автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование хаотических колебаний конических и сферических оболочек постоянной и переменной толщины

На правах рукописи

Щекатурова Татьяна Владимировна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ КОНИЧЕСКИХ И СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПОСТОЯННОЙ И ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ

Специальность 05.13.18 -Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 2004

Работа выполнена в Саратовском государственном техническом университете

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор

Крысько Вадим Анатольевич

Официальные оппоненты -доктор технических наук,

Недорезов Петр Феодосьевич

-кандидат физико-математических наук Панкратова Елена Владимировна

Ведущая организация - Казанский государственный университет,

г. Казань.

Защита состоится «16» октября 2004 г. в_часов на

заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при Саратовском государственном техническом университете по адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, Саратовский государственный технический университет, корп.1, ауд. 319.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке Саратовского государственного технического университета.

Автореферат разослан _» сентября 2004 г.

Ученый секретарь —-ч

диссертационного совета — Терентьев А.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Гибкие упругие оболочки вращения являются основными элементами конструкций различных машин и высокоточных чувствительных приборов, представляющих собой сложные механические системы. Условия эксплуатации современных изделий приборо- и машиностроения таковы, что они подвергаются значительным перегрузкам и вибрациям, обусловленным различными источниками воздействия.

Запросы современной техники привели к необходимости построения и исследования математических моделей гибких упругих оболочек вращения постоянной и переменной толщины под действием знакопеременной нагрузки, что необходимо для решения различных прикладных задач.

Нелинейная динамика оболочек интенсивно стала развиваться в рамках общей теории динамических систем, начиная с 70-х годов прошлого века. В этот период появились понятия детерминированного хаоса и странного аттрактора, что позволило лучше понять эволюцию колебательных процессов. Этим вопросам посвящены монографии Муна, Берже, Помо, Видаля, Я. Аврийцевича, В.А Крысько и других авторов.

Новые математические модели перехода динамических систем в состояние хаоса: Фейгенбаума, Рюэля-Такенса-Ньюхауза, Помо-Манневиля серьезно расширили наше понимание явления турбулентности, но ни одна из этих математических моделей при рассмотрении детерминированных колебаний сферических и конических оболочек (постоянной и переменной толщины для любых граничных условий и стрелы подъема) в чистом виде не может описать перехода механических систем в состояние хаоса. Указанные выше параметры играют существенную роль в механизме перехода механической системы в состояние хаоса при изменении амплитуды и частоты внешнего воздействия.

В 1979 г. Холмс, а позднее Саймондс с соавторами опубликовали серию статей по исследованию хаотического движения стержней и балок. В 80-е и 90-е годы прошлого века появляется серия статей Лепика по изучению хаотических колебаний упругопластической балки, к этому направлению примыкают работы Ягасаки. Несмотря на большое число публикаций, связанных с эволюцией колебательных процессов в балках, общая картина для них еще не ясна и до настоящего времени происходит, в основном, накопление результатов.

Исследования нелинейных колебаний составляют один из важнейших разделов динамики оболочек. Им посвящены монографии В.Л. Агамирова, В.В. Болотина, А.С. Вольмира, ВТ. Баженова, Ю.Г. Коноплева, Я. Аврийцевича, В.А. Крысько, В.А.Пальмова и других авторов, для оболочек общая картина еще сложнее.

Исследованию хаотических колебаний круглых и прямоугольных пластинок, а также пологих оболочек плосвящены работы Я. Аврийцевича,

рос. г,, "'.«иалыш! '

г. И'ЮТЕКА 0.1

В.А. Крысько, А.В. Крысысо, Е.В. Салий, Т.В. Вахлаевой, А.А. Сопенко, Ю.В. Чеботаревского. Однако в этих работах не рассматривались хаотические колебания сферических и конических оболочек постоянной и переменной толщины с произвольными краевыми условиями.

Таким образом, важной и актуальной является задача построения детерминированных математических моделей, позволяющих исследовать хаотические колебания сферических и конических пологих оболочек постоянной и переменной толщины при воздействии знакопеременной нагрузки.

Целью работы является построение математической модели нелинейных колебаний сложных механических систем в виде сферических и конических оболочек постоянной и переменной толщины. Из этой цели вытекают задачи:

1. Разработка математической модели для сложных колебаний сферических и конических оболочек постоянной и переменной толщины под действием знакопеременной нагрузки.

2. Изучение сценариев перехода в состояние хаоса колебаний оболочечных систем в зависимости от стрелы подъема оболочки над планом, граничных условий и формы поперечного сечения оболочки.

3. Разработка алгоритма и комплекса программ на ПЭВМ для качественного исследования хаотических колебаний гибких диссипативных систем в виде осесимметричных сферических и конических оболочек постоянной и переменной толщины при произвольных краевых условиях.

4. Исследование возможности управления хаотическими колебаниями оболочек при помощи изменения толщины.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Построена математическая модель для расчета гибких сферических и конических пологих оболочек постоянной и переменной толщины с произвольными краевыми условиями. Численно исследована сходимость метода Ритца в зависимости от количества членов ряда в разложении основных функций для оболочек, находящихся под действием гармонической нагрузки с учетом соответствующих краевых условий.

2. Разработан и реализован в виде пакета программ для ПЭВМ алгоритм расчета оболочечных систем при действии произвольной нагрузки с учетом и без учета диссипации и проведен качественный анализ хаотических колебаний гибких диссипативных систем в виде осесимметричных сферических и конических оболочек постоянной и переменной толщины при произвольных краевых условиях. Построены карты зависимости характера колебаний от управляющих

параметров для оболочек, находящихся под действием

знакопеременной поперечной нагрузки вида q = q0 sin a>pt.

3. Проведена классификация по известным сценариям колебаний оболочек, находящихся под действием нагрузки, изменяющейся по гармоническому закону. Выявлены и исследованы новые сценарии перехода в хаос. Изучена периодичность А.Н. Шарковского для дифференциальных уравнений теории пологах осесимметричных оболочек.

