автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Подавление мультипликативного шума в дискретных системах

На правах рукописи

Подлипалин Владимир Александрович

ПОДАВЛЕНИЕ МУЛЬТИПЛИКАТИВНОГО ШУМА В ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМАХ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в технической отрасли)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Саратов 2004

Работа выполнена в Саратовском государственном техническом университете.

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Петров Сергей Владимирович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Коваль Владимир Александрович

кандидат технических наук Улыбин Вячеслав Иванович

Ведущая организация:

ОАО "КБ Электроприбор" (г. Саратов)

Защита состоится "21" декабря 2004 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.242.04 при Саратовском государственном техническом университете по адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, корп. 2, ауд. 322.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке Саратовского государственного технического университета.

Автореферат разослан ноября 2004.

Ученый секретарь

диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многомерные системы управления с периодическими режимами работы имеют многочисленное применение, например в электротехнике, силовой (энергетической) электронике, электроприводе и т.д. Среди них особый интерес вызывают объекты, математические модели которых представляются системами сингулярных дифференциальных уравнений. Отражающие их системы дифференциальных уравнений, получаемые из объективных физических законов (естествознания), содержат мультипликацию сингулярной матрицы коэффициентов и производной вектора состояния. Распространенным методом исследования свойств системы дифференциальных уравнений является метод, основанный на форме представления Коши. Для того чтобы представить исходные дифференциальные уравнения в форме Коши, необходимо разрешить их относительно производной вектора состояния. Данное преобразование не вызывает затруднений для случая, когда матрица коэффициентов перед производной вектора состояния не сингулярная.

Для случая сингулярной матрицы известен подход к решению таких уравнений, заключающийся в добавлении к исходной матрице некой "малой" матрицы, такой, чтобы результирующая матрица уже не являлась сингулярной. Данный подход приводит к некоторому искажению физической сущности задачи; также преобразованные уравнения, как правило, являются "жесткими", что создает дополнительные сложности при моделировании. Указанный подход приводит к тому, что мы имеем дело с системой и дифференциальных уравнений, часть из которых будут весьма приближенными. Естественно предположить существование решения задачи приведения исходной системы дифференциальных уравнений к гибридной форме, содержащей п-т - дифференциальных и т- алгебраических уравнений, где т - сингулярность матрицы.

Таким образом, задача преобразования исходной системы сингулярных дифференциальных уравнений к гибридной форме, сохраняющей физическую сущность задачи, является актуальной.

Преобразование сингулярной системы дифференциальных уравнений основывается на декомпозиции исходной системы на две подсистемы: дифференциальную и алгебраическую, причем размерность дифференциальной подсистемы меньше размерности исходной системы и равна рангу сингулярной матрицы.

Многомерная система, реализующая некоторую заданную функцию, может иметь различные структуры сингулярной матрицы. Структура сингулярной матрицы (системы) отражается на свойствах системы. Таким образом, имеет место задача синтеза структуры системы, близкой к оптимальной. В работе рассматривается, синтез (выбор), СТРУКТУРЫ

. плциоНАЛЬНЛв / | БИБЛИОТЕКА {

системы, близкой к оптимальной по критерию точности выходных параметров, в условиях воздействия внешней среды. Каждой структуре можно поставить в соответствие информационный алгоритм преобразования входной величины в выходную, характеризующийся диаметром информации. Таким образом, задача выбора оптимальной структуры по критерию точности выходных параметров в условиях неопределенности состояния внешней среды может быть сведена к задаче выбора оптимального алгоритма с минимальным диаметром информации.

Задача синтеза оптимального алгоритма рассматривается в контексте обшей теории оптимальных алгоритмов, базирующейся на работах Д. Трауба, X. Вожьняковского и др.

Рассматриваемые модели системы по своей физической природе являются двухвходовыми, они содержат вход управления, задающий желаемое значение выходной величины, и вход помехи. Помеха имеет ненулевое математическое ожидание и характеризуется минимальным и максимальным значением. Вход по помехе является мультипликативным. Примером такого входа может служить нестабилизированный вход питания упомянутых выше устройств.

Изменение сигнала на мультипликативном входе приводит к изменениям выходной величины. Задача компенсации воздействий по мультипликативному входу системы становится актуальной.

Цель работы. Разработка алгоритмов преобразования системы дифференциальных уравнений с сингулярной матрицей к гибридной форме, состоящей из дифференциальных уравнений в форме Коши и алгебраических уравнений; синтез структуры многомерной системы управления с периодическим режимом работы и регулятором обеспечивающей наилучшую точность выходных параметров системы при воздействии окружающей среды; разработка алгоритмов управления системами с периодическими режимами работы в условиях мультипликативных помех.

Методы исследований. Теория дифференциальных уравнений, теория матриц, общая теория оптимальных алгоритмов, методы теории управления, математическое моделирование, макетирование.

Научная новизна работы состоит в следующем:

• предложен алгоритм преобразования к гибридной форме системы дифференциальных уравнений с сингулярной матрицей перед производной вектора состояния. Гибридная форма состоит из двух систем уравнений: дифференциальной, представленной в форме Коши, размерность которой равна рангу сингулярной матрицы, и алгебраической.размерность которой равна дефекту матрицы;

• предложен подход к оптимизации структуры, основанный на общей теории оптимальных алгоритмов многомерной системы с периодическим режимом работы и сингулярной матрицей. Рассмотрены

две предельные структуры построения подобных систем: централизованная и распределенная. Показано, что распределенная структура построения системы является оптимальной по критерию точности вектора выходных параметров;

• предложен принцип управления дискретными системами с мультипликативным входным сигналом помехи по площади импульсов. Показано преимущество данного принципа управления перед управлением по среднему.

Достоверность результатов подтверждена корректностью применения математического аппарата теории автоматического управления, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и общей теории оптимальных алгоритмов, а также согласованностью полученных результатов с данными компьютерного моделирования и результатами испытаний опытных образцов.

На защиту выносятся:

1. Алгоритм преобразования модели многомерной системы с сингулярной матрицей к гибридной форме.

2. Синтез структуры многомерной системы с сингулярной матрицей, близкой к оптимальной.

3. Алгоритм управления двухвходовыми импульсными системами по площади импульса.

4. Математическая модель двухвходовой системы с мультипликативным входным сигналом, описываемая системой дифференциальных уравнений с сингулярной матрицей.

5. Образцы источников вторичного электропитания с алгоритмом управления по площади импульса.

Практическая ценность работы состоит в разработке алгоритма управления дискретными двухвходовыми системами по площади импульса, инвариантного к помехе по мультипликативному входу, практическое применение которого позволило создать новый класс источников питания, устойчивых к стохастической нестабильности напряжения первичной сети. Синтезирована квазиоптимальная структура системы с сингулярной матрицей и периодическими режимами работы, разработана инженерная методика преобразования математической модели сингулярных дифференциальных уравнений к форме, пригодной для дальнейшего исследования.

