автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Стабилизирующее управление дискретными стохастическими и неопределенными системами с обратной связью по выходу

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н. Й. ЛОБАЧЕВСКОГО

Соловьев Сергей Геннадьевич Стабилизирующее управление дискретными стохастическими и неопределенными системами с обратной связью по выходу

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (физико-математические науки)

На правах рукописи

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород — 2009 г.

003471259

Работа выполнена на кафедре прикладной теории вероятностей факультета вычислительной математики и кибернетики Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор, Пакшин Павел Владимирович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор, Баландин Дмитрий Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор, Коган Марк Михайлович

Ведущая организация Институт Проблем Управления РАН им. В.А.Трапезникова

Защита состоится на заседании диссертационного совета

Д 212.166.13 при Нижегородском Государственном Университете им. Н.И. Лобачевского, 603950, г.Нижний Новгород, проспект Гагарина, 23

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского Государственного Университета им. Н.И. Лобачевского

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н. , доцент, Савельев Владимир Петрович

Актуальность проблемы. Вычисление матрицы усиления управления со статической обратной связью по' выходу, стабилизирующего линейную систему остается нерешенной до конца проблемой, несмотря на то, что получены разнообразные формы необходимых и достаточных условий существования такого управления. В то же время теория и практика современной теории управления приводят к необходимости решения этой проблемы в условиях неопределенности параметров объекта 1, и действия случайных возмущений2. В этих случаях слабо изучены также и сами условия существования стабилизирующего управления. В частности для систем с параметрическими шумами какие-либо конструктивные результаты в этом направлении вообще отсутствуют. В литературе утверждается, что алгоритмическая разрешимость задачи стабилизации по выходу, относится к числу NP-трудных задач 3 , хотя строгое и полное доказательство этого факта не приводится.

— Цель- работы - состоит^ в - создании -методов,- алгоритмов - и- программного - обес-~ печения синтеза стабилизирующих управлений со статической обратной связью по выходу для дискретных линейных систем с мультипликативными шумами и марковскими переключениями структуры и изучение возможности применения полученных результатов к задачам робастной стабилизации.

Задачи работы. Исходя из целей работы были поставлены следующие задачи.

1. Разработать методы и алгоритмы синтеза управлений для задачи одновременной стабилизации по выходу множества линейных дискретных систем с мультипликативными шумами.

2. Описать в параметрической форме множество всех стабилизирующих управлений со статической обратной связью по выходу для дискретных линейных систем с мультипликативными шумами и марковскими переключениями структуры.

3. Исследовать возможность применения полученных результатов к задачам робастной стабилизации, в частности найти условия при которых управление, стабилизирующее стохастическую систему будет обеспечивать робастную стабилизацию системы с неопределенными параметрами.

4. Для численной реализации алгоритмов синтеза стабилизирующих управлений создать программное приложение к свободно распространяемому пакету для научных расчетов SCILAB с удобным пользовательским интерфейсом.

Методы исследования. Можно выделить два крупных направления в рамках

'Crusius С. А. Д., Пойло A. Sufficient LMI Conditions for Output Feedback Control Probleme // ШЕЕ TYans, Automat. Control. 1999. V. 44. P. 1D53-10S7.

2Pakshin P. V., Mitrofanov I. N. Parametrization of stabilizing controllers and robust stabilization via static output feedback for jump linear systems // Proceedings of the 6-th IFAC Symposium Nonlinear Control Systems. Stuttgart. Germany. 2004.V. 3. P. 1151 - 1156.

3 Blonde/ V. and Jb'tsiHis J. N. NP-b&rdness of some ¿'near control design problems SIAM J. Control Optimization. // 1997 V. 35. P. 2118-2127.

которых решается задача нахождения матрицы усиления стабилизирующего управления со статической обратной связью по выходу. Первое связано с построением итерационных процедур и выпуклых аппроксимаций с применением алгоритмов решения линейных матричных неравенств (ЛМН), второе основано на разработке специальных алгоритмов нелинейного программирования для решения билинейных матричных неравенств (БМН).

Первое направление предполагает использование программного обеспечения дня решения ЛМН. К настоящему времени для этой цели разработано множество эффективных коммерческих и некоммерческих программ называемых решателями ЛМН. Список решателей постоянно пополняется и его текущий вариант можно найти на сайте YALMIP. Что касается второго направления, здесь можно отметить лишь единственную универсальную коммерческую программу для решения БМН - PENBMI4, которая применялась со средним успехом для задач невысокой размерности. Данная работа выполнена в рамках первого из указанных направлений. Для теоретических исследований здесь используются метод функций Ляпунова и его стохастический аналог, методы выпуклого анализа и полуопределенного программирования. Для численного анализа и моделирования использованы среды MATLAB с решателями SeDuMi, CSDP, SDPA и синтаксическим анализатором YALMIP и SCILAB с решателями CSDP, SDPA и разработанным автором синтаксическим анализатором SCIYALMIP.

Научная новизна. В работе получены и выносятся на защиту следующие новые научные результаты.

1. Метод и локально сходящийся итерационный алгоритм вычисления матрицы усиления управления со статической обратной связью nó выходу, одновременно стабилизирующего множество дискретных линейных систем с мультипликативными шумами.

2. Метод и локально сходящийся итерационный алгоритм вычисления матрицы усиления стабилизирующего управления со статической обратной связью по выходу одновременно стабилизирующего множество дискретных линейных систем с неопределенными параметрами.

3. Параметрическое описание множества всех стабилизирующих управлений со статической обратной связью по выходу дая дискретных линейных систем с мультипликативными шумами и марковскими переключениями.

4. Алгоритмы вычисления матрицы усиления стабилизирующего управления со статической обратной связью по выходу без использования итераций, полученные на основе достаточных условий стабилизации, следующих из предложенного парамет-

* Нел л од П., Lofberg J., Kocvara М., Stingl М. Solving polynomial static output feedback problems with PENBMI // Proceedings of the Joint IEEE Conference on Decision and Control Sevilla, Spain, December 2005. P. 7581 - 7586

рического описания.

5. Язык описания задач полуопределеиного программирования - SCIYALMIP, совместимый со свободно распространяемым пакетом для научных вычислений SCILAB.

Практическая ценность. Главным практическим результатом диссертации является разработанное программное приложение SCIYALMIP к свободно распространяемому пакету SCILAB, позволяющее решать задачи полуопределенного программирования с предоставлением интерфейса, аналогичного используемому в популярном синтаксическом анализаторе YALMIP для пакета MATLAB.

Апробация полученных результатов. Основные результаты были представлены на следующих научных мероприятиях.

1. 9th IFAC Workshop on Adaptation and Learning in Control and Signal Processing, "Санкт-Петербург, 29-31 августа 2007 г.

2. III Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" , Санкт-Петербург, 23-26 октября 2007 г.

3. Научная конференция учебно-научного инновационного комплекса "Модели, методы и программные средства" Нижегородского государственного университета имени Н.И. Лобачевского, Нижний Новгород, 27-30 ноября 2007 г.

4. 16th International Conference on Systems Science, Вроцлав, Польша 4-6 сентября

2007 г.

5. X Международный семинар им. Б.С. Пятницкого, Москва, ИПУ РАН, 3-6 июня

2008 г.

6. 17th International Congress of IFAC, Сеул, Корея, 6-11 июля 2008 г.

7. 14th International Congress on Cybernetics and Systems Science of WOSC, Вроцлав, Польша, 9-12 сентября 2008 г..

