автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Разработка и использование алгоритмов решения многокритериальных задач управления на основе принципа гарантированного результата

На правах рукописи УДК 519.85; 519.86

Кириллов Юрий Васильевич

Разработка и использование алгоритмов решения многокритериальных задач управления на основе принципа гарантированного результата

Специальность 05.13.01 «Системный анализ, управление и обработка информации»

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Барнаул - 2005 г.

Работа выполнена на кафедре экономической информатики Новосибирского государственного технического университета.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Иванов Лев Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Алгазин Геннадий Иванович

доктор экономических наук, кандидат физико-математических наук, профессор Соколов Виктор Григорьевич

Ведущая организация: Сибирский государственный университет

путей сообщения (г. Новосибирск)

Защита диссертации состоится 28 июня 2005 года в 12 часов на заседании регионального диссертационного совета КМ 212.004.01 в Алтайском государственном техническом университете по адресу: 656038, г. Барнаул, пр. Ленина, 46.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Алтайского государственного технического университета им. И.И. Ползунова.

Автореферат разослан 2005 г.

Ученый секретарь регионального диссертационного совета к.э.н., доцент

А.Г. Блем

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современный этап развития нашей страны характеризуется тем, что растущие потребности рынка, достижения науки и техники вызывают появление новых технологий, которые не только расширяют, но и усложняют, интенсифицируют деятельность в сфере производства. Поэтому особую актуальность приобретает решение задач по повышению эффективности современных систем управления, внедрению современных информационных технологий принятия решений на всех уровнях хозяйственного механизма. Это тем более важно потому, что учет многих дополнительных рыночных факторов многократно повысил ответственность при разработке, как долгосрочных стратегических планов, так и отдельных тактических шагов по их реализации.

Многоуровневый (иерархический) принцип построения современных систем управления, с одной стороны, приводит к увеличению скорости обработки информации за счет создания специальных подсистем, а также к повышению надежности функционирования системы в целом. Однако на этом пути возникают проблемы, связанные со сложностью и большим объемом обрабатываемой информации, многофункциональностью систем управления и большим количеством вариантов их анализа. Именно поэтому разработка оптимальных структур принятия решений невозможна без использования современных средств вычислительной техники, новых методов системного анализа и развитого программного обеспечения. Сложность решаемых задач обусловила и появление соответствующих математических моделей, которые должны адекватно отображать сложность исследуемой системы управления и, прежде всего, ее многоцелевой характер. В основе таких математических моделей должны лежать многокритериальные задачи оптимизации.

Таким образом, современное управление - это оперативное принятие оптимальных решений в условиях многокритериального выбора. Отсюда следует, что разработка эффективных методов решения задач многокритериальной (векторной) оптимизации является важнейшей проблемой системного анализа вообще, а также теории управления и теории принятия решений в частности.

Разработка методов решения задач векторной оптимизации ведется достаточно давно и связана с работами отечественных и зарубежных ученых: Н.Н. Моисеева, B.C. Михалевича, В.Л. Волковича, Ю.Б. Гермейера, В.В. Подинов-ского, Л.И. Полищука, В.В. Хоменюка, М.А. Айзермана, И.М. Макарова, Ю.К. Машунина, Б.А. Березовского, Р. Штойера, С. Карлина, Р. Кини, X. Райфа и др., которыми был сделан основополагающий вклад в теорию и практику решений различных задач системного анализа и многокритериальной оптимизации.

Все многообразие вариантов и подходов к решению таких задач можно разделить на две большие группы, обладающих своими достоинствами и недостатками.

1. Использование сложного аппарата современной математической логики (теория бинарных отношений, теория рационального выбора и др.) приводит к полному и строгому доказательству существования решений векторных задач.

Однако, это же влечет за собой серьезные трудности в понимании физического смысла выполняемых шагов решения и, как следствие, трудности построения рабочего алгоритма для решения прикладных задач.

2. Существует достаточно большое количество методов, в которых смысл операций на каждом шаге понятен не только математикам, однако эта простота может привести к неоднозначным результатам. Кроме того, для некоторых методов этой группы отсутствует серьезное доказательство их разрешимости.

Таким образом, актуальной является необходимость, как практическая, так и теоретическая, заполнить разрыв между двумя этими направлениями, который со временем, как ни странно, только увеличивается.

Цель исследования. Разработать алгоритм решения задач векторной оптимизации, сочетающий строгое теоретическое обоснование и простоту практической реализации, и использовать его для решения прикладных задач принятия управленческих решений.

Для достижения этой цели в диссертации поставлены следующие задачи:

1. Провести общую классификацию задач векторной оптимизации, которая определяла бы принадлежность той или иной конкретной векторной задачи к определенной группе по характерным признакам.

2.

ции. обладающую следующими особенностями и свойствами:

a) единые для векторных задач любого типа принципы оптимальности, которые должны стать ядром алгоритма решения и основой для сравнения значений различных критериев в определенной точке области допустимых решений;

b) наличие математического доказательства того, что решение, полученное в результате применения данного алгоритм, будет оптимально по Парето;

^ если полученное решение не является единственным, алгоритм должен обеспечивать выбор единственной точки из Парето-оптимального множества, в которой значения частных критериев будут устраивать ЛПР (лицо, принимающее решения).

3. Разработать количественные способы задания приоритета критериев для того, чтобы объективно выражать соответствующие предпочтения ЛПР для любого типа задач векторной оптимизации.

4. Получить рабочие алгоритмы решения различных классов задач векторной оптимизации и использовать их для решения прикладных задач управления и принятия решений.

Объектом исследования являются математические модели сложных (многоуровневых) систем принятия управленческих решений в различных отраслях.

Предметом исследования являются многокритериальные модели оптимизации прикладных задач управления и их анализ для повышения функционирования объекта исследования.

Методы исследования. Теоретическая часть работы выполнялась на основе методов системного анализа и теории математического программирования

для решения скалярных линейных, дискретных и нелинейных задач. Для доказательства лемм и теорем, в которых выводятся основные особенности рабочих алгоритмов, используются определение понятия эффективного (Парето-оптимального) множества и элементы математической логики.

Научную новизну диссертационного исследования составляют:

1. Выполненная классификация задач многокритериальной оптимизации, которая позволяет идентифицировать тип решаемой задачи и, соответственно, выбрать алгоритм ее решения.

2. Общая блок-схема решения задач векторной оптимизации — алгоритм гарантированного результата при нормализации критериев (алгоритм ГРНК), который определяет принципы построения решения задач любого типа.

3. Полученные рабочие алгоритмы для решения конкретных классов следующих векторных задач с критериями:

• линейных однородных и неоднородных задач;

• целочисленных неоднородных задач;

• нелинейных неоднородных задач.

Предложенные алгоритмы позволяют получить единственное Парето-оптимальное решение.

4. Предложенный способ, обеспечивающий количественное задание предпочтений ЛПР — коэффициентов приоритета, которые позволяют решить векторную задачу с приоритетом определенного критерия. Введение коэффициентов приоритета в модель равнозначной задачи позволило целенаправленно управлять процессом получения единственного Парето-оптимального решения рассмотренных типов векторных задач с критериями.

Практическая значимость результатов исследования состоит в том, что:

1. Построены многокритериальные модели ряда важных прикладных задач принятия решений в области инвестиционной политики.

2. На конкретных примерах (задача оптимального обеспечения топливом предприятия ТЭЦ - 2 ОАО «Новосибирскэнерго» и задача оптимизации ценовой политики ООО «Сибирский берег») показана работоспособность разработанных алгоритмов.

3. Создана основа разработки программного продукта для информационной поддержки процесса принятия решений, ядром которого должны стать разработанные алгоритмы ГРНК.

