автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Рассеяние звука телами неканонической формы

о

На правах рукописи

АВДЕЕВ ИЛЬЯ СЕРГЕЕВИЧ

РАССЕЯНИЕ ЗВУКА ТЕЛАМИ НЕКАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

Специальность 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

4856152

Тула 2011

2 А ОЕЗ 2011

4856152

Диссертация выполнена в ГОУ ВПО "Тульский государственный университет".

кандидат физико-математических наук, доцент

Скобельцын Сергей Алексеевич

доктор физико-математических наук, профессор

Лавит Игорь Михайлович

кандидат физико-математических наук, доцент

Рождественский Константин Николаевич

ГОУ ВПО "Липецкий государственный технический университет"

Защита состоится 2011 г. в^^^ч. на заседании диссертацион-

ного совета Д 212.271.05 при ГОУ ВПО "Тульский государственный университет" (300012, г. Тула, пр. Ленина, 92 9-101).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета.

Автореферат разослан ^" января 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

В.М. Панарин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Проблема рассеяния звуковых волн является одной из классических задач механики сплошных сред. Широкое применение теории рассеяния в исследовательской и производственной практике требует разработки все более точных математических моделей, адекватно описывающих реально наблюдаемые дифракционные процессы. Для многих технических задач актуальна проблема взаимодействия акустических волн в жидкости с телами различной конфигурации.

Большая часть исследований в теории дифракции звуковых волн посвящена изучению и анализу процессов рассеяния на телах простой формы (плоский слой, круговой цилиндр, сфера) в физически однородных средах. Но реальные тела как правило не обладают канонической формой.

Характерной особенностью многих материалов рассеивателей является неоднородность. Неоднородность материала упругих тел может возникать в процессе формирования тела из-за особенностей технологических приемов, различных упрочняющих технологий, а также из-за действия внешних условий с течением времени. Заданного рода неоднородность, обеспечивающая определенные характеристики, программируется при разработке современных материалов. Наконец, встречается естественная неоднородность материалов.

Отвлечение от имеющихся почти всегда отклонений от идеальной формы и неоднородности тел во многих решаемых задачах оказывается вполне допустимым. Однако современные техника и технологии требуют уточненного подхода к рассмотрению задачи о рассеянии звуковых волн с учетом сложности формы препятствия и особенностей колебаний, происходящих в неоднородных средах.

Актуальности исследований рассеяния звуковых волн на телах со сложной формой и реологией способствуют современные задачи гидроакустики, судовой акустики, дефектоскопии, медицинской диагностики, геофизики. Поэтому проблемы дифракции звуковых волн на телах сложной формы и на телах из неоднородного материала относятся к числу проблем, представляющих большой теоретический и практический интерес.

Известно небольшое число работ по изучению дифракции звука на телах неканонической формы (Тэтюхин М.Ю., Федорюк М.В., Chertock G., Isaacson М.,

Rizzo F.J. и др.) и неоднородных упругих телах (Бреховских Л.М, Коваленко Г.П., Молотков Л.А., Толоконников JI.A., Тютекин В.В. и др.).

Построение решений для тел сложной формы и произвольных законов изменения свойств неоднородного материала рассеивателя связано с большими математическими трудностями. Многие вопросы дифракции звуковых волн на телах с учетом их сложной геометрии и неоднородности не изучены.

Целью работы является построение математических моделей рассеяния звука жесткими, однородными и неоднородными упругими телами неканонической формы, находящимися в идеальной жидкости и исследование на их основе рассеяния плоских гармонических волн на жестких и упругих телах различной формы.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- с помощью метода граничных элементов (МГЭ) решен ряд новых задач о рассеянии звука абсолютно жесткими, однородными и неоднородными упругими телами сложной формы;

- исследовано влияние формы границы и неоднородности материала тела на рассеяние звука.

Достоверность полученных результатов вытекает из корректной постановки задач и обоснованности применяемых математических методов; обеспечивается проведением расчетов на ЭВМ с контролируемой точностью; подтверждается совпадением полученных решений с известными результатами для частных и предельных случаев.

Практическое значение работы. Результаты диссертационной работы представляют собой вклад в развитие теории рассеяния акустических волн на телах сложной формы. Результаты работы могут быть использованы для разработки методов анализа сигналов в гидроакустике при звуковой эхолокации различных объектов; в судовой акустике при изучении акустических характеристик судовых конструкций; в дефектоскопии для идентификации результатов экспериментальных исследований; в технологиях с использование ультразвука; при решении обратных задач рассеяния звуковых волн.

Диссертационная работа выполнялась в рамках госбюджетной НИР Тульского государственного университета "Некоторые вопросы прикладной математики и механики" и проекта Российского фонда фундаментальных исследований

(№ 09-01-97504).

На защиту выносятся:

- математическая модель рассеяния звука на телах сложной формы;

- алгоритм метода граничных элементов решения задач рассеяния звука на жестких и упругих телах;

- результаты численных исследований.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы доложены на международной научной конференции «Современные проблемы механики, математики, информатики» (Тула, 2008); международной научно-техническая конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2010); на научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ (2007 - 2010); на научных семинарах кафедры прикладной математики и информатики ТулГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в б работах. В том числе 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 153 страницы, 110 рисунков. Описок литературы включает 116 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность темы диссертационной работы, указаны цель и основные направления проведенных исследований, отмечена научная новизна работы, кратко описана область возможных приложений, излагаются основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава состоит из двух разделов. Первый раздел содержит обзор литературы по проблеме рассеяния звуковых волн на телах с неканонической формой поверхности, а также на неоднородных упругих телах. Во втором разделе представлены модели движения идеальной жидкости и упругой среды, используемые при решении задач о рассеянии звуковых волн жесткими и упругими телами, описан МГЭ.

Распространение звука в идеальной жидкости описывается полной системой уравнений гидродинамики идеальной жидкости, включающей уравнение Эйлера, уравнение неразрывности и уравнение физического состояния. Из этой системы

в случае установившихся колебаний с временным множителем е (который в дальнейшем опускаем) получим уравнение Гельмгольца

Лф + к2ф = 0, (1)

где ф = фр + Фз - потенциал скоростей акустического поля, фр - потенциал ско-

7 Ш

ростей в падающей волне, ф8 - потенциал скоростей в рассеянной волне, к =--

Со

волновое число, со - скорость звуковых волн в жидкости, и - круговая частота. При этом скорость частиц и акустическое давление определяются формулами V = £гас{ф и р = 1рошф (ро - равновесная плотность жидкости).

Для однозначного решения дифракционных задач помимо выполнения соответствующих граничных условий необходимо удовлетворение условий излучения, которые для двумерных задач имеют вид

а для трехмерных -

Для изотропного однородного линейно-упругого тела уравнения движения упругой среды представляются в форме Ламе, которые в случае установившихся гармонических колебаний имеют вид

(А + ■ й + цАй - ш2рй = 0, (4)

где й - искомый вектор смещения частиц упругой среды; А, ц - модули упругости Ламе.

Распространение малых возмущений в неоднородном упругом теле описывается общими уравнениями движения сплошной среды в напряжениях, которые в декартовой системе координат имеют вид

догу , д&2] , даг^ 2 /г\

= (5)

Компоненты тензора напряжений сгу связаны с компонентами тензора деформа-

ций £{j соотношениями Гука

Oij = Л (еп+ £22 + £33) Sij + 2/J£ij,

где 6ij - символ Кронекера.