8. XV международная конференция по автоматическому управлению, Одесса, Украина, 23-26 сентября 2008 г.

Работа была частично поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (гранты №-№07-01-92166-НЦНИ_а, 08-01-97036-р_поволжье_а) и программой Национального центра научных исследований Франции PICS №.4281.

Публикации и личный вклад автора. Основное содержание диссертации отражено в 7 печатных работах. В совместных работах научному руководителю принадлежат постановки задач и идеи доказательств и алгоритмов. Доказательства теорем, разработка методов, алгоритмов и программного обеспечения принадлежат автору.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения 5 глав и заключения. Объем работы 124 страницы, в тексте содержится 8 рисунков и 5 таблиц; библиографический список включает 55 источников.

В первой главе дается обзор состояния проблемы, обоснование актуальности проблемы, формулировка цели и задач исследования и приводятся основные понятия и определения, используемые в работе.

Во второй главе строятся алгоритмы вычисления матрицы усиления стабилизирующего управления со статической обратной связью по выходу для дискретных линейных систем с параметрическими шумами и дискретных линейных систем

с неопределенными параметрами. Модель стохастической системы имеет вид

р

x„+i = Ах„ + Bun + + Biv^)vi(n), уп = Схп, (1)

i-1

где хп - m-мерный вектор состояния; ип - fc-мерный вектор управления; уп - г-мерный вектор выхода; A, Ai (i = 1,... ,р) - матрицы размеров m х m; В, В< (г = 1,... ,р) - матрицы размеров m х к; С-матрица размера г х т; t\(n) - компоненты р-мерного дискретного гауссовского белого шума г>(п) с единичной ковариационной матрицей, fi - положительные скаляры; принимается стандартное предположение, что шум v(n) не зависит от начального состояния системы. Модель системы с неопределенными параметрами задается уравнениями

р

x„+i = Ахп + + a{n){AiXn + Bill»), уп = Схп, (2)

(=0

где <тДп)-переменные, описывающие неопределенности параметров, о которых известно только, что они ограничены сверху:

к(п)|<<5< ¿ = 1,...,р. (3)

Теорем а 1. Пусть существует решение матричного неравенства

А1,РАШ -P + jr -уÏAlPAci < 0 (4)

(»i

относительно матрицы Р = РТ > 0 и матрицы усиления F, где Аси = (1 + а)1/2Ас, Ас = А — BFC, Аа - - BtFC. и параметр а > 0 удовлетворяет условию

а~Ег > 0, О < Г4 < 7? - ii ( + Ji ) , i = l,...,p. (5)

i=l ' Wi J

Тогда управление

«n = -Fyn, (6)

с указанной выше матрицей усиления обеспечивает экспоненциальную устойчивость в среднем квадратическом системы

р

z„+i = Аахп + Ваип + £ 7((Дл„ + В>и„Мп), у„ - Схп, (7)

¡=1

где Аа = (1 + аУ^А, Ва = (1 + а)1!1 В и экспоненциальную устойчивость системы (2) при любых неопределенностях параметров, удовлетворяющих ограничениям (3). 1Ъким образом, стохастическая система вида (7) может служить моделью сравнения в задаче стабилизации системы (2) с неопределенными параметрами в том смысле, что выбирая интенсивности шумов в соответствии с (5) и находя управление вида (6), обеспечивающее экспоненциальную устойчивость в среднем квадратическом (ЭУСК) одновременно получим робастное стабилизирующее управление для системы (2), т.е управление обеспечивающее экспоненциальную устойчивость системы (2) при любых неопределенностях параметров, удовлетворяющих ограничениям (3). Это управление обеспечивает также ЭУСК системы (1).

Запишем сингулярное разложение для матрицы С :

-С = и 5УГ7 УТУ ='1',-(8)"

где II и V - ортогональные матрицы, 5 - прямоугольная матрица, элементы которой с равными индексами являются сингулярными числами С, а остальные элементы нулевые. Представим матрицу V в блочной форме: V = [VI где К е Мтхг У2 6 Справедливо следующее утверждение Теорема 2. Пусть для некоторых заданных матриц (? = (Зг ^ О, Л = Лг >

О, X = ХТ ^ 0 существует решение У — УТ > О, Р = Рг > 0 системы уравнений

р

(Ас - ВаК)У(Аа - ВаК)Т - У + £7,2(Л - В&)У{А< - )г + X = О,

(=1

(А, - ВаК)тР{Аа - ВаК) -Р +

р

- В,К)ТР№ - В(К) + КТЯК + д = 0, (9)

1=1

К = [Л + В1РВВ + £^ВТРВ^[В1РА0 + £ДОМ,][I -

у2(У/У-1У2)-%тУ-1}1

КУ2 = о,

удовлетворяющее условиям

У>0, (Аа-ВаК)У(Аа-ВаК)Т-У+ (10)

(=1

Тогда управление (6) с матрицей усиления Р = КС+, где верхний индекс + означает псевдообращение по Муру-Пенроузу, обеспечивает ЭУСК системы (7).

Алгоритм 1.

1. Задаем матрицы <2^0, Я > О, X > 0 и начальное значение матрицы усиления К. Эта матрица находится из условия стабилизации системы (7) в среднем квадратическом как К = IV в-1, где Цг и 5 решение системы линейных матричных неравенств

5 > О,

5 2 Ът В[5)

> О, (И)

где 2 = - ВаЫ)т чМхЭ - .. .Ъ(АР3 - В„ИТ,] £(5) = Ша8[51Г1.

относительно переменных 5 и IV.

2. Решаем уравнения Сильвестра для X и P¡:

(Аа - ВаК,ЩАа - ВаЩт + 72](А) - В^ЩА, - + * - = О,

¿=1

(Аа-ВаК<)тР<(Аа~ВаК<) + - В,К,)ТРЦА, - В]К{) + КТШ, +

1=1

Вычисляем приращение

&К< = [Л + ВтаР,Ва + £ -уЩР^}-\В1Р<Аа + £ т-1=1 (=1

У^УГ^У^У-1) - к,

и находим К{+1 = + где 0 < А < 2, выбирается из условия устойчивости

системы (7) в среднем квадратическом на данном шаге. Полагаем < = »+1.

3. Если |[ II < е, то вычисления заканчиваем и полагаем F = КС+, иначе переходим к шагу 2.

Следующая теорема дает метод нахождения параметра /?, гарантирующего устойчивость системы (7) в среднем квадратическом на каждом шаге алгоритма 1 и сходимость этого алгоритма. Введем обозначения

М1 = Ла - ВаКи = Мг = ~Ва АКи И^^-В^, Щ=*-ВАК, з = 1,..:,р,

гГ,

а =|| Х-^(М21¥М[ + рГ1'2 ||2,

6 = 2 || V'1/21|2 .

¿=1

Теорема 3 (Сходимость алгоритма 1). Пусть на каждом шаге алгоритма 1 параметр Д выбирается из условия Д < mm{/3+12}, где /5+ - положительный корень квадратного уравнения а/32 + Ь/3 — 1 = 0. Тогда алгоритм 1 сходится и управление

ип = -Кхп, (12)

с матрицей усиления К = Kit t = 1,2,... гарантирует ЭУСК системы (7). Существенно отметить, что приведенные результаты являются новыми и для детер-минировнных систем.

Разработанный итерационный алгоритм был проверен на числовых данных из библиотеки Фридмана Лейбфрица5, где собраны наиболее характерные задачи управления со статической обратной связью по выходу из различных областей. При этом решалась-задача стабилизации детерминированной системы-

Xn+i = Ахп + Вип, уп = Схп (13)

управлением (6). Результаты вычислений в среде MATLAB/SeDuMi при относительной погрешности е =1е-7 представлены в таблице 1.

