автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Робастное управление системами случайной структуры

Введение

1 Робастное управление с обратной связью по состоянию

1.1 Описание системы.

1.2 Робастное управление при параметрических неопределенностях объекта.

1.3 Полное робастное стабилизирующее управление.

1.4 Алгоритм.

1.5 Пример

2 Управление с обратной связью по выходу

2.1 Условия стабилизируемости обратной связью по вектору выхода.

2.2 Эвристический алгоритм синтеза стабилизирующего управления

2.3 Пример 2.

3 Робастное управление с обратной связью по выходу

Существуют многочисленные динамические системы, структура и параметры которых изменяются случайным скачкообразным образом, например, многорежимные аэрокосмические аппараты, сложные производственно-технологические системы, экономические процессы и другие системы с возможными нарушениями [3, 4, 48]. Такие системы обычно имеют конечное или счетное множество режимов функционирования (структурных состояний), в каждом из которых система описывается детерминированным или стохастическим дифференциальным уравнением. Между режимами в случайные моменты времени происходят скачкообразные переходы, описываемые однородной цепью Маркова, состояния которой соответствуют режимам системы. В данной работе будем полагать, что множество режимов IN конечно и в каждом из режимов система описывается стохастическим дифференциальным уравнением в Ш/\ Таким образом, полное пространство состояний рассматриваемой системы является неоднородным и представляет собой прямое произведение ПГ и IN.

Теория устойчивости и управления для систем со случайными изменениями структуры начала развитие с известных работ [5, 7]. Далее в [8] для задач анализа устойчивости в среднем квадратическом был развит метод стохастических моментов. Задача линейного управления с обратной связью и квадратичным функционалом на конечном интервале времени решалась в [59] на основе стохастического принципа максимума. Та же задача рассматривалась в [1] на основе динамического программирования для конечного и бесконечного интервалов времени, здесь также получен ряд достаточных условий существования стабилизирующего управления. Одновременно теория систем случайной структуры развивалась на основе обобщенных уравнений Колмогорова [3].

В работе [45] рассматриваются линейные системы с параметрами, изменяющимися по закону марковской цепи с конечным числом состояний. Изучается устойчивость по вторым моментам: устойчивость в среднем квадратическом, экспоненциальная устойчивость в среднем квадратическом и устойчивость в смысле ограниченности математического ожидания суммы квадратов координат вектора состояния. Доказана эквивалентность этих трех видов устойчивости. Предложены необходимые и достаточные условия устойчивости. Показано, что из устойчивости по вторым моментам следует устойчивость с вероятностью 1, и обратное утверждение для данных систем неверно. Устойчивость с вероятностью 1 изучается с помощью экспоненты Ляпунова. В случае скалярных систем установлены необходимые и достаточные условия устойчивости с вероятностью 1. Устойчивость с вероятностью 1 и устойчивость в смысле моментов высших порядков для указанного класса систем изучалась. в работе [40]. Получены достаточные условия устойчивости обоих видов, которые в случае скалярной системы являются необходимыми и достаточными.

Многие линейные задачи анализа устойчивости и синтеза управления сводятся к решению линейных матричных уравнений или неравенств (LMI - Linear Matrix Inequalities). В работе [38] получены простые достаточные условия экспоненциальной устойчивости с вероятностью 1. На их основе предложены эффективные алгоритмы анализа устойчивости и синтеза стабилизирующего управления в терминах LMI. В работе [39] исследована устойчивость с вероятностью 1 систем случайной структуры. Получено общее условие устойчивости с вероятностью 1, которое является необходимым и достаточным для скалярных систем. В работе [47] установлены менее консервативные условия устойчивости с вероятностью 1 линейных систем, с использованием стохастической версии второго метода Ляпунова. Для обеспечения устойчивости, от функции Ляпунова требуется только то, чтобы она была невозрастающей вдоль каждой специально построенной подпоследовательности скачков, это позволяет охватить случай, когда часть или все подсистемы являются неустойчивыми и обеспечивает больше альтернатив для выбора функций Ляпунова. В работе [42] анализ стохастической устойчивости обобщается для случая, когда, марковская цепь имеет бесконечное множество состояний.

В [15] исследовались на устойчивость и более сложные модели включающие запаздывание. Представлены результаты по анализу стохастической устойчивости в среднем квадратическом для класса линейных систем с запаздыванием и скачкообразным изменением параметров, подчиненных закону марковской цепи с конечным множеством состояний. Получено независимое от запаздывания достаточное условие стохастической устойчивости этого класса систем.

