автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Нестационарные температурные поля и напряжения в конечных неоднородных телах

На правах рукописи

Кузнецова Юлия Андреевна

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ И НАПРЯЖЕНИЯ В КОНЕЧНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛАХ

Специальность

05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тула - 2006

003067194

Диссертация выполнена на кафедре «Прикладная математика и информатика» в ГОУ ВПО «Тульский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Толоконников Лев Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Маркин Алексей Александрович

доктор технических наук, старший научный сотрудник Федоров Александр Яковлевич

Ведущая организация: ФГУП «ГНПП «Сплав»

Защита состоится «23» января 2007 г. в _ часов на

заседании диссертационного совета Д 212.271.05 при ГОУ ВПО «Тульский государственный университет» (300600, г. Тула, ГСП, проспект Ленина, д.92, учебный корпус № 9, ауд. № 101)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Автореферат разослан « <Р » <3£НС(орЯ 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета , , . V. В.М.Панарин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В настоящее время вопросы исследования влияния внешних нестационарных температурных полей на температурные поля и температурные напряжения в телах конечных размеров имеют большое значение и привлекают внимание специалистов из различных областей. Подобные вопросы рассматриваются при изучении многих технологических процессов, сопровождаемых нагревом или использующих нагрев, таких как сварка, закалка, Шлифование, жидкая и" горячая штамповка и др. Вопросы напряженного состояния элементов различных технических конструкций и аппаратов, вызываемого неравномерным нагревом, имеют большое значение для анализа прочности и правильного функционирования конструкций.

В современных конструкциях при расчетах материал обычно принимается изотропным и однородным. Исследованию процессов, происходящих в однородных термоупругих телах, посвящено большое количество работ (В. Новацкий, Б. Боли, Дж. Уэйнер, А.Д. Коваленко и др.). Однако с развитием науки возникают и интенсивно внедряются в различные отрасли техники новые конструкционные материалы, являющиеся неоднородными. Физико-механические свойства таких материалов описываются непрерывными функциями пространственных координат. При расчетах и проектировании конструкций необходимо учитывать такую неоднородность материалов, поскольку она приводит к существенному изменению напряженно-деформированного состояния тел.

Большой интерес представляют задачи термоупругости для слоистых тел, в которых внутри каждого слоя физико-механические характеристики материала постоянны. Решение" подобных задач зачастую сопряжено с большими трудностями в удовлетворении условий сопряжения для большого количества слоев. Физико-механические характеристики многослойных тел могут быть аппроксимированы с помощью непрерывных функций. Таким

образом, имеется возможность перейти от задач для тел кусочно-однородной структуры к задачам для непрерывно неоднородных тел.

Решение многих практически важных задач для неоднородных тел вызывает большие трудности. Круг работ, посвященных задачам термоупругости для неоднородных тел, достаточно узок. Причем в этих работах температурные напряжения определяются либо при воздействии стационарных температурных полей, либо в неограниченных телах (бесконечно длинных цилиндрах, стержнях, неограниченных пластинах). Поэтому проблема изучения нестационарных температурных полей и температурных напряжений в неоднородных телах конечных размеров является актуальной.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Цель работы заключается в исследовании влияния неоднородности материала на температурные поля и напряжения в цилиндрических неоднородных телах конечных размеров, возникающие под воздействием внешних нестационарных температурных полей.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертационной работе получены следующие новые результаты:

Получены аналитические решения первой, второй и третьей краевых задач теплопроводности для сплошного и полого конечных цилиндров, движущихся в направлении своей оси из одной среды в другую с разными теплофизическими характеристиками, для степенного и экспоненциального законов изменения теплофизических характеристик материала радиально-неоднородных цилиндров.

В общем случае задания зависимостей теплофизических характеристик материала цилиндров от радиальной координаты получены численные решения краевых задач теплопроводности.

Получены решения первой, второй и третьей краевых задач теплопроводности для конечного сплошного вращающегося вокруг своей оси неоднородного цилиндра с теплофизическими характеристиками, непрерывно меняющимися по радиусу цилиндра. .,>■■,,!

Исследовано; влияние неоднородности материала цилиндров на температурные поля в цилиндрах.

.....Исследованы поля, деформаций и напряжений конечных сплошного и

полого неоднородных цилиндров, возникающие вследствие влияния нестационарных температурных полей, в, рамках квазистатической теории термоупругости.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Результаты, полученные в диссертационной работе, представляют собой вклад в развитие теории нестационарной теплопроводности и квазистатической термоупругости неоднородных тел и могут быть использованы при решении прикладных задач термоупругости.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты, полученные в диссертационной работе, докладывались . на Международных научных конференциях «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 2004, 2005 гг.); на научных семинарах кафедры «Прикладная математика и информатика».

ДОСТОВЕРНОСТЬ. Достоверность полученных результатов вытекает из корректной постановки задач и обоснованности применяемых математических методов, обеспечивается проведением расчетов на ЭВМ с контролируемой точностью и подтверждается совпадением решений, полученных в данной работе, с известными решениями в частных случаях.

ПУБЛИКАЦИИ. По полученным в работе результатам и исследованиям опубликовано 6 работ.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 127 наименований, содержит 175 стр. машинописного текста, в том числе 25 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность работа, ее теоретическая и практическая значимость, формулируется цель исследования, рассматриваются основные этапы исследования.

Первая глава состоит из двух разделов. В первом разделе приводится математическая модель квазистатической теории термоупругости неоднородных тел конечных размеров. При ; постановке несвязанной квазистатическон задачи термоупругости не учитываются инерционные члены в уравнениях движения и связывающий член в уравнении теплопроводности, то есть пренебрегаем динамическими эффектами, обусловленными нестационарным нагревом, и тепловыми потоками, образующимися вследствие деформации.

Первым этапом решения квазистатической задачи несвязанной термоупругости является определение соответствующего нестационарного температурного поля. Эта задача заключается в решении уравнения нестационарной теплопроводности для неоднородного изотропного тела, которое в декартовой системе координат имеет вид:

при определенных начальном и граничных условиях. Здесь Т - температура тела, к, и С - коэффициент теплопроводности и объемная теплоемкость соответственно, являющиеся непрерывными функциями пространственных координат.

Вторым этапом решения является расчет напряженно-деформированного состояния при известном температурном поле.

Компоненты и, вектора перемещения находятся из системы дифференциальных уравнений в частных производных:

ц«, .. + (X + + + и„) + \г<,- [(За + 2ц)а,.(Г - Т„)], = О

с заданными начальными и граничными условиями, где ат - коэффициент линейного теплового расширения неоднородного материала, X и ц -коэффициенты Ламе, Ти - начальная температура тела. Здесь запятая на уровне индексов означает дифференцирование по координате, отделенной запятой, а повторение индексов - суммирование по этим индексам.

