автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Синтез стабилизирующего управления стохастическими системами с обратной связью по выходу на основе параметризации

005001050

IIa правах рукописи

ЖИЛИНА ТАТЬЯНА ЕВГЕНЬЕВНА

СИНТЕЗ СТАБИЛИЗИРУЮЩЕГО УПРАВЛЕНИЯ

СТОХАСТИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ НО ВЫХОДУ НА ОСНОВЕ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ

05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 7 НОЯ 2011

Нижний Новгород — 2011

005001050

Работа выполнена в Арзамасском политехническом институте (филиале) Нижегородского государственного технического университета им. Р. Е. Алексеева.

Научный руконодитсль:

доктор физико-математических наук, профессор Лакшин Павел Владимирович.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Баландин Дмитрий Владимирович; кандидат физико-математических наук, доцент Кривдина Лариса Николаевна.

Ведущая организация:

Учреждение Российской академии наук Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН (Москва).

Защита диссертации состоится 8 декабря 2011 г. в 13 часов на заседании диссертационного совета Д212.165.05 при Нижегородском государственном техническом университете им. Р. Е. Алексеева по адресу: 603950, Нижний Новгород, ул. Минина, 24, НГТУ, корпус 1, аудитория 1258.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке Нижегородского государственного технического университета им. Р. Е. Алексеева.

Автореферат разослан 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат технических наук

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В современных задачах управления широкое распространение получили многорежимные системы, режимы которых моделируются стохастическим дифференциальным уравнением Ито, а переходы между ними цеиыо Маркова. В отечественной литературе модели таких объектов известны под названием «системы случайной структуры», в западной используются термины «диффузионные системы с марковскими переключениями (скачками)» пли «системы с переключаемой диффузией». Примерами могут служить склонные к отказам сложные нроизводственно-технологичеекпе и энергетические системы, системы управления подвижными объектами и т.н. Диффузионные модели с марковскими переключениями широко используются также при описании экономических процессов и в финансовой математике, для моделирования уровня спроса или производительности оборудования при планировании производства, ¡цля отслеживания изменений рыночных курсов п процентных ставок. Основы исследования таких систем были заложены в трудах школы II. II. Красовского. Результаты дальнейших исследований подведены в монографиях И. Е. Казакова, В.М. Артемьева. В.А. Бухалсва, II. 51. Каца, М. Mantón, G. G. Yin и С. Zhu. В настоящее время продолжает появляться достаточно большое число новых публикаций, но, несмотря на это, для диффузионных систем с марковскими переключениями достаточно мало изученной является важная для теории и практики задача синтеза стабилизирующего управления с обратной связью по выходу. Цель работы состоит в создании методов и алгоритмов синтеза стабилизирующего управления с обратной связью ио выходу для диффузионных систем с марковскими переключениями.

[Задачи работы. Исходя нз целей работы были поставлены следующие задачи:

1. Описать в параметрической форме множество всех стабилизирующих управлений с обратной связью по выходу для следующих классов систем:

• диффузионных систем с марковскими переключениями;

• диффузионных систем с марковскими переключениями и аффинными неопределенностями;

• диффузионных систем с децентрализованным управлением и марковскими переключениями.

2. Разработать методы и алгоритмы синтеза управлений для перечисленных задач.

3. Исследовать возможность применения полученных результатов к задачам робастной стабилизации, в частности, найти условия, при которых управление, стабилизирующее диффузионную систему с марковскими переключениями, будет обеспечивать робастную стабилизацию многорежимной системы.

4. Разработать метод и алгоритм синтеза управления для задачи одновременной стабилизации по выходу множества диффузионных систем с марковскими переключениями и аффинными неопределенностями.

5. Разработать программное обеспечение, реализующее указанные методы и алгоритмы.

6. Апробировать программное обеспечение на примерах решения конкретных задач управления.

Методы исследования. Основными методами исследования являются стохастический аналог второго метода Ляпунова и методы выпуклого анализа, в частности, техника линейных матричных неравенств.

Научная новизна. В работе получены и выносятся на защиту следую гцие новые научные результаты.

1. Параметрическое описание всех стабилизирующих управлении с обратной связью по выходу для линейных диффузионных систем с марковскими переключениями.

2. Алгоритмы вычисления матрицы усиления стабилизирующего управления с динамической и статической обратной связью но выходу, полученные на основе указанного параметрического описания и реализуемые с помощью линейных матричных неравенств.

3. Обобщенно предложенного параметрического описания и алгоритмов па классы линейных диффузионных систем с марковскими переключениями и а([)([)ннными неопределенностями и диффузионных систем с децентрализованным управлением и марковскими переключениями.

Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты могут использоваться для решения задач синтеза, управления сложными динамическими системами в технике, экономике, финансовой математике.

Апробация полученных результатов. Основные положения диссертации 'докладывались и обсуждались на

1. U-il Международной конференции IEEE «Методы и модели в автоматике и робототехнике» MMAR 2009 (Мендзыздрое, Польша, 2009);

2. Международной конференции «Кибернетика п Информатика» (Вышня Бока. Словакия. 2010);

3. VII Всероссийской школе-конференцни молодых ученых (Пермь, 2010);

-I. XI Международном семинаре им. Е. С. Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2010);

5. XIII конференции молодых ученых «Навигация н управление движением» (Санкт-Петербург, 2011);

G. VIII Всероссийской школе-конференцни молодых ученых (Магнитогорск. 2011);

7. X Международной молодежной научно-технической конференции «Будущее технической пауки» (Нижний Новгород, 2011);

N. 16-й Международной конференции «Системный анализ, управление и навигация» (Евпатория, Украина, 2011).

Доклад на конференции «Навигация н управление движением» удостоен диплома второй степени. Доклад на конференции «Будущее технической науки-2011» удостоен диплома первой степени. Доклад на конференции «Системный анализ, управление и навигация» удостоен диплома второй степени.

Публикации и личный вклад автора. По томе диссертации опублп ковано 10 работ, в том числе 3 статьи, из них 1 в журнале из перечня ВАК РФ. В совместных работах научному руководителю принадлежат постановки задач и идеи доказательств и алгоритмов. Доказательства теорем, разработка методов, алгоритмов и программного обеспечения, реализующего и иллюстрирующего данные методы и алгоритмы, принадлежат автору.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №10-08-00843а, №11-08-09301-моб__з).

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 50 наименований. Работа изложена на 100 страницах, содержит 12 иллюстраций, 1 таблицу.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность выбранной темы и сформулированы цель и задачи исследования. В первой главе приводится обзор состояния проблемы синтеза стабилизирующего управления с обратной связью по выходу для диффузионных систем с марковскими переключениями. На базе имеющихся результатов определяется круг задач, решаемых в дальнейших главах работы. Во второй главе предлагается параметрическое они санис всех линейных стабилизирующих управлений со статической обратной связью по выходу для диффузионных систем с марковскими переключениями и диффузионных систем с марковскими переключениями и аффинными неопределенностями, которые обеспечивают экспоненциальную устойчивость в среднем квадратичееком замкнутой системы. Па основе параметризации и техники выпуклой аппроксимации получены достаточные условия устойчивости, позволяющие разработать алгоритмы нахождения матриц усиления с применением линейных матричных неравенств.

