автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы численного интегрирования повышенного порядка точности в задачах теплопроводности и термоупругости

Введение.

Часть 1 Методы повышенного порядка точности в нестационарной задаче теплопроводности.

1. Постановка задачи.

1.1. Уравнения дифференциальной и конечноэлементной формулировок задачи теплопроводности.

1.2. Требования к методам численного интегрирования уравнения нестационарной задачи теплопроводности.

1.3. Общие принципы построения методов численного интегрирования задачи теплопроводности.

2. Построение методов и организация численных процедур методов.

2.1. Построение первого метода.

2.2. Построение второго метода.

2.3. Построение третьего метода.

2.4. Организация численной процедуры первого метода.

2.5. Организация численной процедуры и анализ сходимости итерационного процесса второго метода.

2.6. Организация численной процедуры и анализ сходимости итерационного процесса третьего метода.

2.7. Влияние коэффициентов с, таблицы Бутчера на качество воспроизведения результатов.

3. Анализ качества работы предлагаемых методов.

3.1. Анализ свойств предлагаемых методов.

3.2. Тестовые задачи.

3.3. Задача об определении нестационарного температурного поля ротора паровой турбины.

Часть 2 Методы повышенного порядка точности в задаче обобщенной теории теплопроводности.

4. Постановка задачи.

4.1. Гиперболическое уравнение теплопроводности.

4.2. Вывод конечноэлементных соотношений задачи обобщенной теории теплопроводности.

4.3. Анализ собственных чисел системы уравнений конечноэлементной модели задачи обобщенной теории теплопроводности.

5. Применение предлагаемых методов численного интегрирования к задаче обобщенной теории теплопроводности.

5.1. Вычислительные схемы методов.

5.2. Анализ качества предлагаемых методов в задаче обобщенной теории теплопроводности.

Часть 3 Методы численного интегрирования связанной задачи термоупругости.

6. Постановка задачи.

7. Анализ свойств конечноэлементной модели связанной задачи термоупругости.

7.1. Об аналогии уравнений конечноэлементной модели связанной задачи термоупругости с уравнениями движения механической системы.

7.2. Анализ корней характеристического уравнения.

7.3. Разложение корней характеристического уравнения и форм колебаний по степеням параметра связанности

8. Алгоритмы численного интегрирования задачи связанной термоупругости на основе методов семейства Рунге-Кутты.

8.1. Общие принципы построения алгоритмов на основе методов семейства Рунге-Кутты.

8. 2. Алгоритм на основе метода трапеций и метода второго порядка точности.

8.3. Алгоритм на основе метода Гаусса-Лежандра и метода второго порядка точности.

8, 4. Анализ качества работы алгоритмов, построенных на основе методов семейства Рунге-Кутты.

9. Алгоритм решения задачи о распространении плоской термоупругой волны, построенный на основе метода прямого математического моделирования.

9.1. Общие принципы и некоторые уравнения метода ПММ.

9.2. Алгоритм решения задачи на основе метода ПММ.

9.3. Анализ результатов работы алгоритма.

При решении большинства практических задач нестационарной теории теплопроводности и связанной теории термоупругости используются их конечномерные математические модели. Конечномерная модель задачи теории теплопроводности в рамках метода конечных элементов [57], [63] представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка [4], [23], [61]. Численные методы решения таких систем дифференциальных уравнений должны учитывать свойства как исходной системы так и её математической модели [25].

В работе с учетом внутренних свойств системы, построены новые методы численного интегрирования нестационарной задачи теплопроводности. Предлагаемые методы принадлежат к семейству методов Рунге-Кутты [6], [7], [31], [71].

Первые методы, которые можно отнести к семейству Рунге-Кутты построили Рунге [98] и Хойн [91] на основе метода Эйлера [84], Кутта [92] сформулировал общую схему методов этого семейства. Компактное представление коэффициентов методов в виде таблицы Бутчера впервые было предложено в [75].

Построению и изучению свойств методов семейства Рунге-Куты посвящен ряд работ [62], [66], [67]. В [67] излагается теория методов Рунге-Кутты, содержится вывод условий, определяющих порядок аппроксимации, приведены оценки погрешностей, доказательства сходимости, рассматриваются вопросы программной реализации, методы высших порядков. Работа [66] включает в себя разделы, посвященные вопросам конструирования методов семейства Рунге-Кутты, обсуждению диагонально неявных методов Рунге-Кутты, реализации неявных методов Рунге-Кутты. В работе [62] приведен вывод конкретных явных методов семейства Рунге-Кутты, записаны условия, обеспечивающие заданный порядок точности методов Рунге-Кутты, обсуждаются вопросы устойчивости и применения неявных методов семейства Рунге-Кутты.