Тогда компоненты тензора деформаций находятся по формулам:

е. = '-(г/ - г/ ),

* 2 м

а компоненты' тензора напряжений определяются из соотношений Дюгамеля-Неймана:

сг„ = . + + + с,~ 2{Т ~ Т„) 8и,

где 8ц - символ Кронекера.

Второй раздел посвящен обзору литературы по проблеме исследования задач термоупругости. В нем классифицированы основные направления исследований по теории термоупругости неоднородных тел.

Во второй главе рассматривается задача термоупругости для конечного сплошного движущегося цилиндра длины I радиуса Л, имеющего начальное распределение температуры Т„(г,<р, г) и движущегося в направлении своей оси по произвольному закону Б(1) из одной среды в другую с разными теплофизическими характеристиками, причем физико-механические характеристики материала цилиндра являются непрерывными функциями радиальной координаты.

Задача решается в цилиндрической системе координат, неподвижно связанной с цилиндром.

Первый этап решения задачи заключается в определении температурного поля в цилиндре. Рассматриваются различные виды условий теплового взаимодействия цилиндра с .внешней средой: 1) задается поверхностное распределение температуры (первая краевая задача), 2) задаются плотности теплового потока для всех точек поверхности цилиндра (вторая краевая задача),

3) для описании процесса теплообмена используется закон Ньютона-Рихмана (третья краевая задача).

Приведем решение третьей краевой задачи нахождения температурного поля движущегося конечного сплошного цилиндра, теплофизические характеристики которого зависят от координаты г. Задача заключается в решении уравнения нестационарной теплопроводности:

д'т

дгг '

г "к, дг

К агг = с ет

дг + г1 д<рг + dz1 ~ dt ' ( '

(О < г < R, 0<<р< 2л, О <:<L, t > О ), при начальном и граничных условиях:

T(r,<p,z,0) = T„(r,p,z), (2)

, dT{R,<p,zj\ + ^ ^ = ^ (3)

дг

T{0,<p,z,t)«x>, (4)

+ ß2T(r,<p,0,t) = ß.Uncpj), ■ (5)

dz

ß\~ '[rf'Lj) + ß<T(r,tp,L,t) = ßJL{r,q>,t), (6)

dz

a;2 + a\ >о, ßi1 + ß22>o, a;2 +ßi>o,

T(r,<p,z,t) = T(r,<p + 2a,z,i). (7)

Если цилиндр движется по закону S(l) из среды с температурой Tt (г, <p,:,t) в среду с температурой Тг (г, (р,z, 1), то

\T£R,q>,z,t\ z > S(t),

TJm,z,t) = \

Используя единичную ступенчатую функцию H(t), получим:

где ф(г) - обратная функция для S(t). Используя соотношения

г z V о Д а Д' а, л Т(Р,<Р,™>*)

R L С,Я1 R, L L Т

запишем краевую задачу (1)-(7) в безразмерном виде. Здесь Х0 и С(, -характерные коэффициент теплопроводности и объемная теплоемкость, -характерная температура внешней среды.

Для аналитического определения температурного поля цилиндра применяется метод конечных интегральных преобразований.

По переменной <р применяем конечное интегральное преобразование Фурье в интервале [0,2л-]:

Ту (р, щт) = ]в(р,<р, и', т)Ф(у, <р)йср,

(8)

Полагая

1

-соз ш (р.

7Г£т 1 .

— вт т<р я

при

V = 2т,

е. =

при

v -2т +1,

при при

т = О, 0.

ТЛР,Т) = Т„{р,т) =

А(А+А)-АА

РА(Г,Лр,т)-Т0г(р,т»

/?2(А + А)~АА '

граничные условия на торцах цилиндра приводим к однородному виду.

По координате и- применяем конечное интегральное преобразование Фурье:

— 1 В

Т{р,т)= }Г(/?,и>,;г)А:Дп')^и', = (9)

-' . о ■ ' " ' А

где собственные числа у, являются корнями трансцендентного уравнения

/ДАА-АА)

Чг,

(/ = 1,2,3,...).

РАу) + А А

Граничные условия на боковой поверхности цилиндра приводим к однородному виду по формуле:

Т(р,т) = Т{р,г) + ТГ1(т).

Получим следующую краевую задачу:

дгТ ( 11 дкЛдТ

др1 (^р X, др др

(0<р<1, г > 0),

+ —н

Т(р,0) = Т„(р),

яги г)

а, —+ а2Г(1,г) = 0, Т(0,т) < со.

др

(12)

(П)

Решить аналитически уравнение (10) с переменными коэффициентами в общем случае не представляется возможным. Для некоторых видов зависимостей теплофизических характеристик от радиальной координаты удалось свести решение краевой задачи (10)-(11) к решению обыкновенного дифференциального уравнения.

При Х1(р) = ^0р", С(р) = Сар" уравнение (10) принимает вид:

Выполнив подстановку 7\р,г)=р 2Т\р,т), и применяя по переменной р конечное интегральное преобразование Ханкеля

приходим к решению обыкновенного линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка:

(13)

Т\т)=\Т\р,т)рУшк(р)<1р

(14)

с ядром

КАР)--' ,, . (А,

дТ°

~ = ......кта + <2\

(15)

с начальным условием

Г(0)= \Г„Хр)р\\т1{р)йр,

(16)

о

Здесь Вшл = J - функция Бесселя первого рода, Д,„,(. являются

Ь/

корнями трансцендентного уравнения

^... ик..,л

---«У . (А„.) = 0-

др

Решение задачи (15)-С16) имеет вид:

Г (г) = е""-' |г (0) + )ев-бч(и)Л/1. (17)

Последовательно выполняя обратные преобразования, получим выражение для безразмерного температурного поля конечного сплошного неоднородного цилиндра, движущегося по произвольному закону из одной среды в другую:

в{р,(р, 1Г,Г) =

=s

f

- 1 _ " - 1 Л T,(pw) + I- ТЛ?)+Р2Ъ-V' (т)Г.д/>) \K,(w)

(18)

Здесь s, - нормирующий коэффициент интегрального преобразования Фурье (9), стк - нормирующий коэффициент интегрального преобразования Ханкеля (14).

В случае первой и второй краевых задач решение проводится аналогично.

При к, (р) = к0еь', C(p) = C0efe, в предположении, что параметр 6 является малой величиной, решение краевой задачи (10)-(12) ищется методом возмущений.

Т(р,т) = Та{р,т) + Ь71{р,т) + Ь2Т,(р,т) +..., где функции Т0(р,т),Т1(р,т),Т2(р,т),... подлежат определению.

Подставляя это разложение в уравнение (10) и краевые условия (11)-(12) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях b в левой и правой частях уравнений, получим, что каждая функция Т(р,г) (/ = 0,1,2,...) находится как решение следующей краевой задачи:

др2 р др

(0<р<1, г >0),

Т\р.())-Л'::{г} пр1! ' = й(р,т) = [ 0 при />1,

Я(р,т) при / = 0,

ВТ.,

—^ при / > 1,

. др

а,97'^ + а2Т1(\,т) = 0, Г.(0,г)<оо. др

Все эти задачи эквиваленты задаче (11)-(13) при /г = 0, решение которой находится с помощью преобразования Ханкеля (14). Таким образом, получаем <?(р,<р,и\г) =

ТЛР, И', О + I ВД + Е— (т) + ЬГ(г) + ...К. (р) К (IV)

ф».

