автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Температурные поля и напряжения в движущихся телах конечных размеров

ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГВ од

1 "Г Т'П

На правах, рукописи

Л-

Лотарев Валерий Яковлевич

ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ И НАПРЯЖЕНИЯ В ДВИЖУЩИХСЯ ТЕЛАХ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ

Специальность: 05.13.16 — применение вычислительной техники,

математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Авторефе рат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Тула - 2000

Диссертация выполнена в Тульском государственном университете

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор Л.А. Толоконников

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор А.Я. Федоров кандидат технических наук, доцент В.И. Щербина

Ведущая организация - ГНПП «Сплав»

Защита состоится « 3 » СХЮА^ 2000 г. в /У часов на заседании диссертационного Совета К 063.47.10 в Тульском государственном университете по адресу:

300600, г.Тула, пр.Ленина, 92 (9-й учебный корпус, ауд. 101)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета

Автореферат разослан « МОЯ 2000 г.

Ученый секретарь

диссертационного Совета / /

к.т.н., доцент В.А. Ковешников

1/4-Л 19

ВВЕДЕНИЕ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Проблема исследования температурных полей и температурных напряжений в телах конечных размеров постоянно привлекает внимание исследователей. Многие элементы машины и механизмов имеют форму конечных сплошных и полых цилиндров, прямоугольных призм и т.д. и работают в условиях неравномерного нагрева. Процессы обработки материалов сопровождаются тепловыделением в обрабатываемых деталях и возникновением в них температурных напряжений (например, шлифование, наплавка, механическая обработка обкаткой и т.д.). Новые методы обработки материалов требуют решения актуальных проблем определения термонапряженного состояния как обрабатываемых деталей, так и обрабатывающего инструмента.

Большинство работ в теории теплопроводности посвящено изучению и анализу температурного поля и температурных напряжений в неподвижных телах конечных размеров. В некоторых работе« изучается температурное поле в неограниченных телах при движущихся источниках тепла, в других работах исследуется температурное поле в телах с подвижными границами. Исследованию термонапряженного состояния тел конечных размеров, перемещающихся из одной среды в другую или вращающихся вокруг своей оси и подвергающихся действию теплового источника, посвящено незначительное число работ.

Для решения многих прикладных задач актуальна проблема исследования температурного поля и температурных напряжений в телах конечных размеров, перемещающихся в направлении своей оси или большего ребра (для параллелепипеда) по произвольному закону из одной среды в другую с разными теплофизическими характеристиками, или вращающихся вокруг своей оси и подвергающихся действию теплового источника. Условия теплового взаимодействия конечного тела с окружающими средами задаются в различной форме в зависимости от характера процесса теплопередачи. Кроме того, результаты решения задач квазистатической термоупругости для классических конечных движущихся тел служит отправным пунктом в последовательном изучении температурных полей и температурных напряжений в телах более сложной конфигурации.

В каждом конкретном случае анализ температурного поля деталей или конструкции представляет собой самостоятельную сложную задачу теории теплопроводности и механики сплошных сред. Исследование напряженно деформированного состояния упругих тел, вызванных неравномерным нагревом, принадлежит к одной из практически важных и актуальных проблем механики твердого деформированного тела. Объясняется это, главным образом, тем, что в ряде случаев уровень температурных

напряжений имеет решающее значение при оценке работоспособности ответственных элементов конструкции. Тепловые напряжения могут вызывать появление трещин в элементах машин и механизмов. Особенно опасными могут оказаться резко нестационарные тепловые воздействия типа теплового удара.

Развитие современной техники и технологий (жидкая штамповка, обработка материалов концентрированными потоками энергии) выдвигает задачу определения температурных полей и напряжений в движущихся телах конечных размеров.

Вот почему к числу проблем, представляющий большой теоретический и практический интерес, относится проблема изучения температурного поля и температурных напряжений в движущихся или вращающихся вокруг своей оси телах конечных размеров. Этой проблеме посвящено достаточно мало работ.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью работы является аналитическое определение температурных полей и напряжений в телах конечных размеров, движущихся по произвольному закону в направлении своих осей или больших ребер (для параллелепипеда) из одной среды в другую с разными теплофизическими характеристиками, или вращающихся вокруг своей оси и подвергающихся воздействию теплового источника. Условия теплового взаимодействия тела конечных размеров с окружающими средами заданы в различной форме в зависимости от характера процесса теплопередачи. НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Задачи, рассмотренные в диссертационной работе, являются по своей постановке новыми и впервые решены автором. В диссертационной работе получены следующие новые результаты.

Решены первая, вторая, третья и смешанная краевая задачи теплопроводности для конечных сплошного и полого цилиндров, перемещающихся в направлении своей оси по произвольному закону из одной среды в другую с разными теплофизическими характеристиками.

Получены решения первой основной граничной задачи квазистатической термоупругости в рамках принципа Сен-Венана для конечных сплошных и полых движущихся цилиндров.

Исследовано температурное поле вращающегося конечного сплошного цилиндра и, для случаев первой, второй, третьей и смешанной краевых задач, получены решения в виде разложений в бесконечные равномерно сходящиеся ряды по бесселевым и тригонометрическим функциям.

Получено решение первой основной граничной задачи квазистатической термоупругости для вращающегося конечного сплошного цилиндра.

Решены первая, вторая, третья и смешанная краевая задачи теплопроводности для движущегося параллелепипеда.

Получено решение первой основной граничной задачи квазистатической термоупругости для движущегося параллелепипеда с помощью вариационной теоремы Кастильяно.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Результаты, полученные в диссертации, представляют собой вклад в теорию нестационарной теплопроводности и квазистатической термоупругости. Пакеты прикладных программ могут быть использованы для получения численных результатов, необходимых при проектировании деталей в кузнечно-прессовом производстве, деталей металлургического и энергетического оборудования, при обработке материалов концентрированными потоками энергии, шлифовании, наплавке, механическом упрочнении обкаткой и др.

Диссертационная работа связана с планом основных научных работ Тульского государственного университета. Работа выполнялась в рамках хоздоговорной работы, № 76-587 и госбюджетной работы "Некоторые вопросы прикладной математики и механики" (№ гос. рег. 01910046438) кафедры прикладной математики и информатики. Ряд полученных в диссертации теоретических результатов использован для построения математических моделей и создания соответствующего программного обеспечения, которые внедрены в ОАО АК "Туламашзавод". АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертационной работы докладывались на научных семинарах кафедры "Прикладная математика и информатика", на научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ; на юбилейной научно-практической конференции "Прикладная математика-99" (Тула, 1999г.); на Всероссийской научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики " (Тула, 2000г.).

ДОСТОВЕРНОСТЬ. Достоверность полученных решений вытекает из корректной постановки задач и обоснованности применяемых математических методов, обеспечивается проведением расчетов на ЭВМ с контролируемой точностью и подтверждается совпадением результатов, полученных по разработанным алгоритмам, с известными решениями в частных случаях.

ПУБЛИКАЦИИ. По результатам проведенных исследований опубликовано 12 работ.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертационная работа состоится из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, включающего 79 наименований, содержит 133 стр. машинописного текста, в том числе 11 рисунков, приложения на 1 страницу.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждаются вопросы, связанные с актуальностью работы, ее теоретической и практической значимостью, целью и методами исследований, приводится краткое содержание диссертации, а также основные положения выносимые на защиту.

Первая глава состоит из двух разделов и носит информационно-вспомогательный характер.

