автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Дифракция звуковых волн на неоднородных упругих эллиптических цилиндрах и сфероидах

На правах рукописи о о - -

005017993

ЛОБАНОВ АЛЕКСЕЙ ВЛАДИМИРОВИЧ

ДИФРАКЦИЯ ЗВУКОВЫХ ВОЛН НА НЕОДНОРОДНЫХ УПРУГИХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЦИЛИНДРАХ И СФЕРОИДАХ

Специальность 05.13.18 "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тула 2012

1 9 ДПР 2012

005017993

Диссертация выполнена в ФГБОУ ВПО "Тульский государственный университет".

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Толоконников Лев Алексеевич

Официальные оппоненты: Лавит Игорь Михайлович, доктор физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО "Тульский государственный университет", профессор кафедры "Математическое моделирование"

Рождественский Константин Николаевич, кандидат физико-математических наук, доцент, Институт законоведения и управления Всероссийской полицейской ассоциации, доцент кафедры "Естественно-научных дисциплин и информационных технологий"

Ведущая организация: ФГУП "Государственное научно-производственное предприятие "Сплав"

- Защита диссертации состоится " И " мая 2012 г. в 14.00 ч. на заседании диссертационного совета Д 212.271.05 при Тульском государственном университете (300012, г.Тула, пр.Ленина, 92, 9-101).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета

Автореферат разослан " (О " апреля 2012 г. Ученый секретарь

диссертационного совета Панарин Владимир Михайлович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

Широкое применение теории дифракции в исследовательской и производственной практике требует разработки все более точных математических моделей, опиисывающих дифракционные процессы с учетом конфигурации тел и реальных свойств материалов рассеивателей. Однако не существует общего метода решения дифракционных задач для тел произвольной формы с учетом разнообразных свойств материала тела и окружающей среды и при различной геометрии поля падающей волны.

Значительный интерес для теории и практики представляют исследования дифракции звуковых волн на телах, имеющих форму эллиптического цилиндра и эллипсоида вращения (сфероида). Геометрией этих тел охватывается большое разнообразие форм. Многие реальные объекты достаточно хорошо могут быть аппроксимированы телами указанной формы. Эллиптический цилиндр и сфероид относятся к типам препятствий, представляющих самостоятельный интерес, а также служащих полезными ступенями в последовательном изучении дифракции волн на телах более сложной конфигурации.

Дифракция звука на идеальных (абсолютно жестких и акустически мягких), проницаемых (жидких) и упругих эллиптических цилиндрах и сфероидах изучалась в ряде работ (Андебура В. А., Клещев А. А., Рождественский К.Н., Толоконников Л.А., Burke J.E., Einspruch N.G., Graunard G., Flax L., Hackman R.H., Pillai T.A.K., Sénior T.B., Spence R.D., Varadan V.K., Vara-dan V.V., Werby M.F. и др.). При этом полагалось, что материалы тел являются однородными.

К числу проблем, представляющих большой теоретический и практический интерес, относится проблема дифракции звуковых волн на неоднородных телах. Круг работ по изучению дифракции звука на неоднородных телах, имеющих форму эллиптического цилиндра и сфероида и характеризуемых переменными плотностью материала и скоростью звука, достаточно узок (Толоконников Л.А.). Исследования акустических полей, рассеяных неоднородными упругими телами указанной формы до сих пор не проводились.

Неоднородность материала упругих тел может возникать в процессе

формирования тела из-за особенностей технологических приемов, различных упрочняющих технологий, а также в процессе эксплуатации конструкций. В современных конструкциях, наряду с упругими материалами, обычно . принимаемыми за однородные, используются также неоднородные материалы, обладающие существенно неоднородными физическими свойствами. Заданного рода неоднородность, обеспечивающая определенные характеристики, программируется при разработке современных материалов. Непрерывно неоднородное тело может служить моделью для системы достаточно тонких однородных упругих слоев, в которых механические параметры (плотность и модули упругости) меняются от слоя к слою.

Практическое значение изучения процессов дифракции волн на неоднородных телах особенно возросло в последнее время в связи с применением ультразвука в дефектоскопии и медицинской диагностике, в связи с проектированием конструкций для защиты от шума. Кроме того, актуальности исследований дифракции звуковых волн на телах со сложной реологией способствуют современные задачи гидроакустики, геофизики, сейсмологии, судовой акустики и др.

Поэтому решение задач дифракции акустических волн на неоднородных упругих эллиптических цилиндрах и сфероидах и изучение рассеяния звука этими телами является актуальной проблемой.

Целью работы является построение математической модели дифракции звуковых волн на неоднородных упругих телах, имеющих форму эллиптического цилиндра и сфероида, решение дифракционных задач при различной геометрии поля падающей волны и проведение исследования рассеянных акустических полей для разных законов неоднородности материала тел.

Научная новизна работы заключается в следующем:

— поставлены и решены новые задачи дифракции звуковых волн на неоднородных упругих эллиптических цилиндрах и сфероидах;

— исследовано влияние неоднородности материала тел на. рассеяние звука эллиптическими цилиндрами и сфероидами при различных законах неоднородности;

— изучены особенности звукоотражающих свойств неоднородных упругих эллиптических цилиндров и сфероидов при различной геометрии поля падающей волны.

