автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Развитие и применение метода фиктивных канонических областей

На правах рукописи

УДК 539.3

Гладкий Сергей Леонидович

РАЗВИТИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ФИКТИВНЫХ КАНОНИЧЕСКИХ ОБЛАСТЕЙ

05.13.18 -Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь 2005

Работа выполнена на кафедре "Динамика и прочность машин" в Пермском государственном техническом университете

Научный руководитель - доктор технических наук,

профессор Ясницкий Леонид Нахимович

Официальные оппоненты:

докторфизико-м»тематических наук, профессор Русаков C.B. доктор технических наук, профессор Елтышев В. А.

Ведущая организация - Институт механики сплошных сред Уральского отделения РАН, г. Пермь

Защита состоится 23 декабря 2005 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.189.09 в Пермском государственном университете по адресу: 614600, г. Пермь, ул. Букирева, д. 15, зал заседаний Ученого Совета ПГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного университета

Автореферат разослан 2005 г.

Уче ны й секретарь диссертационного совета

ЛутмановС.В.

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена аналитическому методу решения краевых задач математической физики - методу фиктивных канонических областей (ФКО).

Актуальность работы. В настоящее время подавляющее большинство краевых задач решается численными методами, которые являются достаточно универсальными, но обладают одним общим недостатке»! - не всегда позволяют надежно оценить точность полученного решения. Подтверждением последнего может служить тот факт, что сейчас все чаще приходится слышать о катастрофах на объектах ответственного назначения, которые вызваны ошибками проектирования. Метод ФКО позволяет надежно оценивать полученный результат решения, однако он не является столь универсальным как современные численные методы - отчасти в силу своей специфики как метода, но главным образом из-ва недостаточного развития. Поскольку надежность приобретает все большее значение при проектировании, развитие метода ФКО, повышение его универсальности является крайне актуальной задачей.

Следует также отметить, что для успешного применения любой аналитический метод требует глубокого качественного анализа теории и уравнений поставленной задачи, что ведет к развитию теоретической базы и может быть использовано в других областях и методах. Таким образом, развитие аналитических методов вообще всегда является важной задачей и вносит вклад в развитие науки.

Целью работы является развитие метода ФКО, а именно: формулировка теории метода в общем виде для применения ее к различным типам краевых задач; создание библиотеки ФКО, необходимой для решения практических задач; распространение метода на новые типы краевых задач; разработка новых алгоритмов для повышения универсальности метода. Также ставится цель создания универсальной программы, реализующей все алгоритмы метода, использующей современные технологии программирования и обладающей интерактивным интерфейсом. Программа будет использоваться для практического применения, для демонстрации преимуществ метода и выявления возможных недостатков для последующего их устранения, а также для продвижения идеологии

применения надежных методов при решении задач ответственного назначения.

Научная новизна работы заключается в следующем: во-первых, теория метода ФКО изложена в общем виде в терминах функционального анализа, что позволяет легко применить метод для различных классов краевых задач. Теория метода распространена на новые типы краевых задач - задач термоупругости при произвольном распределении температуры и нестационарные задачи теплопроводности. Для этого получено множество частных решений плоских уравнений термоупругости и общих решений плоских уравнений нестационарной теплопроводности. Показана и реализована возможность решения нестационарных задач с изменяющимися границами. Разработаны четыре метода оптимизации решений, которые повышают универсальность метода ФКО и позволяют существенно повысить точность решений. Два метода предложены автором, два разработаны совместно с научным руководителем. Разработан итерационный алгоритм для решения контактных задач теории упругости методом ФКО.

Достоверность полученных результатов основана на научной достоверности предшествующих достижений в области математической физики; на тестировании всех полученных формул и разработанных алгоритмов с помощью созданной программы, сравнении с решениями, полученными другими методами; на применении современных математических методов.

