автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Метод полиномиальной аппроксимации в задачах оптимизации, параметрической идентификации и траекторного управления нелинейными динамическими объектами

На правах рукописи

КОГУТ Алексей Тарасович

МЕТОД ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ В ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ, ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ И ТРАЕКТОРНОГО УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (информатика, вычислительная техника и управление)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

2 О МАЙ 201.0

Красноярск 2010

004602538

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Омский государственный университет путей сообщения».

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

АЛЕКСЕЕВ Виктор Михайлович;

доктор технических наук, профессор ВОЕВОДА Александр Александрович;

доктор технических наук, профессор ИВАНЧУРА Владимир Иванович.

Ведущая организация: Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный политехнический университет».

Защита состоится 19 мая 2010 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.099.06 при Сибирском федеральном университете по адресу: 660074, г. Красноярск, ул. академика Киренского, 26, корпус УЖ, каб. 115.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета по адресу: г. Красноярск, ул. академика Киренского, 26, каб. Г 274.

Автореферат разослан 19 апреля 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Р. Ю. Царев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Для большинства реальных объектов, физико-химических явлений, производственных и технологических процессов математические модели являются нелинейными. При решении задач анализа и синтеза систем хорошо обоснованны только методы классической линейной теории, поэтому применяют различные методы линеаризации, когда нелинейные зависимости заменяются эквивалентными линейными моделями.

Колебательные процессы, близкие по форме к синусоидальным в системах с существенно нелинейными характеристиками, исследуются с помощью метода гармонической линеаризации, использующего в линейной модели только первую гармонику. Для систем, работающих в условиях помех, разработан метод статистической линеаризации, применяется также метод обобщенной линеаризации при непрерывных сигналах произвольной формы.

Во многих практических приложениях для описания объектов и систем применяют модели на основе линейного приближения ряда Тейлора. Одним из направлений использования дифференциальной линеаризации, в том числе и диссертационного исследования, являются численные методы решения ряда оптимизационных задач, которые существуют в теории систем управления и обработки информации, как правило, при их синтезе, а также в идентификации.

Предлагается в качестве оптимизационных применять итерационные процедуры определения решений нелинейных уравнений, тогда алгоритм Ньютона, использующий значения только первых производных, будет градиентным методом безусловной оптимизации. Такой подход позволяет воспользоваться известными в прикладной математике итерационными методами и методиками их исследования, приведенными, например, в работах Дж. Трауба, Дж. Ортеги, В. Рейнболдта, Н. С. Бахвалова, Ш. Е. Микеладзе, Э. Полака, Ф. Гил-ла, У. Мюррея, М. Райта, А. Фиакко, Г. Мак-Кормика, Д. Химмельблау и др.

Итерационные методы оптимизации используются в системах обработки информации и параметрической идентификации. Основы теории идентификации заложены в трудах таких отечественных ученых, как Я. 3. Цыпкин, А. А. Красовский, В. А. Каминскас, А. М. Дейч, Н. С. Райбман, А. Г. Ивахнен-ко, А. И. Рубан, J1 А. Растригин, Н. Е. Маджаров, Б. Н. Петров, П. Д. Крутько, И. Н. Перельман, Ш. Е. Штейнберг, В. В. Налимов, Е. Н. Розенвассер, P.M. Юсупов, Г. К. Круг, В. П. Бородюк, Э. К. Лецкий, и зарубежных: Р. Беллман,.

Р. Калаба, П. Эйкхофф, Дж. Сарвдис, Э. Сейдж, Д. Мелса, К. Спиди, Р. Браун, Дж. Гудвин, Л. Льюинг, Д. Гроп, И. Бард, Г. Д. Баде и др.

Рассматривается параметрическая идентификации в виде обобщенного оценивания параметров и состояний динамических объектов методами квазилинеаризации и последовательной линеаризации. В соответствующих итерационных процедурах применяется линейная аппроксимация по формуле Тейлора.

В классе нелинейных систем нашли применение численные методы решения задач оптимального управления таких авторов, как А. А. Абрамов, Р. П. Федоренко, Л. И. Шатровский, Н. А. Крылов, Ф. Л. Черноусько, А. И. Пропой, Д. Табак, Б. С. Куо и других, описания которых приведены, например, в работах Н. Н. Моисеева, В. Н. Афанасьева. К методам линеаризации, использующим только первую вариацию, относится метод Шатровского или последовательного улучшения управлений.

Одним из современных направлений в ТАУ является формирование таких управлений, чтобы в каждый момент времени движение синтезируемой системы совпадало с требуемой траекторией. Аналитическое решение для управляющих воздействий известно для линейных и аффинных объектов и приведено, например, в работах В. Н. Фомина, А. Л. Фрадкова, В. А. Якубовича, Л. Н. Волгина, Р. Изермана, Я. 3. Цыпкина, А. А. Красовского и др. В классе нелинейных систем требуется определение обратных вектор-функций и существует два подхода. Первый является аналитическим и основан на точной линеаризации, преобразовании и замене координат и в настоящее время активно развивается благодаря работам А. Исидори, К. С.' Нарендры, Р. Марино, Р. Томея, П. Кокотовича, С. Састри, Н. К. Халила.

Второй подход, не требующий обращений и проведения достаточно сложных аналитических преобразований, предложен А. И. Рубаном для класса дискретных систем и основан также на замене нелинейных моделей линейным отрезком ряда Тейлора. Получаемый рекуррентный алгоритм управления аналогичен итерационной процедуре Ньютона, область и скорость сходимости которой ограничены.

Итерационные методы, построенные на аппроксимациях линейным полиномом Тейлора, хорошо алгоритмизируются, просты в реализации, но имеют узкую область сходимости. Следовательно, разработка новых и модернизация существующих методов линеаризации являются актуальными задачами.

Цель диссертационной работы состоит в разработке и исследовании метода полиномиальной аппроксимации гладких нелинейных вектор-функций, позволяющего в линейных моделях, построенных на основе многомерного ряда Тейлора, учитывать высшие производные; в формировании вычислительных алгоритмов, модернизации классических методов линеаризации, а также в решении прикладных задач оптимизации, параметрической идентификации и синтеза систем управления нелинейными объектами.

Для достижения поставленной цели были решены следующие основные задачи.

1. Определены основные аналитические выражения полиномиальной аппроксимации и способы построения вычислительных алгоритмов.

2. Построены на основе полиномиальной аппроксимации итерационные процедуры численных методов оптимизации. Определены аналитические выражения и проведен анализ основных показателей сходимости.

3. Получены методы идентификации при оценивании параметров и состояний нелинейных динамических объектов. Определены условия сходимости, а также алгоритмические и вычислительные затраты.

4. Разработаны приближенные алгоритмы траекторного управления нелинейными дискретными объектами. Предложена методика анализа устойчивости и точности процессов управления в замкнутых системах.

5. Проведены экспериментальные исследования разработанных методов и алгоритмов с помощью программных средств МаЙаЬ и для типовых примеров сравнивались результаты моделирования и теоретических исследований.

6. Применены методы полиномиальной аппроксимации при синтезе систем обработки информации и управления, в том числе и при техническом диагностировании средств и устройств подвижного состава.

Объект исследования. Объектом исследования являются технические системы, описываемые разными видами моделей. При параметрической идентификации исследуются нелинейные дифференциальные уравнения в форме переменных состояния, которые используются в качестве расширенной модели динамических объектов при проектировании компьютерного тренажера операторов атомных электростанций.

В задачах траекторного управления нелинейные динамические объекты описываются разностными уравнениями и применяются при синтезе локальных систем управления, входящих в состав робототехнического комплекса для деревообрабатывающей промышленности и автоматизированных комплексов

технического диагностирования тяговых двигателей и отдельных узлов подвижного состава. В системах обработки информации моделями являются также разностные уравнения, которые используются при определении коэффициентов цифровых фильтров с заданной частотной характеристикой.

Предмет исследования - методы оптимизации, параметрической идентификации и управления нелинейными объектами, построенные на линейных приближениях, учитывающих и высшие производные.

Методы исследования. Теоретический анализ проводился на основе методов прикладной математики при безусловной минимизации и численном решении нелинейных уравнений, теории матриц, дифференциальных уравнений и идентификации, теории автоматического управления и численных методов оптимального управления.

Основные научные результаты работы:

1. Метод линеаризации на основе ряда Тейлора, его основные формы, вычислительные процедуры и оценки точности линейных приближений.

2. Численные методы безусловной оптимизации, нахождения решений уравнений и аналитические выражения показателей сходимости.

3. Методы параметрической идентификации и условия сходимости.

4. Алгоритмы траекторного управления, в тЬм числе процедуры с переключением, методика анализа точности и устойчивости замкнутых систем.

5. Приближенные методы синтеза цифровых фильтров, параметрической идентификации и алгоритмы траекторного управления в робототехнических и диагностических комплексах промышленности и железнодорожного транспорта.

Достоверность полученных результатов диссертационной работы подтверждается точностью совпадения (ошибка в пределах пяти процентов) теоретических результатов и экспериментальных данных при проведении лабораторных и натурных испытаний для оценок параметров идентифицируемой модели компьютерного тренажера и коэффициентов цифровых фильтров, а также выходных сигналов и заданной траектории движения в системах управления деревообрабатывающего и диагностических комплексов.

Новизна научных результатов работы состоит в следующем:

впервые получен метод дифференциальной линеаризации с учетом высших производных, основные формы, вычислительные схемы и формулы точности;

численные методы являются новыми и по сравнению с классическим имеют кубическую скорость и более широкую область сходимости;

аналитические выражения модифицированных методов квазилинеаризации, последовательной линеаризации и условия сходимости получены впервые; они обеспечивают более эффективное оценивание по сравнению с классическими;

алгоритмы формирования траекторного управления нелинейными динамическими объектами являются новыми; методика исследования точности и анализа абсолютной устойчивости применяется впервые и разработанные методы обеспечивают более высокие показатели точности и устойчивости;

впервые были разработаны приближенные методы полиномиальной аппроксимации при синтезе цифровых фильтров, идентификации и управления объектами промышленности и железнодорожного транспорта.

Значение полученных результатов для теории заключается в разработке нового варианта метода линеаризации, позволяющего синтезировать более эффективные численные алгоритмы решения оптимизационных задач, оценивания параметров и состояний, траекторного управления нелинейными многомерными динамическими объектами.

Значение полученных результатов для практики. Разработанные методы, алгоритмы и соответствующее программное обеспечение входят в состав автоматизированного комплекса проектирования систем обработки информации и управления и являются универсальными, поэтому имеют важное значение в различных областях науки и производства.

В системах обработки информации при синтезе цифровых фильтров алгоритмы позволили вычислять коэффициенты при любых реальных начальных приближениях. Модифицированные методы параметрической идентификации для компьютерных тренажеров повысили качество обучения обслуживающего персонала, уровень подготовки которого является одним из основных факторов обеспечения безопасности атомных электростанций.

В деревообрабатывающей промышленности важное значение имеет снижение металлоемкости станков, что и обеспечено в роботизированном комплексе «Мастер».

На железнодорожном транспорте широко используются тяговые электродвигатели и повышение уровня автоматизации при их диагностировании улучшает качество проведения ремонтных работ. Вибродиагностические стенды являются универсальными при испытаниях отдельных узлов, применение пневмоподвески и создание максимально возможной амплитуды колебаний снижают мощность электромеханического привода и общие энергозатраты.

Реализация результатов диссертации. Результаты работы использованы в ФГУП «Омский НИИ приборостроения» при проектировании цифровых рекурсивных фильтров произвольной формы, в НПО «Автоматика» при разработке методов идентификации в компьютерном тренажере операторов атомных электростанций, в ООО «СибЭлектро» при синтезе адаптивной системы управления деревообрабатывающим робототехническим комплексом «Мастер» и в НИИ технологии, контроля и диагностики железнодорожного транспорта (НИИТКД) при разработке алгоритмов цифрового управления приводом • постоянного тока при испытаниях тяговых двигателей, а также вынужденными механическими колебаниями в вибродиагностическом стенде. Внедрение результатов работы подтверждается соответствующими актами.

Апробация работы. Основной материал диссертации обсуждался на 38 конференциях, в том числе на 10-й международной научно-технической конференции «Планирование и автоматизация эксперимента в научных исследованиях» (Москва, 1992); научно-технической конференции «Системные методы теории чувствительности, надежности и математического моделирования» (Москва, Сочи, 1996); научно-технической конференции «Пятьдесят лет развития кибернетики» (Санкт-Петербург, 1999); международной конференции «Информационные и телекоммуникационные системы и технологии» (Санкт-Петербург, 2007); научной школе-семинаре «Моделирование и исследование устойчивости физических процессов» (Киев, 1991); научно-технической конференции «Dynamical system modeling and stability investigation» (Киев, 2007); всесоюзной конференции «Ученые и специалисты в решении социально-экономических проблем страны» (Ташкент, 1990); всероссийском семинаре «Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении» (Казань, 1996); П-й всесоюзной научно-технической конференции «Микропроцессорные системы автоматики» (Новосибирск, 1990); Сибирской конференции по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1994); VII международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (Новосибирск, 2004); международной научно-практической конференции «Электронные средства и системы управления. Опыт инновационного развития» (Томск, 2007); всероссийской научно-практической конференции «Научно-техническое и экономическое сотрудничество стран АТР в XXI веке» (Хабаровск, 2009); всероссийской научно-практической конференции «Проблемы и перспективы развития Транс-

сибирской магистрали в XXI веке» (Чита, 2006); научно-технической конференции «Европейская наука XXI столетия: Стратегия и перспективы развития -2006» (Днепропетровск, 2006); VII международной научно-технической конференции «Микропроцессорные, аналоговые и цифровые системы: Проектирование и схемотехника, теория и вопросы применения» (Новочеркасск, 2007).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 75 научных работ, в том числе две монографии, 10 статей в изданиях по списку ВАКа, в библиографическом списке приведено 35 основных публикаций.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, шести основных разделов и заключения, выполнена на 339 страницах машинного текста, содержит 136 иллюстраций, 46 таблиц, список использованной литературы из 263 наименований и 33 страницы приложений с результатами дополнительных исследований, текстами программ и актами о внедрении результатов работы. Общий объем диссертации — 372 страницы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и основные задачи работы, характеризуется новизна и практическая ценность результатов исследований.

В первом разделе описываются основные подходы, используемые в теории и практике управления для линеаризации моделей статических и динамических нелинейных систем. Предложен метод полиномиальной аппроксимации гладких нелинейных вектор-функций на основе многомерного ряда Тейлора, учитывающий кроме первой и высшие производные, приведены две формы линейных моделей и получены соответствующие аналитические выражения для оценки точности предлагаемых линейных приближений.

Рассматривается класс аналитических нелинейных вектор-функций f{x), осуществляющих отображение /: R? -» R' и представляемых многомерным рядом Тейлора вида:

/W = /(x0) + ¿V(í>(xo)^[í) + ^(AX). (1)

ti'!

Здесь х0 е R' - вектор рабочей точки; Ах е R? - достаточно малое отклонение от х0; /(,)(-г)еR'*' - {Ixq')-мерная матрица 1-й производной; /о)(х0)

при г = 0,п - значения элементов вектор-функции и матриц производных в точке х = х0; Я„(Ах) — остаточный член ряда Тейлора, для которого справедливо, что ||Я„(Дх)|| = 0(|НГ).

В многомерном представлении (1) введены обозначения (Ах)1-'1 еИ' , которые рекуррентно определяются выражениями:

(Ах)'21 = (Ах)®(Ах), (Ах)[3] = (Ах)[21®(Ах), ..., (Ах)1"1 = (Ах)["~11 ®(Ах), (2) где ® - операция прямого или кронекеровского произведения матриц.

Заменим в сомножителях (Лх)['! формул (2) вектор Ах на некоторый Ъх<=Ахс. И9 и допустим, что все элементы 8х известны и постоянны, т.е. 8х = 5, поэтому должны выполняться соотношения:

(Ах)1'1 = (5х)[М1 ® Ах = 5[М! ® Ах = [5[Ь1] ® /] Ах, (3)

где I = I - единичная матрица.

Проведем в формуле (1) замену для г = 2всех матричных произведений (Ах)[,) в соответствии с выраженем (3) и отбросим остаточный член ряда 1{(Ах), что допустимо при Ах-»0. В этом случае будет построено приближение вида:

Л, (Лх) = Дх0) + |/'(*о) + Е ^ /(<) (хо) [51'"') ® /]| Лдт ■ (4)

Значения /м(х0) при г' = 0,п и 5 являются постоянными, поэтому функция /21(Лх) линейна относительно аргумента Ах.

