автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Методы теории канонических моментов в задачах анализа и планирования регрессионных экспериментов

Введение.

Глава 1. Теория моментов вероятностных мер.

1.1 Введение.

1.2 Пространство моментов.

1.3 Канонические моменты.

1.4 Определители Ганкеля.

1.5 Q-D алгоритм.

1.6 Метод канонических моментов для оценивания параметров распределений.

1.7 Выводы.

Глава 2. Смежные вопросы в теории канонических моментов.

2.1 Введение.

2.2 Опорные полиномы.

2.3 Непрерывные дроби и преобразование Стилтьеса.

2.4 Специальные последовательности канонических моментов.

2.5 Выводы.

Глава 3. Теория канонических моментов и оптимальное планирование эксперимента.

3.1 Введение: регрессионные модели.

3.2 Оптимальные планы эксперимента.

3.3 D- и G-оптимальные планы для полиномиальной регрессии.

3.4 Планирование экспериментов для многофакторных полиномиальных моделей.

3.5 Выводы.

Глава 4. Регрессионные модели Фурье.

4.1 Введение.

4.2 Пространство тригонометрических моментов и канонические представления.

4.3 Канонические моменты мер на круге.

4.4 Преобразование Стилтьеса для вероятностных мер на круге, ортогональные полиномы и непрерывные дроби.

4.5 Планирование экспериментов для моделей тригонометрической регрессии.

4.6 Выводы.

Глава 5. Дискриминация полиномиальных моделей на основе теории канонических моментов.

5.1 Введение.

5.2 Дискриминирующие планы при геометрическом усреднении.

5.3 Дискриминирующие планы при взвешенном ^-усреднении.

5.4 Выводы.

Одним из важных инструментов современных наукоемких исследований, связанных с методами обработки статистической информации, является теория вероятностей и ее многочисленные приложения. Как правило, всякое описание реальных систем с помощью математических моделей должно учитывать элементы случайности в виде погрешностей измерений, ошибок задания начальных данных, влияния внешних помех и т.д. В связи с этим необходимо изучение базовых понятий теории вероятностей и математической статистики, которые позволяют адекватно описывать сложные объекты, часто различные по свое природе, но обладающие одними и теми же определенными свойствами.

Диссертация посвящена изучению ряда свойств одного из объектов, рассматриваемых теорией вероятностей - вероятностной меры - на основе теории канонических моментов, а также применению этой теории для решения задач анализа, оптимального планирования эксперимента и разработке аналитического и программного обеспечения соответствующих разделов теории.

Хорошо известно, что важной характеристикой любой вероятностной меры является последовательность ее моментов. Имеет место так называемая проблема моментов Хаусдорфа, заключающаяся в идентификации меры по заданной последовательности моментов. Нами изучаются вопросы, которые возникают в том числе и при разрешении проблемы Хаусдорфа, связанные с понятием канонических моментов вероятностной меры. Основная идея в их рассмотрении заключается в том, чтобы от обычных моментов, зависящих, что немаловажно при большинстве как численных, так и аналитических вычислений, от интервала, на котором распределена мера, перейти к инвариантным, "нормированным" в некотором смысле, характеристикам меры. Как оказывается при детальном рассмотрении этих характеристик, получаемые канонические моменты оказываются более тесно связаны со свойствами соответствующей вероятностной меры, чем ее обычные моменты, что дает возможность применять их в различных областях статистики наряду с известными методами исследований.

Необходимо отметить, что излагаемая теория стала интенсивно развиваться только в последние несколько лет. Впервые понятие канонических моментов было использовано М. Скибински (M. Skibinski) в 1967-1968 гг., и его исследования на эту тему были опубликованы в работе [64]. Однако результаты этой работы были не востребованы в течение почти тридцати лет, пока в 1997 году не появилось фундаментальное исследование X. Детте и В. Дж. Стаддена (H. Dette & W. J. Studden) [43]. В нем было произведено обобщение многих приложений, связанных с применением теории канонических моментов. На него опирались и мы, поскольку в отечественной литературе нам не удалось обнаружить каких-либо публикаций о канонических моментах.

