автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели сложных нелинейных колебаний балок при наличии ограничений на прогиб

ВВЕДЕНИЕ(краткий исторический обзор исследований по теме и основное содержание работы).

ГЛАВА I. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ БАЛКИ ЭЙЛЕРА-БЕРНУЛЛИ

ПРИ НАЛИЧИИ ОГРАНИЧЕНИЙ НА ПРОГИБ.

§ 1. Основные гипотезы и математическая модель.

§2. Проверка достоверности полученных результатов.

§3. Анализ полученных результатов при наличии одного ограничителя на прогиб.

§4. Анализ полученных результатов при наличии двух ограничителей на прогиб.

Выводы по главе.

ГЛАВА II. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ БАЛКИ ЭЙЛЕРА-БЕРНУЛЛИ

С УЧЕТОМ ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ.

§ 1. Основные гипотезы, математическая модель и проверка достоверности полученных результатов.

§2. Анализ полученных результатов без учета ограничителей на прогиб.

§3. Анализ полученных результатов при наличии ограничителя на прогиб.

Выводы по главе.

ГЛАВА III. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ БАЖИ

С УЧЕТОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ.

§1. Основные гипотезы и математическая модель.

§2. Проверка достоверности полученных результатов.

§3. Анализ полученных результатов.

краткий исторический обзор исследований по теме и основное содержание работы)

Балки являются неотъемлемым элементом физических и биологических систем. Строительство зданий, мостов, прокладка железнодорожных путей -везде используются балочные конструкции. В современном мире спектр их применения продолжает расширяться. Балки и стержни используют во многих отраслях машиностроения при создании таких, например, конструкций, как длинные горизонтальные резервуары, валы аппаратов, барабанные аппараты, элементы химического или нефтегазового машиностроения, а также в других областях. Это вызвало интенсивное развитие теории балок, основной целью которой является описание их поведения (прогибов, напряжений, деформаций) при воздействии внешних нагрузок.

Первые исследования балок относятся уже ко второй половине XVII века [21]. Они связаны с именами таких ученых, как Якоб Бернулли и Леонард Эйлер. Позднее, в XVIII веке, колебания балок и стержней изучались Лагранжем, Юнгом, Навье, Сен-Венаном, Клапейроном. В XIX веке возникает и занимает очень серьезные позиции в мировой науке русская школа механики. Среди исследователей, занимавшихся изучением балок, можно выделить таких замечательных ученых, как Журавский Д.И. [23], Петров Н.П. [44], БобылевД.К. [12], Белелюбский Н.А. [8], Кирпичев В.Л. [29], Ясинский Ф.С. [55]. Большинство их исследований были связаны с практическим применением балок. Так, например, с расчетами мостов связаны работы Журавского Д.И. и Белелюбского Н.А. Петров Н.П. исследовал проблемы прочности и колебаний рельсов. Кирпичев В.Л. известен своими работами по строительной механике. Постепенно формируется школа теоретической механики: Бобылев Д.К. создал курс аналитической механики, Ясинский Ф.С. исследовал корректность подхода Эйлера при анализе устойчивости прямых стержней.

Революция 1917-го года привела к разделению русской школы на две ветви. К первой относятся те ученые, которые, не приняв революцию, покинули Россию и провели основные исследования, уже находясь в эмиграции. Здесь прежде всего хочется выделить Тимошенко С.П. Первые его работы были опубликованы в начале XX века и освещали большой спектр вопросов механики. После отъезда из Россини он продолжил свои исследования. Трудно переоценить вклад Тимошенко в механику и в теорию балок. Его работы «О продольном изгибе стержней в упругой среде» [47], «Устойчивость стержней, пластин и оболочек» [48] и многие другие и в настоящий момент представляют огромный интерес для исследователей этого класса задач.

Что же касается тех ученых, кто остался в России, они стали основоположниками советской школы механики. Хочется отметить такую ее характерную черту: исследования балок вплоть до первой половины 70-х годов прошлого века были неразрывно связаны с исследованием пластин и оболочек, причем первоначально в основном рассматривались задачи статики. Можно отметить огромный вклад в развитие теории таких ученых, как Новожилов В.В. [42], Власов В.З. [17], Вольмир А.С. [18-19], Муштари Х.М. и Галимов К.З. [41], Болотин В.В. [13], Корнишин М.С. [31], Огибалов П.М. и Колтунов М.А. [43].

В этот период все явления рассматривались учеными разных стран в рамках теории малых упруго-пластических деформаций, т.е. соотношения между деформациями и перемещениями, с одной стороны, и между деформациями и усилиями, с другой, следовало полагать линейными. Постепенно возникает практическая необходимость учитывать большие прогибы. Появляется современные материалы, упругие свойства которых не позволяют применять классический закон Гука. Эти факторы, а также потребность в исследованиях конструкций, имеющих различного вида нарушения и неоднородности в структуре, привели к необходимости рассмотрения нелинейных соотношений между деформациями и перемещениями (геометрическая нелинейность), а также деформациями и усилиями (физическая нелинейность).

Можно отметить исследования Цурпала И.А. и Шульги Н.А. [51], которые вывели основные уравнения теории тонких пологих оболочек с учетом физической нелинейности. Работу Дедова Н.И., Корнишина М.С. и СтоляроваН.Н. [22], в которой были получены дифференциальные уравнения больших прогибов прямоугольных в плане пологих оболочек из нелинейного упруго сжимаемого материала (т.е. учтено совместное влияние геометрической и физической нелинейностей). А также работу Крысько В.А. [32], в которой рассматривается теория неоднородных гибких оболочек с учетом поперечных сдвигов. Из более поздних работ следует отметить монографию Васидзу К. [15], в которой с единых позиций излагается построение вариационных принципов в теории упругости и пластичности, причем рассмотрено их приложение к конкретным задачам. Следует упомянуть также работы КрыськоВ.А. и Сопенко А.А. [38], Менга, Ванга и Ли [82], Аголовяна JI.A. [1], Догаки и Пека [61].