Достоверность полученных результатов вытекает из корректной постановки задач и обоснованности применяемых математических методов; обеспечивается проведением расчетов на ЭВМ с контролируемой точностью; подтверждается совпадением полученных решений с известными результатами для частных случаев.

Практическое значение работы. Результаты диссертационной работы могут быть использованы в гидроакустике для звуковой эхолокации различных объектов; в судовой акустике при изучении акустических характеристик судовых конструкций; в дефектоскопии для идентификации результатов экспериментальных исследований; в ультразвуковых технологиях (дефектоскопия, медицинская диагностика); в геофизике и оптике. Теоретические положения работы могут найти применение при разработке акустических методов неразрушающего контроля и методов ультразвуковой диагностики; при решении обратных задач рассеяния звуковых волн; при решении задач динамической теории упругости и теории дифракции электромагнитных волн, аналогичных рассмотренным в работе.

Диссертационная работа выполнялась в рамках госбюджетной НИР Тульского государственного университета "Некоторые вопросы прикладной математики и механики "и проектов Российского фонда фундаментальных исследований (№ 09-01-97504, № 11-01-97509-р-центр).

На защиту выносятся:

— математическая модель дифракции звуковых волн на неоднородных упругих эллиптическом цилиндре и сфероиде, находящихся в идеальной жидкости;

— аналитико-численные решения задач дифракции плоских, цилиндрических и сферических волн на неоднородных упругих полых телах, имеющих форму эллиптического цилиндра и сфероида;

— результаты численных расчетов, показывающие влияние на рассеяние звука неоднородности материала тел при различных законах неоднородности, частоты звуковых волн, конфигурации тел, геометрии поля падающей волны.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на международных научных конференциях "Современные проблемы математики, механики и информатики "(Тула, 2009, 2011); на научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава

ТулГУ; на научных семинара* кафедры прикладной математики и информатики ТулГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, в том числе 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 148 страниц 93 рисунка. Список литературы включает 124 источника.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность темы диссертационной работы указаны цель и основные направления намеченных исследований, отмечена научная новизна работы, кратко очерчена область возможных приложений излагаются основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава состоит из двух разделов. Первый раздел содержит обзор литературы по проблеме дифракции звуковых волн на неоднородных упругих телах. Во втором разделе проводится построение математических модетей дифракции звуковых волн „а неоднородных упругих телах, находящихся в идеальной жидкости.

Распространение звука в идеальной жидкости описывается полной системой уравнений гидромеханики идеальной жидкости, включающей в себя уравнение движения идеальной жидкости (уравнение Эйлера), уравнение неразрывности и уравнение физического состояния. Из этой системы в случае малых возмущений для установившегося режима колебаний с временным множителем е-" (который в дальнейшем опускаем) получаем волновое

уравнение Гельмгольца относительно потенциала скоростей акустического поля Ф:

ДФ + /С2Ф = 0, (!)

где ш - круговая частота, к - волновое число.

Распространение волн в неоднородном упругом теле в случае малых деформаций и при отсутствии массовых сил для установившегося режима движения в ортогональной криволинейной системе координат имеет

следующий вид:

1

Нук211з

—(ЛгАзац) + ~(1ф3о12) + ~-(/г1Л2а13)

-022^3

1

5/12 , 5/13 , , д!ц 1 д1ц

---<Т3 3«2я--Ь С12"3-Н--г ОпП-2-^—

0(11 oql дд2 дд3

-ри^иь

/н/^з 5/13

с? 3

^-(/ц/г3<722) + ^См^гз) + о^^Ьзаи)-

—033/11

1

5<72

-ри?и2\

/11/12/13

д--Н О^Пх—--Ь —

о<?2 о?з

^ ^ ^

—(/г1/г2<тзз) + ^-(ЛгЛз^з) + ^-(ЛхМгя)-

5/ц 9Л, а/13 , . 5/г3' 5?з 5?3 5?! 5д2.

-ры2и3.

(2)

Здесь р = /э(г) — равновесная плотность упругой среды (г — радиус-вектор точки тела); ы,- (г = 1,2,3) — компоненты вектора смещения и; (Ту — компоненты тензора напряжений; Ла, /г2, /¿3 — коэффициенты Ламе криволинейной системы координат.

В математической постановке задача дифракции звуковых волн на неоднородных упругих телах состоит в нахождении решений соответствующих уравнений движения, удовлетворяющих граничным условиям, а также условиям излучения на бесконечности для рассеянного поля и условию ограниченности для волнового поля внутри тела.

Граничные условия на поверхности Г упругого тела, граничащего с идеальной жидкостью, заключаются в непрерывности нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости; равенстве на Г нормального напряжения и акустического давления р; отсутствии на этой поверхности касательных напряжений.

Во второй главе исследуется дифракция звуковых волн на неоднородных упругих полых эллиптических цилиндрах.

В первом разделе главы находится решение задачи дифракции плоской звуковой волны.

Рассматривается бесконечный радиально-неоднородный изотропный эллиптический цилиндр с большой полуосью а и малой - Ь. Цилиндрическое тело имеет концентрическую цилиндрическую полость радиуса г2. Полагаем, что модули упругости А, /л, и плотность р материала цилиндра описываются дифференцируемыми функциями цилиндрической радиальной координаты г. Окружающая цилиндр и находящаяся в его полости сжимаемые жидкости

являются идеальными и однородными. Из внешнего пространства на упругий цилиндр перпендикулярно его образующей падает плоская монохроматическая волна с потенциалом скоростей Ф0 = Аи ехр[г(к! • г - uit% где А0 — амплитуда; г — радиус-вектор; кг — волновой вектор внешней среды.