Метод ФКО использует уравнения математической физики для описания поведения некоторой физической величины в аналитической форме, то есть в той форме, в которой они были получены математикам и - основоположниками теории краевых задач. Эти уравнения имеют под собой экспериментальное обоснование, единственность решений строго математически доказана. Кроме того, само решение задачи методом ФКО является аналитическим и удовлетворяет тождественно основному уравнению задачи. Поэтому все полученные автором частные и общие решения уравнений теплопроводности, термоупругости были проверены на удовлетворение соответствующим уравнениям. Для вывода решений и проверки использовалась программа аналитических вычислений Maple 6, а это практически исключает ошибку в аналитических преобразованиях.

Разработанная автором программа REGIONS позволила протестировать все решения и предложенные алгоритмы. Тестирование

проводилось как качественное, так и количественное. Качественное тестирование осуществлялось сопоставлением результатов решений с представлениями о поведении моделируемой функции. Количественное тестирование проводилось по сопоставлению результатов, полученных с использованием различных ФКО, и с решениями, полученными другими методами.

Научная и практическая ценность работы состоит в том, что она вносит существенный вклад в развитие метода ФКО, который в настоящее время является одним ш немногих методов решения краевых задач, позволяющих просто и надежно оценивать полученный результат, и в то же время решать задачи с достаточно сложной геометрией.

В рамках работы теория метода распространена на новые типы краевых задач - задач термоупругости и нестационарных задач, в том числе с изменяющимися границами. Предложен алгоритм решения контактных задач теории упругости.

Разработанные новые алгоритмы оптимизации позволяют существенно улучшить точность решения и делают метод более универсальным.

Работа содержит обширный материал по плоским и осесимметричным уравнениям теории теплопроводности, упругости и термоупругости, а также множество частных и общих решений этих уравнений, которые собраны го различных источников литературы, либо получены автором. Все эти решения заложены в базу ФКО разработанной программы REGIONS.

Программа REGIONS является универсальной программой, основанной на методе ФКО, которая может решать практические краевые задачи в классе рассматриваемых в работе. В REGIONS реалгоованы все изложенные в работе алгоритмы метода ФКО для решения плоских и осесшметричных стационарных задач теплопроводности, теории упругости и термоупругости, а также плоских нестационарных задач теории теплопроводности. Программа использовалась для решения некоторых практических задач, а также для обучения студентов в ВУЗах г. Перми.

Автор надеется, что работа будет способствовать более широкому распространению аналитических методов, позволяющих надежно оценивать точность решения, и пониманию необходимости их применения при проектировании изделий ответственного назначения.

Апробация работы. Отдельные разделы диссертации докладывались автором на:

1. X Всероссийской конференции молодых ученых "Математическое моделирование в естественных науках". Пермь. 2001.

2. XL международной научной студенческой конференции. Математика. 2002.

3. XXIV конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М В. Ломоносова. 2002.

4. VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике.

5. Всероссийской научно-технической конференции: Аэрокосмическая техника и высокие технологии. Пермь. 2002.

6. XII Всероссийской конференции молодых ученых "Математическое моделирование в естественных науках". Пермь. 2003.

7. III Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием. Ростов-на-Дону, Азов. 2003.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 6 работ (5 статей и одна монография).

Личный вклад автора. Автор расширил область применения метода ФКО на задачи термоупругости и нестационарной теплопроводности. Необходимые для этого решения также получены автором: частные решения уравнений термоупругости в декартовой и цилиндрической системах координат для плоских задач и в цилиндрической и сферической системах для осесимметричного случая; общие решения нестационарных уравнений теплопроводности для плоского случая в декартовой и цилиндрической системах координат.

Предложенные четыре метода оптимизации также разработаны автором, два го них - совместно с научным руководителем. Предложен и реализован итерационный алгоритм решения контактных задач теории упругости, адаптированный для метода ФКО.

Программа REGIONS полностью разработана автором. Она создавалась в течение пяти лет по мере добавления новых типов краевых задач, новых решений для ФКО, разработки новых алгоритмов. Все решения краевых задач, приведенные в работе, также получены автором с помощью данной программы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и шестнадцати приложений, содержит 54 рисунка, список цитируемой литературы из 84-х наименований, изложенных на 4-х страницах.