При решении задач рассеяния звука для тел с неканонической формой используется МГЭ. Во второй части главы приводится его краткое описание и основания для применения.

В рамках использования МГЭ решение граничной задачи для уравнения (1) представляется на основе формулы Гельмгольца-Гюйгенса

Ф) = ¡ф^х)д-Ш,т _ J^lmdr(a (6)

где х) - функции Грина для уравнения Гельмгольца с единичным источником в точке

Основой для применения МГЭ для краевых задач теории упругости является представление решения дифференциальных уравнений (4), (5) в виде интегрального соотношения для неизвестных смещений

щ(х) = /хЫ0<1Г(0 - /рЩ,x)Uj(0dr(0. (7)

г г

Эта формула известна в литературе как формула Сомильяны. Здесь Г - поверхность на которой задаются граничные условия, и х) представляют собой перемещения и напряжения, возникающие в точке х в j-om направлении под действием единичной сосредоточенной нагрузки, действующей в г-ом направлении (направлении единичного вектора ё,) и приложенной в точке

Во второй главе решается задача рассеяния плоских звуковых волн абсолютно жестким цилиндром с произвольной гладкой границей, помещенным в идеальную жидкость.

Считается, что направление падения волны ортогонально образующей цилиндра. Падающая волна задается потенциалом скоростей

,/, _ „ik(x cos а+у sin а)

ГР — С !

где а - угол между направлением распространения волны и осью Ох.

Граничные условия задачи состоят в равенстве нулю нормальных скоростей на поверхности цилиндра Гс

Л?/)

0. (9)

дф дп

гс

Кроме того, потенциал скоростей в рассеянной волне тр8{г) должен удовлетворять условиям излучения на бесконечности (2).

При перемещении точки х к гладкой границе Гс с учетом (9) получается предельная форма (6) в виде

км +1 (+№ «ТО = о. (10)

„ , дп дп

1 с 4

Соотношение (10) рассматривается как интегральное уравнение относительно потенциала скоростей рассеянной волны ■ф3 на границе Гс- Для решения этого интегрального уравнения производится разбиение поверхности Гс на отдельные граничные элементы и уравнение (10) сводится к системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных значений потенциала гре в конечном числе узловых точек границы.

После нахождения потенциалов скоростей на границе препятствия Гс вычисление значений потенциалов рассеянной волны в дальней зоне поля производится по формуле (6).

Для оценки влияния формы тела на процесс рассеяния плоской волны, распространяющейся вдоль оси Ох, были рассмотрены четыре вида некруговых цилиндров с образующей параллельной оси Ог. Границы осевых сечений препятствий в общем случае задаются в полярных координатах

1-й тип: г(<р) = — а==, где (а — 2, Ь = 1),

\

2-й тип: г((р) =

1-(1-4)соз2М а^ а26

\

где (а= 1,6 = 2),

б2

(11)

о^з Ь

3-й тип: т(<р) = , , где (а = 2,6 = 1),

\

1-(1-^)сов2(^)

4-й тип: г{ф) = а4(2.2 + ^ зт2(2<^)),

где а, Ь - полуоси эллипса, а, - коэффициенты, выбранные таким образом, чтобы площадь сечения всех цилиндров была одинакова и равна площади круга с радиусом ао — 1.

Заметим, что в первых трех случаях препятствия представляют собой эллиптические цилиндры с соотношением полуосей сечения 1 : 2. При этом в первом случае большая полуось сечения направлена по оси Ох, во втором - по оси Оу, а в третьем - повернута на 7г/4 по отношению к оси Ох. Сечение четвертого цилиндра представляет собой квадрат со скругленными углами, одна из сторон которого ортогональна направлению распространения волны.

Были рассчитаны диаграммы направленности амплитуды давления рассеянной волны 1^(^)1 в дальней зоне С : |г{ = Я ао- Проводилось сравнение с аналитическим решением для кругового цилиндра Со с радиусом ао при частотах падающей волны, соответствующих величинам ка® = 1,3,5,7, Расчеты показывают, что наибольшее отклонение от форм диаграмм направленности для цилиндра Со наблюдается для цилиндров с эллиптическим сечением. Величины коэффициентов отражения для отдельных углов изменяется в несколько раз даже при небольших значениях кац.

Для цилиндра с третьим типом ссчсния - несимметричного относительно направления падения исходной волны - наблюдается существенная асимметрия диаграмм рассеяния. При этом в ряде случаев наблюдается появление дополнительных лепестков в форме диаграммы (например, см. рис. 1).

\

/

О

Рис. 1: Диаграмма рассеяния для случая као = 5

Наименьшие отклонения от диаграмм рассеяния для цилиндра Со наблюдаются на диаграммах для препятствия с четвертым типом сечения. В этом случае диаграммы в теневой области практически совпадают с диаграммами для Со, а в освещенной области коэффициент отражения монотонно растет с уве-

личением частоты.

■ Третья глава состоит из двух разделов. В первом разделе представлено решение задачи о рассеянии плоской звуковой волны однородным упругим цилиндром с гладкой границей.

Предполагается, что из внешней акустической среды на однородный упругий цилиндр падает плоская звуковая волна по нормали к образующей цилиндра. Считается, что падающая волна является гармонической, а упругий материал цилиндра - однородным. Определяется полное поле установившихся упругих колебаний материала цилиндра и области содержащей среды в его окрестности.

Рассеянное поле во внешнем пространстве характеризуется скалярным потенциалом скоростей, удовлетворяющим (1). Колебания внутри упругого цилиндра описываются уравнением Ламе (4).

На поверхности соприкосновения внешней среды и однородного упругого препятствия Гс должны выполняться условия равенства нормальных скоростей и непрерывности напряжений

ьп = -шип, Р=-Рп, (12)

О =Рт,

где рп - нормальное напряжение в упругой среде, рт - касательное напряжение в упругой среде, р - акустическое давление, ип - нормальное смещение частиц упругой среды, уп - нормальная скорость частиц акустической среды.

Таким образом, в математической постановке задача состоит в нахождении решений уравнения Гельмгольца (1), уравнений движения упругой среды (4), удовлетворяющих граничным условиям (12) и условиям излучения (2).

Для определения кинематических и динамических параметров упругой среды цилиндра используется интегральное представление Сомильяны (7).

Потенциал скоростей в рассеянной волне рассчитывается на основе (6) с уче-

том первых двух уравнений из (12)

= — / Рп{х)дг^х,0<1т{х)+ш / ип(х)г(х,атх)+

Р0и!Г С 71 г С ЦЗ)

4- / -

Гс Гс

При рассмотрении точек на границе препятствия получается система интегральных уравнений, содержащая представления (7) и (13) на границе Гс, решение которых с учетом граничных условий (12) позволяет найти значения потен-

„ I

циала и его производной %, -тг—, а также перемещения и напряжения щ, «2, р\, ^

ап

частиц упругой среды на границе Гс- После этого значение потенциала в дальней зоне вычисляется по формуле (13) при х € С.

