автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Мультипликативное интегрирование в математическом моделировании

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

1.1 Основные обозначения.

1.2 Способы построения мультипликативного интеграла.

1.3 Описание некоторых математических теорий в терминах мультипликативного интеграла.

1.4 Некоторые оценки для мультипликативных интегралов.

1.5 Мультипликативный интеграл по мере.

1.6 Мультипликативный интеграл в задачах моделирования физических процессов.

2. МАТРИЦЫ, ДОПУСКАЮЩИЕ ТОЧНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ МУЛЬТИПЛИКАТИВНОГО ИНТЕГРАЛА.

2.1 Структура функционально - коммутативных матриц.

2.2 Функционально — нильпотентные матрицы.

2.3 Мультипликативный интеграл от матриц, не удовлетворяющих условию коммутативности.:.

3. ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ МУЛЬТИПЛИКАТИВНОГО ИНТЕГРАЛА.

3.1 Вычисление мультипликативного интеграла от функционально — некоммутативных матриц.

3.2 Мультипликативный интеграл и интегральные преобразования.

4. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МУЛЬТИПЛИКАТИВНОГО ИНТЕГРАЛА В ЗАДАЧАХ МОДЕЛИРОВАНИЯ.

4.1 Моделирование функций Эйри.

4.2 Моделирование вынужденных параметрических колебаний.

4.3 Пример простой модели интегральных преобразований.

Математическое моделирование, бесспорно, является одним из основных инструментов современной науки, активно используемым практически во всех её областях. Наиболее активно методы математического моделирования применяются в физике и прикладных науках.

Во второй половине XX в. наибольший прогресс был достигнут в развитии методов моделирования, связанных с использованием средств вычислительной техники. Это обусловлено, с одной стороны, гигантским прогрессом в области создания быстродействующих средств вычислительной техники с большими объёмами памяти и необходимостью анализировать динамику систем, описываемых либо нелинейными дифференциальными и интегральными уравнениями и их системами, либо системами дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, либо их комбинациями, с другой. Существует обширная библиография, посвященная анализу и перспективам развития численных методов, например [1], [2], [3], [4].

Необходимо отметить, что результаты численного моделирования имеют существенно неустранимый недостаток: они всегда конкретны, что затрудняет их общий анализ, особенно если анализируемые величины зависят от нескольких параметров.

Главной целью диссертации является разработка метода построения решения линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (описывающих, например, различные системы автоматического управления [5], [6]) в аналитической форме, что позволило бы анализировать поведение моделируемой системы в общем виде,, не привязываясь к конкретным значениям параметров.

Наиболее удобным в этом случае является представление фундаментальной матрицы решений системы (в матричной форме) at в виде мультипликативного интеграла:

X{t) = "[A(z)dT. & h

Хотя в математике понятие мультипликативного интеграла известно с конца XIX в., теория мультипликативного интегрирования не получила широкого распространения. До настоящего времени не существует обширной библиографии по данной теме и полученные результаты не являются полными. В монографиях [7], [8], [9] изложены основные вопросы теории мультипликативного интегрирования и рассмотрен ряд её приложений — но отсутствуют сами методы вычисления мультипликативного интеграла. Это связано с трудностями вычисления мультипликативного интеграла от матриц достаточно произвольной структуры/

В теории дифференциальных уравнений [7], [9], [10] доказано, что в случае функциональной коммутативности матриц [12] a(t)a(t')i= a(t)a(t')- a(t')a(t) = 0 мультипликативный интеграл сводится к вычислению матричной экспоненты

7 a(z)dT = ехр[ )а(т)<1т}. (4)

0 'о

Таким образом, задача о практическом вычислении мультипликативного интеграла может быть разбита на несколько связанных между собой задач:

1. Определение структур матриц, удовлетворяющих (3) и позволяющих точно вычислить мультипликативный интеграл по соотношению (4).

2. Определение структур матриц, изначально не удовлетворяющих (3), но мультипликативный интеграл от которых может быть вычислен точно путём использования процедуры интегрирования по частям [7], [10].

