автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка и исследование методов программного моделирования устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений на основе матричных мультипликативных преобразований разностных схем

На правах рукописи

Буланов Сергей Георгиевич

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ ПРОГРАММНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ОСНОВЕ МАТРИЧНЫХ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

Специальность:

05.13.18 —Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Таганрог 2006

Работа выполнена в Таганрогском государственном педагогическом институте.

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор Ромм Яков Евсеевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Боженкж Александр Витальевич

доктор физико-математических наук, профессор Илюхин Александр Алексеевич

Ведущая организация: ФГНУ НИИ «СПЕЦВУЗАВТОМАТИКА»,

г. Ростов-на-Дону.

Защита состоится « 3 » Мо^-Ъьэ- 2006 г. ъ/'/—? часов на заседании диссертационного совета Д 212.259.03 Таганрогского государственного радиотехнического университета по адресу 347928, г. Таганрог, Ростовская область, ГСП-17А, пер. Некрасовский, 44, ауд. Д-406.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Таганрогского государственного радиотехнического университета.

Автореферат разослан « 3/»

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212. доктор технических наук, професс

Целых А.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В настоящее время анализ устойчивости необходимо производить при решении задач многих областей механики, физики, теории автоматического регулирования, теории сложных систем. Методы математической теории устойчивости используют при управлении движущимся объектом, включая стабилизацию движения спутника, при создании математических моделей механических систем с тонкостенными конструкциями, при управлении технологическими процессами, при выборе технологических параметров микросхем, моделировании управления движением роботов, при создании авиационных и высотных строительных конструкций, в гидродинамике и химической кинетике, синергетике и др. Традиционно исследование устойчивости — предмет качественной теории дифференциальных уравнений. Однако использование компьютерной техники в данных разделах научно-технических исследований приводит к задаче автоматизации анализа устойчивости. Анализ устойчивости требуется выполнять непосредственно в процессе компьютерного управления объектами с целью повышения качества управления.

Известные методы во многих случаях сводят анализ устойчивости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) общего вида к анализу устойчивости линейных систем (первый метод Ляпунова). Отсюда вытекает важность исследования систем линейных ОДУ в целом и компьютерного анализа их устойчивости в частности.

Анализ устойчивости систем линейных ОДУ, будучи разработанным во всех теоретических деталях, сохраняет принципиальные трудности практического осуществления. Так проверка критерия Рауса-Гурвица требует построения специальной матрицы и вычисления в ней всех главных диагональных миноров, в то время как вычисление только одного определителя имеет сложность 0(N3). При большой размерности матрицы эта операция доступна лишь при использовании компьютера, однако в этом случае возникает проблема вычислительной устойчивости. Определенные трудности заключает в себе сведение анализа устойчивости линейных систем общего вида к случаю системы с постоянной матрицей коэффициентов. Поэтому актуальна задача разработки компьютерных средств анализа устойчивости, в частности, для случая систем линейных ОДУ.

Для систем данного класса требуемый анализ удается построить наиболее технологично и именно разработке и исследованию компьютерных средств анализа их устойчивости посвящена диссертационная работа.

Цель диссертационной работы состоит в разработке и исследовании метода компьютерного анализа и моделирования устойчивости систем линейных ОДУ.

В основу положены схемы, представляющие собой матричные мультипликативные преобразования разностных методов численного интегрирования. Форма представления схем анализа устойчивости влечет возможность их циклической программной реализации. ; , - *' -•*';■

Программная модель схем анализа-устойчивости и сами схемы в рамках поставленной цели должны обладать инвариантностью относительно правой части системы линейных ОДУ и относительно разностных методов, на основе которых конструируются схемы анализа. Кроме того, модель должн? быть инвариантна относительно длины промежутка и шага решения. А " '¿т

Искомый компьютерный метод должен давать однозначный вывод о характере устойчивости исследуемых систем, для этого критерии должны иметь форму необходимых и достаточных условий.

Метод должен обладать теми качествами, которые позволяли бы рассматривать его как основу для разработки компьютерной технологии анализа устойчивости систем линейных ОДУ и систем, сводимых к линейным.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1) Сконструировать программно реализуемые схемы анализа устойчивости систем линейных ОДУ на основе разностных методов численного интегрирования, в качестве первого из которых выбран метод Эйлера. Результатом работы схем должны быть необходимые и достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости.

2) Построить разновидности программируемых схем анализа устойчивости систем линейных ОДУ на основе методов более высокого порядка, включая методы Эйлера -Коши и Рунге - Кутта, с целью повышения достоверности оценок устойчивости в соответствии с порядком точности данных методов численного интегрирования.

3) Исследовать достоверность компьютерного анализа устойчивости в зависимости от замены предельных значений выражений конструируемых критериев на их конечные приближения, необходимые в процессе программирования.

4) Исследовать зависимость достоверности компьютерного анализа устойчивости от погрешности разностного решения системы линейных ОДУ.

5) Исследовать обратную зависимость — влияние устойчивости системы линейных ОДУ на накопление погрешности разностного решения.

6) Построить программную модель анализа устойчивости систем линейных ОДУ, инвариантную относительно правой части системы, разностых схем приближённого решения системы, а также инвариантную относительно числовых параметров из экспериментально устанавливаемого диапазона значений.

7) Провести численный и программный эксперимент в условиях меняющихся значений числовых параметров модели и установить границы параметров, при которых сохраняется достоверность моделирования устойчивости по сконструированным критериям.

Методы исследования опираются на использование качественной теории устойчивости, теории разностных схем, численных методов и теории дифференциальных уравнений, прикладной информатики, математического моделирования.

Научная новизна диссертационной работы заключается в построении метода компьютерного анализа устойчивости систем линейных ОДУ общего вида без преобразования правой части системы. Формируются схемы анализа устойчивости на основе матричных мультипликативных преобразований разностных методов численного интегрирования, что отличает метод от качественной теории дифференциальных уравнений. Помимо построения, отличие достигается в программируемое™ метода для систем линейных ОДУ в общем случае. Компьютерное моделирование, исходя из необходимых и достаточных условий, формируемых схемами анализа, позволяет однозначно определить характер устойчивости, неустойчивости либо асимптотической устойчивости систем линейных ОДУ.

Отличаясь по построению и по практической компьютеризации анализа устойчивости, предложенный метод опирается на методы качественной теории в процессе обоснования.

Предложенный метод учитывает специфику линейности, отличается единством программной конструкции и оценивается сравнительно малой временной сложностью.

Конкретно, научная новизна результатов может быть охарактеризована следующим образом:

1) Предложены программно реализуемые схемы анализа устойчивости систем линейных ОДУ общего вида без преобразования правой части системы. Схемы основаны на матричных мультипликативных преобразованиях методов численного интегрирования систем линейных ОДУ, отличаются от качественной теории по построению, в частности, тем, что для случая постоянной матрицы коэффициентов не требуют информации о характеристическом многочлене матрицы и его корнях.

2) Разработаны разновидности схем анализа устойчивости на основе методов Эйлера, Эйлера-Коши и Рунге-Кутта, достоверность оценок устойчивости повышается в соответствии с порядком точности методов численного интегрирования.

3) Дано математическое обоснование и выполнено исследование предложенных схем анализа устойчивости, опирающихся на необходимые и достаточные условия устойчивости систем линейных ОДУ общего вида. Теоретически и экспериментально установлена линейная граница роста погрешности разностных схем в условиях устойчивости с коэффициентом линейности, не зависящим от длины промежутка численного интегрирования.

4) Построена программная модель анализа устойчивости систем линейных ОДУ на базе предложенных критериев. Программа реализует циклические операции матричных мультипликативных преобразований разностных схем численного интегрирования. Показано, что замена бесконечного произведения из левой части преобразований на частичное произведение в процессе программирования сохраняет корректность и достоверность работы предложенных схем анализа устойчивости.

5) Выполнена апробация программной модели и проведен численный эксперимент для систем линейных ОДУ различных классов. Экспериментально показана практическая возможность достоверного компьютерного анализа устойчивости систем линейных ОДУ общего вида на основе предложенного подхода. Компьютерная реализуемость отличает предложенные схемы от методов качественной теории в практическом применении.

6) Предложенный подход позволяет выполнить компьютерный анализ устойчивости, одновременно найти разностное решение и моделировать накопление погрешности данного приближения решения систем линейных ОДУ, иллюстрируя совокупное отличие подхода от известных.

В приложении к решению технической задачи представлены следующие результаты.

1. Предложен метод программного анализа устойчивости синхронного генератора, работающего на сеть большой мощности. Анализ сводится к анализу систем линейных ОДУ с постоянной матрицей коэффициентов большой размерности до 288 х 288, включительно.

2. Метод реализуется на персональном компьютере в режиме реального времени, занимая для матриц размерности 100 х 100 менее 5 е., при этом сохраняется резерв повышения быстродействия за счет максимального параллелизма.

3. На основе предложенных критериев устойчивости с помощью оптимизационного алгоритма оценивается максимальное и минимальное отклонение системы ОДУ от устойчивого состояния при вариации одновременно четырех параметров.

4. Аналогичное решение оптимизационной задачи дано для линейных систем ОДУ с переменными коэффициентами.

Основные положения, выносимые на защиту:

1) Метод программного моделирования устойчивости систем линейных ОДУ на основе матричных мультипликативных преобразований разностных схем численного интегрирования, включающих необходимые и достаточные условия устойчивости.

2) Программируемые схемы анализа устойчивости систем линейных ОДУ с постоянной матрицей коэффициентов, отличающиеся экспоненциальным сокращением объема вычислений и не требующие информации о характеристическом многочлене матрицы и его корнях.

3) Программная модель анализа устойчивости, позволяющая однозначно устанавливать характер устойчивости системы линейных ОДУ с переменными и постоянными коэффициентами.

4) Метод одновременного компьютерного анализа устойчивости систем линейных ОДУ и разностного решения системы с контролем накопления погрешности.

5) Метод компьютерного анализа устойчивости синхронного генератора, работающего на сеть большой мощности, приводимый к анализу систем линейных ОДУ с постоянной матрицей коэффициентов большой размерности и реализуемый на персональном компьютере в режиме реального времени.

Практическая ценность диссертационного исследования заключается в прикладном характере разработанного метода анализа устойчивости, ориентированного на компьютерную реализацию. Метод применим для анализа устойчивости систем линейных ОДУ н систем приводимых к этому виду. Помимо программного выявления характера устойчивости, модель, реализующая метод, дает приближённое решение системы линейных ОДУ и моделирует погрешность полученного приближения. Таким образом, проведенное исследование дает основу для разработки компьютерной технологии практического анализа устойчивости систем рассматриваемого вида.

Внедрение и использование результатов работы. Полученные в работе результаты использованы в НИИ механики и прикладной математики им. И.И. Воровича при анализе устойчивости решения задачи о колебаниях оболочки вращения составной геометрии, контактирующей с жидкой средой; в госбюджетной НИР «Математические методы устойчивой параллельной обработки, поиска и распознавания», код ГРНТИ 28.23.15, регистрационный номер 01.2.00106436; в учебном процессе кафедры информационных систем Таганрогского государственного педагогического института в курсах «Численные методы», «Компьютерное моделирование», курсах специализации и практикуме решения задач на ЭВМ.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на 1-й международной научно-практической конференции «Текст в системе высшего профессионального образования» (Таганрог, ТГПИ, 2003 г.); Всероссийской научной конференции молодых учёных и аспирантов «Информационные технологии, системный анализ и управление» (Таганрог, ТРТУ, 2003 г.); V -Й научно-практической конференции преподавателей, студентов, аспирантов и молодых учёных Таганрогского института управления и экономики. (Таганрог, ТИУиЭ, 2004 г.); 1У-ом Российско-украинском научно-техническом

симпозиуме «Современные информационные технологии в науке, производстве и образовании» (Пенза, ПГСХА, 2004 г.); 10-й международной конференции «Математические модели физических процессов» (Таганрог, ТГПИ, 2004 г.); III -й Межрегиональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь XXI века — будущее российской науки» (Ростов-на-Дону, РГУ, 2005 г.); 11-й международной конференции «Математические модели физических процессов» (Таганрог, ТГПИ, 2005 г.).

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 11 печатных работ общим объёмом « 7 печатных листов.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, 3 глав основного раздела, списка литературы и 4 приложений. Основное содержание работы изложено на 154 страницах, включая список литературы из 118 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность проблемы, обозначены цели и методы исследования, сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

Представлен обзор основных методов анализа устойчивости систем ОДУ.

Постановка задач диссертации выполнена исходя из представленных в обзоре методов.

В первой главе предлагается подход к решению задачи анализа устойчивости, основанный на разностном решении системы линейных ОДУ. Это влечет возможность сконструировать компьютерный метод оценки устойчивости по Ляпунову. Метод формирует матричные мультипликативные критерии устойчивости, компьютерное моделирование которых влечет однозначное определение характера устойчивости, неустойчивости либо асимптотической устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений.

Рассматривается задача Коши для системы линейных ОДУ

"f-«'* с»

где У— вектор-функция, координаты которой — искомые функции yi,y2^"*y» от независимой переменной /; A(t) - матрица коэффициентов, пх п. Её элементы - функции одной независимой переменной; У(/0) = Г0 - заданный начальный вектор. Используется ка-

ионическая норма матрицы | А | = шах ^ | aik | и согласованная с ней норма вектора |Г|| = тахЬА|.

lstsn

Предполагается, что для (1) выполнены все условия существования и единственности решения на [/0, оо ). Эти же условия предполагаются для каждого элемента множества

возмущённых решений У = Y(t), соответствующих возмущённому начальному вектору

К(/0) = У0, по крайней мере для некоторого 8 > 0 и любых У0, таких что

. (2)

Требуется исследовать решение задачи (1) на устойчивость в смысле Ляпунова. Исследование проводится для множества R всех решений задачи (1) при ограничениях (2),—

*:{/0</<со; У<0,Г<|): \Y0-Y0\\iS}. (3)

Первоначально матричные мультипликативные критерии устойчивости конструируются на основе метода Эйлера, который для приближённого решения системы (1) записывается в виде

YM=tE + hAiO)Y,. (4)

При любом t = const, /е[/0,«>), h и i всегда предполагаются связанными следующими соотношениями:

' = ',»> A = %:=rL> / = 0,1,.... (5)

/ +1

Для возмущённого решения системы (1)

Гм=(Е + ИАи,))Г„ (6)

где У(/0) = У0, Y0 из (2), ) не выводит из множества Л, в частности, Y(t) удовлетворяет (3).

