автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Разработка методов решения задач векторной оптимизации по неточным моделям

ВВЕДЕНИЕ

1. ЗАДАЧИ ПЛАНИРОВАНИЯ РЕГРЕССИОННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

И ОПТИМИЗАЦИИ ПО НЕТОЧНЫМ МОДЕЛЯМ. II

1.1. Общие задачи оптимизации с неточными моделями.II

1.1Л. Принцип неразличимости для скалярных задач.

1.1.2. Векторные задачи оптимизации с неточными моделями.

1.2. Регрессионные задачи планирования эксперимента и оптимизации.

1.2.1. Некоторые допущения.

1.2.2. Скалярная оптимизация по регрессионной модели на основе принципа неразличимости

1.2.3. Планирование регрессионных экспериментов

1.2.3.1. Понятия и критерии оптимальности планов

1.2.3.2. Разрешающая способность регрессионной модели и -критерии оптимальности планов.

1.3. Формулировка цели исследований.

2. ОТНОШЕНИЯ ПРВДОЧТЕНИЯ И НЕРАЗЛИЧИМОСТИ В ЗАДАЧАХ ВЕКТОРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ С НЕТОЧНЫМИ

МОДЕЛЯМИ.

2.1. Отношение неразличимости в векторных задачах оптимизации.

2.2. Отношение предпочтения в векторных задачах в условиях неразличимости.

2.3.Проверка векторных задач на определенность

2.4. Об области оптимума и ее вццеление*.

Выводы по второй главе.

3. ВЕКТОРНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ПО РЕГРЕССИОННЫМ МОДЕЛЯМ

3.1. Отношения неразличимости и предпочтения в векторной задаче с регрессионными моделями.

3.2. Анализ векторной задачи на определенность Исследование свойств и способов выделения области оптимума.

3.2.1. Анализ задачи на определенность.

3.2.2. Свойства и способы выделения области оптимума.

3.3. Примеры.

Выводы по третьей главе.

4. АЛГОРИТМЫ ВЫДЕЛЕНИЯ ОБЛАСТИ ОПТИМУМА В

ВЕКТОРНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ С НЕТОЧНЫМИ

МОДЕЛЯМИ.

4.1. Алгоритмы выделения области оптимума для скалярных задач оптимизации.

4.1 Л. Модификация метода градиента.

4.1.2. Модификация метода сеток.

4.1.3. Модификация метода Монте-Карло.

4.2. Алгоритмы вццеления области оптимума для векторных задач.

4.3. Сопоставление алгоритмов (по количеству попарных сравнений).

4.3.1. Конечное множество решений.

4.3.2. Континуальное множество решений.

Выводы по четвертой главе.••.••.•.•.•

5. Я -ОПТИМАЛЬНЫЕ ПЛАНЫ В ЗАДАЧАХ СКАЛЯРНОЙ И ВЕКТОРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ С РЕГРЕССИОННЫМИ МОДЕЛЯМИ

5.1. Критерии /^-оптимальности планов в векторных регрессионных задачах оптимизации

5.2. Аналитический синтез -оптимальных планов для одномерной регрессии.

5.2.1. -оптимальные планы для чебышевекой системы базисных функций.

5.2.2. Исследование свойств "равномерного" плана для тригонометрической регрессии на (0,2п)

5.3. Синтез -оптимальных планов для многофакторной полиномиальной регрессии. ЮЗ

5.3.1. Синтез -оптимальных планов для полиномиальной регрессии 2-го порядка общего вида ЮЗ

5.3.2. Синтез -оптимальных планов для некоторых полиномиальных моделей до 3-го порядка.

Выводы по пятой главе. НО

6. ОПЫТ ПРИМЕНЕНИЯ ПРИНЦИПА НЕРАЗЛИЧИМОСТИ К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ДРУГИХ ЗАДАЧ. И

6.1. Общая постановка задачи. П

6.2. К решению задач оптимального управления с неточными функционалами качества.

6.3. Задача синтеза оптимального плана при ошибках измерения.П

6.4. Задачи интервального оценивания регрессионных параметров.

6.4.1. Метод наименьших квадратов (МНК).

6.4.2. Метод наименьших модулей(МНМ).

6.5. Комплекс прикладных программ выделения области оптимума в скалярных задачах оптимизации

6.6. К решению задачи оптимизации пропускной способности ремонтных депо локомотивов.

6.6.1. Некоторые сведения.

6.6.2. Построение регрессионных моделей.

6.6.3. Постановка и решение задачи оптимизации по регрессионным моделям.

