автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Принцип Гурвица в сложных управляемых системах

л.

_с>р На правах рукописи

СМИРНОВА Лидия Викторовна

ПРИНЦИП ГУРВИЦА В СЛОЖНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМАХ

Специальность 05.13.17 - теоретические основы ииформатпкп

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1998

Работа выполнена в Орехово-Зуевском педагогическом институте на кафедре математики.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор ЖУКОВСКИЙ В.И.

Официальные оппоненты:

академик Международной Академии информатизации, доктор физико-математических наук, профессор ГОРЕЛИК В.А.

Ведущая организация: Международный научно-исследовательский институт проблем управления.

Защита диссертации состоится 1998 г. в часов

на заседании Диссертационного Совета К 053.01.16 в Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, математический факультет МПГУ,

ауд. 30-1 -

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ по адресу: 119435 Москва, ул. Малая Пироговская, дом 1.

Автореферат разослан "АР " ОЪ _1998 г.

кандидат физико-математических наук, доцент МАТВЕЕВ В.А.

Ученый секретарь Диссертационного Совета

ЧИКАНЦЕВА Н.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время, когда информация становится важным ресурсом, когда информационная деятельность определяется как приоритет-пая в процессе развития цивилизации и когда эта деятельность во всем своем широчайшем спектре в значительной степени опирается на современные достижения компьютерной техники, становится очевидной необходимость всестороннего фундаментального исследования понятий информации, процессов ее представления, обработки, хранения и передачи. В этом отношении на первый плач выдвигаются задачи строгой формализация этих понятий, нахождение эффективных алгоритмов обработки и анализа информации, принятие на их базе наиболее рациональных решений, генерации новых знаний.

Разумная человеческая деятельность в большинстве случаев состоит в том, что человеку для достижения тех или иных целей приходится принимать решения. Задачи принятия решений представляют собой завершающий этап процесса обработки информации. При этом представляется вполне естественным стремление принимать оптимальные решения, которые реализуют поставленные цели в наибольшей степени. Научные постановки вопроса о выборе оптимальных решений встречались и встречаются в различных теоретических и прикладных дисциплинах - медицине, праве, военном деле, экономике, экологии, технике и т.д. По мере развития и математизации этих дисциплин соответствующие процессы принятия решений формализуются и приобретают характер математических моделей. Теория математических моделей принятия оптимальных решений составляет ныне обширное направление науки ~ исследование операций. Причем речь идет не просто об исследовании, но о выработке конкретных решений.

Особое место среди условий, а которых приходится принимать решения, занимает наличие неопределенности ( помех, возмущений, ошибок измерения, запаздывания в каналах передачи информации и т.д.). Это особое положение определяется, в первую очереди, практической важностью, ибо необходимость принимать решения, для которых не удаётся полностью учесть предопределяющие их условия, а также последующее их влияние, встречается в подавляющем большинстве областей техники, экономики и социальных науках. При этом отказаться в такой ситуации от принятия' решений большей частью бывает просто невозможно. Поэтому необходимо стремиться к оптимальному использованию имеющейся информации относительно поставленной задачи, чтобы, взвесив все возможные варианты решений, постараться найти среди них наилучший.

В теории принятия решений существует несколько принципов, на основе которых могут быть построены оптимальные решения в задачах, когда о неопределенных факторах известна лишь область их изменения. К таким принципам относятся: принцип гарантированного результата (принцип максимина, иногда также называемый принципом Вальда), принцип минимаксного сожаления (принцип С:>виджа), принцип пессимизма-оптимизма (принцип Гурвица) и др. Каждый из них обладает своими достоинствами и недостатками. В связи с этим, решения оптимальные согласно того или иного принципа, могут быть "хорошими" только в смысле отношений порядка, задаваемых этими принципами. По-видимому, для условий неопределенности нет и, в принципе, не может быть достаточно общего критерия, который "годился" бы одновременно длят всех практических задач. Выбор принципа в каждой конкретной задаче является важным и трудным, и всегда должен осуществляться с учетом тщательного анализа ситуации, в которой принимаются решения. Задача же исследователя состоит и в том, чтобы предложить как можно более широкий спектр решений (оптимальных в смысле того или иного принципа), чтобы, по-возможности, наиболее полно учесть разнообразие ситуаций, в которых приходится осуществлять выбор решения на практике. В основу настоящей работы был взят принцип пессимизма-оптимизма (принцип Гурвица).

