автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Рассеяние термоупругих волн на цилиндрических и сферических телах

РГБ ОД

■ * ЯН» 21И

Министерство образования Российской Федерации Тульский государственный университет

На правах рукописи

Липатов Иван Алексеевич

РАССЕЯНИЕ ТЕРМОУПРУГИХ ВОЛН НА ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ И СФЕРИЧЕСКИХ ТЕЛАХ

Специальность: 05.13.16- Применение вычислительной техники,

математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Тула - 2000

Работа выполнена в Тульском государственном университете.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор

Толоконников Лев Алексеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Маркин А. А. кандидат технических наук, доцент Баранов В.П.

Ведущая организация - ГНПП «Сплав»

Защита диссертации состоится «¿Ю » 2000 г. в К

часов на заседании диссертационного Совета К 063.47.10 в Тульском государственном университете по адресу: 300600, г. Тула, пр. Ленина, 92 (9-й учебный корпус, ауд. 101)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета.

Автореферат разослан « 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета кандидат технических наук, доцент

В.А.Ковешников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Проблема рассеяния упругих волн на препятствиях различной формы постоянно привлекает внимание исследователей. Это объясняется тем, что развитие приложений динамической теории упругости требует решения новых актуальных проблем, разработки все более точных математических моделей, описывающих реально наблюдаемые физические процессы.

Для решения многих технических задач актуальна проблема взаимодействия упругих волн с различными телами, материалы которых имеют разнообразные свойства. Информация о динамической напряженности в окрестности неоднородности (полости, включения, локального изменения свойств и т.д.) необходима для различных целей. В настоящее время известны решения задач дифракции волн на телах различной геометрической формы. При этом указанные тела рассматривались не только как идеальные, но и как упругие.

Значительный интерес для теории и практики представляют исследования рассеяния упругих волн на цилиндрических и сферических телах, так как многие реальные объекты достаточно хорошо могут быть аппроксимированы такими телами. Кроме того, результаты решения задач динамической теории упругости служат отправным пунктом в последовательном изучении дифракции волн на телах сложной конфигурации.

Большинство работ в теории упругих волн посвящено изучению и анализу процессов, происходящих в изотропных однородных упругих средах. Такие среды являются наиболее простыми для математического описания, и поэтому волновые процессы, происходящие в них, наиболее изучены. Рассеяние упругих волн на цилиндрических и сферических телах, содержащихся в изотропных однородных средах, изучалось в ряде работ (Бре-ховских Л.М., Векслер Н.Д., Гузь А.Н., Головчан В.Т., Филиппов И.Г., Шендеров Е.Л., Петрашень Г.И. и др.).

В современных конструкциях наряду с упругими материалами, принимаемыми за изотропные, широко используются анизотропные материалы. Исследования нестациионарных волновых полей в упругих анизотропных средах проводились в работах Свекло В.А., Петрашеня Г.И., Будаева B.C., Рахматуллина Х.А., Филиппова И.Г., Поручикова И.Б., Anderson D.V., Buchwald V.T., Burrige R., Willis J.R. и др. Круг работ по изучению дифракции установившихся упругих волн на анизотропных телах достаточно узок.

Отвлечение от влияния тепловых полей на поле деформаций часто оказывается вполне допустимым и оправданным. Однако развитие техники и технологий требует уточненного подхода к рассмотрению рассеяния упругих волн с учетом сложных внутренних процессов, происходящих в упру-

гих средах. Вот почему к числу проблем, представляющих большой те оретический и практический интерес, относится проблема рассеяния тер моупругих волн на телах различной формы. Указанная проблема являете} малоисследованной. Рассеяние термоупругих волн на анизотропных тела? до сих пор не изучалось. |

Таким образом, исследование рассеяния термоупругих волн на тела? цилиндрической и сферической формы на основе связанной задачи термо упругости является актуальной проблемой.

Целью работы являлось изучение напряженно-деформированного со стоянйя окрестности цилиндрических и сферических препятствий в термо упругих (изотропной и анизотропной) средах, созданного совокупным вол новым полем; исследование взаимодействия температурного поля и пол> деформаций при малых термических возмущениях.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- получены аналитические решения задач дифракции продольных термоупругих волн на жестких телах цилиндрической и сферической формы

- решена задача рассеяния коротких термоупругих волн сдвига жестким цилиндрическим препятствием;

- найдены решения задач дифракции термоупругих волн на терма упругих препятствиях, имеющих форму кругового цилиндра и сферы;

исследовано рассеяние термоупругих волн трансверсально изотропными цилиндрическими и сферическими оболочками.

Достоверность полученных решений вытекает из корректной поста новки задач и обоснованности применяемых математических методов, обес печатается проведением расчетов на ЭВМ с контролируемой точностью 1 подтверждается совпадением результатов, полученных по разработанные алгоритмам, с известными решениями в частных случаях.

Практическое значение работы. Результаты, полученные в дис сертации, представляют собой вклад в решение динамических задач свя занной термоупругости. Пакеты прикладных программ могут быть ис пользованы для получения численных результатов, необходимых в дефек тоскопии, сейсмологии и геологоразведке, при исследовании отражающие свойств цилиндрических и сферических дефектов в материале, при изуче нии параметров вещества.

Диссертационная работа связана с планом основных научных работ Тульского государственного университета и выполнялась в рамках госбюд жетной темы " Некоторые вопросы прикладной математики и механики" (Г* гос. рег. 01910046438) кафедры "Прикладная математика и информати ка". Ряд полученных в диссертации теоретических результатов использован для построения математических моделей и создания соответствуюшегс программного обеспечения, которые внедрены в ГУП "КБ Приборостроения" .

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на международной конференции "Итоги развития механики в Туле" (Тула, 1998г.); на научно-практической конференции "Прикладная математика-99" (Тула, 1999г.); на Всероссийской научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики" (Тула, 2000г.); на научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ (1999г.,2000г.).

Публикации по результатам проведенных исследований приведены в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 130 наименований; содержит 139 стр. машинописного текста, включает 43 рисунка и 1 таблицу.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность темы исследования, указывается цель работы, апробация, приводится краткое содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава состоит из двух разделов.

В первом разделе дан обзор литературы по теме исследования.

Во втором разделе приводятся основные уравнения движения термоупругих изотропных и анизотропных тел и модели, используемые при постановке задач дифракции.

Полная система уравнений общей задачи термоупругости для изотропной среды состоит из

1) уравнений движения в отсутствии массовых сил;

2) определяющего уравнения термоупругой модели;

3) уравнения притока тепла;

4) выражения деформации через перемещения

= + 1,] = 1,2,3, (1)

где - компоненты тензора деформаций, [/,• - составляющие вектора смещения; запятая означает дифференцирование по координате, поело запятой следует индексное обозначение координаты.

Из этой системы можно найти поля напряжений, деформаций и температур, удовлетворив начальным и граничным условиям. Условия совместности будут выполнены автоматически в силу (1).

Будем предполагать, что термические возмущения малы. В случае установившегося движения (с временным множителем е~'ш() эта система приводится к трем волновым уравнениям - двум скалярным

Л<Р! + = 0; Луз + = 0> (2)

- б -

и одному векторному

ДФ + к22 Ф = 0, (3

где <р1 = + <рг - потенциал продольных волн в термоупругой среде, потенциал падающей волны,¿р, - потенциал отраженных волн, у>2 - потен циал тепловых волн в термоупругой среде, Ф - векторный потенциал сдви говых волн, кц, к'2[, ¿2 - волновые числа продольных, тепловых и сдвиговы волн соответственно.

При этом вектор смещения и = grad(y>l + Уг) + го1Ф, а температур определяется выражением

где Т - температура возмущенной среды, То - температура среды в непсг мущенном состоянии, «г - коэффициент линейного теилоного расшарешп Для однозначного нахождения решения системы (2), (3) необходим выполнение граничных и дополнительных условий - условия излучения н бесконечности и условия ограниченности.

В случае анизотропного термоупругого тела невозможно введение пс тенциалов. Поэтому для описания волнового движения в термоупруго среде используется общее уравнение движения

32£/,-

= = "л. = 1.2,3, (4

и обобщенное уравнение теплопроводности:

д2Т дТ д

где сг^ - компоненты тензора Напряжений, р - плотность среды, ку - тен зор теплопроводности анизотропного тела, се - удельная теплоемкость пр постоянном тензоре деформации, /3,^ - температурные напряжения.