Выводы по шестой главе.

ЗАЮГОЧЕНИЕ.

Данная диссертационная работа посвящена решению актуальной научной проблеме - разработке методов решения задач векторной оптимизации с неточными моделями. Основной упор в работе делается на задачи с регрессионными моделями, построенными на основе экспериментально-статистических данных, которые в настоящее время получили широкое применение в практике оптимизации технологических объектов и систем.

Процесс проектирования и оптимизации технологических объектов включает этапы выбора оптимального плана эксперимента, построения математических моделей объекта, постановки задачи оптимизации и ее решения по построенным математическим моделям.

Упомянутые этапы показаны на рис. ВЛ.

В последние годы для указанных этапов разработаны достаточно эффективные теоретические методы и прикладные программы, предназначенные для решения широкого плана практических задач проектирования и оптимизации. Вместе с тем, из анализа литературных источников можно заметить, что до настоящего момента довольно слабо исследованы методы решения задач оптимизации, в особенности - методы решения задач многокритериальной оптимизации, по неточным моделям с учетом информации об ошибках моделей.

Сравнительно недавно появился подход Вощинина А.П. [I] к решению скалярной задачи оптимизации в указанной ситуации с использованием принципа неразличимости решений. Упомянутый подход интересен тем, что он позволяет : во-первых, легко ввести отношение неразличимости решений, отражающее неточность моделей, в постановку задачи оптимизации; во-вторых, сравнительно просто

Рис.В.1. Структура процесса проектирования технологических объектов. получить условия непригодности моделей для решения задачи; и в-третьих, иметь достаточно полное представление об истинных решениях и влиянии ошибок на точность оптимального решения.

В данной диссертации упомянутый подход [IIобобщен на случай векторных задач оптимизации по неточным моделям, а также исследована возможность его применения к некоторым другим типам задач принятия решений в условиях неточной или неполной информации.

Работа содержит страниц основного текста, рисунков, 48 таблиц и состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы из названий и приложения.

Основные теоретические результаты работы изложены в последних пяти главах. Для всех шести глав принята единая по композиции и структуре форма изложения материала: глава разбита на параграфы и последние - на подпараграфы.

В первой главе представлены основные понятия и предпосылки из теории оптимального эксперимента и оптимизации, а также исходные результаты решения задач планирования эксперимента и оптимизации с неточными моделями. На основе анализа существующих подходов к решению упомянутых задач были сформулированы цели исследований работы.

Во второй главе подход к решению скалярных задач оптимизации по неточным моделям с использованием принципа неразличимости обобщен на векторные задачи оптимизации, исследованы свойства отношений неразличимости и предпочтения, области оптимума и условия пригодности моделей для векторных задач в общем случае.^

В третьей главе изложены результаты исследований задачи векторной оптимизации по регрессионным моделям с применением принципа неразличимости.

В четвертой главе модифицированы известные и предложены некоторые новые алгоритмы выделения области оптимума для векторных задач.

В пятой главе исследованы возможные критерии оптимальности планов для векторных регрессионных задач и синтезированы Я - оптимальные планы для скалярных задач оптимизации.

В шестой главе исследована возможность применения принципа неразличимости к задачам оптимального управления по неточным функционалам, интервального оценивания регрессионных коэффициентов, и синтеза оптимальных планов эксперимента при ошибках в независимых переменных. Здесь же описан комплекс прикладных программ NERA вьщеления области оптимума для скалярной задачи оптимизации по неточным моделям, результаты решения задач оптимизации пропускной способности ремонтного депо для локомотивов

В приложении представлены доказательства некоторых теорем и утверждений, а также листинг комплекса программ NERA на язшъ FORTRAN-VI> ЕС ЭВМ.

По результатам исследований в диссертационной работе было опубликовано 5 печатных работ. Основные положения работы докладывались и обсуждались на

1У Всесоюзной конференции по планированию эксперимента и автоматизации научных исследований, г.Москва, 1980г.;

I Всесоюзной конференции "Опыт и перспективы внедрения статистических методов в АСУ ТП",г.Смоленск, 1981;

Всесоюзном НТС "Создания и внедрения автоматических и автоматизированных систем управления непрерывными и непрерывно-дискретными технологическими процессами", г.Алма-Ата,1983;

Общегородском семинаре "Ццентификация и оптимизация промышленных объектов", г.Москва, 1984.

Выводы по шестой главе

1. Исследованы две задачи оптимального управления с неточными функционалами качества, и для них получено аналитическое описание области оптимума.