Канонические моменты вероятностной меры могут быть определены несколькими различными способами. Так, например, их можно задать чисто "геометрическим" определением, основанном на понятии пространства моментов. Другой способ, более практичный, использует определители Ганкеля для выражения канонических моментов. В связи со структурой этих определителей возникает возможность рекурсивной алгоритмизации процесса получения канонических моментов из моментов обычных (так называемый Q-D алгоритм). Данным исследованиям посвящена глава 1 представляемой работы. Наряду с каноническими моментами вводятся понятия ассоциированных последовательностей Ç- и у-характеристик заданной вероятностной меры, взаимооднозначно связанных с каноническими моментами.

Часто в задачах математической статистики возникает необходимость оценивать параметры распределений по заданной выборке, для чего широко применяется метод моментов, связанный с решением системы (нелинейных) уравнений, составляемых путем приравнивания аналитических выражений моментов постулируемого распределения их выборочным аналогам. В разделе 1.6 нами предложен метод канонических моментов, основанный на переходе от последовательности выборочных моментов к соответствующей ей последовательности выборочных канонических моментов и соответствующего приравнивания последних аналитическим выражениям канонических моментов. Доказана теорема о состоятельности оценок, получаемых методом канонических моментов, а для ряда распределений (Р-, Г-, обратное Г-, Па-рето, Пирсона VI рода) получены аналитические выражения для оценок параметров, получаемых этим методом.

В главе 2 рассматриваются некоторые приложения теории канонических моментов. Разделы 2.1 и 2.2 посвящены теории ортогональных полиномов и ее связи с теорией канонических моментов. Рассматриваются основные свойства ортогональных полиномов, их представление с помощью рядов и рекуррентных соотношений, а также их геометрическая интерпретация как опорных полиномов к пространству моментов. Изучается способ получения канонических моментов, соответствующих мере ортогональности заданной последовательности ортогональных полиномов, а также основанный на последнем рекурсивный алгоритм определения обычных моментов по заданным каноническим (так называемое обратное отображение). В разделе 2.3 приводятся некоторые сведения из теории непрерывных дробей. Рассматриваются различные способы представления непрерывных дробей, их разложения и свертки, некоторые полезные их свойства. Вводится преобразование Стилтьеса для заданной вероятностной меры и рассматривается его представление как в виде степенного (асимптотического) ряда, коэффициентами которого являются обычные моменты заданной меры, так и в виде непрерывной дроби, коэффициентами которой являются ¿¡-характеристики. Последние результаты позволяют в разделе 2.4 построить однозначные соответствия между заданными последовательностям канонических моментов определенного "специального" вида и вероятностными мерами - т.е. разрешить проблему Хаусдорфа с помощью канонических моментов. Полученное нами предложение 2.4.2 позволяет восстанавливать вероятностные меры, распределенные на интервале [-1,1], по заданной последовательности канонических моментов специального вида.

Глава 3 целиком посвящена теории планирования оптимального эксперимента. В первых двух разделах этой главы вводятся основные понятия и приводятся некоторые важные теоремы, рассматриваются фр-критерии Ки-фера и изучаются на примере квадратичной модели планы, оптимальные для оценивания ведущего коэффициента регрессии (ЕММ-оптимальные планы). Здесь же производится сравнение точных и непрерывных планов для такой модели на основе понятия фр-эффективности. Для рассматриваемых моделей полиномиальной регрессии в разделе 3.3 строятся Б- и в-оптимальные планы. Здесь применяется представление критерия оптимальности через отношение определителей Ганкеля, что дает возможность перейти от оптимизации по точкам плана и его весам, когда оптимизационная процедура наталкивается на ограничения типа равенства (сумма весов равна 1), к оптимизации критерия по положительным (^-характеристикам, не связанным такими ограничениями. Оказывается, что на основе теории канонических моментов Б-оптимальный план для оценивания полного вектора параметров может быть получен путем отыскания корней полиномов Лежандра, а Бг оптимальный план для оценивания ведущего коэффициента регрессии сосредоточен в нулях полиномов Чебышева второго рода. И хотя эти результаты являются хорошо известными, нам кажется, что способ их получения, представляемый в работе, очень органично вписывается в возможности рассматриваемой теории канонических моментов. Кроме того, необходимо отметить, что предложенный в разделе 2.3 в теореме 2.3.13 способ идентификации вероятностных мер по заданному преобразованию Стилтьеса может быть использован для построения оптимальных планов для моделей произвольной регрессии, где для моделей с небольшим числом параметров возможно получение аналитических результатов.