3. Разработка методов приближённого вычисления мультипликативного интеграла от матриц произвольной структуры. В [8] приведён метод вычисления мультипликативного интеграла от матриц с переменными коэффициентами специального вида (полиномиальных матриц).

При решении указанных задач в работе были использованы методы линейной алгебры и теории дифференциальных уравнений, а также основные понятия из теории интегральных преобразований.

Научная новизна работы заключается в следующем: разработаны методы, позволяющие определить структуры матриц с переменными коэффициентами таким образом, чтобы они удовлетворяли (3), а также приближённые методы вычисления мультипликативного интеграла от матриц произвольной структуры. Исследование приложений теории мультипликативного интеграла к решению различных конкретных уравнений позволило сравнить полученные результаты с ранее известными результатами.

Результаты исследований оформлены в виде четырёх глав. В первой главе — обзоре литературы - изложены основные положения теории мультипликативного интегрирования и краткое описание некоторых, математических теорий в терминах мультипликативного интеграла.

В параграфе 1.1 приведены основные обозначения, в параграфе 1.2 даны основные определения и формулировки используемых в работе понятий. В параграфе 1.3 рассмотрены некоторые математические теории с точки зрения мультипликативного интегрирования. Далее в параграфе 1.4 приведены важные: оценки для мультипликативного интеграла, здесь же вводится понятие несобственного мультипликативного интеграла. В параграфе 1.5 определён мультипликативный интеграл по мере, приводятся его основные свойства. В параграфе 1.6 приведены примеры, иллюстрирующие применение теории мультипликативного интеграла по мере к конкретным уравнениям и исследуются их решения.

Первая глава намеренно представляет собой расширенный обзор существующей литературы по данной теме, т.к. библиография не является достаточно объёмной и современное состояние теории исследуемых вопросов не является исчерпывающим, с одной стороны, а на практике исследуемые методы применяются достаточно редко.

В первую главу не включены известные результаты теории мультипликативного интеграла от комплексных матриц, поскольку в данной работе рассматриваются только матрицы с коэффициентами, зависящими от вещественной переменной.

Вторая глава посвящена определению структур функционально — коммутативных матриц. Глава состоит из трёх параграфов. В параграфе 2.1 определена структура функционально — коммутативных матриц в общем виде. В параграфе 2.2 вводится понятие функционально - нильпотентных матриц как частный случай матриц, удовлетворяющих (3). Определён вариант структуры функционально - нильпотентных матриц. Приведены соответствующие примеры. В параграфе 2.3 исследуются матрицы, не являющиеся функционально - коммутативными, мультипликативный интеграл от которых также может быть вычислен точно.

В третьей главе представлены приближённые методы вычисления мультипликативного интеграла. В параграфе 3.1 изложен итерационный метод вычисления мультипликативного интеграла от матриц произвольной структуры. В параграфе 3.2 рассмотрена возможность вычисления некоторых интегральных преобразований в терминах мультипликативного интеграла.

В четвёртой главе приведён анализ конкретных систем, иллюстрирующий применение теории мультипликативного интеграла и приводятся соответствующие расчётные программы, а также рисунки, поясняющие расчёты.

Практическая значимость диссертации состоит в том, что полученные результаты позволяют проводить анализ моделируемых систем в общем виде (без конкретных значений параметров).

В результате проведённой работы на защиту выносятся следующие результаты: варианты структур матриц, допускающие точное вычисление мультипликативного интеграла; мультипликативный интеграл и интегральные преобразования; приближённые методы вычисления мультипликативного интеграла.

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на международных научных и научно - методических конференциях: на 23-й конференции молодых учёных мех-мата МГУ (Москва, апрель 2001 г.), на конференции «Математическое моделирование в образовании, науке и производстве» (Тирасполь, июнь 2001 г.), конференциях «Математика в вузе» (Великие Луки, июнь 2002 г.; Петрозаводск, июнь 2003 г.), на конференции "Second WSEAS International Conference on Simulation, Modelling and Optimization (ICOSMO 2002)" (Skiathos, Skiathos Island, Greece, September 2002), на семинаре "Workshop on Differential Equations dedicated to the memory of V.Lazutkin" (СПб, август 2002 г.), на конференции "MathTools' 2003" (СПб, июнь 2003 г.), на семинарах кафедр теоретической и математической физики и кафедры прикладной математики НовГУ.