Положения, выносимые на защиту, представляют собой следующие теоретические выводы и практические результаты.

1. Общая классификация задач векторной оптимизации, которая определяет принадлежность той или иной конкретной векторной задачи к определенной группе по характерным признакам.

2. Общая схема алгоритма ГРНК для решения задач векторной оптимизации, которая позволяет получить единственное Парето-оптимальное решение.

3. для решения следующих типов векторных задач с равнозначными и неравнозначными критериями:

• линейных однородных и неоднородных задач;

• целочисленных неоднородных задач;

• нелинейных неоднородных задач.

4. Формулы, выражающие количественное задание предпочтений ЛПР - коэффициентов приоритета и рабочие алгоритмы, которые позволяют решить рассмотренные типы векторных задач с приоритетом определенного критерия.

5. работоспособности разработанных алгоритмов на примере решения прикладной задачи многокритериальной оптимизации.

Апробация работы. Работа выполнялась в рамках инициативной НИР кафедры экономической информатики Новосибирского государственного технического университета (НГТУ) «Теоретические и прикладные аспекты экономической информатики». Разработанные алгоритмы использовались на факультете бизнеса НГТУ при проведении занятий по дисциплинам «Методы оптимизации» и «Математическая экономика».

Основные теоретические выводы и практические рекомендации диссертации докладывались автором на международной научно-практической конференции «Экономическое образование и наука в современных условиях: опыт, проблемы и перспективы» (Семипалатинск, 2002г.); международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии ИСТ'2003» (Новосибирск, 2003г.); 6-й Всероссийской научно-практической конференции «Стратегия бизнеса и социально-экономическое развитие региона» (Ярославль, 2003 г.); V международной конференции по информационным технологиям «Modelling, Computation and Optimization in Information Systems and Management Sciences MCO 2004» (Метц, Франция, 2004г.); VII международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (Новосибирск, 2004г.).

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 12 печатных работ общим объемом 4,5 п.л. Диссертация соответствует паспорту специальности 05.13.01 Паспорта специальностей ВАК, пункт 4.

Структура и объем диссертации. Цели и задачи исследования определили логику и структуру работы, состоящую из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Основной текст диссертации изложен на 157 страницах, включает 21 рисунок, 14 таблиц и 1 приложение. Список литературы содержит 66 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулированы цели и задачи работы, изложены основные положения, выносимые на защиту, научная новизна, практическая ценность и апробация полученных результатов.

В первой главе на основе системного подхода к анализу любой сложной системы управления, выдвигается тезис о том, что решение задач многокрите-

риальной (векторной) оптимизации является одним из важнейших вопросов управления в экономических системах. Для доказательства этого положения в главе 1 приведены примеры постановок таких задач для различных областей экономики. Показано, что деятельность любой фирмы в любом направлении (производственном, инвестиционном, финансовом) может быть представлена моделью векторной оптимизации. Например, производственная деятельность фирмы может быть представлена следующей моделью:

где Х = = - вектор - строка управлений, определяющих объем ¿-го вида продукции, включенного в план; - вектор - функ-

ция цели, координатами которой являются К технико - экономических показателей, характеризующих производственную деятельность; С, = (с^ >0) - вектор - строка параметров к-го показателя в расчете на единицу /-го вида продукции;

- вектор - функция ограничений на ресурсы; А = 0) - матрица норм затрат /-го вида ресурса на выпуск единицы /-го вида продукции;

- вектор - столбец объемов по каждому из М видов ресурсов; - вектор - строка показателей спроса по данным маркетинговых исследований.

Примером инвестиционной деятельности фирмы является известная модель оптимального портфеля, которая в своей изначальной постановке также является векторной (двухкритериальной).

Далее, на основе анализа отечественной и зарубежной литературы, дан обзор современного состояния этого вопроса и проведен анализ различных методов решения задач векторной оптимизации. Выяснено, что, наряду с обилием таких методов, существуют несколько подходов к определению решения многокритериальной задачи, однако все они базируются на понятии Парето-оптимального или эффективного решения, которое является ключевым. В результате установлено, что все методы решения векторных задач (ВЗ) быть сведены в несколько основных групп:

1. Методы, основанные на линейной свертке критериев.

2. Методы, использующие ограничения на критерии.

3. Методы целевого программирования.

4. Методы, основанные на отыскании компромиссного решения.

5. Методы, основанные на построении некоторой системы математико-логических требований и бинарных отношений предпочтения.

6. Методы, использующие основные положения теории полезности. Несмотря на очевидные достоинства этих методов, все они характеризуются следующими недостатками:

1. которая определяла бы принадлежность той или иной конкретной ВЗ к определенной группе по характерным признакам.

2. Отсутствие единого способа определения приоритета критериев, которые должны выражать соответствующие предпочтения ЛПР как неотъемлемого участника процесса постановки и решения практической задачи. Существуют только отдельные попытки решения этой проблемы для линейных ВЗ.

3. Отсутствие общих принципов оптимальности, которые должны при построении решения ВЗ любого типа определять, почему одно решение лучше или хуже другого и, в соответствии с этим, определять единый подход к построению алгоритма многокритериального выбора. В отдельных методах решения, из тех, что упомянуты выше, это сделано только для линейных задач векторной оптимизации.

4. существования и единственности оптимальности получаемого решения по Парето, даже для линейных ВЗ, не говоря уже о дискретных и нелинейных задачах.

Для поиска способа решения, минимизирующего приведенные недостатки, поставлены задачи исследования, указанные выше.

Во второй главе дается формализованная постановка общей ВЗ: найти оптимальное по Парето множество векторов управления .X такое, что множество значений вектор - функции цели при условии:

(2)

(ШШУ; -|"(2

и ограничениях

(3)

(4)

(5)

где: Х = \xjij — 1,2,.. - вектор варианта решения (управления);

= = 1,2,...,/я; / = 1,2} - векторы функций-ограничений;

- векторы, определяющие уровень ограничений; является эффективным.

Считаем, что - локальные критерии - вогнутые, а

выпуклые функции относительно X так, что область допустимых решений

5 = (6)

Определение 1. Оптимальный по Парето вариант решения удовлетворяющий ограничениям задачи (3) - (5), называется допустимым решением общей ВЗ.

Определение 2. Совокупность эффективных значений опре-

деляет точку эффективного множества для векторной целевой функции.

Определение 3. Допустимое решение X =[х1,х2,...,хп^, при котором условие (2) выполняется в точке эффективного множества, называется компромиссным решением общей ВЗ.

На основе постановки общей ВЗ проводится общая классификация задач векторной оптимизации, представленная на рисунке 1.

О - дискретное мн-во

Рис. 1. Классификация задач векторной оптимизации

Далее определяются основные принципы, на которых должен основываться метод решения ВЗ.

1. Принцип нормализации - приведение масштабов измерения отдельных, частных критериев к безразмерным единицам, что позволит сравнивать результаты, полученные по каждому из них. Для реализации этого принципа используется линейное преобразование, дающее возможность перейти к относительным оценкам:

a) относительный уровень достижения каждым критерием локального максимума

Хк{Х)=/к{Х) /к"

УкеЬ, УХе5,

(7)

Т шях_ Т :

Л /к

Ь) относительное отклонение значения каждого критерия от локального максимума

Тш-ГЧШ

Л Л

, УХеЯ,

(8)

причем

Хк(Х) + 1к{Х) = \, \fksL, (9)

В этом случае эквивалентность решений исходной и нормализованной задач следует из известной теоремы Гермейера.