На основе полученного решения дифракционной задачи были проведены расчеты диаграмм направленности рассеянного поля в дальней зоне для некоторых частных типов цилиндров (11) и различных материалов упругого препятствия при различных частотах падающей волны. Предполагалось, что содержащей средой является вода. Чтобы оценить влияние материала препятствия на процесс отражения были рассмотрены два вида упругой среды рассеивателя - медь и алюминий.

Для рассмотренных случаев были рассчитаны диаграммы направленности |.Р(<£>)| и частотные характеристики коэффициента обратного отражения |^(тг)|.

Анализ диаграмм направленности показывает существенное влияние формы упругого препятствия на распределение амплитуды отраженной волны по углу ¡р. Для некоторых форм препятствий в основных лепестках диаграмм направленности величина коэффициента отражения изменяется до 300% даже при частоте, соответствующей као = 3.

На рис. 2 представлена частотная характеристика коэффициента обратного отражения для алюминиевого цилиндра с формой сечения 4-го типа. Сравнение с результатами для кругового цилиндра Со из того же материала показывает, что в интервале 1.5 < као < 7 общий характер зависимости |-Р(7г)| от волнового размера для цилиндра с таким сечением повторяет характер зависимости для Со-Даже отклонение положения резонансного спада в окрестности као — 5 не превышает величины 0.1. Однако коэффициент обратного отражения от цилиндра

формы 4 всегда больше коэффициента отражения от цилиндра Со. Превышение на нерезонансных участках достигает 1.4 раза.

э

1.5

2.5

2

0.5

О

2

3

4

5

Б

Рис. 2: Частотная характеристика

Во втором разделе главы рассматривается задача о рассеянии плоской акустической волны однородным упругим препятствием в трехмерном случае. Падающая гармоническая волна задается выражением

где пх,т1у,Пц - компоненты единичного вектора, определяющего направление распространения волны.

Краевые условия на границе рассеивателя Гэ заключаются в непрерывности нормальных скоростей и напряжений, а также отсутствии касательных напряжений

Кроме того потенциал скоростей рассеянной волны должен удовлетворять условиям излучения на бесконечности (3).

Проводя рассуждения по переходу от дифференциальной модели аналогичные первому разделу третьей главы с учетом трехмерной специфики получим

— егк(1пх+упу+гпг)

уп — -гшип, V = -Рп, о =Рт.

интегральный аналог поставленной задачи в следующем виде

- — / Г(х) - ы I ип(х)ф\х,0йЦх) =

2 ап ^

'"V г.?

к'Ю = /Рк(х)и'ф,0<1Р(х) - ¡р*ф,0ик(х)0Г(х) {3 = 1,2,3),

дФв , . / , . ч дтрр

— + ги(и\Щ + «2^2 + из«з) =

0а--+ + Рз^з) = -^р,

рш

Р\П +р2Т2 +Р3Т3 = О,

где пк - компоненты единичного вектора внешней нормали к поверхности Г5, т* - компоненты единичного касательного вектора к поверхности Гд.

Для того, чтобы оценить влияние формы трехмерного препятствия на процесс рассеяния, было проведено численное исследование отраженной волны для тел вращения в форме конечного цилиндра и усеченного конуса со сферическими заглушками на основаниях. Рассчитывались диаграммы направленности рассеянной волны в дальней зоне )Р(<р)\ в плоскости, содержащей волновой вектор падающей волны и ось вращения тела. Сравнение проводилось с диаграммами рассеяния упругим шаром 5о радиуса а-о с тем же объемом.

Расчеты показывают, что диаграммы рассеяния для рассмотренных тел существенно отличаются от диаграмм для упругого шара. Коэффициент отражения в направлении источника звука для частот као — 3(5) при некоторых ракурсах наблюдения волны изменяется в 1.5 раза по сравнению с коэффициентом для 5о.

В четвертой главе исследуются задачи рассеяния плоских звуковых волн упругими телами с включениями.

Предполагается, что из внешней акустической среды на упругий цилиндр с границей Го падает плоская звуковая волна. Считается, что падающая волна является гармонической, а материал препятствия однородным, содержащий N однородных упругих включений, отличающихся от него по физическим свойствам (плотность, модули упругости). Каждое включение имеет форму цилиндра с образующей, параллельной образующей основного цилиндра (см. рис. 3). Определяется поле установившихся упругих колебаний материала рассеивателя,

включений и отраженная звуковая волна.

■фр.

Рис. 3: Геометрия задачи

Для описания колебаний каждой из упругих сред используется уравнение Ламе (4). Предполагается, что П Гр = 0,УА; ф р. На границе соприкосновения каждого упругого включения Г^ с материалом внешней упругой среды должны выполняться условия непрерывности смещений и напряжений

где > - нормальное смещение частиц среды к, и^к> - касательное смещение, р£к> - нормальное напряжение, р<к> - касательное напряжение.

Рассеянное поле во внешнем пространстве характеризуется скалярным потенциалом скоростей ф5, удовлетворяющим (1). На поверхности соприкосновения внешней среды и упругого цилиндра с границей Го должны выполняться условия непрерывности напряжений и нормальных скоростей (12).

Кроме того, потенциал скоростей в рассеянной волне 1рв(г) должен удовлетворять условиям излучения на бесконечности (2).

Таким образом, математически задача состоит в нахождении решений уравнений Гельмгольца (1), уравнений Ламе для упругих сред (4), удовлетворяющих

(14)

граничным условиям (12), (14) и условиям излучения (2).

Потенциал рассеянной волны представляется с помощью интеграла Гсльмгольца-Гюйгенса. Смещения в каждой из N + 1 упругих сред записываются

в форме (7). Использование этих соотношений на границах Г* (к = О, И) в совокупности с граничными условиями позволяют получить систему интегральных уравнений (15) - (16)

т * Г О,

Го Го

ШС - — /р^^Р^Щх) - ш [ и?>(х)ф'(х, 0<1Г(х) = 2 Оп ^

/ / и^&ф^аОсВД, (15)

N ЛГ

и Г4 и г*

Р1го = -РпЧ Рг<0> |Го = О,

г* Гк

1(<0>| ц<к> I

11 1г* "" \Гк ' гг<0>| = и<к> I

„<0>| п<к>\ "'» Vп 1Гк '

Г)<0>1 _ п<к>\

рт ¡Г„ - Рт |Гк >

(16)

Данная система состоит из 4ЛГ + 6 интегральных уравнений с таким же количеством неизвестных. После решения данной системы получим значения неизвестных Р-ч,-^—, ик0>>Рк0> на границе Го, что в дальнейшем позволяет найти значение потенциала рассеянной волны в дальней зоне по формуле

фв{х) = / р^ЧоЩ^-лт + гш[ 0^(0+

РоОП £

Го ип Го ип

Особенности влияния включений и их формы на рассеянное поле исследова-

лось при численном моделировании представленного решения для препятствия в форме кругового упругого цилиндра радиуса 2ао с упругим включением, сечение которого имеет одну из форм (И). Для сравнения рассчитывались диаграммы направленности отраженной волны для цилиндра С] с включением и цилиндра Со без включения.

