автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Гарантированное по конусу решение многокритериальной задачи

51а правах рукописи

ВИШНЯКОВА Ольга Михайловна

0030В7202

ГАРАНТИРОВАННОЕ ПО КОНУСУ РЕШЕНИЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

Специальность 05.13.18.- Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003067202

па правах рукописи

ВИШНЯКОВА Ольга Михайловна

ГАРАНТИРОВАННОЕ ПО КОНУСУ РЕШЕНИЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

Специальность 05.13.18.- Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена на кафедре высшей математики Электромеханического факультета Псковского государственного политехнического института.

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук, доцент

МАТВЕЕВ Владимир Александрович.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук, профессор

КОЛНОГОРОВ Александр Валерья-

Ведущая организация - Санкт-Петербургский государствен-

сов на заседании Диссертационного Совета Д 212.168.04. при Новгородском государственном университете им.Ярослава Мудрого по адресу. 173003, Великий Новгород, ул. Большая Санкт-Петербургская, д.41, Институт электронных и информационных систем НовГУ, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новгородского государственого университета.

нович.

кандидат физико-математических наук, доцент

МЕЛЬНИК Валентин Николаевич.

ный политехнический университет. Защита диссертации состоится «. 2007 г. в ¿Г ч

ча-

гя.оо.

Автореферат разослан

«

Ш. »Ш.ЬрЪ. 2006 года.

Ученый секретарь Диссертационного совета доктор тех.наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математической моделирование, опираясь на современные вычислительные методы и технические инструменты информатики позволяет подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте. Методология математического моделирования охватывает различные сферы - от разработки технических систем и управления ими, до анализа сложных экономических и социальных процессов. Проблема принятия решений присутствует почти во всех видах творческой активности людей в различных видах деятельности. Математические модели процессов принятия решений дают возможность получить важные представления об объекте с помощью исследования теоретическими методами. Кроме того, модель может быть представлена в форме, удобной для применения численных методов и создания программы, реализующей модель на компьютере. Чтобы принимать решения, которые реализуют поставленные цели в наибольшей степени, приходится учитывать несколько, иногда противоречивых, показателей для оценки каждой из альтернатив. Поэтому проблема принятия решений в сложных системах исследуется в рамках теории многокритериальных задач Основной сложностью при анализе задач многокритериальной оптимизации является задача несравнимости двух векторов. Поэтому, в первую очередь при решении многокритериальных задач необходимо указать принцип оптимальности, объясняющий, в каком смысле одно решение лучше другого.

Вторая особенность задачи принятия решений - это наличие неопределенности. Наличие неопределенности приводит к тому, что нельзя однозначно определить понятие решения многокритериальной задачи, а можно лишь указать "разум-ныс"рсшсния согласно выбранного принципа оптимальности. Исследование многокритериальных задач при неопределенности ведется в рамках различных модификаций принципа гарантированного результата.

Диссертационная работа посвящена исследованию гарантированных решений в динамических многокритериальных задачах. При этом предполагается, что для неопределенных факторов известна лишь область возможных значений. В качестве принципа оптимальности рассматривается оптимальность по выпуклому конусу.

Целью работы является разработка теоретических основ принципа оптимальности по конусу, применение полученных результатов к исследованию многокритериальных задач и гарантированных решений в динамических многокритериальных задачах,как с программными, так и с позиционными управлениями и неопределенностями, причем полагается, что о неопределенностях известна лишь область возможных значений.

Объектом исследования являются динамические многокритериальные задачи принятия решений в условиях неопределенности и седловые точки в игровых задачах с векторными выигрышами.

Предмет исследования - математическая модель принятия решений в динамических многокритериальных задачах при неопределенности на основе принципа оптимальности по конусу.

Проблема заключается в способе формализации и исследовании свойств решений динамической многокритериальной задачи при неопределенности и в поиске методов построения седловых точек, реализующих такие решения, определении векторной седловой точки относительно выбранного принципа оптимальности.

В основу исследования положена следующая гипотеза: основываясь на результатах из теории многокритериальных задач, теории игр и оптимального управления, для динамических задач при неопределенности можно определить понятие оптимального решения согласно принципа оптимальности по конусу, предложить способ его нахождения и получить условия его существования.

Для реализации поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы потребовалось решить следующие задачи:

- выявить свойства оптимальных по конусу решений многокритериальной задачи, установить их связь с известными принципами оптимальности;

- получить достаточные условия существования таких решений;

- предложить способ уточнения оптимального по мпогогранному конусу решения многокритериальной задачи;

- рассмотреть применение метода анализа иерархий в игровой задаче с векторными выигрышами;

- формализовать понятия гарантированных по конусу решений для динамической многокритериальной задачи при неопределенности;

- найти методы построения гарантированных по конусу решений, используя аппарат принципа максимума Понтрягина и метод динамического программирования;

- рассмотреть приложения к конкретным задачам.

Методологическую основу работы составляют методы, и подходы теории многокритериальных задач, теории игр, выпуклого анализа, теории матриц, теории дифференциальных уравнений и теории оптимального управления.

Научная новизна. В работе рассмотрен новый подход к исследованию динамических многокритериальных задач при неопределенности и выявлены его

свойства. Для многокритериальной задачи при неопределенности определена оптимальность по произвольному выпуклому конусу. Для оптимального по многогранному конусу решения предложен способ уточнения решения. Рассмотрено применение метода анализа иерархий к игровой задаче с векторными выигрышами и определено понятие конусного равновесия.

Практическая значимость.!} рассмотренном подходе к определению решения многокритериальных задач при неопределенности, учитывется информация о предпочтених ЛПР. Это позволяет повысить качество и обоснованность принимаемых в сложных системах решений. Предложенные способы построения гарантированных решений могут применяться к задачам планирования и прогнози-роваиия в экономических, экологических и технических управляемых системах. Приложение данных методов рассмотренно на примере математической модели освоения вводимых производственных мощностей. Для численного нахождения С-седловых точек на основе принципа максимума разработатна программа в среде МарЫО. Программа позволяет решать системы дифференциальных уравнений (гамильтоновы системы) с помощью численных методов, в частности с помощью метода Рунге-Кутты-Фельберга порядка 4/5 и других классических методов. Предусмотрена процедура для визуализации полученных решений. Также программа позволяет решать дифференциальные уравнения с функциями кусочного типа, которые широко используются при моделировании различных систем.

Достоверность результатов.Обоснованность результатов вытекает из математической строгости применяемых методов решения рассматриваемых задач. Для подтверждения теоретических положений рассматриваются модельные примеры, полученные результаты применяются к содержательной математической модели. Расчет модели производится без округлений в вычислениях.

Основные положения, выносимые на защиту:

- исследованы свойства оптимального по конусу решения многокритериальной задачи, выявлены условия существования, получены достаточные условия оптимальности по конусу, предложен способ уточнения данного решетя;

- для игровой задачи с векторными выигрышами формализовано понятие равновесия с применением метода анализа иерархий, сформулированы условия существования таких равновесий.

- формализовано гарантированное по конусу решение динамической многокритериальной задачи при неопределенности, сформулированы необходимые условия существования С- седловых точек в форме принципа максимума Понтрягина;

- найдены коэффициентные условия существования и явный вид гарантированного по конусу решения динамической многокритериальной позиционной задачи при неопределенности.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на научно - методических семинарах кафедры высшей математики Псковского политехнического института и кафедры математики и информатики Псковского Вольного института, на XIV и XIX международной научно-методической конференции "Математика в ВУЗе"(Великие Луки, 2002, Псков,2006), на X международной конференции "Математика, компьютер, образование" (Пущино, 2003), на II научно-практической конференции "Потенциал развития Псковской области в экономике, управлении и решении социальных проблем "(Псков, 2004), на международной конференции, посвященной 75 - летию со дня рождения В.И. Зубова "Устойчивость и процессы управления"(Санкт-Петербург, 2005).

Публикации.По результатам диссертации опубликовано 18 печатных работ. Перечень публикаций приведен в конце автореферата.

Структура. Дисертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 12 параграфов, заключения и списка использованной литературы. Объем диссертации составляет 118 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сделан обзор основных результатов по исследуемому вопросу, представлены цель и задачи исследования, указана общая методика, научная новизна и положения, выносимые на защиту. Приведено краткое содержание диссертации по главам.

Первая глава ("Многокритериальная задача: оптимальность по конусу") состоит из пяти параграфов посвящена оптимальным по конусу решениям многокритериальной задачи.

В §1 вводится отношение предпочтения по конусу, как отношение порядка. Рассматриваются свойства и типы бинарных отношений и связь отношения конусного предпочтения с другими отношениями порядка.

Выделенный конус С с непустой топологической внутренностью порождает в пространстве RA' векторную упорядоченность посредством бинарного отношения <с следующим образом [1] :

х<сУ&У-х€С, x,y€RN. (1)

Конус С называется конусом доминирования, а отношение <с - отношением предпочтения по конусу .

[1J Kuzoiwa, D Tanaba, Т Truong, XDH. On cone convexity of set-valued maps. // NONLINEAR ANALYSIS-THEORY METHODS & APPLICATIONS,V.30 У." 3, 1997, p.1487-3496.

В §2 рассматривается многокритериальная задача и известные принципы оптимальности для выбора решения - оптимальность по Слейтеру, по Парето, по Борвейну, по Джоффриону и Л-оптимальность.

В §3 формулируется понятие оптимального по конусу решения, рассматриваются свойства и частные случаи данного решения, его связь с известными принципами оптимальности.

Рассматривается многокритериальная задача, выпуклый, острый, пространственный конус доминирования С и соответствующее ему отношение порядка, определегаюе в (1):

(X, f{x), С). (2)

Определение 1 Решение х° € X задачи (2), будем называть оптимальным по конусу С если

{х&Х /(х°) <cf(x)} = 0,

то есть Ух & X из f(x°) <с f(x) => f(x°) = f(x). Соответствующее значение векторной функции f(x°) называется векторной оценкой, оптимальной по конусу С.