Все вышеперечисленные принципы были предложены для однокритериальпых (скалярных) задач при неопределенности. Однако почти всякая сложная практическая задача принятия решения является многокритериальной. В связи с этим особое значение приобретает бурно развивающееся направление теории принятия решений, которое получило название "многокритериальные задачи при неопределенности". Такие задачи возникают в экономике (падение или увеличение спроса на рынке, срыв поставок), в экологии (изменение погодных условий), механике управляемых систем (помехи, запаздывание в каналах передачи информации).

Основные исследования многокритериальных задач при неопределенности ведутся в рамках принципа гарантированного результата и им посвящены работы В. И. Жуковского, Г. И. Житомирского, В. А. Матвеева, В. С. Молоствова, В. В. Мухина, М. Е. Салуквадзе, И. В. Чернявского, D. Blackwell, G. Glien, W. Chan, F. Ferro, VV. 1-a.n, T. Tanaka. Рассмотрению этих задач с позиций принципа С-эвиджа посвящены исследования Л. Е. Бардина. Принцип пессимизма-оптимизма до настоящей работы применялся лишь к однокритсриальным задачам. Здесь, в первую очередь, возникает необходимость обобщения принципа пессимизма-оптимизма на случай многих критериев. Данному вопросу и посвящена первая глава диссертации.

В последнее время в России активно ведутся исследования игровых задач при

неопределенности - задач, а которых приходится принимать решения не только 8 условиях неопределенности, но и в условиях конфликта. Это совершенно новое направление теории игр, которое возникло буквально в последние годы.

Исследование игровых задач при неопределенности на основе максиминного принципа имеется в работая В. И. Жуковского, Л. Ф. Клейменова, на основе принципа Сэвиджа - в работах Л. Е. Бардина. Исследованию бескоалиционных игр при неопределенности с позиций принципа, пессимизма-оптимизма посвящена в торая глава диссертации.

Целью работы является разработка теоретических основ принципа пессимизма-оптимизма для принятия решений в многокритериальных и игровых задачах при наличии неопределенности. При этом о неопределенных факторах известны лишь границы изменений и какие-либо вероятностные характеристики отсутствуют.

Объектом исследования является теория многокритериальных задач и теория бескоалиционных игр при неопределенности.

Предмет исследования - принятие решений в многокритериальных задачах и бескоалиционных играх при неопределенности на основе модификации принципа пессимизма-оптимизма.

Проблема заключатся п формализации и исследовании свойств решений в многокритериальных задачах гг бескоалиционных играх при неопределенности, основываясь на модификациях принципа пессимизма-оптимизма.

В основу исследования положена, следующая гипотеза: для многокритериальных задач при неопределенности можно определить понятие оптимального решения согласно принципа пессимизма-оптимизма и получить условия его существования; для бескоалиционных игр N лиц гтри неопределенности на основании принципа пессимизма-оптимизма можно формализовать понятия равновесия, установить условия существования в чистых и смешанных стратегиях.

Для реализации поставленной цели и проверки сформулированной выше гипотезы потребовалось решить следующие задачи:

- обобщить принцип пессимизма-оптимизма на случай многих критериев и на этой основе формализовать понятия решений для многокритериальных задач при неопределенности;

- классифицировать введенные решения, выявить их свойства;

- получить достаточные условия существования таких решении:

- формализовать понятие равновесия для бескоалиционных игр при неопределенности, используя обобщенный принцип пессимизма-оптимизма и концепцию равновесности по Нэшу;

- получить достаточные условия существования введенного равновесия в чистых и смешанных стратегиях.