4. Предложен новый подход по управлению хаотическими колебаниями сферических и конических оболочек при действии поперечной знакопеременной нагрузки с помощью изменения распределения толщины оболочек.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректной физической и математической постановкой задачи, применением известных численных методов, а также качественной теории дифференциальных уравнений и методов нелинейной динамики. В частном случае результаты, полученные автором диссертации, совпадают с уже известными результатами, полученными другими авторами, и не противоречат имеющимся физическим представлениям, основанным на экспериментах.

Практическая ценность и реализация результатов. Предложенная математическая модель позволяет решать широкий класс задач динамики геометрически нелинейных пологих сферических и конических оболочек постоянной и переменной толщины при произвольных краевых условиях. Разработанный алгоритм позволяет исследовать колебания механических систем в зависимости от управляющих параметров.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на XII и XIII межвузовских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2002, 2003), на международной конференции «Нелинейные колебания механических и биологических систем» (Саратов, 2003), на VII международной конференции Dynamical Systems - Theory and Application (Lodz, Poland, 2003), на VI международной конференции «Проблемы прочности материалов и конструкций на транспорте» (Санкт-Петербург, 2004).

В законченном виде диссертационная .работа докладывалась на научном семинаре «Численные методы расчета. пластин и оболочек» кафедры «Высшая математика» СГТУ под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.н., профессора В.А.Крысько (Саратов, 2004 г.), на межкафедральном семинаре по математическому моделированию «Численные методы и комплексы программ» СГТУ под руководством заслуженного деятеля науки РФ, д.ф-м.н., профессора В.Б.Байбурина (Саратов, 2004 г.).

На защиту выносятся следующие положения:

1. Математическая модель теории гибких упругих оболочек позволяет исследовать нелинейные диссипативные колебания сферических и конических оболочек постоянной и переменной толщины с произвольными краевыми условиями при действии поперечных знакопеременных нагрузок.

2. Разработаны и реализованы алгоритм, методика и комплекс программ анализа хаотических колебаний гибких диссипативных систем в виде осесимметричных сферических и конических оболочек постоянной и переменной толщины при произвольных краевых условиях, находящихся под действием поперечной знакопеременной нагрузки.

3. Построенные новые математические модели перехода колебаний гибких сферических и конических оболочек из гармонических в хаотические дополняют классификацию сценариев колебаний оболочечных конструкций.

4. Рассмотренные в работе пространственные характеристики системы дают возможность исследовать переход систем в пространственно-временной хаос.

5. Изменение распределения толщины оболочки позволяет управлять хаотическими колебаниями сферических и конических оболочек при действии поперечной знакопеременной нагрузки.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы и результаты исследований опубликованы в 8 научных работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка используемой литературы. Работа содержит ПО страниц наборного текста, 43 рисунка, 15 таблиц. Список используемой литературы включает 45 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается исторический обзор результатов по математическому моделированию нелинейной динамики оболочек, обосновывается актуальность темы диссертации и приводится краткое содержание работы.

В первой главе приводятся основные соотношения и допущения, вариационная формулировка задачи и алгоритм решения.

Объектом исследования является пологая оболочка, представляющая собой замкнутую двухмерную область пространства Я1 с полярной системой координат . Исходя из принципа возможных перемещений, основное соотношение которого имеет вид:

-*(£/„«О, (1)

где и„, ис - потенциальная энергия изгиба и срединной поверхности соответственно, R- нагрузка и сила инерции, используя соотношения

геометрически нелинейной теории пологих оболочек вращения, получаем вариационное уравнение

(2)

где операторы имеют вид:

<р - функции прогиба и усилий соответственно, - начальная погибь оболочки, к — толщина оболочки, 5 — коэффициент демпфирования, Б — цилиндрическая жесткость, Е- модуль упругости.

Для решения уравнения (2), в котором функция прогиба w и функция усилий <р являются независимо варьируемыми искомыми функциями, нельзя непосредственно применить процедуру Ритца, т.к. это уравнение не имеет формы равенства нулю вариации от функционала. Разложим прогиб w и функцию усилий (р по двум полным системам линейно независимых, подчиненных главным краевым условиям функций и ограничимся конечными суммами. В случае осесимметричной деформации пологой оболочки вращения прогиб -щ и функция усилий <р запишутся в виде

<Р=£у,(0<РЛР)- (3)

Коэффициенты х() и у,(() являются искомыми функциями времени. Подставляя выражения (3) в (2), выполняя операцию варьированиями приравнивая к нулю коэффициенты при получим систему

обыкновенных дифференциальных уравнений функций

(4)

где

Вид коэффициентов системы (4) зависит от типа краевых условий. Система аппроксимирующих функций для четырех типов краевых условий приведена в таблице.

<Р](Р)

(1-Р2Г (1-Р2)'

рг> неподвижная заделка неподвижный шарнир

(1 подвижная заделка подвижный шарнир

Решая второе уравнение системы (4) относительно У, умножая на А'1

первое уравнение системы (3) и обозначая X = R, придем к задаче Коши для нелинейной системы уравнений первого порядка. Проведенное преобразование возможно, т.к. матрицы А'1иЕ'1 существуют, если

координатные функции линейно независимы.

Здесь введены безразмерные величины ¿ = е = е/т, где , а параметр нагрузки 90(0 = 9(0

х, У1 ^ = Далее черта над безразмерными величинами

для простоты опущена. Полученные уравнения с начальными условиями

при =0

решались методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности.

Решается статическая задача для конических и сферических оболочек постоянной и переменной толщины и обсуждается вопрос о достоверности полученных результатов. Для этого проводилось сравнение с решениями, полученными для данных задач Б.Я. Кантором.

Исследовалась динамическая потеря устойчивости конических и сферических оболочек под действием импульса бесконечной продолжительности во времени, и проводилось сравнение с результатами, полученными для статической задачи.

Во второй главе приводится описание существующих сценариев перехода колебаний из гармонических в хаотические, таких как сценарии Фейгенбаума, Помо-Манневиля, Рюэля-Такенса-Ньюхауза.

Приведено описание новых сценариев, обнаруженных в колебаниях конических и сферических осесимметричных оболочках постоянной и переменной толщины. Для описания переходных процессов в движении оболочки использовался анализ принятых в нелинейной динамике стандартных характеристик (временной ряд лу(0,/), фазовый портрет и^й), спектр мощности и сечение Пуанкаре Поскольку

исследования показали, что качественная картина процесса колебаний для всех точек оболочки одинакова, то весь анализ отнесен к ее центральной точке р = 0.