Содержание работы

Во Введении говорится о существующем парадоксе в вычислительной математике: все краевые задачи решаются численными методами, как правило не дающими возможности надежно оценить точность результатов; аналитические методы являются более надежными, но не развиты настолько, чтобы решать сложные задачи.

Метод ФКО, предложенный Л.НЯсницкийм в 1973 г, по мнению автора в настоящее время является наиболее перспективным аналитическим методом, поскольку он позволяет просто и надежно оценивать полученный результат, и в то же время решать задачи с достаточно сложной геометрией. Однако он недостаточно развит на сегодняшний день для создания универсальных программ.

Основной целью настоящей работы ставится развитие метода

ФКО.

Первая глава "Теоретические основы метода фиктивных канонических областей" содержит пять разделов. В первом разделе "Постановка и классификация физических краевых задач" дается формулировка физической краевой задачи (то есть задачи для описания распределения физической величины) в общем виде: найти функцию

£/(х,г)е Р, удовлетворяющую в течение промежутка времени

[г0, те ] € Л в пределах исходного тела £) 6 Я3 основному уравнению

задачи

Ь(и{х,т))=А(я{х,т)), 5с е Д те[тй,те] (1)

на поверхности Я тела О в течение промежутка времени [г0, те ] -граничным уравнениям

вЖхЛ1„=В'т{х,т) т = Ш те{т0,те]

ш=\

(2)

в начальный момент времени Т0 в пределах тела И - начальным уравнениям задачи

Предполагается, что все операторы и функции, входящие в постановку, обладают такими свойствами, что задача имеет решение и оно единственно, а также однородное уравнение

Ь{и{х,т)) = 0, хеД те[т0,те] (4)

имеет бесконечное м ножество линейно независимых решений. В работе рассматриваются только линейные краевые задачи.

Во втором разделе "Методы решения краевых задач и оценка погрешности" все методы решения разделяются на методы, которые точно удовлетворяют всем уравнения; точно удовлетворяют основному уравнения и приближенно краевым уравнениям; методы, удовлетворяющие приближенно всем уравнениям. Из последних двух, первые методы поддаются надежной оценке, в то время как последние практически невозможно проверить на точность, так как погрешность вносится в уравнения, моделирующие поведение самой искомой функции (основное уравнение). Методы также подразделяются на аналитические и численные. Все существующие численные методы относятся к последнему типу методов. Наконец автор утверждает, что на сегодняшний день методы оценки погрешности численных результатов практически не применимы в реальных расчетах.

В третьем разделе "Метод фиктивных канонических областей" вводится понятие общего решения основного уравнения, как линейной комбинации всех решений однородного уравнения

ОР

и^(х,г)=^с„и„{х,т) (5)

л=0

и частное решение С/Л(х, г), как любое решение неоднородного

уравнения, не содержащее слагаемые общего решения. Решением основного уравнения вообще может быть сумма частного решения и любая конечная линейная комбинация слагаемых общего решения

и'ы {х, г) = и1* {х, т)+£с„ ип (х, г) (6)

и=1

Однако решение уравнения не является решением краевой задачи, так как не обязательно удовлетворяет краевым условиям.

Бесконечность слагаемых общего решения дает возможность предположить, что найдется такое решение уравнения, что краевые условия будут удовлетворены с некоторой точностью, то есть существует конечное число слагаемых, для решения задачи методом

Треффца с заданной точностью. Трудность заключается именно в выборе ограниченного числа базисных функций.

Далее, метод ФКО формулируется как методика выбора ограниченного числа базисных функций для решения краевой задачи методом Треффда. Методика основана на геометрической интерпретации особых классов функций, которые можно выделить в общем решении. Интерпретация заключается в том, что подбором коэффициентов бесконечной линейной комбинации данных функций, можно удовлетворить практически любым краевым условиям ш некоторой простейшей (канонической) области. Такие классы функций и названы фиктивными каноническими областями. Использование геометрической интерпретация позволило сформулировать и доказать теорему продолжимости: отыскание коэффициентов разложения ФКО является корректной по Адамару задачей в том и только в том случае, если искомое решение продолжим о в области пересечения ФКО (их геометрических образов).