Методологическую основу работы составляют методы, теории игр (в частности дифференциальных), многокритериальных задач, выпуклого анализа, многозначны х отображений, дифференциальных уравнений и оптимального управления.

Научная новизна. В работе введен и разработан новый подход к принятию решений в сложных управляемых системах ¡три учете неопределенных факторов. В отличии от общепринятого векторного максимина предложенный подход позволяет избежать недостатков связанных с ориентацией на "катастрофу", т.е. на самые неблагоприятные реализации неопределенности.

Практическая значимость работы. Результаты диссертации могут быть применены к различным прикладным задачам: экономическим, экологическим, политическим и т.д. Разработка на их основе математических моделей позволит получить эффективные решения в сфере планирования и управления в различных видах деятельности.

Основные положения выносимые на защиту:

- на основе принципа пессимизма-оптимизма введены понятия решения для многокритериальной задачи при неопределенности; проведена классификация решений, исследованы свойства, выявлены условия существования;

- для бескоалиционной игры при неопределенности формализованы два вида решений: равновесие Нэша-Гурвица и гарантирующее равновесие Нэша-Гурвица; установлено существование указанных решений в чистых и смешанных стратегиях при обычных в теории игр ограничениях;

- для дифференциальной линейно-квадратичной игры при неопределенности найдены явный вид ситуации равновесия Нэша-Гурвица и векторной гарантии игроков.

Аппробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на III Международной конференции женщин - математиков (Воронеж, 1995), математической школе "Поптрягинские чтения - VII" (Вор» неж, 1996), Международной конференции "Математика.. Компьютер. Образование." (Дубна, 1996), III и IV Международной конференции "Многокритериальные и игровые задачи при неопределенности" (Орехово-Зуево, 1994, 1996), на научных семинарах кафедры математики Орехово-Зуевского педагогического института, кафедры информатики и дискретной математики МПГУ.

Доклады по теме диссертации были приняты на IV Международной конференции женщин - математиков "Математика. Моделирование. Экология." (Волгоград, 1996), IV Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование."

(Лущило, 1997), V-Международной конференции женщин - математиков "Математика. Экология." (Ростов-на-Дону, 1997).

V

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ. Из работ, выполненных в соавторстве, в диссертацию включены результаты полученные автором самостоятельно.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав (разбитых на 8 параграфов) и списка литературы, содержащего 76 наименований. Общий объем диссертации составляет 98 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, определяется цель работы, выдвигается гипотеза, положенная в основу исследования, формулируются задачи, которые необходимо было решить для реализации поставленной цат и проверки выдвинутой гипотезы, указывается методологическая основа, исследования, раскрывается научная новизна и практическая значимость диссертационной работы, выдвигаются основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава состоит из 5 параграфов и посвящена исследованию многокритериальной задачи при неопределенности

(X,Y,f(x,y)), (I)

где X С R" - множество решений (альтернатив) х; V С R'" - множество неопределённостей у; f(x,y) — (/i(.r,j/),... ,/л(;с, у)) - векторный критерий, определенный на произведении X х V.

Лицо, принимающее решение (ЛПР) стремится выбрать альтернативу х 6 А' таким образом, чтобы достичь как можно больших значений всех компонент вектора f(x,y) одновременно. При этом ЛПР должен учитывать возможность реализации любой, заранее непредсказуемой неопределённости у <Е У.

§ 1 посвящен формальному описанию принципа пессимизма-оптимизма для од-нокритериальной задачи при неопределенности. Там же приведены позитивные и негативные стороны данного подхода.

В § 2, основываясь на принципе пессимизма-оптимизма и понятии векторного максимина1, для задачи (1) формализуется понятие Н-оптимальных решений. Именно,

1 Жуковский В.II., Молоствов B.C. М ногскритерпадыгая оптимизация систем в условиях неполной информации. М.: Международный НИИ проблем управления, 1990. 112 с.

