автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Разработка и исследование алгоритмов моделирования и оценивания многомерных марковских случайных полей

РГБ ОД - 1 МАР 2000

На правах рукописи

Попов Олег Викторович

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ОЦЕНИВАНИЯ МНОГОМЕРНЫХ МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ

Специальность: 05.13.16 - «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Ульяновск - 2000

Работа выполнена в Ульяновском государственном техническом университете.

Научный руководитель -

Официальные оппоненты -

заслуженный деятель науки и техники, доктор технических наук, профессор К.К. Васильев

доктор технических наук, профессор К.В. Кумунжиев, (УлГУ, г. Ульяновск)

— кандидат технических наук, доцент Ю.Г. Панкратов, (ГУП УМЗ, г. Ульяновск)

Ведущая организация - ГУП НПО «Марс»

Защита диссертации состоится «22» марта 2000 г. в 15°° на заседании диссертационного совета К 064.21.03 при Ульяновском государственном техническом университете по адресу: 432027, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32 (ауд. 211).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного технического университета.

Автореферат разослан «. /е » _2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, профессор

&4?2,7сЗ-/> 0 3 шя.мл -пш иа. О

В.Р. Крашенинников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В настоящее время все более широкое применение находят системы извлечения информации, включающие пространственные апертуры датчиков для регистрации полезных сигналов. Важными классами таких систем являются аэрокосмические комплексы дистанционного исследования Земли, радио-и гидролокационные системы различного назначения. Для имитации и обработки сигналов в таких системах необходимо развивать известные методы моделирования и статистического анализа многомерных данных. Актуальность названных задач подчеркивается в целом ряде научно-технических программ, среди которых особое место занимает программа «Информационные технологии и электроника» Министерства науки и технологий РФ, в рамках которой выполнялась настоящая диссертационная работа. Кроме того, она была поддержана грантом РФФИ № 99-01-00913 по теме «Методы и алгоритмы оптимального рекуррентного оценивания многомерных случайных полей».

Проблема математического моделирования и обработки пространственно-временных сигналов рассматривалась в большом числе работ отечественных и зарубежных специалистов. Вместе, с тем, в настоящее время отсутствует достаточно полное решение, по крайней мере, двух задач, имеющих первостепенное значение при необходимости имитации или обработки больших коррелированных массивов цифровых данных в реальном масштабе времени, например, последовательностей многозональных спутниковых изображений. Первая из этих задач свлзана с построением каузальных математических моделей, близких по вероятностным свойствам к изотропным наблюдаемым изображениям. Вторая задача - создание близких к оптимальным алгоритмов улучшения последовательностей изображений больших размеров в реальном масштабе времени. Решению этих двух задач и посвящена диссертационная работа.

Цель работы. Основной целью работы является разработка и исследование рекуррентных алгоритмов моделирования и пространственно-временного оценивания изображений на фоне помех. Для достижения названной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Провести аналитический обзор известных алгоритмов моделирования и фильтрации многомерных изображений.

2. Разработать алгоритмы моделирования многомерных марковских случайных полей (СП).

3. Синтезировать оптимальные и близкие к оптимальным по эффективности алгоритмы рекуррентного оценивания СП на основе разработанных моделей.

4. Исследовать качество и вычислительную сложность разработанных алгоритмов, а также изучить особенности их программной реализации.

5. Разработать пакет программ для исследования предложенных моделей и алгоритмов оценивания на ЭВМ.

Методы исследования. При решении поставленных задач в диссертационной работе использовались методы теории случайных процессов и полей, теории вероятностей и математической статистики, теории функций комплексного переменного, а также современные численные методы. При разработке программного обеспечения применялись методы объектно-ориентированного проектирования программных систем.

Научная новизна. На защиту выносятся следующие результаты, развитые или впервые полученные в настоящей работе:

1. Исследование представительного класса авторегрессионных (АР) моделей многомерных марковских СП с кратными корнями характеристических уравнений.

2. Аналитические соотношения, позволяющие определить корреляционные функции (КФ) N -мерных СП на основе АР-моделей с характеристическими корнями произвольной кратности.

3. Методика моделирования многомерных марковских СП на основе моделей с кратными корнями, с учетом граничных условий для изображений конечных размеров.

4. Метод количественной оценки анизотропии многомерного

СП.

5. Векторные алгоритмы оптимальной фильтрации двумерных изображений на основе предложенных моделей с кратными корнями.

6. Рекуррентные квазиоптимальные алгоритмы фильтрации изображений на фоне аддитивных помех, требующие существенно меньших вычислительных затрат, чем известные аналогичные оптимальные алгоритмы, и обеспечивающие приемлемые потери в эффективности по отношению к оптимальным процедурам.