Определению подлежат отраженная от цилиндра и возбужденная в его полости звуковые волны, а также поле смещений в упругом цилиндрическом слое.

Для решения задачи введем цилиндрическую систему координат г, в, г, связанную с цилиндром. В рассматриваемой постановке задача является двумерной. Падающую волну представим в виде разложения по цилиндрическим функциям Бесселя.

Уравнение эллиптического цилиндра в цилиндрической системе координат имеет вид:

г (9) = а(1 — esin2 б)-1/2, (3)

£2

где 6 ~ е2 - I' £ — эксцентриситет эллиптического сечения цилиндра.

Потенциалы скоростей отраженной от эллиптического цилиндра Ф,, и возбужденной в его полости Ф2 звуковых волн являются решениями уравнений Гельмгольца (1), записанными в цилиндрической системе координат.

Задача решается методом возмущений. Используя в качестве малого параметра величину е, искомые функции Фя, Ф2, иг, щ представляются в виде разложений по степеням е, ограничиваясь при этом линейными относительно е членами:

% = Ф°+еФ]+...; Ф2 = Ф2°+еф1+...; ur = u°r+eul+...-, Ч = ч0в+еи1в+.... Граничные условия имеют вид

при г = г(в): vla = -ium„; <rm =-Pi; сгпт = О,

при г = г2 : v2r = -z'wur; arr = -р2; атв = 0.

Получаем краевые задачи, соответствующие нулевой и первой степеням е.

С учетом условий на бесконечности для потенциалов Ф« (q = 0,1) во внешней среде и условия ограниченности для Щ (q = 0,1) в полости цилиндра решения волновых уравнений Гельмгольца ищутся в виде

~ оо

Ф3 = ¿2 AWnihr) cosn(0 - виу, Ф< = J2 BlJn{k2r) cosп(в - в0), (4)

п=О

где Jn — цилиндрическая функция Бесселя порядка Ti-, Нп — цилиндрическая функция Ханкеля первого рода порядка п; ва — угол между направлением падения плоской волны и осью х.

Функции и% u¡ (q = 0,1) ищутся в виде:

оо 00

в) = Е ВД COS П(в - 0О); «|(Г, в) = Щп(г) sin П(в - в0).

11=0 11=0

Для определения неизвестных функций [/'„(г) и Щп[г) получаются две системы линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка:

A«U«" + B«U«' + CUJ = 0 (q = 0,1), (5)

где U° = (£/?„, Ui = (£/}„,Щп)Т\ А\В\С* - матрицы второго

порядка.

Коэффициенты Л?а и Д? (q = 0,1) разложений (4), а также четыре краевых условия для нахождения частного решения системы уравнений (5) определяются из двух систем уравнений граничных условий, записанных относительно нулевой и первой степеней е. Коэффициенты А£ и В' выражаются через радиальную координату вектора смещений, вычисленную при г = а и г = rj.

Условия для нахождения частного решения системы (5), имеют вид: [DU* + E\Jl\r=a = G'; [DUS' + FU4]r=r2=0 (<? = 0,1). (G)

Здесь D,E,F,G - матрицы второго порядка. Краевые задачи (5), (6) решаются путем сведения их к задачам Коши. Решения задач Коши находятся методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности.

Однородность системы (5) позволяет представить решения Û" и Û* краевых задач в виде линейных комбинаций

ÚS = ¿C?Ú«; Úi = ¿C/U» (7)

1=1 i=i где I = 1,2,3,4 - порядковый номер задачи Коши.

Подставляя (7) в краевые условия (6), получаем две системы четырех линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов С[ (q = 0,1).

Определив коэффициенты разложений (4), получаем аналитическое описание акустических полей вне и в полости цилиндра.

Выражение для амплитуды рассеяния в дальней зоне поля имеет вид

Во втором разделе главы находится решение задачи дифракции цилиндрической звуковой волны. При этом Ф0 = АоЩ(к\Я). Падающая волна раскладывается в ряд по цилиндрическим функциям Бесселя. Решение задачи проводится аналогично случаю падения плоской волны.

Во третьей главе рассматривается задача дифракции звуковых волн на неоднородных упругих полых сфероидах.

В первом разделе главы находится решение задачи дифракции плоской звуковой волны.

Рассматривается неоднородный упругий сфероид (а и Ь — полуось вращения и вторая полуось сфероида соответственно), имеющий сферическую полость радиуса гг. Полагаем, что модули упругости Л, ц и плотность р материала сфероида описываются дифференцируемыми функциями сферической координаты г. Окружающая сфероид и находящаяся в его полости сжимаемые жидкости являются идеальными и однородными. Из внешнего пространства на упругий сфероид падает плоская монохроматическая волна с потенциалом скоростей Фо = Аоехр[гк1 • г].

Для определения отраженной от сфероида и возбужденной в его полости волн, а также поля смещений в упругом сфероидальном слое свяжем со сфероидальным телом сферическую систему координат г, в, <р.

Падающая волна раскладывается в ряд по сферическим функциям Бесселя.

Уравнение сфероида в сферической системе координат имеет вид (3).

2

с

Причем для вытянутого сфероида е = —а для сплюснутого сфероида е = е2. Здесь £ — эксцентриситет сфероида.