Но все эти работы, как уже было отмечено, посвящены рассмотрению общей теории пластин и оболочек. Что же касается непосредственно теории балочных конструкций, то начиная с 70-х годов прошлого века она снова начинает активно развиваться, выделяясь постепенно в отдельную область исследований. Здесь можно отметить работы Эйбрамсона Х.Н., Пласса Х.Дж., Риппергера Э.А. [53], Коллатца Л. [30]. Из современных исследований следует выделить работу Шпехта и Крампа [91], в которой подробно рассмотрен вопрос влияния показателей свободных колебаний на несущую способность балок. Интерес представляют разработки Лакшмикумаран и Викерта [75], Ванга и Лина [94], первая из которых посвящена изучению вопроса потери устойчивости узких полос из различных материалов из-за несовершенства устройств транспортировки путем протяжки, вторая - систематическому анализу точного решения задач в строительной механике балочных конструкций различного назначения. В своей статье Редди [88] сделал краткий критический обзор различных моделей для анализа показателей напряженно-деформированного состояния балок Тимошенко. Были обсуждены динамические версии этих моделей, представлены результаты расчета собственных частот поперечных колебаний свободно-опертых упругих балок для разных моделей. Книга Ананенко А.А. и Комарова K.JI. [2] посвящена рассмотрению вопросов жестко- и упруго-пластического анализа поведения балок под воздействием динамических нагрузок, превышающих статически допустимые. Приведено большое число примеров, исследуется область применимости моделей жестко- или упруго-пластических сред.

Широкий спектр практического применения балок приводит к тому, что реальные экспериментальные исследования играют важную роль при их изучении. Из экспериментов последних лет можно отметить опыты Зуева А.К. [24] с тонкой стальной лентой, Кулькарни и Шаха [74] по испытанию на поперечный изгиб свободно опертых железобетонных балок при различных скоростях нагружения. Интерес также представляют проведенные Брюнером [59] исследования по определению несущей способности при растяжении, сжатии и поперечном изгибе деревянных балок, а также балок со стальными накладками, прямоугольного и двухтаврового сечения с учетом пластических деформаций. Эти, а также многие другие опыты дают экспериментально накопленный материал, необходимый для проверки и подтверждения вычислительных экспериментов, с помощью которых появляется возможность изучения все более сложных случаев.

Вообще, следует отметить, что ко второй половине 70-х годов ХХ-го века были разработаны и систематизированы методы составления физико-математических моделей механических систем, такие, например, как метод Бубнова-Галеркина [31], [86]; метод Власова-Канторовича [32]; вариационные принципы [18], [15] и некоторые другие. В частности, по аналогии с разработанным Федоровым В.М., Кривцовым А.В и Сурниной Е.К. [50] алгоритмом для расчета плит на упругом основании с учетом накопления повреждений, появились алгоритмы для исследования балок с учетом расслоений и трещин. Кроме этого было обосновано применение методов вычислительной математики для проведения численных экспериментов, л например, метода Рунге-Кутта [27], [70]; разностных схем [46]; методов векторной алгебры [82] и некоторых других.

Балки часто используют для исследования других, более сложных систем. Впервые этим приемом воспользовался в конце XVIII века Якоб Бернулли (младший), который получил уравнение изгиба пластины, представляя ее в виде ортогональной системы перекрестных стержней [21]. Позднее, уже в наше время, в работе Головешкина Ю.В. [20], вводится «стержневая» модель оболочки, а в работе Эль-Нашля и By [62] для исследования одномерных и двухмерных конструкций их разбивают на дискретные элементы - стержни с различными характеристиками и видами опираний концов.

В вычислительных экспериментах, проводимых в последние годы, целью которых являлось исследование различных аспектов поведения балок из разнообразных материалов и при воздействии различных внешних сил, можно выделить несколько основных направлений.

Первое из них связано с рассмотрением собственных колебаний балок. Как уже отмечалось выше, Шпехт и Крамп [91] исследовали вопрос влияния показателей свободных колебаний на несущую способность балок. Ямакава, Мураками и Сонода [98] показали важность учета деформаций поперечного сдвига и анизотропных свойств применяемого материала. Вообще, хочется отметить, что в исследованиях балочных конструкций последних лет первенство несомненно принадлежит японской механической школе. Практически 20% всех опубликованных материалов по данному вопросу принадлежит представителям Востока, это связано, скорее всего, с тем, что при строительстве мостов и других инженерных сооружений в Японии широко применяются разнообразные по форме и свойствам балочные конструкции.

Кроме того, постоянные природные катаклизмы (цунами, землятрясения и др.) заставляют уделять особое внимание вопросам устойчивости и надежности конструкций. Но нельзя не отметить также большой вклад российских исследователей в изучение данного вопроса. В частности, рассмотрению у собственных колебаний прямоугольного параллелепипеда с двумя свободными гранями посвящена работа Крысько В.А и Врежкевича Ж.А [95].

Вторым важным направлением исследований колебаний балок являются исследования поведений таких конструкций под воздействием разообразных видов нагрузок. Можно выделить несколько основных вариантов рассматриваемого нагружения. Например, воздействие на балку сосредоточеными нагрузками. В работе Анисимовой Н.В. [3] рассматривается квадратная балка-стенка, нагруженная четырьмя симметрично расположенными по ее длине сосредоточенными силами. Для решения этой задачи используется приближенный метод решения бигармонического уравнения, метод сеток (метод конечных разностей). Рассмотрению задач расчета пластин и оболочек на ^очечных опорах при действии на них локальных нагрузок и точечных возмущений посвящено исследование Видюшенкова С.А. [16], в котором показано, что для такого вида воздействия на систему численные методы являются нерациональными и изучение напряженно-деформированного состояния таких конструкций целесообразно проводить аналитическим путем.