Множество всех оптимальных по конусу решений для задачи (2) обозначим Xе

Теорема 1 Пусть в многокритериальной задаче (2) множество X £ И," - компактное, векторная функция выигрыша f(x) - непрерывна, конус доминирования С £ RA' - является выпуклы и острым. Тогда в задаче (2) существует оптимальное по конусу решение.

Необходимым и достаточным условиям существования оптимального по конусу решения посвящен §4.

Пусть задан многогранный конус К — {/: А/ > 0}, где А - матрица размерности т х N с положительными элементами > 0, / = (/i, /2,.. ./jv). Для конуса С £ RN множество С* = {у € R'v: ху 0, х £ С} называется полярным конусом для данного конуса С [2] . Конус К*, образующие вектора которого -строки матрицы А является полярным конусом для конуса К.

Лемма 1 (достаточные условия максимального по многогранному конусу реше-

N

ния) Пусть х* € X доставляет максимум функции ^ a?fj(x), где а^ € К*,

JV

af = 1. Тогда решение х* является максимальным по конусу К в задаче (2).

i=1

Замечание 1 Этот результат можно обобщить на случай произвольного вы-

N

пуклого конуса С € R'v. Пусть х* = arg max affj{x)i aj - компоненты

хех J=1

|2] Введение в нелинейное программирование./ Под ред. К.-Х. Эльстера. М.:11аука, 1985.

вектора ас = (af,..., а^) € С*, и С* - полярный конус для конуса С. Тогда решение х* является оптимальным по конусу С в задаче (2).

В §5 приводится способ уточнения максимального по многогранному конусу ре-тения. В данном методе в качестве вектора весовых коэффициентов предлагается выбрать левый собственный вектор - строку матрицы Л, соответствующий максимальному собственному числу.

Содержание второй главы ("Метод анализа иерархий в игровой задаче N лиц с векторными выигрышами") составляет- рассмотрение игровой задачи с векторными выигрышами и применение метода анализа иерархии для нахождения равновесия в этой задаче. Глава разбита на три параграфа. В §6 рассматривается бескоалиционная игра N лиц с векторными выигрышами

(N,{rw,{fww). (3)

Здесь N = {1,2,..., А7} - конечное множество номеров игроков. Множество X1 6 Rki состоит из стратегий х1 = (х\,..., х|.) игрока г € N. Набор из N стратегий всех игроков называется ситуацией и множество всех ситуаций X = Д

¿6N

Для каждого игрока заданы векторные функщш /': X —> R/' , которые каждой ситуации ставят в соответствие вектор f'(x) = (/¿(х),...,//.(ж)) выигрышей игрока г е N.

Партия игры развивается следующим образом: каждый из N игроков выбирает свою стратегию х' € X', в результате чего складывается ситуация х = (х1,х2,..., xN) € X . После этого игроки получают свои выигрыши f'{x) = {fl(x),..., f}.(x)) i 6 N, равные значению своей векторной функции в сложившейся ситуации х . Цель игрока состоит в выборе такой своей стратегии, чтобы достичь возможно большего значения каждой компоненты векторной функции выигрыша. При выборе стратегии игрок должен учитывать выбор другого игрока.

Определение 2 Ситуация х* 6 X игры (3) называется равновесием Нэша-Парето, если Vi € N, хг £ Хг

/V || *■•) г f\x*). (4)

Здесь р(х* ]| х{) = (xu,...,xi-u,xi,xM\...,xN*).

Утверждение 1 Пусть в игре (3) для каждого игрока г € N множество стратегий X' С R*' выпуклое компактное множество; векторные выигрыши /': X R'< непрерывны на X = П X'; существует вектор а1 = (a'j,..., aj.),

iSN

a'j > 0, a\ + ... + = 1, такой, что функция

*•") = «• • /{(*-■, х*) +... + 4 • д х{)

вогнута на X' при каждом х ' £ Д X'. Тогда в игре (3) существует равновесие Нэыа-Парето.

Приводится алгоритм нахождения равновесия Нэша-Парето и пример нахождения ситуации равновесия в игровой задачи двух лиц с трехкомлонептпыми функциями выигрыша.

В игровой задаче (3), как правило, существует бесконечное множество векторных равновесных ситуаций, поэтому актуальна проблема уточнения такого решения. Для сокращения этого множества тербуется привлечение дополнительной инфомации. Для задач векторной оптимизации Т.Саати разработал метод анализа иерархий (МАИ)[3] . Это многокритериальный метод, в основе которого лежит линейная свертка, предполагает, декомпозицию проблемы и последовательное решеиие серии более простых задач. Применению метода анализа иерархии к игровой задаче с векторными выигрышами посвящен §7.

Пусть самый нижний иерархический уровень формируют частные критерии.

Определение 3 Игровой задачей двух лиц с векторными выигрышами и иерархией целей назовем систему

(К, {Л-'Ьек, {<?'},-ш, .....р.+1, и1(х)}^}. (5)

Здесь номера двух игроков N = {1,2}, множество стратегий X' £ К*' и векторные функции выигрыша : X —> Л!' каждого игрока г 6 N определены в (3).

Для описания иерархии целей каждого игрока используется конечный ориентированный граф С, г £ N. Фокус графа соответствует игроку, который принимает окончательное решение. Каждая вершина графа кроме вершин уровня Ац, соответствует эксперту, который указывает предпочтения относительно нижестоящих связанных с ним элементов. Вершинам нижнего уровня Ац поставим в соответствие частные критерии /[(х),... // (ж) из (3). В качестве метода сравнения элементов иерархии используется парное сравнение. Парные сравнения проводятся в терминах доминирования одного элемента над другим. Результаты таких сравнений записываются в виде матриц Р?. г £ КГ; у = 1,... + 1, где р^ - количество промежуточных вершин в иерархии С. В фокусе и каждой промежуточной вершине по соответствующей матрице парных сравнений определяются приоритеты эксперта относительно исходящих дуг. Эти приоритеты представлены весовыми коэффициентами. По метода' анализа иерархии Саати коэффициенты есть нормированный правый собственный вектор, соответствующий наибольшему положительному собственному значению матрицы парных сравнений. Таким образом, каждой дуге ставится в соответствие весовой коэффициент.

Рассмотрим всевозможные пути из фокуса в вершины нижнего уровня Ац. Каждому пути поставим в соответствие его вес, равный произведению весов дуг,

[31 Саати Т. Иринятиие решений. Метод анализа иерархий. М.: Радио и снять, 1993.

принадлежащих этому пути. Это позволяет определить вес вершин нижнего уровня. Именно, этот вес равен сумме весов всех путей из фокуса в эту вершину. Таким образом, определено предпочтение игрока по отношению к вершинам из Ац. Именно, каждой такой вершине поставлено в соответствие число - вес этой вершины относительно фокуса.

Обозначим через а1 = (а\,..., а]) веса игрока г € ЛГ для критерия }1{х). В силу соответствия между окончательными вершинами и частными критериями для игрока г £ N получаем отношение игрока к частным критериям, составляющим векторную функцию выигрыша в (3). Тогда целевая функция игрока г есть

и

^ = (6) 3=1

Используя скалярные функции цели, можно определить решение задачи (5).

Определение 4 Ситуация х* € X называется равновесием в игре с иерархией целей (5) если Мг £ N,1* 6 X',

где скалярная функция из (4) построена в соответствии с изложенными выше правилами. Отметим, что ситуация х* € X из определения 4 является равновесием по Нэшу в бескоалиционной игре двух лиц со скалярными выигрышами (6). бозн&чим такую игру

(7)

Используя достаточные условия существования равновесия в игре (7), получаем:

Утверждение 2 Пусть в игровой задаче двух лиц с векторными выигрышами и иерархией целей (5) для каждого игрока г е N множество его стратегий X' б Л*

есть непустой выпуклый компакт; векторная функция выигрышей /': X —> II'- непрерывна и вогнута на X' при любой фиксированной стратегии другого игрока. Тогда в этой задаче при любой иерархии и предпочтениях экспертов существует равновесие (4).

Утверждение 3 Каждое равновесие в игровой задаче двух лиц с векторными выигрышами и иерархией целей (5) является равновесием Нэша-Парето в соответствующей игровой задаче двух лиц с. векторными выигрышами (3).

Утверждение 4 Для каждого равновесия Нэша-Парето х* 6 X в игровой задаче двух лиц с векторными выигрышами (3) найдется иерархия С и матрицы предпочтений Щ, г 6 К, что х* является равновесием в соответствующей игровой задаче двух лиц с векторными выигрышами и иерархией целей (5).

Наличие у каждого игрока "своей"иерархии целей интерпретируется, как неопределенность и игровой задаче (7)ставится в соответствие бескоалиционная игра двух лиц с неполной информацией.

{N, {A"}!e,v, {G%eN, {PjheN^i.....Pl+i, {/'WW, {/¿'ИЬл'). (8)

Здесь номера двух игроков N = {1,2} и заданы фиксированные вероятностные меры {/i'(a')}i6jv на соответствующих фундаментальных симплексах Л', г 6 N. Эта мера показывает вероятность выбора того или иного вектора а' 6 Л г-м игроком, как это себе представляет j-й игрок. Игра проходит следующим образом. Игроки независимо выбирают свои стратегии я' € X', i ~ 1,2. При этом они точно знают свой тип (свою функцию выигрыша) и вероятности возможных типов другого игрока. Затем они получают свои выигрыши, равные значениям функций из (6) в сложившейся после выборов ситуации. Таким образом, игровая задача двух лиц с векторными выигрышами, иерархией целей и неполной информацией (8) сводится к хорошо изученной и имеющей большие приложения статической игре с неполной информацией.

Третья глава ("Многокритериальная динамическая задача при неопределенности") посвящена многокритериальным задачам, в которых значение векторного критерия, отвечающего выбранной альтернативе, зависит от реализовавшейся неопределенности. Глава разбита на 5 параграфов. В §8 рассматривается статический вариант многокритериальной задачи при неопределенности. Приводятся различные виды векторных гарантий из [4| . Данные определения обобщаются на случай выпуклого конуса.