Потенциалы скоростей отраженной от сфероида Ф., и возбужденной в его полости Фг звуковых волн являются решениями уравнений Гельмгольца (1), записанных в сферической системе координат.

Распространение упругих волн в неоднородном слое описывается общими уравнениями движения упругой среды (2) в сферической системе координат.

Получаем сложную систему дифференциальных уравнений. Для её решения введем новые функции и2 и и3, связанные с щ и uv соотношениями

и = л. JL.^1 _ дия

в 80 sin 0 %~sin Odtp~W

Осуществляя ряд преобразований, приходим к системе трех уравнений, два из которых зависят от функций иг и ы2, а третье - только от щ.

Искомые функции Ф8, Ф2, иг,и2,щ должны удовлетворять граничным условиям

при г = г(в) vln = -iwun] ffnn = -pi; сгпт = 0; = 0;

приг = г2 ь-2г = -шиг; сггг = —р2; сгв = 0; аГ1(> = 0.

Для решения задачи используется метод возмущений. Используя в качестве малого параметра величину е, искомые функции Фя, Ф2, иг, щ, Щ представим в виде разложений по степеням е, ограничиваясь при этом линейными относительно е членами

Ф, = ф» + вф1 + .... ф2 = фо + еф1 + .

иг = иаг + ей]. + ...-, и2 = «2 + еы2 + • • •; «з = + еи\ + ....

С учетом условий на бесконечности для потенциалов Фа во внешней среде и условия ограниченности для Ф2 в полости сфероида решения волновых уравнений Гельмгольца ищутся в виде:

оо п

= £ ЕAlnhn(k:r)P^(cose) cosm(<p - <р0);

п=0 m~0 оо п

ф1 = ЕЕ BlmU{hr)P™{ cos в) cos m{<p - п) (Я = 0,1), (8)

п=0 m=0

где hn(x) ~ сферическая функция Ханкеля первого рода порядка п; jn(x) — сферическая функция Бесселя порядка щ Р™(х) - присоединенный многочлен Лежандра степени п порядка тп; в0 и <ра — полярный и азимутальный углы волнового вектора падающей волны соответственно.

Функции ияг, и\, и\ (q = 0,1) будем искать в виде

ОО ОС

= ULn.(r)P™{coSe) cos т(<р - <р0);

п=0 т=0

оо зс

ьЦг, 9, V) = £ £ Щтп{г)Р™(созв) созт(<р -

п=О т=0 ОО оо

«|М,*>) = ЕЕ^ИССсоз^зтт^- ро).

п=0 т=0

Для определения неизвестных функций Щтп{г), Щтп(г) и С/|тт1(г) получаются две системы линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка:

Л« и«,," + в«и«П(; + С«и«,„ = 0 (9 = 0,1), (9)

где = и^ = {(/¡тп, Щшп, Щ„Ш)Т\ А0, В0, С0 -

матрицы второго порядка; А1, В1, С1- матрицы третьего порядка.

Коэффициенты А1п и В^тп {д = 0,1) разложений (8), а также краевые условия для нахождения частного решения системы уравнений (9) определяются из двух систем уравнений граничных условий, записанных относительно нулевой и первой степеней е. Коэффициенты Ачтп и В«,„ выражаются через радиальную координату вектора смещений, вычисленную при г = а и г = г2.

Условия для нахождения частного решения системы (9), имеют вид:

+ = + (, = 0,1). (Ю)

Здесь £>°, Е°, F0, С0 - матрицы второго порядка; О1, /г1, р1, С1 - матрицы третьего порядка.

Краевые задачи (9), (10) решаются путем сведения их к задачам Коши. Решения задач Коши находятся методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности.

После определения коэффициентов разложений (8) получаем аналитическое описание акустических полей вне и в полости сфероида.

Выражение для амплитуды рассеяния в дальней зоне поля имеет вид:

2 ОО п

V) = £ £НГ"М2т + еА^Р^в) созтЬ -

п=0 т=0

Во втором разделе главы находится решение задачи дифракции сферической звуковой волны. Свяжем со сфероидальным телом сферическую систему координат г, в, <р. Падающая волна раскладывается в ряд по сферическим функциям Бесселя.

Решение проводится аналогично случаю падения плоской волны.

В третьем разделе главы находится решение задачи дифракции цилиндрической звуковой волны. В этом случае геометрия падающей волны не совпадает с геометрией рассеивателя, что приводит к усложнению дифракционной задачи. Для её решения вводится основная сферическая система координат г, в, iр, связанная со сфероидом и вспомогательная цилиндрическая система координат p,<p,z, связанная с источником. В цилиндрической системе координат с началом в центре сфероида бесконечно длинный линейный источник имеет координаты (po,tpo). Падающая цилиндрическая волна раскладывается в ряд по цилиндрическим функциям Бесселя в системе координат

р, tp,Z

,Тг , vv„ , N , Л Jm{k\p)Hm{klPo) , для р < Ра Фо = А0 2^(2 - о0т) eosт{<р - щ) <

т=о \Jm(hiPü)Hm(kip) , дляр>ро,

где ¿Qm - символ Кронекера.