При Х.Др)= \>(Р + ¿0" > = С0(р + 6)", в предположении, что параметр Ъ является малой величиной, решение краевой задачи (10)-(12) также ищется в виде разложения по степеням Ъ:

Т(р,т) = Т0(р,г) + ЬТ1(р,г) + ЬХ(р,т) + ... Функции Т(р,т) находятся как решения следующих краевых задач:

5% | п + \дТ др2 р др \р

.л:

дт

(0<р<1, г>0), Т„{р) при 1 = 0, 57X1, г)

0 при (> 1,

5Р

f а2Г0,г) = 0, Г.(0,г)<со.

д% 1 ВТ„

<2{р, г) при 1 = О,

тг

5р" р ор \р ь ) от

| 1 ЭГ., 5р2 р Эр

Л,2

I:

дт

при I = 1, при > 2,

Все эти задачи эквиваленты краевой задаче (11)-(13), решение которой было найдено выше. Таким образом, получаем

= 1

т (p,w,r)+X—I т„ (г)+W+ът? «+••-Г- (р) |*»

s, I 1.1 с.

Ф,(Ч>\

На основе полученных решений были проведены численные расчеты для однородных и неоднородных сплошных цилиндров при различных законах их движения для разных видов материала и типов неоднородности. Выявлено, что неоднородность материала цилиндра в ряде случаев оказывает существенное влияние на изменение температуры в цилиндре.

В общем случае задания коэффициентов переноса как функций радиальной координаты осесимметричная краевая задача теплопроводности решается численно, с помощью метода переменных направлений (продольно-поперечная схема).

Второй этап решения рассматриваемой задачи заключается в определении температурных напряжений в конечном сплошном цилиндре, возникающих под воздействием нестационарного осесимметричного температурного поля.

Уравнения равновесия в цилиндрической системе координат, неподвижно связанной с цилиндром, для осесимметричного цилиндра в случае отсутствия объемных сил записываются следующим образом:

дг + cz + г (]9)

дтп | der, | гд _ дг dz г

Соотношения между деформациями и перемещениями имеют вид:

ди и dw Н du диЛ

£ =—, е -—, Е =—, £ =— — + — , (20)

" дг " г " dz 2[dz дг)

где и - перемещение в радиальном направлении, w - перемещение по оси г.

Соотношения между напряжениями и деформациями выражаются следующими формулами:

„ ди гди и Зи>. . . ,„ _ .

ег, = 2ц — + Х(— + - + —)- (ЗХ + 2ц)аг(Г - Т„), дг дг г oz

- и ..ди и chv av = 2ц - + Х(— + - + —)- (ЗХ + 2ц)ат (Т - Т„),

г ог г oz

„ д\г „ ,8и и Эи\ „ . „ „

ст, = 2ц — + Х(— + - + —) - (ЗХ + 2ц)а,. (Т -Т„), & дг г dz

(ди ЗиЛ г„ = ш — + — \dz дг _

Коэффициенты Ламе X и ц полагаются известными функциями

радиальной координаты г.

Подставляя (21) в уравнения (19), получим систему дифференциальных

уравнений относительно составляющих вектора перемещения и и w:

Л 30 и\ _2цЭн ЗцГом ЗиЛ 3(XS) 3 _

V. сг rv Зг ог dzydz дг) дг дг

(. д&} дцдн> дц(ди ЗиЛ 3(Х>9) д ....

V dz J dz cz дг \dz дг J dz dz

n ди и . дг 13 д2

Здесь& = — + - + ■—, А = —- +---+ —г.

дг г oz дг г дг dz'

Начальные условия имеют вид:

и(г,-,0) = и.(г,-), M{r,:,0) = w„(r,:). (23)

В случае, если в начальный момент температура в цилиндре постоянна, то

"„0%~) = = 0.

Поскольку цилиндр свободно деформируется и его поверхность свободна

от внешней нагрузки, граничные условия в напряжениях будут иметь вид:

==<r.(r,z,t)\^==o-

Так как уравнения равновесия записаны в перемещениях, то и граничные условия (24) следует переписать в перемещениях:

„ он . .ди и 6iv. 2ц— + Х(— + - + —)

дг дг г dz

(ди Эп<

И — + 1Г \oz ог

= (ЗХ + 2ц)аг (Г - 7'„ )|i=/¡, = (ЗХ + 2ц)аг (Т-Тп ,

„ dw , ■ nt и nr + - + —)

oz or r 6z

\ v / 1. : -1 ;

„ dw . ,8it и Эи\ 2ц—+*(-- + -+—)

r^v 1■ dz

dz cir r

f du dw „ — + —

.4 3z 8r (du dw

= (3>„ + 2^\)ciT{T - T„ )];=o, = (Зл + 2(л)аг {T - Тп )| , (ЗХ. + 2|д)а;. (7' - Т„ )|2 (), {3\+2v)ar(T-Tj,.

в частных

Полученная система дифференциальных уравнений производных с переменными коэффициентами решается численно, с помощью конечно-разностного метода.

Таким образом, компоненты вектора перемещения находятся из системы дифференциальных уравнений в частных производных (22) при начальных условиях (23) и граничных условиях (25). Определив поле деформаций, можно определить поле напряжений: компоненты тензора напряжений а находятся

по формуле (21). Из (20) находятся компоненты тензора деформаций £ч. Таким образом, получаем решение задачи о термоупругом напряженном состоянии сплошного цилиндра.

Исследованы поля деформаций и напряжений конечного сплошного неоднородного цилиндра и выявлена степень влияния на них неоднородности материала.

В третьей главе рассматривается задача определения температурного поля и температурных напряжений в конечном полом движущемся цилиндре длины L с внешним радиусом R, и внутренним радиусом Я,, имеющем начальное распределение температуры TH(r.<p,z). Физико-механические характеристики материала цилиндра являются непрерывными функциями радиальной координаты. Цилиндр движется в направлении своей оси по произвольному закону S{t) из одной среды в другую с разными теплофизическими характеристиками.

Температурное поле полого цилиндра определяется при различных условиях теплового взаимодействия цилиндра с окружающими средами: решаются первая, вторая и третья краевые задачи нестационарной теплопроводности.