Стабилизация диффузионных систем с марковскими переключениями Диффузионная система с марковскими переключениями имеет вид

т

= [Л{рг)хь + В{Р1)щ]й1 + + (1)

У1 -- с(р()х[, г > о,

б

где хг С: К" вектор состояния; щ С К"1 - вектор входных переменных; у, с К1' - вектор выходных переменных; Л(р(), Л/(р()(1 = 1, ...,гп) - матрицы размеров и х п; В(р{), 13[(рг)(1 — 1 ,...,т) матрица размеров п х т; р( - однородная марковская цепь с пространством состояний N {1,2, ...,г/} и матрицей вероятностей переходов Р{т) - [Рф)]Ч - [РгоЬ{р(^ + г) - ]\р{1) ОД = схр(Нг), 0 ^ £ ^ £ + г, М с: к, 7Гу > 0, (г /- Д 7Г„; - С -- 1, •••.'«) - стандартный впнеровский процесс, определенны]'! на полном вероятностном пространстве (И, , Р) с естественной фильтрацией 3-\, порожденной процессом ги до момента £ включительно; начальные условия ж(0) — х0 11 р(0) — Ра - детерминированные; процессы щ и р( независимы; 7¡(/Э/,)(£ — 1, • ■ •, т) - положительные скаляры; С(рц) ■ матрица размера к х п имеющая полный ранг по строкам.

Закон управления зададим в виде динамической обратной связи по выходу:

х'н ~ Aiptfcrt I- lh{pt)yt, щ - Cr{p,)xct + Dc{pt)yi,

'(2)

где вектор состояния динамического регулято-

ра.; Л(Р(). Mc{pt), Cc(pt), Dr(pt) - матрицы соответствующих размеров.

Введем в рассмотрение расширенный вектор состояния и объединим (1), (2):

dx, [Ä{pt)xt + B(p,)u,]dt -Ь £7i(pt)[Ai{pt)xt + B[{pt)utdwi,]dwit, (3)

yt = C(pt)xt,t> 0,

/=1

• ut - -F{p,)yt, (4)

где xt ~ [xt,x,i], A(pt), B{pt), C(pt), F(pt) определены следующим образом:

Ä(Pt)

A{pii 0 0 0

, Ш -

B(pt) ü

0 I

F(P,)

. C(pt) =

C(Pt) 0 0 I

A(ft) Ce(pt) Bc(pt) Mpt)

(5)

Для расширенной системы (4) регулятор (4) является статическим.

Далее для краткости будем обозначать I'} — F(pt), Ai — Л (pi), н, = Ci = C(pt), Ли == A,(pt), BH = Щ,..). если Pt = i, i e N.

В диссертации используется понятие устойчивости в соответствии со еле дующим определением.

Определение 1. Решение х = 0 системы (4) с управлением (4) называется экспоненциально устойчивым в среднем квадратическом (ЭУСК), если существуют такие постоянные В > О, а > 0, что при всех 1 ïs t() выполнено неравенство

Л/[||*t ||2|.т«-W=r] || 2с-"('-Ч

Необходимые и достаточные условия ЭУСК даст теорема, сформулированная в монографии И.Я Каца

Теорема 1. Система (4) с заданным управлением (4) ЭУСК тогда и только тогда, когда существует решение Р, — Pj > 0 (г С: N) системы неравенств

(Ai - H,F,С.)1 Г, + Pi(Ài - В,F,С,) -I- (G)

m и

+ I>ii[M~fi - Вп1'А)гР,(Ли - !!;, 1]С, Г ■ < 0, г G N.

(=i j-i

Таким образом, нахождение стабилизирующего управления своди тся к ре шению системы неравенств (6) относительно матриц F-, и (i С: N). Правые части неравентев (С) нсвыиуклы относительно указанных матриц и непосредственное их решение затруднительно.

Следующая теорема даст параметрическое описание всех матриц усиления стабилизирующих управлений со статической обратной связью по выхоДУ-

Теорема 2. Матрица усиления Ft, при которой обеспечивается экспоненциальная устойчивость в среднем квадратическом системы (4) с управлением (4), сугцсствует тогда и только тогда, когда найдутся матрицы параметров Qi — Qj ^ О, R, = Rj > 0 и L,; такие, что

FiCi = [Г.¡(Pi) + Л,;]-1 [BiTPi + Qi(PÙT + Ц, г 6 N, (7)

_S__

^ац, И. Я. Метод функций Ляпунова в задачах устойчиноети и стабилизации систем случайиоЛ структуры. — Екатеринбург: Изд-во У рал. гос, акад. путей сообщения. - 1908.

где матрицы Р-, р? > 0 удовлетворяют системе квадратичных матричных неравенств

Л,! г, \ г,л, - [РА + в^МЫЪ) + < + (8)

V

-1-е,(р,:)7] лдя) I- X]пчр1 + Ф + + ^Г1^ < *е

¡,л

П1 т т

1-л 1=1 :

Соотношения (7). (8) как и (С) не поддаются непосредственному решению. Однако на их основе удается получить выпуклые достаточные условия, которые даются следствием из теоремы 2.

Следствие 1. Пусть для некоторого скаляра щ > 0 и матриц параметров — > О, И, — Д? > 0 (г £ М) система уравнений Риккати

Л,;7'/^ + - [РД- + 0,(Р,;)][Г/(Р) + (9)

-1-7?,]-ЧА^ - вДР,;)7'] + ДДЯ) + X] (! + М = 0

имеет положительно определенное решение Р; = Р^, удовлетворяющее

>0, [БТ'/^ ©¿(/э»)т + - С^С») = 0, ¿еМ

для некоторой матрицы (г £ М). Тогда закон управления (4) с матрицей усиления

1<) [Г,{Р,) + + &т + г 6 N (10)

обеспечивает ЭУСК системы (4).

Условия следствия 1 позволяют сформулировать следующий алгоритм вычисления матрицы усиления. Алгоритм 1.

1. Выбираем так называемый базовый режим, характеризуемый постоянными матрицами А, В, С, соответствующими какому-нибудь фиксированному значению марковской цепи р(. Для этого режима вычисляем матрицу усиления 1<}) с использованием пакета МАТЬАВ НШОО, решая детерминированную задачу стабилизации.

/., Г ,;(Р,;) + Р,

2. Находим матрицу замкнутой системы А,, — А -)- В !■',('.

3. Задавая матрицу R = R1 и зная матрицу /•«, находим начальное прибли жение весовой матрицы Q0, как решение линейных матричных неравенств.

На = Щ > 0, Qo = Q'f¡ > 0, A¡'Hn + HÜAC + Q0 + CTF()RFÜC < 0.

4. Задаем весовые матрицы Q¡ — Qn, R¡ -- R и скаляры > 0.