Практическая значимость. Представлены конкретные описания алгоритмов моделирования и оценивания СП, допускающие их непосредственное использование при проектировании современных и перспективных систем моделирования и обработки изображений. Структура разработанных рекуррентных алгоритмов моделирования и фильтрации изображений предоставляет разработчикам возмож-

ность эффективной программно-аппаратной реализации на различных типах вычислительных систем. Предложенные модели многомерных СП могут быть использованы для представления реальных данных при решении ряда важных прикладных задач.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих НТК:

• Международной научной конференции «Результаты и перспективы исследования планет» (Ульяновск, 1997 г.);

• 2-й международной научно-технической конференции «Интерактивные системы: проблемы человеческо-компьютерного взаимодействия» (Ульяновск, 1997 г.);

• Международной научно-технической конференции «Нейронные, реляторные и непрерывнологические сети и модели» (Ульяновск, 1998 г.);

• 4-й конференции «Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии» (Новосибирск,

1998 г.);

• 1-й и 2-й Всероссийской научно-практической конференции (с участием стран СНГ) «Современные проблемы создания и эксплуатации радиотехнических систем» (Ульяновск, 1998,

1999 гг.);

• ежегодных конференциях профессорско-преподавательского состава Ульяновского государственного технического университета (1996-1999).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ, из них 3 статьи и 6 тезисов докладов научно-технических конференций.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и 2-х приложений. Общий объем диссертации составляет 155 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обоснование актуальности рассмотренных в диссертации вопросов. Здесь же определяются цель исследования, научная новизна и практическое значение. Кратко изложено содержание диссертации.

Первая глава посвящена анализу работ в области моделирования и оценивания многомерных СП.

При решении задач обработки изображений важным этапом является выбор адекватной модели обрабатываемых данных. Извест-

ные модели СП соответствуют реальным изображениям лишь по ограниченному числу параметров. Рассматривается ряд таких моделей СП, которые могут быть использованы для приближенного описания изображений при синтезе различных процедур фильтрации и обнаружения. Основное внимание уделяется обзору АР моделей и алгоритмов оценивания СГ1 на фоне помех.

Анализ известных результатов показал, что существует актуальная задача адекватного представления реальных изображений и построения рекуррентных алгоритмов оценивания СП на фоне помех.

Вторая глава посвящена исследованию класса моделей N-мерных СП, основанного на АР с кратными корнями характеристических уравнений.

Рассмотрим линейные стохастические разностные уравнения следующего вида:

= Е а]Х1-] + > 1 е П' (О

/ей

где X = еП} - моделируемое СП; ] е £>} - параметры мо-

дели, Е = {¿¡¡, г е £1} - порождающее белое СП, заданное на Л'-мерной прямоугольной сетке £1; О - каузальная область локальных состояний.

Анализ вероятностных свойств СП (1) упрощается, если их спектральная плотность может быть факторизована. Поскольку у таких СП КФ также факторизуется, то для решения задачи статистического анализа многомерного СП достаточно исследовать одномерные уравнения.

Для получения близких к изотропным СП предложено выбирать такие одномерные фильтры, которые имеют кратные корни характе-

"к . _

ристических уравнений: -0, где пк,к = \,№ - порядки од-

/=1

номерных авторегрессий. Рассмотрим одномерную

АР-последовательность:

п

*/ =!>/*/-/г=п + \,п + 2,....,Л/, (2)

У=1

где - последовательность независимых компонент с нулевыми средними и дисперсиями В случае с кратными корнями это

уравнение можно записать в операторной форме (1 -рг"1 ,

где \1 р - корень кратности п характеристического уравнения; г"1 -оператор сдвига. Многомерное разделимое СП порождается следующими АР-уравнениями:

= (3)

где N - размерность поля; рк и пк - параметр и кратность корней модели вдоль к-й оси; Г2 - многомерная сетка, на которой определено поле X.

Таким образом, модель СП полностью определяется вектором параметров [рх,рг, ...и вектором кратностей {пх,пг>...характеристических корней.

Установлено, что общий вид нормированной к дисперсии ег^ поля КФ одномерной модели (2) записывается в следующем виде:

= >0 (4)

м> [1-р2]

где е(п £ к)~ ——уЧр И) = 11-^Г' где + X ^ ^ ^ •

Полученные соотношения позволяют рассчитать КФ для одномерного СП с корнями произвольной кратности. Для определения КФ многомерной модели достаточно перемножить КФ одномерных

, N

систем ./?](&,) и определить коэффициент Д одномерной

¿=1

а2 а2 ы

Д =—у/(р,п) и многомерной модели: Д = —

На рис. 1 приведены кадры изображений размера 200x200 элементов на основе моделей с кратными корнями при различных наборах параметров (первый параметр относится к оси у, второй - к оси я). Анализ показывает, что, варьируя параметры связи и соотношения кратностей, можно получить широкий спектр разнотипных текстур, причем, с ростом кратности корней, СП приближается по свойствам к изотропному. Это подтверждается также видом сечений равного уровня КФ, приведенных на рис. 2.

а) кратность (1, 1), параметры (0.95, 0.95)

б) кратность (2,2), параметры (0.95, 0.95)

в) кратность (3, 3), параметры (0.95,0.95)

г) кратность (3,1), параметры (0.9, 0.9)

д) кратность (1, 3), параметры (0.9,0.5)

^

е) кратность (3, 3), параметры (0.9,0.9)

Рис. 1 Реализации моделей с кратными корнями

а) кратность (1,1), параметры (0.9,0.9)

б) кратность (3,3), параметры (0.9, 0.9)

в) кратность (2,3), параметры (0.9,0.9)

Рис 2. Сечения КФ двумерного СП

Анализ показывает, что сечения КФ СП, полученных с помощью моделей (3), с ростом кратности корней характеристических уравнений приближаются к гиперэллипсоидам. Для оценки приближенности таких СП к изотропным желательно иметь количественную оценку анизотропии поля. Для этого можно воспользоваться известным коэффициентом анизотропии двумерного СП, основанным на спектральной плотности Недостатком такого метода является

предположение, что спектральная плотность поля в полярных координатах 3(0) является функцией лишь направления в. Другим недостатком является необходимость вычисления спектральной плотности в полярных координатах, что вызывает трудности для многих СП.