При Х1(р) = Х0р", С(р)~С0р" исходная краевая задача сводится к решению обыкновенного линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка с начальным условием вида (15)-(16), решение которого будет иметь вид, аналогичный (17). Последовательно выполняя обратные преобразования Ханкеля и Фурье, определим температурное поле конечного полого неоднородного цилиндра:

0(р,<р,х»,т)= , ,

= 1

м

К,(и>)

Ф»,

где

Тр(р,т) = Т(т) + Т,(т)р,

ад,

Д2«.,(7д,(г)-у;,(г))

а,а, - а,а, + а2а, {Я -1)'

I ,.Лр) •'•',, У (А,,/') + А,;>\,. (/>...../>),

* 4

Ам- = -(ЬГ7„,

Ь' »>

V 4

(А,.; 1 «,)'„: .(/О, ут"'"

А™* ~ корни трансцендентного уравнения

(Д., Я)-«,./ . (Д,;Л>)

V т""'"

\ 4 "' \ .1

«,!".=.......(А,;А') • «Л- ,(А-) + «У(А,,)

I \ 4

= 0.

V 4

В случаях, когда >.,(р) = Хйеь\ С(р) = С„е*\ и когда Х,(Р) = К(Р + Ь)\ С{р) = С.0(р + Ь)", а параметр й является малой величиной, решение краевой задачи ищется в виде разложения по степеням ¿>. Получаем последовательность

краевых задач, каждая из которых решается с помощью интегрального преобразования Ханкеля.

Исследовано влияние неоднородности на изменение температуры в полом цилиндре при различных законах его движения из одной среды в другую, а также при разных типах неоднородности материала цилиндра.

Осесимметричная задача определения температурного поля движущегося полого цилиндра для общего случая задания коэффициентов переноса как функций радиальной координаты решается численно, с помощью метода переменных направлений.

Температурные напряжения в конечном полом движущемся цилиндре при известном температурном осесимметричном поле определяются численно, с помощью метода конечных разностей.

Проведены численные расчеты полей напряжений и деформаций для конечного полого цилиндра при различных видах неоднородности и типах материала. Проанализировано влияние неоднородности материала цилиндра на температурное поле внутри тела.

В четвертой главе рассматривается задача определения температурного поля и температурных напряжений в конечном сплошном цилиндре длины 1. радиуса К, вращающемся вокруг своей оси по произвольному закону <р{I) и имеющем некоторый угол контакта с плоским источником тепла. Начальное распределение температуры в цилиндре описывается функцией Ти(г,<р,:). Физико-механические характеристики материала цилиндра полагаются непрерывными функциями радиальной координаты.

Задача определения температурного поля для вращающегося цилиндра решается в цилиндрической системе координат, неподвижно связанной с цилиндром. Решение задачи находится аналогично решению задачи (1)-(7) для сплошного цилиндра, движущегося поступательно.

Построена краевая задача для определения температурных напряжений в конечном сплошном вращающемся цилиндре при известном температурном поле.

18

ВЫВОДЫ

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Получены аналитические решения первой, второй и третьей краевых задач теплопроводности для сплошного и Полого конечных цилиндров, движущихся в направлении своей оси из одной среды в другую, когда теплофизические характеристики материала радиально-неоднородного цилиндра изменяются по степенному и экспоненциальному законам.

2. Получены численные решения первой, второй и третьей краевых задач теплопроводности для сплошного и полого конечных цилиндров в общем случае задания зависимостей теплофизических характеристик материала цилиндров от радиальной координаты.

3. Получены аналитические решения первой, второй и третьей краевых задач теплопроводности для конечного сплошного вращающегося вокруг своей оси радиально-неоднородного цилиндра.

4. Исследовано влияние неоднородности материала цилиндров на температурные поля в цилиндрах для различных видов материалов и типов их неоднородности при разных законах движения. Обнаружено, что неоднородность материала оказывает существенное влияние на температурное поле тела.

5. Определены поля напряжений конечных цилиндрических тел в рамках квазистатической теории термоупругости, и выявлена степень влияния неоднородности материала тел.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

1. Кузнецова Ю.А. Температурное поле конечного полого неоднородного движущегося цилиндра. // Известия Тульского государственного университета. Серия Математика. Механика. Информатика. 2004. Т. 10. Вып.З. Тула: ТулГУ. С.112-119.

2. Кузнецова Ю.А. Исследование температурного поля неоднородного движущегося цилиндра. // Современные проблемы математики, механики, информатики: Тезисы докладов Международной научной конференции, 17-19 ноября 2004 г. Тула: ТулГУ. С. 104.

3. Кузнецова Ю.А. Температурное поле конечного полого радиально-неоднородного движущегося цилиндра. // Известия Тульского государственного университета. Серия Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2005. Вып.1. Тула: ТулГУ. С.160-164.

4. Кузнецова Ю.А. Применение метода малого параметра для определения температурного поля конечного полого неоднородного движущегося цилиндра. // Известия Тульского государственного университета. Серия Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2005. Вып.1. Тула: ТулГУ. С.165-171.

5. Кузнецова Ю.А. Температурные напряжения в конечном полом движущемся неоднородном цилиндре. // Современные проблемы математики, механики, информатики: Тезисы докладов Международной научной конференции, 22-26 ноября 2005 г. Тула: ТулГУ. С.214-215.

6. Кузнецова Ю.А. Применение метода интегральных преобразований для определения температурного поля в конечном сплошном неоднородном движущемся цилиндре. // Известия Тульского государственного университета. Серия Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2006. Вып.1. Тула: ТулГУ. С.119-124.

Изд. лиц. ЛР № 020300 от 12.02.97. Подписано в печать30.-ii.0b Формат бумаги 60х 84 ухб. Бумага офсетная. Усл. печ. Уч.-изд. л.^А Тираж/£#экз. Заказ /33 •

Тульский государственный университет. 300600, г. Тула, просп. Ленина, 92.

Отпечатано в Издательстве ТулГУ. 300600, г. Тула, ул. Болдина, 151.

ВВЕДЕНИЕ.

1. О ЗАДАЧАХ ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ.

1.1. Основные уравнения квазистатической теории термоупругости неоднородных тел.

1.2. Обзор литературы по проблеме исследования задач теории термоупругости неоднородных тел.

2. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ И НАПРЯЖЕНИЯ В КОНЕЧНОМ СПЛОШНОМ ДВИЖУЩЕМСЯ НЕОДНОРОДНОМ ЦИЛИНДРЕ.

2.1. Исследование температурного поля в конечном сплошном движущемся неоднородном цилиндре.

2.1.1. Постановка задачи.

2.1.2. Первая краевая задача теплопроводности для конечного сплошного движущегося неоднородного цилиндра.

2.1.3. Вторая краевая задача теплопроводности для конечного сплошного движущегося неоднородного цилиндра.

2.1.4. Третья задача теплопроводности для конечного сплошного движущегося неоднородного цилиндра.

2.1.5. Численное определение температурного поля в конечном сплошном движущемся неоднородном цилиндре.

2.1.6. Исследование температурного поля в конечном сплошном движущемся неоднородном цилиндре.

2.2. Определение температурных напряжений в конечном сплошном движущемся неоднородном цилиндре.

3. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ И НАПРЯЖЕНИЯ В КОНЕЧНОМ ПОЛОМ ДВИЖУЩЕМСЯ НЕОДНОРОДНОМ ЦИЛИНДРЕ.

