автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Некоторые задачи дифракции звуковых волн на неоднородных упругих цилиндрических телах

На правах рукописи

РОМАНОВ АНТОН ГРИГОРЬЕВИЧ

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ ЗВУКОВЫХ ВОЛН НА НЕОДНОРОДНЫХ УПРУГИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ

ТЕЛАХ

Специальность 05.13.18 "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тула 2009

003473279

Диссертация выполнена на кафедре "Прикладная математика и информатика" в ГОУ ВПО "Тульский государственный университет".

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Толоконников Лев Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент

Лавит Игорь Михаилович

кандидат физико-математических наук, доцент

Рождественский Константин Николаевич

Ведущая организация: ФГУП "ГНПП "Сплав"

ОV

ч. на

Защита диссертации состоится " / 3 " июня 2009 г. в заседании диссертационного совета Д 212.271.05 при Тульском государственном университете (300600, г.Тула, пр.Ленина, 92, 9-101).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета

Автореферат разослан " ДД " мая 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

В.М. Панарин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Проблема дифракции звуковых волн является одной из классических. Однако не существует общего метода решения дифракционных задач для тел произвольной формы с учетом разнообразных свойств материала рассеивателя и окружающей среды и при различной геометрии поля падающей волны.

Широкое применение теории дифракции в исследовательской и производственной практике требует разработки все более точных математических моделей, адекватно описывающих дифракционные процессы с учетом реальных свойств материалов тел и среды, в которой они находятся.

Для решения многих технических задач актуальна проблема взаимодействия акустических волн в жидкости с различными телами. При этом многие реальные физические объекты хорошо аппроксимируются телами цилиндрической формы. В настоящее время в многочисленных работах проведены детальные исследования дифракции звуковых волн на цилиндрических телах. Они стали выполнять роль эталонных тел при исследовании дифракции звука на телах более сложной формы.

Большинство исследований в теории дифракции посвящено изучению и анализу процессов, происходящих в физически однородных средах. Но характерной особенностью всякой реальной среды является ее неоднородность. Неоднородность материала упругих тел может возникать в процессе формирования тела из-за особенностей технологических приемов, различных упрочняющих технологий, а также в процессе эксплуатации конструкций. Заданного рода неоднородность, обеспечивающая определенные характеристики, программируется при разработке современных материалов. Наконец, встречаемся с естественной неоднородностью материалов. В современных конструкциях, наряду с упругими материалами, обычно принимаемыми за однородные и изотропные, используются также неоднородные материалы. Отвлечение от имеющейся почти всегда неоднородности тел часто оказывается вполне допустимым и оправданным. Однако современные техника и технологии требуют уточненного подхода к рассмотрению дифракции звуковых волн с учетом сложных внутренних процессов, происходящих в неоднородных средах. Практическое значение изучения процессов дифракции волн на неоднородных телах особенно возросло в последнее время в связи с применением ультразвука в дефектоскопии и медицинской диагностике, в связи с проектированием конструкций для защиты от шума. Кроме того, актуальности указанной проблемы способствуют современные задачи гидроакустики, геофизики, сейсмологии, судовой акустики

и др. Поэтому проблема дифракции звуковых волн на неоднородных упругих цилиндрических телах относится к числу проблем, представляющих большой теоретический и практический интерес.

Круг работ по изучению дифракции звука на неоднородных упругих телах сравнительно узок (Коваленко Г.П., Молотков JI.A., Приходько В.Ю., Скобельцын С.А., Толоконников J1.A., Тютекин В.В.). Построение решений для произвольных законов изменения свойств неоднородного материала рассеивателя связано с большими математическими трудностями. Многие вопросы дифракции звуковых волн на телах с учетом их неоднородности не изучены. Например, в известных работах по дифракции звука на цилиндрических неоднородных телах полагалось, что тела находятся в идеальной жидкости. Такой подход сужает область практического применения полученных результатов, так как в ряде случаев реальные свойства жидкости нельзя не принимать во внимание. Поэтому представляется важным изучение взаимодействия упругих волн в телах цилиндрической формы с волнами в вязкой жидкости с учетом поглощения звука и при различной геометрии первичного акустического поля.

В большинстве работ по теории дифракции полагалось, что рассеи-ватели расположены в безграничном пространстве. Реально всегда имеем ограничивающие звукоотражающие поверхности. При этом возникают многократные переотражения между телом и границей, которые существенно изменяют картину акустического поля. Дифракция звука на цилиндрических телах, находящихся вблизи звукоотражающих границ, относится к еще более сложным задачам дифракции, представляющим значительный интерес для теории и практики. Известно небольшое количество работ по дифракции звуковых волн на однородных (Белов В.Е., Горский С.М,,Шендеров E.JI.,Bishop G.C., Smith J.) и неоднородных (Садомов A.A., Толоконников J1.A.) упругих цилиндрических телах в присутствии граничных поверхностей. Для изучения влияния звукоотражающих границ на дифракционные процессы требуется создание эффективных методов расчета акустических полей, рассеянных неоднородными упругими телами.

Целью работы является построение математических моделей дифракции звуковых волн на неоднородных упругих телах, расположенных в идеальной и вязкой жидкостях, и проведение на основе этих моделей исследований дифракции звуковых волн на неоднородных упругих цилиндрических телах в безграничном пространстве и в присутствии звукоотражающих поверхностей.

Научная новизна работы заключается в следующем:

— поставлены и решены новые задачи дифракции звуковых волн на неоднородных упругих полых цилиндрических телах;

— исследовано влияние вязкости жидкости на рассеяние плоских и цилиндрических звуковых волн неоднородными упругими цилиндрами;

— изучена дифракция звука на неоднородных цилиндрических телах в присутствии плоской границы;

— исследовано влияние неоднородности материала тела на рассеяние звука в волноводе.

Достоверность полученных результатов вытекает из корректной постановки задач и обоснованности применяемых математических методов; обеспечивается проведением расчетов на ЭВМ с контролируемой точностью; подтверждается совпадением полученных решений с известными результатами для частных случаев.

Практическое значение работы. Результаты диссертационной работы могут быть использованы в гидроакустике для звуковой эхолокации различных объектов; в судовой акустике при изучении акустических характеристик судовых конструкций; в дефектоскопии для идентификации результатов экспериментальных исследований; в ультразвуковых технологиях (дефектоскопия, медицинская диагностика); в геофизике и оптике. Теоретические положения работы могут найти применение при разработке акустических методов неразрушающего контроля и методов ультразвуковой диагностики многофазных систем; при решении обратных задач рассеяния звуковых волн; при решении задач динамической теории упругости и теории дифракции электромагнитных волн, аналогичных рассмотренным в работе.