Можно построить и вторую форму линейного приближения, используя (Дх)м в виде (Ах)м = (5х)м при г = 2, п. Тогда по аналогии с выражением (4) запишется следующая линейная относительно Ах формула:

/22(Ах) = |/(х0) + ^/"'\х0) 5[,1|+/'(*0)Дг. (5)

Для разработанного метода линеаризации предлагается использовать термин «полиномиальная аппроксимация» (ПА), так как в формулах (4) и (5) коэффициенты линеаризации являются полиномами вектора 6.

Оценка точности линейных приближений /21(Дх) и /22(Лх) к функции /(х) проводилась по величине остаточного члена, когда вектор 8х принимался

10

равным Г]Ах, где г| е R+ лежит в пределах г) е[0,1]. В работе были получены следующие формулы:

зд, Дг)=(1 - +; (б)

Я22(ц, Ах) = (1 - л2)л,(Лх) + (1 - + т!Х(Ах) . (7)

i=2

Полиномиальная аппроксимация как метод линеаризации, построенный на основе ряда Тейлора, с увеличением числа учитываемых в аналитических выражениях производных повышает, но только в предельном случае (при г) -> 1 или ох-> Ах ) точность линеаризации до величины остаточного члена Rn. В простейшем случае, при квадратичном приближении и вычислении только первых и вторых производных, формулы ПА1 и ПА2 будут иметь вид:

/2I(Ax) = /(x0) + [/Vo) + i/Vo)^®/)]Ax; (8)

/я(Дх) = [/(*„) + i/'(xo)(& ® 5х)]+/'(х0)Ах, (9)

и следует оценить целесообразность введения более высоких производных, так так это связано с получением аналитических выражений f{"\x) и необходимостью хранения и обработки матриц больших размеров I х q".

Формулы полиномиальной аппроксимации становятся вычислительными алгоритмами, если известны элементы вектора 5, поэтому в работе предлагается применять для определения 8 методы прикладной математики и в частности численные или итерационные.

Во втором разделе рассматриваются численные методы нахождения корней нелинейных уравнений и безусловной оптимизации, с помощью которых получены две основные вычислительные схемы полиномиальной аппроксимации - двухступенчатая и многошаговая. Теоретически определены условия сходимости полиномиальных аппроксимаций первой и второй форм, получены соответствующие алгоритмы и проведены численные эксперименты на тестовых функциях, применяемых при исследовании задач безусловной оптимизации.

Допустим, что на интервале [а, 6] существует единственный корень

уравнения F{x) = 0 и на некотором к -м шаге известно приближение хк е R" к

решению. Тогда для определения (£ + 1)-го значения вводится вектор AxeR" как разность Ах = хк+1 - хк и функция F{x) е С3 заменяется рядом Тейлора:

F(x) = Fk + VFkTAx + 0,5AxTV2FkAx + R(Ax), (10)

где VF(x) е R" - вектор первых производных (вектор Якоби); V2F(x) е R"*" -квадратаая матрица Гессе; R(Ах) - остаточный член ряда Тейлора; Fk е R, VFk eR°, V^eR™ - значения функции F(x), первой VF(x) и второй V2F(x) производных при х-хк.

При линейной аппроксимации и выполнении в уравнении (10) условия F(x) = 0 получается метод Ньютона, который можно записать в виде:

хм=хк-УьЩ> (П)

т.е. алгоритм Ньютона является градиентным методом решения безусловной оптимизационной задачи VF(x) = 0, когда величина шага вычисляется:

уНИГЧ- (12)

Метод Ньютона-Рафсона, определяющий численное решение VF(x) = 0, также можно рассматривать как частный случай градиентного (11), но на каждом его шаге определяется и обращается матрица Гессе, т. е.

Ук=Тк= VFJ , а в алгоритме Ньютона в соответствии с формулой (12) в

формировании длины шага участвуют только первые производные вектора Якоби.

Используя методику полиномиальной аппроксимации на основе ряда (10), можно записать две линейные относительно вектора Ах формы и получить следующие рекуррентные алгоритмы:

^+1=^-(VF/)+[Fi+0,55[+1V2FA+I]; (13)

(14)

Достаточно просто можно показать, что итерационная процедура (13) является частным случаем градиентного метода, когда величина шага

и из сравнения с выражением (12) следует, что элементы матрицы Гессе V2Fk оказывают влияние только на длину шага.

Алгоритм полиномиальной аппроксимации (14) запишется в виде:

=хк-у1ч<ьк-

Здесь УФ4 = Щ + О,5'УгРк8ы и ук = || Щ + 0,5 ||~2 ^, т.е. за счет

вторых производных изменяется как величина шага ук, та к и направление спуска, и метод аналогичен псевдоградиентным.

Алгоритмы (13) и (14) могут применяться, если известны значения элементов вектора 54+1. В работе предлагается два подхода к определению , которые приводят к разным вычислительным схемам.

Первый способ. В двухступенчатой вычислительной процедуре разность 8кч задается в виде:

=хкн-х1, (15)

где хы вообще можно определить по любой известной вычислительной схеме.

При сохранении общности алгоритмов значение хк+1 вычисляется методом Ньютона, тогда для к -го шага на первой ступени определяются

¿ы = ** - (У^ГЪ; 5М = -{ЩТУ?к, (16)

а затем на второй ступени хы уточняется одним из алгоритмов полиномиальной аппроксимации первой формы (14) или второй - (13).

Второй способ. Многошаговая вычислительная процедура получается при 8Ш = хк - хкА. В этом случае при заданном х0 методом первого порядка определяется только я,, а все остальные вычисления при к > 1 производятся уже по формулам (13) и (14) алгоритмов второго порядка.

В работе получены оценки показателей сходимости рассматриваемых численных методов решения уравнения Р(х') = 0 в виде:

| хм-х\\<с\\хк-х\Р, (17)

где р - порядок сходимости; С-параметр (константа) сходимости.

Для метода Ньютона подтвержден второй порядок сходимости (р = 2), а константа С, = 0,5М2/т1, если для матричных норм выполняются условия:

\чгР(у)\<М2-, ¡|У/Х)/)| > т1 при уе[а,Ь].

Многошаговые процедуры имеют порядок р = 0,5(1 + л/5)»1,62, т.е. они по скорости сходимости соизмеримы с классическим алгоритмом Ньютона. Полученные теоретические результаты подтверждены экспериментальными исследованиями на тестовой функции.

Для двухступенчатых вычислительных схем получено значение рЗ и они имеют более высокий порядок сходимости, чем метод Ньютона. При выполегога условия |[V3.F(j>)[( < Мъ для у е [а, Ъ] определены следующие выражения для констант сходимости ПА первой и второй форм:

С„ = 0,5[2M3/ml + (Mjml)2]; Са = Ъ,5\мъ/щ+й,5{Мг /м,)2].

Были проведены теоретические и экспериментальные исследования сходимости итерационных процедур при учете в линейном приближении третьей производной V3F(x), описываемой матрицей размером (ихи2), которые показали, что параметры Сп, С22 изменяются за счет увеличения доли нормы Мъ в 1,33 раза, но скорость сходимости не изменяется и остается кубической.

Таким образом, основными алгоритмами полиномиальной аппроксимации являются формулы (8) и (9), когда в линейных приближениях присутствует первая и вторая производные нелинейной функции.

Двухступенчатые алгоритмы (13), (14) и (16) исследовались на пяти тестовых функциях безусловной оптимизации и результаты подтвердили теоретические показатели сходимости, как это видно из приведенных на рис. 1 зависимостей погрешностей вычислений от шага итерации для методов Ньютона, ПА1 и ПА2.

Рис. 1. Зависимость погрешности ек+1 от шага итерации к

Методы полиномиальной аппроксимации первой или второй форм для разных тестовых функций имеют более широкую область сходимости, результаты моделирования показаны на рис. 2.

XI -> XI

а б

Рис. 2. Результаты моделирования для методов Ньютона (а) и ПА2 (б)

Таким образом, проведенные исследования итерационных процедур по методикам численных методов показали, что, во-первых, в линейных приближениях первой ПА1 и второй ПА2 форм необходимо учитывать только вторую производную и применять двухступенчатую вычислительную схему, а, во-вторых, алгоритмы полиномиальной аппроксимации обспечивают более высокую скорость и области сходимости по сравнению с классическими.

В третьем разделе приводятся модифицированные методы квазилинеаризации и последовательной линеаризации, построенные на основе полиномиальной аппроксимации и позволяющие совместно с классическими методами решать задачу одновременного оценивания параметров и состояний непрерывных нелинейных динамических объектов.

Рассматривается расширенная модель в форме переменных состояния:

*(/) = <р(*(/), и(0); *('о) = *о> (18)

№ = Сх( 0, (19)

где .?(?) еИ" - расширенный вектор состояния и параметров модели объекта; и{1) еЁ' и у(г) е К™ - векторы управления и выходных переменных; ф(х(0, и(0) е С2 - расширенная нелинейная функция размером их 1; Се И""1" -матрица связи с выходом; х((0) еЯ" - неизвестный вектор начальных условий.

Идентификация проводится на основании экспериментальных данных в виде выборки N значений переменных и у(ь) и сводится к определению оценок вектора *(?„) из условия минимума квадратичного функционала:

J = в(0 МО-ЯО), (20)

¡=0

где £(/) е К"""" - положительно определенная весовая матрица.

В этом случае идентификация представляет собой нелинейную многоточечную краевую задачу, и в рекуррентных методах ее решения - последовательной линеаризации и квазилинеаризации - общая нелинейная задача заменяется последовательностью линеаризованных, полученных путем применения к выражениям (19) или (18) (в зависимости от метода) линейного отрезка ряда Тейлора. Применим методику ПА и приведем формулы только первой формы.

В методе последовательной линеаризации рассматривается вектор разности Ах4+1(?0) = хы((0)-хк^0) относительно известного начального условия о) и уравнение наблюдений (19) аппроксимируется выражением:

л+.(0 = лгм(/0)], (21)

где рк})(0, 0 -функции чувствительности первого и второго порядка размером пхп и ях«2 соответственно.

Функции чувствительности первого р^{г) е И"*" и второго рЩЮ е Я"*"" порядков определяются дифференциальными уравнениями:

ох

ох ах ь и

где -±?- = тч * ' ; —= —^ -матрицы первой и второй

ох ох ох ох

производных размерности пхп и пхп1 соответственно при х(/) = хк(1).

Подстановка приближения (21) в уравнение наблюдения (19) и функционал (20) и последующая минимизация функционала по Ах4+1(Г0) позволяют получить выражение для оценки вектора начальных условий:

где

Оо ) = **(' о) + Yf I [Мы ]"' NM, Mk+i = 2[л+1(0]г CT Q(0 CpM(0;

c, = i^f/wof cr еыыо-съы)

Выбором величины шага- уы внутри каждой итерации можно добиться улучшения сходимости рекуррентных процедур.

В двухступенчатой схеме 6м(/0) - Д5^+1(/0) и на первой ступени Ax^,(i0) вычисляется методом последовательной линеаризации, при многошаговой = и классический метод применяется только на первом

шаге. Во всех схемах итерационный процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность оценивания £(/„).

В методе квазилинеаризации функция cp(3c(i), u(t)) раскладывается в ряд Тейлора в окрестности известной траектории xk(t) и полиномиальная аппроксимация уравнения (18) на (к+1)-й итерации имеет вид:

Если в формуле (23) векторы 8Ы(0 = и *ы(0 вычислены

по методу квазилинеаризации, то реализуется двухступенчатая схема, если 5к+, (г) = хк+1 (?)-хДг),то- многошаговая.

Неоднородное дифференциальное уравнение (23) является линейным относительно траектории хк+1(() и для него записывают переходную матрицу рш (?) е К""" и вектор ды (?) е И" частного решения:

= (23)

W) = <p* +

,194 __"l" ___~>

дх 2 дх2

[5м(/)®7] (^,(0-^(0), =

\

\

Оценка начальных условий вычисляется по формуле:

где = ЙлЛОГ (>'(д-С (/,)).

(=0

В работе был проведен анализ сходимости разработанных алгоритмов и получены соотношения для функционала (20) при подстановке в него соответствующих оценок начальных условий.

Сходимость первой формы метода последовательной линеаризации определяется уравнением

(Ч)) = (Ч)) - <+> [Мм Г (25)

и соблюдается, если матрица Мк+1 является невырожденной.

При второй форме полиномиальной аппроксимации получено, что

= +м£>-А£>, (26)

поэтому для сходимости требуется выполнение дополнительных условий между величинами М^

и , которые вычисляются по формулам:

;; (27)

Метод квазилинеаризации имеет общее для всех форм полиномиальной аппроксимации соотношение

из которого следует, что если Мк+1 невырождена, то, учитывая ее положительную определенность и симметричность, с увеличением номера итерации функционал (28) будет монотонно уменьшаться.

Проведены экспериментальные исследования разработанных алгоритмов на примере идентификации модельных объектов различных порядков. В численных экспериментах решалась задача обобщенного оценивания и идентификации отдельно параметров и состояний при наличии и отсутствии помех в наблюдениях. На большинстве примеров выявлено преимущество процедур, построенных на основе первой формы.

2 [ры(0]тств(0сры(0 1=0

В четвертом разделе методы полиномиальной аппроксимации применяются при формировании приближенных алгоритмов управления. Для анализа точности получены оценки динамических ошибок в форме методических погрешностей и с помощью методов абсолютной устойчивости показано, что они являются достаточными условиями устойчивости замкнутых систем.

В работе показана принципиальная возможность применения полиномиальной аппроксимации при построении приближенных алгоритмов оптимального управления в нелинейных непрерывных системах на примере модификации метода Шатровского или последовательного улучшения управления. В силу аналитической и вычислительной сложности полученных выражений более перспективным и рациональным представляется применение ПА в задачах и методах прямого оптимального управления многомерными неаффинными дискретными объектами.

Рассматривается классическая в теории управления структура объекта, состоящего из нелинейного элемента (НЭ) и линейной части (ЛЧ). Для дискретных процессов управления и е И™ и полностью наблюдаемого вектора состояния хеЛ" объект описывается уравнением:

+/("*); (29> где А е И""" - системная матрица линейной части; /(■) е С3 - нелинейная вектор-функция размерности п; ха е Л" - вектор начальных значений.

Полагается, что линейная часть устойчивая, поэтому корни характеристического уравнения - А) = 0 лежат внутри единичной окружности.

При траекторном управлении объектом (29) целью является изменение состояния хы по заданной дискретной функции или траектории движения

gы е И", поэтому должно выполняться равенство хы = , подстановка которого в уравнение объекта (29) приведет к определению управления в виде:

Щ=Г\8^-Ахк), (30)

где /"'(•) - обратная функция по аргументу и.

Непосредственное применение формулы (30) при синтезе прямого опти-. мального управления возможно только, в тех случаях, когда существует аналитическое выражение для обратной функции и нелинейная характеристика имеет

свойство диффеоморфизма. Аналитическое решение обратной задачи динамики известно для линейных и аффинных объектов.

Одним из приближенных подходов можно считать метод, разработанный А. И. Рубаном, где применяется аппроксимация линейным полиномом Тейлора, что позволяет записать рекуррентный алгоритм формирования управляющих воздействий. В работе для модернизации алгоритмов синтеза предлагается применять метод полиномиальной аппроксимации.

Запишем формулу для разложения вектор-функции /(н) в ряд Тейлора

относительно рабочей точки бК* в виде:

/("*) = /ы +Л-, "«*-.)+*/£'[("* -Щ-1)® (и* -Щ-1 )] + <?[(к* -)га], (31)

где //_,, /к_х - значения нелинейной функции /(и) € И", ее матриц первой /'(") е Я"""" и второй /"{и) е И"5""' производных, элементы которых вычислены в точке и = икА .

В случае линейного приближения подстановка (31) в уравнение (29) при выполнении хк+1 = gм позволяет записать алгоритм первого порядка:

щ = +[//-> ]+ • [ём - лхк - ]. (32)

В соответствии с методом полиномиальной аппроксимации для первой формы можно записать:

/(«*) = /ы+[/и "(8* ®-«*-,)>

тогда по аналогии с методом первого порядка получим формулу для управляющего воздействия в виде:

= (33)

Для второй формы ПА2 справедливо выражение:

«*="*-. + [Л'-,Г ■[&♦> (34)

В алгоритмах (33) и (34) величина 5Л 6 И" определяется как разность 8к==ик- ик_\, где ик вычисляется по формуле (32).