Таблица 1. Результаты тестирования итерационного алгоритма на численных данных из библиотеки СОМРЬеНэ

тест max |A(A-BFC)| число итераций тест max |A(A-BFC)| число итераций

AC1 0.9959 59 AC9 inf inf

AC3 0.9892 132 AC10 inf inf

AC4 0.9990 90 AC11 inf inf

AC5 0.9876 156 AC12 0.9960 1

AC6 0.9978 62 AC15 0.9979 139

AC7 inf inf AC16 0.9869 1

AC8 0.9938 41 AC17 0.9878 143

Алгоритм синтеза робастного управления на основе сравнения со стохастической моделью проверялся на примере угловой стабилизации движения летательного аппарата, линеаризованная модель которого, задается дифференциальными уравнениями

Ь = и„

= -0?-<Cw» + <C,e + oLi, (14)

0 = -ajd + aje,

где 1? - угол тангажа, ш, - угловая скорость тангажа, 9 = 5? — а - угол наклона траектории, a - угол атаки, & - угол отклонения руля высоты.

sCOMPleib: Constraint Matrix-optimization Problem library, http://www.complib.de/

"о а ю » аь зо м

Рис. 1. Изменение параметра /3 Рис. 2. Изменение нормы КУ2

Переменными состояния и управления системы будут соответственно х(Ь) = ¡1? и, 8]т,

Обычно непосредственному измерению доступны только ■& и шг, тогда вектор выхода будет иметь вид:

Неопределенности параметров задаются в виде допустимых отклонений от номинальных значений:

С, € [а^о -Да^, +Да^], 6 [(& - Да?, + Д<$, <С € [<Со-Д<С, <Со + ДО. <4,,б[<4о-Д<С о^ + Да»,,],

где Да^, = ЛкСо До? = Да- = ¿за^, Да^ = <^0-

Предполагается, что управление формируется с помощью бортовой ЦВМ, при этом

и(г) = и{пТ) = ип, пТ^г <(п + 1)г, п = о,1,...,

где Т - период дискретности ЦВМ. По заданным границам отклонений параметров в соответствии с (5) вычислялись интенсивности шумов и находились параметры стохастической модели (7), после чего применялся алгоритм 1. В результате вычислений с периодом дискретности Т = 0,02с. была получена матрица коэффициентов усиления обратной связи по выходу Р = [-23,56 - 0,97]. На рисунках 1 и 2 показаны графики изменения нормы и параметра /3 в зависимости от числа итераций. Здесь, параметры & выбирались из расчета 15% максимального отклонения от номинальных величин. При вычислениях использовались синтаксический анализатор, УАЬМ1Р с решателем ЗеБиМ! в среде МАТЬАВ. Числовые значения номинальных параметров брались для гипотетического легкого сверхзвукового самолета6

вКрасовский А. А Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973.

К сожалению, среди известных программ решателей удалось добиться сходмости итерационного алгоритма лишь используя решатель SeDuMi, который существует только в среде MATLAB, поэтому пакет SCIYALMIP написаний в среде SCILAB не может быть использован в данном случае, В этой связи весьма перспективной представляется разработка группой ученых из Франции среды для научных расчетов, известной как NSP или Tumbai, которая является совместимой со SCILAB, и при этом обеспечивает также большие совместимости с MATLAB, что дает возможность эффективно встраивать в среду NSP программы-решатели, написание под MATLAB. В настоящее время создана версия SeDuMi для работы в этой среде, что открывает перспективу создания YALMIP интерфейса для NSP в ближайшем будущем.

В третьей главе результаты в главе 2 обобщаются на случай одновременной стабилизации множества дискретных систем вида_

N

Xn+l = AiXn + BiUn + "£оц(п)(АцХп + Вцщ), уп = Схп, i = 1.....и, (15)

j=i

где хп - т - мерный вектор состояния; iv к - мерный вектор управления; уп - т -мерный вектор выхода; Аи Ац (г = 1,..., f, j = 1,..., N) матрицы размеров m х m; Bi, Вц (i = 1,..., v, j = 1,..., N) матрицы размеров mx к] С- матрица размера гхто; fij(n) (i — 1,... ,и, j = 1,... ,N) переменные, описывающие неопределенности параметров, о которых известно только, что они ограничены сверху:

|ау(п)Кгу » = 1,...,ц j = 1,...,N. (16)

Одновременно с (15) рассматривается множество стохастических дискретных систем;

IV

z„+i = Аыхп + В^ип + + Byu n)vi(n), (17)

i

yn = Cxn,i = l,...,v

где Aai = (1 + cnY^Ai, Bat = (1 + Ci)1/2Bi, Vi(n) компоненты N - мерного дискретного гауссовского белого шума v(n) с единичной ковариационной матрицей, - положительные скаляры.

Теорема 4. Пусть при некоторых а« > О, Д > О найдется положительно определенное решение Р = РТ матричного уравнения

N

{l+ai)(Ai-BiFC)TP(Ai-BiFC)-P+Y;'rb(Aij-BijFC)TP(Aii-BijFC)+ßir = О,

удовлетворяющее условиям

N r2 N

Тогда управление (6) обеспечивает ЭУСК всех систем из множества (17) и ро-бастную устойчивость всех систем из множества (15).

Для задачи стабилизации по выходу по аналогии с главой 2 разработан итерационный алгоритм, основанный на одновременном решении семейства ЛМН на каждом шаге алгоритма, получены достаточные условия сходимости метода, обеспечивающие ЭУСК одновременно для всех систем из рассматриваемого множества на каждом шаге алгоритма. Алгоритм 2.

1. Назначаем матрицы Q¡ ^ О, Р\ > О, X > 0 и получаем начальное значение матрицы усиления Кц . Эта матрица обеспечивает ЭУСК системы (17) и находится из ЛМН, аналогичных (11).

2. Решаем неравенство относительно Уп и систему неравенств относительно Рп :

и N

^(Ам - ВыКп)Уп(Аы - В«Кп)Т + - ВцКп)У„.(Ац -

¡=1 ;=1

-ВцКп)т + Х-Мп< о,

(Аы - ВыКп)тРп(Аы - ВыКп) + ¿тЦАц - ВцКп)тРп(Ац --ВцК„) + К$В<Кп + Qí - Рп < -I, I = 1,..., к.

3. Вычисляем приращение

д кп = £> + втырпвы + ¿т&адад-'Е в1рпаы + ¡=1 ;=1 1=1

+¿7?в5яа,)[/ - ад^-1^)-1^-1] - кп

3=1

и находим Кп+1 = Кп + (ЗпАКп, где 0 < Д, < 2 и /?„ выбирается из условия ЭУСК системы (17) на данном шаге. Полагаем п = п + 1.

4. Если || ад || < £, то вычисления заканчиваем и полагаем Р = КС+, иначе переходим к шагу 2.

Следующая теорема дает метод вычисления таких /?„, чтобы обеспечивались ЭУСК системы (17) на каждом шаге алгоритма и сходимость алгоритма. Введем следующие

Рис. 3. Изменение параметра ß обозначения

Рис. 4. Изменение нормы КV3

Мц = Ам- BaiKn, M2i = -ВыАКп, NtJ = Ai} - В„Кп, JV« = -Вц&Кп,

N _ _

Zi = Qi + KlRiKn + 1, а, = IIZ~1/2(MÜPnM2i + £Р»„Л«)^Г1/ЯПа.

j=i

N _

bi^2\\z;l/\MfipnMji + T,'rf1NlipnNii)zillX'i = 1.....i = i.....w.

j=l

Теорема 5 (Сходимость алгоритма 2). Пусть параметр ßn удовлетворяет на каждом шаге условию ßn < min min{/3j,2} , где ßti - положительный корень квадратного уравнения

Oiß2 + kß - 1 = 0.

