автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Статистическое описание динамических систем в поле цветных шумов

На правах рукописи

Логинов Валерий Михайлович

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ПОЛЕ ЦВЕТНЫХ ШУМОВ

б^сС-

05.13.16 — применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (в физике)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Красноярск — 1998

Работа выполнена в Тувинском институте комплексного освоения природных ресурсов Сибирского отделения Российской академии наук

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А.Ю. Вальков; доктор физико-математических наук, профессор А.Ф. С ад реев; доктор технических наук, профессор А.И. Рубан

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится 20 января 1999 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 064.54.04 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук в Красноярском государственном техническом университете по адресу: 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного технического университета

Автореферат разослан "19" декабря 1998 г.

Учёный секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук Б.С. Добронец

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

Изучение усредненного поведения динамических объектов, находящихся в поле случайных воздействий и факторов, всегда являлось важной задачей физики. С подобными задачами можно встретиться в самых разнообразных областях физики, химии и техники. Движение частиц и распространение волн в стохастических средах, уширение спектральных линий, фазовые переходы, развитая гидродинамическая турбулентность, перемежаемость, самоорганизация стохастических форм движений, колебания и устойчивость конструкций и аппаратов при воздействии на них стохастических вибраций и возмущений - далеко не полный перечень проблем и задач, активно изучаемых в последнее время в физике и технике. Наглядным показателем важности исследований в этой области является значительный рост публикаций и появление большого числа новый научных журналов и других периодических изданий. Установленное в последнее время фундаментальное свойство стохастично-сти динамики нелинейных систем в еще большей степени расширяет область параметров и условий, где необходимо учитывать влияние случайных сил и полей.

Важнейшей задачей при этом является изучение усредненного поведения физических систем в области сильных флуктуаций и сильных корреляций. Нетривиальным физическим следствием влияния коррелированных шумов на усредненную динамику является формирование под влиянием флуктуаций новых стационарных состояний (индуцированные шумом фазовые переходы). Другой важной проблемой в этой бурно развивающейся области физики неравновесных процессов является разработка конструктивных математических методов вероятностного описания поведения систем при сильных стохастических воздействиях с конечным радиусом спада корреляций (цветные шумы).

Цель настоящей работы состоит: а) в разработке эффективного метода статистического описания динамических систем в поле цветных шумов, который решает задачу получения точных и замкнутых уравнений для средних (моментов, кумулянтов, распределений вероятности) для широкого класса систем и моделей воздействий, позволяет исследовать усредненную динамику систем в случае, негауссовых цветных воздействий и дает возможность изучить влияние формы спектра шума на усредненную динамику; б) в развитии асимптотического метода усреднения для систем нелинейных интегро-дифферонциальных уравнений

в стандартной форме, возникающих при изучении усредненных характеристик динамических систем в поле цветных шумов; в) в разработке простых средств моделирования сложного динамического поведения; д) разработке нового подхода к диагностике шумов и разделения смесей сигнала и шума на основе точно решаемых моделей нелинейной физики, в том числе солитонных.

Научная новизна.

Предложен новый метод вероятностного описания динамических систем с флуктуирующими параметрами на основе формул дифференцирования (ФД) статистических средних. В представлении моментных и кумулянтных функций проведено систематическое применение ФД для получения замкнутых уравнений для различных средних для широкого класса линейных и нелинейных динамических систем, возмущаемых цветными шумами (шумы ОрнштеЙна-Уленбека, Рэлея, Пирсона, пуассо-новские, скачкообразные - Кубо-Андерсона, кенгуру и т.д.). Разработаны эффективные алгоритмы приближенного анализа для быстрофлук-туирующих процессов. Предложен новый класс точно решаемых моделей нелинейных динамических систем, возмущаемых цветными шумами Орнштейна-Уленбека и Рэлея. Предложен новый подход к задаче диагностики шумов и разделения смесей шума и детерминированного сигнала на основе нелинейных распределенных фильтров (НРФ), представляющих собой точные решения уравнений нелинейной физики определенной структуры (в частности, решения солитонного типа). Показано, например, что для аддитивных смесей сигнала и гауссова шума НРФ точно разделяет компоненты смеси. В рамках точно решаемых моделей проведено систематическое изучение влияния конечности времени спада корреляций шума на движение пробной частицы в одномерном случайно-неоднородном электрическом поле негауссовой статистики, на процессы коагуляции при наличии стохастических источников и стокое частиц, броуновской частицы в слоисто неоднородной среде. Изучено влияние формы спектра шума на динамику: заряженной частицы в одномерном стохастическом поле, волны в одномерной слоисто-неоднородной среде, солитонов уравнения Кортевега де Вриза, нелинейного уравнения Шредингера и синус-Гордона. Показано, что усредненная динамика критична к наличию в спектре мод с нулевой „частотой". Флуктуации, имеющие спектр в форме „горба" на некоторой „частоте", приводят к.стохастическому ускорению частицы, резонансному отраженик волны в слое и критическому замедлению диффузии формы солитонов Для систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ)

в стандартной форме, визникающих при статистическом описании динамических систем в поле цветных шумов, доказан ряд новых теорем по обоснованию асимптотического метода усреднения. Предложен подход к моделированию сложной динамики и обработки данных как результата перемешивания (стохастического и (или) динамического) монотонных движений.

Практическая ценность работы.

Разработан эффективный метод статистического описания динамических систем с. флуктуирующими параметрами, позволяющий решать многочисленные задачи из разных областей физики, техники, других наук.

Предложен подход к диагностике случайных процессов и разделению смесей шума и детерминированного сигнала, основанный на использовании нелинейных распределенных фильтров, представляющих собой точные решения нелинейных стохастических уравнений специального вида (в частности, решения солитонного типа).

Предложен и реализован в программных средствах подход к моделированию сложных процессов, основанный на их представлении как результата перемешивания стохастического и (или) динамического монотонных движений.

Полученные результаты указывают пути возможного управления усредненным поведением динамических систем за счет конечности корреляционного радиуса и немонотонности спектра флуктуаций.

Защищаемые тезисы.

1. Формулы дифференцирования статистических средних для класса распространенных марковских моделей телеграфного типа и шума Орнштейна-Уленбека (ОУ), ФД для процессов немарковского типа, ФД для средних, содержащих функции от запаздывающих и опережающих функционалов марковских процессов.

2. Метод вероятностного описания динамических систем в поле цветных шумов на основе формул дифференцирования статистических средних.

-3. Теоремы усреднения и схемы упрощения для систем нелинейных ИДУ в стандартной форме типа Вольтерра для эволюционных задач и задач с линейными и нелинейными краевыми условиями.

4. Точно решаемые модели динамических систем в поле цветных шумов разных статистик и разных форм спектра.

5. Подход к моделированию сложной динамики как результату перемешивания случайного и (или) детерминированного монотонных движе-

ний.

6. Подход к тестированию шумов и разделению смесей шума и детер-. минированного сигнала, основанный на использовании нелинейных рас:. пределенных фильтров, представляющих собой точные решения уравнений нелинейной физики специального вида, в том числе решения соли-тонного типа.

Апробация работы.

Результаты исследований докладывались на 9 и 10 Рижских Совещаниях по Магнитной гидродинамике (Рига 1978, 1981 гг.), 5 Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Алма-Ата, 1981 г.), Международном семинаре Ренормгруппа -1986 (Дубна, 1986 г.), 9 Международной конференции по нелинейным колебаниям (Киев, 1981 г.), Всесоюзной школе-семинаре Эргодическая теория марковских процессов (Кызыл, 1987 г., Рига, 1989 г.), 4 Всесоюзной конференции Флуктуационные явления в физических системах (Паланга, 1988 г.), 3 Всесоюзной школе-семинаре по макроскопической кинетике, химической и магнитной газодинамике (Красноярск, 1990 г.), Всесибирской школе по вычислительным методам (Шушенское, 1995 г.), 1-3 Сибирских конгрессах по прикладной и индустриальной математике (INPRIM) (Новосибирск, 1994 г., 1996 г., 1998 г.), 1,3,4 Межреспубликанских симпозиумах Оптика атмосферы и океана (Томск, 1994 г., 1996 г., 1997 г.), Международном симозиуме но статистической физике (Zakopane, 1995, Poland), семинарах: член-кор. АН СССР С.М. Рытова (Москва, 1980 г.), акад. H.H. Яненко (Новосибирск, 1981 г.), член-кор. РАН В.И. Зубова (Санкт-Петербург 1994 г.); Отделе теоретической физики Института физики Силезского университета (Catowice, Poland, 1995), Отделе статистической физики Ягелонского университета (Krakow, 1995), семинарах теоретического отдела Института физики СО РАН (Красноярск).

Публикации; Основные материалы диссертации опубликованы в 43 научных публикациях, в том числе:

-монографии-1,

-обзоры-1,

-авторское свидетельство-1.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 7 глав, заключения, приложения и списка литературы (326 наименований). Диссертация изложена на 332 страницах, содержит 4 таблицы и 36 иллюстраций.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В главе „Введение в статистическое описание динамических систем" обосновывается актуальность работы, формулируются основные известные подходы к решению задачи статистического описания динамических систем с флукутирующими параметрами. Обсуждаются основные эффекты, обусловленные „окрашенностью" шума.

Под динамической системой с флуктуирующими параметрами понимается некоторый физический объект, поведение которого описывается системой дифференциальных уравнений в обыкновенных или частных производных или системой интегро-дифференциальных уравнений, содержащих случайные, коэффициенты. Статистическое описание системы состоит в определении различных средних (например, моментов, кумулянтов, распределений вероятности) от переменной, характеризующей состояние динамической системы при заданных вероятностных свойствах случайных коэффициентов. Определение той или иной вероятностной характеристики от динамической переменной фактически связано с. вычислением статистических средних от функций или функционалов от случайных коэффициентов. В работе обсуждаются в основном задачи эволюционного типа.

В физике широко применяются методы статистического описания динамических систем, основанные па кинетических и динамических уравнениях, а также функционал1>ные методы. При случайных воздействиях, моделируемых гауссовскими или пуассоновскими белыми шумами, структура кинетических уравнений хорошо известна - это уравнения Фоккера-Иланка, Больцмана (в математике - уравнения Колмогоро-ва-Феллера). Традиционный подход к вычислению коэффициентов в этих уравнениях состоит в непосредственном использовании уравнений движения для определения средних приращений для динамической неременной па предельно малых временах, например, для уравнения Фоккера-Планка скорость дрейфа и коэффициент диффузии определяется через средние и среднеквадратичные приращения, соответственно.

Другой подход для статистического описания динамических систем с флуктуирующими параметрами основан иа использовании специфических правил интегрирования и дифференцирования случайных процессов - так называемое стохастическое исчисление в формах йто и ('тратоновича.

В физической литературе для статистического описания в последние два десятилетия используется функциональный подход на основе

формулы Фуруцу-Новикова-Донскера (для гауссовских воздействий) и ее обобщений. Наиболее полн<эе изложение результатов, полученных в рамках этого направления, содержится в монографиях В.И. Кляцкина.

