автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:О некоторых задачах управления потенциалом дискретной динамической системы

На правах рукописи

КУЗНЕЦОВ Олег Анатольевич

О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛОМ ДИСКРЕТНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Специальность 05.13.17 - теоретические основы информатики

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1997

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете на кафедре информатики и дискретной математики.

Научный руководитель:

академик Международной Академии информатизации, доктор физико-математических наук, профессор ГОРЕЛИК В А.

Официальные оппоненты:

Ведущая организация: Московский физико-технический институт.

Заиугга диссертации состоится «. 2.(?....».......199..$.. г.

в часов на заседании Диссертационного Совета К 053.01.16 в

Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, Москва, Краснопрудная ул., д. 14, математический факультет, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ по адресу: 119435, Москва, Малая Пироговская ул., д. 1.

Автореферат разослан .»..^/^^....199.года.

Ученый секретарь

доктор физико-математических наук, профессор ЖУКОВСКИЙ В.И.

кандидат физико-математических наук

ГУРИН Л.Г.

Диссертационного Совета

ЧИКАНЦЕВАН.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблемы передачи, обработки и использования информации в процессе принятия решения возникают в разнообразных областях человеческой деятельности. Наиболее сложной и интересной является теория управления - раздел теоретической информатики, связанный с динамикой информационных процессов.

Использование научно обоснованных принципов управления предполагает создание математических моделей разнообразных процессов и решение определенных задач отшмизивди для этих моделей.

В теории оптимального управления в общем случае рассматривались системы, на поведение которых можно воздействовать путем изменения параметров управления. Целью теории оптимального управления является разработка методов такого выбора параметров управления, при котором достигается оптимум некоторого функционала ( например, минимум времени, минимальные потери, максимум полезности и т.д.).

Хотя к началу 50-х г. и был решен ряд конкретных задач оптимального управления, но тем не менее отсутствовал общий, единый подход к их анализу. И только в середине-конце 50-х г. появился цикл работ академика Л.С.Понтрягина и его учеников , в которых были заложены основы теории оптимального управления и был сформулирован основной результат этой теории - принцип максимума.

йце один подход к решению задач оптимального управления был разработан американским ученым Р.Беллманом в конце 50-х годов и получил название метода динамического программирования.

Теория и методы дискретной оптимизации по сравнению с непрерывными процессами менее развиты, а решение дискретных задач известными методами сопряжено в некотором отношении с бблышми трудностями, чем решение непрерывных задач, что является стимулом к развитию теории дискретных экстремальных задач, более глубокому изучению методов их решения.

Первая попытка использовать принцип максимума для оптимизации дискретных (по времени) процессов была предпринята в 1959 году Л.И.Розоноэром, который рассмотрел процессы линейные относительно переменных состояния, дал строгое доказательство принципа максимума методом приращений. В 1960 году Чанг получил дискретный вариант принципа максимума для некоторого класса нелинейных процессов.

Необходимо отметить, что классическая теория оптимального управления непрерывными и дискретными процессами строилась на основе предположении о существовании единственного функционала, оптимальное значение которого необходимо било найти. Хотя еще в 1896г. итальянским экономистом Парето была впервые сформулирована статическая задача оптимизации векторного критерия, как альтернативный и расширенный подход к определению понятия критерия, однако втечение почти полувека проблема практически не разрабатывалась. Основы теории многокритериальной оптимизации и теории игр были заложенны американскими учеными фон Нейманом и Монгенштерном, которые в 1944г. опубликовали ставшую классической монографию.. С этого времени началось интенсивное изучение задач многокритериальной оптимизации. Теория статических многокритериальных задач в настоящее время развивается довольно успешно. Исследованию многокритериальных многоуровневых систем посвещена теория иерархических систем, основы которой были заложены в трудах Н.Н.Моисеева и Ю.Б.Гермейера. Одно из направлений дальнейшего развития теории игр в совокупности с теорией управления является теория дифференциальных игр, которая изучает конфликтные задачи управления системами, изменение состояний в которых описывается дифференциальными уравнениями.