В разделе 3.4 рассматривается задача построения Б-оптимальных планов для многофакторных полиномиальных моделей. Получен аналитический метод определения последовательности канонических моментов меры, соответствующей О-оптимальному плану. Кроме случая полной многофакторной модели рассматриваются "неполные" полиномиальные модели, удовлетворяющие условию Рёдера, для которых также представлен метод построения Б-оптимальных планов.

В главе 4 рассматривается применение подходов теории канонических моментов для регрессионных моделей Фурье, для вероятностных мер, распределенных на тригонометрическом круге. Показано, что основные определения, свойства и теоремы, справедливые для мер, распределенных на вещественной прямой, могут быть переформулированы и доказаны в терминах мер, распределенных на круге. Нами получен метод построения последовательности тригонометрических канонических моментов заданной меры, сходный по своей структуре с алгоритмом. В разделе 4.5 показано, что Б-оптимальными планами для моделей тригонометрической регрессии являются представители нескольких классов вероятностных мер, объединенные одним общим свойством, формулируемым в терминах теории канонических моментов, а именно - Б-оптимальные планы должны обладать тривиальными последовательностями тригонометрических канонических моментов. Получены Б5-оптимальные планы, применяемые для наилучшего оценивания б наивысших пар коэффициентов модели. Рассмотрен случай, когда каждому члену модели Фурье сопоставлено некоторое экспертное значение, соответствующее его "весу" в рассматриваемой модели (нами рассматривались так называемые С-модель, Б-модель, взвешенная (а,(3)-модель и обобщенная взвешенная модель); нами получены значения тригонометрических канонических моментов, соответствующие ф-оптимальному плану в этом случае, на основе разработанного в главах 2 и 4 алгоритмов восстановлен аналитический вид соответствующих этим последовательностям тригонометрических канонических моментов планов.

Заключительная глава 5 посвящена изучению задачи дискриминации конкурирующих моделей полиномиальной регрессии. В ней под термином "дискриминация" понимается процесс построения такого плана эксперимента, на основании которого можно было бы сделать вывод о том, какая из рассматриваемых регрессионных моделей наиболее соответствует изучаемому явлению. В частности, для полиномиальных моделей эта задача редуцируется к задаче определения наивысшей степени полинома, входящей в модель, коэффициент при которой не равен нулю. Задаваясь некоторой максимально возможной степенью регрессии Ы, вводится (следуя предложенному в [43]) понятие вектора предпочтения моделей, компоненты которого отражают степень уверенности экспериментатора в адекватности модели той или иной степени п<14, на основании чего строится аналитическое представление последовательности канонических моментов меры, соответствующей плану эксперимента, называемому дискриминирующим, оптимального по критерию геометрического усреднения (раздел 5.2) и по критерию взвешенного ^-усреднения (раздел 5.3). Согласно разработанным нами алгоритмам производится восстановление планов, заданных аналитически определенными последовательностями канонических моментов.