Был выявлен новый механизм перехода колебаний оболочек из гармонических в хаотические для подвижно закрепленных оболочек. Этот сценарий присутствует в сферических и конических оболочках постоянной и переменной толщины. Сущность данного механизма заключается в следующем. После гармонических колебаний, совершаемых на частоте возбуждения, при движении по параметру появляется новая линейно независимая частота и переход к хаосу осуществляется через серию линейных комбинаций двух частот и последующей бифуркации Хопфа. В дальнейшем будем называть этот переход модифицированным сценарием Рюэля-Такенса-Ньюхауза (РТН). Для подвижно-шарнирно закрепленных оболочек был обнаружен сценарий, который объединил в себе модифицированный сценарий РТН и классический сценарий Помо-Манневиля. Здесь, как и в предыдущем случае, после гармонических колебаний, совершаемых на частоте возбуждения, при движении по параметру q0 появляется новая линейно независимая частота и линейные комбинации, которые при дальнейшем увеличении q0 разрушаются и возникает бифуркация, при этом в сигнале наблюдается жесткая потеря устойчивости. Далее в сигнале появляется перемежаемость и колебания становятся хаотическими.

Приведен анализ периодичности А.Н. Шарковского для дифференциальных уравнений теории пологих осесимметричных оболочек, приводится теорема А.Н. Шарковского. Также показаны окна периодических колебаний из упорядочивания А.Н. Шарковского 3, 5, 7, 9, 11,13 для конической оболочки с краевыми условиями подвижная заделка и стрелой подъема оболочки над планом к = 5 при действии поперечной знакопеременной нагрузки . Следует отметить, что указанные

так называемые упорядочения А.Н. Шарковского в распределенной системе не следуют последовательно одна за другой, их приходится выделять во всей области управляющих параметров . Выявились

следующие закономерности: для утроения периода в сигнале ярко выражено деление основного периода на 3 равные части, а для упятирения - на 5 равных частей и т.д. В отображении Пуанкаре наблюдается 3; 5; 7; 11; 13 точек. В фазовом портрете наблюдается появление удвоения орбит. Данные орбиты являются окнами периодичности в хаосе и их структура одна и та же во всем множестве.

Исследован пространственно-временной хаос. Чтобы получить представление об изменении поведения системы во времени, необходимы следующие характеристики: сигнал w(t), его скорость н'(/) и ускорение

w(t). График функции f(w,w,w) назовем трехмерным фазовым портретом. Аналогично, для изучения изгибаний поверхности строятся характеристики функции прогиба w(f, р), угол наклона касательной w'fi(t,p) и кривизна поверхности (/,/?) в точке p. Данный набор

функций дает нам возможность изучить характер изгиба поверхности оболочки. Зависимость /(w.w^w^,) позволяет судить о пространственном

состоянии поверхности оболочки и переходе механической системы из гармонических колебаний в хаотические. Данная зависимость была названа модальным портретом. Произведенный сопоставительный анализ фазового и модального портретов, построенных для гармонических и хаотических колебаний оболочек, показал, что пространственный и временной хаос наступают одновременно, т.е. можно говорить о пространственно-временном хаосе.

В третьей главе исследуется сходимость метода Ритца для хаотических колебаний конических оболочек с краевыми условиями подвижная заделка и подвижный шарнир, и проводится исследование хаотических колебаний конических оболочек постоянной толщины в зависимости от краевых условий и стрелы подъема оболочки над планом. Для исследования поведения оболочек под действием знакопеременной нагрузки были построены карты зависимости характера

колебаний от управляющих параметров \t}g,a)pj. Алгоритм построения

множества управляющих параметров построен на анализе спектра

мощности. Было создано два алгоритма построения карт. Первый позволяет отслеживать бифуркации Хопфа, т.е. выделять зоны сценария Фейгенбаума, но в связи с обнаружением модифицированного сценария Рюэля-Такенса-Ньюхауза, этот алгоритм был изменен. Новый алгоритм позволяет выделять на картах как зоны фейгенбаумановского сценария, так и зоны модифицированного сценария Рюэля-Такенса-Ньюхауза. Карты построены с разрешением не менее чем 400x500 точек. Сходимость метода Ритца исследовалась по картам зависимости характера колебаний от управляющих параметров, по временному ряду в центральной точке w(0,t) и спектру мощности. На рис.1 приведены карты управляющих параметров для оболочек постоянной толщины со стрелой

подъема k = 1, 1.5, 2, 3, 4, 5. Картина перехода в хаос становится существенно разнообразнее по мере увеличения параметра подъемности оболочки к. Анализ зависимости \gg,a>pj от к показывает, что для

пластинки (к=0) \дй,а)р\ характеризуется только гармоническими колебаниями при ограничении на прогиб . Зоны хаоса и

бифуркаций с увеличением к начинают возрастать, для к=1 имеются только две зоны - вкрапления хаоса в поле гармонических колебаний, с

увеличением к "¿1.5 появляются новые зоны бифуркаций и хаоса, причем с увеличением к область хаоса существенно возрастает, но в ней имеются малые «острова» гармонических колебаний.

ч о а 4 V Ш, I

г) ¿ = 2 д)&= 1.5 е)&= 1

£3 Гармонические колебания на частоте а>р ц? Бифуркации

□ Гармонические колебания на частоте 1—1 Хаос

Рис. 1. Карты характера колебаний в зависимости от управляющих параметров \ конической оболочки с кр. усл. подвижная заделка

Здесь же приведены зависимости >?тм(о) от на частоте вынуждающей силы, близкой к частоте собственных колебаний, и шкалы бифуркаций для конических подвижно закрепленных оболочек с к = 3; 5, а также колебание поверхности оболочек во времени, сигналы w(0,f) и фазовые портреты для гармонических колебаний, колебаний после серии бифуркаций и, наконец, хаотических колебаний. Показатели Ляпунова играют важную роль в диссипативных динамических системах. Они дают вычислимую количественную меру степени стохастичности. Предложенная и развитая идея вычисления шкал характера колебаний динамических систем, основанная на анализе спектра мощности очень хорошо согласуется с эволюцией старшего характеристического показателя Ляпунова Метод вычисления показателей Ляпунова