Поэтому представляется целесообразным характеризовать анизотропность многомерного СП на основе корреляционного расстоя-

+0О

ния х в направлении и : т(г7) = ]#(?г7)Л, где ме5ЛЧ- точка на ги-

о

персфере. При этом предлагается следующий коэффициент анизотропии:

= А>0, (5)

I йе5Л_|

где г = |—^т |т(и)с!и - «среднее» угловое корреляционное расстоя-

Р'

ние; |5ДМ| - площадь поверхности гиперсферы:'

Достоинствами предложенного коэффициента анизотропии является необходимость знания только КФ поля, и а также возможность его вычисления с применением стандартных численных методов. Значения Аг, найденные с помощью полученной формулы, для модели (3) при N = 2, ру = рх и различных соотношения кратностей приведены в табл. 1. Параметры р рх в случае различающихся кратностей выбирались, исходя из равенства корреляционных расстояний по обеим осям.

Значения коэффициента, близкие к нулю, говорят о высокой степени изотропности поля. Из приведенной таблицы видно, что с увеличением кратности корней модели изотропность поля увеличивается.

Таблица 1

пх 1 2 3 4

1 0.1232 0.0861 0.0826 0.0772

2 0.0861 0.0443 0.0394 0.0331

3 0.0826 0.0394 0.0270 0.0249

4 0.0772 0.0331 0.0249 0.0194

Модели близких к изотропным СП с кратными корнями предлагается использовать, в системах обработки реальных изображений. Например, для моделирования последовательности кадров изображений можно воспользоваться моделью трехмерного СП.

На основе СП с кратными корнями предложен еще один класс разделимых негауссовских моделей. Пусть на основе модели (2) вначале моделируется N одномерных последовательностей

(л* = (л^>—,хмк) & = Элемент х-- поля X получается пере-

множением соответствующих элементов одномерных последователь-

N

ностей: - 3 - С/1>/2 >•••../#)6 ^• КФ данного СП определяется

к=1

соотношением (4). Таким образом, данная модель является разделимой моделью СП, причем ее КФ совпадает с КФ /У-мерной АР-модели с кратными корнями. Закон распределения вероятностей такого СП оказывается негауссовским и, в общем случае, достаточно сложным. Тем не менее, предложенная модель отличается простотой и очень малыми вычислительными затратами

Таким образом, предложенные многомерные АР модели СП с кратными корнями характеристических уравнений позволяют при относительно небольших вычислительных затратах формировать последовательности многомерных изображений, близкие к реальным по корреляционным свойствам. Полученные аналитические соотношения позволяют найти КФ СП любой размерности при произвольной кратности характеристических корней стохастических разностных уравнений.

Третья глава. Рассмотренные в предыдущей главе модели многомерных изображений позволяют дать адекватное описание сигналов в ряде систем извлечения информации. В таких системах, как правило, данные передаются по каналам связи, в которых присутствуют помехи. При этом возникает ряд задач обработки сигна-

лов на фоне помех, наиболее сложной из которых является задача фильтрации многомерной последовательности кадров. Строго оптимальное (в смысле минимума дисперсии ошибки) решение задачи фильтрации СП на фоне аддитивной гауссовской помехи известно. Однако практическая реализация оптимальных алгоритмов связана с большими вычислительными затратами.

Известные подходы к созданию рекуррентных процедур оценивания изображений не могут быть непосредственно использованы при обработке многомерных изображений, описывающихся АР моделями СП с кратными характеристическими корнями. В связи с этим возникает задача создания новых классов рекуррентных процедур оценивания последовательностей кадров СП на фоне помех, имеющих малое число операций умножения на один элемент изображения и, вместе с тем, приближающихся по эффективности к оптимальным алгоритмам.

Рассмотрим задачу построения оптимального алгоритма фильтрации. Для этого необходимо найти общую векторную форму представления моделей с кратными корнями. При кратности 2 по обеим осям модель можно записать в следующей форме:

1+Вхк_2+У£к, (6)

где хк ..Ода)7; А, В, V - матричные ко-

эффициенты. В диссертации предложена методика определения матриц А, В и V на основании соответствующей скалярной модели. Показано, что все коэффициенты в правой части уравнения, за исключением V, являются произведением скаляров на единичные матрицы. Чтобы привести (6) к стандартному виду

= ^ + (7)

включим в вектор состояния у1 к-ю и (£-1)-ю строки изображения. После этого перепишем (6) в форме (7):

хк 'А В' хк-1 + V 0" [4 1

Л-1. Е 0 ,Хк-2_ 0 0_

Модель наблюдений запишется в виде:

гк 1 = к~пу, (8)

где Зк - белый гауссовский шум с дисперсией К,; Н = (Е|0).

Запись оптимальной калмановской процедуры для оценивания (7), (8) известна:

Рь^^+тР, К[ =Р,эНг(щэНт^)~\ РАЕ~ЩРь (9) Рь У1 = Уь (Ю)

В диссертации представлено обобщение данного подхода на случай моделей с характеристическими корнями любой кратности.