2. Принцип гарантированного результата, который определяет правило поиска компромиссного решения по нижней (верхней) границе нормализованных значений всех частных критериев. Нижняя (верхняя) граница определяется сравнением относительных оценок между собой. Для реализации этого принципа необходимо найти нижнюю гарантированную оценку компромиссного решения Л.°1П

(10)

которая даст возможность определить нижний гарантирующий вариант решения общей ВЗ

=аг8 титтЛ(^)-

(И)

Таким образом, для того, чтобы найти компромиссное решение общей ВЗ необходимо решить скалярную задачу оптимизации

где Аш„ =шаЛк (X), \ZkeL. Аналогично, можно найти компромиссное решение, найдя верхнюю гарантированную оценку компромиссного решения л1*х

=ттгпжЛк(Х)^ттХк{Х), (13)

которая даст возможность определить верхний гарантирующий вариант решения общей ВЗ

(14)

Таким образом, для того, чтобы найти компромиссное решение общей ВЗ необходимо решить скалярную задачу оптимизации

(15)

где

3. который должен задавать способ сравнения раз-

личных решений векторной задачи и определить, в каком смысле компромиссное решение превосходит остальные допустимые решения. Вариант решения Xй общей ВЗМП называется оптимальным по Парето, а значение - эффективным, если на множестве допустимых решений 5

такого варианта решения для которого выполнялись бы неравенства

(16) (17)

Таким образом, для разработки алгоритма решения векторных задач - алгоритма ГРНК - необходимо построить его так, как это показано на рис. 2.

Рис. 2. Блок-схема алгоритма ГРНК для решения равнозначных ВЗ Алгоритм ГРНК для решения неравнозначных ВЗ будет основываться на полученном решении равнозначной задачи - и должен быть построен так, чтобы можно было улучшить значение выбранного (приоритетного с точки зрения ЛПР) критерия. Очевидно, это можно сделать, вводя в я (я) - задачу для

решения равнозначной ВЗ некоторые коэффициенты, которые будут улучшать значение одного (выбранного) критерия, ухудшая при этом другие. Такой вектор, координатами которого будут коэффициенты улучшения (ухудшения) соответствующих критериев можно назвать вектором приоритетов выбранного q - критерия по отношению к остальным

Р" ={р\>0\ к^еЬ; (18)

Величина коэффициентов очевидно, должна определяться соотношением

значений относительных оценок для q - критерия и остальных критериев в точке компромисса. В общем случае это, очевидно, будет отношение

Общая схема алгоритма ГРНК для решения неравнозначных многокритериальных задач управления представлена на рисунке 3.

Рис. 2.3. Блок-схема алгоритма ГРНК для решения неравнозначных ВЗ

Определение приоритетов именно таким способом позволит значительно уменьшить элемент субъективизма вносимого ЛПР в решение этого важного вопроса. Таким образом, решение ВЗ по алгоритму ГРНК, в общем случае, является двухступенчатым, причем на каждой ступени решается скалярная задача оптимизации.

В третьей главе рассматривается решение различных классов векторных задач с помощью алгоритма ГРНК. Сначала для всех разновидностей линейных ВЗ с равнозначными критериями.

Линейной однородной векторной задачей 1-го типа (ЛВЗ 1) называется такая общая ВЗ, что, при линейных функциях /¡¡^(Х), к = \,1^Ц и/ = 1:

imax/ЛП * = У,

Линейной однородной векторной задачей 2-го типа (ЛВЗ 2) называется та-

кая общая ВЗ, что, при линейных функциях ftm (X), k = lt+l,ll+l2<=L2 и t = 2: {С2{Х)>Вг,Х> О

(21)

Линейной неоднородной векторной задачей (ЛВЗ 3) называется такая общая ВЗ, при линейных функциях ftn{X) и fln(X), tel и t = 1,2:

max//V), * = Ц

•min /¡2\Х),к = Ц7Т2

(22)

G, (*) ^ 5„ G2(X) ^ X ^ 0

Далее доказываются теоремы о том, что компромиссное решение задач (20) -(22) будет единственным, если искать его по следующему алгоритму.

Шаг 1.

Найти оптимумы для каждого критерия.

• Решить 2/[ (для ЛВЗ 1) и 21г (для ЛВЗ 2) скалярных задач оптимизации: |тах/«(Х) и \mmfi\X)

• Для ЛВЗ 3:

Решить 21\ скалярных задач и 2/2 скалярных задач оптимизации: 1тах//"(Х) и |ттЛ("(Х)

\в1{Х)<1В1,в1{Х)>Вг,Х>о И {б^К-В,, Сг(Х)>Вг,Х>0

Шаг 2.

Выполнить единую нормализацию критериев.

• Для всех ЛВЗ одинаково:

> _ Л ) Л

/-(г)пт _ Wi)mm

Jk Jk

и/или Шаг 5.

V ' WO»« _ W/)mm -

Л Jk

Построить Л - или Л - задачу. • Для ЛВЗ 1:

тахЯ

<?,(.*)< Л, о

или

min Я

в,(Х)ЦВ„Х2 о

• Для ЛВЗ 2:

!шш Я

в2{х)^вг>х^0

• Для ЛВЗ 3: шах Л.

Л-$\Х)<0

л-Ж\х)йО

<7,(^)^5,, С2(Х)*В2,Х>0

или

или

тахЯ

Я<Я*2,(ЛГ) в2(Х)^В2,Х> О

ттЯ

я-яД^о

[£,(*)<£„ с2(х)>в2,х>0

Шаг 4.

Решить Я - или Я - задачу как скалярную задачу линейного программирования, найти единственную точку Х^, дающую гарантированную оценку и

значения каждого критерия

Для решения неравнозначных ЛВЗ вводятся понятия коэффициентов приоритета. В ЛВЗ 1 коэффициентом приоритета выбранного ц критерия по отношению к другому к критерию и ц* к) будем называть отношения

(*)<■>,

или —

Я'" (X) _ -(!)<,

Л?(Х)

= Рк

(23)

В ЛВЗ 2 коэффициентом приоритета выбранного д - критерия по отношению к другому к критерию (д,к е и к) будем называть отношения

Л*>(Х) Рк

Л? (А') -(2)?

™ ЩГ)-"' ■

(24)

Далее доказываются теоремы о том, что величины коэффициентов приоритета (23), (24) находятся в пределах

„«)«<-. ^ У к ^

1

) ^ -1о».

1

(25)

где Х™т(Х™) - точка, в которой ц - критерий достигает своего максимума (минимума) при решении «своей» скалярной задачи.

В случае неоднородной неравнозначной ЛВЗ определение коэффициента приоритета зависит от выбора ЛПР приоритетного ц - критерия. В ЛВЗ 3 коэффициентом приоритета максимизируемого д критерия по отношению к минимизируемому к критерию (деЦ^е!^) будем называть отношения

ГШ

Ж\х)

= р^ или

Л* (Х) - НО)« * '

(26)

Здесь также доказываются теоремы о том, что величины коэффициентов приоритета (26) находятся в пределах

А» (О

1

^ (О ^

Р к

1

(27)

В ЛВЗ 3 коэффициентом приоритета минимизируемого д критерия по отно шению к максимизируемому к критерию (де^к еЦ) назовем отношения

или

II" (ЛГ)

(28)

а их величины находятся (как следует из доказанных теорем) в соответствующих пределах

Г'-о

- < Й^'» < -^ Рк ^

1

> й(2)? > ^ Рк ^

1

(29)

Доказанные далее леммы и теоремы определяют алгоритм поиска единственного компромиссного решения неравнозначных ЛВЗ.

Шаг 1.

Решаем соответствующую ЛВЗ с равнозначными критериями по алгоритму ГРНК и находим единственную точку компромиссного решения .