Однако, ни в одной из этих публикаций не предложен метод, обладающий совокупностью необходимых свойств, позволяющих значительно упростить численную процедуру метода в рассматриваемых в работе задачах и сократить время счета, одновременно обеспечив высокую точность воспроизведения результатов.

Традиционно для решения задач нестационарной теплопроводности используются неявный метод Эйлера, метод Галёркина [45], [62], [63], метод Кран-ка-Николсона [45], [63]. Методы Галёркина и Кранка-Николсона не обладают свойством, получившим название Ь-устойчивости [93], поэтому при использовании метода Галёркина, при большом шаге интегрирования, быстро убывающим составляющим точного решения, соответствуют медленно убывающие по модулю, осциллирующие компоненты численного решения; при использовании метода Кранка-Николсона, при большом значении шага интегрирования, быстро убывающим компонентам точного решения, соответствуют почти не убывающие по модулю, осциллирующие компоненты численного решения.

Установлено [22], [30], что в случае значительно изменяющихся во времени параметров теплообмена использование методов Галёркина и Кранка-Николсона не позволяет получить достоверных результатов, неявный метод Эйлера, в этом случае, обладая только первым порядком точности, воспроизводит результаты с большой погрешностью.

Существует ряд недавних публикаций, в которых эти методы применяются для решения нестационарных задач теплопроводности. В работе [47] методом конечных элементов исследуется задача нелинейной нестационарной теплопроводности с зависящими от времени граничными условиями. Дифференциальные уравнения конечноэлементной модели задачи решены неявным метод Эйлера. В [21] при решении методом конечных элементов осесим-метричной задачи нестационарной теплопроводности на каждом интервале времени используется аппроксимация температуры, зависящая от параметра. Различным значениям параметра соответствует один из традиционно используемых методов (метод Галёркина, метод Кранка-Николсона, неявный метод Эйлера). В [65] методом конечных элементов решена осесимметричная задача нестационарной теплопроводности в системе трех тел конечных размеров с внутренним подвижным источником. При решении системы дифференциальных уравнений конечноэлементной модели задачи использован неявный метод Эйлера. Работа [52] включает в себя исследование методом конечных элементов нестационарной задачи теплопроводности, система дифференциальных уравнений решена методом Кранка-Николсона.

Опыт численного интегрирования задач нестационарной теплопроводности показал [30], что при решении этого класса задач предпочтительнее использовать методы, обладающие совокупностью следующих свойств: высоким порядком точности, А-устойчивостью [19] и Ь-устойчивостью. Понятие А-устойчивости было введено Далквистом [80] для линейных многошаговых методов, но оно применимо также и к методам семейства Рунге-Кутты. А-устойчивость неявных методов Рунге-Кутты независимо исследовали Ил [83] и Аксельссон [72].

В работе [30] предложен двухстадийный диагонально неявный метод второго порядка точности, обладающий свойствами А- и Ь-устойчивости. В [22] построен двухстадийный, А и Ь-устойчивый метод третьего порядка точности.

Однако эффективность предложенных методов снижается при их использовании для численного интегрирования систем дифференциальных уравнений, принадлежащих классу жестких систем. Системы дифференциальных уравнений, описывающие конечноэлементные модели задач теории теплопроводности достаточно часто оказываются жесткими. При их интегрировании необходимо использовать методы, которые бы более точно описывали быстрые процессы, не ухудшая качества воспроизведения медленных. Первой публикацией, где вводится термин «жесткие уравнения» является работа [79]. Некоторые вопросы численного интегрирования, связанные с жесткими системами, изложены в книгах [6], [59] и специальных главах монографий [85], [93]. В [59] с единой точки зрения рассматриваются вопросы, связанные с явлением жесткости в системах обыкновенных дифференциальных уравнений, дается понятие жесткой системы дифференциальных уравнений, рассматриваются источники возникновения таких систем и излагаются их свойства, проводится сравнительный анализ явных и неявных методов численного интегрирования применительно к жестким системам. В работе [32] исследован ряд схем численного решения задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений, предложена схема третьего порядка точности. В [55] предложены нелинейные абсолютно устойчивые схемы для численного решения жестких систем дифференциальных уравнений второго и третьего порядков точности. Предлагаемые в настоящей работе второй и третий методы обладают улучшенной асимптотикой переходного множителя, что позволяет с более высокой точностью описывать быстроубы-вающие компоненты решения, сохраняя при этом заданный порядок точности воспроизведения медленных составляющих решения.