Компоненты тензора напряжений связаны с компонентами тензора де формаций и температурой соотношениями Дюамеля-Неймана

<гц = Хцыек1-Рц(Т-То), (€

где \ijki - компоненты тензора упругой жесткости анизотропного тел (упругие постоянные анизотропного материала).

Полная система уравнений (4),(5) решается с соответствующими гра личными и дополнительными условиями.

Во второй главе, состоящей из трех разделов, рассматриваются ста ционарные задачи дифракции термоупругих волн на цилиндрических пре пятствиях.

1 первом разделе изложено решение задачи дифракции плоских термоупру-их волн, наклонно падающих на бесконечно жесткое цилиндрическое пре-ятствии кругового сечения.

Термоупругая волна сжатия единичной амплитуды

ipi — exp[iku(r eos 9 eos а + г sin а)] (7)

аклонно падает на бесконечный жесткий цилиндр кругового сечения радн-са а, ось которого совпадает с осью z цилиндрической системы координат ,9, г (а - угол падения). Окружающая среда - термоупругий материал с лотностью р и константами Ламе А и /i.

Задача определения поля динамических напряжений и смещений в тер-юупругой среде при прохождении плоской волны расширения сводится к ешению уравнений Гельмгольца (2),(3).

Используя разложение exp[ipir cos#] по цилиндрическим функциям, ля падающей волны (7) получаем

= ¿ inJn(Plr)ein<>, (8)

де /3 = kitsina, pi = кцсоза = \/k\t - /З2, J„(x) - цилиндрическая функ-;ия Бесселя первого рода порядка п.

Потенциалы отраженного поля с учетом условий излучения на боско-:ечности ищем в виде

tp.zzeW* ¿ inAnHn(pir)ein$] <p7 = ê** jP inB„Hn(p,r)eine

n=—oo n=—со

oo со

£ i"CnHn(рзr)einS; Ф2 = e"* i"DnHn(p3r)einS

(9)

де Ф1, Ф2 - потенциалы сдвиговых волн, р2 = у/к^ — /З2; рз — \/Щ — ¡32;

- цилиндрическая функция Ханкеля первого рода порядка п; 1„, Вп,Сп. Оп - неизвестные комплексные коэффициенты, подлежащие яределению из граничных условий, которые заключаются в равенстве юрмального и касательного смещений нулю и равенстве температур на ранице жесткого цилиндрического включения и среды, т.е.

иг\г=а — 0; и» |г=а = 0; У,|г=в = 0; Т,|г=а = Т,|г=а, (10)

де иг - нормальная, 11в,иг - касательные компоненты смещения упругой реды, Т) - температура упругой среды, Т, - температура включения.

Подставляя ряды (8) и (9) в граничные условия (10), получаем систему 'равнений для определения неизвестных коэффициентов АП,ВП1СП,0П.

п = — оо

Определив эти коэффициенты, находим выражения для составляющих т зора напряжений и вектора смещения.

Рассмотрен частный случай нормального падения волны на цилин, Получено решение задачи в форме, позволяющей определить дифракци ное поле вблизи отражающей поверхности, что существенно при оце| динамической напряженности в окрестности концентраторов напряжен!

По полученным результатам были проведены численные расчеты J намических напряжений на границе препятствия. Представлены граф! зависимости

- нормального напряжения от угла падения волны для различных в< новых размеров, углов наблюдения и материалов среды;

- нормального, касательного и окружного напряжений от волнов< размера в сравнении с аналогичным случаем упругой среды, а также л различных материалов окружающей среды, при различных углах набл дения, с учетом и без учета параметра связанности;

- приращения температуры от волнового размера продольных воле

Построены круговые диаграммы направленности динамических в

мальных и касательных напряжений для различных волновых чисел па, ющей волны.

Построены графики зависимости максимального нормализованного ] пряжения от волнового размера в случае термоупругой и упругой сре, для различных углов наблюдения.

Расчеты показали, что для металлов эффект связанности температ; ного поля и поля деформации слабо влияет на распределение динамическ напряжений и оказывает существенное влияние в случае материала срея обладающего большим параметром связанности.

Эффект термоупругости зависит и от угла падении волны на цши дрическое препятствие, и от угла наблюдения в, и от частоты падаюд волны. Влияние термоупругости на деформированно-напряженное сост< ние на границе препятствия зависит от характеристик материала округ ющей среды.

Круговые диаграммы направленности для нормального и касатслы го напряжений заметно отличаются от соответствующих характерист упругого изотропного тела. С увеличением волнового размера тела от: чия наблюдаются не только в размерах лепестков диаграммы направл ности, но и в их форме.

Во втором разделе рассматривается задача рассеяния коротких пл< ких термоупругих волн сдвига жестким круговым цилиндром. Найде аналитическое решение задачи. Полученные ряды по цилнндрическ функциям формально определяют точное решение задачи. Однако в от чае, когда длина падающей волны намного меньше размеров тела, э ряды обладают плохой сходимостью.

В данном разделе методом Ватсона получено приближенное аналнтн-еское решение задачи при нормальном падении волны к оси цилиндра. Потенциалы отраженных волн заданы в виде бесконечного ряда

одынтегральная функция которого содержит множителем аналитическое родолжение общего члена ряда в комплексную плоскость его номера. Конур интегрирования С на комплексной плоскости и охватывает веществен-ую ось и обходится по часовой стрелке. Внутри области, ограниченной энтуром С, подынтегральная функция (11) имеет полюсы первого поряд-а, определяемые из уравнения вни/тг = 0, = 0, ±1; ±2;... и не меет ни одного полюса функции Си. Затем производится деформация

Исследуется поведение подынтегральной функции на комплексной лоскости и с помощью асимптотических выражений Дебая для цилин-рических функций показывается, что в верхней полуплоскости и справа, слева от точек ветвления V = ±¿2^ она убывает всюду при \и\ —> оо.

Приходим к интегралу по контуру, окружающему полюсы функции 'и. С целью нахождения указанных полюсов решалось сложное трансцен-энтное уравнение относительно и, содержащее цилиндрические функции эмплексного индекса и от комплексного аргумента.

Интеграл (11) разбивается на сумму двух интегралов, первый из кото-ых вычисляется с помощью теории вычетов, второй - методом перевала.

В третьем разделе рассматривается задача дифракции плоских тер-оупругих волн на термоупругом цилиндрическом препятствии кругового :чения для случая нормального падения.

Поскольку в некоторых случаях пренебречь упругостью включения не-ьзя, были рассмотрены рефракционные волны, т.е. волны, прошедшие во слючение. Потенциалы этих волн удовлетворяют уравнениям

¿1^1 = 0; + = ДФ + к*2Ч = 0, (12)

отенциалы продольных, тепловых и сдвиговых волн во внешней среде зляются решениями уравнений (2),(3).

Граничные условия на поверхности препятствия заключаются в ра-знстве нормальных и касательных напряжений и смещений, температур

Ф,= £ СиН„(кг)ем

Согласно методу, этот ряд преобразуется в интеграл вида

(П)

с

энтура С.

и потоков тепла включения и среды:

иг = и*\ атг= а*г\ Т = Т*;

ТТ ГГ* * \ дТ \* ^

ив=ив] <тто=(ггв\ при г~а'

где Ат, Ау - коэффициенты Теплопроводности материала среды и вклю ния соответственно.

При этом отраженные волны должны удовлетворять условиям излу ния на бесконечности, а потенциалы волн внутри препятствия - услов ограниченности. Потенциал падающей продольной волны имеют вид

¥>.■= £ Мкиг)еш', (

п=—оо

Общие решения волновых уравнений (2),(3) и (12) ищем в форме ря. по цилиндрическим функциям

оо

IП0.

<р,= £ АпНп(киг)еш; фх= £ Оп1п(к*иг)е{

п= — оо пгг — оо

оо оо

92= ^ ВпНп{къг)еш; ф2 = ^ Яп-МВДе'"'; (

оо п=—оо

оо оо

£ СпНп(к2г)еш; *= Рп3п(к*2г)е^в,

П- — СО П —— 00

где Ап, Вп, Сп, , Еп, Fn — постоянные интегрирования, подлежав определению из граничных условий.

Подставляя ряды (14),(15) в условия (13), получаем для каждого з чения п систему шести алгебраических уравнений для определения не вестных коэффициентов А„, Вп, Сп, Оп, Еп, Рп.

Решая эту систему, находим неизвестные коэффициенты.