Диссертационная работа выполнялась в рамках госбюджетной НИР Тульского государственного университета "Некоторые вопросы прикладной математики и механики"и проекта Российского фонда фундаментальных исследований (№ 09-01-97504).

На защиту выносятся:

— математические модели дифракции звуковых волн на неоднородных упругих телах, находящихся в идеальной и вязкой жидкостях в безграничном пространстве, в присутствии знукоотражающей границы и в волноводе;

— аналитико-численные решения задач дифракции плоских и цилиндрических волн на неоднородном полом цилиндре в вязкой жидкости;

— аналитико-численные решения задач дифракции звука на ради-ально-неоднородном полом цилиндре вблизи плоской границы (абсолютно жесткой и акустически мягкой);

— аналитические решения задач дифракции звука на неоднородном

полом цилиндре в волноводах с абсолютно жестк ими и акустически мягкими стенками;

— результаты численных расчетов, показывающие влияние неоднородности материала тела на рассеяние звука.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики и информатики"(Тула, 2008); на научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ (2007-2009); на научных семинарах кафедры прикладной математики и информатики ТулГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, в том числе 2 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 153 страницы, 58 рисунков. Список литературы включает 140 источников.

Во введении показана актуальность темы диссертационной работы, указаны цель и основные направления намеченных исследований, отмечена научная новизна работы, кратко очерчена область возможных приложений, излагаются основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава состоит из двух разделов. Первый раздел содержит обзор литературы по проблеме дифракции звуковых волн на неоднородных упругих телах. Во втором разделе проводится построение математических моделей дифр>акции звуковых волн на неоднородных упругих телах, находящихся в вязкой и идеальной жидкостях.

Распространение звука в вязкой жидкости описывается полной системой уравнений гидродинамики вязкой жидкости, включающей уравнение Навье-Стокса, уравнение неразрывности и уравнение физического состояния. Из этой системы для установившегося режима колебаний с временным множителем (который в дальнейшем опускаем) получаем систему волновых уравнений Гельмгольца

где Ф и Ф — скалярный и векторный потенциалы скорости; ш — круговая частота; v = grad Ф + rot Ф; ki (г = 1,2) — волновые числа.

Распространение звука в идеальной жидкости описывается одним скалярным уравнением Гельмгольца (1).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

ДФ + = 0; АФ + kl Ф = 0,

(1) (2)

б

Распространение малых возмущений в неоднородном упругом теле описывается общими уравнениями движения сплошной среды, которые для установившегося режима колебаний в цилиндрической системе координат в двумерном случае имеют вид:

дагг 1 daTtp arr - 2

—— ^---+-^ = риг;

ОГ Г oip г

(3)

darip 1 davv 2 2

ог г о<р г

где ЩуЫф — компоненты вектора смещения u; р — р(г) — плотность материала тела.

Компоненты тензора напряжений сгу связаны с компонентами тензора деформаций £ij соотношениями (обобщенный закон Гука):

<Jij = А div u 6ij 2¡iSij. (4)

Здесь А — Л(г), ц — ц(г) — модули упругости; <5у — символ Кронекера.

В математической постановке задачи дифракции звуковых волн на неоднородных упругих телах состоят в нахождении решений соответствующих уравнений движения, удовлетворяющих граничным условиям, а также условиям излучения на бесконечности для рассеянного поля и условию ограниченности для поля внутри тела.

Граничные условия на поверхностях упругого полого цилиндра, граничащего с вязкими жидкостями, заключаются в непрерывности скоростей частиц упругой среды и жидкости на внешней и внутренней поверхностях цилиндра и непрерывности напряжений на этих поверхностях: При Г ~ Tj

—lU)llr

vi3)] -iu)uv = orr = "г?; °тч> = (5)

(j) (i) (?)

где vy, и o^y — компоненты вектора скорости и компоненты тензора напряжений вязкой j - ой жидкости (j = 1 соответствует жидкости во внешнем пространстве, a j = 2 — в полости цилиндра).

Граничные условия на упругом полом цилиндре, находящемся в идеальной жидкости, заключаются в непрерывности нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости на внешней и внутренней поверхностях оболочки; равенстве на них нормального напряжения и акустического давления pj-, отсутствии на этих поверхностях касательных напряжений: при г =

—iuur — v^; arr — —pj\ artp — 0. (6)

Во второй главе исследуется дифракция звуковых волн на неоднородных упругих полых цилиндрах, граничащих с вязкими жидкостями.

В первом разделе главы находится решение задачи дифракции плоской звуковой волны.

Рассматривается бесконечный раднально-неоднородный изотропный полый цилиндр с внешним радиусом п и внутренним радиусом г2- Полагаем, что модули упругости Л, ц и плотность р материала цилиндра описываются дифференцируемыми функциями цилиндрической радиальной координаты г. Окружающая цилиндр и находящаяся в его полости сжимаемые жидкости являются вязкими и однородными. Из внешнего пространства на упругий цилиндр падает плоская монохроматическая волна.

Определению подлежат отраженная от цилиндра и возбужденная в его полости волны, а также поле смещений в упругом цилиндрическом слое.

В рассматриваемой постановке задача является двумерной. Все искомые величины не зависят от координаты г цилиндрической системы координат г, г, связанной с цилиндром.

Учитывая, что Ф = Ф(г,<р)ех, где ег - орт цилиндрической оси г, векторное уравнение (2) приводится к одному скалярному уравнению Гельмгольца относительно функции Ф(г, ф).

С учетом условий на бесконечности для потенциалов скоростей рассеянной продольной Ф„ и вязкой Ф^1) волн во внешней среде и условия ограниченности для продольной ф(2) и вязкой Ф^2) волн в полости цилиндра решения волновых уравнений Гельмгольца ищутся в виде:

оо ( . . .

п——оо

Ф <1>(г,у)= £ в11)Яп(1:<1>г)е»«'; Ф(3)(г,¥>)= Е А<?Ьп(к[2)г)е™*-,

п——со

Ф <а>(г|¥0= Е в£Ьп(42)г)е^,

п~—оо

где ^ и Нп — цилиндрические функции Бесселя и Ханкеля первого рода порядка щ — волновые числа продольных звуковых и вязких волн во внешней = 1) и внутренней = 2) средах соответственно.