Обобщенное уравнение теплопроводности отличается от классического уравнения теплопроводности наличием члена, содержащего вторую производную температуры по времени, учитывающего конечную скорость распространения тепла. Уравнение обобщенной теории теплопроводности было независимо получено авторами [76], [77] и [102].

Существует широкий класс неравновесных физических явлений, в которых описание процессов переноса тепла на основе линейного градиентного соотношения Фурье является недостаточным. Это - теплообмен в жидком гелии, который имеет низкую скорость распространения тепла (второй звук) [5], [9], [48], теплоперенос в некоторых классах дисперсных систем [3], [10], [64], процесс распространения тепла при низких температурах [5], [20], теплоперенос при воздействии на вещество импульсного лазерного излучения наносекундного диапозона [43], [86].

В [5] отмечено, что влияние конечной скорости распространения тепла может быть значительным, если рассматриваемый период времени в нестационарном процессе мал. Заметное отличие решения гиперболического уравнения теплопроводности, от соответствующего решения пароболического уравнения может наблюдаться в быстропротекающих интенсивных тепловых процессах [51] в тонких поверхностных слоях тел [34].

Работа [40] посвящена вопросам применимости гиперболического уравнения теплопроводности в многомерных телах. Анализ некоторых свойств гиперболического уравнения теплопроводности проведен в статье [39].

Задачи обобщенной теории теплопроводности рассматриваются в следующих работах. В [5] решена задача о мгновенном нагреве границы полубесконечного тела. Более общая задача на полуограниченное тело рассматривается в [1]. В [51] решена задача для полубесконечного стержня при граничных условиях первого и второго рода, а также обратная задача теплопроводности. Задачи для тел классической формы (пластина, шар, цилиндр) исследуются в работах [2], [13], [42]. В [2] также рассмотрена задача для тела сложной формы.

Задачи обобщенной теории теплопроводности с учетом контакта тел и тел с покрытиями рассматриваются в работах [35], [36]. В [86] приведено решение линейной задачи в полубесконечной среде находящейся, под воздействием периодического потока тепла. Нелинейный случай, учитывающий наличие излучения с поверхности в окружающую среду, в этой же работе изучается численно.

В связи с существованием столь широкого класса задач, описываемых гиперболическим уравнением теплопроводности, возникающих в различных областях, представляется важным развитие методов решения задач обобщенной теории теплопроводности.

В [54] предложен численно-аналитический метод решения задачи. В настоящей работе проводится анализ качества работы, построенных методов численного интегрирования нестационарной задачи теплопроводности, в задачах обобщенной теории теплопроводности.

Теория термоупругости обобщает классическую теорию упругости и теорию теплопроводности на основе механики и теромодинамики необратимых процессов. Достаточно часто задача термоупругости решается в так называемой динамической постановке, в рамках которой в уравнении теплопроводности можно пренебречь слагаемым, зависящим от скорости движения. Но в некоторых случаях, например, при резком изменении температурного поля, при внезапном механическом воздействии, необходимо учитывать влияние этого слагаемого, т. е. рассматривать задачу связанной постановке.

Одной из первых работ посвященной этой теме была работа [73]. В [50] впервые с единой позиции изложены материалы по связанным и динамическим задачам термоупругости.

Первое решение динамической задачи о тепловом ударе на границе полупространства принадлежит Даниловской [17]. Также вопросам аналитического решение задачи в динамической постановке посвящены следующие работы. В [18] рассматривается задача, в которой на границе полупространства осуществляется конвективный теплообмен. Задача о тепловом ударе с конечной скоростью изменения температуры на границе полупространства впервые решена в

100]. В [101] впервые решена задача о мгновенном нагреве границы сферической полости. Среди работ, появившихся в последнее время, отметим публикации [41], [46] . Работа [41] посвящена исследованию неидеального теплового контакта между штампом и полупространством. В [46] изучаются большие прогибы тонких пластин, приближенный метод опирается на представление напряжений и перемещений в виде алгебраических полиномов.