На современном этапе интенсивно развивается теория робастной ("грубой") устойчивости и управления. Часто невозможно получить точную математическую модель динамической системы, что обусловлено сложностью систем, трудностью измерения отдельных параметров, окружающими шумами, неопределенными, изменяющимися параметрами и т.д. Поэтому модель системы, как правило, содержит неопределенности. Таким образом, требование робастности существенно при проектировании систем управления. В работе [37] представлен обзор существующих результатов, а также получены новые результаты касающиеся робастной устойчивости систем случайной структуры с неопределенными возмущениями. Рассмотрены нелинейные, неструктурированные линейные, сильно структурированные и коррелированные линейные типы возмущений. Представлены также новые результаты по робастности для возмущений, моделируемых в виде белых шумов и скачкообразных марковских параметрических возмущений. Задачи устойчивости и робастной устойчивости для линейных систем со скачкообразными марковскими параметрами и неопределенностями, ограниченными по норме, исследованы в работе [17]. Здесь представлено необходимое и достаточное условие стохастической устойчивости с использованием экспоненты Ляпунова. Этот подход дает непосредственное выражение для второго момента, что позволяет сделать вывод о стохастической устойчивости системы в среднем квадратическом смысле. В предположении, что неопределенности ограничены по норме, представлено достаточное условие, гарантирующее робастную устойчивость линейной системе с параметрами, скачки которых подчинены закону марковской цепи. Это условие дано в терминах разрешимости множества взаимосвязанных алгебраических уравнений Риккати. Факт взаимосвязанности этих уравнений сильно усложняет нахождение их решений и исследование свойств.

С задачей устойчивости тесно связана задача стабилизации - построения управления с обратной связью, обеспечивающего стохастическую устойчивость в подходящем смысле. Задача стабилизации линейных систем случайной структуры при полной информации о состоянии на основе решений систем матричных уравнений рассматривалась в работах [28], [32], [33], [35]. (Под полной информацией о состоянии для систем случайной структуры понимается доступность наблюдению вектора состояния объекта и режима). В [38], [41] для решения этой же задачи использовались линейные матричные неравенства. Работы [23], [22], [20], [16], [27] посвящены задачам робастной стабилизируемости. В [23] рассматриваются линейные системы с параметрами, изменение которых подчинено закону марковской цепи и неизвестными, ограниченными неопределенностями. Сформулированы условия робастной стабилизируемости при условии полной информации о состоянии и ограниченности неопределенностей по норме. При структурируемых неопределенностях даны условия на управление с обратной связью, при которых класс линейных систем с неопределенностями и скачкообразными параметрами остается устойчивым. Представлен метод, оценивающий разность между значением квадратичного функционала реальной системы и оптимальным значением для номинальной модели. В работе [20] для линейных систем с полной информацией о состоянии, с неопределенностями, ограниченными по норме и со скачкообразными марковскими параметрами, сформулировано достаточное условие робастной стохастической стабилизируемости в терминах множества взаимосвязанных уравнений Риккати. В [18] рассмотрена задача робастной стабилизируемости для класса линейных систем с запаздыванием, неизвестными, но ограниченными неопределенностями и параметрами, подчиненными закону марковской цепи. Сформулированы достаточные условия робастной стабилизируемости, которые гарантируют робастную устойчивость этого класса систем в случае полной информации о состоянии, стохастической управляемости номинальной системы и ограниченности системных неопределенностей. Закон управления, гарантирующий робастную стабилизируемость получен в виде линейной обратной связи и линейной обратной связи с ограничениями. Отметим, что для класса систем случайной структуры робастность можно рассматривать в различных аспектах: робастность по отношению к неопределенности процесса смены режимов, робастность по отношению к неопределенности параметров отдельных режимов, а также робастность по отношению к обоим типам неопределенностей. В большинстве работ рассматривалась робастность по отношению к неопределенности параметров отдельных режимов как развитие классической концепции робастности. Робастность по отношению к неопределенности процесса смены режимов и полная робастность рассматривались в [49], [50]. Значительное внимание в последнее время уделялось задачам Н2 управления, -йоо управления и смешанного Ич(Яоо управления для рассматриваемого класса систем. Эти задачи сводятся либо к решению специальных систем LMI, либо к решению систем уравнений Риккати. Метод LMI использован в работах [29], [36], [41], [58], [63]. Проблема смешанного #2/Д>о управления исследована в работе [29] для линейных систем с параметрами, подчиненными закону марковской цепи. Найдено робастное (по отношению к матрице переходных вероятностей) стабилизирующее в среднем квадратическом управление с обратной связью, при этом предполагалось, что вектор состояния объекта доступен измерению, а матрица переходных вероятностей может быть точно неизвестной, но относится к соответствующему выпуклому множеству. В работе [63] рассмотрена линейная система с марковскими скачками, для которой тоже в терминах LMI решена задача управления Н2 нормы, но в предположении, что часть или все режимы системы недоступны регулятору. Статья [36] развивает Яоо теорию для нестационарных систем с возмущениями, изменение которых подчинено закону марковской цепи. Получены необходимые и достаточные условия существования стабилизирующего регулятора, который кроме того обеспечивает определенный уровень затухания неконтролируемого возмущения. Эти условия представлены в терминах LMI. Достаточные условия существования стохастического стабилизирующего Яоо регулятора с обратной связью по состоянию, использующие подход на основе функционала Ляпунова, представлены в работе [27].

