автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование хаотических колебаний замкнутых цилиндрических оболочек и панелей

На правах рукописи

Савельева Наталья Евгеньевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ЗАМКНУТЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК И ПАНЕЛЕЙ

Специальности: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов 2005

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет» (Россия) и Техническом Университете г. Лодзь (Польша)

Научные руководители - доктор технических наук, профессор

Крысько Вадим Анатольевич (Россия)

- доктор, профессор Ян Аврейцевич (Польша)

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук, профессор

Коноплев Юрий Геннадьевич

Ведущая организация - Саратовский государственный университет

им. Н.Г. Чернышевского

Защита состоится « 14» октября 2005г. в 13 час. 30 мин, на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет» по адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, Саратовский государственный технический университет, корп.1, ауд. 319 .

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет».

Автореферат разослан« » " сентября 2005 г.

Ученый секретарь

- доктор технических наук, профессор Джашитов Виктор Эммануилович

диссертационного совета

Большаков А.А.

Jя>я

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Проблемы детерминированности и случайности, предопределенности и непредсказуемости, зародившись несколько веков назад, продолжают оставаться в числе фундаментальных и острых проблем естествознания. Однако широкомасштабные и планомерные исследования взаимосвязи хаоса и порядка ведутся относительно недавно. Они показали, что в поведении сложных нелинейных систем со многими степенями свободы при определенных условиях могут возникать регулярные пространственные и временные структуры, названные И. Пригожиным диссипативными. Наряду с этим возможна и обратная картина: из упорядоченного движения рождается хаос. Большой прогресс в концепции временного динамического хаоса достигнут в таких современных областях знаний как физика плазмы, гидромеханика, электроника и радиофизика, теория управления, в задачах теории пластин и оболочек достижения не такие впечатляющие.

Сценарии перехода диссипативных систем в состояние хаоса при воздействии на них гармонических нагрузок в различных отраслях современной науки, таких как радиофизика, радиоэлектроника, гидромеханика, описаны достаточно подробно в работах П. Берже, Н. Помо, Ю.И. Неймарка, К. Видаля, П.С. Ландау, Г. Шустера, A.C. Дмитриева, A.M. Опарина, А Л. Кислова, B.C. Анищенко, В.А. Крысько, Я. Аврейцевича, Д.И. Трубецкова, О.М. Белоцерковского и др.

Исследованию хаотических колебаний круглых и прямоугольных пластинок, а также пологих оболочек посвящены работы Ю.В. Чеботаревского, В.А. Крысько, Я. Аврейцевича, Ю.Г. Коноплева, A.B. Крысько, Е.В. Салий, Т.В. Вахлаевой, A.A. Сопенко, Т.В. Щекатуровой, И В. Папковой Однако в этих работах не рассматривались хаотические колебания замкнутых круговых цилиндрических оболочек и цилиндрических панелей.

Таким образом, важной и актуальной является задача построения детерминированных математических моделей, позволяющих исследовать хаотические колебания замкнутых круговых цилиндрических оболочек при воздействии знакопеременной нагрузки.

Целью работы является построение математической модели нелинейных колебаний сложных механических систем в виде замкнутых круговых цилиндрических оболочек, а также цилиндрических панелей и сферических оболочек на прямоугольном плане. Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработка математической модели для сложных колебаний замкнутых круговых цилиндрических оболочек, а также цилиндрических панелей и сферических оболочек на прямоугольном плане для заданных граничных условий под действием знакопеременной локальной поперечной нагрузки.

2. Разработка алгоритма и комплекса программ на ПЭВМ для качественного исследования хаотических колебаний диссипативных систем в виде гибких замкнутых круговых цилиндрических оболочек, а также цилиндрических панелей и сферических оболочек на прямоугольном плане при заданных краевых условиях.

3. Изучение сценариев перехода в состояние хаоса колебаний оболочечных систем в зависимости от геометрических "in "т угц рпот^р полосы поперечной нагрузки. [ ¿ммтал^

а«

4. Исследование возможности управления хаотическими колебаниями оболочек с помощью дополнительных малых целенаправленных знакопеременных воздействий, а также распределения нагрузки по поверхности оболочки.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработаны математическая модель, методика и алгоритм численной реализации (комплекс программ) колебательных режимов гибких упругих цилиндрических оболочек, подчиняющихся кинематической модели Кирхгофа-Лява. Исследована сходимость метода установления в зависимости от типа уравнений движения оболочек (гиперболический или параболический) и метода Бубнова - Галеркина в зависимости от количества членов ряда в разложении основных функций н> и Р для оболочек, находящихся под действием гармонической нагрузки с учетом заданных краевых условий.

2. Разработан и реализован в виде комплекса программ универсальный алгоритм расчета оболочечных систем при действии произвольной нагрузки с учетом и без учета диссипации и проведен качественный анализ хаотических колебаний гибких диссипативных систем в виде гибких замкнутых круговых цилиндрических оболочек, а также цилиндрических панелей и сферических оболочек на прямоугольном плане при заданных краевых условиях. Построены карты зависимости характера колебаний от управляющих параметров {?„,<!),,} для оболочек указанного типа, находящихся под действием локальной знакопеременной поперечной нагрузки вида q = q<í 8ш(й>р/), где и сар - амплитуда и частота поперечной нагрузки.

3. Проведена классификация по известным сценариям колебаний оболочек, находящихся под действием нагрузки, изменяющейся по гармоническому закону. Выявлены и исследованы несколько новых сценариев перехода в хаос и установлена их связь с уже известными. Изучена найденная периодичность А.Н. Шарковского для дифференциальных уравнений теории пологих замкнутых цилиндрических оболочек и цилиндрических панелей.

4. Предложен новый подход к управлению хаотическими колебаниями замкнутых круговых цилиндрических оболочек при действии поперечной знакопеременной нагрузки с помощью дополнительных малых целенаправленных продольных знакопеременных воздействий, а также распределения поперечной нагрузки по поверхности оболочки.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректной физической и математической постановкой задачи, применением известных численных методов, а также качественной теории дифференциальных уравнений и методов нелинейной динамики. В частном случае результаты, полученные автором диссертации для статических задач, совпадают с уже известными результатами Н.И. Ободан (Устойчивость оболочек при неосесимметричной деформации. М.: Наука, 1988). Достоверность результатов, полученных для динамических диссипативных систем под действием поперечной знакопеременной внешней нагрузки, установлена путем применения принципиально различных численных методов исследования. Результаты, полученные методом конечных разностей и методом Бубнова-Галеркина, полностью совпадают и не противоречат имеющимся физическим представлениям, основанным на экспериментах.

Практическая ценность и реализация результатов. Предложенная математическая модель позволяет решать широкий класс задач динамики геометри-

чески нелинейных гибких замкнутых круговых цилиндрических оболочек, а также цилиндрических панелей и сферических оболочек на прямоугольном плане при заданных краевых условиях. Разработанный алгоритм позволяет исследовать колебания механических систем в зависимости от управляющих параметров (амплитуды и частоты возбуждения нагрузки, геометрических параметров). Институт проблем точной механики и управления РАН принял программный комплекс для проектирования элементов приборов точной механики

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на XIII межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2003), Международной конференции "Нелинейные колебания механических и биологических систем" (Саратов, 2003), VII Международной конференции «Dynamical Systems - Theory and Application» (Lôdi, Poland, October 8-10, 2003), федеральной итоговой научно-технической конференции творческой молодежи России по естественным, техническим, гуманитарным наукам (I место за работу по естественным наукам учащейся молодежи вузов России) (Москва, декабрь 15-20, 2003), VI Международной конференции "Проблемы прочности материалов и конструкций на транспорте" (Санкт-Петербург, 2004), III International symposium Trends in Continuum Physics (TRECOP'04), (Posnan, Poland, November 17-19, 2004 (лекция)), Fifth EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference ENOC - 2005 (Eindhoven, The Netherlands, August 7-12, 2005).

Данная диссертационная работа выполнена в Саратовском государственном техническом университете на кафедре «Высшая математика» и в Техническом Университете г. Лодзь (Польша) на кафедре «Автоматика и биомеханика», где автор работы проходил обучение, выиграв во Всероссийском открытом конкурсе студентов и аспирантов на право получения стипендии Президента Российской Федерации для обучения за рубежом.

В законченном виде диссертационная работа докладывалась на научном семинаре «Численные методы расчета пластин и оболочек» кафедры «Высшая математика» СГТУ под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.н., профессора В.А. Крысько (Саратов, 2005), на научном семинаре кафедры «Automatics and Biomechanics» Technical University of Lodz под руководством профессора Я. Аврейцевича (Lodz, Poland, 2005), на научном семинаре кафедры «Теоретическая механика» Казанского государственного университета под руководством д.ф.-м.н., профессора Коноплева Ю.Г. (Казань, 2005), на межкафедральном семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» СГТУ под руководством заслуженного деятеля науки РФ, д.ф-м.н., профессора В.Б. Байбурина (Саратов, 2005).

На защиту выносятся следующие результаты и положения •

1. Математическая модель колебательных режимов (регулярных и хаотических) гибких замкнутых круговых цилиндрических оболочек, цилиндрических панелей и сферических оболочек на прямоугольном плане с заданными краевыми условиями при действии распределенной или локальной знакопеременных поперечных нагрузок и продольной периодической нагрузки.

2. Алгоритм, методика и комплекс программ для анализа хаотических колебаний гибких диссипативных систем в виде замкнутых круговых цилиндрических оболочек и цилиндрических панелей с заданными краевыми условиями, находящихся под действием поперечной знакопеременной нагрузки.