Задача решается по той же схеме, что л в случае падения плоской волны. Однако при использовании граничных условий цилиндрическая координата р заменяется её выражением г sin в в сферических координатах, а затем применяются интегральные соотношения:

7Г

У Jm(kirsine)P™{cose)smede = 2in-mjH[kir)P™(0)-, о

ж

J j;n(krrsine}P,™(cos&)sm2edO = 2in~mj'n{k1r)P™(0). о

В четвертой главе проводится численное исследование угловых и частотных характеристик рассеянного акустического поля на основе полученных аналитических решений рассматриваемых задач. При расчетах рассматривались тела из материалов различных типов (металлы и полимеры) и с разными видами неоднородности.

Исследовались акустические поля, рассеянные тостостенными цилиндрическими оболочками, сфероидальными телами с полостью, а также сплошными эллиптическими цилиндрами и сфероидами. При этом изучалось рассеяние плоской, сферической и цилиндрических волн.

Диаграммы направленности рассчитывались при различных волновых размерах и значениях эксцентриситета тела. Анализ диаграмм направленности показал, что угловые характеристики для неоднородных и однородных тел существенно отличаются. При этом отличие усиливается с ростом частоты звуковой волны. Выявлены общие тенденции звукоотражения при различных углах падения звуковой волны и при различной геометрии рассеивателя.

На рис. 1 представлена круговая диаграмма направленности для неоднородного сфероидального тела при кха = 3 и различных значениях эксцент-

Рис. 1. Диаграммы направленности |F(0, v)\ [е. = 0 - сплошная линия; е = 0.1 - пунктирная линия; е = -0.1 - пггрихпунктирная линия; е = 0.2- малые штрихи; е = -0.2 - большие штрихи)

Были проведены расчеты частотных характеристик для однородных и неоднородных упругих тел. Их сравнительный анализ показал, что влияние неоднородности материала приводит как к сдвигу резонансов, так и к изменению уровня резонансных пиков. При этом неблюдается появление и исчезновение некоторых резонансов.

риситета.

е=2. Ф^о.

Рис. 2. Частотная зависимость |F(Tr,0)| от к,а (однородный

- сплошная линия; неоднородный

вида 1 - пунктирная линия; неоднородный вида 2 - штриховая линия)

На рис. 2 приведена частотная зависимость коэффициента обратного отражения 0)| от волнового размера сфероида (е = 0.1).

Анализ диаграмм рассеяния цилиндрической и сферической падающих волн показал, что звукоотражающие свойства тел существенно отличаются от угловых характеристик рассеяния плоской волны. Отличия становятся все более заметными при приближении источника к рассеивателю и при увеличении волнового размера тела.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В диссертационной работе решены новые задачи теории дифракции звуковых волн на неоднородных упругих телах, имеющих форму эллиптического цилиндра и сфероида.

Краткое содержание полученных результатов:

1. Построена математическая модель дифракции звуковых волн на неоднородных упругих эллиптическом цилиндре и сфероиде, находящихся в идеальной жидкости.

2. Получены аналитико-численные решения задач дифракции плоских, цилиндрических и сферических звуковых волн на неоднородных упругих полых эллиптическом цилиндре и сфероиде.

3. Проведены численные исследования дальней зоны акустического поля. Рассчитаны характеристики рассеяния звука для однородных и неоднородных тел. Анализ угловых и частотных характеристик рассеянного акустического поля показал, что неоднородность материала рассеивателя оказывает значительное влияние на характеристики рассеяния, причем степень этого влияния существенно зависит от типа материала. Обнаружен ряд характерных черт этого влияния при различных законах неоднородности.

4. Выяснено влияние расходимости падающей цилиндрической и сферической волн на дифракцию звука. Сравнение полученных результатов с характеристиками рассеяния плоской волны показало, что характер дифракции цилиндрической и сферической волн заметно отличается от характера дифракции плоской волны. Это отличие становится более выраженным при приближении источника к рассеивателю и при увеличении волнового размера тела.

Основное содержание диссертации отражено в публикациях:

1. Лобанов A.B., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн неоднородным упругим сфероидом//Материалы междунар. научн. конф. "Современные проблемы математики, механики, информатики". -Тула: Изда-во ТулГУ, 2009. С. 224-225.

2. Лобанов A.B., Толоконников Л.А. Рассеяние звука на неоднородном упругом эллиптическом цилиндре//Материалы междунар. научн. конф. "Современные проблемы математики, механики, информатики". -Тула: Изда-во ТулГУ, 2011. С. 149-150.

3. Лобанов A.B., Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном упругом сфероиде / / Известия ТулГУ. Естественные науки, 2011. Вып. 2. С. 176-192.

4. Лобанов A.B., Толоконников Л.А. О рассеянии плоской звуковой волны неоднородным упругим сфероидом // Известия ТулГУ. Естественные науки, 2011. Вып. 3. С. 119-125.

5. Лобанов A.B., Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном упругом эллиптическом цилиндре с полостью // Известия ТулГУ. Естественные науки, 2011. Вып. 3. С. 126-136.

6. Лобанов A.B. Дифракция сферической звуковой волны на неоднородном упругом сфероиде. // Вестник ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика, 2011. Т. 17. Вып. 1. Механика. С. 71-77.

7. Лобанов A.B. Дифракция цилиндрической звуковой волны на неоднородном упругом сфероиде. // Вестник ТулГУ. Серия Дифференциальные уравнения и прикладные задачи, 2011. Вып. 1. С. 58-73.