Анализ диаграмм показывает, что влияние внутреннего цилиндра на распределение коэффициента отражения по углу ц> незначительно при малых частотах независимо от его формы и сочетания материалов основного цилиндра и включения. По-видимому, этот эффект объясняется тем, что доля площади включения составляет только 25% общей площади рассеивателя. Заметным влияние становится при 2као — 5 и наиболее выраженные отклонения от диаграмм для Со наблюдаются в области углов вблизи <р — -к/2. Интересно, что асимметрия диаграммы направленности для случая включения типа 3 ярко выражена также только при 2као = 5.

В пятой главе рассматривается задача о рассеянии плоской звуковой волны неоднородным упругим цилиндром неканонической формы.

По постановке задача аналогична задаче, рассматриваемой в первой части третьей главы. Существенным отличием является то, что упругий цилиндр является неоднородным. Предполагается, что модули упругости и плотность материала препятствия являются функциями координат: А = А(х,у), ц =

Р = PÍxi у)-

Заметим, что для решения задач в предыдущих главах использовались известные аналитические представления функций источников ip*,u*,p*.

Для неоднородного упругого препятствия получение аналитических выражений для и*,р* в общем случае не представляется возможным. Для их нахождения требуется численное решение сингулярных уравнений движения неоднородной упругой среды.

С учетом особенности постановки задачи о рассеянии звуковых волн предложен способ нахождения функций и*,р* для частного случая источника.

Рассматривается область неоднородного препятствия fii и прилегающего слоя жидкости По как неоднородная упругая среда. Такая, что плотность упругого материала области и модули упругости определяются соотношениями Ао = PqCq, fio = 0, где ро, со - плотность и скорость звука в жидкости с учетом характера

взаимодействия жидкости и упругого материала на границе Гс- Будем искать функции и*,р* для точек х € Гс только для шарового тензора напряжений. Таким образом, вместо задачи

+<*(£- + лЛ« = о

(17)

решается задача

при сг£ ■ = - ж),

(18)

где ¿(ж) - дельта-функция Дирака, £ € Гс.

Для единственности решения задачи (18) будем полагать, что функция и* удовлетворяет условию на внешней границе области По - Го, отстоящей достаточно далеко от Гс,

Последнее условие представляет собой требование отсутствия влияния источника вдали от точки его приложения. Решение (18), (19) выполняется с помощью метода конечных элементов.

Нахождение потенциалов рассеянной волны, смещений и напряжений на границе Г с при рассеянии плоской волны будем выполнять с помощью описанной выше технологии МГЭ, решая совокупность интегральных уравнений (7), (13) с учетом граничных условий (12).

При этом в уравнениях (7) в качестве функций источника используются значения, полученные при решении задачи (18), (19).

Для численного анализа предложенного решения были проведены расчеты рассеянного акустического поля для неоднородных упругих цилиндров с формами сечений (11).

Исследовано влияние двух типов неоднородности

где Р1, Лх, цх - средние значения плотности и модулей упругости. Таким образом, для 1-го типа в материале переменной считается только плотность, а для 2-го типа переменными являются модули упругости, а плотность постоянна.

(19)

1-й тип: р = /31 (г), А = Аь/л =

2-й тип: р = рг, А = А! (г), ц = р,г (г),

Функция /(г) выбирается так, чтобы среднее значение функции в пределах изменения аргумента по площади сечения цилиндра было равно 1. При этом рассматривалось 2 вида функций /(г). В обоих случаях функция зависит только от одной координаты (х или у) и имеет У-образную форму. Например, для цилиндра с формой 1

Л

МЛ

а 2'

Г - Ы + 1

¿Г 2'

Анализ результатов показывает, что неоднородность типа 2 оказывает большее влияние на формы диаграмм направленности, чем неоднородность по плотности. Неоднородность типа 1 начинает сказываться только при частоте као = 5. При этом неоднородность типа 2 изменяет форму диаграммы направленности больше, чем неоднородность 1-го типа (например, см. 4). На рис. 4 изображены диаграммы направленности рассеянного поля для алюминиевого цилиндра с 3-й формой сечения при као ~ 5. Здесь пунктирной линией изображена диаграмма для однородного цилиндра, сплошной линией - диаграмма для цилиндра со 2-м типом неоднородности, точками - диаграмма для цилиндра 1-го типа неоднородности.

Рис. 4: Диаграмма рассеяния для случая као = 5

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Построены математические модели рассеяния звуковых волн абсолютно жесткими, однородными и неоднородными упругими телами, находящимися в идеальной жидкости.

2. Разработан алгоритм метода граничных элементов для решения задач рассеяния звука телами сложной формы.

3. Получены численные решения задач рассеяния плоских звуковых волн абсолютно жесткими цилиндрами с сечениями различной формы.

Анализ угловых и частотных характеристик рассеянных акустических полей выявил значительное влияние формы рассеивателя на амплитуду рассеяния.

4. Получены численные решения задач рассеяния звука однородными упругими телами различной геометрической конфигурации (бесконечный цилиндр произвольного сечения, конечный цилиндр со сферическими заглушками, усеченный конус).

Изучены диаграммы направленности и частотные характеристики рассеянных акустических полей в дальней зоне.

5. Получены численные решения задач рассеяния звуковых волн двумерными упругими многосвязными телами.

Обнаружено, что с увеличением частоты изменение формы включения влечет все более заметные искажения угловых и частотных характеристик рассеяния.

6. Получены численные решения задач рассеяния плоских волн неоднородными упругими цилиндрами с различным профилем сечения.

Исследовано влияние неоднородности материала рассеивателя на рассеянное акустическое поле. Обнаружен ряд характерных черт этого влияния, что позволяет использовать полученные результаты для идентификации материала рассеивателя.

Основное содержание диссертации отражено в публикациях:

1. Авдеев И.С. О подходе к решению задачи о рассеянии акустических волн неоднородными упругими объектами с использованием метода граничных элементов // Материалы международной научн. конф. "Современные проблемы математики, механики, информатики". - Тула: Изд-во ТулГУ, 2008. С.111-112.

2. Авдеев И.С., Скобельцын С.А. О задаче дифракции плоской звуковой волны на неоднородном упругом объекте неканонической формы // Вестник ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика, 2008. Вып.2. С.14-21.

3. Авдеев И.С. Применение метода граничных элементов в решении задач о рассеянии плоских звуковых волн упругими объектами с произвольной гладкой границей // Сб. статей V Международной научно-технической конфе-

. ренции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем». - Пенза: Изд-во Пензенский государственный университет, 2010. С.43-47.

4. Авдеев И.С., Скобельцын С.А. Дифракция плоской упругой волны на неоднородном шаре // Известия ТулГУ Серия Геодинамика, физика, математика, термодинамика, геоэкология. 2006, Вып. 3. С.138-149.

5. Авдеев И.С. Применение метода граничных элементов в решении задачи о рассеянии звука неоднородным упругим цилиндром // Известия ТулГУ. Естественные науки, 2010. Вып. 2. С.32-37.

6. Авдеев И.С. Применение метода граничных элементов в решении задач о рассеянии звука упругим некруговым цилиндром // Акустический журнал, 2010. Т. 56. - Вып. 4. С.435-440.