3. Построенные новые математические модели перехода колебаний замкнутых круговых цилиндрических оболочек и панелей и прямоугольных в плане пологих сферических оболочек с заданными краевыми условиями из гармонических в хаотические дополняют классификацию сценариев колебаний оболо-чечных конструкций.

4. Рассмотренные в работе пространственные характеристики системы дают возможность исследовать переход систем в пространственно-временной хаос. Установлено, что временные и пространственные хаотические колебания оболочек наступают одновременно.

5. Возможность управления хаотическими колебаниями для замкнутых цилиндрических гибких упругих оболочек путем применения дополнительных малых целенаправленных знакопеременных воздействий, а также распределения поперечной нагрузки по поверхности оболочки.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы и результаты исследований опубликованы в 14 научных работах.

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы. Работа содержит 153 страницы наборного текста, 71 рисунок, 19 таблиц. Список использованной литературы включает 138 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается исторический обзор результатов по математическому моделированию нелинейной динамики оболочек, обосновывается актуальность темы диссертации и приводится краткое содержание работы.

В первой главе приводятся основные соотношения и допущения для замкнутой цилиндрической оболочки кругового сечения конечной длины, приводятся уравнения в смешанной форме и алгоритм решения.

Рассмотрены замкнутая круговая цилиндрическая оболочка, представляющая собой замкнутую трехмерную область пространства Л3 в системе координат и определяется как П = {х, у, г | (х, у, г) е [0; Ц х [0;2яг] х [-И / 2; А / 2]}, открытая круговая цилиндрическая оболочка (цилиндрическая панель) и пологая панель положительной гауссовской кривизны на прямоугольном плане, которые определяются как трехмерная область П = {*, у, г | (х, у, г) е [0; а] х [0; 6] х [-И / 2; й / 2]} Система уравнений динамики пологих оболочек в безразмерном виде:

»2 d*w .1 d'w

Л2~ + 2—+ -

12(1 -//')(_ дх4 дх2ду2 Л2 ду4

. d2F , d2F .. „.

,, , . ,^d2w 82w dw Л

,id*F . d'F 1 d'F , d2w , d2w 1 ,. . . X-—r+ 2—,—r + —T + kv—r + k,—r + ~i(w>M') = 0> дх' дхгду2 Л ду y дх2 ' ду2 2

Безразмерные величины: ч> = Hw, и/0=Ш0, F = Eh1 F, t = r0t, s = el г. Далее для

сферической панели на прямоугольном плане и цилиндрической панели:

ab Гу~ - - , г h , т. h Eh1 - , а , г = -ГлГ^' х = ах- У = °У> k* =к,ТТ> = — ' Ч = —йт9,М = \, Я = —, где а,Ь И у Eg о а а о о

- размеры оболочки в плане по х и у соответственно. Для замкнутой цилиндри-

/.я ГГ _ }%

ческой оболочки: г=—- М-, х = £х, ^ = (*«=0)> 9 = <?-77^Г>

п у К ь К

М = кХ- Ы Я, где I и Л = Л, - длина и радиус оболочки. Здесь / - время, г -коэффициент сопротивления среды, в которой происходит движение оболочки, Г - функция усилий, А - толщина оболочки, ц - коэффициент Пуассона, Е - модуль упругости, р,((), ру(0- продольная нагрузка. Поперечное внешнее давление, приложенное к оболочке, задано в виде с/(х,у,1) = д0 зт(й>р?), где <?о и а>р -амплитуда и частота гармонического возбуждения. Для краткости черточка над безразмерными величинами в уравнении (1) опущена. К системе (1) следует присоединить граничные условия:

1. Подвижно защемленная заделка по торцам:

дун ЭF

у/ = 0,— = 0;^ = 0; — = 0 при х = 0;1

дм дР ^'

» = g(х,У.0;-г- = р(х,у,0;Р = и(х,у,1); - = у(х,у,0 при у = ду ду

2. Шарнирное опирание по торцам:

и< = 0; — = 0; ^ = 0; = 0 при х = 0;1 дх дх1

и^гОс.кО;— = Р(х,у,1);Р = и(х,у,1);-- = у(х,у,1) при у = ду ду

3. Подвижно защемленная оболочка по торцам, на торцах присутствуют ребра:

Э2и> дР

= 0; —— = 0; .Г = 0; — = 0 при х = 0;1 дх дх

, Л» , чг,, , дР , . . _

У = = = "(х,^,/);— = при у =

¿>у

4. Шарнирное опирание по торцам с присутствием на торцах гибких ребер:

д2\ч д2Р

^ = 0;—~ = 0;/г = 0;—-^- = 0 при х = 0,1

& & (5)

* = g(x, у, е); —т = г(х, у, 0; ^ = у, 0; гт = V, 0 при у = 0; £

Э2»с З2^

; —г = К*, у. 0; ^="(*, у. 0; г-

ду ду

Здесь и далее £ = 2л- для замкнутой цилиндрической оболочки, и £ = 1 для цилиндрической и сферической панелей. Неоднородность краевых условий во вторых строках (при у = 0;£) указывает на присутствие начальных неправильностей и усилий в оболочке. Следует также присоединить начальные условия в момент времени 1=0: и<|(_0 = и<0,и<|(_0 = 0 (6)

Для сведения распределенной системы (1) - (6) к системе с сосредоточенными параметрами по пространственным переменным х и у использован метод Бубнова - Галеркина в высших приближениях в представлении Фурье.

Функции и» и Р, являющиеся решениями системы (1) - (6), приближенно аппроксимируются аналитическим выражением, содержащим конечное число произвольных параметров, представленных в виде произведения функций, зависящих от времени и от координат:

™ = 2121Аи(1)<р0(х,у), ^¿¿Хм^Дх^). (7)

/=0 у«=0 /"О /-0

Координатные системы {«р^ (д:, у), (х, >■)} выбраны так, что функции <р0(х,у),у/ц(х,у) были для VI',/ линейно независимы, непрерывны вместе со своими частными производными до четвертого порядка включительно в области П, и чтобы <р„(х,у),ц/:/(х,у) удовлетворяли одному из соответствующих краевых условий (2)-(5), кроме того, требуется, чтобы <ри(х,у),<уя(х,у) обладали свойством полноты Для удобства левые части уравнений системы (1) обозначены Ф/ и Ф2 соответственно:

1 дх2 дх2 чк / 2Х''дх2 дх2

Применяя процедуру Бубнова - Галеркина к (8), получено | ( >11,

I ¡Ф, <Ри (*. у)с/хф> +1 ¡Мд(х, у,()<ри (х, у)<ьау = О,

0 0 X, у,

1 {

\\Фг<ри{х,у)с1х<1у = 0, ¿ = 0,1.....ЛГ,; / = 0,1,..^2.

о о

С учетом (9) уравнения (8) запишутся

ЕЕлЕ^и. +1 ДА*-+

(8)

(9)

Ц к!

¿4 ,

л1 ~ л

ВЕ^А* + Е в, Е +Е Л Е АгРг,»г, ]=о.

о,

(10)

я !/ I/ и ¡1 и

Здесь знак перед каждым уравнением системы (10) указывает, что

под данным уравнением понимается система Г5 такого вида уравнений, а интегралы процедуры Бубнова - Галеркина имеют вид

Н''"»-\\\2 п-

1 + , дщ д2<ри

Л2 дх2 дх2 ду2 ду2 дхду дхдх

= й

дгш дги/

-к„——~-к. —5—''

Эх2

| {

- ^ 1" к, . у дх2 х ау2

<Рг^у ,С2Л„ = л о о

у/г,скау,

'УгАЛу,

р

Г<)Ыг* } ]

Я2 дх2 дх2 ду2 ду2 Эх5у ЭксЬе

(И)

00 I.{.

л

д2а> д1т,

Интегралы (11), за исключением, быть может, если поперечная нагрузка приложена не ко всей поверхности оболочки, вычисляются по всей срединной поверхности оболочки. После применения процедуры Бубнова - Галеркина получены нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка по времени относительно коэффициентов А (12) и система линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов 5 (13) в матричной форме: С(А + еА) + ЕА+У/А + С,В + ЪХАВ = (12)

С2А + РВ+Ъ2АА = 0 (13)

Далее ОДУ 2-го порядка по времени сводиться к системе двух ОДУ 1-го порядка по времени относительно неизвестных коэффициентов А (14). Полученная задача Коши решается методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Шаг по времени выбирается по правилу Рунге. Линейное алгебраическое уравнение в матричной форме разрешается относительно неизвестного коэффициента В (15) и решено методом обратной матрицы на каждом шаге по времени. Проведенное преобразование возможно, т.к. обратные матрицы С'иР"' существуют, если координатные функции линейно независимы.

|к = -ёЯ-[с-'С, +С-,В1л[в-С-'Ш-С-^ + 17(ОС-|<3 (14)

В = Р-,[~Ъ1АА-С1А] (15)

В работе рассматривалась шарнирно опертая по криволинейному кругу замкнутая цилиндрическая оболочка с однородными граничными (5) и начальными (6) условиями. Искомые функции, являющиеся решением уравнений (1), аппроксимируются выражением, содержащим конечное число произвольных параметров, представленных в виде произведения двух функций, зависящих только от одного аргумента, удовлетворяющих краевым условиям по х (5):

ДА

ю з»п(г'ж) с°з0». (о »¡по'ж) со^у). (16)

1-1 1-й ы

Для случая шарнирно опертой цилиндрической панели и сферической панели на прямоугольном плане с краевыми условиями (5) использовались следующие аппроксимирующие функции:

И N N N

У> = X£А,(0этОду), Р = О5т(глх)ят(уяу). (17)

у»| 1-] у-1

Исследовалась динамическая потеря устойчивости замкнутых цилиндрических оболочек для статической задачи, и проводилось сравнение с известными в литературе результатами, полученными Н.И. Ободан.