Другой вид нагружения - это ударные нагрузки. Подобные виды нагружения встречаются, например, при рассмотрении соударения ковочного молота с заготовкой в виде прямоугольного параллелепипеда (Юганов Н.А. [54]). Здесь следует также отметить работы таких ученых как Козыра и Шчесняк [73], Каримбаев Т.Д. и Мамаев Ш. [26].

Большое практическое значение имеет также рассмотрение балок при воздействии на них движущихся (транспортных) нагрузок. Так, например, в работе Метрикина А.В. и Дитермана Г.А. [83] изучается установившаяся динамическая реакция рельсового пути на упругом полупространстве в условиях воздействия равномерно движущейся нагрузки. Для исследования он был смоделирован продольно сжатой балкой Эйлера-Бернулли. Аналогичные исследования, только для вязкоупругой основы, показаны Кононовым А.В. и Вольфертом A.M. [72].

Наиболее сложным является изучение поведения балок при одновременом воздействии на них нескольких сил, действующих в различных направлениях. Писаренко Г.С. и Муллагулов М.З. [45] предлагают приблизительный метод расчета плоской формы изгиба балок прямоугольного и двухтаврового сечений при сложной комбинации продольных и поперечных сил. При сопоставлении с известными экспериментальными данными было получено хорошее совпадение результатов. Авторы рекомендуют свои формулы для практических расчетов устойчивости плоской формы изгиба балок при одновременном действии сложной комбинации сил.

Третья группа исследований связана с различными видами ограничений и опираний концов балок. Кроме классически известных случаев опирания (защемленные концы, шарнирно опертые, свободный конец, а также их комбинации), в современных исследованиях очень распространен такой вид оприрания, как пружина, продольная или поперечная. Так, например, Ли-Вон и Йо-Мейонг [77] построили физико-математическую модель поведения консольной упругой балки с ограничением в виде нелинейной пружины на свободном конце под действием поперечного гармонического возбуждения. А Ксинг и Ли [96] рассмотрели задачу по определению больших прогибов упругой балки, при поперечном изгибе под действием вертикальной сосредоточенной силы в произвольной точке. Один конец балки был шарнирно оперт, а другой, с прикрепленной к нему продольной пружиной, подвижен в осевом направлении. Кроме этого, часто встречаются исследования балок, на одном из концов которых имеется либо сосредоточенный момент (ВасеневаО.Ф., Филипова С.Н. [14]), либо сосредоточенная масса (Бальдингер, Хагенауер и Холл [57], Жу и Мот [101]).

Кроме различных видов опирания концов балки, большое внимание в современных исследованиях уделяется рассмотрению колебаний балок при наличии промежуточных опор. Это вызвано тем, что расчет длинных конструкций различных отраслей машиностроения в случае, когда число опор у них больше трех, связан с исследованием поведения балок с прямой осью и соответствующим числом пролетов (Барановский В.М., Мильченко А.И. [7]). Рассматривались различные виды опор и нагрузок: Шагивалеев К.Ф. [52] изучал колебания балки с одной промежуточной сосредоточенной опорой под действием равномерно распределенной по всей длине балки нагрузки; Яньюн [81] исследовал поведение бесконечной однородной неразрезной упругой балки при осевом нагружении с учетом дискретных опор, расположенных на одинаковом расстоянии; Нагаи, Касуга, Камада и Ямагучи [85] описали поведение балки с промежуточными шарнирными опорами и осевым нагружением. При этом следует отметить, что при исследовании динамики пролетных конструкций необходимо помимо общих колебаний учитывать более тонкие динамические эффекты, связанные с местными вибрациями стержневых элементов, которые определяют эксплутационную надежность и долговечность стержневых элементов и узловых прикреплений (Индейкин А.В. [25]).

Вообще, вопросы надежности и долговечности различного вида конструкций являются одними из наиболее практически значимых. На практике редко встречаются однородные по всей длине балки, поэтому исследование конструкций с различными видами изменений в структуре можно выделить как четвертое направление развития теории балок. Были рассмотрены балки, составленные из нескольких однородных упругих участков одинакового поперечного сечения с различными модулями упругости (Кеч [71]). Для решения подобной задачи в месте сопряжения двух однородных участков накладываются дополнительные условия совместности и непрерывности перемещений, углов поворота, изгибающего момента и поперечной силы.

Изучались композитные балки с расслоениями по толщине. В частности, были рассмотрены вопросы локализации расслоений (Хуанг и Кордоматес [66]), проанализированы свободные и стесненные формы потери устойчивости при различных граничных условиях (Шу [90]). Кроме балок с расслоениями, рассматривались также балки, имеющие трещины, например, Чен и Ю [60] провели численно-аналитическое исследование показателей процесса динамического разрушения жесткопластичной защемленной балка с краевыми поперечными трещинами у опертых концов под действием вертикального удара, с учетом взаимодействия между изгибающим моментом и осевой силой.

Особым разделом теории балок является исследование их нелинейных и хаотических колебаний. Наибольший интерес при таких исследованиях представляет неустановившийся, переходный процесс, а также сценарий перехода к хаотическим колебаниям. Исторически считалось, что хаотические колебаний строительных конструкций - непредсказуемы и вызываются случайными внешними факторами, не связанными со свойствами самой конструкции. Но постепенно, с развитием общей теории динамических систем в различных областях, было выявлено, что хаотические явления представляют собой один из характерных типов поведения нелинейных систем. Появились понятия «детерминированный хаос» и «странный аттрактор», были описаны основные виды сценариев перехода к хаосу. Можно отметить монографии, посвященные этим вопросам, таких авторов, как Мун [40], Берже, Помо и Видаль [11], Баранжер [58], Трубецков Д.И. [49] и Анищенко B.C. [4-5]. В частности, при рассмотрении механических систем хаотические явления исследовались такими учеными, как Капитаник [67-69], первая работа которого ориентирована на инженеров-практиков и посвящена общему рассмотрению хаотичесих реакций в строительных конструкциях, во второй - проведен анализ условий перехода к хаотическому поведению в автономной самовозбуждающейся системе под действием периодического и случайного внешнего возбуждения, а третья связана с изучением хаотических осциляторов в механических системах. Беломытцев А.С. и Карабан В.Н. [9] для систем, моделирующих крутильные колебания силовых передач, обнаружили область странного аттрактора, возникающую в результате серии бифуркаций удвоения периода.