Соответствующие (4), (6) точные решения представляются в форме метода Эйлера с остаточным членом на каждом шаге:

гДе Он Q ~ векторы остаточных членов.

Предполагается, что для (1) выполнены следующие ограничения:

1) Каждый элемент матрицы A(t) представляет собой функцию, которая определена, непрерывна и дифференцируема по t на полуоси [/„, да).

2) Матрица A(t) равномерно ограничена на полуоси по норме:

| с = const для V/e[r0, »).

3)|440+^(0hIn0Nc1,|440+^I(0|><lF(0|scl,c1==coiist для vre[/0,«>) при всех Y(t), ДО принадлежащих R из(3).

В данных предположениях построение матричных мультипликативных критериев устойчивости выполняется следующим образом. Из (7)

+ (8)

где Qei =Qt -Qn I Qe, J < c,A:. Рекуррентное преобразование (8) влечёт

^f+i — Yf* i

где

<-0

Справедлива лемма.

Лемма 1. В рассматриваемых условиях имеет место соотношение в частности,

limZ,, =0. (10)

Предельный переход в равенстве (9) при V/ из (5) влечет

(«О

Стремление А к нулю равносильно стремлению / к бесконечности, с учётом (10),

<»0

На основании последнего равенства следующая теорема представляет матричные мультипликативные критерии устойчивости.

Теорема 1. Для того чтобы решение задачи (1) было устойчиво, необходимо и достаточно выполнение неравенства

НшП (E + hA(i^))

< с, = const

(П)

для V/ е [/„, оо ). Решение асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда выполнено (11) и, кроме того, выполняется соотношение

(»0

(12)

при / —> СО.

Таким образом, для систем линейных ОДУ получены матричные мультипликативные критерии устойчивости и асимптотической устойчивости на основе метода Эйлера.

Значение критериев в том, что они позволяют определить характер устойчивости систем линейных ОДУ без представления решения в аналитической форме, непосредственно по значениям разностных приближений.

Мультипликативная форма выражений под знаком предела в левой части предоставляет возможность запрограммировать вычисление этих выражений в виде цикла по числу матричных сомножителей. Это влечет возможность компьютерного анализа устойчивости по характеру ограничения значений нормы текущего произведения матриц из левой части (II), (12).

Аналогичные критерии строятся на основе методов Эйлера-Кош и и Рунге-Кутта.

Метод Эйлера-Кош и разностного решения системы (1) имеет вид

Ум=(Е + ^(А(О+А0;+!гКЕ + ИАМ)))Г„ / = 0,1.....

Отсюда, по аналогии с (9),

/.о

*-1 «.О -ь

В главе показано, что при дополнительных ограничениях, оговоренных в диссертационной работе, - 0(А3) и Л, = О (А2). Отсюда НтЛ, = б.

Л—И)

Критерии устойчивости и асимптотической устойчивости решения задачи (1) на основе метода Эйлера-Коши, соответственно, примут вид

I (-ко /.0 |

для V/ е[|0> да) и

| ^„о £

при / —> оо.

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка разностного решения задачи (1) представляется равенством

где

АО,+

Разность между возмущённым и невозмущённым решением системы (1) преобразуется к соотношению

¿>0

I i-m

где Д -ЕП^^^^+^+^^мн+^м

и-] /»О О

На этой основе критерии устойчивости и асимптотической устойчивости решения задачи (1) примут вид:

ИтП<£ + + 2Р»-<+ 2Р»-< +

< с3 = const

для V/e[/0, оо ) И

Нт П ( Е +1 + 2Ра w + 2Рu_t + Л,.,) ) В О

/«о

при / —> оо.

Значение данных критериев в том, что они наряду с (11), (12) создают предпосылки компьютерного анализа устойчивости систем линейных ОДУ. При этом использование данных критериев обеспечивает более высокую достоверность в силу улучшения оценки погрешности от отбрасывания остаточных членов.

В главе представлена апробация программной модели критериев устойчивости на основе метода Эйлера, иллюстрирующая и подтверждающая достоверность предложенных критериев.

Предложенные критерии устойчивости систем линейных ОДУ отличаются от известных по построению на основе разностных схем численного интегрирования, а также по вытекающему из построения способу программной реализации.

Матрица А в (1) может быть постоянной. В этом частном случае предложенные критерии отличаются тем, что не требуют информации о характеристическом многочлене матрицы и о его корнях.

Если А - матрица постоянных коэффициентов, критерии (11), (12), соответственно, примут вид

lim П (£+ hA ) I ¿С, C=const, lim НтП(£+ hA) = б.

(-♦« » - 1 t в Ms » f

i-0

(»0

В этом случае работа программы ускоряется: процесс умножения матриц сводится к возведению в квадрат текущего значения частичного произведения, при этом взамен левой

части критериев вычисляется (Е+ НА)2 ,

В общем случае представленный метод позволяет оценивать устойчивость одновременно с получением разностного решения. На основе материала второй главы этот процесс совмещается с моделированием накопления погрешности.

Во второй главе выясняется как влияет на достоверность сконструированных критериев необходимая для программной реализации замена бесконечных произведений произведением начальных сомножителей в произвольно фиксированном количестве (замена бесконечных произведений частичным произведением). Оценивается влияние погрешности разностной схемы на достоверность представленных критериев.

Кроме того, исследуется обратная зависимость - влияние устойчивости на асимптотическое накопление погрешности разностного метода решения.

Для простоты рассматриваемый анализ выполняется для случая одного уравнения вида

(13)

[у( 0 = .>v

где у - искомая функция от /е[*0, оо); a(t) — функция, зависящая только от /;

/о ) = yQ _ начальное условие. Общие предположения, данные для (1), переносятся на случай (13),

По аналогии с (9)

I

где

<-0

t t-k

¿•I /«о

При этом L0i-0{h)y в частности, limZ,0, =0.

Критерии (11), (12) преобразуются к виду

НтПО + АаС«))

(-+*> (mû

<> си = const V/ € [/„, 00 )

(14)

и

ШпПО + А*^)) (-0

при / —> СО.

Исследуется достоверность рассматриваемых критериев устойчивости при замене предельных значений в (14), (15) на конечное значение i. Пусть

л-По+М'м».

г.о

В главе показано, что если найдется i0 = const, такой что для всех i > г0 выполнено

ИИ = c<>nst е ['о» 00 )»

то решение задачи (13) устойчиво.

Доказано, что при любом выборе Т = const, Ге[г0,®) на промежутке [/0, Г] имеет место равномерная сходимость

Р,(Уо-Уо) ППшЛС^о-^о)» V/e[i0,7*]

при / оо. Кроме того, для V^>0 найдётся /0 = /0(7\ у0Уг ), такое что

Л-НшЛ

йе V/ е [/0, Т] л V/>/0.

На основании этих утверждений делается вывод, что замена бесконечного произведения из левой части предложенных критериев устойчивости на достаточно большое конечное число сомножителей позволяет сохранить достоверность критериев. Вывод рассматривается как обоснование возможности практической программной реализации предложенных критериев устойчивости. Эти рассуждения применяются к случаю системы (1), переносятся на матричную форму мультипликативных критериев устойчивости и в такой трактовке используются при интерпретации результатов программного моделирования.

На этой основе в главе 3 и отчасти в главе 2 строится практический программный анализ устойчивости систем линейных ОДУ.

Далее в главе 2 исследуется зависимость критериев от погрешности приближенного решения. Это необходимо, поскольку в конструкцию сомножителей мультипликативных критериев в неявной форме входят разностные приближения (влияние проявляется с очевидностью, если принять во внимание остаточные члены приближения на каждом шаге).

Для этой цели разность между приближенными значениями возмущённого и невозмущённого решений задачи (1), полученными на основе метода Эйлера, записывается в виде

<»0

Точное значение разности между возмущённым и невозмущённым решением представляет равенство (9). Отсюда и из (9)

Разность между значением возмущения и его разностным приближением на основе метода Эйлера имеет порядок 0(A). Такую же оценку получает разность между соответственными выражениями матричных мультипликативных критериев. Это трактуется как обоснование возможности достоверно выполнять программное моделирование предложенных критериев устойчивости в случае реализации на основе метода Эйлера.

Для методов Эйлера - Коши и Рунге - Кутга имеют место аналогичные оценки соответственно более высокого порядка:

| < ii*. - ) - с fi^« - |=ос*a >. | (- п., > - < - ^»м) |« A" >.

Поэтому для программного моделирования предложенных критериев целесообразно использование данных методов. Компоненты критериев устойчивости, неявно включающие величины возмущений, будут вычисляться с существенно большей точностью, чем на основе метода Эйлера. Необходимо принять во внимание, что достигаемое уточнение значений критериев повлечет замедление программного анализа по причине возрастания сложности вычислений на каждом шаге разностной схемы.

В дополнение к анализу влияния разностных схем на критерии устойчивости исследуется влияние устойчивости на накопление погрешности метода Эйлера. Исследование проводится для случая (13). В этом случае разность между точным решением и его приближением по методу Эйлера имеет вид

_ I i-k

где £0( + ha{tt_t))qk^x + qt, q, погрешность метода Эйлера на шаге.

Предполагается, что разность между возмущённым и невозмущённым решением задачи (13) равномерно отделена от нуля на всей полупрямой. В этом предположении доказано неравенство 0 < S ^ | Р)-к с, с = const, д = const, на основе которого оценка погрешности метода Эйлера в условиях устойчивости приводится к виду:

\Ум~Убм \iq(t-t0)h+O(h2),q = comt.

Оценка означает, что при оговоренных ограничениях погрешность метода Эйлера в условиях устойчивости растёт не более чем линейно по длине промежутка с коэффициентом линейности, не зависящим от длины промежутка.

Таким образом, условия устойчивости качественно меняют характер накопления погрешности в сторону улучшения, по крайней мере для случая линейных ОДУ. Этого достаточно, чтобы, опираясь на медленный рост погрешности, выполнять программное моделирование асимптотического поведения решений на промежутках большой длины. В частности, это относится к программному моделированию матричных мультипликативных критериев устойчивости систем линейных ОДУ.

Оценка отличается от известных оценок погрешности разностных схем в условиях общего вида абсолютным значением константы q.

Совокупность представленных в главе оценок обосновывает корректность программного моделирования критериев устойчивости на основе разностных схем приближенного решения систем линейных ОДУ. Непосредственно такому моделированию посвящена глава 3.

В третьей главе построена программная модель анализа устойчивости систем линейных ОДУ на основе матричных мультипликативных критериев. Базовая программа единообразно реализует циклические операции критериев, при этом бесконечное произведение из левой части критериев приближённо реализуется в форме частичного произведения с помощью разностных схем. Результатом ее работы является вывод нормы матрицы значения частичного произведения на текущем шаге. По характеру поведения этой нормы можно делать вывод об устойчивости, неустойчивости либо асимптотической устойчивости исследуемых систем линейных ОДУ. Неограниченный рост нормы означает неустойчивость, её ограниченность соответствует устойчивости, её убывание к нулю характеризует асимптотическую устойчивость (рис. 1).

Рис. 1. Интерпретация устойчивости систем линейных ОДУ

На основе численного эксперимента установлены границы числовых параметров, при которых сохраняется достоверность программного моделирования устойчивости по предложенным критериям. В частности, было установлено, что программная модель с диапазоном промежутка от [0,100] до [0,10000] разностного решения линейной системы ОДУ и при длине шага от | И \ = 10"7 до | к ) = 10"* достоверно выявляет характер

устойчивости произвольной системы данного класса по предложенным критериям.

В случае установления таких границ в качестве параметров программной модели она достигает качества инвариантности относительно вида правой части системы, величины шага и длины промежутка интегрирования. Кроме того, модель оказывается инвариантной относительно разностных схем приближённого решения системы.

Данные качества инвариантности сконструированной модели позволяют достоверно моделировать устойчивость произвольных систем линейных ОДУ на основе произвольных разностных методов в сравнительно широком диапазоне изменения числовых параметров.

Представленные трактовки асимптотического поведения решения, строго говоря, следует считать близкими к достоверным в содержательном смысле. Компьютерное моделирование не может полностью формально заменить математическое исследование характера устойчивости, оставляя окончательное решение проблемы за качественной теорией. Вместе с тем на практике в рамках широкого программного и численного эксперимента разработанная схема программного моделирования устойчивости систем линейных ОДУ всегда приводила к исчерпывающе достоверной оценке характера устойчивости.

Ниже приводятся некоторые примеры компьютерного анализа устойчивости систем линейных ОДУ. Для системы

(Л/ = .Х5т/ + >'С08/,

У =-лхоб/+ уэт/ общее решение в аналитическом виде записывается следующим образом:

* = (с, соб^ш /) + с2 51п($ш /)) ехр(- соэ /), у = {-с1 эт^т/) + с2 со5(зт /)) ехр(- соэ/). Нулевое решение этой системы устойчиво, но не асимптотически, - как слева, так и справа, в силу ограниченности решения на [г0, со] и на [— оо,

Таблица 1.

Результаты программного анализа устойчивости на [0,100]

Значение аргумента 1 0 10 20 30 40 50 60 70 ео 90 100

Значение нормы произведения ¡я,! 1 8.63 2.53 3.22 7.48 1.26 8.83 2.04 4.19 5.98 1.56

Результат состоит в не возрастании нормы на достаточно большом промежутке. В соответствии с критерием (11) это соответствует тому, что решение системы устойчиво справа. При исследовании устойчивости слева результат практически идентичен предыдущему и соответствует устойчивости слева.