5. Решаем задачу оптимизации при ограничениях в виде линейных матрич ных неравенств относительно переменных P¡ -- P¡ и L¿:

V

trace ^ Pj —> max, Pi — Pf > 0, 1

IfP¡ -f PA; H A;(/>)¡ /у),; в, (P.) ' ■ у:; ; r:,;/^, : {1 • ,,.}Q, >0

}fl\- e,[Pf V ;(!>;) ■ /,'. '

B'! P; I- в.;/'.;7' + Li] {I - Cc",j --= 0, г e N.

6. Если эта система совместна, то вычисляем F» по формуле (10).

7. Если система линейных матричных неравенств относительно матриц Si (i G N)

(Л: - BiFiCifSi + Si{Áí - В,F.C.) -Im v

+ 1Ж - Д.,/-Х-'.)r.S'.(,l., - + E7'^ <

совместна, то F¡ является матрицей усиления стабилизирующего управления.

Стабилизация диффузионных систем с марковскими переключениями и аффинными неопределенностями

Система с неопределенными параметрами задастся уравнениями

» m

dxt = [A(pt,á)i( + £(p(,5)u(]<Ü + £7i{pt)[Ai(pt,5)xt + D^S^dwu, (11)

yt = C{pt)xt, i > 0,

где .!'( С: IK" вектор состояния; ut С-: К"1 - вектор входных переменных; yt С- R'' вектор выходных переменных; A(pt,8),B(pl,8),Ai{pt,S),Bl(pt,8) (I ----- 1 , ...,m) - матрицы совместимых размерностей, и C(pt) имеет полный ранг но строкам; pt однородная марковская цепь с пространством состояний N --■ {1,2,...,^} и матрицей вероятностей переходов Р(г) ~ [/ут)]1; [Prob{p(i -I- г) = j\p(t) - t)li = ехр(Пг), 0 < t < t + т, i,j С: N, 71 -у > 0, (г / j), пи :-. -Ej^7ги'> l,...,m)- положительные скаляры; w/t (I 1,... ,т) стандартный вннеровский процесс, определенный на полном вероятностном пространстве Р) с естественной фильтрацией порожденной процессом w до момента t включительно; 5 t R*' вектор неопределенных параметров. Данная модель является аффинной моделью неопределенностей. Следовательно, найдутся матрицы Аа(р,),..., Ак{р,), Am(pt), ..., Atk{pf), Вп{р,),..., Bk{pt), Bm(pi),...,Bik{pi) такие, что

к к A{pi, 5) An(pt) Al(pl,S)^Al uM + ^SjAuipt), (12)

j-i i-i к к B(Pt, 8) r-, B0{pt) I- £ 6jBj(pt), Bi(pt, 8) ■--- Bl{i(Pt) + £ SAM). .)-1

Значения Sj ограничены верхним и нижним пределами

iiepj-1,.4. (13)

Обозначим Ai{8) - A(pt,8), В,{6) = B{pu8), С, = C{pt), An(8) - Ai(pt,S), Bu{8) - Bi(pt,S), если pt = i, i e N.

Определение 2. Система (11) при и s 0 называется стохастически квадратично устойчивой для любых 8 £ А, если существуют матрицы Р, ■ РТ > 0 такие, что выполняется неравенство

т I'

А,{5)гPi ДА/,(<5) -t- y^riAuiSfPAniS) < 0, i е N,i е А.

HI j-1

Поставим задачу найти управление со статической обратной связью по выходу

щ —l'\yt, если i G N, (14)

обеспечивающее стохастическую квадратичную устойчивость системы (11) при любых неопределенностях, удовлетворяющих ограничениям (13).

Теорема 3. Матрица усиления Р-ц при которой обеспечивается стохастическая квадратичная устойчивость системы (11) с управлением (М), существует тогда и только тогда, когда найдутся матрицы парамет ров <2; — ^ О, Л,; -- Н[ > 0 и /'¿{б) такие, что

вд== [Г,:(/>,;, 6) + ъ]-1[В1(б)Тр{ + 5)т + ьщ, б е д„, (15) [Г, (Я, 6) \ 1Ц1 {1Щ)ТРг Л- е,\Р„6)Г -I' -М5)] == (16) = [1\{Р,, А) Я,Г1 [Д;(Л)ТР, + А)7 -1- ¿(-(А)], г, А е До, i с к,

где Р{ = Р[ >0 являются решением неравенства

А,(5)ТР, + Р-Л{8) - [Р-Мб) 4 вг(Ри 5) -1- (17)

V

+1Ц-Л\в-,{5-)ГР,, ад, ¿Я + 5) • -I-

,Г=1

+ Ь,{5)Т[1\{Р,, 6) + Щ^Цб) < О, <5 с Д,ь I е N.

Из теоремы 3 вытекают выпуклые достаточные условия. Следствие 2. Пусть для некоторого скаляра //,,; > 0 и матриц параметров --= 01 > 0, -- Щ > 0 система уравнений Рнккатн

Л-^'р + РгЛ,(6) - \р,в,.{6) в,(Р1, Л)][ГДЛ:, <5) -н Щ-'Ч/МдУ'Р, I

и

в,./'.<))7 | + Л;(/',...{) - + (1 +/0<Ъ - 0, 5 е Д(), г С: N.

имеет положительно определенное решение --- Р{ > 0, удовлетворяющее

> 0, ¿С А,,, г С: N.

+ в,{РИ 6)г - Ь /,,(5)] {I - С+С-,) == 0, г е. Л(), г СЕ К, у ;(!',■ 5) + 1 -I- е,;(Л„ ¿)7' I ш\ СУ =

= [Г,;(Р/,, А) + Л,;]-1 [Д:(А)Г/> + е,;(Я,:, А)Г + ¿¡(А)]С/, А £ Д„, г <= N

для некоторой матрицы параметров ¿¡(¿). Тогда матрица усиления стабилизирующего управления с обратной связью по выходу дается формулой

Я = [Гг;№, <5) -I- 11,]-1[В,{5)ТР,, -I- 5)г + А;(5)]С+, '6 е Д(|, I е N. (18)

Алгоритм 2.

1. Задаем матрпцьI --- ^ О, Л,: ~ Н] > О, скаляр //.; > 0. Решаем задачу оптимизации при ограничениях в виде линейных матричных неравенств относительно переменных РД<5) и Р; (5 С. До):

V

tra.ee £ Р, ......> шах, Р - > О,

Л:(<5)ГР + Р,ЛД5) I- ДДР,Й> Р,1Щ) -I- "

Щ6)г1>г1-в№,д)г ГДР,, о) ■ II,

> О, \В,{5)ГР, едр,;, й)г + ЬДб)] (I - С+С,:) = о,

/iiOi ¿Д5)Г

L,:(<5) ГДР;,с5)-|- Д,

[РД^Р, 1- 6ДР;, 5)7' -f L,;(5)] С^ - [Д;(А)ТР; -ь 6ДР,;, А)т 4- РДА)]С+ [ГДР;, <5) ч- Я,-]-1 - [ГДР„Л) + Iii}"1, 6,\ с, Д„, i 6 N.