Разработана конструкторская документация, по которой изготовлены промышленные образцы источников вторичного электропитания, прошедшие все виды испытаний и использующиеся в составе авторулевого "Агат-М" для морского пограничного катера "Сокжой".

Апробация работы. Основные положения и результаты представлялись на: научных семинарах СТТУ; международной научной конференции "Информационные технологии в естественных науках,

экономике и образовании" (Саратов-Энгельс, 2002); международной научной конференции "Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении " (Саратов, 2002); международном симпозиуме "Интеллектуальные системы" (Саратов, 2004). Результаты исследования защищены патентом на изобретение №2214032. Промышленные образцы источников вторичного электропитания с алгоритмом управления по площади импульса прошли все виды испытаний и внедрены в эксплуатацию в составе авторулевого "Агат-М" для СВК типа "Сокжой" и "Меркурий". По результатам работы получены акты внедрения в НПП "АНФАС", г. Саратов.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы, приложений. Содержит 126 страниц машинописного текста и 42 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность работы, научная новизна, формулируется цель работы, описывается структура глав диссертации и основные результаты.

В первой главе диссертационной работы рассматриваются динамические системы, описываемые системой дифференциальных уравнений вида:

или в матричной форме

мх+кх=и.

Для исследования свойств системы необходимо перейти от уравнений вида (1) к уравнениям в форме Коши, для чего необходимо исходную систему уравнений разрешить относительно вектора X. Это преобразование возможно только в случае несингулярности матицы М, в противном сдучае упомянутая матрица не имеет обратной и уравнение вида X — —М~ ЯХ + М~ 1} не имеет смысла. Показано, что с помощью

линейного преобразования

дифференциальную

систему (1) можно декомпозировать на две подсистемы: дифференциальную размерностью и алгебраическую размерностью

п - к, где п - порядок исходной системы а к - ранг матрицы М. Линейное преобразование обладает тем свойством, что результирующая матрица

произведения ЗЫ имеет вид 5М =

О

п-к,п

В

результате

умножения системы (1) на матрицу З получим следующее уравнение:

Ряд уравнений системы (2) не зависят от производной вектора состояний и являются алгебраическими. Они образуют алгебраическую часть гибридной системы. Остальные уравнения определяют дифференциальную часть гибридной системы.

В окончательном виде гибридная система определяется двумя системами уравнений: дифференциальной (3) и алгебраической (4).

Х1 =лхк+ви + ви,

Структурная схема системы (3,4) показана на рис. 1.

(3)

(4)

Рис. 1. Структурная схема преобразованной линейной стационарной системы

Матрица преобразования З вычисляется из следующих посылок. Результирующая матрица произведения матриц ЫЗ имеет вид

8М =

Ек, ; V* МкЛ j Мк,п-к

1 р 1 п-к,п-к Мп-к.к ! Мп-к*-к

Г 1 Мк.п-к 1

+ Е«-к.п-кМ*-к,к

Как следует из (2),должны выполняться следующие два равенства:

+ Е»-к,*-кМ„-к.к = °»-к.к-

Запишем последнее равенство в виде $п_ккМкк =~Мп_кк и умножим обе части уравнения на матрицу Мк\, в результате чего получим выражение для искомой матрицы Оно определяется формулой:

Я»-*,* =-М„-к,кМк,к гДе м»-к,к-

Во второй главе синтезирована квазиоптимальная структура системы вида МХ + ИХ = V с сингулярной матрицей М и периодическими режимами работы. Каждой структуре реализации системы можно поставить в соответствие информационный алгоритм преобразования входной величины в выходную, характеризующийся диаметром информации. Таким образом, задача выбора оптимальной структуры системы по критерию точности выходных параметров в условиях неопределенности состояния внешней среды может быть сведена к задаче выбора оптимального по точности алгоритма.

Оценка снизу точности алгоритма по Траубу может быть произведена с помощью выражения е(^)>г(/,5), где е(<р) - ошибка алгоритма (р, - радиус информации I для задачи £ Таким образом,

система, алгоритм реализации которой обладает меньшим радиусом информации, потенциально более точная. Радиус информации определяется параметрами внешней среды. Следует заметить, что диаметр информации также является оценкой алгоритма снизу. В нашем случае диаметр информации вычислить проще, поэтому в дальнейшем будем пользоваться именно им.

Система, рассматриваемая во второй главе, является частным случаем системы, рассмотренной в первой главе. Ранг матрицы М равен единице, все элементы матрицы Я, за исключением диагональных, равны нулю, и все элементы вектора управления и, за исключением первого, также равны нулю. Диагональные элементы матрицы Я имеют структуру где - параметр системы, - параметр внешней среды, являющейся возмущающим входом системы, учитывающий влияние внешней среды на систему.

Диаметр информации алгоритма определяется на основе внешних характеристик рассматриваемой системы «( = й1(й2,г1,гг,...,г11). Внешние характеристики вычисляются по общей формуле:

ошибка по / выходу системы определяется по формуле

Дм/

«■ =»» — W -^rLrl±lL 57- а

W2r2mr;+r; 1 w2 гг К+i"

2 "

(5)

Диаметр информации для выходов, не охваченных обратной связью, вычисляется с помощью выражения

diam(&ul")= sup sup (ди")

Диаметр информации находится как максимум выражения (5) при заданных ограничениях на параметры внешней среды. Максимум выражения (5) определяется методом неопределенных множителей Лагранжа. Окончательное выражение для диаметра информации j выхода системы имеет вид

„min __с . . mu Л

diam{hü?)= sup sup (Ди/")=^-|

W,

r2c+r2""

1+1

с , т

щ

Обобщенный диаметр информации определяется как норма вектора, компоненты которого являются диаметрами информации для соответствующих выходов системы

(6)

Для распределенной системы диаметр информации равен нулю, т.е. сИат[бмт) = 0. Для централизованной системы все слагаемые выражения (6), за исключением слагаемого, соответствующего выходу, охваченному контуром обратной связи,отличны от нуля, в результате чего и выражение (6) отлично от нуля, причем диаметр информации увеличивается с увеличением размерности системы при прочих равных условиях.

На основании вышесказанного можно сделать вывод, что система с одним выходом, охваченным контуром обратной связи, является оптимальной по точности,т.к. диаметр информации для такой системы

равен нулю. Такая система описывается системой дифференциальных уравнений вида

В случае необходимости большего числа выходов целесообразно использование множество систем вида (7), что можно представить в виде обобщенной математической модели:

где Ми К матрицы размером 2x2.

В третьей главе диссертационной работы получен алгоритм управления импульсной системой по площади импульса, инвариантный к возмущающим воздействиям по мультипликативному входу. Показано преимущество данного типа управления перед классическим широтно-импульсным управлением.