Известно, что решение системы

1

х = -х + у-

1+/

2 »

У = -дс

1

1 + Г

—у

асимптотически устойчиво справа и неустойчиво слева. Результат программного моделирования достоверно иллюстрирует это утверждение.

Таблица 2.

Результаты программного анализа устойчивости на [0,100]

Значение аргументе 0 20 40 60 80 100

Значение нормы произведе- -И 1 2.1Е-9 4.3Е-18 8.9Е-27 1.8Е-35 3.7Е-44

Убывание нормы к нулю с ростом / в соответствии с критериями (11), (12) означает асимптотическую устойчивость решения справа.

При убывании аргумента наблюдается неограниченный рост значений нормы частичного произведения, что является признаком неустойчивости слева.

Таблица 3.

Результаты программного анализа устойчивости на [-100,0]

Значение аргумента I 0 -20 -40 -60 -80 -100

Значение нормы произведе- — И 1 5Е+8 2.4Е+17 1.1Е+26 5.6Е+34 2.7Е+43

В целом в главе 3 проведен объемный численный и программный эксперимент, результаты компьютерного анализа устойчивости рассмотренных систем линейных ОДУ, полученные на основании программного моделирования представленных критериев, оказались в полном соответствии с устойчивостью, неустойчивостью, асимптотической устойчивостью этих решений. На этой основе предложенный метод можно рассматривать в качестве базовой компонентой компьютерного анализа устойчивости по Ляпунову систем линейных ОДУ с использованием описанной программной модели. При этом предложенный метод в рамках представленной в главе модели позволяет выполнить компьютерный анализ устойчивости, одновременно найти разностное приближение решения и промоделировать накопление погрешности данного приближения.

В главе детально рассмотрен частный случай систем линейных ОДУ с постоянной матрицей коэффициентов. В этом случае предложенные критерии позволяют выполнить компьютерный анализ устойчивости без построения характеристического многочлена и без информации о корнях этого многочлена. По сравнению с случаем переменной матрицы коэффициентов достигается экспоненциальное ускорение анализа устойчивости за

счет вычисления частичного произведения в виде ]"}(£+ к А) путем логарифмического

го количества умножений матрицы на себя. При этом очевидна возможность распараллеливания схемы на основе естественного параллелизма матричных операций. Наконец специфика данного случая позволяет выполнять достоверный анализ в расширенном диапазоне шага, включая А = 10~14.

Отмеченные особенности существенно отличают предложенный подход от известных, в том числе, аналитических методов анализа устойчивости.

В проведенных экспериментах использовались различные разностные схемы, включая методы Эйлера, Эйлера-Коши, Рунге-Кутта и Адамса. Во всех случаях наблюдалась достоверная оценка устойчивости систем линейных ОДУ на основе матричных мультипликативных критериев в рамках предложенной схемы программного моделирования.

В заключении обобщаются основные результаты диссертационной работы, сжато характеризуется их научная новизна, отмечается теоретическая и практическая значимость проведенных исследований.

В приложении приводятся коды программ, результаты численных экспериментов, прилагаются акты о внедрении результатов диссертационной работы.

В приложении к решению технической задачи моделируется устойчивость синхронного генератора, работающего на сеть большой мощности. Устойчивость оценивается для систем линейных ОДУ с постоянной матрицей коэффициентов размерности до 288 х 288, включительно. Анализ выполняется на персональном компьютере класса Pentium 4 в режиме реального времени, занимая для матриц размерности 100 х 100 менее 5 е.. Возможно повышение быстродействия за счет максимального параллелизма.

Таблица 4,

Время программного анализа устойчивости систем большой размерности

Раэмеиость матрицы 9x9 18x18 36x36 72x72 144x144 288x288

Врем« выполнения программного анализа 0.1 сек. 0.3 сек. 1 сек. 3 сек. 7 сек. 60 сек.

Дальнейший резерв ускорения заключается в использовании компьютеров с повышенной тактовой частотой и языков программирования с быстродействующим компилятором. Существует возможность адаптации программы к параллельной вычислительной системе. Ядро программного анализа устойчивости включает лишь умножение текущей матрицы самой на себя. С учетом естественного параллелизма этой операции временная сложность рассматриваемого анализа в максимально параллельной форме без учета обмена составит

Эта оценка означает, что данные в табл. 4 оценки времени за счет параллелизма могут, быть ускоренны в 0(п%/\о%2 п). В частности, при и = 288 ускорение достигает величины порядка ~х107.

Таким образом, представленная схема анализа устойчивости обладает существенным быстродействием.

Помимо того, в приложении на основе предложенных критериев устойчивости с помощью оптимизационного алгоритма оценивается максимальное и минимальное отклонение системы линейных ОДУ от устойчивого состояния для случая вариации одновременно четырех параметров. Для этих отклонений в режиме реального времени выполняется компьютерная проверка устойчивости системы.

Основной результат диссертационной работы заключается в разработке компьютерного метода анализа и моделирования устойчивости системы линейных ОДУ без использования преобразований правой части системы.

Работа включает следующие научные результаты.

1. Сконструированы программируемые схемы анализа устойчивости систем линейных ОДУ на основе матричных мультипликативных преобразований методов численного интегрирования, включая методы Эйлера, ЭЙлера-Коши, Рунге-Кутта и Адамса. Схемы опираются на необходимые и достаточные условия, позволяющие дать оценку устойчивости и асимптотической устойчивости в общем случае для систем ОДУ рассматриваемого класса.

2. Доказано, что замена предельных значений выражений в схемах анализа устойчивости систем линейных ОДУ на их конечные приближения, необходимая в процессе программирования, не искажает достоверность программной реализации предложенных схем анализа устойчивости.

3. Теоретически и экспериментально показано, что погрешность разностных схем решения систем линейных ОДУ в условиях устойчивости растет не более чем линейно с коэффициентом линейности, не зависящем от длины промежутка численного интегрирования. Таким образом, возможно программное моделирование матричных мультипликативных критериев на основе разностных схем без искажения их достоверности.

4. Построена программная модель анализа устойчивости систем линейных ОДУ, инвариантная относительно правой части системы, разностных схем приближённого решения системы и относительно числовых параметров из экспериментально устанавливае-

, мого диапазона значений.

5. Проведен численный и программный эксперимент в условиях меняющихся значений числовых параметров модели и установлены границы параметров, при которых сохраняется достоверность моделирования устойчивости по матричным мультипликативным критериям. Устойчивость работы запрограммированных критериев в установленном диапазоне параметров позволяет рассматривать предложенный метод как основу для разработки компьютерной технологии анализа устойчивости систем линейных ОДУ.

6. В приложении к решению технической задачи моделируется устойчивость синхронного генератора, работающего на сеть большой мощности. Анализ устойчивости сводится к оценке устойчивости систем линейных ОДУ с постоянной матрицей коэффициентов размерности до 288 х 288, включительно. Анализ выполняется на персональном компьютере в режиме реального времени, занимая для матриц размерности 100 х 100 менее 5 е., при этом возможно повышение быстродействия за счет максимального параллелизма.

7. На основе предложенных схем анализа устойчивости с помощью оптимизационного алгоритма в приложении оценивается максимальное и минимальное отклонение системы линейных ОДУ от устойчивого состояния для случая вариации одновременно четырех параметров.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ РАБОТЫ

11 Ромм Я.Е., Буланов С.Г. Итерационные критерии устойчивости решений задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений на основе разностных приближений по методу Эйлера / ТГПИ - Таганрог. - 2003. - 15 с. ДЕП в ВИНИТИ 18.06.03, № 1176 -В2003.

2. Ромм Я.Е., Буланов С.Г. Мультипликативные критерии устойчивости решений задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений на основе метода Эйлера // Материалы 1-й международной научно-практической конференции «Текст в системе высшего профессионального образования».-Таганрог.-ТГПИ -2003.— С. 189-190.

3. Ромм Я.Е., Буланов С.Г. Итерационные критерии устойчивости решений задачи Коши для систем линейных дифференциальных уравнений на основе разностных приближений по методу Эйлера / ТГПИ - Таганрог. - 2003. - 18 с. ДЕП в ВИНИТИ 11.09.03, № 1671 -В2003.

4. Буланов С.Г. Мультипликативные критерии устойчивости решений задачи Коши для систем линейных дифференциальных уравнений на основе метода Эйлера // Тезисы

докладов Всероссийской научной конференции «Информационные технологии, системный анализ и управление». - Таганрог. - ТРТУ - 2003. - С. 33 - 36.

5. Ромм Я.Е., Буланов С.Г. Итерационные критерии устойчивости решений задачи Коши для систем линейных дифференциальных уравнений на основе разностных приближений по методам Эйлера-Коши и Рунге-Кутта / ТГПИ - Таганрог. - 2004. - 41 с. ДЕП в ВИНИТИ 13.01.04, № 48 - В2004.

6. Ромм Я.Е., Буланов С.Г. Моделирование мультипликативных критериев устойчивости решений задачи Коши для систем линейных дифференциальных уравнений // Сборник докладов V -й научно практической конференции. - Т. II.- Таганрог. - Изд-во ТИУиЭ. - 2004. - С. 114 - 117.

7. Ромм Я.Е., Буланов С.Г. Анализ устойчивости решения задачи Коши для систем линейных дифференциальных уравнений на основе метода Эйлера // Сборник материалов международной научно-технической конференции «Современные информационные технологии в науке, производстве и образовании». - Пенза. - РИО ПГСХА - 2004. - С. 102-104.

8. Буланов С.Г., Заика И.В., Катрич С.А., Ромм Я.Е. Моделирование критериев устойчивости и определение экстремальных значений решений дифференциальных уравнений на основе разностных схем при помощи сортировки // Сборник научных трудов 10-й международной конференции «Математические модели физических процессов». - Таганрог. - ТГПИ - 2004. - С. 156-163.

9. Ромм Я.Е., Буланов С.Г. Программные критерии устойчивости решения задачи Коши для систем линейных дифференциальных уравнений на основе разностных схем численного интегрирования // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. Специальный выпуск «Математическое моделирование и компьютерные технологии». - 2004. - С. 75 - 80.

10. Буланов С.Г. Погрешность метода Эйлера в условиях устойчивости // Сборник научных трудов 11-Й международной конференции «Математические модели физических процессов». - Т. I. —Таганрог. - ТГПИ - 2005. - С. 221 -225.

11. Буланов С.Г. Моделирование критериев устойчивости решений линейных систем дифференциальных уравнений // Тезисы докладов III Межрегиональной научно-практической конференции «Молодежь XXI века - будущее Российской науки». — Ростов-на-Дону, - Изд-во ООО «ЦВВР». - 2005. - С. 23-24.

Личный вклад автора в публикациях, написанных в соавторстве, состоит в следующем: [1, 2, 6, 7] - конструирование матричных мультипликативных критериев устойчивости на основе разностных схем численного интегрирования; [3, 5, 8] - исследование зависимости достоверности критериев от замены их предельных выражений на конечные приближения, программная модель анализа устойчивости систем линейных ОДУ; [9] -метод компьютерного анализа устойчивости систем линейных ОДУ.

Соискатель

Буланов С.Г.

Тип. ТРТУ Заказ № 299 тир. 100 экз.

Введение.

Глава 1. Матричные мультипликативные критерии устойчивости на основе разностных приближений решений-систем линейных ОДУ с переменными-коэффициентами.

1.1. Матричные мультипликативные критерии устойчивости систем линейных ОДУ на основе метода Эйлера.

1.2. Матричные мультипликативные критерии устойчивости систем линейных ОДУ на основе метода Эйлера-Коши.

1.3. Матричные мультипликативные критерии устойчивости систем линейных ОДУ на основе метода Рунге-Кутта.

1.4. Программная иллюстрация работы матричных мультипликативных критериев устойчивости систем линейных ОДУ на основе метода Эйлера

1.5. Выводы.

Глава 2. Зависимость мультипликативных критериев устойчивости от погрешности разностных схем численного интегрирования.

2.1. Мультипликативные критерии устойчивости в случае одного уравнения

2.2. Мультипликативные критерии устойчивости с конечным числом сомножителей

2.3. Зависимость мультипликативных и матричных критериев устойчивости от замены точного решения на разностное приближение по Эйлеру.

2.4. Влияние на приближение возмущений систем линейных ОДУ порядка разностных схем.

2.5. Оценка накопления погрешности метода Эйлера в условиях устойчивости

2.6. Программное моделирование погрешности метода Эйлера в условиях устойчивости.

2.7. Выводы.

Глава 3. Программное моделирование матричных мультипликативных критериев устойчивости систем линейных ОДУ и численный эксперимент.

3.1. Программная модель матричных мультипликативных критериев устойчивости систем линейных ОДУ на основе метода Эйлера.

3.2. Численный эксперимент по моделированию устойчивости-систем-линейных ОДУ с помощью матричных мультипликативных критериев на основе метода Эйлера.

3.3. Программная модель матричных мультипликативных критериев устойчивости систем линейных ОДУ на основе разностных схем Эйлера - Коши и Рунге - Кутта.

3.4. Численный эксперимент по моделированию устойчивости с помощью матричных мультипликативных критериев на основе методов Эйлера - Коши и Рунге - Кутта.

3.5. Исследование качества работы программной модели при меняющихся значениях числовых параметров.

3.6. Совмещение компьютерного моделирования устойчивости систем линейных ОДУ с приближённым решением и моделированием погрешности

3.7. Матричные мультипликативные критерии устойчивости для систем линейных ОДУ с постоянной матрицей коэффициентов.

3.8. Выводы.

Актуальность проблемы. Исследование устойчивости по Ляпунову (ниже устойчивости) - предмет качественной теории дифференциальных -уравнений. -------------

Трудоемкий анализ с учетом математических особенностей конкретной системы необходимо выполнять в механике, физике, теории автоматического регулирования, теории сложных систем, в других областях теоретических и прикладных исследований.