Динамические многокритериальные задачи рассматривались в работах А.Ю.Астрахова, А.Н.Воронина, В.А.Горелика, Ю.В. Дубова, М.П.Дымкова, А.Г.Перевозчикова, В.И.Жуковского, Н.Т.Тынянского, Д.Т.Дочева, М.Е.Салуквадзе, но соответствующая теория еще далека от завершения.

Однако функционирование многих реально существующих систем направлено на эффективное решение некоторой ' совокупности задач, что приводит к возникновению многозадачных моделей, критерий функционирования которых довольно трудно описать с помощью совокупности частных критериев, а следовательно, для данных систем невозможно применить результаты теории оптимального управления многокритериальными процессами. Поэтому актуальна проблема выработки нового подхода к понятию критерия функционирования системы, предназначенного специально для многозадачных систем. В этом случае для формализации критерия полезным может оказаться понятие "потенциала". Хотя теория потенциалов существует как отдельное направление исследований, в котором потенциал рассматривается как некоторый интегральный оператор,

действующий в пространстве зарядов, данное направление исследований не соприкасалось с теорией оптимального управления. Поэтому при наличии у система какой-либо совокупности задач под потенциалом, следуя работе В.А.Горелика и В.В.Пименова', будем понимать функцию эффективности решения данного набора задач, определенную для точек фазового пространства, в которую может попасть система в процессе своего развития, и для которых задачи являются в определенном смысле согласованными.

Целью работы является доказательство существования и определение вида функции потенциала на основании условий согласованности, а также получение условий оптимальности при управлении системой, в качестве критерия которой выступает функция потенциала.

Обьктоы исследования является теория оптимального управления дискретными динамическими системами.

Предает исследования - модели дискретных динамических систем, предназначенных для наиболее эффектовного решения оптимизационных задач статического или динамического типа.

Проблема заключается в определении вида функции эффективности решения данного набора задач и доказательстве условий оптимальности управления данной системой.

В основу исследования положена следующая гипотеза: при наличии у системы задач динамического или статического типа, на более эффективное решение которых направлена система, и при условии согласованности задач в виде непустоты пересечения конусов возрастания функций максимума и Беллмана (в случае диф-ференцируедаети) и непустоты пересечения внутренностей сопряженных конусов к множествам супердифференциалов максимума (при условии супердифференцируемости), имеется возможность определить вид функции потенциала, как обобщенного критерия

функционирования системы, зависящего только от фазовых координат.

Для реализации поставленной цели и проверки сформулированной вше гипотезы потребовалось решить следующие задачи: - выяснить условия согласованности, на основании которых можно определить вид функции потенциала в случае наличия у системы совокупности статических (в частности, линейного программиро-

1 Горелик В.А., Пименов В.В. Формализация понятия потенциала системы и его применения. // Вопросы оборонной техники, 1996. №6.

вания) и динамических задач;

определить условия существования и оптимальности при управлении системой, критерием функционирования которой является терминальное или суммарное значение функции потенциала.

Методологическую основу работы составляют современные метода исследования теории оптимального управления, динамического программирования, выпуклого анализа, математического (в частности линейного) программирования, теории линейных неравенств.

¡..Научная новизна. В работе на основании - теории выпуклого анализа и элементов теории линейных неравенств получены'условия согласованности задач статического (при условии дифференцируе-.мости и супердифференцируемости функции максимума) и динамического типа, на основании которых удалось определить вид функ1йш потенциала. В случае задач линейного программирования функцию потенциала удалось получить в конечном 'виде. Для системы, критерием функционирования которой является функция потенциала, на . основании теории оптимальных дискретных процессов получены условия существования и оптимальности управления.