Принцип широтно-импульсной управления заключается в изменении ширины импульса в соответствии с модулирующим сигналом, при неизменной частоте и амплитуде модулирующего импульса. Однако существуют области применения широтно-импульсного управления, где кроме ширины импульса, меняется также амплитуда модулирующего импульса. При этом амплитуда импульса не зависит от технического устройства осуществляющего управление. Соответственно регулятор не способен компенсировать изменение амплитуды импульса. Амплитуда импульса является параметром внешней среды, в которой функционирует техническое устройство, в связи с чем амплитуда импульса может трактоваться как некоторый вход системы, по которому на систему воздействует внешняя среда.

Сигнал по мультипликативному входу оказывает существенное влияние на выходной сигнал как разомкнутой, так и замкнутой систем. Кроме того, в замкнутой системе предъявляются повышенные требования к регулятору, так как сигнал по мультипликативному входу фактически является переменным передаточным коэффициентом, значение которого меняется в широких пределах, что приводит к изменению выходного сигнала системы.

Таким образом, имеет место задача компенсации влияния сигнала по мультипликативному входу на импульсную систему с широтно-импульсным управлением.

Выходной сигнал для традиционного широтно-импульсного управления в системе с мультипликативным входом определяется выражением

у[п}=^и[^ШХпТ-кТ\, (8)

к=0

где II - сигнал на мультипликативном входе, у - управляющий параметр, к\пТ-кТ] - импульсная переходная функция непрерывной части системы.

Сигнал по мультипликативному входу входит в выражение (8) как независимая функция, и возмущения по этому входу могут приводить к существенным изменениям выходной величины, что нежелательно либо недопустимо. Также следует иметь в виду, что дискретная система, описываемая выражением (8), является нелинейной, что, в свою очередь, привносит дополнительные трудности при синтезе регулятора замкнутой системы.

Выходной сигнал для системы с управлением по площади импульса описывается выражением

» Щ-гГ

I

Ы> ¡¡Г *-0 кт

где - дискретная импульсная переходная функция

непрерывной части системы,

- сигнал на мультипликативном входе системы.

(10)

Очевидно, что выражение (10) является площадью импульса, поступающего на вход непрерывной части системы. Управляющий

параметр у определяется из условия = , где S,-заданная

величина площади импульса. Технически определяется

интегрированием импульса, поступающего на вход непрерывной части системы. Интегрирование производится до тех пор, пока значение интеграла не достигнет заданной величины. По достижении интегралом заданной величины происходит окончание текущего модулирующего импульса, параллельно происходит сброс интеграла в нулевое состояние, подготавливая его тем самым к очередному периоду работы.

Выражение (9) с учетом (10) для дискретных моментов времени будет иметь вид

„ иу

[пТ-кТ^^т^кХпТ-кТ] К(г>/г, (9)

(И)

Согласно выражению (11), выходная величина инвариантна к воздействию по мультипликативному входу и зависит только от функции Я[кТ], которая может быть измерена. Структурная схема системы с управлением по площади импульса показана на рис. 2.

Рис. 2. Структурная схема импульсной системы с управлением по площади импульса. Замкнутая система

Система управления по среднему, описываемая уравнением (8), является частным случаем системы управления по площади импульса (11). Действительно, если положить сигнал на мультипликативном входе системы (8) равным константе С/и=С0И5/, выражения (8) и (11) примут идентичный вид с точностью до обозначения.

В четвертой главе диссертационной работы представлены результаты апробации результатов теоретической части диссертации. Обосновывается выбор прикладного использования теоретических результатов диссертации.

На примере системы вторичного электропитания показано преимущество распределенной структуры построения периодических систем с сингулярной матрицей, где в качестве критерия оптимальности использовалась обобщенная точность системы.

Алгоритм управления по площади импульса дискретными двухвходовыми системами с мультипликативным входом реализован в разработанных источниках вторичного электропитания.

Структурная схема вторичного источника питания с управлением по площади импульса показана на рис. 3.

Рис. 3. Структурная схема вторичного источника питания с управлением по площади импульса

На основании теоретических результатов получена математическая модель вторичного источника питания (12).

В главе приведены результаты моделирования периодических импульсных систем с управлением как по среднему, так и по площади импульса. Для тестирования использовались типовые входные сигналы в виде ступенчатой функции и синусоидальной функции. Показано преимущество управления по площади импульса.

Моделирование показало, что при управлении системой по площади импульса ошибка от помехи по мультипликативному входу меньше в ~50 раз, чем при управлении по площади импульса. На рис.4 показаны результаты моделирования источника вторичного электропитания с управлением по среднему. На рис. 5 показаны результаты моделирования источника вторичного электропитания с управлением по площади импульса.

Рис. 4. Выходной сигнал системы с Рис. 5. Выходной сигнал системы с управлением по среднему при управлением по площади импульса при ступенчатом входном воздействии ступенчатом входном воздействии

I I-г

¡V | | ; ;

-1-1-■ ■—

Рис. б. Осциллограммы выходного сигнала

Разработаны и изготовлены несколько типономиналов вторичных источников питания с управлением по площади импульса. Результаты тестирования вторичных источников питания с управлением по площади импульса с хорошей точностью совпадают с результатами моделирования и подтверждают правомерность полученных теоретических результатов. Осциллограмма сигнала на выходе вторичного источника питания, при входном сигнале в виде ступенчатой функции, показана на рис. 6.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработан алгоритм преобразования модели объекта в виде системы дифференциальных уравнений с сингулярной матрицей перед производной вектора состояния к гибридной форме. Гибридная форма состоит из двух систем уравнений:

• дифференциальной, представленной в форме Коши, размерность которой равна рангу сингулярной матрицы;

• алгебраической, размерность которой равна дефекту матрицы.

2. Разработан подход, основанный на общей теории оптимальных алгоритмов, к синтезу структуры многомерной системы с сингулярной матрицей и периодическим режимом работы. Рассмотрены две предельные структуры построения подобных систем: централизованная и распределенная. Показано, что распределенная структура построения системы является оптимальной по критерию точности вектора выходных параметров.

3. Определен новый алгоритм управления дискретными системами с мультипликативным входным сигналом по площади импульса. Показано преимущество данного алгоритма управления перед управлением по среднему:

• длительность переходного процесса при воздействии помехи на мультипликативный вход равна периоду дискретизации импульсного элемента, в отличие от управления по среднему, где длительность переходного процесса определяется постоянными времени непрерывной части системы;

• перерегулирование выходной величины системы при воздействии типовых сигналах на мультипликативном входе сократилось более чем в 50 раз по сравнению с управлением по среднему.

4. На основании проведенных исследований разработаны принципы формирования структуры систем вторичного электропитания. Показано преимущество систем вторичного электропитания с распределенной структурой.

5. Разработана конструкторская документация вторичных источников питания с подавлением шума по питающему напряжению, с использованием разработанных структур систем, алгоритмов управления и полученного патента РФ. В промышленном производстве изготовлены опытные образцы источников питания, которые с положительными результатами прошли необходимые испытания и внедрены в эксплуатацию.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ ИЗЛОЖЕНЫ В СЛЕДУЮЩИХ ПУБЛИКАЦИЯХ:

1. Петров С.В. Математическая модель многомерной трансформаторной системы / С. В. Петров, В. А. Подлипалин // Информационные технологии в естественных науках, экономике и образовании: Труды междунар. науч. конф.-Саратов-Энгельс, 2002. - С. 134-136.