Крысько В.А., Комаров С.А., Ромакин А.Г. и др. [37] описали бифуркации и хаотические явления, возникающие при колебаниях гибких оболочек при действии на них продольных и поперечных нагрузок. Вообще, начиная с 1984 года на кафедре Высшей математики СГТУ появился целый ряд работ, посвященных исследованию перехода гармоничеких колебаний в хаотические в пластинах и оболочках. За это время был защищен ряд кандидатских диссертаций по этой проблеме (Мицкевич С.А., Бабенкова Т.В., Кузнецова С.В., Вахлаева Т.В., Салий Е.В.). Опубликованы серии работ, посвященных изучению сложных нелинейных, а также хаотических колебаний в механических системах. Например, сложным колебаниям консервативных и диссипативных мехаических систем в виде многослойного пакета неспаянных балок посвящена работа Крысько В.А., Бочкарева В.В. и Бочкаревой Т.А. [33]. Оказалось, что хаотические колебания в собственном смысле здесь не возникают, хотя и наблюдаются элементы переходного сценария Фейгенбаума.

Начиная с конца 70-х годов XX века появился ряд публикаций, в которых авторы выясняли условия возникновения хаотических явлений в стержневых и балочных конструкциях под влиянием тех или иных внешних воздействий.

В 1979 году Холмс [65] подробно исследовал хаотические движения слегка выпученного стержня, подвергающегося боковому синусоидальному возмущению. Мун [84] установил, что гармонически вынужденое движение выгнутого стержня отчетливо демонстрирует хаотический характер: анализ сечений Пуанкаре показывает сложную, но устойчивую структуру. В работе предложен критерий установления порогового для возникновения хаоса значения амплитуды вынужденных колебаний как функции частоты. Позднее Тенг и Доуэлл [93] определили пороговое значение нагрузки, вызывающей хаотическое перемещение выгнутого стального консольного стержня на основе анализа временного ряда. Некоторое обобщение исследуемых вопросов сделали Ханагуд и Ашлани [64] в своем докладе, который был посвящен хаотическим колебанииям деформируемых систем и, в частности, различным путям перехода к хаосу в колебательных процессах стержневых систем.

В 1985 году Саймоне и Ю [92] теоретически обнаружили и экспериментально подтвердили, что при определенных условиях в колебаниях упруго-пластической балки с закрепленными концами, нагруженной коротким поперечным импульсом, наблюдается аномально высокая чувствительность к изменению ведущих параметров. Впоследствии Ли, Саймондс и Борино [76], продолжая эти исследования, эксперименталььно подтвердили, что в начальный период деформирования движение носит хаотический характер. Кроме этого, было выявлено, что при определенных условиях действие короткого импульса приводит к появлению остаточного прогиба, направленного в сторону, противоположную направлению импульса. А также была установлена экспоненциальная зависимость повышения чувствительности процесса к изменениям параметров.

Абхьянкар, Холл и Ханагуд [56] предложили новый метод численного решения дифференциальных уравнений в частных производных. На его основе они провели компьютерные эксперименты для выявления закономерностей перехода к хаосу в колебаниях балочных структур. Бифуркационные механизмы перехода к хаосу в сложных колебаниях балок под действием квазипериодического нагружения проанализированы в статье Ягасаки [97]. Иошимура, Хино, Камата и Анантанараяна [99] описали хаотические колебания нелинейной шарнирно закрепленной балки переменного поперечного сечения под действием транспортной нагрузки. Жанг, Цай и Янг [100] решили задачу по выявлению условий возникновения хаотических вынужденных колебаний бесконечной деформируемой балки, лежащей на нелинейном упругом основании. Поддар, Мун и Мухерджи [87] усовершенствовали расчетную модель шарнирно закрепленного упруго-пластического стержня с учетом геометрической и физической нелинейности. Развита численная процедура определения хаотических движений стержня при периодическом нагружении. Хан, Ху и Янг [63] рассматривали стойку с жестко защемленными концами, к одному из которых динамически приложена осевая сжимающая сила. Выявлены условия бифуркации форм движения: боковое выпучивание или осевые колебания прямолинейного стержня.

Кроме выше перечисленных работ, можно отметить также серию статей, опубликованных Ю.Лепиком [78-80]. В одной из его работ [79] анализируются нелинейные поперечные колебания выпученной при продольном сжатии балки под действием гармонического возбуждения. Дана оценка пороговой величины поперечной динамической нагрузки, при которой колебания упруго-пластической балки переходят в хаотический режим. При этом оказалось, что для балок указанного типа установившиеся хаотические колебания в случае гармонического возбуждения гораздо более обычны, чем при импульсном нагружении. А в двух других работах ([78] и [80]) рассматриваются динамические колебания упруго-пластической балки при аксиальном нагружении. Для решения применяются метод Галеркина и принцип Гамильтона. Был сделан вывод об определяющей роли первоначальной формы воздействующего импульса.