В первом разделе дан обзор литературы по задачи нестационарной теплопроводности и квазистатической термоупругости для тел конечных размеров.

Во втором разделе приводятся основные уравнения квазистатической теории термоупругости.

Первый этап решения квазистатической задачи термоупругости заключается в определении температурного поля упругого тела. Он сводится к решению уравнения нестационарной теплопроводности для однородного изотропного тела

дг(Л/>0+£^ = 13г (МеС) 1>0) (1)

Л а 5/

при определенных начальном и граничных условиях

Т(М ,0)=ТН (М) (Ме б = в + Б), (2)

Рх^^-Рг Т(Р/)=~вс(РЛ {РеБ, 1>0, Р^ + р\ > 0), (3)

дп

где

в — область упругого тела,

п— внешняя нормаль к границе Б области в,

X,а - коэффициенты теплопроводности и температуропроводности,

ц(М,0 — удельная мощность источников тепла,

Т„(М) - температура упругого тела в исходном состоянии,

РI, р2 — коэффициенты, определяющие тип граничных условий,

<3С(Р,0 - непрерывная функция, определяющая тип граничных условий.

После этого определяется термоупругое напряженное состояние однородного изотропного тела из уравнения движения Ламе

Дм н---— ¿гас! ¿Л'ум = 2 а1 £гайТ (4)

1-2 /л 1-2//

при граничных условиях в напряжениях

&(Ру1 — Р(Р), Ре Б, (5)

где й = {ы, } - вектор перемещений, а - тензор напряжений,

ц - коэффициент Пуассона, Т(М ¿)=Т(М,1)-Т(М,0), а, - коэффициент линейного расширения материала, Р(Р) - сила, приложенная к упругому телу.

Компоненты тензора деформаций еи связаны компонентами вектора перемещений соотношениями:

'ди. ди,

=

+ -ал а/

(/Д

(6)

Уравнения закона Гука, связывающие компоненты тензора напряжений <тч с компонентами тензора деформаций Ец, имеют вид

■2 ц

7,к = Щ £,к +

-ей,к - а> т5л

(¡,к = х,у,г),

(7)

1-2// 1-2// где е - объемное расширение, в - модуль сдвига.

В цилиндрической системе координат решение дифференциальных уравнений Ламе (4) можно представить в виде:

и=и*+ит, у=у*+уг, н> = м>*+и'7', (8)

где и*,у*,™*- общее решение однородных уравнений, соответствующих уравнениям (4), определяемое с помощью функций напряжений, г/7,у7, м<7- частное решение дифференциальных уравнений Ламе (4), которое ищется с помощью термоупругого потенциала перемещений Ф :

1 дФ т 8Ф

т ЭФ и = —> дг

уг=-

IV =

г дер дг

где скалярная функция Ф удовлетворяет уравнению Пуассона

ДФ:

1 + /* г

Выражения для напряжений, соответствующих частному решению уравнения (10),

т д2Ф т д2Ф

О7- =ЯДФ + 2С-~, а\= ЯАФ + 2С~, ' дг2

(9)

(Ю)

/

ГГТ -

<*Г<? ~

2С г

дФ

152Ф"

г дг1

<т1 = ЛАФ + 2в

2<3д_ г д(р

(дФ Ф ^ дг г

г 2в д'Ф

с,- =

д2Ф

дгд:' 2Сц

(П)

г д<рдг 1-2/л

как правило, не удовлетворяют граничным условиям, поэтому к ним необходимо добавлять такое решение изотермической задачи чтобы были выполнены граничные условия на поверхности тела.

Таким образом, общее решение задач термоупругости может быть получено сложением напряжений, соответствующих термоупругому

потенциалу перемещений Ф, и напряжений, определяемых перемещениями * * *

и ,У ,те :

+cri

ТФ<Р

^ tptp 5

CT., - <7,, +Cr22,

T

' r<p -ar<p +cr'r<p' a rz ~Gzr + cr'rz> (J<pz-<J^+CJ'vz- J Метод решения задачи (4)-(5) в декартовой системе координат основан на использовании вариационных уравнений принципа возможных изменений напряженного состояния, в котором основной искомой величиной является тензор напряжений (а). Согласно вариационному принципу Кастильяно, из всех возможных напряженных состояний упругого тела, для которых выполнены уравнения равновесия сил и граничные условия в напряжениях, потенциальная энергия деформации принимает минимальное значение. Компоненты тензора напряжений получены в виде разложений в бесконечные ряды по косинусам- биномам с неопределенными коэффициентами, которые определяются с помощью вариационного принципа Кастильяно.

Во второй главе, состоящей из двух разделов, рассматриваются задачи аналитического определения температурного поля и температурных напряжений в конечном сплошном движущемся цилиндре.

В первом разделе исследуется температурное поле конечного сплошного цилиндра длины L и радиуса R, имеющего начальное распределение температуры TH(r,tp,z) и перемещающегося в направлении своей оси по произвольному закону S(t) из одной среды в другую среду с разными теплофизическими характеристиками. Условия теплового взаимодействия цилиндра с окружающими средами задаются в различной форме в зависимости от характера процесса теплопередачи.

Температурное поле движущегося цилиндра определяется в цилиндрической системе координат, неподвижно связанной с цилиндром, и заключается в нахождении решения уравнения нестационарной теплопроводности

ßj- (д2т- 1 ат 1

dt

= а

' д2Т 1 дТ 1 д'Т

+--+-„--Г- +

дг1 Г дг г2 дер1 dz1

дТ

а, —~+а7Т 1 дг 2

r=R

(О<r<R, 0<<р< 2ч, 0< z< L, z=S(t), t>0) при начальном и граничных условиях:

T(r,<p,z,0)=Tn(r,<p,z);

\QR0{cp,z,t), z<S(t), '[Qrl (<p,:,0, z> S(t),

1=0 öz

Sj +Sl> 0; T(r,(p,z,t)=T(r,cp+2K,z,t); T(0,cp,z,t)<oo.

дТ

— S->T

a2 + a\ > 0;

= QL(r,<p,t),

S2 + sl > 0,

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

Используя единичную функцию г)(т), аргумент которой зависит от закона движения цилиндра, запишем разрывные граничные условия (15) в следующем виде с)Т

а\-^+а2тг=к О, (19)

где Г(г) - обратная функция для г=8(1).

Обнуляя граничные условия (16) для обеспечения равномерной сходимости искомого решения по переменой г

Т(г,ф,г,1)= Т'(г,ф,г,г)+ Т2(г,ф,2Д), Т,(г,ф,г,1)= Та(г,фД)+Ть(г,фД)г, (20) и применяя конечное интегральное преобразование Фурье по переменной г 1 1

Т(г,<р,1) = — ¡Т'(г,<р,г,ф(п,2)е12, ^п(г) = б1/„со5Гп2 + 325\п/п2, (21)

сп 0

конечное интегральное преобразование Фурье по переменной ф в интервале [0, 2тг]

тЛг^тЬ.рЖЛЖр, У = \2т' ^ [2 при ш = 0, ^ о [2т+ 1, [1 при га^О,

к2т(.<Р) = ——С0*т<Р> К2т+]{<р)^-^\пт<р,

Л£т Я

краевую задачу (13)-(19) приведем к виду

дТ, д(

V _

2 л

Ту <г,0)= I о

дг г дг

} (Тн (г # * )- Т: (г ,ср ,0)>„ (2 У1:

Ку (<р)с!<р,

— +«2 ^01,0 = ^(0, гдо,/Х",

дг

где уп определяются из трансцендентного уравнения Уп{328ъ+3Х3А) 1 -

(23)

(24)

(25)

(п= 1,2,3,...).