Аналитическое решение задачи в связанной постановке может быть получено только при упрощающих предположениях или для конкретных задач. Решению задач связанной теории термоупругости посвящены следующие публикации. Задача о тепловом ударе границы полупространства в связанной постановке исследуется в работах [74], [89], [90], [94], Ряд задач связанной термоупругости для стержней рассматривается в [81]. Для частного значения параметра термомеханического взаимодействия, равного единице, решение получено в замкнутой форме [82]. В [78] рассматривается задача о распространении возмущений в бесконечном пространстве, вызванных внезапным повышением давления в сферической полости. Решения получены в виде ряда по параметру связанности, а также для малых значений времени. В [103] найдено температурное поле для больших времен. Приближенное решение задачи о мгновенном нагреве границы сферической полости методом малого параметра и асимптотическим методом малых времен изложено в [95].

В [56] найдено обобщение известного представления решения уравнений классической теории упругости Б. Г. Галеркина [12] на случай связанной задачи термоупругости. В [33] введением новых функций получено обобщение известного представления П. Ф. Папковича [53] на случай связанной задачи термоупругости.

В общем случае получить точное решение задачи аналитически очень сложно, а иногда и невозможно. Поэтому особый интерес представляют приближенные методы решения, в частности, численные методы, в число которых входит и метод конечных элементов.

Вариационный принцип для краевой задачи связанной термоупругости, с учетом работ [87], [88], позволивших с помощью преобразования Лапласа явно включить начальные условия в функционал, был предложен в работе [96]. Впервые конечноэлементные соотношения задачи связанной термоупругости получены в [97].

В работе [14] предложен алгоритм численного интегрирования системы дифференциальных уравнений конечноэлементной модели задачи термоупуго-сти, разработанным алгоритмом решена задача о тепловом ударе поверхности цилиндрической полости. В [16] этим же алгоритмом исследовалась задача о мгновенном нагреве границы сферической полости, в [15] проведен анализ точности и устойчивости указанного алгоритма и решен ряд задач теории термоупругости в связанной и динамической постановках.

Этот алгоритм является составным, к уравнениям динамики и теплопроводности, связанным перекрестными слагаемыми, применяются разные методы, которые потом собираются в единый алгоритм. Метод, использованный для решения уравнения теплопроводности, в этом алгоритме, имеет первый порядок точности, не обладает свойством Ь-устойчивости. Метод, примененный к уравнению динамики, имеет второй порядок точности, не является абсолютно устойчивым, что накладывает ограничения на шаг интегрирования.

В настоящей работе предложены методы численного интегрирования уравнений связанной задачи термоупругости, построенные с учетом внутренних свойств исходной системы и её конечномерной модели, лишенные указанных недостатков. Методы построены на основе методов семейства Рунге-Кутты и метода прямого математического моделирования.

Принципы метода математического моделирования в кратком виде сформулированы в работах [68], [69]. Систематическое изложение метода содержится в [70].

В данной работе, на основе методов семейства Рунге-Кутты, построены новые метода численного интегрирования нестационарной задачи теплопроводности с учетом внутренних свойств системы. Все три метода имеют третий порядок точности, обладают свойством Ь-устойчивости. Первый и второй методы абсолютно устойчивы. Проведен анализ качества построенных методов на ряде тестовых задач и на примере решения модельной задачи об определении нестационарных полей температур ротора паровой турбины. Рассмотрена работа предлагаемых методов в задаче обобщенной теории теплопроводности. Проведен анализ свойств конечноэлементной модели задачи связанной теории термоупругости. Построены алгоритмы численного решения связанной задачи термоупругости и проведен анализ качества их работы.

Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих статьях автора [26], [27], [28], [29], [58].

Заключение

В настоящей работе построены новые методы численного интегрирования нестационарной задачи теплопроводности. Все три метода принадлежат семейству Рунге-Кутты, имеют третий порядок точности, обладают свойством Ь-устойчивости и, за исключением третьего метода, абсолютно устойчивы. Второй и третий методы имеют более высокую точность аппроксимации точного значения переходного множителя при больших значениях произведения шага интегрирования и любого собственного числа интегрируемой системы. Разработаны вычислительные схемы методов в задачах нестационарной теплопроводности. Проведен анализ сходимости итерационных процессов, входящих в численные процедуры методов. Предложен способ организации итерационной процедуры, позволивший улучшить скорость сходимости итерационного процесса второго метода и получить сходимость итерационного процесса третьего метода. Проведен анализ качества работы построенных методов в задачах нестационарной теплопроводности. Решены ряд тестовых задач и модельная задача об определении нестационарных полей температур ротора паровой гурбины. Расчет производился предлагаемыми методами и традиционно используемым в задачах теплопроводности неявным методом Эйлера и методом зторого порядка. Проведенный анализ подтвердил высокую эффективность использования предложенных методов. Наименьшее время счета, при заданной погрешности 5 %, достигается при использовании второго предлагаемого метода, что по сравнению со временем счета неявным методом Эйлера меньше в 3,2 эаза, по сравнению со временем счета методом второго порядка точности - в 1,7 эаз.