В замкнутой системе с приближенными алгоритмами управления возникает динамическая ошибка, которая не только ухудшает точность, но

может привести и к потере устойчивости системы. Вектор ошибки ем е R" является разностью

еы=хы~8ы (35)

и рассматривается как методическая погрешность, возникающая из-за учета в линейных приближениях /(и) только первой /'(и) и второй /"(и) производных и для ее определения применяются методики численных методов.

Получены следующие оценки погрешностей методов первого ёт е R", второго ê(2I> б R" для ПА1 и ё<22) е R" для ПА2 порядков:

eïl\ ~ = 2 Л-1 ^А4' (36)

(37)

(38)

где f"\ e R"*"1' - матрица третьих производных, а С[ц и С™ - матрицы, зависящие от f'{n) и /"(и), элементы которых определены при и = ик_л.

При одних и тех же достаточно малых отклонениях ||ôt||-»0 ошибка у методов ПА на порядок меньше, т.е. в системах, где управление формируется алгоритмами полиномиальной аппроксимации, точность отслеживания заданной траектории gt+! выше.

Было проведено имитационное моделирование систем при реализации в регуляторах приближенных алгоритмов. При исследованиях определялись экспериментальные нормированные интегральные оценки ~ё и методические ё, вычисленные по формулам (36) - (38), которые приведены в табл. 1.

Таблица 1 - Экспериментальные и методические оценки

Параметры Метод

П1 ПА1 ПА2

оценки ё 0,0172 0,0072 0,0121

оценки ё 0,0170 0,0067 0,0093

процент расхождения 1,5 6,8 23,4

Результаты их анализа показывают, что вторая форма ПА2 имеет значительное расхождение (23,4 %) между экспериментальными и теоретическими

значениями ошибок и обеспечивает лучшую точность только в 1,5 раза, в то время как алгоритмы первой формы ПА1 в 2,5 раза лучше отрабатывают траекторию gы, чем системы с методами первого порядка.

В работе показано, что полученные аналитические выражения для методических погрешностей е^, и можно применять при анализе устойчивости динамических процессов в замкнутых системах с приближенными алгоритмами траекторного управления.

Для этого введена эталонная (идеальная) система, обеспечивающая выполнение равенства хм = gы. Исходная и эталонная системы были преобразованы к типовому виду задачи абсолютной устойчивости с нелинейным элементом ¥(•) е И" и линейной частью с передаточной функцией )¥(г).

На основе частотного критерия абсолютной устойчивости В. А. Якубовича показано, что для устойчивости системы достаточно выполнения неравенств:

/ = (39)

е/,ы

где е"х - элемент вектора е" :=[I„-W(z)]g^, = (7п + - .

Величина Мл, в выражении (39) равна максимальному значению Мч, удовлетворяющему условию

Ке{/„ -Л4 Жт(еуш)Ж(еуш)}>0 при -со<©<+со. (40)

Вектор ошибки ек+1 в неравенстве (39), как показано в работе, является методической погрешностью, определяемой по формулам (37) или (38) в соответствии с реализуемым в системе приближенным алгоритмом.

Аналитические выражения достаточно сложны, поэтому были получены условия устойчивости для матричных норм. Тогда при реализации алгоритмов первого и второго порядков должны соответственно выполняться неравенства:

или |е-| <М%гтп,

где константы тх и тп зависят от поведения первых, вторых и третьих производных вектор-функции f(и).

Имитационное моделирование подтвердило достоверность полученных теоретических результатов для определения областей устойчивости и показало, что алгоритмы полиномиальной аппроксимации обеспечивают более широкую область для систем траекторного управления.

В работе получены более простые аналитические выражения достаточных условий абсолютной устойчивости, если нелинейный объект описывается или может быть приведен к моделям вида:

хы=Ах„+В/(»„)-, х0=х(0), (41)

где матрица В является диагональной с ненулевыми элементами Ъ. (/ = 1, п), а элементы /(и, к) удовлетворяют условиям:

/,(0) = 0, «,/>,)><> при и /,(и,)еС\ / = 1Я (42)

На основе дискретных функций Ляпунова были получены неравенства, обеспечивающие абсолютную устойчивость для систем с алгоритмами управления первого и второго порядков соответственно:

/¿л>0 или ФаЛ"* + 2(Л'*)2>0> (43)

где ф(-) зависит от задающего воздействия и модели объекта.

Экспериментальные результаты имитационного моделирования подтвердили достоверность проведенных аналитических исследований.

В двухступенчатых схемах ПА на каждом к-м шаге на первой ступени управление определяется методом первого порядка, а на второй -уточняется алгоритмом второго порядка, т. е. всегда вычисляются вторые производные. Естественно, что эффективность приближенных алгоритмов будет выше только в случае перехода (переключения) на вторую, ступень, если это приведет к уменьшению ошибки, в противном случае необходимо подавать на вход объекта управление и^. Для этих целей был введен вектор ук е К" как разность vk = и'0 - и? и получены аналитические выражения оценок вида:

^=1[/;,]+/;-,Ц2] и (44)

Оценка ук содержит только информацию, известную на первом шаге, поэтому переключение на вторую ступень происходило при выполнении неравенства ||у4|| > аЦм^'Ц, где аеИ - величина допустимой ошибки. При имитационном моделировании проверялись достоверность аналитических формул и работоспособность разработанного алгоритма.

Таким образом, показана рациональность применения полиномиальной аппроксимации при модификации приближенных алгоритмов траекторного

управления и предложены методы анализа устойчивости и точности процессов управления в системах с реализованными алгоритмами.

Пятый раздел включает в себя результаты применения метода полиномиальной аппроксимации для решения практических задач безусловной оптимизации, параметрической идентификации и управления.

Предложена методика проектирования устойчивых и минимальнофазо-вых цифровых рекурсивных фильтров с требуемой частотной характеристикой Н2(е]Щ) на основе минимизации ¿^-ошибки.

Проведенные исследования показали, что целевая функция

Р{Х) = ^Н{Х,е^)\-\Нх(е^)\)гР (45)

к=1

в зависимости от коэффициентов ХеБГ и порядка п фильтра имеет неунимодальный характер и равна нулю в точке экстремума, поэтому были выбраны численные методы решения Р(Х) = О. Сравнение проводилось с методом Давидона-Флетчера-Пауэлла при проектировании типовых идеальных фильтров нижних, верхних частот, полосового фильтра и цифрового дифференциатора. Показано, что область сходимости разработанного метода значительно шире и его преимущество особенно сказывается при значительном удалении начальных приближений от положения экстремума.

Разработано и передано в эксплуатацию программное обеспечение подсистем идентификации компьютерного тренажера операторов АЭС. При описании ядерного реактора и исполнительного механизма в виде одностерж-невой сервоприводной системы регулирования получена модель объекта 8-го порядка. Идентифицируемыми характеристиками, уточнение значений которых необходимо для решения поставленных тренировочных задач для оператора, являются параметры рзап, рэф исполнительного механизма и начальные условия модели г,(Г0). Зависимости обобщенного

параметра р = (Ее,. | , где е, = х,. -х,;

Х = Рз»п Рэф]Г для методов квази-

линеаризации и ПА1, ПА2 приведены на рис. 3. Полученные путем моделирования рис 3_ результаты идентификации

результаты согласуются с теоретическими предположениями и в большинстве экспериментов выявлено преимущество алгоритмов второго порядка.

Осуществлен синтез адаптивного регулятора системы управления деревообрабатывающего робототехнического комплекса «Мастер», показанного на рис. 4. Разработанные алгоритмы и соответствующее программное обеспечение

Рис. 4. Общий вид робототехнического комплекса «Мастер»

ПЭВМ 6 (см. рис. 4) позволяют осуществлять автономное управление пятью каналами, которые реализуют желаемую траекторию gk+¡ как заданное движение рабочего органа 1 (фрезы) манипулятора 2 при обработке заготовки 3. Каждый канал состоит из исполнительного двигателя с управляющим напряжением ик, датчика угла поворота хк, редуктора и описывается моделью:

ХМ = СЛ + С2Хк-1 + сз ^ик) + с Ач > (46)

: где с, (г = 1,4) - коэффициенты, зависящие от параметров устройств канала.

При реализации приближенных алгоритмов кусочно-линейная характеристика эа1(ик) аппроксимировалась гладкой функцией &(3и при |3<1. Зависимость оценок математического ожидания МЕ ошибки e = g~x от массы манипулятора М для метода второго порядка ПА и модального МР приведены

на рис. 5. Опытные испытания по изготовлению изделий различных форм на деревообрабатывающем роботизированном комплексе «Мастер» с использованием процедур полиномиальной

аппроксимации показали, что качество изготавливаемой продукции соответствует всем требованиям технического задания, что доказывает работоспособность алгоритмов второго порядка и возможность их прак- Дального и разработанного алгоритмов

тического применения.

В шестом разделе рассматривается применение приближенных алгоритмов для управления двигателями постоянного тока на лабораторном стенде и в автоматизированном диагностическом комплексе испытаний тяговых двигателей, а также в системе управления вынужденными колебаниями подвижной части вибродиагностического стенда.

Широкое применение тяговые двигатели постоянного тока (ТЭД) находят на железнодорожном транспорте. Одной из актуальных задач при эксплуатации электровозов постоянного тока является поддержание ТЭД в работоспособном состоянии. В депо диагностирование ТЭД проводится методом взаимной нагрузки согласно технологической карте испытаний с помощью разработанной в ОмГУПСе автоматизированной испытательной станции. Модель объекта для скорости вращения вала ТЭД использовалась в виде:

. ХЫ а\и\ + а2«1И2 + аз > (47)

где к,, иг ~ напряжения линейного и вольтодобавочного преобразователей; я,, а2, а3- коэффициенты, зависящие от параметров испытуемых двигателей.

Временные диаграммы отработки 'требуемой скорости х = 790 об/мин и соответствующие управляющие напряжения и,, и2 изображены на рис. 6 и 7, которые подтверждают возможность автоматической стабилизации скорости.

Одним из основных видов испытаний объектов подвижного состава является вибрационный контроль, поскольку в условиях воздействия вибрационных

. ■---

/ ✓ У

иру У

ПА1

М-►

Рис. 5. Зависимости ошибок для мо-

нагрузок причиной отказа этих объектов являются различные дефекты, прежде всего в механических узлах. Для проверки изделий предназначены вибродиагностические стенды. Предлагается применение пневматической подвески для обеспечения требуемой формы колебаний х(?) подвижной части вибродиагностического стенда. Воздействия на объект ^ и ик, т.е. подвижную часть и пневмоподвеску, вычисляются по алгоритмам и соответствующим программам микропроцессорного комплекса, подаются в порты и через цифроаналоговые преобразователи и усилители поступают в исполнительные элементы.

Рис. 6. Временная диаграмма скорости вращения вала х

1800 В 1400 1200 1000

"[(О 800

600 400 200 0

-—----

225 В

175 150 125 100 «2(0 75 50 25 0

100

200 300 400 500

600

700

900

Рис. 7. Временная диаграмма управляющих напряжений и,, и2 Моделью для х при синусоидальных колебаниях с частотой соа является ХЫ = V* + b2xt-l + СП (^ё11 Uk) + Fk> (48)

где Ьх, b2 - параметры; Fk =FmsincoB£; сп - жесткость пневмоподвески.

При реализации алгоритмов функция sign« аппроксимировалась thflu при (3> 10. Примеры областей устойчивости при различных начальных отклонениях приведены на рис. 8. 0,6

отн. ед. 0,4 0,3 0,2

"(0)

о -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5

-0,06 -0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03 М 0,05

х(0)-►

Рис. 8. Области устойчивости систем с приближенными алгоритмами

Проведены экспериментальные исследования устойчивости, точности вынужденных режимов в замкнутых системах с приближенными алгоритмами и качества протекания в них переходных процессов и подтверждено, что системы с алгоритмами второго порядка имеют более широкую область устойчивости и лучшую точность процессов управления.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Содержанием работы является разработка, исследование метода полиномиальной аппроксимации для линеаризации гладких нелинейных функций и его применение для решения частных задач безусловной оптимизации, параметрической идентификации и траекторного управления нелинейными динамическими объектами.

1. Разработан метод полиномиальной аппроксимации, основанный на разложении аналитических нелинейных вектор-функций в многомерный ряд Тейлора и учитывающий кроме первой и вторую производную. Предложено две формы линейных моделей и получены оценки для погрешностей, из которых следует, что предельная точность приближения совпадает с порядком

учитываемой производной. При построении вычислительных алгоритмов предложены двухступенчатая и многошаговая схемы.

2. Применены . методы полиномиальной аппроксимации для получения численных алгоритмов нахождения решений нелинейных уравнений и безусловной оптимизации. Доказана сходимость двухступенчатых и многошаговых схем и показано, что двухступенчатые имеют на порядок лучшую скорость, а у многошаговых она соизмерима с методом Ньютона, а при учете в формулах линеаризации высших производных скорость сходимости не изменяется. Исследованы на тестовых функциях свойства методов и показано их преимущество перед классическими по областям и скорости сходимости.

3. Предложены вычислительные процедуры, реализующие двухступенчатые и многошаговые схемы оценивания параметров и состояний при решении многоточечной нелинейной краевой задачи методами квазилинеаризации и последовательной линеаризации. Определены условия сходимости алгоритмов полиномиальной аппроксимации, которые подтверждены экспериментальными исследованиями, и показано их более эффективное оценивание по сравнению с классическими методами идентификации.

4. Разработаны приближенные методы траекторного управления нелинейными объектами и получены рекуррентные алгоритмы двух форм полиномиальной аппроксимации и двухступенчатая процедура с переключениями управляющих воздействий, позволяющая более эффективно применять методы первого и второго порядков.

5. Получены для оценки точности процессов управления аналитические выражения методических погрешностей рекуррентных алгоритмов как итерационных процедур численных методов.

6. Определены с применением методов абсолютной устойчивости для многомерных объектов общего вида достаточные условия устойчивости замкнутых систем в матричной форме, совпадающие с методическими погрешностями. Для класса моделей типа Луенбергера получены скалярные аналитические выражения достаточных условий устойчивости.

7. Проведено имитационное моделирование систем с алгоритмами управления первого и второго порядков, выполнена проверка соответствия между результатами теоретических и экспериментальных исследований и подтверждено, что алгоритмы второго порядка обеспечивают лучшие показатели устойчивости и точности процессов управления.

8. Предложены приближенные методы полиномиальной аппроксимации для систем обработки информации, идентификации и управления. При проектировании цифровых фильтров проведено сравнение с результатами классического метода и показано, что область сходимости предложенного значительно шире. Разработаны алгоритмы идентификации для компьютерного тренажера операторов АЭС и полученные оценки соответствуют расчетным значениям параметров объекта.

9. Построена система управления для деревообрабатывающего робото-технического комплекса «Мастер». Разработанные алгоритмы и соответствующее программное обеспечение позволяют осуществлять автономное управление пятью каналами, которые реализуют заданное оператором движение рабочего органа манипулятора. Опытные испытания показали, что качество продукции соответствует требованиям технического задания.

10. Получены алгоритмы траекторного управления скоростью вращения вала тягового двигателя, включенного на испытательном стенде по методу взаимной нагрузки, и реализована автоматическая стабилизация скорости в существующих диагностических комплексах.

11. Разработана система управления жесткостью пневмоподвески и вынужденными механическими колебаниями подвижной части вибростенда при диагностике отдельных узлов и изделий.

СПИСОК ОСНОВНЫХ РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

В изданиях, рекомендуемых перечнем ВАК РФ:

1. КогутА. Т. Проектирование и исследование устойчивости систем траекторного управления нелинейными объектами / А. Т. Когут // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2009. № 7. С. 7-11.

2. Когут А. Т. Формирование алгоритмов управляющих воздействий на основе численных методов / А. Т. Когут, Н. Ю. Панфилова // Вестник Сиб. гос. аэрокосмического ун-та. 2009. Выпуск 1 (22). Ч. 1. С. 27-31.

3. Когут А. Т. Двухступенчатый алгоритм траекторного управления нелинейным многомерным объектом / А. Т. Когут, А. А. Лаврухин // Доклады Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники / Томск, 2009. № 1 (19). Ч. 1. С. 96-101.

4. Когут А. Т. Комплексная система диагностирования технического состояния радиотехнических и управляющих устройств подвижного состава / А. Т. Когут, А. В. Красулин, Д. В. Литовкин // Омский научный вестник / Омск, 2006. №9 (46). С. 186-189.