Уп о

Обнуляя граничные условия (25) для обеспечения равномерной сходимости искомого решения по переменной г

гДг,/)=г;(г,о+Ш тао=Ш

«2

(27)

и применяя конечное интегральное преобразование Ханкеля для сплошного цилиндра

Т0^-^-]гТ:{г,(\1т(фткг)с1г (28)

тк 0

к краевой задачи (23)-(25), приходим к решению обыкновенного линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка

л

■■ Т° (0 + в? (О , - + г1

(29)

(30)

с начальным условием

Т°(0)= /г[тЛг.О)- Т„(0УЖк^г , о

где Р„к являются корнями трансцендентного уравнения

ахГт{рткК) + а^т{РткК)= 0стк = )г^т фткг^г,(т = 0,1,...;*= 1,2,...). (31)

о

Решение уравнения (29) с учётом начального условия (30) имеет вид

Т°(о)+]д°(г>оа'™г£/г . (32)

Последовательно выполняя обратные преобразования Ханкеля по переменной г, обратные преобразования Фурье по переменным (р иг, получим температурное поле конечного сплошного движущегося цилиндра

+ 1

т = 1

со$т<р +

+ ¿[^-.(0+1^-! (зз)

/п=1 ■ ¿=1

В случае осесимметричной постановки задачи температурное поле сплошного конечного движущегося цилиндра определяется выражением

Т(Г,2,0 = Т. (г,7,1) + £(ГС(0 + Та(/)/■ +

и=1

*=1

Л 09*0

(34)

Т'фУ"1*' + )£ {тУаа*(,-г)с1т о

где рк(к=1,2,3...) - корни характеристического уравнения

al/ЗkJi(J]kR)-a2J0(JЗkR) = 0, а^^у2 + р2к. Во втором разделе определяется температурные напряжения в конечном сплошном движущемся цилиндре по его известному осесимметричному температурному полю (34) с помощью термоупругого потенциала перемещений Ф(г,гД) и функции напряжений Лява Цг,г) при отсутствии напряжений на цилиндрической поверхности.

Температурное поле движущегося цилиндра (34) преобразуется к виду

Л=1

к=1

Ц,п{2). (35)

Термоупругий потенциал перемещений Ф(г,гД) ищется в виде

к=\

(36)

ф (г ,/)=-£!

где коэффициенты (I) определяются из уравнения (10).

Построенное решение дает отличное от нуля напряжения на цилиндрической поверхности, поэтому на него наложено дополнительное "бестемпературное" напряженное состояние, которое находится при помощи функции напряжений Лява

-1й(У„г) + Ьпг1х(упг) Уп

К (О

2С

с неопределенными коэффициентами а„,Ъ„ (п=1,2,3,...), которые определяются из условия отсутствия напряжений на цилиндрической поверхности.

Таким образом, общее решение задачи термоупругости для сплошного конечного движущегося цилиндра может быть получено сложением напряжений, соответствующих термоупругому потенциалу перемещений Ф, и напряжений, определяемых с помощью функций Лява.

В третьей главе, состоящей из двух разделов, рассматриваются задачи аналитического определения температурного поля и температурных напряжений в конечном полом движущемся цилиндре.

В первом разделе исследуется температурное поле конечного полого цилиндра длины Ь, с внутренним радиусом Яа и наружным 11ь, имеющего начальное распределение температуры Тк(г,ф,г) и перемещающегося в направлении своей оси по произвольному закону 8(0 из одной среды в другую среду с разными теплофизическими характеристиками. Условия теплового взаимодействия цилиндра с окружающими средами задаются в различной форме в зависимости от характера процесса теплопередачи.

Температурное поле конечного полого движущегося цилиндра определяется в цилиндрической системе координат, неподвижно связанной с цилиндром, и заключается в отыскании решения уравнения нестационарной теплопроводности (13) с начальным условием (14), с граничными условиями по координатам г (16) и (р (17), при граничных условиях по координате г :

дГ I <*\ — ~а2Т\

дг ¡г=Д„

а

ВТ 3-- + а4Г дг

а[ +а2 >0; (37)

-0^(9,2,0, z>S(t), /бм>«Р.*.0. 2 <8(1),

= 4 а,+а|> 0; (38)

[еЬ1>,-,0, г>8(1),

Используя единичную функцию Г1(х), аргумент которой зависит от закона движения цилиндра, запишем разрывные граничные условия (37) — (38) в следующем виде

а{%~а2Г1=к„ =Ш«?>г>0> (39)

ва кр г / )= Оаь <(р>г>О - йло (р.г.'М' -/(г)), вам <Р ? ОЯаьФгО-ваО&г*). йый (Р'^'О - вьо (<р,г,1),

вь(!Р^;)=вьь(<Р,2,0 - (?>,*,'Ж' - /(г)), где Дг) - обратная функция для г=5(1).

Для обеспечения равномерной сходимости искомого решения по переменой т. обнулим граничные условия (16) с помощью функции (20).

Применяя конечное интегральное преобразование Фурье (21) по переменной г и конечное интегральное преобразование Фурье (22) по переменной ф в интервале [0, 2л] к поставленной задаче, краевую задачу (13)-(17), (39) приведем к виду

эт; д(

+ ^--Т -у Т

,2 з. 2 " ' я V

дг г дг г

о

ЗТ„ = «1 г--«2Т, дг

+&М.

Ку (<р)с//р

\(ТН <с*р* )-Т: (г,<р,г,0))уп (?)ск о

(40)

(41)

= (42)

Обнуляя граничные условия (42) для обеспечения равномерной сходимости искомого решения по переменной г

ТУ{Г,1)=Т1{Г,{) + ТМ ТУ(0=ТС(() + ТЛУ (43)

и применяя конечное интегральное преобразование Ханкеля для полого цилиндра

Г°(')= --М^К^г)*, У,п(РпЛг) = У^Жк')-^<фткг) (44)

стк 0

к краевой задаче (40)-(42), приходим к решению обыкновенного линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка

л

с начальным условием

т°» = |г[т„(г,0)- Т,(0)\т{Рткг)с1г , о

где ртк являются корнями трансцендентного уравнения

^Ут{/Зтк^) + а2Ут{/Зтк^)= 0, (т= 0,1,2,...; А = 1,2,3,...), = а '„, {/5ткЯа) - а23т (/?„,*/?„)> ¥а = <фткЯа ) - а2 Уя (,0тк ),

(45)

Стк = \ гУ2(Рткг)с1г.

Па

Решение уравнения (45) с учётом начального условия (46) имеет вид аналогичный выражению (32).

Последовательно выполняя обратные преобразования Ханкеля по переменной г, обратные преобразования Фурье по переменным <р и получим температурное поле конечного полого движущегося цилиндра

л п=2к=х

т=1

к=\

соьпкр +

+ £[^-.(0 + 1:^-1 Ут{РткгЪ™™<р)Ч'М (47)

В случае осесимметричной постановки задачи, температурное поле сплошного конечного движущегося цилиндра определяется выражением

Т(г,г ,/) = Т: (г,г,О + £ (Гс (/) + Тч +

+ 1

Аг = II

(48)

Т' +\0!\т)е-аа^-т)с1т У0(Ркг)

о } )

где |3к(к=1,2,3...) - корни характеристического уравнения

Во втором разделе определяется температурные напряжения в конечном полом движущемся цилиндре по его известному осесимметричному температурному полю (48) с помощью термоупругого потенциала перемещений Ф(г,г,1) и функции напряжений Лява Цг,г) при отсутствии напряжений на внешней и внутренней цилиндрических поверхностях.

