автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.04, диссертация на тему:Метод мультипликативных характеристических функций для анализа вероятностных характеристик в задачах статистической радиотехники

Список обозначений.

Введение.

Глава 1. Основы теории мультипликативных характеристических функций.

1.1. Функциональное преобразование случайных величин.

1.2. Метод характеристических функций.

1.3. Необходимые и достаточные условия существования интегрального преобразования Меллина.

1.4. Основные соотношения и свойства мультипликативной характеристической функции.

Глава 2. Метод мультипликативных характеристических функций.

2.1. Анализ вероятностных характеристик случайных величин.

2.2. Анализ вероятностных характеристик случайных процессов.

2.3. Обращение мультипликативных характеристических функций.

2.4. Сравнение математической сложности метода мультипликативных характеристических функций с существующими методами.

2.5. Центральная предельная теорема для произведения независимых случайных величин.

Глава 3. Получение распределений комбинаций случайных величин методом мультипликативных характеристических функций.

3.1. Получение мультипликативных характеристических функций.

3.2. Получение распределений произведения и частного двух независимых случайных величин.

3.3. Статистическое моделирование.

Глава 4. Использование метода мультипликативных характеристических функций в задачах статистической радиотехники.

4.1. Проверка статистических гипотез.

4.2. Вычисление вероятности ошибок при проверке гипотез о корреляционной функции.

4.3. Точное решение для задач оценки эффективности алгоритмов последетекторного обнаружения сигналов.

4.4. Анализ особенностей практической реализации решающих пороговых устройств.

4.5. Аппаратурный метод нахояедения мультипликативной характеристической функции.

Теория вероятностей и теория случайных процессов являются главным математическим инструментом анализа прохождения сигналов в комбинации с помехами в радиосистемах при условии, что вероятностные модели сигналов и помех заданы» [16]. I

Статистической теории радиотехники посвящено немало работ, таких как [4, 7, 10, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 26, 28, 34, 38, 39] однако вопросы анализа вероятностных характеристик сигналов и помех в пространстве мультипликативных математических операций освещены недостаточно полно, по сравнению с анализом сигналов в пространстве аддитивных операций. Это связано с недостаточным развитием методов анализа вероятностных характеристик в пространстве мультипликативных операций.

Как известно, в теории вероятностей для анализа характеристик случайных величин и случайных процессов используют функцию распределения, плотность распределения вероятностей и характеристическую функцию.

По информативности эти функции равноценны, но для решения различного рода задач удобнее использовать ту или иную функцию. Особенное место среди них занимает характеристическая функция. Она существенно облегчает анализ вероятностных характеристик сумм и разностей случайных величин, а также нахождение моментов распределения. Но ни одна из указанных функций не даёт существенного выигрыша при анализе вероятностных характеристик произведения и частного случайных величин.

Целью настоящей диссертационной работы является развитие методов анализа вероятностных характеристик случайных величин и процессов в пространстве мультипликативных математических операций путём использования свойств мультипликативной характеристической функции [23], порождаемой интегральным преобразованием Меллина.

Преобразование Меллина ранее использовалось для обработки сигналов в условиях априорной неопределённости, в частности при неизвестной длительности сигнала.

Для классификации различного рода объектов, у которых набор информативных признаков зависит от ракурса обзора цели [44].

Для анализа реакции линейных параметрических цепей на входные воздействия [43].

В докторской диссертации Макарова А. М. исследовались комбинации преобразований Меллина, Фурье и Ганкеля для обработки сигналов в условиях существенной априорной неопределённости.

В работах Сапрыкина В. А. указана возможность комплексирования преобразований Меллина и Фурье при обработке радиолокационных сигналов с целью разрешения противоречия разрешающей способности по скорости и по дальности.

В работе [35] преобразование Меллина использовалось для обработки гидроакустических сигналов.

Однако никто из указанных авторов не использовал свойства свёртки, порождаемой преобразованием Меллина для решения задач статистической радиотехники.

Рассмотрим наиболее значимые задачи статистической радиотехники, в которых целесообразно использование развиваемого в диссертации метода мультипликативных характеристических функций.

1. Нахождение распределения отношения правдоподобия

Распределение отношение правдоподобия необходимо для вычисления вероятностей ошибок первого и второго рода.

При нахождении распределения отношения правдоподобия, как правило, необходимо находить распределение произведения случайных величин. Если эти случайные величины имеют нормальные или экспоненциальные распределения, то натуральное логарифмирование отношения правдоподобия упрощает его вид и позволяет применить метод характеристических функций, так как после логарифмирования произведение трансформируется в сумму. Однако, сложности, связанные с обращением характеристических функций не позволяют получать точные выражения распределения отношения правдоподобия в аналитическом виде. В некоторых случаях, для больших выборок применяется теорема Ляпунова, и распределение натурального логарифма отношения правдоподобия принимается нормальным.

Если же выражения плотностей распределения вероятностей перемножаемых случайных величин помимо экспоненты содержат ещё хотя бы одну переменную, то логарифмирование уже не даёт каких либо преимуществ.