Эти результаты используются в §9, для определения решения непрерывной динамической многокритериальной задачи при неопределенности с программными управлениями и программными неопределенностями. Под многокритериальной "непрерывной"динамической задачей при неопределенности понимается упорядоченная система

Г=(Е, W, Z, {Ji(tf,Z)}iew,Ci, Ca),N = {l,2,...,JV} (9)

Здесь функционирование управляемой динамической системой £ рассматривается на отрезке времени [to, т?], где 0 < to < & - фиксированные моменты начала и окончания процесса. Текущее состояние ситемы £ в каждый момент времени t характеризуется фазовым вектором х = (xi,...xn) е R". Задано начальное состояние системы £ x(to) = х0. Изменение фазового вектора описывается векторным дифференциальным уравнением

х = ip(t,x,u,z) (10)

[4] Жуковский В.И., Жуковская Л-В. Риск в многокритериальных и конфликтных системах при неопределенности М.: Едигориал УРСС, 2004.

с начальными условиями

*(*о) = «о- (11)

Вектор-функция <p(t, х, к, z) описывает внутреннее устройство системы X и определена для любых значений векторных переменных х = (xi,...xn) € R", и е Q С Rr, г е Р С R', где - Q и Р - заданы априори, компакты в R' и R1 соответственно.

Для каждого конкретного момента времени t g [to, ЛГ1Р выбирает некоторое управляющее воздействие u(i) - точку из множества Q, которое называется областью управления. Одновременно реализуется (независимо от действия ЛПР) неопределенный фактор - точка из множества Р - области значений неопределенности.

Управление U, которым распоряжается ЛПР будем отождествлять с функциями u(t), определенной на интервале t £ [¿о, ■6} в множестве Q С Rr. Этот факт обозначаем U -г u(t). Множество всех управлений обозначим Ii

Аналогично вводится неопределенность Z±z{t) — z(-), t € [<о, z(t) € Р CR' тогда Z € Z, где Z - множество всех неопределенностей.

Здесь и далее через и(-) (соответственно z(-)) обозначается вектор-функция и(-) = {u(t), t0<t<&} (z(-) = {z(t), t0<t<d }).

Процесс принятия решения в задаче Г происходит следующим образом. ЛПР выбирает и использует некоторое конкретное управление U — «(•), U € U. Независимо от ЛПР реализуется конкретная неопределенность Z -f г(-), Z 6 Zx о которой ЛПР в каждый момент времени t известно лишь множество возможных значений Р. Затем определяется решение x{t) системы (10) для начального условия (11) при и = u(t), z = z(t) . На полученных тройках x(t), и = u(f), z = z(t), определены N критериев, заданных функционалами

t?

Ji(U,Z) = J Fi(t,x(t),u(t),z(t))dt + <&i(x(d)), ¿€N = {1,2,... N} (12) <0

Далее предполагаем, что функции Fi(t,x(t),u(t),z(t)) и $i(x), где i € N непрерывны по совокупности своих аргументов.

Вектор J(U, Z) — (J\{U, Z), Ji[U, Z),... Jn(U, Z)) называется векторным критерием для задачи Г.

Предпочтительность векторного критерия оценивается с помощью конуса доминирования С\. Будем считать, ЛПР стремится максимизировать все компоненты своего выигрыша, поэтому конус доминирования такой, что содержит положительный ортрант пространства RA". т.е С\ Э R>.

Определение 5 Пару (t/Cl, jß') G W X RA назовем С\ - максимальным решением, гарантированным по для задачи Г (13), если существует такая неопределенность Zc2 £ Z, что

1. управление IIс' является максимальным по конусу С\ в задаче Г при фиксированной неопределенности 2 — Zc2 ;

2. неопреде-генность 7<с2 € 2 является минимальной по конусу С-> в задаче Г при фиксированном управлении и = иск

3. = = {з1{р*м,...ЛиС1М).

Пару (11с\Ес2) еМх2, реализующее Сх - максимальное решение, гарантированное по С-1 для задачи Г назовем С\Стседловой точкой в задаче Г.

Лемма 2 Пусть в задаче (13) критерии ,/;(и, ¿?) г £ N , являются вогнутыми на множестве Ы при каждой фиксированной неопределенности 2 6 2 , и выпуклыми на множестве 2, при каждом фиксированном управлении II & Ы. Тогда для того, чтобы пара ([/С1,2?с,) € Ы х 2 была С1С2 -седловой точкой в задаче (13), необходимо и достаточно, чтобы существовали такие числа а{, /?,• г = 1,2,.. а = (аь...ая) е С\, /3 = (А,...,/ЗД € С*г , где конус Сх Э

N N

Сг Э К^ и а; = 1, & — — 1 такие, что : <=1 ¿=1

¡V N

1) тахУ"а^{([/,^с'2) = У>, Ьеи ¡=1

Л N

2) = Т/зЖф^м. ¡=1

Рассмотрим частный случай. Пусть конус С = С\ Э , а конус 62 = — С\, тогда получим задачу

г(с) = ( б, и, я, {ци, с). (13)

Согласно определению 5 можно сформулировать

Определение 6 Пару (IIе, 0С) £ х Г1Л' назовем С - гарантированным решением для задачи Г , (13), если существует такая неопределенность £ 2, что 3е = J(UC, гс) = (мис, гс),..., гс))■ и для любых и аи^с а 2 будет

З{ис, г) & 2С), J(UC< гс) 4с щ гс)

Пару (1/с, Яс) £ Их 2, реализующее С - гарантированное решение для задачи Г назовем С-седловой точкой в задаче Г. Данной задаче поставим в соответствие антагонистическую игру

с(с) = (£, и, г, {/„([/,£)}). (14)

Роль первого игрока выполняет ЛГ1Р, формирующий программные стратегии U € Ы, а второй выбирает программные неопределенности Z 6 Z. Динамическая система S, множество стратегий первого игрока U и множество стратегий второго игрока Z, будут теми же что и в задаче (9). Функция выигрыша имеет вид:

N >=1

где о,-, г' — 1,2,..., Аг, компоненты вектора а (оь..., alV) С С* .

Утверждение 5 Если пара {IIе, Zc) € W х Z ~ седловая точка антагонистической игры G, (14) и выполнены условия леммы 2, то пара (Uc, Zc) реал.изует С - гарантированное решение для многокритериальной задачи (13)

В §10 предложен способ нахождения С-седловых точек, основанный на применении аппарата принципа максимума Понтрягина. Утверждения и алгоритмы этого параграфа применяются для нахождения седловых точек в конкретных задачах. Именно, в §11 рассмотрена модель освоения вводимых производственных мощностей. Рассчеты выполнены с использованием пакета Maple.

В следующем §12 рассмотрен более общий случай - динамическая многокритериальная позиционная задачи при неопределенности Для нее определяются основные составляющие элементы задачи, описывается процесс принятия решения и приводится экономическая интерпретация. Для этой задачи, используя метод динамического программирования, найдены коэффициентные условия существования и явный вид гарантированного по конусу решения динамической многокритериальной позиционной задачи при неопределенности. Формулировка позиционной задачи включает в себя описание той информации, которой располагает ЛПР в каждый текущий момент t 6 [¿о, при выборе своих управляющих воздействий u(t). В рамках рассматриваемой задачи (9) эту информацию составляют сведения о векторе состояния x(t), который реализовался в данный момент времени t. Тогда стратегии определяются функциями u{t,x), а их реализации равенствами

u(t) = u{t, x(t)) ~it € [t0, (15)

Такое управление называют позиционным, или управлением по принципу обратной связи.

Под линейно-квадратичной многокритериальной позиционной динамичской задачей при неопределенности понимается упорядоченный набор

(£,U,Z,J{U,Z,to,xoj). (16)

В (16) изменение управляемой системой рассматривается на отрезке времени [¿0,0], где 0 < to < $ - фиксированные моменты начала и окончания процесса.

Динамика управляемой системы описывается линейным векторным дифференциальным уравнением

х A(t)x + и + z ■ (17)

с начальными услозиями x(to) = ж о. Фазовый п вектор х £ Rn, управляющее воздействие ЛПР и € R™, неопределенность 2 g R" и элементы п х п предполагаются непрерывными на отрезке [0,1?] (Л(-) £ Спх»[0,$]) Пару (t, х) называют позицией, (io,£o) ~ начальная позиция. Множество стратегий ЛПР -

и = {U + u{t, х) : u(t, х) - P(t) х, v Р(.) € cnxn[io, 1»]}.

Множество неопределенностей:

Z = {Z -5- ж) : z(i, г) = Q(i) х, V Q(-) £ Cnxn[t0, 0]}

ЛПР выбирает и использует свою конкретную стратегию U -h u(t, х) — P(t) х, что сводится к выбору конкретной п х п матрицы Р(-) 6 Cnxn[to, гЗ]. Независимо от его действий реализуется некоторя неопределенность Z -4- z(t,x) — Q(t)x , Z £ Z. Затем находится решение системы (17) при u = Р(<) х, z — Q(t) х, то есть решение x(t) однородной системы дифференциальных уравнений с непрерывными коэффициентами:

х = [A(t) + P{t) + Q{t)]x, x(t0) = Xq.

Затем строятся реализации u{t) = P(t) x{t) выбранной ЛПР стратегии U и появившейся независимо от его действий неопределенности z(t,x) = Q(t)x(t). На полученных тройках определен векторный критерий, заданный функционалами которые являются квадратичными:

Ji{U,Z,t0,x0) = x'{ê)Cix{ê)+

+ / (u'(t)DiU(t) 4- z'(t)LiZ{t) + x'{t)Gix{t)) dti 6 N. (18)

Jto

Далее рассматривается проблема построения С-гарантированного решения линейно-квадратичной многокритериальной позиционной динамической задачи при неопределенности. Аналогично задаче (9) пара (Uc, J°) бйх R^ называется С-гарантированным решением задачи (16), если для заданного пространственного, замкнутого, выпуклого, острого конуса С существует неопределенность Zç £ Z такая что Jc - J{UC, Zc, to, хо) для любых U £ U, Z <= Z, (t0, x0) € [0, д) x RA" будет выполнятся:

J{UC, Z, i0, zo) ic J(UC, ZCM, xo) J{UC, Zc, to, xo) ic J{U, Zc, to, zo)

при этом ЛГ-вектор Лис, Zc,to,xo) называется С-гарантией в задаче (16) с начальной позицией (¿о,жо).