Температурное поле полого цилиндра (48) преобразуется к виду

т <; ()=т (■ г (утн е ? )= 2

п~1

Уп (= )•

Термоупругий потенциал перемещений Ф(г,г,1) ищется в виде

(49)

*=1

где коэффициенты Сл(/),Оп<г (I) определяются из уравнения (10).

Температурные напряжения (11), отвечающие термоупругому потенциалу перемещений Ф(г,г,1), не удовлетворяют граничным условиям на поверхности полого цилиндра, поэтому вводится дополнительное напряженное состояние с помощью функции напряжений Лява

-¿О „=1|

— 'о (Г,/)+ ^(г„0 + спПх (г„г) + с1пгКх (у„г) Уп Уп

неопределенные коэффициенты ап,Ъп,сп,с1п (п=1,2,3,...) которой определяются из условия отсутствия напряжений на внешней и внутренней цилиндрических поверхностях.

В четвертой главе, состоящей из двух разделов, рассматриваются задачи аналитического определения температурного поля и температурных напряжений в конечном сплошном вращающемся цилиндре.

В первом разделе исследуется температурное поле конечного сплошного цилиндра длины Ь и радиуса II, имеющего начальное неосесимметричное распределение температуры и вращающегося вокруг своей оси по произвольному закону <р = /(/). Начиная с момента времени / = 0, цилиндр вступает на своей поверхности в тепловое взаимодействие с внешними средами, состояния которых описываются непрерывными функциями да(<р,г,(), 0О(г,<р,() и £>/. (г,

Полагаем, что угол контакта цилиндра с внешней средой, описываемой непрерывной функцией Qa{r,z,t) равен а. Задачу о нахождении температурного поля вращающегося цилиндра будем решать в цилиндрической системе координат, неподвижно связанной с цилиндром. Для этого необходимо решить уравнение нестационарной теплопроводности (13) с начальным условием (14), с граничными условиями по координате г

(16), по координате (р (17) и граничными условиями по координате г:

0<«?<Ро.Ро=/('о)> да((р,2,{), (р0 «р<(р0 +а, а,2+а,2>0; (50)

(Ро+а<<р<2я\ Т( 0,р,г,/)<со. (51)

Используя единичную функцию, аргумент которой зависит от закона вращения цилиндра, запишем граничные условия (50) аналитическим выражением дТ

где

= )- 0.а пМ = пЬ -¥{<Р)\-Ф ~ У{<Р -«)].

а у/{(р)—обратная функция для <р = /(/).

Процедура нахождения аналитического решения краевой задачи (13) -

(17) с учетом граничных условий (50) - (51) аналогична процедуре решения краевой задачи (13) - (19), при этом температурное поле конечного сплошного вращающегося цилиндра имеет вид

57\ Т|

т (г ,ср )=т: (г ,ср, 2, 0+-| {I т0 (0+11 г0° №0 (Р0кг)+

я 71 = 1¿к = \

+ I Г2и(*) + соъпнрл-

т = \\_ к=\

+ Й^-.М + Х^-.^^^п/и^Дг) (58)

т = 1 4 = 1

Во втором разделе определяются температурные напряжения в конечном сплошном равномерно вращающемся цилиндре, температурное поле которого описывается формулой (58) при условии отсутствия напряжений на поверхности цилиндра:

агг\г=Ч=Ъ> 0"га|/-=Я=°>

I I (59>

Будем искать решение задачи определения температурных напряжений в два этапа. На первом этапе находим частное решение системы дифференциальных уравнений Ламе (4) с помощью термоупругого потенциала перемещений Ф, удовлетворяющего уравнению Пуассона (10).

Преобразуем формулу температурного поля конечного вращающегося цилиндра (58) к следующему виду

('К (А>*0 +

л=н УЫ1

со со со со |

+ Е ^СпЛФ пЛРткГ)С0$т<Р+1, ХАт* {Фп, (РткГ)^Пт(Р Мп (4

т=\к=1 т-\к=\ )

Выбираем термоупругий потенциал перемещений Ф в виде, подобном формуле температурного поля

Ф(г,2,{) = -К ХШ'Н 1впк №орг + X ±Сптк (/)/„,/> созтр +

со со т=1(Ы

где коэффициенты /1„(г), Впк (/),Спш4 (/), Оптк (/) определяются из уравнения (10).

Полученное решение не удовлетворяет граничным условиям (59). Чтобы устранить этот недостаток, на втором этапе - на полученное решение наложим дополнительное бестемпературное напряженное состояние а у,

удовлетворяющее однородной системе дифференциальных уравнений Ламе (4). Её решение найдено с помощью одной бигармонической функции /="

п = 1

и гармонической функции г,<р,г), взятой в форме

00

4>{г,9,г)= 1[(с„ + ап<р)10(у„г) + (е„ со+ /„ втр)/,^)]^*)

п—1

Подставляя полученные напряжения от бигармонической и гармонической функций в краевые условия (59), получим бесконечную систему алгебраических уравнений для определения неизвестных постоянных ап,Ьп,сп,с1п,еп,/п, которая решается методом усечения.

В пятой главе, состоящей из двух разделов, рассматриваются задачи аналитического определения температурного поля и температурных напряжений в движущемся параллелепипеде.

В первом разделе исследуется температурное поле движущегося параллелепипеда с размерами А*В*С (А<В<С)., имеющего начальное распределение температуры Тн у, г). В момент времени 1 = 0 параллелепипед из среды с одними теплофизическими характеристиками перемещается в направлении своего большего ребра С по произвольному закону 5 = 5(/) в среду с другими теплофизическими характеристиками.

Температурное поле движущегося параллелепипеда определяется в прямоугольной системе координат, неподвижно связанной с движущейся прямоугольной призмой и сводится к интегрированию дифференциального уравнения нестационарной теплопроводности

дТ(х,у,г,1) = ( д2Т(х,у,:,1) + д2Т(х,у,г,1) + д2Т(х,у,г,1)' а дх2 ' ду2 с;2

(0<х <А, 0<у<В, 0 <2<С, 2 = 5(0, />0) с начальным и граничными условиями: Т(х,у,2,6)=Тн(х,у,г)

дТ

<*1 — -а2Т дх

х=0"

дТ а,Ъс 4

х=А'

ду

дТ >

[йго (у.г А 2 <5(0, 0,2,0, г >5(0, ШаоСУ^О, г <5(0, '\0АС 0,2,0, 2 >5(0, (ву0(х,2,О, 2 <5(0 |б,с(*,2,/), 2 >5(0

Шно^^Л 2<5(0, \6«; (*.*>'). 2 >5(0,

ДТ* лт*

Т"-^!г=о=-&(*>.)•,О, ^ — + у4т\:=с=дс(х,у,0. 02 02

(60)

(61) (62)

(63)

(64)

(65)

(67)

С помощью единичной функции т](т), аргумент которой зависит от закона движения параллелепипеда, запишем подвижные разрывные граничные условия (62) — (65) аналитическими выражениями:

«1 -«2*1 х-0 = ЛвхС(У >2>0 - вхсо(у^Ы ~ Ж))] = ~вх СУ,2,0,

дх

дТ

«3 — + «4*1 х-Л = [блсО^.')- ЯлСчЬ^М О*

дх

дТ

--+8лт\у=н =[<2вс(х,2,1)-(2всо(- 9>(2))] = ев(*,г,0,

где

бдСО (у ^ / ) = б*: (у ^ / ) - 6*о(уЛ влсо (у.* .') - блс ~ О'.г,/),

- обратная функция для 2 = Последовательно обнуляя граничные условия и применяя конечное интегральное преобразование Фурье по координатам г, у и х краевую задачу (60)-(67), сводим к решению обыкновенного линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка относительно переменной I

5Т' &

= ~ассктпт: +е*(0> «Ьш =Ик2 +Рт2 +Уп2

с начальным условием

Т'(0) = ^Му^сЬ-т^М,-ТЛ6)Ц,

(68)

(69)

Последовательно выполняя обратное преобразование Фурье по координатам х, у и г, получим температурное поле движущегося параллелепипеда

Т (Л- ,У,2,1) = Та (х,у,0 + Ть (х,у,ф +

+ 2Х

Тс (х,0 + тл (х,0 у +£Лт {т, (0 + г8 (/)* +

(70)

т=1

Т *(0)+{£> *(тУаьтТс1т

К (г).

к=1

Определение термонапряженного состояния движущегося параллелепипеда основано на использовании вариационных уравнений принципа возможных изменений напряженного состояния тела, в котором основной искомой величиной является тензор напряжений. Согласно

вариационному принципу Кастильяно, из всех возможных напряженных состояний упругого тела, для которых выполнены уравнения равновесия сил и граничные условия в напряжениях, потенциальная энергия деформации принимает минимальное значение. Компоненты тензора напряжений получены в виде разложений в бесконечные ряды по косинусам-биномам с неопределенными коэффициентами, которые определяются с помощью вариационного принципа Кастильяно.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих

работах:

1. Лотарев В.Я. Распределение температурных напряжений в полом конечном цилиндре при теплообмене на границах //Прикладная математика. Тула:ТПИ.-1977.С. 138-142.

2. Лотарев В.Я. Распределение температуры в конечном сплошном движущемся цилиндре/ЯТрикладная математика. Тула: ТПИ.-1979.С.20-24.

3. Лотарев В.Я., Истомина Т.В. Исследование температурных полей в конечном сплошном движущемся цилиндре//Тезисы докладов сессии НТО им. A.C. Попова. Тула:ТПИ. -1977.С.90-91.

4. Лотарев В.Я., Антонова Л.Н. Определение температурного поля валка горячей прокатки на ЭВМ//Тезисы докладов сессии одиннадцатой научной сессии, посвященной 90-летию изобретения радио. Тула:ТПИ.-1985.С.85.

5. Лотарев В.Я. Определение температурного поля вращающегося диска//Тезисы докладов юбилейной научно-практической конференции «Прикладная математика - 99». Тула:ТулГУ.-1999.С.86-87.

6. Лотарев В.Я. Определение температурных напряжений в полом конечном движущемся цилиндре методом установления//Тезисы докладов юбилейной научно-практической конференции «Прикладная математика -99». Тула:ТулГУ.-1999.С.87-88.

7. Лотарев В.Я. Температурное поле конечного полого движущегося цилиндра при произвольных потоках на его границах//Тезисы докладов юбилейной научно-практической конференции «Прикладная математика -99». Тула:ТулГУ.-1999.С.88-89.

8. Лотарев В.Я. Температурное поле конечного вращающегося цилиндра//Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Тула:ТулГУ.-1999.С.111-118.

9. Лотарев В.Я. Температурные напряжения в конечном сплошном движущемся цилиндре//Дифференциапьные уравнения и прикладные задачи. Тула:ТулГУ.-1999.С.119-125.

10.Лотарев В.Я. Исследование температурного поля конечного сплошного движущегося цилиндра//Известия Тульского государственного университета. Тула:ТулГУ.-1999.Т.5.Вып.2.С.82-86.

11 .Лотарев В.Я. Температурное поле конечного полого движущегося цилиндра//Известия Тульского государственного университета. Тула:ТулГУ.-1999.Т.5.Вып.2.С.87-90.

12.Лотарев В.Я. Температурное поле движущегося параллелепипеда//Тезисы докладов Всероссийской научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики».Тула:ТулГУ.-2000.С.92-93.

ВЫВОДЫ

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Получено аналитическое решение задачи теплопроводности для конечных сплошного и полого движущихся цилиндров. На основе общего решения исследованы первая, вторая, третья и смешанные краевые задачи теплопроводности для конечных сплошного и полого движущихся цилиндров. Изучены температурные поля конечных сплошного и полого движущихся цилиндров при равномерном, равноускоренном и гармоническом законах движения.

2. Получены решения первой основной граничной задачи квазистатической термоупругости в рамках принципа Сен-Венана для конечных сплошных и полых движущихся цилиндров, проведены численные исследования термонапряженного состояния тел.

3. Найдено аналитическое решение задачи теплопроводности для конечного вращающегося цилиндра. Рассмотрены первая, вторая, третья и смешанные краевые задачи теплопроводности для конечного сплошного вращающегося цилиндра. Исследовано температурное поле конечного сплошного вращающегося цилиндра при двух законах движения: равномерного и равноускоренного.

4. Получено решение первой основной граничной задачи квазистатической термоупругости для конечного сплошного вращающегося цилиндра, изучено его напряженно -деформированное состояние.

5. Найдено аналитическое решение задачи теплопроводности для движущегося параллелепипеда. Из общего решения получены первая, вторая, третья и смешанные краевые задачи теплопроводности для движущегося параллелепипеда. Исследовано температурное поле движущихся параллелепипеда

при трех законах движения: равномерного, равноускоренного и гармонического.

6. Получено решение первой основной граничной задачи квазистатической термоупругости для движущегося параллелепипеда с помощью вариационного принципа Кастильяно, определено поле температурных напряжений в движущемся параллелепипеде.

7. Выявлено, что при поступательном движении тел при одном и том же времени погружения, наиболее существенные значения поле температур и напряжений возникают при гармоническом законе движения тела.

Подписано в печать 7СС{: Формат бумаги 60x84 1/16. Бумага типографская №2.

Офсетная печать. Усл. печ. л. ц. Усл. кр.-отт/у . Уч. изд. л./¿} Тираж экз. Заказ 2^2

Тульский государственный университет. 300600, г. Тула, пр. Ленина, 92. Редакционно-издательский центр Тульского государственного университета. 300600, г. Тула, ул. Болдина, 151.

ВВЕДЕНИЕ.

1. О ЗАДАЧАХ КВАЗИСТАТИЧЕСКОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ ТЕЛ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ

1.1. Обзор литературы по задачам квазистатической термоупругости для тел конечных размеров.

1.2. Основные уравнения квазистатической термоупругости.

2. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ И НАПРЯЖЕНИЯ В КОНЕЧНОМ

СПЛОШНОМ ДВИЖУЩЕМСЯ ЦИЛИНДРЕ.

2.1 Исследование температурного поля конечного сплошного движущегося цилиндра.

2.1.1. Первая краевая задача теплопроводности для конечного сплошного движущегося цилиндра.

2.1.2. Вторая краевая задача теплопроводности для конечного сплошного движущегося цилиндра.

2.1.3. Третья краевая задача теплопроводности для конечного сплошного движущегося цилиндра.