Во второй главе приведено описание известных сценариев перехода колебаний из гармонических в хаотические. Это сценарий Ландау, сценарий Фейген-баума, сценарий Рюэля-Такенса (РТ), сценарий Помо-Манневиля (ПМ). Приведено описание новых сценариев, обнаруженных в колебаниях замкнутых цилиндрических оболочек и сферических панелей на прямоугольном плане при действии знакопеременной локальной нагрузки. Для описания переходных процессов в движении оболочки использовался анализ следующих принятых в нелинейной динамике характеристик: временной ряд м>(х0,у0,1), фазовый портрет спектр мощности 5(да) и сечение Пуанкаре Поскольку исследования

показали, что качественная картина процесса колебаний для всех точек оболочки одинакова, то весь анализ отнесен к ее центральной точке (х-,у) = (х0;у0).

Для исследования поведения оболочек под действием нагрузки, изменяющейся по гармоническому закону ц = д0 эт^г), был разработан комплекс программ, позволяющий строить карты характера колебаний в зависимости от управляющих параметров. Алгоритм позволяет выделять на картах зоны сценария Фейгенбаума и зоны модифицированного сценария Рюэля-Такенса-Ньюхауза (РТН), выявленные в настоящей работе для сферической панели на прямоугольном плане с параметрами кривизны кх = ку = 12. Сущность данного механизма заключается в следующем. После гармонических колебаний, совершаемых на частоте возбуждения, при движении по параметру д0 появляется новая линейно независимая частота, и переход к хаосу осуществляется через серию линейных комбинаций двух частот.

При рассмотрении сложных колебаний замкнутых цилиндрических оболочек с X = 2 при приложении поперечного знакопеременного локального поперечного давления, приложенного по полосе <р0= 90', был обнаружен сценарий, который объединил в себе модифицированный сценарий РТ и классический сценарий Помо-Маниевиля. Здесь, как и в предыдущем случае, после гармонических колебаний, совершаемых на частоте возбуждения, при движении по параметру qa появляется новая линейно независимая частота и линейные комбинации, которые при дальнейшем увеличении qa разрушаются и возникает бифуркация, при этом в сигнале наблюдается жесткая потеря устойчивости. Далее в сигнале появляется перемежаемость и колебания становятся хаотическими.

Исследование колебаний цилиндрической оболочки с Я- 2 при ширине полосы внешнего давления <р0= 343' привело к установлению еще одного нового сценария перехода колебаний в хаос, который основан на классическом сценарии Фейгенбаума и сценарии РТ, этот новый модифицированный сценарий в работе назван сценарием Рюэля - Такенса - Фейгенбаума (табл. 1).

Таблица 1

плитуды нагрузки наблюдаются гармонические колебания на частоте возбужде-

ния <ор, затем происходит возникновение независимой частоты колебаний система переходит на двухчастотные колебания на двух линейно независимых частотах о, и <ор. Далее наблюдается последовательное возникновение четырех бифуркаций Андронова - Хопфа вместе с независимой частотой колебаний в),. Выявлена последовательность из 4 бифуркаций удвоения периода. Вычислена

константа Фейгенбаума (табл. 2). —— « 4.6692016 ...-теоретическое

значение константы Фейгенбаума. Различие с известным теоретическим значением составляет 0.02%.

_____Таблица 2

1 1 2 3 4

Яо., 0.4990637 0.4998011 0.4999629 0.4999975

4. 4.55766531 4.66853210

Приведен анализ периодичности Шарковского для дифференциальных уравнений теории пологих оболочек, приводится теорема Шарковского. Также показаны окна периодических колебаний из упорядочивания Шарковского 3, 5, 22 - 5, 9 для цилиндрической оболочки при ширине полосы поперечного давления р„=343" и /1 = 3. То есть для распределенных систем в виде цилиндрических оболочек при неоднородном поперечном знакопеременном воздействии присутствует увеличение периода с четным и нечетным его числом (табл. 3).

_ _ __Таблица 3

Сигнал

Фазовый портрет Спектр мощности Сечение Пуанкаре

21 75 223

СО

Модальный портрет

'2 и и

# щ

□

В таблице представлены фазовый портрет, спектр мощности, сечение Пуанкаре, модальный портрет в центральной точке оболочки, формы волнообразования цилиндрической оболочки в пространстве в моменты времени, указанные на сигнале, для явления 9-кратного увеличения периода колебаний. Все характеристики колебаний находятся в соответствии друг с другом. Так, при возникновении в спектре 9-кратного увеличения периода колебаний в сечении Пуанкаре

возникает 9 точек, а в модальном портрете наблюдаются 9-кратные предельные циклы. Явление 9-кратного увеличения периода подтверждается теоремой А.Н. Шарковского.

Анализ колебаний цилиндрических панелей позволил обнаружить окна периодических колебаний из упорядочения А.Н.Шарковского 3;2-3;5;2-5; 7;2-7; 11 для цилиндрической панели при ку =24 и а =3 при действии продольной нагрузки = рд зт(ау). Р,(0 = а-рх. В табл. 4 показаны графики 5(а) для некоторых описываемых периодических колебаний. Следует отметить, что указанные так называемые упорядочения А.Н. Шарковского в распределенной системе не следуют последовательно один за другим, их приходится выделять во всей области карт характера колебаний в зависимости от управляющих параметров {Яй<тР} ■ Выявлены следующие закономерности: для 2-3 в сигнале ярко выражено деление основного периода на 6 равных частей, а для 2 -5 - на 10 равных частей и т.д. В отображении Пуанкаре наблюдается 3; 5; 7; И; 6 точек. В фазовом портрете наблюдается появление удвоения орбит. Данные орбиты являются окнами периодичности в хаосе, и их структура одна и та же во всем множестве. Подобные исследования проводились для прямоугольной в плане сферической оболочки и были сделаны те же выводы, что и для цилиндрической оболочки и панели.

Исследован пространственно-временной хаос. Чтобы получить представление об изменении поведения системы во времени, необходимы следующие характеристики: сигнал >и(г), его скорость »'(г) и ускорение */(/)■ График функции /(»с, и;', м-,") обычно называют трехмерным фазовым портретом. Аналогично, для изучения изгибаний поверхности строятся характеристики функции прогиба м!(1,х,у), тангенс угла наклона касательной м>'у(1,х,у) и м*[(1,х,у) и кривизны поверхности ^(г.дг.у) и и>^(е,х,у) в точке (х,у). Данный набор функций дает нам возможность изучить характер изгиба поверхности оболочки. Зависимости Я».«) и /(и'.и^и'^) позволяет судить о пространственном состоянии поверхности оболочки во время колебаний и о переходе механической системы из гармонических колебаний в хаотические. Данные зависимости были названы модальным портретом. Проведенный сопоставительный анализ фазового и модального портретов, построенных для гармонических и хаотических колебаний оболочек, показал, что пространственный и временной хаос наступают одновременно, т.е. можно говорить о наступлении пространственно-временного хаоса в оболочках.

В третьей главе проведено исследование сходимости метода Бубнова-

Таблица 4

Гадеркина в представлении Фурье для случая замкнутой цилиндрической оболочки. Следуя идее А. Пуанкаре о том, что лучше изучать все многообразие орбит, чем следить за какой-то конкретной, были построены карты динамических режимов для управляющих параметров \д0,а>р}. Для построения таких карт на область пространства о)р} была наложена сетка, в узлах которой производилась идентификация характера колебаний. Предварительно исследовался вопрос о сходимости решения при увеличении количества разбиений области

(рис. 1). Расчеты показали, что ЛГхЛГ> 350x350 является оптимальным в гармонических и хаотических областях карт динамических режимов в зависимости от управляющих параметров \дй, тр}.

13 26 «а, " 13 26 я, 13 26

а)ЫхЫ = 200x200 б)#хЛГ = 350x350 в)ЛГх# = 500x500

■ Бифуркации (сценарий Фейгенбаума) 3 Гармонические колебания

Независимые частоты (сценарий РТН) _ Хаотические колебания

Рис. 1. Карты динамических режимов при разных разбиениях Сходимость метода Бубнова-Галеркина анализировалась в зависимости от числа в ряде (16) для цилиндрической оболочки при ширине полосы давления <р0 = 343", Л = 2 (рис. 2). Так как рассматривается случай приложения локальной нагрузки, приложенной по полосе к поверхности оболочки, то для получения достоверных результатов достаточно положить по х один член ряда в разложении основных функций и- и в ряд (16), т.е. М, = 1.

13 19.5 26 а)#2 =11

13 19.5 26 в) Мг =15

195 26 325 б) ЛГ2 =13

Рис.2. Карты динамических режимов в разных приближениях Под сходимостью понимается интегральная сходимость - сходимость по спектру мощности, т.е. по характеру колебаний. Было установлено, что интегральная сходимость по характеру колебаний достигается при Ыг > 13.

Следующим пунктом работы явилось изучение влияния геометрических размеров замкнутой цилиндрической оболочки на характер колебаний. Исследовались следующие значения Я: 1,2,3,4,5,6,7 при <р0 =343" (рис. 3). Параметр Л

характеризует относительную длину цилиндрической оболочки. Анализ карт характера колебаний показал, что преобладающим является сценарий, отмеченный темно-серым цветом (сценарий РТН).