Показано, что стохастический стабилизирующий Н^ регулятор с обратной связью по состоянию также может быть получен через численное решение множества взаимосвязанных LMI. Работа [30] посвящена задаче робастного Н2 управления линейных систем с марковскими скачкообразными параметрами, где предполагалось, что вектор состояния полностью доступен наблюдению. Рассмотрены неопределенности параметров системы, ограниченные по норме. Далее, в этой работе рассмотрены два случая решения проблемы. Если в системе с марковскими скачками отсутствуют неопределенности, то формулировка проблемы эквивалентна решению задачи стабилизации в среднем квадратическом для линейных марковских систем. В случае же с неопределенностями предложен подход, основанный на методе динамического программирования.

Работы [13], [21], [31], [34], [43], [44], [54], [62] сводят решение задачи к изучению систем уравнений типа Риккати. В [21] решена задача Ню управления для класса линейных систем с параметрами, изменение которых происходит по закону марковской цепи. Построен регулятор с обратной связью по состоянию, при этом достигнуты, как стохастическая устойчивость, так и предписываемый Ню показатель. Получены достаточные условия существования регулятора с обратной связью по состоянию. Работа [43] имеет дело с задачей Н^ управления с обратной связью по состоянию для класса линейных систем с марковскими скачкообразными параметрами. Подход основан на решении определенного множества взаимосвязанных разностных уравнений Риккати. В статье [34] изучена задача управления для сингулярно возмущенных линейных непрерывных систем с марковскими скачкообразными параметрами. Используя технику понижения порядка, построено управление с обратной связью по состоянию такое, что для систем полного порядка достигаются, и стохастическая устойчивость, и предписываемый Д^, показатель. Решение задачи дано в терминах взаимосвязанных уравнений Риккати. Представлен анализ асимптотического поведения регулятора при достаточно малом сингулярном возмущении. В работе [13] рассмотрена смешанная задача Щ/Ню управления с обратной связью по состоянию для линейных непрерывных систем со скачками подчиненными закону марковской цепи. Здесь использован игровой подход Нэша и получены необходимые и достаточные условия для решения задачи в терминах двух множеств взаимосвязанных уравнений Риккати. В случае конечного интервала наблюдения, уравнения Риккати могут быть легко интегрируемы, с использованием стандартных численных методов, в то время как для бесконечного интервала наблюдения решение может быть получено как предельное для задачи с конечным интервалом наблюдения. В работе [31], при условии наблюдаемости вектора выхода объекта и процесса смены режимов, рассмотрена задача Н2 управления линейными системами со скачками подчиненными закону марковской цепи. Задачи устойчивости, стабилизации, Н2 управления, Н^ управления и смешанного H^fHoo управления рассматривались также в [19, 24, 51, 56, 57]. В [19] изучалась робастность класса линейных кусочно-детерминированных систем со случайной сменой режимов и с ограниченными сверху неопределённостями. Было получено достаточное условие стохастической устойчивости таких систем при управлении с обратной связью. В [24] найдены достаточные условия стохастической устойчивости для класса нелинейных кусочно-детерминированных систем с неопределённостями. Работа [56] посвящена изучению задачи Д^ управления для непрерывных систем с параметрами, изменяющимися по закону марковской цепи. Показано, что задача для управления на конечном интервале сводится к решению взаимосвязанных дифференциальных уравнений Риккати и к решению взаимосвязанных алгебраических уравнений Риккати в случае управления на бесконечном интервале времени.