2.1.4. Смешанная краевая задача теплопроводности для конечного сплошного движущегося цилиндра.

2.1.5. Исследование температурного поля конечного сплошного движущегося цилиндра от законов его движения.

2.2. Определение температурных напряжений в конечном сплошном движущемся цилиндре.

3. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ И НАПРЯЖЕНИЯ В КОНЕЧНОМ

ПОЛОМ ДВИЖУЩЕМСЯ ЦИЛИНДРЕ.

3.1 Исследование температурного поля конечного полого движущегося цилиндра.

3.1.1. Первая краевая задача теплопроводности для конечного полого движущегося цилиндра.

3.1.2. Вторая краевая задача теплопроводности для конечного полого движущегося цилиндра.

3.1.3. Третья краевая задача теплопроводности для конечного полого движущегося цилиндра.

3.1.4. Смешанная краевая задача теплопроводности для конечного полого движущегося цилиндра.

3.1.5. Исследование температурного поля конечного полого движущегося цилиндра от законов его движения.

3.2. Определение температурных напряжений в конечном полом движущемся цилиндре.

4. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ И НАПРЯЖЕНИЯ В КОНЕЧНОМ

СПЛОШНОМ ВРАЩАЮЩЕМСЯ ЦИЛИНДРЕ.

4.1 Исследование температурного поля сплошном вращающемся движущегося цилиндра.

4.1.1. Первая краевая задача теплопроводности для конечного сплошном вращающегося цилиндра.

4.1.2. Вторая краевая задача теплопроводности для конечного сплошного вращающегося цилиндра.

4.1.3. Третья краевая задача теплопроводности для конечного сплошного вращающегося цилиндра.

4.1.4. Смешанная краевая задача теплопроводности для конечного сплошного вращающегося цилиндра.

4.1.5. Исследование температурного поля конечного сплошного вращающегося цилиндра от законов его движения.

4.2. Определение температурных напряжений в конечном сплошном вращающемся цилиндре.

5. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ И НАПРЯЖЕНИЯ В ДВИЖУЩЕМСЯ

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕ.

5.1 .Исследование температурного поля движущегося параллелепипеда.

5 .1.1. Первая краевая задача теплопроводности для движущегося параллелепипеда.

5.1.2. Вторая краевая задача теплопроводности для движущегося параллелепипеда.

5.1.3. Третья краевая задача теплопроводности для движущегося параллелепипеда.

5.1.4. Смешанная краевая задача теплопроводности для движущегося параллелепипеда.

5.1.5. Исследование температурного поля движущегося параллелепипеда от законов его движения.

5.2.Определение температурных напряжений в движущемся параллелепипеде.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТИМЫ. Проблема исследования температурных полей и температурных напряжении в телах конечных размеров постоянно привлекает внимание исследователей, гак как многие элементы машины и механизмов имеют их форму и работают в условиях неравномерного нагрева. Многие процессы обработки материалов сопровождаются тепловыделением в обрабатываемых деталях и возникновением в них температурных напряжений (например, шлифование, жидкая и горячая штамповка и т.д.). Новые методы обработки материалов требуют решения актуальных проблем определения термонапряженного состояния как обрабатываемых деталей, так и обрабатывающего инструмента.

Для решения многих прикладных задач актуальна проблема исследования температурного поля и температурных напряжений в телах конечных размеров, перемещающихся в направлении своей оси или большего ребра (для параллелепипеда) по произвольному закону из одной среды в другую с разными теплофизическими характеристиками. Условия теплового взаимодействия конечного тела с окружающими средами задаются в различной форме в зависимости от характера процесса теплопередачи. Кроме того, результаты решения задач квазистатической термоупругости для классических конечных движущихся тел служит отправным пунктом в последовательном изучении температурных полей и температурных напряжений в телах более сложной конфигурации.

Большинство работ в теории теплопроводности посвящено изучению и анализу температурного ноля и температурных напряжений в неподвижных телах конечных размеров. В некоторых работах изучается температурное поле в неограниченных телах при движущихся источниках тепла, в других работах исследуется температурное поле в телах с подвижными границами.

Вот почему к числу проблем, представляющий большой теоретический и практический интерес, относится проблема изучения температурного поля и температурных напряжений в движущихся или вращающихся вокруг своей оси телах конечных размеров. Этой проблеме посвящено достаточно мало работ.

В каждом конкретном случае анализ температурного поля деталей или конструкции представляет собой самостоятельную сложную задачу теории теплопроводности и механики сплошных сред. Исследование напряженно деформированного состояния упругих тел, вызванных неравномерным нагревом, принадлежит к одной из практически важных и актуальных проблем механики твердого деформированного тела. Объясняется это, главным образом, тем, что в ряде случаев уровень температурных напряжений имеет решающее значение при оценке работоспособности ответственных элементов конструкции. Тепловые напряжения могут вызывать появление трещин в элементах из хрупких материалов. Особенно опасными могут оказаться резко нестационарные тепловые воздействия типа теплового удара.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью работы является аналитическое определение температурных полей и напряжений в телах конечных размеров, движущихся по произвольному закону в направлении своих осей или больших ребер (для параллелепипеда) из одной среды в другую с разными температурными характеристиками. Условия теплового взаимодействия тела конечных размеров с окружающими средами заданы в различной форме в зависимости от характера процесса теплопередачи.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертационной работе получены следующие новые результаты и выводы:

1) решены первая, вторая, третья и смешанная краевая задачи теплопроводности для конечного сплошного движущегося цилиндра;

2) решены первая, вторая, третья и смешанная краевая задачи теплопроводности для конечного полого движущегося цилиндра;

3) исследовано температурное поле вращающегося сплошного конечного цилиндра и получены решения первой, второй, третьей и смешанной краевых задач теплопроводности для него;

4) исследовано температурное поле движущегося параллелепипеда и получены решения первой, второй, третьей и смешанной краевых задач теплопроводности для параллелепипеда;

5) получено решение первой основной граничной задачи квазистатической термоупругости в рамках принципа Сен-Венана для конечных движущихся тел (полого и сплошного, цилиндров);

6) получено решение первой основной граничной задачи квазистатической термоупругости для вращающегося вокруг своей оси конечного сплошного цилиндра;

7) получено решение первой основной граничной задачи квазистатической термоупругости для движущегося параллелепипеда с помощью вариационной теоремы Кастильяно.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Задачи, рассмотренные в диссертационной работе, являются по своей постановке новыми и впервые решены автором. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Результаты, полученные в диссертации, представляют собой вклад в решение задач нестационарной теплопроводности и квазистатической термоупругости. Пакеты прикладных программ могут быть использованы для получения численных результатов, необходимых при проектировании деталей в кузнечно-прессовом производстве, деталей металлургического оборудования, при обработке материалов концентрированными потоками энергии, шлифовании, наплавке, механическом упрочнении обкаткой и др.

Диссертационная работа связана с планом основных научных работ Тульского государственного университета. Работа выполнялась в рамках хоздоговорной работы, № 76-587 и госбюджетной работы "Некоторые вопросы 6 прикладной математики и механики" (№ гос. per. 01910046438) кафедры "Прикладная математика и информатика". Ряд полученных в диссертации теоретических результатов использован для построения математических моделей и создания соответствующего программного обеспечения, которые внедрены в ОАО АК "Туламашзавод".