Практическая значимость работы. Предложений подход к определению функции потенциала может быть использован для управления системами, функционирование которых направлено на аффективное решение реальных статических и динамических задач. В данных системах априорно используемый термин "потенциал" 'может быть математически определен. Примерами таких систем могут выступать военно-промышленный комплекс (военный потенциал), экономика региона или страны (экономический потенциал) и т.д. . Основные положения, выносимые на защиту: V - Б. случае, когда система предназначена для наиболее эффективного решения совокупности задач статического или динамического типа, при выполнении условий дифференцируемости функций максимума и Беллмана и непустоты пересечения конусов возрастания данных функций имеется возможность определить вид функции потенциала;

при условии супердифференцируемости функций максимума, в случае непустоты пересечения внутренностей сопряженных конусов к множествам.супердифференциалов имеется возможность определить для дифференцируемой функции потенциала вид градиента, а для супердиф-ференцируемой функции потенциала вид супердифференциального множества;

- если доопределить градиет потенциала, в случае пустоты пересечения внутренностей данных конусов, но непустоты пересечения их замыканий, то могут быть получении необходимые условия оптимальности при управлении системой, критерием функционирования которой является потенциал, в виде условий стационарноати для функции Гамильтона;

- для задач оптимального управления многокритериальными системами также возможным способом решения является метод, основанный на потенциалах, при этом получается общий критерий функционирования, зависящий только от фазовых координат;

- в случае, когда система предназначена для наиболее эффективного решения задач линейного программирования, записанных в каноническом виде, функция потенциала всегда существует.

Апробация работы. Результаты исследований докладывались на научно-метадическом семинаре кафедры информатики и дискретной математики МПГУ, на аспирантском объединении.

Структура и обьеи диссертация. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы, включающего 78 наименований. Диссертация содержит 107 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первая глава посвящена рассматреншо системы, функционирование которой направленно на эффективное решения задач статического типа. В §1.1 формулируется общая постановка задачи:

определить условия существования потенциала и оптимальности управления в системе

xt+J=g°(xt,ut), (1)

х е X = С x.z К™ | h (хШ, з=Т73} <= u.e V.с кг,

71 ТЪ 3 Ъ ь

где xQ - фиксированное начальное состояние сясчвт, ut~ управление в момент времени t, а цель управления состоит в наиболее эффективном решении совокупности задач {Zf ,...,Zp}.

Конкретную задачу Z{ из набора задач ,..-будем считать задачей параметрического программирования

Z, = { — щах, | ■тек"1, ¡Ru>, i=T7S, (2)

где у4, i=T7£ - переменные, относительно которых оптимально

решаются задачи iZ^... ,Zk}, х е (Rm - произвольная точка допустимого фазового пространства, в которую может попасть система. (1) и которая служит вектором параметров при решения задач {Z,..,Zk}. Из (2) видно, что вообще говоря Zt~Z((x).

Если в" каждой точке фазового пространства гсКт задачи 'будут решаться оптимально относительно ui, то можно определить функции

7Ах) = max FAx,vi), (3)

Один из возможных способов введения' потенциала р{х) есть представление его в виде некоторого функционала от функций 7 А (г),... ,7h(x). Данный функционал должен удовлетворять некоторым аксиомам ( например, неотрицательности, монотонности, субаддитивности). Здесь мы наложим требовние, что из' условия монотонного возрастания функций 7{(х) должно следовать монотонное возрастание функционала р(х), то есть

> 71(хг), i=T7S — piXj) > p(x2), где

Качество функционирования системы будем оценивать терминальным значением ее потенциала.

р(хп) -*■ wax. (4)

- В §1.2 получены условия согласованности задач и определен вид функции потенциала при условии дифференцируемости функций

7i (хп), £=T7fe- Для данных функций можно определить конусы возрастания

К Ах Ы е € Rm | <97 Ах ),е> > 0 }. (5)

V ть * ть

На основании введенного определения согласованности удалось установить необходимые и достаточные условия согласованности и определить вид функции потенциала. Определение 1.