Компоненты вектора смещения и в упругом слое являются периодическими функциями координаты ц> с периодом 2тг. Поэтому функции

мг(г, (р) и <р), удовлетворяющие системе уравнений (3), будем искать в виде рядов Фурье:

(X) со

«г(г,р)= £ ^пС'У^; и,^Г,<р) - «2п(г)е"'^. (8)

п= — оо п=—оо

Для определения неизвестных функций их,,(г) и и-2П(г) из уравнений движения (3) с привлечением обобщенного закона Гука (4) получаем систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами:

Лпи^ + Д1и;+С'пип = 0 (п -= 0,±1,±2,...), (9)

где и„ = (и 1„, и2п)т; А„, В„, Сп — матрицы второго порядка.

Коэффициенты А\Р и В$Р = 1,2) разложений (7), а также четыре краевых условия для нахождения частного решения системы уравнений (9) определяются из восьми граничных условий (5).

Таким образом, нахождение поля смещений в упругом цилиндрическом слое сведено к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений (9) с краевыми условиями вида

(Лпи; + ^Чи = (¿„и;+^2)и„)г=г2 - о. (ю)

Краевая задача (9), (10) решена путем сведения ее к задачам Коши.

После определения поля смещений в упругом слое вычисляются коэффициенты разложений (7). В результате получаем аналитическое описание акустических полей вне и в полости цилиндра.

Во втором разделе главы изучается дифракция звуковых волн, излучаемых произвольным цилиндрическим источником, на неоднородном упругом полом цилиндре с учетом вязкости содержащей среды.

Решение дифракционной задачи находится методом, использованным в первом разделе, с применением теоремы сложения для цилиндрических функций Бесселя.

Определение поля смещений в упругом цилиндрическом слое сведено к краевой задаче вида (9),(10), приближенное аналитическое решение которой находится методом сплайн-коллокации.

На отрезке \г->, Г1 ] вводится сетка Д : гз = £'о < х\ < ... < х'дг = г\. Сплайн-функции 51п(г) и 52пМ, приближающие функции щп{г) и «2»(г), представляются в виде разложения по базису из нормализованных кубических 5-сплайнов:

ЛГ+1

йп(г) = £ Ъ{пВк(г) (г = 1,2), (11)

к=-1

Коэффициенты Ь\п определяются из системы линейных алгебраических уравнений, получаемой в результате подстановки (11) в (9) и (10).

На основе полученных решений дифракционных задач были проведены расчеты диаграмм направленности рассеянного поля в дальней зоне при различных значениях волнового размера цилиндра, а также частотных зависимостей коэффициента обратного отражения. При расчетах рассматривались цилиндрические оболочки из материалов различных типов (металлы и полимеры) и видов неоднородности.

Анализ диаграмм направленности и частотных характеристик показал, что на рассеяние звука упругим полым цилиндром влияет и вязкость содержащей среды, и неоднородность материала рассеивателя. Причем увеличение волнового размера цилиндра приводит к углублению различий в угловых характеристиках рассеяния звука для цилиндров из материалов различных типов и видов неоднородности. Неоднородность материала тела и вязкости жидкости вызывают смещение резонансных частот и изменение амплитуды резонансов.

На рис. 1 представлены частотные зависимости коэффициента обратного отражения для цилиндра из полимерного материала (сплошная линия соответствует неоднородному цилиндру в вязкой жидкости; штриховая — неоднородному цилиндру в идеальной жидкости; пунктирная — однородному цилиндру в вязкой жидкости; штрих-пунктирная — однородному цилиндру в идеальной жидкости).

Рис. 1. Частотные зависимости коэффициента обратного отражения

Анализ круговых диаграмм рассеяния цилиндрической волны показал, что характер влияния вязкости среды и неоднородности материала

п

V

тела на амплитуду рассеяния примерно такой же, как и в случае плоской волны. Все более существенные отличия в угловых характеристиках рассеяния цилиндрических и плоских волн возникают при приближении источника к рассеивателю и при увеличении волнового размера тела.

В третьей главе рассматриваются задачи дифракции плоской звуковой волны на неоднородном упругом полом цилиндре, находящемся вблизи плоской границы раздела сред (рис. 2),

Рис. 2. Геометрия задачи

В первом разделе главы рассматривается случай, когда плоская граница является акустически жесткой.

Полагается, что окружающая радиально-неоднородный цилиндр и находящаяся в его полости жидкости являются идеальными (невязкими) и сжимаемыми. Падающая плоская волна рассеивается цилиндром и отражается плоскостью. При этом имеют место многократные переотражения между плоскостью и цилиндрическим телом.

Требуется определить акустические поля вне и в полости цилиндра, а также найти поле смещений в упругом цилиндрическом слое.

Для решения поставленной задачи исключим акустически жесткую плоскость, вводя в рассмотрение второй цилиндр, являющийся зеркальным отражением исходного рассеивателя, и вторую падающую плоскую волну, распространяющуюся в направлении волнового вектора к2. Причем вектор к2 является зеркальным отражением волнового вектора к1 первичной волны относительно плоскости.

Таким образом, исходная задача сводится к задаче дифракции двух плоских волн на двух идентичных цилиндрах, находящихся в безграничном пространстве, заполненном однородной идеальной жидкостью. При этом граничные условия на плоскости у = О, заключающиеся в

равенстве нулю нормальной скорости частиц жидкости, будут удовлетворяться автоматически.

Для решения задачи: дифракции плоской волны на двух цилиндрах вводятся локальные системы координат, связанные с цилиндрами.

В I - ой локальной системе цилиндрических координат (I = ±1) потенциалы скоростей рассеянной цилиндром и возбужденной в его полости всшн ищутся в виде

со

£ А^Н^ЬпУ^'-'^, I = ±1;

11= —ОО

СО

£ 1 = ± 1.

п=—оо

Компоненты вектбра смещения и^ в упругом слое I - того цилиндра «г^(г1> V») и иу\гь'Р1) записываются в виде рядов Фурье (I = ±1):

п=—сю п=—оо

Определение неизвестных функций г«1П(г) и ит{т) для каждого п приводит к системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка вида (9).

Используя теорему сложения для волновых цилиндрических функций из граничных условий (6) получаем бесконечные системы линейных уравнений для нахождения коэффициентов

, выражение для коэффициентов Вп\ а также краевые условия для системы (9).

Построенная краевая задача решается методам конечных разностей.

После нахождения решений задач дифракции каждой из двух плоских волн на двух цилиндрах в силу линейной постановки задачи полученные результаты суммируются.

Тем самым получаем численное описание поля смещений в упругом цилиндрическом слое и аналитическое описание акустических полей вне и в полости цилиндра.