описан в главе 4. При положительном показателе Ляпунова, характеризующего появление хаоса, на это указывает и шкала бифуркаций и ^тах^о), где наблюдаются биение и серия жестких бифуркаций, т.е. динамическая потеря устойчивости, на это было обращено внимание выше. Данный подход является новым, и мы можем его трактовать как динамический критерий потери устойчивости. Далее исследуются пространственно-временные характеристики конической оболочки с краевыми условиями подвижная заделка и стрелой подъема к = 5 и приводятся все типы сценариев перехода от гармонических колебаний к хаосу, обнаруженные в колебаниях конических оболочек. В колебаниях подвижно закрепленных оболочек переход из гармонических колебаний в хаос происходит по двум сценариям - Фейгенбаума и модифицированному сценарию Рюэля-Такенса-Ньюхауза. В оболочках с краевыми условиями подвижный шарнир переход в хаос осуществляется, преимущественно, по сценарию Помо-Манневиля.

Для конических подвижно закрепленных оболочек была подсчитана константа Фейгенбаума =4.66830065..., теоретическое значение,

полученное для функции У = (1-cx2J, равно й = 4.66916224.... Различия теоретических расчетов с численными экспериментами для конических оболочек составляют 0.018%.

Кроме карт зависимости характера колебаний строились также карты жесткой потери устойчивости. На рис.2 приведена карта для конической подвижно закрепленной оболочки с к = 5.

4 5 6 7 Й

Рис.2. Карты характера колебаний в зависимости от управляющих параметров |дг0,&р) с учетом жесткой потери устойчивости

Жесткая потеря устойчивости показана жирными белыми точками. Под жесткой потерей устойчивости мы понимаем то состояние системы, когда малое изменение частоты или амплитуды вынуждающей силы

приводит к разрыву первого рода в графике . Как видно из рис.2,

жесткая потеря устойчивости происходит при смене одного режима колебаний на другой. Однако имеются места, где жесткая потеря устойчивости отмечена в зоне гармонических колебаний. Более подробные исследования показали, что здесь мы имеем не точку разрыва первого рода, а точку перегиба функции м'тах(д0)

В четвертой главе исследуется сходимость метода Ритца для хаотических колебаний сферических оболочек с краевыми условиями подвижная заделка, и проводится исследование хаотических колебаний сферических оболочек постоянной толщины в зависимости от краевых условий и стрелы подъема оболочки над планом. В этой главе сходимость метода Ритца приводится только по временному ряду и спектру мощности.

Как и в предыдущей главе, здесь построены карты зависимости характера колебаний от управляющих параметров . для

сферических оболочек со стрелой подъема к = 1, 1.5, 2, 3, 4, 5 с краевыми условиями подвижная заделка и подвижный шарнир. Как и в конических оболочках, здесь наблюдается та же картина, т.е. зоны хаоса и бифуркаций с увеличением к начинают возрастать.

Приведены зависимости (о) от q0 на частоте вынуждающей силы, близкой к частоте собственных колебаний к-3, к = 5 и шкалы бифуркаций для сферических подвижно закрепленных оболочек, а также колебание поверхности оболочек во времени, сигналы w(0,t), фазовые портреты для гармонических колебаний, колебаний после серии бифуркаций и, наконец, хаотических колебаний.

Далее приводятся все типы сценариев перехода от гармонических колебаний к хаосу, обнаруженные в колебаниях сферических оболочек. В сферических оболочках, как и в конических, имеются области модифицированного сценария Рюэля-Такенса-Ньюхауза и сценария Фейгенбаума, однако здесь не удалось получить константу Фейгенбаума, т.к. наблюдалось только три бифуркации Хопфа, а не их последовательность.

В пятой главе исследуются хаотические колебания сферических и конических оболочек переменной толщины и ставится вопрос об управлении хаосом с помощью изменения толщины оболочки. Управлению хаосом в известной нам литературе посвящено ограниченное количество исследований, в основном эти исследования касаются простых моделей распределенных систем. Под процессом управления хаосом мы понимаем преобразование хаотического поведения системы в регулярное или хаотическое, но с другими свойствами. На рис.3 приведены карты управляющих параметров |^0,<ур) для конической подвижно закрепленной

оболочки со стрелой подъема Ь5 с толщиной h= \ + ср (с = 0; 0.1). Как видно из рис.3, при с = 0.1 зон хаоса практически не осталось,

площадь зон бифуркаций также уменьшилась Особенно это заметно на высоких частотах.

Утолщение в центре (с = -0.1), карта которого здесь не приводится, наоборот, привечо к появлению новых областей хаоса на высоких частотах и частотах, близких к частоте собственных колебаний при амплитуде вынуждающей нагрузки q0 > 35, а также к увеличению области независимых частот. Примерно та же картина наблюдается и для сферических подвижно закрепленных оболочек. В картах характера колебаний оболочек с краевыми условиями подвижный шарнир влияние переменности толщины на состояние системы существенно отличается от предыдущего случая. Так, при с = -0.1 появляются зона хаоса на низких частотах (около 2.5), которой нет при с = 0.1, с = 0 2 и с = 0,и зона хаоса на высоких (около 5.5) частотах, которая присутствует при с = 0 и отсутствует при с = 0 1, 0.2. На частотах, близких к частоте собственных колебаний («3.5), при с = -0.1, наоборот, больше гармонических колебаний, и общая площадь хаотических колебаний меньше, чем при других значениях параметра с.

а) с = 0 б) с = 0 1

\\ Гармонические колебания 0 Сценарий Фейгенбаума

□ Модифицированный сценарий РТН □ Хаос

Рис.3. Карты характера колебаний в зависимости от управляющих параметров } для конических оболочек при к = 5 с краевыми условиями подвижная заделка

Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что, изменяя вид поперечного сечения оболочки, тип краевых условий и подбирая соответствующие параметры нагрузки и можно управлять

колебаниями данных механических систем и выбирать оптимальное распределение толщины для конкретной области управляющих параметров.

В заключении приводятся основные результаты и выводы по работе.