■Задачи {Zf,...,Zk} называются согласованными в точке х tX , если ) = К1(хп)ПКг(хп)П...ПКь(хп) * 0. Лемма 1 ,

Для того чтобы задачи (Zf,...были согласованы 6 точке хп, необходило и достаточно, чтобы существовало, опорная гиперплоскость для конуса ), где Е(хп) - коническая оболочка векторов (у7Ах ),...,97Ах )).

i to R ТЬ

Лета г

Для того чтобы задачи ...были согласованы в точке х , не должно существовать тождественно равной нулю линейной комбинации о положишелъшт коэффициентами составленной из левых частей неравенств:

<у/4(хг1),е> > 0, С=Т7й. (6)

Теореыа 1

Если задачи согласованы в точке хп, то существует набор

чисел а=(а?,...,а&), а{>О, таких, что градиент потенциала

ложет быть представлен в виде

<7)

а сала функция потенциала будет к

Р(^) = Е а,^". (г гЗе О - констнжх. (8)

тТг ¿7 ^

В §1.3 получены условия существования и оптимальности при управлении системой, критерием эффективности которой является терминальное значение потенциала. На основании определения

квазисогласованности ( К(х )=0, о £(х 1=КЛх )П. ..ПАЛх') * 0,

Т1 И. 7 ТЪ & ТЬ

при этом существует такой набор чисел а=(а ,а4>0, что &

ТР^ ) = 2 (5Г ) = 0 ) для терминального ограничения вида г € X П Р„ € ( ? - область существования функции потенциала,

Ту т% Т1 71

множество в котором задачи либо согласованны, либо квази-согласованны) доказываются необходимые условия оптимальности:

<0, г=0^РГ, (9)

для любых би*, удовлетворяющих условиям: ои* € К^и*),

К* ^п

где определяется из уравнений

* д ё°(х ,и )

--ей*

д иг *

3

С

в

8+1 д X

где Я4(и*) - конус допустимых вариаций управления в момент времени г, а Кп(х )={ееШте| (х ),е> > 0, )} - конус

• .С ТЬ 3 тъ ть

допустимых вариаций состояния, множество индексов из

а=Т7£, при которых Л

Необходимо отметить, что множество Р„ может иметь довольно

71

сложную структуру, поэтому учет данных ограничений может представлять собой сложную практическую задачу.

Б §1.4 получены условия согласованности задач и определен вид градиента ' дифференцируемой функции потенциала и вид супердифференциального множества для супердифференцируемой функции потенциала в случае негладких вогнутых, а следовательно, супердиффервнцируемых функций типа максимума. При „ условии вогнутости функций можно построить их; множества

супердафференциалов в точке х^:

05*1 7¿у) « №<гхп-у), ЧуеВб(хп)}, (10)

4=Т7Ъ, где Вь{хп) - д-окрестность точки х . Далее будем предполагать, что необходимые условия вогнутости выполнены, а следовательно множества супердифференциалов функции '11(хп), г=Т7§ являются конусами. Конусы неубывания супердифференцируемой функции представляют собой совокупность таких векторов ееШ"1, что скалярное произведение данного вектора на любой вектор из множества супердифференциалов не меньше нуля, то есть

^{гп)={ е € Г' | <шг,е> ъ О, ¥ Ю^)}. (11)

Определение 2

Задачи {¿Г.....г } называются согласованными в точке х^,

7 л - - - тс

если £(£ ) = ШК.(х ) П 1пШ„(х ) П...П ШЕъ(х ) * 0,

Т1 ( ТЬ а П-

где игЪА означает внутренность лножества А.

На основании введенного определения доказывается необходимое и достаточное условие согласованности, а также определяется вид градиента дифференцируемой функции потенциала. Лемма 3

Для того чтобы задачи {21.....были согласована в точке

хп, необходимо и достаточно, чтобы существовала опорная гиперплоскость для конуса Е(хп), где Е(хп) - коническая оболочна конусов (671 {хп),.. ,д?к(хп).