Изд. лиц. ЛР №020300от 12.02.97. Подписано в печать ifi.ot.ll Формат бумаги 60x84 '/16 .Бумага офсетная. Усл. печ.л. ¿Л Уч.-изд.л. ¿.О Тираж экз. Заказ пег Тульский государственный университет

300600, г. Тула, пр. Ленина, 92 Отпечатано в Издательстве ТулГУ 300600, г. Тула, пр. Ленина, 95

П Г.

ВВЕДЕНИЕ

1. О РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ ЗВУКОВЫХ ВОЛН НА ТЕЛАХ НЕКАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЫ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

1.1. Обзор литературы по проблеме рассеяния звуковых волн на упругих телах.

1.2. Математические модели задач о рассеянии звука.

1.2.1. Математическая модель распространения звука в жидкостях

1.2.2. Математическая модель распространения волн в упругих телах.

1.3. Основы для использования метода граничных элементов в задачах о рассеянии звука.

1.3.1. Интеграл Гельмгольца-Гюйгенса.

1.3.2. Сведение уравнений теории упругости к системе интегральных уравнений

1.3.3. Метод граничных элементов.

2. РАССЕЯНИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН АБСОЛЮТНО ЖЕСТКИМИ ЦИЛИНДРОМ С НЕКАНОНИЧЕСКИМ СЕЧЕНИЕМ.

2.1. Постановка задачи о рассеянии плоской акустической волны абсолютно жестким цилиндром с гладкой границей.

2.2. Вывод интегральной формулировки задачи и решение методом граничных элементов.

2.3. Численные исследования акустического поля, рассеянного абсолютно жестким цилиндром.

3. РАССЕЯНИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН ОДНОРОДНЫМИ УПРУГИМИ ТЕЛАМИ НЕКАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЫ.

3.1. РАССЕЯНИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН БЕСКОНЕЧНЫМИ ОДНОРОДНЫМИ УПРУГИМИ ЦИЛИНДРАМИ.

3.1.1. Постановка задачи о рассеянии плоской звуковой волны однородным упругим цилиндром с неканоническим сечением.

3.1.2. Вывод интегральной формулировки задачи и решение методом граничных элементов.

3.1.3. Численные исследования акустического поля, рассеянного упругим цилиндром.

3.2. РАССЕЯНИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН ОДНОРОДНЫМИ УПРУГИМИ ТЕЛАМИ В ТРЕХМЕРНОМ СЛУЧАЕ

3.2.1. Постановка задачи о рассеянии плоской акустической волны однородным упругим телом неканонической формы

3.2.2. Вывод интегральной формулировки задачи и решение методом граничных элементов.

3.2.3. Численные исследования акустического поля, рассеянного упругим телом в трехмерном случае

4. РАССЕЯНИЕ ЗВУКА УПРУГИМИ ТЕЛАМИ С ВКЛЮЧЕНИЯМИ

4.1. Постановка задачи о рассеянии плоских звуковых волн упругим цилиндром с включениями.

4.2. Вывод интегральной формулировки задачи и решение методом граничных элементов.

4.3. Численные исследования акустического поля, рассеянного упругим цилиндром с включениями.

5. РАССЕЯНИЕ ЗВУКА НЕОДНОРОДНЫМИ УПРУГИМИ ТЕЛАМИ

5.1. Постановка задачи о рассеянии плоской акустической волны неоднородным цилиндром с неканонической формой сечения

5.2. Определение интенсивности источников на границе препятствия

5.3. Числеииые исследования акустического поля, рассеянного неоднородным упругим цилиндром.

Актуальность работы. Проблема рассеяния звуковых волн является одной из классических задач механики сплошных сред. Широкое применение теории рассеяния в исследовательской и производственной практике требует разработки все более точных математических моделей, адекватно описывающих реально наблюдаемые дифракционные процессы. Для многих технических задач актуальна проблема взаимодействия акустических волн в жидкости с телами различной конфигурации.

Большая часть исследований в теории дифракции звуковых волн посвящена изучению и анализу процессов рассеяния на телах простой формы (плоский слой, круговой цилиндр, сфера) в физически однородных средах. Но реальные тела как правило не обладают канонической формой.

Характерной особенностью многих материалов рассеивателей является неоднородность. Неоднородность материала упругих тел может возникать в процессе формирования тела из-за особенностей технологических приемов, различных упрочняющих технологий, а также из-за действия внешних условий с течением времени. Заданного рода неоднородность, обеспечивающая определенные характеристики, программируется при разработке современных материалов. Наконец, встречается естественная неоднородность материалов.

Отвлечение от имеющихся почти всегда отклонений от идеальной формы и неоднородности тел во многих решаемых задачах оказывается вполне допустимым. Однако современные техника и технологии требуют уточненного подхода к рассмотрению задачи о рассеянии звуковых волн с учетом сложности формы препятствия и особенностей колебаний, происходящих в неоднородных средах.

Актуальности исследований рассеяния звуковых волн на телах со сложной формой и реологией способствуют современные задачи гидроакустики, судовой акустики, дефектоскопии, медицинской диагностики, геофизики. Поэтому проблемы дифракции звуковых волн на телах сложной формы.и па телах из неоднородного материала относятся к числу проблем, представляющих большой теоретический и практический интерес.

Известно небольшое число работ по изучению дифракции звука на телах неканонической формы (Тэтюхин М.Ю. [64], Федорюк М.В. [62, 63], СЬеНюск О. [79],

Isaacson M. [89], Rizzo F.J. [107] и др.) и неоднородных упругих телах (Брехов-ских JI.M.[18, 19], Коваленко Г.П. [34], Молотков Л.А. [46], Толоконников Л.А. [60, 61], Тютекин В.В. |65]).

Построение решений для тел сложной формы и произвольных законов изменения свойств неоднородного материала рассеивателя связано с большими математическими трудностями. Многие вопросы дифракции звуковых волн на телах с учетом их сложной геометрии и неоднородности не изучены.

Целью работы является построение математических моделей рассеяния звука жесткими, однородными и неоднородными упругими телами неканонической формы, находящимися в идеальной жидкости и исследование на их основе рассеяния плоских гармонических волн на жестких и упругих телах различной формы.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- с помощью метода граничных элементов (МГЭ) решен ряд новых задач о рассеянии звука абсолютно жесткими, однородными и неоднородными упругими телами сложной формы;

- исследовано влияние формы границы и неоднородности материала тела на рассеяние звука.

Достоверность полученных результатов вытекает из корректной постановки задач и обоснованности применяемых математических методов; обеспечивается проведением расчетов на ЭВМ с контролируемой точностью; подтверждается совпадением полученных решений с известными результатами для частных и предельных случаев.

Практическое значение работы. Результаты диссертационной работы представляют собой вклад в развитие теории рассеяния акустических волн на телах сложной формы. Результаты работы могут быть использованы для разработки методов анализа сигналов в гидроакустике при звуковой эхолокации различных объектов; в судовой акустике при изучении акустических характеристик судовых конструкций; в дефектоскопии для идентификации результатов экспериментальных исследований; в технологиях с использование ультразвука; при решении обратных задач рассеяния звуковых волн.

Диссертационная работа выполнялась в рамках госбюджетной НИР Тульского государственного университета "Некоторые вопросы прикладной математи-) ки и механики" и проекта Российского фонда фундаментальных исследований (№ 09-01-97504).