2. Кслн эта система совместна, то вычисляем 1<) но формуле (18).

.4. Кслн система линейных матричных неравенств относительно матрицы Я;

(л,(б) ~ 1тт)тщ +ядлдг) ~ адвд + --

V

-Р/Дг)Р,С,;)ГЯ1(А(,;(5) - Р/Д<5)Р,;С,;) • ».„//., < О-

совместна, то является искомой матрицей усиления стабилизирующего управления.

Алгоритмы синтеза стабилизирующего управления проверялись на двух примерах: стабилизация продольного движения .летательного аппарата с заданной неопределенностью аэродинамических параметров и стабилизация перевернутого маятника при скачкообразном изменении массы и случайных вибрациях основания. Для перевернутого маятника, показанного на рис. 1, задача состоит в стабилизации маятника при допущениях, что вибрации оси моделируются белым шумом. При этом масса груза может скачкообразно изменяется, принимая одно из трех возможных значений: т — Дт, т, т-)-Дт,

что в сумме дает 3 возможных «режима» работы такой системы. Смена этих режимов происходит в соответствии с изменением состояний марковской цс-

Математическая модель рассматриваемой системы имеет вид ¿(£) = Ах{г) + Ви{1) + А;УД(4) + В,Ну(Ь)

10 0 0 0 0 10

где

0 1 0 0 " ' 0 "

А ~~ 0 0 р и 0 0 0 0 1 ; В ^ 1 м 0 ; А =

и 1 V 0 у V 0 _ _ 0 _

0 0 0 0 0

0 0 0 0 ; В, — 1 Ж

0 0 0 1 0

1 им 0 1 им 0 _ 0

х = .з('£), ф]т; д - ускорение свободного падения; ,/ - момент инерции относительно центра тяжести; I расстояние между осью и центром тяже сти; V эффективная длина маятника.

На рис. 2 показаны графики переходных функций замкнутой системы в случае изменения се состояний в соответствии с реализацией марковской цени и при отсутствии параметрических шумов.

ш

Рис. 1. Перевернутый маятник

Рис. 2. Графики переходных функций замкнутой системы

В третьей главе результаты главы 2 распространяется на системы с децентрализованным управлением, состоящие из взаимосвязанных диффузионных подсистем с марковскими переключениями.

Стабилизация диффузионных систем с децентрализованным управлением и марковскими переключениями

Рассмотрим систему управления, состоящую из взаимосвязанных диффузионных подсистем с марковскими переключениями, описываемых уравнениями

N

Агй - + В,{р,)ии I- £ Аи(Р1)х^11 + (19)

т N

1-1

Ун - ¿^0, -г — 1,...,ЛГ,

где хц вектор состояния ¿-подсистемы; вектор входных пере-

менных I-иодсистсмы; у« •• вектор выходных переменных г-подсистемы;

(I ~ 1,..., т) - матрицы, характеризующие перекрестное влияние подсистемы ] на подсистему г. Остальные обозначения аналогичны принятым выше.

Задача состоит в нахождении управлений с обратной связью по локальным выходам

«« = -»и » = 1,.-,^, (20)

обеспечивающих экспоненциальную устойчивость в среднем квадратичсском локальных систем (19).

Обозначим = Р1(р(), Аи- ~ ЛЫ; Д> = 5;Ы>

С ¡г С;(а), ■■--- Лу(/з,), = Л;Ы> = ЫРг), Лщг ЛиАрд, г --- 1,..., ЛГ, если р1 = N. Рассмотрим изолированные подсистемы

т

<1хц [/ЬЫ-г-,, •(■ Вг{р()ии]й1 + ^+ (21)

1=1

Уи = С^р^хц, г = 1,...,ЛГ.

Теорема 4. Система (21) с управлением (20) экспоненциально устойчива а среднем квадратичееком тогда и только тогда, когда существуют матрицы р1г г>: > о, д„ - 01 > о, я,:г - я? > о и (г = 1,..., дг, г е к)

такие, что

Fu.Cir [Г,>(7*.) + /,'„; ;;/y;r/',, + e,AFtrf t Ln\, r e N, (22) ■ -t- - {Fi,B„ f + (23)

и

!;/>'/:/'„ 4 л+д,:г№,.), у>,г/';

j-i

+Q/r 4 ) + Ri<] 1 Ljr < 0, r e N,

'»'. m

!'. (/») = Е^ЛЛ-Виг, ЫЪг)

m

QiAPir) - ^-rlAlMur.

Необходимым и достаточным условием разрешимости уравнений (22) является выполнение равенства

[BirPr 4- Qir(Pir)T + (I - C;lrC,r) -- 0, / 1......V. г е N,

где означает нсевдообращенне но Муру-Пснроузу. Следствие 3. Если выполняются неравенства

(ADt - BDrFDrCDr + ЛС>)ГЯГ + Яг(ЛдГ - BUrFDrCDr -)■ ЛСг) + (2.1)

т v

+ - В We Fpr с Or ) 7 Яг ( /1( Dr - BlDrFDrCI)r) rjllj < О,

¡■-л

я,. = Я,т >0, re N,

где ЛСг = [А;,-] , ЛСг == diagДу, BDr = diag HiT, CD, ■ diagC,>,

= diagTv, Л(сг = [Л{уг] Лшг ~ diagyl/i,., ii(Dr = diag B,ir, то, управ-ленне (20) гарантирует ЭУСК системы (19).

Следствие 4. Пусть для некоторого скаляра ц1г > 0 и матриц параметров Qir = Q]r > 0, Rir = RjT > 0 система уравнений Риккатн и линейных

матричных неравенств

ЛТРк Л-Р;ГЛ„. - [РпВ>, Ч- 0,г(/^)][Г;г(^г) I

V

■I 1-е,,.(/>,У] I Д,:,.(Я„.)'1 О Ь ~ 0>

-1

[«¿Х. •(■ еыл;,.)3' /.,,.] (/ - одг) - о,

Л/гО/г Цг

и,. г„.(Р„.) -I-

> 0, ! 1......V. ГСК

имеет положительно определенное ранение 1\г — Р'г > 0 для некоторой матрицы параметров Л/,.. Тогда изолированные подсистемы (21) стабилизируемы управлениями (20) с матрицами усиления, определяемыми формулами

/V - [Г,г(Рп) + /<'.:. + + I = 1,..., ЛГ, г £ N. (25)

Из следствии 3 и 4 вытекает алгоритм стабилизирующего управления. Алгоритм 3.

1. Задаем матрицы (}1г ~ С}\ ^ 0, Н1Г ~ Н]'г > 0, скаляр 1',-г > о (г 1,...,ЛГ, г е К).

2. Решаем задачу оптимизации при ограничениях в виде линейных матричных уравнений и неравенств относительно переменных

и Р„. (г ^ 1 ,...,Лг,г С: М):

касс Р/ —♦ тах, Ри- ~ Р? > 0,

л;;.Р,г + - + егг(рй.)][г(-др/г)+ I п^ЧУЛ -I- е;г(^г)г] + л,,(р„)4 /'..Д: + е,:,№г)г

/е/'.,++¿¡г] (/ - едг) = о, иг У.лР,) + Й„

>0,

>0, г = 1,..., АГ, геЕ

3. Находим матрицы усиления но формуле (25).