3.1. Исследование температурного поля в конечном полом движущемся неоднородном цилиндре.

3.1.1. Постановка задачи.

3.1.2. Первая краевая задача теплопроводности для конечного полого движущегося неоднородного цилиндра.

3.1.3. Вторая краевая задача теплопроводности для конечного полого движущегося неоднородного цилиндра.

3.1.4. Третья задача теплопроводности для конечного полого движущегося неоднородного цилиндра.

3.1.5. Численное определение температурного поля в конечном полом движущемся неоднородном цилиндре.

3.1.6. Исследование температурного поля в конечном полом движущемся неоднородном цилиндре.

3.2. Определение температурных напряжений в конечном полом движущемся неоднородном цилиндре.

4. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ И НАПРЯЖЕНИЯ В КОНЕЧНОМ СПЛОШНОМ ВРАЩАЮЩЕМСЯ НЕОДНОРОДНОМ ЦИЛИНДРЕ.

4.1. Определение температурного поля в конечном сплошном вращающемся неоднородном цилиндре.

4.2. Определение температурных напряжений в конечном сплошном вращающемся неоднородном цилиндре.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В настоящее время вопросы исследования влияния внешних нестационарных температурных полей на температурные поля и температурные напряжения в телах конечных размеров имеют большое значение и привлекают внимание специалистов из различных областей. Подобные вопросы рассматриваются при изучении многих технологических процессов, сопровождаемых нагревом или использующих нагрев, таких как сварка, закалка, шлифование, жидкая и горячая штамповка и др. Важное значение имеют задачи расчета конструктивных элементов машин, нагревательных устройств, зданий и др. на температурные воздействия. Вопросы напряженного состояния элементов различных технических конструкций и аппаратов, вызываемого неравномерным нагревом, имеют большое значение для анализа прочности и правильного функционирования конструкций.

В отдельных случаях определение температурных полей представляет самостоятельную техническую задачу. Исследования целого ряда физических и химико-технологических процессов сводятся к решению задач стационарной и нестационарной теплопроводности. К ним можно отнести процессы диффузии, электрические колебания, сорбции, сушки и др.

Расчет напряженно-деформированного состояния элементов конструкций и расчет их на прочность представляет собой довольно сложную задачу, особенно с учетом всех реальных факторов.

В современных конструкциях обычно при расчетах материал принимается изотропным, упругие свойства которого одинаковы по всем направлениям. Наряду с этим зачастую принимается гипотеза однородности материала. Это означает, что все механические и теплофизические характеристики материала (плотность, коэффициент теплопроводности, модуль упругости, коэффициент Пуассона, предел текучести, релаксационные параметры и др.) постоянны по объему тела, иными словами, эти характеристики являются константами.

Однако с развитием науки возникают и интенсивно внедряются в различные отрасли техники новые конструкционные материалы, являющиеся неоднородными. Физико-механические свойства таких материалов описываются непрерывными функциями пространственных координат. Формирование неоднородности происходит как под воздействием некоторых физических явлений (температурное поле, радиационное облучение, взрывное воздействие и т.д.), так и в результате различных технологических процессов (наплавка, упрочнение, нанесение на изделия разнообразных покрытий) [144]. При расчетах и проектировании конструкций необходимо учитывать такую неоднородность материалов, поскольку она приводит к существенному изменению напряженно-деформированного состояния тел.

Большой интерес представляют задачи термоупругости для слоистых тел, в которых внутри каждого слоя физико-механические характеристики материала постоянны. Решение подобных задач зачастую сопряжено с большими трудностями в удовлетворении условий сопряжения для большого количества слоев. Физико-механические характеристики многослойных тел могут быть аппроксимированы с помощью непрерывных функций. Таким образом, имеется возможность перейти от задач для тел кусочно-однородной структуры к задачам для непрерывно неоднородных тел.

Исследованию процессов, происходящих в однородных термоупругих телах, посвящено большое количество работ (В. Новацкий, Б. Боли, Дж. Уэйнер, А.Д. Коваленко и др.). Решение же многих практически важных задач для неоднородных тел вызывает большие трудности. Круг работ, посвященных задачам термоупругости для неоднородных тел, достаточно узок. Причем в этих работах температурные напряжения определяются либо при воздействии стационарных температурных полей, либо в неограниченных телах (бесконечно длинных цилиндрах, стержнях, неограниченных пластинах). Поэтому проблема изучения нестационарных температурных полей и температурных напряжений в неоднородных телах конечных размеров является актуальной.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Цель работы заключается в исследовании влияния неоднородности материала на температурные поля и напряжения в цилиндрических неоднородных телах конечных размеров, возникающие под воздействием внешних нестационарных температурных полей.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертационной работе получены следующие новые результаты:

Получены аналитические решения первой, второй и третьей краевых задач теплопроводности для сплошного и полого конечных цилиндров, движущихся в направлении своей оси из одной среды в другую с разными теплофизическими характеристиками, для степенного и экспоненциального законов изменения теплофизических характеристик материала радиально-неоднородных цилиндров.

В общем случае задания зависимостей теплофизических характеристик материала цилиндров от радиальной координаты получены численные решения краевых задач теплопроводности.

Получены решения первой, второй и третьей краевых задач теплопроводности для конечного сплошного вращающегося вокруг своей оси неоднородного цилиндра с теплофизическими характеристиками, непрерывно меняющимися по радиусу цилиндра.

Исследовано влияние неоднородности материала цилиндров на температурные поля в цилиндрах.

Исследованы поля деформаций и напряжений конечных сплошного и полого неоднородных цилиндров, возникающие вследствие влияния нестационарных температурных полей, в рамках квазистатической теории термоупругости.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Результаты, полученные в диссертационной работе, представляют собой вклад в развитие теории нестационарной теплопроводности и квазистатической термоупругости неоднородных тел и могут быть использованы при решении прикладных задач термоупругости.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты, полученные в диссертационной работе, докладывались на Международных научных конференциях «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 2004, 2005 гг.); на научных семинарах кафедры «Прикладная математика и информатика».

ДОСТОВЕРНОСТЬ. Достоверность полученных результатов вытекает из корректной постановки задач и обоснованности применяемых математических методов, обеспечивается проведением расчетов на ЭВМ с контролируемой точностью и подтверждается совпадением решений, полученных в данной работе, с известными решениями в частных случаях.

ПУБЛИКАЦИИ. По полученным в работе результатам и исследованиям опубликовано 6 работ.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 127 наименований, содержит 175 стр. машинописного текста, в том числе 25 рисунков.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Получены аналитические решения первой, второй и третьей краевых задач теплопроводности для сплошного и полого конечных цилиндров, движущихся в направлении своей оси из одной среды в другую, когда теплофизические характеристики материала радиально-неоднородного цилиндра изменяются по степенному и экспоненциальному законам.

2. Получены численные решения первой, второй и третьей краевых задач теплопроводности для сплошного и полого конечных цилиндров в общем случае задания зависимостей теплофизических характеристик материала цилиндров от радиальной координаты.