Шаг 2.

ЛПР проводит анализ результатов решения и определяет д - критерий ЧдеЩЛ^, значение которого необходимо улучшить, причем координаты точки X™ и точки были определены на шаге 1.

Шаг 3.

По формулам (25), (27), (29) определяются пределы изменения коэффициентов приоритета выбранного д - критерия по отношению к остальным.

Шаг 4.

ЛПР выбирает необходимую величину коэффициентов приоритета из интервалов, вычисленных на шаге 3, и строит х(Т) - задачи оптимизации:

• для ЛВЗ 1

maxA

Я-Я, (*)£() Л-рП>(Х)* О е,(1)<г,д>о

для ЛВ3 2 min Л

Я-Я,(Х)£0

я-р«>Ч(г)(лг)>0 вг{х)^в^х> о

или

или

min Л

G,(X)<B„X> О тахЯ

Л-¿SV)* О я-р^"Ж)(х)<о'

G2(X)>BltX> О

для JIB3 3. если qsL,, необходимо построить 1-ю Л- или 1-юЯ - задачу

min Я

тахЯ

О

или

С7, (*)<£„

если qeL^, необходимо построить 2-ю Л - или 2-ю Я - задачу:

min Я

<?,(*) ¿я,, С72(Х)>Я2,Х>0

тахЯ

или

Я-Я,(2)(Х)>0

б, (ЛГ) <; в,, (72 (X) > В2,Х к. о Шаг 5.

Решить Я - или Я - задачу как скалярную задачу линейного программирования, найти единственную точку Х^,^ компромиссного решения и значения каждого критерия //'Ч^С^Д Для неравнозначной ЛВЗ.

Далее определяется постановка дискретной (целочисленной), линейной, равнозначной ВЗ. Целочисленной неоднородной векторной задачей с равнозначными критериями (ЦЛВЗ 1) называется такая общая ВЗ, которая, при линейных локальных критериях, состоит в том, чтобы найти:

где: X = {xJ — ¡¡п1е§ег} ■ • вектор целочисленных вариантов управления. Очевидно, что решения ЦЛВЗ 1 по алгоритму ГРНК будет совпадать с решением аналогичной ЛВЗ с той лишь разницей, что решение скалярных задач оптимизации на шагах 1 и 4 проводится с помощью метода ветвей и границ. При этом доказываются соответствующие леммы и теоремы о том, что компромиссное решение ЦЛВЗ 1 по алгоритму ГРНК будет единственным Парето-оптимальным.

Целочисленной неоднородной векторной задачей с неравнозначными критериями (ЦЛВЗ 2) называется такая ЦЛВЗ 1, в которой между величинами локальных критериев определяются количественные показатели отношений предпочтения с помощью коэффициентов приоритета (23), (24) и (26), (28).

Очевидно, что решения ЦЛВЗ 2 по алгоритму ГРНК будет совпадать с решением аналогичной неравнозначной ЛВЗ с той лишь разницей, что решение скалярных задач оптимизации на шаге 5 проводится с помощью метода ветвей и границ. При этом также доказываются соответствующие леммы и теоремы о том, что компромиссное решение ЦЛВЗ 2 по алгоритму ГРНК будет единственным Парето-оптимальным.

В отличие от линейных и целочисленных задач, нелинейные ВЗ представлены в данном исследовании только для частного случая - задачи с двумя критериями. Частной нелинейной неоднородной векторной задачей с равнозначными критериями (НЛВЗ 1) называется такая общая ВЗ, которая состоит в том, чтобы найти

в{{Х)^Вх, С2{Х)^В2,Х^0

где: - линейная функция относительно

- квадратичная форма относительно

Очевидно, что решение НЛВЗ 1 по алгоритму ГРНК принципиально ничем не будет отличаться от решения неоднородной ЛВЗ. Разница состоит лишь в том, что решение нелинейных скалярных задач оптимизации на этапе нормализации и построения - задач проводится с помощью прямо-двойственного

метода внутренней точки, который относится к классу параметрических методов барьерных функций. При этом доказываются соответствующие леммы и теоремы о том, что компромиссное решение НЛВЗ 1 по алгоритму ГРНК будет единственным Парето-оптимальным.

Частной нелинейной неоднородной векторной задачей с неравнозначными критериями (НЛВЗ 2) называется такая НЛВЗ 1, в которой между величинами локальных критериев определяются количественные показатели отношений предпочтения с помощью коэффициентов приоритета

НХ) -г М*)

(32)

Решение НЛВЗ 1 по алгоритму ГРНК также принципиально ничем не будет отличаться от решения неоднородной неравнозначной ЛВЗ. Разница будет в выражениях, которые определяют пределы изменения коэффициентов приоритета (что доказано необходимыми теоремами).

1

мКу).

.

(33)

ЛСО"" мх1У ' Я:(ХГ)

При этом также доказываются соответствующие леммы и теоремы о том, что компромиссное решение НЛВЗ 2 по алгоритму ГРНК будет единственным Па-рето-оптимальным. Таким образом, алгоритм решения нелинейной ВЗ (31) состоит в следующем.

Шаг 1.

Находим оптимумы для каждого критерия частной НЛВЗ 1. Для этого необходимо решить 4 скалярные задачи оптимизации (к = 1,2)

Шаг 2.

Выполнить единую нормализацию критериев частной НЛВЗ 1

Л*(Х)

/•тая учг к /*

Лк(Х)=/к{Х)~Л

■тт к_

/•шах /-и к 1к

4 = 1,2.

ШагЗ.

Построить Х- задачу

Шаг 4.

Решить Я- задачу прямо-двойственным методом внутренней точки и найти единственное оптимальное по Парето решение в точке Хе .

Шаг 5.

ЛПР проводит анализ результатов решения и определяет q - критерий, требующий улучшения. По формулам (2.33) определяются пределы изменения коэффициентов приоритета выбранного q - критерия по отношению к другому.

Шаг 6.

ЛПР должен выбрать необходимую величину рг ИЛИ рх (в пределах, вычисленных на шаге 5) и построить Я- или Я - задачу

Шаг 7.

Решить Л(Л)~ задачу прямо-двойственным методом внутренней точки, найти единственное оптимальное по Парето решение в точке Хйп01КГ> и значения критериев

опедг) И /г {^попеду ) ■

В четвертой главе рассматривается практическое использование алгоритма ГРНК для решения прикладных задач векторной оптимизации. В задаче оп-

определяется оптимальный выбор таких сортов угля, при использовании которых будет найден компромиссный вариант из следующих альтернатив:

а) максимизация объемов производства тепло- и электроэнергии;

б) минимизация потерь при производстве тепло- и электроэнергии, связанные с качеством потребляемого угля.

в) минимизация затрат на закупку и транспортировку энергоносителей;

В результате для предприятия ТЭЦ-2 ОАО «Новосибирскэнерго» получена следующая векторная модель.

п и

шах^Гс^; тах^Г^х,

(-1 /=1 п п

пипЕ^-Яо)*,; И"ПЦ(Ь1~Ьо)Х1

1 М . (34)

тт

/=I

5>,=1

(-1

где: х> (/ = 1,и) - доля количества угля /-го сорта; - цена за 1 тонну г-го сорта, включая транспорт; а, - % содержания золы и ¿>( - % содержания влаги в единице веса /-го сорта коэффициенты удельного выхода

электрической (d,) и тепловой энергии (с,) при сжигании 1 тонны угля i-то сорта. Числовые данные представлены специалистами ТЭЦ-2.