5. Когут А: Т. Численные алгоритмы решения нелинейных уравнений с использованием высших производных / А. Т. Когут // Омский научный вестник / Омск, 2006. № 9 (46). С. 5-8.

6. Когут А. Т. Параметрическая идентификация и оценивание адекватности динамических моделей обрабатывающего станка / А. Т. Когут // Омский научный вестник/Омск, 2006. № 2. С. 103-106.

7. Когут А. Т. Исследование скорости сходимости оптимизационных процедур полиномиальной аппроксимации / А. Т. Когут, И. В. Скосырских, И. А. Щегольский // Омский научный вестник / Омск, 2006. № 1. С. 47-51.

8. Когут А. Т. Модификация метода Шатровского решения нелинейных задач оптимального управления / А. А. Лаврухин, А. Т. Кмуг // Омский научный вестник / Омск, 2005. № 3. С. 81-85.

9. Когут А. Т. Оценивание параметров объекта с существенно нелинейными динамическими характеристиками / А. Т. Когут, Н. А. Тихонова, А. В. Новокшонова // Омский научный вестник / Омск, 2005. № 4. С. 97-100.

10. Когут А. Т. Оценка точности методов прямого оптимального управления нелинейными многомерными объектами / А. Т. Когут, А. А. Лаврухин // Омский научный вестник / Омск, 2006. № 7. С. 119-123.

Прочие публикации:

11. К о гут А. Т. Полиномиальная аппроксимация в некоторых задачах оптимизации и управления: монография / А. Т. Когут / Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2003.243 с.

12. Когут А. Т. Применение алгоритмов линеаризации для идентификации и адаптивного управления в нелинейных динамических системах: монография / А. Т. Когут, Н. А. Тихонова / Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2008. 126 с.

13. Когут А. Т. Построение математической модели кинематики и динамики обрабатывающего станка / С. А. Когут, А. А. Симаков, А. Т. Когут // Омский научный вестник / Омск, 2005. № 2. С. 64-67.

14. Когут А. Т. Расширение класса методов квазилинеаризации при решении задач параметрической идентификации / А. Т. Когут // Информатика и

процессы управления: Межвуз. темат. сб. научн. тр. / Красноярский гос. техн. ун-т. Красноярск, 1995. С. 41-45.

15.Когут А. Т. Численный алгоритм решения нелинейных уравнений с использованием вторых производных / А. Т. Когут // Математические структуры и моделирование / Омский гос. ун-т. Омск, 2003. С. 10-14.

16. Когут А. Т. Исследование областей сходимости численных методов второго порядка / А. Т. Когут, Н. Ю. Безбородова // Математика и информатика. Наука и образование: Межвуз. сб. научн. тр. / Омский гос. пед. ун-т. Омск, 2006. Вып. 5. С. 26-31.

17. Когут А. Т. Применение квадратичной аппроксимации в задачах параметрической идентификации и оптимизации / А.Т. Когут, А. Г. Малютин, И. А. Щегольский // Информатика и процессы управления: Межвуз. сб. научн. статей / Красноярский гос. техн. ун-т. Красноярск, 1997. С. 44-48.

18. Когут А.Т. Один метод адаптивного оптимального управления нелинейными дискретными объектами / А. Т. Когут, А. А. Симаков, А. Г. Малютин // Вестник Воронежского института МВД России / Воронежский институт МВД России. Воронеж, 2002. С. 129-133.

19. Когут А. Т. Сравнение двух методов идентификации при оценивании параметров нелинейного динамического маятника / А. Т. Когут, Н. А. Тихонова, А. В. Новокшонова // Омский научный вестник / Омск, 2005. № 1. С. 92-96.

20. Когут А. Т. Анализ структурной схемы одной многомерной дискретной системы в задаче абсолютной устойчивости / А. Т. Когут, А. А. Лавру-хин// Современные проблемы совершенствования работы железнодорожного предприятия. Межвуз. сб. научн. тр. М.: РГОТУПС, 2007. Т. 1. С. 33-37.

21. Когут А. Т. Применение методов цифрового управления объектами локальных систем автоматики / А.Т. Когут, Н. Ю. Безбородова, А. А. Лаврухин // Вестник Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии / Сибирская гос. автомобильно-дорожная акад. / Омск, 2007. Вып. 5. С. 206-209.

22. Когут А. Т. Исследование областей сходимости численных методов второго порядка / А. Т. Когут, Н. Ю. Безбородова // Математика и информатика. Наука и образование: Межвуз. сб. научн. тр. / Омский гос. пед. ун-т. Омск, 2006. С. 26-31.

23. Когут А.Т. Улучшение сходимости метода квазилинеаризации в задачах параметрической идентификации / А. Т. Когут // Расчет и оптимизация

параметров электромагнитных устройств и систем управления элктроприводом: Межвуз. темат. сб. научн. тр. / Омский политехнический ин-т. Омск, 1985. С. 41-44.

24. Когут А.Т. Экспериментальное восстановление математических моделей нелинейных объектов / А. Т. Когут // Материалы Х-й научно-технической конференции «Планирование и автоматизация эксперимента в научных исследованиях». М., 1992. С. 27.

25. Когут А.Т. Моделирование и исследование свойств динамических объектов с малой нелинейностью / А. Т. Когут, Н. А. Тихонова // Тезисы докладов научной школы-семинара «Моделирование и исследование устойчивости физических процессов». Киев, 1991. С. 41-42.

26. Когут А.Т. Параметрическая идентификация динамических моделей в задачах автоматизированного управления / А. Т. Когут, Н. А. Тихонова // Тезисы докладов Всесоюзной научно-технической конференции «Ученые и специалисты в решении социально-экономических проблем страны». Ташкент, 1990. С. 75-76.

27. Когут А.Т. Микропроцессорная система идентификации и управления колебаниями виброисточника / А. Т. Когут, Н. А. Тихонова // Тезисы докладов 2-й Всесоюзной научно-технической конференции «Микропроцессорные системы автоматики». Новосибирск, 1990. С. 77.

28. Когут А.Т. Синтез оптимального следящего привода с двумя параметрами управления / А. Т. Когут, А. В. Красулин // Материалы VII Междунар. конф. «Актуальные проблемы электронного приборостроения». Новосибирск, 2004. Т. 6. С. 195-198.

29. Когут А.Т. Исследования нелинейных систем управления с помощью одного класса линеаризованных моделей / А. Т. Когут // Труды конференции «Пятьдесят лет развития кибернетики» / Санкт-Петербургский гос. техн. ун-т. СПб, 1999. С. 155-157.

30. Когут А.Т. Алгоритмы идентификации и управления вынужденными колебаниями механической системы / А.Т. Когут, H.A. Тихонова, A.A. Лавру-хин // Материалы конф. «Европейская наука XXI столетия: Стратегия и перспективы развития - 2006». Днепропетровск: Наука и просвещение, 2006. Т. 22. С. 49-51.

31. Когут А.Т. Применение итерационных процедур для синтеза алгоритмов управления нелинейным динамическим объектом / В. А. Нехаев, А.Т. Когут // Тезисы конференции «Dynamical system modeling and stability investigation» / Киевский национальный ун-т им. Т. Шевченко. Киев, 2007. С. 384.

32. Когут А.Т. Исследование устойчивости динамических систем управления технологическими процессами / А.Т. Когут, Н. Ю. Безбородова, А. А. Лавру-хин // Труды Междунар. конф. «Информационные и телекоммуникационные системы и технологии» / С-Петерб. политехи, ун-т. СПб, 2007. С. 201-206.

33. Когут А.Т. Дискретные алгоритмы нелинейного управления для обеспечения требуемых технических режимов в автоматизированных системах / А. Т. Когут, Е. И. Раб, Н. Ю. Безбородова, А. А. Лаврухин // Доклады Между-нар. научно-практ. конф. «Электронные средства и системы управления. Опыт инновационного развития» / Томский гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники. Томск: Изд-во «В-Спектр», 2007. Ч. 2. С. 40-43.

34. Когут А.Т. Синтез алгоритма управления в исследовательском микропроцессорном комплексе / А. Т. Когут, А. А. Лаврухин, А. Г. Афанасьев // Материалы VII Междунар. науч.-техн. конф. «Микропроцессорные, аналоговые и цифровые системы: Проектирование и схемотехника, теория и вопросы применения» / Южно-Рос. гос. техн. ун-т. Новочеркасск, 2007. С. 27-30.

35. Когут А.Т. Приближенное решение одной нелинейной задачи оптимального управления с использованием линейных моделей / А. Т. Когут, А. А. Лаврухин // Материалы конф. «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» / Южно-Рос. гос. ун-т. Новочеркасск,

2006. Ч. 1.С. 13-15.

Типография ОмГУПСа Заказ 253. Тираж 100 экз. 644046, г. Омск, пр. Маркса, 35

Введение.

1. Постановка задачи исследования.

1.1. Анализ применяемых в теории управления методов линеаризации, выбор и обоснование основного подхода.

1.1.1. Методы линеаризации математических моделей нелинейных элементов.

1.1.2. Методы динамической линеаризации моделей нелинейных систем.

1.1.3. Обоснование выбора метода линеаризации.

1.2. Полиномиальная аппроксимация и основные аналитические выражения метода.

1.3. Оценка точности полиномиальной аппроксимации.

1.4. Основные области применения и методы исследования приближенных алгоритмов полиномиальной аппроксимации.

1.5. Выводы и результаты.

2. Полиномиальная аппроксимация в численных методах безусловной оптимизации.

2.1. Формирование итерационных процедур полиномиальной аппроксимации.

2.2. Анализ сходимости численных методов оптимизации.

2.3. Экспериментальные исследования оптимизационных алгоритмов полиномиальной аппроксимации.

2.3.1. Сравнение многошаговых и двухступенчатых алгоритмов.

2.3.2. Исследование численных методов на тестовых функциях.

2.4. Алгоритмы полиномиальной аппроксимации, учитывающие высшие производные.

2.5. Выводы и результаты.

3. Идентификация непрерывных динамических объектов на основе полиномиальной аппроксимации.

3.1. Основные сведения из теории идентификации.

3.2. Разработка методики построения алгоритмов оценивания второго порядка.

3.2.1. Метод квазилинеаризации.

3.2.2. Метод последовательной линеаризации.

3.3. Анализ алгоритмов второго порядка.

3.3.1. Алгоритм квазилинеаризации.

3.3.2. Алгоритм последовательной линеаризации.

3.4. Экспериментальное исследование алгоритмов второго порядка.

3.5. Выводы и результаты.

4. Полиномиальная аппроксимация в дискретных системах траекторного управления.

4.1. Обоснование выбора дискретного траекторного управления.

4.2. Методы решения обратных задач динамики.

4.3. Приближенные алгоритмы траекторного управления объектами с многомерными нелинейными элементами.

4.3.1. Оценка вычислительной погрешности приближенных методов.

4.3.2. Исследование процессов управления в системах с приближенными алгоритмами методами абсолютной устойчивости.

4.4. Приближенные алгоритмы траекторного управления объектами с разделенными нелинейными элементами.

4.4.1. Анализ устойчивости процессов управления в замкнутых системах.

4.4.2. Экспериментальные исследования точности и устойчивости систем с приближенными алгоритмами управления.

4.5. Двухступенчатые рекуррентные алгоритмы формирования управляющих воздействий.

4.6. Выводы и результаты.

5. Применение полиномиальной аппроксимации в системах обработки информации, идентификации и управления.

5.1. Алгоритмы синтеза цифровых БИХ фильтров.

5.1.1. Вывод расчетных формул.

5.1.2. Сравнительный анализ алгоритмов оптимизации.

5.1.3. Влияние параметров метода расчета на вычислительные затраты.

5.1.4. Рекомендации по синтезу БИХ фильтров.

5.2. Идентификация имитационной модели в системе тренинга оператора АЭС.

5.2.1. Постановка задачи.

5.2.2. Выбор имитационной модели.

5.2.3. Идентификация параметров и состояний имитационной модели.

5.3. Система адаптивного управления робототехническим комплексом.

5.3.1. Описание робототехнического комплекса и получение моделей кинематики и динамики станка.

5.3.2. Параметрическая идентификация и оценивание адекватности динамических моделей.

5.3.3. Исследование системы управления локальными каналами.

5.4. Выводы и результаты.

6. Приближенные алгоритмы в автоматизированных комплексах диагностирования технического состояния электромеханических объектов подвижного состава.

6.1. Применение приближенных алгоритмов в системах управления электроприводом.

6.1.1. Необходимость и особенности применения алгоритмов управления приводами постоянного тока.

6.1.2. Синтез алгоритмов траекторного управления электроприводом.

6.1.3. Приближенные алгоритмы двойного управления двигателями постоянного тока.

6.1.4. Алгоритмы управления двигателями постоянного тока в автоматизированном диагностическом стенде.

6.2. Приближенные алгоритмы управления вынужденными колебаниями электромеханических объектов.

6.2.1. Описание вибродиагностического комплекса, его математической модели и применяемых алгоритмов управления.

6.2.2. Формирование приближенных алгоритмов управления колебаниями виброисточника.

6.2.3. Экспериментальные исследования устойчивости и точности систем с приближенными алгоритмами управления.

6.2.4. Применение аппаратных и программных средств комплекса «Прогноз-1М» для построения систем управления вибростендом.

6.3. Выводы и результаты.

Большинство реальных объектов, физико-химических явлений, производственных и технологических процессов математически описываются нелинейными моделями, но для решения практических задач применяют методы линеаризации, когда нелинейные зависимости заменяют с соблюдением определенных условий различными эквивалентными линейными моделями.

В теории автоматического управления для описания объектов и систем применяют линейные модели, которые обычно получают аппроксимацией гладких нелинейных зависимостей линейным отрезком ряда Тейлора [21]. Основными для таких моделей были исследования А.М.Ляпунова [126] по устойчивости движения (первый метод Ляпунова). В дальнейшем, благодаря работам И. А. Вышнеградского, А. Стодолу, Д. К. Максвелла и других, была создана классическая линейная теория, и здесь хорошо обоснованными являются методы решения основных задач ТАУ, а именно, анализа, синтеза, идентификации объектов и систем, описываемых линейными моделями.

В этом классе получило развитие вариационное исчисление благодаря работам Л. С. Понтрягина [163], Р. Беллмана [17, 19] и возникла теория оптимального управления, которая развивалась в трудах А. А. Красовского [204, 100, 101, 102], А. М. Летова [119], А. А. Фельдбаума [220, 221], В. В. Солодов-никова [207], Л. С. Гольдфарба [46], В. Г. Болтянского [23, 163], Р. Калмана [250] и др. Однако найти общие подходы для класса нелинейных систем до сих пор не удалось, что привело к разработке частных методов синтеза законов управления, и их обзор широко представлен в работах [31, 34, 40, 62, 103, 105, 117, 127, 137, 168, 194, 206, 215, 224, 233]. Некоторые современные исследования и разработки приведены в статьях и монографиях следующих авторов: Б.Н.Петров [160], А. И. Рубан [182, 183, 184, 185, 189], В.Н.Фомин, А. Л. Фрадков, В. А. Якубович [225], Г. Л. Дегтярев [51], С. В. Емельянов [58], И. Г. Соловьев [200, 201], Ф. Л. Черноусько [235], А. Брайсон [25], В. М. Алексеев [7], В. Н. Афанасьев [10], Ю. П. Петров [161], Р. П. Федоренко [219].

В системах с существенно-нелинейными характеристиками колебательные процессы, близкие по форме к синусоидальным, исследуются методом гармонической линеаризации [21, 35, 46, 77, 94, 232]. Кусочно-линейные зависимости либо описывают существующие нелинейности реальных элементов, либо их вводят в состав системы для ограничения координат и управления.

Релейные элементы широко применяют в системах с релейными (позиционными) регуляторами [43, 77, 129, 143], в скользящих [212, 218] и четтеринг-режимах [10], в системах с переменной структурой [166], в экстремальных и адаптивных системах с прямоугольными поисковыми сигналами [34, 176, 204, 212] и в оптимальных по быстродействию системах [163, 125].

Метод, основанный на гармоническом балансе Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова стал, благодаря работам Е.П.Попова [21, 130, 131, 132, 149, 166], Л. С. Гольдфарба [46], И. П. Пальтова [150], С. М. Федорова [139], Б. М. Пономарева [149], достаточно хорошо разработанным и универсальным аппаратом, близким к спектральным и частотным методам линейных систем. Он широко применяется как для анализа [130], так и для синтеза [149, 150] систем, а коэффициенты гармонической линеаризации или описывающие функции используются в задачах идентификации характеристик нелинейных элементов [195].