Как видно, задача нахождения распределения отношения правдоподобия на практике является весьма сложной. К тому же, как указано в [7], распределения отношения правдоподобия всегда негаусовские независимо от формы взаимодействия сигналов с помехами и типов условных или безусловных плотностей вероятностей.

2. Нахождение плотности распределения вероятностей случайных величин и процессов на выходах умножителей и делителей

Поскольку на практике мы всегда имеем дело со смесью сигнала и помехи, то в задачах анализа характеристик сигналов и задачах его обнаружения на фоне помех обычно рассматриваются вероятностные характеристики указанной смеси, а не параметры самого сигнала. Анализ вероятностных характеристик случайных процессов при их прохождении через различные узлы радиотехнических устройств, как правило, связан со сложными математическими операциями.

Для получения плотности распределения вероятностей произведения (частного) двух случайных величин необходимо вычислять интеграл свёртки от плотностей распределения преобразовываемых случайных величин. Так как во многих радиотехнических устройствах при обработке сигналов используются операции умножения и деления (приложение 1), то возникает необходимость разработки математического аппарата, позволяющего упростить задачу нахождения вероятностных характеристик сигналов при их умножении и делении.

3. Нахождение моментов распределений

Очень часто, требуется знание о случайной величине или процессе информации в виде моментов распределения. Теория вероятностей позволяет находить моменты любого порядка, но для этого необходимо производить операции интегрирования или дифференцирования, если воспользоваться методом характеристических функций. При нахождении начальных моментов произведения или частного двух и более случайных величин задача уже существенно усложняется, если пользоваться известными методами нахождения начальных моментов распределений.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и приложений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные итоги диссертационной работы могут быть сформулированы следующим образом.

В ходе работы был развит регулярный метод анализа вероятностных характеристик случайных величин и процессов в пространстве мультипликативных математических операций, который позволяет существенно упростить нахождение плотности распределения произведения и частного п независимых случайных величин. При этом, увеличение числа анализируемых величин не приводит к усложнению вычислительных процедур. Метод мультипликативных характеристических функций оказался очень эффективным для нахождения начальных моментов распределений любого порядка, при условии, что они существуют.

В диссертации была получена таблица плотностей распределения вероятностей и выражений для начальных моментов распределения произведения и частного двух независимых случайных величин для наиболее распространённых в радиотехнике законов распределения.

Метод мультипликативных характеристических функций позволил доказать центральную предельную теорему для произведения независимых случайных величин с указанием условий и скорости сходимости распределения такого произведения к логарифмически-нормальному, что подчёркивает его теоретическую значимость для развития теории вероятностей в целом.

Метод мультипликативных характеристических фикций был применён для решения некоторых, наиболее важных задач статистической радиотехники. В частности, были получены общие выражения распределения отношения правдоподобия для конечных однородных и неоднородных выборок, позволяющие вычислять ошибки первого и второго рода в задачах проверки статистических гипотез. Была решена задача вычисления ошибок при проверке гипотезы о корреляционной функции нормального случайного процесса. Путём аппроксимации распределения Релея-Райса распределением Накагами, удалось получить решающее правило о наличии или отсутствии сигнала при амплитудном методе последетекторного обнаружения сигнала не в асимптотическим приближении, как это получено в литературе, а для произвольного значения отношения сигнал/шум. Применение метода мультипликативных характеристических функций позволило получить аналитические выражения распределения отношения правдоподобия для этой задачи.

Основной вклад метода мультипликативных характеристических функций в решение этих задач заключается в возможности нахождения аналитических выражений условных плотностей вероятности для конечных выборок. При этом нет необходимости производить некоторые приближения и рассматривать характеристики в асимптотике.

Результаты диссертационной работы были использованы в научных разработках холдинговой компании «Комби-Сервис» (г. Кисловодск) и в учебных процессах Кисловодского института Академии оборонных отраслей промышленности РФ (г. Кисловодск) и Таганрогского государственного радиотехнического университета (г. Таганрог).

В целом, настоящая диссертация была посвещена развитию методов теории вероятностей и применению этих методов к задачам статистической радиотехники.

1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1965 г., 296 стр. с илл.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Пер. с англ. Н. Я. Виленкина, М.: Наука, 1969.

3. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. Изд. 10-е, стер., М., «Наука», 1964, 608 стр. с илл.

4. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Том 1. Теория обнаружения, оценок и линейной модуляции. Нью-Йорк, 1968. Пер. с англ., под ред. проф. В. И. Тихонова. М., «Сов. радио», 1972, 744 с.

5. Васильев К. К. Приём сигналов при мультипликативных помехах. Изд-во Сарат. ун-та, 1983, с. 128.

6. Вентцель Е. С. Теория вероятностей: Учеб. для вузов. 7-е изд. стер. -М.: Высш. шк., 2001. - 575 е.: ил.

7. Голяницкий И. А., Годунов В. И. Многопозиционные системы оптимальной обработки негаусовских процессов. М.: Изд-во МАИ, 1997.-624 е.: ил.