Устойчивость движения твёрдого тела, спутников и гироскопических систем рассматривалась Н.Г. Четаевым [1, 2], В.В. Румянцевым [3, 4] и другими [5-7]. Вопросы смены устойчивости, бифуркации систем твердых тел исследовались в работах П.А. Кузьмина [8], А.Ю. Ишлинского [9], В.Ф. Журавлёва [10]. Устойчивость вихревых дорожек в жидкости, равновесия гибкой нити изучались Г.В. Каменковым [11], П.А. Кузьменым [12]. Устойчивость твёрдых тел с жидким наполнением рассматривались Н.Г. Четаевым [13], Ф.Л. Черноусько [14]. Устойчивость движения тел переменной массы М.Ш. Аминовым [15], А.С. Галиуллиным [16]. Устойчивость тел и гироскопических систем с упругими элементами В.Н. Рубановским [17], В.В. Румянцевым [18], устойчивость орбитальных систем с упругими конструкциями -М.К. Набиуллиным [19]. Неустойчивость равновесия консервативных систем исследовалась A.M. Ляпуновым [20], Н.Г. Четаевым [13].

Методы качественной теории устойчивости в применении к теории катастроф, теории бифуркаций и теории особенностей развиты В.И. Арнольдом [21-23].

Методы качественной теории устойчивости в контексте синергетиче-ского подхода представлены в работах А.А. Колесникова [24-26], применительно к анализу и синтезу систем автоматического управления - в работах А.Р. Гайдука [27-30].

Развитие направления работ Н.Г. Четаева в области теории устойчивости и её применений в механике представлено в работах В.М. Матросова [31,

Анализ устойчивости механических систем и их приложений в небесной механике и космодинамике представлен работами А.П. Маркеева, Г.В. Горра, А.А. Илюхина [33-35]. ------------

В общем случае математические модели поведения динамических систем самого различного вида - от моделей движения механических объектов и функционирования механических, гидромеханических, электромеханических устройств до моделей развития экономики в целом и её частей - сводится к системе дифференциальных уравнений вида rlY = F(Y,t,a,u), (1) dt где Y, и - векторы фазовых переменных и управляющих воздействий; а -набор параметров, определяющих структуру и внутренние характеристики рассматриваемой системы [36].

Для этой системы обыкновенных дифференциальных уравнений (далее ОДУ) в нормальной форме могут ставиться и решаться различные задачи: исследование множества возможных решений; оценка вторичных показателей - функционалов от этих решений и их оптимизация; влияние на эти показания отдельных параметров; оптимальное управление решениями, в первую очередь - оптимальное быстродействие;

Одной из наиболее важных задач является обеспечение устойчивости решения - близость возмущённого решения к исходному при малых возмущениях начальных данных.

Одним из основных подходов к решению задачи устойчивости является первый метод Ляпунова, который заключается в переходе от системы уравнений (1) к линеаризованной системе = A(t)Y + b (2) dt в каком-то смысле близким к исходной, и исследованию устойчивости решения системы (2).

Первый метод Ляпунова распространён на задачи нелинейной теории колебаний и аналитической теории дифференциальных уравнений, получил широкое применение в задачах механики, физики и техники [37]. Вместе с классическими методами- Аг Пуанкаре в небесной механике первый метод Ляпунова развит в фундаментальных трудах Н.Н. Боголюбова, Н.М. Крылова [38, 39], И.Г. Малкина, Ю.А. Митропольского [40, 41], Б.Ф. Былова, Р.Э. Винограда, Д.М. Гробмана, В.В. Немыцкого [42], Н.П. Еругина [43] и других [44-47].

Мощным инструментом анализа устойчивости решения непосредственно системы (1) является метод функций (второй метод) Ляпунова [48-51]. Функции Ляпунова используются в решении задач стабилизации и аналитического конструирования оптимальных регуляторов [52-54]; в задачах стабилизации для систем с запаздыванием [55], оптимального демпфирования переходных процессов [56], синтеза адаптивного управления [57], слабой инвариантности динамических систем и синтеза стратегий терминального управления [58]. Кроме этого второй метод Ляпунова используется при исследовании устойчивости химических процессов, устойчивости упругих летательных аппаратов, процессов в авиационных двигателях, в жидкости, в газе, в плазме [59, 60], процессов горения в жидкостных ракетных двигателях [61], процессов движения жидкости при постоянно действующих возмущениях [62], маг-нитно-гидро-динамических процессов [63].

Основные понятия и методы анализа устойчивости решения систем ОДУ можно характеризовать следующим образом.

1. Основные понятия теории устойчивости

1.1. Устойчивость в смысле Ляпунова. Рассмотрим нормальную систему ОДУ d^- = fi{t,yv.,yn) 7=1,.,и, (3) at где t - независимое переменное (время); у,,.,у„ - искомые функции; /у -функция, определённая в некотором полуцилиндре: z=i*xDy, /; = {-оо<*<+оо}, Dy - открытая область действительного n - мерного пространства. В матрично-векторном обозначении система (3) примет вид dy clt

Л*>У\>->У«) где Y = clY clt F(tJ) = У dy

У,) dt

Предполагается, что вектор-функция F(t,Y) непрерывна в области Z по независимой переменной t и имеет непрерывные частные производные первого порядка по зависимым переменным уу„.

Действительная вектор-функция Y = Y(t) непрерывная и непрерывно дифференцируемая, определённая в некотором интервале (а,6)с/(+ и удовлетворяющая при a <t <Ь системе (4) называется её решением.

В этих условиях справедлива теорема Коши [64-67]: для каждой системы значений (t0,Y0)eZ существует единственное решение системы (4): опредёлённое в некотором интервале (tQ-A, t0 + В) а (-со,+со) и удовлетворяющее начальному условию: Y(t0) = Y0, т.е. однозначно разрешима соответствующая задача Коши.

Иначе говоря, в области Z = /,+ х R" существует единственная интегральная кривая Y = Y(t) системы (4), проходящая через точку M0(t0,Y0).

Решение р = cp(t) (a <t <<х>) системы (4) называется устойчивым по Ляпунову [20] при t -»+со, если для любых е > 0 и t0e(a, со) существует 5 = 5(е, tQ) > 0 такое, что

1) все решения Y = Y(t) системы (4) удовлетворяющие условию

Y = Y(t) (tQ - A <t <tQ + В; А>0, В >0),

Y(t0)-<p{t0)\\<5, определены в промежутке t0 < t < оо.

2) для этих решений справедливо неравенство \Y{t)-(p{t)\<e При t0 <t <00.

Если число с) > 0 можно выбрать не зависящим от начального момента tg е Т, т.е. S = S(e), то устойчивость называется равномерной в области Т.

Решение ср = <p(t) (a <t <од) системы (4) называется неустойчивым по Ляпунову, если для некоторых е > 0, t0 е (а, <х>) и любого 8 > 0 существует решение Ys(t) и момент tx =t](S)>t0 такие, что ys{t0)-(p{t0)\<5 и

Решение ср = <p(t) (a <t <<х>) системы (4) называется асимптотически устойчивым при t -> да если:

1) это решение устойчиво по Ляпунову.

2) для любого t0 е (а, оо) существует Д = A(t0) > 0 такое, что все решения Y = Y(t) (tQ<t<оо), удовлетворяющие условию ||7(f0)-^(^0)||<А, обладают свойством im\Y {t)-cp(t) 11 = 0. (5)

Если решение ср = cp{t) {a <t <оо) асимптотически устойчиво при t -> ш и все решения 7 = 7(0 ( t0<t <оо, t0>a) обладают свойством (5), т.е. А = оо, то решение <p(t) называется асимптотически устойчивым в целом.

Необходимо отметить, что в определениях Ляпунова сравниваются два решения одной и той же системы уравнений. На практике представляет значительный интерес выявление вопроса о том, насколько изменится решение системы уравнений при вариации её правой части, поскольку всегда в действительности на описываемую систему действуют силы, учесть которые при составлении уравнений попросту невозможно.

1.2. Устойчивость в смысле Лагранжа. Систему (4) будем считать устойчивой по Лагранжу [68, 69], если

1) каждое решение Y(t;t0,Y0), где tQ е /,+ имеет смысл при t0 < t < со.

2) I Y(t; г0,70)|| ограничена на [f0,oo).

Для того чтобы система (4) была устойчива по Лагранжу, необходимо и достаточно, чтобы в /(+ xR" существовала функция V(t,Y) такая, что

1) V(t,Y)>W(Y), где Ж(У)^'оо"при'|]у||->оо-;

2) для каждого решения Y(t,t0,Y0) функция V(t,Y(t;t0,Y0)) была невоз-растающей относительно переменной t.

1.3. Орбитальная устойчивость. Для простоты будем считать, что система (4) автономна = F(Y). (6) clt

Совокупность точек L = {Y(t)\t е(а,Ь)} фазового пространства R" называется траекторией решения.

Множество точек L+ = {Y(t): t0 <t <°o} называется положительной траекторией. Аналогично определяется отрицательная траектория L' ={Y(t)\-<x><t<t0).

Решение (p = cp{t) (t0 < t < со) системы (6) называется [64, 70] орбитально устойчивым при г->со, если положительная траектория V всех решений 7 = 7(0 (A <00)> достаточно близких в начальный момент времени t0 к решению (p(t), в дальнейшем целиком содержаться в произвольно малой е-окрестности положительной полутраектории L\ данного решения ср = ср (7).

То есть для любого е > О существует 8 = 5 (s, t0) > 0 такое, что если p(Y(t),Ll)<s при t>t0.

Орбитально устойчивое решение cp(t) называется асимптотически орбитально устойчивым, если существует Д 0 > 0 такое, что для всех решений cp{t) удовлетворяющих неравенству ||7(70)-(г0)||<Д0, выполнено предельное соотношение p(Y(t), Z^) 0 при tсо.

Из устойчивости решения следует его орбитальная устойчивость, но из орбитальной устойчивости не вытекает его устойчивость по Ляпунову.

1.4. Устойчивость порядка т по Биркгофу. Пусть Y - положение равновесия системы (6) - F(Y) = 0. Положение равновесия системы (6) называется устойчивым порядка т [71], если выполнены следующие условия:

1) существуют две постоянные К и L такие, что каждое решение -Y = Y(t;Y0,t0) , для которого ||fo-F||<£, удовлетворяет условию

I Y{t;Y0,t0)~ У|| < Ка для всех t, подчинённых неравенству \ t-t0\<L s~m .

2) для всех решений Y = Y(t;Y0, t0) , удовлетворяющих условию 1), и для всех фиксированных Т и всех многочленов P(Y) относительно члены которых имеют степень >s, функция P(Y(t), t0, Y0) может быть представлена на отрезке [t0 - Т, t0 +Т] при помощи тригонометрических сумм

А0 +J^(AicosA,it + BisinA,;t), | Я-Лу.| > Я > 0, содержащих не более N +1 члеi нов, с ошибкой, не превосходящей Qe",+s в [t0-T,t0+T], (Q, Я, N - постоянные, 5 = 1,2,. . ).

Существует много других определений устойчивости, которые мало похожи одно на другое, но тем не менее между ними имеется связь - каждое из них выражает желаемое свойство данного решения. Устойчивость по Ляпунову, кажущаяся наиболее естественной,, не выполняется во многих случаях. Нет определения устойчивости годного во всех случаях [71].

2. Устойчивость систем линейных ОДУ 2.1. Устойчивость однородной системы. Рассмотрим неоднородную систему ОДУ clx " f = l,.,и. (7) dt ш

Система (7) с помощью подстановки xi +Уп 1 = 1.и J где Х0) =Xll)(t) - некоторое частное решение системы (7), сводится к следующей однородной системе [72] cly " t = Tjaik(t)yk, i = l,.,n. (8) dt ы

Система (8) называется однородной системой, соответствующей неоднородной системе (7).

В векторной форме система линейных ОДУ (8) примет вид

9) dt где

Ух ciu(t) •

7 = , А(0 =

У»

Эта система имеет тривиальное решение 7(0 = 0.

Любое решение однородной системы линейных ОДУ устойчиво тогда и только тогда, когда устойчиво её тривиальное решение [64].

В однородной системе линейных ОДУ с непрерывными коэффициентами из устойчивости хотя бы одного решения вытекает устойчивость всех остальных решений и наоборот.

Однородная система линейных ОДУ, все решения которой устойчивы, называется устойчивой системой, и наоборот.

Однородная система линейных ОДУ асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда каждое её решение асимптотически устойчиво. Следовательно: а) такая система устойчива в целом. б) если в однородной системе линейных ОДУ асимптотически устойчиво хотя бы одно решение, то все остальные решения также асимптотически устойчивы.

Однородная система линейных ОДУ устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда каждое решение Y = Y(t), t0<t < оо, этой системы ограничено на полуоси 10 < t < оо.

Однородная система линейных ОДУ асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все её решения Y = Y(t) стремятся к нулю при t со

НтУ(О = 0.

2.2. Устойчивость неоднородной системы. Неоднородная система линейных ОДУ устойчива (асимптотически устойчива) тогда и только тогда, когда устойчива (асимптотически устойчива) соответствующая однородная система линейных ОДУ [64].

Если неоднородная система линейных ОДУ устойчива, то все её решения или ограничены, или не ограничены при t -»со.

2.3. Устойчивость систем линейных ОДУ с постоянной матрицей коэффициентов. Рассмотрим систему линейных ОДУ с постоянной матрицей коэффициентов

C^ = AY, (10) at где А = ат квадратная матрица постоянных коэффициентов.

Пусть 1,,Я2,.,Як - различные корни характеристического уравнения det(A—XE) = 0, а е1,.,ек - максимальные показатели степеней элементарных делителей, соответствующих этим корням. Тогда решение системы (10) пред ставимо в виде:

О1) i=i где Pj(t) - вектор-столбец, элементами которого являются многочлены от степень этих многочленов не превышает е; -1 [73].