Практическая реализация методов решения рассматриваемых в работе задач представлена в приложениях. Приложение 1 содержит программный модуль для вычисления КМ на основе алгоритма, приложение 2 - численный метод нахождения Б-оптимальных планов на основе нулей полиномов Лежандра. В приложении 3 рассматривается задача планирования оптимальных экспериментов для моделей стойкости режущего инструмента, приводится обоснование метода решения задачи, основанного на теории канонических моментов, для двух- и трехфакторных моделей разрабатываются программные модули на МАРЬЕ 6, позволяющие наиболее эффективно использовать возможности системы символьных вычислений для решения задачи оптимального планирования. Приложения 4 и 5 содержат программы (основанные на теоретических положения глав 4 и 5) для построения оптимальных вероятностных мер для моделей Фурье и Ч^-оптимальных планов для дискриминации полиномиальных моделей соответственно.

Результаты исследований неоднократно представлялись на различных научных конференциях в Новосибирске (в том числе [47], [62]), , Красноярске ([8], [9], [25], [31]), Ульяновске ([30]), на научных семинарах факультета прикладной математики и информатики НГТУ (1999-2002гг.). Опубликовано четыре статьи в сборнике научных трудов НГТУ ([7], [26], [27], [28]).

В заключение необходимо отметить, что представляемая работа охватывает далеко не все области применения теории канонических моментов. В связи с большим интересом в последнее время (в особенности в зарубежной литературе) к данному вопросу, нам представляется весьма перспективным развитие этого направления исследований, развитие как самой теории канонических моментов, так и методов ее применения в приложениях.

5.4. Выводы

В главе 5 были представлены методы дискриминации полиномиальных моделей на основе теории канонических моментов. Показано, что из-за невозможности одновременного решения задач дискриминации моделей до степени п включительно (при попарном сравнении моделей), необходимо введение весового вектора предпочтения моделей, что позволяет эффективно решать рассматриваемую задачу. Обнаружен подкласс векторов предпочтений, для которого существует точное аналитическое решение задачи оптимального планирования, базирующееся на основе теории канонических моментов. Показано, что биномиальное распределение не может быть использовано в качестве дискриминирующего плана для полиномиальной регрессии, поскольку компоненты вектора предпочтений при его использовании принимают значения, находящиеся за интервалом [0,1], что противоречит их природе. Для обобщенного ¥р-усреднения относительно заданного вектора предпочтений определены последовательности канонических моментов, соответствующие оптимальным планам. Восстановление оптимальных планов при обоих видах усреднения проводится согласно методу, разработанному в главах 2 и 3, основанному на использовании преобразования Стилтьеса для восстанавливаемых планов. Произведено сравнение оптимальных дискриминирующих планов, возникающих при разных критериях усреднения, на основе Б]-эффективности.

Заключение

Многие современные исследования, безусловно базирующиеся на статистическом анализе математических моделей, связаны с рассмотрением вероятностных мер и их свойств. Большой спектр применения понятия вероятностной меры делает необходимым существование эффективных методов работы с ней. С этой точки зрения рассмотренный в работе подход, основанный на анализе таких характеристик вероятностных мер как канонические моменты, дает достаточно развитой аналитический аппарат для работы с мерами, позволяет применять эти средства в различных приложениях, приводит к обобщению ряда свойств объектов, которые с первого взгляда кажутся совершенно различными, создает возможности разработки новых алгоритмов решения хорошо известных и актуальных задач.

Нами исследованы возможности теории канонических моментов на примерах некоторых распределений ((3-, Г-, обратное Г-, Парето, Пирсона VI рода), и мы считаем, что работа в этом направлении может быть продолжена. Здесь одним из важных аспектов является возможность разрешения проблемы моментов Хаусдорфа - идентификации меры по своим моментам - новым способом, который возможно будет использовать наряду с хорошо известными. Построен рекурсивный алгоритм, позволяющий по заданной последовательности (обычных) моментов вероятностных мер строить соответствующую последовательность канонических моментов. На основе этого алгоритма для вышеперечисленных распределений получены аналитические выражения элементов последовательностей канонических моментов и ассоциированных последовательностей и у-характеристик меры. Сравнение последовательностей моментов и канонических моментов (или ассоциированных характеристик) позволяет сделать вывод о том, что более простой вид последних делает возможным их применение во многих других приложениях статистики.