8. Дейнеко М. С. Методы анализа случайных величин в мультипликативном базисе. Материалы XL международной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Математика, Новосибирск: НГУ, 2002, с. 131.

9. Дейнеко М. С. Точное решение для задач оценки эффективности алгоритмов последетекторного обнаружения сигналов. Таганрог, гос. радиотех. ун-тет, Таганрог, 2002. 7 е.: - Библиогр. 4 назв. - Рус. -Деп. в ВИНИТИ. № 701-В2002.

10. Евсиков Ю. А. Преобразование случайных процессов в радиотехнических устройствах. М.: Высш. школа, 1977. 264 е., ил.

11. Жовинский В. Н. и Арховский В. Ф. Корреляционный устройства. М., «Энергия», 1974.

12. Земанян А. Г. Интегральные преобразования обобщённых функций. М.: Наука, 1974.

13. Коваленко И. Н., Филиппова А. А. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. Пособие для втузов. М., «Высшая школа», 1973 г.

14. Кремер И. Я. и др. Модулирующие (мультипликативные) помехи и приём радиосигналов. Под ред. И. Я. Кремера. М., «Сов. радио», 1972.

15. Куликов Е. И. Методы измерения случайных процессов. М.: Радио и связь, 1986.-272 е.: ил.

16. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Книга первая. Изд. 2-е, перераб. и доп., М., «Сов. радио», 1974, 552 стр.

17. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. В трёх книгах. Книга вторая. Изд. 2-е, перераб. и дополнен., М., «Сов. радио», 1975, 392 с. с ил.

18. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. В трёх книгах. Книга третья. М., «Сов. радио», 1976, 288 с.

19. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Радио и связь, 1989. - е.: ил.

20. Макаров А. М., Дейнеко М. С. Анализ требований к обеспечению защиты от перехвата информации в системах связи. Сборник трудов научно-практической конференции «Информационная безопасность». Таганрог, 2001 г. С. 150 156.

21. Макаров А. М., Дейнеко М. С. Введение в теорию и приложения мультипликативных характеристических функций. Таганрог, гос.радиотех. ун-тет, Таганрог, 2002. 76 е.: - 22 ил. - Библиогр. 34 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ. № 399-В202.

22. Макаров А. М., Евдокимов О. Ю., Дейнеко М. С. Введение в математический аппарат характеристической функции Меллина. // Известия ТРТУ. Специальный выпуск «Материалы XLVII научно-технической конференции». Таганрог: ТРТУ, 2002. №1(24). С. 3 7.

23. Маричев О. И. Метод вычисления интегралов от специальных функций (теория и таблицы формул). Мн., «Наука и техника», 1978, 312 с.

24. Очков В. Ф. Mathcad 7 Pro для студентов и инженеров. М.: КомпьютерПресс, 1998. - 348 с. - ил.

25. Поздняк С. И., Мелитицкий В. А. Введение в статистическую поляризацию радиоволн. М., «Сов. радио», 1974, 480 с.

26. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. Учеб. для вузов. Изд. 14-е, стер. М.: Высш. шк., 1999. -432 е.: ил.

27. Проектирование радиолокационных приёмных устройств: Учеб. пособие для радиотехн. спец. вузов / А. П. Голубков, А. Д. Далматов, А. П. Лукошкин и др.; Под ред. М. А. Соколова. М.: Высш. шк., 1984.-335 е., ил.

28. Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы). Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1973.

29. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Вычисление интегралов и преобразование Меллина. // Математический анализ. -1989.-27.-с. 3-146.

30. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1986. - 800 с.

31. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. - 752 с.

32. Рамачандран Б. Теория характеристических функций. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1975.

33. Рытов С. М. Введение в статистическую радиофизику. Часть 1. Случайные процессы. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1976 г.

34. Сапрыкин В. А., Рокотов С. П. Теория обработки гидроакустической информации. Высшее военно-морское ордена Красной Звезды училище радиоэлектроники имени А. С. Попова, Петродворец, 1986 г.

35. Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1976, 408 стр.

36. Скобля Н. С. О вычислении интеграла Меллина. ДАН БССР, 1961, Т 5, № 4.

37. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. М.: «Советское радио», 1966.

38. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. 2-е изд., перераб. и доп. -М.: Радио и связь, 1982. - 624 с.

39. Тынякин С. И., Гузенко О. Б. Корреляционные свойства спектров Меллина случайных процессов. // Радиотехника, № 4, 1997, с. 26-28.

40. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. В 2-х томах. Т. 1: Пер. с англ. М.: Мир, 1984. - 528 е., ил.

41. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. В 2-х томах. Т. 2: Пер. с англ. М.: Мир, 1984. - 738 е., ил.

42. Lerardi. R. Application of Meliin and Hankel Transforms to Networks with Time Varying Parameters. // Transactions on circuit theory. Vol. 6, June, 1959, №2.

43. Philip E. Zwicke. A new implementation of the Mellin transform and its application to radar classification of ships. IEEE Trans, of pattern analysis and machine Intellecenzy. vol. PAMI-5, № 2, March, 1983.