Метод гармонической линеаризации требует синусоидального входного воздействия, для случайных сигналов разработан метод статистической [21, 156, 212] или стохастической [232] линеаризации, при произвольных непрерывных функциях применяется метод обобщенной линеаризации [93].

Областью диссертационных исследований является разработка и применение метода линеаризации при приближенном и численном решении некоторых оптимизационных задач, которые существуют в теории систем управления и обработки информации, как правило, при их синтезе и идентификации.

Предлагается в качестве оптимизационных применять итерационные процедуры определения корней нелинейных уравнений, тогда классический алгоритм Ньютона, использующий значения только первых производных, будет градиентным методом [44, 57, 205] безусловной оптимизации. Такой подход позволяет воспользоваться хорошо известными и изученными в прикладной математике итерационными методами, приведенными, например, в работах Дж. Трауба [214], Н. С. Бахвалова [16], Ш. Е. Микеладзе [140] и др. Достаточно подробный обзор также и методов оптимизации можно найти в работах [11, 13, 14,33, 112, 113, 153, 164, 165, 169, 177, 183, 190,216, 222, 228, 229].

В задачах параметрического и структурно-параметрического синтеза минимизируемый функционал определяет качество процессов управления, и он обычно выбирается в виде интегральной зависимости от ошибки, которая равна разности между входным требуемым воздействием и наблюдаемой выходной переменной системы. Итерационные оптимизирующие процедуры строятся относительно вектора, значения элементов которого являются настраиваемыми параметрами моделей устройств управления (регуляторов). Модели могут быть линейными и нелинейными, во временной (модели «вход-выход» или переменные состояния) и комплексной (частотной) областях, для непрерывных и дискретных регуляторов.

Выполнение требования, чтобы в каждый момент времени движение синтезируемой системы совпадало с требуемой траекторией, приводит к задачам траекторного управления [76, 142, 136, 8], которые решаются методом обратной задачи динамики [106, 107]. Аналитическое решение известно для линейных и аффинных объектов и приведено в работах В. Н. Фомина, А. JI. Фрадко-ва, В. А. Якубовича [225], JI. Н. Волгина [31], Р. Изермана [65], Я. 3. Цыпкина [232], А. А. Красовского [204] и др. В классе нелинейных систем требуется определение обратных вектор-функций, и существует два подхода для получения решения. Первый является аналитическим и основан на точной линеаризации, преобразовании и замене координат и в настоящее время активно развивается благодаря работам А. Исидори [259], К. С. Нарендры [262], Р. Марино, Р. Томея, П. Котоковича, С. Састри, Н. К. Халила, В. И. Краснощеченко, А. П. Крищенко [98] и других и подробно представлен в работах А. А. Аграче-ва, Ю. Л. Сачкова [4], а также [76, 142, 197, 138].

Второй подход к решению обратных задач динамики, не требующий обращений и проведения достаточно сложных аналитических преобразований, предложен А. И. Рубаном [182, 189] для класса дискретных систем и основан на аппроксимации нелинейных моделей линейным отрезком ряда Тейлора. Получаемый рекуррентный алгоритм управления аналогичен итерационной процедуре Ньютона, область и скорость сходимости которой ограничены.

Итерационные методы оптимизации используются в системах обработки информации, когда параметрами являются коэффициенты непрерывных или цифровых фильтров, а функционал чаще всего записывается в комплексной области и он определяет степень близости частотных характеристик проекта-, руемых устройств к требуемым [5, 115, 152, 171, 202]. Аналогичные процедуры формируют в параметрической идентификации и примерами являются градиентные методы [191], алгоритм Качмажа [173] и др.

Идентификация представляет собой самостоятельный раздел кибернетики [135], в котором рассматриваются вопросы получения структуры, параметров модели, а таюке восстановления переменных объекта на основе экспериментальной информации о поведении объекта.

Основы теории идентификации заложены в трудах таких отечественных ученых как Я. 3. Цыпкин [230], А. А. Красовский [99], В. А. Каминскас [69, 70], А. М. Дейч [53], Н. С. Райбман [173], А. Г. Ивахненко [64], А. И. Рубан [180, 181, 185, 186, 187, 188], Л. А. Растригин, H. Е. Маджаров [175], Б.Н.Петров, П. Д. Крутько [159], И. Н. Перельман [157], Ш. Е. Штейнберг [242], В. В. Налимов [147], Е. Н. Розенвассер, Р.М.Юсупов [179, 246, 247], Г. К. Круг [104], В. П. Бородюк, Э. К. Лецкий [24] и зарубежных: Р. Беллман, Р. Калаба [18], П. Эйкхофф [243, 198], Дж. Саридж [191], Э. Сейдж, Д. Мелса [192, 193], К. Спиди, Р.Браун, Дж. Гудвин [203], Л. Льюинг [124], Д. Гроп [48], И. Бард [15], Г. Д. Баде [12] и другими учеными.

В работе рассматривается параметрическая идентификации в виде обобщенного оценивания параметров и состояний нелинейных непрерывных динамических объектов, поведение которых описывается переменными состояния. При дискретных данных наблюдения за объектом она сводится к многоточечной краевой задаче [241, 192, 48]. Способами решения этой задачи являются метод квазилинеаризации [18, 192] и метод последовательной линеаризации [181, 185, 188]. В соответствующих итерационных процедурах на каждом шаге применяется линейная аппроксимация по формуле Тейлора.

Основной особенностью построения таких вычислительных схем является использование в качестве приближений некоторых траекторий, т.е. функций времени, например, в методе квазилинеаризации — это траектория предыдущей итерации, в методе последовательной линеаризации - базовое (основное) движение [180, 179]. Такой же подход применяется при численном решении нелинейных задач оптимального управления методом последовательного улучшения управлений [10, 240].

Итерационные методы, построенные на аппроксимациях линейным полиномом Тейлора, хорошо алгоритмизируются, просты в реализации, но эффективны только в том случае, если начальные приближения параметров и траекторий достаточно близки к истинным значениям [10, 48, 180, 192, 243]. Следовательно, разработка новых и модернизация существующих методов линеаризации является актуальной задачей.

В диссертационной работе предлагается метод полиномиальной аппроксимации как один из возможных подходов к построению схем линеаризации, основанный на разложении гладких нелинейных функций в ряд Тейлора и учитывающий высшие производные. В результате получается линейная аппроксимация, которую рационально использовать совместно с обычной линеаризацией и со схемами вычислений классических методов.

Цель диссертационной работы состоит в разработке и исследовании метода полиномиальной аппроксимации гладких нелинейных вектор-функций, позволяющего в линейных моделях, построенных на основе многомерного ряда Тейлора, учитывать высшие производные; в формировании вычислительных алгоритмов, модернизации классических методов линеаризации, а также в решении прикладных задач оптимизации, параметрической идентификации и синтеза систем управления нелинейными объектами.

Для достижения поставленной цели решены следующие основные задачи.

1. Определены основные аналитические выражения полиномиальной аппроксимации и способы построения вычислительных алгоритмов.

2. Построены на основе полиномиальной аппроксимации итерационные процедуры численных методов оптимизации. Определены аналитические выражения и проведен анализ основных показателей сходимости.

3. Получены методы идентификации при оценивании параметров и состояний нелинейных динамических объектов. Определены условия сходимости, а также алгоритмические и вычислительные затраты.

4. Разработаны приближенные алгоритмы траекторного управления нелинейными дискретными объектами. Предложена методика анализа устойчивости и точности процессов управления в замкнутых системах.

5. Проведены экспериментальные исследования разработанных методов и алгоритмов с помощью программных средств Ма^аЬ и для типовых примеров сравнивались результаты моделирования и теоретических исследований.

6. Применены методы полиномиальной аппроксимации при синтезе систем обработки информации и управления, в том числе и при техническом диагностировании средств и устройств подвижного состава.

Результаты теоретического и экспериментального исследований позволили сделать выводы о свойствах алгоритмов и их применимости к решению поставленных задач.

Основные научные результаты работы:

1. Метод линеаризации на основе ряда Тейлора, его основные формы, вычислительные процедуры и оценки точности линейных приближений.

2. Численные методы безусловной оптимизации, нахождения решений уравнений и аналитические выражения показателей сходимости.

3. Методы параметрической идентификации и условия сходимости.

4. Алгоритмы траекторного управления, в том числе процедуры с переключением, методика анализа точности и устойчивости замкнутых систем.

5. Приближенные методы синтеза цифровых фильтров, параметрической идентификации и алгоритмы траекторного управления в робототехнических и диагностических комплексах промышленности и железнодорожного транспорта.

Новизна научных результатов работы состоит в следующем: впервые получен метод дифференциальной линеаризации с учетом высших производных, основные формы, вычислительные схемы и формулы точности; численные методы являются новыми и по сравнению с классическим имеют кубическую скорость и более широкую область сходимости; аналитические выражения модифицированных методов квазилинеаризации, последовательной линеаризации и условия сходимости получены впервые; они обеспечивают более эффективное оценивание по сравнению с классическими; алгоритмы формирования траекторного управления нелинейными динамическими объектами являются новыми; методика исследования точности и анализа абсолютной устойчивости применяется впервые и разработанные методы обеспечивают более высокие показатели точности и устойчивости; впервые были разработаны приближенные методы полиномиальной аппроксимации при синтезе цифровых фильтров, идентификации и управления объектами промышленности и железнодорожного транспорта.

Достоверность полученных результатов диссертационной работы подтверждается точностью совпадения (ошибка в пределах пяти процентов) теоретических результатов и экспериментальных данных при проведении лабораторных и натурных испытаний для оценок параметров идентифицируемой модели компьютерного тренажера и коэффициентов цифровых фильтров, а также выходных сигналов и заданной траектории движения в системах управления деревообрабатывающего и диагностических комплексов.

Теоретические исследования проводились с привлечением методов прикладной математики при решении задач безусловной минимизации и численного решения нелинейных уравнений, теории матриц и дифференциальных уравнений, теории автоматического управления, оценивания и идентификации, методов оптимального и адаптивного управления. Проверка работоспособности и эффективности алгоритмов осуществлялась с помощью имитационного моделирования на ЭВМ с использованием современных средств автоматизации математических вычислений.

Диссертационная работа выполнялась в рамках госбюджетных НИР «Разработка и исследование автоматизированных методов идентификации, управления и обработки информации в технических системах» (№ ГР 01.9.60000794), «Разработка и исследование алгоритмов и методов анализа и автоматизированного проектирования интегрированных компьютерных систем управления и обработки информации» (№ ГР 0120.0.0602862), проводимых в Омском государственном университете путей сообщения.

Результаты работы использованы в ФГУП «Омский НИИ приборостроения» при проектировании цифровых рекурсивных фильтров произвольной формы, в НПО «Автоматика» при разработке подсистемы идентификации компьютерного тренажера операторов атомных электростанций; в ООО «Сиб-Электро» при синтезе адаптивной системы управления деревообрабатывающим робототехническим комплексом «Мастер» и в НИИ технологии, контроля и диагностики железнодорожного транспорта (НИИТКД) при разработке алгоритмов цифрового управления приводом постоянного тока и испытаниях тяговых двигателей в локомотивном депо, а также вынужденными механическими колебаниями в вибродиагностическом стенде. Внедрение результатов подтверждается соответствующими актами.

Теоретические результаты и программное обеспечение используется в учебном процессе специальности 220201 - Управление и информатика в технических системах в ОмГУПСе.

Основной материал диссертации отражался в научных докладах, которые обсуждались на 10-й Международной научно-технической конференции «Планирование и автоматизация эксперимента в научных исследованиях» (Москва, 1992 г.); научно-технической конференции «Системные методы теории чувствительности, надежности и математического моделирования» (Москва, Сочи, 1996 г.); научно-технической конференции «Пятьдесят лет развития кибернетики» (Санкт-Петербург, 1999 г.); Международной конференции «Информационные и телекоммуникационные системы и технологии» (Санкт-Петербург, 2007); научной школе-семинаре «Моделирование и исследование устойчивости физических процессов» (Киев, 1991 г.); научно-технической конференции «Dynamical system modeling and stability investigation» (Киев, 2007 г.); Всесоюзной конференции «Ученые и специалисты в решении социально-экономических проблем страны» (Ташкент, 1990 г.); Всероссийском семинаре «Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении» (Казань, 1996 г.); П-й всесоюзной научно-технической конференции «Микропроцессорные системы автоматики» (Новосибирск, 1990 г.); Сибирской конференции по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1994 г.); VII Международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (Новосибирск, 2004 г.); Международной научно-практической конференции «Электронные средства и системы управления. Опыт инновационного развития» (Томск, 2007 г.); Всероссийской научно-практической конференции «Научно-техническое и экономическое сотрудничество стран АТР в XXI веке» (Хабаровск, 2009 г.); Всероссийской научно-практической конференции «Проблемы и перспективы развития Транссибирской магистрали в XXI веке» (Чита,

2006 г.); научно-технической конференции «Европейская наука XXI столетия: Стратегия и перспективы развития - 2006» (Днепропетровск, г. 2006); V Международной научно-практической конференции «Моделирование. Теория, методы и средства» (Новочеркасск, 2005 г.); научно-технической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (Новочеркасск, 2006 г.); VII Международной научно-технической конференции «Микропроцессорные, аналоговые и цифровые системы: Проектирование и схемотехника, теория и вопросы применения» (Новочеркасск, 2007 г.); VIII Международной научно-практической конференции «Интеллектуальные электромеханические устройства, системы и комплексы» (Новочеркасск,

2007 г.); научно-технической конференции «Информационные технологии и радиосети - 96» (Омск, 1996 г.); 1-й, П-й и III-й международных научно-технических конференциях «Динамика систем, механизмов и машин» (Омск, 1995, 1997, 1999, 2004 гг.); международной научно-технической конференции «Проблемы оптимизации и экономические приложения» (Омск, 1997, 2003 г.); межвузовской научно-технической конференции «Железнодорожный транспорт Сибири: проблемы и перспективы» (Омск, 1998 г.); научно-технической конференции «Применение в САПР типовых и объективно-независимых программно-методических и программно-технических комплексов» (Омск, 1989 г.); научно-технической конференции «Методы и средства диагностирования технических средств железнодорожного транспорта» (Омск, 1989 г.); научно-практической конференции «Новые информационные технологии в учебном процессе и управлении» (Омск, 1990 г.); 3-й научно-технической конференции «Автоматизированные системы испытаний объектов железнодорожного транспорта» (Омск, 1991 г.); региональной научно-практической конференции «Энергоснабжение на предприятиях Западно-Сибирской железной дороги» (Омск, 1997 г.).

По теме диссертации опубликовано 75 научных работ, в том числе две монографии.

Диссертационная работа состоит из шести глав и приложения.

В первой главе рассматривается методика полиномиальной аппроксимации, получены ее основные формы, исследована точность линеаризации на основе предлагаемых линейных моделей.

Во второй главе рассмотрены задачи нахождения корней нелинейных уравнений и безусловной оптимизации. Показаны основные вычислительные схемы - двухступенчатые и многошаговые процедуры численного решения.

В третьей главе процедура полиномиальной аппроксимации используется для решения задачи параметрической идентификации непрерывных динамических объектов и систем.

В четвертой главе синтез системы траекторного управления нелинейными дискретными объектами проводится с использованием рекуррентных алгоритмов метода полиномиальной аппроксимации.

В пятой главе описываются методика расчета цифровых рекуррентных фильтров, подсистема идентификации компьютерного тренажера операторов атомных электростанций и синтез системы управления деревообрабатывающим робототехническим комплексом.

В шестой главе приводятся алгоритмы цифрового управления приводом постоянного тока при испытаниях тяговых двигателей и колебаниями подвижной части вибродиагностического комплекса.

В заключении приводятся основные результаты и выводы по диссертационной работе.

В приложении приведены результаты исследований модифицированного метода улучшения управлений, определения условий и областей сходимости численных методов, программы идентификации и траекторного управления, составленные с помощью программных средств МаЙаЬ, а также акты, подтверждающие практическое внедрение и использование результатов работы.

6.3. Выводы и результаты

1. Рассмотрена задача цифрового управления основным исполнительным элементом электротехнических комплексов - двигателем постоянного тока, приведены дискретные модели и рекуррентные алгоритмы полиномиальной аппроксимации, формирующие управляющие воздействия, обеспечивающие изменение переменных состояния объекта (двигателя) в соответствии с желаемой траекторией движения.