В работе предложен метод канонических моментов для оценивания параметров распределений, основанный на приравнивании выборочных и аналитических значений канонических моментов (или ассоциированных С,- и у-характеристик) и решении получающейся системы уравнений относительно неизвестных параметров. Доказана теорема о состоятельности оценок, получаемых методом канонических моментов. Показано, что в ряде случаев применения метода канонических моментов появляются возможности аналитического решения систем уравнений, тогда как при использовании метода (обычных) моментов для этих же распределений возможно получение только численных результатов. Таким образом, оценки, получаемые по методу канонических моментов, могут быть использованы в различных приложениях наряду с оценками, получаемыми другими хорошо известными методами.

Рассмотренная связь теории ортогональных полиномов и канонических моментов позволяет решать задачу определения меры ортогональности по заданной последовательности порождаемых ею ортогональных полиномов и задачу определения самих полиномов по мере, не прибегая к процессу орто-гонализации, а используя рекуррентные соотношения, включающие С,-характеристики меры ортогональности. На основе разложения преобразования Стилтьеса заданной вероятностной меры в непрерывную дробь или представления его в виде отношения двух рекуррентно вычисляемых полиномов построен алгоритм восстановления вероятностной меры, заданной последовательностью своих канонических моментов. Показано, что для мер с конечным спектром, которым соответствуют конечные последовательности канонических моментов, применение этого алгоритма приводит к получению аналитических результатов.

При решении задач оптимального планирования экспериментов предложено представление критериев оптимальности (как функционалов от информационной матрицы) в терминах канонических моментов искомых оптимальных планов. Для случая Б-оптимальности в условиях полиномиальной модели на основе теории канонических моментов определена последователь

164 ность канонических моментов, соответствующая Б-оптимальному плану, и показано, что его спектр сосредоточен в нулях ультрасферических полиномов, что подтверждает уже известный в теории планирования факт. Аналогичным образом построены последовательности канонических моментов, соответствующие ЕММ-оптимальным планам, использующихся для наилучшего оценивания ведущего коэффициента полиномиальной регрессии, и восстановлены сами ЕММ-оптимальные планы.

При изучении многофакторных полиномиальных моделей, когда оптимальный план является декартовым произведением планов, соответствующих каждому из рассматриваемых факторов, рассмотрен класс неполных моделей, удовлетворяющих условию Рёдера, и построен соответствующий алгоритм определения О-оптимального плана. Отличительной особенностью предложенного класса алгоритмов планирования является отсутствие в нем итерационности и решения задач многомерной оптимизации по весам и точкам искомого плана, применяемой при использовании обычных алгоритмов последовательного планирования, поскольку собственно "оптимизация" выполняется (как правило, в аналитическом виде) на этапе определения последовательности канонических моментов, соответствующей оптимальному плану, а затем используется алгоритм восстановления оптимального плана по его последовательности канонических моментов.

При изучении периодических явлений удобно использование не стандартных (например, полиномиальных), а тригонометрических регрессионных моделей, которые были рассмотрены в настоящей работе. При использовании таких моделей приходят к понятию тригонометрических канонических моментов, для вычисления которых нами разработан соответствующий рекурсивный алгоритм. Как показано в работе, методы планирования экспериментов для тригонометрических моделей в целом (по структуре) повторяют аналогичные методы для моделей полиномиального типа, но имеют некоторые отличия, связанные с особенностями пространства планирования и интерпретации компонентов оптимальных планов. Для восстановления планов, задан

165 ных последовательностями своих тригонометрических канонических моментов разработан алгоритм, сходный по структуре с аналогичным алгоритмом для моделей полиномиальной регрессии. Предложено условие Б-оптималь-ности планов экспериментов при использовании модели тригонометрической регрессии. Показано, что кроме равномерных планов этому условию удовлетворяют и некоторые неравномерные, и потому дальнейшее изучение данного вопроса (об определении классов неравномерных Б-оптимальных планов) представляет существенный интерес.

