автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Прямой статистический анализ линейных непрерывных динамических систем методом последовательных приближений

005014551

Смирнов Владимир Владимирович

ПРЯМОЙ СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ

НЕПРЕРЫВНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

Специальность 05.13.01. - "Системный анализ, управление и обработка информации (в науке и промышленности) по техническим наукам"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 5 ¿С;2

Нижний Новгород 2012

005014551

Работа выполнена на кафедре «Теория цепей и телекоммуникации» Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник Есипенко Валентин Иванович

Официальные оппоненты: Моругин Станислав Львович

доктор технических наук, доцент, НГТУ им. Р.Е.Алексеева, заведующий кафедрой "Компьютерные технологии в проектировании и производстве"

Аристархов Василий Юрьевич кандидат технических наук, ЗАО « Интел А.О», старший инженер по разработке программного обеспечения

Ведущая организация: ФГУП "НПП "Полет",

Нижний Новгород

Защита состоится « 5 » апреля 2012г. в 15 часов в ауд. 1258 на заседании диссертационного совета Д 212.165.05 при Нижегородском государственном техническом университете им. P.E. Алексеева по адресу: 603600, Нижний Новгород, ГСП-41, ул. К.Минина, 24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева.

Автореферат разослан« 3 » марта 2012г.

Ученый секретарь С" Суркова Анна Сергеевна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В современном мире технических устройств повышающиеся требования к надежности, помехоустойчивости, точности управления и другим параметрам приводят к необходимости строгого учета даже незначительных флуктуаций полезных сигналов на фоне искажений различной природы. Математический аппарат стохастических процессов, шумов в радиофизике, радиотехнике, системах автоматического управления и других областях науки и техники постоянно совершенствуется работами многих авторов, и этот процесс, видимо, далек от завершения.

Наличие на выходах различных технических устройств внутренних шумов, имеющих разнообразную природу (тепловой шум, дробовой шум, фликкерный шум и др.), а также воздействие на входы устройств различных внешних шумов (космические шумы, шумовые помехи от внешних источников и т.д.) в подавляющем числе практических случаев, строго говоря, дает нам возможность рассуждать о вероятностной составляющей любого обрабатываемого техническим устройством (в том числе линейными непрерывными динамическими системами (ЛНДС)) сигнала.

Среди многообразия методов обработки сигналов следует особо выделить нелинейные преобразования с последующей фильтрацией полезного сигнала, как наиболее перспективные и эффективные. Введение нелинейности наряду с очевидными преимуществами порождает также ряд трудностей, связанных, в первую очередь, с преобразованиями спектров сигналов и их последующей линейной фильтрацией. Особенно остро эта проблема касается случайных процессов (СП), т.к. нелинейные преобразования изменяют их тип распределения.

Наиболее просто плотность распределения вероятностей (ПРВ) СП на выходе линейной динамической системы можно найти, если на входе действует гауссовский СП. Однако, если входной СП имеет распределение, отличное от нормального, вычисление вероятностных характеристик выходного СП представляется сложной задачей.

Решению данной задачи посвящены работы P.JI. Стратановича, П.И. Кузневова, В.И. Тихонова, А.Н. Малахова, Ш.М. Чабдарова, Д. Мидцлтона, В.Б. Довенпорта, В.Л. Рута, Б.Р. Левина, Ю.С. Шинакова, А.П. Трофимова, H.A. Лифшица, В.Н. Пугачева и многих других широко известных авторов.

При нахождении статистических характеристик выходного СП при входном негауссовком СП широко применяется процесс нормализации закона распределения при его прохождении через линейное звено. Он заключается в том, что процесс на выходе приближается к нормальному закону, в то время как процесс на входе отличается от нормального. Множество исследований, явно или не явно опираясь на центральную предельную теорему (ЦПТ), декларируют, что СП на выходе системы является гауссовским независимо от статистики шума на входе. В этом случае, входной шум также принято аппроксимировать как белый гауссовский шум и использовать хорошо разработанные методы работы с гауссовскими СП.

Основные проблемы возникают в случаях, когда воспользоваться ЦПТ не представляется возможным или ее использование влечет за собой существенные погрешности, которые порой сопоставимы с полученным результатом. Наличие корреляционных связей между СП на входе, превалирование отсчетов одного СП над другими - все это фактически запрещает использование ЦПТ и порождает проблему нахождения многомерной ПРВ СП на выходе линейной динамической системы при входном негауссовском СП.

В ряде работ подчеркивается тот факт, что рассмотрение случайной величины (СВ) исследуемого параметра как априори подчиняющегося нормальному закону есть «само по себе, серьезное допущение». Так, качество приема и обработки сигналов при тривиальной аппроксимации входного СП гауссовским распределением в ряде случаев становится неприемлемым. Например, если квадратурные составляющие сигнала имеют нормальное распределение, то амплитуда этого сигнала - распределение Релея.

В настоящее время известен ряд статистических методов, направленных на разрешение данной проблемы, большинство из которых не позволяют найти ПРВ размерности и > 2 на выходе линейных систем.

В последнее годы был разработан прямой статистический анализ, основой которого является описание параметров исследуемых систем в вероятностном смысле. Показано, что для широкого класса линейных динамических систем, математические модели которых представимы интегральными уравнениями, можно получить многомерную произвольной размерности п плотность распределения вероятностей выходного случайного процесса. В частности, для линейных динамических систем, описываемых интегральным уравнением Вольтерра 2 рода (в первую очередь для систем автоматического управления) предложены два основных способа решения: метод резольвентного ядра и принцип сжатых отображений.

Принцип сжатых отображений, позволяющий найти решение уравнения Вольтерра 2 рода методом последовательных приближений, хорошо представлен в литературе. Доказано существование и единственность решения уравнения, приведены условия сходимости ряда приближений и т.д. Однако теоретические основы метода последовательных приближений в рамках прямого статистического анализа все еще недостаточно разработаны, их совершенствование - есть предмет исследования данной диссертационной работы.

Целью диссертационной работы является развитие математического аппарата метода последовательных приближений при прямом статистическом анализе линейных непрерывных динамических систем.

Указанная цель достигается решением следующих задач: 1) разработать математическую модель приближения произвольного порядка т многомерной произвольной размерности п плотности распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной непрерывной динамической системы с детерминированными параметрами;

2) разработать математическую модель приближения произвольного порядка т многомерной произвольной размерности п плотности распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной непрерывной динамической системы со случайными параметрами;

3) проанализировать зависимость полученных математических моделей от структурных изменений линейной непрерывной динамической системы;

4) разработать программные продукты, реализующие найденные математические модели;

5) экспериментально оценить статистические характеристики выходных случайных процессов линейных непрерывных динамических систем с помощью разработанных математических моделей.

Методы исследования. При решении поставленных задач применялись методы теории вероятностей, вычислительной математики, теории функционального анализа, теории дифференциальных и интегральных уравнений, теории автоматического управления, имитационного компьютерного моделирования.

Научная новизна состоит в следующем:

1) Доказана истинность найденного аналитического выражения для приближения произвольного порядка т многомерной произвольной размерности и плотности распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной непрерывной динамической системы при произвольном (в том числе негауссовском) входном воздействии.

2) Получены аналитические выражения для приближений произвольного порядка т решения интегрального уравнения Вольтерра 2 рода линейной непрерывной динамической системы с детерминированными и случайными параметрами.

3) Выполнен анализ полученных решений при нулевых и частично-нулевых параметрах линейной непрерывной динамической системы.

4) С помощью разработанных программных продуктов получены методом последовательных приближений при прямом статистическом анализе характеристики случайных процессов на выходе линейных непрерывных динамических систем при негауссовских случайных воздействиях.

Практическая значимость и внедрение. Предложенные в диссертационной работе математические модели и разработанные программные продукты позволяют выполнить прямой статистический анализ методом последовательных приближений линейных непрерывных систем автоматического управления, измерительных приборов и прочих линейных динамических систем произвольного порядка с детерминированными и случайными параметрами при произвольных (в том числе негауссовских) случайных процессах с известными характеристиками на входе с получением всех необходимых характеристик выходного случайного процесса.

Доказанная общая закономерность построения приближения произвольного порядка т решения интегрального уравнения Вольтерра 2 рода и выполненный анализ учета структурных изменений ЛИДС могут быть использованы при решении аналогичных задач применительно к нелинейным

непрерывным системам автоматического управления, а также к линейным и нелинейным цифровым системам автоматического управления.

Полученные результаты использованы в фирме ООО «Телека» при расчете производительности межпроцессорного взаимодействия.

Часть результатов диссертационной работы использованы в учебном процессе на кафедре «Теория цепей и телекоммуникации» Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева при проведении занятий для студентов по направлению 210400 Телекоммуникации.

Отдельные результаты исследований вошли в состав отчетов по НИР "Повышение качественных характеристик динамических систем" (№ гос. регистрации 01.2.007 03945) в 2007,2009 гг.

Результаты внедрения подтверждены соответствующими документами.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научно-технических международных конференциях: Международная научно-техническая конференция "Обработка сигналов в системах наземной радиосвязи и оповещения" (г.Нижний Новгород, 2007); VIII Международная научно-техническая конференция «Физика и технические приложения волновых процессов» (г.Санкт-Петербург, 2009); Международная научно-техническая конференция "НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ - 2010" (г.Мурманск, 2010).

Основные положения, выносимые на защиту заключаются в следующем:

1) Формулировка и доказательство утверждения о построении приближения произвольного порядка т решения интегрального уравнения Вольтерра 2 рода является основой синтеза общей математической модели искомой плотности распределения вероятностей произвольной размерности п выходного случайного процесса линейной непрерывной динамической системы при произвольных (в том числе негауссовских) входных случайных воздействиях и разработки соответствующего программного обеспечения.

2) Выполненный анализ решения уравнения Вольтера 2-го рода для детерминированных, случайных, нулевых и частично-нулевых параметров показал, что прямой статистический анализ позволяет при произвольном случайном воздействии находить методом последовательных приближений любые статистические характеристики выходного случайного процесса для широкого класса линейных непрерывных динамических систем: систем с детерминированными или случайными параметрами, систем с задержкой и пр.

3) Аналитическое представление приближения произвольного порядка m искомой многомерной произвольного порядка п плотности распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной непрерывной динамической системы позволяет существенно проще, по сравнению с известными методами, адаптировать решение при изменении как характеристик входного случайного процесса (вид распределения, математическое ожидание, дисперсия, и пр.), так и параметров исследуемой

системы (изменение номиналов элементов системы, структурные изменения и Т.д.).