Решаем систему линейных: матричных неравенств но (24). Если эта система совместна, то управление (20) с матрицей усиления (25) стабилизирует сложную систему, состоящую из подсистем (19) .

Алгоритм был успешно апробирован в среде МА'ГЬАВ на примере стаби лизации двух связанных перевернутых маятников при скачкообразном изменении масс и вибрациях основания.

Заключение. В работе решается задача нахождения матрицы усиления стабилизирующего управления с обратной связью по выходу для следующих классов систем:

• диффузионных систем с марковскими переключениями;

• диффузионных систем с марковскими переключениями и аффинными неопределенностями;

• диффузионных систем с децентрализованным управлением и марковскими переключениями.

Для этих классов получены следующие результаты:

1. Параметрическое описание всех стабилизирующих управлений с обратной связью по выходу для перечисленных систем.

2. Достаточные условия стабилизации указанных систем, ориентирован ные на применение аппарата выпуклого анализа, в частности, линейных матричных неравенств,.

3. Методы и алгоритмы нахождения матрицы усиления управления, обеспечивающего стабилизацию вышеперечисленных систем.

4. Описание множества всех стабилизирующих регуляторов в задаче одновременной стабилизации в терминах матриц параметров аналогичных весовым матрицам в задаче линейно-квадратичного регулятора.

5. Программное обеспечение синтеза регуляторов с обратной связью по выходу для диффузионных систем с марковскими переключениями.

Список публикаций по теме диссертации

Статьи, опубликованные и рекомендованных ВЛК изданиях

[1| Жилина, Т.Е. Синтез стабилизирующего управления в диффузионных системах с марковскими переключениями [Текст] / Т. Е. Жилина // Управление большими системами/ Сборник трудов. М: ИПУ РАН. -2011. № 33. - С. 70 90.

Статьи, опубликованные в других изданиях

[2] Pakshin, P. V. Stabilization of linear systems with state dependent noise via output feedback and its application to robust control design [Электронный ресурс] / P. V. Pakshin, D. Pcauccllc, T. Ye. Zhilina // Proc. 14th IEEE International Conference on Methods and Models in Automation and Robotics (MMAR. 2009). CD-IIOM. - Mifdzyzdroje, Poland, 2009. P. 1 6. IFAC Papers Online. ISSN 1474-0670. DOl 10.3182/20090819-3-PL-3002.00063

[3| Pakshin, P. V. Pararnctrization and convex approximation approach to stabilization via output feedback [Текст] / P. V. Pakshin, D. Pcauccllc, T. Ye. Zhilina // Journal of Cybernetics and Informatics, 2010. P. 29 38.

Материалы конференций

[4] Жилина, Т. Е. Синтез стабилизирующего управления в диффузионных системах с марковскими переключениями и аффинными неопределенностями |Тскст] / Т. Е. Жилина / / Управление большими системами. Материалы VII Всероссийской школы-конференции молодых ученых. Пермь: Изд во Пермского гос. тех. ун-та, 2010. — С. 58-65.

[5] Жилина, Т. Е. Стабилизация диффузионных систем с марковскими переключениями и аффинными неопределенностями [Текст] / Т. Е. Жилина, II. В. Пакшин // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов XI Международного семинара им. Е.С. Пятницкого. М.: Изд-во ИПУ РАН, 2010. - С. 125 126.

[0) Жилина, Т. Е. Стабилизация диффузионных систем с марковскими переключениями [Текст] /' Т. Е. Жилина // Материалы XIII конференции молодых ученых «Навигация и управление движением», Санкт-Петербург.

- СПб.: Изд-во ГПЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор» журнал «Рироекония и навигация». 2011 № 2 (73). -- С. ИЗ.

[7] Жилина, Т. Е. Синтез стабилизирующего управления с обратной связью по выходу в диффузионных системах с переключениями [Текст] /' Т.Е. Жилина // Будущее технической науки. Тезисы докладов X Международной молодежной научно-технической конференции. -Н.Новгород: Изд-во НГТУ, 2011. - С.58.

[8] Жилина, Т. Е. Робастная стабилизация многорежимной системы на основе сравнения с диффузионной моделью с марковскими переключениями [Текст] / Т. Е. Жилина / / Управление большими системами. Материалы VIII Всероссийской школы-конференции молодых ученых. Магнитогорск: Изд-во Магнитогорск.гос.техн.ун-та им. Г.И.Носова, 2011. С. 29-32.

[9] Жилина, Т. Е. Стабилизирующее управление диффузионными системами с марковскими переключениями [Текст] / Т. Е. Жилина // Тезисы докладов 1С-Й международной конференции «Системный анализ, управление и навигация». — М.: Изд-во МАИ, 2011. - С. 141 142.

[10] Pakshin, P. V. Pavametrization and convex approximation approach to stabilization via output feedback [Текст] / P. V. Pakshin, I). Peaucelle, T.Ye. Zhilina // International Conference Cybernetics and Informatics. -Vysna Boca, Slovak Republic, 2010. P. 22.

Подписано в печать 31.10.2011 г. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1.25. Бумага офсетная. Печать офсетная. Заказ № 4898. Тираж 100.

Отпечатано в ОАО «Арзамасская типография». 607220, Нижегородская область, г. Арзамас, ул. Пландина, 8.

Введение

1 Диффузионные системы с переключениями. Обзор основных направлений

1.1 Математическая модель диффузионной системы с марковскими переключениями.

1.2 Задача синтеза стабилизирующего управления с обратной связью по выходу. Некоторые подходы к решению.

1.3 Системы с неопределенными параметрами.

1.4 Системы с децентрализованным управлением

2 Стабилизация диффузионных систем с марковскими переключениями

2.1 Стабилизация по измеряемому выходу линейных систем

2.1.1 Постановка задачи.

2.1.2 Параметризация стабилизирующих матриц усиления

2.1.3 Алгоритм вычисления матрицы усиления.

2.1.4 Робастная стабилизация многорежимной системы на основе сравнения с диффузионной моделью с марковскими переключениями.

2.2 Стабилизация по измеряемому выходу линейных систем при неопределенных параметрах режимов.

2.2.1 Задача параметризации для непрерывных систем с марковскими переключениями и аффинными неопределенностями

2.2.2 Алгоритм вычисления матрицы усиления на основе выпуклой аппроксимации.

2.2.3 Одновременная стабилизация

2.3 Примеры

2.3.1 Стабилизация перевернутого маятника при скачкообразном изменении массы и случайных вибрациях основания

2.3.2 Стабилизации летательного аппарата с заданной неопределенностью параметров.

2.4 Выводы.

3 Децентрализованная стабилизация диффузионных систем с марковскими переключениями

3.1 Децентрализованная стабилизация по измеряемому выходу линейных систем с марковскими переключениями.