Проведены подробные численные исследования. Построены граф! зависимости модулей нормального и касательного напряжений от волно го размера при фиксированном угле наблюдения для различных матер лов среды и включения в случаях термоупругих и упругих сред и вклю ний, из которых видно, что термоупругость оказывает существенное в яние на распределение динамических напряжений.

В третьей главе данной работы, состоящей из двух разделов, р сматриваются задачи рассеяния плоских термоупругих волн на сферй ских препятствиях.

В первом разделе получено аналитическое решение задачи дифракг плоских термоупругих волн на жестком сферическом препятствии в с симметричном случае.

- и -

В неограниченной термоупругой среде имеется абсолютно жесткое сферическое препятствие радиуса а, на которое падает плоская монохроматическая продольная волна

¡р{ — ехр(гкиг), (16)

распространяющаяся в направлении полярной оси г. Поместим начало координат в центр препятствия и введем сферическую систему координат (г, (?,<£>), направив полярную ось 2 вдоль направления распространения падающей волны. В силу осевой симметрии вектор смещения и и тензор напряжения (г,^- не будут зависеть от азимутального угла <р. Для решения следует найти потенциалы удовлетворяющие волновым уравне-

ниям Гельмгольца (2), (3), граничным условиям на поверхности сферы и условиям излучения на бесконечности для потенциалов отраженных волн. Граничные условия заключаются в равенстве нормального и касательного смещений нулю и равенстве температур на границе жесткой сферы и среды:

£01г=о = 0; Т,\т=Т.\г=а=а1 з = г,в. (17)

Решение задачи получено методом разделения переменных. Искомые потенциалы <р1,(р2,Ф находятся в виде разложений по полиномам Лежан-дра.

По полученным результатам были проведены численные расчеты нормального и касательного напряжений на границе препятствия и приращения температуры в зависимости от волнового размера падающей продольной волны; построены круговые диаграммы направленности для различных волновых чисел. Численное исследование показало, что для случал жесткого сферического препятствия справедливы выводы, сделанные в первом разделе второй главы для случая жесткого цилиндрического препятствия.

Во втором разделе изложено решение задачи дифракции плоских термоупругих волн на термоупругом сферическом препятствии. Задача определения полей напряжений и температуры сводится к решению уравнений

А<р\ + к\г<р1 — 0; + 0; ДФ + ¿зФ = 0;

Аф1+к*1?ф1 = 0; Д^а+ 0; ДФ + ^2* = 0. °8)

При этом должны быть выполнены условия излучения на бесконечности для потенциалов отраженных волн и условие ограниченности для потенциалов волн, прошедших во включение.

Разложим падающую волну (16) в ряд по полиномам Лежандра

со

У.- = ]С^»(/:1гГ)Р"(с05<?)> 7» = (2п + 1)г'п- (19)

п=0

где )п{х) - сферическая функция Бесселя первого рода порядка га, Рп{х) Полином Лежандра степени п.

Потенциалы отраженных волн и поля внутри сферы ищем в виде

оо п=0 оо = £А>7п:МВДР„(со80); п=0

оо = ^В„7„/1п(^г)Р„(соз0); п=0 Ф2 сю = '%2En1njn(k2tr)Pn{cosв)■, п=0

00 Л п=0 Ф: °° в, = £ в), п—0

где Нп(х) - сферическая функция Ханкеля первого рода порядка п; А„, В, Сп> Оп, Еп, Рп - постоянные интегрирования, подлежащие определению I граничных условий (13).

Подставляя ряды (19),(20) в граничные условия (13) и используя орте тональность полиномов Лежандра и уравнение Лежандра, получаем сист< му уравнений для определения неизвестных коэффициентов Ап, Вп,Сп, Д Еп, Рп. Определив эти коэффициенты, найдем функции <рг,<р2,Ф, ф\, Ф2, ^ после чего находим выражения для нормального и касательного напряж< ний в окружающей среде и термоупругом препятствии.

Приведены численные расчеты динамических напряжений на гранщ сферического препятствия для различных материалов среды и включеии; Исследование показало, что в случае сферического препятствия влияни термоупругости существенно для распределения динамических напряж« ний на границе препятствия.

В четвертой главе в первом разделе рассматривается задача рассо ния термоупругих волн трансверсально-изотропной толстостенной цилш дрической оболочкой с жестким коаксиальным включением в термоупруго среде.

Падающая волна может быть представлена в виде (8).

Воспользуемся общими уравнениями движения упругой среды в щ линдрических координатах:

д<Тгг 1да,

дг г д<р

деггц, 1 дсТуц,

дг г д(тГ2 дг

гц> д<Тг

+ дг да,

1, х д2иг

+ -(£ггг = р-

г

дг2

+ -

д<р 1д<г,

г д<?

+

+

¥>2

2

дг

дсггг атх дг г

д2и^

д2Уг

' дг2 '

Для трансверсально - изотропного цилиндра соотношения Дюамеля-Неймана (6) принимают вид:

<тгг = Ац£гг + + А^е« — ß\\Q;

cr<pip = \l2trr + All £<РЧ> + Ai3£ZJ — ßnQ-,

(тгх~ A13zrr + Ai+ Азз£г2 — /?ззQ\ ^22)

' A55 = ^(An-A12); Q^T-To.

Здесь используется двухиндексное обозначение модулей упругости А ¡к, где г, к = 1,2,..., 6. При этом значениям индексов 1,2,..., б соответствуют пары индексов 11,22,33,23,13,12.

Учитывая (5) и то, что тензор теплопроводности может быть приведен ортогональным преобразованием к диагональному виду, можно запи-:ать, что

, d*Q d*Q d2Q дт дс

Замечаем, что вектор U является периодической функцией полярного /гла (р,, его компоненты Ur, Uz в рассматриваемом случае - четные функ-цш координаты ip, а составляющая U^ - нечетная функция. Функции Jr, UUz, Q могут быть' представлены следующими рядами Фурье:

со

Ur(r, <р, г) = U(г, <р)е{0' = eißz £ Un(r) cos n<p-,

п=0

со

Uv(r,<p,z) = V(r,<p)eißz = eißz V'„(r)sinn^;

-о (24)

иг (г, <р, г) = W{r, <p)eißz = eißz ^ Wn (r) cos n<p-

n=о

oo

Q(r,<p,Z) = Q(r, <p)eißz = e'ßz Q„(r) cos n<p,

n=0

де U„(r), V„(r), lV„(r) - неизвестные распределения радиальной и касательной составляющих смещений по толщине слоя, Qn(r) - распределение -емпературы по толщине слоя.

Падающая и отраженные волны в термоупругой среде являются ре-тениями уравнений Гельмгольца (2),(3). При этом отраженные волны ;олжны удовлетворять условиям излучения на бесконечности. Поэтому

потенциалы продольных, тепловых и сдвиговых волн ищем в виде

оо

V?, = е'Р' ^Г^ Ап Н„ (pi г) cos тр\

n=О

оо «

= ^CV^Msinnv?;

n=0

где ip — <pi + ip2; А„, В„,С„, Dn - неизвестные комплексные коэффициент подлежащие определению из граничных условий.

Используя формулы (22),(24), уравнения (21), (23) и выражения (1) также учитывая ортогональность функций cos п<р, sin тир, получаем систе! четырех обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка.

Краевая задача для уравнений движения оболочки при нормаль» падении волны решалась методом конечных разностей, в результате че были найдены значения функций Un(b), V„(b), Qn(b) на границе анизотрс кого слоя и окружающей термоупругой среды. При этом стал возможнь анализ полей динамических напряжений с помощью формул (25).

Найденное решение позволяет легко получить решение задачи рассс ния термоупругих волн изотропной цилиндрической оболочкой. При эт< достаточно положить Ац = A+2/¿; А12 = А; А22 = A+2¿x; А23 = А; А55 = где А и ц - константы Ламе изотропной среды.

На основе полученного решения были построены круговые диагра мы направленности для нормального напряжения на внешней поверхнос' оболочки при различных волновых размерах; в качестве анизотропно материала слоя взят алюминий. Выявлено, что для данных частот терм упругость не вызывает существенных изменений в распределении напр жений, что характерно для металлов. Анизотропия сказывается гораз значительней.

Во втором разделе четвертой главы рассматривается рассеяние тер\ упругих волн трансверсально-изотропной толстостенной сферической oí лочкой с жестким коаксиальным включением.