Тогда алгоритм S сходится, и управление (12) с матрицей усиления К = К„, п ' 0,1,2,... обеспечивает 9УСК системы (17).

В качестве примера применения итерационного алгоритма была рассмотрена задача одновременной робастной стабилизации гипотетического легкого сверхзвукового самолета для девяти характерных режимов полета с параметрами 5{ = 0.0572, 7i = 1.256, а — 0.008375 для каждой системы. В результате вычислений с периодом дискретности Т = 0,02с была получена матрица коэффициентов усиления обратной связи по выходу F = [—16.9714 - 2.0773]. На рисунках 3 и 4 показаны графики изменения нормы и параметра ß в зависимости от числа итераций, на рисунке 6 переходные процессы по режимам. Интересно отметить, что итерационный процесс в данном примере сходится за меньшее число итераций чем в задаче стабилизации одной системы.

В четвертой главе предлагается параметрическое описание множеств стабилизирующих управлений со статической обратной связью по выходу. Чтобы сделать таг кое описание конструктивным необходимо соответствующим образом выбрать параметры. В качестве таковых в современной теории управления широко используются

Рис. 5. Переходные процессы по режимам

матрицы, аналогичные весовым матрицам в задаче линейно-квадратичного регулятора (ЬС}11 параметры) или моды системы (набор собственных значений и векторов). В данной работе используются ЬСЗЛ параметры. Их использование приводит к описанию, включающему решение нестандартных квадратных матричных уравнений или неравенств, методы решения которых неизвестны, однако удается найти выпуклую аппроксимацию множества всех стабилизирующих управлений. Последнее позволяет получить эффективные алгоритмы вычисления матрицы стабилизирующего управления без использования итерационных процедур на основе решения задач полуопределенного программирования.

Теорема 6. Матрица усиления Р, обеспечивающая 9УСК системы (1) с управлением (6) существует тогда и только тогда, когда найдутся матрицы параметров ф = <?т ^ О, Л = Ят > 0 и Ь такие, что

рс = [ВТРВ + г(р) + Щ-^РА + ©г(р) + ь], (18)

где Р = Рт > 0 - решение квадратного матричного неравенства

АТРА -Р- [АТРВ + в{Р)}{ВтРВ + г(р) + Щ~1[ВТРА + е(р)г] +

+д(р) + (3 + 1г(вгрв + г(р) + й]-1ь<0, (19)

г(р) = ¿7¿в?рви д(р) = ¿7?аГра, е(р) = ^лгрв,. 1=1 (=1 ¡=1

Методы решения неравенства (19) неизвестны. Следующее утверждение дает достаточные условия, приводящие к вычислимым соотношениям.

Следствие 1. Пусть для некоторого скаляра р > 0 и матриц параметров

Q = QT ^ О, й = йт > 0 u i обобщенное уравнение Риккати

АТРА -Р- [АТРВ + 6{Р)]{ВТРВ + Г (Р) + R\'l\BTPA + e(P)r] + A(P) + (l-hM)Q = 0.

имеет положительно определенное решение Р = РТ, удовлетворяющее соотношениям

№ 1т Ь ВТРВ + Г (Р) + В.

>0

(21) (22)

— (23)"

обеспечивает ЭУСК системы (1)

Матрица Р = РТ > 0, удовлетворяющая (20) может быть найдена как решение следующей задачи оптимизации при ограничениях в виде ЛМН 7

[BTPA + Q(P) + L)V2 = 0. Тогда управление (6) с матрицей усиления, определяемой по формуле

trace Р —» max,

Р = РТ > 0,

АТРА - Р + Д(Р) + (1 + n)Q АтРВ + в(Р) ВтРА + в(Р)т ВТРВ + Г(Р) + R

>0.

(24)

Таким образом можно сформулировать следующий алгоритм вычисления матрицы стабилизирующего управления по выходу Алгоритм 3.

1. Задаем $ = £?г > О, Л = Дт > 0, р. > 0.

2. Решаем задачу (24) и находим Р = Рт > 0.

3. Решаем систему линейных матричных уравнений и неравенств относительно матрицы Ь:

fiQ LT

L BTPB + T(P) + R

>0, [BTPA + e(P) + L]V3 = 0.

(25)

4. Если система (25) совместна, то вычисляем F по формуле (23).

5. Проверка. Если система линейных матричных неравенств относительно матрицы Я

N

Я = Нг > 0, (А - BFC)TH(A - BFC) - H + £7?(Л,- - В<РС)ТН{А, - BtFC) < 0

¡=1

совместна, то F является искомой матрицей стабилизирующего управления.

7Ait Rami M., El Gbaoui L. LMI optimization for nonstandard Riccati equation arising in stochastic control // ШЕЕ lïans. Automat. Control. 1996. V. 41. P. 1666-1671.

Дается обобщение результата для систем случайной структуры N

гп+1 = Л(гп)х„ + В(гп)ип + ]Г 7Дгп)И3(г„)г„ + В3(гп)ип]^(гг), уп = С(г„)хп, (26) 1=1

где г„ - однородный марковский процесс, принимающий значения из множества состояний N{1,с матрицей вероятностей перехода П = (тгу)", где 7Гу > 0 и £2Ц % = 1 Для любого г £ N.

Теорема 7. Матрица усиления Рь обеспечивающая ЭУСК системы (26) с управлением (6) существует тогда и только тогда, когда найдутся матрицы параметров <3( = (¡Т > О, Щ — Щ > 0 и такие, что

ад = \BjPiBi + г4(д) + + е?(д) + ц,

V

где Р( = ^ = Щ - решение системы квадратных матричных неравенств

1=1

А?РЛ -я,- [а?№ + е((Р0][в,гед + г4(д) + + е4(р<)г] +

ДЛЯ) + + + г,№) + < о,

ВД) = ¿т^ДВ*. Д((Р<) = = г 6 N.

1=1 1=1 1-1 Следствие 2. Пусть для некоторого скаляра щ > 0 и матриц параметров <3< = ЯТ ^ 0> Л> = Л?" > 0 система матричных квадратных уравнений

а?рл -щ- [А] ра + е((р()][в,Гад + Г(№) + Щ'1\вТр^ + е<(д)т1 +

имеет положительно определенное решение я( = Щ, удовлетворяющее линейным матричным неравенствам

<

относительно матрицы параметров Тогда матрица усиления управления с обратной связью по выходу дается выражением

Я = [В?р&+г,(р)4 + щ-Чвтрл + е,(яо + ЦС?, . € n.

Результаты теоремы 7 и следствия 2 приводят к алгоритмам аналогичным алгоритму 3. Кроме того важное значение имеют следующие частные случаи.

1. При П = 1„ и ^ = (г е К) получаем алгоритм без итераций, аналогичный алгоритму 3 для вычисления матрицы усиления управления (6) с обратной связью по выходу, обеспечивающего одновременную стабилизацию множества систем (15).

2. Рассмотрим дискретную систему с неопределенными параметрами

и

Хп+1 = £+ В^п) у„ = Схп, (27)

¡=1

где &(п) ^ О, (¡' € К) и Х)Г=1 &(п) = 1 и поставим задачу найти управление со статической обратной связью по выходу вида (6), обеспечивающее квадратичную устойчивость системы (27). Алгоритм решения этой задачи аналогичный алгоритму 3 получается при Щ = Н, = Р, (г е К).