Основные выводы по диссертации

1. Построена математическая модель теории гибких пологих оболочек с учетом геометрической нелинейности и переменности толщины. Исследована зависимость жесткой потери устойчивости от стрелы подъема оболочки над планом оболочек, находящихся под действием статической нагрузки (диссипативная система) и импульса бесконечной продолжительности во времени (консервативная система).

2. Проведено исследование сходимости метода Ритца в зависимости от количества членов ряда в разложении для конических и сферических оболочек постоянной и переменной толщины с краевыми условиями подвижная заделка и подвижный шарнир.

3. Проведена классификация по известным сценариям колебаний оболочек, находящихся под действием нагрузки, изменяющейся по гармоническому закону.

4. Исследована периодичность А.Н. Шарковского для дифференциальных уравнений теории пологих осесимметричных оболочек.

5. Разработан пакет программ для качественного исследования сложных колебаний конических и сферических оболочек с помощью метода Ритца в высших приближениях. Построены карты зависимости характера колебаний от управляющих параметров ^0,а>р} для конических и сферических оболочек с рассмотренными краевыми условиями постоянной толщины с к = 1, 1.5, 2, 3, 4, 5 и переменной толщины с к- 5.

6. Выявлены области сценария Фейгенбаума на картах для

конических подвижно закрепленных оболочек, где происходило до 5 бифуркаций Хопфа, что позволило вычислить константу Фейгенбаума, которая отличается от теоретического значения на 0.018%.

7. Обнаружен новый сценарий перехода колебаний механических систем из гармонических в хаотические, и выявлены его области на картах {Зо,^}, который был назван модифицированным сценарием Рюэля-

Такенса-Ньюхауза. Данный сценарий присутствует в колебаниях конических и сферических оболочек с краевыми условиями подвижная заделка.

8. Выявлены новый сценарий перехода колебаний из гармонических в хаотические в конических оболочках с краевыми условиями подвижный шарнир, который был назван модифицированным сценарием Помо-Манневиля, а также явление перемежаемости.

i 1 6 2 в 9

9. Исследована возможность управления хаосом с помощью изменения

переменности толщины оболочек, находящихся под действием

знакопеременной нагрузки на примере оболочек с к = 5.

Публикации по теме диссертации

1. Крысько ВА, Щекатурова Т.В. Сценарии перехода к хаосу осесимметричных оболочек при конечных прогибах // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды двенадцатой межвуз. конф. Самара, 2002. С. 104-107.

2. Щекатурова Т.В. Исследования осесимметричных на круглом плане гибких пластинок при действии знакопеременной нагрузки // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды тринадцатой межвуз. конф. Самара, 2003. С. 169-171.

3. Krysko VA, Tschekaturova T.V. Complicated vibrations spherical and conical variable thickness shells. // Dynamical Systems - Theory and Applications: International Conference. Lodz, Poland, 2003. P.585-603.

4. Крысько В.А, Щекатурова Т.В. Стохастические колебания сферических осесимметричных оболочек (метод Ритца) // Нелинейные колебания механических и биологических систем: Труды междунар. конф. Саратов, СГТУ, 2004. С. 49-62.

5. Крысько ВА, Ерофеев Н.П., Щекатурова Т.В. Метод флуктуационного анализа с исключенным трендом (DFA) в теории нелинейных колебаний осесимметричных конических оболочек // Нелинейные колебания механических и биологических систем: Труды междунар. конф. Саратов, СГТУ, 2004. С. 173-185.

6. Крысько В.А., Щекатурова Т.В. Колебания конических осесимметричных оболочек переменной толщины // Проблемы прочности материалов и конструкций на транспорте: Труды VI междунар. конф. СПб., 2004. С. 222-233.

7. Крысько В.А .Щекатурова Т.В. Хаотические колебания конических оболочек // Известия РАН. МТТ. 2004. №4. С. 140-150.

8. Крысько В.А.,Щекатурова Т.В. Стохастические колебания конических оболочек переменной толщины. // Известия вузов. Машиностроение. 2004. №5. С. 3-13.

Лицензия ИД № 06268 от 14.11.01

Подписано в печатьо2/^?04 Формат 60x84 1/16

Бум. тип. Усл.-печл. 1,0 Уч.-издл 1,0

Тираж 100 экз. Заказ 339 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет 410054 г. Саратов, ул. Политехническая, 77 Копипринтер СГТУ, 410054 г. Саратов, ул. Политехническая, 77

ВВЕДЕНИЕ (Краткий исторический обзор исследований по теме диссертации).

Глава I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕОРИИ ГИБКИХ

ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК С УЧЕТОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ

НЕЛИНЕИНОСТИ ПОСТОЯННОЙ

И ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ.

§ 1. Основные соотношения и допущения.:.

§ 2. Вариационная формулировка задачи. Алгоритм метода Ритца.

§ 3. Достоверность полученных результатов.

§ 4. Метод установления в теории гибких осесимметричных оболочек.

§ 5. Динамическая потеря устойчивости конических и сферических оболочек под действием импульса бесконечной продолжительности во времени.

Выводы по главе.

Глава И. СЦЕНАРИИ ПЕРЕХОДА КОЛЕБАНИЙ ИЗ ГАРМОНИЧЕСКИХ В ХАОТИЧЕСКИЕ ДЛЯ

СФЕРИЧЕСКИХ И КОНИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК.

§ 1. Анализ существующих математических моделей перехода из гармонических колебаний в хаотические.

§ 2. Новые математические модели сценариев перехода из гармонических колебаний в хаотические.

§ 3. Периодичность А.Н. Шарковского для дифференциальных уравнений теории пологих осесимметричных оболочек.

§ 4. Об исследовании пространственно-временного хаоса.

Выводы по главе.

Глава III. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ КОНИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

ПОСТОЯННОЙ ТОЛЩИНЫ.

§ 1. Сходимость метода Ритца при исследовании хаотических колебаний конических оболочек.

§ 2. Исследование хаотических колебаний конических оболочек постоянной толщины в зависимости от краевых условий и стрелы подъема оболочки над планом.

Выводы по главе.

Глава IV. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ХАОТИЧЕСКИХ

КОЛЕБАНИЙ СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК.

§ 1. Сходимость метода Ритца при исследовании хаотических колебаний сферических оболочек.