Модели белого шума являются предельными. Для многих же приложений важна конечность времени спада корреляций воздействия (цветные шумы). Соответствующие модели цветных шумов получают, рассматривая их как отклик динамических систем на белый шум (гауссов-скойили пуассоновской статистики). При расширении числа переменных можно снова прийти к задаче о воздействии белого шума, но на расширенную динамическую систему, включающую, наряду с уравнением для исходной динамической переменной, еще уравнение фильтрации белого шума. Различными системами фильтрации можно перебрать (достаточное для физических приложений) множество моделей. Тем самым в принципе решается вопрос о нахождении вероятностных характеристик динамических систем при случайных воздействиях, в том числе и не дельта-коррелированных. Однако анализ расширенных динамических систем является трудной математической задачей, так как связан с решением многомерных уравнений в частных производных, как правило, с переменными коэффициентами.

Замечательно, что существует ряд весьма общих моделей цветных шумов, с которыми можно эффективно проводить точное усреднение, минуя процедуру рассмотрения расширенных динамических систем.

К числу таких моделей относятся марковские процессы телеграфного типа - дихотомические, Кубо-Андерсона, кенгуру; диффузионного типа - Орнштейна-Уленбека (гаусс.овский марковский процесс), Рэлея Пирсона и другие. Далее мы подробно остановимся на моделях этого типа, применяя новые математические приемы, основанные на формулах дифференцирования статистических средних. Развиваемый подход отличается простотой и стандартностью получения уравнений для средних, а также удобством приближенного анализа, когда воздействия обладают коротким временем спада корреляций.

В §В1. даются необходимые сведения из теории случайных процессов Вводятся определения средних - моментных и кумулянтных функций распределений вероятности, характеристической функции и характеристического функционала. §В'2, посвящен статистическому описанию не основе динамических и кинетических уравнений. Приводится общий вид кинетического уравнения (Раи?и1а ВТ., 1967), установленного для про цессов немарковского типа.

В Главе 1 устанавливается общая структура формул дифференциро

вания статистических средних для произвольных случайных процессов n(t). При вероятностном описании динамических систем эволюционного типа возникает проблема вычисления средних вида:

</Чг,«(0)ФгЫ^)]>, (1)

где F(i, а) - неслучайная функция (векторная или матричная) переменных ¿ил, a Ф«[«(т")] - функция t и функционал от значений п(т) при г < t. Случайный процесс n[t) характеризует воздействие на систему, функционал запаздывающего типа Ф/[а(-г)] представляет собой динамическую переменную. Общий вид формулы дифференцирования (для одномерного процесса n(t)) таков:

jt <Пг,«(«))Ф*Н> = (^ПмЧО^н) + «(*))] *,[«]). (2)

где L - кинетический оператор процесса fv, „+" - означает операцию сопряжения. В дифференциальном представлении оператор L+ имеет вид:

°° 1 йк к = 1 '

Кинетические коэффициенты А к (a, t; ¡/v(r)]) зависят от значений ее в момент времени t. и функционала о (г) с г < t. В §1.1. представлены ФД разных видов - для векторных процессов а, для a(t) в виде конечной суммы независимых случайных процессов «¿i(t), для обобщенных диффузионных процессов, когда отличны от нуля кинетические коэффициенты с к = 1 и к = 2, для класса марковских процессов, когда кинетические коэффициенты зависят только от множества а(т) (т < t). Для этого класса процессов ФД вида (2) впервые были получены (другим способом) В.И. Кляцкиными.

В §1.'2. выводятся общие формулы дифференцирования с. функционалами запаздывающего типа в представлении кумулянтных функций.

В §1.3. рассматриваются стохастические краевые задачи с многоточечными краевыми условиями. В этом случае при статистическом описании возникает задача вычисления средних, содержащих функции от „запаздывающих и опережающих" функционалов случайных воздействий. Для класса марковских воздействий впервые установлены общие формулы дифференцирования, зависящие от условных средних.

§1.4. посвящен сравнению формул дифференцирования статистических средних, содержащих функционалы запаздывающего типа с аппаратом, стохастического исчисления в формах Ито и Стратоновича. Показано, как, используя формулы стохастического дифференцирования Ито и Стратоновича, можно получить ФД статистических средних вида (2) с соответствующими кинетическими операторами.

В главе 2 проводится систематическое применение аппарата ФД к выводу замкнутых уравнений для различных средних (моментов, распределений вероятности) для линейных и нелинейных динамических систем, возмущаемых цветными шумами телеграфного типа (процессы Кубо-Андерсона, кенгуру и др.).

§2.1. посвящен статистическому описанию динамических систем, возмущаемых процессами Кубо-Андерсона. В §2.1.1. дано определение процессов и приведены формулы дифференцирования для средних вида (1). Процессы Кубо-Андерсона представляют собой ступенчатые функции, принимающие значения из некоторого множества ci,c-2,...,cn. Перескоки от одного значения к другому случайны, независимы и распределены однородно по времени с плотностью v (т.е. на интервале vdt в среднем происходит v скачков). Плотность и не зависит от того, из какого состояния и в какое происходит скачок (телеграфные процессы, у которых частота перескоков v зависит от того, в какое состояние происходит скачок, т.е. v — £/(«), задают процессы типа кенгуру). Вероятность появления N скачков на интервале Ai дается распределением Пуассона P(N,At) = ехр[—1/Д<]. Плотность распределения значений, которые принимает <*(<)-р(с*) = - Cfc), где Рк - вероятность значения с Множество значений может быть как дискретным, так и непрерывным. Корреляционная функция процессов Кубо-Андерсона имеет вид < a(t -f r)o;(i) >= о-2 ехр(-у|т|). ФД имеет вид (здесь и далее аргументы у F(t,a(t) и Ф*[«(г)] в правых частях не выписываем):

< F(t, cv(0)$iH >=< > -и < F<bt > < F >< Ф, > .

-' - • ' (3)

В.частности, при F = (a(t))k имеем следующий результат:

^ < а*Ф*[а] >= -и < оскФг > +v < ак ><$t > + < <*fc$t >,' (4)

где <j>i = Щ1-. Для дихотомического процесса (Д-шум) с р(а) = = — <г)+ |б(« + <г), в силу его замечательного свойства сv2(i) = <т2 =

= const формула (4) упрощается и имеет вид:

^ < «<!>([«] >= -и < > + < аф( > . (5)

ФД (4), (5) для марковских процессов телеграфного типа впервые были введены нами. В §2.1.2. ФД применяются для вывода замкнутых уравнений для средних для линейной динамической системы, случайные коэффициенты которой являются телеграфными процессами Кубо-Андерсона

х = Ах + Вах + /, ' (6)

где x(t) = («i(0> •••, ®n(*))> " ~ мерный вектор, п х »¡-матрицы Ли В неслучайны и могут зависеть от t, f(t) = (fi(t), ...,/n(0) n-мерный вектор, вообще говоря, случайный и коррелирующий с процессом cv(t), но не-упреждающим образом, т.е. /(<) статистически зависит от значений а(т) при т < t. Оттаем, что начальные условия системы (6) задаются при t = 0. Они могут быть случайными и зависеть от а(т) при т < 0. Далее будет удобно включить зависимость от начальных условий в функцию f(t) и считать г(0) = 0 (что, очевидно, не ограничивает общности). Для определения среднего < x{t) > при скалярном <х применение ФД (4) приводит к цепочке зацепляющихся уравнений:

хк = (А -и)хк + Вхк+г + < nkf > < ак >< х > . (7)

<• нулевыми начальными условиями хк{0) = 0, где Xk(t) =< akx{t) >, к — 0,1,2,... Для марковского дихотомического процесса система (7) замыкается на шаге к = 2, поскольку a'2(t) = а2 = const.

В параграфе показывается, что цепочку уравнений (7) можно свести к замкнутому уравнению для искомого среднего < x(t) > вида:

<х>= (A-f /4эфф) < х- > +Дфф, (8)

где

/ cBl \ „ [ cp(c)dc An,фф = V ( -s ) = 1/В / —-^-,

ФФ \l -cBl/r J dj + v-A-cB Лфф = ((г^вГ/)/)е =

= (£ + „-а) [ [-,---fP(tJ\c)p(c)dcdf.

\dt I J J A- cB

P(t, f\c) - условная плотность вероятности. Интегральный оператор фигурирующий в выражении для эффективных параметров определи ется через матричную функцию Грина G(t, t ):

l9={it+V~Ä) 9= J*G(t,i')g(i')dt\

представляющую собой решение уравнения:

+ г/- а) б'(м') = 0, G(t,t) = /,

где I - единичная матрица.

В §'2.1.3, рассматривается пример получения уравнений для сред них от динамической переменной, описываемых линейными матричным] уравнениями. §2.1.4. посвящен усреднению нелинейных динамически: систем вида:

х = и(х, t) -f a(t)v(x,t), (9

где x(t) - по-прежнему n-мерный вектор, u(x,t) и v(x,t) - неслучай ные n-мерные векторные функции х и t, a(t) - скалярный случайны! процесс телеграфного типа. Считается, что начальные условия задань при t = 0. При определении распределений вероятности х для системь (9) использовано стохастическое уравнения Лиувилля. В частности, ДЛ5 одноточечной плотности вероятности P(x,t) в фазовом пространстве си стемы (9) замкнутое кинетическое уравнение при кубо-андерсоновскш флуктуациях о: имеет вид:

р = о, (ю;

^ + v + и + cv (

где й, V - операторы, определяемые как йд = э77(и»</)> »9 ~

= Х)Г=1 Оператор + и + й + ей)-1 находится из решени*

уравнения (— + и 4- й + су) г = д при г(х, 0) = 0. В параграфе 2.1.4 излагается процедура вывода замкнутых уравнений для распределен^ вероятности динамической системы:

х = и(х,а( 0), (п;

где 1/(з;,«(<)) - неслучайная функция и «(¿) - скалярный случайный процесс телеграфного типа. §'2.1.5. посвящен выводу замкнутых уравнений для средних динамической системы:

+а(')м(*> я) х = х1)> (12)

где г.(1.) скалярная переменная, - дифференциальные операторы:

"(«•г)=¿'"'4'

х 7 ¿=0 4 у 1=0

с т < п, пц(<) - неслучайные скалярные функции, а(1) - цветной

шум Кубо-Андерсона.