Вводится вспомогатачьная антагонистическая игра со скалярной функцией вы-N

игрыша о;Л Введем обозначения

i=l

N

N

Д(а) = ]£а,-Л, £>(а) = ]Га; Д, L(a) = £

¡=1

¿—1

где вектор (оц,..., ау) £ С*.

Для нахождения пары (17е, 2с) вводятся вспомогательные функции:

QVi

W1(t,x,u,z,V1) = -^ +

dVx

дх

(A(t)x + u + z) + u'D(a)u + z'L(a)z,

dV>

W2(t,x,u,z,V) = ~ö~ +

dV2

dx

(A(t)x + u + z) + u'D(ot)u + z'L{a)z.

и применим утверждение из [5] с.297. Функции Ляпунова ищутся в виде

У&,х) = х'вц, (¿ = 1,2). Справедливо следующее утверждение

Утверждение б Пусть для выпуклого, острого конуса С € Лл существует постоянный вектор а € С", такой, что матрица Л(а) определена отрицательно (О(а) < 0), о матрица Ь(а) определена положительно (Ь(а) > 0), пара (вх(<), вг(<)), ¡о ^ t ^ г> продолжимое на интервал [0,1?] решение системы

©1 + 26гАЦ) - е10~1(а)е1 - 2&1Ь-1(а)в2 + ©г^'Ч«)©2 = 0пХп, ©2 + 2е2А{Ь) + е^-Ча)©! - 2©20-Ча)©! - в2Ь~1(а)в2 = Опх„,

с граничными условиями ©1($) = 6г($) = Л(а). Тогда пара (IIе,2с)

и° 4- -£ГЧа)01(ф; гс Ч- -ь-\а)в 2(г)х.

является С - седловой точкой, порождающей С- гарантированное решение задачи (Щпри любом выборе начальной позиции (¿о,жо) £ [0,1?] х Ип-

[5] Жуковский В.И., Чикрвй A.A. Линейно-квадратичные дафферешщальные игры. Киев, Наукова Думка, 1994.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Для математической модели принятия решения сформулированы необходимые и достаточные условия существования оптимальных по конусу решений. Предложен спососб уточнения максимального но многогранному конусу решения.

2. Формализовано понятие равновесия для игровой задачи с векторными выигрышами с применением метода анализа иерархий.

3. Для математической модели управления формализовано гарантированное по конусу решение динамической многокритериальной задачи при неопределенности с программными управлениями и неопределенностями и предложен метод построения седловых точек, реализующих гарантированное по конусу решение, основанный на аппарате принципа максимума.

4. Для позиционной линейно-квадратичной динамической многокритериальной задачи при неопределености найден явный вид гарантированного по конусу решения и С-седловой точки, реализующей данное решение основанный на применениии метода динамического программирования.

Публикации по теме диссертации

1. Вишнякова О.М., Власова Т.В. Многокритериальная оценка объектов энергетики.// Управление социально-экономическими системами: Мсжвуз.сб./'Под ред. Захарова В.В. - СПб.: Издательство Санкт-Петербургского университете, 2001. с.31-36 -(Вопросы механики и процессов управления; Вьш 20).

2. Вишнякова О.М. Управление проектом в условиях неопределенности.// Математика. Компьютер. Образование. Тез. доклада 9 международной конференции, г Дубна, 28 января -2 февраля 2002. С.259

3. Вишнякова О.М. Выбор проекта в условиях неопределенности.// Современные методы в теории краевых задач. Тез. доклада Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения -XIII", 3-9 мая 2002. С.ЗЗ.

4. Вишнякова О.М. Метод Саати а игровой задаче с векторными выигрышами.// Математика в ВУЗЕ, Тез. доклада XIV международной научно-методической конференции. Великие Луки, июнь 2002г. СПб., 2002. С.152-154.

5. Вишнякова О.М. Игровая задача двух лиц с векторным выигрышем, иерархией цели и неполной информацией.// Математика. Компьютер. Образование. Тез. доклада 10 международной конференции, г. Пущино, 20-25 января 2003г. С.95.

6. Вишнякова О.М. Игровая задача с векторным выигрышем и неполной информацией.// Математика в ВУЗЕ, Тез. доклада XVI международной научно-методической конференции, Петрозаводск, июнь 2003.С.132-133.

7. Вишнякова О.М., Матвеев В.А. Метод анализа иерархий в игровой задаче с векторными выигрышами. // Труды Псковского политехнического института №7.1, СПб. /Псков: Изд-во СПбГПУ, 2003. С.18-24.

8. Вишнякова О.М. Дифференциальная игра с векторным выигрышем. //Математика. Компьютер. Образование. Тез. доклада И международной конференции, г. Дубна, 25-31 января 2004.

9. Вишнякова О.М, А-гарантия для игровой задачи п лиц при неопределенности. // Сб. докладов научно-практической конференции "Потенциал Псковской области в экономике, управлении и решении социальных проблем: 2004", Псков, 12 мая 2004. С. 118-126.

10. Вишнякова О.М. Гарантированное равновесие в игровой задаче при неопределенности. // Математическое моделирование и информатизация экономических процессов и систем. Тез.докл. всероссийской науч.-практ. конф. Чебоксары 2004, с. 32-36.

11. Вишнякова О.М. Оптимальность по конусу в многокритериальной задаче. Труды Псковского политехнического института !№ 8.1, Псков, изд-во ППИ,

2004. с.7-11.

12. Вишнякова О.М., Матвеев В.А. Анализ иерархии в игровой задаче с векторным выигрышем.// Сборник научных статей преподавателей Псковского Вольного Института, Псков 2004, с. 82-88.

13. Вишнякова О.М. Решение многокритериальной задачи при неопределенности, гарантированное по конусу.// Сб. тр. международной конф. "Устойчивость и процессы управления", 29.06 - 01.07.2005, Санкт-Петербург, СПбГУ,

2005. С.769-778.

14. Вишнякова О.М. Гарантированное по конусу решение многокритериальной задачи. Математика, в ВУЗЕ, Тез. доклада XVIII международной научно-методической конференции. Великий Новгород, сентябрь 2005. С.102-103.

15. Вишнякова О.М. Уточнение максимального по многогранному конусу решения многокритериальной задачи. Труды Псковского политехнического института :№ 9.1, Псков: Изд-по ППИ, 2005. С.14-18.

16. Вишнякова О.М. Конусная гарантия в модели освоения вводимых производственных мощностей. Вестник Нов.ГУ, Серия "Технические науки", 3\f°39,

2006.-C.29-33.

17. Matveev V. A.,Vishnyakova O.M.Analitic Hierarchy Process in Game Problem with Vector-Valued Payoffs.// ISDG 2002 V2 p.569-574.2

18. Matveev V., Vishnyakova O. Analytic hierarchy process in game problem. Материалы междунар. конф., посвящ. 65-летию со дня рождения Б.Н.Пше-ничного, Киев, 8 Мая, 2002. Киев: Изд-во НТУУ "КПИ", 2002. С.67-68.

ВИШНЯКОВА ОЛЬГА МИХАЙЛОВНА

АВТОРЕФЕРАТ

Подписано в печать 21.11.2006.Формат 60x90/16. Усл. печ. л. 1,1. Тираж 100 экз. Заказ № 389.

И дате;н>ско-пол и графический центр Новгородского государственного университета им. Ярослава Мудрого. 173003, Велики» Новгород, ул. Б. Санкт-Петербургская, 41

Введение

Глава 1 Многокритериальная задача: оптимальность по конусу

1 Предпочтение по конусу

1.1 Бинарные отношения.

1.2 Выпуклые конусы.

1.3 Предпочтение по конусу

2 Принципы оптимальности в задачах векторной оптимизации

2.1 Оптимальность по Слейтеру.

2.2 Оптимальность по Парето.

2.3 Оптимальность по Борвейну.

2.4 Оптимальность по Джоффриону

2.5 А - оптимальность.

3 Оптимальное по конусу решение многокритериальной задачи

4 Необходимые и достаточные условия

4.1 Сведения из теории многокритериальных задач.

4.2 Необходимые и достаточные условия оптимальности по конусу.

5 Уточнение оптимального по конусу решения

Глава 2 Метод анализа иерархии в игровой задаче N лиц с векторными выигрышами

6 Бескоалиционная игра N лиц с векторными выигрышами

6.1 Математическая постановка задачи.

6.2 Пример: Биматричная игра с векторными выигрышами.

6.3 Конусное равновесие Нэша в игровой задаче с векторными выигрышами

7 Применение метода анализа иерархии в игровой задаче

7.1 Метод анализа иерархий.

7.2 Игровая задача с векторными выигрышами и иерархией целей.

7.3 Метод анализа иерархий в игровой задаче с неполной информацией

Глава 3 Многокритериальная динамическая задача при неопределенности

8 Многокритериальная задача при неопределенности

8.1 Общая постановка задачи.

8.2 Векторные гарантии.

8.3 Гарантированные решения.

8.4 Гарантированное по конусу решение многокритериальной задачи при неопределенности.

9 Многокритериальная динамическая задача при неопределенности

9.1 Постановка задачи.

9.2 Векторная С - гарантия.

10 Применение принципа максимума

10.1 Постановка основной задачи оптимального управления

10.2 Необходимые условия существования С - гарантированного решения

11 Пример: Модель освоения вводимых производственных мощностей

11.1 Математическая модель.