Для устойчивости системы линейных ОДУ с постоянной матрицей коэффициентов необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения системы имели неположительные вещественные части, причём элементарные делители, соответствующие корням характеристического уравнения с нулевой вещественной частью, были бы простыми [73].

Следовательно, система линейных ОДУ с постоянной матрицей коэффициентов будет устойчивой и в случае кратных корней характеристиче-—екого уравнения, лежащих на мнимой оси-плоскости Я, только этим корням должны соответствовать простые элементарные делители, т.е. клетка Жорда-на должна состоять из одного элемента.

Рассмотрим устойчивость линейного дифференциального уравнения и-го порядка с постоянными коэффициентами. Когда характеристическое уравнение а0Я " + а1Я + .+ ап =0 имеет корень Я { кратности е;, характеристическая матрица имеет элементарный делитель (Я -Я .)"' и никаких других элементарных делителей, которые представлялись бы степенью (Я -Я .), не имеет.

Для устойчивости линейного дифференциального уравнения п -го порядка с постоянными коэффициентами необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения системы имели неположительные вещественные части, причём корни с нулевой вещественной частью должны быть простыми.

Для асимптотической устойчивости системы линейных ОДУ с постоянной матрицей коэффициентов необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения системы были отрицательны, т.е. характеристические числа матрицы А должны располагаться в левой полуплоскости.

Следовательно, для суждения об устойчивости системы линейных ОДУ с постоянной матрицей коэффициентов следует знать характер расположения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости корней.

2.4. Критерий Гурвица. Рассмотрим полином

Р{Я )=а0Л " +а,Л + .+ «„, (12) где а0, а1,.,ап - действительные числа, причём а0> 0.

В общем случае корни полинома Р{Я ) являются комплексными, т.е.

Я = а + /3 j.

Полином вида (12), называемый стандартным, называется также полиномом Гурвица, если действительные части всех его корней отрицательны, т.е. все корни расположены в левой полуплоскости Re Я; < 0 (/ = 1 ,.,п).

Если стандартный полином есть полином Гурвица, то все его коэффициенты положительны.

Для полиномов первой и второй степени указанное выше необходимое условие является также и достаточным.

В самом деле, если для стандартного многочлена второй степени Р(Я) = а0 Я2 + а, Я + а2 выполняются условия а0> 0, а1 > 0, а2> 0, то полином является полиномом Гурвица.

Для стандартного многочлена степени выше второй из положительности коэффициентов в общем случае не следует, что этот полином есть полином Гурвица.

Пусть Р(Л )=а0Я " +а,Я + .+ а„ - стандартный полином Гурвица. Построим полином Р*(&) таким образом: р,(Я) = (-1)"Р(-Я) = а0Я"-а1Я"ч + .+ (-1)"а„. Все корни Р(Л ) расположены в левой полуплоскости, поэтому Р*{Л) имеет все корни в правой полуплоскости.

Пусть с > 0 - некоторое положительное число. б(Я) = (Я +с)Р (Я) + Я Р*(Я) - полином, присоединённый к Р(Я ). Степень 2(Я ) на единицу больше, чем степень Р(Я ).

Для каждого полинома Гурвица его присоединённые полиномы также являются стандартными полиномами Гурвица.

Каждый стандартный полином Гурвица степени выше первой также является присоединённым полиномом для некоторого стандартного полинома Гурвица более низкой степени.

Если полином А0Л "+I + А,Л " + .+ Ап+] - стандартный полином Гурвица степени п +1, то стандартный полином Гурвица Р(Я ) степени п, для которого присоединённый, определяется выражением

P{b) = \[{c-X)Q(X) + XQ\X)],T№ с = 0. с А0

Построим пространство полиномов Гурвица Н = Р(Л). Это-пространство представляет собой объединение пространств Нп соответствующих полиномам Гурвица различных степеней. Если Р(Я )е Нн, то присоединённый к нему Q{X ) еЯ„+1, если Р(Л)еНп, то существует такой Я(Я )е #„,, для которого Р(Л ) является присоединённым.

Пусть Р{Я )=а0Я " +а,Л "ч + .+ «„ некоторый многочлен, причём а0,а^.,ап - действительные числа и а0 >0. Образуем матрицу пхп.

М = а1 а0 0 . 0 а3 а2 а] . 0 а5 а4 аъ . 0

0 0 0 . а.

По главной диагонали этой матрицы откладываются коэффициенты ах,аг,.,ап. Вправо по строке от этих элементов расположены коэффициенты с убывающими номерами, влево - с возрастающими. При этом полагается a i = 0, если i < 0 или i> п. Такая матрица М называются матрицей Гурвица.

Главные диагональные миноры этой матрицы будут иметь вид

А, =а,, А2 = v, А„ =а„ Л„ч

Критерий Гурвица. Для того, чтобы стандартный полином Р(Я ) был полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры его матрицы Гурвица были положительными

Ак >0, к=1,.,п. (13)

Выполнение критерия Гурвица является необходимым и достаточным условием устойчивости решения системы линейных ОДУ с постоянной матрицей коэффициентов [64].

2.5. Устойчивость систем линейных ОДУ с почти постоянной матрицей. Если система (10) устойчива при ^ со, то система-- = [A + B(t)]X, (14) clt где B(t) - матрица переменных коэффициентов, для которой выполнены следующие ограничения

1) каждый элемент матрицы B(t) есть непрерывная функция на промежутке [*„,«>), со

2) J15(f) I clt < со о также устойчива при t со.

Если система (10) асимптотически устойчива при t-> со, то возмущённая линейная система (14) также асимптотически устойчива, если для матрицы 5(0 выполняется условие 1) и B(t)-> 0 при t со.

2.6. Характеристический показатель Ляпунова. Достаточное условие асимптотической устойчивости. Число, определяемое формулой = М-1п|/(0| t^t называется характеристическим показателем Ляпунова. Если матрица линейной системы (9) ограничена

A{t)\\<c то каждое нетривиальное решение Y = Y(t) имеет конечный характеристический показатель.

Множество всех характеристических показателей решений системы (9) называется её спектром.

Для асимптотической устойчивости однородной линейной системы (9) достаточно [64], чтобы наибольший её характеристический показатель был отрицательным

18 а = maхак <0. к

2.7. Приводимые системы. Теорема Н.П. Еругина. Пусть снова рассматривается система линейных ОДУ (9).

Матрица L(t) непрерывная и непрерывно дифференцируемая на промежутке [t0,со) называется матрицей Ляпунова, если

1) L(t) и L'(t) ограничены на промежутке |>0,°о).

2) |detZ(0| >т, т = const, т > 0.

Система (9) называется приводимой, если существует такая матрица Ляпунова L(t), что подстановка

X = L(t)Y приводит систему (9) к системе уравнений dt где В - постоянная матрица.

Теорема Еругина. ( необходимое и достаточное условие устойчивости). Система линейных ОДУ (9) приводима тогда и только тогда, когда некоторая её фундаментальная матрица Y(t) может быть представлена в виде матрицы Ляпунова L(t), умноженной на экспоненциал произведения постоянной матрицы В на независимую переменную t

Y(t) = L(t)eBI.

Для приводимой системы справедливы следующие условия устойчивости.

1) Приводимая система линейных ОДУ устойчива тогда и только тогда, когда все её характеристические показатели неположительны, причём нулевым характеристическим показателям отвечают простые элементарные делители, если их рассматривать как вещественные части собственных значений соответствующей постоянной матрицы.

2) Приводимая система линейных ОДУ асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все её характеристические показатели отрицательны [64, 72].

2.8. Системы линейных ОДУ с периодическими коэффициентами.

Если для системы (9) выполняется условие A(t + T) = A(t), то система имеет по крайней мере одно решение Y(t), не равное тождественно нулю, такое, что

Y(t + T) = AY(t), для всех t, Я = const, Я ф О [74].

Для линейной системы (9) с Т - периодической матрицей нормирования при t = О фундаментальная матрица решений имеет вид

У(0 = Ф(ОеА>, где Ф(?) — непрерывная и непрерывно дифференцируемая Г - периодическая неособенная матрица, Ф(0) = Е, Л - постоянная матрица. Матрица Y (Г) называется матрицей монодромии. Собственные значения Я] матрицы Л называются характеристическими показателями системы (9).

Собственные значения р., (j = 1,.,п) матрицы С = У (Г) называются мультипликаторами.

Однородная линейная периодическая система с непрерывной матрицей устойчива тогда и только тогда, когда все её мультипликаторы р} расположены внутри замкнутого единичного круга | р ] < 1, причём мультипликаторы, лежащие на окружности | р | = 1, имеют простые элементарные делители, если их рассматривать как собственные значения соответствующей матрицы монодромии.

Для асимптотической устойчивости периодической системы необходимо и достаточно, чтобы все её мультипликаторы находились внутри единичного круга |р| < 1 [64,71].

2.9. Метод последовательных приближений и первый метод Ляпунова. Рассмотрим нелинейную систему dY = A{t)Y + P(t,Y),t0<t<co. (15)

Элементы atJ(t) матрицы А - непрерывные и ограниченные на [t0, со) функции переменного t, а компоненты Р, (t, Yi ,.,Yn) вектор-функции Р являются аналитическими функциями переменных УР.,У„ при каждом значении t е [f0,co).

Если Р. разлагается в ряд по степеням Yl,.,Yn так, что

2 ./, +.+./„ = / Ур-.Л^О и коэффициенты в этом разложении удовлетворяют неравенству вида -/] -in р. . (О (17)

Г 'J, —Jii Qh +-+],, при всех t е [г0,оо), где М, С - постоянные, не зависящие от то на множестве S = (t0 <?<оо,||у||<Р,0<Р<С) (16) сходится абсолютно и равномерно [71].

Пусть задан конечный отрезок [t0,tx]. Рассмотрим решение Y(t) = Y(t,t0,Y0) системы (15), где Y0 =(ут,.,у0„) - заданный вектор, ||У0|<5-Выясним, во-первых, удовлетворяет ли оно неравенству ||У(0||<Р на [tQ,t\] и, во-вторых, можно ли его представить в виде равномерно сходящегося ряда

Y = Ym +Y(1) +. + Y(m) +., (18) т.е.

Yi=Yl0)+Yi(2)+. + Yi(m)+., i = l,.,n . Формально подставим предполагаемый ряд в (15), допуская, что его можно почленно дифференцировать и что члены степенного ряда для Р,. имеют вид с(0(у<".у. (/"V-.-cC'V', (19) l <2 ' где c{t) - функция, зависящая от t, к> 1, /,jk > 0, т],.,тк> 1, 1 < /,,.,//. <п - целые числа.

Система (15) формально сводится к системе dt у(<Я) = A(t)Y("!) +Rlm), «2 = 2,3 dt

21) {R\'n) ,.,R[m)), R\'n) ~ конечная сумма членов разложения Р., имеющих вес со = т , со = тх j, + j к.

Тогда Р представляется в виде ряда который не содержит членов с весом < 2.

R('"} зависит только от 7(1), 7(2),.,7(га1), поэтому уравнения (21) используются для последовательного определения 7(1), 7(2),. .

Если потребовать, чтобы вектор Y°"\t) удовлетворял начальным условиям Y(1)(t0) = Y0, Y(m)(t0) = 0, т = 2,3,., то формально сумма ряда (18) - 7(0 удовлетворяет системе (15) и начальному условию Y(t0) = 70.

Компоненты Rjm), i = l,.,n , можно определить последователь одно за другим, но процесс их определения часто оказывается трудным и долгим, он не позволяет найти явное выражение для R^m). Формулы (18), (20), (21) определяют процесс последовательных приближений.

A.M. Ляпунов [20] показал, что для конечного отрезка [tx,t2] найдется такое постоянное А, 0<А<В, что при всех начальных значениях 70 = (у0,,.,у0„), удовлетворяющих неравенству || 701| < А, ряд (18) абсолютно и равномерно сходится при всех tx<t<t2.

Решение 7(0 = ( ^(0, г = ) является единственным решением системы (15) с начальным условием Y{t0) = 70.

A.M. Ляпунов показал, что Y{(t) можно представить как сумму степенного ряда по степеням у0]).,у0„

P = R(2) +R(3) +. + Rim) +.

M . '"I-"'" m

Этот ряд сходится абсолютно и равномерно при tx <t<t2. В случае бесконечного интервала также можно определить постоянное Ь, О <Ь < В, так, чтобы для каждого Y0={ym,.,y0n), Ц^оН^ решение

Y(t) = Y(t\ iQ, Y0) системы (15) существовало на [tQ, со) и удовлетворяло неравенству 17(01<-5 на [tQ, со).

Кроме этого можно определить решение как сумму ряда (18) равномерно сходящегося на [tQ, оо).

Такой процесс требует дополнительных ограничений, накладываемых на систему (15): система (15) должна быть правильной и фундаментальная система решений однородной системы — = A{t)Y может быть выбрана норdt dY мальнои, все характеристические числа системы — = A{t)Y отрицательны. dt

A.M. Ляпунов показал, что существует число А,, 0<А, <В, такое, что для всех I а I < А, ряды абсолютно и равномерно сходятся на 10 < t < оо к решению Y{t) системы (15), удовлетворяющему начальному условию Y(tQ) = YQ и неравенству || Y(t) || < В.

Первый метод Ляпунова состоит в систематическом применении описанного выше процесса. При этом асимптотическое поведение решений исследуется при помощи соответствующих рядов.

Для систем с постоянными коэффициентами Лефшец значительно упростил исследование выражений Rj"° и сходимость рядов [71].

Далее следует пример анализа устойчивости решения нелинейной системы, которая линеаризуется и исследуется на основе теории характеристических чисел [75] dy, dy 2 ■ , — = -csm^, -by2. . at

Данная система описывает упругие колебания маятника с учетом трения {Ь -коэффициент, характеризующий затухание, с-постоянная, зависящая от силы тяжести и длины маятника).