3.1.1 Постановка задачи.

3.1.2 Синтез децентрализованного стабилизирующего управления.

3.1.3 Алгоритм вычисления матриц усиления.

3.2 Стабилизация по измеряемому выходу линейных диффузионных систем с децентрализованным управлением и марковскими переключениями.

3.2.1 Постановка задачи.

3.2.2 Условия стабилизации и алгоритм вычисления матриц усиления.

3.3 Примеры

3.3.1 Стабилизация двух связанных перевернутых маятников при скачкообразном изменении масс.

3.3.2 Стабилизация двух связанных перевернутых маятников при скачкообразном изменении масс и вибрациях основания.

3.4 Выводы.

Актуальность темы. В современных задачах управления широкое распространение получили многорежимные системы, режимы которых моделируются стохастическим дифференциальным уравнением Ито, а переходы между ними - цепью Маркова. В отечественной литературе модели таких объектов известны под названием «системы случайной структуры», в западной используются термины «диффузионные системы с марковскими переключениями (скачками)» или «системы с переключаемой диффузией». Примерами могут служить склонные к отказам сложные производственно-технологические и энергетические системы, системы управления подвижными объектами и т.п. Диффузионные модели с марковскими переключениями широко используются также при описании экономических процессов и в финансовой математике, для моделирования уровня спроса или производительности оборудования при планировании производства, для отслеживания изменений рыночных курсов и процентных ставок. Основы исследования таких систем были заложены в трудах школы Н. Н. Красовского [21]. Результаты дальнейших исследований подведены в монографиях И. Е. Казакова, В.М. Артемьева, В.А. Бухалева [16], И.Я.Каца [17], M.Mariton [38], G.G.Yin и C.Zhu [49]. В настоящее время продолжает появляться достаточно большое число новых публикаций, но, несмотря на это, для диффузионных систем с марковскими переключениями достаточно мало изученной является важная для теории и практики задача синтеза стабилизирующего управления с обратной связью по выхоДУ

Цель работы состоит в создании методов и алгоритмов синтеза стабилизирующего управления с обратной связью по выходу для диффузионных систем с марковскими переключениями.

Задачи работы. Исходя из целей, работы были поставлены следующие задачи:

1. Описать в параметрической форме множество всех стабилизирующих управлений с обратной связью по выходу для следующих классов систем:

• диффузионных систем с марковскими переключениями;

• диффузионных систем с марковскими переключениями и аффинными неопределенностями;

• диффузионных систем с децентрализованным управлением и марковскими переключениями.

2. Разработать методы и алгоритмы синтеза управлений для перечисленных задач.

3. Исследовать возможность применения полученных результатов к задачам робастной стабилизации, в частности, найти условия, при которых управление, стабилизирующее диффузионную систему с марковскими переключениями, будет обеспечивать робастную стабилизацию многорежимной системы.

4. Разработать метод и алгоритм синтеза управления для задачи одновременной стабилизации по выходу множества диффузионных систем с марковскими переключениями и аффинными неопределенностями.

5. Разработать программное обеспечение, реализующее указанные методы и алгоритмы.

6. Апробировать программное обеспечение на примерах решения конкретных задач управления.

Методы исследования. Основными методами исследования являются стохастический аналог второго метода Ляпунова и методы выпуклого анализа. В частности, техника линейных матричных неравенств, а также специализированные программы пакета в среде MATLAB.

Научная новизна. В работе получены и выносятся на защиту следующие новые научные результаты.

1. Параметрическое описание всех стабилизирующих управлений с обратной связью по выходу для линейных диффузионных систем с марковскими переключениями.

2. Алгоритмы вычисления матрицы усиления стабилизирующего управления с динамической и статической обратной связью по выходу, полученные на основе указанного параметрического описания и реализуемые с помощью линейных матричных неравенств.

3. Обобщение предложенного параметрического описания и алгоритмов на классы линейных диффузионных систем с марковскими переключениями и аффинными неопределенностями и диффузионных систем с децентрализованным управлением и марковскими переключениями.

Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты могут использоваться для решения задач синтеза управления сложными динамическими системами в технике, экономике, финансовой математике.

Апробация полученных результатов. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на

1. 14-й Международной конференции IEEE «Методы и модели в автоматике и робототехнике» MMAR 2009 (Мендзыздрое, Польша, 2009);

2. Международной конференции «Кибернетика и Информатика» (Выш-ня Бока, Словакия, 2010);

3. VII Всероссийской школе-конференции молодых ученых (Пермь, 2010);

4. XI Международном семинаре им. Е.С.Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2010);

5. XIII конференции молодых ученых «Навигация и управление движением» (Санкт-Петербург, 2011);

6. VIII Всероссийской школе-конференции молодых ученых (Магнитогорск, 2011);

7. X Международной молодежной научно-технической конференции «Будущее технической науки» (Нижний Новгород, 2011);

8. 16-й Международной конференции «Системный анализ, управление и навигация» (Евпатория, Украина, 2011).

Доклад на конференции «Навигация и управление движением» удостоен диплома второй степени. Доклад на конференции «Будущее технической науки-2011» удостоен диплома первой степени. Доклад на конференции «Системный анализ, управление и навигация» удостоен диплома второй степени.

Публикации и личный вклад автора. По теме диссертации опубликовано 10 работ, в том числе 3 статьи, из них 1 в журнале из перечня ВАК РФ. В совместных работах научному руководителю принадлежат постановки задач и идеи доказательств и алгоритмов. Доказательства теорем, разработка методов, алгоритмов и программного обеспечения, реализующего и иллюстрирующего данные методы и алгоритмы, принадлежат автору.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №10-08-00843а, №11-08-09301-мобз).

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 50 наименований. Работа изложена на 100 страницах, содержит 12 иллюстраций, 1 таблицу.

Краткое содержание

В первой главе дается обзор состояния проблемы синтеза стабилизирующего управления с обратной связью по выходу для диффузионных систем с марковскими переключениями. На базе имеющихся результатов определяется круг задач, решаемых в дальнейших главах работы.

Во второй главе рассматривается задача синтеза стабилизирующего управления с динамической обратной связью по выходу диффузионных систем с марковскими переключениями. Эта задача сводится к синтезу статического регулятора для расширенной системы. Далее предлагается параметрическое описание всех линейных стабилизирующих регуляторов со статической обратной связью по выходу, которые обеспечивают экспоненциальную устойчивость в среднем квадратическом замкнутой системы. На основе этой параметризации получены выпуклые достаточные условия стабилизации, позволяющие разработать алгоритм нахождения матрицы усиления регулятора на основе техники линейных матричных неравенств. Определенную трудность в алгоритме представляет выбор весовых матриц. Предлагается возможная методика такого выбора. Она основана на том, что вычисляется начальное приближение матрицы усиления путем решения вспомогательной детерминированной задачи с использованием пакета МАТЬАВ - НШОО [31]. Применение предложенного метода иллюстрируется примером решения задачи стабилизации перевернутого маятника при скачкообразном изменении массы и случайных вибрациях основания.