112 686 6

2. Петров С.В. Синтез структуры статического преобразователя энергии, близкой к оптимальной / С. В. Петров, В. А. Подлипалин // Математические методы в технике и технологиях: Сб. тр. XVI науч. конф.-

Санкт-Петербург, 2003. Т.2. - С. 40.

3. Подлипалин В. А. Преобразование некоторых динамических систем с сингулярной матрицей к форме Коши / В. А. Подлипалин // Математические методы в технике и технологиях: Сб. тр. XXVI науч. конф.-

Санкт-Петербург, 2003. Т.1. - С. 57-59.

4. Петров С.В. Анализ процессов в двухвходовых системах на примере статических преобразователей / С. В. Петров, В. А. Подлипалин // Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении: Материалы междунар. конф. - Саратов, 2002. - С. 168169.

5. Петров С. В. Интегральный способ подавления мультипликативного шума в дискретных периодических системах / С. В. Петров, В. А. Подлипалин // Проблемы точной механики и управления: Сб. науч. тр. - Саратов, 2004. - С. 51-54.

6. Петров С. В. Подход к синтезу оптимальных структур некоторых видов преобразователей энергии / С.В. Петров, В.А. Подлипалин // Математические методы в технике и технологиях: Сб. тр. XVII науч. конф.-

Кострома, 2004. Т.8. - С. 18-19.

7. Подлипалин В. А. Некоторые аспекты построения систем вторичного электропитания / В. А. Подлипалин // Интеллектуальные системы: Труды шестого международного симпозиума. - Москва, 2004. -С. 433-436.

8. Патент на изобретение №2214032 по заявке №2001116774 от 15.06.2001. Конвертор / С В. Петров, В. А. Подлипалин.

Лицензия ИД № 06268 от 14.11.01

Подписано в печать 10.11.04 Формат 60x84 1/16

Бум. тип. Усл. печ.л. 0,93 (1,0) Уч.-изд.я .0,9

Тираж 100 экз. Заказ 464 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет 410054 г. Саратов, ул. Политехническая, 77 Копипринтер СГТУ, 410054 г. Саратов, ул. Политехническая, 77

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Математическая модель объекта управления с сингулярной матрицей. Алгоритм преобразования модели

1.1. Математическая модель многомерной системы с сингулярной матрицей

1.2. Преобразование линейной стационарной системы дифференциальных уравнений с сингулярной матрицей

1.3. Преобразование нелинейной нестационарной модели с сингулярной матрицей

1.4. Вычисление матрицы преобразования S

Выводы

Глава 2. Синтез структур многомерных систем управления, близких к оптимальным

2.1. Постановка задачи

2.2. Алгоритм оптимизации структуры

2.3. Модель рассматриваемой системы

2.4. Точность структуры системы

2.5. Оптимальность структуры рассматриваемой системы 67 Выводы

Глава 3. Управление дискретными системами по площади импульса

3.1. Постановка задачи

3.2. Управление по площади импульса

Выводы

Глава. 4. Реализация полученных результатов на примере вторичных источников питания

4.1. Синтез оптимальной архитектуры системы с сингулярной матрицы

4.2. Управление импульсной системой с мультипликативным входным сигналом

4.2.1. Математическая модель объекта управления

4.2.2. Математическая модель регулятора

4.2.3 Моделирование

4.2.4. Тестирование опытных образцов

Выводы

Многомерные системы управления с периодическими режимами работы имеют многочисленное применение, например, в электротехнике, силовой (энергетической) электронике, электроприводе и т.д. Среди них особый интерес представляют объекты, математические модели которых представляются системами сингулярных дифференциальных уравнений [1, 30, 36, 39, 43, 45]. Отражающие их системы дифференциальные уравнений, получаемые из объективных физических законов (естествознания), содержат мультипликацию сингулярной матрицы коэффициентов и производной вектора состояния. Распространенным методом исследования свойств системы дифференциальных уравнений является метод, основанный на форме представления Коши [4, 7, 9]. Для того, чтобы представить исходные дифференциальные уравнения в форме Коши, необходимо разрешить их относительно производной вектора состояния. Данное преобразование не вызывает затруднений для случая, когда матрица коэффициентов перед производной вектора состояния не сингулярная.

Для случая сингулярной матрицы известен подход к решению таких уравнений, заключающийся в добавлении к исходной матрице некой "малой" матрицы, такой, чтобы результирующая матрица уже не являлась сингулярной [37]. Данный подход приводит к некоторому искажению физической сущности задачи; также преобразованные уравнения, как правило, являются "жесткими", что создает дополнительные сложности при моделировании. Указанный подход приводит к тому, что мы имеем дело с системой и дифференциальных уравнений, часть из которых будет весьма приближенной. Естественно предположить существование решения задачи приведения исходной системы дифференциальных уравнений к гибридной форме, содержащей п-т - дифференциальных и т- алгебраических уравнений, где т - сингулярность матрицы.

Таким образом, задача преобразования исходной системы сингулярных дифференциальных уравнений к гибридной форме, сохраняющей физическую сущность задачи, является актуальной.

Преобразование сингулярной системы дифференциальных уравнений основывается на декомпозиции исходной системы на две подсистемы: дифференциальную и алгебраическую, причем размерность дифференциальной подсистемы меньше размерности исходной системы и равна рангу сингулярной матрицы.

Многомерная система, реализующая некоторую заданную функцию, может иметь различные структуры сингулярной матрицы. Структура сингулярной матрицы (системы) отражается на свойствах рассматриваемой системы. Таким образом, имеет место задача синтеза структуры системы, близкой к оптимальной. В работе рассматривается синтез (выбор) структуры системы, близкой к оптимальной по критерию точности выходных параметров в условиях воздействия внешней среды. Каждой структуре можно поставить в соответствие информационный алгоритм преобразования входной величины в выходную, характеризующийся диаметром информации. Таким образом, задача выбора оптимальной структуры по критерию точности выходных параметров в условиях неопределенности состояния внешней среды мажет быть сведена к задаче выбора оптимального алгоритма с минимальным диаметром информации.

Задача синтеза оптимального алгоритма рассматривается в контексте обшей теории оптимальных алгоритмов, базирующейся на работах Д. Трауба, X. Вожьняковского и др. [40, 51, 52].

Рассматриваемые модели системы по своей физической природе являются двухвходовыми, они содержат вход управления, задающий желаемое значение выходной величины и вход помехи, отражающий состояние окружающей среды. Помеха имеет ненулевое математическое ожидание и характеризуется минимальным и максимальным значением. Вход по помехе является мультипликативным. Примером такого входа может служить нестабилизированный вход питания упомянутых выше устройств.

Изменение сигнала на мультипликативном входе приводит к изменениям выходной величины. Задача компенсации воздействий по мультипликативному входу системы становится актуальной.