Решение линейной равнозначной задачи (34) по алгоритму ГРНК дает координаты компромиссного решения Х^ =(0,336; 0; 0; 0; 0,667; 0; 0 ), при этом компромиссные значения относительных оценок критериев будут гарантированно не хуже Я = 0,545 (Л (<v) = 0,578; ^(JC) = 0,588; Ь(*"„) = 0,598; I4 (x°q„ j = Âs {Х^ ) = 0,545). В случае, если ЛПР считает, что критерий стоимости имеет приоритет перед остальными, решение неравнозначной задачи по алгоритму ГРНК дает результат = (0,988; 0; 0; 0; 0,012; 0; 0), причем

оценка 5-го критерия улучшилась - As= 0,9917, но за счет остальных

й ОС) = 0,0105; ^ (*£,) = 0,0106; %(Х^) = 0,0108;= 0,0099).

В задаче оптимизации ценовой политики фирмы определяется оптимальная цена товара, исходя из максимизации общего дохода, при условии минимизации отклонения спроса от прогнозируемого на нестабильном рынке. В этом случае векторная модель будет двухкритериальной.

я

max£ Л/[<?,}*„ min£i%K

tel tel > (.->->)

.P,«m +h„plco„]

где: n - количество видов товаров; q,- прогнозируемый объем продаж i - го товара (/ = 1,и ) в некоторый будущий момент времени t, ах,- цена i - го товара в момент t ; M\q\ - ожидаемый доход, a D[q^\ - его дисперсия; plmm-минимальная цена продажи / -го товара, определяемая 100% рентабельностью; ht - величина чистой прибыли, устанавливаемая ЛПР; р, сс„ - цена товара г - го вида, выбираемая ЛПР среди цен конкурентов. Необходимые данные были представлены компанией ООО ТФ «Сибирский берег».

Задача построения прогноза для временного ряда q(t) и определение его вероятностных характеристик были решены с помощью моделей авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего по методике Бокса - Дженкинса в пакете STATISTICA 6.0. В результате были получены числовые коэффициенты критериальных функций для задачи (35) с тремя видами товаров, а ее решение как нелинейной равнозначной ВЗ по алгоритму ГРНК - ^(jc, =5,08; хг = б,5;х} = 7,5) - будет оптимальной ценовой политикой для выбранного момента времени. При этом доходы, полученные фирмой, будут составлять Л,(Л^,) = 52% от максимально возможного уровня, а степень риска этого возможного решения - \ = 47% (что можно объяснить малой длиной исходного временного ряда).

В заключении приведены основные результаты выполненной работы, которые состоят в следующем.

1. Проведена классификация задач векторной оптимизации, которая позволила определить выбор алгоритмов, необходимого для их решения.

2. Дня решения нескольких классов задач многокритериальной оптимизации разработан способ их решения - алгоритм ГРНК. На основе принципа оптимальности по Парето получены доказательства существования и единственности компромиссного решения для следующих задач:

- линейных однородных и неоднородных с критериями;

- целочисленных линейных неоднородных с равнозначными критериями;

- нелинейных неоднородных с равнозначными критериями.

3. Для решения многокритериальных задач с приоритетом определенного критерия предлагается вводить в равнозначную Л - задачу коэффициенты приоритета - числовые характеристики, которые отражают предпочтения ЛПР. Значения каждого из этих коэффициентов предложено выбирать из некоторого интервала, границы которого вычисляются по формулам, предложенным и обоснованным соответствующими теоремами. Такой подход позволяет значительно снизить степень субъективизма, вносимого ЛПР в определение отношений предпочтения, и доказать существование и единственность решения всех типов задач с критериями:

4. Построены алгоритмы каждого из вышеперечисленных типов задач с указанием пошаговых операций, что создает благоприятную основу для создания программного продукта, который позволит автоматизировать процесс поиска компромиссного решения задач многокритериальной оптимизации.

5. Решение конкретных примеров векторных задач на основе алгоритмов ГРНК показало их работоспособность и возможность решать задачи различных типов, а введение коэффициентов приоритета позволяет количественно задавать предпочтения ЛПР и повысить эффективность работы систем принятия управленческих решений.

Публикации по теме диссертационной работы

1. Кириллов Ю.В. Выбор инвестиционного проекта как задача дискретной векторной оптимизации // Экономическое образование и наука в современных условиях: опыт, проблемы и перспективы: Сб. материалов международной науч.- практ. конференции. - Семипалатинск, 2002. - С. 207-210.

2. Кириллов Ю.В., Шестакова А.В. Формирование оптимального портфеля на рынке недвижимости // Экономическое образование и наука в современных условиях: опыт, проблемы и перспективы: Сб. материалов международной науч.-практ. конференции. - Семипалатинск, 2002. - С. 200-202.

3. Кириллов Ю.В., Зенкова О.В. Моделирование инвестиционных потоков // Управление экономикой: методы, модели, технологии: Сб. материалов российской научно-методической конференции с международным участием. - Уфа, 2002.-С. 36-38.

4. Иванов Л.Н., Кириллов Ю.В. К вопросу о Парето-оптимальности решений задач векторной оптимизации // Сборник научных трудов НГТУ. - 2003. -№3(33). - С. 61-70.

5. Мезенцев Ю.А., Кириллов Ю.В. Некоторые аспекты задач оптимального проектирования при нескольких критериях предпочтения // Сборник научных трудов НГТУ. - 2003. - №3(33). - С. 21-40.

6. Кириллов Ю.В. Оптимизация ценовой политики фирмы с помощью вектор-но-стохастических моделей // «Информационные системы и технологии» ИСТ'2003: Тр. междунар. науч.-техн. конф., Новосибирск. 22-25 апр. 2003. -Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. - Т.1. - С. 105-106.

7. Кириллов Ю.В. Использование методов векторной оптимизации в современных информационных технологиях управления // Стратегия бизнеса и социально-экономическое развитие региона: Сб. статей участников 6-й Всерос. на-уч.-практ. конференции,Ярославль, 27 ноября 2003.-Ярославль: Ремдер, 2003. -С. 748-753.

8. Kirillov Yu., Shestakova A. Optimization of a price policy with using of vector-stochastic models / Modelling, Computation and Optimization in Information Systems and Management Sciences MCO 2004: Fifth International conference on Computer Science. July 1-3,2004, Metz University, France. - P. 319-326.

9. Кириллов Ю.В. Методы многокритериальной оптимизации в информационных технологиях анализа инновационной деятельности // «Актуальные проблемы электронного приборостроения» АПЭП — 2004: Труды VII междунар. конференции, Новосибирск, 21-24 сент. 2004. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2004.-Т. 7.-С. 84-88.

10. Кириллов Ю.В. Многокритериальное моделирование как основа информационных технологий поддержки принятия решений // Фундаментальные исследования. - 2004. - №6. - С. 114-116.

11. Иванов Л.Н., Кириллов Ю.В. Использование многокритериальных моделей для информационной поддержки принятия решений // Программные продукты и системы. - 2005. - №1. - С. 44-47.

12. Кириллов Ю.В., Кудаев С.А. Задача оптимального обеспечения топливом предприятий энергетической промышленности с учетом качества энергоносителей // Современные наукоемкие технологии. - 2005. - №1. - С. 122-126.

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета формат 60x84/16, объем 1,5 пл., тираж 100 экз., заказ № 670, подписано в печать 23.05.05 г.

О 9 ИЮЛ 2005

/

\ «i*, '

1623

Введение.

Глава 1. Векторная оптимизация в задачах управления.

1.1. Управление и задачи принятия решений.

1.1.1. Принятие решений как задача системного анализа.

1.1.2. Примеры задач векторной оптимизации.

1.1.2.1. Задача моделирования сложной системы управления.