Теорема 2

Бели задачи согласованы в почке хп, то (хп), 1=Т7к,

существует набор таких чисел а=(а?,...,а%), г=Т7й, что

градиент потенциала ложет быть прэастблен 6 оледущел виде

к

?р(х) = 2 о..П),. (12)

п 1=1 1 1

В качестве альтернативы предлагается сулердифференцируемая функция потенциала При этом необходимо, чтобы

супердифференциал функции Р(хп) совпадал с пересечением конусов

неубывания функций ), (=Т7£, то есть 8Р(х) = К(х) = ШК,(х) П №К„(Х) П...П ШЕАх ). (13)

тХ- Т% I ТЬ ть Л ТЪ

В §1.5 получены условия существования и оптимальности при управлении системой, критерием эффективности которой является терминальное значение дифференцируемой или супердифференцируемой функции потенциала. На основании определения квазнсогласованности

( К (г )=0, а ) =1, (¿¡т )(1...ГЖ.(;г ) * 0, при этом существуют

УТ 7 Ту- .¿ё П

вектора и>1€бЗг1 (х ), г=Т7К, и такой набор чисел а=(а;.....ак),

а{>0, что ър(х^) = >; а}щ{ = 0 ) для терминального ограничения вида х € X Л Р б ( Р - область существования Функции

ТХ- п 7Ъ

потенциала, множество в котором задачи либо согласованны, либо квазисогласованны} доказываются необходимые условия оптимальности, то есть допустимый дифференциал функции Гамильтона не превосходит нуля, при условии, что сопряженные переменные в конечный момент времени для дифференцируемой функции потенциала к

берутся в виде ф = V а,а>,, где ги.фГ, (х ), г=Т7&, а для супер-

дифференцируемой функции потенциала в виде Фп=иж> v*z&P(x ),

В §1.6 получены условия существования и оптимальности при условии, что в каждый момент времени t перед системой возникает своя совокупность задач э следовательно, критерием

функционирования которой является суммарное значение потенциала п +

р(г)= £ р"(г+) и процесс управления стеснен Фазовыми

ограничениями х+ча^хъ й?т| = Ж? г=Т7я.

Вводятся функции для которых, при условии их

диффврэнцируемости, аналогично терминальному случаю, определяются условие согласованности и вид функции потенциала в кавдый момент времени а также условие квазисогласованности и вид области существования функции потенциала Для фазовых ограничений вида

е Р П е Кте, í=T7n, доказываются необходимые условия оптимальности:

$ 0, *=0,п-1. (14)

для всех Ои*. удовлетворящих условиям: Си* € К4(и*),

6x7 € КГ(хТ) П Е?Лх1), к=М,п,

& & С/ Й

где определяется из уравнений

5 в°{х ,и )

аг* »-1-2- си*

* + ? д и4 4

д §°(х ,и ) _

д хь к ■

где - конус допустимых вариаций управления в момент

времени г, а <яП^(хк),е> » 0, jtJ}i{x]г)} - конус

допустимых' вариаций состояния, хмножество индексов из

з=Т7з, при которых 0.

Во второй главе (§§ 2.1 - 2,4) рассматривается система, функционирование которой направлено на эффективное решение задач динамического типа. В §2.1 формулируется общая постановка данной задачи:

определить условия существования потенциала и оптимальности управления в системе (1), для которой цель управления состоит в наиболее эффективном решении задач {¿ГЯ^} вида

__пГ1

■ у* =х >, (15)

^ * 3 и XI

Здесь ... * И ,} - управление в задаче 2., £ -

V Л ^ — / Ь 71

произвольная точка допустимого фазового пространства, в которую может попасть система (1), и которая служит начальной точкой для

решения задач .....п1 - количество шагоз в С-ой задаче,-

>У*п ) - траектория движения в С-ой задаче, соответствующая управления у4=(у*,..._1).

Качество функционирования систеш оценивается терминальным •значением ее потенциала, при этом функция потенциала является функцией фазовых координат.

Для того, чтобы определить функцию потенциала для любой

допустимой точки х надо решить динамические задачи оптимально относительно г/. Для этого удобнее всего воспользоваться методом динамического программирования, построив

при этом для любого хпеХ оптимальное управление и'" и оптимальный.

результат (х ,Т>1 )=Я^{хп), £=Т71г. Тогда в каждой точке допустимого фазового пространства будут определены функции

Беллмана ),

В §2.2 получены условия согласованности задач (при условии дифференцируемости функций Беллмана которые совпадают с

аналогичными условиями для дифференцируемой функции типа максимум, и определен вид функции потенциала.

В §2.з' получена условия существования и оптимальности при управлении системой, критерием функционирования, которой является терминальное значение потенциала.