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертационной работы докладывались на научных семинарах кафедры "Прикладная математика и информатика", на 16-35 научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ (Тула, 1976-1996г.); на юбилейной научно-практической конференции "Прикладная математика-99" (Тула, 1999г.); на Всероссийской научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики " (Тула, 2000г.).

ДОСТОВЕРНОСТЬ. Достоверность полученных решений вытекает из корректной постановки задач и обоснованности применяемых математических методов, обеспечивается проведением расчетов на ЭВМ с контролируемой точностью и подтверждается совпадением результатов, полученных по разработанным алгоритмам, с известными решениями в частных случаях. ПУБЛИКАЦИИ. По результатам проведенных исследований опубликовано 12 работ.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертационная работа состоится из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, включающего 79 наименований, содержит 133 стр. машинописного текста, в том числе 1 1 рисунков, приложения на 1 страницу.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Получено аналитическое решение . задачи теплопроводности для конечных сплошного и полого движущихся цилиндров. На основе общего решения исследованы первая, вторая, третья и смешанные краевые задачи теплопроводности для конечных сплошного и полого движущихся цилиндров. Изучены температурные поля конечных сплошного и полого движущихся цилиндров при равномерном, равноускоренном и гармоническом законах движения.

2. Получены решения первой основной граничной задачи квазистатической термоупругости в рамках принципа Сен-Венана для конечных сплошных и полых движущихся цилиндров, проведены численные исследования термонапряженного состояния тел.

3. Найдено аналитическое решение задачи теплопроводности для конечного вращающегося цилиндра. Рассмотрены первая, вторая, третья и смешанные краевые задачи теплопроводности для конечного сплошного вращающегося цилиндра. Исследовано температурное поле конечного сплошного вращающегося цилиндра при двух законах движения: равномерного и равноускоренного.

4. Получено решение первой основной граничной задачи квазистатической термоупругости для конечного сплошного вращающегося цилиндра, изучено его напряженно -деформированное состояние.

5. Найдено аналитическое решение задачи теплопроводности для движущегося параллелепипеда. Из общего решения получены первая, вторая, третья и смешанные краевые задачи теплопроводности для движущегося параллелепипеда. Исследовано температурное поле движущихся параллелепипеда при трех законах движения: равномерного, равноускоренного и гармонического.

6. Получено решение первой основной граничной задачи квазистатической термоупругости для движущегося параллелепипеда с помощью вариационного принципа Кастильяно, определено поле температурных напряжений в движущемся параллелепипеде.

7. Выявлено, что при поступательном движении тел при одном и том же времени погружения, наиболее существенные значения поле температур и напряжений движения тела.

128 возникают при гармоническом законе

1. Лотарев В.Я. Распределение температурных напряжений в полом конечном цилиндре при теплообмене на границах //Прикладная математика. Тула:ТПИ -1977.С.138-142.

2. Лотарев В.Я. Распределение температуры в конечном сплошном движущемся цилиндре//Прикладная математика. Тула: ТПИ.-1 979.С.20-24.

3. Лотарев В.Я., Истомина Т.В. Исследование температурных полей в конечном сплошном движущемся цилиндре//Тезисы докладов сессии НТО им. A.C. Попова. Тула.ТПИ. -1977.С.90-91.

4. Лотарев В.Я., Антонова Л.Н. Определение температурного поля валка горячей прокатки на ЭВМ//Тезисы докладов сессии одиннадцатой научной сессии, посвященной 90-летию изобретения радио. Тула:ТПИ.-1985.С.85.

5. Лотарев В.Я. Определение температурного поля вращающегося диска//Тезисы докладов юбилейной научно-практической конференции «Прикладная математика 99». Тула:ТулГУ.-1999.С.86-87.

6. Лотарев В.Я. Определение температурных напряжений в полом конечном движущемся цилиндре методом установления//Тезисы докладов юбилейной научно-практической конференции «Прикладная математика 99». Тула:ТулГУ.-1999.С.87-88. '

7. Лотарев В.Я. Температурное поле конечного полого движущегося цилиндра при произвольных потоках на его границах//Тезисы докладов юбилейной научно-практической конференции «Прикладная математика 99». Тула:ТулГУ.-1999.С.88-89.

8. Лотарев В.Я. Температурное поле конечного вращающегося цилиндра//Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Тула:ТулГУ,-1999.С.11 1-118.

9. Лотарев В.Я. Температурные напряжения в конечном сплошном движущемся цилиндре//Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Тула:ТулГУ,-1999.С.119-125.

10. Лотарев В.Я. Исследование температурного поля конечного сплошного движущегося цилиндра//Известия Тульского государственного университета. Тула:ТулГУ.-1999.Т.5.Вып.2.С.82-86.

11. Лотарев В.Я. Температурное поле конечного полого движущегося цилиндра//Известия Тульского государственного университета. Тула:ТулГУ,-1999.Т. 5.Вып.2.С. 87-90.

12. Лотарев В.Я. Температурное поле движущегося параллелепипеда//Тезисы докладов Всероссийской научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики».Тула:ТулГУ.-2000.С.92-93.

13. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.:Наука.-1964. С. 437.

14. Лыков A.B. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа. 1967. С. 349.

15. З.Мелан Э., Паркус Г. Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями. М.: Физматгиз. 1958. С. 465.

16. Мотовиловец H.A. Теплопроводность пластин и тел вращения. Киев: Наук, думка. 1966. С. 476.

17. Новацкий В. Вопросы термоупругости. М. Изд. АН СССР. 1962. С. 265.

18. Паркус Г. Неустановившиеся температурные напряжения. М.: Физматгиз. -1963. С.597.

19. Коздоба Л.А. Решение нелинейных задач теплопроводности. Киев: Наук, думка. 1976. С. 397.

20. Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. Обобщенная термомеханика. Киев: Наук, думка. 1976. С. 395.

21. Коваленко А.Д, Основы термоупругости. Киев: Наук, думка. 1970. С. 432.

22. Рыжиков И.С., Тер-Акопянц Г.С. Приближенный метод расчета неустановившегося температурного поля и напряжений в дисковых роторах паровых турбин.// Тепловые напряжения в элементах конструкций. Вып.5. С. 45-47.

23. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. М.: Физматгиз. 1962. С. 568.

24. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. М.: Изд. АН СССР. 1948. С.385.

25. Трентер К. Дж. Интегральные преобразования в математической физике. М.: Гостехиздат. 1959. С. 263.

26. Гринченко В.Т., Карнаухов В.Г., Сенченков И.К. Расчет максимальных напряжений в коротком цилиндре при осевом сжатии. Проблемы прочности.// Прикладная математика и механика. 1975. №12.

27. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1966. С. 635.

28. Мотовиловец И.А., Шевченко С.И. Термонапряженное состояние цилиндра конечной длины при смешанных граничных условиях нагрева.// Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1971. С. 34-37.

29. Ляв А. Математическая теория упругости. М.-Л.:Объед. научн.-техн. изд. НКТП СССР. 1935. С.234.

30. Тимошенко С.Н. Курс теории упругости. Киев: Наук, думка. 1972. С. 524.

31. Лурье А.И. Пространственные задачи термоупругости. М.: Гостехиздат. -1955. С.283.

32. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задач теории упругости. Л.: Наука. -1967. С. 413.

33. Гринченко В.Т. Термонапряженное состояние толстостенного цилиндра конечной длины.// Тепловые напряжения в элементах конструкций. -1962. Вып.2.

34. Гринченко В.Т. Равновесие и установившиеся колебания упругих тел конечных размеров. Киев: Нак. думка. 1978. С. 253.