Тем не менее существует много различий в характере колебаний в зависимости от геометрии оболочки. Так, при Я = 1 наблюдаются обширные области

сценария РТН. При Я = 2,3,4 наблюдаются сходные картины колебаний, зоны хаоса сосредоточены на низких частотах, при Я = 5,6,7 на карте присутствуют в основном гармонические колебания с небольшой областью хаоса при больших значениях амплитуды внешней нагрузки. Следовательно, геометрия оболочки оказывает существенное влияние на характер колебании. Изучался вопрос влияния на характер колебаний замкнутой цилиндрической оболочки ширины полосы поперечной нагрузки при равенстве остальных условий. Для этого строились карты динамических режимов в зависимости от управляющих параметров при Я = 2 (рис. 4). Установлено, что характер колебаний существенно зависит от угла загружения. При малых значениях <р0 суммарная площадь зоны хаоса доста-

Рис. 3. Карты динамических режимов в зависимости от Я для цилиндрической оболочки при угле загружения <ра =6.0 рад = 343'

ж)Л = 7

точно велика и состоит из двух подобластей, соответствующих значениям частоты тр<еоа и <ар>тй. При увеличении зоны загружения цилиндрической оболочки получено уменьшение площади области хаоса и смещение на низкие и средние частоты, затем вновь наблюдается увеличение областей хаотических колебаний и смещение на низкие частоты.

9. Г

Мш®

З^Ц'Л т-

02 00

14

! ;

193 26 ,0

325

13 195 26

3)^=90° 6)^=180° 8)^=343"

Рис 4. Карты динамических режимов в зависимости от угла загружения <рй при Я = 2 В четвертой главе проведено исследование сходимости метода Бубнова-Галеркина в представлении Фурье для сферической оболочки на прямоугольном плане в случае действия поперечной внешней нагрузки д = д0 зт(ау) и цилиндрической панели при двухпарамегрическом продольном возбуждении р,{у,() = р05т{тр1), ру(х,г) = а-рх(у,1). Как и в третьей главе, интегральная сходимость исследована на основе анализа карт динамических режимов для управляющих параметров \д0, и [р0, сор). Для цилиндрической панели были построены карты динамических режимов в зависимости от управляющих параметров {ра,сор} для различных сочетаний геометрических параметров кх,ку и пара-мета а. На иис. 5 поедставлены такие карты.

1 65 3 3 г) к = 0, а = 3

4 0 8 0

д) к =12, а =3

'70 14 0

е) ку =24,а = 3

Рис. 5. Карты динамических режимов для цилиндрической панели

Анализируя полученные результаты, можно заключить, что все карты носят сходный характер и представляют собой чередование лепестков гармонических, хаотических зон, областей бифуркаций и колебаний на кратных частотах. Также для всех параметров наблюдается интересное явление: при малых значениях амплитуды продольных воздействий колебания системы затухают, затем при увеличении значения амплитуды колебания переходят в гармонические или колебания на кратных частотах, но при дальнейшем незначительном увеличении амплитуды наблюдаются вновь загухающие колебания.

Увеличение параметра нагрузки а при одинаковых геометрических параметрах кх,ку приводит к уменьшению областей затухающих колебаний и смещению лепестков к низким значениям амплитуды. Увеличение параметра кривизны цилиндрической оболочки ку приводит к уменьшению числа лепестков и увеличению областей затухающих колебаний.

Для цилиндрических панелей основным сценарием перехода в состояние хаоса является сценарий Фейгенбаума - через последовательное удвоение периода колебаний. В табл 5 на примере цилиндрической панели с ку = 12 приведены 6 найденных бифуркаций. При этом удалось найти значение константы Фейгенбаума. Различие теоретического и практического значений - 0.05%. Такое совпадение результатов подтверждает вывод о том, что наблюдается процесс перехода в хаос по сценарию Фейгенбаума.

___Таблица 5

/ 1 2 3 4 5 6

Ро, 4.37 4.775 4.8156 4.8234 4.8251 4.8254641

6.79 5.205 4.727 4.669047

Для установления факта, что выявленные хаотические колебания в исследуемых оболочечных моделях не являются следствием погрешности численных методов и для подтверждения достоверности полученных результатов проведено сопоставление решений, полученных принципиально разными методами: методом Бубнова - Галеркина в высших приближениях и методом конечных разностей с аппроксимацией О(И') для сферической панели на прямоугольном плане. Результаты с помощью метода конечных разностей получены в диссертации И.В. Папковой. На рис. 6 приведены карты характера колебаний, полученных с использованием этих двух методов.

а) Метод Бубнова - Галеркина б) Метод конечных разностей

Рис.6. Карты динамических режимов в зависимости от управляющих параметров {?„, }

Анализируя полученные результаты, можно увидеть, что картина характера колебаний очень близка. Несмотря на качественное различие методов, которыми были получены карты, можно отметить сильное сходство очертаний зон гомоморфных колебаний, выделяющихся на картах. Различие между картами начинает проявляться в резонансной зоне {сор = т0), предположительно это объясняется тем, что погрешности численных методов, использованных для решения системы уравнений, в условиях резонанса возрастают. Таким образом, установлена истинность хаоса для изучаемых оболочек.

В пятой главе предложены возможные методы управления хаотическими колебаниями замкнутых цилиндрических оболочек путем дополнительного воздействия. Предложен способ управления хаосом путем преобразования хаотического поведения системы в регулярное или хаотическое, но с другими свойствами, с помощью малых целенаправленных продольных знакопеременных периодических воздействий рх(у,0 = р0(у)5т(а>рг), а также с помощью распределения поперечной нагрузки по поверхности оболочки. Установлено, что приложение продольной нагрузки приводит к смене типа колебаний механической системы, причем изменение может происходить как от хаотических колебаний к гармоническим (или к возникновению бифуркаций Андронова - Хопфа), так и наоборот, т.е. от гармонических колебаний к хаосу. Таким образом, выводя систему из состояния хаоса при одних значениях нагрузки, можно получить хаотические колебания при других. Во втором случае получена возможность управлять величиной динамической критической нагрузки и значением максимального прогиба в докритическом и закритическом состоянии.

На рис. 7 представлены карты динамических режимов для цилиндрической оболочки с Л = 2 при (2>а = 343° до управления (рис. 7,а) и после управления (рис. 7,6). Очевидно, что дополнительное параметрическое воздействие приводит к существенным изменениям в общей картине колебаний.

а) действие поперечной нагрузки б) действие поперечной нагрузки д = д0 зш(ау) Ч~Ча 5ш(й>/) и продольной нагрузки р = 10зт(й>/)

Рис. 7. Карты динамических режимов Так, удалось существенно снизить зоны хаотических колебаний на низких частотах. Возросли зоны гармонических колебаний, особенно на высоких частотах. При этом увеличилась амплитуда поперечной нагрузки д0, при которой возникает первое появление хаотических колебаний с дв = 0.18 до да = 0.3.

Следовательно, одним из способов управления пространственно - временным хаосом в механических системах в виде замкнутых цилиндрических оболочек под действием поперечного периодического давления является воздействие на систему малых целенаправленных продольных знакопеременных воздействий.

В заключении приводятся основные результаты и выводы по работе.

Основные выводы по диссертации

1. Построена математическая модель гибких пологих оболочек с учетом геометрической нелинейности для замкнутой цилиндрической оболочки кругового сечения конечной длины, для цилиндрической панели и для сферической оболочки на прямоугольном плане.

2. Разработан комплекс программ для качественного исследования сложных колебаний цилиндрических оболочек с помощью метода Бубнова - Галерки-на в представлении Фурье.

3. Проведено исследование сходимости метода Бубнова - Галеркина в зависимости от числа членов ряда для цилиндрических оболочек и панелей и для сферической оболочки при действии поперечной локальной и распределенной знакопеременной нагрузки.

4. В соответствии с известными сценариями перехода колебаний обол очечных конструкций в хаос проведена классификация колебаний оболочек, находящихся под действием нагрузки, изменяющейся по гармоническому закону. Выявлены и исследованы новые сценарии перехода в хаос, обнаруженные в колебаниях исследуемых систем.

5. Исследована периодичность А.Н.Шарковского для дифференциальных уравнений теории гибких цилиндрических оболочек и панелей.

6. Построены карты динамических режимов в зависимости от управляющих параметров для замкнутой цилиндрической оболочки кругового сечения конечной длины, цилиндрической панели и сферической оболочки на прямоугольном плане с рассмотренными краевыми условиями и типами на-гружения.

7. Выявлены области сценария Фейгенбаума на картах для замкнутой цилиндрической оболочки при действии локальной знакопеременной нагрузки, для цилиндрической панели при действии равномерно распределенной знакопеременной нагрузки, где происходило до 7 бифуркаций Хопфа, что позволило вычислить константу Фейгенбаума.

8. Обнаружены новые сценарии перехода колебаний механических систем из гармонических в хаотические, которые были названы модифицированным сценарием Рюэля-Такенса-Ньюхауза, модифицированным сценарием Помо-Манневиля, модифицированным сценарием Рюэля-Такенса-Фейгенбаума, и выявлены их области на картах

9. Исследована интегральная сходимость метода Бубнова - Галеркина; дается сопоставление решений, полученных методом конечных разностей и методом Бубнова-Галеркина в высших приближениях для прямоугольной в плане сферической оболочки с опиранием на гибкие несжимаемые (нерастяжимые) ребра при действии распределенной знакопеременной нагрузки.

10. Исследована возможность управления хаотическими колебаниями цилиндрических оболочек, находящихся под действием локальной поперечной нагрузки, при помощи дополнительных малых целенаправленных продольных знакопеременных воздействий, а также распределения поперечной нагрузки по поверхности цилиндрической оболочки.

11. Исследована возможность управления хаотическими колебаниями цилиндрических панелей, находящихся под действием продольной нагрузки, при помощи дополнительных поперечных статических воздействий.

Публикации по теме диссертации

1. Saveleva N.E. Ruelle - Takens - Feigenbaum's Scenario and Counting of Fei-genbaum's constant /V.A. Krysko, N.E. Saveleva// Dynamical of System - Theory and Applications: International Conference. Lodz, Poland, 2003. P.198 - 210.