2. Поставлена задача синтеза оптимального плана эксперимента при ошибке уставки и получена область А-оптимальных планов для некоторых частных случаев.

3. Найдены доверительные области параметров (области оптимума оценок) в методах наименьших квадратов и наименьших модулей.

4. Отлажен комплекс программ выделения области оптимума в скалярных задачах с применением предложенных в 4-й главе модификаций алгоритма А2, на языке ШРТРАН-1У системы ОС ЕС ЭВМ.

5. Сделаны некоторые рекомендации по выбору оптимальной структуры ремонтных депо локомотивов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе рассмотрены задачи планирования эксперимента и векторной оптимизации по неточным критериям. При этом получены следующие основные результаты.

1. На основе анализа существующего подхода к решению задач скалярной оптимизации основанного на введении отношения неразличимости для учета ошибок в модели, предлагается его обобщение на векторные задачи оптимизации с неточными критериями. При этом сформулирован ряд теорем и утверждений о свойствах отношений неразличимости и предпочтения, о свойствах области оптимума и возможности ее выделения. Для некоторых типов отношений неразличимости получено и аналитическое описание области оптимума, которая дает достаточно полное представление об истинных оптимальных решениях и о влиянии ошибок моделей на точность решения задачи.

2. Сформулированы достаточные условия непригодности моделей для решения задачи векторной оптимизации.

3. На основе известного алгоритма вьщеления области оптимума на конечном множестве решений для скалярных задач оптимизации в условиях неразличимости предложены модификации методов Монте-Карло, градиента и сеток для непрерывного множества решений. В случае векторной оптимизации по неточным моделям предложены два алгоритма вьщеления области оптимума.

4. Предложен ряд критериев оптимальности планирования эксперимента для векторных задач оптимизации по регрессионным моделям. В виде каталогов и аналитических выражений получены -оптимальные планы для моделей с чебышевской системой базисных функций и некоторых типов многофакторной полиномиальной регрессии до 3-го порядка включительно на гиперкубе. Доказано, что равномерный на отрезке план для тригонометрической регрессии удовлетворяет ряду критериев оптимальности.

5. В качестве практического внедрения в работе а) получено аналитическое описание области оптимума для некоторых типов задачи оптимального управления с неточным функционалом качества; б) для задачи интервального оценивания регрессионных параметров методами наименьших квадратов и наименьших модулей найдена доверительная область на истинные параметры; в) поставлена задача синтеза оптимальных планов при ошибках в независимых переменных; г) составлен и отлажен комплект программ выделения области оптимума для скалярных задач оптимизации по неточным моделям, на языке Фортран-1У, ЕС-ЭВМ; д)сделана рекомендация по оптимизации пропускной способности локомотиворемонтных депо.

1. Вощинин А.П. Разработка и внедрение методов оптимизации объектов управления по экспериментально-статистическим данным (докт.диссертация). - М.: МЭИ, 1984.

2. Горский В.Г., Адлер Ю.П. Планирование промышленных экспериментов (модели статики). М.: Металлургия, 1974. - 264 с.

3. Горский В.Г., Адлер Ю.П., Галалай A.M. Планирование промышленных экспериментов (модели динамики).- М.: Металлургия, 1978. 112 с.

4. Дамбраускас А.П. Симплексный поиск. М.: Энергия, 1979.176 с.

5. Марчук Г.И., Ермаков С.М. О некоторых проблемах теории планирования эксперимента. В кн. Математические методы планирования эксперимента М.: Наука, с. 3-18.

6. Круг Г.К., Сосулин Ю.А., Фатуев В.А. Планирование эксперимента в задачах идентификации и экстраполяции. М.: Наука, 1977 - 208 с.

7. Круг Г.К., Кабанов В.А., Фомин Г.А., Фомина Е.С. Планирование эксперимента в задачах нелинейного оценивания и распознавания образов. М.: Наука, 1981.- 351 с.

8. Лецкий Э.К. Планирование эксперимента в задачах испытаний технических объектов . В кн. "Статистические методы в задачах испытаний и контроля" М.: Знание, 1979. - 3-45 с.

9. Маркова Е.В., Лисенков А.Н. Комбинаторные планы в задачах многофакторного эксперимента .- М.: Наука, 1979. 384 с.

10. Налимов В.В. Теория эксперимента. М.: Наука, 1971.207 с.

11. Налимов В.В. , Чернова Н.А. Статистические методы планирования экстремальных экспериментов. М.: Наука, 1965. - 340 с.