В §2.2. дается вывод уравнений для средних от динамических переменных при возмущении цветными шумами типа кенгуру. Для этих моделей марковских скачкообразных процессов вероятность перескока в некоторое состояние зависит от состояния, из которого происходит скачок, так что V — ¡/(о). г)то обстоятельство приводит к тому, что корреляционная функция шума является монотонно убывающей, но не обязательно по экспоненциальному закону. В §2.2.1. дается определение процесса и приводятся формулы дифференцирования:

>=< ¿(^Ф,) >-<уРФ1>+<1/Р> <иФ,> . (13)

(И, о1 < и >

В §2.2.2. для суммы независимых процессов Кубо-Андерсона доказывается ее сходимость к гауссовскому марковскому процессу на языке формул дифференцирования (центральная предельная теорема в новом представлении). В §2,2.3. рассматривается линейная динамическая система вида:

■х = А( а)х + /, (14)

где ¡¿'(¿) - п - мерный вектор динамической переменной, Л(т) - матрица п х и, зависящая от случайного процесса а(/), п - мерный вектор }{1) допускается случайным и статистически зависящим от процесса г*(т) при т < I. Показывается, например, что применение ФД для среднего < я:(<) > приводит к цепочке зацепляющихся уравнений для переменных хкгп =< 1/тАкх > (к,т = 0,1,...):

¿кт = Льт^О! + /кт + ®* + 1,т ~ Я*,т+1 , (1'Г>)

где

^ ¡.т+1 А к -у

■Акт — * , /ьп =< > •

< V >

Дается алгоритм сведения цепочки к замкнутой системе двух линейных уравнений, которая для трансформанты Лапласа от < ж(^) > имеет вид:

= —— /---Л Х01Ы + /---,

(16)

где

<

■•П») >0= IУ .../Р(в,/|с)р(с)сЫ/.

В §2.2.4. выводятся замкнутые кинетические уравнения для нелинейной динамической системы

х = Щх, «(<)), (18)

где х({) - по-прежнему ?1-мерный вектор, (/ = (£/1,..., IIп) - п - мерная векторная функция, зависящая от а;^) и скалярного случайного процесса а({) класса кенгуру. В §2.2.5. излагаются процедуры получения замкнутых уравнений для средних для динамических систем, коэффициенты которых зависят от времени

х = «(ас, 0 + «ОММО' (20)

при детерминированных матричных (в (19) и векторных (в (20)) функциях А, В, и, у к случайном ск(<) из класса кенгуру.

В главе 3 дается систематическое применение аппарата ФД к динамическим системам, возмущаемым цветными шумами, относящимся к классу марковских диффузионных процессов, а также луассоновскис процессы с экспоненциальной формой импульсов. В число рассмотренных моделей воздействий диффузионного типа вошли гауссовский марковский (или шум Орнштейна-Уленбека), процессы Рэлея, Пирсона и другие. В §3.1. приведены необходимые сведения о рассматриваемых

процессах и выписаны формулы дифференцирования. Например, общий вид ФД для шума Орнштейна-Уленбека таков:

Ш №°>*«Н> = (я(г**)) - + (да*) ■ (21)

(<т2 —< «2 >) и, в частном, но весьма употребительном в приложениях, случае, когда в (21) ^ = ак, к = 1,2,...:

^ <а*Ф«[а]) = (а*Ф,) - ик <а*Ф«) + VIт2к(к - 1) (а*"2Ф<) . (22)

В §3.2. для динамической системы вида (6), с «(<) в виде перечисленных выше моделей цветных шумов с помощью ФД выписаны цепочки уравнений для средних хк. В §3.3.1. излагается процедура редукции цепочек к замкнутому уравнению для искомого среднего. Например, показано, что цепочка уравнений (при воздействии ОУ шума на систему (б)):

хк = {А-ку)хк +Вхк+1+к(к-1)и1т2хк.2+ < ак/ >, (к = 0,1, 2,...) (23)

может быть сведена к линейной перенормированной системе вида (8) с

оо

Лэфф = В Ь\Ь2--Ьк-\Рк, к-2

ЛФФ = /о + я ^"1/1 + . (24)

где, входящие в эти выражения, операторы Ьк, Г)к и функции (¡к определяются из рекуррентных соотношений:

Ьк = [ 1 - к(к - 1)иа'%Ьк-21к-1]-%В = §кВ, п = &[/* + *(*- (25)

Ьк = Щ - 1)»/<Т2,§4(1)4-2 + ¿*_2Дь-0.

с начальными условиями: ¿о = 0, </0 = О, £>о = 1- Интегральный оператор 4 = {-щ + ки - А)~Х, а функция Д =< «*(<)/ > . Аналогичные результаты приведены для других моделей цветных шумов диффузионного типа и пуассоновс.ких. §3.4. посвящен приближенному анализу цепочек уравнений и эффективных уравнений для средних в случае быстрофлуктуирующих воздействий. Представлены и обоснованы

схемы приближенного замыкания цепочек, вытекающие непосредстве! но из формул дифференцирования. Например, для быстрофлуктуирз ющего ОУ шума правило обрыва цепочек в представлении моментны функций имеет вид: < ак+гх >= к а"2 < ак~1х >. При к = 1 приведет ная схема замыкания отвечает так называемому приближению Бурре. 1 представлении кумулянтных функций вытекающее из ФД правило за мыкания имеет вид < >= 0, где среднее слева представляв

собой некоторую линейную комбинацию моментных функций, напри мер, < а^х >= бег2 < > —Зсг4 < а: > . В §3.5. проведено сравне ние с результатами приближенного анализа в рамках точно решаемы: динамических систем, возмущаемых шумом ОУ. Показано, что в пре деле быстрофлуктуирующих воздействий предлагаемые схемы замыка ния уравнений для средних (при к = 1,2,3) обеспечивают с ростом I быструю сходимость к точным решениям.

В §3.6. рассматривается задача статистического описания (в рам ках аппарата ФД) динамических систем в диффузионном приближении когда на систему воздействуют белые шумы гаус.совской и пуассонов ской статистики. Изложена процедура вывода кинетических уравненш Фоккера-Планка и Колмогорова-Феллера, основанная на использование стохастических уравнений Лиувилля, уравнений динамической системы и ФД для марковских гауссовского и пуассоновского цветных шумов с последующим переходом в цепочках уравнений для средних к пределу белого шума. Показывается, что аппарат ФД обладает той же степенью общности, что и другие методы, используемые при статистическом описании динамических систем в диффузионном приближении.

В §3.7. обсуждается вопрос о связи аппарата ФД. статистических средних с методом расширения, пространства динамических переменных часто используемым при вероятностном описании динамических систем в поле цветных шумов. Включение в число динамических переменных задачи само случайное воздействие и его динамическое уравнение приводят к тому, что статистическое описание расширенной динамической системы проводится в диффузионном приближении. Получающиеся при этом кинетические уравнения Фоккера-Планка (если цветной шум получался в результате фильтрации гауссовского белого шума) или Колмогорова-Феллера (если фильтровался пуассоновский белый шум) определены в пространствах большей размерности. Показано, что ФД приводят к тем же цепочкам уравнений для средних, при этом существенно упрощая процедуру их получения с помощью кинетических уравнений для расширенной системы. §3.8. посвящен примене-

нию ФД в представлении кумулянтных функций. В этом представлении цепочки зацепляющихся уравнений для средних имеют более сложную структуру по переменным цепочки (индекс к). Наиболее простой структурой обладают цепочки для динамических систем, возмущаемых цветным шумом ОУ. В качестве примеров применения ФД для ОУ шума в кумулянтном представлении рассмотрены динамические системы (6) и (12). Выписаны цепочки уравнений для средних, обсуждается их редукция к замкнутым уравнениям для искомого среднего. В случае, когда коэффициенты динамических уравнений не зависят от времени, полученные результаты совпадают с ранее известными.

В главах 2, 3 диссертации было показано, что для широкого класса динамических систем (линейных и нелинейных) и моделей цветных шумов в рамках применения аппарата ФД статистических средних можно получать замкнутые уравнения для различных средних — моментов, кумулянтов, распределений. Эти уравнения уже не содержат случайных параметров и для их решения можно применять известные аналитические и численные методы. Важной особенностью уравнений, описывающих усредненное поведение динамических систем в поле цветных шумов, является присутствие в них интегральных зависимостей. В пределе белого шума интегральные зависимости исчезают и уравнения трансформируются в системы дифференциальных уравнений в обыкновенных или частных производных. В главе 4 дается развитие предложенного в работах А.Н.Филатова метода усреднения нелинейных интегро-дифференциальных (ИДУ). В главах 5,7 дается его применение к ряду уравнений, возникающих при статистическом описании динамических систем, возмущаемых коррелированными шумами. В главе 4 рассматриваются системы ИДУ эволюционного типа, а также ИДУ с многоточечными линейными и нелинейными краевыми условиями. В §4.1. обосновываются теоремы усреднения для систем ИДУ типа Вольтерра:

t S

^ = ex(t,xJ<p(t,s,x{s),Jyl>(t,8,T,z{T))dT)d8), i(0) = «o. (25)

о о

Показывается, что решение системы (25) и системы '

t S

^ = (t, и, J <p(t, 8, и(0, J 8, г, u(t))dr)ds), u(0) = (26)

при достаточно малых е как угодно близки на интервале длины порядка

1Л,

Теорема1. Пусть вектор-функции Xй, £/), определены и непрерывны в области

Е - Ц>0,8>0,т>0,х = (хх,...,хп)е О С Еп,

У = (з/г,-,Ут) 6 Д С = (гь...,гк) € П2 С Ек}

и в этой области удовлетворяют условиям:

1) функция Х(Ь,х,у) ограничена и имеет непрерывные и ограниченные частные производные по х и у

\\X{t,x,y)\\<N,

8X(t,x,y(t,x))

дх

< С,

dX(i,x,y)

ду

2) функция <p(t,s,x,z) имеет непрерывную и ограниченную частную производную по z

d<p(t,s,z,z) dz

< М\

3) для функций

Q(t,s,x) = J<plt,T,x,J ijt(t,T,si,x))dsi I dr

Т

Ф (t,s,r,x) = J rf)(t,s,si,x)dsi

существуют положительные функции <po(t,s), ip\(t,.s, т), такие, что

\d<p(t,s,T,x)\

-(fe- <A<p0(t,s),

дх t »

< B<p\ (t, s, r),

lim - [ ipolt, s)ds = 0, hm - f ds [dr<p\(t, s,t) = 0. t-юо t J t—oo t J J

о oo

Тогда любым сколь угодно малым p>0ui]>Qu сколь угодно большому L можно поставить в соответствие такое ео > 0, что если

и = - решение, системы (26), определенное на интервале 0 < I < Ь/е и принадлежащее области О вместе со своей р-окрестностью, то для О < е < ео на интервале О < I < Ь/е будет выполняться неравенство ||х(0 - и(*)|| < ц.

В §4.2. для системы (25) дано обоснование близости ее решения на интервале 0 < £ < Ь/е к решению задачи:

ОС сю

~ = ср(1,8,и{1), и(0) = хо. (27)

о о

В §4.3. обосновываются различные схемы усреднения системы (25) с линейными и нелинейными многоточечными краевыми условиями.

Главы 5-7 посвящены применению аппарата формулы дифференцирования статистических средних для описания усредненного поведения конкретных физических систем со случайно меняющимися параметрами. Основное внимание при этом уделяется получению точных и асимптотически точных результатов и выявлению эффектов, связанных с конечностью времени спада корреляций случайных воздействий, в том числе, с влиянием формы спектра шума и статистики шума.