По теме диссертации опубликовано 10 работ.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, четырёх приложений, заключения и списка использованных источников. Объём диссертации 85 страниц машинописного текста, включая список литературы из 47 наименований.

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Определены варианты структуры функционально - нильпотентных матриц, мультипликативный интеграл от которых вычисляется точно (либо непосредственно, либо с использованием процедуры, интегрирования по частям).

2. Разработан метод определения структуры функционально - коммутативных матриц, найдены варианты структур таких (функционально -коммутативных) матриц до пятого порядка включительно.

3. Найдены два итерационных метода построения приближённых аналитических выражений мультипликативного интеграла от функционально - некоммутативных матриц. Проанализирована сходимость итерационных формул по норме.

4. Показано, что построенные методы (и точные и итерационные) вычисления мультипликативных интегралов указывают на возможность их применения как перспективного способа аналитического моделирования различных процессов в прикладных областях математики.

5. Разработаны аналитические модели решений некоторых конкретных дифференциальных уравнений, которые построены с помощью итерационного метода, и, как показано в работе, достаточно удовлетворительно согласуются с известными ранее результатами.

6. Проведён анализ мультипликативного интеграла от матриц с переменными коэффициентами, который показал возможность получения различных интегральных преобразований от произвольных функций в реальном масштабе времени при определённом выборе некоторых элементов матрицы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы, М.: Наука, 1987.- 600 с.

2. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа, М.: Наука, 1967.- 368 с.

3. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, под ред. Дж. Холла и Дж. Уатта, М.: Мир, 1979.-312 с.

4. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы, М.: Наука, 1989.

5. Основы автоматического управления / Под ред. Пугачёва B.C., М.: Наука, 1968.-680 с.

6. Гноенский Л.С., Каменский Г.А., Эльсгольц Л.Э. Математические основы теории управляемых систем, М.: Наука, 1969. 512 с.

7. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц, М.: Наука, 1967.- 576 с.

8. Крейн С.Г., Яцкин Н.И. Линейные дифференциальные уравнения на многообразиях, Воронеж: Изд-во ВГУ, 1980. —132 с.

9. Мантуров О.В. Мультипликативный интеграл // Итоги науки и техники. Сер. проблемы геометрии, т.22, М., 1990, с.167-215.

10. Dollard J.D., Friedman Ch.N. Product Integration with Applications to Differential Equations London, Addison - Wesley Publ. Co., 1979.- 254 p.

11. Адрианова Л.Я. Введение в теорию линейных систем дифференциальных уравнений, СПб (изд. СпбГУ), 1992.- 240 с.

12. Артемьева С.М., Сурин Т.Л. О приводимости линейных дифференциальных систем с функционально — коммутативной матрицей // Дифференциальные уравнения, т.31, №1, с.3-7,1995.

13. Volterra V. Sui fondamenti della teoria delle equazioni differenziali lineari, Mem.Soc.Ital.Sci., (3)6, 1887, S.l-104.

14. Schlesinger L. Yorlesungen liber lineare Differentialgleighungen, Berlin, 1908.

15. Schlesinger L. Einfuhrung in die Theorie der gewohnlichen Differetialgleighungen auf funktionentheoretischer Grundlage, Berlin, 1922.

16. Rasch G. Zur Theorie und Anwendung des Produktintedrals, J. fur die reine und angew. Math., 171, S. 65-119, 1934.

17. Birkhoff G. On Product Integration, Journ. of Math and Phys., V. 16, S. 104132,1937.

18. Мантуров O.B. Некоторые факты теории мультипликативного интеграла // Приложения дифференц. геометрии, Воронеж, 1989.

19. Мантуров О.В., Мартынюк А.Н. Об одном алгоритме в теории мультипликативного интеграла // Изв. вузов. Мат., 1989, №5, с.26-31.20., Паланджянц Л.Ж. Об одном приёме вычисления мультипликативного интеграла// Дифференц. уравнения, 1983, 19, №9, с.1630-1632.