4) Разработанные программные продукты обеспечивают получение решений задач статистического анализа реализуемых линейных непрерывных динамических систем любого порядка при входных в общем случае негауссовских коррелированных случайных процессах.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 15 работах. Из них 4 статьи депонированы в ВИНИТИ РАН, 3 статьи опубликованы в изданиях рекомендованных ВАК для публикации научных результатов диссертации на соискание ученой степени доктора или кандидата наук, 2 главы в отчетах по НИР "Повышение качественных характеристик динамических систем", 4 тезиса докладов в трудах международных научно-технических конференций. В Федеральной Службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам получены 2 свидетельства об официальной регистрации разработанных программ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состроит из введения, трех глав, заключения и списка использованных литературных источников. Общий объем работы составляет 158 страниц, включая 9 рисунков. Список литературы состоит из 120 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен обзор статистических методов, существующих на сегодняшний день. Рассмотрены следующие методы:

- метод моментных функций;

- метод кумулянтных функций;

- метод полигауссовых представлений;

- метод дифференциальных уравнений;

- метод ортогональных разложений ядра интегрального уравнения;

- метод статистического моделирования (Монте-Карло);

Для каждого из этих методов приведены его особенности, методология использования, достоинства и недостатки. Показано, что практически для каждого метода характерен ряд недостатков, затрудняющих анализ:

- возможность получения в основном математического ожидания и дисперсии выходного СП;

- низкая точность;

- сложная адаптация при изменении параметров самой системы или СП на ее входе.

Последним рассмотрен метод прямого статистического анализа. Показано, что он свободен от недостатков, рассмотренных ранее методов и позволяет в общем случае решить проблему статистического анализа динамических систем произвольной сложности при произвольных (в том числе негауссовских) входных случайных процессах.

Первая глава посвящена нахождению на основе прямого статистического анализа решения уравнения Вольтерра 2 рода в общем виде методом последовательных приближений для линейных систем с детерминированными параметрами.

В разделе 1.1 приводится один из методов преобразования классического дифференциального уравнения связывающего вход и выход линейной непрерывной динамической системы к интегральному виду.

Показано, что уравнение вида

Щ(/),b[_\(?).....Ь0(')} состоят из матриц размерностей пхп и пхт

соответственно;

в результате ряда преобразований переходит в эквивалентное линейное интегральное уравнение Вольтерра 2 рода

где

х(/) = {х, (/), х2 (/),..., (/)}г - вектор выходных сигналов системы; £(0 = {т,Ш--ет(.*)}Т ~ вектор входных воздействий; наборы переменных параметров {а^. (/), (/),..., а0 (/)}

и

і

ак (0 • *(г) (/)+) Кг (/, г) • *(r) (r)dr =

'о

= b^r\t)Skl + \Lr{t,r)-^\r)dT+fr(t,tü)>

(2)

где

t0 - момент начала функционирования системы; t - текущий момент времени (t0<t <b), b = const;

/('>'о) = {/i(Mo)>/2(Mo)>"->./»(Mo)}r - свободный член, определяемый накопленным системой управления запасом энергии до момента t0; x(t) = {х,(t),x2(t),.:,xn(j)}r - вектор выходных сигналов системы; КО = (0. £2 (').-, Zm (t)f - вектор входных воздействий;

г) =

'Кп((,т) К12(1,т)-Кь(1,т) ] К21(1,т) К22(1,т)-К2„(1,т)

К„2(ит)-Кт{1,г)

и Щ,т) =

/«(г,г)

ядра интегральных операторов Вольтерра;

т=

МО МО-МО МО МО" "¿2 л (О

И /(0 =

/ц(0 кг о-^(0 /22« ■

Ч»«

- переменные

(0 Кг (0 • • • А„„ (/) ; ^/„1 (О /и2 (/) • • -С (0 у

матрицы; если специально не оговорено, то матрица к(() считается невырожденной и предполагается, что она равна единичной матрице I; АГ(г, г), ¿(/, г), к(1),1(1) и /(/,/ц) - известные непрерывные функции;

символом Т справа вверху у векторов обозначены операции транспонирования вектора или матрицы;

г— произвольно выбранное натуральное число из отрезка О,А .

Условием возможности подобного преобразования является физическая реализуемость системы. Для этого необходимо, чтобы выполнялось условие 1йк дифференциального уравнения (1), т.е. значение выходного сигнала в момент времени * должно определяться только значениями входного воздействия в этот и предшествующие моменты и не должно зависеть от последующих изменений сигнала 4(0 •

Раздел 1.2 посвящен решению интегрального уравнения (2) при детерминированных параметрах с помощью принципа сжатых отображений.

Принцип сжатых отображений позволяет найти решение х(/) уравнения (2) методом последовательных приближений, которые строятся по схеме

*п*Ы = КО-т + ¡¿(1,г)£(г)</г+/(/,/0) +}*(>, г)*я(г,/0)Л- , (3)

'о

где в качестве х0(/,/0) можно взять любую функцию /,(М0) из пространства С[Г,Г0] непрерывных на интервале |>0,/] функций с заданной метрикой. Выражение для первого приближения х^/,^):

*1 Ш=/(0 • £(>)+¡Щ, +/(','о) +} КО,т)/,(т,10)4т, (4)

'о <„

При решении, интегралы в (4) аппроксимированы верхними интегральными суммами:

+Ш МО+ЛШ+ЕЛи-.Хи • (5)

где

й = £(*■/); .¿I, =А(М-()-Аг(-; /,„ =/,1(г1,/0); ,АГ1( =/:,(/, Ат, ; - моменты времени из интервала (/0,/); = г,;

/„=?.

Введены многомерные ПРВ детерминированных функций /(/), Ц/,/0)> К(М0)> /('»'о) и /«('»'о) • Д™ удобства введен дополнительный индекс при функциях, обозначающий номер вычисляемого приближения. Выражения для ПРВ соответствующих функций имеют вид

9«Си.,/!„;'!,..-Л) = П5[1Ь -/Дг,)] = -/„),

1=1 1=1

Чп (¿и,..., ¿1« ;'.,-,/„) = П ¿[¿„ - ьг (/, г,)] = я^, - ¿„), /=1 /=1

/=1 1=1

= П3[/и _/г(Г<)]=я* (/„ -/„), 1=1 /=1

и и

1=1 /=1

где индекс г указывает на регулярность (детерминированность) величин.

Входной СП в выражении (5) для каждого приближения представлен дважды. Для удобства, входной СП в выражении (5), являющийся аргументом интеграла, обозначен как 4'(т) •

С учётом (6), совместная многомерная ПРВ величин, составляющих правую часть выражения (5) имеет вид

£ц>—>£1л>£и»—МпАи—•Ап>«£ц»—>»Аи> 1 /ее с , , , 7п , ¿-у г Г Г » , -®я«11>?12>—•4>1П>'1>'2.....1п)Х

1=1 1=1 ;=1 /=1

х Я5(/,1;.-/.„■) . (7)

1=1 ;=1

Далее, над членами выражения (7) произведен ряд функциональных

преобразований, соответствующий действиям в уравнении (5).

К

Приведем пример первого функционального преобразования -преобразования величин , 1п,...,<.Ь1п , входящих в (7).

Прямые функции: Обратные функции однозначны:

хп - АI > .¿11 = *п 141\>

х12 = 4\2 •«¿2' »¿12 = х12 14\2 >

-1

IV-

7и

*1л ~ ¿1л • »¿¡„ - *Гл ! & ■

Якобиан преобразования от величин ,„¿^ к д:,*,имеет вид

£) _ ^(«¿11»—"¿1л) _

С учетом преобразований, выражение (7) принимает вид

А1>-">Ап>-х11 »"Ч*1л >/и.....Ап>К1\,...,К1п,

>/*И>—,/.1„^1,—.'л.

(=1

/=1 ¡=1 /=1

»¿с/

(/к -/п)X Я<5(.*„■-,Кп)х П8(/„,. -/.„)X 1=1 1=1 /=1

л

Я,1„ 1=1

-1

(8)

В процессе выполнения функциональных преобразований производится интегрирование промежуточных результатов по тем «лишним» СВ, которые более не примут участия в преобразованиях. Например, интегрируя выражение (8) по переменным четвертого сомножителя в правой

части, получим

4и>—>%\п>к\>---Ап>хи.....ХЫ'Аъ—'Ап'

IV,

6л

V''

х/7£(/„-/Г()хЯ<5 ¡=1 /=1

= °>п (Й1. <?12 ,-Ап > . Н .-.'л) х

*1/ • ¿и

"6/

<=1 1=1

(9)

После выполнения всех функциональных преобразований и интегрирования по всем «лишним» переменным, получено выражение для искомой многомерной произвольной размерности и ПРВ первого приближения л:,(/,г0) СП х(/,/0) на выходе ЛИДС:

л л -1

хл^с/;,,-/.^ я;дг(

/=1 1=1

Ох

Я(,£г, +/„)

(10)

где

-^,7-2(^1,>-2) -Уп(*и)

1

1

]__«¿а__А-2__А-з ^..м

*^г2+1г2 »-^г.у-1

х1; "I /у + И(/*п'*^п) (=1

Уравнение Вольтерра 2 рода дня второго приближения имеет следующий

вид:

< г

*2('.'о) = 'О • £(0 + +/(М0) +|АГ(/,г)дг1(г,/0)</г . (11)

'» 'о

Алгоритм отыскания ПРВ второго приближения в целом совпадает с вышеописанной процедурой, однако отметим, что одним из параметров выражения (11) является х{(т,10), т.е. значения первого приближения. Имея в виду, второе приближение, можно задать на этапе записи выражения (7) совместную многомерную ПРВ необходимой размерности и произвести преобразования для нахождения первого приближения.

В итоге, вместе выражения (10), мы получим совместную ПРВ величин, входящих в уравнение (11), которая является основой для получения ПРВ второго приближения СП х(/,*о) :

л

= ^Л (/11 (*и )>Аг (*11»■*12 )>•», /и, (*11 >->хш > к-■••»'«)х П 3 Ц21 - /„.) X

/=1

л л л

хП8(£ъ -/и(*н.».,*и))х Я5(£, ~Мхи,...,хи))хЯ<5(,12/-,1„)х |=1 /=1 <=1

7л

х П 8 (/2) - /„,) X П 8 (,К21 -.К„) X 1=1 /=1

пиг, Н,) /=1

Выявление строгой зависимости между выражениями для многомерных ПРВ и их коэффициентами для каждого последующего приближения стало возможным только после вычисления первых 8 приближений.