12. Растригин Л.А. Системы экстремального управления. М.: Наука, 1974. - 632 с.

13. Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента . М.: Наука , 1971 . - 312 с.

14. V 14. Дубова Н.С.,Пцкианадзе Г.В., Федоров В.В. Таблицы оптимальных планов (непрерывные D-оптимальные планы). М.: изд. МГУ, вып. 16, 1970. - 45 с.

15. Голикова Г.И. Панченко Л.А., Фридман И.З. Каталог планов второго порядка. М.: изд. МГУ, 1975, ч. I. - 387 е., ч. П, - 384 с.

16. Федоров В.В. Численные методы построения оптимальных планов для регрессионных экспериментов. Кибернетика, 1975, Ш.-с. 124-130.

17. Круг Г.К., Козлова Г.А., Полотнов М.Н., Фомин Г.А. Пакет прикладных программ ПЛАНЭКС для решения задач планирования эксперимента на ЕС ЭВМ В кн. труды МЭИ, вып. 399, М.: МЭИ, 1979. - с. 7-1I.

18. Бродский В.З. Введение в факторное планирование эксперимента. М.: Наука, 1976. - с. 245.19. Андреев Н.И. Корреляционная теория статистически оптимальных систем. - М.: Наука, 1966. - 454 с.

19. Андреев Н.И. Теория статистических оптимальных систем управления. М.: Наука, 1980, - 416 с.

20. Айвазян С.А. Статистическое исследование зависимостей . М.: Металлургия, 1968. - 228 с.

21. Бородюк В.П., Лецкий Э.К. Статистическое описание промышленных объектов. М.: Энергия, 1971. - 110 с.

22. Бородюк В.П. Методология и опыт применения моделей множественной регрессии в задачах идентификации производственных процессов по данным пассивного эксперимента (докт. диссертация).-М.: МЭИ, 1981.

23. Ивахненко А.Г. Долгосрочное прогнозирование и управление сложными системами. Киев: Техника, 1975.- 312 с.1. И иг

24. V/ 25. Чукович Э.Л. Статистические методы в идентификации динамических систем. Вильнюс: МИПТЙС, 1975. - 196 с.

25. Кафаров В.В., Перов Ц.Л.Методы кибернетики в химии и химической технологии. М.: Химия, 1976. - 463 с.

26. Пугачев B.C. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М.: Физматгиз, 1962.883 с.

27. Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления. М.: Физматгиз, I960. - 654 с.

28. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. - 224 с.

29. Цыпкин Я.З. Адаптация и обучение в автоматических системах. М.: Наука, 1968. - 399 с.

30. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. М,: Мир, 1969, - 287 с.

31. Райфа Г., Шлейфер Р. Прикладная теория статистических решений. -М.: Статистика, 1977. 360 с.

32. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, т.1, 1973, - 632 с.

33. Васильев Ф.Н. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. - 440 с.

34. Голыптейн Е.Г., Юдин Д.Б. Новые направления в линейномпрограммировании. M.: Сов.радио, 1966. - 524 с.

35. Пшеничный Б.Н., Данилин D.M. Численные методы в экстремальных задачах. М:Наука, 1975. - 319 с.

36. Канторович Л.В. Об одном эффективном методе решения некоторых экстремальных задач. ДАН СССР, т. 28,1940, с. 212215- И

37. V 38. Карнанов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1975. - 271 с.

38. Моисеев H.H. Численные методы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971. - 350 с.

39. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г. Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных систем. М.: Наука, 1961.

40. Аизерман М.А., Малишевский A.B. Проблемы логического обоснования в общей теории выбора. М.: ИПУ, 71 - 180 с.

41. Емельянов C.B., Наппельбаум Э.Л. Методы исследования сложных систем. Техническая кибернетика. М.: ВИНИТИ, т. 8, 1977, с. 5 - 101.

42. Макаров И.М. Виноградская Т.М., Рубчинский A.A. Соколов В.Б. Теория выбора и принятия решений. М.: Наука, 1982. -328 с.

43. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. М.: Наука, 1981. - 205 с.

44. Поспелов Г.С., Ириков В.А. Программно- целевое планирование и управление. М.: Сов.радио, 1976.

45. Подиновский В.В. Многокритериальные задачи с упорядоченными по важности критериям. Автоматика и Телемеханика, 1976,1. Ш. с. 118-127.Л

46. Растрягин Л.А. Теория статистических методов поиска- М.: Наука, 1968.