1.1.2.2. Задача моделирования направлений деятельности фирмы.

1.1.2.3. Задачи моделирования инвестиционной деятельности фирмы.

1.1.3. Общие замечания о примерах задач векторной оптимизации.

1.:2. Аналитический обзор методов решения задач векторной оптимизации.

1.2.1. Общая постановка задачи векторной оптимизации.

1.2.2. Методы решения ВЗМП.

1.2.2.1. Методы, основанные на свертке критериев.

1.2.2.2. Методы, использующие ограничения на критерии.

1.2.2.3. Методы целевого программирования.

1.2.2.4. Методы поиска компромиссного решения.

1.2.2.5. Обзор других методов решения ВЗМП.

1.2.3. Общие недостатки существующих методов.

1.3. Выводы по главе 1.

Глава 2. Принципы построения алгоритма решения задач векторной оптимизации.

2.1. Формализованная постановка общей задачи векторной оптимизации.

2.2. Классификация векторных задач математического программирования.

2.3. Нормализация критериев в задачах векторной оптимизации.

2.4. Выбор алгоритма решения ВЗМП.

2.4.1. Принцип выбора компромиссного решения.

2.4.2. Принцип гарантированного результата.

2.4.3. Алгоритм гарантированного результата при нормализации критериев.

2.5. Выводы по главе 2.

Глава 3. Решение различных классов векторных задач с помощью алгоритма ГРНК.

3.1. Решение линейных векторных задач.

3.1.1. Решение равнозначных линейных векторных задач.

3.1.1.1. Решение однородных равнозначных ЛВЗ.

3.1.1.2. Решение неоднородных равнозначных ЛВЗ.

3.1.2. Алгоритм решения равнозначных линейных векторных задач.

3.1.3. Решение неравнозначных линейных векторных задач.

3.1.3.1. Определение приоритета критерия однородной векторной задачи.

3.1.3.2. Вычисление коэффициентов приоритета однородной векторной задачи.

3.1.3.3. Принцип гарантированного результата для неравнозначных ЛВЗ.

3.1.3.4. Решение неравнозначных однородных ЛВЗ.

3.1.3.5. Определение приоритета критерия неоднородной векторной задачи.

3.1.3.6. Решение неравнозначных неоднородных ЛВЗ.

3.1.4. Алгоритм решения неравнозначных линейных векторных задач.

3.2. Решение дискретных векторных задач.

3.2.1. Постановка неоднородной равнозначной дискретной векторной задачи.

3.2.2. Решение неоднородных равнозначных ЦЛВЗ.

3.2.2.1. Нормализация в ЦЛВЗ.

3.2.2.2. Выбор метода решения ЦЛВЗ.

3.2.3. Решение неоднородных неравнозначных ЦЛВЗ.

3.2.4. Алгоритм решения целочисленных линейных векторных задач.

3.3. Решение нелинейных векторных задач.

3.3.1. Решение неоднородных равнозначных НЛВЗ.

3.3.1.1. Нормализация в НЛВЗ.

3.3.1.2. Выбор метода решения НЛВЗ.

3.3.1.3. Условия сходимости метода решения НЛВЗ

3.3.2. Алгоритм решения неоднородных равнозначных НЛВЗ.

3.3.3. Решение неоднородных неравнозначных НЛВЗ.

3.3.4. Алгоритм решения неоднородных неравнозначных

НЛВЗ.

3.4. Выводы по главе 3.

Глава 4. Использование алгоритма ГРНК для решения прикладных задач векторной оптимизации.

АЛ.Задача оптимального обеспечения топливом предприятий энергетической промышленности с учетом качества энергоносителей.

4.1.1. Актуальность задачи.

4.1.2. Постановка векторной задачи.

4.1.3. Решение векторной задачи.

4.2. Задача оптимизации ценовой политики фирмы.

4.2.1. Актуальность задачи.

4.2.2. Постановка векторной задачи.

4.2.3. Решение векторной задачи.

4.3. Выводы по главе 4.

1. Актуальность темы. Современный этап развития нашей страны характеризуется тем, что растущие потребности рынка, достижения науки и техники вызывают появление новых технологий, которые не только расширяют, но и усложняют, интенсифицируют деятельность в сфере производства. Поэтому особую актуальность приобретает решение задач по повышению эффективности современных систем управления, внедрению новых информационных технологий принятия решений на всех уровнях хозяйственного механизма. Это тем более важно потому, что учет многих дополнительных рыночных факторов многократно повысил ответственность при разработке, как долгосрочных стратегических планов, так и отдельных тактических шагов по их реализации.

Многоуровневый (иерархический) принцип построения современных систем управления приводит к увеличению скорости обработки информации за счет создания специальных подсистем, а также к повышению надежности функционирования системы в целом. Однако на этом пути возникают проблемы, связанные со сложностью и большим объемом обрабатываемой информации, многофункциональностью систем управления и большим количеством вариантов их анализа. Именно поэтому разработка оптимальных структур управления невозможна без использования современных средств вычислительной техники, новых методов системного анализа и развитого программного обеспечения. Сложность решаемых задач обусловила и появление соответствующих математических моделей, которые должны адекватно отображать сложность исследуемой системы управления и, прежде всего, ее многоцелевой характер. В основе таких математических моделей должны лежать многокритериальные задачи оптимизации.

Таким образом, современное управление - это оперативное принятие оптимальных решений в условиях многокритериального выбора. Отсюда следует, что разработка эффективных методов решения векторных (многокритериальных) задач является важнейшей проблемой системного анализа вообще, а также теории управления и теории принятия решений в частности. 7

Разработка методов решения подобных задач ведется достаточно давно и связана с работами отечественных и зарубежных ученых: Н.Н. Моисеева, B.C. Михале-вича, B.J1. Волковича, Ю.Б. Гермейера, В.В. Подиновского, Л.И. Полищука, В.В. Хоменюка, М.А. Айзермана, И.М. Макарова, Ю.К. Машунина, Б.А. Березовского, Р. Штойера, С. Карлина, Р. Кини, X. Райфа и др., которыми был сделан основополагающий вклад в теорию и практику решений различных задач системного анализа и многокритериальной оптимизации.

Все многообразие вариантов и подходов к решению таких задач можно разделить на две большие группы, обладающих своими достоинствами и недостатками.

1. Использование сложного аппарата современной математической логики (теория бинарных отношений, теория рационального выбора и др.) приводит к полному и строгому доказательству существования решений векторных задач. Однако, это же влечет за собой серьезные трудности в понимании физического смысла выполняемых шагов решения и, как следствие, трудности построения рабочего алгоритма для решения прикладных задач.

2. Существует достаточно большое количество методов, в которых смысл операций на каждом шаге понятен не только математикам, однако эта простота может привести к неоднозначным результатам. Кроме того, для некоторых методов этой группы отсутствует серьезное доказательство их разрешимости.

Таким образом, актуальной является необходимость, как практическая, так и теоретическая, заполнить разрыв между двумя этими направлениями, который со временем, как ни странно, только увеличивается.

2. Цель исследования. Разработать алгоритм решения задач векторной оптимизации, сочетающий строгое теоретическое обоснование и простоту практической реализации, и использовать его для решения прикладных задач принятия управленческих решений.

Для достижения этой цели в диссертации поставлены следующие задачи:

1. Провести общую классификацию задач векторной оптимизации, которая определяла бы принадлежность той или иной конкретной векторной задачи к определенной группе по характерным признакам.