В сферической системе координат (г, в, <р) потенциал падающей вол! может быть представлен в виде (19).

Для получения уравнений распространения термоупругих волн в од* родном анизотропном слое воспользуемся общими уравнениями движен упругой среды в напряжениях в сферических координатах:

д<т„ 1 dan, 1 №

+ 7~W + г( гг + ~ + = ,

дстгв 1 dffae 1 г , d2U»

= е"3' BnHn{p2r)cósmp\

п=0 оо

ф2 = épt DnHn(p3r)cosri<p,

n=О

Связанная задача анизотропной термоуиругости при малом термнче-м возмущении описывается системой (26) и обобщенным уравнением лопроводности (5).

Для сферически трансверсально-изотропного материала соотношения амелЯ-Неймана принимают вид:

<ТГГ = Ац£гг + ^цЕвв + —

сев = А12£Гг + + А23£<^ - ^у)

сг^у = Ахз^гг + Агз^в* + А22е^ ~ /^ззФ;

0>0 = 2А55£Г9-

Используя выражения (1) и соотношения (5), (26),(27), получаем симу трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка астных производных. Решение этой системы ищем п пиле разложений по полиномам Лежаи-

1

иг(г,в) = £ ип(г)Рп(созв); и,{г,в) = X;

«о (28)

Я(г,в) = ^Яп(г)Рп(сОВв). п=0

После подстановки (28) в полученную ранее систему, приходим системе трех обыкновенных дифференциальных уравнении второ-порядка относительно радиальных функций ип(г),Уп(г),Оп(г) для шсверсально-изотропного слоя:

2(Л12 - Л22 - А2з) - п(п + 1)Л55 Н--

г*

ил г)-

п(тг + 1)(Ах2 + А55) (1Уп(г) , А12 - Агз - А22 - А

- п(п + I) —-— ""—— х

с1г

х К,(г) - + Фп - Дзз)ЯЛг) =

¿2УЛг) , 2 ЛУЛг) , Г 2 2Д88-ЛгаП(Я + 1)1 -(А12

г

(29)

55 с/г2 ' г'"" с!г

+ -(А12 + А55)^1 + -(2А55 + А22 + А23)^(г) = 0; г аг г

¿г2

+ [сеги — п(п + 1)кц]<Эп(г) +

+ Г0ш/9ц + - п(п + 1)К„(г)]) = 0.

Падающая и отраженная волны являются решениями уравнений Г мгольца (2),(3), при этом отраженные волны должны удовлетворять у виям излучения на бесконечности.

На внутренней и внешней поверхностях трансверсально-изотрош сферического слоя должны выполняться следующие граничные услови

ш

при г = а

Ur = 0; Vt = 0; Q, = Qi,

при г = 6

= ; Qi = Qt;

тЛ 1) rr(2) (1) (2) , 5(5; dQr

Щ = ^ > ^г/ = = Ат_ёГ-

где Q, - температура жесткого включения, Qi - температура слоя, Qt • пература термоупругой среды. Для температуры на поверхности жест сферы задаются граничные условия вида

оо

Qs=T0 + "£iTnpn(cos9)>

п=О

где

Решение системы (2),(3) ищем В виде рядов по полиномам Лежащ

со

<Ps = Anf„hn[kitr)Pn(cosey,

п = О ос

<Р2 = ^2 Bnynhn(k2tr)Pn{cose);

п=0

Л и f 1 \dP"{cos0)

n=D

где Ап,Вп,Сп - неизвестные коэффициенты, подлежащие определении граничных условий.

Подставляя (19),(27),(28),(32) в условия (30),(31) и используя орт> нальность полиномов Лежандра, для каждого значения индекса п получ систему трех уравнений для определения коэффициентов Ап,Вп,С,

гь условий для нахождения частного решения системы (29). Краевая задача для уравнений движения сферического слоя решалась адом конечных разностей.

Построены круговые диаграммы направленности нормального на-кення на границе слоя при различных значениях волнового размера I. Выявлено, что с увеличением частоты наблюдается существенное :нение диаграммы направленности вследствие анизотропии и термо-.тости.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1)Найдено аналитическое решение задачи дифракции плоских термо-тих волн сжатия на жестком цилиндре при наклонном падении волны репятствие. Проведены численные расчеты динамических напряжений наклонном и нормальном падении плоской волны.

2)Методом Ватсона построена коротковолновая асимптотика решения чи термоупругих волн сдвига жестким круговым цилиндром.

3)Получено аналитическое решение задачи дифракции плоских термо-тих волн сжатия на термоупругом цилиндрическом препятствии при 1альном падении волны на цилиндр.

4)Решена задача дифракции плоских термоупругнх волн сжатия на •кой сфере.

5)Найдепо аналитическое решение связанной задачи дифракции плос-термоупругих волн сжатия на термоупругом сферическом препят-и. ,

6)Проведены численные исследования динамической напряженности :оупругой среды вблизи цилиндрических и сферических препятствий, злено незначительное влияние термоупругости на характер распроде-я динамических напряжений для металлов и существенное влияние оупругости для тел, имеющих большой коэффициент связанности.

7)Решена связанная задача рассеяния термоупругих волн сверсально-изотропньш цилиндрическим слоем с жестким коак-ьным включением в термоупругой грело.

3)Получено решение задачи рассеяния термоупругих волн сверсально-изотропньш сферическим слоем с жестким коаксиальным >чением в термоупругой среде.

3)Проанализировано влияние анизотропии и термоупругости на мические напряжения на границе трансверсально-изотропного цн-рического и сферического слоев и термоупругон среды. Численные ювания показали существенное влияние анизотропии на характер ;яния термоупругих волн.

Основные положения диссертации опубликованы в работе

1. Липатов А.И., Липатов И.А. Дифракция термоупругих всы: жесткой сфере // Известия Тульского государственного университета ла; ТулГУ, 1997. Т.З. Вып.1. С.130-131.

2. Липатов И.А. Дифракция термоупругих волн на жестком цшн: //Тезисы докладов международной конференции "Итоги развития ме: ки в Туле". Тула: ТулГУ, 1998. С.51-52.

3. Липатов И.А. Дифракция термоупругих волн на жестком ш дре // Известия Тульского государственного университета. Тула: Ту 1998. Т.4. Вып.2. С. 112-118.

4. Липатов И.А. Рассеяние плоских термоупругих волн на жес цилиндре // Известия Тульского государственного университета. ' ТулГУ, 1998. Т.4. Вып.2. С. 119-122.

5. Липатов И.А. Дифракция термоудругих волн на термоупругой с // Тезисы докладов юбилейной научно-практической конференции " кладная математика-99". Тула: ТулГУ, 1999. С. 84-85.

6. Липатов И.А. Рассеяние упругих волн неоднорог трансверсально-изотропным сферическим слоем в термоупругой де // Тезисы докладов юбилейной научно-практической конфере "Прикладная математика-99". Тула: ТулГУ, 1999. С. 84-85.

7. Толоконников Л.А., Липатов И.А. Рассеяние упругих волн ai тройным цилиндрическим слоем в термоупругой среде // Тезисы док.г юбилейной научно-практической конференции "Прикладная матема: 99". Тула: ТулГУ, 1999. С. 98-99.

8. Толоконников Л.А., Липатов И.А. Рассеяние упругих трансверсально-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем в моупругой среде // Тезисы докладов юбилейной научно-практической ференции "Прикладная математика-99". Тула: ТулГУ, 1999. С. 99-1(

9. Липатов И.А. Дифракция термоупругих волн на термоупругом рическом включении // Диф. уравнения и прикладные задачи. 1 ТулГУ, 1999. С. 105-110. ,

10. Липатов H.A. Рассеяние термоупругих волн при наклонном i нии на жесткий цилиндр // Известия Тульского государственного уш ситета. Тула: ТулГУ, 1999. Т.5. Вып.З. С.106-109.

11. Липатов И.А. Дифракция термоупругих волн на термоупр цилийдре //Тезисы докладов Всероссийской конференции "Совреме] проблемы математики, механики, информатики". Тула: ТулГУ, 1 С.91-92.

Введение

1 Дифракция термоупругих волн

1.1. О дифракции термоупругих волн.

1.2. Уравнения движения термоупругого тела

1.2.1. Уравнения движения анизотропного термоупругого тела.

1.2.2. Уравнения движения изотропного термоупругого тела.

2 Дифракция термоупругих волн на цилиндрических препятствиях

2.1. Дифракция термоупругих волн на жестком цилиндрическом препятствии.