2. Разработаны аппаратное и программное обеспечение лабораторного комплекса для проведения физического моделирования и исследования электропривода постоянного тока; построены математические модели, с разной степенью точности описывающие электротехнические процессы, протекающие в двигателе, с помощью которых проведена путем имитационного моделирования экспериментальная проверка выполнения основных предпосылок абсолютной управляемости приближенных методов управления.

3. Созданы математическое и программное обеспечение многомерного регулятора в системе стабилизации скорости вращения тягового двигателя, включенного по методу взаимной нагрузки на испытательном стенде автоматизированного диагностического комплекса, и экспериментально путем имитационного моделирования подтверждена возможность применения приближенных алгоритмов формирования управляющих воздействий в нелинейных системах.

4. Рассмотрен вибродиагностический стенд, позволяющей за счет изменения жесткости пневмоподвески, получать максимально возможные амплитуды механических колебаний и показано, что применение релейных алгоритмов, как и в случае экстремальной системы управления с прямоугольными поисковыми сигналами, приводит к появлению автоколебаний.

5. Проведены экспериментальные исследования устойчивости, точности вынужденных режимов в замкнутых системах с приближенными алгоритмами и качества протекания в них переходных процессов. Установлено, что приближенные методы позволяют избегать автоколебательного характера изменения жесткости пневмоподвески и подтверждено, что системы автоматического управления с алгоритмами второго порядка обладают более широкой областью устойчивости и лучшей точностью процессов управления.

6. Разработаны предложения по синтезу системы автоматического управления жесткостью пневмоподвески и вынужденными механическими колебаниями подвижной части вибрационного стенда на базе существующих аппаратных и программных средств оперативного диагностического комплекса «Прогноз- 1М» и устройства формирования эталонных сигналов.

318 Заключение

Содержанием работы является разработка, исследование метода полиномиальной аппроксимации для линеаризации гладких нелинейных функций и его применение для решения частных задач безусловной оптимизации, параметрической идентификации и траекторного управления нелинейными динамическими объектами.

1. Разработан метод полиномиальной аппроксимации, основанный на разложении аналитических нелинейных вектор-функций в многомерный ряд Тейлора и учитывающий кроме первой и вторую производную. Получено две работоспособные формы линейных моделей и из сравнительного анализа точности приближения следует, что лучшими свойствами обладает форма полиномиальной аппроксимации, корректирующая коэффициент наклона прямой.

2. Показано, что в двух формах полиномиальной аппроксимации возможно учитывать и высшие производные, приведены соответствующие формулы линеаризации и получены оценки для погрешностей, из которых следует, что предельная точность приближения совпадает с порядком учитываемой высшей производной. Но их практическое применение ограничено сложностью получения аналитических выражений для высших производных.

3. Предложены для реализации алгоритмов полиномиальной аппроксимации две основные схемы - двухступенчатая и многошаговая, первая предполагает вычисление на каждом итерационном шаге значения приближения вначале одним из известных численных методов, в частности, классическим, а затем на второй ступени производится уточнение в соответствии с формой алгоритма полиномиальной аппроксимации. В многошаговых вычислительных схемах рекуррентная процедура требует применения методов первого порядка в качестве «разгонных» только на первой итерации.

4. Показана возможность применения методов полиномиальной аппроксимации первого и второго порядков для получения численных алгоритмов решения задач прикладной математики - нахождения корней нелинейных уравнений и безусловной оптимизации. Установлено, что алгоритм первого порядка совпадает с известным вычислительным методом Ньютона. Доказана сходимость двухступенчатых и многошаговых схем и показано, что двухступенчатые обладают на порядок лучшей скоростью сходимости, а у многошаговых она соизмерима с методом Ньютона, а при учете в формулах линеаризации высших производных изменяется константа, но не скорость сходимости полиномиальной аппроксимации.

5. Исследованы на примерах ряда тестовых функций, применяемых при анализе численных методов безусловной оптимизации, свойства разработанных алгоритмов и показано их преимущество перед соответствующими классическими методами, особенно при удалении от точки экстремума. Вблизи оптимума более предпочтительными являются методы первого порядка как требующие меньших вычислительных затрат. Сравнительный анализ алгоритмов второго порядка выявил преимущество методов полиномиальной аппроксимации, обладающих более широкой областью и большей скоростью сходимости.

6. Получены вычислительные процедуры, реализующие двухступенчатые и многошаговые схемы оценивания параметров и состояний при решении многоточечной нелинейной краевой задачи методами квазилинеаризации и последовательной линеаризации. Проведен анализ сходимости алгоритмов полиномиальной аппроксимации первой и второй форм, определены общие необходимые условия, обеспечивающие сходимость, а также дополнительные условия для второй формы метода последовательной линеаризации.

7. Проведены экспериментальные исследования алгоритмов полиномиальной аппроксимации на ряде модельных примеров, проанализированы их свойства по сложности программной реализации и вычислительным затратам и показана целесообразность их применения на первых шагах оценивания при значительном удалении начальных приближений от истинных значений с последующим переходом к классическим методам идентификации.

8. Разработаны приближенные методы траекторного управления нелинейными объектами и получены рекуррентные алгоритмы двух форм полиномиальной аппроксимации и двухступенчатая процедура с переключениями управляющих воздействий, позволяющая более эффективно использовать методы первого и второго порядков.

9. Получены для оценки точности процессов управления в замкнутых многомерных нелинейных системах общего вида аналитические выражения методических погрешностей рекуррентных алгоритмов формирования управляющих воздействий как итерационных процедур численных методов. Определены на их основе с помощью матричных норм верхние границы интегральных абсолютных оценок и показано, что в системах, где реализуются алгоритмы второго порядка, точность и качество процессов управления выше, чем при применении в системах классических методов.

10. Определены, используя методы исследования абсолютной устойчивости, для многомерных объектов общего вида достаточные условия устойчивости замкнутых систем в матричной форме, совпадающие с аналитическими выражениями методических погрешностей. Сформулированы соответствующие условия в виде ограничений на нормы матриц, с помощью которых можно проводить сравнительный анализ областей устойчивости систем с приближенными алгоритмами управления. Получены для класса моделей объектов в форме переменных состояния с разделенными нелинейными зависимостями (модели Луенбергера) простые аналитические выражения достаточных условий устойчивости систем траекторного управления.

11. Проведено имитационное моделирование нелинейных систем с методами управления первого и второго порядков, выполнена проверка соответствия между результатами теоретических и экспериментальных исследований точности и устойчивости процессов управления. Экспериментально подтверждено, что, во-первых, системы с алгоритмами управления второго порядка обеспечивают лучшие показатели устойчивости и точности и, во-вторых, двухступенчатый алгоритм с переключениями является работоспособным и может быть реализован в устройствах управления исследуемых систем.

12. Предложены приближенные методы полиномиальной аппроксимации для систем обработки информации, идентификации и управления. В том числе методика проектирования устойчивых и минимальнофазовых рекурсивных цифровых фильтров с произвольной частотной характеристикой, проведено сравнение с методом Давидона-Флетчера-Пауэлла и показано, что область сходимости значительно шире. Разработана подсистема идентификации компьютерного тренажера операторов АЭС и для принятых моделей ядерного реактора и исполнительного механизма проведены расчеты по идентификации параметров и состояний, полученные результаты согласуются с теоретическими предположениями и в большинстве экспериментов выявлено преимущество алгоритмов второго порядка.

13. Построена система адаптивного управления для деревобрабатываю-щего робототехнического комплекса «Мастер». Разработанные алгоритмы и соответствующее программное обеспечение позволяют осуществлять автономное управление пятью каналами, которые реализуют заданное оператором движение рабочего органа манипулятора. Опытные испытания показали, что качество продукции соответствует всем требованиям технического задания.

14. Созданы математическое и программное обеспечение многомерного регулятора в системе стабилизации скорости вращения тягового двигателя, включенного по методу взаимной нагрузки на испытательном стенде автоматизированного диагностического комплекса, и экспериментально путем имитационного моделирования подтверждена возможность применения приближенных алгоритмов формирования управляющих воздействий в нелинейных системах.

15. Рассмотрен вибродиагностический стенд, описываемый моделью колебательного звена с пневматической подвеской, позволяющей за счет изменениям жесткости получать максимально возможные амплитуды механических колебаний подвижной части стенда; получены формулы для алгоритмов управления колебаниями вибростенда, использующих приближенные решения обратной задачи динамики; подтверждена, как экспериментально так и с помощью имитационного моделирования, возможность применения предлагаемых алгоритмов формирования управляющих воздействий в нелинейных системах. Разработаны предложения по синтезу системы автоматического управления жесткостью пневмоподвески и вынужденными механическими колебаниями подвижной части вибрационного стенда на базе существующих аппаратных и программных средств оперативного диагностического комплекса «Прогноз-1М» и устройства формирования эталонных сигналов.

16. Разработан пакет программ с использованием системы автоматизации математических вычислений МаНАВ, позволяющий с помощью методов имитационного моделирования на ЭВМ сравнивать теоретические результаты с данными экспериментальных исследований, а также разрабатывать реальные системы оптимизации, параметрической идентификации и адаптивного управления нелинейными объектами.

17. Теоретические результаты и программное обеспечение используются в учебном процессе при проведении занятий и выполнении курсовых работ в ряде дисциплин, а также при дипломном проектировании со студентами специальности 220201 - «Управление и информатика в технических системах».

1. Аверина А. Д. Исследование нелинейных систем управления на основе применения дискретных моделей / А. Д. Аверина, А. Д. Модяев // Дискретные нелинейные системы. М.: Машиностроение, 1982. С. 183-206.

2. Автоматизация процедур получения математических моделей объектов управления. Отчет о НИР (заключительный) / Омская гос. акад. путей сообщения; Руководитель КогутА. Т. № ГР01.9.30001868. Инв. № 02.9.60000311. Омск, 1995. 87 с.

3. Автоматизированное проектирование систем управления / Под. ред. М. Джамшиди и др. М.: Машиностроение, 1989. 344 с.

4. Аграчев А. А. Геометрическая теория управления / А. А. Аграчев, Ю. Л. Сачков. М.: Физматлит, 2005. 392 с.

5. Айфичер Э. Цифровая обработка сигналов. Практический подход / Э. Айфичер, Б. Джервис. М.: Вильяме, 2008. 992 с.

6. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание / А. Алберт. М.: Наука, 1977. 224 с.

7. Алексеев В. М. Оптимальное управление / В.М.Алексеев, В. М. Тихомиров, С. В. Фомин. М.: Физматлит, 2005. 384 с.

8. Ананьевский И. М. Методы управления нелинейными механическими системами / И. М. Ананьевский, Ф. Л. Черноусько, С. А. Решмин. М.: Физматлит, 2006. 328 с.

9. Анрион Р. Теория второй вариации и ее приложения в оптимальном управлении / Р. Анрион. М.: Наука, 1979. 309 с.

10. Афанасьев В. Н. Математическая теория констуирования систем управления / В.Н.Афанасьев, В. Б. Колмановский, В.Р.Носов. М.: Высшая школа, 2003. 614 с.

11. Аоки М. Введение в методы оптимизации / М. Аоки. М.: Наука, 1977. 344 с.

12. Баде Г. Д. Идентификация / Г. Д. Баде и др. М.: Мир, 1987. 300 с.

13. Базара М. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы / М. Базара, К. Шетти. М.: Мир, 1982. 490 с.

14. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс / Б. Банди. М.: Радио и связь, 1988. 128 с.

15. Бард И. Нелинейное оценивание параметров / И. Бард. М.: Статистика, 1979. 349 с.

16. Бахвалов Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов. М.: Наука, 1973.631с.

17. Беллман Р. Прикладные задачи динамического программирования / Р. Беллман, С. Дрейфус. М.: Наука, 1965. 460 с.

18. Беллман Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи / Р. Беллман, Р. Калаба. М.: Мир, 1968. 183 с.

19. Беллман Р. Динамическое программирование / Р. Беллман. М.: Иностранная литература, 1960. 320 с.

20. Березин И. С. Методы вычислений / И. С. Березин, Н. П. Жидков. М.: Наука, 1966. Т.1. 632 с.

21. Бесекерский В. А. Теория систем автоматического управления / В. А. Бесекерский, Е. П. Попов. СПб.: Профессия, 2004. 752 с.

22. Богуславский И. А. Полиномиальная аппроксимация для нелинейных задач оценивания и управления / И. А. Богуславский. М.: Физматлит, 2006. 208 с.

23. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления / В. Г. Болтянский. М.: Наука, 1969. 377 с.

24. Бородюк В. П. Статистическое описание промышленных объектов / В. П. Бородюк, Э. К. Лецкий. М.: Энергия, 1971. 112 с.

25. Брайсон А. Прикладная теория оптимального управления / А. Брай-сон, Хо Ю-Ши. М.: Мир, 1972. 554 с.

26. Бутерин Н. В. Введение в теорию нелинейных колебаний / Н. В. Бутерин, Ю. Н. Неймарк, Н. А. Фуфаев. М.: Наука, 1976. 384 с.

27. Бушуев А. В. Полиномиальный подход к синтезу квазиоптимального по быстродействию электропривода с переменной структурой / А. В. Бушуев // Мехатроника, автоматизация, управление. 2006, № 1. С. 18-21.

28. В азан М. Стохастическая аппроксимация / М. Вазан. М.: Мир, 1972. 295 с.

29. Васильев В. И. Синтез многосвязных нелинейных систем методом обобщённой линеаризации / Б. Н. Петров, В. И. Васильев, Ю. М. Гусев // Исследования по теории многосвязных систем. М.: Наука, 1982. 152 с.

30. Вержбицкий В. М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения / В. М. Вержбицкий. М.: ОНИКС 21-й век, 2005. 432 с.

31. Волгин JI. Н. Оптимальное дискретное управление динамическими системами / JI. Н. Волгин; Под ред. П. Д. Крутько. М.: Наука, 1986. 240 с.

32. Волков В. П. Электромашинные устройства автоматики / Н. И. Ми-ловзоров, В. П Волков. М.: Высшая школа, 1978. 336 с.

33. Волков Е.А. Численные методы / Е.А. Волков. М.: Наука, 1987. 248 с.

34. Воронов А. А. Основы теории автоматического управления. Оптимальные, многосвязные и адаптивные системы / А. А. Воронов. JL: Энергия, 1970. 328 с.

35. Воронов A.A. Основы теории автоматического управления и регулирования / А. А. Воронов, В. К. Титов, Б. Н. Новогранов. М.: Высшая школа, 1977.519 с.

36. Востриков А. С. Синтез систем регулирования методом линеаризации / А. С. Востриков. Новосибирск: Изд. НГТУ, 2007. 120 с.

37. Гавурин М. К. Об одном итеративном методе разыскания минимума суммы квадратов / М. К. Гавурин, Ю. Б. Фарфаровская // «Ж. выч. математика и матем. физика», т. 6, 1966, № 6. С. 1094-1097.

38. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. М.: Наука, 1988.548 с.

39. Ганшин Г. Р. Методы оптимизации и решения уравнений / Г. Р. Ганшин. М.: Наука, 1987. 126 с.

40. Гельфанд И. М. Вариационное исчисление / И. М. Гельфанд, С. В. Фомин. М.: Физматгиз, 1962. 320 с.

41. Герман-Галкин С. Г. Компьютерное моделирование полупроводниковых систем в Matlab 6.0/ С.Г.Герман-Галкин. СПб.: Корона принт, 2001. 320с.

42. Герман-Галкин С. Г. Электрические машины: Лабораторные работы на ПК / С. Г. Герман-Галкин. М.: Корона принт, 2003. 256 с.

43. Гёльднер Г. Нелинейные системы управления / Г. Гёльднер, С. Кубик. М.: Мир, 1987. 368 с.

44. Гилл Ф. Практическая оптимизация / Ф. Гилл, У. Мюррей, М. Райт: Пер. с англ. М.: Мир, 1985. 509 с.

45. Глазунов Ю. Т. Вариационные методы / Ю. Т. Глазунов. М.: Изд. Института компьютерных исследований, 2006. 470 с.

46. Гольдфарб Л. С. Теория автоматического управления / Л. С. Гольд-фарб и др.; Под ред. А. В. Нетушила. М.: Наука, 1976. 480 с.

47. Городецкий В. И. Метод последовательной оптимизации в задачах идентификации / В. И. Городецкий, Р. М. Юсупов // Сер. техническая кибернетика. 1972, №3. С. 72-79.

48. Гроп Д. Методы идентификации систем / Д. Гроп; Пер. с англ. В. А. Васильева, В. И. Лопатина; Под ред. Е. И. Кринецкого. М.: Мир, 1979. 304 с.