Выражение для многомерной произвольной размерности и и произвольного приближения т ПРВ СП на выходе ЛИДС с детерминированными параметрами, имеет вид:

= 0}п(/т\(хт1)'/т2(хт\'хт2^...../тп(хт1'—'ХтпУ'Ч'12—>{п)х

(=1

п 111-1

/=1

7=о

-]

(13)

где

/пу(хт1>хт2>—>х111/) = ¥пу(.хт\>—'Хпу ) ~¥mJ-\ (хт1'—>хт,у-1) ~ Упц-г (хт\ >—Л'у-з) • -¥т\(.хт1)

1

» Ар/ А/

1__»Ау-1

,ЬГ ]_1 +/г>у_1 1 «Ау-2__4,7-1

1

I.

I

п

Ут] (хт1 хпу )

хпу

ш-1

\ \

/=0

/=1

^ «=2

1

ш-1

/=0

Хт>у(-Хт\ >•" г*т/ )

Хт] +

/=1

+ '• хт,< ,7-1 (хт1 • • Ли,_/-1))

V '=2

'РтЪУ

~ 1,7-1 (^1 >• • ■ Ли,;-!))

V. /=й+1

й-1 ;=1

ш-1

Х^/

1=0

у т-И

К у!

I кг;

МпЛ/ ~ ^ ; •

гх;

ы

ш-1

IX/

;=0

Доказательство справедливости выражения (13) произведено методом математической индукции и с точностью до индексов приближений при используемых величинах совпадает с нахождением второго приближения или приближения более высокого порядка.

Во второй главе получены решения для уравнения Вольтерра 2 рода со случайными параметрами, а также произведен анализ изменения решения при структурных изменениях ЛНДС.

В разделе 2.1 получено решение для уравнения Вольтерра 2 рода со случайными параметрами.

Описание ЛНДС уравнением Вольтерра 2 рода со случайными параметрами не имеет видимых отличий от случая детерминированных параметров. Члены уравнения Вольтерра, переменные матрицы (/(*) и

/С.'о)) и интегральные ядра ( Щ,т) и К(1,т)) уравнения (3) приобретают вероятностный смысл - каждый из элементов может являться СП. В наиболее общем случае случайными могут оказаться все элементы уравнения.

Для решения уравнения Вольтерра 2 рода методом последовательных приближений с тем или иным случайным параметром использовано решение уравнения Вольтерра 2 рода с детерминированными параметрами. При этом в выражении (3) заменены значения из ряда детерминированного параметра на соответствующие СВ. На конечном этапе получившееся выражение проинтегрировано по области определения случайного параметра.

Решение уравнения Вольтерра 2 рода для наиболее общего случая для ЛНДС со всеми случайными параметрами:

/т1 (хт1 )> /т2 (хт\' хт2 )>—.

>/тп(хт1>—>хтп)>^>—>1п.

= Ш Ш Ш Ш ч

Кц -Л. /„о.-,/,, ......К

1-1

П(.Ьтк+1тк) к=1

' п (т-\ Л

Я Е(К**У

*=\|=о

МпЛ-^тп^^тХ-Л^тп^тХ-^тп^тХ-^тп'

где функции /т„(хт1,...,хтп), у/т„(хт1,...,хт„), 'хтН„(хт1,...,хт„) и цтНп совпадают с аналогичными из (13).

В разделах 2.2-2.3 получены решения уравнения Вольтерра 2 рода с нулевыми и частично-нулевыми параметрами.

Детерминированные параметры интегрального уравнения при решении описаны с вероятностной точки зрения как произведения дельта-функций с аргументами, равными значениям параметра в рассматриваемое время.

При условии, что тот или иной параметр принимает нулевые значения, его многомерная ПРВ имеет соответствующий вид (например, для нулевого Ц1,т)У.

П 8[Ьк -Хг(*,-г*)]= Я 5(4-0).

к=1 к=1

(15)

В этом виде ПРВ используется при составлении многомерной ПРВ выходного процесса и в соответствующих функциональных преобразованиях. Результат отличается от выражения (13) нулевыми значениями ряда Ьгу,...,Ьгп:

= ^Л/м1Схт1)>./т2(д:т1>*ст2)>-" >/тл(*т1>—>Хтп)\Ц ,...,/„] X

л -1 л (т-1 V -]

РМ X Я кад

4=1 ¿=1 41=0 у

(16)

где

/тп (*л>1 > '—>хтп ) ~ Vтп> '■■•>хтп)'

а выражения для Утп(хт1>->х„т) > **«А»(*д1 >•..,*„,„) И Цткп не изменятся по отношению к (13), т.к. не зависят от ЬгХ,...,Ьт .

В процессе анализа выявлены два исключительных случая: 1) Нулевое ядро .

В этом случае, последующее приближение не зависит от предыдущего, поэтому первое приближение является уже окончательным. Решение уравнения Вольтерра 2 рода при нулевом -£(/,/0) :

(хи,..., хи ;Г,,...,ГИ)-

- ^nt/l (ЖИ )»fl(хи' )»•">/л (xi 1 >— >х1л )'»Н»—' 'л] *

pLLrk Hi)

где

совокупность fj(Xn,Xn,—,X\n) не изменится по отношению к (13),

2) Одновременно нулевые интегральное ядро L(t,r) и матрица /(/). В данном случае, итоговое выражение для ПРВ выходного процесса теряет вероятностную составляющую входного СП, а в случае детерминированных параметров, также имеет детерминированный вид:

л

W„(Xml>->xmnVl,.~,t„) = П 8 {Хтк-gmk) , (18)

к= 1

где

j

Smj -frj+H KrjSm-hi! So j = f*rO i=\

Решение уравнения Вольтерра 2 рода для частично-нулевых параметров подчинено той же логике: в моменты времени, когда те или иные параметры принимают нулевое значение, следует пользоваться выражениями, полученными в рамках исследования системы с нулевыми параметрами (по примеру (16)-(18)); в остальные моменты времени - выражением для полностью определенных параметров.

Третья глава посвящена экспериментальной части работы. Раздел 3.1 посвящен вопросам разработки программных продуктов для прямого статистического анализа с учетом поставленных целей.

Программа «Автоматизированная система анализа плотности распределения вероятностей» реализует математическую модель прямого статистического анализа ЛИДС с детерминированными параметрами. Программа выполнена на языке Visual С++ с использованием библиотеки MFC.

Входными параметрами для расчета являются:

• тип СП (поддерживаются 4 встроенных типа многомерных СП: равномерное, Гаусса, Релея и Райса); в данной версии программы СП на входе может быть только некоррелированным;

• математическое ожидание и дисперсия для каждого г,;

• область определения аргумента ПРВ х;

• шаг интегрирования по этой области определения Ах;

• метод расчета (поддержана возможность расчета методом резольвентного ядра и последовательных приближений);

• номер рассчитываемого приближения;

• общее время эксперимента t в секундах;

• начальный момент времени принят равным нулю: /0 = 0;

• порядок вычисляемой многомерной ПРВ ¡У„(х1.....х„

• индекс второй СВ (для расчета двумерных ПРВ),-

• параметры исследуемой системы: матрицы-строки для интегральных ядер и переменных матриц Вольтерра.

Выходные данные:

Целью прямого статистического анализа является нахождение многомерной ПРВ на выходе исследуемой системы. Запись многомерной ПРВ затруднена и требует значительного объема памяти, поэтому было принято решение ограничиться выводом одномерной или двумерной ПРВ выходного СП.

С развитием вычислительных мощностей, эта проблема будет, очевидно, снята и выходные данные без особенных затрат можно будет представить в виде полноценной ПРВ произвольного порядка п.

Результат полной архитектурной переработки программного кода с поддержкой всего спектра разработанного математического аппарата был опубликован в программе «Вычисление уравнения Вольтера 2 рода методом последовательных приближений». Оба продукта имеют схожий пользовательский интерфейс, но разную программную реализацию. Основные усовершенствования новой программы:

• более быстрые методы интегрирования и работы с матрицами;

• добавлена поддержка случайных параметров:

каждый параметр исследуемой системы может быть задан случайным процессом; учет вероятностной характеристики каждого параметра задается в текстовом файле (тип СП; математические ожидания и дисперсии этого СП в каждый момент времени; область определения аргумента; шаг интегрирования по аргументу; корреляционная матрица;)

• введено понятие корреляционной матрицы СП: корреляционная матрица может быть задана для входного СП (в

отдельном текстовом файле) и для каждого случайного параметра (в текстовых файлах настроек каждого из параметров);

• добавлена область расчета аргумента СП:

• добавлена функция сохранения результатов после расчета каждой

точки.

В разделе 3.2 приведена последовательность шагов при статистическом анализе системы автоматического управления - следящей системы первого рода, заданной дифференциальным выражением вида

4*(0 = + £(0. (19)

Л

где

£(?) - СП на входе системы; х(0 - СП на выходе системы; й / Л - оператор дифференцирования; К(1) - коэффициент обратной связи.

После приведения уравнения (19) к интеграпьному виду, получили:

WMo) = )&r)dT+)K ■ х„(T,t0)dr .

Параметры системы:

- K(t, г) = К є [-0.5,-0.3,-0,1,0.1,0.3,0.5];

- L(t,r) = 1;

- переменные матрицы f0(t,t(}) и /(/) заданы нулевыми векторами.

Параметры входного СП и расчетов:

- порядок приближения: 1;2;...;7;

- значения параметра К: 0.1; 0.2; 0.3; 0.4; 0.5;

- тип входного СП: Гаусс, Релей, Райе; -дисперсия: 0.32; 1.0; 1.44;

- математическое ожидание: 0.0; 1.0; 2.5 (Гаусс).

- область допустимых значений аргумента х: [0;5]

Экспериментально полученные математическое ожидание и дисперсия выходного СП хорошо согласуется с характеристиками, полученными оригинальным решением исследуемой задачи методом моментных функций.

»-о«*=с.зг

|-О«*=1.0 »-D0v=l,i4

О 0,4 0,8 1.2 1.6 2 2,4 2.8

Рис. 1. Семейство одномерных ПРВ

на выходе системы при входном распределении Райса с различными дисперсиями (0.32; 1.0; 1.44)

Рис. 2. Двумерная ПРВ на выходе системы при входном релеевском СП

В разделе 3.3 получена автокорреляционная характеристика для ЛИДС второго порядка, описываемой дифференциальным уравнением вида

У(0" +№о + y22)y(ty+(^+y2])Y(l) = X(t),

(21)

где

Х(1) -входной СП; У (О - выходной СП; К22(?), У2\(0 - параметрические белые шумы с заданными интенсивностями; - параметры системы.

Автокорреляционная функция найдена как второй центральный момент, а математическое ожидание как первый начальный момент выходного СП. Таким образом, задача нахождения автокорреляционной функции СП сведена к вычислению всех одномерных и двумерных ПРВ этого процесса.