11.2 Нахождение стратегии Uc.

11.3 Нахождение неопределенности Zc.

11.4 Нахождение С - седловой точки.

12 Позиционная линейно-квадратичная задача

12.1 Формализация задачи

12.2 Экономическая интерпретация.

12.3 Сведения из математического программирования.

12.4 С-гарантированное решение МДЗН.

Проблемы, связанные с выбором оптимальных решений встречаются практически во всех сферах человеческой деятельности. Чтобы принимать решения, которые реализуют поставленные цели в наибольшей степени, приходится учитывать несколько, иногда противоречивых, показателей для оценки каждой из альтернатив. Например, для оптимального функционирования предприятия ставят различные цели: добиться максимально возможных прибыли и выпуска продукции и одновременно с этим выдержать установленные показатели по ассортименту, снизить себестоимость, добиться определенного уровня качества продукции, и т.д. Случаи принятия решений на основании лишь одного критерия качества представляют собой модельные примеры, демонстрирующие применение различных методов оптимизации к социально-экономическим, или другим системам, но не отражают в полной мере изучаемое явление.

Реальные системы являются большими и сложными, и их функционирование всегда является многокритериальным. Математическая модель принятия решений при многих критериях может быть представлена в виде (X,f(x)), где Х- множество возможных исходов принятия решения, то есть множество имеющихся у лица, принимающего решение (ЛПР) альтернатив выбора. Качество каждого исхода х G X оценивается с помощью векторного критерия f(x) = (fi(x), f2(x), ., fm(x)), где £(х) - оценка исхода х по г-му критерию. При наличии многих критериев решение зачастую принадлежит области компромисса, когда улучшение решения по одному критерию приводит к ухудшению по другому. Здесь возникает проблема сравнения двух векторов, что является нетривиальной задачей. В настоящее время существует целая область математической теории управления - теория многокритериальной оптимизации, в которой исследуются задачи такого типа. Главные результаты этого направления изложены в [54, 60].

Основной сложностью при анализе задач многокритериальной оптимизации является задача несравнимости двух векторов. Естественное отношение предпочтения на множестве векторов не является линейным порядком. Существуют неравные и несравнимые векторы. Понятие векторного оптимума не определено, что представляет собой форму неопределенности - ценностную неопределенность [64, с. 98]. Поэтому, в первую очередь при решении многокритериальных задач необходимо указать принцип оптимальности, объясняющий, в каком смысле одно решение лучше другого. Один из фундаментальных подходов к решению данной проблемы - принцип Парето. Его активное использование относится к началу XX века, после публикации монографии Вильфредо Парето "Руководство по политической экономии".

Парето оптимальный исход, или эффективный исход обладает тем свойством, что он не может быть улучшен ни по одному из критериев без ухудшения по какому-нибудь другому критерию. Если при этом допускается равенство, то исход называют оптимальным по Слейтеру, или слабоэффективным.

Существует ряд недостатков, котрые необходимо учитывать при использовании оптимальных по Слейтеру и Парето решений. Так в [36, с. 158] указаны следующие:

1) Множество оптимальных по Слейтеру и Парето исходов содержит, как правило, бесконечное множество решений. Для выбора конкретного решения следует привлечь дополнительные соображения, не участвующие в формулировки оптимальности по Парето.

2) Существуют задачи, где следует выбрать не одно, а несколько наилучших решений или упорядочить их по предпочтительности. А два оптимальных по Парето решения являются несравнимыми.

3)В определении оптимальности по Парето не учитывается, сколько строгих неравенств выполняется при сравнении двух исходов.

Тем не менее, эти понятия играют важную роль в теории многокритериальной оптимизации и в практике их использования. Согласно [64, с.59]: "При любом разумном понимании оптимальности для многокритериальных задач принятия решений оптимальный исход обязательно должен быть Парето оптимальным". Несмотря на то, что в общем случае, множество эффективных исходов бесконечное, тем не менее, оно значительно "уже"множества всех возможных исходов [36]. На таком "узком11 множестве могут выполняться различного рода упрощающие решение факты, которые не имеют место для всего множества возможных альтернатив. Также можно привлечь дополнительную информацию, для обоснования ЛПР выбора единственного решения.

В [64] приведены следующие простейшие способы сужения Парето оптимального множества.

1) Указание нижних границ критериев. В данном случае привлекается дополнительная информация, в виде набора оценок (71,., 7m), где 7i - нижняя граница по г- му критерию, /;(£*) > 7*. При увеличении 7,' Парето оптимальное множество сокращается.

2) Субоптимизация (метод главного критерия) Выделяется один из критериев - главный, а по всем остальным критериям назначаются нижние границы. Оптимальным при этом считается исход, максимизирующий выделенный критерий на множестве исходов, оценки которых по остальным критериям не ниже назначенных. С помощью метода субоптимизации задача многокритериальной оптимизации превращается в скалярную задачу условной оптимизации.

3) Лексикографическая оптимизация Сначала критерии упорядочивают по относительной важности. Затем на первом шаге отбирают исходы, которые имеют максимальную оценку по важнейшему критерию. Если таких исходов несколько, то среди них отбирают те, которые имеют максимальную оценку по второму по важности критерию, и т.д. При практическом применении данного метода возникают содержательные трудности в установлении полной упорядоченности критериев по их относительной важности. Фактически во внимании принимается только первый - важнейший критерий.

Существуют и другие методы сужения эффективного множества и выбора единственного эффективного решения. Уточнению оптимального по Парето решения в игровой задаче с векторным выигрышем посвящены работы [51, 101]. Здесь предложено среднеквадратичное равновесие, подход, основанный на нахождении наилучшей, или "идеальной11 точки "утопии"в критериальном пространстве. Выявлены свойства такого решения и приведены условия существования и единственности среднекав-дратичного решения в задачах оптимизации.

В [57, с. 161], [60, с.45] приводится метод, где в качестве оптимального исхода предлагается выбрать точку в которой максимальное отклонение оценки f(x) произвольно исхода х от вектора, представляющего собой максимум по каждому критерию минимально

Здесь yl = max fi(x) - вектор максимумов по г-му критерию. Исход х* всегда слабоэффективный, а если он единственный, то и эффективный.

Другим методом, [57, с. 162] является арбитражная схема, где некоторое исходное решение х° подлежит улучшению по некоторому правилу ip(F, f(x0)), где F - множество всех оценок f{x), х G X. Данное правило должно удовлетворять трем аксиомам:

1) реализуемости,

2) индивидуальной рациональности,

3) независимости от посторонних альтернатив.

Основными методами, с помощью которых можно сузить множество оптимальных решений и, в частности, получить единственное решение, является методы, основанные на скаляризации векторного критерия качества. Таким образом, задача многокритериальной оптимизации сводится к задаче получения сводного показателя, или обобщенного критерия. Для этого необходимо привлечение дополнительной информации о критериях или о свойстве оптимального решения. Принципиальная сложность построения обобщенного критерия заключается в том, что приходится 11 соотносить"друг с другом критерии, характеризующие объект с разных сторон, например, стоимость и эффективность. Эти критерии имеют различную природу и оценки даются по ним в разных шка

1 <г<т max mm max хеХ 1 <i<m у* - Мх) litfl хех лах. Также критерии могут быть позитивными, если ЛПР стремится к их увеличению, и негативными, если он стремится к их уменьшению. [64, с.55]. При построении обобщенного критерия необходимо, чтобы все критерии были либо позитивными, либо негативными. Этого можно добиться просто заменой знака. В [71] в примере построения рейтинга коммерческих банков приводится следующий способ нормировки критериев: max fi(x) - fi(x) Для негативных fi(x) = —,-:—jt-y - (минимизируемых)

§?«/<W критериев. fi(x) - min fi(x) Для позитивных fi(x) =-. —^ (максимизируемых)

Г<^<т 1<1<то критериев.

После таких преобразований все критерии становятся позитивными, и достигается "сбалансированность|,критериев. Наиболее сложную проблему представляет собой случай, когда критерии имеют различную природу и оценки по ним даются в различных шкалах, или критерии имеют качественный характер. В этом случае необходимо произвести арифме-тизацию [71, с.13], что позволяет получить числовые оценки для исходной нечисловой информации. Далее выбирается обобщенный критерий, который позволяет линейно упорядочить все исходы по их обобщенной предпочтительности. Выбор эффективных или слабоэффективных оценок дает целое множество решений, несравнимых друг с другом. Поэтому следует осуществить переход от множества объектов частично упорядоченного, к множеству объектов, ранжировка которых дает линейный порядок, являющийся продолжением исходного частичного порядка. В [71] такой переход осуществляется согласно принципу линеаризации. В качестве синтезирующей функции, в зависимости от характера задачи и используемых частных критериев предлагается использовать:

1) Линейная свертка. Простейший обобщенный критерий , который пользуется наибольшей популярностью. т т

Q = Y^Wifi(x), ^ги* = > 0 ,г = 1,2,. ,m. г=1 i—1

Здесь Wj - веса, указывающие сравнительную значимость критериев.

В [9] для скаляризации векторного критерия используется система линейных условий предпочтительности групп критериев и вектор приоритетов является центром тяжести множества векторов, удовлетворяющих этой системе. Данный метод применяется к задаче многокритериальной оценке объектов энергетики.

2) Мультипликативная форма синтезирующей функции т

Q = ШМ 1 может быть использована для свертки показателей fi(x),.fm(x), fi(x) € [0,1]. Мультипликативная синтезирующая функция дает оценку объекта я) = (f\(x),. fm(x)), в целом значение которой не превосходит наихудшей (минимальной) из оценок fi(x),.fm(x), получаемых с точки зрения отдельных критериев.

3) Среднее геометрическое.