Рассмотрена работа предлагаемых методов в задаче обобщенной теории теплопроводности. Организованы численные процедуры методов в этом классе тдач. Проведен анализ сходимости итерационных процессов, входящих в вы-шслительные схемы методов. Предлагаемыми методами, неявным методом Эй-юра и методом второго порядка точности решена задача о мгновенном нагреве границы полупространства, аналитическое решение которой известно. Получению результаты подтверждают высокую эффективность использования первого и второго предлагаемых методов, в то время как неявный метод Эйлера и метод второго порядка точности при том же значении шага интегрирования не воспроизводят решение в полной мере. Использование третьего предлагаемого метода цля решения задач обобщенной теории теплопроводности является неэффективным.

Проведен анализ свойств конечноэлементной модели задачи связанной теории термоупругости. Доказана устойчивость решения системы уравнений за-щчи в конечноэлементной постановке. Получено разложение корней характеристического уравнения задачи по степеням параметра связанности. Определен шд собственных чисел задачи связанной теории термоупругости в конечноэле-1ентной постановке. Построены алгоритмы численного решения связанной за-[ачи термоупругости на основе методов семейства Рунге-Кутты - метода трапе-[ий, метода Гаусса-Лежандра, диагонально неявного метода второго порядка очности и метода прямого математического моделирования. Проведен анализ ачества работы построенных алгоритмов. Решена задача о мгновенном нагреве раницы полупространства, аналитическое решение которой известно. Наиболее ысокая точность при решении одномерных задач достигается при использова-ии алгоритма, построенного на основе метода прямого математического моде-ирования. Этот алгоритм позволяет адекватно отразить специфику рассматри-аемой задачи - резкое изменение температурного поля и поля напряжений и ачественную особенность распространения термоупругой волны, возникающую ри учете эффекта связанности. Алгоритмы, построенные на основе методов се-ейства Рунге-Кутты являются достаточно эффективными, по крайней мере, в ;х случаях, когда изменение полей напряжений и температур являются не шшком быстрыми. Эти алгоритмы могут применяться и в двух- и трехмерных дачах.

1. Алексашенко А. А. Аналитическое исследование тепло- и массопереноса с учетом конечной скорости переноса. Дис. на соиск. учен, степени канд. физ.-мат. наук. Минск, 1968 (ИТМО).

2. Алексашенко А. А., Алексашенко В. А., Селезнев Н. В. Решение уравнений тепло- и массопереноса для тел классической формы с учетом конечной скорости капиллярного движения. Строительная теплофизика. Сборник статей. М.-Л.: Энергия, 1966. - 352 с.

3. Антошин Н. В., Геллер М. А., Парнас А. Л. Гиперболическое уравнение теплопроводности дисперсных систем. // ИФЖ, 1974, т. 26, № 3.

4. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. Пер. с англ. М.: Стройиздат, 1982. - 448 с.

5. Баумейстер К., Хамилл Т. Гиперболическое уравнение теплопроводности. Решение задачи о полубесконечном теле. // Теплопередача, 1969, № 4.

6. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы: Учебное пособие для физ.-мат. спец. вузов. 2-е изд. - Москва; Санкт-Петербург: ФИЗМАТЛИТ: Невский Диалект: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. -630с.

7. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, т. 2. М.: Физматгиз, 1962.-639 с.

8. Бричкин Л. А., Даринский Ю. В., Пустыльников Л. М. Анализ гиперболического процесса теплопроводности для полого цилиндра, нагреваемого подвижным источником. // ИФЖ, 1974, т. 26, № 3.

9. Бубнов В. А. К теории тепловых волн. // ИФЖ, 1982, т. 43, № 3.

10. Буевич Ю. А., Корнеев Ю. А. Дисперсия тепловых волн в зернистом материале. // ИФЖ, 1976, т. 31, № 1.

11. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 527 с.

12. Галеркин Б. Г. Определение напряжений и перемещений в упругом изотропном теле при помощи трех функций. Собр. соч., т. I, Изд-во АН СССР, 1952.-392 с.

13. Гой И. О. Обобщенная теплопроводность термочувствительных ортотропных цилиндрических тел. // ИФЖ, 1985, т. 49, № 3.