Во втором разделе третьей главы изучается рассеяние звука неоднородным цилиндром в присутствии акустически мягкой поверхности. Решение задачи проводится методом, использованным в первом разделе. Отличие заключается в том, что при исключении акустически

мягкой поверхности следует заменить амплитуду второй (зеркальной) падающей волны А^ на —Д-. При этом граничные условия на плоскости у — О, заключающиеся в равенстве нулю акустического давления, будут удовлетворяться автоматически.

Были проведены расчеты угловых характеристик для амплитуды рассеяния в дальней зоне поля при различных углах падения плоской волны.

Выявлено, что с удалением цилиндрического рассеивателя от плоскости частота осцилляций угловой характеристики рассеяния возрастает и для однородного цилиндра, и для неоднородного.

Показано, что свойства границы раздела сред являются существенным фактором, влияющим на дифракционную картину. .Угловые характеристики в случаях акустически жесткой и акустически мягкой плоскости имеют принципиально разную форму, прежде всего, по расположению максимумов и минимумов амплитуды рассеяния. Неоднородность материала и в случае акустически жесткой, и в случае акустически мягкой подстилающей поверхности оказывает значительное влияние на характеристики рассеяния.

На рис. 3 представлены угловые характеристики рассеяния звука для неоднородного (сплошная линия) и однородного (штриховая линия) полимерных материалов при нормальном падении плоской волны на акустически мягкую плоскость.

В четвертой главе находятся аналитические решения задач дифракции звуковых волн на неоднородном упругом полом цилиндре в плоском волноводе с акустически мягкими и жесткими стенками при

о с.ъ 1 ' I,' 5 ■ ? ;\б ; Э

Рис. 3. Зависимость амплитуды рассеяния от <р при с! = 4.

произвольном расположении тела и произвольном распределении источников звука в волноводе.

В первом разделе главы рассматривается волновод с акустически мягкими стенками. Полагается, что волновод и полость цилиндра заполнены идеальными сжимаемыми жидкостями (рис. 4).

~~§77777~Т~777~77777777 "77777777777777^

Рис. 4. Полноводная система

В волноводе вдоль оси х распространяется гармоническая звуковая волна давления pí с круговой частотой ш, возбуждаемая заданным распределением источников звука на сечении волновода, расположенного на расстоянии Хо от оси цилиндра.

Требуется определить давление полного акустического поля pi в волноводе и акустическое давление pi в полости цилиндра, а также поле деформаций в упругом цилиндрическом слое.

В области а; > 0 давление первичного поля возмущений представляется совокупностью распространяющихся в направлении оси х собственных волн волновода:

оо

Pi(x, У) = ^2 AneilnX sin Л„1/,

п=0

где 7п = у/Щ — =—г\ Ап — заданные амплитуды.

а

Давление рассеянного акустического поля р„ ищется в виде потенциала простого слоя

Ps(x,y) = J vi(xo,yo)G(x,y\xo,y0)dl0, (12)

¿o

где У\(хо, у0) — неизвестная функция, описывающая распределение источников паля р3 на внешней поверхности цилиндра; г/|з:0, у0) — функция Грина; Ьо — окружность радиуса /ч с центром в точке (Хо, Уо); <Мо — Г1<1<р(, — элемент дуги на Ьо-

Функция Грина является решением краевой задачи:

АО к\С, = -6(х - х0)6(у - уо); (13)

С (а;, 01 .г0, уо) = С (а:, ф-0, у0) = 0; (14)

К!Р ^(^--Лго) =0, (15)

х~»±оо \ОГ )

где г — \/{х — х0)2 (у — уо)'2 — расстояние между точкой наблюдения (х,у) и источником поля {хо,Уо) на контуре Ь0.

Краевые условия (14) для функции Грина вытекают из граничных условий на акустически мягких стенках волновода, заключающихся в равенстве нулю акустического давления. Условия (15) получаем из условий излучения на бесконечности для давления рв. Решение зада,чи (13)--(15) имеет вид:

оо

С(х, у\хо, Уо) = У2 Т~ Л»У й1п Л«У0 ^7пк~ха| • (16) "7«

п=0

Вводя обозначение 1^(х0,уо) — г\и\(х0,у0) и переходя от декартовых координат х, у к полярным координатам г, </?, выражение (12) запишем в виде:

2тг

J у(ч>о)С(г,¥\г0,<р0)(1фа. (17)

о

Благодаря представлению функции Грина в виде (16) функция р8, определенная формулой (17), удовлетворяет уравнению Гельмголь-ца, граничным условиям на стенках волновода и условиям излучения на бесконечности. В результате задача определения рассеянного поля р„ сводится к нахождению функции распределения источников ^(¡ро), обеспечивающей выполнение граничных условий (6) на поверхностях цилиндра.

Акустическое давление р2 в полости цилиндра, удовлетворяющее уравнению Гельмгольца и условию ограниченности, ищется в виде:

оо

Ра(л Ч>) = £ В„Мк2г)е"п(18)

т——оо

Используя для компонентов вектора смещения в упругом слое иг(г,<р) и и,Р (г, ф) разложения (8), получаем систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка вида (9) относительно неизвестных функций щт(г) и «2т(т) для каждого т.

Функция плотности распределения источников представляется в виде разложения в ряд Фурье:

оо т=—оо

Коэффициенты Вт и Ьт разложений (18) и (19), а также четыре краевых условия для нахождения частного решения системы дифференциальных уравнений (9) подлежат определению из шести граничных условий (6) на поверхностях цилиндра.

В результате получаем бесконечную систему линейных уравнений относительно неизвестных 6„, которые выражаются через величины «1т (п). Для регуляризации бесконечной системы проводится специальная замена неизвестных, Коэффициенты Вт выражаются через величины И2т(^2)-

Нахождение поля смещений в упругом цилиндрическом слое сведено к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида (9) с краевыми условиями.

Приближенное аналитическою решение краевой задачи находится методом степенных рядов. При этом модули упругости и плотность неоднородного упругого слоя аппроксимируются многочленами относительно г, а функции М1т(г1) и и2ТО(г2) ищутся в виде:

оо

= Е (¿ = 1,2).

8=0

Для нахождения коэффициентов и м^т получены рекуррентные соотношения.

После

нахождения поля смещений определяются коэффициенты Ьт

и Вт.

Таким образом, получаем аналитические описания поля смещений в неоднородном упругом цилиндрическом слое и акустических полей в волноводе и в полости цилиндра.

Во втором разделе четвертой главы рассматривается волновод с акустически мягкими стенками. Задача решается методом, изложенным выше.