Q = т

2 = 1 прибавляет "оптимизма"к мультипликативному критерию, данный обобщенный критерий удовлетворяет неравенствам: min fi(x) <Qm<i<m m

И/К®) ^ max m<i<m i=l

Также можно индуцировать различные обобщенные критерии, применяя различные строго монотонные преобразования у = <p(fi). Так, если рассмотреть в качестве синтезирующей функции среднее арифмет тическое Q = — ^/Дж), то применение отображения у = In(/*) дает т i=1

771 \ m fl fi(x) I , использование же степенной

771 \ m

Yj ft(X) ) " ИЗ этого степенного среднего при Л = 1 получается исходное среднее арифметическое, а при Л —> 0 - среднее геометрическое. Таким образом, задание параметра Л можно охарактеризовать, как неопределенность способа выбора обобщенного критерия, возникающего вследствие дефицита информации. Все вышеуказанное легко переносится на случай линейной свертки. Таким образом, для построения обобщенного критерия необходимо указать дополнительную информацию о критериях, которая определяет обобщенный критерий с точностью до эквивалентности [64, с.78], либо применить принцип рандомизации [71], позволяющий моделировать дефицит информации. В [28] дефицит информации о значимости показателей моделируется с помощью случайного вектора весовых коэффициентов, равномерно распределенного на дискретном подмножестве.

Для случая двухкритериальной задачи в [64] обобщенный критерий с точностью до эквивалентности определяется с помощью карты безразличии, . Соответственно чтобы построить карту безразличий требуется следующая дополнительная информация: чему равна уступка по одному критерию, которая компенсируется прибавкой единицы по другому. Если задана карта безразличий, то из множества Парето-оптимальных оценок, выбирается оценка, принадлежащая более высокой кривой безразличия. Данное отношение предпочтения является отношением линейного квазипорядка [64, с.90], и следовательно, определяет обобщенный критерий. Этот метод применен к задаче исследования потребительских предпочтений. [64, с.93]

Согласно [71, с. 12] при построении обобщенного критерия можно выделить три этапа:

- задание отдельных показателей (частных критериев);

- выбор синтезирующей функции;

- определение весовых коэффициентов.

Для выбора весовых коэффициентов необходимо привлекать дополнительную информацию об относительной важности критериев и об отношении предпочтения ЛПР. Общий подход к решению многокритериальных задач при наличии количественной информации об относительной важности критериев разработан в [54]. Данная информация используется для сужения множества Парето.

Многие из существенных подходов к решению многокритериальных задач используют именно информацию в виде коэффициентов относительной важности. В зависимости от типа, характера и объема имеющейся в наличии дополнительной информации используют тот или иной метод принятия решений или их комбинацию. К настоящему времени таких методов, схем и подходов поиска компромисса насчитывается не один десяток.

Один из известных методов - метод анализа иерархий(МАИ), разработанный американским ученым Томасом Саати [65]. Данный метод предполагает декомпозицию сложной проблемы на серию более простых задач, каждая из которых допускает попарное сравнение. В результате метод позволяет определить приоритеты для каждой цели и выбрать лучшее решение, которое учитывает как количественные, так и качественные критерии на основе линейной свертки. В соответствии с МАИ экспертами формируется матрица парных сравнений, а весовой вектор вычисляется как собственный вектор этой матрицы, отвечающий максимальному собственному значению. Использование МАИ позволяет выявить причины, влияющие на выбор, имеет теоретическое обоснование и получившее мировое признание программное обеспечение. Применение этого метода для игровых задач с векторным выигрышем продемонстрировано в [12, 13, 14, 15, 20, 87, 88].

Недостатки МАИ указаны в [55], в частности, матрица парных сравнений может оказаться несовместной. Кроме того, применение линейной свертки критериев требует ограничительных предположений. В связи с этим предлагается использовать нелинейную свертку в виде функции минимума, участвующую в теореме Ю.Б. Гермейера [29].

В большинстве методов, использующих информацию об относительной важности критериев, коэффициенты должны назначаться экспертами. В МАИ эксперты производят попарные сравнения. В вышеупомянутом методе из [9], использующем линейную свертку, предпочтительность для групп критериев тоже устанавливается экспертами.

Однако, как правило, эксперт вообще не имеет никакого представления о том методе, в котором будут использоваться назначенные ими коэффициенты. Таким образом, как отмечается в [54, 11], одни специалисты назначают коэффициенты относительной важности критериев, затем другие специалисты применяют тот или иной метод, а ЛПР, несущее ответственность за принятое решение, является некой третьей стороной.

Существуют различные примеры приложения теории многокритериальных задач. Например, рассматриваются такие задачи, как выбор места работы [64, с.62], оптимизация производственнорго процесса [64, с.67], исследование потребительских предпочтений [64, с.93]. В [57, с. 164] исследуется задача развития экологически замкнутого региона. Пример построения рейтингов коммерческих банков рассматривается в [71]. Математические модели конкуренции для двух однотипных экономик, как динамическая многокритериальная задача исследуется в [36]. В рамках данных моделей каждому принимаемому решению отвечает единственное значение каждого векторного критерия. Однако в реальных условиях это требование часто не выполняется.

Вторая особенность задачи принятия решений - это наличие неопределенности. Социально-экономические системы являются открытыми и на них оказывают воздействия возмущения со стороны внешней среды. Таким образом, в задаче присутствуют неконтролируемые факторы, влияющие на ее исход, которыми ЛПР не распоряжается. Очевидно, что ЛПР важно иметь некоторую информацию о значениях неконтролируемых факторов. Исходя из различных причин появления неопределенностей, их можно условно разделить на следующие типы [34, с. 73]:

1. неопределенности, появившиеся за счет действия со стороны лиц, имеющих свои цели, но не являющимися ЛПР;

2. неопределенности, отражающие нечеткость знания ЛПР своих целей;

3. неопределенности, появляющиеся из-за недостаточной изученности процессов или величин;

4. неопределенности, возникающие в процессе сбора, переработки и передачи информации;

5. особые виды неопределенностей, возникающие при управлении механическими системами.

Такая ситуация встречается в подавляющем большинстве областей техники, экономики, экологии и социальных науках. При этом наличие неопределенности приводит к тому, что нельзя однозначно определить понятие решения многокритериальной задачи, а можно лишь указать "разумные"решения согласно выбранного принципа оптимальности.

Появление основ теории принятия решений при неопределенности можно отнести к началу второй половины прошлого века. В это время были предложены принцип максиминной полезности (принцип Вальда)[97], принцип минмаксного сожаления (принцип Сэвиджа) [90], принцип пессимизма - оптимизма (принцип Гурвица)[83], принцип недостаточного основания [72]. Каждый из этих признаков формирует критерий, использование которого приводит к однозначному ответу. Например, в [10, 11] принцип гарантированного результата (максиминной полезности) применяется к задаче выбора проекта в условиях неопределенности. Однако, все эти методы созданы для однокритериальных задач. Исследование многокритериальных задач ведется в рамках различных модификаций принципа гарантированного результата. Исследования статического варианта таких задач ведутся в Италии [78, 79], Японии [93, 94, 95] и США [76, 86]. Динамические многокритериальные задачи в позиционных стратегиях исследуются в России В.И.Жуковским [32, 33, 34, 36, 101], В.А. Матвеевым [45, 50], В.С.Молоствовым [35], Г.И.Житомирским [31]. Результаты исследования динамических многокритериальных задач с программными управлениями и неопределенностями, а также, соответствующих им многошаговых задач представлены в [66, 67].

Задача принятия решений в условиях неопределенности связана с теорией игр. Теория игр - это раздел математики, в котором исследуются математические модели принятия решений в условиях конфликта, т.е. в условиях столкновения сторон, каждая из которых стремится воздействовать на развитие ситуации в своих собственных интересах. Так в [52] двухуровневая игра применяется для выбора оптимального набора инструментов торговой политики в модели третьего рынка.

Сознательная деятельность других лиц, отстаивающих свои интересы является источником неопределенности. Поэтому, задачу принятия решений в условиях неопределенности можно трактовать как конфликтную ситуацию для двух игроков, одним из которых является ЛПР, а в качестве второго игрока выступает гипотетический индивид, формирующий неопределенность. При этом, если придерживаться принципа гарантированного результата, то следует считать, что второй игрок действует так, чтобы максимально препятствовать ЛПР в достижении его целей. Изложение основных результатов теории игр можно найти в [25, 26, 47, 58, 59, 77, 80, 82].

Целью работы является разработка теоретических основ принципа оптимальности по конусу, применение полученных результатов к исследованию многокритериальных задач, гарантированных решений в динамических многокритериальных задачах с программными и позиционными управлениями и неопределенностями, причем полагается, что о неопределенностях известна лишь область возможных значений.

Объектом исследования являются динамические многокритериальные задачи принятия решений в условиях неопределенности и сед-ловые точки в игровых задачах с векторными выигрышами.

Предметом исследования - принятие решений в динамических многокритериальных задачах при неопределенности на основе принципа оптимальности по конусу, равновесия в игровых задачах с векторным выигрышем для различных принципов оптимальности.

Проблема заключается в способе формализации и исследовании свойств решений динамической многокритериальной задачи при неопределенности и в поиске методов построения седловых точек, реализующих такие решения, определении векторной седловой точки относительно выбранного принципа оптимальности

В основу исследования положена следующая гипотеза: основываясь на результатах из теории многокритериальных задач, теории игр и оптимального управления, для динамических задач при неопределенности можно определить понятие оптимального решения согласно принципа оптимальности по конусу, предложить способ его нахождения и получить условия его существования.

Для реализации поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы потребовалось решить следующие задачи:

- выявить свойства оптимальных по конусу решений многокритериальной задачи, установить их связь с известными принципами оптимальности;

- получить достаточные условия существования таких решений;

- предложить способ уточнения оптимального по многогранному конусу решения многокритериальной задачи;

- рассмотреть применение метода анализа иерархий в игровой задаче с векторными выигрышами;

- формализовать понятия гарантированных по конусу решений для динамической многокритериальной задачи при неопределенности с программными управлениями и неопределенностями;

- найти методы построения гарантированных по конусу решений, используя аппарат принципа максимума Понтрягина;

- рассмотреть приложения к конкретным задачам.