пусть YK(x) - множество максимальных по К неопределенностей уЛ(х) € Yh(x), а УЦг) - множество минимальных по L неопределенностей уь{х) 6 YL{x) в многокритериальной задаче

■И*}, У,/(х, у)), (2)

которую получаем из (1) для фиксированного решения х. При этом оптимум (максимум или минимум) по К и L означает для К, L = S - оптимум по Слейтеру, для К, L = Р - оптимум по Парето, для К, L = В - оптимум по Борвейяу, для К, L = G - оптимум по Джоффрнону, для К, L = А - А-оптимум при заданной постоянной N х N - матрице А с положительными элементами.

Введем N-вектор-функцию д(х, уь(х),ук(х)), компоненты <?;(£, ;/г.(я),!/л (г)) (' = = 1,..., JV) которой определяются следующим образом:

где х 6 A', yi(x) е Yl(x), ук{х) е YK(x) (K,L ~ S,Р, 13,G,А), постоянные ai 6 [0,1 ] заданы.

Определение X. Решение x^L € А' назовем MKL-оптимальным по Гурвицу в многокритериальной задаче (i), если существуют неопределенности Уь(з-'кь) 6 € Yl(xkl) i yh{xKi) S У~h(xKL) такие, что является максимальным но M

решением многокритериальной задачи

( Л', №(Ж), /'(*)) ), (Л/, Л", i = 5, Р, £?, С, А).

Множество MKL-оитимальных по Гурвицу решений задачи (1) обозначим через у м

Решения, введенные определением 1, назовем H-оптимальными. Связь между Н-онтимальными решениями при различных M = S, Я, В, G, А и фиксировалной царе A", L — 5, Р, В, G, А представлена следующей цепочкой включений:

X'kl ? Î 4L Я ^KL - XKL

Теорема 1. Если в задаче (1) множества А' и V есть компакты и вектор-функция Дх,3/) непрерывна на А' х V, то множество - яаляется непустым компактным подмножеством X ■

В § 3, используя понятие векторной седловой точки2 , для задачи (1) формализуется (с помощью принципа пессимизма-оптимизма) другое понятие решения -

2 Zhukovskii V.l., Salukvadze М.Е. The Vector-Valued Maximiii. Boston, San Diego, New York, London: Academic Press, 1994. 404 p.

Н-еедловая точка. Выясняется связь этого решения с Н-оптимальными, приведена классификация, установлено существование введенных решений в чистых и смешанных стратегиях. С этой целью задаче (1) ставится в соответствие антагонистическая игра с векторной функцией выигрыша

< X х К, К, Цх,уиуг) = (Л,{*,з;,,:у2),.-.,Ы*>У1>Уз)) >. (3)

где

1ф,У\,Уг) = «¡/¡(®,У1) + (I - ац)К(х,у2) {г = 1,...,Л'), а; 6 [ОД]; Уьг/2 € V.

Определение 2. Тройку г/'''*"') назовем МЬ-седлоъоп точкой игры (3),

если

1. пара ;/2ЛГ)) является максимальным по М (М = Б, Р, В, С, А) решением многокритериальной задачи

( X х V", ЩХ,у\1\у2)),

где х, з/г € X х У;

2. неопределенность является минимальным по £< (Ь = й, Р, В, С!, А) решением многокритериальной задачи

где 2/1 € К.

Решения, введенные определением 2, назовем [1-седловыми точкам» и обозначим множество троек (х-'^',*/}1',?/^") через Тогда связь между различными [{-

-седловыми точками можно представить следующей схемой:

п

г

I I

т

Ч

<- - 2% 4- — 75 ¿С

X т Г

7Р г- -

т Т 1

- ^ -

т т 1

7а - <- — 7я

Г I Г

# 4- - 7'1 4- - Ц

'¿I Г

г г

Связь между Н-оптимальными решениями и Н-седловыми точками устанавливают следующие утверждения.