В §5.1. обсуждается одномерная нелинейная динамическая система

х= Г(х) + п(1)д(х), (28)

возмущаемая цветными шумами Орнштейна-Уленбека и Рэлея, для которой можно получить точные решения стационарных уравнений Фок-кера-Планка (ФП), изучить влияние асимметричных флуктуаций, в том числе индуцированные цветным шумом Рэлея фазовые переходы.

Стохастическое уравнение для процессов Рэлея имеет вид а + ¡/а — ^ = С) где чир - параметры, 0 < а < оо и С(£) - гаус.совский белый шум с < ((¿) >= 0 и автокорреляционной функцией < С('< + т)((1) >= (£>/'2)6(7). Параметр определяет характерное время спада корреляций шума а, а параметр (5 задает показатель степенного поведения распределения шума Рэлея в окрестности точки а = 0. Показана возможность получения точных решений для двух случаев

/3 = 0,20в = 4р/Ю).

Динамические системы с флуктуирующими параметрами вида (28) являются объектом интенсивных исследований в связи с многочисленными задачами физической и химической кинетики, в частности, они часто применяются при изучении явлений вблизи точек фазовых переходов. Полученные в параграфе результаты значительно расширяют класс

точно решаемых моделей нелинейных систем, возмущаемых параметрически цветным шумом ОУ. Они включают в себя классы систем, исследованные ранее. Для систем, возмущаемых шумом Рэлея, точно решаемые модели представлены впервые. В приведенной ниже таблице перечислены возможные связи между функциями f(x) и д{х), обеспечивающие существование точных решений двумерного стационарного уравнения ФП для расширенной динамической системы (х, а). В таблице использованы следующие обозначения: Д = (|)2 - а2, где а - некоторая постоянная,

I

= -ф, Y(k, т, х) - функция Уиттекера, с, Ь, ci, С2 = const.

Таблица

№ 7{х)> Д=0 (а = ±£) s P Ш Д^о

cexp(2abi;) — +62] v = fm »1 S2 0 2 0,2 0,2 «р eXp(*i3)yf y/i v еХР("^2)у/ d+czf exp dfj cii+c2(exp(-^2) + i)«)] ^.¿.Й) (Д>о) Sl,2 = 4^(2Я± У)

На рисунке 1 для модели Хонглера

¿ = ——Иг(/.1нх) + (29)

/«я 4

(цн — 2л/2), часто используемой в теории индуцированных шумом фазовых переходов, представлены графики стационарных распределений при воздействии симметричного ОУ шума (кривая 1) и асимметричного шума (/? = 0, кривая 2) в зависимости от интенсивности шума.

Значение £) = Д» = 16 (рис. 1а) соответствует точке фазового перехода, в результате которого происходит трансформация одномодового распределения в двухмодовое. Для асимметричного шума точка перехода смещается в область больших значений интенсивности шума и расщепление распределения происходит при О = £>** яз 100. Распределения

Рис. 1: а-Д = 16 = Д.; б-О = 60 и Д»; в-£> = 100, и = 1, г =

1 и 2 имеют разные асимптотики в области положительных и отрицательных х. Индуцированный асимметричным шумом фазовый переход проявляется в том, что на фоне уже имеющегося устойчивого стационарного состояния возникает еще одно устойчивое стационарное состояние в области отрицательных значений динамической переменной. Причем в широкой области параметров шума статистический вес. новой фазы мал. Подробно рассмотрены и другие особенности полученных решений. В частности, обсуждается вид стационарных распределений на бифуркационной прямой отделяющей область физических решений от нефизических.

В §5.1. вычисляются одноточечные моменты степени р для системы (28) со степенными нелинейностями:

х = чх + дхт + Х1]Ц),

(30)

где т = 0,1,2, ...у, д - параметры и т](1) - гауссовский белый шум интенсивностью О и средним, равным нулю. Особый интерес вызывает временная эволюция моментов < жр(<) > при 7 —» 0 и £ —>■ оо. В этом пределе уравнение (30) используется для описания поведения параметра порядка в области сильных флуктуаций. Ранее было показано, что в указанной асимптотике моменты < жр(£) > стремятся к нулю по степенному закону:

< хр(1) >;

уД'

где ар - некоторые постоянные. Речь идет о так называемом эффекте

критически медленной релаксации (critical slown down) параметра порядка при приближении к точке фазового перехода. В диссертации этот важный факт в рамках модели (30) был установлен более простым путем в рамках аппарата ФД статистических средних.

§ 5.3. детально исследуются нестационарные распределения системы двух диссипативно связанных осциляторов Дуффинга

¿1 +ek1il + iljxi +ес(хх - ¿2) = Ve/i(i). j

¿2 + ек2х2 + + ес{х\ - х2) - V^hi0> (31)

где е > 0 - малый параметр, возмущаемых статистически независимыми гауссовскими дельта-коррелированными случайными силами .fi(i) и /s(i) с интенсивностями D\ и соответственно. Для статистического описания используется аппарат ФД и асимптотический метод усреднения Крылова-Боголюбова-Хасьминского. Получено усредненное кинетическое уравнение Фоккера-Планка для плотности вероятности перехода и получено его общее нестационарное решение при поглощающих граничных условиях. В литературе ранее были исследованы одно и двухча-стотные стационарные режимы. В частности показано, что в условиях несинхронизированных колебаний амплитуды колебаний представляют собой независимые случайные процессы со статистикой Рэлея. Получена четырехмерная совместная плотность вероятности и на ее основе вычислена корреляционная матрица. Приведем выражение для совместного распределения амплитуд колебаний осцилляторов:

4 __»+«п _ S+SO

P(ai,a2,t) = у—г^лДгол/ууос »-«i(«)e х

(о-ду

(^f)'»)' (32)

где Kit2(s) = ехр[—2 + c)i], /0 - функция Бесселя, г = <т2 =

D, а.%

~ nf(fci+c)' У — 2Д5"> 2о> Уо - начальные условия.

Рассмотрен также случай, когда случайное возмущение возбуждает только один из осцилляторов. Динамика возбуждаемого осциллятора допускает два режима - стационарный и нестационарный. Подробно проанализированы оба режима. Пусть /2(i) = 0 и фазы колебаний осцилляторов не синхронизованы, тогда плотность вероятности перехода

из начального состояния ах = «ю, «2 = «20 при I = 0 в некоторое состояние ах, аг в момент ( принимает вид:

т \ ^Х/ Г -» 7

<Э(аьа2,г|...) = — ё(а2 - а20е ")у/гв 1е '-'М 70 I )•

(32)

где 6 = \{к2 + с).

В § 5.4. изучается влияние коррелированного стохастического электрического поля, моделируемого процессами телеграфного типа на устойчивость поверхностных колебаний идеально проводящей жидкости. Теоретический и практический интерес представляет вопрос о том, как влияет ширина и форма спектра внешнего поля на характер возбуждения и устойчивость поверхностных волн. Приведем результаты для следующей модели стохастического поля Е= + Ь) + ^(я — ¿)«(0> где а и & некоторые постоянные ип(()- симметричный Д-шум со значениями а = ±1. Показано, что эффективная частота и затухание поверхностных волн имеет вид:

(34)

^ + " ' (35)

' 2 2П(Ь)(2м + /?)[м2 + + ВД]' 1'

где

0 = р(к) = к\ £ = = <Л(к)=и1{к)-С?1±^к2.

97Гр 07Г р

Параметр V здесь - кинематическая вязкость жидкости, ¿-волновое число, ¡^о(к) — (ак3/р)+дк - закон дисперсии гравитационно-капиллярных волн, - характерное время спада Д-шума. Зависимость эффективного закона дисперсии поверхностных волн от /л является принципиально важной, особенно в области параметров, где Щк) —+ 0, т.е. в области потери устойчивости при постоянном электрическом поле. Анализ полученных выражений показывает, в частности, что случайное электрическое поле, обладающее конечным временем спада корреляций (соответственно, конечной шириной спектра флуктуаций) существенным образом изменяет характер развития неустойчивости поверхностных волн. Наиболее интересная особенность состоит в том, что низкочастотные флуктуации поля Е±(() и его асимметрия (характеризуемая

параметром Е0± = [< E\(t) >}1'2 в законе дисперсии il{k)) „работают" в противоположных направлениях. Так, если постоянная компонента поля ведет к £1(к) —► 0 + 0, то поверхность жидкости устойчива. Флуктуирующая же составляющая этого поля возбуждает поверхностные колебания и ведет к их параметрической стохастической неустойчивости. Если в постоянном поле Е± поверхность жидкости неустойчива (при этом П(к) < 0), то низкочастотные флуктуации стохастического электрического поля ведут, наоборот, к стабилизации в среднеквадратичном поверхностных колебаний. Обсуждается возможность экспериментальной проверки рассмотренного эффекта.

В. § 5.5. изучается осциллятор с. флуктуирующей частотой, когда цветной Д-шум управляет включениями гауссовского белого шума. Рассматриваемая модель описывает перемежаемость случайнных и детерминированных движений. Показано, что линейный маятник с вибрирующей точкой подвеса более устойчив (в среднеквадратичном) к стохастической вибрации точки подвеса, если при этом дополнительно происходят еще и случайные сбои в динамике вибраций.

Динамика квадратичных характеристик x2(t), 1>2(t) и x(t)v(t) описывается уравнением:

« = Аи + ci(i)Bu + F, (36)

где uT(t) = (x2(t),x(t)v(t),v2(t)), - транспонированный вектор-столбец,

О ),*•(*)=( «(07(f) ). о/ \Mt)f(t)J

х(f), v(t) - координата и скорость осциллятора, s - частота релаксации, шо -собственная частота осциллятора, 7(i) - характеризует действие внешней случайной силы. Процесс у(t) представляет собой гаус-совский белый шум интенсивности D. Считается, что процессы a(t) и y(t) статистически не связаны между собой. Рассмотрен случай, a(t) = |(1 + a(t))f(t), где f(t) - гауссовский белый шум интенсивности D, а a(t) - марковский Д-шум со значениями ±1. Считается, что процессы а й f(t) также статистически независимы. Решение для среднеквадратичных характеристик в стационарном случае имеет вид

< ® >ст= д, < V >ст= -д2-, < XV >ст= 0, (37)

ц_

Д = еи,% - Dp—9 - (е + 2v) [w02 + v(e + v)\.

0 2 0 ^ J f 0 0

~e 1 ,B = 0

0 -2c) 1 Го1 -2

тичном. Область устойчивости заштрихована, г/* = 0.48.

Здесь I/-1 - характерное время спада корреляций Д-шума. В отсутствии случайных включений шума / среднеквадратичная устойчивость осциллятора имеет место при О < еи>1. Импульсные включения поля /(£) существенно перестраивают динамику системы. Происходит перестройка и фазового пространства переменных (О, е,шо)- Появляется дополнительная размерность, связанная с частотой V включений поля /, и -становится, таким образом, управляющим параметром. На рис. 2 представлена диаграмма устойчивости осциллятора в среднеквадратичном. Физически появление двух областей Б связано с тем, что дихотомические включения параметрической гауссовской случайной силы сообщает осциллятору черты двухуровневой системы. Уровень 0 < Б < характеризует низкочастотные формы движения осциллятора. Например, в пределе очень быстрых включений и ш0,е для О имеем 0 < Б < 2. Уровень Б+ < Б < 2д соответствует высокочастотным формам движений и при V > и>о,£ имеем 2иг < Б < 4^3.