Рассмотрим следующие случаи: - ■ 1) Ь > О. Соответствующая линейная-система имеет вид dt dy2 dt )

Собственные числа матрицы

О 1 с ~Ъ ){ Уг) f О 1 л -с -Ь равны соответственно

1 2 гьл2

Iw v2y

-с. Их действительные части отрицательны, поэтому нулевое решение линеинои системы является асимптотически устойчивым, а следовательно асимптотически устойчиво и решение нелинейной системы.

2) Ъ < 0 (случай отрицательного трения). Система уравнений имеет вид dyx dt dy2 dt У2> —с sin у j +by2.

Соответствующая линейная система dt dy2 dt ) f 0

-с b

Ух

Уи

Так как собственные числа Я, =- + ,[с , л2=- с имеют положительные вещественные части то нулевое решение линеаризованнои системы неустойчиво и, следовательно, неустойчиво решение нелинейной системы.

3)6 = 0 (сопротивление среды не учитывается). Система примет вид dt dy2 „ dt У 2 '

-csmjy,.

Соответствующая линейная система имеет вид dyx dt dy2 dt j \ / . л

-с О

У\

Уг)

Так как собственные числа Я, =i4c и X2=-i4c являются чисто мнимыми, то первый метод Ляпунова не дает информации об устойчивости решения первоначальной нелинейной системы.

В тех случаях, когда первый метод не позволяет получить информацию об устойчивости решения, следует применять другие методы, например, второй метод Ляпунова, который рассматривается ниже.

3. Устойчивость систем нелинейных ОДУ 3.1. Второй метод Ляпунова. Второй (качественный, прямой) метод Ляпунова в основном связан с введением вспомогательных оценивающих функций, получивших его имя, и явился по словам историков науки результатом синтеза идей качественной теории дифференциальных уравнений и исключительной интуиции А. Пуанкаре с аналитическим гением A.M. Ляпунова [37].

Метод функций Ляпунова стал основным методом классической и современной теории устойчивости и качественной теории дифференциальных уравнений исключительно эффективным для разнообразных нелинейных систем, особенно не являющихся квазилинейными [37].

Пусть дана система уравнений (3). Предполагается, что функции f-Xt,yv.,yn) непрерывны в некоторой открытой области Z, которая может совпадать со всем пространством. Кроме того функции fi(t,y^.,y„) удовлетворяют в любой замкнутой области G, лежащей в Z, условиям Липшица. В этих условиях существует единственное решение системы (3) удовлетворяющее заданным начальным условиям [76].

Функция V(t,Y) определённая в фазовом пространстве переменных у],-,у„ , непрерывная в некоторой области Z, включающей в себя начало координат называется "определённо положительной в области Z 7 если всюду в области Z, кроме точки 0(0,.,0) имеет место неравенство V(t,Y)> 0.

Если же выполняется неравенство V(t,Y)< 0, то функция V(t,Y) называется определённо отрицательной.

Если в области Z имеет место всюду неравенство V(t,Y)> 0 или V(t,Y)< 0, то функция V(t,Y) называется знакопостоянной.

В первом случае - знакоположительной, во втором - знакоотрица-тельной.

Теорема Ляпунова об устойчивости. Если для системы (3) существует в области Z знакоопределённая функция V{t,Y), производная которой по времени V'{t,Y), взятая в силу системы (3), является знакопостоянной функцией знака, противоположного знака функции V(t,Y), то тривиальное решение системы (3) устойчиво в смысле Ляпунова.

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Если для системы (3) существует знакоопределённая функция V(t,Y), полная производная которой по времени, найденная в силу системы (3), будет также зна-коопределённой, знака противоположного с V(t, У), то тривиальное решение системы (3) будет асимптотически устойчиво.

Теоремы о неустойчивости. Первые две теоремы принадлежат A.M. Ляпунову, третья теорема доказана Красовским [76, 77].

Теорема 1. Если существует функция V(t,Y), имеющая знакоопреде-лённую производную по времени, и такая, что в любой окрестности точки О функция V(t,Y) не является знакопостоянной, знака противоположного с V'(t,Y), то нулевое решение системы (3) неустойчиво.

Теорема 2. Если существует функция V(t, Y) такая, что её производная по времени имеет вид

4V = ЛУ dt где Л - положительная постоянная, a W или тождественно обращается в нуль или является знакопостоянной, и если в последнем случае функция V(t, Y) не является в любой окрестности точки О знакопостоянной, знака противоположного с W, то нулевое решение системы (3) неустойчиво.

Теорема 3. Если существует функция V(t, У), не являющаяся знакоот-рицательной в произвольной окрестности точки О, и такая, что где М - множество, не содержащее целых траекторий ( кроме точки О ), то нулевое решение неустойчиво.

Способы построения функций Ляпунова. Первые способы построения функций V(t, У) были предложены A.M. Ляпуновым [20]. Классические способы построения функций Ляпунова подразделяются на следующие. a) Использование в качестве функций Ляпунова первых интегралов или их связки [2, 3, 78]. b) Использование структуры производной функции Ляпунова и решение матричного алгебраического АТВ + ВА = -С (для системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей А линейной части) или матричноdB го дифференциального — + Ат{t)B + ВA(t) = -С ( для системы дифференциdt альных уравнений с матрицей А линейной части, зависящей от / ) уравнений Ляпунова. Здесь С - заданная постоянная симметрическая положительно определённая матрица, а В - искомая симметрическая матрица, определяющая функцию Ляпунова в виде квадратичной формы V(Y) = YTBY [20, 79, 80]. c) Способы построения функций Ляпунова, основанные на задании их структуры в виде: интеграла энергии для механических и электромеханических систем >0 вне М, — > 0 на М, dt dt dV dt

20, 81-83]. псевдоквадратичных форм V(t,Y) = YrB{t,Y)Y [77, 84-86]. линейных форм модулей V{t,Y) = Yiai [87].

Для проверки условий положительной определённости функций Ляпунова и отрицательной определённости её производной использовались условия Рауса и Рауса - Гурвица [88, 89].

Далее приводится пример исследования на устойчивость тривиального решения системы [75] dxl

CIjc 2 ^ ЗС j dt 1 2 х2

Выберем в качестве функции Ляпунова функцию

Г/ 1 2 л. 1

V = —х. + —х, 2 1 2 2

1) V(x) > О, F(0,0) = 0,

2) — = -О, +х2)2 < 0, причём — < -р < 0, значит, точка равновесия dt dt асимптотически устойчива.

Кстати, если для некоторой выбранной функции условия теорем Ляпунова не выполнены, то это не означает ещё того, что система неустойчива, эти условия могут выполняться для какой-нибудь другой функции V(x), то есть ошибка в выборе предполагаемой функции Ляпунова не означает неустойчивости, она указывает только на неудачу в выборе.

Метод функций Ляпунова является одним из наиболее эффективных методов исследования систем автоматического управления. Значение этого метода далеко не исчерпывается возможностью установления факта устойчивости или неустойчивости исследуемой системы. Удачно построенная функция Ляпунова для конкретной нелинейной системы автоматического управления позволяет решить целый комплекс задач, имеющих важное прикладное значение. К таким задачам относятся: оценки изменения регулируемой величины, оценка времени протекания переходного процесса, оценка критериев качества регулирования и т.д.

С помощью функций Ляпунова можно оценить область притяжения, т.е. многообразие всех допустимых по устойчивости начальных возмущений, получить оценку влияния постоянно действующих возмущений. Знание функций Ляпунова позволяет решать-задачи устойчивости в «большем», то-----есть оценивать область начальных возмущений, при которых движение системы не выходит с течением времени за пределы заданной заранее области. С помощью функций Ляпунова можно решать проблему существования или отсутствия периодических решений. Функции Ляпунова широко используются и в теории оптимального управления.

К недостаткам метода функций Ляпунова можно отнести то, что в настоящее время нет универсального приёма построения функций Ляпунова для нелинейных систем общего вида.

Кроме метода Ляпунова для анализа устойчивости нелинейных систем применяются частные методы, объединённые леммой Якубовича-Калмана [90, 91]. Они позволяют, в частности, получать эффективные критерии устойчивости, колебательности и других свойств для систем с линейной «номинальной» частью (систем Лурье).

3.2. Другие методы анализа устойчивости. Исследование нелинейной системы с помощью численно-графических методов проводится путём интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений [92-94], например, интегрирование по разностному методу Адамса - Штермена, способом интегрирования Чаплыгина, методом Эйлера, который является одним из наиболее простых методов. Он положен в основу почти всех графических методов, отличающихся друг от друга только по характеру геометрических построений. К более простым методам относятся метод секущих, метод касательных и метод с использованием решения уравнений в конечных разностях.

Приближённо с точностью реализации модели, соответствующей заданной системе уравнений, необходимые и достаточные условия устойчивости нелинейных систем могут быть получены с помощью методов математического моделирования. Эти методы являются эффективным средством анализа устойчивости, поскольку не требуют громоздких вычислений и графических построений, особенно в случае сложных нелинейных систем управления. Кроме того метод математического моделирования широко используется для систем аэрокосмического назначения, которые всегда должны быть устойчивы по соображениям надёжности и безопасности работы [95].

Более строгие методы применительно к нелинейным системам высокого порядка обычно позволяют установить лишь достаточные ( но не необходимые) оценки определённых качественных показателей, в том числе устойчивости [96].

Достаточные, но не необходимые условия устойчивости даёт простой и наглядный критерий абсолютной устойчивости систем автоматического управления, предложенный румынским математиком В.М. Поповым [96]. Этот метод гарантирует устойчивость в заданной области и имеет удобную для практики геометрическую интерпретацию. Критерий абсолютной устойчивости Попова применяется для исследования устойчивости нелинейных систем с нелинейностями, ограниченными сектором [кх, к2 ].

Для анализа систем, включающих секторную нелинейность, может быть также применён круговой критерий А.А. Вороного [97], причём данный критерий, в отличие от критерия Попова, допускает бесконечное значение к2.

Метод гармонической линеаризации [98] в зависимости от степени выполнения гипотезы фильтра даёт приближённое значение области устойчивости, однако он не гарантирует устойчивости в этой области, так как полученная с помощью метода гармонической линеаризации область может выходить за пределы границы устойчивости.

Исследование устойчивости нелинейных систем в случае интервального задания коэффициентов осуществляются с помощью теоремы Харитонова [99].

В настоящее время продолжает формироваться новая синергетическая концепция в теории управления [24-26], опирающаяся на фундаментальное свойство самоорганизации природных систем, то есть рождения из физического хаоса некоторых устойчивых структур с новыми свойствами. Синерге-тический подход представляет собой развитие качественной и количественной теории динамических систем с сильно выраженным отражением физической сущности управляемых процессов и поиском аналогов и законов поведения среди природных систем.

В основе разработанного синергетического подхода лежат два фундаментальных принципа естествознания - это, во-первых, принцип инвариантности (сохранения), и, во-вторых, принцип сжатия - расширение фазового объекта в диссипативных динамических системах. Конечной целью динамического поведения синтезируемых систем управления является установившиеся режимы в фазовом пространстве систем - аттракторы. Такого рода притягивающие многообразия охватывают широкий круг разнообразных физических явлений в соответствующих системах. Таким образом, задача конструктора системы управления состоит в поиске желаемого для объекта притягивающего многообразия в пространстве состояний. Наличие этого многообразия непосредственно связано с внутренними свойствами нелинейного объекта и свойствами решаемой системой технологической задачи.

Пусть объект описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений

Y = F(Y,U), (22) где 7 - вектор состояния размерности п, U - вектор управления размерности т < п. В простейшей задаче синергетического управления требуется найти закон управления

U = U(Y), (23) который обеспечивает перевод изображающей точки системы (22) из произвольного начального состояния 70 сначала в окрестность инвариантного многообразия (аттрактора) 0 (24) в фазовом пространстве координат, а затем дальнейшее асимптотически устойчивое движение изображающей точки вдоль этого многообразия в желаемое состояние системы (22), в частности, в начало её координат. Закон управления (23) удерживает изображающую точку в указанной окрестности при дальнейшем движении вдоль (24). Притягивающие многообразия (24) могут быть интерпретированы как задаваемые целевые множества, к которым неизбежно должна притягиваться изображающая точка из произвольного начального состояния, а затем двигаться вдоль него.

Макропеременные y/s{Yx,.,Yn) должны удовлетворять функциональному уравнению которое при (р(ц/)\!/> 0 и Т> О является уравнением Эйлера - Лагранжа относительно устойчивых экстремалей, доставляющих минимум сопровождающему функционалу на траектории замкнутой системы.

Задача синергетического синтеза состоит, в первую очередь, в создани инвариантных многообразий, наилучшим образом соответствующих свойствам объекта и целям управления. Задача поиска законов управления (23) обеспечивающих желаемое поведение объекта, получила название аналитического конструирования агрегированных регуляторов по заданным инвариантным многообразиям. Функции iys(Y^.,Yn) называют агрегированными переменными. Синергетический подход позволил принципиально расширить саму постановку задачи управления и качественно изменить её содержание как в отношении включения естественных свойств управляемых процессов в контексте задачи управления, так и в отношении охвата макрообластей фазового пространства конструируемых систем.

При решении задач стабилизации относительно заданного состояния, или целевого многообразия, используются и другие методы современной теории нелинейного управления [100]: теория центрального многообразия

25)

26)

101], процедура бэкстепинга и методы интеративного синтеза, метод систем с переменной структурой, теория абсолютной устойчивости, #м - оптимальный синтез [102], сочетание прямого метода Ляпунова и линеаризации об--------ратной связью. -----

Таким образом, осуществлять исследования устойчивости решений систем ОДУ приходится во многих важных областях науки и техники. При этом известные методы исследования во многих случаях сводят анализ устойчивости решений систем ОДУ общего вида к анализу устойчивости линейных систем (первый метод Ляпунова).