Методологическую основу работы составляют методы и подходы теории многокритериальных задач, теории игр, выпуклого анализа, теории матриц, теории дифференциальных уравнений и теории оптимального управления.

Научная новизна. В работе рассмотрен новый подход к исследованию динамических многокритериальных задач при неопределенности и выявлены его свойства. Для многокритериальной задачи при неопределенности определена оптимальность по произвольному выпуклому конусу. Для оптимального по многогранному конусу решения предложен способ уточнения решения. Рассмотрено применение метода анализа иерархий к игровой задаче с векторными выигрышами и определено понятие конусного равновесия.

Основные положения, выносимые на защиту:

- исследованы свойства оптимального по конусу решения многокритериальной задачи, выявлены условия существования, получены достаточные условия оптимальности по конусу;

- предложен способ уточнения максимального по конусу решения многокритериальной задачи;

- для игровой задачи с векторными выигрышами формализовано понятие равновесия с применением метода анализа иерархий, сформулированы условия существования таких равновесий.

- формализовано гарантированное по конусу решение динамической многокритериальной задачи при неопределенности;

- найдены условия существования гарантированного по конусу решения динамических многокритериальных задач при неопределенности;

- сформулированы необходимые условия существования С- седловых точек в форме принципа максимума Понтрягина;

- найдены коэффициентные условия существования и явный вид гарантированного по конусу решения динамической многокритериальной позиционной задачи при неопределенности.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на научно - методических семинарах кафедры высшей математики Псковского политехнического института и кафедры математики и информатики Псковского Вольного института, на XIV и XIX международной научно-методической конференции "Математика в ВУЗе"(Великие Луки, 2002, Псков,2006),на X международной конференции "Математика, компьютер, образование"(Пущино, 2003), на II научно-практической конференции "Потенциал развития Псковской области в экономике, управлении и решении социальных проблем"(Псков 2004), на международной конференции, посвященной 75 - летию со дня рождения В.И. Зубова "Устойчивость и процессы управления"(Санкт-Петербург 2005).

Перейдем к краткому изложению содержания диссертации. Диссертация состоит из трех глав, разбитых на 12 параграфов.

В первой главе (§§ 1-5) сформулировано понятие оптимального по конусу решения для многокритериальной задачи. Именно, в §1 рассматриваются бинарные отношения и вводится отношение предпочтения по конусу, как отношение порядка. Рассматриваются свойства и типы бинарных отношений и связь отношения конусного предпочтения с другими отношениями порядка. В §2 рассматривается многокритериальная задача и известные принципы оптимальности для выбора решения -оптимальность по Слейтеру, по Парето, по Борвейну, по Джоффриону и Л-оптимальность. В §3 формулируется понятие оптимального по конусу решения, рассматриваются свойства и частные случаи данного решения, его связь с известными принципами оптимальности. Рассматривается пример нахождения максимального по конусу решения для трехкрите-риальной задачи. Необходимым и достаточным условиям существования оптимального по конусу решения посвящен §4. Утверждения из §4 используются в следующем параграфе. В §5 приводится способ уточнения максимального по многогранному конусу решения.

Содержание второй главы (§§6-7) составляет рассмотрение игровой задачи с векторными выигрышами и применение метода анализа иерархии для нахождения равновесия в этой задаче. В §6 приводится постановка задачи, определение равновесия, и алгоритм его нахождения. Приводится пример нахождения ситуации равновесия в игровой задачи двух лиц с трехкомпонентными функциями выигрыша. Применению метода анализа иерархии посвящен §7. Сначала представлено описание МАИ, потом определяется понятие игры с векторным выигрышем и иерархией целей. Далее приводится решение в такой игре. Показывается связь равновесия в игре с векторными выигрышами и иерархией целей с равновесием Нэша-Парето, приводится пример нахождения такого решения. Наличие у каждого игрока 11 своей "иерархии целей интерпретируется, как неопределенность и формулируется игровая задача с векторными выигрышами, иерархией целей и неполной информацией, которая сводится к статической игре с неполной информацией. Рассматривается модельный пример.

Третья глава посвящена многокритериальным задачам при неопределенности. В §8 рассматривается статический вариант задачи, и определяется понятие гарантированного решения. Рассматриваются различные виды векторных гарантий, определенных на основе понятий минимумов по Слейтеру, Парето, Борвейну, Джоффриону и А-минимума, определения которых приводятся в §2. Затем они обобщаются на случай доминирования по выпуклому конусу. Здесь формализуется гарантированное по конусу решение многокритериальной задачи при неопределенности и С - седловые точки, реализующие эти решения. Эти результаты используются в §9, для определения решения непрерывной динамической многокритериальной задачи при неопределенности с программными управлениями и программными неопределенностями. В §10 предложен способ нахождения С-седловых точек, основанный на применении аппарата принципа максимума Понтрягина. Утверждения и алгоритмы этого параграфа применяются для нахождения седловых точек в конкретных задачах. Именно, в §11 рассмотрена модель освоения вводимых производственных мощностей. В следующем §12 рассмотрен более общий случай - динамическая многокритериальная позиционная задачи при неопределенности Для нее определяются основные составляющие элементы задачи, описывается процесс принятия решения и приводится экономическая интерпретация. Для этой задачи, используя метод динамического программирования, найдены коэффициентные условия существования и явный вид гарантированного по конусу решения динамической многокритериальной позиционной задачи при неопределенности.

Заключение

Многокритериальные задачи при неопределенности - новое активное направление теории принятия решений, которое предоставляет адекватный аппарат для описания прикладных задач экономики, экологии, механики и др. Настоящая работа посвящена исследованию динамических задач как с программными, так и с позиционными управлениями и неопределенностями, которые являются актуальными в вопросах прогнозирования и планирования. Для нахождения оптимальных решений таких задач предложено использовать принцип оптимальности по конусу. Получены условия существования гарантированных по конусу решений, предложены методы, основанные на применении аппарата принципа максимума и динамического программирования построения седловых точек, реализующих гарантированные решения исследуемых задач.

1. Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н., Анализ, синтез, планирование решений в экономике. Москва, Финанасы и статистика, 2002.

2. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969.

3. Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. М.: Наука, 1969.

4. Беллман Р., Энджел Э. Динамическое программирование и уравнения в частных производных. М.: Мир, 1974.

5. Блюмин СЛ., Шуйкова И.А. Введение в математические методы принятия решения. Липецк, 1999.

6. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука. 1969.

7. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002.

8. Введение в нелинейное программирование./ Под ред. К.-Х. Эльсте-ра. М.-Наука, 1985.

9. Вишнякова О.М. Управление проектом в условиях неопределенности.// Математика. Компьютер. Образование. Тез. доклада 9 международной конференции, г Дубна, 28 января -2 февраля 2002.С.259.

10. Вишнякова О.М. Выбор проекта в условиях неопределенности.// Современные методы в теории краевых задач. Тез. доклада Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения -XIII", 3-9 я 2002.С.ЗЗ.

11. Вишнякова О.М. Метод Саати в игровой задаче с векторными выигрышами.// Математика в ВУЗЕ, Тез. доклада XIV международной научно-методической конференции. Великие Луки, июнь 2002г. СПбВ 2002.С.152-154.

12. Вишнякова О.М. Игровая задача двух лиц с векторным выигрышем, иерархией цели и неполной информацией.// Математика. Компьютер. Образование. Тез. доклада 10 международной конференции, г Пущино, 20-25 января 2003г.С.95.

13. Вишнякова О.М. Игровая задача с векторным выигрышем и неполной информацией.// Математика в ВУЗЕ, Тез. доклада XVI международной научно-методической конференции, Петрозаводск, июнь 2003.С.132-133.

14. Вишнякова О.М., Матвеев В.А. Метод анализа иерархий в игровой задаче с векторными выигрышами. // Труды псковского политехнического института №7.1 СПб/Псков: Изд-во СПбГПУ, 2003. С18-24.

15. Вишнякова О.М. Дифференциальная игра с векторным выигрышем. //Математика. Компьютер. Образование. Тез. доклада 11 международной конференции, г Дубна, 26-31 января 2004.

16. Вишнякова О.М. А-гарантия для игровой задачи п лиц при неопределенности. // Сб. докладов научно-практической конференции "Потенциал Псковской области в экономике, управлении и решении социальных проблем: 2004", Псков, 12 мая 2004. С. 118-126.

17. Вишнякова О.М. Гарантированное равновесие в игровой задаче при неопределенности. // Математическое моделирование и информатизация экономических процессов и систем. Тез.докл. всероссийской науч.-практ. конф. Чебоксары 2004 с. 32-36.

18. Вишнякова О.М. Решение многокритериальной задачи при неопределенности, гарантированное по конусу.// Сб. тр. международной конференции "Устойчивость и процессы управления", 29.06 01.07 2005, Россия, Санкт-Петербург, СПбГУ, 2005.Т.2. С. 769 -778.

19. Вишнякова О.М. Гарантированное по конусу решение многокритериальной задачи. Математика в ВУЗЕ, Тез. доклада XVIII международной научно-методической конференции. Великий Новгород, сентябрь 2005. С.102-103.

20. Вишнякова О.М. Уточнение максимального по многогранному конусу решения многокритериальной задачи. Труды псковского политехнического института № 9.1,Псков: Изд-во ППИ, 2005. С14-18

21. Вишнякова О.М. Конусная гарантия в модели освоения вводимых производственных мощностей. Вестник Нов.ГУ, Серия "Технические науки", К°39, 2006.-С.29-33.

22. Воробьв Н.Н. Теория игр для экономистов кибернетиков. М.: Наука, 1983.

23. Воробьев Н.Н. Основы теория игр. Бескоалиционные игры. М.: Наука, 1984.

24. Гантмахер Ф.П. Теория матриц. М.:Наука, 1967.

25. Ганькова А.Б. Захаров В.В., Сравнение решений в моделях совместного осуществления проектов// Сб. тр. международной конференции "Устойчивость и процессы управления", 29.06 01.07 2005, Россия, Санкт-Петербург, СПбГУ, 2005.Т.1. С.514 - 532.