Итак, из проведенного анализа литературы можно заключить, что в основном рассматривается случай, когда неопределённости присутствуют только в параметрах объекта, при этом мы имеем дело с задачами неполного робастного управления, поскольку неопределённости могут присутствовать также и в матрице переходных вероятностей. Кроме того, в момент смены режима процесс скачкообразного изменения вектора состояния объекта тоже может содержать неопределённости. Следует также заметить, что из всех способов управления с обратной связью наиболее простым является управление со статической обратной связью по выходу. В то же время задача синтеза такого управления до сих пор не решена до конца даже для обычных детерминированных систем [60]. Для систем случайной структуры эта задача в литературе практически не рассматривалась. Можно лишь отметить некоторые результаты, основанные на необходимых условиях оптимальности [48].

Эти факты определили основные задачи диссертации которые состоят в следующем.

1. Получить условия полной робастной стабилизируемости класса систем случайной структуры с использованием обратной связи по состоянию.

2. Получить условия стабилизируемости систем случайной структуры с использованием обратной связи по выходу.

3. Получить условия робастной стабилизируемости класса систем случайной структуры с использованием обратной связи по выходу.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы.

Заключение

В работе получены следующие результаты:

1. Метод и алгоритм синтеза робастного управления с обратной связью по вектору состояния при неопределенностях в параметрах системы, неопределенностях скачка и неопределенностях процесса смены режимов.

2. Необходимые и достаточные условия стабилизации системы случайной структуры управлением со статической обратной связью по вектору выхода.

3. Метод синтеза робастного управления с обратной связью по вектору выхода при неопределенностях в параметрах, скачках и процессе смены режимов.

1. Вонэм В.М. Стохастические дифференциальные уравнения в теории управления // Математика. 1973. N9 4,5

2. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука. 1978.

3. Казаков И.Е., Артемьев В.М. Оптимизация динамических систем случайной структуры. М.: Наука. 1980.

4. Кац И.Я. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и ста-билизируемости систем случайной структуры. Екатеринбург: Изд. Уральской гос. академии путей сообщения. 1998

5. Кац И.Я., Красовский Н.Н. Об устойчивости систем со случайными параметрами //Прикладная математика и механика. 1960. Т.24. С.809-823

6. Коган М.М. Минимаксный подход к синтезу абсолютно устойчивого регулятора для нелинейных систем типа Лурье // Автоматика и телемеханика. 1999. № 5. С. 78-91.

7. Красовский Н.Н., Лидский Э.А. Аналитическое конструирование регуляторов в системах со случайными свойствами -1, II, III // Автоматика и телемеханика, 1961, Т. 22. С. 1145-1150, 1273-1278, 1425-1431.

8. Милынтейн Г.Н. Среднеквадратическая устойчивость линейных систем, управляемых марковской цепью // Прикладная математика и механика. 1972. Т. 36. С. 537-545.

9. Пакшин П.В, Ретинский Д.М. Синтез робастного управления в гибридных стохастических системах со скачкоообразным изменением вектора состояния // Нелинейное моделирование и управление: Материалы международного семинара. Самара, 2000 г., с.87-88.

10. Пакшин П.В, Ретинский Д.М. Робастное стабилизирующее управление нелинейными системами случайной структуры. Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. 7й Меоюдународный Семинар., Май, Москва, 2002, с. m-lee.

11. Пакшин П.В, Ретинский Д.М. Управление со статической обратной связью по выходу в системах случайной структуры. //Труды НГТУ. Вып.34. Серия "Системы обработки информации и управления".-Н.Новгород: издательство НГТУ, 2002, с. 50-59.

12. Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. М.: Наука. 1969.

13. Aliyu M.D.S. and Boukas Е.К. Mixed Н2/Н^ stochastic control problem // Proc. 14-th World Congress of IFAC. Beijing. China. 1999. V. J. P. 223-228.

14. Basar Т. and Bernhard P. Яоо-Optimal control and related minimax design problems. A Dynamic Game Approach. New York: Birkhauser. 1995.