Параметры интегрального уравнения системы принимают вид А"(/,г) = ... = 2+ (/-?)-0.01; /о(^о) = - = 0:

¿0, г) = ... = ?-г; 1(0=... = 0.

Подставляя получившиеся значения в уравнение (3), получим:

/ I

хп+1М = | (>~гШг)(1т +|(0,2 + (1-т)-ЪЩх„(т,10)с1т . (22)

'о 'о

В качестве модели входного СП для исследуемой системы выбран некоррелированный Релеевский СП (единичная корреляционная матрица) с

постоянной дисперсией а\ = 0.32 .

Момент начала наблюдений выбран нулевым: = 0 сек. Интервал наблюдения (/0,0 = 1 сек поделен на 5 частей; отрезок допустимых значений аргумента х: [0;30] с шагом интегрирования Ах = 0.1.

Опытным путем было установлено, что при заданном времени ожидания расчетов не более 1 часа наточку, точность порядка 0.1% (каждое следующее приближение уточняет расчетную величину не более чем в 0.001 раз) достигается при приближении т =5 .

Значения переменных параметров уравнения Вольтерра рассчитывались при ^ = 1 сек; Аг = г, = 0,2 сек.

После определения и задания параметров

программно были рассчитаны все одномерные И7] ; ) и двумерные

ПРВ для 5-го приближения при /,у = 1,...,5 .

Подставив, получившиеся значения в соответствующие выражения, получили автокорреляционную характеристику СП (рис.5).

Рис.5. Автокорреляционная функция СП на выходе ЛНДС

В разделе 3.4 рассмотрена задача нахождения статистических характеристик для ЛИДС, заданной с помощью интегрального уравнения Вольтерра с коррелированными случайными параметрами при входном СП негауссовского типа.

Параметры исследуемой ЛИДС: |ехр(-0.1 • г,),/ > т2 [О,? < г2

• f(t,t0) = const = 0.2;

• Интегральные ядра L(t,r) и K(t,v) описаны нестационарными СП релеевского типа с ненулевыми корреляционными зависимостями и дисперсиями, соответственно, ajj. и сг2Кх . Корреляционные связи заданы

соответствующими матрицами размером 5x5. Отрезок допустимых значений аргумента и шаг интегрирования переменных параметров совпадают: xL,xK :[0;15]; AxL =Ахк =0.1.

Параметры входного СП:

• тип распределения: Раиса;

• задан вектор дисперсии для моментов времени t0,tl,..,t5 ;

• амплитуда смодулированной несущей а = 0.3;

• отрезок допустимых значений аргумента: х: [0;20];

• шаг интегрирования по аргументу: Ах = 0.1;

• неединичная корреляционная матрица.

Графики полученных одномерных и двумерных ПРВ выходного СП представлены на рис.4 и рис.5.

5 :/ 4

ъ

О

0,3

"" ¡¿вчёЙШ

тшшж

О 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8

Рис.4. Семейство одномерных ПРВ СП на выходе цепи в моменты времени , tA, t5

Рис.5. Двумерная ПРВ

W2 (х55, х52 \ts,t2) СП на выходе цепи

в моменты времени t5,t2

В заключении изложены основные научные и практические результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1) Найдено решение уравнения Вольтерра 2 рода с детерминированными параметрами методом последовательных приближений при прямом статистическом анализе и доказана справедливость его построения. Полученное решение представляет собой приближение произвольного порядка т плотности распределения вероятностей произвольной размерности п случайного процесса на выходе линейной непрерывной динамической системы. Тип многомерного распределения входного случайного процесса может быть произвольным, в том числе коррелированным негауссовским.

2) Получено решение уравнения Вольтерра 2 рода со случайными параметрами. Расчет аргументов многомерной плотности распределения вероятностей производится по тем же соотношениям, что и в случае детерминированных параметров. Показаны характерные особенности решения: интегрирование получившегося решения по области определения случайных параметров.

3) Выполнен анализ решения уравнения Вольтерра 2 рода для линейных непрерывных динамических систем с нулевыми или частично-нулевыми параметрами. Найдены и рассмотрены все исключительные случаи, ведущие к изменению полученного решения.

4) Разработаны программные продукты реализующие расширенный математический аппарат прямого статического анализа методом последовательных приближений. Для работы программ должны быть заданы параметры входного случайного процесса и исследуемой системы (матрицы-векторы соответствующих интегральных ядер и переменных матриц уравнения Вольтерра 2 рода).

5) Решены задачи статистического анализа линейных непрерывных динамических систем различного порядка. Рассмотрены системы автоматического управления с детерминированными и случайными параметрами при входных негауссовских случайных процессах. Найдены выходные статистические характеристики для наиболее сложной системы -системы со случайными параметрами при входном многомерном коррелированном негауссовском случайном процессе. Рассмотрение подобных задач в литературе отсутствуют.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1. Смирнов, В.В. Прямой статистический анализ линейной системы управления первого порядка методом последовательных приближений [Текст] / Есипенко В.И., Смирнов В.В. // Информационно-измерительные и управляющие системы. - 2010. - №2. - С. 46-49

2. Смирнов, В.В. Метод последовательных приближений при прямом статистическом анализе линейных непрерывных систем управления с переменными параметрами [Текст] / Есипенко В.И., Смирнов В.В. II Т-СОММ: ТЕЛЕКОММУНИКАЦИИ И ТРАНСПОРТ. - 2011. - №4. -С. 41-42

3. Смирнов, В.В. Метод последовательных приближений при отыскании автокорреляционной функции выходного случайного процесса линейной непрерывной системы автоматического управления при негауссовском входном (прямой статистический анализ) [Текст] / Есипенко В.И., Смирнов В.В. IIТ-СОММ: ТЕЛЕКОММУНИКАЦИИ И ТРАНСПОРТ. -2011.-№11. -С. 24-28

Свидетельства о регистрации программ:

4. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2009615926. Автоматизированная система анализа плотности распределения вероятностей [Текст] / Смирнов В.В., Шушин С.Е. // Официальный бюллетень федеральной службы по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам. - М., 2010. -№1

5. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2010616097. Вычисление уравнения Вольтера 2 рода методом последовательных приближений [Текст] / Смирнов В.В. // Официальный бюллетень федеральной службы по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам. - М., 2010. - №9

Публикации в прочих изданиях:

6. Смирнов, В.В. Последовательные приближения в прямом статистическом анализе непрерывных систем управления при входных негауссовских воздействиях [Текст] / Есипенко В.И., Смирнов В.В., Шушин С.Е. // Материалы Международной научно-технической конференции "Обработка сигналов в системах наземной радиосвязи и оповещения". - Н.Новгород: Москва, 2007. - с.106-109

7. Смирнов, В.В. Резольвенты и итерация ядер в прямом статистическом анализе непрерывных систем управления при входных негауссовских воздействиях [Текст] / Есипенко В.И., Смирнов В.В., Шушин С.Е. // Материалы Международной научно-технической конференции "Обработка сигналов в системах наземной радиосвязи и оповещения". -Н.Новгород: Москва, 2007. - с.109-111

8. Научно-исследовательская работа на тему "Повышение качественных характеристик динамических систем". Отчет [Текст] / г.Н.Новгород,

НГТУ им Р.Е.Алексеева 2007 год, рег.№ 01.2.007 03945, инв.№ 02200 801033, с.42-140

9. Научно-исследовательская работа на тему "Повышение качественных характеристик динамических систем". Отчет [Текст] / г.Н.Новгород, НГТУ им P.E.Алексеева 2009 год, рег.№ 01.2.007 03945, инв.№ 02.2.00 901667, с.33-57

10. Смирнов, В.В. Прямой статистический анализ линейной следящей системы с детерминированными параметрами [Текст] / Есипенко В.И., Смирнов B.B. II Материалы VIII Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов», г.Санкт-Петербург, 15-18 сентября 2009г. с.287-288

11. Смирнов, В.В. Метод последовательных приближений при прямом статистическом анализе линейных непрерывных систем уравнения [Текст] / Есипенко В.И., Смирнов В.В., // М.: Дел. в ВИНИТИ №790-В 2009 от 10.12.2009-64 с.

12. Смирнов, В.В. Решение уравнения Вольтера 2 рода со случайными параметрами методом последовательных приближений [Текст] // Есипенко В.И., Смирнов B.B. II М.: Деп. в ВИНИТИ Ж75-В 2010 от 16.02.2010-38 с.

13. Смирнов, В.В. Решение уравнения Вольтера 2 рода с нулевыми параметрами методом последовательных приближений [Текст] // М.: Деп. в ВИНИТИ №74-В 2010 от 16.02.2010 - 46 с.

14. Смирнов, В.В. Оптимизация метода последовательных приближений при прямом статистическом анализе [Текст] И Материалы международной научно-технической конференции "НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ - 2010", г.Мурманск, 5-9 апреля 2010г. с.1317-1321

15. Смирнов, В.В. Решение уравнения Вольтера 2 рода с частично нулевыми параметрами методом последовательных приближений [Текст] II М.: Деп. в ВИНИТИ №423-В 2010 от 06.07.2010 - 73 с.

д

Подписано в печать 29.02.2012. Формат 60 х 84 '/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 122.

Нижегородский государственный технический университет им. Р. Е. Алексеева. Типография НГТУ. 603950, Нижний Новгород, ул. Минина, 24.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 Прямой статистический анализ линейных непрерывных динамических систем.

1.1 Преобразование дифференциального уравнения в интегральный вид

1.2 Решение интегрального уравнения Вольтерра 2 рода методом последовательных приближений.

1.2.1 Первое приближение.

1.2.2 Второе приближение.

1.2.3 Третье приближение.

1.2.4 М-ное приближение.

1.3 Выводы.

ГЛАВА 2 Решение уравнения Вольтерра 2 рода с различными параметрами.

2.1 Уравнение со случайными параметрами.

2.1.1 Случайный параметр L(t, т).

2.1.2 Уравнение с несколькими случайными параметрами.

2.2 Уравнение с нулевыми параметрами.

2.2.1 Разновременно нулевые параметры L(t, г), l{t),j{t).

2.2.2 Нулевая матрица K(t, т).

2.2.3 Одновременно нулевые L(t, г) и l(t).

2.2.3.1 Первое приближение.

2.2.3.2 Второе приближение.

2.2.3.3 М-ное приближение.

2.3 Уравнения с частично-нулевыми параметрами.

2.3.1 Частично-нулевые параметры L(t, г), l(t) и flf).

2.3.2 Частично-нулевая матрица K(t, г).

2.3.3 Частично-нулевые матрицы L(t, г) и l(t).