На основе приведенного обзора публикаций, посвященных исследованиям балочных конструкций разнообразной внутренней структуры при различных внешних условиях и воздействиях, можно сделать следующие выводы:

1. Несмотря на то, что к настоящему моменту проведено достаточно большое количество исследований балочных систем, для них не выявлены общие закономерности перехода к хаосу, т.к. это требует учета различного рода нелинейных факторов. В основном идет накопление конкретных результатов для различных математических моделей, к

2. При исследованиях не было уделено достаточного внимания изучению случая воздействия на балку знакопеременной гармонической нагрузкой, хотя такой вид нагрузок имеет большое практическое значение.

3. В ходе исследований были рассмотрены случаи, когда балка располагалась на разнообразных основаниях, а также случаи наличия промежуточных опор. Но рассмотренные явления просто отсекают один из полупериодов колебаний балки. В реальных же конструкциях чаще встречается случай не полного ограничения прогибов балки в одном из направлений, а наличие некоторого допустимого прогиба (зазора). Подобные же случаи ранее рассмотрены не были.

С учетом вышесказанного была сформулирована цель диссертационной работы:

1. Построение математических моделей динамики балки с учетом физической, геометрической, физико-геометрической нелинейностей и с учетом ограничителей на прогиб.

2. Изучение динамики поведения балки при действии поперечной знакопеременной распределенной на единицу длины нагрузки в зависимости от изменения ее амплитуды и частоты, безразмерного геометрического параметра балки (l/h), расположения ограничителей на прогиб и их количества, а также величины зазора между балкой в состоянии покоя и ограничителем.

3. Определение сценариев перехода в состояние детерминированного хаоса колебаний балки в зависимости от изменения различных параметров системы.

В диссертации использованы методы математического моделирования, теории динамических систем, нелинейной динамики, численные методы.

Научная новизна исследований, проведенных в ходе диссертационной работы, заключается в следующем:

• С использованием основных гипотез нелинейной теории балок и принципа виртуальной работы для геометрически и физически нелинейной балки получены системы дифференциальных уравнений в частных производных, описывающие математические модели колебаний балок при воздействии на них поперечной нагрузкой. Полученные модели позволяют учитывать различные виды зависимости сг^е,), краевые и начальные условия и другие параметры системы.

Предложены и реализованы в виде программного комплекса алгоритмы численного решения указанных систем дифференциальных уравнений в частных производных. В этих программах введены ограничения на прогиб в некоторых точках разбиения, с помощью которых оговаривалась величина зазора между жестким упором и балкой в состоянии покоя. Установлено, что введение ограничителей на прогиб приводит к различным усложнениям формы колебаний (деформирование одного из полупериодов, возникновение осевой и центральной симметрии колебаний, особый характер колебаний в точке расположения упора, колебания балки вокруг нового центра равновесия). Кроме этого, наличие ограничителей на прогиб приводит к тому, что балка выдерживает нагрузки с большой амплитудой, чем при тех же условиях, но без ограничителя, хотя было зарегестрировано возникновение «зон срывов» колебаний.

Получены сценарии перехода в хаотическое состояние колебаний балки под действием поперечной знакопеременной нагрузки в зависимости от изменения ряда параметров. Причем было отмечено, что переходные процессы зависят от выбора учитываемой нелинейности, частоты воздействующей нагрузки, местоположения и количества ограничителей и некоторых других параметров, т.е. показано отсутствие единого сценария. Переходы совершаются по известным схемам перехода к хаосу из общей теории динамических систем (сценарий Помо-Манневиля, сценарий Фейгенбаума), но они не встречаются в чистом виде, а претерпевают некоторые изменения, в частности, сценарий Фейгенбаума усложняется за счет наличия кратных частот.

Основные положения и результаты диссертации представлялись:

1 .На десятой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2000 г.).

2. На II Международной конференции по теории нелинейной динамики механических и биологических систем (Саратов, 2000 г.).

Работа докладывалась на научном семинаре «Численные методы расчета пластин и оболочек» кафедры «Высшая математика» СГТУ под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.н., профессора В.А.Крысько (Саратов, 2002 г.).

По результатам исследований, выполненных при работе над диссертацией, опубликованы работы [28], [34-36].

На защиту выносятся следующие положения:

- математические модели балки, колеблющейся под действием поперечного гармонического возбуждения, с учетом физической, геометрической, физико-геометрической нелинейности и с учетом ограничителей на прогиб;

- разработанная методика компьютерных экспериментов для анализа динамики балок, представленных указанными моделями, с ростом величины амплитуды нагрузки, при различных частотах воздействия, краевых и начальных условиях, неоднородностях материала, а также условиях расположения ограничителей на прогиб;

- результаты исследований колебаний балок с прямоугольным поперечным сечением при действии поперечной знакопеременной нагрузки в зависимости от частоты вынуждающего воздействия, краевых условий, месторасположения упора и величины допустимого прогиба в точках его расположения, в частности, влияние наличия упора на форму и характер колебаний; й

- описание бифуркационных механизмов (сценариев) перехода колебаний балочных структур к хаотическим, в зависимости от учета того или иного вида нелинейности, а также влияние на эти процессы ограничителей на прогиб.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 124 страницы машинописного текста, включая 26 рисунков. Список литературы содержит 101 наименование.

Основные результаты диссертационной работы могут быть сформулированы следующим образом:

1. С использованием принципа виртуальной работы созданы математические модели для изучения колебаний балки с учетом гипотезы Эйлера-Бернулли, физической неоднородности и нелинейности, геометрической нелинейности, а также при наличии ограничений на прогиб под действием распределенной на единицу длины, изменяющейся во времени, поперечной нагрузки.

2. Разработаны и реализованы в виде программного комплекса алгоритмы для численного исследования систем, описываемых построенными математическими моделями.

3. Проведено исследование достоверности результатов вычислительного эксперимента на основании сравнения результатов, полученных теоретическим путем (метод установления, метод Бубнова) с результатами численного эксперимента.