2. Разработать общую схему алгоритма решения задач векторной оптимизации обладающую следующими особенностями и свойствами: a) единые для векторных задач любого типа принципы оптимальности, которые должны стать ядром алгоритма решения и основой для сравнения значений различных критериев в определенной точке области допустимых решений; b) наличие математического доказательства того, что решение, полученное в результате применения данного метода, будет оптимально по Парето; c) если полученное решение не является единственным, алгоритм должен обеспечивать выбор единственной точки из Парето-оптимального множества, в которой значения частных критериев будут устраивать ЛПР (лицо, принимающее решения).

3. Разработать количественные способы задания приоритета критериев для того, чтобы объективно выражать соответствующие предпочтения ЛПР для любого типа задач векторной оптимизации.

4. Получить рабочие алгоритмы решения различных классов задач векторной оптимизации и использовать их для решения прикладных задач управления и принятия решений.

3. Объектом исследования являются математические модели сложных (многоуровневых) систем принятия управленческих решений в различных отраслях.

4. Предметом исследования являются многокритериальные модели оптимизации прикладных задач управления и их анализ для повышения функционирования объекта исследования.

5. Методы исследования. Теоретическая часть работы выполнялась на основе методов системного анализа и теории математического программирования для решения скалярных линейных, дискретных и нелинейных задач. Для доказательства" лемм и теорем, в которых выводятся основные особенности рабочих алгоритмов, используются определение понятия эффективного (Парето-оптимального) множества и элементы математической логики.

6. Научную новизну диссертационного исследования составляют:

1. Выполненная классификация задач многокритериальной оптимизации, кото9 рая позволяет идентифицировать тип решаемой векторной задачи и, соответственно, выбрать алгоритм ее решения.

2. Общая схема решения задач векторной оптимизации — алгоритм гарантированного результата при нормализации критериев (алгоритм ГРНК), который определяет общие принципы построения решения.

3. Полученные рабочие алгоритмы для решения конкретных классов следующих векторных задач с равнозначными критериями:

• линейных однородных и неоднородных задач;

• целочисленных неоднородных задач;

• нелинейных неоднородных задач.

Предложенные алгоритмы позволяют получить единственное Парето-оптимальное решение.

4. Предложенный способ, обеспечивающий количественное задание предпочтений ЛПР - коэффициентов приоритета, которые позволяют решить векторную задачу с приоритетом определенного критерия. Введение коэффициентов приоритета в модель равнозначной задачи позволило целенаправленно управлять процессом получения единственного Парето-оптимального решения рассмотренных типов векторных задач с неравнозначными критериями.

7. Практическая значимость результатов исследования состоит в том, что:

1. Построены многокритериальные модели ряда важных прикладных задач принятия решений в области инвестиционной политики.

2. На конкретных примерах (задача оптимального обеспечения топливом предприятия ТЭЦ - 2 ОАО «Новосибирскэнерго» и задача оптимизации ценовой политики ООО «Сибирский берег») показана работоспособность разработанных алгоритмов.

3. Создана основа разработки программного продукта для информационной поддержки процесса принятия решений, ядром которого должны стать алгоритмы предлагаемого метода гарантированного результата при нормализации критериев.

8. Положения, выносимые на защиту, представляют собой следующие теоретические выводы и практические результаты.

10

1. Общая классификацию задач векторной оптимизации, которая определяет принадлежность той или иной конкретной векторной задачи к определенной группе по характерным признакам.

2. Общая схема алгоритма ГРНК для решения задач векторной оптимизации, которая позволяет получить единственное Парето-оптимальное решение.

3. Рабочие алгоритмы ГРНК для решения следующих типов векторных задач с равнозначными и неравнозначными критериями:

• линейных однородных и неоднородных задач;

• целочисленных неоднородных задач;

• нелинейных неоднородных задач.

4. Формулы, выражающие количественное задание предпочтений J11 IP — коэффициентов приоритета и рабочие алгоритмы, которые позволяют решить упомянутые выше типы векторных задач с приоритетом определенного критерия.

5. Практическое подтверждение работоспособности разработанных алгоритмов на примере решения прикладной задачи многокритериальной оптимизации.

9. Апробация работы. Работа выполнялась в рамках инициативной НИР кафедры экономической информатики Новосибирского государственного технического университета (НГТУ) «Теоретические и прикладные аспекты экономической информатики». Разработанные алгоритмы использовались на факультете бизнеса НГТУ при проведении занятий по дисциплинам «Методы оптимизации» и «Математическая экономика».

Основные теоретические выводы и практические рекомендации диссертации докладывались автором на международной научно- практической конференции «Экономическое образование и наука в современных условиях: опыт, проблемы и перспективы» (Семипалатинск, 2002г.); международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии ИСТ'2003» (Новосибирск, 2003г.); 6-й Всероссийской научно-практической конференции «Стратегия бизнеса и социально-экономическое развитие региона» (Ярославль, 2003г.); V международной конференции по информационным технологиям «Modelling, Computation and Optimization in Information Systems and Management Sciences MCO 2004» (Метц, Фран

11 ция, 2004г.); VII международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (Новосибирск, 2004г.).

10. Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 12 печатных работ общим объемом 4 п.л. Диссертация соответствует паспорту специальности 05.13.01 Паспорта специальностей ВАК, пункт 4.

11. Структура и объем диссертации. Цели и задачи исследования определили логику и структуру работы, состоящую из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Основной текст диссертации изложен на 157 страницах, включает 21 рисунок, 14 таблиц и 1 приложение. Список литературы содержит 66 наименований.

Основные результаты выполненной работы состоят в следующем.

1. Проведена классификация задач векторной оптимизации, которая позволила определить выбор необходимого алгоритма для их решения. Для сведения частных критериев к единому безразмерному виду предложен общий способ их нормализации, что позволило заметно упростить алгоритмы решения векторных задач.

2. Для решения нескольких классов задач многокритериальной оптимизации был разработан метод их решения - алгоритм гарантированного результата при нормализации критериев (алгоритм ГРНК). На основе принципа оптимальности по Парето и оригинальной методики получены доказательства существования и единственности компромиссного решения для следующих задач:

- линейных однородных и неоднородных с равнозначными критериями ;

- целочисленных линейных неоднородных с равнозначными критериями;

- нелинейных неоднородных с равнозначными критериями.

3. Для решения таких задач с приоритетом определенного критерия предлагается вводить в равнозначную Я- задачу коэффициенты приоритета - числовые характеристики, которые отражают предпочтения ЛПР. Значения каждого из этих коэффициентов выбирается из некоторого интервала, границы которого вычисляются по формулам, выведенным в соответствующих теоремах. Такой подход позволяет значительно снизить степень субъективизма, вносимого ЛПР в выбор отношений предпочтения, и доказать существование и единственность решения всех типов задач, приведенных в п.2, с неравнозначными критериями:

4. Построены алгоритмы каждого из вышеперечисленных типов задач с указанием пошаговых операций, что создает благоприятную основу для создания программного продукта, который позволит автоматизировать процесс поиска компромиссного решения задач многокритериальной оптимизации.

5. Решение конкретных примеров векторных задач на основе алгоритмов ГРНК показало их полную работоспособность и возможность решать задачи различных типов, а введение коэффициентов приоритета позволяет количественно задавать

136 предпочтения ЛПР и повысить эффективность работы систем принятия управленческих решений.

К перспективам дальнейших исследований по данной теме можно отнести:

1. Использование других типов нормализации критериев (в частности, нелинейной) с целью улучшить значение получаемого компромиссного решения по сравнению с линейной нормализацией.

2. Получение аналитического вида функции коэффициента приоритета с целью определения зависимости между величиной коэффициента приоритета и значением соответствующего критерия в точке компромисса неравнозначной задачи.

3. Разработку программного продукта для автоматизации решения рассмотренных векторных задач с целью информационной поддержки процесса принятия управленческих решений.