Увеличение размера вектора состояния влечет за собой увеличение объема вычислений. Тем не менее, можно заметить, что алгоритм (9), (10) может быть в значительной степени упрощен. Действительно, во-первых переходная матрица системы 5 и матрица V содержат в себе большое количество нулей, а во-вторых, на каждом шаге наблюдается и, соответственно, оценивается фактически лишь одна строка изображения. Кроме того, пересчет коэффициента усиления (9), в силу стационарности модели, может быть осуществлен заранее. Исходя из этих соображений, можно оценить вычислительную сложность алгоритма. При условии предварительного пересчета

вычислительная сложность оценки одной строки будет о[//2) операций умножения.

Рассмотрим возможности радикального сокращения требуемого числа операций для приведенного алгоритма. Выпишем элементы верхней половины матрицы X,, представляющие собой ковариации ошибок оценивания -х^-З^ элементов текущей строки. Выделим ¿-й элемент к-й строки изображения и запишем последнее равенство в (10) в следующей скалярной форме = хкэ14- и*, где м I \

и('= У^^Рц •]> гДе М ~ длина строки изображения. Данное

М

соотношение можно рассматривать как оценку величины м* с помощью оптимального нерекурсивного линейного фильтра (фильтра Винера). При этом для оценки и* используются разности

Для преобразования винеровской нерекуррентной оценки в калмановскую допустим, что модели состояния и наблюдения для и* описываются следующими уравнениями:

= (П)

где индекс к опущен для сокращения записи. Составим теперь уравнения калмановского оценивания и(, состоящего из двух этапов -фильтрации и последующего сглаживания элементов каждой строки. Первый этап работы скалярного алгоритма имеет следующий вид:

Р: + П = (12)

Исследования показали, что при увеличении кратности модели поля, наилучшие результаты получаются при соответствующем увеличении порядка АР в модели (11). Анализ показал, что предложенный подход позволяет получить алгоритмы фильтрации изображений, объем вычислительной сложности которых существенно меньше, чем у известных. Выигрыш в числе арифметических операций по сравнению с аналогичным оптимальным алгоритмом может быть оценен примерно в М раз, где М - длина строки изображения.

Для анализа эффективности предложенных алгоритмов были проведены вычисления на ЭВМ. На рис. 3 представлены графики зависимости относительной дисперсии ошибки фильтрации сг^/сг^ от номера У элемента в последней строке изображения размером 100x100 элементов при использовании векторного оптимального фильтра (сплошные линии) и квазиоптимального скалярного алгоритма (пунктир) при трех отношениях сигнал/шум = 1; 2; 5; кратность модели (1,1). На рис. 4 приведены графики зависимости относительной дисперсии ошибки фильтрации для среднего элемента последней строки изображения.

Анализ проведенных экспериментов позволяет сделать вывод, что дисперсия ошибки фильтрации оптимального и квазиоптимального алгоритмов отличается не более, чем на 3-5%.

На рис. 5. приведены результаты оптимальной и квазиоптимальной фильтрации зашумленного реального изображения поверхности Земли.

Таким образом, предложенный квазиоптимальный алгоритм оценивания двумерных СП на основе модели с кратными корнями позволяет существенно сократить вычислительные затраты при незначительной потере эффективности по отношению к строго оптимальным процедурам.

Четвертая глава. Практическое применение рекуррентных алгоритмов формирования и обработки СП сопряжено с рядом особенностей, связанных с наличием границ кадров реальных изображений, ограничениями по скорости выполнения операций и объему оперативной памяти ЭВМ, а также не полным соответствием реальных изображений принятым при синтезе моделям. Исследованию этих особенностей реальных систем имитации и обработки изображений и посвящена настоящая глава.

Рис. 3. Дисперсия ошибки фильтрации Рис. 4. Дисперсия ошибки фильтрации

элементов последней строки среднего элемента строки

а) зашумленное б) оптимальная в) квазиоптимальпая

изображение оценка оценка

Рис. 5 Результат работы предложенных алгоритмов на реальных изображениях.

При моделировании многомерных изображений с помощью АР-моделей необходимо решить задачу получения граничных отсчетов. Очевидно, элементы поля на границах изображения не могут быть сформированы с помощью той же модели, что и в середине. Между тем, вероятностные характеристики моделируемого СП должны быть одинаковы для всех его областей. Таким образом, необходимо решить задачу определения коэффициентов АР-модели на

Рис. 6. Группы элементов, формируемые с помощью одинакового шаблона

его границах таким образом, чтобы сохранялись корреляционные связи между элементами.

Каузальная область АР-модели должна иметь разную форму в центре поля и на его границах. Очевидно, все поле можно разделить на несколько групп отсчетов, модель формирования которых одинакова. На рис. 6 показаны группы таких элементов для АР-модели порядка (3,2).

Решим сначала задачу нахождения коэффициентов АР-модели граничных элементов для случая двумерного поля.