4. Установлено, что введение ограничителей на прогиб приводит к различным усложнениям формы колебаний: деформирование одного из полупериодов, возникновение осевой и центральной симметрии колебаний, особый характер колебаний в точке расположения упора, колебания балки вокруг нового центра равновесия. Кроме этого наличие ограничителей на прогиб приводит к тому, что балка выдерживает нагрузки с большой амплитудой, чем при тех же условиях, но без ограничителя, хотя было зарегестрировано возникновение «зон срывов» колебаний.

5. С помощью вычислительных экспериментов выявлены механизмы перехода в хаотическое состояние колебаний балок с учетом физической и геометрической нелинейности под действием гармонического возбуждения, а также исследовано влияние наличия ограничителей на прогиб на поведение системы. Показано, что переходные процессы зависят от выбора учитываемой нелинейности, частоты воздействующей нагрузки,

114 местоположения и количества ограничителей и некоторых других параметров, что свидетельствует об отсутствии единого сценария. 6. Переходы совершаются по известным из общей теории динамических систем схемам перехода к хаосу (сценарий Помо-Манневиля, сценарий Фейгенбаума), но они не встречаются в чистом виде, а претерпевают некоторые изменения, в частности, сценарий Фейгенбаума усложняется за счет наличия кратных частот.

В заключение хочу выразить искреннюю благодарность своему научному руководителю - Заслуженному деятелю науки и техники РФ, доктору технических наук, профессору Вадиму Анатольевичу Крысько и научному консультанту Анатолию Николаевичу Куцемако за предложенные задачи, постояную помощь и поддержку в работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Аголовян Л.А. Об асимптотическом методе в теории пластин и оболочек // Изв. Нац. АН Армении. Мех. 1999. - 52, №3. - С.56-76.

2. Ананенко А.А., Комаров К.Л. Динамика неупругих балок. — Новосибирск: Наука, 1999.-151 с.

3. Анисимова Н.В., Титова Е.Ю. Расчет балки-стенки методом конечных разностей // Тр. Map. гос.техн. ун-та. 1998. - №6. - С.231.

4. Анищенко B.C. Вадивасова Т.Е. Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: СГУ, 1999. - 368 с.

5. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990. -312 с.

6. Бабушка Н., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1969. - 368 с.

7. Барановский В.М., Мильченко А.И. Раскрытие статической неопределеннрсти неразрезных балок методом комплексных угловых податливостей // Хим. и нефтегаз. машиностр. -1997. №6. - С. 9-13.

8. Белелюбский Н.А. Строительная механика. Лекции / 2 печатное издание Института инженеров путей сообщения императора Александра I. СПб.: тип. Ю.Н.Эрлих, 1897. - 404 с.

9. Беломытцев А.С., Карабан В.Н. Численный анализ установившихся колебаний в нелинейных механических системах // Нелинейн. колебания мех. систем: Тез. докл. 2 Всес. конф., сент., 1990. Горький, 1990. - Т.1. -С.153-154.

10. Ю.Березин Н.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Физматгиз, 1962. -Т.1.-639 с.

11. Берже П., По^о И., Видаль К. Порядок в хаосе. М.: Мир, 1991. - 386 с.

12. Бобылев Д.К. Курс аналитической механики. Части 1-2. - СПб.: тип. Акад. наук, 1880-1883.

13. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гостехиздат, 1956. - 600 с.

14. Н.Васенева О. В., Филиппова С. Н. Решение задачи о плоском изгибе стержня методом конечных разностей // Тр. Map. гос. тех. ун-та. -1996. №3. — С. 59.

15. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности: Пер. с англ. М.: Мир, 1987. - 542 с.

16. Видюшенков С.А. О задачах пластин и оболочек на точечных опорах и некоторых методах их решения // Болт. акад. информатиз.: Акад. вести. -1998. №1. - С.131-134.

17. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. М.: Гостехиздат, 1949. -784 с.

18. Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956. -420с.

19. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972.-432 с.

20. Головешкин Ю.В. К построению математически корректной модели теории оболочек и пластин // Тр. 16 Междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Нижний Новгород, 21-23 сент., 1993. Н.Новгород, 1993. - Т.2. - С.71-76.

21. Григолюк Э.И. С.П. Тимошенко. Жизнь и судьба. СПб.: ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова, 2000. - 274 с.

22. Журавский Д.И. О мостах раскосной системы Гау. Часть 1. - Спб.: тип. Д.Кесневилля, 1855. - 114 с.

23. Зуев А.К. Экспериментальное изучение поперечных колебаний тонкой балки // Диз. энерг. установки реч. судов / Новосиб. гос.акад. вод. трансп. -Новосибирск, 1999ю-С.69-70.

24. Каримбаев Т.Д., Мамаев Ш. Изгиб балки при поперечном ударе по движущейся цлощадке // ЦИАМ. Препр. 2000. - №33. - С. 1-29.

25. Карпов В.В. Применение процедуры Рунге-Кутта к функциональным уравнениям ; нелинейной теории пластин и оболочек // Расчет пространственных систем в строительной механике. Саратов: СГУ, 1972. -С.3-7.

26. Киреева О.Н., Крысько В.А. Исследование балок Бернулли-Эйлера и типа Тимошенко с ограничением на прогиб // Труды десятой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». -Самара, 2000.-С.50-53.

27. Кирпичев B.JI. Собрание сочинений. Т.1. - Петроград.: Изд. Совета Петроградского политехнического института, 1917. - 615 с.

28. Коллатц JI. Задачи на собственные значения с техническими приложениями: Пер. с нем. М.:Наука, 1968.31 .Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М.:Наука, 1964. - 192 с.

29. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. -Саратов: СГУ, 1976. 216 с.

30. Крысько В.А., Бочкарев В.В., Бочкарева Т.А. Динамика консервативных и диссипативных систем в виде многослойного пакета неспаянных балок // Нелинейная динамика механических и биологических систем. Саратов: СГТУ, 2000.-С. 177-186.