2. Савельева H.E. Колебания замкнутых цилиндрических оболочек при действии поперечной равномерной знакопеременной нагрузки /А.Н. Куцемако, Н.Е. Савельева // Математическое моделирование и краевые задачи: труды ХП1 Межвуз. науч. конф./Самарск. гос. техн. ун-т. Самара, 2003. С. 109-112.

3. Савельева Н.Е. Компьютерное моделирование стохастических колебаний балок, сферических, секториальных и цилиндрических оболочек /Н.Е. Савельева, И.В. Кравцова, A.C. Десятова // Материалы федеральной итоговой научно-технической конференции творческой молодежи России по естественным, техническим, гуманитарным наукам. М., 2003. С. 9-10.

4. Савельева Н.Е. Стохастическая динамика замкнутых цилиндрических оболочек при неосесимметричном внешнем давлении / В.А Крысько, Н.Е. Савельева// Вестник Саратовского государственного технического университета. 2003. № 1. С. 53-70.

5. Савельева Н.Е. Колебания замкнутых цилиндрических оболочек при неосесимметричном знакопеременном внешнем давлении /В.А. Крысько, Н.Е. Са-вельева//Нелинейные колебания механических и биологических систем: труды Междунар. науч. конф./ Сарат. гос. техн. ун-т. Саратов, 2004. С.3-16.

6. Савельева Н.Е. Об оптимальном нагружении замкнутых цилиндрических оболочек при нагружении знакопеременным внешним давлением / В.А. Крысько, Н.Е. Савельева // Проблемы прочности материалов и конструкций на транспорте: материалы VI Междунар. науч. конф. / С.-Петерб. гос. ун-т путей сообщения. СПб., 2004. С. 132-133.

7. Савельева Н.Е. Статика и динамика замкнутых цилиндрических оболочек при неоднородном нагружении /В.А. Крысько, Н.Е. Савельева // Проблемы прочности материалов и конструкций на транспорте: труды VI Междунар. науч. конф. / С.-Петерб. гос. ун-т путей сообщения. СПб., 2004. С. 210-221.

8. Савельева Н.Е. Сложные колебания замкнутых цилиндрических оболочек при неосесимметричном неравномерном знакопеременном внешнем давлении /В.А. Крысько, Н.Е. Савельева// Известия вузов. Машиностроение. 2004. № 7. С. 3-14.

9. Савельева Н.Е. Управление временным хаосом в цилиндрических оболочках /В.А. Крысько, Н.Е. Савельева// Вестник Саратовского государственного технического университета. 2004. № 4.С. 10-19.

10. Saveleva N.E. Parametric vibrations of flexible cylindrical shells /J. Awrejcewicz, V.A. Kiysko, N.E. Saveleva //1П International symposium Trends in Continuum

»16067

Physics (TRECOP'04): International Conference. Posnan, Poland, 2004. P.234-242.

11. Saveleva N.E. Chaos Exhibited by Closed Flexible Cylindrical Shells/! Awrejce-wicz, V.A. Krysko, N.E. Saveleva // Fifth EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference (ENOC'05): International Conference. Eindhoven, Netherlands, 2005. P.1212-1217.

12. Савельева H.E. Статика и динамика замкнутых цилиндрических оболочек при неравномерном поперечном нагружении /В .А. Крысько, Н.Е. Савельева, К.Ф. Шагивалеев // Известия вузов. Машиностроение. 2005. № 1. С. 3-14.

13. Савельева Н.Е. Хаотические колебания гибких прямоугольных в плане оболочек. Часть 1. Метод Бубнова-Галеркина в высших приближениях / В.А. Крысько, И.В. Кравцова, Н.Е. Савельева //Авиакосмическое приборостроение. 2005. № 8. С. 2-в.

14. Савельева Н.Е. Хаотические колебания замкнутых цилиндрических оболочек и панелей. Часть I / В.А. Крысько, А.В. Крысько, Н.Е. Савельева // Весгаик Саратовского государственного технического университета. 2005. № З.С. 10-36.

РНБ Русский фонд

15051

Лицензия ИД № 06268 от 14.11.01

Тираж 100 экз. Заказ 305 Бесплатнс

Саратовский государственный технический университет 410054 г. Саратов, ул. Политехническая, 77 Копипринтер СГТУ, 410054 г. Саратов, ул. Политехническая, 77

Подписано в печать 06.07.05 Бум. тип.

Тираж 100 экз.

Бум. тип. Усл. печл. 1,16 Уч.-i

Формат 60x84 1/16

Уч.-издл.1,0

Бесплатно

ВВЕДЕНИЕ (Краткий исторический обзор исследований по теме диссертации).

Глава I. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ И СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК > ПРИ КОНЕЧНЫХ ПРОГИБАХ.

§ 1. Основные соотношения и допущения теории пологих оболочек.

J / § 2. Алгоритм метода Бубнова - Галеркина. ^ 2.1. Замкнутая цилиндрическая оболочка.

2.2. Цилиндрическая панель.

§ 3. Достоверность полученных результатов.

§ 4. Метод установления в теории гибких пологих оболочек.

§ 5. Динамическая потеря устойчивости оболочек под действием импульса бесконечной продолжительности во времени.

Выводы по главе.

Глава II. СЦЕНАРИИ ПЕРЕХОДА КОЛЕБАНИЙ ИЗ

ГАРМОНИЧЕСКИХ В ХАОТИЧЕСКИЕ ДЛЯ ГИБКИХ ОБОЛОЧЕК.

§ 1. Анализ существующих математических моделей перехода из гармонических колебаний в хаотические.

§ 2. Новые математические модели сценариев перехода из гармонических колебаний в хаотические. Д

§ 3. Периодичность А.Н. Шарковского для дифференциальных уравнений теории гибких оболочек.

§ 4. О пространственно-временном хаосе.

Выводы по главе.

Глава III. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ХАОТИЧЕСКИХ

КОЛЕБАНИЙ ЗАМКНУТЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

КРУГОВОГО СЕЧЕНИЯ.

§ 1. Сходимость метода Бубнова - Галеркина при исследовании хаотических колебаний замкнутых цилиндрических оболочек.

§ 2. Исследование хаотических колебаний замкнутых цилиндрических оболочек в зависимости от геометрических параметров и от площади приложения внешней нагрузки.

Выводы по главе.

Глава IV. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПАНЕЛЕЙ И СФЕРИЧЕСКИХ

ОБОЛОЧЕК НА ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПЛАНЕ.

§ 1. Сходимость метода Бубнова - Галеркина при исследовании хаотических колебаний цилиндрических панелей и сферических оболочек на прямоугольном плане.

§ 2. Исследование хаотических колебаний цилиндрических панелей и сферических оболочек на прямоугольном плане в зависимости от геометрии оболочки в плане.

Выводы по главе.

Глава V. УПРАВЛЕНИЕ ХАОТИЧЕСКИМИ КОЛЕБАНИЯМИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ

ПАНЕЛЕЙ.

§ 1. Хаотические колебания цилиндрических оболочек.

§ 2. Хаотические колебания цилиндрических панелей.

Выводы по главе.

краткий исторический обзор исследований по теме и основное содержание работы)

Тонкостенные элементы конструкций в форме цилиндрических оболочек в течение нескольких десятилетий являются объектом многочисленных и разнообразных исследований. Интерес к проблемам деформирования, прочности, колебаний, статической и динамической устойчивости цилиндрических оболочек обусловлен в первую очередь тем, что они представляют собой основные несущие элементы конструкций, применяемых в авиационной и ракетной технике, в подводных аппаратах, магистральных трубопроводах, корпусах современных энергетических установок.

Основные этапы развития механики оболочек и полученные к настоящему времени результаты с достаточной полнотой отражены в монографиях В.В.Болотина [1], А.Н. Гузя [2], А.И. Лурье [3], обзорных и проблемных статьях С.А. Амбарцумяна [4], В.В. Болотина [5,6]. Анализ уже известных работ дает возможность сделать вывод, что для цилиндрических оболочек к настоящему времени наиболее полно разработаны проблемы расчета напряженно-деформированного состояния, устойчивости, прочности и оптимального проектирования при статических внешних нагрузках.

Из сравнительно небольшого числа известных исследований по динамике цилиндрических оболочек основная часть посвящена линейным задачам распространения гармонических волн в бесконечно длинных оболочках. Этим вопросам посвящены работы Ю.Н. Новичкова [7], И. Мирского [8]. Также хорошо изучены собственные колебания оболочек конечной длины в работах А.Е. Богдановича [9], В.И. Купцова [10]. В работах Ж.Е. Багдасаряна [11], Г.Б. Варбартона [12] проведены теоретические исследования по проблемам вынужденных колебаний, в работах Ж.Е. Багдасаряна [13], А.Е. Богдановича [14], А.С. Вольмира [15] -параметрических колебаний, в работе И.Н. Преображенского [16] -нелинейных собственных колебаний.

Значительно меньше внимания до недавнего времени уделялось проблемам деформирования, прочности, устойчивости цилиндрических оболочек при кратковременных импульсных и ударных нагрузках. Можно отметить ряд решений линейных задач нестационарного деформирования при осевом нагружении, внешнем или внутреннем давлении. Это работы Н.А. Абросимова [17], З.Г. Алпаидзе и Ш.У. Галиева [18], Б.А.Гордиенко [19], Л.Н.Суховой [20], С. Клейна [21]. Отметим также, что лишь в нескольких работах (Р.А. Багдасарян [22], А.Е. Богданович [23]) рассматривались задачи оптимизации при динамических ограничениях, отличных от ограничений на частоты собственных колебаний.