Анализ устойчивости систем линейных ОДУ, будучи разработанным во всех теоретических деталях, сохраняет принципиальные трудности для практического осуществления. Например, проверка критерия Рауса-Гурвица требует построения специальной матрицы и вычисления в ней всех главных диагональных миноров, в то время как вычисление только одного определителя имеет сложность 0(N3). Ясно, что при большой размерности матрицы эта операция доступна лишь при использовании компьютера, однако в этом случае возникает проблема вычислительной устойчивости.

При этом принципиальной трудностью остается проблема приведения анализа устойчивости к случаю системы линейных ОДУ с постоянной матрицей коэффициентов [64].

В результате становится очевидной необходимость разработки компьютерных средств анализа устойчивости, в частности для случая систем линейных ОДУ.

В периодической литературе не приводятся компьютерные методы для анализа устойчивости систем линейных ОДУ общего вида.

Поэтому актуальной является задача построения компьютерного метода анализа устойчивости. Такой анализ наиболее технологично удается построить для систем линейных ОДУ и именно их разработке и исследованию посвящена диссертационная работа.

Цель диссертационной работы состоит в разработке и исследовании метода компьютерного анализа и моделирования устойчивости систем линейных ОДУ.

В основу положены схемы,-представляющие собой матричные мульт-и— пликативные преобразования разностных методов численного интегрирования. Форма представления схем анализа устойчивости влечет возможность их циклической программной реализации.

Программная модель схем анализа устойчивости и сами схемы в рамках поставленной цели должны обладать инвариантностью относительно правой части системы линейных ОДУ и относительно разностных методов, на основе которых конструируются схемы анализа. Кроме того, модель должна быть инвариантна относительно длины промежутка и шага решения.

Искомый компьютерный метод должен давать однозначный вывод о характере устойчивости исследуемых систем, для этого критерии должны иметь форму необходимых и достаточных условий.

Метод должен обладать теми качествами, которые позволяли бы рассматривать его как основу для разработки компьютерной технологии анализа устойчивости систем линейных ОДУ и систем, сводимых к линейным.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1) Сконструировать программно реализуемые схемы анализа устойчивости систем линейных ОДУ на основе разностных методов численного интегрирования, в качестве первого из которых выбран метод Эйлера. Результатом работы схем должны быть необходимые и достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости.

2) Построить разновидности программируемых схем анализа устойчивости систем линейных ОДУ на основе методов более высокого порядка, включая методы Эйлера - Коши и Рунге - Кутта, с целью повышения достоверности оценок устойчивости в соответствии с порядком точности данных методов численного интегрирования.

3) Исследовать достоверность компьютерного анализа устойчивости в зависимости от замены предельных значений выражений конструируемых критериев на их конечные приближения, необходимые в процессе программирования. - ----------------------

4) Исследовать зависимость достоверности компьютерного анализа устойчивости от погрешности разностного решения системы линейных ОДУ.

5) Исследовать обратную зависимость - влияние устойчивости системы линейных ОДУ на накопление погрешности разностного решения.

6) Построить программную модель анализа устойчивости систем линейных ОДУ, инвариантную относительно правой части системы, разностных схем приближённого решения системы, а также инвариантную относительно числовых параметров из экспериментально устанавливаемого диапазона значений.

7) Провести численный и программный эксперимент в условиях меняющихся значений числовых параметров модели и установить границы параметров, при которых сохраняется достоверность моделирования устойчивости по сконструированным критериям.

Методы исследования опираются на использование качественной теории устойчивости, теории разностных схем, численных методов и теории дифференциальных уравнений, прикладной информатики, математического моделирования.

Научная новизна диссертационной работы заключается в построении метода компьютерного анализа устойчивости систем линейных ОДУ общего вида без преобразования правой части системы. Формируются схемы анализа устойчивости на основе матричных мультипликативных преобразований разностных методов численного интегрирования, что отличает метод от качественной теории дифференциальных уравнений. Помимо построения, отличие достигается в программируемое™ метода для систем линейных ОДУ в общем случае. Компьютерное моделирование, исходя из необходимых и достаточных условий, формируемых схемами анализа, позволяет однозначно определить характер устойчивости, неустойчивости либо асимптотической устойчивости систем линейных ОДУ.

Отличаясь по построению и по практической компьютеризации анализа устойчивости, предложенный метод опирается-на-методы качественной теории в процессе обоснования.

Предложенный метод учитывает специфику линейности, отличается единством программной конструкции и оценивается сравнительно малой временной сложностью.

Конкретно, научная новизна результатов может быть охарактеризована следующим образом:

1) Предложены программно реализуемые схемы анализа устойчивости систем линейных ОДУ общего вида без преобразования правой части системы. Схемы основаны на матричных мультипликативных преобразованиях методов численного интегрирования систем линейных ОДУ, отличаются от качественной теории по построению, в частности, тем, что для случая постоянной матрицы коэффициентов не требуют информации о характеристическом многочлене матрицы и его корнях.

2) Разработаны разновидности схем анализа устойчивости на основе методов Эйлера, Эйлера-Коши и Рунге-Кутта, достоверность оценок устойчивости повышается в соответствии с порядком точности методов численного интегрирования.

3) Дано математическое обоснование и выполнено исследование предложенных схем анализа устойчивости, опирающихся на необходимые и достаточные условия устойчивости систем линейных ОДУ общего вида. Теоретически и экспериментально установлена линейная граница роста погрешности разностных схем в условиях устойчивости с коэффициентом линейности, не зависящим от длины промежутка численного интегрирования.

4) Построена программная модель анализа устойчивости систем линейных ОДУ на базе предложенных критериев. Программа реализует циклические операции матричных мультипликативных преобразований разностных схем численного интегрирования. Показано, что замена бесконечного произведения из левой части преобразований на частичное произведение в процессе программирования сохраняет корректность и достоверность работы пред------ложенных схем анализа устойчивости. ----------

5) Выполнена апробация программной модели и проведен численный эксперимент для систем линейных ОДУ различных классов. Экспериментально показана практическая возможность достоверного компьютерного анализа устойчивости систем линейных ОДУ общего вида на основе предложенного подхода. Компьютерная реализуемость отличает предложенные схемы от методов качественной теории в практическом применении.

6) Предложенный подход позволяет выполнить компьютерный анализ устойчивости, одновременно найти разностное решение и моделировать накопление погрешности данного приближения решения систем линейных ОДУ, иллюстрируя совокупное отличие подхода от известных.

В приложении к решению технической задачи представлены следующие результаты.

1. Предложен метод программного анализа устойчивости синхронного генератора, работающего на сеть большой мощности. Анализ сводится к.анализу систем линейных ОДУ с постоянной матрицей коэффициентов большой размерности до 288 х 288, включительно.

2. Метод реализуется на персональном компьютере в режиме реального времени, занимая для матриц размерности 100 х 100 менее 5 е., при этом сохраняется резерв повышения быстродействия ввиду максимального параллелизма.

3. На основе предложенных критериев устойчивости с помощью оптимизационного алгоритма можно оценить максимальное и минимальное отклонение системы от устойчивого состояния для случая вариации одновременно четырех параметров.

4. Решение оптимизационной задачи перенесено на линейные системы с переменными коэффициентами.

Основные положения, выносимые на защиту:

1) Метод программного моделирования устойчивости систем линейных ОДУ на основе матричных мультипликативных преобразований разностных схем численного интегрирования,- включающих необходимые и достаточные---условия устойчивости.

2) Программируемые схемы анализа устойчивости систем линейных ОДУ с постоянной матрицей коэффициентов, отличающиеся экспоненциальным сокращением объема вычислений и не требующие информации о характеристическом многочлене матрицы и его корнях.

3) Программная модель анализа устойчивости, позволяющая однозначно устанавливать характер устойчивости системы линейных ОДУ с переменными и постоянными коэффициентами.

4) Метод одновременного компьютерного анализа устойчивости систем линейных ОДУ и разностного решения системы с контролем накопления погрешности.

5) Метод компьютерного анализа устойчивости синхронного генератора, работающего на сеть большой мощности, приводимый к анализу систем линейных ОДУ с постоянной матрицей коэффициентов большой размерности и реализуемый на персональном компьютере в режиме реального времени.

Практическая ценность диссертационного исследования заключается в прикладном характере разработанного метода анализа устойчивости, ориентированного на компьютерную реализацию. Метод применим для анализа устойчивости систем линейных ОДУ и систем приводимых к этому виду. Помимо программного выявления характера устойчивости, модель, реализующая метод, дает приближённое решение системы линейных ОДУ и моделирует погрешность полученного приближения. Таким образом, проведенное исследование дает основу для компьютерной технологии практического анализа устойчивости систем рассматриваемого вида.

Внедрение и использование результатов работы. Полученные в работе результаты использованы в НИИ механики и прикладной математики им. И.И. Воровича при анализе устойчивости решения задачи о колебаниях оболочки вращения составной геометрии, контактирующей с жидкой-средой; в госбюджетной НИР «Математические методы устойчивой параллельной обработки, поиска и распознавания», код ГРНТИ 28.23.15, регистрационный номер 01.2.00106436; в учебном процессе кафедры информационных систем Таганрогского государственного педагогического института в курсах «Численные методы», «Компьютерное моделирование», курсах специализации и практикуме решения задач на ЭВМ.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на

- 1-й международной научно-практической конференции «Текст в системе высшего профессионального образования» (Таганрог, ТГПИ, 2003 г.);

- Всероссийской научной конференции молодых учёных и аспирантов «Информационные технологии, системный анализ и управление» (Таганрог, ТРТУ, 2003 г.);

- V-й научно-практической конференции преподавателей, студентов, аспирантов и молодых учёных Таганрогского института управления и экономики (Таганрог, ТИУиЭ, 2004 г.);

- IV-ом Российско-украинском научно-техническом симпозиуме «Современные информационные технологии в науке, производстве и образовании» (Пенза, ПГСХА, 2004 г.);

- 10-й международной конференции «Математические модели физических процессов» (Таганрог, ТГПИ, 2004 г.);

- III-й межрегиональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь XXI века - будущее российской науки» (Ростов-на-Дону, РГУ, 2005 г.);

- 11-й международной конференции «Математические модели физических процессов» (Таганрог, ТГПИ, 2005 г.).

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 11 печатных работ с общим объёмом и 7 печатных листов.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, 3 глав основного раздела, списка литературы и 4 приложений. Основное содержание работы изложено на 154 страницах, включая список литературы из 118 наименований.

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем.

1. Сконструированы матричные мультипликативные критерии устойчивости систем линейных ОДУ на основе разностных схем численного интегрирования, включая методы Эйлера, Эйлера-Коши, Рунге-Кутта и Адамса. Показано, что критерии дают необходимые и достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости в общем случае для систем ОДУ рассматриваемого класса.

2. Доказано, что замены предельных значений выражений критериев на их конечные приближения, необходимые в процессе программирования, не искажают достоверность критериев, на этой основе выполнена программная реализация предложенных критериев устойчивости.

3. Теоретически и экспериментально показано, что погрешность разностных схем решения систем линейных ОДУ в условиях устойчивости растет не более чем линейно с коэффициентом линейности, не зависящем от длины промежутка численного интегрирования. Таким образом, возможно программное моделирование матричных мультипликативных критериев на основе разностных схем без искажения их достоверности.

4. Построена программная модель анализа устойчивости систем линейных ОДУ, инвариантная относительно правой части системы, разностных схем приближённого решения системы и относительно числовых параметров из экспериментально устанавливаемого диапазона значений.

5. Проведен численный и программный эксперимент в условиях меняющихся значений числовых параметров модели и установлены границы параметров, при которых сохраняется достоверность моделирования устойчивости по матричным мультипликативным критериям. Устойчивость работы запрограммированных критериев в установленном диапазоне параметров позволяет рассматривать предложенный метод как основу для разработки компьютерной технологии анализа устойчивости систем линейных ОДУ.

Научная новизна результатов диссертационной работы заключается в следующем.

1. Предложен метод компьютерного анализа устойчивости систем линейных ОДУ в матричной мультипликативной форме, определяющий необходимые и достаточные условия при ограничениях общего вида, отличающийся от известных методов по построению на основе разностных схем.

2. В случае систем линейных ОДУ с постоянными коэффициентами предложенный метод анализа устойчивости, в отличие от известных методов, не требует построения характеристического многочлена матрицы постоянных коэффициентов и информации о его корнях.

3. Выполнено обоснование и исследование матричных мультипликативных критериев устойчивости систем линейных ОДУ, отличительным качеством которых является компьютерная реализуемость с сохранением достоверности оценки устойчивости.

4. Показано, что в условиях устойчивости погрешность разностных схем решения систем линейных ОДУ ограничена линейным ростом, при этом, в отличие от известных оценок, коэффициент линейности не зависит от длины промежутка.

5. Построена программная модель анализа устойчивости систем линейных ОДУ, которая экспериментально подтверждает теоретические оценки предложенных критериев и дает практический способ получения достоверной информации о характере устойчивости рассматриваемых систем ОДУ. Модель инвариантна относительно правой части системы линейных ОДУ, разностных схем и параметров из экспериментально устанавливаемого диапазона значений.

6. Проведенные численные и программные эксперименты и предшествующее им формальное обоснование матричных мультипликативных критериев определяют основу для разработки технологии компьютерного анализа устойчивости систем линейных ОДУ, что отличает метод от известных по качеству практической программной реализации.

Заключение

1. Четаев Н.Г. О выборе параметров устойчивости механической системы // ПММ. - 1951. - Т.15. -№3. - С. 371-372.

2. Четаев Н.Г. Об устойчивости вращения твёрдого тела с одной неподвижной точкой в случае Лагранжа // ПММ. 1954. - Т. 18. - №1. - С. 123-124.

3. Румянцев В.В. Устойчивость перманентных вращений твёрдого тела //ПММ. 1956.-Т.20.-№1.с. 50-66.