35. Купрадзе В.Д., Гегелия Т.Т., Бешелейшвили М.О., Бургуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости. Тбилиси. 1968 С 415.

36. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука. 1970. С. 394.

37. Стеклов В.А. О равновесии упругих тел вращения.// Сообщение Харьковского мат. общества. Сер. 2. 1982. 3. №5. с. 34-37.

38. Папкович П.Ф. Об одной форме решения плоской задачи теории упругости для прямоугольной полосы.//Доклад АН СССР. 1940. 27. №4. С. 12-15.

39. Прокопов В.К. Осесимметричная задача теории упругости для изотропного цилиндра.// Труды Ленингр. политехи, инст. 1950. №2. С. 56-58.

40. Прокопов В.К. Равновесие упругого толстостенного осесимметричного цилиндра.// Прикладная математика и механика. 1949. №12. Вып. 2. С. 14-17.

41. Прокопов В.К. Однородные решения теории упругости и их приложение к теории тонких пластинок.// Труды 2 всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. Механика твердого тела. М. 1966. С. 145-160.

42. Рвачев В. Л., Учишвили Л.А. Об одном методе решения задачи изгиба пластинки, защемленной по контуру.// Прикладная механика. 19-8. Вып. 4. С. 45-49.

43. Рвачев В.Л., Слесаренко А:П., Сезова Н.Д. Алгоритм решения смешанной граничной задачи теории потенциала для прямой призмы.// Численные методы МСС. 1976. 7. №5. с. 56-60.

44. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости. М.-Л.: Гостехиздат. 1947. С. 455.

45. Филоненко-Бородич М М. Задача о равновесии упругого параллелепипеда при заданных нагрузках на его гранях.// ПММ.-1951. Т. 15. Вып. 2. С. 35-48.

46. Филоненко-Бородич М.М. Некоторое обобщение задачи Ламе для упругого параллелепипеда.// ПММ. 1953. Т. 17. Вып. 4. С. 47-56.

47. Сучеван В.Г. Термоупругие напряжения упругого параллелепипеда.// Прикладная математика и программирование. Кишинев. 1972. С. 156.

48. Даниловская В.И. Приложение вариационного начала Кастильяно к плоской задачи термоупругости.// Прикладная механика. 1968. 4. №12. С. 34-38.

49. Даниловская В.И., Френкина И.П. Об одном методе решения задачи термоупругости и построения алгоритма счета.// Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1966. Вып. 6. С. 57-68.

50. Абрамян Б.Л. К задаче осесимметричной деформации круглого цилиндра.// ДАН Арм. ССР. 1954. 19. №1. С. 56-58.

51. Алексеев С.А. Труды ВВИА. Сб. 273. М.: 1948. С. 45-47.

52. Бабешко М.Е., Стрюк В.К. К расчету упруго-пластического напряженного состояния короткого сплошного цилиндра при неравномерном нагреве.// Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1974. Вып. 14. С. 79-81.

53. Байда Э.Н. Общие решения задачи упругого деформированного состояния сплошного и полого цилиндра.// Н. Доклады высшей школы. 1959. №2. С. 24-27.

54. Блох В.И. Функции напряжений в теории упругости.// ПММ. Т. 14. Вып. 4. -1950. С. 67-69.

55. Бидерман B.JT. Расчет симметрично нагруженных цилиндрических деталей.// В кн.: Основы современных методов расчета на прочность в машиностроении. М.: 1968. Т. 2. С. 267-283.

56. Бобырь И.С., Емельянова Н.Ф., Ильиченко Л.И., Корниенко В.Т. Изучение осесимметричного термонапряженного состояния тел вращения.// Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1969. Вып. 8. С. 56-59.

57. Бухаринов E.H. Исследование по задаче П.Ф. Папковича в случае осесимметричной деформации цилиндра.// В кн.: Проблемы механики деформированного твердого тела. Л.: 1970. С. 36-41.

58. Валов Е.М. Об осесимметричной деформации сплошного кругового цилиндра конечной длины.// ПММ. 1962. Вып. 4. С. 26-29.

59. Валов Е.М. Первая основная граничная задача теории упругости для прямоугольного параллелепипеда/./ ПММ. 1966. 30. Вып. 6. С. 57-61.

60. Еринченко В.Т. Стационарные тепловые напряжения в сплошном цилиндре конечной длины.//Тепловые напряжения- в элементах турбо машин. 1962. Вып. 2. С. 43-48.

61. Коляно Ю.М., Стоцкий Ф.И. Тепловые напряжения в бесконечном цилиндре, нагреваемом поверхностным или линейным источником тепла.// ФХОМ. -1975. Вып. 3. С. 92-94.

62. Коляно Ю.М., Хомякевич Е.П. Решение динамической задачи термоупругости для прямоугольной пластинки с учетом конечной скорости распространения тепла.// Лесное хозяйство, лесная, бумажная и деревообрабатывающая промышленность. 1973. Вып. 2. С. 56-59.

63. Лурье А.И. О теории толстых плит.// ПММ. 1942. 6. Вып. 2-3. С. 23-27.

64. Мерзляков В. П. Осесимметричная задача термоупругости для полого цилиндра конечной длины.//ИФЖ. 1967. .Т. 12. №5. С. 38-42.133

65. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука. 1967. С. 277.

66. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.: Мир. 1970. С. 300.

67. Новикова М.А. Напряженное состояние призматического тела при нестационарном тепловом возбуждении.// ПММ. 1977. Т. 21. №9. С. 34-37.70.0гибалов П.М., Грибанов В.Ф. Термоустойчивость пластин и оболочек. Изд. МГУ. 1968. С. 67.

68. Подильчук Ю.Н. Приближенный метод решения краевых задач теории упругости для фигур, близких к эллипсоиду вращения.//ПММ. 1970. Вып. 9. С. 36-39.

69. Савченко В.И., Шокотко С.Г., Макаренкова Л.Г. Исследование методом фотоупругости распределения в неравномерно нагретых неосесимметричных цилиндрах.//ПММ. 1975. 2. Вып. 4. С. 78-79.

70. Седов Л.И. Механика сплошных сред. М.: Наука. 1970. Т. 1-2. С. 590.

71. Сен-Венан. Мемуар о кручении призм. М.: Физматгиз. 1961. С. 347.

72. Филоненко-Бородич М.М. Об одной системе функций и её приложениях в теории упругости.//ПММ. 1946. 10. Вып. 1. С. 34-38.

73. Феннель А., Феппель Л. Сила и деформация. М.: ГТНИ. 1933. Т. 1. С. 241.

74. Ханьжова Г. Д. Распределение температуры в конечном некруговом цилиндре.//Механика деформируемых сред. 1976. Вып. 4. С. 56-59.

75. Шевченко Ю.Н., Пискун В.В., Савченко В.Г. Решение осесимметричной пространственной задачи термопластичности на ЭЦВМ типа М-220. Киев: Наук, думка. 1975. С. 345.

76. Практическое использование разработанных моделей и программной продукции позволяет определять термонапряженное состояние элементов машин и механизмов.

77. Представители ОАО АК «Туламашзавод»:

78. Начадйшк управления САПР "" .^В. И. Чу пае е1. О ■ ¿&0О-Г.1. Представители ТулГУ:

79. Научный руководитель г/б НИР № 25-95, д.ф.-м>.н., профессор,

80. Иванов Разработчик НИР В.Я. Лотарев