§ 2. Исследование пространственно-временного хаоса сферических оболочек постоянной толщины в зависимости от краевых условий и стрелы подъема оболочки над планом.

Выводы по главе.

Глава V. ХАОТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ И

КОНИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ.

УПРАВЛЕНИЕ ХАОСОМ.

§ 1. Хаотические колебания конических оболочек переменной толщины.

§ 2. Хаотические колебания сферических оболочек переменной толщины.

Выводы по главе.

краткий исторический обзор исследований по теме и основное содержание работы)

Быстрое развитие нелинейной теории оболочек обусловлено научными потребностями практики. Широкое применение новых материалов, использование оболочек в необычных условиях при большой интенсивности внешних воздействий настоятельно требует дальнейшего совершенствования методов расчета.

Основы теории гибких пластин были заложены русским ученым И.Г. Бубновым. Теодором фон Карманом были даны общие уравнения для пластин. В 1949 г. В.З. Власов получил систему дифференциальных уравнений теории гибких пологих оболочек. Нелинейные уравнения осесимметричной деформации гибких пологих оболочек вращения вывели Д.Ю. Панов и В.И. Феодосьев. Большой вклад в обоснование и развитие геометрически нелинейной теории внесли С.А. Алексеев, А.С. Вольмир, И.И. Ворович, К.З. Галимов, Х.М. Муштари, В.В. Новожилов, А.В. Погорелов, В.И. Феодосьев, JI.C. Срубщик, Б.Я. Кантор, А.В. Саченков, В.А. Крысько, Ю.Г. Коноплев.

Возможность непосредственного использования метода Ритца для решения нелинейных задач теории пологих оболочек тесно связана с построением функционалов или вариационных уравнений, в которых варьированию должны подвергаться все искомые функции. Различные формы вариационных уравнений, основанных на вариационных принципах механики, отличающиеся главным образом выбором вариационных функций, получены в работах Л.Я. Айнолы [1], К.З. Галимова [2], Х.М. Муштари, К.З. Галимова [3] Э. Рейснера [4], Р.З. Муртазина, И.Г. Терегулова [5] и др.

Удобным для приложений типом вариационного уравнения является уравнение смешанного типа относительно прогиба и функции усилий. По-видимому, впервые такое уравнение для нелинейной задачи дано Н.А. Алумяэ [6]. Для гибких пластин и оно было построено Л.И. Балабухом, а для пологих оболочек - приведено в работе [3]. Обобщение этого уравнения, связанное с учетом начального погиба и различных внешних воздействий дано в работах [7-9]. Эти уравнения соответствуют вариационному принципу, промежуточному между принципами Лагранжа и Кастильяно, так как в них варьируются и перемещение, и усилия в срединной поверхности. Особенность таких уравнений заключается в том, что функционал, стоящий под знаком вариации, не равен полной энергии системы, хотя вариация функционала совпадает с вариацией полной энергии.

Теоретическое обоснование применения вариационных методов в нелинейных задачах наиболее полно дано в работе С.Г. Михлина [10], где рассмотрены вопросы выбора координатных функций, связанные с устойчивостью алгебраических систем Ритца, и некоторые методы их решения.

Одним из основных условий эффективного использования метода Ритца для получения результатов в высших приближениях является полная автоматизация вычислений, включающих и построение, и решение систем Ритца. Появление ПЭВМ и машинная реализация этих процессов позволили получить методом Ритца приемлемые по точности результаты.

Опыт показал, что при расчете пластин и оболочек на ПЭВМ можно получать решения с необходимой степенью точности [11]. Выполнение расчетов гибких оболочек в высоких приближениях вызвано, в частности, растущим интересом к картине напряженного состояния в замкнутой области [12].

Нелинейная динамика пластин и оболочек интенсивно начала развиваться со второй половины прошлого века. Изучение колебаний оболочек было начато еще Рэлеем в его знаменитой книге «Теория звука». В последующее время труды в этой области опубликовали такие выдающиеся ученые как Н.А. Алумяэ [6], И.М. Бабаков [13], В.В. Болотин [14,15], Э.И. Григолюк [16] и другими авторами. В имеющейся литературе речь идет, как правило, о малых колебаниях упругих оболочек, когда соотношение между деформациями и перемещением с одной стороны и деформациями и усилиями с другой, могут быть приняты линейными. Однако в такой постановке подобные задачи оказываются весьма трудными. Если малые колебания пластинок сопровождаются лишь появлением напряжений собственно изгиба, то в случае оболочки к ним присоединяются цепные напряжения. В зависимости от очертания оболочки и условий закрепления мы получаем тот или иной спектр частот и форм колебаний. Для одних видов колебаний оказываются преобладающими изгибные усилия, для других - цепные. Характер напряженного состояния при колебаниях может сильно меняться вдоль главных размеров оболочки по мере удаления от края.

Особый раздел теории колебаний представляет собой исследование нелинейных колебаний, имеющих важные специфические свойства. Такого рода движения могут возникать в пластинах и оболочках при больших перемещениях, когда деформации и перемещения связаны нелинейными соотношениями. С другой стороны, деформации могут лежать за пределами применимости закона Гука, и нелинейность зависеть от усилий.

Одними из первых публикаций в этом направлении являются книги А.С. Вольмира [17], Б.Я. Кантора [9], В.А. Крысько [18], в которых авторы интересуются именно нелинейными колебаниями пластин и оболочек. Эта область представляет одну из частей общей нелинейной механики твердых деформируемых тел, или, в более широких рамках, нелинейной механики сплошных сред. Одним из важных практических приложений в этом направлении является вопрос о поведении пластин и оболочек при импульсных воздействиях. Этому вопросу в вышеперечисленных источниках уделяется большое внимание. В то же время при рассмотрении периодических колебаний может идти речь о некотором установившемся движении системы. В задачах о динамическом нагружении наибольшее внимание привлекают неустановившиеся переходные процессы. Такой процесс заключается обычно в скачкообразном переходе - перескоке системы от установившегося движения одного типа к некоторому другому движению. Подобное явление особенно характерно для оболочек и носит название хлопка или прощелкивания. Хлопок оболочки сопровождается, как правило, значительными перемещениями. Поэтому изучение поведения пластин и оболочек при импульсных воздействиях будет достаточно полным лишь в том случае, если оно проводится для больших прогибов, с позиций нелинейной теории.