2.2. Рассеяние упругих волн сдвига на жестком цилиндре в термоупругой среде.

2.3. Дифракция термоупругих волн на термоупругом цилиндрическом препятствии.

Выводы.

3 Рассеяние термоупругих волн на сферических препятствиях

3.1. Рассеяние термоупругих волн на жестком сферическом препятствии

3.2. Рассеяние термоупругих волн на термоупругом сферическом препятствии

Выводы

4 Рассеяние термоупругих волн на анизотропных телах

4.1. Рассеяние термоупругих волн трансверсально-изотропным цилиндрическим слоем.

4.2. Рассеяние термоупругих волн трансверсально-изотропным сферическим слоем.

Выводы.

Термоупругое затухание упругих волн является одним из основных механизмов потерь, особенно в анизотропных телах с большим коэффициентом теплопроводности. Это вызвано тем, что в твердых телах сжатие и растяжение в упругой волне вызывают колебания температуры, которые гасятся за счет перетекания тепла из облаг стей с повышенной температурой в области с пониженной температурой. Поток тепла является необратимым процессом. Он приводит к возрастанию энтропии и к затуханию термоупругих волн. Термоупругое взаимодействие упругих волн приводит к изменению скорости волн.

Упругая изотропная среда представляет собой простейший частный вид упругих сред, отличающийся максимальной симметрией упругих свойств, и поэтому не может отражать всех свойств, присущих упругим средам. Полученные для изотропных сред результаты распространяются только на этот особый тип сред - наиболее простейший для математического описания и поэтому наиболее изученный.

Теория термоупругости учитывает взаимодействие полей деформации и температуры. Учет такого взаимодействия представлю ет интерес только в динамических задачах, где удается обнаружить качественно новый эффект - затухание упругих волн. Количественный эффект оказывается незначительным. Термоупругость является основой в тех задачах, з которой целью исследования становитса термоупругая диссипация. Большое значение термоупругости состоит в ее познавательных и обобщающих аспектах.

Для металлических тел связанность полей деформации и температуры слабая, однако, качественное различие является принципиальным [122]. Так, например, упругие волны в рамках термоупругости затухают и обладают дисперсией, а в рамках теории упругости получаются только незатухающие волны. Заметим, что в настоящее время созданы материалы, обладающие большим параметром связанности [32].

В современной технике в качестве конструкций и конструктивных элементов широко применяются как анизотропные однородные и неоднородные материалы, так и изделия из них с существенными особенностями физико-механических характеристик. В частности, имеются в виду сильная и в особенности трансверсальная анизотропия, слоистость, термоупругость и т.д.

Анизотропные материалы весьма разнообразны. Они могут быть естественно-анизотропными (например, древесина), анизотропными в силу технологии их изготовления (например, дельта-древесина, фанера, листовой прокат, бумага, бетон), анизотропно-конструктивными (например, армированные материалы).

Большое распространение в технике получили волокнистые композиционные материалы на основе полимерной матрицы. Эти материалы с однонаправленной, полинаправленной, слоистой и пространственной укладкой арматуры, как правило, являются существенно -анизотропными материалами.

Однако, задачи волновой динамики в анизотропных средах значительно более сложны с математической Точки зрения. Даже тот факт, что уравнения движения анизотропных сред не распадаются на отдельные уравнения продольных и поперечных волн, уже осложняет нахождение общих решений уравнений движения.

Исследование волновых полей з тсрмоупругих анизотропных средах имеет большое прикладное значение; так как большинство материалов по своей природе анизотропны.

Проблема дифракции термоупругих волн на неоднородностях различного типа относится к числу наиболее сложных и актуальных с точки зрения приложений проблем динамики деформируемых тел, так как наличие неоднородности (полости, включения, локального изменения свойств и т.д.) является почти обязательным условием. Информация о динамической напряженности в окрестностях этих неоднородностей необходима для различных целей (исследования отражающих свойств дефектов в материале, изучение параметров вещества и некоторых других целей). Следует отметить, что большинство работ по распространению термоупругих волн были посвящены исследованию полей напряжений и температур, зависящих от одной пространственной координаты.

При решении стационарных волновых задач в изотропных средах применяются: метод разделения переменных и его обобщения, матричный метод, метод теории возмущений и т.д.

Все основные методы, используемые для изотропных ср-\д с успехом находят применение и в вопросах, связанных с процессами в термоупругих изотропных и анизотропных средах.

Существенно меньше достижений имеется в динамике термоупругих изотропных и анизотропных сред. Сравнительно мало работ посвящено пространственным движениям таких сред. Е--основ-ном исследованы нестационарные волновые поля в упругих анизотропных средах. Круг работ по изучению дифракции установившихся упругих волн на анизотропных телах достаточно узок. Рассмотрение вопросов, связанных с распространением волн в этих средах, еще далеко от завершения.

Основной причиной отставания в исследовании волновых задач в анизотропных термоупругих средах являются, с одной стороны, осложнения математического и вычислительного характера. с другой стороны, увеличение числа упругих модулей, котеро-е пэ оэдкт к большому числу частных ситуаций, каждую из которых нес Ьхдимо исследовать.

Отвлечение от влияния тепловых полей на поле деформаций часто оказывается вполне допустимым и оправданным. Однако развитие техники и технологий требует уточненного подхода к рассмотрению рассеяния упругих волн с учетом сложных внутренних процессов, происходящих в упругих средах. Вот почему к числу проблем, представляющих большой теоретический и практический интерес, относится проблема рассеяния термоупругих волн на телах различной формы. Указанная проблема является малоисследованной. Рассеяние термоупругих волн на анизотропных телах до сих пор не изучалось.

Таким образом, исследование рассеяния термоупругих волн на телах цилиндрической и сферической формы на основе связанной задачи термоупругости является актуальной проблемой.

Настоящая диссертация посвящена решению и исследованию волновых задач изотропной и анизотропной термоупругости.

Целью работы являлось изучение напряженно-деформированного состояния окрестности цилиндрических и сферических препятствий в термоупругих (изотропной и анизотропной) средах, созданного совокупным волновым полем; исследование взаимодействия температурного поля и поля деформаций при малых термических возмущениях. В связи с этим были поставлены и решены задачи:

1) дифракции термоунругих волн на жестком цилиндрическом препятствии;

2)рассеяния плоских термоупругих волн сдвига жестким цилиндром;

3)дифракции термоупругих волн на термоупругом цилиндрическом препятствии;

4)дифракции термоупругих волн на жестком сферическом препятствии;

5)дифракции термоунругих волн на термоупругом сферическом препятствии;

6)рассеяния термоупругих волн трансверсалъно-изотропным цилиндрическим слоем;

7)рассеяние термоупругих волн трансверсально-изотропным сферическим слоем.

Задачи, рассматриваемые в диссертационной работе, являются по своей постановке новыми и впервые решены автором.

Результаты исследования, полученные в данной работе, могут быть использованы :

1) В машиностроении.

1. Разработка новых конструктивных материалов, армированных жесткими цилиндрами, вызывает необходимость оценки их эффективных динамических параметров (плотности, скорости распространения волн, коэффициентов потерь), которые можно найти на основе анализа задачи дифракции и метода самосогласованного поля.

2. Высокочастотный экспресс-анализ. Высокочастотные колебания быстро и точно, часто там, где другими способами невозможно, исследуют состав и структуру материалов, находящихся в твердом состоянии. Такие методы контроля состояния среды и измерения свойств вещества точны, быстры и не нарушают структуру исследуемого вещества.

Физическая сущность высокочастотных методов контроля - в анализе полей смещений и напряжений, изучении иг контроле законов распространения высокочастотных колебаний в различных средах, в непрерывном определении наличия скорости распространения или затухания в исследуемой среде. По скорости, распространения или затухания ультразвуковых колебаний в среде можно установить молекулярное строение вещества и наличие в нем примесей. Самые незначительные примеси в среде могут замети;;, изменить величину скорости распространения волн. Измерение скорости распространения волн позволяет вычислить молекулярную массу, коэффициент линзйного расширения, теплоемкость и многие другие параметры вещества.

Для ряда производств необходимы сверхчистые материалы. Как бы ни были ничтожно малы примеси, они искажают кристаллическую решетку, а это в свою очередь влияет на распространение волн. Термоупругое затухание упругих волн является одним из основных механизмов потерь.

2) В дефектоскопии.