При этом в области я > 0 давление первичного поля возмущений представим в виде разложения по собственным функциям волновода с акустически жесткими границами:

оо

Pi(x,y) = ^ Л„е,7пХ cos Лпу,

п=0

где 7„ = \Jti{ — А^; Ап — Ап — заданные амплитуды.

Граничные условия на абсолютно жестких стенках волновода заключаются в равенстве нулю нормальной скорости частиц жидкости. Поэтому функция Грина является решением краевой задачи (13) - (15), где краевые условия (14) заменяются условиями

& i) —G(a-,0|a;o,yo) = -^-G(x,d\x0,y0) =0. dy dy

В результате находим

оо

G(x,y\x0,yo) = У) , -т—cosA„ycosA„y0 e,7n|l~!eo)l.

Рис. 5. Зависимость \ра(х,у)\ от х при с£ = 7г, УЬ = <¿/2, ~ 104, у = 0,75с/

Выли проведены численные расчеты распределения акустического давления в сечениях волновода, перпендикулярных оси волновода и параллельных стенкам волновода. Численные исследования проводились

для однородных и неоднородных цилиндров при произвольном и симметричном распределении источников звука по сечению волновода, при различном расположении цилиндра в волноводе, при различных значениях частоты звуковых волн и разной ширине волновода. Проведен анализ влияния характеристик волновода и частоты первичного поля возмущений на рассеянное цилиндром поле. Показано, что неоднородность материала цилиндра существенно сказывается на рассеяние звуковых волн в волноводе.

На рис. 5 представлено распределение акусти ческого давления в сечении волновода, параллельном стенкам, при симметричном распределении источников звука.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В диссертационной работе решены новые задачи теории дифракции звуковых волн на неоднородных упругих цилиндрических телах.

Краткое содержание полученных результатов:

1.. Построены математические модели дифракции звуковых волн на неоднородных упругих цилиндрических телах,

— граничащих с низкими однородными жидкостями;

— находящихся в невязкой жидкости вблизи границы раздела сред;

— расположенных в плоских волноводах.

2. Получены аналитические решения задач дифракции плоских и цилиндрических звуковых волн на неоднородном полом цилиндре в вязкой жидкости.

Исследовано влияние вязкости жидкости на рассеяние звука неоднородными упругими цилиндрами. Обнаружен ряд характерных черт этого влияния.

Изучено влияние неоднородности материала рассеивателя на характеристики рассеяния.

Проведены расчеты амплитуды рассеяния в дальней зоне поля. Анализ угловых и частотных характеристик рассеянного акустического поля показал, что неоднородность материала рассеивателя оказывает значительное влияние на характеристики рассеяния, причем степень этого влияния существенно зависит от типа материала.

Выяснено влияние расходимости падающей цилиндрической волны на дифракцию звука. Сравнение полученных результатов с характеристиками рассеяния плоской волны показало, что характер дифракции цилиндрических волн заметно отличается от характера дифракции плоской волны. Это отличие становится более выраженным при прибли-

жении источника к рассеивателю и при увеличении волнового размера тела.

3. Решены задачи дифракции плоской звуковой волны на неоднородном упругом полом цилиндре, расположенном вблизи акустически жесткой и акустически мягкой плоскости.

Исследовано влияние подстилающей поверхности на рассеяние звука. Выявлено, что с увеличением расстояния от цилиндрического рассе-ивателя до плоскости частота осцилляции угловой характеристики рассеяния возрастает и для однородного цилиндра, и для неоднородного. Показано, что свойства границы раздела сред являются существенным фактором, влияющим на дифракционную картину.

4. Получены приближенные аналитические решения задач дифракции звука на радиально- неоднородном полом цилиндре в плоских волноводах с акустически мягкими и жесткими границами при произвольном распределении источников первичного поля на сечении волновода.

Рассчитаны характеристики рассеяния звука для однородных и неоднородных тел. Получены распределения давления по сечениям волновода. Проведен анализ влияния характеристик волновода и частоты первичного поля возмущений на рассеянное цилиндром поле. Выявлены особенности влияния неоднородности материала на рассеянное акустическое поле в волноводе.

Основное содержание диссертации отражено в публикациях:

1. Тол окопников Л. А., Романов А.Г. Рассеяние звука неоднородной анизотропной термоупругой цилиндрической оболочкой в вязкой теплопроводной среде // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2006. Т.12. Вып.З. С.212-218.

2. Толоконников Л.А., Романов А.Г. Дифракция цилиндрических звуковых волн на неоднородном полом цилиндре в вязкой жидкости// Известия ТулГУ. Естественные науки. 2008. Вып.2. С.151-160.

3. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Метод сплайн-коллокации в задаче дифракции цилиндрических звуковых волн на неоднородном упругом цилиндре // Вестник ТулГУ. Серия Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2008. Вып.1. С.92-95.

4. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн неоднородным полым цилиндром в присутствии твердой стенки // Материалы международной научн. конф. "Современные проблемы математики, метан и ки и информатики". - Тула: ТулГУ, 2008. С.295-296.

5. Романов А.Г. О дифракции звука на неоднородном упругом цилиндре в плоском волноводе с акустически мягкими стенками // Материалы международной научн. конф. "Современные проблемы математики, механики и информатики". - Тула: ТулГУ, 2008. С.296-297.

6. Топоконников Л.А., Романов А.Г. Распространение звука в волноводе в присутствии'неоднородной цилиндрической оболочки произвольной толщины // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2008. Вып.2. С.161-176.

7. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны неоднородным упругим полым цилиндром в вязкой жидкости // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып.1. С.63-72.

8. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Дифракция звуковых волн на неоднородном упругом полом цилиндре в слое жидкости с жесткими границами // Известия ТулГУ. Технические науки. 2000. Вып.1. С.81-88.

Изд. лиц. ЛР № 020300 от 12.02.97. Подписано в печать/ Формат бумаги 60*84 '/14. Бумага офсетная. Усл. печ.л.^ .Уч -изд.л./,^ . Тираж 1007кз Заказ ОН Тульский государственный университет 300600, г, Тула, просп. Ленина, 92 Отпечатано в Издательстве ТулГУ 300600, г. Тула, ул. Болдика, 151

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФРАКЦИИ ЗВУКОВЫХ ВОЛН НА НЕОДНОРОДНЫХ УПРУГИХ ТЕЛАХ

1.1. Обзор литературы по дифракции звуковых волн на неоднородных упругих телах

1.2. Уравнения волновых полей в жидкости.