Но чрезвычайно важным является вопрос о нелинейной динамике пластин и оболочек с учетом диссипации энергии под воздействием знакопеременных нагрузок и изучение сценариев перехода таких систем в состояние хаоса. Данное направление интенсивно развивается в научной школе, возглавляемой профессором В.А. Крысько. В этом направлении исследованы прямоугольные в плане пластинки и оболочки при действии продольных и поперечных знакопеременных нагрузок с учетом диссипации энергии [19-21]. Исследованию динамики пологих оболочек методом Ритца в известной нам литературе не уделялось должного внимания.

Целью настоящей работы является построение математической модели нелинейных колебаний сложных механических систем в виде сферических и конических оболочек постоянной и переменной толщины. Из этой цели вытекают задачи:

1. Разработка математической модели для сложных колебаний сферических и конических оболочек постоянной и переменной толщины под действием знакопеременной нагрузки.

2. Изучение сценариев перехода в состояние хаоса колебаний оболочечных систем в зависимости от стрелы подъема оболочки над планом, граничных условий и формы поперечного сечения оболочки.

3. Разработка алгоритма и комплекса программ на ПЭВМ для качественного исследования хаотических колебаний гибких диссипативных систем в виде осесимметричных сферических и конических оболочек постоянной и переменной толщины при произвольных краевых условиях.

4. Исследование возможности управления хаотическими колебаниями оболочек при помощи изменения толщины.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка используемой литературы. Работа содержит 110 страниц наборного текста, 43 рисунка, 13 таблиц.

Общие выводы по диссертации

1. Построена математическая модель теории гибких пологих оболочек с учетом геометрической нелинейности и переменности толщины. Исследована зависимость жесткой потери устойчивости от стрелы подъема оболочки над планом оболочек, находящихся под действием статической нагрузки (диссипативная система) и импульса бесконечной продолжительности во времени (консервативная система).

2. Проведено исследование сходимости метода Ритца в зависимости от количества членов ряда в разложении для конических и сферических оболочек, находящихся под действием поперечной знакопеременной нагрузки, постоянной и переменной толщины с краевыми условиями подвижная заделка и подвижный шарнир.

3. Проведена классификация по известным сценариям колебаний оболочек, находящихся под действием нагрузки, изменяющейся по гармоническому закону.

4. Исследована периодичность А.Н. Шарковского для дифференциальных уравнений теории пологих осесимметричных оболочек.

5. Разработан пакет программ для качественного исследования сложных колебаний конических и сферических оболочек с помощью метода Ритца в высших приближениях. Построены карты зависимости характера колебаний от управляющих параметров [q0,cop\ для конических и сферических оболочек с рассмотренными краевыми условиями постоянной толщины с к = 1, 1.5, 2, 3, 4, 5 и переменной толщины с к= 5.

6. Выявлены области сценария Фейгенбаума на картах \$[q,cqp \ для конических подвижно закрепленных оболочек, где происходило до 5 бифуркаций Хопфа, что позволило вычислить константу Фейгенбаума, которая отличается от теоретического значения на 0.018%.

7. Обнаружен новый сценарий перехода колебаний механических систем из гармонических в хаотические, и выявлены его области на картах {д0,сор\, который был назван модифицированным сценарием Рюэля-Такенса-Ньюхауза. Данный сценарий присутствует в колебаниях конических и сферических оболочек с краевыми условиями подвижная заделка.

8. Выявлен новый сценарий перехода колебаний из гармонических в хаотические в конических оболочках с краевыми условиями подвижный шарнир, который был назван модифицированным сценарием Помо-Манневиля, а также явление перемежаемости.

9. Исследована возможность управления хаосом с помощью изменения переменности толщины оболочек, находящихся под действием знакопеременной нагрузки на примере оболочек с к = 5

1. Айнола Л.Я. Вариационные задачи в нелинейной теории упругих оболочек. // ПММ, 1957. 21с.

2. Галимов К.З. К общей теории пластин и оболочек при конечных перемещениях и деформациях // ПММ, 1951. т. 15. №6.

3. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань: Таткнигиздат. 1957. 432 с.

4. Reissner Е. On a variational theorem in elastiaty. // J. Math. Phys, 1950. P.29.

5. Муштари P.3., Терегулов И.Г. К вариационным методам в нелинейной механике деформируемого твердого тела // Труды VI Всерос. конф. по теории оболочек и пластин. М.: Наука. 1966.

6. Алумяэ Н.А. Одна вариационная формула для исследования тонкостенных упругих оболочек в послекритической стадии // ПММ, 1950. т.14. №2.

7. Кантор Б.Я. К технической нелинейной теории тонких оболочек переменной толщины // Прикладная механика, 1965. т.1. №12. С. 76-95

8. Кантор Б.Я. К нелинейной теории тонких оболочек // Динамика и прочность машин. Харьков: изд-во ХГУ, 1967. т.5.

9. Кантор Б.Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек. Киев: Наукова думка, 1971. 136 с.

10. Ю.Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 512 с.

11. ГВольмир А.С., Бирхган А.Ю. Применение электронно-управляемых машин к расчету пластин и оболочек // Строительная механика и расчет сооружений, 1964. №4. С.35-44.

12. Буштырков А. О нижних и верхних критических нагрузках и об одном новом аспекте проблемы закритического поведения тонкостенных оболочек // Труды VI Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. М.: Наука. 1966. С. 54-65.

13. Бабаков И.М. Теория колебаний. 3-е изд. М.: Наука, 1968. 467с.

14. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. -М.: Гостехиздат, 1956. 600 с.

15. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой пластичности. -Физкнигиздат, 1961. 339 с.

16. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость круговых цилиндрических оболочек // Итоги науки. Механика твердых деформируемых тел (1967). М.: ВИНИТИ, 1969.

17. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластин и оболочек. М.: Наука, 1972 432с.

18. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. Изд-во Саратов, ун-та. 1976. 216 с.

19. Салий Е.В. Математическое моделирование динамики пологих оболочек с учетом геометрической и физической нелинейностей: Дис. . канд. физ.-мат. наук. -М„ 2001.- 117 с.