Фактически, выбор базисных функций сводится к выбору и расположению относительно исходного тела некоторого набора ФКО. При выборе ФКО используют критерии, следующие из теоремы продолжимости: критерий геометрической близости заключается в том, что область пересечения ФКО должна быть близка геометрически с исходной областью краевой задачи; критерий совмещения особенностей состоит в требовании совмещения особенностей искомого решения и особенностей базиеклх функций ФКО.

Метод ФКО как полная процедура решения краевой задачи состоит га следующих этапов:

1. Получение частного и общего решений основного уравнения задачи.

2. Формирование различных ФКО.

3. Выбор и расположение относительно исходного тела некоторого набора ФКО с использованием теоремы продолжимости и критериев выбора ФКО и представление искомой функции в

N

виде и (х, г) = и* (х, г)+]Гсл ип (х, г)

да I

4. Нахождение неизвестных коэффициентов сп из условия

приближенного удовлетворения краевым уравнениям, для чего формируется и решается система линейных алгебраических уравнений.

5. Анализ качества решения путем расчета полученных краевых условий и сравнения их с заданными. Если решение не

г

удовлетворяет исследователя, необходимо снова перейти к

выбору ФКО.

Таким образом, метод ФКО, как метод решения краевых задач является аналитическим методом, в котором основное уравнение удовлетворяется тождественно, а краевые уравнения - приближенно.

Из этого следует его основное преимущество — точность решения задач методом ФКО поддается надежной оценке. Для этого необходимо вычислить лишь отклонение полученного решения от заданных краевых условий. Для задач, где справедлив принцип максимума, такая оценка будет исчерпывающей, то есть максимальная невязка краевых уравнений будет являться максимальным отклонением искомой функции от точного решения в пределах всего тела.

Во многих реальных задачах, в силу их постановки, допускается отклонение граничных условий на некоторую величину. Это может быть связано, например, с тем, что условия получены при измерении в эксперименте, а измерительные приборы всегда имеют погрешность. Если невязки краевых условий при решении методом ФКО укладываются в допустимые, то вопрос о качестве решения вообще снимается и фактически метод ФКО может рассматриваться как точный агалиггический метод решения.

В четвертом разделе "Методы удовлетворения краевым уравнениям" рассматриваются два метода удовлетворения краевым условиям - метод коллокаций и метод наименьших квадратов (МНК), и проводится их сравнение.

Согласно методу коллокаций система разрешающих уравнений формируется ш условия удовлетворения краевым условиям в некоторых выбранных точках, называемых точками коллокаций.

По методу МНК краевые условия удовлетворяются в интегральном смысле. Для этого формируется функционал краевых условий, представляющий интеграл от квадрата разности искомой функции на границе и заданных краевых значений. Из условия минимальности функционала формируется система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных коэффициентов.

Формулы формирования СЛАУ для метода коллокаций являются более простыми по сравнению с МНК и требуют меньше времени для вычисления. Однако количество точек коллокаций жестко связано с числом неизвестных, что вносит определенные неудобства.

МНК является более гибким, он позволяет рассматривать всю границу и варьировать число ее разбиений для численного интегрирования, чтобы достичь необходимой точности. Он также

позволяет вводить коэффициенты коррекции, для изменения значимости того или иного краевого условия. Матрица разрешающей СЛАУ для МНК является симметричной, и это позволяет экономить ресурсы и применять специальные методы решения.

В пятом разделе "Постановка некоторых типов краевых задач" содержится четыре подраздела, в каждом из которых приводится постановка одного типа краевой задачи.