На защиту выносятся:

- математическая модель рассеяния звука на телах сложной формы;

- алгоритм метода граничных элементов решения задач рассеяния звука на жестких и упругих телах;

- результаты численных исследований.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы доложены на международной научной конференции «Современные проблемы механики, математики, информатики» (Тула, 2008); международной научно-техническая конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2010); на научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ (2007 - 2010); на научных семинарах кафедры прикладной математики и информатики ТулГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1, 2, 3, 4, 5, 6]. В том числе 3 в статьи в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 153 страницы, 110 рисунков. Список литературы включает 116 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе решен ряд задач о рассеянии звуковых волн абсолютно жесткими и упругими объектами неканонической формы с использованием метода граничных элементов.

Наряду с однородными упругими телами рассматривались неоднородные препятствия в форме бесконечного цилиндра с некруговым сечением: упругий цилиндр с включениями из другого однородного материала (геометрически неоднородный) и цилиндр, свойства материала которого, выражаются непрерывными функциями координат.

Технология метода граничных элементов основана на интегральных представлениях решения уравнения Гельмгольца для потенциала скоростей частиц в жидкости в форме интеграла Гельмгольца-Гюйгенса и решения уравнений малых гармонических колебаний упругой среды в форме Сомильяпы.

Для расчета волновых полей в однородных средах используются известные ранее аналитические выражения для функций источника. Для обеспечения возможности применения МГЭ при решении задач рассеяния акустических воли упругими телами из неоднородного материала разработан алгоритм построения частных функций источника для упругих волн в неоднородной среде.

На основе таких частных функций источника в соответствии с идеологией метода граничных элементов получено решение задачи о рассеянии плоской звуковой волны для нескольких видов неоднородных упругих цилиндров.

В качестве практических результатов работы получены численные решения и проанализированы их результаты для некоторых частных задач о рассеянии звуковых волн однородными и неоднородными упругими объектами неканонической формы для двумерного и трехмерного случаев.

Полученные результаты показывают существенное влияние формы и материала препятствия на характеристики рассеяния звука. На диаграммах направленности данный факт выражается как в изменении амплитуды рассеянной волны по различным направлениям, так и в изменении форм диаграмм. На частотных характеристиках влияние формы препятствия проявляется в изменении величины коэффициента отражения и положения резонансных всплесков для упругих препятствий.

Для препятствий наиболее близких по форме к круговому цилиндру наблюдаются наименьшие изменения в характеристиках рассеяния. Диаграммы рассеянного поля для препятствия с несимметричной границей приобретают несимметричный вид. Это объясняется тем, что рассеивающее тело не обладает осью симметрии в направлении распространения падающей волны.

Как и ожидалось, наиболее существенное отклонение от диаграмм направленности рассеянного поля для кругового цилиндра наблюдается для цилиндров с эллиптической формой сечения. Так для медного цилиндра с сечением в форме эллипса с полуосями а = 2, Ъ = 1 при волновом размере као = 3 интенсивность отражения в направлении распространения падающей волны уменьшается вдвое, а в обратном направлении в три раза. При этом амплитуда отражения в боковых лепестках не превышает соответствующих амплитуд для кругового цилиндра. В случае цилиндра из того же материала с полуосями а = 1, 6 = 2 напротив, наблюдается существенное увеличение интенсивности отражения в направлениях ф = 0, (р = 7Г.

Адекватность и точность полученных решений дифракционных задач используемым методом проверялась на частных случаях геометрий препятствия, для которых известны точные аналитические решения (круговой цилиндр, сфера). Анализ решения задачи с помощью МГЭ показывает достаточно высокую степень совпадения с аналитическим решением для кругового упругого и жесткого цилиндров даже при небольшом количестве граничных элементов.

Таким образом, в качестве основных результатов могут быть названы следующие:

1. Построены математические модели рассеяния звуковых волн абсолютно жесткими, однородными и неоднородными упругими телами, находящимися в идеальной жидкости.

2. Разработан алгоритм метода граничных элементов для решения задач рассеяния звука телами сложной формы.

3. Получены численные решения задач рассеяния плоских звуковых волн абсолютно жесткими цилиндрами с сечениями различной формы.

Анализ угловых и частотных характеристик рассеянных акустических полей выявил значительное влияние формы рассеивателя на амплитуду рассеяния.

4. Получены численные решения задач рассеяния звука однородными упругими телами различной геометрической конфигурации (бесконечный цилиндр произвольного сечения, конечный цилиндр со сферическими заглушками, усеченный конус).

Изучены диаграммы направленности и частотные характеристики рассеянных акустических полей в дальней зоне.

5. Получены численные решения задач рассеяния звуковых волн двумерными упругими многосвязными телами.

Обнаружено, что с увеличением частоты изменение формы включения влечет все более заметные искажения угловых и частотных характеристик рассеяния.

6. Получены численные решения задач рассеяния плоских волн неоднородными упругими цилиндрами с различным профилем сечения.

Исследовано влияние неоднородности материала рассеивателя на рассеянное акустическое поле. Обнаружен ряд характерных черт этого влияния, что позволяет использовать полученные результаты для идентификации материала рассеивателя.

1. Авдеев И.С., Скобельцын С.А. О задаче дифракции плоской звуковой волны на неоднородном упругом объекте неканонической формы // Вестник ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика, 2008. Вып.2. С. 14-21.

2. Авдеев И.С., Скобельцын С.А. Дифракция плоской упругой волны на неоднородном шаре // Известия ТулГУ Серия Геодинамика, физика, математика, термодинамика, геоэкология. 2006, Вып. 3. С. 138-149.

3. Авдеев И.С. Применение метода граничных элементов в решении задачи о рассеянии звука неоднородным упругим цилиндром // Известия ТулГУ. Естественные науки, 2010. Вып. 2. С.32-37.

4. Авдеев И.С. Применение метода граничных элементов в решении задач о рассеянии звука упругим некруговым цилиндром // Акустический журнал, 2010. Т. 56. Вып. 4. С.435-440.

5. Амензаде Ю.А. Теория упругости. Учебник для университетов. М.: Высшая школа, 1976. - 272 с.

6. Аменицкий A.B., Ануфриев A.A., Ермолаев М.Д. Применение метода граничных элементов в акустике // Аннотации докладов 9 Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. Н. Новгород: Изд-во ИНГУ, 2006. С.15.

7. Афанасьев К.Е., Гудов А.М. Информационные технологии в численных расчетах. Учебное пособие. Кемерово: Изд-во КемГУ, 2001. 204 с.

8. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука. 1976. 632 с.

9. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Изд-во БИНОМ, 2003. 632 с.

10. Белов В.Е., Горский С.М., Зиновьев А.Ю., Хилько А.И. Применение метода интегральных уравнений к задаче о дифракции акустических волн па упругих телах в слое жидкости // Акуст. журн., 1994. Т. 40. Вып. 4. С.548-560.

11. Бенерджи II., Баттерфилд Р. Метод граничных элементов в прикладных науках: Пер. с англ. М.: Мир, 1984. 494с., ил.

12. Боев Н.В., Сумбатян М. А. Коротковолновая дифракция на телах, ограниченных произвольной гладкой поверхностью // Докл. АН/РАН. Акустика, 2004. N 5, С.614-617.