Последний результат обобщается на класс так называемых повторяющихся процессов с неопределенными параметрами, описываемых следующими уравнениями N

Хк(р +1) = + ВМр) + Вода-1(р)), _(28)

-f=i-n

Vfcfp) = 52ti(k,p)(CiXk(p) + DiUk{p) + DoiVk-i), ¡=1

Название таких процессов обусловлено тем, что они описывают серию повторяющихся действий, называемых проходами, длительность которых ограничена некоторой постоянной величиной а < +оо, называемой длительностью прохода (в отечественной литературе такие процессы не рассматривались и здесь используются просто дословные переводы английских терминов) ук(р),0 < р < а вектор размерности ш х 1 называется профилем к-то прохода, zt(p) = [ук(р - 1) ук{р - 2) уь-\(1> -

1) 3/t-i(р ~ 2)]г - вектор состояния размерности n х 1, - вектор управления на к-ом проходе размерности I. Параметры &(fc,p) описывают неопределенности и удовлетворяют условиям &(к,р) 0, = 1. Начальные условия для вектора состояния и профиля прохода следующие

a*+i(0) = dk+1, к > 0 у0(р) = /(р), 0 < р < а - 1, (29)

где dfc+i есть числовой вектор размерности n, f(p) - вектор размерности т, компоненты которого являются заданными функциями аргумента р. Закон управления задается в виде

Ufc+i(р) = —Kixfc+i(p) - К2ук(р) (30)

для всех 0 si р^ а, к 2 0 Обозначим 35,= , В, = , ЛГ = [lii Щ,

С Dai Di

i = l.....N.

Для анализа таких систем используется понятие квадратичной устойчивости относительно прохода, дополняющее обычное понятие асимптотической устойчивости по Ляпунову требованием монотонности процессов.

Теорема 8. Управление (30) обеспечивает квадратичную устойчивость относительно прохода, если найдутся матрицы параметров Qi = СЦ > 0, = Щ > 0 и такие что

(В^Ж^ + ЮК = + = 1.....Ы, (31)

где = > 0 - решение неравенства

-\У- А^ШВ^В^В, + + $(ВТ<У/В{ + ъу1^ + <2( < О

На основе этой теоремы был получен алгоритм вычисления матрицы усиления К, аналогичный алгоритму 3.

Таблица 2. Результаты тестирования алгоритма без итераций _на численных данных из библиотеки СОМРЬеШ_

название теста max |A(A-BFC)| время решения (сек.мсек)

АС1 /SDPA 0.995132 1.859

АСЗ/SDPA 0.986342 1.344

АС4 / SDPA 0.999 1.453

АС5 / SeDuMi 0.998 1.257

АС6/SDPA 0.992872 1.484

АС7/SDPA 0.999349 1.531

AC8 / SDPA 0.996102 1.468

AC9/SDPA 0.991674 1.657

AC10 / SeDuMi 0.982341 100.24

AC11 /SDPA 0.994438 1.407

AC12 /SDPA 0.936176 1.219

AC15 /SDPA 0.994612 1.328

AC16 / SDPA 0.979623 1.312

AC17 /SDPA 0.986671 1.265

AC18 /SDPA 0.998461 1.344

Было проведено тестирование алгоритмов без итераций на числовых данных из библиотеки СОМРЫЬ , с использованием программных пакетов ЗСГУАЬМ1Р/ЗОРА и УАЬМГР/БеОиМ!, Рассматривалась задача стабилизации детерминированной дискретной системы (13) управлением с обратной связью по выходу (6). Результаты представлены в таблице 2. Как видно из сравнения таблиц 1 и 2, алгоритм без итераций дает подходящее решение для всех числовых данных, более того, время, затрачиваемое на решение алгоритмом без итераций в среднем равно времени одной итерации итерационного алгоритма. В то же время, недостаток параметризации состоит в том, что мы, вообще говоря, не можем гарантировать здесь существование

Рис. 6. Схема численного исследования задачи полуопределенного программирования_______

решения (используются достаточные условия), что сохраняет необходимость иметь альтернативные итерационные методы решения.

В пятой главе дается описание разработанного автором языка описания задач полуопределенного программирования - ЭСГУАЬМ1Р, совместимого со свободно распространяемым пакетом для научных вычислений ЗСИАВ. Предложен универсальный интерфейс, естественный и удобный для любого пользователя, знакомого с математическими аспектами задачи. В главе приводится иллюстрация возможностей предложенного интерфейса, на задачах полуопределенного программирования. Кроме того, примеры, приводимые в качестве численных результатов разработанных методов и алгоритмов в данной работе, были выполнены с использованием ЗСГУАЬМ1Р. В главе приводится описание основных функций работы с интерфейсом ЗС1УАШ1Р, особенности его внутренней структуры и реализации.

На рисунке 6 представлены процессы численного исследования задачи полуопределенного программирования. Термин "шаг" указывает на то, что данный этап численного исследования проходит при непосредственном участии пользователя. В левой части рисунка "шаг 1" состоит в преобразовании математической формулировки задачи в формат входных данных для соответствующей программы-решателя и "шаг 2" это интерпретация выходных данных решенной задачи снова на уровень математических представлений. Важно отметить, что этот процесс требует довольно существенных затрат времени. Второй сложностью здесь является миграция пользователя между различными решателями,поскольку каждый из них имеет свой интерфейс и свои особенности, которые необходимо знать для эффективного его использования. С правой стороны рисунка представлен тот же процесс, но с использованием БСГУАЬМШ. "шаг 1" и "шаг 2" отличаются тем, что на вход принимаются данные в наиболее близком их представлении к математическому описанию зада-

чи. Пользователь работает с матрицами, матричными уравнениями и неравенствами, т.е. со структурами данных самого высокого уровня представления, в то время как 5СГ¥АЬМ1Р берет на себя работу по моделированию на более низком уровне. При миграции от одного решателя к другому пользователю всего лишь требуется поменять имя необходимого ему решателя в настройках БСГУАЬМ1Р и пакет сам обратится к нужному решателю. Недостатком БСГУАЬМГР является дополнительные затраты времени, связанные с преобразованием задачи к входным данным конкретной программы-решателя, особенно если размерность задачи доходит до нескольких сотен. Однако в выходных данных пакета всегда можно выяснить как общее время работы пакета, так и то время, которое было затрачено непосредственно на решение задачи.

Интерфейс подразумевается расширять дальше, в том смысле, что на данный момент он поддерживает в основном возможность решения задач полуопределенного программирования и оптимизации, и наибольшее внимание при тестировании пакета уделялось именно задачам этого класса. В дальнейшем планируется расширение класса поддерживаемых для решения задач.

Заключение. В работе решается задача нахождения матрицы усиления стабилизирующего управления со статической обратной связью по выходу для следующих классов систем:

• дискретные линейные системы с мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управления;

• дискретные линейные системы с аффинными и политопными неопределенностями.

Для этих классов систем получены следующие результаты.

1. Методы и локально сходящиеся алгоритмы нахождения матрицы усиления управления, обеспечивающего одновременную и робастную стабилизацию.

2. Описание множества регуляторов в задачах одновременной и робастной стабилизации в терминах матриц параметров аналогичных весовым матрицам в задаче линейно-квадратичного регулятора.

3. Методы и алгоритмы нахождения матрицы усиления управления, обеспечиваг ющего одновременную и робастную стабилизацию, не использующие итерационные процедуры.