В §3.4 обоснован один из возможных подходов к управлению дискретным процессом (1), при наличии совокупности критериев

4 /Чхп) пах , (16)

и ъ—о * " * иеУ

и терминальных ограничений х^ л"4= ( ^ € | з=Т75>.

Вводятся следующие задачи:

х1;^, ¿К1, х'1 }, £=Т7Е, ЫЗТгьТ. (1?)

Здесь vi,t={vit,...,v^ ) управление в задаче zj, í=TTS, xte It-произвольная точка допустимого фазового пространства, в котрую может попасть система (1), и которая служит начальной точкой для решения задач Z*}, xi,t=(xit,...,x^) - траектория движения

в í-ой задаче, соответствующая управлению

Если данные задачи решить оптимальным образом относительно

vi¡t, то можно определить функции Беллмака ^\(xt), t=U75::T, í=TTS.

Вводится особым образом построенный функционал эффективности функционирования для задачи (1),(16), в виде суммарного значения некоторой Функции функционалов

V^V.....<*«-,>.....C^-í»'

Б случае согласованности задач в момент времени i ее можно взять в следующем виде

= рг(х) = 1а^\(хь) + С, (18)

и критерий функционирования будет

р(х) = nZpHxt) = Y 2<х>|(я.). (19)

t=0 t=0 í=í 4 1 г

Доказывательство условия существования данного функционала и оптимальности управления аналогичны полученным ранее условиям для системы, критерием функционирование которой является суммарное значение потенциала ( в случае статических задач).

Третья глава (§§ 3.1 - 3.4) посвящена рассмотрению линейной системой, предназначенной для эффективного решения задач линейного программирования и некоторых частных задач динамического типа.

Пусть развитие процесса описывается линейной системой

xur Vt+ Vf (20)

xt€ iRm, ¿^¡R®, Ut€ í^c

где 4 - матрица яг * т., Bt~ матрица и « í, xQ- фиксированное начальное состояние системы.

В §3.1 рассматривается задача оптимального управления терминальным значением потенциала, когда система предназначена

для наиболее эффективного решения совокупности задач ÍZ1,...,ZЪ}, каждая из которых является задачей линейного программирования.

г, = с ~<о.,ь>*"> пах, | хек™, у1€74с а?1'-},

где с{<е а?1* - матрица ш * {=Т7£. (21)

Специфика рассмотрения этой задачи состоит в том, что градиент функции максимума выписывается в явном виде

= (22)

где ) оптимальное значение векторного множителя Лагранжа.

Вследствие того, что в задачах линейного программирования (21) ограничения заданы в виде неравенств, сопряженные переменные неотрицательны, а следовательно задачи {¿,,...,2^) всегда согласованны. В случае единственности решения кандой из ■совокупности задач (21), градиент потенциала будет выглядеть следующим образом

ь ь

= 2 а^Т^х ) = 2 а,у*(х ). (23)

Так как задачи согласованны в любой точке терминального пространства Кп, то условия оптимальности совпадают со стандартными.

В §3.2 рассматривается задача оптимального управления суммарным значением потенциала для данного случая, при условии,

что в каждый момент времени г, 4=Т71г, возникает своя совокупность задач следовательно,

^Ц.) С=Т7£, í=77Я, (24)

= £

и критерий функционировкия можно взять в виде суммы " +

р(г) = 2 р -> шг. ^ 1

Условия оптимальности в линейной системе для суммарного критерия совпадают со стандартными.

В §3.3 приведен пример управления линейной системой

аА+ г=а7ЯГГ» (25)

- и -

х,<&, X €К, ил ®

г п г 4

где а^. - число, Ь - ¿-вектор, х0- фиксированное начальное состояние системы, а цель управления состоит в наиболее аффективном решении задач динамического типа

у^о, у10^пУ, (26)

Цель управления для каждой из задач Ъ, заключается в том,

> 1

чтобы выбрать такое управление и, посредством которого

необходимо попасть из конечной точки развития системы (25) у)рЕп

в начало координат, тем самым критерий Р1(у4) опосредованно

зависит от х .