Изд.лиц.ЛР № 020300 от 12.02.97. Подписано в печать 9.04.2012 г. Формат бумаги 60x84 '/]б. Бумага офсетная. Усл.печ. л.0,9 Уч.изд. л. 0,8 Тираж 100 экз. Заказ 014 Тульский государственный университет. 300012, г. Тула, просиЛенина, 92. Отпечатано в Издательстве ТулГУ. 300012, г. Тула, проспЛенина, 95.

ФГБОУ ВПО "Тульский государственный университет

61 12-1/938 На правах рукописи

Лобанов Алексей Владимирович

ДИФРАКЦИЯ ЗВУКОВЫХ ВОЛН НА НЕОДНОРОДНЫХ УПРУГИХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЦИЛИНДРАХ И

СФЕРОИДАХ

Специальность 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Толоконников Л.А.

Тула 2012

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ....................................................................................4

Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФРАКЦИИ ЗВУКОВЫХ ВОЛН НА НЕОДНОРОДНЫХ

ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЦИЛИНДРАХ И СФЕРОИДАХ . 8

1.1. Обзор литературы по дифракции звуковых волн на неоднородных эллиптических цилиндрах и сфероидах..........8

1.2. Построение математических моделей распространения звука 14

1.2.1.Уравнения волновых полей в жидкости......................14

1.2.2.Уравнения волновых полей в неоднородной упругой среде 16

1.2.3.Граничные и дополнительные условия в задачах дифракции ......................................................19

Глава 2. ДИФРАКЦИЯ ЗВУКА НА НЕОДНОРОДНОМ

УПРУГОМ ЭЛЛИПТИЧЕСКОМ ЦИЛИНДРЕ................22

2.1. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном упругом эллиптическом цилиндре................................22

2.1.1.Постановка задачи ............................................22

2.1.2.Аналитическое решение задачи................................23

2.1.3.Решение краевых задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений .............................33

2.1.4.Дальняя зона рассеянного акустического поля..............35

2.2. Дифракция цилиндрической звуковой волны на неоднородном упругом эллиптическом цилиндре........................36

2.2.1.Постановка задачи ............................................36

2.2.2.Аналитическое решение задачи................................37

Глава 3. ДИФРАКЦИЯ ЗВУКОВЫХ ВОЛН НА НЕОДНОРОДНОМ УПРУГОМ СФЕРОИДЕ ................................40

3.1. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном упругом сфероиде..................................................40

3.1.1.Постановка задачи ............................................40

3.1.2.Аналитическое решение задачи................................41

3.1.3.Решение краевых задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений ............................59

3.1.4.Дальняя зона рассеянного акустического поля..............61

3.2. Дифракция сферической звуковой волны на неоднородном упругом сфероиде..............................................63

3.2.1.Постановка задачи ............................................63

3.2.2.Аналитическое решение задачи........................64

3.3. Дифракция цилиндрической звуковой волны на неоднородном упругом сфероиде...........................67

3.3.1.Постановка задачи ..........................67

3.3.2.Аналитическое решение задачи................................68

Глава 4. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФРАКЦИИ ЗВУКОВЫХ ВОЛН НА НЕОДНОРОДНЫХ УПРУГИХ ТЕЛАХ ................................................. 73

4.1. Исследование акустического поля рассеянного эллиптическим цилиндром......................... 76

4.1.1.Случай плоской падающей волны.............. 76

4.1.2.Случай цилиндрической падающей волны ......... 98

4.2. Исследование акустического поля рассеянного сфероидом 102

4.2.1.Случай плоской падающей волны..............102

4.2.2.Случай сферической падающей волны ...........127

4.2.3.Случай цилиндрической падающей волны ......... 131

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ...........................................136

Список литературы ........................................137

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы.

Широкое применение теории дифракции в исследовательской и производственной практике требует разработки все более точных математических моделей, описывающих дифракционные процессы с учетом конфигурации тел и реальных свойств материалов рассеивателей. Однако не существует общего метода решения дифракционных задач для тел произвольной формы с учетом разнообразных свойств материала тела и окружающей среды и при различной геометрии поля падающей волны.

Значительный интерес для теории и практики представляют исследования дифракции звуковых волн на телах, имеющих форму эллиптического цилиндра и эллипсоида вращения (сфероида). Геометрией этих тел охватывается большое разнообразие форм. Многие реальные объекты достаточно хорошо могут быть аппроксимированы телами указанной формы. Эллиптический цилиндр и сфероид относятся к типам препятствий, представляющих самостоятельный интерес, а также служащих полезными ступенями в последовательном изучении дифракции волн на телах более сложной конфигурации.

Дифракция звука на идеальных (абсолютно жестких и акустически мягких), проницаемых (жидких) и упругих эллиптических цилиндрах и сфероидах изучалась в ряде работ (Андебура В.А., Клещев A.A., Рождественский К.Н., Толоконников J1.A., Burke J.E., Einspruch N.G., Graunard G., Flax L., Hackman R.H., Pillai T.A.K., Senior T.B., Spence R.D., Varadan V.K., Varadan V.V., Werby M.F. и др.). При этом полагалось, что материалы тел являются однородными.

К числу проблем, представляющих большой теоретический и практический интерес, относится проблема дифракции звуковых волн на неоднородных телах. Круг работ по изучению дифракции звука на неоднородных телах, имеющих форму эллиптического цилиндра и сфероида и характеризуемых переменными плотностью материала и скоростью звука, достаточно узок (Толоконников JI.A.). Исследования акустических полей неоднородными упругими телами указанной формы до сих пор не проводились.