13. Бреббия К. Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов: Пер. с англ. М.: Мир, 1987. 524с., ил.

14. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 344 с.

15. Бреховских Л.М., Годин O.A. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989. 416 с.

16. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. 759 с.

17. Векслер Н. Д., Дюбюс Б., Лави А. Рассеяние акустической волны эллипсоидальной оболочкой// Акуст. жури. 1999. Т.45. № 1. С.53-58.

18. Векслер II.Д., Корсупский В.М., Рыбак С.А. Рассеяние плоской наклонно падающей волны круговой цилиндрической оболочкой // Акуст. журн. 1990. Т. 36. Вып. 1. С.12-16.

19. Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учеб. пособие для вузов. -М. : Высш. шк, 2002. 840 с.

20. Владимиров B.C., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.: Изд-во Физматлит, 2001. 400 с.

21. Гринченко В. Т., Вовк И.В. Волновые задачи рассеяния звука на упругих оболочках. К.: Изд-во Наук, думка, 1986. 238 с.

22. Гузь А.Н., Головчаи В.Т. Дифракция упругих волн в многосвязных телах. -К.: Изд-во Наукова думка, 1972. 256 с.

23. Гузь A.II., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. Киев: Наукова думка, 1978. 308 с.

24. Ехлаков A.B. Рассеяние упругих волн пространственными интерфейсными трещинами. Кубанский гос.ун-т. Краснодар, 2001. 31с. Деп. в ВИНИТИ 15.02.01, № 409 - В2001.

25. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики. М.: ИЛ, 1950. 456 с.

26. Игумнов J1.A. Граничные интегральные уравнения трехмерных задач на плоских волнах Докл. РАН. 2006. 409, N 5, С.622-624.

27. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: Изд-во ФИЗМАТ-ЛИТ, 2002. 240 с.

28. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. -М.: Изд-во Физматгиз, 1962. 708 с.

29. Коваленко Г.П. К задаче о дифракции акустической волны на неоднородном твердом теле // Акуст. журн. 1987. Т. 33. Вып. 6. С.1060-1063.

30. Кольский Г. Волны напряжения в твердых телах. М.: Изд. иностр. лит., 1955. 192 с.

31. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1968. 720 с.

32. Крылов В.В. Основы излучения и рассеяния звука. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. 118 с.

33. Купрадзе В.Д., Методы потенциала в теории упругости. М.: Физматгиз, 1963. 473 с.

34. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 736 с.

35. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Паука, 1965. 204 с.

36. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения. М.: Физматгиз, 1963. 358 с.

37. Лепендип Л.Ф. Акустика. М.: Высшая школа, 1978. 448 с.

38. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Изд-во МГУ, 1976. 368 с.

39. Лямшев Л.М. Дифракция звука на безграничной тонкой упругой цилиндрической оболочке // Акуст. журн., 1958. Т. 4. Вып. 2. С.161-167.

40. Лямшев Л.М. Рассеяние звука упругими цилиндрами // Акуст. журн., 1959. Т. 5. Вып. 1. С.58-63.

41. Молотков Л.А. Матричный метод в теории распространения волн в слоистых и жидких средах. Л.: Наука, 1984. 202 с.

42. Морс Ф., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т.2. М.: ИЛ, 1960. 886 с.

43. Никольский С.М. Курс математического анализа (том 2). М.: Наука, 1983. 484 с. // Изв. Вузов. Радиофизика. 1977. Т. 20. № 1. С. 5-45.

44. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. — 872 с.

45. Родионова Г.А., Толокоиииков Л.А. Рассеяние звуковых воли упругим эллиптическим цилиндром, помещенным в вязкую жидкость. Тула, 1988. Деп. в ВИНИТИ 24.11.88. № 8296-В88. 15 с.

46. Рождественский К.Н., Толоконников Л.А. О рассеянии звуковых волн на упругом сфероиде // Акуст. журн. 1990. Т.36. Выи.5. С.927-930.

47. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1994. 528 с.

48. Седов Л.И. Механика, сплошной среды. Т. 2. М.: Наука, 1994. 560 с.

49. Селезов И.Т., Яковлев В.В. Дифракция волн на симметричных иеоднород-ностях. Киев: Наукова, думка, 1978. 146 с.

50. Скучик Е. Основы акустики. Т.2. М.: Мир, 1976. 542 с.

51. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.З. Ч. 2. М.: Наука, 1969. 672 с.

52. Справочник по специальным функциям / Под ред. Абрамовица М., Стигана И. М.: Наука, 1979. 832 с.

53. Стретт Дж.В. (Рэлей). Теория звука. Т.2. М.: Гостехиздат, 1955. 476 с.

54. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.

55. Толоконников JI. А. Отражение и преломление плоской звуковой волны анизотропным неоднородным слоем // Прикладная механика и техническая физика. 1999. Т. 40. № 5. С. 179-184.

56. Толоконников Л.А., Скобельцын С.А. Дифракция звуковых волн на неоднородных и анизотропных телах. Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. 200 с.

57. Тэтюхин М.Ю., Федорюк М.В. Рассеяние плоской звуковой волны на протяженном теле произвольной формы // Акуст. журн. 1989., Т. 32. № 6. С.811-815.

58. Тэтюхин М.Ю. Федорюк М.В. Дифракция плоской звуковой волны па вытянутом твердом теле вращения в жидкости // Акуст. журн., 1989. Т. 35. № 1. С.126-131.

59. Тэтюхин М.Ю. Дифракция на упругом вытянутом теле произвольной формы // Акуст. жури., 1989. Т. 35. № 2. С.339-342.

60. Тютекин В.В. Импеданеный метод расчета характеристик упругих неоднородных радиально-слоистых цилиндрических тел // Акуст. журн. 1983. Т. 29. Вып. 4. С.529-536.

61. Физические величины: Справочник / Под ред. Григорьева И.С., Мейлихова Е.З. М.: Энсргоатомиздат, 1991. 1232 с.

62. Шендеров Е.Л. Прохождение звуковой волны через упругую цилиндрическую оболочку // Акуст. журн. 1963. Т. 9. Выи. 2. С.222-230.

63. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л., Судостроение, 1972. 352 е., ил.

64. Шендеров Е.Л. Излучение и рассеяние звука. Л.: Судостроение, 1989. 302 с.

65. Antonio Julieta, Tadeu Antonio, Godinho Luis 2.5D scattering of waves by rigid inclusions buried under a fluid channel via BEM // Eur. J. Mech. A., 2005. №6. P. 957-973.

66. Au M.C., Brebbia C.A. Diffraction of water waves for vertical cylinders using boundary elements // Appl. Math. Modelling, 1983. Vol. 7. P. 106-114.

67. Banaugh R.P., Goldsmith W., Diffraction of steady elastic waves by surfaces of arbitrary shape. //J. Appl. Mech., 1963. №. 30. P.589-597.

68. Beale J. Thomas, Hou Thomas Y., Lowengrub John Сходимость метода граничных интегральных уравнений для волн на воде. Convergence of а boundary integral method for water waves SIAM J. Numer. Anal., 1996. № 5. C. 1797-1843.

69. Borovikov V.A., Veksler N.D. Scattering of sound waves by smooth convex elastic cylindrical shells // Wave motion. 1985. V. 7. P. 143-152.