V

Утверждение 1. Пусть ситуация ) является МЬ-седловои точкой

игры (3), существует ММЬ-оптимальное по Гурвицу решение € X задачи (1) и соответствующие ему неопределённости ($£.(*$£,), ум(.х$с)) б ^¿(^мг.) х такие, что

Тогда альтернатива х^ является ММЬ-онтимальным по Гурвицу решением задачи (!)•

Утверждение 2. Для любого ММ [/-оптимального по Гурвицу решения задачи (1) и всякой М 1-седловой точки игры (3) несовместна система неравенств

Теорема 2. Если множества X и К компакты, компоненты вектор-функции {{х,у) непрерывны на X х У, то в игре (3) существуют Н-седловые точки в смешанных стратегиях.

Утверждение 3. Пусть

1. множества X к ¥ - выпуклые компакты и компоненты вектор-функции /(¿, у) непрерывны на А' х V";

2. функции /¡(г, у) линейны по у при каждом фиксированном х 6 X и вогнуты по х при каждом фиксированном у £ У ■

Тогда в игре (3) существует Н-седловая точка в чистых стратегиях.

§ 4 посвящен рассмотрению задачи с "разделенным" векторным критерием, т.е.

У, ¡(х,у)^ф(х) + ф(у)),

где вектора ф(х) - (ф^х), ...,ф,у{х)) и ф(у) = (^(у),..., 4^{у)) ■

Здесь выявлена структура и алгоритм построения Н-оитимальных решений и Н-седловых точек.

В § 5 обобщается понятие Н-оптимальных решений на случай произвольного конуса доминирования, устанавливается существование такого обобщенного решения при обычных ограничениях в теории многокритериальных задач.

Во второй главе рассматривается бескоалиционная игра N лиц при неопределенности

{N. Г, Ш*,»)}«:рг >, " (4)

где N = {1,..., ¡V} - множество'номеров игроков; Л"; С Л"- - множество стратегий

n

X! у г-го игрока (г € ¡М); X = [[ Хг - множество ситуаций х - ..., х^);

¿=1

V С - множество неопределённостей у; /¡(г,2/) : X х У -у Н - функция выигрыша г-го игрока.

В игре (4) цель г -го игрока, на "содержательном уровне11, состоит в выборе такой своей стратегии € Xi (г € N ), что в сложившейся в результате игры ситуации х = (х^ ...,1|*]е.\' его выигрыш принимал бы возможно большее значение.

В § 6 (па основании векторного аналога принципа Гурвица из § 2 и концепции равновесия по Нэшу из общей теории игр) формализуется понятие "ситуация равновесия Нэша-Гурвица" для игры (4), выявлен ряд свойств и установлено существование в чистых и смешанных стратегиях.

Пусть : Л' —у У ( У5(-) : X —У У) - многозначное отображение, которое

каждой ситуации х € X ставит в соответствие множество У'?(х) ( У$(х)) - максимальных (соответственно, минимальных) по Слейтсру неопределенностей задач» (2).

Введем вспомогательные скалярные функции

»(*, ?«(*),»*(*)) = аЖ(х,у3{х)) + (1-«,)/,(*,/(.г-)),

где а; 6 [0,1], {ув{')7У3{')) ~ произвольная пара селекторов многозначных отображений Уд(-) и Кя(-), соответственно.

Определение 3. Ситуацию х~ € V назовём N И -равновесной для игры (4) (равновесием Нэша-Гурвица), если существует пара селекторов {уя{'),:!/5(-)) соответствующих многозначных отображений Ку(-) и У 5(-) такая, что г* € А' есть ситуация равновесия по Нэшу следующей бескоалиционной игры N лиц (без неопределённостей)

(АЛ,см, >•

Теорема 3. Пусть в игре (4)

1. множества Х{ (г € И) являются компактами, множество У - строго выпуклый компакт, функции выигрыша /,(х,у) (/ € N ) непрерывны на X х У \

2. функции /,(х,у) (¡£N1 линейны по у при каждом фиксированном х € А'.