Цель работы. Разработка алгоритмов преобразования системы дифференциальных уравнений с сингулярной матрицей к гибридной форме, состоящей из дифференциальных уравнений в форме Коши и алгебраических уравнений; синтез структуры многомерной системы управления с периодическим режимом работы, обеспечивающей наилучшую точность выходных параметров системы при воздействии дестабилизирующих факторах окружающей среды; разработка алгоритмов управления системами с периодическими режимами работы в условиях мультипликативных помех. Научная новизна работы:

• предложен алгоритм преобразования к гибридной форме системы дифференциальных уравнений с сингулярной матрицей перед производной вектора состояния. Гибридная форма состоит из двух систем уравнений: дифференциальной, представленной в форме Коши, размерность которой равна рангу сингулярной матрицы, и алгебраической, размерность которой равна дефекту сингулярной матрицы;

• предложен подход оптимизации структуры многомерной системы с периодическим режимом работы и сингулярной матрицей, основанный на общей теории оптимальных алгоритмов. Рассмотрены две предельных структуры построения подобных систем: централизованная и распределенная. Показано, что распределенная структура построения системы является оптимальной по критерию точности вектора выходных параметров; • предложен принцип управления дискретными системами с мультипликативным входным сигналом помехи по площади импульсов. Показано преимущество данного принципа управления перед управлением по среднему.

Достоверность результатов подтверждена корректностью применения математического аппарата теории автоматического управления, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и общей теории оптимальных алгоритмов, а также согласованностью полученных результатов с данными компьютерного моделирования и результатами испытаний опытных образцов.

Практическая значимость работы состоит в разработке алгоритма управления дискретными двухвходовыми системами по площади импульса, инвариантного к помехе по мультипликативному входу, практическое применение которого позволило создать новый класс источников питания, устойчивых к стохастической нестабильности напряжения первичной сети. Синтезирована квазиоптимальная структура системы с сингулярной матрицей и периодическими режимами работы, разработана инженерная методика преобразования математической модели сингулярных дифференциальных уравнений к форме, пригодной для дальнейшего исследования.

Разработана конструкторская документация, по которой изготовлены промышленные образцы источников вторичного электропитания, прошедшие необходимые виды испытаний и использующиеся в составе авторулевого "Агат-М" для морского пограничного катера "Сокжой".

Апробация результатов исследования. Основные положения и результаты представлялись на: научных семинарах СГТУ; международной научной конференции "Информационные технологии в естественных науках, экономике и образовании" (Саратов-Энгельс, 2002 г.); международной научной конференции "Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении " (Саратов, 2002 г.); международном симпозиуме "Интеллектуальные системы" (Саратов, 2004 г.). Результаты исследования защищены патентом на изобретение №2214032. Промышленные образцы источников вторичного электропитания с алгоритмом управлением по площади импульса прошли необходимые виды испытаний и внедрены в эксплуатацию в составе авторулевого "Агат-М" для СВК типа "Сокжой" и "Меркурий". По результатам работы получены акты внедрения в НПП "АНФАС" г. Саратов.

В первой главе диссертационной работы рассматриваются динамические системы, описывающиеся системой дифференциальных уравнений вида: тп тп • " п X, гп Г\2 • - Г\п X, их т21 т22 ' т2п ■ + Г2\ Г22 Г2п • х2 = и2 тт тп2 ' " тпп. Л. ГпХ Гп2 ' . г пп Un или в матричной форме

MX + RX - U.

Для исследования свойств системы необходимо перейти от уравнений вида (1) к уравнениям в форме Коши, для чего необходимо исходную систему уравнений разрешить относительно производной вектора состояния X. Это преобразование возможно только в случае несингулярности матрицы

М, в противном случаи упомянутая матрица не имеет обратной и уравнение вида X = -M~lRX + M~XU не имеет смысла.

Показано что с помощью линейного преобразования

5 = к,к п-к,к О к,п-к п-к,п-к дифференциальную системы (1) можно декомпозировать на две подсистемы: дифференциальную размерностью к и алгебраическую размерностью п-к, где п - размерность исходной системы уравнений, а к -ранг сингулярной матрицы М. Линейное преобразование S обладает тем свойством, что результирующая матрица произведения SM имеет вид

SM =

Мк,к \ М к,п-к О п-к,п В результате умножения системы (1) на матрицу S получим следующее уравнение: М к,к О п-к,к М к,п-к О п-к,п-к

L^п-к.

Rk,k ! Rk,n-k Хк п-к,к^к,к + Rn-k,k : $п-к,к Rk,n-k + Rn-k,n-k 1л-*

Ек.к j ®к,п-к \ик 1 п-к,к : Еп-к,п-к k-J

2)

Часть уравнений системы уравнений (2) не зависят от производной вектора состояний и являются алгебраическими. Они образуют алгебраическую часть гибридной системы. Остальные уравнения определяют дифференциальную часть гибридной системы.

В окончательном виде гибридная система определяется двумя системами уравнений: дифференциальной (3) и алгебраической (4).

Хк =АХк +BU + BU.

X„k=CXk+DU.

3)

4)

Матрица преобразования S вычисляется из следующих посылок. Результирующая матрица произведения матриц MS имеет вид

Кк ! Мк,п.к

Sn-k,k ' ^п-к,п-к

Мкл

Sn-k,kMk,k +Еп-к,п-кМп-к,к

Как следует из (2) должны выполняться следующие два равенства:

Sn.k,kMk^k + ЕпкпкМ пкпк — 0 п.кпк,

Запишем последнее равенство в виде Snk к Мк к = -Мпк к и умножим обе части уравнения на матрицу М~к к, в результате чего получим выражение для искомой матрицы Snk k. Оно определяется формулой:

Во второй главе синтезирована квазиоптимальная структура системы вида MX + RX = U с сингулярной матрицей М и периодическими режимами работы. Каждой структуре реализации системы можно поставить в соответствие информационный алгоритм преобразования входной величины в выходную, характеризующийся диаметром информации. Таким образом, задача выбора оптимальной структуры системы по критерию точности выходных параметров в условиях неопределенности состояния внешней среды мажет быть сведена к задаче выбора оптимального по точности алгоритма.

Оценка снизу точности алгоритма по Траубу может быть произведена с помощью выражения e{cp)>r{l,S), где е((р) - ошибка алгоритма q>, r(l,S) радиус информации I для задачи S. Таким образом, система, алгоритм реализации которой обладает меньшим радиусом информации, потенциально более точная. Радиус информации определяется параметрами внешней среды. Следует заметить, что диаметр информации также является оценкой алгоритма снизу. В нашем случае диаметр информации вычислить проще, поэтому в дальнейшем будем пользоваться именно им.