п ,

При этом функции Беллмана й^С^) удалось выписать в конечном дифференцируемом виде

где константы вычисляются отдельно для каждой задачи

из набора по формулам

ПГ7 . , ПГ!

о " 1п<°}> + + Во = Д®}-

Сп{-Г1' <гг - <ггКГг СГ СЬ (28)

Необходимым условием согласованности задач {г в

точке г является согласованность линейных однородных неравенств

я'

<-^,е> > 0. Данные неравенства согласованны, если все В* имеют

v,

одинаковые знаки. Если задачи согласованны, то любой набор чисел

(а},...,ак), сОО, {=171, может участвовать в представлении градиента потенциала, при этом:

4 = 7 П

В §3.4 приведен пример решения задачи оптимального

управления процессом

(31 )

тах , и'аи

уЬо, х4 =0, х1=х.у, 1=Т7М, г=П7пгГ. (32)

JJniЪ

Здесь v,"г=:{vl,...,vi ,) управление в задаче ъ), С=Т7£, хл

С ТЬ**" > V О С»

произвольная точка допустимого фазового пространства, в которую может попасть система (30), и которая служит начальной точкой для решения задач х{'•-.- траектория движения

в (-ой задаче, соответствующая управления ... ).

Оптимальное значение функций Беллмана будет х

В*1п , 1=Т7Р„ í=L^rPГ. (33)

гле константы А1.8ь.с1 вычисляются отдельно для каждой задачи из

+ ч с ъ

набора ,... , по (формулам 4 = Шс\) + +е<)Цп(е^ )+т(с*)), 3; = П£с\,

Сг - СГ (34)

Н&обходимым условием согласованности задач {2*,...,2р в каждый момент времени t аналогичны условиям предыдущего параграфа. Если задачи согласованы, то любой набор чисел

(а*,...,а*), а >0, '=Т7й, может участвовать в представлении градиета потенциала, при этом:

ърНх.) = 2 = 2 < 41'

а для динамической многокритериальной задачи оптимального управления критерий функционирования можно записать в виде

Vй* • *=0.я-1,

г^К, u^O, я =0, - фиксированно, на максимум совокупности критериев

, гь-1 .

F'{u)= 7. а; lri{u,) -*■ шах , i=T7M. 0 t=о t 1 и&

Рассмотрим следующую совокупность задач

i jrljj " ь ^ j

п-1

п-1 k ,

2 S а;

t-o е-г "

А* Кы

(36)

В заключение перечисляются основные результаты, полученные в диссертации.

ОСОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Получены условия согласованности и определен вид функции потенциала для системы, целью которой является наиболее эффективное решение совокупности следующих видов задач:

- статических ( при условии дифференцируемости и в случае сулердифференцируемости функций максимума);

- линейного программирования (как частный случай статических задач);

- динамических ( при условии дифференцируемости функции Беллмана).

2. Определены условия оптимальности управления в случае, когда критерием эффективности является терминальное или суммарное значение потенциала.

3. Предложен на основе потенциалов новый подход к решению многокритериальных задач оптимального управления.

Основные положения диссертации нашли отражение в следующих работах:

1. Горелик В.А. Кузнецов O.A. Управление потенциалом динамической системы, предназначенной для решения совокупности оптимизационных задач // Моделирования, оптимизация и декомпозиция сложных динамических процессов. - М.: ВЦ РАН, 1997. - С.22-4-3.

2. Кузнецов O.A. Проблема управления потенциалом динамической системы. / Научные труды МПГУ им. В.И.Ленина, Серия: Естественные науки. - М.: Прометей, 1997. - С.257-258.

3. Кузнецов O.A. Управление потенциалом линейной системы, предназначенной для решения совокупности задач линейного программирования.// Деп в ВИНИТИ от 21.04.97. * 1334-В97, - 12с.

4. Кузнецов O.A. Управление потенциалом дискретной динамической системы, предназначенной для решения совокупности динамических задач.// Деп в ВИНИТИ от £1.04.97, £ 1333-В97, - 17с.