Актуальность разработки проблем деформирования и прочности оболочек при динамических сжимающих воздействиях в последние годы резко возросла. Объясняется это в первую очередь непрерывно расширяющимся внедрением оболочек в несущие элементы конструкций, работающих в интенсивных динамических режимах. Необходимо иметь в виду, что запросы практики требуют обеспечения высокой надежности ответственных конструкций, отдельные элементы которых изготовлены из цилиндрических оболочек и панелей. Проводимые же с этой целью натурные динамические испытания становятся все более сложными и дорогостоящими. Эффективно разрешить эту проблему можно лишь на базе комплексных теоретико-экспериментальных исследований, основная задача которых должна заключаться в выяснении физической сущности процессов, протекающих в конструкционных элементах в предполагаемых условиях эксплуатации.

Что касается теоретико-расчетной части общей задачи, то первая основная проблема при рассмотрении сложных конструкций заключается в создании эффективных математических моделей исследуемых систем, которые не только обеспечивают выполнение заданных требований к информативности и точности исследований, но и одновременно являются экономичными, способствуя, в частности, минимизации затрат машинного времени и памяти ЭВМ [24]. Математические модели рассматриваемых явлений и расчетные методики в идеале должны быть точными, надежными и в тоже время универсальными. Однако удовлетворить всем этим требованиям в задачах динамики оболочек практически никогда не удается. Объясняется это непростым физическим содержанием динамических процессов в тонкостенных конструкциях.

При расчете тонкостенных оболочек на динамические сжимающие нагрузки важно иметь в виду также следующее обстоятельство. Для реальных оболочек, обладающих (пусть даже очень малыми) начальными несовершенствами, во многих случаях оказывается невозможным рассмотрение в чистом виде классических задач деформирования, динамической устойчивости и прочности. Сравнительно медленное нарастание деформаций (безмоментных либо моментных осесимметричных в зоне краевого эффекта) на начальной стадии нагружения, последующий резкий переход оболочки к интенсивному неосесимметричному выпучиванию, образование и развитие в материале локальных зон неупругих деформаций или локальных повреждений представляют собой взаимовлияющие стороны единого процесса. Можно говорить лишь о том какая из них в тон или иной расчетной ситуации (при конкретном виде нагрузки, диапазоне скоростей нагружения, поле начальных несовершенств, соотношении геометрических параметров оболочки характеристика, жесткости и прочности материала) будет доминирующей.

Линейная теория однородных изотропных оболочек, начало которой положили работы Арона и Лява, в 30—40-е гг. прошлого века была предметом многочисленных и разнообразных исследований отечественных и зарубежных ученых. Подробный обзор и оценка достижений советских механиков в разработке классической теории оболочек даны в статье

B.В. Новожилова [25]. Отмечено, что фундаментальное значение для этих исследований имели более ранние работы Б.Г. Галеркина, П.Ф. Папковича, Ю.А. Шиманского, С.П. Тимошенко. В частности, Б.Г. Галеркиным [26] был разработан оригинальный метод, заключавшийся в получении всех формул теории оболочек из общих уравнений теории упругости. Он имел огромное значение с точки зрения построения математически последовательной линейной теории тонких оболочек и широко использовался в работах А.И. Лурье [3], В.З. Власова [27], А.Л. Гольденвейзера [28], В.В. Новожилова [25], Х.М. Муштари [29]. Впервые этим путем вывел уравнения теории тонких оболочек Л.И. Лурье [3]. Основные принципы, заложенные этими учеными в линейную теорию оборотных изотропных оболочек, послужили методологической основой для построения уточненных теорий, теорий анизотропных и многослойных оболочек. Они имеют фундаментальное значение для построения нелинейных теорий оболочек.

За последние 20 лет опубликовано огромное число работ (отечественных и зарубежных) по линейной теории анизотропных и многослойных оболочек. В них использовались принципы и методы, заложенные в работах

C.А. Амбарцумяна, Э.И. Григолюка, В.В. Болотина, а также основные идеи построения уточненных вариантов теории однородных изотропных оболочек.

Фундаментальные принципы и положения, выработанные в линейной механике оболочек (выбор исходных аппроксимаций неизвестных функции по толщине; согласование точности всех элементов теории, как между собой, так и с точностью исходных аппроксимации; методы вывода уравнений равновесия и соотношений упругости; возможность введения функций напряжений и использование уравнении равновесия в смешанной форме), послужили методологической основой при разработке нелинейной теории.

Первые результаты по теории конечных перемещений топко-стенных упругих оболочек получены в работах Лява, С. П. Тимошенко, Саусвелла. Но детальная теоретическая разработка геометрически нелинейной теории началась с исследований Х.М. Муштари [30], получившего основные соотношения нелинейной теории тонких ортотропных оболочек в предположении, что перемещения точек срединной поверхности, сравнимые с толщиной, малы по сравнению с другими характерными размерами оболочки. В последующих работах Х.М. Муштари построил более общую нелинейную теорию, справедливую при произвольных изгибах срединной поверхности, провел качественное исследование напряженного состояния оболочки при малых деформациях и произвольных перемещениях, предложил строгую классификацию задач нелинейной теории оболочек. В работах [31,32] он получил (с позиций геометрически нелинейной теории) основные уравнения для оболочек, обладающих произвольными полями начальных напряжений и начальных геометрических несовершенств.

Крупный вклад в нелинейную теорию оболочек внес К.З. Галимов. На основе общих уравнений нелинейной теории упругости он получил тензорную форму уравнений равновесия нелинейной теории оболочек, в общем виде сформулировал статические граничные условия для случая конечных деформаций, применил вариационные методы к задачам нелинейной теории оболочек.

Геометрически нелинейная теория оболочек, основанная на гипотезах Кирхгофа—Лява, изложена X. М. Муштари, К.З. Галимовым в монографии [33] и известной монографии А.С. Вольмира [34], оказавших большое влияние на все последующие исследования в этой области. Фундаментальное значение для разработки геометрически нелинейной теории оболочек имели результаты, полученные В. В. Новожиловым [35], изложившим общий подход к проблеме деформации гибких тел (тонких стержней, пластин и оболочек). На основе нелинейной теории упругости в [35] были выведены уравнения тонких оболочек в ортогональных координатах.

Исследования по нелинейной теории оболочек проводили одновременно А.И. Лурье, В.З. Власов, Н.А. Алумяэ [36]. Зарубежные авторы до начала 60-х годов не уделяли большого внимания нелинейной теории оболочек, хотя ими и были опубликованы отдельные важные результаты. Так, Л.Х. Доннел [37] получил нелинейные уравнения среднего изгиба цилиндрической оболочки, обобщенные затем К. Маргерром [38] на случай пологих оболочек произвольной кривизны. Эти уравнения в настоящее время являются классическими в теории пологих оболочек.

Классическое направление нелинейной теории однородных изотропных оболочек, основанное на модели Кирхгофа-Лява, получило дальнейшее развитие в работах Дж. Л. Сандерса [39], В.Т. Койтера [40], В. М. Даревского [41], Л.А. Шаповалова [42], Э. И. Григолюка и В. И. Мамая [43], В.В. Кабанова [44].

Исследования, проводившиеся в 60—70-е гг. в рамках классической теории тонких цилиндрических оболочек, были направлены в основном на изучение влияния условий закрепления торцов на частоты и формы собственных колебаний. Общее решение задачи о собственных колебаниях изотропной цилиндрической оболочки, допускающее рассмотрение в принципе любых граничных условий, предложено К. Форсбергом [45] и Г.Б. Уорбартоном [46]. Решения задачи о собственных колебаниях цилиндрической оболочки рассматривались также на основе уравнений трехмерной теории упругости в работах Мирского [8] и др. Кроме того, проводился анализ эффектов, связанных с предварительным статическим нагружением (в работе М.В. Никулина [47]), с учетом тангенциальной инерции. Большое число работ посвящено учету начальных несовершенств формы оболочки. Проводились также обширные экспериментальные исследования в работах В.Г. Готтенберга [48].

На стыке проблем собственных колебании и статической устойчивости тонкостенных элементов конструкций возникают задачи о параметрических колебаниях. Начиная с работы Н.М. Беляева [49] параметрические колебания стали предметом многочисленных исследований в приложении к разнообразным механическим системам с распределенными параметрами (в частности, к стержням, пластинам и оболочкам). В работе Г. Шмидта [50] содержится практически полный список литературы по данному вопросу, опубликованной до 1972г. Большое количество работ математического характера посвящено исследованию устойчивости уравнений и систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, к которым сводятся задачи о параметрических колебаниях. Упомянем здесь лишь первые фундаментальные исследования, Н.В.Мак-Лахлана [51], М.Д. Стретта [52], обзорную статью В.М. Старжинского [53] и монографию В.А.Якубовича и В.М. Старжинского [54], обобщающие математические исследования в данной области.

Коротко остановимся на важных с методологической точки зрения задачах расчета собственных и вынужденных нелинейных колебаний цилиндрических оболочек. Прежде всего, следует упомянуть первые работы Э.И. Григолюка [55] (на основе уравнений среднего изгиба пологих оболочек решена задача о вынужденных колебаниях свободно опертой круговой цилиндрической панели) и И.И. Воровича [56] (исследованы вопросы существования и единственности решения уравнений, описывающих нелинейные колебания пологих оболочек). Проблеме собственных и вынужденных нелинейных колебаний замкнутой круговой цилиндрической оболочки посвящена серия работ, начатых Чу [57], Дж.Л. Новинским [58], Д.А. Эвенсеном [59]. В центре их внимания был расчет амплитудно-частотной характеристики и обсуждение вопроса, к какому типу нелинейности («жесткой» либо «мягкой») она должна принадлежать. В первых двух исследованиях [59,60] оболочка сводилась к системе с одной степенью свободы, а полученное уравнение Дуффинга определяло нелинейность «жесткого» типа. При этом в [59] не удовлетворялось условие непрерывности окружного перемещения, а в [60] — равенство нулю прогиба на торцах. На основе двучленной аппроксимации прогиба получено решение [59], удовлетворяющее обоим этим требованиям. Оболочка также была сведена к системе с одной степенью свободы, но уравнение колебаний получалось существенно иного вида: оно содержало нелинейные инерционные члены. В результате решения была получена амплитудно-частотная характеристика «мягкого» типа.