Возможности теории канонических моментов были исследованы для решения задачи дискриминации полиномиальных моделей, когда из класса моделей необходимо выделить наиболее адекватную. При рассмотренных методах геометрического и ^р-усреднения построены соответствующие оптимальным планам последовательности канонических моментов и на основе алгоритма восстановления вероятностной меры получены аналитические выражения компонентов оптимальных планов. Исследовано поведение точек оптимальных планов при изменении параметров усреднения.

Важное значение имеет использование рассмотренной теории на практике, поскольку достаточно часто результаты теории оптимального планирования, столь необходимые в современных условиях экономии средств, не находят своего применения. В этих целях в представленной работе изучена задача оптимального планирования для моделей стойкости режущего инструмента и на основе применения теории канонических моментов в условиях многофакторной полиномиальной модели построено необходимое аналитическое и алгоритмическое обеспечение данной задачи.

Отметим, что представленная работа имеет в большей степени теоретическую направленность и во главу угла ставит не получение многочисленных численных результатов, но получение аналитического и алгоритмического аппарата, на основе которого могут быть развиты выделенные в работе направления исследований. И в этом смысле многочисленные взаимосвязи канонических моментов с различными объектами позволяют применять

166

1. Ахиезер Н.И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа. Москва: Физматгиз, 1961. - 310 с.

2. Беллман Р. Введение в теорию матриц. Москва: "Наука", 1969. - 388 с.

3. Боровков A.A. Математическая статистика. Оценка параметров. Проверка гипотез. Москва: "Наука", 1984. - 472 с.

4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Москва: "Наука", 1988. - 552 с.

5. Григорьев Ю.Д. Некоторые вопросы построения планов эксперимента при нелинейной параметризации. // Дисс. канд. техн. наук. Новосибирск: НЭТИ, 1975.

6. Григорьев Ю.Д., Тамонцев С.Ю. Планирование экспериментов на основе преобразования Стилтьеса. // Сборник научных трудов НГТУ, №3, 1998.

7. Григорьев Ю.Д., Щеколдин В.Ю. Канонические моменты вероятностных мер. // Сборник научных трудов НГТУ №3(21), 2000.

8. Григорьев Ю.Д., Щеколдин В.Ю. Планирование оптимальных экспериментов на основе теории канонических моментов. // Тезисы научно-практической ФАМ-конференции. Красноярск, 2001.

9. Григорьев Ю.Д., Щеколдин В.Ю. Применение теории канонических моментов в планировании экспериментов. // Тезисы научно-практической ФАМ-конференции. Красноярск, 2000.

10. Джонс У., Трои В. Непрерывные дроби. Москва: "Мир", 1985. - 414 с.

11. Дьяконов В.П. Математическая система MAPLE V R3/R4/R5. Москва: "Солон", 1998.-400 с.

12. Иохвидов И.С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Москва: "Наука", 1974.-264 с.

13. Карманов B.C., Смагин Г.И. Оптимизация режимов сверления с использованием двухфакторных стойкостных моделей. Сборник научных трудов НГТУ №2(15), 1999.

14. М.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Москва: "Наука", 1978. - 832 с.

15. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. Москва: Физмат-гиз, 1963.-460 с.

16. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. -Москва: "Наука", 1972. 232 с.

17. Прохоров Г.В., Леденев М.А., Колбеев В.В. Пакет символьных вычислений МАРЬЕ V. Москва: "Петит", 1997. - 200 с.

18. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. // Ред. Абрамович М., Стиган И. Москва: "Наука", 1979.- 832 с.

19. Стилтьес Т. Исследования о непрерывных дробях. Харьков-Киев: ДНТВУ, 1936.- 102 с.

20. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. Москва: Физ-матгиз, 1976. - 328 с.

21. Тамонцев С.Ю. Нелинейное планирование эксперимента методом непрерывных дробей. // Магистерская диссертация. Новосибирск: НГТУ, 1997.-96 с.

22. Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. Москва: "Наука", 1971.-312 с.