14. Грибанов В. Ф., Паничкин Н. Г. Исследование эффекта термомеханического взаимодействия методом конечных элементов. // Прикладная механика, 1979, т. 15, №6.

15. Грибанов В. Ф., Паничкин Н. Г. Связанные и динамические задачи термоупругости. М.: Машиностроение, 1984. 184 с.

16. Грибанов В. Ф., Паничкин Н. Г. Численное решение термоупругой задачи для неограниченного тела со сферической полостью. // Прикладная механика, 1981, т. 17, № 3.

17. Даниловская В. И. Температурные напряжения в упругом полупространстве, возникающие вследствие внезапного нагрева его границы. // Прикладная математика и механика, 1950, т. XIV, вып.З.

18. Даниловская В. И. О динамической задаче термоупругости. // Прикладная математика и механика, 1952, т. XVI, вып.З.

19. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. Пер. с англ. М.: Мир, 1988. -334 с.

20. Драбл Дж., Голдсмит Г. Теплопроводность полупроводников. Пер. с англ. -М.: Изд. иностр. лит., 1963. 266 с.

21. Дутка В. А. Об эффективности применения одного варианта метода конечных элементов для решения нелинейных нестационарных задач теплопроводности. // ИФЖ, 1997, т. 70, № 2.

22. Живова Н.Б., Исполов Ю.Г. Новый метод решения задач нестационарной теплопроводности. XXVII неделя науки СПбГТУ, 7-12 декабря 1998, часть III, материалы межвузовской научной конференции (физико-механический факультет). СПб, изд-во СПбГТУ 1999 г.

23. Зенкевич О. К. Метод конечных элементов в технике. Пер. с англ.; Под ред. Б. Е. Победри. М.: Мир, 1975. 541 с.

24. Исаков Н. Ю., Исполов Ю. Г., Шабров Н. Н. Метод численного интегрирования уравнений динамики больших конечноэлементных моделей. Проблемы прочности, 1987, № 12.

25. Исполов Ю. Г. Численное решение задачи Коши для конечномерных математических моделей механических систем. // Труды СПбГТУ, 1993, № 446.

26. Исполов Ю.Г., Постоялкина Е.А., Шабров H.H. Новые методы численного интегрирования уравнений связанной задачи термоупругости. // Электр, журнал Дифференциальные уравнения и процессы управления, № 3, 1998 (http://www.neva.ru/journal).

27. Исполов Ю.Г., Шабров Н. Н. Конечноэлементный анализ нестационарных полей температур в деталях ГТУ. Проблемы прочности, 1989, № 12.

28. Калиткин Н. Н. Численные методы. -М. Наука, 1978. 512 с.

29. Калиткин H.H., Кузьмина JI.B. Интегрирование жестких систем дифференциальных систем уравнений. Москва, Ин. прикл. матем. им. М. В. Келдыша АН СССР, 1981, препринт № 80. 23 с.

30. Коваленко А. Д. Основы термоупругости. Киев: Наукова думка, 1970. -308 с.

31. Ковальков В.П. Об уравнениях теплопроводности, учитывающих конечную скорость фононов. ИФЖ, 1997, т. 70, № 1.

32. Коляно Ю. М., Хомякевич Е. П., Гой И. О. Обобщенная теплопроводность термочувствительных разнородных тел, сопряженных с помощью тонкогопромежуточного слоя. // ИФЖ, 1988, т. 55, № 4.

33. Коляно Ю. М., Хомякевич М. Е. Обобщенная теплопроводность в телах с покрытиями, учитывающая кривизну покрытия. // ИФЖ, 1993, т. 65, № 3.

34. Коннор Дж., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. Пер. с англ. Л.: Судостроение, 1979. 264 с.

35. Коренев Б.Г. Задачи теории теплопроводности и термоупругости. Решения в бесселевых функциях. М.: Наука, 1980. 400 с.

36. Краснюк И. Б., Каражанов С. Ж. О некоторых свойствах гиперболического уравнения теплопроводности. // ИФЖ, 1998, т. 71, № 3.

37. Лакуста К. В., Тимофеев Ю. А. Условия применимости гиперболического уравнения теплопроводности в многомерных ограниченных телах. ТВТ, 1982, т. 20, вып. 1.

38. Левицкий В. П., Онышкевич В. М., Яськевич И. Т. Плоская задача термоупругости при неидеальном тепловом контакте между штампом и полупространством. // Прикладная механика, 1997, т. 33, № 3.