Существенным шагом вперед явилась работа Е.Х. Довелла [60], где оболочка рассматривалась как система с тремя степенями свободы; в интегральном смысле удовлетворялись условия периодичности окружного перемещения и равенства нулю на торцах осевого перемещения. В этой работе отмечено, что решение Д.А. Эвенсена не удовлетворяет условию равенства нулю на торцах изгибающего момента и какому-либо определенному типу граничного условия на продольное перемещение

В числе первых работ по нелинейным параметрическим колебаниям тонкостенных конструкционных элементов следует упомянуть статью В.В. Болотина [61]. В монографии В.В. Болотина [62] изложены основные принципиальные положения теории нелинейных параметрических колебаний механических систем. Указано, в частности, на допустимость определения границ ОДН исходя из линеаризованных уравнений движения.

В начале 60-х гг. В. Ц. Гнуни [63,64] и Г. В. Мишенков [65] получили ряд решений геометрически нелинейной задачи о параметрических колебаниях пологой цилиндрической панели. В работе Р.А. Багдасаряна и В.Ц. Гнуни [66] проведено решение аналогичной задачи для оболочки вращения. В последующих многочисленных работах Р.А.Багдасаряна [13], А.С. Вольмира [15], В.Ц. Гнуни [67] рассматривались нелинейные параметрические колебания замкнутой цилиндрической оболочки. В исследованиях В.Ц. Гнуни [63,64] и Г.В. Мишенкова [65] решения получены на основе аппроксимации прогиба одним членом двойного ряда Фурье. Аппроксимации прогиба и процедуры решения, использованные в работах Р.А. Багдасаряна [13], А.С. Вольмира [15], В.Ц. Гнуни [67], соответствуют решению В.Л. Агамирова [68] задачи об импульсном нагруженни цилиндрическом оболочки осевым сжатием и внешним давлением. Во всех указанных работах система уравнений движения оболочки в конечном итоге была сведена к нескольким модификациям нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения с периодическим коэффициентом. Из анализа таких уравнений, проводившегося различными методами, сделаны определенные качественные выводы относительно характера амплитудно-частотной зависимости

Проблема динамической устойчивости тонкостенных цилиндрических оболочек уже с конца 50-х гг. вызывает большой интерес. Связанные с нею задачи и полученные результаты обсуждались в монографиях А.С. Вольмира [34,69], в докладах и обзорных статьях В.В.Болотина [70], А.С. Вольмира [71-73], Н. Хоффа [74], В.И. Феодосьева [75], B.JI. Агамирова [76]. Работы по проблеме динамической устойчивости цилиндрических оболочек, подверженных продольному торцевому удару, детально проанализированы в обзорной статье А.Е. Богдановича [77]. Кроме того, практически полный список публикаций по этой проблеме (до 1977г.) приведен в работе К.А. Пандалаи [78]. В работе Ю.Г. Коноплева [79] дается описание работ по исследованию динамической устойчивости оболочек, динамической реакции пластин и оболочек на локальные воздействия, по созданию эффективных методов расчета на базе методов конечных элементов и граничных элементов. В работе Ю.Г. Коноплева [80] исследована устойчивость конических оболочек эллиптического поперечного сечения с большим эксцентриситетом, находящимся под действием осевого сжатия.

Теория динамической устойчивости оболочек развивалась по нескольким направлениям. Одно из них было начато работой А.С. Вольмира [81], где в геометрически нелинейной постановке рассматривалась задача об осевом динамическом сжатии несовершенной круговой цилиндрической панели. Движение панели описывалось уравнениями среднего изгиба в смешанной форме. Решение проводилось методом Бубнова-Галерки на с аппроксимацией как полного, так и начального прогибов первым членом ряда Фурье. Аналогичная задача для замкнутой круговой цилиндрической оболочки, находящейся под действием динамического осевого сжатия и внешнего давления, тем же методом с двучленной аппроксимацией прогиба была решена B.JI. Агамировым и А.С. Вольмиром [68]. В постановке, аналогичной [72], В.В. Болотин и Г.А. Бойченко [82] рассмотрели цилиндрическую панель при линейном нарастании во времени средних значении усилии на кромках. Полученные ими численные результаты выявили ряд важных особенностей поведения панели в нелинейной области. Решения задачи, аналогичной [68], проведены методом Бубнова-Галеркина в работах А.И. Блохиной [83], О.П. Проценко [84]. Они различались между собой исходными аппроксимациями прогиба, а также способами деления неизвестных функций.

В рамках направления, к которому относятся перечисленные работы, установлены важные особенности задач нелинейного динамического выпучивания несовершенных цилиндрических оболочек: характерный вид зависимости прогиба от времени, влияние на нее скорости нагружения, амплитуды начальных несовершенств, соотношении между геометрическими параметрами оболочки. Нагрузка, приводящая к динамической потере устойчивости, определялась обычно из условия начала резкого возрастания временного коэффициента у топ пространственной гармоники, которая, согласно расчетам, обладает наибольшим темпом роста, либо по условию достижения этим временным коэффициентом заданной предельной величины.

Второе направление теоретических работ по исследованию поведения цилиндрических оболочек при динамических сжимающих нагрузках связано с решением задач собственно динамической устойчивости на основе линеаризованных уравнений движения. С этой целью применялись методы классической теории устойчивости движения и различные приближенные аналитические подходы, позволяющие оценить устойчивость оболочки относительно малых внешних «возмущений».

Особый раздел теории колебаний представляет собой исследование нелинейных колебаний, имеющих важные специфические свойства. Такого рода движения могут возникать в пластинах и оболочках при больших перемещениях, когда деформации и перемещения связаны нелинейными соотношениями. С другой стороны, деформации могут лежать за пределами применимости закона Гука, и нелинейность зависеть от усилий.

Одними из первых публикаций в этом направлении являются книги А.С. Вольмира [69], Б.Я. Кантора [85], В.А. Крысько [86], в которых авторы интересуются именно нелинейными колебаниями пластин и оболочек. Эта область представляет одну из частей общей нелинейной механики твердых деформируемых тел, или, в более широких рамках, нелинейной механики сплошных сред. Одним из важных практических приложений в этом направлении является вопрос о поведении пластин и оболочек при импульсных воздействиях. Этому вопросу в вышеперечисленных источниках уделяется большое внимание. В то же время при рассмотрении периодических колебаний может идти речь о некотором установившемся движении системы. В задачах о динамическом нагружении наибольшее внимание привлекают неустановившиеся переходные процессы. Такой процесс заключается обычно в скачкообразном переходе - перескоке системы от установившегося движения одного типа к некоторому другому движению. Подобное явление особенно характерно для оболочек и носит название хлопка или прощелкивания. Хлопок оболочки сопровождается, как правило, значительными перемещениями. Поэтому изучение поведения пластин и оболочек при импульсных воздействиях будет достаточно полным лишь в том случае, если оно проводится для больших прогибов, с позиций нелинейной теории.

Но чрезвычайно важным является вопрос о нелинейной динамике пластин и оболочек с учетом диссипации энергии под воздействием знакопеременных нагрузок и изучение сценариев перехода таких систем в состояние хаоса. Данное направление интенсивно развивается в научной школе, возглавляемой профессором В.А. Крысько. В этом направлении исследованы прямоугольные в плане пластинки и оболочки при действии продольных и поперечных знакопеременных нагрузок с учетом диссипации энергии [87,88]. Исследованию динамики пологих оболочек методом Бубнова - Галеркина в известной нам литературе не уделялось должного внимания.

В предлагаемой диссертационной работе изложена (на примере цилиндрических оболочек и панелей) попытка комплексного анализа проблемы динамического деформирования оболочек. Для реализации этой цели решается ряд частных проблем. В первую очередь — выбор исходной расчетной модели и обоснование ее применимости к рассматриваемым оболочкам и внешним нагрузкам. Обсуждая этот вопрос, следует иметь в виду, что в задачах о динамическом сжатии должна использоваться как минимум геометрически нелинейная постановка. Так, рассматривая осевое вибрационное нагружение, приводящее к параметрическому резонансу, в принципе невозможно рассчитать характеристики напряженно-деформированного состояния оболочки, основываясь на линеаризованных уравнениях. При импульсном или ударном нагружении использование линеаризованных уравнений дает приемлемую точность расчета напряженно-деформированного состояния лишь в ограниченных диапазонах скоростей нагружения. Что же касается необходимости учета физической нелинейности, то этот вопрос не имеет столь принципиального значения и может рассматриваться по каждой конкретной задаче отдельно.

Принимая геометрически нелинейную постановку задачи, в силу ряда известных причин (в том числе и чисто технических) естественно стремиться к максимальной простоте системы уравнений движения оболочки, предполагаемой к дальнейшему использованию. В этом плане возможны следующие разумные упрощения расчетной модели. Во-первых, принятие кинематических гипотез Тимошенко или Кирхгофа-Лява. Это имеет большое значение с точки зрения последующей численной реализации. Разумеется, указанное упрощение ограничивает как класс исследуемых оболочек, так и скорости нагружения. Во-вторых, введение ряда характерных для нелинейной теории упрощающих предположений, относящихся к сравнительным величинам удлинений, сдвигов и углов поворота. В-третьих, введение дополнительных упрощений, выдержанных в духе технической теории (теории пологих оболочек). В-четвертых, пренебрежение деформациями поперечных сдвигов. В-пятых, пренебрежение в уравнениях движения некоторыми инерционными членами.