Неоднородность материала упругих тел может возникать в процессе формирования тела из-за особенностей технологических приемов, раз-

личных упрочняющих технологий, а также в процессе эксплуатации конструкций. В современных конструкциях, наряду с упругими материалами, обычно принимаемыми за однородные, используются также неоднородные материалы, обладающие существенно неоднородными физическими свойствами. Заданного рода неоднородность, обеспечивающая определенные характеристики, программируется при разработке современных материалов. Кроме того, непрерывно неоднородное тело может служить моделью для системы достаточно тонких однородных упругих слоев, в которых механические параметры (плотность и модули упругости) меняются от слоя к слою.

Практическое значение изучения процессов дифракции волн на неоднородных телах особенно возросло в последнее время в связи с применением ультразвука в дефектоскопии и медицинской диагностике, в связи с проектированием конструкций для защиты от шума. Кроме того, актуальности исследований дифракции звуковых волн на телах со сложной реологией способствуют современные задачи гидроакустики, дефектоскопии, медицинской диагностики, геофизики, сейсмологии, судовой акустики и др.

Поэтому решение задач дифракции акустических волн на неоднородных упругих эллиптических цилиндрах и сфероидах и изучение рассеяния звука этими телами является актуальной проблемой.

Целью работы является построение математической модели дифракции звуковых волн на неоднородных упругих телах, имеющих форму эллиптического цилиндра и сфероида, решение дифракционных задач при различной геометрии поля падающей волны и проведение исследования рассеянных акустических полей для разных законов неоднородности материала тел.

Научная новизна работы заключается в следующем:

— поставлены и решены новые задачи дифракции звуковых волн на неоднородных упругих эллиптических цилиндрах и сфероидах;

— исследовано влияние неоднородности материала тел на рассеяние звука эллиптическими цилиндрами и сфероидами при различных законах неоднородности;

— изучены особенности звукоотражающих свойств неоднородных упругих эллиптических цилиндров и сфероидов при различной геомет-

рии поля падающей волны.

Достоверность полученных результатов вытекает из корректной постановки задач и обоснованности применяемых математических методов; обеспечивается проведением расчетов на ЭВМ с контролируемой точностью; подтверждается совпадением полученных решений с известными результатами для частных случаев.

Практическое значение работы. Результаты диссертационной работы могут быть использованы в гидроакустике для звуковой эхолокации различных объектов; в судовой акустике при изучении акустических характеристик судовых конструкций; в дефектоскопии для идеентифи-кации результатов экспериментальных исследований; в ультразвуковых технологиях (дефектоскопия, медицинская диагностика); в геофизике и оптике. Теоретические положения работы могут найти применение при разработке акустических методов неразрушающего контроля и методов ультразвуковой диагностики; при решении обратных задач рассеяния звуковых волн; при решении задач динамической теории упругости и теории дифракции электромагнитных волн, аналогичных рассмотренным в работе.

Диссертационная работа выполнялась в рамках госбюджетной НИР Тульского государственного университета "Некоторые вопросы прикладной математики и механики "и проектов Российского фонда фундаментальных исследований (№ 09-01-97504, № 11-01-97509-р-центр).

На защиту выносятся:

— математическая модель дифракции звуковых волн на неоднородных упругих эллиптическом цилиндре и сфероиде, находящихся в идеальной жидкости;

— аналитико-численные решения задач дифракции плоских, цилиндрических и сферических волн на неоднородных упругих полых телах, имеющих форму эллиптического цилиндра и сфероида;

— результаты численных расчетов, показывающие влияние на рассеяние звука неоднородности материала тел при различных законах неоднородности, частоты звуковых волн, конфигурации тел, геометрии поля падающей волны.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на международных научных конференциях "Современ-

ные проблемы математики, механики и информатики "(Тула, 2009, 2011); на научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ; на научных семинарах кафедры прикладной математики и информатики ТулГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, в том числе 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 148 страниц, 93 рисунка. Список литературы включает 124 источника.

Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФРАКЦИИ ЗВУКОВЫХ ВОЛН НА НЕОДНОРОДНЫХ УПРУГИХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЦИЛИНДРАХ И

СФЕРОИДАХ

1.1. Обзор литературы по дифракции звуковых волн на эллиптических цилиндрах и сфероидах

Рассмотрению задач дифракции звуковых волн на эллиптических цилиндрах и сфероидах посвящен целый ряд работ. В работе [91] изучено рассеяние звуковых волн на акустически жестком и акустически мягком эллиптических цилиндрах. Решение получено с использованием разложений по функциям Матье [39].

В работах [95, 100, 124], рассмотрена задача рассеяния звуковых волн проницаемыми эллиптическими цилиндрами. В работе [124], найдено точное решение задачи. Для низких частот в [95] проведены расчеты акустических полей. В работе [100] решение данной задачи сводится к решению интегральных уравнений. Рассматривается случай, когда длина волны велика по сравнению с межфокусным расстоянием эллиптического цилиндра. Получены аппроксимирующие выражения для внешнего и внутреннего поля. Проведены расчеты амплитуды рассеяния в дальней зоне.

Некоторые работы посвящены рассмотрению задач дифракции звука на нескольких эллиптических цилиндрах [31, 32]. При решении задач использовались теоремы сложения для функций эллиптического цилиндра [13].