4. Румянцев В.В. Об устойчивости стационарных движений спутников. М.: ВЦ АН СССР. - 1967. - 147 с.

5. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс М.: Наука. 1965. - 416 с.

6. Анчев А.А. О перманентных вращениях твёрдого тела с одной закреплённой точкой и их устойчивости // ПММ. 1965. - Т.29. - №2. - С. 380386.

7. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука. - 1971. - 312 с.

8. Кузьмин П.А. Устойчивость при параметрических возмущениях // ПММ. 1957.-Т.21.-№1.-С. 129-132.

9. Ишлинского А.Ю. Прикладные задачи механики. Кн.1. - М.: Наука. - 1986. - 356 с. -Кн.2. - М.: Наука. - 1986. - 412 с.

10. Журавлёв В.Ф. Об одной форме уравнений движения симметричного твёрдого тела // Изв. АН СССР. Механ. твёрд, тела. 1986. - №3. - С. 5-11.

11. Каменков Г.В. Избранные труды. Т.2. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.:Наука. - 1972. - 218 с.

12. Кузьмин П.А. Устойчивость круговой формы гибкой нити, имеющей счётное множество степеней свободы // Тр. Казанск. авиац. ин-та. -Вып.22. 1949. - С. 3-15.

13. Четаев Н.Г. Устойчивость двюкения. Работы по аналитической механике. М.: Изд-во АН СССР. - 1962. - 534 с.

14. Черноусько Ф.Л. Движение твёрдого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость. М.: Изд-во ВЦ АН СССР. - 1968. - 230 с.

15. Аминов М.Ш. Некоторые вопросы движения и устойчивости твёрдого тела переменной массы // Тр. Казанск. авиац. ин-та. Сер. Матем. и ме-хан., вып.48.- 1959.-С. 3-117.

16. Галиуллин А.С. Некоторые вопросы устойчивости программного движения. Казань. - 1960.

17. Рубановский В.М. Об устойчивости некоторых движений твёрдого тела с упругими стержнями и жидкостью // ПММ. 1972. - Т.36. - №1. - С. 43-59.

18. Рубановский В.М., Румянцев В.В. Об устойчивости движения сложных механических систем // Успехи механ. 1979. - №2. - С. 53-79.

19. Набиуллин М.К. Стационарные движения и устойчивость упругих спутников. Новосибирск. - 1990.

20. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Харьков. - 1892.-250 с.

21. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. -М.: Наука,- 1989.-472 с.

22. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука. - 1990. - 128 с.

23. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука. - 1971.-240 с.

24. Колесников А.А. Синергетическая теория управления. М.: Энерго-атомиздат. 1994.

25. Колесников А.А., Медведев М.Ю. Современные методы синтеза систем управления. Таганрог: Изд-во ТРТУ. 2003.

26. Современная прикладная теория управления: Синергетический подход в теории управления // Под ред. А.А. Колесникова. Таганрог: Изд-во ТРТУ. 2000. Ч.Н.

27. Гайдук А.Р. Полиномиальный синтез нелинейных систем управления//АиТ.-№ 10.-2003.

28. Гайдук А.Р. Теория автоматического управления. Таганрог: Издво ТРТУ. 2004.

29. Гайдук А.Р. Математические основы систем автоматического управления. М.: Фирма «Испо-Сервис». - 2002. - 152 с.

30. Гайдук А.Р. Аналитические методы анализа и синтеза систем автоматического управления. Ростов-на-Дону: РГУ. 1988.

31. Матросов В.М., Демин В.Г. Устойчивость движения. Аналитическая механика. Управление движением. М.: Наука. - 1981. - 304 с.

32. Матросов В.М., Маликов А.И. Функции Ляпунова и их применения. Новосибирск. - 1986. - 248 с.

33. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодина-мике.-М.: Наука, 1978.-312 с.

34. Маркеев А.П., Сокольский А.Г. Некоторые вычислительные алгоритмы нормализации гамильтоновых систем. М.: Препринт ИПМ АН СССР.-№31,- 1976.-61 с.

35. Горр Г.В., Илюхин А.А., Ковалев A.M., Савченко А.Я. Нелинейный анализ поведения механических систем. Киев: Наукова думка, 1984 - 286 с.

36. Жак С.В., Мирская С.Ю., Сидельников В.И. Прямая и обратная задача устойчивости генерирование параметров системы теплоснабжения. -Северо - Кавказ, регион Естест. Н. - 2003. - №1. - С. 5-8.

37. Матросов В.М., Маликов А.И. Развитие идей Ляпунова за 100 лет: 1892 1992. - Изв. ВУЗов Математика. - 1993. - №4. - С. 3-47.

38. Боголюбов Н.Н., Крылов Н.М. Новые методы в нелинейной механике. М. - Л.: ОНТИ. - 1934. - 234 с.

39. Боголюбов Н.Н., Крылов Н.М. Введение в нелинейную механику. -Киев.- 1937.-363 с.

40. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. -М.:ГИТТЛ.- 1956.-491 с.

41. Митропольский Ю.А. Лекции по методу усреднения в нелинейной механике. Киев. - 1966.

42. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова. М.: Наука. - 1966.

43. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск. - 1972. - 663 с.

44. Дубошин Т.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. -М.:Наука,- 1975.-799 с.

45. Проскуряков А.П. Метод Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. М.:Наука. - 1977. - 256 с.

46. Плисс В.А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.: Наука. - 1977. - 304 с.

47. Демин В.Г. Движение искусственного спутника земли в нецентральном поле тяготения. М.: Наука. - 1968. - 352 с.

48. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука. - 1970.

49. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости / Под ред. А.А. Воронова, В.М. Матросова. М.: Наука. 1987.

50. Матросов В.М., Козлов Р.И. (Под ред.). Метод функций Ляпунова в динамике нелинейных систем. Новосибирск: Наука, Сиб. отдел. - 1983.

51. Руш Н., Абетс П., Лалуа П. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир. 1980.

52. Летов A.M. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. М.: Физматгиз. - 1962. - 483 с.

53. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука. -1968.-475 с.

54. Зубов В.И. Динамика управляемых систем. М.: Высшая школа. -1982.-286 с.

55. Осипов Ю.С. О принципе сведения в критических случаях устойчивости движения систем с запаздыванием времени // ПММ. 1965. - Т.29. -№5.-С. 810-820.

56. Зубов В.И. Проблемы устойчивости процессов управления. JL: Изв-во ЛГУ. - 1980. - 256 с.

57. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука. - 1981. - 448 с.

58. Хрусталёв М.М. Методы теории инвариантности в задачах терминального управления летательными аппаратами. М.: Изд-во МАИ. - 1987. -50 с.

59. Сиразетдинов Т.К. Устойчивость систем с распределёнными параметрами. Казань. - 1971. - 180 с.

60. Дегтярев Г.Л. Об устойчивости стационарных состояний в реагирующей системе // Тр. Казанск. авиац. ин-та. 1969. - Вып. 109. - С. 23-32.

61. Семёнов П.К. Об устойчивости работы ЖРД // Изв. Вузов. Авиационная техника. 1972. - №3. - С. 16-21.

62. Сиразетдинов Т.К. К теории устойчивости движения жидкости при постоянно действующих возмущениях // Изв. Вузов. Авиационная техника. -1965,-№4.-С. 62-74.

63. Сиразетдинов Т.К. К теории устойчивости процессов с распределёнными параметрами // ПММ. 1967. - Т.31. - №1. - С. 37-48.

64. Демидович Д.П. Лекции по математической теории устойчивости. -М.: Наука. 1967.-472 с.

65. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука. - 1964.

66. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука.- 1965.

67. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. Физматгиз.

68. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. Гостехиздат. - 1949.

69. Лефшец С., Ла-Салль Ж. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир. - 1964.

70. Vejvoda О. On the existence and stability of the periodic solution of the second kind of a certain mechanical system, Чехословацкий математический журнал 9 (84). 1959. - С. 390-415.

71. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир. - 1964. - 478 с.

72. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа. - 1967. - 564 с.

73. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 4-е изд. М.: Наука. - 1988. - 552 с.

74. Floquet G. Sur les equation differentielles lineaires a coefficients perio-diques (4). Ann. Ecole Norm. Sup, Paris (2) 12 (1883), pp. 47-89.

75. Снапелев Ю.М., Старосельский В.А. Моделирование и управление в сложных системах. М.: Советское радио. - 1974. - 264 с.

76. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука. -1967.-223 с.

77. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. Фитматгиз. - 1959.

78. Скимель В.Н. К задачам устойчивости движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки // ПММ. 1956. - Т.20. -№1. - С. 130-132.

79. Дубошин Н.Г. Основы теории устойчивости движения. М.: Изд-во МГУ, - 1952.

80. Пауэр Х.М. Solution of Lyapunov matrix equations for continues systems via Schwarz and Routh canonical forms // Electron. Lett. V.3. - №2. - pp. 81-82.

81. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Гостехиздат. -1952. - 432 с. - 2-е изд. - М.: Наука. - 1966. - 530 с.

82. Барбашин Е.А. О построении функций Ляпунова для нелинейных систем // Тр. 1-го Международн. конгресса ИФАК. Теория непрерывных систем. Спец. матем. пробл. М.: Изд-во АН СССР. - Т.2. - 1961. - С. 742-750.

83. Меркин Д.Р. Гироскопические системы. М.: ГИТТЛ. - 1956.

84. Персидский К.П. К теории устойчивости решений дифференциальных уравнений // УМН. Т.1. - №5-6. - С. 250-256.

85. Персидский К.П. Об устойчивости решений дифференциальных уравнений // Изв. АН КазССР. Сер. Матем. и механ. №4. - С. 3-18.

86. Зубов В.И. Методы A.M. Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во ЛГУ.- 1957.-241 с.

87. Персидский С.К. О применении линейных форм в качестве функций Ляпунова. // Изв. АН Каз.ССР. Сер. физ.-матем. 1968. - С. 39-46.

88. Кузьмин П.А. Теорема Гурвица в прямом методе Ляпунова // Тр. Казанск. авиац. ин-та.-Вып.71. 1962.-С. 3-11.

89. Парке П.С. A new look at the Routh-Hurwitz problem using Lyapunov's second method // Bull. Acad, polon. sciences. Ser. sci. techn. V.14. -№2.- 1967.-pp. 81-82.

90. Барабанов H.E., Гелиг A.X., Леонов Г.А., Лихтарников А.Л., Матвеев А.С., Смирнова В.Б., Фрадков А.Л. Частотная теорема (лемма Якубовича -Калмана) в теории управления // АиТ. № 10. - 1996.

91. Якубович В.А. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в теории автоматического регулирования // ДАН СССР. Т. 143. -№6.- 1962.

92. Ланская А.А. Разработка и исследование нелинейных регуляторов и наблюдателей на основе квазилинейного подхода // Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук. Таганрог,1. Изд-во ТРТУ,-2005,- 16 с.

93. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. JL: Машиностроение. 1974.

94. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука.1985.

95. Филлипс Ч., Харбор Р. Системы управления с обратной связью. М.: Лаборатория Базовых Знаний. 2001. - 615 с.

96. Попов В.М. Критерий качества нелинейных регулируемых систем. В кн.: Труды Первого международного конгресса ИФАК по автоматическому управления. T.l. М. 1961.

97. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука. 1979.

98. Теория автоматического управления. Нелинейные системы, управления при случайных воздействиях. Под ред. А.В. Нетушила. М.: Высшая школа. 1983.

99. Харитонов В.Л. Об асимптотической устойчивости положения равновесия семейства систем линейных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. Т.14. - № 11.- 1978.

100. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Управление хаосом: методы и приложения. I. Методы // АиТ. № 5. - 2003.

101. Carr J. Applications of Centre Manifold Theory. 1981.21. Ciccarella G., Dalla M.M., German A. A Luenberger-lake observer for nonlinear systems // Int. J. Control. V. 57. № 3.- 1993.

102. Isidory A., Astolfi A. Disturbance attenuation and H™ -control via measurement feedback in nonlinear systems // IEEE Trans. On Automat. Control. -V. AC-37.- 1992.

103. Ромм Я.Е., Буланов С.Г. Итерационные критерии устойчивости решений задачи Коши для систем линейных дифференциальных уравнений на основе разностных приближений по методу Эйлера / ТГПИ Таганрог.2003. 18 с. ДЕП в ВИНИТИ 11.09.03, № 1671 -В2003.

104. Ромм Я.Е., Буланов С.Г. Моделирование мультипликативных критериев устойчивости решений задачи Коши для систем линейных дифференциальных уравнений // Сб. докладов. Т. II. Таганрог. - Изд-во ТИУиЭ.2004.-С. 114-117.

105. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. 2-е изд. т.2. М.: Наука, - 1962.-310 с.

106. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука. 1971. - 534 с.

107. Рогалёв А.Н. Динамика множеств решений обыкновенных дифференциальных уравнений и интервальные решения // Вопросы математического анализа.-2002. №5. - С. 82-91.

108. Ромм Я.Е., Буланов С.Г. Итерационные критерии устойчивости решений задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений на основе разностных приближений по методу Эйлера / ТГПИ Таганрог. - 2003. -15 с. ДЕП в ВИНИТИ 18.06.03, № 1176-В2003.

109. Буланов С.Г. Погрешность метода Эйлера в условиях устойчивости // Сборник научных трудов 11 -й международной конференции «Математические модели физических процессов». Таганрог. - ТГПИ - 2005. - С. 221 -225.

110. Ромм Я.Е. Бесконфликтные и устойчивые методы детерминированной параллельной обработки / Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук . Таганрог: ТРТУ. 1998. - 546 е.; ВНТИ Центр. -№ 05.990.001006.

111. Ромм Я.Е. Параллельные итерационные схемы линейной алгебры с приложением к анализу устойчивости решений систем линейных дифференциальных уравнений // Кибернетика и системный анализ. 2004. - №4. - С. 119-142.155