Система, рассматриваемая во второй главе, является частным случаем системы, рассмотренной в первой главе. Ранг матрицы М равен единице, все элементы матрицы R за исключением диагональных, равны нулю, и все элементы вектора управления U, за исключением первого, также равны нулю. Диагональные элементы матрицы R имеют структуру rt = rf +rtv, где г/ - параметр системы, г. - параметр внешней среды, являющейся возмущающим входом системы, учитывающей влияние внешней среды на систему.

Диаметр информации алгоритма определяется на основе внешних характеристик рассматриваемой системы щ =uj(u2trl,r2,.,rn). Внешние характеристики вычисляются по общей формуле

2Ylrj X jel\{l,i) к=\ \jel\k

Wk

V V С , , V и =,=и' = +Г2 й° и> „Г \ о V П 2 / 2 v с . v 2 ' 1 2 2w2w,r2 [[rj w2 r2 rt w2 r2 r. +r.t

Wk ye/\{l,2}

A=1

Z I jel\k ri

Ошибка no i выходу системы определяется следующей формулой:

An- = иГ - и, = - iilii^o. (5)

I I I т с . nt v с . V w2 r2 rt + rt w2 r2 r, + rt

Диаметр информации для выходов, не охваченных обратной связью, вычисляется с помощью следующего выражения: diam(&ulm) = sup sup (д»/").

Диаметр информации находится как максимум выражения (5) при заданных ограничениях на параметры внешней среды. Максимум выражения (5) определяется методом неопределенных множителей Лагранжа. Окончательное выражение для диаметра информации i выхода системы имеет вид: шах Л diam{Aulm)= sup sup (д w/")= — л/"еЛ, ,r?eR2 r,veR,,r]eR2 с min Vi 2 2

W, rlmm r2c+r2 min с , max max с min

V 2 Г/ + ri 2 ri +ri у г/л

Обобщенный диаметр информации определяется как норма вектора, компоненты которого являются диаметрами информации для соответствующих выходов системы diam(Au m)= l^diam2 (Дм™ ).

6) i=2

Для распределенной системы диаметр информации равен нулю, т.е. diam{Aum)= 0. Для централизованной системы все слагаемые выражения (6), за исключением слагаемого, соответствующего выходу охваченного контуром обратной связи, отличны от нуля. В результате чего и выражение (6) отлично от нуля. Причем диаметр информации увеличивается с увеличением размерности системы при прочих равных условиях.

На основании вышесказанного можно сделать вывод, что система с одним выходом, охваченного контуром обратной связи, является оптимальной по точности, т.к. диаметр информации для такой системы равен нулю. Такая система описывается системой дифференциальных уравнений вида: ти тп т21 т22

X = МХ + RX = и.

7)

В случае необходимости большего числа выходов целесообразно использование множества систем вида (7), что можно представить в виде обобщенной математической модели: иоб = м, о ••• о о м

2, о о о

Хоб + я, о о о r2 о

О 0 ••• R

X об > где М и R матрицы размером 2x2. Результаты, содержащиеся во второй главе, опубликованы в [28, 29, 31].

В третьей главе диссертационной работы получен алгоритм управления импульсной системой по площади импульса, инвариантный к возмущающим воздействиям по мультипликативному входу. Показано преимущество данного типа управления перед классическим широтно-импульсным управлением.

Принцип широтно-импульсного управления заключается в изменении ширины импульса в соответствии с модулирующим сигналом при неизменной частоте и амплитуде модулирующего импульса. Однако существуют области применения широтно-импульсного управления, где кроме ширины импульса меняется также амплитуда модулирующего импульса. При этом амплитуда импульса не зависит от технического устройства осуществляющего модуляцию. Соответственно регулятор не способен компенсировать изменение амплитуды импульса. Амплитуда импульса является параметром внешней среды, в которой функционирует техническое устройство, в связи с чем амплитуда импульса может трактоваться как некоторый вход системы, по которому на систему воздействует внешняя среда.

Сигнал по мультипликативному входу оказывает существенное влияние на выходной сигнал как разомкнутой, так и замкнутой систем.

Кроме того, в замкнутой системе предъявляются повышенные требования к регулятору, так как сигнал по мультипликативному входу фактически является переменным передаточным коэффициентом, значение которого меняется в широких пределах, что приводит к изменению выходного сигнала системы.

Таким образом, имеет место задача компенсации влияния сигнала по мультипликативному входу на импульсную систему с широтно-импульсным управлением.

Выходной сигнал для традиционного широтно-импульсного управления в системе с мультипликативным входом определяется выражением: y[n] = Yu[kT}y[kT}kH[nT - кТ], (8) к= О где U - сигнал на мультипликативном входе, у - управляющий параметр, кн[пТ-кТ] - импульсная переходная функция непрерывной части системы.

Сигнал по мультипликативному входу входит в выражение (8) как независимая функция и возмущения по этому входу могут приводить к существенным изменениям выходной величины, что нежелательно либо недопустимо. Также следует иметь ввиду, что дискретная система, описываемая выражением (8), является нелинейной, что в свою очередь привносит дополнительные трудности при синтезе регулятора замкнутой системы.

Выходной сигнал для системы с управлением по площади импульса описывается выражением кТ+уТ кТ+уТ j KinT-kT)Um{r)dT^kH[nT-kT} \уm{r)dr, (9)

0 кТ к=0 кт где - дискретная импульсная переходная функция непрерывной части системы,

Uin{r) - сигнал на мультипликативном входе системы. кТ+ГГ

U ln(r)dT = S[kT}. (10) кТ

Очевидно, что выражение (10) является площадью импульса, поступающего на вход непрерывной части системы. Управляющий параметр у кТ+уГ определяется из условия = где S3 - заданная величина кТ площади импульса. Технически у определяется интегрированием импульса, поступающего на вход непрерывной части. Интегрирование производится до тех пор, пока значение интеграла не достигнет заданной величины. По достижению интегралом заданной величины происходит окончание текущего модулирующего импульса, параллельно происходит сброс интеграла в нулевое состояние, подготавливая его тем самым к очередному периоду работы.

Выражение (9) с учетом (10) для дискретных моментов времени будет иметь вид у[пТ] = ^кн[пТ-кТ)р[кТ}. (П) к=0

Согласно выражению (И) выходная величина инвариантна к воздействию по мультипликативному входу и зависит только от функции S[kT] , которая может быть измерена.

Система управления по среднему, описываемая уравнением (8), является частным случаем системы управления по площади импульса (11). Действительно, если положить сигнал на мультипликативном входе системы (8) равным константе, т.е. Uin— const, тогда выражения (8) и (11) примут идентичный вид с точностью до обозначения. Результаты, содержащиеся в третьей главе, опубликованы в [26, 31].

В четвертой главе диссертационной работы представлены результаты апробации теоретической части диссертации. Обосновывается выбор прикладного использования теоретических результатов диссертации.

На примере системы вторичного электропитания показано преимущество распределенной структуры построения импульсных периодических систем с сингулярной матрицей, где в качестве критерия оптимальности использовалась обобщенная точность системы.

Алгоритм управления по площади импульса дискретными двухвходовыми системами с мультипликативным входом реализован в разработанных источниках вторичного электропитания.