Разработан программный комплекс БСГУАЬМШ, являющийся аналогом популярного в среде МАТЬАВ синтаксического анализатора УАЬМ1Р, предназначенный для работы в среде ЭСПАВ. Это дает удобный инструментарий для решения задач полуопределенного программирования, линейного и квадратичного программирования на базе свободно распространяемого программного обеспечения. Эффективность

SCIYALMIP подтверждена его использованием при решении указанных выше задач.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статья а журнале из списка периодических изданий рекомендованных ВАК

1. Пакшин П. В., Соловьев С. Г., Синтез робастных дискретных систем на основе сравнения со стохастической моделью. // Известия РАН.Теория и системы управления - 2007.- №6.-С. 5-15.

Публикации в других изданиях

2. Pakshin P. V., soloviev S. G. Synthesis of robust discrete-time systems based on comparison with stochastic model // Adaptation and Learning in Control and Signal Processing. 2007. - V.9. - Pt.l. - P.l-6. [Электронный ресурс] // http://www.ifac-papersonline.net/DetaiIed/30232.html.

3. Pakshin P. V., Soloviev S. G. Robust Simultaneous Stabilization of uncertain discrete-time systems. // Proceeding of the 16th International Conference on Systems Science (Wroclaw, Poland, 4-6 September 2007) Wroclaw: OScyna Wydawnicza Politechniki Wroclawskiej.- 2007. - V 1,- P.- 230-239.

4. Pavel Pakshin, Sergey Soloviev Exponential Dissipativity of Discrete-Time Stochastic Systems and Robust Simultaneous Stabilization. // Proceedings of the 17th World Congress The International Federation of Automatic Control (Seoul, Korea, July 6-11) - 2008„ P. 14180-14185. [Электронный ресурс] // http://www.ifac-papersonline.net/Detailed/38086.html

5. Pavel Pakshin, Krzysztof Galkowski, Sergey Soloviev, Eric Rogers Parameterization of static feedback stabilizing controllers for uncertain discrete linear repetitive processes. // Proceedings of the 14th international congress of cybernetics and systems of WOSC (Wroclaw, Poland, September 9-12) - 2008. CDROM.- P. 303-311.

6. Pakshin P, v., Soloviev S. g. Parameterization of Stabilizing Controllers of Stochastic Discrete-Time Systems and its Application to Robust Output Feedback Design. // Proceedings of the 14th international congress of cybernetics and systems of WOSC (Wroclaw, Poland, September 9-12) - 2008. CDROM.- P. 409-417.

7. pakshin p., Soloviev S. Robust simultaneous stabilization of uncertain discrete-time systems. // Systems Science. - 2008. - V. 34.- No. 1. - P. 39-48.

8. Soloviev S. G. , Pakshin P. V. SCIYALMIP tool homepage. [Электронный ресурс] // (http: //www .laas.fr/OLOCEP/SciYalmip/index.html)

Подписано к печати 28.04.2009, Формат 60x84 1/20. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1. Тир. 100. Зак.5 6.

Типография Нижегородского госуниверситета Лицензия №18-0099, 603600, г. Н.Новгород, ул. Б.Покровская, 37.

Введение

1 Общая характеристика состояния проблемы и описание основных моделей

1.1 Системы с неопределенными параметрами

1.1.1 Квадратичная устойчивость и стабилизация.

1.1.2 Квадратичная устойчивость и стабилизация систем с аффинными неопределенностями.

1.1.3 Квадратичная устойчивость и стабилизация систем с по-литопными неопределенностями.

1.2 Системы со случайными параметрами.

1.2.1 Устойчивость и стабилизация систем с мультипликативными шумами.

1.2.2 Устойчивость и стабилизация систем со случайными изменениями структуры.

1.3 Повторяющиеся процессы.

1.3.1 Дискретные модели повторяющихся процессов.

1.3.2 Устойчивость и стабилизация повторяющихся процессов

2 Итерационные алгоритмы вычисления стабилизирующего управления с обратной связью по выходу

2.1 Постановка задачи робастной стабилизации.

2.2 Стохастическая система сравнения.

2.3 Робастная стабилизация с обратной связью по состоянию

2.4 Робастная стабилизация с обратной связью по выходу.

2.5 Итерационный алгоритм вычисления матрицы усиления стабилизирующего управления.

2.6 Пример

3 Итерационные алгоритмы вычисления управления с обратной связью по выходу в задаче одновременной стабилизации множества дискретных систем

3.1 Задача одновременной робастной стабилизации.

3.2 Стохастическая модель сравнения.

3.2.1 Одновременная робастная стабилизация с обратной связью по состоянию.

3.2.2 Одновременная робастная стабилизация с обратной связью по выходу.

3.3 Пример

4 Алгоритмы вычисления стабилизирующего управления без использования итерационных процедур

4.1 Задача параметризации.

4.2 Алгоритм вычисления матрицы усиления без использования итерационных процедур.

4.3 Обобщение на системы случайной структуры.

4.4 Одновременная стабилизация и робастная стабилизация

4.4.1 Одновременная стабилизация.

4.4.2 Робастная стабилизация.

4.4.3 Стабилизирующее управление повторяющимися процессами

4.5 Примеры

4.5.1 Сравнение итерационного алгоритма и алгоритма без итераций для линейной дискретной системы.

4.5.2 Сравнение итерационного алгоритма и алгоритма без итераций для одновременной стабилизации множества дискретных систем.

5 Язык описания задач полуопределенного программирования SCIYALMIP в среде SCILAB

5.1 Интерфейс SCIYALMIP.

5.1.1 Функция sdpsettings.

5.1.2 Функция sdpvar.

5.1.3 Функция set.

5.1.4 Функция sdpsolve.

5.2 Пример решения простого JIMH.

5.3 Особенности разработки языка моделирования

SCIYALMIP.

Актуальность проблемы. Вычисление матрицы усиления управления со статической обратной связью по выходу, стабилизирующего линейную систему, остается нерешенной до конца проблемой, несмотря на то, что получены разнообразные формы необходимых и достаточных условий существования такого управления. В то же время теория и практика современной теории управления приводят к необходимости решения этой проблемы в условиях неопределенности параметров объекта и действия случайных возмущений. В этих случаях слабо изучены также и сами условия существования стабилизирующего управления. Среди немногих публикаций можно отметить часто цитируемую работу Крузиуса и Трофино [14], где указаны достаточные условия для систем с неопределенными параметрами, и работу [26], где даются необходимые и достаточные условия для систем с марковскими переключениями. Для систем с параметрическими шумами какие-либо конструктивные результаты в этом направлении отсутствуют. В литературе утверждается, что алгоритмическая разрешимость задачи стабилизации по выходу относится к числу ИР-трудных задач, хотя все авторы обычно адресуют к работам Блон-дела [5], где строгое и полное доказательство этого факта не приводится.

Цель работы состоит в создании методов, алгоритмов и программного обеспечения синтеза стабилизирующих управлений со статической обратной связью по выходу для дискретных линейных систем с мультипликативными шумами и марковскими переключениями структуры, и изучении возможности применения полученных результатов к задачам робастной стабилизации.

Задачи работы. Исходя из целей работы, были поставлены следующие задачи:

1. Разработать методы и алгоритмы синтеза стабилизирующих управлений с обратной связью по выходу для линейных дискретных систем с мультипликативными шумами.

2. Разработать методы и алгоритмы синтеза управлений для задачи одновременной стабилизации по выходу множества линейных дискретных систем с мультипликативными шумами.