2.4 Выводы.

ГЛАВА 3 Экспериментальная часть.

3.1 Выбор средств разработки.

3.1.1 Программа «Автоматизированная система анализа плотности распределения вероятностей».

3.1.2 Программа «Вычисление уравнения Вольтера 2 рода методом последовательных приближений».

3.2 Система первого порядка с постоянными параметрами.

3.3 Система второго порядка с переменными параметрами.

3.4 Система со случайными параметрами.

3.5 Выводы.

В современном мире технических устройств повышающиеся требования к надежности, помехоустойчивости, точности управления и другим параметрам устройств приводят к необходимости строгого учета даже незначительных флуктуаций полезных сигналов на фоне искажений различной природы. Математический аппарат стохастических процессов шумов в радиофизике, радиотехнике, в линейных динамических системах и других областях науки и техники постоянно совершенствуется работами многих авторов, и этот процесс, видимо, далек от завершения.

Наличие на выходах различных технических устройств внутренних шумов, имеющих разнообразную природу (тепловой шум, дробовой шум, фликкерный шум и др.), а также воздействие на входы устройств различных внешних шумов (космические шумы, шумовые помехи от внешних источников и т.д.) в подавляющем числе практических случаев, строго говоря, дает нам возможность рассуждать о вероятностной составляющей любого обрабатываемого техническим устройством (в том числе линейными непрерывными динамическими системами (ЛНДС)), сигнала [83, 91].

Среди многообразия методов обработки сигналов следует особо выделить нелинейные преобразования с последующей фильтрацией полезного сигнала, как наиболее перспективные и эффективные. Даже использование ограничителя амплитуды ведет к возникновению продуктов нелинейной обработки, не говоря уже о широко применяемом переносе спектра сигнала при его передаче и приеме - все эти манипуляции выполняются с использованием нелинейных элементов. Нелинейная обработка сигналов является основой необозримого числа работ и монографий, посвященных радиотехнике и радиофизике (например, [10, 60, 79, 89, 90]).

Введение нелинейности наряду с очевидными преимуществами порождает также ряд трудностей, связанных, в первую очередь, с преобразованиями спектров сигналов и их последующей линейной фильтрацией. Особенно остро эта проблема касается случайных процессов (СП), т.к. нелинейные преобразования изменяют их тип распределения.

Выделяют два подхода к исследованию ЛИДС при случайных возмущениях [72]:

1) вероятностный - на основе плотностей распределения вероятностей;

2) статистический - с помощью усредненных характеристик: математического ожидания, дисперсии, корреляционной функции, спектральной плотности.

Применение вероятностного подхода к исследованию линейных непрерывных динамических систем при случайных возмущениях считается, хотя и наиболее полновесным, но при существующем математическом аппарате является довольно затруднительным.

Наиболее просто плотность распределения вероятностей (ПРВ) СП на выходе линейной динамической системы можно найти, если на входе действует гауссовский СП. Однако, если входной СП имеет распределение, отличное от нормального, вычисление вероятностных характеристик выходного СП представляется сложной задачей.

Использование нелинейных преобразований (например, нелинейного подавителя помех) для подавления помехи негауссовского типа рассмотрено в ряде работ [19, 59, 71]. Стоит подчеркнуть, что эффективность применения метода сильно варьируется для разных распределений [19,71]. Даже при введении ряда строгих ограничений на входной СП [59,71] (например, некоррелированность), общего решения рассматриваемой проблемы так и не было найдено.

Широко применяется процесс нормализации закона распределения случайного процесса при его прохождении через линейное звено. Он заключается в том, что процесс на выходе приближается к нормальному закону, в то время как процесс на входе отличается от нормального. Множество исследований, явно или не явно опираясь на центральную предельную теорему (ЦПТ), декларируют, что СП на выходе системы является гауссовским независимо от статистики шума на входе. В этом случае, входной шум также принято аппроксимировать как ГШ или БГШ и использовать хорошо разработанные методы работы с гауссовскими СП [1, 39, 48, 72, 74].

Основные проблемы возникают в случаях, когда воспользоваться ЦПТ не представляется возможным или ее использование влечет за собой существенные погрешности, которые порой сопоставимы с полученным результатом. Наличие корреляционных связей между СП на входе, превалирование отсчетов одного СП над другими - все это фактически запрещает использование ЦПТ и порождает проблему нахождения многомерной ПРВ СП на выходе линейной динамической системы при входном негауссовском СП.

В ряде работ (например, [7] или [81]) подчеркивается тот факт, что рассмотрение случайной величины (СВ) исследуемого параметра как априори подчиняющегося нормальному закону есть «само по себе, серьезное допущение». Так, качество приема и обработки сигналов при тривиальной аппроксимации входного СП гауссовским распределением в ряде случаев становится неприемлемым [51, 74]. Например, если квадратурные составляющие сигнала имеют нормальное распределение, то амплитуда этого сигнала - распределение Релея [100].

В учебных пособиях и обзорах случайное воздействие негауссовского типа на ЛНДС рассматривается очень скупо или не рассматривается вовсе. В типовой задаче предполагается, что на вход системы поступает аддитивная или мультипликативная смесь управляющего воздействия и шума, причем оба они считаются некоррелированными гауссовскими случайными процессами (см., например, [10, 57, 60]).

На сегодняшний день известны статистические методы, многие из которых не позволяют в общем случае разрешить данную проблему и получить на выходе линейной динамической системы многомерную ПРВ размерности п > 2 [27].

Метод моментных функций

Один из старейших статистических методов, метод моментных функций был описан в [56] и широко применяется до сих пор [17, 44, 96]. Алгоритм метода можно представить в следующем виде:

1) поставить в соответствие исходному многомерному СП с известной ПРВ произвольной размерности п на входе линейной динамической системы ряд моментных функций (моментов);

2) используя уравнения, связывающие соответствующие моменты на входе и выходе системы, и имеющиеся входные моментные функции, отыскать ряд моментных функций на выходе;

3) построить характеристическую функцию (ХФ) СП, на основе соответствующих выходных моментных функций;

4) применить к полученной ХФ обратное преобразование Фурье; получится многомерная, порядка совпадающего с порядком ХФ, ПРВ выходного СП.

Относительная простота обуславливает популярность этого метода, однако анализ (например, [53, 58, 63, 93, 94]) показывает ряд существенных его недостатков:

1) число моментных функций бесконечно и, строго говоря, нет критериев, позволяющих определить порядок, выше которого моментные функции можно не учитывать; применяя метод моментных функций, мы можем только исходить из предположения о нулевых значениях моментных функций выше заданного порядка, однако нет возможности даже графически изобразить соответствующую ПРВ;

2) моментные функции не обладают самостоятельным статистическим смыслом и не могут однозначно определять ПРВ, исходную для СП (или следующую из него) [61, 110];

3) преобразование совокупности моментных функций в ХФ происходит зачастую с существенным уменьшением размерности.

Метод кумулянтных функций

Метод кумулянтов (или кумулянтных функций) был предложен в [63], и в целом он очень схож с методом моментных функций. Отличием этих методов является выбор соответствующих функций для учета связи входных и выходных характеристик линейной динамической системы. Полный алгоритм этого метода таков:

1) найти из исходного многомерного СП с известной ПРВ размерности п на входе линейной динамической системы соответствующую ему ХФ той же размерности;

2) на основе ХФ, вычислить кумулянты входного СП;

3) отыскать кумулянтные функции выходного СП на основе кумулянтов входного СП, полученных выше;

4) преобразовать полученный набор функций в ХФ уже выходного СП;

5) применить к ХФ обратное преобразование Фурье для нахождения искомой многомерной ПРВ на выходе линейной динамической системы.

Несмотря на наличие однозначной связи между кумулянтами и моментными функциями, метод кумулянтов обладает рядом неоспоримых преимуществ [63]:

1) в отличие от моментных функций кумулянтами высших порядков можно пренебречь в широком спектре практически важных задач;

2) высшие порядки кумулянтов позволяют учесть любую степень негауссовости исследуемого СП;

3) совокупности кумулянтов и кумулянтных функций всегда соответствует «хорошая» вещественная функция, позволяющая аппроксимировать по ней ПРВ СП;

4) кумулянтные функции обладают самостоятельным статистическим смыслом и однозначно определяют вероятностное описание СП.

Несмотря на перечисленные преимущества, метод кумулянтов не исключает недостатки метода моментных функций:

1) зануление значений кумулянтных функций старших порядков может привести к существенным искажениям результатов [11, 64, 104];

2) затрудненность анализа эффективности применения кумулянтов [64]; результаты анализа зачастую можно проверить лишь статистическим моделированием, результаты которого, при ограниченной вычислительной мощности, далеко не всегда отражает реальную картину;

3) наличие коррелированности отсчетов существенно усложняет вычисления, вносит значительную погрешность даже при рассмотрении гауссовых СВ [3];

4) медленная сходимость получаемых оценок [12].

Метод полигауссовых представлений

Аппроксимация нормальным распределением является одним из широко применяемых на практике методов. Многие исследования опираются на гауссовский закон распределения помехи или аппроксимируют СП на входе линейной системы гауссовским [5, 38] или каким-либо другим [4] удобным для расчетов законом распределения с теми или иными приближениями и погрешностями.

В основе метода полигауссовых представлений лежит принцип представления негауссовского СП в виде совокупности гауссовских и и дальнейшего вычисления статистических характеристик выходного СП с использованием свойства инвариантности полигауссовых моделей к линейным преобразованиям.

Возможность построения полигауссовых представлений физически реализуемых случайных процессов была доказана в [21 - 23, 102, 103]. Физическая реализуемость обуславливает широкое применение метода в задачах радиотехники и радиофизики: синтез оптимальных приёмников сигналов, принимаемых на фоне негауссовских помех; процедура адаптации сигналов перед прохождением детекторов; прохождение негауссовских случайных процессов через линейные динамические системы [23, 50, 52, 78, 103].

К достоинствам метода полигауссовых представлений следует отнести реальную возможность получения многомерной произвольной размерности п ПРВ СП на выходе линейной динамической системы при негауссовском СП на ее входе. В отличие от описанных выше методов, существенного сужения размерности искомой выходной ПРВ не происходит.