Выражение (2) описывает модель формирования центральных элементов поля хи, к = [пу +1)...М1У1 = (л, 4-1 )...М2 . Выпишем АР уравнение формирования граничных элементов хк1, к = / = \...пх, соответствующим образом изменив шаблон коэффициентов:

II (13)

/=0

где / =0...А:, у = 0.../} - коэффициенты модели (к,1)-го граничного элемента поля. Найдем выражения для коэффициентов {а,у', / = д...к, ) = 0.../]. Для этого домножим (13) на {я,()£0,кх0,1,(х,1) ¿(0,6) и найдем математическое ожидание:

\Ку ; 5 . (14)

1=о м I М*(0,0)

В реальных приложениях КФ модели обычно задается на основании экспериментальных оценок. Поэтому выражения (14), с учетом равенства а^ = 1 можно рассматривать как систему (£ +1)(/+ 1) линейных уравнений относительно неизвестных

, / = 0...к, у =0...^], решая которую, можно получить шаблон коэффициентов.

Для нахождения коэффициентов Ры возведем обе части (13) в квадрат и найдем математическое ожидание:

^¿£¿1 - ич-- Л - . (И)

¡=0у=0р=()д=0

Система линейных уравнений (14), (15) позволяет найти неизвестные коэффициенты а*], (Зк1 и, тем самым, полностью определить коэффициенты модели для граничных элементов двумерного СП. Методика, примененная для вывода этой системы, обобщена в диссертации на случай N-мерного поля.

На этапе применения описанных моделей для синтеза алгоритмов фильтрации реальных изображений возникает задача выбора параметров моделей. Рассмотрим двумерную модель (13). Для нахождения неизвестных а -, /?ы по экспериментальным данным домно-жим (13) на хк_^_„ ^=0...Пу, ¿=0...их, и найдем математиче-

ское ожидание:

Г \ /пп\ ■ (16)

[ (мМо,о)

Получаем {пу +1 ^пх 4-1)-1 уравнений относительно неизвестных а0, причем оценки КФ /?(•) находятся по результатам эксперимента. Методика определения коэффициентов модели обобщена в диссертации на случай N измерений.

Построим процедуру идентификации для модели с кратными корнями. При этом необходимо определить четыре параметра --ру, рх,Пу и пх. Однако, система уравнений оказывается нелинейной.

Поэтому для идентификации моделей с кратными корнями предлагается использовать следующую двухэтапную процедуру. На первом этапе с помощью известных методов определяются кратности модели по всем осям. Теперь необходимо определить параметры ру и рх. Для этого предлагается воспользоваться формулой для коэффициентов одномерной АР с кратными корнями: а1 =(- 1)'+>С"пр', / = 1,2,..„и.

Таким образом, применив изложенную методику для вычисления коэффициентов, соответствующих каждой оси, получим полностью идентифицированную модель. В многомерном случае, принимая во внимание разделимость моделей с кратными корнями, идентификацию параметров можно проводить на основе всех сечений СП вдоль соответствующих осей координат. Причем, в целях увеличе-

ния достоверности результатов, предлагается повторить процедуру несколько раз для разных строк изображения.

Для моделирования и фильтрации СП был разработан пакет прикладных программ. Он состоит из двух основных частей - программы моделирования и фильтрации FILTER, и пакета TESTER для исследования временных характеристик алгоритмов и вероятностных свойств изучаемых СП.

Программа FILTER предназначена для решения следующих задач: моделирования отдельных изображений и их последовательностей на основе различных моделей с кратными корнями, фильтрации СП с применением различных алгоритмов и тестирования алгоритмов фильтрации как на реализациях моделей, так и на реальных изображениях. Она реализована на языке Visual С++ и работает на платформе Windows. Объектно-ориентированный характер программы позволяет легко расширять ее возможности. Так, в программе предусмотрена возможность добавления через ее программный интерфейс новых алгоритмов моделирования и фильтрации.

Пакет TESTER реализован при помощи математического пакета MATLAB фирмы MathWorks Inc., работающего в операционных средах Windows и UNIX. Пакет является набором подпрограмм, позволяющих моделировать изображения, фильтровать их, изучать временную и вычислительную эффективность алгоритмов фильтрации, получать различные статистические характеристики (дисперсию ошибки оценивания, математическое ожидание, корреляционную и ковариационную функции), а также отображать результаты в удобной для пользователя форме. Кроме того, в пакете TESTER реализованы предложенные алгоритмы идентификации моделей с кратными корнями. Исходные тексты обеих программ приведены в приложениях.

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Анализ известных результатов показал, что в настоящее время отсутствуют методы рекуррентного оценивания многомерных изотропных СП, наблюдаемых в дискретном пространстве-времени, на фоне аддитивных помех, близкие по эффективности к глобально-оптимальным оценкам.

2. Для описания реальных, близких к изотропным многомерных изображений предложено . использовать пространственно-разделимые авторегрессионные модели с кратными корнями характеристических уравнений. Получены необходимые аналитические

соотношения, позволяющие решать задачи синтеза и анализа предложенных математических моделей многомерных изображений.

3. Предложен новый коэффициент анизотропности СП основанный на вычислении среднеквадратического отклонения от сред-неуглового корреляционного расстояния. Приведенные примеры показывают, целесообразность применения предложенного коэффициента для оценки отличий авторегрессионных СП от изотропного поля.