15. Benjelloun K. and Boukas E.K. Mean Square Stochastic Stability of Linear Time-delay System With Markovian Jumping Parameters // IEEE Trans. Automatic Control. 1998. vol.43. No. 10. pp. 1456-1460.

16. Benjelloun K., Boukas E.K., Costa O.L.V. and Shi P. Design of robust controller for linear systems with Markovian jumping parameters // Mathematical Problems in Engineering. 1998. V.4. P. 269-288.

17. Benjelloun K., Boukas E.K. and Shi P. Robust stochastic stability of discrete-time linear systems with markovian jumping parameters // Proc. of the 36th Conference on Decision and Control. San Diego. 1997. pp.559-564.

18. Benjelloun K., Boukas E.K. and Yang H. Robust Stabilizability of Uncertain Linear Time-Delay Systems With Markovian Jumping Parameters // J. of Dynamic Systems, Measurement, and Control. 1996. vol.118, pp.776-783.

19. E.K. Boukas. Robust stability of linear piecewise deterministic systems under matching conditions // Control-Theory and Advanced Technology. 1995. V. 10. P. 1541-1549.

20. Boukas E.K., Shi P. and Benjelloun K. On stabilization of uncertain linear systems with jump parameters // Int. J. of Control. 1999. vol.72. No.9. pp.842-850.

21. Boukas Е.К. and Shi P. H^ Control for Discrete-time Linear Systems with Markovian Jumping Parameters // Proc. of the 36th Conference on Decision and Control. San Diego. 1997. pp.4134-4239.

22. Boukas E.K., Swierniak A., Simek K. and Yang H. Robust Stabilization and Guaranteed Cost Control of Large Scale Linear Systems with Jumps // Kybernetika. 1997. vol.33. No.l. pp.121-131.

23. Boukas E.K. and Yang H. Robust LQ Regulators and Cost Estimation for Jump Linear Systems with Uncertain Parameters // Proc. 13^ Triennial World Congress of IFAC. san Francisco. 1996. pp.273-278.

24. E.K. Boukas and H.Yang. Robust stability of nonlinear piecewise deterministic systems under matching conditions // Mathematical Problems in Engineering. 1997. V. 3. P. 203-215.

25. Boyd S.j El Ghaoui E., Feron E. and Balakrishnan V. Linear matrix inequalities in control and system theory. Philadelphia: SIAM. 1994.

26. Cao Y.-Y. and Lam J. Robust H^ Control of Uncertain Markovian Jump Systems with Time-Delay // IEEE Trans. Automatic Control. 2000. vol.45. No.l. pp.77-83.

27. Cao Y.-Y. and Lam J. Stochastic Stabilizability and Яoo Control for Markovian Jump Time-Delay Systems // 14th Triennial World Congress of IFAC. Beijing. 1999. pp.235-240.

28. Costa O.L.V. Mean-Square Stabilizing Solutions for Discrete-Time Coupled Algebraic Riccati Equations // IEEE Trans. Automatic Control. 1996. vol.41. No.4. pp.593-598.

29. Costa O.L.Y. and Marques R.P. Mixed Я2/Я00-Со^го1 of Discrete-Time Markovian Jump Linear Systems // IEEE Trans. Automatic Control. 1998. vol.43. No.l. pp.95-100.

30. Costa O.L.V. and Marques R.P. Robust H2 control for discrete-time Marcovian jump linear systems // Int. J. of Systems Science. 2000. vol.73. No.l. pp.11-21.

31. Costa O.L.V and Tuesta E.F. The separation principle for the H2-control of discrete-time Markovian jump linear systems // Proc. of the European Control Conference. Porto. 2001. pp.2070-2075.

32. Damm T. Generalized Riccati equations and stabilization of stochastic systems // Preprints of the IIth IFAC International workshop Control Applications of Optimization. Saint-Petersburg. 2000. vol.2, pp.22-27.

33. Dragan V., Shi P. and Boukas E.K. Hoo Control for Singularly Perturbed Systems in the Presence of Markovian Jump Parameters // Proc. of the 36th Conference on Decision and Control. San Diego. 1997. pp. 21632168.

34. Dragan V. and Stoica A. Riccati type matrix differential equations with jumps // Proc. of the European Control Conference. Porto. 2001. pp.2578-2592.

35. Dragan V. and Stoica A. A y-Attenuation Problem for Discrete-Time Time-Varying Linear Systems with Jump Markov Perturbations // Proc. of the European Control Conference. Porto. 2001. Paper No.F278. pp. 1-4.