В этой главе выделен также класс стохастических систем сравнения в виде диффузионных моделей Ито с марковскими переключениями, из устойчивости которых в среднем квадратическом следует асимптотическая устойчивость систем с неопределенными параметрами в каждом режиме. Таким образом, предложенный алгоритм можно использовать для вычисления матрицы усиления робастного стабилизирующего управления со статической обратной связью по выходу.

Также в этой главе рассматривается задача стабилизации диффузионной системы с марковскими переключениями и аффинными неопределенностями. Предлагается алгоритм вычисления матрицы усиления управления со статической обратной связью по выходу, стабилизирующего заданное множество диффузионных систем с марковскими переключениями при любых неопределенностях параметров. Дается численный пример стабилизации продольного углового движения летательного аппарата для заданного множества режимов полета с учетом неопределенностей параметров в каждом режиме.

Как частный случай, соответствующий специальному виду матрицы вероятностей переходов марковской цепи, получается решение задачи одновременной стабилизации.

В третьей главе решается задача стабилизации децентрализованной системы, состоящей из взаимосвязанных диффузионных подсистем с марковскими переключениями. Описание в параметрической форме множества всех стабилизирующих управлений со статической обратной связью по выходу дается в терминах решения систем линейных матричных уравнений и неравенств, которые нелинейно связаны между собой. В качестве параметров используются матрицы, аналогичные весовым матрицам в задаче линейно-квадратичного регулятора. Попытка решения этих уравнений и неравенств, в силу нелинейных связей, приводит к невыпуклым соотношениям, прямые методы решения которых крайне затруднительны. Предложена выпуклая аппроксимация указанных соотношений, которая позволяет свести нахождение матрицы усиления стабилизирующего управления к решению вспомогательной задачи оптимизации при ограничениях в виде линейных матричных уравнений и неравенств. На основе выпуклых условий предлагается алгоритм вычисления матрицы усиления управления со статической обратной связью по выходу. В основу алгоритма положено обобщение результатов главы 2. Дается численный пример стабилизации двух связанных перевернутых маятников при скачкообразном изменении масс и вибрациях основания.

В заключении диссертации подведены итоги проведенных исследований и приведены возможные направления дальнейшей работы.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Параметрическое описание всех стабилизирующих управлений с обратной связью по выходу для следующих классов систем: а) диффузионных систем с марковскими переключениями; б) диффузионных систем с марковскими переключениями и аффинными неопределенностями; в) диффузионных систем с децентрализованным управлением и марковскими переключениями.

2. Достаточные условия стабилизации указанных систем, ориентированные на применение аппарата выпуклого анализа, в частности, линейных матричных неравенств.

3. Методы и алгоритмы нахождения матрицы усиления управления, обеспечивающего стабилизацию вышеперечисленных систем.

4. Описание множества всех стабилизирующих регуляторов в задаче одновременной стабилизации в терминах матриц параметров аналогичных весовым матрицам в задаче линейно-квадратичного регулятора.

Выводы

Предлагается параметрическое описание всех стабилизирующих управлений с обратной связью по выходу,которое обеспечивает экспоненциальную устойчивость в среднем квадратическом замкнутой системы. На основе этой параметризации получены достаточные условия стабилизации, которые позволяют разработать алгоритмы нахождения стабилизирующего управления с применением линейных матричных неравенств.

Для децентрализованных систем с марковскими переключениями систем управления разработан алгоритм вычисления матрицы усиления стабилизирующего управления с обратной связью по выходу. Алгоритм был успешно апрбирован в среде МАТЬАВ с использованием синтаксического анализатора Уа1гшр [28] и решателя БеБиМ! [47].

Для диффузионных систем с децентрализованным управлением и марковскими переключениями разработан алгоритм вычисления матрицы усиления стабилизирующего управления с обратной связью по выходу.

На базе полученных алгоритмов разработано программное обеспечение в интегрированной среде МАТЬАВ, позволяющее осуществлять синтез регуляторов для систем управления.

При моделировании марковской цепи, определяющей процесс смены режимов работы системы, решалось уравнение Колмогорова методом Рунге-Кутта. Новое состояние системы генерировалось на основе полученных вероятностей.

Решена задача стабилизации двух связанных перевернутых маятников при скачкообразном изменении масс.

• Решена задача стабилизации двух перевернутых маятников, закрепленных на платформе и соединенных пружиной, при вибрациях основания и скачкообразном изменении масс.

Заключение

В работе решается задача нахождения матрицы усиления стабилизирующего управления со статической обратной связью по выходу для следующих классов систем:

• диффузионные системы с марковскими переключениями;

• диффузионные системы с марковскими переключениями и аффинными неопределенностями;

• диффузионные системы с децентрализованным управлением и марковскими переключениями.

Для этих классов получены следующие результаты:

1. Параметрическое описание всех стабилизирующих управлений с обратной связью по выходу для перечисленных систем.

2. Достаточные условия стабилизации указанных систем, ориентированные на применение аппарата выпуклого анализа, в частности, линейных матричных неравенств.

3. Методы и алгоритмы нахождения матрицы усиления управления, обеспечивающего стабилизацию вышеперечисленных систем.

4. Описание множества всех стабилизирующих регуляторов в задаче одновременной стабилизации в терминах матриц параметров аналогичных весовым матрицам в задаче линейно-квадратичного регулятора.

5. Программное обеспечение синтеза регуляторов с обратной связью по выходу для диффузионных систем с марковскими переключениями.

1. Баландин, Д. В. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств Текст] / Д.В.Баландин, М.М.Коган. — М.: Физматлит. — 2007.

2. Барбашин, Е.А. Функции Ляпунова Текст] / Е. А. Барбашин. — М.: Наука. 1970.

3. Баркин, А. И. Абсолютная устойчивость детерминированных и стохастических систем управления Текст] / А. И. Баркин, А. Л. Зеленцовский, П. В. Пакшин. — М.: МАИ. — 1992.

4. Гихман, И. И. Стохастические дифференциальные уравнения Текст] / И. И. Гихман, А. В. Скороход. — Киев, Наукова думка. — 1968. — 354 с.

5. Дуб, Дж. Л. Вероятностные процессы Текст] / Дж. Л. Дуб. — М.: ИЛ. 1956.

6. Дынкин, Е. Б. Марковские процессы Текст] / Е. Б.Дынкин. — М.: Физматлит. — 1963.

7. Жилина, Т. Е. Синтез стабилизирующего управления в диффузионных системах с марковскими переключениями Текст] / Т. Е. Жилина // Управление большими системами/ Сборник трудов. М: ИПУ РАН 2011. - № 33. - С. 70-90.

8. Жилина, Т.Е. Стабилизация диффузионных систем с марковскими переключениями Текст] / Т. Е. Жилина // Материалы XIII конференции молодых ученых «Навигация и управление движением». —

9. СПб.: Изд-во ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор» журнал «Гироскопия и навигация». 2011 - № 2 (73). - С. 113.