В работах [2, 30] решены задачи рассеяния звука эллиптическим цилиндром при граничных условиях специального вида: часть граничной поверхности акустически жесткая, часть - акустически мягкая. При решении использовались разложения в ряды по функциям Матье.

В работах [40, 110] рассмотрена задача рассеяния звуковых волн акустически жестким и упругим эллиптическими цилиндрами. Для решения дифракционной задачи в работе [110] использовался метод Т-матриц, а в работе [40] — метод граничных интегральных уравнений.

В работах, приведенных выше, полагалось, что эллиптические ци-

линдры помещены в идеальную жидкость. Реальные свойства содержащей среды не учитывались. Влияние вязкости жидкости на дифракционные процессы изучалось в [44, 68, 111]. Строгое решение задачи дифракции плоской звуковой волны с использованием функций Матье получено в работе [44] для упругого цилиндра с произвольным эллиптическим сечением. Случаи малой вязкости рассмотрены в [111]. Однако проведение численных исследований на основе полученного решения весьма затруднительно из-за сложности вычислений волновых функций эллиптического цилиндра с комплексным параметром. В [68] методом возмущений найдено приближенное аналитическое решение задачи, когда квадрат эксцентриситета эллиптического сечения упругого цилиндра является малой величиной. При этом решение задачи записывается через цилиндрические функции Бесселя.

Гораздо большее число работ посвящено исследованию задач дифракции звуковых волн на эллипсоидах вращения (сфероидах).

В работах [26, 116] рассмотрено рассеяние звука вытянутым жестким сфероидом, а в [57, 102] акустически мягким сфероидом. Решения получены в виде бесконечного ряда по волновым сфероидальным функциям. Рассеянию плоских волн на жестком вытянутом сфероиде, окруженном конфокальной оболочкой из проницаемого акустического материала посвящена работа [123].

В [122] решена задача дифракции акустических волн на жидком сфероиде. Приближенное решение данной задачи в случае низких частот получено в [95].

В работах [3, 15, 18, 19, 26, 112] приведены результаты расчетов характеристик рассеяния звука абсолютно жесткими и акустически мягкими сфероидами в различных диапазонах изменения волновых размеров, при разной конфигурации и ориентации их в поле падающей волны.

Значительное число работ посвящено дифракции коротких звуковых волн на телах сфероидальной формы, например, работы [16, 56, 99, 106, 114, 115].

Решению задач дифракции звуковых волн на сфероидах с учетом вязкости содержащей жидкости посвящены работы [46, 58, 59, 60, 65, 82, 83, 84, 85]. При этом сфероидальное тело полагалось абсолютно жестким.

Работа [45] посвящена исследованию дифракции звуковых волн на сфероиде со смешанными граничными условиями.

Теоретическое исследование рассеяния плоской звуковой волны им-педансным сфероидом при произвольном угле падения проводилось в работах [27, ИЗ].

Рассмотрению дифракции звуковых волн на однородных изотропных упругих телах сфероидальной формы посвящен ряд работ. В работе [20] рассматривается осесимметричная задача рассеяния плоской монохроматической волны на сплюснутой упругой сфероидальной оболочке. Задача решается в сфероидальной системе координат и сведена к решению бесконечной системы линейных уравнений. Приведены результаты расчета амплитудных угловых характеристик рассеянного поля для различных волновых размеров сфероида. Другие результаты численного исследования данной задачи приведены в [21]. В работе [43] рассмотрена коротковолновая асимптотика для решения задачи о дифракции сферической волны на упругой оболочке в виде тела вращения. Из решения интегро-дифференциального уравнения найдено аналитическое выражение, описывающее распределение звукового давления вблизи поверхности оболочки. Предполагается, что толщина оболочки мала в сравнении с радиусом ее кривизны, а источник сферической волны располагается вблизи оболочки. Расчеты проведены применительно к оболочке в виде эллипсоида вращения.

Рассеяние плоской волны упругой вытянутой сфероидальной оболочкой рассмотрено в [23]. При произвольном падении плоской волны, используя потенциалы Дебая, удается разделить переменные в векторном волновом уравнении. При этом потенциалы Дебая представляются в виде рядов по вытянутым волновым сфероидальным функциям. В работе [22] решена задача рассеяния плоской волны упругим вытянутым сфероидом. Рассчитаны диаграммы направленности рассеянного поля и частотные зависимости сечения обратного рассеяния.

В [6] методом сращиваемых асимптотических разложений решена задача дифракции звуковых волн на тонких упругих телах вращения. Рассчитана амплитуда рассеяния плоской волны для упругих сфероидов.

Решению задачи дифракции плоской волны на упругом сфероиде с малым эксцентриситетом посвящена работа [66]. Методом возмущений

получено аналитическое решение задачи для случая наклонного падения плоской волны. Приведены диаграммы направленности рассеянного поля.

В работе [94] методом Т-матриц решена задача рассеяния звука гладким упругим телом. В качестве иллюстрации метода рассмотрено рассеяние звука упругим сфероидом. В работе [96] аналогичное исследование проведено для упругого сфероида с различными соотношениями осей. Рассеяние звуковых волн сфероидами, выполненными из полимерных материалов, погруженных в воду, рассмотрено в работе [109]. При этом учтено поглощение звука в материале.

Характеристики рассеяния сферических волн упругим сфероидом при изменении расстояния от источника д