23. Хинчин А .Я. Цепные дроби. Москва: Физматгиз, 1961. - 112 с.

24. Хованский А.Н. Приложения цепных дробей и их обобщения к вопросам приближенного анализа. Москва: ГИТТЛ, 1936. - 88 с.

25. Щеколдин В.Ю. Дискриминация полиномиальных моделей путем оптимизации определителей Ганкеля. // Тезисы научно-практической ФАМ-конференции. Красноярск, 2001.

26. Щеколдин В.Ю. Оптимальное планирование для оценивания коэффициентов в тригонометрической регрессионной модели Фурье. // Сборник научных трудов НГТУ №3, 2002.

27. Щеколдин В.Ю. Оценивание параметров распределений на основе теории канонических моментов. // Сборник научных трудов НГТУ №5, 2001.

28. Щеколдин В.Ю. Построение планов экспериментов для дискриминации полиномиальных моделей на основе теории канонических моментов. // Сборник научных трудов НГТУ №7, 2001.

29. Щеколдин В.Ю. Построение точных Элфвинг-оптимальных и G-оптимальных планов для квадратичной регрессии. // Выпускная квалификационная работа бакалавра. Новосибирск: НГТУ, 1997. - 65 с.

30. Щеколдин В.Ю. Применение теории канонических моментов в планировании экспериментов для регрессионных моделей Фурье. // Тезисы научно-практической ФАМ-конференции. Красноярск, 2002.

31. Щеколдин В.Ю. Теория канонических моментов и ее приложения. // Магистерская диссертация. Новосибирск: НГТУ, 1999. - 123 с.

32. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции (формулы, графики, таблицы). Москва: "Наука", 1968. - 784 с.

33. Atkinson A., Donev A. Optimal experimental designs. Oxford: Oxford University Press. - 1992. - 340 p.

34. Box G.E.P., Lucas H. Design of experiments in non-linear situations. // Biometrica. 1959. - vol. 46. - p. 77-90.

35. Chihara T.S. Introduction to orthogonal polynomials. Gordon & Bench, New York, 1978.-436 p.

36. Dette H. Designing experiments with respect to standardized optimality criteria. // J. Roy. Statist. Soc. 1997. - Ser B, 59. - s. 97-110.

37. Dette H. Experimental design for a class of weighted polynomial regression models. // Comp. Stat, and Data Analysis. 1992. - vol. 14. - p. 359-373.

38. Dette H., Haller G. Optimal designs for the identification of the order of a Fourier regression. //Ann. Stat. 1998. - vol. 26. - p. 1496-1521.

39. Dette H., Melas V. Optimal design for estimating coefficients in Fourier regression models. Preprint, Ruhr-Universitat Bochum, 2001. - 40 p.

40. Dette H., Roeder I. Optimal product designs for multivariate regression with missing terms. // Scand. J. Stat. 1996. - vol. 23. - p. 195-208.

41. Dette H., Sperlich S. Some applications of Stieltjes transforms in the construction of optimal designs for nonlinear regression models // Computational Statistics and Data Analysis 1996. - vol. 21. - p. 273-292.

42. Dette H., Studden W.J. Theory of canonical moments and its applications in statistics, probability and analysis. John Wiley & Sons Inc. - New York, 1997. -330 p.

43. Dette H., Wong W.K. On G-efficiency calculation for polynomial models. // Ann. Stat. vol. 23. - p. 2081 -2101.

44. Elfving G. Design of linear experiments. // Probability and Statistics, U. Grenandered., Wiley. New York. - 1959. - p. 58-74.

45. Elfving G. Optimum allocation in linear regression theory. // Ann. Math. Stat. -1952.-vol. 52.-p. 255-262.

46. Grigoriev Yu.D., Schekoldin V.Yu. Canonical moments theory for experimental design. // Abstract booklet of the international conference "KORUS-2000" -Novosibirsk, 2000.

47. Hill P.D.H. A note on the equivalence of D-optimal design measures for three rival linear models. // Biometrica. 1978. - vol 65. - p. 665-667.