47. Юдин Д.Б. Математические методы управления в условиях неполной информации. М.: Сов. радио, 1974. - 400 с.

48. Миркин Б.Г. Проблемы группового выбора. М.: Наука, 1974. - 256 с.

49. Вощинин А.П. Метод главных компонент в регрессионных задачах. В кн. Втора Научно-техническа конференция с международно участия: Проблемы на експериментальните исследования (доклады) Ванра, 1976, с. 21-26.

50. Voshcfibnin А.Р- йрЫтлг о/tyiitZiCr-ArvA bte S ¿d ¿tc- Systems : Zu ¿er па ceof ¿еж • Scte*. се . "ИГг-с с г л , , 1978, p. X88-I90.

51. Вощинин А.П. Оптимальное табличное управление многосвязными статистическими объектами. Sy-i Л : . , . 1979, .372-380.

52. Вощинин А.П. /€ -оптимальные планы в задачах статистической оптимизации. В кн. Ш га национальна научно-техническа конференция с международно участия: организация и автоматизация на експериментальните изследования.^- 81, 1981, с. 1-5.

53. Вощинин А.П., Кирилличев В.А., Нгуен-Ань-Чинь. -оптимальные планы в задачах оптимизации по регрессионным моделям. Заводская лаборатория. М.: Металлургия, 1983, № 10 , с. 60- 65.

54. Акматбеков Р. Планирование регрессионных экспериментовв задачах прогнозирования и оптимизации с заданной точностью (канд. диссертация). -М.: МЭИ, 1981.

55. Прохоренков П.А. Выделение множества Парето оптимальных решений в задачах многокритериальной оптимизации и планирования регрессионных экспериментов (канд. диссертация). М.: МЭИ, 1982.

56. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование.-М.: Мир, 1975. 534 с.

57. Аоки М. Введение в методы оптимизации. М.: Наука, 1977. - 343 с.

58. Рао С.Р. Линейные статистические методы и их приложения . М.: Наука, 1968.- 648 с.

59. Полак Э. Численные методы условной оптимизации (ред.

60. Ф. Гилл, У. Мюней). М.: Мир, 1977, - 290 с.I

61. Дегроот М. Оптимальные статистические решения. М.: Мир., 1974. - 492 с.

62. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968. - 496 с.

63. Шрейдер Ю.А. Равенство, свойства, порядок. М.:Наука, 1971. - 256 с.

64. Фишберн П. Теория полезностей для принятия решений. -М.: Наука, 1978.

65. Борисов В.И. Проблемы векторной оптимизации. В кн. Исследования операций. -М.: Наука, 1977, с. 72-91.

66. Мелешко В.И. Теория полезности и методы введения глобальных критериев оптимальности. В кн.: Адаптивные методы. Рига. Зипанте, 1973, вып. 3. - с. 67-98.

67. Подиновский В.В. Применение процедуры максимизации основного локального критерия для решения задач векторной оптимизации. В кн. Управляемые системы СЙ АН СССР, 1970, вып. 6, с. 17-22.

68. Озерной В.М. Принятие решений. Автоматика и Телемеханика, 1971, № II, с. I06-I2I.

69. Гафт М.Г., Озерной В.М. Вьщеление множества неподчиненных решений и их оценок в задачах принятия решений при векторном критерии. Автоматика и Телемеханика, 1973, Fn II, с. 85-94.

70. Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и ее применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976.

71. Заде Л.А. Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений. В сб. "Математика сегодня". - М.: Знание, 1974. - с. 5-49.

72. Вентцель Е.С. Проблемы выбора решения. В кн.: Исследование операций. Методологические аспекты. М.: Наука, 1972. -с. 43-62.

73. Кини Р. Функции полезности многомерных альтернатив. -В кн.: Вопросы анализа и процедуры принятия решений . М.: Мир, 1976, с. 59-71.

74. Гантмахер Ф.Г. Теория матриц. М.: Наука, 1967.- 576с.

75. Лррг. ? 1968, У.21, № 2,/> .304-343.

76. Jfâi 'гул s л иУл JC. JTrvjort^^i ¿t'ost ¿¿<r-€s ¿>zb рго^глжргч:^ S. 1968, У. 14, 5, />. 275591.79. ffljt-fd A-, Woijopt/i ¿¿г- 7. J?4t/es о/л. I <яй cisi'o/t prc^Zеж s j ¿WS; ir. 21. p 82-99.