В задаче стационарной теплопроводности основное уравнение -уравнение Лапласа, и искомой функцией является температура. Для данной задачи рассмотрены основные возможные граничные условия: условие первого рода, условие симметрии, условие третьего рода, а также условие сплошности (идеального контакта) и условие контакта с термическим сопротивлением.

Задача нестационарной теплопроводности описывается уравнением Фурье, то есть появляется зависимость от времени. Возможные граничные условия аналогичны предыдущей постановке, а также появляется начальное условие - распределение температуры в начальный момент времени.

Креме того, для метода ФКО существуетвозможность решения нестационарных задач с изменяющимися границами.

В задаче линейной теории упругости основное уравнение -уравнение равновесия. Оно может быть записано в терминах напряжений или перемещений. Для данной задачи возможны следующие граничные условия: кинематические, статические, смешанные, условие симметрии, условие сплошности, условие сопряжения с натягом. При наличии объемных сил основное уравнение является неоднородным. Наиболее распространеннымимассовымисиламиявляются сила тяжести и центробежные силы.

Задача термоупругости отличается от предыдущей тем, что деформации в теле вызваны не только напряжениями, но и температурным расширением, то есть в физических соотношениях появляется зависимость от температуры. Отсюда - уравнения равновесия в перемещениях являются неоднородными, даже при отсутствии массовых сил. Поэтому, для решения задачи методом ФКО необходимо получить частное решение уравнений термоупругости, соответствующее распределению температуры. В общем случае этого сделать нельзя, однако, если распределение температуры найдено также методом ФКО, оно представлено в виде конечной суммы. Слагаемые этой суммы известны с точностью до постоянных множителей, поэтому можно построить частное решение уравнений термоупругости также в

виде суммы. Таким образом можно решать задачи термоупругости при произвольном распределении температур.

Вторая глава "Развитие метода фиктивных канонических областей" содержит четыре раздела.

Первый раздел " Система REGIONS " посвящена описанию разработанной автором программы REGIONS, основой которой является метод ФКО.

Программа REGIONS написана на языке Object Pascal в Delphi 7, обладает современным настраивающимся интерфейсом, использует графику OpenGL и несколько DLL, написанных авторш на языке Fortran.

Программа поддерживает девять типов анализа: плоская задача стационарной теплопроводности, плоская стационарная задача теории упругости и термоупругости (плосконапряженное и плоскодеформированное состояниях осесимметричная стационарная задача теплопроводности, упругости и термоупругости, плоская нестационарная задача теплопроводности. Для всех типов анализа существует несколько базовых типов ФКО. На их основе пользователь может создавать собственные типы ФКО.

На границах областей могут быть заданы любые граничные условия, рассмотренные в главе 1. Разработанный автором транслятор формул позволяет задавать произвольный вид граничных условий. В качестве начальных условий для нестационарного анализа может быть использовано уже полученное решение стационарной или нестационарной задачи. На любой части границы можно задать свой коэффициент коррекции. Для формирования системы разрешающих уравнений в программе реализован метод нашеньших квадратов, интегралы для вычисления коэффициентов матрицы берутся методом прямоугольников, для чего граница области может быть разбита на произвольное число отрезков.

Для решения СЛАУ программа предлагает семь различных процедур: три реализованы автором на языке Object Pascal, четыре импортированы из математической библиотеки IMSLb виде DLL.

В программе предусмотрена возможность вычисления точности решения, реализованы предложенные методы оптимизации решения, существует внутренний язык программирования. Встроенные дополнительные алгоритмы матемэтического анализа (аппроксимация, интерполяция, вычисление определенных интегралов и т.д.) позволяют проводить промежуточные вычисления и проводить дополнительную обработку результатов непосредственно в среде программы, не прибегая к дополнительному программному обеспечению.

Так же в этом разделе рассматриваются методы решения СЛАУ, реализованные в REGIONS. Возможность их применения в методе ФКО анализируется на решении примера. Процедуры решения, импортированные из библиотеки MSL обладают высокой скоростью, по сравнению с реализованными автором на языке Object Pascal, однако они не всегда применимы. Это связано с тем, что автор при реализации собственных процедур использовал тип чисел с большей точностью. Такт« образом, различные процедуры должны быть использованы в зависимости от того, требуется ли высокая скорость или точность решения.