4. На основе многомерного фильтра Калмана получены алгоритмы строго оптимального нерекуррентного оценивания авторегрессионных СП с кратными корнями характеристических уравнений. Для синтеза квазиоптимальных рекуррентных процедур предложено рассматривать нерекурсивную часть многомерного фильтра Калмана, как фильтр Винера. Рекуррентные алгоритмы удается получить на основе предположения о допустимости аппроксимации фильтра Винера калмановскими оценками. Сравнительный анализ строго оптимальных и предложенных квазиоптимальных рекуррентных оценок в широком диапазоне значений проигрыша по величине дисперсии ошибки составляет 3-5%. Вместе с тем, квазиоптимальные алгоритмы позволяют сократить вычислительные затраты для двумерного СП в М раз, где М - число элементов в строке изображения; для изображения, заданного на jV-мерной сетке размером К = Мх х М2 х ...х М N элементов такое сокращение составляет не

менее К/т ах М, раз при любых кратностях корней характеристиче-

/ \<1<М:

ских уравнений.

5. Разработанный программный пакет позволяет моделировать СП на основе моделей с кратными корнями, проводить их фильтрацию и изучать статистические и вычислительные характеристики описанных алгоритмов. В пакете имеются возможности как для работы с реализациями моделей СП, так и с реальными изображениями. Кроме того, пакет может быть легко модифицирован и дополнен новыми функциями за счет своей объектно-ориентированной структуры.

Основные результаты работы изложены в следующих публикациях:

1. Васильев К.К., Попов О.В. Оптимальные и квазиоптимальные алгоритмы компенсации мешающих изображений // Тез. докл. международной научной конф. «Результаты и перспективы исследования планет». - Ульяновск: УлГТУ, 1997, с. 78-79.

2. Попов О.В. Сравнение эффективности различных алгоритмов фильтрации случайных полей // Тез. докл. 2-й международной научно-технической

конф. «Интерактивные системы: проблемы человеческо-компьютерного взаимодействия». - Ульяновск: УлГТУ, 4.2, 1997, с. 65-67

3. Васильев К.К., Попов О.В. Авторегрессионные модели случайных полей с кратными корнями // Труды международной научно-технической конф. «Нейронные, реляторные и непрерывнологические сети и модели» (19-21 мая 1998 года). - Ульяновск: УлГТУ, Т.1, 1998, с. 78.

4. Васильев К.К., Попов О.В. Авторегрессионные модели случайных полей с кратными корнями // Труды 4-й конф. «Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии». - Новосибирск, 1998, 4.1, с. 258-260.

5. Краснов A.B., Попов О.В. Корреляционные функции авторегрессионных моделей случайных полей с кратными корнями // Тез. докл. Всероссийской научно-практической конф. (с участием стран СНГ) «Современные проблемы создания и эксплуатации радиотехнических систем». - Ульяновск: УлГТУ, 1998, с. 15-17.

6. Перязев С.В., Попов О.В. Имитация последовательности спутниковых изображений // Тез. докл. Всероссийской научно-практической конф. (с участием стран СНГ) «Современные проблемы создания и эксплуатации радиотехнических систем». - Ульяновск: УлГТУ, 1998, с. 23-24.

7. К.К. Vasil'ev, O.V.Popov Autoregression Models of Random Fields with Multiple Roots II Pattern Recognition and Image Analysis, 1999, Vol.9, No. 2, pp.327-328.

8. Попов O.B. Анализ авторегрессионных моделей случайных полей с кратными корнями П Труды Ульяновского научного центра «Ноосферные знания и технологии» Российской академии естественных наук. - Ульяновск: УНЦ РАЕН, 1999, Т.2, вып. 1, с. 122-128.

9. Попов О.В. Алгоритм калмановской фильтрации изображений // Вестник Ульяновского государственного технического университета. -Ульяновск. УлГТУ, 1999, №2, с. 3 6-38.

Подписано в печать 04.02.2000. Формат 60x90 1/16. Бумага писчая. Усл. - печ. л. 1,17. Заказ № 1998. Тираж 100 экз.

Участок оперативной полиграфии Ульяновского государственного педагогического университета имени И.Н. Ульянова 432700, г. Ульяновск, пл. 100-летия В.И. Ленина, 4.

СОДЕРЖАНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ОБРАБОТКИ ИЗОБРАЖЕНИЙ

1.1 Постановка задачи.

1.2 Методы имитации изображений.

1.3 Методы оценивания изображений.

1.4 Выводы.

2.АВТОРЕГРЕССИОННЫЕ МОДЕЛИ ИЗОБРАЖЕНИЙ С КРАТНЫМИ КОРНЯМИ.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Вероятностный синтез и анализ моделей.

2.3 Оценки анизотропии случайного поля.

2.4 Методика идентификации моделей на основе экспериментальных данных.

2.5 Выводы.

3.АЛГОРИТМЫ ФИЛЬТРАЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Квазиоптимальный алгоритм калмановской фильтрации изображений.

3.3 Алгоритмы оценивания двумерных СП на основе моделей с кратными корнями.

3.4 Выводы.

4.ОСОБЕННОСТИ ПРОГРАММНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ АЛГОРИТМОВ

4.1 Постановка задачи.

4.2 Программный пакет для моделирования и оценивания СП

4.3 Особенности моделирования и фильтрации изображений на границах.

4.4 Применение предложенных алгоритмов.

4.5 Выводы.