1.3. Уравнения волновых полей в неоднородной упругой среде

1.4. Граничные и дополнительные условия в задачах дифракции

Глава 2. ДИФРАКЦИЯ ЗВУКА НА НЕОДНОРОДНЫХ

УПРУГИХ ТЕЛАХ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

2.1. Рассеяние плоской звуковой волны неоднородным упругим полым цилиндром в вязкой жидкости.

2.1.1.Постановка и решение задачи дифракции плоской, звуковой волны на неоднородном полом цилиндре в вязкой жидкости.

2.1.2.Сведение краевой задачи к задачам с начальными условиями

2.1.3.Численные исследования и анализ результатов

2.2. Дифракция цилиндрических звуковых волн на неоднородном упругом полом цилиндре в вязкой жидкости

2.2.1.Постановка и решение задачи дифракции цилиндрической звуковой волны на неоднородном полом цилиндре в вязкой жидкости.

2.2.2. Решение краевой задачи методом сплайн-кол локации

2.2.3.Численное исследование акустического поля, рассеянного цилиндром-.*.

Глава 3. РАССЕЯНИЕ ЗВУКА НЕОДНОРОДНЫМИ УПРУГИМИ ТЕЛАМИ, РАСПОЛОЖЕННЫМИ ВБЛИ

ЗИ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА СРЕД . ТО

3.1. Рассеяние плоской звуковой волны неоднородным упругим полым цилиндром, расположенным вблизи акустически жесткой плоской поверхности.

3.1.1.Сведение задачи рассеяния звуковых волн неоднородным упругим цилиндром, расположенным вблизи акустически жесткой границы, к задаче рассеяния звука-на двух телах

3.1.2.Дифракция плоской звуковой волны на двух неоднородных упругих полых цилиндрах.

3.1.3.Решение краевой задачи, для системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом конечных разностей

3.1.4.Численные исследования

3.2. Рассеяние звука неоднородным упругим полым цилиндром в присутствии акустически мягкой плоскости

Глава 4. РАССЕЯНИЕ ЗВУКА НЕОДНОРОДНЫМИ УПРУГИМИ ТЕЛАМИ В ВОЛНОВОДАХ

4.1. Дифракции звука на неоднородном упругом полом цилиндре в плоском волноводе с акустически мягкими стенками.104 •

4.1.1.Постановка и решение задачи

4.1.2.Решение краевой задачи методом степенных рядов

4.1.3.Численные исследования

4.2. Дифракции' звука на неоднородном упругом полом цилиндре в плоском волноводе с акустически жесткими стенками.

Актуальность работы. Проблема дифракции звуковых волн является одной из классических. Однако не существует общего метода решения дифракционных задач для тел .произвольной формы с учетом разнообразных свойств материала рассеивателя и окружающей среды и при различной геометрии поля падающей волны.

Широкое применение теории дифракции в исследовательской и производственной практике требует разработки все более точных математических моделей, адекватно описывающих дифракционные процессы с учетом реальных свойств материалов тел и среды, в которой они находятся.

Для решения многих технических задач актуальна проблема взаимодействия акустических волн в жидкости с различными телами. При этом много реальных физических объектов хорошо аппроксимируются телами цилиндрической формы. В настоящее время в многочисленных работах проведены детальные исследования дифракции звуковых волн на цилиндрических телах. Они стали выполнять роль эталонных тел при'исследовании дифракции звука на телах более сложной формы.

Большинство исследований в теории дифракции посвящено изучению и анализу процессов, происходящих в физически однородных средах. Но характерной особенностью всякой реальной среды является ее неоднородность. Неоднородность материала упругих тел может возникать в процессе формирования тела из-за особенностей технологических приемов, различных упрочняющих технологий, а также в процессе эксплуатации конструкций. Заданного рода неоднородность, обеспечивающая определенные характеристики, программируется при разработке современных материалов. Наконец, встречаемся с естественной неоднородностью материалов. В современных конструкциях, наряду с упругими материалами, обычно принимаемыми за однородные и изотропные, используются также неоднородные материалы. Отвлечение от имеющейся почти всегда неоднородности тел часто оказывается вполне допустимым и оправданным. Однако современные техника и технологии требуют уточненного подхода к рассмотрению дифракции звуковых волн с учетом сложных внутренних процессов, происходящих в неоднородных средах. Практическое значение изучения процессов дифракции волн на неоднородных телах особенно возросло в последнее время в связи с применением ультразвука в дефектоскопии и медицинской диагностике, в связи с проектированием конструкций для защиты от шума. Кроме того, актуальности указанной проблемы способствуют современные задачи гидроакустики, геофизики, сейсмологии, судовой акустики и др. Поэтому проблема дифракции звуковых волн на неоднородных упругих цилиндрических телах относится к числу проблем, представляющих большой теоретический и практический интерес.

Круг работ по изучению дифракции звука на неоднородных упругих телах сравнительно узок (Коваленко Г.П., Молотков JI.A., При-ходько В.Ю., Скобельцын С.А., Толоконников JI.A., Тютекин В.В.). Построение решений для произвольных законов изменения свойств неоднородного материала рассеивателя связано с большими математическими трудностями. Многие вопросы дифракции звуковых волн на телах с учетом их неоднородности не изучены. Например, в известных работах по дифракции звука на цилиндрических неоднородных телах полагалось, что тела находятся в идеальной жидкости. Такой подход сужает область практического применения полученных результатов, так как в ряде случаев реальные свойства жидкости нельзя не принимать во внимание. Например, вязкость среды оказывает большое влияние на распространение звуковых волн в микронеоднородных средах. Поэтому представляется важным изучение взаимодействия упругих волн в телах цилиндрической формы с волнами в вязкой жидкости с учетом поглощения звука и при различной геометрии первичного акустического поля.

В большинстве работ по теории дифракции полагалось, что рас-сеиватели расположены в безграничном пространстве. Реально всегда имеем ограничивающие звукоотражающие поверхности. При этом возникают многократные переотражения между телом и границей, которые существенно изменяют картину акустического поля. Дифракция звука на цилиндрических телах, находящихся вблизи звукоотража-ющих границ, относится к еще более сложным задачам дифракции, представляющим значительный интерес для теории и практики. Известно небольшое количество работ по дифракции звуковых волн на однородных (Белов В.Е., Горский С.М.,Шендеров E.JL,Bishop G.C., Smith J.) и неоднородных (Садомов А.А., Толоконников JI.A.) упругих цилиндрических телах в присутствии граничных поверхностей. Поэтому для изучения влияния звукоотражающих границ на дифракционные процессы требуется создание эффективных методов расчета акустических полей, рассеянных неоднородными упругими телами.