Второй раздел "Алгоритмы оптимизации решений в методе фиктивных канонических областей" содержит описание и примеры использования четырех алгоритмов оптимизации решений разработанных авторш. Данные алгоритмы позволяют достаточно автоматически улучшить точность решения задачи и делают первый шаг в создании интеллектуальной программы, моделирующей деятельность математика при аналитическом решении краевых задач.

Алгоритм оптимизации расположения ФКО предназначен для уточнения расположения выбранных фиктивных областей с целью обеспечения максимальной точности при определенном числе слагаемых. Поскольку делается попытка моделировать деятельность математика, алгоритм построен на представлении о том, как эту задачу выполнил бы человек: ФКО последовательно перемещаются на некоторое расстояние в направлении, обеспечивающем минимальную погрешность (определяется методом золотого сечения), если на данном расстоянии нет точки, с меньшей погрешностью - расстояние изменяется. Таким образом делается некоторое число итераций для всех ФКО.

Метод оптимизации общего решения предназначен для исключения "лишних" слагаемых из решения. Под "лишними" понимаются такие слагаемые, которые не участвуют в удовлетворении граничных условий (например, антисимметричные слагаемые при условиях симметрии). Формально, они не должны оказывать влияние на решение, а должны обращаться в ноль. Однако, в силу того, что сам процесс формирования и решения СЛАУ ведется численно, в результате можно получить значительное снижение в точности. В сложных задачах такие слагаемые достаточно трудно определить. Предложенный алгоритм основан на анализе функционала граничных условий, который вычисляется после решения задачи. Сначала вычисляется функционал с учетом всех найденных коэффициентов. Затем последовательно исключаются каждое го слагаемых, и вычисляется значение

функционала. Если данное значение функционала мало отличается от первоначального, слагаемое считается лишним.

Метод опт им изации коэффициентов коррекции позволяет автоматически изменить коэффициенты коррекции граничных условий на различный участках поверхности с целью равномерного распределения невязок удовлетворения граничным уравнениям. Алгоритм является итерационным. На каждой итерации решается задача с заданными коэффициентами коррекции, вычисляются невязки граничных условий на каждом участке и их среднее значение. Все значения сравниваются со средним, и коэффициенты изменяются в соответствующее число раз. Итерации повторяются до тех пор, пока все значения невязок не станут примерно равными.

Метод игнорирования £ -окрестности предназначен для оптимизации решений с разрывными граничными условиями. При решении задач методом ФКО в случае наличия разрывов в граничных условиях, возникает эффект, подобный эффекту Гиббса при разложении разрывных функций в ряды Фурье. Это приводит к большой погрешности вблизи особой точки. Для исключения эффекта, предложен метод, заключающийся в игнорировании граничных условий в некоторой окрестности разрыва при формировании разрешающей СЛАУ. Обычно в таких задачах, для реализации больших градиентов, рядом с особой точкой помешают сингулярную ФКО. При этом существует оптимальное значение величины окрестности игнорирования в зависимости от степени сингулярности и расстояния до особой точки ФКО, так как при большой £ мы допускаем произвольные условия, а при ее стремлении к нулю получаем эффект Гиббса. Такая зависимость может быть построена расчетным путем для различных классом задач и использована в дальнейшем, что и было сделано для плоской задачи теплопроводности. Предложенный метод обладает простотой, как в понимании, так и в программной реализации, что важно при разработке универсальных программ. При этом улучшение качества решения вблизи особых точек не приводит к уменьшению точности на остальных участках границы.

Все алгоритмы оптимизации позволяют существенно увеличить точность решения задачи при определенном числе слагаемых или сохранить точность при уменьшении числа слагаемых. Эффективность и правильность методов демонстрируется на решении задач, которые приводятся в работе.