77. Fish burrt P. /Ae. theory о/ soct^i cAoi^e Ргс/гес •¿on Units. Press. 1973.

78. Sett /i. CA oi'ее fttncttosis ¿net re.trea.tetS eft re л a ¿er. £ce#t>»t. Stud. > 1971, v. 38. -/>.307-317.

79. Po ¿¿.к £4 On i/ie. ¿pproxi/ytj. ¿t on а/ sc/ч ¿¿°ns ¿o tnulibftz criteria, ¿¿e eisten, г^ prodtetrts £esh* /i/o ¿escc>n. Md-tkem. Sz/s-iems ^ 1976.-IZZp.

80. XtSefer e7. y IVotfoMif , The tertee £a ¿uroех-бгетип pro ¿> Zer*. s Сяп. Md-t-Si^ ^12,1960, p 363-366.

81. Вощинин А.П., Нгуен-Ань-Чинь.Обусловленность информационной матрицы и смещенное оценивание регрессионных коэффициентов. -Тр/Моск. Энерг.ин-та,1980,вып.445, с. 79-83.

82. Прохоренков П.А.,Нгуен-Ань-Чинь.Оптимизация многооткли-ковых объектов по статистическим моделям.-В кн.: Тезисы докладов Всесоюзной конференции"Перспективы и опыт внедрения статических методов в АСУ ТП", М.,1981, с. 132-136.- /¿V

83. Кигель В.Р., Тимани В. Обобщенный метод относительныхуступок и алгоритмы решения линейных двухкритериальных задач.-В кн.: Исследование операций и АСУ. Межведомственный научный сборник. М.:, 1977, вып. 9, с. 42-50.

84. Вилкас Э. Многоцелевая оптимизация .- В кн.: Математические методы в социальных науках. Вильнюс, 1976, вып. 7, с. 1617.

85. Подиновский В.В. Применение процедуры максимизации основного локального критерия для решения задач теории векторной оптимизации.- В кн.: Управляемые системы. АН СССР, сибирское отделение, 1970, вып. б, с. 17-22.

86. Глотов В.А., Савельев В.В. Экспертные методы определения весовых коэффициентов. Автоматика и Телемеханика, 1976, №12, с. 95-107.94. ¿.^ М 1ЛГ¿¿А

87. Гафт М.Г., Озерный В.М. Ввделение множества неподчиненных решений и их оценок в задачах принятия решения при векторном критерии. Автоматика и телемеханика, 1973, № II, с. 85-94.

88. Виноградская Т.М. Использование свойств логично упорядоченных множеств в многокритериальных задачах принятия решений. Труды ИПУ, 1974, вып. 5, с. 56-60.

89. Дымков М.П. Метод решения общей многокритериальной задачи линейного программирования. В кн.: Проблемы управленияи оптимизации. Минск, 1976, с. 147-157.

90. Дубов Ю.А. Необходимое и достаточное условия оптимальности по Парето в среднем. Известия АН СССР Техническая кибернетика, 1979, № б, с. I37-I4I.

91. Подиновский В.В., Раврилов В.М. Оптимизация по последовательно применяемым критериям. М.: Сов. радио. 1975.- 192 с.

92. Подиновский В.В. Эффективные планы в многокритериальных задачах принятия решений в условиях неопределенности. В кн.: Модели процессов принятия решений. - Владивосток: 1978,-с. 102113.

93. Трухаев Р.й. Модели принятия решений в условиях неопределенности. М.: Наука, 1981. 258 с.

94. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. М.: Наука, 1974. - 447 с.

95. Шиханович Ю.А. Введение в современную математику.- М.: Наука, 1965, -376 с.

96. Бородок В.П. Регрессионные модели с нестандартной ошибкой в задачах идентификации сложных объектов. М.: МЭИ, 1981. - 90 с.

97. Шокин Ю.И. Интервальный анализ.-Новосибирск : Наука, Сиб.отделение, 1981. -112 с.

98. Корн Г. , Корн . Справочник по математике. М.: Мир, 1979. - 720 с.

99. Сю Д. Мейер А. Современная теория автоматического управления и ее применения. М.: Машиностроение, 1972. - 552 с.

100. Мелас В.Б. Об одной теореме о двойственности и Еоптимальности планов. -М.: Заводская лаборатория, №7. 19В2}сЛ$-$

101. I. Методика "управление качеством технологических процессов и их оптимизация". М.: Госстандарт, 1983. - 26 с.1. СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙс7", С'11. Sf> С, с1. СС? , Л »»ах СО У* СС?X1. Хл; . Xл; ;^ ^ *7, V-; Л, И