49. ГОСТ 2582-81. Машины электрические вращающиеся тяговые. Общие технические условия. М.: Изд-во стандартов, 1998. 94 с.

50. Гудвин Г. К. Проектирование систем управления / Г. К. Гудвин, С. Ф. Гребе, М. Э. Сальгадо. М.: Бином, 2004. 911 с.

51. Дегтярев Г. Л. Теоретические основы оптимального управления упругими космическими аппаратами / Г. Л. Дегтярев, Т. К. Сиразетдинов. М.: Машиностроение, 1986. 216 с.

52. Дезоер Ч. Системы с обратной связью: входо-выходные соотношения/Ч. Дезоер, М. Видьясагар. М.: Наука, 1983. 280 с.

53. Дейч А. М. Методы идентификации динамических систем / А. М. Дейч. М.: Энергия, 1979. 240 с.

54. Демидович Б. П. Численные методы анализа / Б. П. Демидович, И. А. Марон, Э. 3. Шувалова. М.: Наука, 1967. 560 с.

55. Деруссо П. Пространство состояний в теории управления (для инженеров) /П. Деруссо, Р. Рой, Ч. Клоуз. М.: Наука, 1970. 620 с.

56. Дорф Р. Современные системы управления / Р. Дорф, Р. Бишоп. М.: Лаборатория базовых знаний, 2004. 832 с.

57. Дэннис Дж. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений / Дж. Дэннис, Р. Шнабель. М.: Мир, 1988. 440с.

58. Емельянов С. В. Бинарные системы автоматического управления / С. В. Емельянов. М.: МНИИ проблем управления, 1983. 280 с.

59. Зайцев В. Ф. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям / В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. М.: Физматлит, 1993. 464 с.

60. Зангвилл У. И. Нелинейное программирование. Единый подход / У. И. Зангвилл; Пер. с англ. под ред. Е. Г. Голынтейна. М.: Сов. радио, 1973.310 с.

61. Зубов В. И. Лекции по теории управления / В. И. Зубов. М.: Наука, 1975. 496 с.

62. Иванов В. А. Теория оптимальных систем автоматического управления / В. А. Иванов, Н. В. Фалдин. М.: Наука, 1981. 336 с.

63. Иванов В. А. Математические методы теории автоматического регулирования / В. А. Иванов. М.: Высшая школа, 1971. 806 с.

64. Ивахненко А. Г. Системы эвристической самоорганизации в технических системах / А. Г. Ивахненко. Киев: Техника, 1971. 372 с.

65. Изерман Р. Цифровые системы управления / Р. Изерман. М.: Мир, 1984. 541 с.

66. Илютович А. Е. Численный метод для задач оптимального управления с ограничениями на фазовые переменные, основанные на принципе максимума / А. Е. Илютович, Е. 3. Хмельницкий. М.: Физматлит, 1991. 48 с.

67. Ильинский Н. Ф. Общий курс электропривода / Н. Ф. Ильинский, В. Ф. Козаченко. М.: Энергоатомиздат, 1992. 544 с.

68. Казанский Ю. А. Экспериментальные методы физики реакторов / Ю. А. Казанский, Е. С. Матусевич. М.: Энергоатомиздат, 1974. 270 с.

69. Каминскас В. А. Идентификация динамических систем по дискретным наблюдениям / В. А. Каминскас. Вильнюс: Мокслас, 1974. 244 с.

70. Каминскас В. А. Статистические методы в идентификации динамических систем / В. А. Каминскас, Р. П. Немура. Вильнюс: Минтис, 1975. 187 с.

71. Канторович Л. В. Функциональный анализ / Л.В.Канторович. М.: Наука, 1984. 752 с.

72. Канторович Л. В. Функциональный анализ и прикладная математика / Л. В. Канторович. УМН, 1948, 3, № 6, С. 89-185.

73. Касти Дж. Методы погружения в прикладной математике / Дж. Каста, Р. М. Калаба. М.: Мир, 1976. 224 с.

74. Каюмов О. Р. Глобально управляемые механические системы / О. Р. Каюмов. М.: Физматлит, 2007. 168 с.

75. Кетков Ю. Л. Ма1:1аЬ 7. Программирование, численные методы / Ю. Л. Кетков, А. Ю. Кетков, М. М. Шульц. СПб.: БХВ-Петербург, 2005.

76. Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 2: Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы / Д. П. Ким. М.: Физматлит, 2004. 464 с.

77. Классические методы автоматического управления / Под ред. А. А. Ланнэ. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. 640 с.

78. Когут А. Т. Полиномиальная аппроксимация в некоторых задачах оптимизации и управления / А. Т. Когут. Омск, Омский гос. ун-т путей сообщения, 2003. 243 с.

79. Когут А. Т. Применение алгоритмов линеаризации для идентификации и адаптивного управления в нелинейных динамических системах / А. Т. Когут, Н. А. Тихонова. Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2008. 126 с.

80. Когут А. Т. Построение математической модели кинематики и динамики обрабатывающего станка / С. А. Когут, А. А. Симаков, А. Т. Когут // Омский научный вестник. Омск, 2005, № 2. С. 64-67.

81. Когут А. Т. Оценка точности методов прямого оптимального управления нелинейными многомерными объектами / А. Т. Когут, А. А. Лаврухин // Омский научный вестник. Омск, 2006, № 7. С. 119-123.

82. Когут А. Т. Оценивание параметров объекта с существенно нелинейными динамическими характеристиками / А. Т. Когут, Н. А. Тихонова, А. В. Новокшонова// Омский научный вестник. Омск, 2005, № 4. С. 97-100.

83. Когут А. Т. Модификация метода Шатровского решения нелинейных задач оптимального управления / А. А. Лаврухин, А. Т. Когут // Омский научный вестник. Омск, 2005, № 3, С. 81-85.

84. Когут А. Т. Исследование скорости сходимости оптимизационных процедур полиномиальной аппроксимации / А. Т. Когут, И. В. Скосырских, И. А. Щегольский // Омский научный вестник. Омск, 2006, № 1. С. 47-51.

85. Когут А. Т. Параметрическая идентификация и оценивание адекватности динамических моделей обрабатывающего станка / А. Т. Когут // Омский научный вестник. Омск, 2006, № 2. С. 103-106.

86. Когут А. Т. Численные алгоритмы решения нелинейных уравнений с использованием высших производных / А. Т. Когут // Омский научный вестник. Омск, 2006, № 9 (46). С. 5-8.

87. Когут А. Т. Комплексная система диагностирования технического состояния радиотехнических и управляющих устройств подвижного состава / А. Т. Когут, А. В. Красулин, Д. В. Литовкин // Омский научный вестник. Омск, 2006, №9 (46). С. 186-189.

88. Когут А. Т. Формирование алгоритмов управляющих воздействий на основе численных методов / А. Т. Когут, Н. Ю. Панфилова // Вестник Сиб. гос. аэрокосмического ун-та. Выпуск 1 (22), Ч. 1, 2009. С. 27-31.

89. Когут А. Т. Проектирование и исследование устойчивости систем траекторного управления нелинейными объектами / А. Т. Когут // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика, 2009, № 7. С. 7—11.

90. Когут А. Т. Расширение класса методов квазилинеаризации при решении задач параметрической идентификации / А. Т. Когут // Информатика и процессы управления: Межвуз. темат. сб. научн. тр. Красноярский гос. техн. ун-т. Красноярск, 1995. С. 41-45.

91. Когут А. Т. Двухступенчатый алгоритм траекторного управления нелинейным многомерным объектом / А. Т. Когут, А. А. Лаврухин // Доклады ТУСУРа. Томск, 2009, № 1 (19), Ч. 1. С. 96-101.

92. Когут А. Т. Исследование областей сходимости численных методов второго порядка / А. Т. Когут, Н. Ю. Безбородова // Математика и информатика: Наука и образование. Межвуз. сб. научн. тр. Вып. 5. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2006. С. 26-31.

93. Коновалов А. С. Метод обобщенной линеаризации нелинейностей и его применение к синтезу нелинейных систем / А. С. Коновалов, И. А. Орурк // Изв. вузов. Электромеханика. 1974, № 5. С. 505-513.

94. Кориков А. М. Основы теории управления / А. М. Кориков. Томск: НТЛ, 2002. 392 с.

95. Корн Г. Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн. М.: Наука, 1973. 832 с.

96. Коротин А. В. Модель кинетики реактора тренажера для подготовки операторов АЭС с реактором РБМК-1000 / А. В. Коротин. Атомные электрические станции, вып.7. М., 1984, С. 179-184.

97. Костюк В. Н. Беспоисковые градиентные самонастраивающиеся системы / В. Н. Костюк. Киев.: Техника, 1969. 274 с.

98. Краснощеченко В. И. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза / В. И. Краснощеченко. М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2005. 520 с.

99. Красовский А. А. Динамика непрерывных самонастраивающихся систем / А. А. Красовский. М.: Физматгиз, 1963. 343 с.

100. Красовский А. А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование / А. А. Красовский. М.: Наука, 1973. 560 с.

101. Красовский А. А. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными процессами / А. А. Красовский, В. Н. Буков, В. С. Шенд-рик. М.: Наука, 1977. 271 с.

102. Красовский А. А. Теория управления движением / А. А. Красовский. М.: Наука, 1968. 467 с.

103. Кротов В. Ф. Методы и задачи оптимального управления / В. Ф. Кротов, В. И. Гурман. М.: Наука, 1973. 448 с.

104. Круг Г. К. Планирование эксперимента в задачах идентификации и экстраполяции / Г.К. Круг, Ю.А. Сосулин, В.А. Фашуев. М.: Наука, 1977. 246 с.

105. Крутько П. Д. Вариационные методы синтеза систем с цифровыми регуляторами / П. Д. Крутько. М.: Сов. радио, 1967. 439 с.

106. Крутько П. Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Линейные системы / П. Д. Крутько. М.: Наука, 1987. 306 с.

107. Крутько П. Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные системы / П. Д. Крутько. М.: Наука, 1988. 327 с.

108. Крутько П. Д. Построение алгоритмов управления движением дискретных систем / П. Д. Крутько, Е. П. Попов // Известия АН СССР. Сер. техническая кибернетика. 1979. № 3. С. 159-163.

109. Крутько П. Д. Управление исполнительными системами роботов / П. Д. Крутько. М.: Наука, 1991. 256 с.

110. Крылов В. И. Вычислительные методы / В. И. Крылов, В. В. Бобков, П. И. Монастырный. М.: Наука, 1976. Т. 1. 304 с.

111. Кузовков Н. Т. Непрерывные и дискретные системы управления и методы идентификации / Н. Т. Кузовков, С. В. Карабалов, О. С. Салычев. М.: Машиностроение, 1978. 222 с.

112. Кунцман Ж. Численные методы / Ж. Кунцман; Пер. с франц. под ред. Д. П. Костомарова. М.: Наука, 1979. 160с.

113. Кюнци Г. П. Нелинейное программирование / Г. П. Кюнци, В. Крелле; Пер. с нем. под ред. Г.А. Соколова. М.: Сов. радио, 1965. 303 с.

114. Ланкастер П. Теория матриц / П.Ланкастер. М.: Наука, 1978. 280 с.

115. Ланнэ А. А. Оптимальный синтез линейных электрических цепей / А. А. Ланнэ. М.: Связь, 1969. 293 с.

116. Ланнэ А. А. Оптимальный синтез линейных электронных схем / А. А. Ланнэ. М.: Связь, 1978. 336 с.

117. Лейтман Дж. Введение в теорию оптимального управления / Дж. Лейтман. М.: Наука, 1968. 192 с.

118. ЛетовА. М. Устойчивость нелинейных регулируемых систем / А. М. Летов. М.: Физматгиз, 1962. 484 с.

119. Летов А. М. Динамика полета и управления / А. М. Летов. М.: Наука, 1969. 360 с.

120. Ли Р. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление / Р. Ли. М.: Наука, 1966. 176 с.

121. Линейное и нелинейное программирование / Под ред. И. Н. Ля-шенко. Киев: Вища школа, 1975. 369 с.

122. Лин ник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений / Ю. В. Линник. М.: Физматгиз, 1962. 277 с.

123. Ловчаков В. И. Метод аналитического конструирования квазиоптимальных систем управления с полиномиальными нелинейностями / В. И. Ловчаков // Автоматика и телемеханика. 2007, № 6. С. 51-66.

124. Льюинг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя / Л. Льюинг. М.: Наука, 1991. 432 с.

125. Любушкин А. А. Метод последовательных приближений для расчета оптимального управления / А. А. Любушкин, Ф. Л. Черноусько // Известия АН СССР. Сер. техническая кибернетика. 1983. № 2. С. 83-96.

126. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения / А. М. Ляпунов. Л.: Гостехиздат, 1950. 387 с.

127. Матвеев А. С. Оптимальные системы управления: Обыкновенные дифференциальные уравнения. Специальные задачи / А. С. Матвеев, В. А. Якубович. СПб.: Издательство СПбГУ, 2003. 540 с.

128. Медведев В. С. Нейронные сети. Ма^аЬ 6 / В. С. Медведев, В. Г. Потемкин. М.: МИФИ, 2002. 496 с.

129. Мееров М. В. Синтез структур систем автоматического регулирования высокой точности / М. В. Мееров. М.: Наука, 1967. 484 с.

130. Метод гармонической линеаризации в проектировании нелинейных систем автоматического управления / Под ред. Ю. И. Топчеева. М.: Машиностроение, 1970. 568 с.

131. Методы автоматизированного проектирования нелинейных систем / Под ред. Ю. И. Топчеева. М.: Машиностроение, 1993. 576 с.

132. Методы исследования нелинейных систем автоматического управления / Под ред. Р. А. Нелепина. М.: Наука, 1975. 448 с.

133. Методы исследования сложных систем управления: Сб. тр. / Под ред. В. А. Ведешникова. Ин-т проблем управления. М., 1989. 63 с.

134. Методы классической и современной теории автоматического управления. Математические модели, динамические характеристики и анализсистем автоматического управления / Под ред. К. А. Пупкова, Н. Д. Егупова. М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. Т. 1. 656 с.

135. Методы классической и современной теории автоматического управления. Статистическая динамика и идентификация систем автоматического управления / Под ред. К. А. Пупкова, Н. Д. Егупова. М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. Т. 2.

136. Методы классической и современной теории автоматического управления. Синтез регуляторов систем автоматического управления / Под ред. К. А. Пупкова, Н. Д. Егупова. М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. Т. 3. 616 с.

137. Методы классической и современной теории автоматического управления. Теория оптимизации систем автоматического управления / Под ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова. М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. Т.4. 744 с.

138. Методы классической и современной теории автоматического управления. Методы современной теории автоматического управления / Под ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова. М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. Т.5. 784 с.

139. Методы синтеза нелинейных систем управлении // Под ред. Ю. И. Топчеева. М.: Машиностроение, 1970. 416 с.

140. Микеладзе Ш. Е. Решение численных уравнений / Ш. Е. Микелад-зе. Тбилиси: Мецниереба, 1965. 270 с.

141. Мирошник И. В. Теория автоматического управления. Линейные системы / И. В. Мирошник. СПб.: Питер, 2005. 336 с.

142. Мирошник И. В. Теория автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы / И. В. Мирошник. СПб.: Питер, 2006. 272 с.

143. Мирошник И. В. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами / И. В. Мирошник, В. О. Никифоров, А. А. Фрадков. СПб: Наука, 2000.

144. Моделирование систем идентификации, управления и обработки информации. Отчет о НИР (промежут.) / Омская гос. акад. путей сообщения; Руководитель КогутА. Т. № ГР 01.9.60000794; Инв. № 02.9.80000111. Омск, 1997. 90 с.

145. Моисеев Н. Н. Элементы теории оптимальных систем / Н. Н. Моисеев. М.: Наука, 1975. 318 с.

146. Мэтьюз Д. Г. Численные методы. Использование Ма11аЬ / Д. Г. Мэтьюз, К. Д. Финк. М.: Вильяме, 2001. 713 с.

147. Налимов В. В. Теория эксперимента / В. В. Налимово. М.: Наука, 1971.472 с.

148. Научно-технические основы управления ядерными реакторами / Емельянов И. А., Ефанов А. И., Константинов JI. В. М.: Энергоатомиздат, 1981. 360 с.

149. Нелинейная оптимизация систем автоматического управления / Под ред. Ю. И. Топчеева. М.: Машиностроение, 1970. 408 с.

150. Нелинейные корректирующие устройства в системах автоматического управления / Под ред. Ю. И. Топчеева. М.: Машиностроение, 1970. 432 с.