В следующем разделе приводится пример применения метода ФКО для решения нестационарной задачи теплопроводности с изменяющимися границами. В настоящей работе впервые метод ФКО

применен для решения нестационарных задач. Результаты решения задачи согласуются с представлением о нестационарном процессе теплопроводности: при изменении границы нагреваемого тела, температура в некоторой точке наблюдения меняется быстрее, чем при отсутствии движения нагреваемой границы.

В последней разделе "Решение контактной задача линейной статической теории упругости методом фиктивных канонических областей" дается постановка плоской контактной задачи теории упругости и итерационный алгоритм для решения данного типа задач методом ФКО. Согласно этому алгоритму, сначала формируется бесконтактная часть разрешающей СЛАУ, то есть матрица и вектор, отвечающие за граничные условия вне области контакта. На каждой итерации формируется контактная СЛАУ; полная СЛАУ - путем суммирования контактной и бесконтактной; решается итоговая СЛАУ; рассчитываются контактные усилия, и проверяется условие сходимости. Если условие выполнено - итерации прекращаются. Особенность алгоритма в тем, что на каждой итерации необходимо рассматривать только условия на границах контакта, и если они гораздо меньше остальной части, что часто бывает в реальных задачах, время на одну итерацию много меньше, чем на решение такой же задачи без учета контакта. Применение алгоритма продемонстрировано на решении задачи о контакте диска и хвостовика лопатки в замковом соединении турбины.

В Третьей главе "Применение метода ФКО" приведены четыре задачи, для решения которых методом ФКО использована программа REGIONS.

В первом разделе язык внутреннего программирования использован для исследования напряженно-деформированного состояния плашки для вытяжки проволоки. Целью исследования является нахождение зависимости максимального главного напряжения от геометрических параметров и параметров нагружения. Для этого написана программа на внутреннем языке программирования, которая меняет геометрию и нагрузки и решает задачу. По проведенной таким образом серии расчетов построена номограмма зависимости напряжения от геометрии и нагрузки. По данной номограмме можно определить предельные параметры, чтобы не допустить разрушение плашки.

Во втором разделе метод ФКО применен для решения задачи о концентраторе напряжений. При проектировании газотурбинного двигателя в промежуточном диске были сделаны круглые отверстия для подвода охлаждающего воздуха. При этом получена недопустимо

высокая концентрация напряжений. Целью задачи является определение параметра овальности отверстия, который снижает коэффициент концентрации до приемлемого уровня, при этом площадь отверстия должна оставаться одинаковой для сохранения потока охлаждающего воздуха. Для решения задачи проведена серия расчетов модельной задачи о концентраторе напряжений. Для автоматизации этого расчета была также составлена программа на внутреннем языке программирования. В результате получено необходимое значение параметра овальности.

В третьем разделе решена термоупругая задача о распределении напряжений в сечении твердотопливного двигателя. Задача решена как модельная, для некоторых безразмерных параметров. При этом получено аналитическое решение с точностью удовлетворения граничных условий 0,01%, которое можно считать точным в практических расчетах.

В последнем разделе решена задача о моделировании и оптимизации процесса получения искусственно-керамического покрытия цилиндра двигателя внутреннего сгорания. Для решения задачи исследования зависимости характеристик покрытия и получения опгшальной геометрии электрода был решен ряд задач о распределении потенциала электромагнитного поля. Задачи решались в программе ЯЮ1СЖ8 с использованием написанной на внутреннем языке программы. Была получека аналитическая зависимость проюводигельности процесса искусственно-керамического покрытия для упрощенной модели, и оптимальные геометрические параметры для полной модели покрытия, а также выявлены возможные проблемные зоны, то есть места, где покрытие может быть неравномерным.

Заключение

В ходе работы получены следующие основные результаты:

1.Теория метода ФКО сформулирована в общем виде в терминах функционального анализа.

2.Метод распространен на решение задач термоупругости при произвольном распределении температуры. Для применения метогода получены частные решения уравнений термоупругости, соответствующие общим решениям уравнений теплопроводности: для плоских задач - в декартовой и цилиндрической системах координат, для осесииметричных в цилиндрической и сферической системах.