Таким образом, проведенное, рассмотрение показывает, что случайные включения случайной силы приводят к повышению среднеквадратичной устойчивости параметрического осциллятора.

В§ 5.7. обсуждаются особенности нестационарной динамики броуновской частицы в стохастической слоис.то-неоднородной среде. Случайное чередование слоев с различными характеристиками моделируется слу-

чайными изменениями коэффициента трения броуновской частицы:

7+(Ао + а(<))7 = /(0 (38)

где У(г) - скорость частицы, А о - коэффициент трения в однородной среде, /(£) - гауссовский белый шум интенсивности Б и нулевым средним, а а(£) - Д-шум со значениями «(<) = ±а. В рамках аппарата ФД проведены усреднения по статистикам шумов, получены цепочки уравнений для одноточечных моментных функций скорости частицы порядка п = 1,2,..., уравнение эволюции среднеквадратичных флуктуаций координаты, а также кинетическое уравнение для распределения частиц по скоростям. Показано, что среднеквадратичные флуктуации скорости частицы при некоторых V являются немонотонными функциями времени и имеют минимум. Стационарные среднеквадратичные флуктуации скорости частицы:

Я2СТ = т-, (39)

^эфф

где параметр

Аэфф = Аэфф(^) = (2А2 + А0г/ - 2<г2)/(1/ + 2А0), (40)

имеет смысл коэффициента эффективного трения для броуновской частицы в стохастически слоисто-неоднородной среде. При любых и Аэфф < Ао- Для среднеквадратичных флуктуаций координаты в асимптотике больших получаем:

(хя(0 ) = в(е,к)(хЩст, (41)

^ <*2(0>одн = Щи 9(е, к) =

Отличие от случая стохастически однородной среды состоит в дополнительном множителе в. Так как функция в при любых значениях параметров £ и к превышает 1, то среднеквадратичные флуктуации координаты броуновской частицы в стохастически слоисто-неоднородной среде растут быстрее. Эффект роста значителен в области, где к, с га 1. Например, 0(1,0.9) = 5.17. При г > 1 функция в 1 и (х2(*)) <®2(0)одн-Полученное выражение для (е2(<)) можно переписать также в виде (ж2(<)) = 2Ц>фф2, где коэффициент Дфф = к) имеет смысл эф-

фективного коэффициента диффузии частицы, причем Д,фф > Аэдн = ^г, где Содн - коэффициент диффузии частицы в однородной среде.

Стационарное распределение скорости броуновской частицы в общем случае является решением дифференциального уравнения третьего порядка. В частном случае слоисто-неоднородных сред в виде частой гребенки, распределение имеет вид Р(У) = Лу(£) + ЗУ2)13, где /3 = (До + <5)/2<5, N - нормировочная постоянная и 6 = Нт|/_00(сг2/у) (причем 6 < До)- Это хорошо известное в теории вероятности бета-распределение Пирсона.

В § 5.7. обсуждаются статистические характеристики коэффициента прохождения и отражения волны в периодической среде с хаотической модуляцией. Рассматривается плоскослоистая неоднородная среда, заключенная в области 0 < х < Ь (х - нормаль к слою), на которую справа падает волна яехр (—гаеж). Внутри слоя 0 < х < Ь волновое поле и(х) описывается волновым уравнением

¡7 + аз2(1 + «(ж))Г/ = 0,

(42)

где аг - волновое число, a(L) = c/i(i) cos L, где <т = const и ц{Ь) - марковский Д-шум, принимающий значения ±1. Подобным образом можно моделировать периодическую слоисто-неоднородную среду со случайными нарушениями периодичности. Эта модель интересна тем, что в ней можно проследить влияние формы спектра шума на осредненное поведение. В области L < х < оо имеем как падающую, так и отраженную волны, и потому U(x) = a(L) ехр(—г'эеж) -f Ь(1) ехр(г'эйа:). Коэффициент отражения r(L) определяется отношением г(Т) = Показано, что

средний коэффициент прохождения волны определяется зависимостью:

h(aeey/gLx)'

(43)

где функция i?(ae.,i/) равна

д(эе, v) = -

1

+

1

V1 + (2эз + I)2 v2 -f (2se — 1)

В случае конечных V (г/-1 - характерный корреляционный радиус флук-туаций показателя преломления) функция д(эе, и) представляет собой некоторую дисперсионную зависимость с ярко выраженным резонансным поведением при малых V в точках ае = что соответствует

2

U

2

возбуждению в системе основного параметрического резонанса. Резонансный характер функции д приводит к тому, что, в отличие от известного результата - гауесовский белый шум), глубина проникновения волны в слой за счет стохастической модуляции может значительно уменьшиться при резонансе эе = ±5. Возникает область непрозрачности для волны (отражение волны) для слоев конечной толщины, в противоположность тому, что имело место в случае дельта-коррелированных флуктуаций показателя преломления, когда отражение наступало в асимптотическом пределе Ь —► оо.

Таким образом, цветной шум с формой спектра в виде горба при некотором к приводит к резонансному отражению волны.

В §5.8. в рамках известной модели Смолуховского рассмотрен процесс коагуляции при наличии в системе стохастических источников и стоков час.тиц. Приведены точные результаты теоретического исследования установившейся усредненной динамики счетной концентрации для постоянного ядра коагуляции. В качестве модели случайного источника и стока выбран марковский дихотомический шум. Выведено кинетическое уравнение для счетной концентрации частиц, получено его стационарное решение, отвечающее, произвольным значениям времени спада корреляций шума. Показано, что частота, с которой включается (выключается) источник или сток частиц, является параметром порядка и при разных значениях частоты реализуется множество „сценариев" установившейся усредненной динамики счетной концентрации. В частности, в задаче, когда стохастический источник и сток „работают" в про-тивофазе, допускается девять типов стационарных распределений для счетной концентрации, в том числе немонотонные, включая одномодо-вые и с двумя экстремумами ( рис. 3). Результаты этого параграфа иллюстрируют особенности индуцированных цветным Д-шумом фазовых переходов в системе коагулирующих частиц.

Результаты могут оказаться полезными при решении „проблемы управления" процессом агрегации. Было показано, что подбором соответствующей частоты включений источника и стока частиц можно локализовать наиболее вероятное значение установившейся счетной концентрации N в определенной области промежутка ее изменения. Другими словами, при соответствующей „настройке" параметров можно сдвигать наиболее вероятные значения счетной концентрации в область малых или больших значений ./V, способствуя тем самым образованию кластеров определенных (заданных) размеров.

Важно также, что исследование установившегося распределения для

Рис. 3: Сечение фазового пространства (г, 6, к) плоскостью 8 = const (к задаче о коагуляции в системе с противофазным включением стохастического источника и стока. Параметры е = и/а, 6 = у/а, к = ¡/а, где а = const - ядро коагуляции, у - константа релаксации, I - интенсивность источника.

счетной концентрации при известных характеристиках источника и стока позволяет произвести оценку ядра коагуляции. С другой стороны, если известны ядро коагуляции и интенсивности поступления и стока частиц, появляется принципиальная возможность оценить эффективную частоту включений источника и стока. Для этого достаточно определить (измерить) экстремальные, значения N.

В §5.9. обсуждается вопрос, моделирования сложной динамики, представленной в форме временных рядов. Динамические объекты в поле случайных сил характеризуются сложным пространственным и временным поведением. Например, классический объект исследования в физике - жидкости и газы в условиях развитых турбулентных течений демонстрирует огромное разнообразие пространственно-временных форм поведения и их влияния на физико-химические процессы. Их экспериментальное изучение в значительной мере основано на измерениях гидродинамических полей (скорости, температуры и т.п.). Результатом измерений являются значения скорости, температуры и т.п. как функции времени - так называемые временные, ряды (ВР). Суть предлагаемого метода обработки и моделирования сложных динамических процессов, представленных в форме временных рядов, удобно проиллюстрировать на основе схематической динамики объекта, где переменная пе-

ременная, характеризующая состояние рассматриваемого объекта в момент времени ((см. рис. 4а). Зафиксируем точки переключения от режима возрастания к режиму убывания и рассмотрим отдельно режим возрастания временного ряда. Представим, что отрезки соответствующие периодам возрастания, исходят из одной точки (рис. 46). В результате получим „веер лучей", где каждый луч характеризуется своим углом наклона и задает на соответствующем промежутке времени рост функции х{1). Аналогично для участков убывания - рис. 4в).

Из рисунков 46) и 4в) видно, что для ВР всегда можно выбрать тем и.ли иным способом некоторый эффективный (средний) угол наклона луча. Далее полагаем, что на участках возрастания ВР, изменение функции х(1) происходит по „закону эффективного луча". Обозначим получившуюся кусочно-гладкую функцию через Принимается, что эта функция описывает ВР х(() на участках возрастания. Повторяя рассуждения для промежутков времени, где ВР убывает (рис.. 4в), получаем функцию которая характеризует ВР х(1) с некоторой точностью на участках убывания. В результате ВР х(I) на временах наблюдения может быть аппроксимирован некоторым эффективным временным рядом + Причем по построению точность приближения за-

б)

Рис. 4: Схематическая динамика объекта бражающих участки роста и убывания.

В)

а, б, в- „веера лучей", ото-

висит от того, как выбираются "эффективные лучи" . К достоинствам подобного построения можно отнести то, что для описания поведения ВР функции и могут быть пред ставлены, простыми гладкими

кривыми, например, степенными (в частности, линейными) и экспоненциальными функциями. Как правило, для реальных ВР угол раскрытия веера невелик. Для большого числа ВР из динамики атмосферных процессов построены распределения углов раскрытия, из которых следует, что угол рас.крытыия не превышает половины радиана.

Дана математическая формулировка подхода моделирования ВР в рамках представлений перемешивания случайного, детерминированного или в виде смеси случайных и детерминированных монотонных движений, отвечающих участкам убывания и возрастания ВР. Разработан комплекс программ для ЭВМ, прошедший государственную регистрацию с выдачей авторского свидетельства, который позволяет практически ,в автоматическом режиме производить моделирование и экстраполяцию ВР, определять модельное уравнение (дифференциальное уравнение 1-го порядка с зависящими от времени коэффициентами). При случайных переключениях монотонных движений это уравнение является стохастическим. Проанализирован точно решаемый пример стохастического ВР, когда монотонные динамики описываются логистической моделью и

НАПРАВЛЯЮЩЕЕ

' ' ' " | -ьт

ЩIIИ11111111.........1111111.......11III1111111III1111......111111111

11иii11

X. о 31)7 а 307 (I

г о 299 о 298. 7

3 о 318 0 311. 3

4 о 309 О 302. 4

а о 316 о 314. 1

6 о 303 о зоз. О

1 о 313 о 316. 3

в о 308 о 307. а

9 а 311 0 318. □

.....1°. Р 299 о 308. 7

иг

т»: 1 .о 0.(3000

та: 1.1 о.ю25

> у уг= 14.09 -8.28 хо.»2 х1.04

11181

у

Рис. 5: Временной ряд „Концентрация озона". 1. - фактические данные, 2. - модель ВР, 3. - экстраполяция.