39. Ленюк М. П., Середюк 3. Л. Обобщенные температурные поля в полом шаровом секторе. // Математические методы и физико-механические поля, 1981, вып. 14.

40. Любов Б. Я., Соболь Э. Н. Процессы теплопереноса при фазовых превращениях под действием интенсивных потоков энергии. // ИФЖ, 1983, т. 45, № 4.

41. Лыков A.B. Тепломассообмен. Справочник. М.: Энергия, 1978. 479 с.

42. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. Пер. с англ.; Под ред. Н. Н. Яненко. М.: Мир, 1981. 214 с.

43. Мотовиловец И. А. О термомеханическом поведении гибкой ортотропной круглой пластины. // Прикладная механика, 1999, т. 35, № 4.

44. Найфэ А.Х. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. 535 с.

45. Немировский С. К. Гидродинамика и теплопередача в сверхтекучем гелии. // ИФЖ, 1982, т. 43, №4.

46. Николаев В. И. Моделирование температурного поля бетонных блоков "BESSER" в условиях стандартного пожара. // ИФЖ, 1997, т. 70, № 2.

47. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. Пер. с польск. М: Мир,1970.-256 с.

48. Новиков И. А. Гиперболическое уравнение теплопроводности. Решение прямых и обратных задач для полуограниченного стержня. // ИФЖ, 1978, т. 35, № 4.

49. Пантелят М. Г. Численное моделирование термонапряженного состояния охлаждаемых импульсных соленоидов электрофизической аппаратуры. // Прикладная механика, 1999, т. 35, № 4.

50. Папкович П. Ф. Теория упругости. JI.-M.: Оборонгиз, 1939. 640 с.

51. Пассос Моргадо К. М., Подильчук Ю. Н., Рубцов Ю. К. Применение метода ближних характеристик к исследованию нестационарных температурных полей в задачах обобщенной теплопроводности. // Докл. HAH Украины, Сер. А, 1996, №2.

52. Пелех Я. Н. Алгоритм построения А-устойчивых методов для численного интегрирования дифференциальных уравнений. // Математические методы и физико-механические поля, 1981, вып. 14.

53. Подстригач Я. С. О влиянии температурного рассеяния на напряженное состояние деформируемого тела. Изв. АН СССР, ОТН, 1960, 4.

54. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. JL: Судостроение, 1974. 342 с.

55. Постоялкина Е.А., Исполов Ю.Г., Шабров H.H. Метод повышенного порядка точности в расчете нестационарного температурного поля ротора паровой турбины. XXVIII неделя науки СПбГТУ. Часть III, материалы межвузовской научной конференции. СПб, 2000 г.

56. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий Н.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979. - 208 с.

57. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989. - 429 с.

58. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. Пер. с англ.; Под ред. Б. Е. Победри. М.: Мир, 1979. 392 с.

59. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Дж. Холл и Дж. Уатт, ред.: Пер. с англ. М.: Мир, 1979.-312 с.

60. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. Пер. с англ.; Подред. Г. И. Марчука. М.: Мир, 1977. 349 с.

61. Сыромятников Н. И., Ясников Г.П. Процессы переноса тепла, массы и импульса в дисперсных средах. // ИФЖ, 1987, т. 53, № 5.

62. Федотов А. Ф., Радченко В. П., Ермоленко М. А. Конечноэлементная осесимметричная модель теплового режима при самораспространяющемся высокотемпературном синтезе заготовок в сыпучей оболочке. // ИФЖ, 2002, т. 75, № 4,

63. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. Пер. с англ. М. : Мир, 1999. - 685 с.

64. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. Пер. с англ. М.: Мир, 1990,- 512 с.

65. Шорр Б. Ф. Прямое математическое моделирование процесса распространения механических возмущений в твердых деформируемых телах. // Проектирование и доводка авиационных ГТД. Куйбышев: Изд. КуАИ. 1976. Вып. 78.

66. Шорр Б. Ф., Мельникова Г. В. Расчет конструкций методом прямого математического моделирования. М.: Машиностроение, 1988. - 160 с.

67. Штеттер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. Пер. с англ.; Под ред. Г. И. Марчука. М.: Мир, 1978.-461 с.

68. Axelsson О. A class of A-stable methods. // BIT, 1969, vol. 9, pp. 185-199.

69. Biot M. A. Thermoelasticity and irreversible thermodynamic. // J. Appl. Phys., 1956, vol. 27, №3.

70. Boley B. A., Tollins I. S. Transient coupled thermoelastic boundary value problems in the half-space. // Trans. ASME, Ser. E, 1962, vol. 29, № 4.