3. Получены аналитические решения первой, второй и третьей краевых задач теплопроводности для конечного сплошного вращающегося вокруг своей оси радиально-неоднородного цилиндра.

4. Исследовано влияние неоднородности материала цилиндров на температурные поля в цилиндрах для различных видов материалов и типов их неоднородности при разных законах движения. Обнаружено, что неоднородность материала оказывает существенное влияние на температурное поле тела.

5. Определены поля напряжений конечных цилиндрических тел в рамках квазистатической теории термоупругости, и выявлена степень влияния неоднородности материала тел. Ф

1. Айзен А. М. О решении нелинейных задач теплопроводности совместным применением методов возмущений и конечных интегральных преобразований. // Инж.-физ. журн. 1970. - Т. 19, № 5. -С. 947.

2. Айнола J1. Я. Вариационные принципы для нестационарных задач теплопроводности. // Инж.-физ. журн. 1967. - Т. 12, № 4. - С. 465468.

3. Аменадзе Ю.А. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1976. - 272 с.

4. Андреев В. И., Языев Б. М. Оптимизация свойств неоднородных цилиндров // Всес. конф. «Фундам. исслед. и новые технологии в строительном материаловедении»: Тез. докл. Белгород, 1989. - С. 69.

5. Андреев В. И. Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел. М.: Изд-во АСВ, 2002. - 288 с.

6. Аттетков А. В., Волков И. К. Аналитические методы исследования теплового состояния области с движущейся границей в условиях нестационарного теплообмена с внешней средой // Инж.-физич.журн. 2000. - Т.73, №1. - С. 125-130.

7. Ахмедов Н. К., Мехтиев М. Ф. Осесимметричная задача теории упругости для неоднородной плиты переменной толщины. // Прикладная математика и механика. 1995. - Т.59, вып.З. - С. 518523.

8. Бабич В. М. Фундаментальные решения динамических уравнений теории упругости для неоднородной среды. // Прикладная математика и механика. 1961. -Т.25, вып.1. - С. 16-21.

9. Бажанов В. Л., Гольденблат И. И., Николаенко Н. А., Синюков А. М. Расчет конструкций на тепловые воздействия. М: «Машиностроение», 1969. - 240 с.

10. Баренблат Г. И., Левитан Б. М. Об одном обобщении формулы Пуассона из теории теплопроводности. // ДАН СССР, 1951.

11. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1974.-296 с.

12. Беляев Н.М. Методы теории теплопроводности. Учеб. пособие для вузов. В 2 частях. Ч.2./ Н.М. Беляев, А.А. Рядно. - М.: Высшая школа, 1982.-304 с.

13. Берикелашвили Г. К. О сходимости разностных схем для третьей краевой задачи теории упругости. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2001. - Т. 41, № 8. - С. 12421249.

14. Богданович В.И., Плотников А.Н. К расчету термоупругих напряжений в неоднородном цилиндре и шаре. // Проблемы машиностроения и автоматизации. 1996. - № 5-6. - С.44-48.

15. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. М.: Мир, 1964. - 517 с.

16. Бровкин Л. А., Девочкина С. И. Температурное поле шара с переменными физическими свойствами при граничных условиях третьего рода. // Изв. Вузов. Сер. Энергетика. 1971. - № 11. - С. 138142.

17. Вайнберг Д. В. Аналогия между задачами о плоском напряженном состоянии и об изгибе круглой пластины переменной толщины при осесимметричной нагрузке. // ПММ. 1952. - Т. 16, вып.6.

18. Василенко А. Т., Григоренко Я. М., Микитюк Ю. И. Термонапряженное состояние неоднородного цилиндра при неосесимметричном нагреве. // Докл. АН Украины. 1997. - № 5. - С. 58-62.

19. Гогричиани М. Г., Шипилин А. В. Итерационный метод стыковки решений уравнений теплового баланса в различных областях термоохладителя. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2001. - Т. 41, № 12. С. 1893-1906.

20. Данилова И. Н. О температурных напряжениях в полой сфере при переменном модуле упругости. // Изв. АН СССР. Отделение механики и машиностроения. 1962. -№ 3.

21. Девочкина С. И., Бровкин Л. А. Температурное поле неограниченной пластины с переменными теплофизическими характеристиками. // Инж.-физ. журн. 1970. - Т. 18, № 1.

22. Деткова М. И. Итерационный метод решения плоских задач теории упругости. // Строительная механика и расчет сооружений. 1968. -№2.

23. Добрышман Е. М. Об одном методе решения уравнения параболического типа с помощью универсальных функций. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2001. - Т. 41, № 1. - С.95-99.

24. Железовский С.Е. Оценка погрешности метода Галеркина для нелинейной связанной задачи термоупругости оболочек с трехмерным уравнением теплопроводности. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2005. - Т. 45, № 9. - С. 1677-1690.

25. Жукова В.Н., Пимштейн П.Г. Термонапряженное состояние многослойного цилиндра, нагруженного внутренним давлением при стационарном наружном обогреве. // Прикладная механика. 1989. -Т. 25, №8.-С. 76-82.

26. Ибраев Г. К., Родзевич И. А. Температурные напряжения в толстостенной трубе. // Сб. ст. «Ученые записки. Пермский университет». 1966. - № 156.

27. Игнатьков Д.А. Остаточные напряжения в неоднородных деталях. -Кишинев: Штиинца, 1992. 302 с.

28. Ильин В. П., Попов В. Н. О компактных разностных схемах для уравнения теплопроводности. // Журнал вычислительной математики и математической физики. -2001. Т. 41, № 10. - С. 1613-1616.

29. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел./ Под ред. А. А. Померанцева М.: Наука, 1964. - 487 с.

30. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел: Учеб. пособие для студ втузов. М.: Высшая школа, 1985.-480 с.

31. Карташов Э.М. Новые интегральные представления аналитических решений краевых задач нестационарного переноса в областях с движущимися границами. // Инжен.-физич. журнал. 2001. - Т.74, № 2. - С.171-195.

32. Кириченко В. Ф. О применении метода Бубнова-Галеркина к решению некоторых связанных задач термоупругости. // Тр. 18 Междунар. конф. по теории оболочек и пластин, т. 2. Саратов, 1997. - С.8-11.

33. Клячко С. Д. Аналогии между температурными задачами теории упругости и пластичности и задачами для ненагретых тел. // Сб. «Труды Новосибирского ин-та инженеров ж.-д. транспорта». 1967. -Вып. 62.

34. Клячко С. Д. Экспериментальное определение температурных упругих напряжений при переменном модуле упругости. / Сб. «Труды Новосибирского института инженеров ж.-д. транспорта», 1961, вып. 24. С.21-25.

35. Коваленко А.Д. Основы термоупругости. Киев: Наукова думка, 1970.-307 с.