26. Гермейер Ю.Б. Введение в исследование операций. М.:Наука,1971.

27. Дубов Ю.А.,Травкие С.И., Якимец В.Н. Многокритериальные модели формирования и выбора вариантов систем. М.:Наука, 1986.

28. Житомирский Г.И. Конфликтные динамические системы: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук.ЛГУ.1989.

29. Жуковский В.И. Введение в дифференциальные игры при неопределенности. Москва, 1997.

30. Жуковский В.И. Исходы и риски в многокритериальных задачах. М., 2004.

31. Жуковский В.И., Жуковская Л.В. Риск в многокритериальных и конфликтных системах при неопределенности М.: Едиториал УРСС, 2004.

32. Жуковский В.И., Молоствов B.C. Многокритериальное принятие решений в условиях неопределенности. М.: Международный НИИ проблем управления, 1988.

33. Жуковский В.И., Салуквадзе М.Е. Оптимизация гарантий в многокритериальных задачах управления. Тбилиси: "Мецниерба", 1996.

34. Жуковский В.И., Чикрий А.А. Линейно-квадратичные дифференциальные игры. Киев, Наукова Думка, 1994.

35. Захаров А.В. Гарантированное по конусу решение многокритериальной задачи при неопределнности.// Известия института математики и информатики. Выпуск 1(21). Ижевск: Издательство Удмуртского гос. университета, 2001. С. 37-46. 1,

36. Зубов В.И. Теория управляемых систем. СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 2004.

37. Кини Р.Л., Райфа X. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. М.: Радио и связь, 1981.

38. Колемаев В.А. Математическая экономика. М.:ЮНИТИ, 2002.

39. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.:Наука, 1974.

40. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.

41. Макаров В.А., Рубинов A.M. Математическая теория экономической динамики и равновесие. М.:Наука,1973.

42. Матвеев В.А. Оптимальность по конусу в игровой задаче с векторными выигрышами.//Труды псковского политехнического института. №8.1 Псков: Издательство ППИ, 2004. с.11-20.

43. Матвеев В.А. Игровая задача с вкторными выигрышами: оптимальность по конусу.// Устойчивость и процессы управления Т.2: Труды междун.конференции, СПб.: СПБГУ, 2005.С.866 875.

44. Матвеев В.А. Конечные бескоалиционные игры. Псков. 2004.

45. Матвеев В.А. Многокритериальные задачи: оптимальность по конусу и ее обобщение.//Известия института математики и информатики. Выпуск 4(34). Ижевск: Издательство Удмуртского гос. университета, 2005. С. 41-56.

46. Матвеев В. А. Многокритериальная позиционная задача для параболической системы: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. Екатеринбург: УрГУ, 1992.

47. Матвеев В.А. Седловая точка для дифференциальной параболической системы // Системный анализ, моделирование и оптимизация прикладных задач. Межвузовский сб. науч. тр. М: Московский институт приборосторения. 1990. С.15-18.

48. Матвеев В.А. Среднеквадратическое равновесие в игровой задаче с векторными выигрышами // Математика. Компьютер. Образование. Тез.докл. И международной конференции, г Дубна, 26-31 января 2004г. Москва-Ижевск: Изд-во РХД, 2004. С. 129.

49. Мельник В.Н. Двухчастная торговая политика на рынках третьих стран.// Устойчивость и процессы управления Т.2: Труды междун.конференции, СПб.: СПБГУ, 2005.С.1572 1580.

50. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: 1971.

51. Ногин В.Д. Принятие решений в многокритериальной среде: количественный подход. М,:ФИЗМАТЛИТ. 2002.

52. Ногин В.Д. Упрощенный вариант метода анализа иерархий на основе нелинейной свертки критериев. //ЖВМиМФ, 2004, т. 44, № 7, С. 1259-1268.

53. Общая алгебра.Т.1. Под общ. ред. Л.А.Скорнякова.М.:Наука, 1990.

54. Петросян Л.А.,Захаров В.В. Математические модели в экономике. СПб.:Издательство С.-Петербургского университета, 1997.

55. Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр. М.:Высш. шк., Книжный дом "Университет", 1998.

56. Печерский С.Л., Беляева А.А. Теория игр для экономистов. Вводный курс.СПб.:Изд-во Европ. Унив-та в С.-Петербурге, 2001.

57. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982.

58. Понтрягин Л.С., Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1965.

59. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.

60. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. М.: Наука, 1973.

61. Розен В.В. Математические модели принятия решений в экономике. М. "Высшая школа", 2002

62. Саати Т. Принятиие решений. Метод анализа иерархий. М.: Радио и связь, 1993.

63. Сачков С.Н. Принцип максимума для многокритериальной динамической задачи при неопределенности. // Известия института математики и информатики. Выпуск 1(21). Ижевск: Издательство Удмуртского гос. университета, 2001. С. 83-92.

64. Сачков С.Н. Гарантированные решения в многокритериальных динамических задачах.Автореф.дис. .канд.физ.-мат. наук.М,2003.

65. Смирнова J1.B. Принцип Гурвица в сложных управляемых системах: Автореф.дис. .канд.физ.-мат. наук.МПГУ,1998.

66. Субботин А.И. Ченцов А.Г., Оптимизация гарантий в задачах управления. М.: Наука, 1981.

67. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир,1973.

68. Хованов Н.В. Анализ и синтез показателей при информационном дефиците. СПб.Издательство С.-Петербургского университета, 1996.

69. Arrow K.J. Alternative approaches to the theory of choice in risk-taking situations // Econometrica. 1951.19. P.404-437.

70. Blackwell, 0., An analog of the Minimax Theorem for Vector Payoff.// Pacific Journal of Mathematics, 1956, vol. 6. P. 1-8.

71. Borm P, Tijs S, van den Aarssen J. Pareto equilibria in multiobjective game.// Methodth of Operations Research, 1998, vol. 60. P. 302-312.

72. Borwein J. Proper efficient points for maximization with respect to cones // SIAM J. Control and Optimiz. 1997. V.15, N 1. P.57-63.

73. Chen G.Y., Lau W.T. A generalized section theorem and minimax inequality for a vector-valuad mapping // Optimization. 1991.22.P 745754.

74. Damme Eric van. Refinement of the Nash Equilibrium Concept. Springer Verlag, 1983.

75. Ferro F. Minimax theorem for vector-valurd functions//J. Optimiz. Theory and Appl.l989.60.P.19-31.

76. Ferro F. Minimax theorem for vector-valurd functions.Part2//J. Optimiz. Theory and Appl.l991.68.K° 1.P35-48.

77. Fudenberg, D., Tirole, J., Game Theory. MIT Press.: Massachussetts .1991.

78. Geoffrion A.M. Proper efficiency and the theory of vector maximization // J. Math. Anal, and Appl. 1968. V22,34° 3. P.618-630.

79. Gibbons G. Game Theory for Applied Economists. Princeton: Princeton University Press, 1992.

80. Hurwicz L. Otimality criteria for decision making under ignorance// Cowles Commission Discussion Paper, Statistics. 1951. № 370.

81. Kreps D. A Course in Microeconomic Theory. Princeton: Princeton University Press, 1990.

82. Kuroiwa, D Tanaka, T Truong, XDH On cone convexity of set-valued maps. / NONLINEAR ANALYSIS-THEORY METHODS к APPLICATIONS,V.30,34°3, 1997,p.l487-1496.

83. Lin J.G. Maximal vectors and multi-objective optimization // J.Optimiz.Theory and Appl. 1976. Vol.22, № 1. P.41-68.

84. Matveev V. A.,Vishnyakova O.M.Analitic Hierarchy Process in Game Problem with Vector-Valued Payoffs.// International symposium on dynamic game and application, 2002. V2, p.569-574

85. Matveev V., Vishnyakova 0. Analytic hierarchy process in game problem.//Материалы междунар. конф., посвящ. 65-летию со дня рождения Б.Н.Пшеничного, Киев, 8 Мая, 2002. Киев: Изд-во НТУУ "КПИ", 2002. С.67-68.

86. Puerto, J., Infante R, Fernandez F. R. A refinement of the concept of equilibrium in multiple objective continuous games// Rev.R.Acad. Cienc.Exact.Fis.Nat. (Esp), 1999, vol. 93, n.4. P. 457-462.

87. Savage L.Y. The theory of statistical decision //J. American Statistic Association. 1951. № 46. P.55-67.

88. Shaplay L.S. Equlibrium Points in Games with Vector Payoffs //J. Optimiz. Theory and Appl. 1959. vol.6. P.57-61.

89. Takayama A. Mathematical economics. Cambridge Univesity Press. 1995.

90. Tanaka Т. Cone-convexity of vector-valued function // The Science Reports of the Hirosaki University. 1990. 37. P.170-177.

91. Tanaka T. Generalized quasiconvexities cone saddle points and minimax theorem for vector-valued function //J. Optimiz. Theory and Appl. 1994. 81, 2. P.335-337.

92. Tanaka T. Tow types of mimimax theorem for vector-valued function //J. Optimiz. Theory and Appl. 1991. 68, № 2. P.321-334.

93. Van Megen F, Borm P and Tijs S . A preference concept for multicriteria game// Mathematical Methods of OR,1999. vol. 49, № 3. P. 401-412.

94. Wald A. Statistical Decision Functions. N.Y.:Wiley. 1950.

95. Wang S., Existence of a Pareto equilibrium// Journal of Optimization Theory and Applications, 1993, vol. 3, 61-63.

96. Yu P. L. Cone convexity, cone extreme points, and nondominated solutions in decision problems with multiobjectives //JOTA, 1974, v. 14, Jfl 3, p. 319-377.

97. Zhao J., The equilibria of a multiple objective game.// International Journal Game Theory, 1991, vol. 20, 171-182.

98. Zhukovskii, V.I., M.E. Salukvadze. The Vector-Valued Maximin. New York, ect.:Academic Press. 1994.