71. Butcher J. C. On Runge-Kutta processes of high order. // J. Austral. Math. Soc.,1964, vol. IV, Part 2.

72. Cattaneo C. Atti del Seminario matematico e fisico délia Université di Modena, 3, 1948.

73. Cattaneo C. Sur une forme de l'équation de la chaleur éliminant le paradoxe d'une propagation instantanée. // Comptes rendus, 1958, vol. 247, № 4.

74. Chadwick P. Thermoelasticity. The dynamical theory. Progress in solid Mechanics, vol. 1, ch. 6. Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1960.

75. Curtiss C. F., Hirschfelder J. O. Integration of stiff equations. // Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1952, 38.

76. Dahlquist G. A special stability problem for linear multistep methods. // BIT, 1963, vol. 3, pp.27-43.

77. Dillon O. W., Jr. Coupled thermoelasticity of bars. // Trans. ASME, Ser. E, 1967, vol. 34, № 1.

78. Dillon O. W., Jr. Thermoelasticity when the material coupling parametr equlas unity. Trans. ASME, Ser. E, 1965, vol. 32, № 2.

79. Ehle B. L. High order A-stable methods for the numerical solution of systems of DEs. //BIT, 1968, vol. 8, pp. 276-278.

80. Euler L. Institutionum Calculi Integralis, Volumen Primum, Opera Omnia, vol. XI, 1768.

81. Gear C. W. Numerical Initial Value Problems in Ordinary Differential Equations.-N. J., 1971.-253 pp.

82. Glass D. E., Ôziçik M. N., Vick B. Non-Fourier effects on transient tepperature resulting from periodic on-off heat flux. International Journal of Heat and Mass Transfer, 1987, vol. 30, № 8.

83. Gurtin M. E. Variational principles for linear initial-value problems. // Quart. Appl. Math., 1964, vol. 22, № 3.

84. Gurtin M. E. Variational principles for linear elastodynamic. // Arch. Rat. Mech. Anal., 1964, vol. 16, № 1.

85. Hetnarski R. B. Coupled one-dimentional thermal shock problem for small times. Arch. Mech. Stos., 1961, vol.13, № 2.

86. Hetnarski R. B. Coupled thermoelastic problem for the half-space. // Bull. Acad. Polon. Sci., Série Sci. Techn., 1964, vol. 12, № 1.

87. Heun K. Neue Methode zur approximativen Integration der Differentialgleichungen einer unabhängigen Veründerlichen, // Zeitschr. Für Math. u. Phys., 1900, vol. 45, p. 23-38.

88. Kutta W. Beitrag zur näherungsweisen Integration totaler Differentialgleichungen. //Zeitschr. Für Math. u. Phys., 1901, vol. 46, p. 435-453.

89. Lambert J. D. Computational methods in ordinary differential equations. N. J., 1973,273 pp.

90. Muki R., Breuer S. Coupling effects in a transient thermoelastic problem. Österr. Ing.-Archiv., 1962, vol. 16, № 4.

91. Nariboli G. A. Spherically symmetric thermal shock in a medium with thermal and elastic deformations coupled. // Quart. J. Mech. Appl. Math., 1961, vol. 14, № 1.

92. Nicell R. E., Sakmann J. L. Approximate solutions in linear, coupled thermoelasticity. // Trans. ASME, Ser. E, 1968, vol. 35, № 2.

93. Nicell R. E., Sakmann J. L. Variational principles for linear coupled thermoelasticity. // Quart. Appl. Math., 1968, vol. 26, № 1.

94. Runge C. Üeber die numerische Auflösung von Differentialgleichungen. // Math. Ann., 1895, vol. 46, p. 167-178.

95. Scherer R. A necessary condition for B-stability. BIT, 1979, vol. 19, pp. 111-115.

96. Sternberg E., Chakravorty J. G. On inertia effects in a transient thermoelastic problem. // Trans. ASME, Ser. E, 1959, vol. 26, № 4.

97. Sternberg E., Chakravorty J. G. Thermal shock in an elastic body with a spherical cavity. // Quart. Appl. Math., 1959, vol. 17, № 2.

98. Vernotte P. Les paradoxes de la théorie continue de l'équation de la chaleur. // Comptes rendus, 1958, vol. 246, № 22.

99. Wilms E. V. Temperature induced in a medium due to suddenly applied pressure inside a spherical cavity. // Trans. ASME, Ser. E, 1966, vol. 33, № 4.

100. РОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕН.^'1. БШШШ^' ,