К недостаткам метода можно отнести как все характерные изъяны методов, использующих аппроксимацию, так и ряд собственных недостатков:

1) плохая «расширяемость» при незначительном изменении условий обработки (коррелированность, нестационарность, изменение типа ПРВ шума и т.д.); каждое подобное изменение требует, по сути, решения новой задачи;

2) естественная погрешность аппроксимации;

3) исследование методом полигауссовых представлений сложных информационных систем, состоящих из большого числа как линейных, так и нелинейных звеньев, представляется трудоемкой задачей, ведь после прохождения каждого нелинейного элемента системы придется учитывать не только каждый элемент совокупности полигауссовых представлений, но и комбинационные составляющие их взаимодействия друг с другом; особенно остро недостаток проявляется в случае повышенной точности вычислений (большого числа учитываемых представлений) [78];

4) гауссовские функции совокупности полигауссовых представлений в общем случае неортогональны и линейно независимы, что накладывает ряд ограничений на нахождение и использование этих функций для каждого конкретного случая [23, 97].

В контексте метода полигауссовых представлений следует также упомянуть об исследованиях, направленных на создание распределения «универсального» типа и его использовании в определенном спектре задач.

Ряд работ [2, 3, 43 - 45] посвящен рассмотрению вероятностных моделей распределения обобщенного типа и доказательству справедливости их применения в частных прикладных случаях. Несмотря на очевидные преимущества, такие как универсальность и относительная простота, подобные методы имеют высокую погрешность [2] и теряют свою привлекательность даже при несущественном изменении задачи.

Метод дифференциальных уравнений

Основные идеи метода в полной мере изложены в ряде работ и обзоров [46, 47, 58, 92, 93, 95, 108, 115].

Суть метода заключается в аппроксимации случайного процесса на входе линейной динамической системы марковским процессом с последующим применением хорошо развитой теории марковских цепей.

Достоинства этого метода охватить достаточно сложно. Сюда следует отнести и все успехи достигнутые исследованиями с применением теории марковских процессов в целом [20, 73, 99], и хорошие результаты использования метода при решении практических задач [26, 75 - 77, 80] (особенно успешно данный метод используется в «физически» ориентированных проблемах, например, [63, 106, 107]).

Недостатки метода также очевидны [41, 24]. В первую очередь, они связаны с невозможностью в общем случае аппроксимировать с удовлетворительным качеством случайный процесс на входе линейной динамической системы марковским процессом:

1) как и для многих решений, основанных на аппроксимации, в случае расширения проблемы на более общий случай (случайные параметры, корреляционная составляющая), решать задачу, по сути, необходимо заново [62]; причем пересматривать приходится не только выкладки, но и саму возможность применения данного метода;

2) даже небольшая погрешность аппроксимации, внесенная на ранних стадиях решения задачи, может увеличивать итоговую ошибку до критических величин;

Использование марковских процессов достаточно распространено также и в комбинации с другими статистическими методами. В [17], наряду с аппроксимацией марковским процессом, используются моментные функции; в [24, 58] - полигауссовы представления; в [106] - кумулянтный анализ СП, аппроксимированного полумарковской цепью.

Метод ортогональных разложений ядра интегрального уравнения

Метод ортогональных разложений ядра интегрального уравнения был изложен в [112]. Основой для применения этого метода являлся статистический анализ линейных систем с четко заданными характеристиками (см., напр. [16, 109, 113, 114, 117 - 120]), а возможности применения метода в задачах приема сигналов в условиях действия помех хорошо обобщены в [13 - 15]. Необходимым условием при использовании этого метода является описание исследуемой системы в интегральном виде. Тогда последовательность шагов при отыскании статистических характеристик СП на выходе линейной динамической системы можно представить в следующем виде:

1) определить ядро исходного интегрального уравнения, которое бы зависело только от параметров исследуемой системы;

2) найти множество собственных решений однородного интегрального уравнения с найденным ядром, а также значения этого уравнения для каждого собственного решения;

3) преобразовать имеющиеся функции (СП на входе, ядро интегрального преобразования) к виду сходящихся в среднеквадратическом смысле рядов независимых СВ по найденной системе ортогональных собственных функций;

4) используя вышеописанные ряды, найти ХФ выходного СП.

5) применить к ХФ обратное преобразование Фурье для нахождения искомой многомерной ПРВ СП на выходе линейной динамической системы.

Данный метод позволяет отыскать статистические характеристики СП с хорошей точностью, но имеет также ряд существенных недостатков [58, 117]:

1) метод не может быть применен, если на входе исследуемой линейной системы действует нестационарный или неэргодический СП;

2) метод не может быть применен для анализа динамических систем в переходном режиме с ненулевыми начальными условиями;

3) метод накладывает ряд дополнительных ограничений:

- принципиальная возможность представления исходного негауссовского СП или его производной (например, огибающей) функционалом гауссовского;

- симметрия амплитудно-частотной характеристики;

4) размерность ПРВ СП на выходе исследуемой системы не превышает двух.

Метод статистического моделирования (Монте-Карло)

Метод Монте-Карло - численный метод, основанный на моделировании выборки СП для получения его вероятностных характеристик. Фактически он сводится к формированию выборки случайных чисел с заданным законом распределения и дальнейшему функциональному преобразованию сгенерированных чисел для получения выборки исследуемой случайной величины. При этом требуется увеличение объема вычислений для получения большой выборки, на основе которой и происходит оценка функции распределения искомой случайной величины [101]. Исследованию метода Монте-Карло посвящен ряд работ [см., напр., 26, 65, 71, 75, 76], отличительной особенностью ряда которых является невозможность четко определить закон распределения СП на входе исследуемой системы.

Методу статистического моделирования присущ ряд недостатков, главный из которых - низкая точность результатов. Для получения статистических характеристик удовлетворительного качества требуется учет как можно большего числа реализаций СП. В силу линейной зависимости вычислительной сложности от количества случайных величин и их преобразований [101], даже приближенный расчет методом Монте-Карло, как правило, требует значительных вычислительных ресурсов.

Прямой статистический анализ

Метод прямого статистического анализа является самым «молодым» среди рассмотренных методов и пока не столь широко применяется в решении практических задач. Наиболее полно метод изложен в [27]. Основной отличительной особенностью метода является представление параметров исследуемой линейной динамической системы в вероятностном смысле, даже в том случае, если изначально они детерминированы.

Алгоритм прямого статистического анализа линейной динамической системы можно коротко представить в следующем виде:

1) записать уравнение отклика системы на входное случайное воздействие в интегральном виде (интегральное уравнение Вольтерра 2 рода);

2) выразить каждый член интегрального уравнения в виде многомерной произвольной размерности п ПРВ; для детерминированных функций ПРВ будет представлена произведением дельта-функций;

3) записать многомерную совместную ПРВ всех величин, входящих в исходное интегральное уравнение;

4) произвести над совместной ПРВ функциональные преобразования, соответствующие математическим действиям исходного интегрального уравнения;

5) проинтегрировать результат по всем «лишним» переменным.

В результате мы получим многомерную ПРВ выходного случайного процесса размерности, совпадающей с входной.

Прямой статистический анализ позволяет проще и нагляднее подойти к таким проблемам как учет нестационарности реального СП [9] или взаимная коррелированность нескольких СП на входе исследуемой системы [1,8, 18].

Следует отметить, что решения задачи, в которой бы учитывался весь спектр описанных выше проблем (нестационарный негауссовский входной СП, коррелированность его отсчетов, случайные параметры системы и др.) в литературе отсутствуют.

В рамках прямого статистического анализа можно выделить два частных метода: метод резольвентного ядра [37], позволяющий, при наличии резольвенты системы, решить уравнение Вольтерра 2 рода небольшим числом итераций, и метод последовательных приближений, которому посвящена данная диссертационная работа.

Целью диссертационной работы является развитие математического аппарата метода последовательных приближений при прямом статистическом анализе линейных непрерывных динамических систем.

Указанная цель достигается решением следующих задач:

1) разработать математическую модель приближения произвольного порядка т многомерной произвольной размерности п плотности распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной непрерывной динамической системы с детерминированными параметрами;

2) разработать математическую модель приближения произвольного порядка т многомерной произвольной размерности п плотности распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной непрерывной динамической системы со случайными параметрами;

3) проанализировать зависимость полученных математических моделей от структурных изменений линейной непрерывной динамической системы;

4) разработать программные продукты, реализующие найденные математические модели;

5) экспериментально оценить статистические характеристики выходных случайных процессов линейных непрерывных динамических систем с помощью разработанных математических моделей.

Методы исследований. При решении поставленных задач применялись методы теории вероятностей, вычислительной математики, теории функционального анализа, теории дифференциальных и интегральных уравнений, теории автоматического управления, имитационного компьютерного моделирования.

Научная новизна

1) Доказана истинность найденного аналитического выражения для приближения произвольного порядка т многомерной произвольной размерности п плотности распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной непрерывной динамической системы при произвольном (в том числе негауссовском) входном воздействии.

2) Получены аналитические выражения для приближений произвольного порядка т решения интегрального уравнения Вольтерра 2 рода линейной непрерывной динамической системы с детерминированными и случайными параметрами.

3) Выполнен анализ полученных решений при нулевых и частично-нулевых параметрах линейной непрерывной динамической системы.

4) С помощью разработанных программных продуктов получены методом последовательных приближений при прямом статистическом анализе характеристики случайных процессов на выходе линейных непрерывных динамических систем при негауссовских случайных воздействиях.

Достоверность и обоснованность результатов подтверждается корректным применением математического аппарата, логической обоснованностью получаемых результатов и выводов, сравнением результатов с известными, экспериментальной проверкой результатов, успешным внедрением результатов и их апробацией на специализированных научно-технических конференциях, публикацией основных результатов работы в рецензируемых изданиях, содержащихся в перечне ВАК.

Практическая значимость работы. Предложенные в диссертационной работе математические модели и разработанные программные продукты позволяют выполнить прямой статистический анализ ЛИДС произвольного порядка с детерминированными и случайными параметрами при произвольных (в том числе негауссовских) случайных процессах с известными характеристиками на входе, с получением всех необходимых характеристик выходного случайного процесса.

Доказанная общая закономерность построения приближения произвольного порядка т решения интегрального уравнения Вольтерра 2 рода и выполненный анализ учета структурных изменений ЛИДС могут быть использованы при решении аналогичных задач применительно к нелинейным непрерывным системам, а также к линейным и нелинейным цифровым системам.

Полученные результаты использованы в фирме ООО «Телека» при расчете производительности межпроцессорного взаимодействия.

Часть результатов диссертационной работы использованы в учебном процессе на кафедре «Теория цепей и телекоммуникаций» Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева при проведении занятий для студентов по направлению 210400 Телекоммуникации.

Отдельные результаты исследований вошли в состав отчетов по НИР "Повышение качественных характеристик динамических систем" (№ гос. регистрации 01.2.007 03945) в 2007, 2009 гг.

Результаты внедрения подтверждены соответствующими документами.

Структура диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 120 наименований. Каждая глава включает в себя выводы, где перечисляются основные результаты изложенного в ней материала. В каждой главе используется своя нумерация рисунков и формул.