36. Коган Б. М. Напряжения и деформации в покрытиях с непрерывно меняющимся модулем упругости. // Сб. «Труды Харьковского автодорожного ин-та». 1957. - Вып. 19.

37. Коган Б. М., Зинченко В. Д. Напряженное состояние неоднородного слоя, покоящегося на упругом полупространстве. // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1960. -№ 3.

38. Коздоба Л. А., Чумаков В. Л. Решение нелинейных задач нестационарной теплопроводности методом возмущений. // Теплофизика высоких температур. - 1970.-Т. 8, № 5.-С. 1018-1022.

39. Коздоба Л. А., Чумаков В. Л. Решение общей нелинейной задачи нестационарной теплопроводности методом малого параметра. // Инж.-физ. журн. 1972. - Т. 22, № 1. - С. 160-163.

40. Колчин Г. Б., Плоские задачи теории упругости неоднородных тел. -Кишинев: Штиинца, 1977. 119 с.

41. Колчин Г.Б. Расчет элементов конструкций из упругих неоднородных материалов. Кишинев: «Картя Молдовеняскэ». - 1971. - 172 с.

42. Колчин Г. Б. О представлении функций напряжений для неоднородной полосы в виде полиномов. // Сб. «Труды Кишиневского политехнич. ин-та». 1967. - Вып. 7.

43. Колчин Г. Б. Изгиб полосы с переменным по высоте модулем упругости под действием вертикальной нагрузки. // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1969. - № 9.

44. Колчин Г. Б., Максимов Ю. А. Решение некоторых задач теории упругости для неоднородной полосы с помощью АВМ. // Сб. «Труды Кишиневского политех, ин-та». 1967. - Вып. 7.

45. Колчин Г. Б., Носиков А. И., Эрнст А. В. К оценке надежности элементов конструкций из анизотропных неоднородных материалов. // Известия В НИИГ им. Б. Е. Веденеева. 1999. - Т. 234. - С. 66-72.

46. Колчин Г. Б. Температурные напряжения в бетонных массивах при переменном по высоте модуле упругости. // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1967. - № 28.

47. Теория упругости неоднородных тел. / Библ.указ. работ за 1974-1977 гг. / Колчин Г.Б., Фаверман Э.А. Кишинев: «Картя Молдовеняскэ», 1977.- 197 с.

48. Коляно Ю. М., Попович В. С. Об одном эффективном методе решения задач термоупругости для кусочно-однородных тел, нагреваемых внешней средой // Физ.-хим. механика полимеров. -1976. № 2. - С.108-112.

49. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. М.: Наука, 1971.-205 с.

50. Коренев Б. Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности, решаемые в бесселевых функциях. М: Физматгиз, 1960.

51. Коренев Б. Г. Задачи теории теплопроводности и термоупругости: Решения в бесселевых функциях. М: Наука, 1980. - 400 с.

52. Кочанов Ю. П. Плоская задача теории упругости для пластин переменной толщины. // Инженерный журнал. 1964. - Т. 4, вып. 2.

53. Кошляков Н.С. Дифференциальные уравнения математической физики./ Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1962. - 767 с.

54. Кудинов В.А., Карташов Э.М., Калашников В.В. Аналитические решения задач тепломассопереноса и термоупругости для многослойных конструкций: Учеб.пособие для вузов. М: Высш.школа, 2005. - 430 с.

55. Кузнецова Ю.А. Температурное поле конечного полого неоднородного движущегося цилиндра. // Известия Тульского государственного университета. Серия Математика. Механика. Информатика. 2004. - Т. 10. Вып.З. - Тула: ТулГУ. - С. 112-119.

56. Кузнецова Ю.А. Исследование температурного поля неоднородного движущегося цилиндра. // Современные проблемы математики, механики, информатики: Тезисы докладов Международной научной конференции, 17-19 ноября 2004 г. Тула: ТулГУ. - С.104.

57. Кузнецова Ю.А. Температурное поле конечного полого радиально-неоднородного движущегося цилиндра. // Известия Тульского государственного университета. Серия Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2005. - Вып.1. - Тула: ТулГУ. - С. 160-164.

58. Кузнецова Ю.А. Температурные напряжения в конечном полом движущемся неоднородном цилиндре. // Современные проблемы математики, механики, информатики: Тезисы докладов Международной научной конференции, 22-26 ноября 2005 г. Тула: ТулГУ.-С.214-215.

59. Кушнир Р. М., Процюк Б. В., Сынюта В. М. Квазистатические температурные напряжения в многослойном термочувствительном цилиндре. // Физико-химическая механика материалов. 2004. Т. 40, № 4. - С.7-16.

60. Левин М. А. Определение напряжений в затвердевающей отливке. // Прикладная механика. 1969. -Т.5, вып.9.

61. Лехницкий С. Г. Некоторые случаи кручения стержней с переменными модулями упругости. // Сб. «Исследования по упругости и пластичности», изд. ЛГУ. 1965. - № 4.

62. Лехницкий С. Г. Радиальное распределение напряжений в клине и полуплоскости с переменным модулем упругости // ПММ. 1962. -Т.26, вып.1.-С. 146-151.

63. Лехницкий С. Г. Об одном частном случае осесимметричной деформации цилиндра с модулем упругости, меняющимся по длине. // Сб. «Исследования по упругости и пластичности», изд. ЛГУ. 1968. -№7.

64. Ломакин В. А. О деформировании микронеоднородных упругих тел. // Прикладная математика и механика. Т. 29, вып. 5. - 1965.

65. Ломакин В. А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. М: Наука, 1970. - 138 с.

66. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Изд-во МГУ, 1976.-367 с.

67. Ломбардо В. Н. Электромоделирование контактных задач теории упругости. // Сб. «Материалы IV Всесоюзной конференции по применению математ. машин в строительной механике». Киев, 1967.

68. Лотарев В.Я. Температурные поля и напряжения в движущихся телах конечных размеров: Дис. . к-та тех. наук. Тула, 2000. - 133 с.

69. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости./ А.И. Лурье. -М: Гостехиздат, 1955.-491 с.

70. Лыков А.В. Теория теплопроводности./ А.В. Лыков. М.: Высшая школа, 1967.-599 с.

71. Лыков А.В. Тепломассообмен: Справочник. М.: Энергия, 1972. -560 с.

72. Лыков А. В., Михайлов Ю. А. Теория тепло- и массопереноса. Госэнергоиздат, 1963. 535 с.

73. Лычев С.А. Связанная динамическая задача термоупругости для конечного цилиндра. / Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. -2003 г.-№4(30).-С. 112-124.

74. Макаренков Е.А. Модель расчета термонапряженного состояния фундаментных конструкций. // Вестник Запорожского государственного университета. 2002. - №1. С. 164-167.

75. Махоркин И. Н. Термоупругость кусочно-однородных сферических тел // Математические методы в термомеханике: Сб.науч.тр. / Редкол.: Ю.М.Коляно и др. 1978. - Киев: Наукова Думка, 1978. - С. 163-172.