3. Описать в параметрической форме множество всех стабилизирующих управлений со статической обратной связью по выходу для дискретных линейных систем с мультипликативными шумами и марковскими переключениями структуры.

4. Исследовать возможность применения полученных результатов к задачам робастной и одновременной робастной стабилизации, в частности найти условия, при которых управление, стабилизирующее стохастическую систему, будет обеспечивать робастную стабилизацию системы с неопределенными параметрами.

5. Для численной реализации алгоритмов синтеза стабилизирующих управлений создать программное приложение к свободно распространяемому пакету для научных расчетов БС1ЬАВ с удобным пользовательским интерфейсом.

Методы исследования. Для теоретических исследований в данной работе использован метод функций Ляпунова и его стохастический аналог, методы выпуклого анализа и полуопределенного программирования. Для численного анализа и моделирования использованы среды: МАТЬАВ, с решателями БеОиМ^ СББР, ББРА и синтаксическим анализатором УАЪМ1Р и ЭСПАД с решателями СББР, БЭРА и разработанным автором синтаксическим анализатором ЭС1УАЬМ1Р.

Научная новизна. В работе получены и выносятся на защиту следующие новые научные результаты:

1. Метод и локально сходящийся итерационный алгоритм вычисления матрицы усиления управления со статической обратной связью по выходу, одновременно стабилизирующего множество дискретных линейных систем с мультипликативными шумами.

2. Метод и локально сходящийся итерационный алгоритм вычисления матрицы усиления стабилизирующего управления со статической обратной связью по выходу, одновременно стабилизирующего множество дискретных линейных систем с неопределенными параметрами.

3. Параметрическое описание множества всех стабилизирующих управлений со статической обратной связью по выходу для дискретных линейных систем с мультипликативными шумами и марковскими переключениями.

4. Алгоритмы вычисления матрицы усиления стабилизирующего управления со статической обратной связью по выходу без использования итераций, полученные на основе достаточных условий стабилизации, следующих из предложенного параметрического описания.

5. Язык описания задач полуопределенного программирования - БСГУАЫШР, совместимый со свободно распространяемым пакетом для научных вычислений БСЛЬАВ.

Практическая ценность. Основным практическим результатом диссертации является разработанное программное приложение БС1УАЬМ1Р к свободно распространяемому пакету БСЛЬАВ, позволяющее решать задачи полуопределенного программирования с предоставлением интерфейса, аналогичного используемому в популярном синтаксическом анализаторе УАЬМ1Р для пакета МАТЬАВ.

Апробация полученных результатов. Основные результаты были представлены на следующих научных мероприятиях.

1. 9th IFAC Workshop on Adaptation and Learning in Control and Signal Processing, Санкт-Петербург, 29-31 августа 2007 г.

2. III Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB", Санкт-Петербург, 23-26 октября 2007 г.

3. Научная конференция учебно-научного инновационного комплекса "Модели, методы и программные средства" Нижегородского государственного университета имени Н.И. Лобачевского, Нижний Новгород, 27-30 ноября 2007 г.

4. 16th International Conference on Systems Science, Вроцлав, Польша 4-6 сентября 2007 г.

5. X Международный семинар им. Е.С. Пятницкого, Москва, ИПУ РАН, 3-6 июня 2008 г.

6. 17th International Congress of IFAC, Сеул, Корея, 6-11 июля 2008 г.

7. 14th International Congress on Cybernetics and Systems Science of WOSC, Вроцлав, Польша, 9-12 сентября 2008 г.

8. XV международная конференция по автоматическому управлению, Одесса, Украина, 23-26 сентября 2008 г.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 7 печатных работах. В совместных работах научному руководителю принадлежат постановки задач и идеи доказательств и алгоритмов. Доказательства теорем, разработка методов, алгоритмов и программного обеспечения принадлежат автору.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты №-№07-01-92166-НЦНИа, 08-01-9703б-рповолжьеа) и программы Национального центра научных исследований Франции PICS №.4281.

В первой главе приводятся краткий обзор состояния проблемы, обоснование актуальности проблемы, формулировка цели и задач исследования, описание используемых математических моделей. Формулируются некоторые нестандартные понятия и определения. Дается общая характеристика программного обеспечения, используемого при численном исследовании поставленных задач.

Во второй главе рассматривается задача стабилизации линейной дискретной системы с мультипликативными шумами управлением со статической обратной связью по выходу. Предлагается сходящийся итерационный алгоритм вычисления матрицы усиления стабилизирующего управления. В основу алгоритма положен метод, в котором управление с обратной связью по выходу рассматривается как элемент подмножества управлений, удовлетворяющих специальным структурным ограничениям в стохастической за даче линейно-квадратического регулятора. Формулировка этих ограничений в терминах сингулярного разложения матрицы выхода позволила построить итерационный алгоритм в терминах линейных матричных уравнений и неравенств, что позволило использовать эффективное программное обеспечение для решения задач полуопредсленного программирования. В этой главе выделен также класс стохастических систем сравнения, т.е. таких систем, из устойчивости которых в среднем квадратическом следует устойчивость систем с аффинными неопределенностями из заданной области, и, таким образом, предложенный итерационный алгоритм можно использовать для вычисления матрицы усиления робастного стабилизирующего управления со статической обратной связью по выходу. В главе приводится ряд примеров на базе моделей из библиотеки Фридмана Лейбфрица - СОМРЫЬ, которую специалисты считают определенным стандартом при тестировании новых алгоритмов. Дается численный пример робастной стабилизации углового движения гипотетического легкого сверхзвукового самолета на основе сравнения со стохастической моделью.

В третьей главе предлагается сходящийся итерационный алгоритм вычисления матрицы усиления управления со статической обратной связью по выходу, одновременно стабилизирующего заданное множество линейных дискретных систем с мультипликативными шумами. В основу алгоритма положено обобщение результатов главы 2. В этой главе, как и в предыдущей, выделен класс стохастических систем сравнения, и, таким образом, предложенный итерационный алгоритм можно использовать для вычисления матрицы усиления управления со статической обратной связью, одновременно стабилизирующего заданное множество дискретных линейных систем с аффинными неопределенностями. Дается численный пример одновременной робастной стабилизации углового движения гипотетического легкого сверхзвукового самолета для заданного множества режимов полета с учетом неопределенностей параметров в каждом режиме.

В четвертой главе развивается альтернативный подход к вычислению матрицы усиления стабилизирующего управления. Численные эксперименты с разработанными итерационными алгоритмами показали, что они в полной мере обладают недостатками, присущими алгоритмам этого типа. Главным из них является существенная зависимость скорости сходимости от начального приближения. Кроме того, и сама процедура выбора начального приближения является нетривиальной. Это стимулировало поиск других алгоритмов, не использующих итерационные процедуры. Такие алгоритмы удалось построить на основе параметризации множества стабилизирующих управлений с обратной связью по выходу. Задача параметризации решается в данной главе для линейных дискретных систем с мультипликативными шумами и переключениями структуры по закону однородной марковской цепи. Описание множества всех стабилизирующих регуляторов со статической обратной связью по выходу дается в терминах решения системы матричных квадратных неравенств и линейных матричных уравнений, которые нелинейно связаны между собой. В качестве параметров используются матрицы, аналогичные весовым матрицам в задаче линейно-квадратичного регулятора. Попытка непосредственного решения этих неравенств и уравнений, в силу упомянутых нелинейных связей, приводит к невыпуклым соотношениям, весьма сложным для эффективной численной реализации. Предложена выпуклая аппроксимация указанных соотношений, что позволяет свести нахождение матрицы усиления стабилизирующего управления к решению вспомогательной задачи оптимизации при ограничениях в виде линейных матричных уравнений и неравенств. Как частные случаи, соответствующие специальному виду матрицы вероятностей перехода марковской цепи, получаются решения задач одновременной стабилизации и робастной стабилизации. Дается обобщение результатов для класса повторяющихся дискретных линейных процессов с неопределенными параметрами. На примерах моделей из библиотеки СОМР1е& дается сравнительный анализ итерационных алгоритмов и алгоритмов без итераций. Приводится также пример применения алгоритмов без итераций к задаче одновременной робастной стабилизации углового движения гипотетического легкого сверхзвукового самолета для заданного множества режимов полета с учетом неопределенностей параметров в каждом режиме.