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1) Найдено решение уравнения Вольтерра 2 рода с детерминированными параметрами методом последовательных приближений при прямом статистическом анализе и доказана справедливость его построения. Полученное решение представляет собой приближение произвольного порядка т плотности распределения вероятностей произвольной размерности п случайного процесса на выходе линейной непрерывной динамической системы. Тип многомерного распределения входного случайного процесса может быть произвольным, в том числе коррелированным негауссовским.

2) Получено решение уравнения Вольтерра 2 рода со случайными параметрами. Расчет аргументов многомерной плотности распределения вероятностей производится по тем же соотношениям, что и в случае детерминированных параметров. Показаны характерные особенности решения: интегрирование получившегося решения по области определения случайных параметров.

3) Выполнен анализ решения уравнения Вольтерра 2 рода для линейных непрерывных динамических систем с нулевыми или частично-нулевыми параметрами. Найдены и рассмотрены все исключительные случаи, ведущие к изменению полученного решения.

4) Разработаны программные продукты реализующие расширенный математический аппарат прямого статического анализа методом последовательных приближений. Для работы программ должны быть заданы параметры входного случайного процесса и исследуемой системы (матрицы-векторы соответствующих интегральных ядер и переменных матриц уравнения Вольтерра 2 рода).

5) Решены задачи статистического анализа линейных непрерывных динамических систем различного порядка. Рассмотрены системы автоматического управления с детерминированными и случайными параметрами при входных негауссовских случайных процессах. Найдены выходные статистические характеристики для наиболее сложной системы -системы со случайными параметрами при входном многомерном коррелированном негауссовском случайном процессе. Рассмотрение подобных задач в литературе отсутствуют.

Заключение

1. Абденов А.Ж., Озерных И.Л. Информативная модель для решения задач регулирования электрической мощностью // Электросвязь. - 2009. - № 5. -С. 50-53.

2. Ашимов Н.М., Лукашевич А.Н. Методика оценки помехоустойчивости п-разрядных двоичных сигналов // Электросвязь. 2009. - № 11. - С. 43-46.

3. Алейник C.B. Приближенная плотность распределения суммы квадратов зависимых гауссовских случайных величин // Радиотехника. 1999. - № 1. -С. 53-55.

4. Башарин Г.П., Серебренникова Н.В. Учет мобильности абонентов в микросоте с каналами двух типов // Электросвязь. 2007. - № 11. - С. 5255.

5. Волошин С.Б., Гайворенский Д.В., Ипатов В.П. Статистика доплеровских сдвигов сигналов среднеорбитальной спутниковой радионавигационной системы // Радиотехника. 2010. -№ 10. - С. 9-15.

6. Брикман М.С. Интегральные модели в современной теории управления. -Рига: Зинатне, 1979.-224 с.

7. Буева М.А., Дымарский Я.С. Оценка факторов, влияющих на функционирование сетей связи // Электросвязь. 2007. -№ 2. - С. 30-33.

8. Быков A.A., Кропотов Ю.А. Исследование автокорреляционных функций речевых сигналов // Радиотехника. 2008. - № 9. - С. 107-111.

9. Васильев К.К. Методы обработки сигналов: учеб. пособие. Ульяновск: УлГТУ, 2001.-78 с.

10. Власов К.П. Теория автоматического управления: учеб. пособие. -Харьков: Издательство «Гуманитарный центр», 2006. 258 с.

11. Обобщенная вероятностная модель условно-пуассоновского потока / Громов Ю.Ю., Карпов И.Г., Нурутдинов Г.Н. и др. // Радиотехника. 2010. - № 10.-С. 21-25.

12. Горячкин О.В. Методы слепой обработки сигналов и их приложения в системах радиотехники и связи. М.: Радио и связь, 2003. - 230 с.

13. Г. Ван Трис Теория обнаружения, оценок и модуляции. М.: Сов. радио, 1972.-т. 1.- 744 с.

14. Г. Ван Трис Теория обнаружения, оценок и модуляции. М.: Сов. радио, 1975 - т.2.- 344 с.

15. Г. Ван Трис Теория обнаружения, оценок и модуляции. М.: Сов. радио, 1977.-т.З.- 662 с.

16. Давенпорт В.Б., Рут В.Л. Введение в теорию случайных сигналов и шумов. -М.:ИЛ, 1960 .-468 с.

17. Данилов A.B. Аппроксимация негауссовской плотности вероятностей показательным распределением // Радиотехника. 1998. - № 2. - С. 12-16.

18. Дятлов А.П., Дятлов П.А., Кульбикаян Б.Х. Многофункциональное автокорреляционное устройство с квадратурной обработкой информации // Радиотехника. 2002. - № 2. - С. 3-9.

19. Данилов В.А., Ефименко В.Н., Жабинский Ю.В. Подавление негауссовских помех нелинейным преобразователем с характеристикой осциллирующего типа // Радиотехника. 2007. -№ 12.-С. 11-15.

20. Денисенко Т.И. Использование марковских цепей при решении различных прикладных задач // Успехи современного естествознания. 2009. - № 1. -С. 27-28.

21. Дороднов A.A. Аппроксимация некоторых классов мер комбинациями гауссовских // В кн.: Учёные записки Казанского университета. Казань, 1969. - Вып. 129, кн. 4. - С. 46-55.

22. Дороднов А.А. О представлении вероятностных процессов смесями гауссовских // В кн.: Приём и обработка информации в структурно-сложных системах / Изд. Казанского университета. -1972. Вып. 3. - С. 139-143.

23. Дороднов A.A., Чабдаров Ш.М. О полноте систем гауссовых функций и полигауссовых приближениях в радиотехнике // Радиотехника. 1975. -т. 30, №7. -С. 1-7.

24. Дынкин Е.Б. Основания теории марковских процессов. М.: Физматгиз, 1959.-227 с.

25. Егоров В.В. Определение функции кратности ошибок в каналах со случайными параметрами // Электросвязь. 2010. - № 3 - С. 50-53.

26. Евланов Л.Г., Константинов В.М. Системы со случайными параметрами. -М.: Наука, 1976.-568 с.

27. Есипенко В.И. Метод прямого статистического анализа каскадных гаммерштейновских систем : дис. . доктора физико-математических наук. Н.Новгород: НГТУ, 2004.- 399 с.

28. Есипенко В.И. Многомерная плотность распределения вероятностей вынужденного движения линейной системы в установившемся режиме //

29. Электросвязь. 2000. - №1.- С. 9-10. - Деп. в ЦНТИ "Информсвязь", № 2156-св 99.- Юс.

30. Есипенко В.И. Плотность распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной системы // Изв. ВУЗов Радиофизика. 1999. -т.42, № 3. - С. 287-300.

31. Есипенко В.И., Смирнов В.В. Метод последовательных приближений при прямом статистическом анализе линейных непрерывных систем уравнения. М., 2009. - 64 е.- Деп. в ВИНИТИ 10.12.2009, №790-В 2009.

32. Есипенко В.И., Смирнов В.В. Метод последовательных приближений при прямом статистическом анализе линейных непрерывных систем управления с переменными параметрами. // Т-СОММ: ТЕЛЕКОММУНИКАЦИИ И ТРАНСПОРТ. 2011. - № 4. - С. 41-42.

33. Есипенко В.И., Смирнов В.В. Прямой статистический анализ линейной системы управления первого порядка методом последовательныхприближений. // Информационно-измерительные и управляющие системы. -2010.-№2.-С. 46-49.

34. Есипенко В.И., Смирнов В.В. Решение уравнения Вольтера 2 рода со случайными параметрами методом последовательных приближений. М., 2010 .- 38 с. - Деп. в ВИНИТИ 16.02.2010, №75-В 2010.

35. Запевалов A.C., Пустовойтенко В.В. Моделирование плотности вероятностей уклонов морской поверхности в задачах рассеяния радиоволн. // Известия ВУЗ. Радиофизика. 2010. - Том LUI - С. 110-121.

36. Захаров В.Е. Основы статистической радиофизики: учеб. Пособиею -Калининград: Калининградский ун-т., 1997. 94 с.

37. Интегральные уравнения / Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А. и др. М.: Наука, 1968. - 448 с.

38. Иванов Ю.П., Даргевич А.Л. Исследование алгоритма адаптивной спектрально-марковской комплексной фильтрации сигналов // Электронный журнал "Исследовано в России". 1998. -№3.-С.10-14.

39. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. -М.: Мир, 1971.-400 с.

40. Карпов И.Г. Обобщенные вероятностные модели флуктуаций амплитуды радиолокационных сигналов // Радиотехника. 2001. - №4. - С. 77-82.

41. Карпов И.Г. Громов Ю.Ю., Нурутдинов Г.Н. Аппроксимация законов распределений для конечной суммы значений информационного процесса // Радиотехника. 2010. - № 5. - С. 18-22.

42. Карпов И.Г. Проскурин Д.К. Обобщенные распределения математической статистики в задачах обработки данных // Радиотехника. 2010. - № 8. -С. 109-112.

43. Кляцкин В.И. Статистическое описание динамических систем с флуктуирующими параметрами. М.: Наука, 1975 - 239 с.

44. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах. М.: Наука, 1980. - 336 с.

45. Кокорич М.Г., Носов В.И. Влияние устройств с амплитудно-фазовой конверсией на помехоустойчивость приема М-ОФМ сигналов // Электросвязь. 2009. - №1. - С. 44-47.

46. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1974. - 832 с.

47. Костылев В.И., Сличенко М.П. Решающая статистика энергетического обнаружителя при приеме радиосигналов на фоне полигауссовского шума // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2010. - № 1. - С. 26-30.

48. Костылев В.И., Сличенко М.П. Энергетическое обнаружение радиосигналов на фоне негауссовского шума неизвестной интенсивности // Известия вузов. Радиофизика. 2009. - Том Ы1, № 11. - С. 910-920.

49. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: ИЛ, 1948. - 632 с.

50. Кузнецов П.И., Стратонович Р.Л., Тихонов В.И. Квазимоментные функции в теории случайных процессов // Теория вероятностей и её применения. -1960. -т.5, № 1.-С. 84-102.

51. Кузнецов П.И., Стратонович Р.Л., Тихонов В.И. Квазимоментные функции в теории случайных процессов // Доклады АН СССР. 1954. - т. 94, № 4. -С. 615-618.

52. Кузнецов П.И., Стратонович Р.Л., Тихонов В.И. Некоторые задачи с условной вероятностью и квазимоментные функции. // Теория вероятностей и её применения. 1961. - т. 6, № 4. - С. 458-464.