моделью с экспоненциальным затуханием, а перемешивание происходит по закону Д-шума. Построена фазовая плоскость параметров со всеми возможными видами (всего семь) стационарных распределений вероятности. Показано, что частота переключений монотонных динамик является параметром порядка и классифицирует индуцированные цветным шумом фазовые переходы. Ниже приведены результаты моделирования (рис. .5) с помощью разработанной методики ряда, описывающего изменение концентрации озона между 60° с.ш. и 69° ю.ш. в период с 1978 г. по 1990 г. (моделирующие функции У |= а;0-92 —для участков возрастания и — У ( = а:104 - убывания, х = ¿). Среднеквадратичное отклонение Г) модели от фактических данных, представленное в верхнем левом углу рабочего экрана программы ( см. рис.. 5), составляет 1,3%. Из рисунка видно близкое совпадение экстраполирующей кривой с фактическими данными. Отклонение экстраполирующей кривой по своему значению близко к среднеквадратичному отклонению модели.

Представляется, что изложенный подход к математическому модели-

рованию сложных динамических процессов может быть полезен также при обработке данных физического эксперимента.

В главе б (§§ 6.1.-6.3.) развивается новый подход к тестированию случайных шумов. В основу подхода положены нелинейные распределенные фильтры (НРФ), представляющие собой некоторый реальный в пространстве и во времени физический процесс, либо специально подобранную математическую конструкцию, которую можно реализовать с помощью программных средств. Обсуждается использование в качестве НРФ нелинейных уединенных волн-солитонов. Математически НРФ могут быть сконструированы на основе точно решаемых моделей нелинейной физики. Сказанное иллюстрируется на примерах стохастических уравнений Кортевега де Вриза (КДВ), синус-Гордона (СГ) и нелинейного уравнения Шредингера (НУШ). Обсуждается обратная задача о восстановлении статистических характеристик шума по тому, как ведет себя солитон в стохастической среде. Решена задача о точном разделении аддитивной смеси гауссова шума и детерминированного сигнала. Исследован вопрос о влиянии формы спектра флукутаций стохастической среды, на динамику распространяющегося в ней солитона. В частности показано, что деструкция солитона происходит благодаря присутствию в спектре флукутаций „низкочастотных" мод, особенно моды с нулевой частотой. Стохастические воздействия, обладающие плоской формой спектра подобно той, что имеет шум ОУ, ведут к увеличению скорости расплывания солитона, по более медленно, чем при гауссов-ском белом шуме. В том случае, когда спектральная функция случайных воздействий имеют форму „горба" и характеризуется малым весом низко- и высокочастотных мод, возможно резкое уменьшение величины коэффициента диффузии и, как следствие, значительное уменьшение скорости расплывания солитона.

В главе 7 исследуется усредненное поведение заряженной частицы в одномерном случайном электрическом поле с различными вероятностными характеристиками, в том числе формой спектра флуктуаций и статистикой. Основное внимание уделяется изучению действия цветных стохастических полей. В §7.1. рассматриваются две точно решаемые задачи. В первом случае электрическое поле Е(х) моделируется скачкообразным процессом телеграфного типа (шумы Кубо-Андерсона), во втором - Е(х) - процесс Пирсона с гамма распределением. В обоих случаях получены точные выражения характеристических функций для разности кинетических энергий частицы в двух точках стохастической среды. Особенности стохастического ускорения частицы флуктуациями поля

изучены на языке кумулянтных функций но четвертый порядок вклх чительно. Вычислены коэффициенты асимметрии и эксцесса. Показан что в асимптотике на больших дистанциях х - кумулянты растут I диффузионному закону ~ х.

В § 7.2. точно вычисляется средняя скорость частицы в случайн« неоднородном гауссовском электрическом поле с произвольным законо спада корреляций. С привлечением результатов предыдущей главы ш казывается, что „эволюция" средней скорости происходит аналогичн процессу изменения температурного поля в полуограниченном стер» не, один конец которого поддерживается при заданной температуре. : качестве временной переменной выступает координата, связанная с ко\: релятором поля, а пространственной — кинетическая энергия частит на входе в слой стохастической среды. Проводится также, рассмотрени частиц, захваченных флуктуациями поля и определяется граница обла ста запрета для проникновения частицы в стохастический слой.

В § 7.3. анализируется диффузия и дрейф частиц в быстрофлукту ирующих статистически однородных стационарных полях с конечны* временем спада корреляций. В отличие от прежних исследований вы явлено, что, в зависимости от вида временного спектра интенсивности поля, имеют место два качественно разных характера дрейфа и диффузии. В частности, поля со спектром, где отсутствуют пулевые частоты приводят к экспоненциальному росту средней скорости частицы и ее среднеквадратичных флуктуаций.

Заключительный параграф посвящен описанию поведения частиц в отдельных реализациях стохастического поля. Покачано, что для плавно неоднородных случайных полей можно ввести понятие фазовой плоскости, где в качестве фазовых переменных выступают значения кинетической энергии частицы в двух точках. Полученная связь между неусредненными величинами кинетической энергии частицы позволяет проанализировать динамику стохастического разгона частицы в зависимости от длины трассы. Одним из важных следствий рассмотрения является то, что при усреднении значительная часть информации о стохастическом ускорении теряется и проявляется опосредованно через рост высших моментов.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Заключение

В диссертационной работе, получены следующие, результаты:

1. Впервые: ФД статистических средних для класса распространенных марковских моделей телеграфного типа и шума Орнштейна-

Уленбека (ОУ), общий вид ФД для процессов немарковского типа, общий вид ФД для средних, содержащих функции от запаздывающих и опережающих функционалов марковских процессов.

2. На основе ФД развит конструктивный метод статистического описания динамических систем с флуктуирующими параметрами, позволяющий, в частности, для широкого класса динамических моделей и моделей цветных шумов получать замкнутые уравнения для различных средних - моментов, кумулянтов, распределений вероятности. Разработаны эффективные алгоритмы приближенного анализа для быстрофлуктуи-рующих процессов.

3. Для систем нелинейных ИДУ, встречающихся в задачах статистического описания динамических систем в поле цветных шумов, доказаны в рамках асимтотического метода усреднения новые теоремы усреднения для задачи Коши и многоточечных краевых задач.

4. В рамках точно решаемых моделей проведено систематическое изучение влияния конечности времени спада корреляций шума: на устойчивость поверхности проводящей жидкости в стохастическом электрическом поле, на маятник со стохастически вибрирующей точкой подвеса при наличии дополнительных случайных сбоев, на движение пробной частицы в одномерном случайно-неоднородном электрическом поле негауссовой статистики, на процессы коагуляции при наличии стохастических источников и стоков частиц, броуновской частицы в слоисто-неоднородной среде. Изучено влияние формы спектра шума на динамику: заряженной частицы в одномерном стохастическом поле, волны в одномерной слоисто-неоднородной среде, солитонов уравнения Кортеве-га де Вриза, нелинейного уравнения Щредингера и синус-Гордона. Показано, что усредненная динамика критична к наличий в спектре мод с нулевой „частотой". Флуктуаций, имеющие спектр в форме „горба" на некоторой „частоте", приводят к стохастическому ускорению частицы, резонансному отражению волны в слое и критическому замедлению диффузии формы солитонов.

5. Для динамической системы, описываемой нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка, возмущаемого параметрически цветными шумами ОУ и Рэлея, получены классы точных решений двумерного стационарного уравнения Фоккера-Планка. Исследовано влияние асимметричных флуктуаций на индуцированные шумом фазовые переходы.

6. Рассмотрена возможность анализа динамики заряженной частицы в отдельных реализациях случайного электрического поля. В одномер-

ном случае показано, что для плавно неоднородных полей это можис сделать там, где в качестве фазовых переменных, характеризующих поведение частицы выступают значения кинетической энергии частиц ь двух точках. Показано, что при статистическом усреднении теряется значительная часть информации о динамике стохастического ускорения и локализации частицы.

7. Предложен и развит метод математического моделирования сложных временных процессов (сложных динамик) на основе их представления как результата перемешивания детерминированного и (или) случайного простых монотонных движений. Разработан пакет программ для ЭВМ: с его помощью'обработан большой массив временных рядов из динамики атмосферных процессов. Покачано хорошее согласие результатов математического моделирования г. реальными данными.

8. Предложен новый способ диагностики шумов и точного разделения аддитивных смесей гауссова шума и детерминированных сигналов на основе применения НРФ, представляющих собой специальные точно решаемые модели нелинейной физики, в частности, солитонного типа. Проведено систематическое рассмотрение этого вопроса применительно к шумам гауссовой статистики. Показано, например, что аддитивная смесь детерминированного сигнала и гауссова шума в определенном фазовом пространстве описывают процесс переноса некоторой субстанции. При этом случайная компонента смеси отвечает исключительно за процессы диффузии субстанции, а детерминированная компонента за ее. конвективный перенос.

ЛИТЕРАТУРА

1. Shapiro V.E., Loginov V.M. „"Formulae of differentiation" and ttieir use for solving stochastic eguations //Physica A. 1978. v.91, P. 563-574.

2. Логинов В.M., Шапиро B.E. "Формулы дифференцирования" для расцепления корреляций в динамических системах с флуктуирующими параметрами. И //Препринт ИФСО-Г28Ф /Институт физики им.Л.В.КиренскогоСО АН СССР. Красноярск/, 1980. с. 44.

3. Шапиро В.Е., Логинов В.М. Динамические системы при случайных воздействиях. Новосибирск: Наука, 1983. 160 с.

4. Loginov V.M. Simple mathemat,ic.al tool for statistical description of dynamical systems under randorn actions.I //Acta Physic.a Polonica. 1996. v.27. N3. P.693-735.

5. Loginov V.M. Formubis of differentiation of statistical averages containing functions of advanced and retarded funxtionals of Markov processus

//Advanced in Modelling к Analysis, A. v. 30. N 2. 1995, P. 51-63.

6. Loginov V.M. On the calculation of functional from Wiener processes // Phys. Lett. A. 1985. v. 109. N8. P.374-376.

7. Логинов B.M. Формулы дифференцирования статистических средних, содержащих функции от запаздывающих и опережающих функционалов марковских процессов //Эргодическая теория марковских процессов. Всесоюзная школа-семинар. Тезисы докладов. 1987. Кызыл. С.37.

8. Бакшеев Н.В., Логинов В.М., Мушаилов Э.С., Цифринович В.И. Ядерная поперечная релаксация в магнетиках, индуцированная низкочастотными полями //Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1983. Т.85. в.3(9). С. 962-966.