20. Мартынюк А.Н. Об одной задаче теории криволинейного мультипликативного интеграла // Приложения дифференц. геометрии, Воронеж, 1989, с. 45-50.

21. Кумпяк Д.Е. О приближённом вычислении мультипликативного интеграла. Оценка глобальной погрешности разностных схем // сб. тр. Тверского гос. ун-та, с. 67-74.

22. Кумпяк Д.Е. О приближённом вычислении мультипликативного интеграла. Построение разностных схем на основе разложения Пеано // сб. тр. Тверского гос. ун-та, с 75-81.

23. Морозов В.В. О коммутативных матрицах // Уч. зап. Казанского гос. унив-та, 1952, 112, кн.9, с. 17-20.

24. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в Банаховом пространстве, М.: Наука, 1970,- 536 с.

25. Лозинский С.М. Оценка разности двух матрицантов // Доклады АН СССР, Сер. Математика, 1967, т. 172, №6, с. 1266-1269.

26. Rudin W. Real and Complex Analysis, McGraw Hill, New York, 1966.

27. Dollard J.D., Friedman Ch.N. On Strong Product Integration, Journ. of Funct. Analysis, 1978, Vol.28, p.309-354.

28. Беллман Р. Введение в теорию матриц, М.: Наука, 1969.- 368 с.

29. Ланкастер П. Теория матриц, М.: Наука, 1982.- 272 с.

30. Kovalevskaya N.M. On some questions of the theory and practice of the product integral evaluation // 2nd WSEAS Int. Conf. On Simulation, Modelling and Optimization (ICOSMO 2002), Skiathos, Skiathos Island, Sept.25-28,2002.

31. Ковалевская Н.М. Интегрирование в квадратурах систем линейных дифференциальных уравнений n-го порядка // Тр. 23й конф. молодых учёных мех. мат. факультета МГУ, т.2, М.: МГУ, 2001, с. 164-166.

32. Ковалевская Н.М. Мультипликативный интеграл от функционально -нильпотентных матриц // Tp.XV межд. научно метод, конф. "Математика в вузе", Великие Луки, 2002, с. 176-178.

33. Ковалевская Н.М., Ковалевский М.М. Условия разрешимости в квадратурах систем линейных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами, деп. ВИНИТИ №2450-В 00 от 20.09.2000.

34. Ковалевская Н.М., Ковалевский М.М. О функциональной коммутативности матриц третьего порядка, деп. ВИНИТИ № 2528-В00 от 29.09.2000.

35. Устинов В.Б., Ковалевский М.М., Баруздин С.А. Изв. АН СССР, сер. физическая, т.50, №8,1986, с.1495.

36. Маныкин Э.А., Самарцев В.В. Оптическая эхо-спектроскопия, М.: Наука, 1984.

37. Шилов Г.Е. Математический анализ (конечномерные линейные пространства), М.: Наука, 1969.

38. Ковалевская Н.М. Вычисление мультипликативного интеграла итерационным методом // Материалы межд. научно практ. конф. "Математическое моделирование в образовании, науке и производстве", Тирасполь, 2001, с.78-80.

39. Ковалевская Н.М. Perspectives of Application of Product Integral Theory to Mathematical Modelling // Book of Abstracts "Tools for Mathematical Modelling", SPb, 2003, p. 95.

40. Ковалевская Н.М. Методы вычисления мультипликативного интеграла // Материалы XVI межд. научно метод, конф. "Математика в вузе", Петрозаводск, 2003, с. 161-162.

41. Ковалевская Н.М. Мультипликативный интеграл и интегральные преобразования, Учёные записки НовГУ, 07.05.2003.

42. Ковалевская Н.М. О точных значениях мультипликативного интеграла, Учёные записки НовГУ, 31.05.2003.

43. Коновалов А.Н. Введение в вычислительные методы линейной алгебры, Новосибирск, изд-во НГУ, 1983. 84 с.

44. Матвеев Н.М. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, СПб, изд. СПбГУ, 1995.-314 с.

45. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний, М.: Наука, 1978.

46. Урмаев А.С. Основы моделирования на ABM, М.: Наука, 1978. 272 с.