Тогда, в этой игре существует NII -равновесие » смешанных стратегиях. Утверждение 4. Пусть в игре (4)

1. множества X, - выпуклые компакты, множество V - компакт, функции /¡(j, у)

(г £ N) непрерывны на X xY и вогнуты по Х{ при фиксированных у £ V и

XN\i 6 XN\, = 17 X,;

jeNv

2. множества и не зависят от х, т.е. имеют один и тот же набор элементов при каждом х £ X.

Тогда в игре (4) существует NН - равновесная ситуация в чистых стратегиях.

В § 7, используя скалярный вариант принципа и концепцию равновесности по Нэшу, определяется гарантирующее равновесие Нэша-Гурвица для игры (4), устанавливается существование в чистых и смешанных стратегиях.

Определение 4. Ситуацию х* £ Л' назовём гарантирующим NН ■-равновесием игры (4), если ж* является ситуацией равновесия по Нэшу в бескоалиционной игре N лиц

< N, {XOieN, Ш*)ЬеК ),

где

Si(x) - <2; min/j(i, у) + (1 - а;)тах/,(х,1/), г £ N, УЧУ уеУ

постоянные öj £ [0,1].

Теорема 4. Если в игре (4) множества А"; (г £ N) и Y являются компактами, функции выигрыша /¡(х,у) непрерывны на А' х V, то в этой игре существует гарантирующее NH-равповесие в смешанных стратегиях.

Утверждение 5. Пусть

1. множества А',- (» £ N), 1' являются выпуклыми компактами, функции fi{x,y) (i 6 N) непрерывны на Л' х У";

2. функции fi(x,y) (г £ N) вогнуты по (х,,у) при каждом фиксированном

£ П и линейны по у при каждом фиксированном х € X . ieN\<

Тогда в игре (4) существует гарантирующее N11-равновесие в чистых стратегиях.

Наконец, в заключительном § 8 рассматривается дифференциальная позиционная бескоалиционная линейно-квадратичная -игра двух лиц при неопределенное™

({1,2}, s, г,{ма,г,и,*.)}ш.2). (5)

Здесь

E -f- x = Л[1)х + ui + eu2, x(t.) = x„,

матрица ,4(-) g C„x„[0, tf]; вектора 6 R" (i = 1,2); фиксирован момент окончания игры S ~ const > 0; начальная позиция ((., х.) 6 [0,^) х Rn; б > 0 - малый параметр; множество стратегий i-го игрока

Ui = { U, - Ui(t,x) | u,(t,x) = Q,(t)z, VQ,() e C'„X*M) } (г = 1,2);

множество неопределенностей

Z = { Z(U) ~ z{l,x,u) | ||г(<, :r, u(/,j-))||2 < I, Vi 6 [0,i7), x € R",

u(t,x) = (Qi(t)x,Q2(t)x), Qi(-) e 6"nxti[0,i?) (« = 1,2) }; функция выигрыша ¿-го игрока

1 2

Ji(U,Z(U),t.,x.) = )C,.r(,?) + /{^«JWAjUiW + (»'=1,2),

I

где n x n-матрицы С;, Д,- (i,j — 1,2) постоянны и симметричны, вектора' </, 6 € Rm (» = 1,2) постоянны, ситуации U = (¡У,, (.>Y) f L(\ xW2 = W.

Для этой игры приводится понятие ситуации равновесия Нэша-Гурвица, находится явный вид решения и векторная гарантия игроков. При этом используются следующие понятия.