9. Логинов В.М. Усреднение в системах интегро-дифференциальных уравнений специального типа //Дифференциальные уравнения, 1978. Т. 14. N10. С. 1875-1880.

10. Логинов В.М. Об одном способе усреднения.интегро-дифференциальных уравнений //Дифференциальные уравнения, 1980. Т.16. N9. С. 1716-1718.

11. Логинов В.М. Усреднение некоторых систем интегро-дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной, с многоточечным линейным краевым условием //Дифференциальные уравнения, 1981. Т. 17 N4. С. 689-696.

12. Логинов В.М. О теоремах сравнения решений интегро-дифферен-циальных уравнений с многоточечными краевыми условиями //Украинский математический журнал, 1980. Т.32. N3. С. 394-398.

13. В.М.Логинов. Способы укорочения нелинейных интегро-диффе-ренциальных уравнений в стандартной форме с многоточечными краевыми условиями //Труды 9 Международной конференции по нелинейным колебаниям/ т. 1. Киев: Наукова Думка, 1984. С.227-230.

14. Константинов А.Ф., Логинов В.М. Точно решаемые, модели нелинейных динамических систем, возмущаемых цветными шумами Орн-штейна-Уленбека и Рэлея //Теоретическая и математическая физика, 1993. Т.97. N3. С. 396-416.

15. Донгак М.Д., Логинов В.М. Нестационарные распределения связанных осцилляторов Дуффинга //Математическая физика и нелинейная механика. 1992. в.17(51). Киев: Наукова.Думка. С.38-43.

16. Логинов В.М., Шапиро В.Е. Устойчивость поверхности проводящей жидкости во флуктуирующем электрическом поле //10 Рижское совещание по магнитной гидродинамике, Рига: 1981. /Институт физики

АН Латв. ССР. т. 1. С. 13; //5 Всесоюзный съезд по теоретической прикладной механике, 1981. Алма-Ата. Тез. докл. С. 237.

17. Loginov V.M. Effective frequency and damping for surface waves a conducting fluid under the influence of a stochastic electric field //Physii Scripta. 1992. v.46. P.535-537.

18. Логинов B.M. Может ли случайная сила оказывать стабили'.-н рующее воздействие? //Письма в журнал технической физики, 199 Т.17. В.7. G.74-78.

19. Loginov V.M. Modeling of beta-Pearson process by linear stochasti equation //Modelling, Measurement & Control, A. 1995. v.65. N3. P. 1-7.

20. Логинов B.M., Лешаков О.Э. Диффузия в нестационарной с.тс хаотической среде //Третий сибирский конгресс, по прикладной и инду стриальной математике (ИНИРИМ-98). Новосибирск, 1998 /Ин-т мате матики СЮ РАН. Часть IV. Тезисы докладов. С.65-66.

21. Логинов В.М., Шапиро В.Е. О броуновском движении частиц статистически однородных полях с. конечным временем спада корреля ций //Журнал технической физики, 1981. Т.51. N1. С. 40-45.

22. Логинов В.М. Влияние низкочастотных мод флуктуирующего по ля на динамику солитонов //Письма в журнал технической физики 1990. Т.16. В. 6. С. 53-56.

22. Логинов В.М. Влияние спектральных особенностей стохастиче ской среды на динамику расплывания солитонов //I Межреспубликан ский симпозиум „Оптика атмосферы и океана". Томск, 1994 /Ин-т оптики атмосферы СО РАН. Тезисы докладов, часть 1. С. 195-196.

23. Логинов В.М. С'олитоны и диагностика случайных шумов //Оптика атмосферы и океана, 1995. Т.8. N.3. С. 484-491.

24. Логинов В.М., Лешаков О.Э. Коагуляция в системах со стохастическим источником и стоком. //IV Симпозиум „Оптика атмосферы и океана". Томск. 1997 /Ин-т оптики атмосферы СО РАН. Тезисы докладов. С. 144-146.

25. Логинов В.М., Калуш Ю.А.. Математическое моделирование временных рядов, возникающих при мониторинге природных процессов //Оптика атмосферы и океана, 1996. Т.9. N5. С. 681-687.

26. Логинов В.М., Калуш Ю.А. Моделирование рядов долговременных наблюдений //Труды IV Международного симпозиума "Глобальный мониторинг и Убсунурс.кая котловина". М.: Интеллект, 1996. С. 127-135.

27. Логинов В.М., Калуш Ю.А. Программный комплекс, для анализа и прогнозирования временных рядов //III Межреспубликанский симпо-

зиум «Оптика атмосферы и океана».

Томск, 1996./Ин-т Оптики атмосферы СО РАН. С.215—216.

28. Логинов В.М., Калуш Ю.А. Новый метод моделирования временных рядов //Второй Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (INPRIM-96) Новосибирск, 1996. /Институт математики СО РАН. С. 10— 11.

29. Логинов В.М., Калуш Ю.А. Система моделирования временных рядов//Оптика атмосферы и океана, 1998. Т.Н. N9. С. 9-14.

30. Логинов В.М., Калуш Ю.А. A.c. 970532 Россия //Система математического моделирования временных рядов. 1997.

31. Loginov V.M. Exact splitting of additive mixture of deterministic signal and arbitrary Gaussian noise//Advances in Modelling & Analysis. B. 1994. v.30. N3. P. 7-14.

32. Логинов B.M. Точное разделение аддитивной смеси детерминированного сигнала и гауссова шума с помощью солитонов уравнения Кортевега —де Вриза //Письма в журнал технической физики, 1993. Т. 19, В. 14. С. 1-4.

33. Логинов В.М. Влияние фликкер—шума на солитон уравнения Кортевега —де Вриза //Журнал технической физики, 1991. Т.61. В.4. С.186-188.

34. Логинов В.М. Солитон уравнения Кортевега —де Вриза— "Устройство"' для разделения аддитивной смеси детерминированного сигнала и гауссова шума//Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1994. Т. 105. в.4. С. 796-807.

35. Логинов В.М. Статистика энергии заряженной частицы в слоисто-неоднородном электрическом поле //Письма в журнал технической физики, 1983. Т.9. N9. С. 552-554.

36. Логинов В.М.Тюпкин Г.М. Статистическое описание движения заряженной частицы в случайно-неоднородном электрическом поле// Препринт N294®. Красноярск, 1984. /Институт физики СО РАН. 16с.

37. Логинов В.М. Средняя скорость стохастически ускоренной заряженной, частицы //Письма в журнал технической физики, 1992. Т. 18, N7. С. 63-66.

38. Логинов В.М. Тонкая структура динамики движения заряженной частицы, обусловленной случайно-неоднородным электрическим полем //Письма в журнал технической физики. 1987. т. 13. N4. С. 200-203.

39. Loginov V.M. Non averaging description of particle dynamics in random nonuniform electric field//Physica Scripta. 1989. v.40. P. 449-450.

V /

л

^ СХг. ~//&/<%

с/ ¿2

Тувинский институт комплексного освоения природных ресусов СО РАН

I Президиум ВАК России

(решение от" " 19Щ, г., № о&^/р присудил^ченую степень ДОКТОРА

¿¿-ШТ /1()Г1111()Н нд^^) Начальник1 ^ . аления Т; \К России

¿Г

МИХАИЛОВИЧ

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ПОЛЕ ЦВЕТНЫХ ШУМОВ

05.13.16-применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (в физике)

диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Красноярск - 1998

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ В СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ......................................................................7

В.1. Характеристики случайных процессов .......................................20

В.2. Описание динамическими или кинетическими уравнениями ...... ...........24

1. ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ СРЕ ДНИХ.........................................................................33

1.1. Формулы дифференцирования средних, содержащих запаздывающие функционалы ...........................................................................33

1.2. Формулы дифференцирования средних, содержащих запаздывающие функционалы. Кумулянтное представление ............................................38

1.2.1. Вводные замечания о кумулянтных функциях .............................38

1.2.2. Формулы дифференцирования .............................................44

1.3. Формулы дифференцирования средних, содержащих функции от запаздывающих и опережающих функционалов марковских процессов ....................46

1.3.1. Формулы дифференцирования для средних от опережающих функционалов 50

1.3.2. Формулы дифференцирования средних от опережающих и запаздывающих функционалов ................................................................. 50

1.3.3. Формулы дифференцирования для условных средних .....................56

1.4. Формулы дифференцирования и стохастическое исчисление И то ............58

1.4.1. Модель непрерывных процессов ............................................58

1.4.2. Модели дискретных процессов .............................................64

2. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ, ВОЗМУЩАЕМЫЕ МАРКОВСКИМИ ПРОЦЕССАМИ ТЕЛЕГРАФНОГО ТИПА .........................67

2.1. Цветные шумы телеграфного типа. Процессы Кубо-Андерсона ..............67

2.1.1. Процессы Кубо-Андерсона (определения, свойства, формулы дифференцирования) .........................................................................67

2.1.2. Усреднение линейных систем ...............................................70

2.1.3. Пример усреднения матричных уравнений ................................74"

2.1.4. "Усреднение нелинейных систем.............................................76

2.1.5. Усреднение уравнений высокого порядка...................................80

2.1.6. Уравнения с нелинейной зависимостью от а ...............................83

2.2. Обобщенные процессы телеграфного типа. Процессы кенгуру ...............85

2.2.1. Определения, свойства, формулы дифференцирования ....................85

2.2.2. Суммы простейших статистически независимых телеграфных процессов .. 87

2.2.3. Воздействия шумов кенгуру на линейные динамические системы ..........90

2.2.4. Воздействия шумов кенгуру на нелинейные динамические системы .., ......92

2.2.5. Уравнения с явно зависящими от t параметрами ...........................93

2.2.6. Динамические системы с воздействиями в виде суммы простейших телеграф-' ных процессов .................................................................96

3. ВОЗДЕЙСТВИЯ В ВИДЕ МАРКОВСКИХ ГАУССОВСКИХ И ДРУГИХ РАСПРОСТРАНЕННЫХ МОДЕЛЕЙ ЦВЕТНЫХ ШУМОВ . . .99

3.1. Характеристики процессов. Формулы дифференцирования средних .........99

3.2. Усреднение динамических систем. Цепочки уравнений для средних ........ 109

3.3. Анализ при конечных и нулевых временах спада корреляций ..............111

3.3.1. Редукция цепочек уравнений ..............................................111

3.3.2. Уравнение для средних и характеристический функционал воздействий . 116

3.4. Расцепление корреляций в случае быстрофлуктуирующих воздействий .... 120

3.5. Сравнение с точно решаемыми примерами.................................. 124

3.6. Формулы дифференцирования и диффузионное приближение ..............129

3.7. Динамические системы при воздействии цветных шумов и метод расширения пространства динамических переменных .....................................132

3.8. Усреднение динамических систем. Кумулянтное представление ............134

4. ТЕОРЕМЫ УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕ-ГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ........................140

4.1. Системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтер-ра, встречающиеся при анализе усредненной динамики систем в поле цветных шумов .........................................................................140

4.2. Новая схема усреднения для системы (4.1) .................................146

4.3. Усреднение в системах интегро-дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной, с многоточечными краевыми условиями .........150