Нелинейная динамика пластин и оболочек интенсивно начала развиваться со второй половины прошлого века. Изучение колебаний оболочек было начато еще Рэлеем в его знаменитой книге «Теория звука». В последующее время труды в этой области опубликовали такие выдающиеся ученые как Н.А. Алумяэ [89], В.В. Болотин [90], Э.И. Григолюк [91] и другими авторами. В имеющейся литературе речь идет, как правило, о малых колебаниях упругих оболочек, когда соотношение между деформациями и перемещением с одной стороны и деформациями и усилиями с другой, могут быть приняты линейными. Однако в такой постановке подобные задачи оказываются весьма трудными. Если малые колебания пластинок сопровождаются лишь появлением напряжений собственно изгиба, то в случае оболочки к ним присоединяются цепные напряжения. В зависимости от очертания оболочки и условий закрепления мы получаем тот или иной спектр частот и форм колебаний. Для одних видов колебаний оказываются преобладающими изгибные усилия, для других - цепные. Характер напряженного состояния при колебаниях может сильно меняться вдоль главных размеров оболочки по мере удаления от края.

При изучении нелинейных колебаний замкнутых цилиндрических оболочек возникают новые неожиданные явления, новые в том смысле, что при изучении линейных колебаний о них даже невозможно было подозревать. Среди этих явлений следует отметить:

1. Зависимость амплитуды от формы колебаний [92-99];

2. Явление скачка [96-98];

3. Возникновение суб- или супер- гармонических колебаний [99];

4. Возникновение хаотических колебаний [98,99];

5. Существование бифуркационных точек [99].

Эти результаты являются новыми и получены с большим степеней свободы (методом Бубнова-Галеркина в высших приближениях), причем, число степеней свободы было выбрано таким, что последующее его увеличение не привносило в решение изменений. Приведенные выше исследования [92-99] выполнены с малым числом степеней свободы, что является не вполне корректным и на это будет обращено особое внимание.

Целью работы является построение математической модели нелинейных колебаний сложных механических систем в виде замкнутых цилиндрических оболочек кругового сечения, а также цилиндрических панелей и сферических оболочек на прямоугольном плане. Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработка математической модели для сложных колебаний замкнутых цилиндрических оболочек, а также цилиндрических панелей и сферических оболочек на прямоугольном плане для заданных краевых условий под действием знакопеременной локальной нагрузки.

2. Разработка алгоритма и комплекса программ на ПЭВМ для качественного исследования хаотических колебаний диссипативных систем в виде гибких замкнутых цилиндрических оболочек, а также цилиндрических панелей и сферических оболочек на прямоугольном плане при заданных краевых условиях.

3. Изучение сценариев перехода в состояние хаоса колебаний оболочечных систем в зависимости от геометрических параметров и от координат приложения поперечного внешнего давления к поверхности оболочки.

4. Исследование возможности управления хаотическими колебаниями оболочек при помощи дополнительных малых целенаправленных продольных знакопеременных воздействий, а также распределения поперечной нагрузки по поверхности оболочки.

Особое внимание в настоящей работе уделялось точности получаемых результатов. Исследования проводились по пространственным координатам методом Бубнова-Галеркина в высших приближениях, методом Рунге-Кутта 4-го порядка точности по времени. Это связано с задачей установить истинность хаоса, в отличие от модели Лоренца, когда низшие приближения обнаруживают хаос, а увеличение аппроксимации приводит к его исчезновению. Кроме того, к известным четырем сценариям перехода гармонических колебаний к хаотическим удалось добавить несколько новых.

Впервые рассмотрен вопрос об управлении хаотическими колебаниями с помощью некоторых дополнительных воздействий как продольного так и поперечного типа, что позволило перевести хаотические колебания в гармонические или в хаотические, но с другими свойствами.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка используемой литературы. Работа содержит 153 страницы наборного текста, 71 рисунок, 19 таблиц.

Основные выводы по диссертации

1. Построена математическая модель гибких оболочек с учетом геометрической нелинейности для замкнутой цилиндрической оболочки кругового сечения конечной длины, для пологой цилиндрической панели у- и для пологой сферической оболочки на прямоугольном плане.

2. Разработан комплекс программ для качественного исследования сложных колебаний цилиндрических оболочек с помощью метода Бубнова

Галеркина в представлении Фурье.

3. Проведено исследование интегральной сходимости метода Бубнова -Галеркина в зависимости от числа членов ряда для цилиндрических оболочек и панелей и для сферических оболочек при действии поперечной локальной и распределенной знакопеременной нагрузки.

4. В соответствии с известными сценариями перехода колебаний оболочечных конструкций в хаос проведена классификация колебаний оболочек, находящихся под действием нагрузки, изменяющейся по гармоническому закону. Выявлены и исследованы сценарии перехода в хаос, характерные для колебаний исследуемых систем, которые были названы модифицированным сценарием Рюэля-Такенса-Фейгенбаума, модифицированным сценарием Помо-Манневиля, модифицированным Н сценарием Рюэля-Такенса-Ньюхауза, и выявлены их области на картах динамических режимов ^0,(ор). v

А 5. Выявлены области сценария Фейгенбаума на картах ^0,(ор) для замкнутой цилиндрической оболочки при действии локальной знакопеременной нагрузки, для цилиндрической панели при действии равномерно распределенной знакопеременной нагрузки, где происходило до 7 бифуркаций Хопфа, что позволило вычислить константу Фейгенбаума.

6. Исследована периодичность А.Н. Шарковского для дифференциальных уравнений теории гибких цилиндрических оболочек и панелей.

7. Построены карты динамических режимов в зависимости от управляющих параметров \д0,сор\ для замкнутой цилиндрической оболочки кругового сечения конечной длины и сферической оболочки на прямоугольном плане и карты динамических режимов в зависимости от управляющих параметров {р0,(ор} для цилиндрической панели с рассмотренными краевыми условиями и типами нагружения.

8. Дается сопоставление решений, полученных методом конечных разностей и методом Бубнова-Галеркина в высших приближениях для прямоугольной в плане сферической оболочки с опиранием на гибкие несжимаемые (нерастяжимые) ребра при действии распределенной знакопеременной нагрузки.

9. Исследована возможность управления хаотическими колебаниями цилиндрических оболочек, находящихся под действием локальной поперечной нагрузки, при помощи дополнительных малых целенаправленных продольных знакопеременных воздействий, а также распределения поперечной нагрузки по поверхности цилиндрической оболочки.

10. Исследована возможность управления хаотическими колебаниями цилиндрических панелей, находящихся под действием продольной нагрузки, при помощи дополнительных поперечных статических воздействий.

1. Болотин В.В. Механика многослойных конструкций / В.В. Болотин, Ю.Н. Новичков//М.: Машиностроение. 1980. 376 с.

2. Гузь А.Н. Механика композитных материалов и элементов конструкций /

3. A.Н. Гузь, Л.П. Хорошун, Г.А. Ванин // Киев.: Наукова думка, 1982. 368 с.

4. Лурье А.И. Общая теория упругих тонких оболочек / А.И. Лурье // Прикладная математика и механика. 1940. Вып. 2. с. 7 34.

5. Амбарцумян С.А. Специфические особенности теории оболочек из ^ современных материалов / С.А. Амбарцумян // Известия АН АрмССР. * Механика. 1968. Т. 21. №4. С. 3-19.

6. Болотин ВВ. Влияние технологических факторов на механическую надежность ^ конструкций из композитов/ В Б Бол отан //Механика полимеров. 1972. № 3. С. 529- 540.

7. Болотин В.В. Дефекты типа расслоений в конструкциях из композитных материалов /

8. B.В.Болотин // Механика композитных материалов. 1984. № 2. С. 239 —255.

9. Новичков Ю.Н. распространение волн в слоистых цилиндрических оболочках / Ю.Н.Новичков // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1973. №2. С. 51 60.

10. Mirsky I. Vibrations of orthotropic, thick, cylindrical shells / I. Mirsky // J. Acoustical Soc. Amer. 1964. Vol. 36. № 1. P. 41 51.

11. Богданович А.Е. О влиянии граничных условий на частоты собственных колебаний композитных цилиндрических оболочек с заполнением /А.Е. Богданович, Л.А. Столярова // Механика композитных материалов. 1980. № 1.1. C. 62-72.

12. Купцов В .И. О собственных поперечных колебаниях консольных ортотропных цилиндрических оболочек / В.И. Купцов// Прикладная механика 1977. Т. 13. С.38-44.

13. Багдасарян Ж.Е. Резонанс в вынужденных нелинейных колебаниях слоистых анизотропных оболочек / Ж.Е. Багдасарян, В.Ц. Гнуни // Известия АН АрмССР. Сер. физ.-мат. наук. 1961. Т. 14. №1.

14. Warburton G.B. Resonant response of orthotropic cylindrical shells / G.B.Warburton, S.R. Soni //J. Sound Vibrations. 1977. Vol. 53. № 1. P. 1 -23.

15. Багдасарян Ж.Е. Динамическая устойчивость анизотропной замкнутой цилиндрической оболочки / Ж.Е. Багдасарян, В.Ц. Гнуни // ДАН АрмССР. 1981. Т. 73. №5. С. 278-281.

16. Богданович А.Е. Анализ неосесимметричного выпучивания цилиндрических оболочек при осевом динамическом сжатии / А.Е.Богданович, Э.Г. Феддмане // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1982. №2. С. 144 154.

17. Вольмир А.С. Нелинейные параметрические колебания цилиндрических оболочек из композионных материалов / А.С. Вольмир, А.Т. Пономарев // Механика полимеров. 1973. № 3. С. 531 539.И