70. Cooker M.J., Peregrine D.H., Vidal C., Dold J.W. Взаимодействие между уединенной волной и погруженным полукруговым цилиндром. The interaction between a solitary wave and а, submerged semicircular cylinder J. Fluid Mech., 1990. C.l-22.

71. Chen L.H., Schweikert D.G. Sound Radiation from an Arbitrary Body //J. Acoust. Soc. Am., 1963. V. 35. № 10. P.1626-1632.

72. Chen M., Rahman M. Boundary element method for diffract,ion of oblique waves by an infinite cylinder // Engineering Analysis with Boundary Elements, 1993. V.ll. №1. P. 17-24.

73. Chertock G. Integral equaiton methods in sound radiation and scattering from arbitary surfaces. NSRDC Rep. N. 3538, Washington, 1971.

74. DeSanto J.A. Theory of scattering from multilayered bodies of arbitrary shape // Wave Motion, 1980. V. 2. №1. P.63-73.

75. Fan S. C., Li S. M., Yu G. Y. Dynamic fluid-structure interaction analysis using boundary finite clement method-finite element method // Trans. ASME. J. Appl. Mech. . N 4.

76. Faran J.J. Sound scattering by solid cylinders and spheres // J. Acoust. Soc. Amer. 1951. V. 23. N 4. P.405-420.

77. Flax L., Dragonette L.R., Uberall H. Theory of elastic resonance excitation by sound scattering// J. Acoust. Soc. Amer. 1978. V.63. №3. P.723-731.

78. Fritzc Denny, Marburg Steffen, Hardtke Hans-Jurgen FEM-BEM-coupling and structural-acoustic sensitivity analysis for shell geometries // Comput. and Struct. An International Journal. N 2-3. P. 143-154.

79. Gaul L., Wagner M., Wcnzel W., Dumont N. Численный анализ акустических задач гибридным методом граничных элементов. Numerical treatment of acoustic problems with the hybrid boundary element method Int. J. Solids and Struct., 2001. № 10-13. C.1871-1888.

80. Grigoriev M.M., Dargush G.F. A fast multi-level boundary element method for the Helmholtz equation // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. N 3-5 P. 165-203.

81. Guz A.N. Wave propagation and diffraction in bodies with noncircular cylindrical boundaries // INTERNATIONAL APPLIED MECHANICS, 1973 V.9. N.9. P.927-933.

82. Hackman R.H., Sammelman G.S. Acoustic scattering in an inhomogencous waveguide: theory // J. Acoust. Soc. Amer., 1986. V.80. P.1447-1458.

83. Isaacson Michael de St. Q. Vertical Cylinders of Arbitrary Section in Waves // Journal of the Waterway Port Coastal and Ocean Division, 1978. V.104. N.3. P.309-324.

84. Katsikadelis John T. The BEM for nonhomogeneous bodies Arch. Ariza. M. P., Dominguez J. Dynamic BE analysis of 3-D cracks in Appl. Mech., 2005. № 11-12. C.780-789.

85. Karasalo I., Mattsson J. Accurate numerical modelling of scattering by 3D bodies and shells in a fluid-solid medium. 4th Eur. Conf. Underwater Acoust., Rome, 1998. P.691-696.

86. Kosaka Yoshiyuki, Sakuma Tetsuya Numerical examination on scattering coefficients of architectural surfaces using the boundary element method // Acoust. Sci. Technol. N 2.

87. Liapis Stergios Численные методы для задач излучения воли на воде. Numerical methods for wa,ter-Wave radiation problems Int. J. Numer. Meth. Fluids., 1992. №1. C.83-97.

88. Lee F.A. Scattering of a cylindrical wave of sound by an elastic cylinder // Acustica. 1963. V. 13. N 3. P.397-402.

89. Leon F. Acoustic scattering by an clastic elliptic cylinder in water: numerical results and experiments // Ultrasonics , 2004. №1-9. P.297-300.

90. Mansur W.J., Brebbia C.A., Application of the boundary element method to solve the scalar wave equation // Boundary Elements in Engineering, SpringerVerlag, Berlin, 1982.

91. Marin Liviu Detection of cavities in Hclmholtz-type equations using the boundary element method // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng., 2004. P.36-38.

92. Marston P.L. GTD for backscattering from elastic spheres and cylinders in water and the coupling of surface elastic waves with the acoustic field // J. Acoust. Soc. Amer. 1988. V. 83. N 1. P.25-37.

93. Ma/tsui Т., Kato K., Shirai T. A hybrid integral equation method for diffraction and radiation of water waves by three-dimensional bodies // COMPUTATIONAL MECHANICS, 1986. V. 2. №. 2. P.119-135.

94. Mendes P. A.,Tadeu A. Wave propagation in the presence of empty cracks in an elastic medium // Comput. Mech., 2006. № 3. P. 183-199.

95. Mitzner Kenneth M. Numerical Solution for Transient Scattering from a Hard Surface of Arbitrary Shape (A) //J. Acoust. Soc. Am., 1966. V. 40. № 5. P.1280-1280.

96. Myers M., Hausmarm J. Анализ методом граничных элементов звукового рассеяния на движущейся поверхности. Boundary element analysis of sound scattered by a moving surface AIAA Pap., 1990, №3944, С Л-12.

97. Peter Malte A., Meylan Michael H., Linton C.M. Рассеяние волн на воде периодическим рядом произвольных тел. Water-wave scattering by a periodic array of arbitrary bodies J. Fluid Mech., 2006. C.237-256.

98. Porter R., Porter D. Рассеяние волн на воде порогом произвольного профиля. Water wave scattering by a step of arbitrary profile J. Fluid Mech., 2000. C. 131-164.

99. Rizzo F.J., Shippy D.J., Rezayat M. A boundary integral equation method for radiation a/nd scattering of elastic waves in three dimensions // International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1985. V.21. №1. P.115-129.

100. Shaw R.P. An integral equation approach to acoustic radiation and scattering // Topics in Ocean Engineering (C. Bretshchneider, Ed.), 1970. P.143-163.

101. Sutradhar Alok, Paulino Glaucio H. A simple boundary element method for problems of potential in non-homogeneous media // Int. J. Numer. Meth. Eng., 2004. N 13. 364 p.

102. Tadeu Antonio J.В., Antonio Juliet,a M.P., Kausel Eduardo 3D scattering of waves by a cylindrical irregular cavity of infinite length in a homogeneous elastic medium // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng., 2002. P.27-28.

103. Tadeu Antonio, Mendes Paulo Amado, Antonio Julieta 3D elastic wave propagation modelling in the presence of 2D fluid-filled thin inclusions // Eng. Anal. Boundary Elem., 2006. №3. P. 176-193.

104. Triantafylliidis Th., Dasgupta В. Учет невыпуклой границы в методе граничных элементов при решении задач динамики упругих сред. The causality of the boundary element method in elastodynamics Soil Dyn. and Earthquake Eng., 1990. №. C.78-84.

105. Wu Sean F., Zhao Xiang Combined Helmholtz equation-least squares method for reconstructing acoustic radiation from arbitrarily shaped objects // J. Acoust. Soc. Amer., 2002. №1. P.179-188.