48. Hoel P. Minimax design in two-dimensional regression. // Ann. Math. Statist. -1965. -№36 -p. 1097-1106.50.1mhof L. Optimum exact designs for polynomial regression. Preprint, Hamburg, 1999.-40 s.

49. Jacobsen L. Orthogonal polynomials, chain sequences, three-term recurrence relations and continued fractions. // Lecture notes in Mathematics. SpringerVerlag, Berlin.- 1990.-vol. 1435.-p. 89-101.

50. Jung W. G-optimale Versuchplanung fur die Regressionsgerade y(x)=0i+62x. // Biometrische Zeitschrift. 1971. - Bd. 13. - s. 369-375.

51. Karlin S., Studden W.J. Tchebycheff systems: with applications in analysis and statistics. Interscience, New York, 1966. - 314 p.

52. Kiefer J. Optimum experimental designs. // J. Roy. Stat. Soc. 1959. - Bd. 21. - s. 272-319.

53. Kiefer J., Studden W.J. Optimal designs for large degree polynomials. // Ann. Stat. 1976. - vol. 4. - p. 1113-1123.

54. Kiefer J., Wolfowitz J. Optimum design in regression problems. // Ann. Math. Stat. 1959.-vol. 30.-p. 271-294.

55. Krafft O., Schaefer M. Exact ElfVing-minimax designs for quadratic regression. // Statistica Sinica. 1995. - vol. 5. - p. 475-484.

56. Lau T.S., Studden W.J. Optimal desings for trigonometric and polynomial regression. //Ann. Math. Stat. 1985. - vol. 13. - 1985. p. 383-394.

57. Perron O. Die Lehre von den Kettenbruchen. Bd. I und II. - Teubner Verlagsgesellschaft Stuttgart, 1957. - 108 s., 120 u.

58. Pukelsheim F., Studden W.J. E-optimal designs for polynomial regresión. // Ann. Stat. vol. 21. - p. 402-415.

59. Sahm M. Optimal designs for estimating individual coefficients in polynomial regression. // Dissertation zur Erlanging des Doktorgrades der Naturwissenschaften der Fakultat fur Mathematik. Ruhr-Universitat Bochum, 1998. -107 s.

60. Schekoldin V.Yu. On distribution parameters estimation. // Abstract booklet of the 1 st graduate school inter-university scientific conference "Young researchers of the XXI century". Novosibirsk, 2000.

61. Shohat J.A., Tamarkin J.D. The problems of moments. American Mathematical Society. - Providence, Rhode Island, 1963.

62. Skibinski M. Extreme n-th moments for distributions on 0,1. and the inverse of a moment space map. // J. App. Probab. 1968. - vol. 5 - p. 693-701.

63. Skibinski M. Principal representations and canonical moments sequences on an interval. // J. App. Prob. 1986. - vol. 120 - p. 95-120.

64. Skibinski M. The range of the (n+l)-th moment for distributions on 0,1. // J. App. Prob. 1967. - vol. 4 - p. 543-552.

65. Stieltjes T.J. Recherches sur les fraction continues. // Annales de la faculté des sciences de Toulouse pour les sciences mathimatique et les sciences physique. -1894.-J. 8.-p. 1-122.

66. Studden W.J. Ds-optimal designs for polynomial regression using continued fraction.//Ann. Stat. 1980.-vol. 8.-p. 1132-1141.

67. Szego G. Orthogonal polynomials. American Mathematical Society, 531 West 116 St. - New York, 1959. - 500 p.

68. Wall H.S. Analytic theory of continued fractions. New York, Van Nostrand, 1948.-250 p.

69. Wong W.K. G-optimal designs for multi-factor experiments with heterosce-dastic errors. // J. of Stat. Planning and Interface. 1994. - vol. 40. - p. 127133.

70. Wynn H. Results in the theory and construction of D-optimum experimental designs. // J. Roy. Stat. Soc. 1972. - Bd. 34. - s. 133-147.