В пятой главе дается описание разработанного автором языка и интерфейса БСГУАЬМЩ предназначенного для решения задач полуопределенного программирования, совместимого со свободно распространяемым пакетом БСЛЬАВ и аналогичного языку синтаксического анализатора УАЬМ1Р в среде МАТЬАВ. Описываются особенности внутренней структуры и реализации 8С1УАЬМ1Р. Численные примеры, приводимые в данной работе, были получены, в том числе, с использованием БСГУАЫУПР. К настоящему моменту 8СГУАЬМ1Р поддерживает следующие решатели для задач линейного, квадратичного и полуопределенного программирования: ЬР, С^Р, ЬМКОЬУЕИ, СББР, ББРА. В ближайшем будущем планируется добавить решатели для целочисленного(М1Р) программирования и программирования на конусе второго порядка (БОСР).

6 Заключение

В работе решается задача нахождения матрицы усиления стабилизирующего управления со статической обратной связью по выходу для следующих классов систем:

• дискретные линейные системы с мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управления;

• дискретные линейные системы с аффинными и политопными неопределенностями.

Для этих классов систем получены следующие результаты:

1. Методы и локально сходящиеся алгоритмы нахождения матрицы усиления управления, обеспечивающего одновременную и робастную стабилизацию.

2. Описание множества регуляторов в задачах одновременной и робаст-ной стабилизации в терминах матриц параметров, аналогичных весовым матрицам в задаче линейно-квадратичного регулятора.

3. Методы и алгоритмы нахождения матрицы усиления управления, обеспечивающего одновременную и робастную стабилизацию, не использующие итерационные процедуры.

Разработан программный комплекс 8С1УАЬМ1Р, являющийся аналогом популярного в среде МАТЬАВ синтаксического анализатора УАЪМ1Р, предназначенный для работы в среде БСГЬАВ. Это дает удобный инструментарий для решения задач полуопределенного программирования, линейного и квадратичного программирования на базе свободно распространяемого программного обеспечения. Эффективность ЗС1УАЬМ1Р подтверждена его использованием при решении указанных выше задач.

1. AlT Rami М. and El Ghaoui L. LMI optimization for nonstandard Riccati equation arising in stochastic control. // IEEE Trans. Automat. Control.-1996.- V. 41.- P. 1666-1671.

2. Amann N., D. H. Owens,E. Rogers. Predictive optimal iterative learnig control. // International Journal of Control- 1998.- V. 69.- P.203-226.

3. Boyd S., El Ghaoui L., Feron E. and Balakrishnan V. Linear matrix inequalities in control and system theory. Philadelphia: SIAM, 1994. 193 p.

4. BORCHERS B. , CSDP 6.0 User's Guide. Электронный ресурс] // (http://euler.nmt.edu/ brian/csdpuser.pdf)

5. Byrnes С. I., IsiDORi A., wlllems J. C. Passivity,feedback equivalence, and the global stabilization of minimum phase nonlinear systems. // IEEE Trans. Automat. Control.- 1991.- V. 36.- P. 1228-1240.

6. Crusius C. A. R., trofino A. Sufficient LMI Conditions for Output Feedback Control Problems // IEEE Trans. Automat. Control- 1999.- V. 44.-P. 1053-1057.

7. Leibfritz F. COMPleib: COnstrained Matrix-optimization Problem library a collection of test examples for nonlinear semidefinite programs, control system design and related problems. Электронный ресурс] // (http://www.complib.de/).

8. Hendra I. Nurdin , Matthew R. James , Ian R. Petersen, Quantum LQG Control with Quantum Mechanical Controllers // Proceedings of the 17th World Congress The International Federation of Automatic Control (Seoul, Korea, July 6-11) 2008. P. 9922-9927.

9. Lofberg J. YALMIP : A Toolbox for Modeling and Optimization in MATLAB. Электронный ресурс] // (http://control.ee.ethz.ch/ index.cgi?action=details&id=2088&page=publications)

10. Gadewadikar J., Lewis F. L.,Xie L.,Kucera V., Abu-Khalaf M. Parameterization of all stabilizing H^ static state-feedback gains: Application to output-feedback design // Automatica.- 2007.- V.43.- P. 1597 1604.

11. SHAKED U., BERMAN N. Ню control for nonlinear stochastic systems: The output-feedback case // Preprints 16th IFAC World Congr. (Prague, Czech Republic, July 3-8) 2005. CD-ROM.- P. 1-6.

12. STURM J. F. Using SeDuMi 1.02, a Matlab Toolbox for Optimization over Symmetric Cones Электронный ресурс] // (http://www.optimization-online.org/DBHTML/2001/10/395.html)

13. SOLOVIEV S. G. , pakshin P. V. SCIYALMIP tool homepage Электронный ресурс] // (http://www.laas.fr/OLOCEP/SciYalmip/index.html)

14. Syrmos V. L., Abdallah С. Т., Dorato, p., Grigoriadis K. Static output feedback-a survey // Automatica.- 1997.- V.33.- P.125-137.

15. Katsuki Fujisawa, Masakazu Kojima, Kazuhide Nakata et.all SDPA (SemiDefinite Programming Algorithm) User's manual — version 6.2.0 Электронный ресурс] // (http://homepage.mac.com/klabtitech/sdpa -homepage/files/sdpa.6.2.0.manual.pdf)

16. Galkowski K., Rogers е., Paszke W. et.all Linear Repetitive Process Control Theory Applied To a Physical Example // International

17. Journal of Applied Mathematics and Computer Sciences.- 2003 V. 13.- No. 1.- P.87-99.41. rogers E. , D. H. Owens. Stability Analysis for Linear Repetitive Processes // Lecture Notes in Control and Information Sciences.- 1992.- V. 175.- Springer-Verlag.

18. Rogers е., К. galkowski , D. H. Owens. Control Systems Theory and Applications for Linear Repetitive Processes j/ Lecture Notes in Control and Information Sciences.- 2007.- V. 349.- Springer-Verlag.

19. Rosinova D., Vesely v., Kucera V. A necessary and sufficient condition for static output feedback stabilizability of linear discrete-time systems // Kybernetika.- 2003.- V.39.- P. 447-459.

20. Roberts P. D. numerical investigations of a stability theorem arising prom 2-dimensional analysis of an iterative optimal control algorithm // Multidimensional Systems and Signal Proccssing-2000.- V.ll (1/2).- P. 109-124.

21. КАЦ И.Я. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случайной структуры. Екатеринбург: Изд-во Уральской гос. академии путей сообщения, 1998.- 221с.

22. КРАСОВСКИЙ А. А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973.- 558 с.

23. ПАКШИН П. В. Дискретные системы со случайными параметрами и структурой. М.: Физматлит, 1994.- 304 с.