys, 1971. v. 20. P. 167-192.

80. Smale S. Dinamical Systems and turbulence // Lect. Notes Math. 1962. № 615.

81. Manneville P., Pomean Y. Different ways to turbulence in dissipative dynamical systems // PhisicaD, 1980. № 1. p. 219.

82. Губа Г.М. Пологие секториальные оболочки при конечных прогибах. Дисс. раб., СГУ, Саратов, 1986 г. 148 с.

83. Крысько В.А., Савельева Н.Е. Сложные колебания замкнутых цилиндрических оболочек при неосесимметричном неравномерном знакопеременном внешнем давлении // Известия Вузов. Машиностроение. № 7. 2004. С. 3-14.

84. Li T.Y., Yorke I.A. Period three implies chaos // Am. Math. Monthly, 1975. v. 82. P. 985 992.

85. Шарковский A.H. Существование циклов непрерывного преобразования прямой в себя // Украинский математический журнал, 1964. т. 26. № 1. С. 6-71.

86. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // Atmos. Sci. 1962. vol. 20, № 1. P.130- 141.

87. Habler A.W., Luscher L. Resonant stimulation and control of nonlinear oscillations // Naturwissenschaft. 1989, V. 79, p. 67

88. Jackson E.A. On the control of complex dynamic systems// Physica D. 1991, V.50, p. 341-366.

89. Jackson E.A. The entrainment and migration Controls of multipleattractor Systems // Physica, Lett. A. 1990. V. 151, p. 478-484.

90. Ott E., Grelodi C., Yorke J. A. Controlliny Chaos // Physica Rev. Lett, 1990, V. 64. p. 1196- 1199.

91. Shinbrot T., Grelogi C., Ott E., Yorke J. A. Using small perturbations to control Chaos // Nature. 1993, V. 363, p. 411 417.

92. Singer J., Wang Y., Ban H. Controlling chaotic Systems // Physica, Rev. Let, 1991, V. 66, p. 1123.

93. Petrov V., Gaspar V., Massere J. Showalter K. Controlling chaos in the Be-lounsov Zhalotinsky reaction. // Nature, 1993. V. 361. p. 240.

94. Schiff S.F. Jerder K., Duong D. H., Chang T., Spano M.L., Ditto W. L. Controlling chaos in thebrain // Nature. 1994. V. 370, p. 615 620.

95. Gang H., Zhilin Q. Controlling localized spatitemporal chaos in a one-dimensional coupled map lattice systems // Phys. Rev. Lett. A. 1994. V. 72. № 1. P. 68-71.

96. Parmananda P., Jiang Yu. Controlling localized spatitemporal chaos in a one-dimensional coupled map lattice systems //Phys. Lett. A. 1997. V. 231. P. 159 -163.