20. Киреева О.Н. Математические модели сложных нелинейных колебаний балок при наличии ограничений на прогиб: Дис. . канд. физ.-мат. наук. М. 2002.

21. Бабенкова Т.В. Математическое моделирование задач статики и динамики многослойных неполярных пластин. Дис. канд. физ.-мат. наук. Сар. 1998. 140с

22. Крысько В.А. Щекатурова Т.В. Сценарии перехода к хаосу осесимметричных оболочек при конечных прогибах. // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды двенадцатой межвуз. конф. Самара. 2002. С. 104-107.

23. Щекатурова Т.В. Исследования осесимметричных ' на круглом плане гибких пластинок при действии знакопеременной нагрузки // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды тринадцатой межвуз. конф. Самара, 2003. С. 169-171.

24. Krysko V.A. Tschekaturova T.V. Complicated vibrations spherical and conical variable thickness shells. // Dynamics of system theory and applications: International Conference. Lodz, Poland, 2003. P.585-603.

25. Крысько B.A. Щекатурова Т.В. Стохастические колебания сферических осесимметричных оболочек (метод Ритца). // Нелинейные колебания механических и биологических систем: Труды междунар. конф. Саратов, СГТУ. 2004. С.49-62.

26. Крысько В.А. Щекатурова Т.В. Колебания конических осесимметричных оболочек переменной толщины // Проблемы прочности материалов и конструкций на транспорте: Труды VI междунар. конф. Санкт-Петербург. 2004. С.222-233.

27. Крысысо В.А. Щекатурова Т.В. Хаотические колебания конических оболочек // Известия РАН. МТТ. 2004. №4. С. 140-150.

28. Крысько В.А. Щекатурова Т.В. Стохастические колебания конических оболочек переменной толщины. // Известия вузов. Машиностроение. 2004. №5, С.3-13.

29. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостехиздат, 1948. 168 с.

30. Вольмир А.С. Устойчивость деформированных систем. М.: Наука, 1967. 984с.

31. Феодосьев В.И. Об одном способе решения задач устойчивости деформируемых систем // ПММ, 1963. т. 27. № 2. С. 265 275.

32. Крысько В.А, Комаров С.А., Егурнов Н.В. Выпучивание гибких пластин под действием продольных и поперечных нагрузок // Прикладная механика, 1996. т.32. №9. С. 80 87.

33. Hopf Е.А. Mathematical example displaying the features of turbulcncc // Comn. Pure Appl. Math, 1948. v. 1. P. 303-322.

34. Ландау Л.Д. К проблеме турбулентности. ДАМ СССР, 1944. т. 44. № 8. 339 с.

35. Newhouses. Ruelle D, Takens F. Occurrence of Strange Axciom A Attractions near

36. Quasiperiodic Flow jn Tm, m < 3, 1978 // Commun Math. Phys, v.64. № 1. P.35 40.

37. Rutlle D., Takehs F. On the Nature of Turbulence // Commun. Math. Phys, 1971. v. 20. P. 167- 192. '

38. Mandelbrot. The Fractal Geometry of Nature. Freemcen. San Francisco, 1982.

39. Feigenbaum M.J. Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations // J. Sat. Phys, 1978. v.19. №25.

40. Li T.Y., Yorke LA. Period three implies chaos // Am. Math. Monthly, 1975. v. 82. P. 985 -992.

41. Grebogi C., Ott E., Yorke U.A. Are Three Freguncy Quasiperiodic orbits to be

42. Expected in Tupical Nonlinear Sistems. 1983. Phys. Rev. Lett. 51. 339p.

43. Pomean Y., Manneville P. Intermittent transition to turbulence in dissipativ dynamical systems // Comm. Math. Phys, 1980. v. 74. № 2. P. 189 197.

44. Manneville P., Pomean Y. Different ways to turbulence in dissipative dynamical systems //PhisicaD, 1980. № l.p. 219.

45. Жаботинский A.M. Концентрационные автоколебания. M.: Наука, 1974. 179с.

46. Крысько В.А., Крысько А.В. Проблемы бифуркаций и жесткой потери устойчивости нелинейной теории пластин // Сб. Механика оболочек и пластин в XXI веке. Саратов: изд-во СГТУ, 1999. С.50-67.

47. Шарковский А.Н. Существование циклов непрерывного преобразования прямой в себя //Украинский математический журнал, 1964. т. 26. № 1. С. 6-71.

48. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // Atmos. Sci. 1962. vol. 20, № 1. P. 130 -141.

49. Curry J.H., Herring J.R., Loncaric J., Orszag S.A., Order disorder in two- and three-dimensional Benard convection // S.Fluid Mech, 1984. vol 147. № 1. P. 1-38.

50. Feigenbaum M.J. The universal metric properties of nonlinear transformations // J. Stat. Phys, 1979. vol. 21. № 6. P. 669 706.

51. Pierre Collet, Jean-Pierre Ecrmann. Jterated Maps on the Jnterval us Dynamical Systems. Birkhauser. Boston. 1980.

52. Шильников Л.П. Теория бифуркаций и турбулентность. Проблемы нелинейных и турбулентных процессов в физике. Киев: Наукова Думка, 1985. ч.2 С.118-124.

53. Smale S. Dinamical Systems and turbulence // Lect. Notes Math. 1962. № 615.

54. Awrejcewicz J., Krysko V.A., Narkaitis G.G. Bifurcations of a Thin Plate-Strip Excited Transversally and Axially // Nonlinear Dynamics 32. Kluwer Academic Publisher. 2003. P.187-209.

55. Bennetin, G., Casartelli M., Galgani L., Giorgilli A. and Strelcyn J. M. On the reliability of numerical study of stochasticity I: Existence of time averages. II Nuovo Cimento 44B(1). 1978. P. 183-195.

56. Bennetin G., Casartelli M., Galgani L., Giorgilli A. and Strelcyn J. M. On the reliability of numerical studies of stochasticity II: Identification of time averages. И Nuovo Cimento 50B. 1979. P. 211-232.

57. Бубнов И.Г. Строительная механика корабля. Спб.: Издание Морского министерства. ч.1 1912. 330 с; ч2.2 1914. 640 с.