4.3.1. Многоточечные линейные краевые условия ...............................150

4.3.2. Теоремы сравнения решений интегро-дифференциальных уравнений с многоточечными краевыми условиями .............................................158

5. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ДЛЯ СТАТИСТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ФЛУКТУИРУЮЩИМИ ПАРАМЕТРАМИ ..................................164

5.1. Точно решаемые модели нелинейных динамических систем, Еюзмугцаемых цветными шумами Орнштейна-Уленбека и Рэлея .................................164

5.1.1. Шумы Рэлея и Орнштейна-Уленбека......................................166

5.1.2. Структура редуцированного уравнения ............. ......................170

5.1.3. Точно.решаемые динамические модели. Общий случай . ..................171

5.1.4. Точно решаемые модели. Модель Хонглера ...............................174

5.1.5. Пример стационарного распределения на бифуркационной прямой ......178

5.2. Вычисление функционалов от процесса Винера ............................182

5.3. Нестационарные распределения связанных осцилляторов Дуффинга ......186

5.4. Эффективная частота и затухание для поверхностных волн в проводящей жидкости при воздействии случайного электрического поля .....................193

5.5. Может ли случайная сила оказывать стабилизирующее воздействие? .....199

5.6. Нестационарные эффекты в динамике частицы в стохастической слоисто-неоднородной среде................................................................205

5.7. Статистические характеристики коэффициента прохождения и отражения волны в периодической среде с хаотической модуляцией ........................213

5.8. Точно решаемые модели коагуляции в присутствии стохастического источника и стока........................................................................219

5.8.1. Постановка задачи ........................................................220

5.8.2. Стохастический источник ................................................. 224"

5.8.3. Стохастический источник и постоянный сток частиц .....................226

5.8.4. Постоянный источник и стохастический сток .............................228

5.8.5. Синфазная схема включений стохастического источника и стока.........230

5.8.6. Противофазная схема включений стохастического источника и стока ... 231

5.9. Моделирование сложной динамики .........................................234

5.9.1. Качественные соображения ................................................235

5.9.2. Математическая постановка задачи .......................................237

5.9.3. Случайные переключения простых динамик. Точно решаемая модель----239

5.9.4. Автоматизированная система моделирования сложных процессов, выраженных временными рядами ..................................................... 245

6. СОЛИТОНЫ И ДИАГНОСТИКА ШУМОВ И СИГНАЛОВ .........254

6.1. Солитоны и диагностика случайных шумов.................................254

6.1.1. Точное уравнение для средней огибающей ................................ 256

6.1.2. Влияние фликкер-шума на солитон уравнения КДВ ......................260

6.1.3. Негауссовы флуктуации параметров .............. ........................ 261

6.1.4. Солитоны как "устройства" для разделения аддитивных смесей детерминированных сигналов и гауссовского шума ........................................262

6.1.5. Примеры нелинейных распределенных фильтров .........................265

6.1.6. Многосолитонные решения в качестве нелинейных распределенных фильтров .....................................................................267

6.1.7. Заключительные замечания .................. .............................270

6.2. Замедление расплывания солитона в стохастической среде .................271

6.2.1. Случайные возмущения с плоской формой спектральной функции .......272

6.2.2. Флуктуации с С(0) =0 ....................................................274

6.2.3. Особенности случайного воздействия с немонотонным спектром .......... 275

7. ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИКИ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ С КОНЕЧНЫМ РАДИУСОМ СПАДА КОРРЕЛЯЦИЙ ..........................278

7.1. Статистическое описание движения пробной заряженной частицы в случайно-неоднородном электрическом поле ...........................................280

7.1.1. Скачкообразная модель поля ..............................................280

7.1.2. Непрерывная модель поля ................................................284

7.2. Средняя скорость стохастически ускоренной заряженной частицы ......... 290

7.3. Броуновское движение частиц в статистически однородных полях с конечным временем спада корреляций ..................................................293

7.3.1. Постановка задачи ........................................................293

7.3.2. Усредненное кинетическое уравнение ..................................... 293

7.3.3. К чему приводит изменение формы спектра..............................295

7.3.4. О применимости приближения ............................................298

7.4. Неусредненное описание поведения частицы в неоднородном случайном электрическом поле ...............................................................

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.................................................................303

ЛИТЕРАТУРА .................................................................307

ПРИЛОЖЕНИЕ ................................................................328

ВВЕДЕНИЕ В СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Актуальность работы. Предметом настоящей работы являются динамические системы, находящиеся под действием случайно меняющихся возмущений. Этим вопросам посвящена обширная физическая и математическая литература (см., например, [1-40] и имеющиеся там ссылки). С точки зрения физики при изучении таких систем прежде всего представляет интерес вопрос о влиянии конечности времени спада корреляций случайного воздействия (цветные шумы), формы его спектра, а также статистики на характер осредненной динамики. Другой важной проблемой является разработка конструктивных методов анализа, динамических систем с флуктуирующими параметрами, которые давали бы возможность изучать осреднен-ное поведение систем в области сильных флуктуаций и сильных корреляций. Этим двум проблемам посвящена диссертация.

Для выявления типичных физических особенностей осредненной -эволюции динамической системы при воздействии случайных сил с конечными временами спада корреляций tc, с различными спектральными характеристиками и статистиками мы будем использовать в основном точно решаемые модели. Эти модели будут браться из раличных разделов физики. В этой связи обзор соответствующей литературы и необходимые сведения относятся во Введения к главам.

Здесь же кратко остановимся на некоторых общих вопросах проблемы расцепления корреляций и влияния конечных на поведение динамических систем.

С динамическими системами в поле случайных воздействий мы встречаемся в самых разнообразных областях физики, химии, биологии, техники при изучении кинетических и релаксационных процессов и явлений. Сюда относятся и традиционные вопросы броуновского поведения частиц в газах и жидкостях [1-7,25,27,28] и многочисленные задачи движения частиц в случайных электромагнитных полях [4,38-43] в твердом теле [44,45] , вопросы вопросы уширения спектральных линий [5,46,47], задачи распространения волн в случайных средах [48-51]. особое место занимает фундаментальная проблема полного статистического описания развитой турбулентности в жидкостях и газах, проводящих средах [52-54] и т.п. В технике это прежде всего задачи о колебаниях и устойчивости различных конструкций и аппаратов при воздействии на них стохастических вибраций и возмущений [9.10.55]. Установленное

в последнее время фундаментальное свойство динамики многих нелинейных систем - стохастичность (см. [56-62]) еще в большей степени расширяет область параметров и условий, где необходимо учитывать влияние случайных сил и полей.

Под динамической системой понимается некоторый объект, поведение которого описывается системой дифференциальных уравнений в обыкновенных или частных производных, или системой интегро-дифференциальных, содержащих случайные коэффициенты. Классической моделью в физике, где рассматривается влияние случайных сил на динамику системы - является модель броуновского движения тяжелой частицы в газе легких частиц, описывгьемая в рамках линейных ланже-веновских уравнений. При таком подходе среда, в которой происходит движение броуновской частицы, рассматривается как некоторый резервуар случайных воздействий с заданными вероятными свойствами. В самой простой постановке этот резервуар моделируется гауссовской дельта-коррелированной во времени случайной силой (гауссовский белый шум). Последнее условие физически означает, что характерные частоты движений частицы много меньше характерных частот столкновений частицы с молекулами среды - толчки происходят мгновенно и за. акт столкновения не меняют положения частицы.

В последние десятилетия в различных областях физики наметился большой интерес к рассмотрению нелинейных многомерных (или распределенных) динамических систем с флуктуирующими параметрами. Наибольшее развитие при этом получил предельный случай, когда время спада корреляций случайного воздействия стремится к нулю (см., например, [3,6]). Основным математическим инструментом исследования систем в этом пределе является известное уравнение Фоккера-Планка (в математике уравнение Колмогорова или Колмогорова-Феллера) [15,25].

Рассмотрение случая конечных 1:с, 1С ф 0 встречается с серьезными математическими трудностями. Основная задача при конечных временах спада корреляций связана с проблемой расцепления корреляций между динамической переменной и случайными параметрами. Существует несколько путей ее решения. Прямой путь состоит в записи решения динамических уравнений со случайными коэффициентами, часто в операторной форме, с последующим усреднением этого решения по ансамблю реализаций случайных параметров. Получить в явном виде решение задачи, т.е. найти все вероятностные характеристики динамической переменной, невозможно, за исключением весьма простых классов динамических уравнений и функциональных зависимостей решений от случайных параметров. Дальнейшее продвижение в этом направлении состоит в использовании приближенного анализа, при котором случайные воздействия рассматриваются как малые возмущения и используется та

или иная форма теории возмущений. При этом, как правило, параметром малости является интенсивность флуктуаций случайного воздействия и время корреляции. Для обсуждаемого подхода характерно использование таких известных приближений как средние борновские приближения [8,48], кумулянтные разложения [4,5,23], различные модификации метода последовательных приближений [63] и т.д.

Другое направление основано на усреднении не решения, а непосредственно самого динамического уравнения со случайными коэффициентами. В ряде случаев, при специальном выборе моделей случайных коэффициентов, удается проводить точное статистическое усреднение (например, для марковских скачкообразных процессов телеграфного типа и некоторых моделей диффузионных процессов). В рамках этого направления возникает серьезная математическая проблема вычисления средних от некоторой функции зависящей от случайного возмущения a(t) и запаздывающего функционала Ф[а(т)] (г < t) от него, т.е. речь идет о средних вида < F(cv, ¿)Ф[«(т)] >, где символ < ... > означает среднее по ансамблю реализаций шума a(t). При анализе усредненной динамики физической системы в поле случайных сил, которая стартует из заданного начального состояния, в качестве запаздывающего функционала выступает переменная, характеризующая состояние этой системы. В тех случаях, когда воздействие можно рассматривать как процесс типа, белого шума с ic = 0 задача расцепления подобных средних решается сравнительно легко. Например, с помощью традиционных способов, основанных на кинетических уравнениях Фоккера-Планка (Колмогорова-Феллера) или в рамках стохастического исчисления Ито-Стратоновича [17,19]. При дельта-коррелированных воздействиях весьма удобным для вывода кинетических уравнений для распределений вероятности оказался функциональный подход [6,49], основанный на формуле Фуруцу-Новикова-Донскера [64,65] и ее обобщениях [6,49,66,67].

При воздействии на систему цветных шумов, для которых /,,. ф 0 задача статистического описания динамических систем усложняется. Успех в решении напрямую зависит от возможности решения многомерных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, а в более общей постановке - от решения дифференциальных уравнений в бесконечномерных пространствах [27-30,68].

Для вычисления средних < F (а, ¿)Ф[а(т)] > в случае конечных tc применяются как приближенные, так и точные методы. В физической литературе, по видимому, одной из первых схем расцепления подобных средних была, предложена Бурре [69,70] и, которая в течение достаточно длительного промежутка, времени, являлась правдоподобной физической гипотезой. Ее строгое математическое обоснование было дано в работе [4], где было пока