10. Жилина, Т.Е. Стабилизирующее управление диффузионными системами с марковскими переключениями Текст] / Т. Е. Жилина // Тезисы докладов 16-й международной конференции «Системный анализ, управление и навигация». — М.: Изд-во МАИ, 2011. — С. 141-142.

11. Казаков, И. Е. Оптимизация динамических систем случайной структуры Текст] / И.Е.,Казаков, В.М.Артемьев. — М.: Наука, 1980. — 382 с.

12. Казаков, И. Е. Анализ систем случайной структуры Текст] / И.Е.,Казаков, В.М.Артемьев, В.А.Бухалев. — М.: Наука, 1993. — 304 с.

13. Кац, И. Я. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случайной структуры Текст] / И. Я. Кац. — Екатеринбург: Изд-во Урал.гос.акад.путей сообщения. — 1998.

14. Кац, И. Я. Об устойчивости систем со случайными параметрами Текст] И. Я. Кац,/ Н. Н. Красовский. ПММ. - 1960. - № 5. -С. 809-823.

15. Квакернаак, X. Линейные оптимальные системы управления Текст] / X. Квакернаак, Р. Сиван. — М: Мир. — 1977.

16. Красовский, Н. Н. К теории автоматического конструирования регуляторов Текст] / Н. Н. Красовский, Э.А. Летов // Автоматика и телемеханика. — 1962. — № 6. — С. 11-18.

17. Красовский, H.H. Аналитическое конструирование регуляторов в системах со случайными свойствами Текст] / Н. Н. Красовский, А. М. Лидский // Автоматика и телемеханика. — 1961. — № 9. — С. 732-745.

18. Кушнер, Г. Д. Стохастическая устойчивость и управление Текст] / Г. Д. Кушнер. — М: Мир. — 1969.

19. Липцер, Р. Ш. Статистика случайных процессов Текст] / Р. Ш.Липцер, А.Н.Ширяев. — М.: Наука. — 1974.

20. Пакшин, П. В. Дискретные системы со случайными параметрами и структурой Текст] / П. В. Пакшин. — М.: Наука, 1994. — 304 с.

21. Пакшин, П. В. Параметризация стабилизирующих управлений в стохастических системах Текст]/П.В.Пакшин, С.Г.Соловьев, Д. Посель // Автоматика и телемеханика. 2009. - № 9. - С. 85-99.

22. Поляк, Б. Т. Робастная устойчивость и управление Текст] / Б.Т.Поляк, П.С.Щербаков. М.: Наука, 2002. - 303 с.

23. Хасьминский, Р. 3. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров Текст] / Р. 3. Хасьминский. — М: Наука. — 1969.

24. Чурилов, А. Н. Исследование линейных матричных неравенств. Путеводитель по программным пакетам Текст] / А. Н. Чурилов, А. В. Гессен. СПб.: Изд-во С.Петерб. ун-та, 2004.

25. Шильяк, Д. Д. Децентрализованное управление сложными системами Текст] / Д. Д. Шильяк. М: Мир. - 1994.

26. Ait Rami, M. LMI optimization for nonstandard Riccati equation arising in stochastic control Текст] / M. Ait Rami, L.ElGhaoui // IEEE Trans. Automat. Control. 1996. - No 41. - P. 1666-1671.

27. Burke, J.C. HIFOO A MATLAB Package for Fixed-Order Controller Design and H-infinity Optimizationon Текст] / J.C.Burke, D.Henrion, A.S.Lewis, M.L.Overton // Proceedings of the

28. AC Symposium on Robust Control Design, Toulouse, France, 2006. www.cs.nyu.edu/overton/software/hifoo

29. Costa, O. Discrete-Time Markov Jump Linear Systems Текст] / О. Costa, M. Fragozo, R. Marques. — Springer, London. — 2004.

30. Crusius, C.A. Sufficient LMI Conditions for Output Feedback Control Problems Текст] / C.A. Crusius, A.Trofino // IEEE Trans. Automat. Control. 1999. - No 44. - P. 1053-1057.

31. Johnson, C.D. The «unreachable poles» defect in LQR theory: analysis and remedy Текст] / С. D. Johnson // Int J.Control. 1988. - V 47. -P. 697-709.

32. Kucera, V. A necessary and sufficient condition for output feedback stabilizability Текст] / V. Kucera, C. E.de Souza // Automatica. — 1995. V. 31. - No 9. - P. 1357-1359.

33. Luo, Q. Stochastic population dynamics under remige switching II Текст] / Q.Luo, X.Mao // J.Math.Anal.Appl. 2007. - V. 334. -P. 69-84.

34. Мао, X. Stability of stochastic differential equations with Markovian switching Текст] / X. Mao // Stochastic Processes and their Applications. 1999. - V. 79. - P. 45-67.

35. Mariton, M. Jump linear systems in automatic control Текст] / M. Mariton. — Marcel Dekker, New York. — 1990.

36. Pakshin, P. V. Exponential dissipativeness of the random-structure diffusion processes and problems of robust stabilization Текст] / P. V. Pakshin // Automation and Remote Control. 2007. — V. 68. — P. 1852-1870.

37. Pakshin, P. V. Parametrization and convex approximation approach to stabilization via output feedback Текст] / P. V. Pakshin, D. Peaucelle, T. Ye. Zhilina // Journal of Cybernetics and Informatics, 2010. P. 29-38.

38. Pakshin, P. V. Parametrization of static output feedback controllers for Markovian switching systems and related robust control problems Текст] / P. V. Pakshin, S.G.Soloviev // Kybernetes. 2009. -No 48. - P. 1106-1120.

39. Trofino-Neto, A. Stabilization via static output feedback Текст] / A. Trofino-Neto, V.Kucera // IEEE Trans.Automat.Control. 1993. -V. 38. - P. 764-765.

40. Scherer, C. Lecture Notes DISC Course on Linear Matrix Inequalities in Control Текст] / С. Scherer, S. Weiland // Version:2.0 April, 1999.

41. Skelton, R. E. A unified algebraic approach to linear control design Текст] / R. E. Skelton, T. Iwasaki, К. M. Grigoriadis // Taylor & Francis. London. — 1997.

42. Sturm, J.F. Using SeDuMi 1.02, a MATLAB toolbox for optimization over symmetric cones Текст] / J. F. Sturm // Optimization Methods and Software 1999. - V. 11-12. - P. 625-653. URL:http://sedumi.mcmaster.ca/.

43. Wonhan, W. M. Random differential equation in Control theory Текст] / W. M. Wonhan // In Pobabilistic Methods in Applied Mathematics (A.T. Bharucha-Reid,ed.) Academic Press, New York. — 1970. — V. 2. — P. 1-212.

44. Yin, G. G. Hybrid Switching Diffusions: Properties and Applications Текст] / G. G. Yin, C. Zhu. — New York: Springer Verlag. — 2010.

45. Yuan, C. Stabilization of a class of stochastic differential equations with Markovian switching Текст] / С. Yuan, J.Lygeros // System Control Letters. 2005. - V. 54. - P. 819-833.