3.Метод распространен на решение нестационарных задач теплопроводности, в том числе с изменяющейся границей. Получены

обшие решения плоских нестационарных уравнений теплопроводности в декартовой и цилиндрической системах координат.

4. Создана универсальная программа REGIONS, реализующая метод ФКО для решения плоских и осесимметричных стационарных задач теплопроводности, теории упругости и термоупругости, плоских нестационарных задач теплопроводности.

5.Предложены и реализованы программно четыре метода оптимизации решений: метод оптимизации расположения ФКО, метод оптимизации решения, метод оптимизации коэффициентов коррекции, метод оптимизации решений с разрывными граничными условиями.

6.Предложен и реализован программно итерационный алгоритм решения контактных задач теории упругости. Алгоритм продемонстрирован на решении задачи.

7.Программа REGIONS использована для решения нескольких практических задач, а также при обучении студентов, при выполнении других дипломных и кандидатских работ.

В приложениях к диссертации приводятся:

- уравнения стационарной теплопроводности для плоских задач - в декартовой и цилиндрической системах координат, для осесимметричных - в цилиндрической и сферической системах, а также их общие решения, собранные в литературе.

- уравнения статической теории упругости (уравнения равновесия, физические и геометрический соотношения) в декартовой и цилиндрической системах координат для плосконапряженного и плоскодеформированного состояний, в цилиндрической и сферической системах для осесимметричного случая, а также их общие решения, взятые из литературы и частные решения для некоторых видов массовых сил (сил тяжести и центробежных сил).

уравнения статической термоупругости: для плосконапряженного и плоскодеформированного состояний - в декартовой и цилиндрической системах координат, для осесимметричных задач - в цилиндрической и сферической системах; их частные решения, соответствующие общим решениям температурных задач, полученные автором.

- уравнения нестационарной теплопроводности для плоских задач в декартовой и цилиндрической системах координат и их общие решения, полученные авторш.

- геометрическая интерпретация приведенных общих решений.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1. Гладкий СЛ., Симакина Н.И., Ясницкий J1.H. О возможностях метода фиктивных канонических областей для решения задач теории упругости // Динамика и прочность машин. Вестник ПГТУ /Перм. Гос. Техн. Ун-т. Пермь, 2000. № 1.

2. Гладкий СЛ., Ясницкий Л.Н. Алгоритмы оптимизации базисных разложений в методе фиктивных канонических областей//Динамика и прочность машин. Вестник ПГТУ / Перм. Гос. Техн. Ун-т. Пермь, 2001. № 2.

3. Гладкий СЛ., Ясницкий J1.H. Решение задач линейной термоупругости методом фиктивных канонических областей// Динамика и прочность машин. Вестник ПГТУ / Перм. Гос. Техн. Ун-т. Пермь, 2003. № 3.

4. Гладкий СЛ., Степанов H.A., Ясницкий Л.Н. Компьютерное моделирование и оптимизация процесса получения искусственно-керамических покрытий // Динамика и прочность машин. Вестник ПГТУ / Перм. Гос. Техн. Ун-т. Пермь, 2005. №4.

5. Гладкий СЛ., Степанов H.A., Ясницкий Л.Н. Интеллектуальное компьютерное математическое моделирование. - Пермь: Пермский Государственный Университет, 2005. - 158 с.

6. Гладкий СЛ. Ясницкий Л.Н. Об оценке погрешности метода фиктивных канонических областей. - Известия Академии наук. Механика твердого тела, 2002, № 6.

Демонстрационная версия программы REGIONS помещена на сайге http://YYWw.pspu.nl/tegions/.

Подписано в печать 16.11.2005 г. Печать офсетная Тираж 100 экз. Заказ Отпечатано на ризографе ООО «Учебный центр «Информатика» 614990 г. Пермь, ул. Букирева, 15

»24142

РНБ Русский фонд

2006-4 27453

i 'i'

\