76. Минаева Н.В. О напряженно-деформированном состоянии упруго подкрепленной полосы, близком к однородному // Вестник молодых ученых. Серия Прикладная математика и механика. 2003. - Вып. 2. -С.65-71.

77. Михлин С. Г. Некоторые случаи плоской задачи теории упругости для неоднородной среды. // ПММ. 1934. - Т. 1, вып.2.

78. Михлин С. Г. Фундаментальные решения динамических уравнений теории упругости для неоднородной среды. // Г1ММ. 1947. - Т.2, вып.4.

79. Мишику М., Теодосну К. Решение при помощи теории функций комплексного переменного статической плоской задачи теории упругости для неоднородных изотропных тел. // ПММ. 1966. - Т. 30, вып.2.

80. Моргунов Б. И., Путилов Г. П., Степаненкова JT. П. Численно-аналитические методы в моделировании термомеханических процессов в неоднородных средах. М: Моск. гос. ин-т электрон, и мат. (техн. ун-т), 1998,- Юс.

81. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М: Наука, 1966. 707 с.

82. Новацкий В. Вопросы термоупругости. / Пер. с польского. М.: Изд. Акад. наук СССР, 1962. - 364 с.

83. Новинский Дж. Задача о переходной термоупругости бесконечной среды со сферической полостью со свойствами, зависящими от температуры. // Прикладная механика. 1962. - Т. 29, серия Е, № 2.

84. Оганов Э. П., Синюков А. М. Температурные напряжения в неоднородном цилиндре конечной длины. // Механика полимеров. -1968.-№4.

85. Пальцун Н. В., Приварников А. К. О напряженном состоянии возле щели в пространстве с переменным модулем упругости. // Прикладная механика. 1967. - Т. 3, № 9.

86. Писчасов Н.И., Орлов П.В. Моделирование нестационарных термических процессов, инициируемых воздействием мощных ионных пучков в композиционных материалах. // Вестник Омского университета. 1997.-Вып. 1.-С. 35-37.

87. Плевако В. П. К теории упругости неоднородных сред. // Прикладная математика и механика. 1971. - Т.35, вып.5. - С.853-860.

88. Подстригач Я. С., Коляно Ю. М. Неустановившиеся температурные поля и напряжения в тонких пластинках. Киев: Наукова Думка, 1972. -308 с.

89. Подстригач Я.С., Ломакин В.А., Коляно Ю.М. Термоупругость тел неоднородной структуры. М.: Наука, 1984. - 368 с.

90. Померанцев А.А. Избранные труды. «Развитие метода контурной интеграции уравнений теплопроводности» / Под ред. А.А. Предводителева. М: Изд-во Моск. Ун-та, 1981. - 224 с.

91. Пуро А. Э. О построении общих решений теории упругости неоднородных тел. // ПММ. 1990. - Т. 54, вып. 6. - С. 1039-1045.

92. Ростовцев Н. А. К теории упругости неоднородной среды. // ПММ. -1964.-Т. 28, вып. 4.

93. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука. 1973.- 552 с.

94. Сеницкий Ю. Э. Динамика неоднородной непологой сферической оболочки // Известия РАН. Механика твердого тела. 2002. - №6. -С. 144-157.

95. ЮЗ.Стефанюк Е.В., Радченко В.П. Теплопроводность в пластине при переменных во времени граничных условиях третьего рода.

96. Температура среды экспоненциальная функция времени. // Вестник СамГТУ. Серия "Физико-математические науки". - №26. - 2004. -С.21-25.

97. Стратонова М. М. Исследование динамических температурных напряжений с учетом изменения свойств материала с температурой. // Изв. вузов. Машиностроение. 1967. -№ 5.

98. Сунчелеев В. П. Приложение группы вращений к некоторым задачам теории упругости. // Сб. «Труды Ташкентского ин-та инженеров ж.-д. транспорта». 1968. - Вып. 56.

99. Телегин А.С., Швыдкий B.C., Ярошенко Ю.Г. Тепломассоперенос: Уч. для вузов. / Под ред. Ю.Г. Ярошенко. М.: «Академкнига», 2002. -455 с.

100. Тер-Мкртичьян JI. Н. Некоторые задачи теории упругости неоднородных упругих сред. // ПММ. 1961. - Т. 25, вып. 6. - С. 11201125.

101. Ю8.Торлин В. Н. Прямая и обратная задачи теории упругости для неоднородного тела // Прикл.мех. 1976. - Т. 12, № 3.

102. Туголуков Е.Н. Математическое моделирование термонагруженных процессов и аппаратов многоассортиментных химических производств: Автореф. . д-ра тех. наук. Тамбов, 2004. - 24 с.

103. Туголуков Е.Н. Математическое моделирование технологического оборудования многоассортиментных химических производств. М: «Издательство Маниностроение-1», 2004. - 100 с.

104. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л.: Наука, 1967. - 402 с.

105. Филиппов А. П., Булгаков В. Н., Воробьев Ю. С., Кантор Б. Я., Марченко Г. А. Численные методы в прикладной теории упругости. -Киев: Наукова Думка, 1968.

106. Хомасуридзе Н.Г. Некоторые граничные задачи об упругом и термоупругом равновесии клинообразных тел. // Прикладная математика и механика. 2005. - Т.69, №3. - С.481-490.

107. Цой II. В. Методы расчета задач тепломассопереноса. М: Энергоатомиздат, 1984. - 416 с.

108. Шевляков Ю. А. Наумов Ю. А., Чистяк В. И. К расчету неоднородных оснований. // Прикладная механика. 1968. - Т. 4, № 9. - С.79-85.

109. Шевченко Ю. Н. Общее решение задачи теории упругости при переменном модуле упругости. // Доклады АН УССР. 1958. - № 10. -С. 356-359.

110. Шестериков С. А. Температурные напряжения в упругом диске постоянной толщины. // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1959, № 5. - С.264-268.

111. Burak J., Bozhenko В. Finite elements method in optimization of the thermoelastic state for a thin shells of revolution // Nelinearna mechanika (Bratislava, okt. 2000). Bratislava: STU, 2000. - H. 221-224.

112. Conway H.D. A general solution for plain stress in polar coordinates with varying modulus of elasticity. // Rev. roumaine sci. Ser. Mech. Appl. -1965.-№ 10.

113. Galka A., Telega J.J., Wojnar R. Thermodiffusion in heterogeneous elastic solids and homogenization. // Arch. Mech., 46, 1994. P.267-314.

114. Jobert G. Deformation plane d'un solide elastique, isotrope et heterogene. // C. Rend. Acad. Sci., Paris. 5, 244, 1957. (фр.)

115. Maugin G.A., Kalpakides V.K. A Hamitonian Formulation for Elasticity and Thermoelasticity. // J.Phys.A: Math. Gen. 2002. - v.35, N.50. -p. 10775-10788.

116. Radu A. Sisteme elastice antiplane neomogene. "An. stiint. Univ. Iasi", 1967, Sec. la, 13,№ 1.(англ.)