53. Кузнецов П.И., Стратонович Р.Л., Тихонов В.И. Прохождение некоторых случайных функций через линейные системы // Автоматика и телемеханика. 1953. - т. 14, № 2. - С. 144-163.

54. Кузьмин А.Б. Синтез радиотехнической системы с целью достижения эффективного конечного результата управления // Радиотехника. 1998. -№ 1. - С. 36-42.

55. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Сов. радио, 1969. - т. 1. - 751 с.

56. Ложкин К.Ю., Поддубный В.Н. Достоверность когерентного приема простых сигналов с двукратной фазоразмерной манипуляцией на фоне помехи произвольной структуры // Радиотехника. -1999 г. № 12. - С. 3438.

57. Лукас В.А. Теория управления техническими системами. Екатеринбург: Изд-во УГГГА, 2002,- 675 с.

58. Лукач Е. Характеристические функции. М.: Наука, 1979 - 424 с.

59. Любаван Л.Я. Фокусировка акустических полей в случайно-неоднородном волноводе методом обращения времени // Известия ВУЗ. Радиофизика. -2011. Том LIV. - С. 368-379.

60. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований. М.: Сов. радио, 1978. - 376 с.

61. Марчук Л.А., Ефимов A.B., Рожков А.Г. Непараметрический алгоритм пространственного разделения сигналов // Радиотехника. 1999. - № 9. -С 32-37.

62. Михайлов Г.А. Некоторые вопросы теории метода Монте-Карло. -Новосибирск: Наука, 1974. 142 с.

63. Динамика непрерывных линейных систем с детерминированными и случайными параметрами / Михайлов Ф.А., Теряев Е.Д., Булеков В.П. и др. Москва: Наука, 1971. - 561 с.

64. Надеев А.Ф. Марково-смешанные модели в теории обработки многоэлементных сигналов при комплексе помех: автореферат дис. . доктора физико-математических н. Казань: 2000. - 30 с.

65. Повышение качественных характеристик динамических систем : отчет по НИР / НГТУ им Р.Е.Алексеева. Н.Новгород: 2007. - С. 42-140. - № ГР 01.2.007 03945. - Инв. № 02200 801033.

66. Повышение качественных характеристик динамических систем : отчет по НИР / НГТУ им Р.Е.Алексееваю Н.Новгород: 2009. - С. 33-57. -№ ГР 01.2.007 03945. - инв. № 02.2.00 901667.

67. Перов А.И., Соколов Г.Г., Особенности синтеза устройств обнаружения и оценки параметров сигнала нейросетевыми методами // Радиотехника. -2001.-№7.-С. 22-29.

68. Поборчая Н.Е. Методы оценки параметров случайного сигнала в условиях априорной неопределенности // Электросвязь. 2010. - № 3. - С. 24-26.

69. Поляков К.Ю. Теория автоматического управления для «чайников». Часть II. Управление при случайных возмущениях. Оптимальные линейные системы. Санкт-Петербург, 2009. - 59 с.

70. Портенко Н.И., Скороход A.B., Шуренков В.М. "Марковские процессы" // Теория вероятностей 4, Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления. - М.: ВИНИТИ, 1989. - С. 5-245.

71. Приоров A.JL, Хрящев В.В., Голубев М.Н. Удаление импульсного шума со случайными значениями импульсов из изображений // Радиотехника. -2010.-№ 5.-С. 72-77.

72. Основы автоматического управления / под ред. Пугачёва B.C.- М.: Наука, 1974.-720 с.

73. Пугачёв B.C., Казаков И.Е., Евланов Л.Г. Основы статистической теории автоматических систем. М.: Машиностроение, 1974. - 400 с.

74. Росин М.Ф., Булыгин B.C. Статистическая динамика и теория эффективности систем управления. -М.; Машиностроение, 1981. 312 с.

75. Сафиуллин Н.З., Чабдаров Ш.М. О преобразовании негауссовских случайных процессов радиотехническими устройствами // Радиотехника. -1978.-т. 33, №4.-С. 91-95.

76. Сейдж Э., Меле Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении: пер с англ. под ред. проф. Б. Р. Левина. М.: Связь, 1976. -496 с.

77. Сизых В.В. Математические модели некоторых типов фазовой автоподстройки с дискретным временем // Радиотехника. 2010. - № 12. -С. 66-92.

78. Синдлер Ю.Б. Негауссовский характер накопления сигналов и помех в радиотехнических системах. // Радиотехника. 1999. - № 5. - С.55-59.

79. Славутский Л. А. Основы регистрации данных и планирования эксперимента: учеб. пособие. Чебоксары: Изд-во ЧТУ, 2006. - 200 с.

80. Смирнов В.В. Вычисление уравнения Вольтера 2 рода методом последовательных приближений Программа для ЭВМ №2010616097 // Официальный бюллетень федеральной службы по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам. М., 2010. - № 9.

81. Смирнов В.В. Оптимизация метода последовательных приближений при прямом статистическом анализе // Материалы международной научно-технической конференции "НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ 2010", г.Мурманск, 5-9 апреля 2010г. - С. 1317-1321.

82. Смирнов В.В. Решение уравнения Вольтера 2 рода с нулевыми параметрами методом последовательных приближений. М., 2010. - 46 с.- Деп. в ВИНИТИ 16.02.2010, №74-В 2010.

83. Смирнов В.В. Решение уравнения Вольтера 2 рода с частично нулевыми параметрами методом последовательных приближений. М., 2010. - 73 с.- Деп. в ВИНИТИ 06.07.2010, №423-В 2010.

84. Солодов A.B., Петров Ф.С. Линейные автоматические системы с переменными параметрами. М.: Наука, 1971. - 620 с.

85. Сорокин C.B. Нелинейные алгоритмы цифровой обработки изображений на основе порядковых статистик и полиномиальной фильтрации // дис. . кандидата тех. н. Пенза: ПТУ, 2008. - 117 с.

86. Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации: Учеб. пособие для вузов.-М.: Радио и связь, 1992. 304 с.

87. Степанов A.B. Электрические шумы. Изд-во МГУ им. М.В.Ломоносова, 2003 -180 с.

88. Тихонов В.И. Нелинейные преобразования случайных процессов. М.: Радио и связь, 1986. - 296 с.

89. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Сов. радио, 1966. - 678 с.

90. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982. -624 с.

91. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: Сов. радио, 1977.-488 с.

92. Тихонов В.А., Нетребенко К.В. Использование статистик высших порядков в задаче распознавания негауссовских процессов // Радиоэлектроника и информатика. 2006. - № 1. - С. 4-8.

93. Трахтман A.M. Письмо в редакцию // Радиотехника. 1971. - т. 26, № 9. -С. 17.

94. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. М.: ИЛ, 1960. - 299 с.

95. Удалой В.А., Соколов Н.Л. Об использовании методов теории марковских процессов для исследования возмущенных траекторий движения космических аппаратов в атмосфере // Успехи современного естествознания. 2005. - № 2. - С. 53-54.

96. Финк Л.М. Теория передачи дискретных сообщений. М: Сов.радио, 1970.-728 с.

97. Харитинов Н.И., Ермилов В.Т., Масайлов Г.И. Оценка ЭМС VSAT и радиорелейных станций прямой видимости в Ku-диапазоне // Электросвязь. 2010. - № 5. - С. 25-29.

98. Чабдаров Ш.М. О полигауссовом приближении в задачах теории связи // V конференция по теории кодирования и передачи информации, секция 1 -теория информации / Москва Горький, 1972. - С. 106-111.

99. Чабдаров Ш.М., Трофимов А.Т. Полигауссовы представления произвольных помех и приём дискретных сигналов // Радиотехника и электроника. 1975. - т. 20, № 4. - С. 734-745.

100. Шатилов C.B. Применение кумулянтов при оценивании моментов негауссвского случайного процесса. // Радиотехника. 2009. - №11. -С.33-38.

101. Шишмарев В.Ю. Основы автоматического управления. М.: Издательский центр «Академия», 2008. - 352 с.

102. Ярлыков М.С., Богачев А.С. Метод вычисления вероятностей работоспособных состояний авиационных радиоэлектрических комплексов // Радиотехника. 2003. - № 3. - С. 15-21.

103. Ярлыков М.С., Пригонюк Н.Д. Параметрическая модель вектора состояния в виде квазислучайного процесса при синтезе радиотехнических схем приема и обработки сигналов // Радиотехника. 2002. - № 1. - С. 2531.

104. Darling D.A., Siegert A.J.F. A systematic approach to a class of problems in the theory of noise and other random phenomena. Part 1 // IRE Trans, on Inform. Theory. IT-3 -1957. -№1, March. P. 32-37.

105. Emerson R.C. First Probability Densities for Receivers with Square Law Detectors // J. Appl. Phys. 1953. - v. 24, № 9. - P. 1168-1176.

106. Heyde C.C. On a property of the lognormal distribution // J. Royal Stat. Soc., ser. B. -1963. -№ 25. P. 392-393.111. http://www.pro-spo.ru

107. Kac M., Siegert A.J.F. On the theory of noise in radio reseivers with square low detectors // J. Appl. Phys. 1947. - v. 18, №4. - P.383-397.

108. Lampard D.G. The Probability Distribution for the filtered Output of a Multiplier whose Inputs are correlated, stationary, gaussian time-series // IRE Trans.on Inform. Theory. 1956. - v.IT - 2, №1, March. - P. 4-11.

109. Meyer M.A., Middleton D. On the Distribution of Signals and Noise after Rectification and Filtering // J. Appl. Phys. 1954. - v.25, №8. - P. 1037-1054.

110. Northrop G.M., Schultheiss P.M. On the response of linear systems to certain non-gaussian random inputs // IEEE Trans. 1964. - v.IT-10, №2. - P. 169170.

111. Report ITU-R SM.2028—1 Monte-Carlo simulation methodology for the use in sharing and compatibility studies between different radio services or systems (Question ITU-R 211/1).

112. Rosenbloom A., Heilfron J., Trautman D.L. Analysis of Linear Systems with Randomly Varying Inputs and Parameters // IRE Conv. Record. 1955. - №4, Marth.-P. 106-113.

113. Siegert A.J.F. Passage of Stationary Processes through Linear and Non-Linear Devices // IRE Trans, on Inform. Theory. 1954. - PGIT-3, March. - P. 4-25.

114. Siegert A.J.F. Systematic Approach to a class of Problems in the Theory of Noise and other random phenomena. Part 2, Examples // IRE Trans, on Inform. Theory. 1957. - IT-3, №1, March. - P. 38-42.

115. Slepian D. Fluctuations of random noise power // The Bell System Technical Journal. 1958, January. - P. 163-184.