Ультразвуковая дефектоскопия - один из методов неразрушаю-щего контроля. Она нашла широкое применение в машиностроении для обнаружения различных дефектов в заготовках и деталях, особенно таких, которые испытывают гигантские нагрузки, скорости, давление.

Известно, что чувствительность дефектоскопической установки, способной обнаруживать дефекты в сплошных изделиях, существенно лимитируется различными механизмами диссипации. В частности, различные условия теплообмена на границе дефекта могут существенно влиять на величину эхо-сигнала от него.

3) Для оценки дифракционых свойств цилиндрических и сферических препятствий при исследовании отражающих свойств цилиндрических и сферических дефектов в материале, при изучении параметров вещества. Термоупругая диссипация играет здесь определенную роль.

4) В сейсмологии и геологоразведке.

Результаты, полученные в диссертации, представляют собой вклад в решение динамических задач связанной термоупругости. Пакеты прикладных программ, реализующие полученное решение на ЭВМ, могут быть использованы для получения численных результатов, необходимых при практическом использовании в дефектоскопии, сейсмологии и геологоразведке, при исследовании отражающих свойств цилиндрических и сферических дефектов в материале, при изучении параметров вещества.

Диссертационная работа связана с планом основных научных работ Тульского государственного университета и выполнялась в соответствии с планом госбюджетной темы "Некоторые вопросы прикладной математики и механики" (N гос. per. 01910046438) кафедры "Прикладная математика и информатика". Ряд полученных в диссертации теоретических результатов использован для построения математических моделей и создания соответствующего программного обеспечения, которые внедрены в ГУП "КБ Приборостроения".

Достоверность полученных решений вытекает из корректной постановки задач и обоснованности применяемых математических методов, обеспечивается проведением расчетов на ЭВМ с контролируемой точностью и подтверждается совпадением результатов, полученных по разработанным алгоритмам, с известными решениями в частных случаях.

Материалы диссертационной работы докладывались на международной конференции "Итоги развития механики в Туле" (Тула, 1998г.); на научно-практической конференции "Прикладная математика-99" (Тула, 1999г.); на Всероссийской научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики" (Тула, 2000г.); на научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ (1999г.,2000г.).

По результатам проведенных исследований опубликовано И работ.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 130 наименований; содержит 139 стр. машинописного текста, включает 43 рисунка и 1 таблицу.

Выводы

• Решена связанная задача рассеяния термоупругих волн трансверсально-изотропным цилиндрическим слоем с жестким коаксиальным включением в термоупругой среде.

• Решена связанная задача рассеяния термоупругих волн трансверсально-изотропным сферическим слоем с жестким коаксиальным включением в термоупругой среде.

• Представлены численные расчеты, подтверждающие влияние анизотропии и термоупругости цилиндрических и сферических трансверсально-изотропных слоев на динамические напряжения. Результаты расчетов показывают существенное и взаимосвязанное влияние термоупругости и анизотропии на характер распределения динамических напряжений упругими толстостенными цилиндрическими оболочками.

Заключение

1)Найдено аналитическое решение задачи дифракции плоских термоупругих волн сжатия на жестком цилиндре при наклонном падении волны на препятствие. Проведены численные расчеты динамических напряжений При наклонном и нормальном падении плоской волны.

2)Методом Ватсона построена коротковолновая асимптотика решения задачи термоупругих волн сдвига жестким круговым цилиндром.

3) Получено аналитическое решение задачи дифракции плоских термоупругих волн сжатия на термоупругом цилиндрическом препятствии при нормальном падении волны на цилиндр.

4)Решена задача дифракции плоских термоупругих волн сжатия на жесткой сфере.

5) Найдено аналитическое решение связанной задачи дифракции плоских термоупрутих волн сжатия на термоупрутом сферическом препятствии.

6)Проведены численные исследования динамической напряженности термоупругой среды вблизи цилиндрических и сферических препятствий. Выявлено незначительное влияние термоупругости на характер распределения динамических напряжений для металлов и существенное влияние термоупругости для тел, имеющих большой коэффициент связанности.

7) Решена связанная задача рассеяния термоупругих волн трансверсально-изотропным цилиндрическим слоем с жестким коаксиальным включением в термоупругой среде.

8)Получено решение задачи рассеяния термоупругих волн трансверсально-изотропным сферическим слоем с жестким коаксиальным включением в термоупругой среде.

9)Проанализировано влияние анизотропии и термоупругости на динамические напряжения на границе трансверсально-изотропного цилиндрического и сферического слоев и термоупругой среды. Численные иследования показали существенное влияние анизотропии на характер рассеяния термоупругих волн.

1. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. - М.: Наука, 1987. - 360с.

2. Акивис М.А., Гольдберг В.В. Тензорное исчисление. М.: Наука, 1972. - 351с.

3. Бакулин A.B., Тюриков Л.Г. Поле точечного источника в упругой однородной анизотропной среде // Акуст. журнал. 1996. Т.42. N 6. С. 741-747.

4. Бахвалов Н.С. Численные методы. Т.1 М.: Наука, 1973. - 631с.

5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. В 2-х т. Т.1. М.: Наука, 1974. - 294с.

6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. В 2-х т. Т.2. М.: Наука, 1974. - 295с.

7. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1972. -502с.

8. Бреховских Л.М., Годин O.A. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989. - 414с.

9. Будаев B.C. Об одной краевой задаче динамической теории упругих анизотропных сред. // ПТМФ. 1974. N 3. С. 121 -125.

10. Будаев B.C. Распространение колебаний от источника типа сосредоточенного импульса в упругой анизотропной среде // Прикл. механика. 1973. Т.9. Вып.2. С.67-73.

11. Будаев B.C. Упругие волны в кристаллах металлов // Прикл. механика. 1975. Т.П. N 5. С.93-98.

12. Будаев B.C. Теория плоских волн для упругой анизотропной полуплоскости. В кн.: "Упругость и термоупругость". Изд. МГУ. -1975. Вып.4. С.187-206.

13. Будаев B.C. К оценке степени анизотропии упругих сред // ПМТФ. 1975. N 4. С.87-93.

14. Будаев B.C. Нестационарные поля смещений в гексагональных кристаллах и трансверсально-изотропных средах // ПМТФ. -1976. N 2. С.76-80.

15. Будаев B.C., Филиппов И.Г. К задаче о точечном источнике в упругой анизотропной среде // Прикл. матем. и программирование. Кишинев. - 1975. Вып.13. С.26-31.

16. Будаев B.C. Распространение колебаний от сосредоточенного импульсного источника в упругой анизотропной полуплоскости / / Изв. АН СССР. Физика Земли. 1977. N 2. С.217-225.

17. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. М.: Изд-во иностр. лит., 1949. - 799с.

18. Векслер Н.Д. Рассеяние импульсов на упругих цилиндрах Таллин: Валгус, 1980. - 180с.

19. Вьюн A.B., Яковкин Б.И. Импедансный метод расчета термоупругого взаимодействия поверхностных акустических волн в твердых телах // Акуст. журнал. 1995. Т.41. N 6. С. 894-796.

20. Головчан В.Т., Кубенко В.Д., Шульга H.A., Гузь А.Н., Гринчен-ко В.Т. Пространственные задачи теории упругости и пластичности. Т.5. Динамика упругих тел. Киев: Наукова думка, 1986. -288с.

21. Грибанов В.Ф., Паничкин Н.Г. Связанные и динамические задачи термоупругости. М.: Машиностроение, 1984.- 184с.

22. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. Статика анизотропных толстостенных оболочек.-Киев: Вища школа. 1985.-190с.

23. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. Киев: Наукова думка, 1978. - 307с.

24. Гузь А.Н., Головчан В.Т. Дифракция упругих волн в многосвязных телах Киев: Наукова думка, 1972. - 256с.

25. Даниловская В.И. Температурные напряжения в упругом полупространстве, возникающие вследствие внезапного нагревания границы // ПММ. 1950. Т.14. N 3.C.341-344.

26. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973.- 495 с.

27. Загорский Т.Я., Иваненко Г.С. О задаче Коши для системы уравнений теории термоупругости // Вкник JIbBiB. шхгпт. институту. 1967. С. 32 - 36.

28. Зарубежные промышленные полимерные материалы и их компоненты. М.: Изд-во АН СССР, 1963.- 259 с.

29. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики. М.: ИЛ, 1950. - 456с.