На основании теоретических результатов получена математическая модель вторичного источника питания (12). di dt h + k. Krf M rs 4f J xfr \ w r/f Lf J M 1 2-J-UH + rsrf h

1 . M c,

--2-71 + if +b2 M v м С2 ; г е r*rf Lf

ЛсШ j dt, ?

12) die C\ ■ , C7 ■ 1 TT C3 Г —--UH---E, dt Z/y Z/y i i dt С f

RHcf u„.

Приведены результаты моделирования периодических импульсных систем с управлением, как по среднему, так и по площади импульса. Для тестирования использовались типовые входные сигналы в виде ступенчатой функции и синусоидальной функции. Показано преимущество управления по площади импульса.

Моделирование показало, что при управлении системой по площади импульса ошибка от помехи по мультипликативному входу меньше в 50 раз, чем при управлении по среднему.

Разработаны и изготовлены несколько типономиналов вторичных источников питания с управлением по площади импульса. Результаты тестирования вторичных источников питания с управлением по площади импульса с хорошей точностью совпадают с результатами моделирования и подтверждают правомерность полученных теоретических результатов. Результаты, содержащиеся в четвертой главе, опубликованы в [24, 25, 27, 28, 31].

Основные результаты работы, выносимые на защиту:

1. Алгоритм преобразования модели многомерной системы с сингулярной матрицей к гибридной форме.

2. Синтез структуры многомерной системы с сингулярной матрицей, близкой к оптимальной.

3. Алгоритм управления двухвходовыми импульсными системами по площади импульса.

4. Математическая модель двухвходовой системы с Г j мультипликативным входным сигналом, описываемая системой I дифференциальных уравнений с сингулярной матрицей.

5. Образцы источников вторичного питания с алгоритмом А управления по площади импульса. ч \

Выводы

В главе представлены результаты апробации результатов теоретической части диссертации.

На примере системы вторичного электропитания показано преимущество распределенной структуры построения импульсных периодических систем с сингулярной матрицей, где в качестве критерия оптимальности использовалась обобщенная точность системы.

Проведены результаты моделирования периодических импульсных систем с управлением по среднему и по площади импульса. Показано преимущество управления по площади импульса. Моделирование показало, что при управлении системой по площади импульса, ошибка от помехи по мультипликативному входу меньше в ~50 раз, чем при управлении по площади импульса.

Приведены результаты тестирования опытного образца вторичного источника питания с управлением по площади импульса. Результаты тестирования хорошо согласуются с теоретическими положениями и результатами моделирования. На основании чего можно сделать вывод об адекватности теоретических результатов, полученных ранее.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработан алгоритм преобразования модели объекта в виде системы дифференциальных уравнений с сингулярной матрицей перед производной вектора состояния к гибридной форме. Гибридная форма состоит из двух систем уравнений:

• дифференциальной, представленной в форме Коши, размерность которой равна рангу сингулярной матрицы;

• алгебраической, размерность которой равна дефекту сингулярной матрицы.

2. Разработан подход, основанный на общей теории оптимальных алгоритмов, к синтезу структуры многомерной системы с сингулярной матрицей и периодическим режимом работы. Рассмотрены две предельные структуры построения подобных систем: централизованная и распределенная. Показано, что распределенная структура построения системы является оптимальной по критерию точности вектора выходных параметров

3. Определен новый алгоритм управления дискретными системами с мультипликативным входным сигналом по площади импульсов. Показано преимущество данного алгоритма управления перед управлением по среднему:

• длительность переходного процесса при воздействии помехи на мультипликативный вход равна периоду дискретизации импульсного элемента, в отличие от управления по среднему, где длительность переходного процесса определяется постоянными времени непрерывной части системы;

• перерегулирование выходной величины системы при типовых сигналах на мультипликативном входе сократилось более чем в 50 раз по сравнению с управлением по среднему.

4. На основании проведенных исследований разработаны принципы формирования структуры систем вторичного электропитания. Показано преимущество систем вторичного электропитания с распределенной структурой.

5. Разработана конструкторская документация вторичных источников питания с подавлением шума по питающему напряжению, с использованием разработанных структур систем, алгоритмов управления и полученного патента РФ. В промышленном производстве изготовлены опытные образцы источников питания, которые с положительными результатами прошли необходимые испытания и внедрены в эксплуатацию.

1. Азбелев Н. В. Сингулярные краевые задачи для дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений / Н. В. Азбелев. Пермь: Изд-во ПерГТУ,. 1999.

2. Бас А. А. Источники вторичного питания с бестрансформаторным входом / А. А. Бас, В. П. Миловзоров, А. К. Мусолин. М.: Радио и Связь, 1987.

3. Беллман Р. Введение в теорию матриц / Р Беллман М.: Наука,1969.

4. Бесекерский В. А. Теория систем автоматического регулирования / В. А. Бесекерский, Е. П. Попов. М.: Наука, 1972.

5. Галиев Э. М. Оптимизация: теория, примеры, задачи / Э. М. Галлиев, В. М. Тихомиров. М.: Эдиториал УРСС 2000.

6. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. М.: Наука,1988.

7. Д'Анжело Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез / Г. Д'Анжело. Под ред. Н.Т. Кузовкова. (Пер. с англ.). М.: "Машиностроение", 1974.

8. Жданкин В. Вторичные источники электропитания фирмы Interpoint / В. Жданкин // СТА №4 - 1997.

9. Математические основы автоматического регулирования / В. А. Иванов, В. С. Медведев, А. С. Ющенко., Б. К. Чемоданов. М.: Высшая школа, 1971.

10. Исаев В. М. Проблемы энергетической электроники военного назначения. / В. М. Исаев, Ю. И. Конев, Ю. И. Степанов // Экономика и производство №№ 8, 9 - 1999.

11. Источники электропитания радиоэлектронной аппаратуры: Справочник / Под ред. Найвельта Г. С. М.: Радио и связь, 1986.

12. КозенковД. Выбор архитектуры источника питания. / Д. Козенков // Электронные компоненты №6 - 2004.

13. Колесников А. А. Аналитическое конструирование агрегированных регуляторов: управление понижающими конверторами /

14. A. А. Колесников, Г. Е. Веселов, М. Ю. Медведев, В.Ю. Ступнев // Управление и информационные технологии: Сборник трудов всероссийской научной конференции. Санкт-Петербург, 2003. Т. 1.

15. Копылов И. П. Электрические машины / И. П. Копылов. М.:1. B.Ш., Логос, 2000.

16. Костиков В. Г. Источники электропитания электронных средств. Схемотехника и конструирование: Учебник для вузов / Е. М. Парфенов, В. А. Шахнов. 2-е изд. М.: Горячая линия - Телеком, 2001.

17. Лазурченков А. Построение современных систем электропитания /А. Лазурчиков // Компоненты и технологии № 1 - 2000.

18. Ланкастер П. Теория матриц /П. Ланкастер. М.: Наука, 1982.