Целью работы является построение математических моделей дифракции звуковых волн на неоднородных упругих телах, расположенных в идеальной и вязкой жидкостях, и проведение на основе этих моделей исследований дифракции звуковых волн на неоднородных упругих цилиндрических телах в безграничном пространстве и в присутствии звукоотражающих поверхностей.

Научная новизна работы заключается в следующем: поставлены и решены новые задачи дифракции звуковых волн на неоднородных упругих полых цилиндрических телах; исследовано влияние вязкости жидкости на рассеяние плоских и цилиндрических звуковых волн неоднородными упругими цилиндрами; изучена дифракция звука на неоднородных цилиндрических телах в присутствии плоской границы; исследовано влияние неоднородности материала тела на рассеяние звука в волноводе.

Достоверность полученных результатов вытекает из корректной постановки задач и обоснованности применяемых математических методов; обеспечивается проведением расчетов на ЭВМ с контролируемой точностью; подтверждается совпадением полученных решений с известными результатами для частных случаев.

Практическое значение работы. Результаты диссертационной работы могут быть использованы в гидроакустике для звуковой эхолокации различных объектов; в судовой акустике при изучении акустических характеристик судовых конструкций; в дефектоскопии для идентификации результатов экспериментальных исследований; в ультразвуковых технологиях (дефектоскопия, медицинская диагностика); в геофизике и оптике. Теоретические положения работы могут найти применение при разработке акустических методов неразрушающего контроля и методов ультразвуковой диагностики многофазных систем; при решении обратных задач рассеяния звуковых волн; при решении задач динамической теории упругости и теории дифракции электромагнитных волн, аналогичных рассмотренным в работе.

Диссертационная работа выполнялась в рамках госбюджетной НИР Тульского государственного университета "Некоторые вопросы прикладной математики и механики "и проекта Российского фонда фундаментальных исследований (JV2 09-01-97504).

На защиту выносятся: математические модели дифракции звуковых волн на неоднородных упругих телах, находящихся в идеальной и вязкой жидкостях в безграничном пространстве, в присутствии звукоотражающей границы и в волноводе; аналитико-численные решения задач дифракции плоских и цилиндрических волн на неоднородном полом цилиндре в вязкой жидкости; аналитико-численные решения задач дифракции звука на ради-ально-неоднородном полом цилиндре вблизи плоской границы (абсолютно жесткой и акустически мягкой); аналитические решения задач дифракции звука на неоднородном полом цилиндре в волноводах с абсолютно жесткими и акустически мягкими стенками; результаты численных расчетов, показывающие влияние неоднородности материала тела на рассеяние звука.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики и информатики "(Тула, 2008); на научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ (2007-2009); на научных семинарах кафедры прикладной математики и информатики ТулГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, в том числе 2 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 153 страницы, 58 рисунков. Список литературы включает 140 источников.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе решены новые задачи теории дифракции звуковых волн на неоднородных упругих цилиндрических телах.

Краткое содержание полученных результатов:

1. Построены математические модели дифракции звуковых волн на неоднородных упругих цилиндрических телах, граничащих с вязкими однородными жидкостями; находящихся в невязкой жидкости вблизи границы раздела сред; расположенных в плоских волноводах.

2. Получены аналитико-численные решения задач дифракции плоских и цилиндрических звуковых волн на неоднородном полом цилиндре в вязкой жидкости.

Исследовано влияние вязкости жидкости на рассеяние звука неоднородными упругими цилиндрами. Обнаружен ряд характерных черт этого влияния.

Изучено влияние неоднородности материала рассеивателя на характеристики рассеяния.

Проведены расчеты амплитуды рассеяния в дальней зоне поля. Анализ угловых и частотных характеристик рассеянного акустического поля показал, что неоднородность материала рассеивателя оказывает значительное влияние на характеристики рассеяния, причем степень этого влияния существенно зависит от типа материала.

Выяснено влияние расходимости падающей цилиндрической волны на дифракцию звука. Сравнение полученных результатов с характеристиками рассеяния плоской волны показало, что характер дифракции цилиндрических волн заметно отличается от характера дифракции плоской волны. Это отличие становится более выраженным при приближении источника к рассеивателю и при увеличении волнового размера тела.

3. Решены задачи дифракции плоской звуковой волны на неоднородном упругом полом цилиндре, расположенном вблизи акустически жесткой и акустически мягкой плоскости.

Исследовано влияние подстилающей поверхности на рассеяние звука. Выявлено, что с увеличением расстояния от цилиндрического рассеивателя до плоскости частота осцилляций угловой характеристики рассеяния возрастает и для однородного цилиндра, и для неоднородного. Показано, что свойства границы раздела сред являются существенным фактором, влияющим на дифракционную картину.

4. Получены приближенные аналитические решения задач дифракции звука на радиально- неоднородном полом цилиндре в плоских волноводах с акустически мягкими и жесткими границами при произвольном распределении источников первичного поля на сечении волновода.

Рассчитаны характеристики рассеяния звука для однородных и неоднородных тел. Получены распределения давления по сечениям волновода. Проведен анализ влияния характеристик волновода и частоты первичного поля возмущений на рассеянное цилиндром поле. Выявлены особенности влияния неоднородности материала на рассеянное акустическое поле в волноводе.

1. Амензаде Ю.А. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1971. 288 с.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: БИНОМ, 2003. 632 с.

3. Безруков А.В., Приходько В.Ю., Тютекин В.В. Рассеяние звуковых волн упругими радиально-слоистыми цилиндрическими телами // Акуст. журн. 1986. Т. 32. Вып. 6. С. 762 766.

4. Белов В.Е., Горский С.М., Зиновьев А.Ю., Хилько А.И. Применение метода интегральных уравнений к задаче о дифракции акустических волн на упругих телах в слое жидкости // Акуст. журн. 1994. Т. 40. Вып. 4. С. 548-560.

5. Белов В.Е., Горский С.М., Хилько А.И., Широков В.Н. Дифракция акустических волн на упругом цилиндре в многомодовом слоистом волноводе // Волны и дифракция 90. - М.: Физическое общество, 1990. Т. 1. С. 378-382.

6. Бойко А.И., Иванов В.П. Подавление поля, возбуждаемого пульсирующей сферой в прямоугольном волноводе // Акуст. журн. 1976. Т. 22. Вып. 6. С. 465-468.

7. Бреховских JI.M. О волноводных явлениях в твердых слоистых средах с непрерывно изменяющимися параметрами // Акуст. журн. 1968. Т. 14. Вып. 2. С. 194-203.

8. Бреховских J1.M. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 344 с.