4. Рассмотрение возможность применения алгоритмов ГРНК для решения других типов задач векторной оптимизации.

Заключение

1. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. — М.: Наука, 1981. -488с.

2. Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П. Основы системного анализа. — М.: Логос, 1997.-389с.

3. Машунин Ю.К. Теоретические основы и методы векторной оптимизации в управлении экономическими системами. М.: Логос, 2001. - 252с.

4. Дегтярев Ю.И. Основы системного анализа. М.: Наука, 1996. — 356с.

5. Кухтенко А.И. Основные направления развития теории управления. — Киев: Наукова думка, 1968, вып. IV.

6. Системные исследования. М.: Наука, 1970. - 126с.

7. Системные исследования. М.: Наука, 1971. - 149с.

8. Михалевич B.C., Волкович В.Л. Вычислительные методы исследования и проектирования сложных систем. М.: Наука, 1982. — 295с.

9. Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневых систем.-М.: Мир, 1973.-334с.

10. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975. — 345с.

11. Бочаров В.В. Финансовый анализ. СПб.: Питер, 2001 — 240с.

12. Иванов Л.Н., Кириллов Ю.В. Использование многокритериальных моделей для информационной поддержки принятия решений. //Программные продукты и системы. 2005. - №1. - стр. 44 - 47.

13. Касимов Ю.Ф. Основы теории оптимального портфеля. — М.: Филинъ, 1998. -154с.

14. Капитоненко В.В. Финансовая математика и ее приложения. М.: «Издательство ПРИОР», 2001. - 144с.

15. Шарп У. и др. Инвестиции: Пер. с англ. М.: Инфра - М, 1997. - 1024с.

16. Развитие экономико-математических методов: итоги, проблемы, перспективы // Экономика и математические методы. 1987. Т.23, вып.4,5,6.

17. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982. - 256с.

18. Полищук Л.И. Анализ многокритериальных экономико-математических моделей. Новосибирск: Наука. Сиб. Отделение, 1989. - 352с.

19. Горский Ю.М. Системно информационный анализ процессов управления. -Новосибирск: Энергия, 1988. - 326с.

20. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация. Теория, вычисления и приложения: Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1992. — 504с.

21. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике: Пер. с англ. М.: Мир, 1964. - 837с.

22. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971.-383с.

23. Хоменюк В.В. Элементы теории многоцелевой оптимизации. — М.: Наука, 1983.- 123с.

24. Зак Ю.А. Многоэтапные процессы принятия решений в задаче векторной оптимизации. //Автоматика и телемеханика. 1976. - №6. — с.41-45.

25. Машунин Ю.К. Методы и модели векторной оптимизации. М.: Наука, 1986.139-141с.

26. Айзерман М.А., Алескеров Ф.И. Выбор вариантов. Основы теории. М.: Наука, 1990.-364с.

27. Макаров И.М. и др. Теория выбора и принятия решений. — М.: Наука, 1982. — 368с.

28. Дубов Ю.А. и др. Многокритериальные модели формирования и выбора вариантов систем. -М.: Наука, 1986. 198с.

29. Березовский Б.А., Гнедин А.В. Задача наилучшего выбора. М.: Наука, 1984. - 196с.

30. Березовский Б.А. и др. Многокритериальная оптимизация. Математические аспекты. М.: Наука, 1989. - 128с.

31. Кини Р., Райфа X. Принятие решений по многим критериям: предпочтения и замещения. — М.: Радио и связь, 1981.- 452с.

32. Фишберн П. Теория полезности для принятия решений. — М.: Мир, 1978. — 352с.

33. Бурков В.Н. Основы математической теории активных систем. М.: Изд. ИПУ АН СССР, 1977. - 347с.

34. Бурков В.Н., Новиков Д.А. Введение в теорию активных систем. — М.: Изд. ИПУ РАН, 1995.- 124с.

35. Бурков В.Н., Новиков Д.А. Теория активных систем: состояние и управление. -М.: Изд. ИПУ РАН, 1999.- 126с.

36. Философский энциклопедический словарь. 2-е изд. М.: Сов. энциклопедия, 1989.-815с.

37. Калихман И.Л. Линейная алгебра и программирование. -М.: Высшая школа, 1967.-216с.

38. Кузнецов Ю.Н. и др. Математическое программирование. — М.: Высшая школа, 1980. 346с.

39. Зайченко Ю.П. Исследование операций. Киев: Выща школа, 1988. - 552с.

40. Кузнецов А.В. и др. Высшая математика: Математическое программирование. Минск: Вышэйшая школа, 1994. - 397с.140

41. Елтаренко Е.А. Оценка и выбор решения по многим критериям. — М.: МИФИ, 1995.-95с.

42. Новиков П.С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973, -358с.

43. Arrow K.J. Rational choice functions and orderings. Econometrica, 1959, vol. 26, Pp. 121 - 127.

44. Arrow K.J., Hurwicz L. An optimally criterion for decision-making under ignorance. In: Uncertainty and expectation in economics/Ed. By C.F. Carter, J.L. Ford. Oxford: Blackwell and Mott, 1972. 299 p.

45. Milnor J. Games against nature. In: Decision processes/Ed. By R.M. Thrall and others. L.: Chapman and Hall, 1954. 332 p.

46. Sen A.K. Choice functions and revealed preference. Rev. Econ. Stud., 1971. vol. 38, Pp. 307-317.

47. Иванов Jl.H., Кириллов Ю.В. К вопросу о Парето-оптимальности решений задач векторной оптимизации. //Сборник научных трудов НГТУ. 2003. -№3(33).-стр. 61-70.

48. Карпелевич Ф.И., Садовский Л.Е. Элементы линейной алгебры и линейного программирования. -М.: Наука, 1965. -276с.

49. Наумов А.А., Мезенцев Ю.А. Оптимальное управление инвестиционным портфелем. — Новосибирск: ООО «Издательство Лада», 2002. — 192с.

50. Y. Nesterov and A. Nemirovsi: Interior Point Polynomial Algorithms in Convex Programming Theory and Application. SIAM, Philadelphia, 1994.

51. Липсиц И.В. Коммерческое ценообразование. M.: Инфра, 1998. — 258с.

52. Цены и ценообразование. / Под ред. Салимжанова И.К. М.: Дело, 1999. -312с.

53. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. М.: Мир, 1974. - Вып. 1,2.

54. Четыркин Е.М. Финансовый анализ производственных инвестиций. М.: Дело, 1998.-256с.

55. Ковалев В.В. Методы оценки инвестиционных проектов. М.: Финансы и статистика, 1998.- 128с.

56. Грешилов А.А. Как принять наилучшее решение в реальных условиях. — М.: Радио и связь, 1991. 320с.

57. Мезенцев Ю.А., Кириллов Ю.В. Некоторые аспекты задач оптимального проектирования при нескольких критериях предпочтения. //Сборник научных трудов НГТУ. 2003. - №3(33). - стр. 21-40.

58. Кириллов Ю.В., Зенкова О.В. Моделирование инвестиционных потоков. //Управление экономикой: методы, модели, технологии: Сб. материалов российской научно-методической конференции с международным участием. — Уфа, 2002.-с. 36-38.

59. Кириллов Ю.В. Многокритериальное моделирование как основа информационных технологий поддержки .принятия решений. //Фундаментальные исследования. 2004. - №6. - стр. 114-116.

60. Кириллов Ю.В., Кудаев С.А. Задача оптимального обеспечения топливом предприятий энергетической промышленности с учетом качества энергоносителей. //Современные наукоемкие технологии. 2005. — №1. — стр. 122 — 126.