30. Кармишин A.B., Лясковец В.А., Мяченков В.И., Фролов А.Н. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. -М.: Машиностроение, 1975.- 376 с.

31. Карташов Э.М., Хани A.M. Динамическая реакция твердых тел при конечной скорости тепловых воздействий // Изв. АН СССР. МТТ. 1989. N 4. С. 83-88.

32. Коваленко А.Д. Основы термоупругости. Киев: Наукова думка, 1970. - 307с.

33. Коляно Ю.М., Ковальчук А.Н., Гой В.А. Основные теоремы взаимосвязанной динамической термоупругости анизотропного тела // Динамика и прочность машин. 1991. N 52. С. 117-127.

34. Кильчинская Г.А., Петренко М.П. Распространение продольных термоупругих волн в стержне //Сб. "Тепловые напряжения в элементах конструкций" АН УССР. 1965. Вып.5. С.26-39.

35. Кильчинская Г. А. Исследование волновых процессов с обратным термоупругим эффектом в нагретых упругих телах // Прикл. механика. 1966. Т.2. N 10. С. 16-21.

36. Кильчинская Г. А. Распространение термоупругих волн в тепло-проводящем слое постоянной толщины // Прикл. механика. 1967. Т.З. N 12. С.78-83.

37. Кильчинская Г.А. Распространение термоупругих волн в упругом слое при конвективном теплообмене на его поверхности // Сб. "Тепловые напряжения в элементах конструкций" АН УССР. -1966. Вып.6. С.25-32.

38. Кубенко В.Д. Распространение упругой волны расширения от кругового отверстия в цилиндрически анизотропной пластине // Концентрация напряжений. 1965. Вып.1. С. 164-173.

39. Кубенко В.Д. Распространение упругих волн от кругового отверстия в анизотропной неоднородной пластине // Прикл. механика. 1965. Т.1. N 2. С. 25-33.

40. Кубенко В.Д. Распространение упругих волн от сферической полости в неоднородной анизотропной среде //В кн.: Тр.1 Реф. конф. Молодых математиков Украины. Киев: ИМ АН УССР. - 1965. С. 378-389.

41. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Т.7. Теория упругости. М.: Наука, 1965. - 203с.

42. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. - 415с.

43. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. Гостехиздат, 1947. - 355с.

44. Липатов А.И., Липатов И.А. Дифракция термоупругих волн на жесткой сфере // Известия Тульского государственного университета. Тула: ТулГУ, 1997. Т.З. Вып.1. С. 130-131.

45. Липатов И.А. Дифракция термоупругих волн на жестком цилиндре // Известия Тульского государственного университета. Тула: ТулГУ, 1998. Т.4. Вып.2. С. 112-118.

46. Липатов И.А. Дифракция термоупругих волн на термоупругом сферическом включении // Диф. уравнения и прикладные задачи. Тула: ТулГУ, 1999. С. 105-110.

47. Липатов И.А. Рассеяние плоских термоупругих волн на жестком цилиндре // Известия Тульского государственного университета. Тула: ТулГУ, 1998. Т.4. Вып.2. С. 119-122.

48. Липатов И.А. Рассеяние термоупругих волн при наклонном падении на жесткий цилиндр // Известия Тульского государственного университета. Тула: ТулГУ, 1999. Т.5. Вып.З. С. 106-109.

49. Лиходаева Е.А., Шендеров Е.Л. Периферические волны, возникающие при дифракции плоской звуковой волны на тонкой цилиндрической оболочке // Акуст. журнал.- 1971. Т.17. N 1. С.79-84.

50. Лонкевич М.П. Прохождение звука через слой трансверсально-изотропного материала конечной толщины // Акуст. журнал. -1986. Т.32. N 2. С.212-218.

51. Лыков A.B. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. - 599с.

52. Ляв А. Математическая теория упругости. М.-Л.: ОНТИ, 1935.- 674с.

53. Мао, Менте. Динамические напряжения и смещения вблизи цилиндрической поверхности разрыва от плоской гармонической волны сдвига. // Прикл. механика. 1963. N 4. С. 135-140.

54. Молотков Л.А. Матричный метод в теории распространения волн в слоистых и жидких средах. Л.: Наука, 1984. - 202с.

55. Молотков Л.А. Об уравнениях колебаний пластин с общей анизотропией // Зап. Научн. Семин. ЛОМИ. 1987. Вып.165. С. 122-135.

56. Молотков Л.А., Баймагамбетов У. К вопросу об источниках в трансверсально-изотропной упругой среде. В кн.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1982. Вып.22. С. 5-13.

57. Молотов М.В., Килль И.Д. Связанная динамическая задача термоупругости // Прикл. матем. и мех. 1996. Т.60, N 4. С. 687-696.

58. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. В 2-х т. Т.2. М: Изд-во иностр. лит., 1960. - 866с.

59. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.: Мир, 1970.- 256с.

60. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 872с.

61. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. -370с.

62. Петрашень Г.И., Молотков Л.А., Крауклис П.П. Волны в слоисто однородных изотропных упругих средах. - Л.: Наука, 1982. -289с.

63. Петрашень Г.И. Распространение волн в анизотропных средах.- М.: Наука, 1980. 280с.

64. Поручиков И.Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986. - 328с.

65. Рамская Е.И. Анализ собственных частот и форм осесимметрич-ных колебаний трансверсально-изотропной полой сферы // Прикл. механика. 1983. Т. 19. N 7. С. 103-107.

66. Рамский Ю.С., Рамская Е.И. Исследование распространения упругих гармонических волн в анизотропном полом цилиндрическом волноводе. В кн.: Ассимптотические методы решения дифференциальных и интегродифференциальных уравнений. - Киев, 1997. С. 85-91.

67. Рахматуллин Х.А. Двухмерные задачи по неустановившемуся движению сжимаемых сред. Ташкент: Фан, 1969. - 288с.

68. Свекло В. А. Плоские волны и волны Релея в анизотропной среде. // ДАН СССР, 1948. Т.59. N 5. С.871-874.

69. Свекло В.А. К решению динамических задач плоской теории упругости для анизотропного тела. // ПММ, 1961, Т.25, N 5, С.885-896.

70. Скобельцын С.А., Толоконников JI.A. Прохождение звуковых волн через трансверсально-изотропную пластину // Акуст. журнал. 1990. Т.36. N 4. С. 740-744.

71. Скобельцын С.А., Толоконников JI.A. Рассеяние звуковых волн трансверсально-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем // Акуст. журнал. 1995. Т.41. N 1. С. 134-138.

72. Скобельцын С.А., Толоконников JI.A. Рассеяние звука трансверсально-изотропным сферическим слоем // Акуст. журнал. 1995. Т.41. N 6. С. 917-923.

73. Скучик Е. Основы акустики. В 2-ч т. Т.2. М.: Мир, 1976.- 542с.

74. Теплофизические свойства веществ. Справочник. П/р Н.Б. Варгафтика. - М.-Л.: ГЭИ, 1956. - 367с.

75. Толоконников Л.А. Прохождение звука через неоднородный анизотропный слой, граничащий с вязкими жидкостями // Прикл. матем. и мех. 1998. Т.62, N 6. С. 1029-1035.

76. Толоконников Л.А. Дифракция звуковых волн на неоднородном анизотропном полом цилиндре // Оборонная техника. 1998. N 4-5. С.6-10.

77. Толоконников Л.А. Дифракция цилиндрических волн на неоднородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке / / Оборонная техника. 1998. N 4-5. С. 11-14.

78. Успенский И.Н., Огурцов К.Й. Сосредоточенные источники в трансверсально-изотропной упругой среде.-В кн.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л.: Изд-во ЛГУ, 1962. Вып.6. С. 75-83.

79. Федоров Ф.И. Теория упругих волн в кристаллах. М.: Наука, 1965. - 386с.

80. Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука, 1977. - 368с.

81. Филиппов И.Г., Егорычев О.А. Нестационарные колебания и дифракция волн в акустических и неоднородных средах. М.: Машиностроение, 1977. - 303с.

82. Филиппов И.Г. О распространении плоской волны в трехслойной анизотропной среде // Геология и геофизика. 1971. N11.0, 92-98.

83. Францевич И.Н., Воронов Ф.Ф., Вакута С.А. Упругие постоянные и модули упругости металлов и неметаллов. Киев: Наукова думка, 1982. - 286с.

84. Хенл X., Мауэ А., Весппфаль К. Теория дифракции. М.: Мир,1988. 190с.