Неопределенность Z$(U) € Z (ZS{U) £ Z) называется минимальной (максимальной) по Слейтеру для задачи

Г(£/) = <Б, 2, {J,{U,Z{U),t.,.г.)},=1.2), (6)

если при любом выборе начальной позиции (i»,-x.) £ [0, i9)xRn несовместна система неравенств

J,(U,Z,L,x.) < Ji(U,Zs{Cr),t.,x,), 4ZeZ (¿ = 1,2)

( J,([/,Z,*„z,) > J,(t/,^s(i/),<»,.t.), (¿ = 1,2)).

Пусть : U Z : U Z) - многозначное отображение, которое

каждой ситуации U & U ставит в соответствие множество минимальных (соответственно, максимальных) ио Слейтеру неопределенностей задачи (б).

Определение 5. Ситуацию V € Ы назовем N¥1 -равновесием игры (5), если существует пара селекторов %$(•) и ¿?5(-) соответствующих многозначных отображений 2<;(-) и -23(-) такая, что при любом выборе начальной позиции (<„,£») € е [0,1?) х И", ситуация V* является равновесной по Нэшу в дифференциальной игре

где

Ь(и,га(и),г3(и),и,х.) = а,- +

4 (I -а,) Ми,г3Щ)Л.,х,) и = 1,2),

постоянные а-< £ [0,1] заданы.

Далее М < (<) означает, что квадратичная форма х'Мх определенно отрицательна (неположительна). Применение метода динамического программирования и метода малого параметра приводит к следующему утверм^деияю.

Утверждение 6. Если

1. при любых а 6 [0,1] векторы а<11 + (1 — оф 0„,,

2.

0„ < 0, ¿>22 <0, с, < о,

то в дифференциальной игре (-5) при достаточно малых г > 0 Л'Я-равновесие существует и имеет вид

I/;-г =

где £),<?2(<,е)).-решение системы матричных уравнений

<?, + М(0 + А'{1)вх - «»Оц1«, - еЧ.О^Ь - с^ваОй'в, + = 0„„,

¿2 + 02АЩ -} Л'(1)02 - 07ии10х - - £202О22 в2 + ^ОГ/АцЯи 1 = 0„ХП1

= (г = 1,2).

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Бардин А.Е., Смирнова JI.B. Принцип Гурвица для многокритериальной задачи при неопределённости //Сложные управляемые системы. Межвузовский сб. науч. трудов. М.: РосЗИТЛП, 1996. С. 34-37.

2. Салуквадзе М.Е., Смирнова JI.B. Принцип пессимизма-оптимизма в многокритериальных задачах /Препринт. Тбилиси: АН Грузии, Ин-т систем управления, 1995. 15 с.

3. Смирнова JI.B. Принцип Гурвица в многокритериальных динамических задачах //Сложные управляемые системы. Межвузовский сб. науч. трудов. М.: РосЗИТЛП, 1996. С. 50-55.

4. Smitnova L.V. The Solution of Nash-Hurwicz-Slater for Non-cooperative Game under Uncertainty//" Понтряпшские чтения - VII": Тез. докл. Воронеж, 1996. С. 166.

5. Smirnova L.V. The Nash Equilibrium and Principle of Hurwicz// III Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование.": Тез. докл. Дубна, 1996. С. 16S.

6. Smirnova L.V. The Principle of Hurwicz for Non-cooperative Game under Uncertainty// IV Международная конференция женщин-математиков "Математика, моделирование, экология": Тез. докл. Волгоград, 1996. С. 12.

7. Smirnova L.V. On one Solution of a Non-cooperative Game under Uncertainty// IV Международной конференции "Математика. Компьютер . Образование.": Тез. докл. Пущино, 1997. С- 212.

8. Smirnova L.V. Cone Optimality for Multicriterial Problems under Uncertainty// Multiple Criteria and Game Problems under Uncertainty: Abstracts. The IV-th Inter. Workshop. Orekhovo-Zuevo. Russia. 1996. P. 111.

Подл, к печ. 30.03.98 Объем 1 п.л. Зак. 104 Тир. 100 Типография МПГУ