36. Engin Y.E. Robust Stability of Discrete-Time Randomly Perturbed Systems // Control and Dynamic Systems. 1995. vol.73, pp.89-121.

37. Ezzine J. and Kavranoglyu D. On almost-sure stabilization of discrete-time jump parameter systems: an LMI approach // Int. J. of Control. 1997. vol.68. No.5. pp.1129-1146.

38. Fang Y. A New General Sufficient Condition for Almost Stability of Jump Linear Systems // IEEE Trans. Automatic Control. 1997. vol.42. No.3. pp.378-382.

39. Fragoso M. and Bacxynski J. Some aspects of stability in continuous time linear infinite Markov jump parameters systems // Proc. of the European Control Conference. Porto. 2001. pp.2088-2099.

40. Fragoso M.D., do Val J. В. R. and Jr D.L. P. Jump Linear Яoo Control: the Discrete-Time Case // Control-Theory and Advanced Technology. 1995. vol.10. No.4. part 3. pp. 1459-1474.

41. Ichikawa A. H2 and #00 control for infinite- dimensional systems with jumps // IEEE Trans. Automatic Control. 2000. vol.45. No.3. pp.505510.

42. Ji Y., Chizeck H.J., Feng X. and Loparo K.A. Stability and Control of Discrete-Time Jump Linear Systems // Control-Theory and Advanced Technology. 1991. vol.7. No.2. pp.247-270.

43. Ghaoui L. and Rami M.A. Robust state-feedback stabilization of jump linear systems. // Robust and Nonlinear Control. 1994.

44. Li Z.G., Soh J.C. and Wen C.Y. Sufficient conditions for almost sure stability of jump linear systems // IEEE Trans. Automatic Control. 2000. vol.45. No.7. pp.1325-1329.

45. Mariton M. Jump linear systems in automatic control. New York: Marcel Dekker. 1990

46. Pakshin P.V. Robust absolute stability of jumping stochastic systems. / / Preprints of 2nd IF AC Symposium on Robust Control Design. Budapest. 1997. pp.171-176.

47. Pakshin P.V. Robust stability and control of hybrid stochastic differential systems // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik and Mechanic. 1997. vol.77, s.l. pp.253-254.

48. Pakshin P.V. Robust stability and stabilization of the family of jumping stochastic systems // Nonlinear analysis, theory, methods and applications. 1997. V. 30. P. 2855-2866.

49. Pakshin P.V. and Retinsky D.M. A Game Approach to Robust Control Synthesys for Hybrid Stochastic Systems with Jumps of State Vector. Proceedings of the 11th IF AC International Workshop С AO 2000, St.Petersburg, Russia, vol.1, pp.269-273.

50. Pakshin P.V. and Retinsky D.M. Robust Control of Hybrid Nonlinear Systems with Jumps of State Vector. Proceedings of the 5th IF AC Symposium. Nonlinear Control Systems NOLCOS'Ol, St.Petersburg, Russia, pp.1036-1041.

51. Pan Z. and Basar Т. H^ control of large-scale jump linear systems via averaging and aggregation // Int. J. of Control. 1999. vol.72. No. 10. pp.866-881.

52. Rami M.A. and El Ghaoui L. LMI optimization for nonstandard Riccati equations arising in stochastic control. // IEEE Trans. Automat. Control. 1996. V. 41. P. 1666-1671.

53. De Souza C.E. and Fragoso M.D. H^ control for linear systems with markovian jump parameters // Control-Theory and Advanced Technology. 1993. V. 9. P. 457-466.

54. P. Shi. Robust control for linear systems with markovian jumping parameters // Proceedings of the 13th IFAC World Congress. San Francisco, 1996. aper no 3d-02 1, 433-438.1. Список литературы 76

55. Shi P., Boukas E.K. and Agarwal K. Robust Control for Markovian Jumping Discrete-Time Systems // International Journal of Systems Science. 1999. vol.30. No.8. pp.787-797.

56. Sworder D.D. Feedback control of a class of linear systems with jump parameters // IEEE Trans. Automat. Control. 1969. V. 14. pp. 9-14.

57. Syrmos V.L., Abdallah C.T., Dorato P. and Grigoriadis K. Static output feedback a survey. // Automatica. 1997. V.33. No.2. pp.125-137.