85. Чабанов В.Е., Шевьев Ю.П., Дубовик Л.Я. Дифракция звука на цилиндрической полости большого размера, расположенной в упругой среде // Прикл. механика. 1976. Т.12. Вып.З. С. 14-20.

86. Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость. М.: Наука, 1977. - 368с.

87. Шаталов А.Г. Лучевой метод решения трехмерной динамической задачи связанной термоупругости для шара // Прикл. матем. и мех. 1999. Т.63, N 4. С. 680-686.

88. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. М.: Судостроение, 1972. - 348с.

89. Шендеров Е.Л. Излучение и рассеяние звука. Л.: Судостроение,1989. 301с.

90. Шендеров Е.Л. Прохождение звука через трансверсально-изотропную пластинку // Акуст. журнал. 1984. Т.ЗО. N 1. С. 122129.

91. Шендеров Е.Л., Шоренко И.Н. Импедансы колебаний изотропной и трансверсально-изотропной сферических оболочек, вычисленные по различным теориям // Акуст. журнал. 1986. Т.32. N 1. С. 101106.

92. Шульга Н.А., Григоренко А.Я., Ефимова Т.Л. Свободные неосесимметричные колебания толстостенного трансверсально-изотропного полого шара // Прикл. механика. 1988. Т.24. Вып.5. С. 12-17.

93. Щульга H.A. Распространение осесимметричных упругих волн в ортотропном полом цилиндре // Прикл. механика.- 1974. Т. 10. Вып.9. С. 14-18.

94. Шульга H.A. Собственные колебания трансверсально-изотропной полой сферы // Прикл. механика. 1980. Т. 16. Вып.12. С. 108-111.

95. Шульга H.A. Трехмерная теория колебаний оболочек.-В кн.: Механика композитных материалов и элементов конструкций. Т.2. Механика элементов конструкций. Киев.: Наукова думка, 1983. С. 335-355.

96. Aiiwar M.N.Y. Problem in generated thermoelasticity for a halfspace subjeck to smooth heating of its boundery // J. Therm, stress,- 1991. V. 14. N 3. P. 241-254.

97. Anderson D.V. Elastic wave propagation in laured anisotropic media // J. of Geoph. Res. 1966. V.6, P. 2953-2963.

98. Attenborough K., Walker L.A. Sound dissipation by a small cylindrical obstacle // J. Acoust. Sos. Amer. 1972. V.51, N1, P. 192-196.

99. Brill D., Uberall H. Acoustic waves transmitted throuch solid elastic cylinder //J. Acoust. Sos. Amer. 1971. V.50, N 3 (part 2), P. 921-939.

100. Buchwaid V.T. Elastic waves in anisotropic media // Proc. Roy. Sos. 1959. A253, part 1275.

101. Burridge R., Willis J.R. The self-similar problem of the expending elliptical crack in an anisotropic solid // Proc. Camb. Phil. Sos. 1969. V.66. N 2. P.443-468.

102. Crampin S. The dispersion of surface waves in multilayred anisotropic media // Geophus. J. Roy. Astron Soc. 1970. V.21, N 2, P. 387-402.

103. Chad wick P. Progress in solid mechenics. Thermoelasticity. The dynamical theory. North-Holland Pub. Co., Amsterdam. - 1960, 1.

104. Chadwick P., Sneddon I.N. Plane waves in an elastic solid conducting heat //J. Mech. A Phus. Solid. 1958, 6, 3.

105. Chadwick P., Windle D.W. Propagations of Reyleigh waves along isothermal and insulated boundaries. // Proc. Roy. Soc. 1964. A280. P. 1380.

106. Chandraserharian D.S., Strikantiah K.R. Temperature-rate depe-dent thermoelastic waves in a half-space // Indian J. Technol. 1986. V. 24. N 2. P. 66-70.

107. Chatteljee (Roy) Gardi, Chondhuri S.K. Thermoelasic wave propagation in temperature-rate dependent elastic half-space // Proc. Nat. Acad Sci., India. A. 1991. V.61, N 3. P. 357-367.

108. Dafermos C.M. Existense and asimptotic stability of solution of the equations of linear thermoelesticity. // Arch. Ration Mech. and Analisis. 1968. V. 29. N 4. P. 241-271.

109. Deresiewicz H. Plane waves in a thermoelastic solid //J. Acoust. Sos. Amer. 1957. V.29.

110. Deresiewicz H. Solution of the equations of thermoelasticity. // Proc. 3rd Nht. Conyr. Appl. Mech ASME. 1958, June.

111. Doolittle R.D., Uberall H., Ugencius P. Sound scatering by elestic cylinders // J. Accoust. Am. 1968. V.43. N 1. P.l-14.

112. Erbav H.A., Erbay S., Dost S. Thermally innduced vibrations in a generalised thermoelastic solid with a cavity. (Термически индуцированные колебания в обобщенном термоупругом теле с полостью) // J. Therm Stress. 1991, V.14, N 2, P. 161-171.

113. Frisk G.V., bberall H. Crepping waves and lateral waves in acoustic scattering by large elastic cylinders //J. Accoust. Am.- 1976. V.59. N 1. P.46-54.

114. Ignazak J., Nowacki W. The sommerfeld conditions for coupled problem of thermoelasticity. Examples of coupled stresses and temperature concentrations of cylindrical and spherical cavities // Arch. Mech. Stos. 1962. V.14. N 1.

115. Kraut E.A. Advances in the theory of anisotropic elastic wave propagation // Rev. geoph. 1963. N 3. P. 401-408.

116. Lockett F.J. Effect of thermal properties of a solid on the velocity of Rayleigh waves // J. Mech. And Phus. Solids. 1958. N 7.

117. Lin Kaishin, Xie Saming. Численное решение задачи распространения трехмерных термоупругих волн напряжения // Acta mech. Solida sin. 1996. V.17. N 3. P. 221-228.

118. Masahumi N. Diffraction of the elastic waves by a spherical surface J. Physical. Soc. Japan.- 1956. V.13. N 3. P.279-301.

119. Mirsky J. Wave propagation in transversely isotropic circular cylinders // J. Acoust. Soc. Amer. 1965. V.37. N 6. P. 1016-1026.

120. Nowacki W. A dynamical problem of thermoelasticity // Arch. Mech. Stos. 1959. V.9. N 3. P. 325.

121. Nowacki W. Dymiczne zagadnienia thermosprezyztosci // Mech. Theoret. i Stowana. 1965, 3, 3.

122. Nayfen A., Nemat-Nasser S. Thermoelastic waves in solids with thermal relaxation // Acta Mechanica. 1971. Y.12. P. 53-69.

123. Nayfen A., Nemat-Nasser S. Transient thermoelastic waves in a half-space with thermal relaxation //J. Appl. Math. Phys. 1972. V.23. P. 50-68.

124. Sternberg E., Chakravorty J.D. Thermal shok in an elastic body with a spherical cavity // Quart. Appl. Math. 1959. N 4. P. 503-509.

125. Varbanova E. Similarity analysis of a dynamical problem of coupted thermoelasticity // Teop. h npnjioac. Mex. 1987. V.18. N 4. P. 38-44.

126. Willis J.R. Self-similar problems in elastodynamics // Phil. Trans. Roy. Sos. London, ser. A. 1973. V.274. N 1240. P.435-491.

127. Wilms E.V. On coupling effects in trasiend thermoelastic problem // Trans. ASME E31. 1964. N 4. P. 719-722.

128. Yuan Gang. New method of solutions for coupled thermoelastic waves in the half-space // IlsbraaHb-uaa^mii = Nature J. 1989. V.12. N 2. P. 154-155.

129. УТВЕРЖДАЮ х^^а^^ститель главного инженера' (^"О* —И *В' Стеланичев ¡1"'" 2000г.

130. Л ч- \ -/-V .■•" ) '!■'---—"1. ТЕХНИЧЕСКИЙ АКТ ВНЕДРЕНИЯ

131. Практическое использование разработанных моделей и программной продукции позволяет идентифицировать отражающие свойства дефектов в термоупругих материалах элементов конструкций.

132. Представители ГУП «КБ Приборостроения»;1. Насальни^> отдела № 091. Г.С.Теленковр отдела № 09 А.Трещев1. Представители ТулГУ:

133. Научный руководитель г/б НИР № 25-95, д.ф^Т-м.н., профессор (съиь^ в ♦и • Иванов1. Разработчик НИРу/^/ И. А. Липатов