9. Бреховских JI.M., Годин О.А. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989. 416 с.

10. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. 759 с.

11. Векслер Н.Д., Корсунский В.М., Рыбак С.А. Рассеяние плоской наклонно падающей волны круговой цилиндрической оболочкой // Акуст. журн. 1990. Т. 36. Вып. 1. С.12-16.

12. Винокур Р.Ю., Могилевский М.И. Влияние вязкости и теплопроводности среды на отражение и прохождение звука через тонкую пластину // Защита от шума в зданиях и на территории застройки. М.: Строит, и архит., 1987.1. С. 112-117.

13. Войтович Н.Н., Шатров А.Д. Распространение нормальных мод в подводном звуковом канале // Акуст. журн. 1973. Т. 18. Вып. 4. С. 434-438.

14. Галишникова Т.Н., Ильинский А.С. Численные методы в задачах дифракции. -М.: МГУ, 1987.

15. Галкин О.П., Панкова С.Д. Особенности формирования звукового поля вблизи дна мелкого моря // Акуст. журн. 2006. Т. 52. Вып. 2. С. 187-194.

16. Годин О.А. Об отражении плоских волн от слоистого полупространства // Докл. АН СССР. 1980. Т. 255. № 5. С. 1069 1072.

17. Горская Н.В., Горский С.М., Зверев В.А., Николаев Г.Н., Курин В.В., Хилько А.И. Коротковолновая дифракия в многомодовом слоистом волноводе // Акуст. журн. 1988. Т. 30. Вып. 1. С. 55-59.

18. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. Статика анизотропных толстостенных оболочек. Киев: Вища школа, 1985. 190 с.

19. Гузь А.Н., Головчан В.Т. Дифракция упругих волн в многосвязных телах. Киев.: Наукова думка, 1972. 256 с.

20. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. Киев: Наукова думка, 1978. 308 с.

21. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко B.JI. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. — 352 с.

22. Захаренко А.Д. Рассеяние звука на малых компактных неодно-родностях в морском волноводе // Акуст. журн. 2000. Т. 46. Вып. 2. С. 200-203.

23. Захаренко А.Д. Рассеяние звука на малых компактных неодно-родностях в морском волноводе: обратная задача // Акуст. журн. 2002. Т. 48. Вып. 2. С. 200-204.

24. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики. М.: ИЛ, 1950. 456 с.

25. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. 584 с.

26. Канторович Л. В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физматгиз, 1962. 708 с.

27. Кацнельсон Б.Г., Переселков С.А., Петников В.Г. О возможности селекции нормальных волн в мелководном волноводе // Акуст. журн. 2004. Т. 50. Вып. 5. С. 646-656.

28. Коваленко Г.П. Отражение и преломление звуковой волны на границе неоднородного твердого полупространства и жидкости // Акуст. журн. 1975. Т. 21. Вып. 6. С. 894-899.

29. Коваленко Г.П. Определение коэффициентов отражения и трансформации волн на границе жидкости и твердой неоднородной среды // Акуст. журн. 1985. Т. 31. Вып. 3. С. 342 347.

30. Коваленко Г.П. К задаче о дифракции акустической волны на неоднородном твердом теле // Акуст. журн. 1987. Т. 33. Вып. 6. С. 1060-1063.

31. Кольский Г. Волны напряжения в твердых телах. М.: Изд. иностр. лит., 1955. 192 с.

32. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1968. 720 с.

33. Клещёв А.А. Рассеяние звука сфероидальными телами, находящимися у границы раздела сред // Акуст. журн. 1977. Т. 23. Вып. 3. С. 404-410.

34. Клещёв А.А. Рассеяние звука сфероидальным телом, находящимся у границы раздела сред // Акуст. журн. 1979. Т. 25. Вып. 1. С. 143-145.

35. Клещёв А.А., Клюкин И.И. Спектральные характеристики расе-яния звука на теле в звуковом канале // Акуст. журн. 1974. Т. 20. Вып. 3. С. 283-284.

36. Кудряшев В.М. Звуковое поле в волноводе с наклонным дном // Акуст. журн. 1987. Т. 33. Вып. 1. С. 55-59.

37. Кравцов Ю.А., Кузькин В.М., Петников В.Г. Дифракция волн на регулярных рассеивателях в многомодовых волноводах // Акуст. журн. 1984. Т. 30. Вып. 3. С. 339-343.

38. Кузькин В.М. Рассеяние звуковых волн на теле в плоскослоистом волноводе // Акуст. журн. 2003. Т. 49. Вып. 1. С. 77-84.

39. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 736 с.

40. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1965. 204 с.

41. Лапин А.Д. Отражение и рассеяние звука резонатором в волноводе произволного сечения // Акуст. журн. 1992. Т. 38. Вып. 4. С. 773-775.

42. Лапин А.Д. Звуковые поля в волноводе, возбуждаемые монопольным и дипольным источниками, расположенными в нижележащем твердом полупространстве // Акуст. журн. 1993. Т. 39. Вып. 5. С. 859-886.

43. Лапин А.Д. Поглощение звука резонаторами в цилиндрическом волноводе // Акуст. журн. 2006. Т. 52. Вып. 5. С. 716-719.

44. Лапин А.Д. Резонатор монопольно-дипольного типа в узкой трубе // Акуст. журн. 2003. Т. 49. Вып. 6. С. 855-857.

45. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. О прохождении звука через плоский неоднородный термоупругий слой // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2001. Т. 7. Вып. 2. С. 104109.

46. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Прохождение плоской звуковой волны через неоднородный термоупругий слой // Прикладная математика и механика. 2006. Т. 70. Вып. 4. С. 650-659.

47. Ларин Н.В. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном термоупругом цилиндрическом слое / / Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2001. Т. 7. Вып. 2. С. 97-103.

48. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Дифракция цилиндрических волн на неоднородной термоупругой цилиндрической оболочке // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Тула: ТулГУ, 2001. С. 78-85.

49. Ларин Н.В. Прохождение звуковой волны через неоднородный анизотропный термоупругий плоский слой // Известия ТулГУ. Серия Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2006. Вып. 1. С. 130-135.

50. Ларин Н.В. Дифракция цилиндрических звуковых волн на неоднородной трансверсально-изотропной термоупругой цилиндрической оболочке // Вестник ТулГУ. Серия Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2007. Вып. 1. С. 58-64.

51. Ларин Н.В. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородной анизотропной термоупругой сферической оболочке // Вестник ТулГУ. Серия Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2007. Вып. 1. С. 50-57.

52. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М.: Физ-матгиз, 1963. 358 с.55 5657