151. Нестационарные системы автоматического управления: анализ, синтез и оптимизация / Под ред. К. А. Пупкова, Н. Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2007. 632 с.

152. Оппенгейм А. Цифровая обработка сигналов / А. Оппенгейм, Р. Шафер; Под ред. А.Б. Сергиенко. М.: Техносфера, 2007.

153. Ортега Дж. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными / Дж. Ортега, В. Рейнболдт. М.: Мир, 1975. 558 с.

154. Осовский С. Нейронные сети для обработки информации / С. Осовский. М.: Финансы и статистика, 2004. 344 с.

155. Павлов Б. В. Системы прямого адаптивного управления / Б. В. Павлов, И. Г. Соловьев. М.: Наука, 1989. 136 с.

156. Пантелеев А. В. Теория управления в примерах и задачах / А. В. Пантелеев, А. С. Бортаковский. М.: Высшая школа, 2003. 583 с.

157. Перельман И. Н. Оперативная идентификация объектов управления / И. Н. Перельман. М.: Энергоиздат, 1982. 312 с.

158. Петров Б. Н. Адаптивное координатно-параметрическое управление нестационарными объектами / Б. Н. Петров, В. Ю. Рутковский, С. Д. Земляков. М.: Наука, 1980. 244 с.

159. Петров Б. Н. Применение теории чувствительности в задачах автоматического управления / Б. Н. Петров, П. Д. Крутько // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1970, №2. С. 202-206.

160. Петров Б. Н. Принципы построения и проектирования самонастраивающихся систем / Б. Н. Петров, В. Ю. Рутковский, И. Н. Крутова, С. Д. Земляков. М.: Машиностроение, 1972. 260 с.

161. Петров Ю. П. Вариационные методы теории оптимального управления / Ю. П. Петров. JL: Энергия, 1977. 280 с.

162. Петров Ю. П. Новые главы теории управления и компьютерных вычислений / Ю. П. Петров. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. 192 с.

163. Понтрягин JI. С. Математическая теория оптимальных процессов / JI. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе. М.: Наука, 1983. 391 с.

164. По лак Э. Методы оптимизации. Единый подход / Э. Полак; Пер. с англ. под ред. J1. А. Вателя. М.: Мир, 1974. 376 с.

165. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию / Б. Т. Поляк. М.: Наука, 1983.384 с.

166. ПоповЕ. П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления / Е. П. Попов. М.: Наука, 1979. 256 с.

167. Потемкин В. Г. Вычисления в среде Matlab / В. Г. Потемкин. М.: Диалог-МИФИ, 2004. 720 с.

168. Пропой А. И. Элементы теории оптимальных дискретных систем / А. И. Пропой. М.: Наука, 1973. 210 с.

169. Пшеничный Б. Н. Численные методы в экстремальных задачах/ Б. Н. Пшеничный, Ю. М. Данилин. М.: Наука, 1975. 318 с.

170. Пухов Г. Е. Преобразование Тейлора и их применение в электротехнике и электронике / Г. Е. Пухов. Киев: Наукова думка, 1978. 257 с.

171. Рабинер JI. Теория и применение цифровой обработки сигналов / JI. Рабинер, Б. Гоулд. М.: Мир, 1978. 848 с.

172. Разработка и исследование автоматизированных методов идентификации, управления и обработки информации. Отчет о НИР (промежут.) / Омская гос. акад. путей сообщения; Руководитель Когут А. Т. № ГР 01.9.60000794; Инв. № 02.90.70000842. Омск, 1996. 81 с.

173. Райбман Н. С. Построение моделей процессов производства / Н. С. Райбман, В. М. Чадеев М.: Энергия, 1975. 374 с.

174. Растригин Л. А. Адаптация сложных систем / Л. А. Растригин. Рига: Зинатне, 1981. 375 с.

175. Растригин Л. А. Введение в идентификацию объектов управления / Л. А. Растригин, Н. Е. Маджаров. М.: Энергия, 1977. 215 с.

176. Растригин Л. А. Системы экстремального управления / Л. А. Растригин. М.: Наука, 1974. 630 с.

177. Реклейтис Г. Оптимизация в технике / Г. Реклейтис, А. Рейвинд-ран, К. Рэгсдел: Пер. с англ. М.: Мир, 1986. Кн. 1. 350 с.

178. Розенвассер Е. Н. Чувствительность систем управления / Е. Н. Ро-зенвассер, Р. М. Юсупов. М.: Наука, 1981. 464 с.

179. Розенвассер Е. Н. Достаточное условие применимости первого приближения в задачах теории чувствительности / Е. Н. Розенвассер // Автоматика и телемеханика. 1978, № 11. С. 93-98.

180. Рубан А. И. Идентификация нелинейных динамических объектов на основе алгоритма чувствительности / А. И. Рубан. Томск: Томский гос. ун-т., 1975. 270 с.

181. Рубан А. И. Идентификация и чувствительность сложных систем / А. И. Рубан. Томский гос. ун-т. Томск, 1982. 302 с.

182. Рубан А. И. Адаптивное управление с идентификацией / А. И. Рубан. Томский гос. ун-т. Томск, 1983. 132 с.

183. Рубан А. И. Методы оптимизации / А. И. Рубан. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2004. 528 с.

184. Рубан А. И. Адаптивное оптимальное управление динамическими распределенными объектами / А. И. Рубан // Кибернетика. 1987, № 1. С. 79-84.

185. Рубан А. И. Функции чувствительности для многомерных линейных дискретных моделей в адаптивных системах / А. И. Рубан // Известия РАН. Сер. техническая кибернетика. 1992, № 2. С. 230-235.

186. Рубан А. И. Чувствительность многомерных непрерывных линейных моделей / А. И. Рубан // Известия РАН. Сер. техническая кибернетика. 1992, №4. С. 180-186.

187. Рубан А. И. Синтез алгоритмов адаптивного управления с идентификацией / А. И.Рубан // Автоматика и телемеханика. 1983, № 10. С. 128-138.

188. Самарский А. А. Численные методы / А. А. Самарский, А. В. Гу-лин. М.: Наука, 1989. 432 с.

189. Саридис Дж. Самоорганизующиеся стохастические системы управления / Дж. Саридис. М.: Наука, 1980. 400 с.

190. Сейдж Э. Идентификация систем управления / Э. Сейдж, Д. Мелса. М.: Наука, 1972.248 с.

191. Сейдж Э. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении / Э. Сейдж, Д. Мелса. М.: Связь, 1976. 496 с.

192. Сейдж Э. Оптимальное управление системами / Э. Сейдж, Ч. С. Уайт. М.: Радио и связь, 1982. 392 с.

193. Сверкунов Ю. Д. Идентификация и контроль качества / Ю. Д. Сверкунов. М.: Энергия, 1975. 207 с.

194. Светлаков А. А. Адаптивное управление технологическими процессами на основе теории обобщенных обратных матриц / А. А. Светлаков. Автореферат дис. д.т.н. Томск, 1993. 42 с.

195. Сидоров Д. А. Стабилизация аффинных систем ограниченным управлением / Д. А. Сидоров, С. Б. Ткачев // Нелинейная динамика и управление. М.: Физматлит, 2003. Вып. 1. С. 131-144.

196. Современные методы идентификации систем / Под ред. П. Эйкхоф-фа. М.: Мир, 1993. 400 с.

197. Соколов Н. И. Аналитический метод синтеза линеаризованных систем автоматического регулирования / Н. И. Соколов. М.: Машиностроение, 1966. 180 с.

198. Соловьев И. Г. Метод сравнения в синтезе систем прямого адаптивного управления / И. Г. Соловьев // АиТ. 1989, №8. С. 96-105.

199. Соловьев И. Г. Методы мажоризации в анализе и синтезе адаптивных систем / И. Г. Соловьев. Новосибирск: ВО Наука, 1992. 191 с.

200. Солонина А. И. Основы цифровой обработки сигналов / А. И. Солонина и др. СПб.: БХВ-Петербург, 2003.

201. Спиди К. Теория управления. Идентификация и оптимальное управление / К. Спиди, Р. Браун, Дж. Гудвин. М.: Мир, 1973. 248 с.

202. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А. А. Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с.

203. Сухарев А. Г. Курс методов оптимизации / А. Г. Сухарев, А. В. Ти-мохов, В. В. Федоров. М.: Наука, 1986. 328 с.

204. Сю Д. Современная теория автоматического управления и ее применения / Д. Сю, А. Мейер. М.: Машиностроение, 1972. 544 с.

205. Теория автоматического регулирования / Под ред. В. В. Солодовни-кова. М.: Машиностроение, 1969. 503 с.

206. Терехов В. М. Системы управления электроприводов / В. М. Терехов, О. И. Осипов. М.: Академия, 2005. 300 с.

207. Тимофеев А. В. Построение адаптивных систем управления программным движением / А. В. Тимофеев. JL: Энергия, 1980. 86 с.

208. ТихоновА. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. М.: Наука, 1974. 223 с.

209. Томович Р. Общая теория чувствительности / Р. Томович, М. Ву-кобратович. М.: Советское радио, 1972. 238 с.

210. Топчеев Ю. И. Атлас для проектирования систем автоматического регулирования / Ю. И. Топчеев. М.: Машиностроение, 1989. 752 с.

211. Точные методы исследования нелинейных систем автоматического управления / Под ред. Е. П. Попова. М.: Машиностроение, 1971. 324 с.

212. Трауб Дж. Итерационные методы решения уравнений / Дж. Трауб / Под ред. А. X. Сухарева. М.: Мир, 1985. 263 с.

213. Ту Ю. Современная теория управления / Ю. Ту. М.: Машиностроение, 1971.472 с.

214. Уайлд Д. Дж. Методы поиска экстремума / Д. Дж. Уайлд; Пер. с англ. под ред. A.A. Фельдбаума. М.: Наука, 1967. 267с.

215. Уидроу Д. Адаптивная обработка сигналов / Д. Уидроу, С. Стирнз; Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1989. 440 с.

216. Уткин В. Н. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления/В. Н. Уткин. М.: Наука, 1981. 367 с.

217. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления / Р. П. Федоренко. М.: Наука, 1978. 488 с.

218. Фельдбаум А. А. Дискретный принцип максимума / А. А. Фельд-баум. М.: Мир, 1967. 453 с.

219. Фельдбаум А. А. Основы теории оптимальных систем / A.A. Фельдбаум. М.: Наука, 1970. 320с.

220. Фиакко А. Нелинейное программирование (методы последовательной безусловной минимизации) / А. Фиакко, Г. Мак-Кормик; Пер. с англ. под ред. Е. Г. Голыптейна. М.: Мир, 1972. 238 с.

221. Филлипс Ч. Системы управления с обратной связью / Ч. Филлипс, Р. Харбор. М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. 616 с.

222. Флеминг У. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами / У. Флеминг, Р. Ришел. М.: Мир, 1978. 316 с.

223. Фомин В. Н. Адаптивное управление динамическими объектами / В. Н. Фомин, А. Л. Фрадков, В. А. Якубович. М.: Наука, 1981. 448 с.

224. Фрадков А. Л. Адаптивное управление в сложных системах: беспоисковые методы / А. Л. Фрадков. М.: Наука, 1990. 282 с.

225. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование / Д. Химмельблау / Под ред. М. Л. Быховского. М.: Мир, 1975. 534 с.

226. Хофер Э. Численные методы оптимизации / Э. Хофер, Р. Лундер-штедт. М.: Наука, 1981. 192 с.

227. Цыпкин Я. 3. Основы информационной теории идентификации / Я. 3. Цыпкин. М.: Наука, 1981. 320 с.

228. Цыпкин Я. 3. Основы теории обучающихся систем / Я. 3. Цыпкин. М.: Наука, 1970. 320 с.

229. Цыпкин Я. 3. Основы теории автоматических систем / Я. 3. Цыпкин. М.: Наука, 1977. 560 с.

230. Чаки Ф. Современная теория управления / Ф. Чаки. М.: Мир, 1975.392 с.

231. Черноруцкий И. Г. Методы оптимизации в теории управления / И. Г. Черноруцкий. СПб.: Питер, 2004. 256 с.

232. Черноусько Ф. Л. Вариационные задачи механики и управления / Ф. Л. Черноусько, Н. В. Баничук. М.: Наука, 1973. 252 с.

233. Черноусько Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем / Ф. Л. Черноусько. М.: Наука, 1988. 319 с.

234. Чинаев П. И. Методы анализа и синтеза многомерных автоматических систем / П. И. Чинаев. Киев: Техника, 1969. 378 с.

235. Чиликин М. Г. Общий курс электропривода / М. Г. Чиликин, А. С. Сандлер. М.: Энергоатомиздат, 1981. 576 с.

236. Чуа Л. О. Машинный анализ электронных схем / Л. О. Чуа, Ли-ин Пен-Мин. М.: Энергия, 1980. 640 с.

237. Шильяк Д. Децентрализованное управление сложными системами / Д. Шильяк. М.: Мир, 1994. 640 с.

238. Штейнберг Ш. Е. Идентификация в системах управления / Ш: Е. Штейнберг. М.: Энергоатомиздат, 1987. 80 с.

239. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления / П. Эйк-хофф. М.: Мир, 1975. 680 с.

240. Экспериментальное определение динамических характеристик. / Авт. В. С. Балакирев, Е. Г. Дудников, В. Н. Кривсунов и др. М.: Энергия, 1967. 232 с.

241. Юдин Д. Б. Математические методы управления в условиях неполной информации / Д. Б. Юдин. М.: Советское радио, 1974. 400 с.

242. Юсупов Р. М. Элементы теории идентификации технических объектов / Р. М. Юсупов. Министерство обороны СССР. М., 1974. 202 с.

243. Юсупов Р. М. Методы теории чувствительности в задачах идентификации динамических систем / Р. М. Юсупов, Ф. М. Захарин. Алма-Ата: 1971.311 с.

244. Ядыкин И. Б. Адаптивное управление непрерывными технологическими процессами / И. Б. Ядыкин, В. М. Шумский, Ф. А. Овсепян. М.: Энергоатомиздат, 1985. 240 с.

245. Avriel М. Nonlinear Programming: Analysis and Methods. New Jersey.: Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1976. 322p.

246. Baird C. A. Modified Quasilinearization Technique for the Solution of Boundary-value Problems for Ordinary Differential Equations. J. Optimization theoiy appl., vol. 3, № 4, 1969.

247. Beale E. M. L. A Derivation of Conjugate Gradients, in: Numerical Methods for Non-Linear Optimization. N.Y.: Academic Press, 1972. P. 39^13.

248. Bellman R., KalabaR., SridharR. Adaptive control via quasilinearization and differential approximation, Rand Corporation Research Memorandum RM-3928-PR, November 1963.

249. Box G., Draper N.R. Evolutionary Operation. Wiley, 1969.

250. Detcmendy D. M., SridharR. On the Experimental determination of the Dynamical Characteristics of Physical Systems, Proc. Nat. Electron. Conf. 21, 1965, P. 575-580.

251. Dixon L. C. W., Quasi-Newton Algorithms Generate Identical Points, Math. Prog., 2(3), 383-387 (1972).

252. Gibson J. E. Non-linear Automatic Control. New York: McGrav-Hill, 1962, Chap. 11.

253. Goodwin G. C. The application of curvature methods to parameter and state estimation. Proc. IEE, 116, №6, 1969.

254. Hangos К. M. Analysis and Control of Nonlinear Process Systems / К. M. Hangos, J. Bokor, G. Szederkenyi. London: Springer, 2004. 308 p.

255. Hartley H. O. The modified Gauss-Newton method for fitting of nonlinear regression functions by least squares Technometries, 3, № 2, 269 (May 1961).

256. Henrici P. Discrete Variable Methods in Ordinary Differentialequa-tions. Wiley, New York, 1962.

257. Isidori A. Nonlinear control systems: An introduction. SpringerVerlag, 1985.

258. Kalaba R. On nonlinear differentialequations, the maximum operation, and monotone convergence. J. Math, and Mechamics, 8, 1959, P. 519-574.

259. McCormik G. P. Methods of Conjugate Directions versus QuasiNewton methods, Math. Prog., 3(1), 101-16 (1972).

260. NarendraK. S. Adaptive Control Using Neural Networks and Approximate Models / K. S. Narenda, S. Mikhopadhyay // IEEE Transactions on Neural Networks. 1997. Vol. 8. P. 475^185.

261. Murray W. Numerical methods for Unconstrained Optimization. London: Academic Press, 1972.