31. Крысько В.А., Киреева О.Н. Анализ характера колебаний балки Эйлера-Бернулли с учетом влияния ограничения на прогиб // Известия вузов. Машиностроение. 2001. - №5. - С.3-11.

32. Крысько В.А., Киреева О.Н. Изучение влияния наличия нескольких ограничителей на прогиб на колебания балки Эйлера-Бернулли // Нелинейная динамика механических и биологических систем.: Межвуз. научн. сб. Саратов: СГТУ, 2000. - С. 138-144.

33. Крысько В.А., Сопенко А.А. Динамическая устойчивость геометрически и физически нелинейных пологих оболочек при учете связанности деформаций и температуры // Прикл. механика. 1989. - 25, №11. - С.49-54.

34. Кузнецов С.П., Ерастова Е.Н. Теория Фейгенбаума //Лекции по электронике СВЧ и радиофизике. Кн.2. - Саратов: СГУ, 1983. - С. 3-22.

35. Мун Ф. Хаотические колебания. М.:Мир, 1990. - 395 с.

36. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. -Казань:Таткнигоиздат, 1957. 432 с.

37. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1962. - 431 с.43,Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. М.: МГУ, 1969. 695 с.

38. Петров Н.П. К вопросу о прочности рельсов. С.Пб.: Издание особой комиссии для всесторонненго исследования ж.д. в России, тип. Лосмковского, 1912. - вып.88. - 65 с.

39. Писаренко Г.|С., Муллагулов М.З. Приближенный метод расчета балок и устойчивость при действии системы продольных поперечных сил // Пробл. прочн. 1998. - №3. - С.69-77.

40. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971. -552 с.

41. Тимошенко С.П. О продольном изгибе стержней в упругой среде // Известия С.-Петербургского политехнического института. 1907. - Т.7. - Кн.З. -С.95-113.

42. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек / Избранные работы под редакцией Э.И. Григолюка. — М.:Физматгиз, 1971. 808 с.

43. Трубецков Д.И. Турбулентность и детерминированный хаос // Сорос.образ. ж. 1998.- №1. - С.77-83.

44. Федоров М.В., Кривцов А.В., Сурнина Е.К. Алгоритм расчета плит на упругом основании с учетом накопления повреждений // Соверш. конструктив, решений и методов расчета строит, конструкций.: Межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 1999. - С. 115-120.

45. Цурпал И.А., Шульга Н.А. Основные уравнения теории тонких пологих оболочек с учетом физической нелинейности // Прикл. Механика. 1965. -Т.1. -№12.-С. 15-21.

46. Шагивалеев К.Ф. Расчет балки на упругом основании со свободными концами и одной промежуточной сосредоточенной опорой // Соверш. конструктив, решений и методов расчета строит, конструкций.: Межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 1999. - С.90-94.

47. Эйбрамсон Х.Н., Пласс X. Дж., Риппергер Э.А. Распространение волн напряжения в стержнях и балках // Проблемы механики. Вып. III / Подобщей редакцией X. Драйдена и Т.Кармана: Пер. с англ. М.:ИЛ, 1961. -С.24-90.

48. Юганов Н.А. Нестационарные колебания стержневых систем при соударении с препятствием: Автореф. дис. канд. техн. наук / Ульянов, гос. техн. ун-т. Ульяновск, 2000. - 18 с.

49. Ясинский Ф.С. Опыт развития теории продольного изгиба. СПб.: тип. Ю.Н.Эрлих, 1893.-270 с.

50. Abhyankar N.S,, Hall Е.К., Hanagud S.V. Chaotic vibrations of beams: numerical solution of partial differential equations // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1993. -60, №1. -P.167-174.

51. Baldinger Martin, Hagenauer Klaus, Holl Helmut J. Aktive H2-Regelung von Strukturschwingungen kontinuierlicher mechanischer System II Osterr. Ing. und Archit. -Z. МФИШ. 1999. - 144, №5. - P.227-232.

52. Baranger Michel. The meaning of the chaos revolution // MIT-CTP Prepr. -1995 -№2416.-P.l-8.

53. Brunner Maurice. Zum plastischen Tragverhalten von Holzbalken// Schweiz. Ing. und Archit. 2000. - 118, №25. - P.9-12.

54. Chen F.L., Yu T.X. Dynamic behaviour of a clamped plastic beam with cracks at supporting ends under impact // Trans ASME:: J. Pressure Vessel Technol. -1999.- 121,№4.-P. 406-421.

55. Dogaki Masahiro, Pek Songbo, Yonezawa Hiroshi. Dynamic buckling of rectangular plates under periodic shear force // Kansai daigaku kogyo gijutsu kenkyujo kenkyu hokoku. 2000. - 15. -P.169-178.

56. Hanagud S., Ashlani F. Routes to chaos in structural dynamic systems // 18th Int. Congr. Theor. and Appl. Mech., Haifa, Aug.22-28, 1992. Haifa. - 1992. - P. 70.

57. Holms P.J. A nonlinear oscillator with a strange attractor. Phil. Trans. Roy. Soc., London, Ser. A. - 1979. - 292. - 419 p.

58. Huang Haiying, Kardomateas George A. Bucking of orthotropic beam-plates with multiple central delaminations // Int. J. Solids and Struct. 1998. - 35, №13. -P.1355-1362.

59. Kapitaniak T. Chaos for engineers: theory, applications and control. Berlin: Heidelberg - New York: Springer. - 1998. - 142 p.

60. Kapitaniak T. Chaos in a noisy mechanical system with stress relaxation // J. Sound and Vibr. 1988. - 123, №3. - P.391-396.

61. Kapitaniak T. Chaotic oscillations in mechanical system. Manchester: Manchester University Press. - 1991.

62. Kononov Alexei V., Wolfert Rogier A.M. Load motion along a beam on a viscoelastic half-space // Eur. J. Mech. A. 2000. - 19, №2. - P.361 -371.