19. Материалы научно-практического семинара "Источники вторичного электропитания: проблемы производства и применения".// Электроника НТБ №4 - 2004.

20. Машурян Э. Параметры источников питания / Э. Машурян // Электронные компоненты №6 2004.

21. Месарович М. Общая теория систем: математические основы / М. Месарович. Я. Такахара. М.: Мир, 1978.

22. Моин В. С. Стабилизированные транзисторные преобразователи / В. С. Моин. М.: Энегроатомиздат, 1986.

23. Патент на изобретение №2214032 по заявке №2001116774 от 15.06.2001. Конвертор / С. В. Петров, В. А. Подлипалин.

24. Петров С. В. Анализ процессов в двухвходовых системах на примере статических преобразователей / С. В. Петров, В. А. Подлипалин // Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении: Материалы междунар. конф. Саратов, 2002.

25. Петров С. В. Интегральный способ подавления мультипликативного шума в дискретных периодических системах / С. В. Петров, В. А. Подлипалин // Проблемы точной механики и управления: Сб. науч. тр. Саратов, 2004.

26. Петров С. В. Математическая модель многомерной трансформаторной системы / С. В. Петров, В. А. Подлипалин // Информационные технологии в естественных науках, экономике и образовании: Труды междунар. науч. конф. Саратов-Энгельс, 2002.

27. Петров С. В. Подход к синтезу оптимальных структур некоторых видов преобразователей энергии / С. В. Петров, В. А. Подлипалин //

28. Математические методы в технике и технологиях: Сб. тр. XVII науч. конф. — Кострома, 2004. Т.8.

29. Петров С. В. Синтез структуры статического преобразователя энергии, близкой к оптимальной / С. В. Петров, В. А. Подлипалин // Математические методы в технике и технологиях: Сб. тр. XVI. науч. конф. -Санкт-Петербург, 2003. Т.2.

30. Поволоцкий А. И. Задача Коши для сингулярного уравнения. СЛ. Соболева /А. И. Половоцкий, Г. А. Свиридюк // Функцион. анализ: Сб. тр. Ульяновск, 1986. Т. 26.

31. Подлипалин В. А. Некоторые аспекты построения систем вторичного электропитания / В. А. Подлипалин // Интеллектуальные системы: Труды шестого международного симпозиума. Москва, 2004.

32. Подлипалин В. А. Преобразование некоторых динамических систем с сингулярной матрицей к форме Коши / В. А. Подлипалин // Математические методы в технике и технологиях: Сб. тр. XVI науч. конф. -Санкт-Петербург, 2003. Т.1.

33. Жданкин В. Вторичные источники электропитания фирмы Interpoint / В. Жданкин // СТА №4 . 1997.

34. Русин Ю. С. Электропитание гидроакустической аппаратуры / Ю. С. Русин. JL: Судостроение, 1986.

35. Рыбак А. Производство российских источников электропитания как фактор обеспечения национальной экономической безопасности / А. Рыбак // Компоненты и технологии № 3 - 2000.

36. Свиридюк Г. А. Об одной сингулярной системе обыкновенных дифференциальных уравнений / Г. А. Свиридюк // Дифференц. уравнения: сб. науч. тр. Рязань, 1987. Т. 23.

37. Свиридюк Г. А. О разрешимости сингулярной системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Г. А. Свиридюк., Т. Г. Сукачева // Дифференц. уравнения. Качеств, теория.: сб. науч. тр. -Рязань, 1990.

38. Синдеев И. М. Системы электроснабжения воздушных судов / И. М. Синдеев, А. А. Савелов. М.: Транспорт, 1990.

39. Сукачева Т. Г. Дальнейшие результаты о разрешимости сингулярной системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Т. Г. Сукачева // Изв. Вузов, математика №4 -1992.

40. Трауб Дж. Общая теория оптимальных алгоритмов / Дж. Трауб, X. Вожъняковский. Пер. с англ. М.: Мир, 1983.

41. Устройства и элементы систем автоматического регулирования и управления. Техническая кибернетика. В 2 т. Т.2: Исполнительные устройства и сервомеханизмы / Под ред. В. В. Солодовникова. М.: "Машиностроение", 1976.

42. Хапаев М. М. Методы оптимизации, основанные на использовании сингулярных дифференциальных уравнений / М. М. Хапаев // (99-01-01271). МГУ ВМиК. Москва.

43. Цыпкин Я. 3. Теория линейных импульсных систем / Я. 3. Цыпкин. М.: Физматгиз, 1963.

44. Шувалова J1.E. Сингулярное интегро-дифференциальное уравнение /Л. Е. Шувалова. // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: материалы Всесоюзной школы-конференции, посвященной 130-летию со дня рождения Д.Ф. Егорова. Казань, 1999г.

45. А.с. №1023581 СССР. Источник постоянного напряжения / В. Д. Бунтов, С. В. Томашевич, А. В. Тюрин. 2805232/24-07 Заявл. 27.07.79; Опубл. 15.06.83.-Бюл. №22.

46. А.с. №1224795 СССР. Импульсный стабилизатор напряжения / Г. Т. Бордюгов, В .В. Шинкарев, Ф. И. Цуляну. 3720445/24-04 Заявл. 03.04.84; Опубл. 15.04.86. - Бюл. №14.

47. А.с. №1495767 СССР. Способ импульсной стабилизации двухтактного статического преобразователя постоянного напряжения / В. Н. Скачко. 4313625/24-07 Заявл. 24.08.87; Опубл. 23.07.89. Бюл. №27.

48. А.с. №736289 СССР. Стабилизированный транзисторный конвертор / А. С. Баскин. 2480022/24-07 Заявл. 26.04.77. Опубл. 25.05.80. Бюл. 19.

49. А.с. №811441 СССР. Высокочастотный конвертор / Т.П.Лобанова, А. П. Пакидов, В.Л.Широков. №2730131/24-07 Заявл. 26.02.79; Опубл. 07.03.81. - Бюл. №9.

50. Traub J. F. General Theory of Optimal Algorithms / J. F. Traub, H. A. Wozniakowski. Academic Press, New York, London, Toronto Sydney, San Francisco, 1980.

51. Traub J. F. Optimal linear information for the solution of nonlinear operator equations, in "Algorithms and Complexity: New Direction and Recent Results" // J. F. Traub, H. A. Wozniakowski. Academic Press New York, 1976.

52. Mesarovic M. D. Takahara Y. General systems theory: mathematical foundations / M. D. Mesarovic, Y. Takahara. Academic press New York, San Francisco, London, 1975.

53. Подлипалина Владимира Александровича "Подавление мультипликативного шума в дискретных системах".

54. Методик расчета и моделирования вторичных источников питания с регулятором по площади импульса;

55. Экспериментальных данных исследования динамических процессов во вторичных источниках питания с управлением по площади импульса;

56. Председатель комиссии ^О.И. Сидоренко

57. Члены комиссии ; А.Г. Агафонов1. А.А. Симакин