63. Kozyra Zofia, Szczesniak Waclaw. Obciazenie impulsowe beiek niejednorodnych // Warsaw Univ. Technol. Fac. Civ. Eng. Warsaw, 1999. - P.300-307.

64. Kulkarni Shrikrishna M., Shah Surendra P. Response of reinforced concrete beams at high strain rates // ACI Struct. J. 1998. - 95, №6. - P.705-715.

65. Lakshmikumaran A.Y., Wickert J.A. Edge buckling of imperfectly guided webs // Trans. ASME. J. Vibr. and acoust. Trans. ASME. J. Vibr., Acoust., Stress and Rel. Des.. 1998.-120, №2.-P.346-352.

66. Lee J.-X., Symonds P.S., Borino O. Chaotic responses of a two-degree-of-freedom elastic-plastic beam model to short pulse loading // Trans. ASME: J. Appl. Mech.- 1992. 59, №4. - P.711-721.

67. Lee Won Kyoung, Yeo Myeong Hwan. Two-mode interaction of a beam with a nonlinear boumdary condition // Trans. ASME. J. Vibr. and Acoust. 1999. -121, №1.-P. 84-88.

68. Lepik Ulo. Dynamic buckling of elastic-plastic beams includding effects of axial stress waves // Int. J. of Impact Engineering 2001. - 25 - P. 537-552.

69. Lepik Ulo. Elastic-plastic vibrations of a buckled beam // Int. J. Non-Linear Mech.- 1999. 30, №2. - P. 129-139.

70. Lepik Ulo. On dynamic buckling of elastic-plastic beams // Int. J. Non-Linear Mech. 2000. - 35, №1. - P.721-734.

71. Luo Yanyun // Zhendong gongcheng xuebao=J. Vibr. Eng. 1998. - 11, №4. -P.443-449.

72. Meng Wenyuan, Wang Zhiliang, Li Zxiuqin. The nonlinear geometrical equations for thin shell with arbitrary initial geometrical imperfections // Hunan daxue. Xuebao, Zuran kexue ban=J.hunan Univ. Natur. Sci. 1997. - 24, №3. - P.62-69.

73. Metrikine A.V., Dieterman H.A. Lateral vibrations of an axially compressed beam on an elastic half-space due to a moving lateral load // Eur. J. mech. A. 1999. -18, №1 . -P.147-158.

74. Moon F.C. Experimental models for strange attractor vibrations in elastic systems // New approaches to non-linear problems in dynamics / Proc. Conf., Pacific Grove, Calif. 1979. - Philadelphia, Pa.: SIAM, 1980. - P.487-495.

75. Nakano Nobuhide, Shintani Atsuhiko, Ohsumi Akira. //Nihon kikai gakkai ronbunshu.=Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. 2000. - 66, №643. - P.48-56.

76. Poddar В., Moon F.C., Mukherjee S. Chaotic motion of an elastic-plastic beam // Trans. ASME: J. Appl. Mech. -1998. 55, №1. - P.185-189.

77. Reddy J.N. On the dynamic behaviour of the Timoshenko beam finite elements // Sadhana 1999. - 24, №3. - P. 175-198.

78. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence // Commun. Math. Phys., 1971. -v.20. P.167-192. // Русский перевод в сб. «Странные аттракторы». -М.:Мир, 1981 - С.117-151.

79. Shu D. Buckling of multiple delaminated beams // Int. J. Solids and Struct. -1998.-35, №13.-P.1451-1465.

80. Specht Manfred, Kramp Michael. Der Einflub von freien Schwingungen auf ausgewahlte dynamische Parameter von Stahlbetonbiegetragern // Dtsch. Ausschuss Stahlbeton. P. 1-162.

81. Symonds P.S., Yu T.X. Counter-intuitive behavior in a problem of elastic-plastic beam dynamics // Trans. ASME.: J. Appl. Mech. 1985. - 52, №3. - P. 517-522.

82. Tang D.M., Dowell E.H. On the threshold force for chaotic motions for a forced buckled beam // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1988. - 55, №1. - P. 190-196.

83. Wang J. T.-S., Lin C.-C. A method for exact series solutions in structural mechanics // Trana. ASME. J. Appl. Mech. 1999. - 66, №2. - P.380-387.

84. Wrejcewicz J .A., Krysko V.A. Vibration analysis of the plates and shells of moderate thickness // J. Techn. Phys. 1999. - 40, №3. - P.277-305.

85. Xing Jingzhong, Li Shirong. Large deflection bending of elastic beam with elastic movable support due to single load // J. Gansu Univ. Technol. 1999. - 3, №1. -P.95-98.

86. Yagasaki Takao. Bifurcations and chaos in quasi-periodically forced beam. Theory, simulation and experiment f! J. Sound and vibr. 1995. - 183, №1. - P.l-31.

87. Yamakawa Junya, Murakami Hidenori, Sonoda Yoshimi. On the static and free vibration analyses of anisotropic simply-supported beams // Mem. Nat. Def. Acad. 1995. - 35, №1. - P.9-20.124

88. Yoshimura Т., Hino J., Kamata Т., Ananthanarayana N. Random vibration of nonlinear beam subjected to a moving load: a finite element method analysis // J. Sound and vibr. -1998.-12, №2. P.317-329.

89. Zhang Jian-wen, Cai Zhong-min, Yang Gui-tong. The chaotic behaviour of the infinite beam on nonlinear elastic foundation // Proc. 3rd Int. Conf. Nonlinear Mech., Shanghai, Aug. 17-20, 1998: ICNM-3. Shanghai. 1998. - P.428-431.

90. Zhu W. D., Mote C. D. (Jr). Dynamic modeling and optimal control of rotating Euler-Bernoulli beams // Trans. ASME. J. Dyn. Syst., Meas. and Contr. -1997. -119, №4. -p.802.