Актуальность проблемы. В настоящее время все более широкое применение находят системы извлечения информации, включающие пространственные апертуры датчиков для регистрации полезных сигналов. Важными классами таких систем являются аэрокосмические комплексы дистанционного исследования Земли, радио- и гидролокационные системы различного назначения. Для имитации и обработки сигналов в таких системах необходимо развивать известные методы моделирования и статистического анализа многомерных данных. Актуальность названных задач подчеркивается в целом ряде научно-технических программ, среди которых особое место занимает программа «Информационные технологии и электроника» Министерства науки и технологий РФ, в рамках которой выполнялась настоящая диссертационная работа. Кроме того, она была поддержана грантом РФФИ № 99-01-00913 по теме «Методы и алгоритмы оптимального рекуррентного оценивания многомерных случайных полей».

Проблема математического моделирования и обработки пространственно-временных сигналов рассматривалась в большом числе работ отечественных и зарубежных специалистов. Вместе с тем, в настоящее время отсутствует достаточно полное решение, по крайней мере, двух задач, имеющих первостепенное значение при необходимости имитации или обработки больших коррелированных массивов цифровых данных в реальном масштабе времени, например, последовательностей многозональных спутниковых изображений. Первая из этих задач связана с построением каузальных математических моделей, близких по вероятностным свойствам к изотропным наблюдаемым изображениям. Вторая задача создание близких к оптимальным алгоритмов улучшения последовательностей изображений больших размеров в реальном масштабе времени. Решению этих двух задач и посвящена диссертационная работа.

Цель работы. Основной целью работы является разработка и исследование рекуррентных алгоритмов моделирования и пространственно-временного оценивания изображений на фоне помех. Для достижения названной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Провести аналитический обзор известных алгоритмов моделирования и фильтрации многомерных изображений.

2. Разработать алгоритмы моделирования многомерных марковских случайных полей (СП).

3. Синтезировать оптимальные и близкие к оптимальным по эффективности алгоритмы рекуррентного оценивания СП на основе разработанных моделей.

4. Исследовать качество и вычислительную сложность разработанных алгоритмов, а также изучить особенности их программной реализации.

5. Разработать пакет программ для исследования предложенных моделей и алгоритмов оценивания на ЭВМ.

Методы исследования. При решении поставленных задач в диссертационной работе использовались методы теории случайных процессов и полей, теории вероятностей и математической статистики, теории функций комплексного переменного, а также современные численные методы. При разработке программного обеспечения применялись методы объектно-ориентированного проектирования программных систем.

Научная новизна. На защиту выносятся следующие результаты, развитые или впервые полученные в настоящей работе: 5

1. Исследование представительного класса авторегрессионных (АР) моделей многомерных марковских СП с кратными корнями характеристических уравнений.

2. Аналитические соотношения, позволяющие определить корреляционные функции (КФ) N-мерных СП на основе авторегрессионных моделей с характеристическими корнями произвольной кратности.

3. Методика моделирования многомерных марковских СП на основе моделей с кратными корнями, с учетом граничных условий для изображений конечных размеров.

4. Метод количественной оценки анизотропии многомерных СП.

5. Векторные алгоритмы оптимальной фильтрации двумерных изображений на основе предложенных моделей с кратными корнями.

6. Рекуррентные квазиоптимальные алгоритмы фильтрации изображений на фоне аддитивных помех, требующие существенно меньших вычислительных затрат, чем известные аналогичные оптимальные алгоритмы, и обеспечивающие приемлемые потери в эффективности по отношению к оптимальным процедурам.

Практическая значимость. Представлены конкретные описания алгоритмов моделирования и оценивания СП, допускающие их непосредственное использование при проектировании современных и перспективных систем моделирования и обработки изображений. Структура разработанных рекуррентных алгоритмов моделирования и фильтрации изображений предоставляет разработчикам возможность эффективной программно-аппаратной реализации на различных типах вычислительных систем. Предложенные модели многомерных СП могут быть использованы для представления реальных данных при решении ряда важных прикладных задач.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих НТК:

• Международной научной конференции «Результаты и перспективы исследования планет» (Ульяновск, 1997 г.);

• 2-й международной научно-технической конференции «Интерактивные системы: проблемы человеческо-компьютерного взаимодействия» (Ульяновск, 1997 г.);

• Международной научно-технической конференции «Нейронные, реляторные и непрерывнологические сети и модели» (Ульяновск, 1998 г.);

• 4-й конференции «Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии» (Новосибирск, 1998 г.);

• 1-й и 2-й Всероссийской научно-практической конференции (с участием стран СНГ) «Современные проблемы создания и эксплуатации радиотехнических систем» (Ульяновск, 1998, 1999 гг.);

• ежегодных конференциях профессорско-преподавательского состава Ульяновского государственного технического университета (1996-1999).

Содержание работы. В первой главе произведен анализ работ в области моделирования и оценивания многомерных СП. Вторая глава посвящена исследованию класса моделей //-мерных СП, основанного на авторегрессиях с кратными корнями одномерных характеристических уравнений. В третьей главе приводится описание оптимальных и близких к оптимальным алгоритмов фильтрации изображений, наблюдаемых на фоне аддитивного гауссовского шума. Четвертая глава посвящена некоторым аспектам практической реализации предложенных алгоритмов и моделей, а также описанию пакета прикладных программ.

1. МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ОБРАБОТКИ

ИЗОБРАЖЕНИЙ

1.1 Постановка задачи

При решении задач обработки многомерных сигналов в аэрокосмических системах мониторинга Земли, радиолокации, медицине, гидролокации, большое значение имеет построение математических моделей наблюдаемых данных. Дело в том, что именно в таких системах данные, как правило, составляют интенсивные цифровые потоки. Поэтому даже незначительное усложнение моделей для имитации многомерных данных или применение сложных алгоритмов для обработки информации приводит к огромным вычислительным затратам, и, в конечном счете, к невозможности моделирования или обработки сигналов названных систем даже при использовании самых современных вычислительных средств. В связи с этим, весьма важной представляется задача анализа существующих методов представления и обработки многомерных массивов цифровых данных, представленных в виде многомерных изображений. Учитывая дискретный характер реальных систем пространственных датчиков информации и дополнительную дискретизацию по времени при передаче сигналов по цифровым каналам связи, будем рассматривать лишь такие модели, которые представляют СП на многомерных пространственно-временных сетках [10, 23, 32, 36 и ДР 1

Для решения поставленной задачи вначале проанализированы основные методы имитации изображений, заданных в дискретном пространстве-времени (п. 1.2). При этом основное внимание уделено авторегрессионным стохастическим моделям, но рассмотрены также гиббсовские, волновые и аппликативно-сплайновые модели СП. В п. 1.3 дан аналитический обзор рекуррентных методов оценивания СП на фоне помех. 8

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Анализ известных результатов показал, что в настоящее время отсутствуют методы рекуррентного оценивания многомерных изотропных случайных полей, наблюдаемых в дискретном пространстве-времени, на фоне аддитивных помех, близкие по эффективности к глобально-оптимальным оценкам.

2. Для описания реальных, близких к изотропным многомерных изображений предложено использовать пространственно-разделимые авторегрессионные модели с кратными корнями характеристических уравнений. Получены необходимые аналитические соотношения, позволяющие решать задачи синтеза и анализа предложенных математических моделей многомерных изображений.

3. Предложен новый коэффициент анизотропности случайных полей основанный на вычислении среднеквадратического отклонения от среднеуглового корреляционного расстояния. Приведенные примеры показывают, целесообразность применения предложенного коэффициента для оценки отличий авторегрессионных случайных полей от изотропного поля.

4. На основе многомерного фильтра Калмана получены алгоритмы строго оптимального нерекуррентного оценивания авторегрессионных СП с кратными корнями характеристических уравнений. Для синтеза квазиоптимальных рекуррентных процедур предложено рассматривать нерекурсивную часть многомерного фильтра Калмана, как фильтр Винера. Рекуррентные алгоритмы удается получить на основе предположения о допустимости

90 аппроксимации фильтра Винера калмановскими оценками. Сравнительный анализ строго оптимальных и предложенных квазиоптимальных рекуррентных оценок в широком диапазоне значений проигрыша по величине дисперсии ошибки составляет 35%. Вместе с тем, квазиоптимальные алгоритмы позволяют сократить вычислительные затраты для двумерного СП в М раз, где М - число элементов в строке изображения; для изображения, заданного на N-мерной сетке размером К = Mj х М2 х . х MN элементов, такое сокращение составляет не менее К/ max М, раз 1 <l<Mi при любых кратностях корней характеристических уравнений.

5. Разработанный программный пакет позволяет моделировать СП на основе моделей с кратными корнями, проводить их фильтрацию и изучать статистические и вычислительные характеристики описанных алгоритмов. В пакете имеются возможности как для работы с реализациями моделей СП, так и с реальными изображениями. Кроме того, пакет может быть легко модифицирован и дополнен новыми функциями за счет своей объектно-ориентированной структуры.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Бакут П.А., Колмогоров Г.С. Сегментация изображений: Методы выделения границ областей // Зарубежная радиоэлектроника. -1987, №10.

2. Балакришнан A.B. Теория фильтрации Калмана: Пер. с англ. М.: Мир, 1988, 168 с.

3. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных: Пер. с англ. М.: Мир, 1989.

4. Богомолов P.A., Крашенинников В.Р. Ковариационные функции авторегрессионных моделей случайных полей // Радиотехника и электроника, 1986, №6, с.11-21.

5. Богуславский И.А. Прикладные задачи фильтрации и управления.- М.: Наука, 1983. 400 с.

6. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов // Пер. с англ.: Под ред. В.Ф. Писаренко. М.: Мир, 1974, кн. 1. - 406 с.

7. Бронников A.B., Воскобойников Ю.Б. Комбинированные алгоритмы нелинейной фильтрации зашумленных сигналов и изображений // Автометрия. 1990, №1.

8. Быков P.E., Гуревич С.Б. Анализ и обработка цветных и объемных изображений. М.: Радио и связь, 1984. - 248 с.

9. Васильев К.К. Анализ эффективности фильтрации многомерных случайных полей // Методы обработки сигналов и полей. Сб. научн. тр. Ульяновск: УлПИ, 1992, с. 18-27.

10. Васильев К.К. Каузальное представление случайных полей на многомерных сетках // Методы обработки сигналов и полей. Сб. научн. тр. Ульяновск: УлПИ, 1995, с. 4-22.

11. Васильев К.К. Прием сигналов при мультипликативных помехах.- Саратов: СТУ, 1983, 128 с.

12. Васильев К.К. Рекуррентное оценивание случайных полей на многомерных сетках // Методы обработки сигналов и полей. Саратов, 1986, с. 18-33.

13. Васильев К.К., Герчес В.Г. Анализ эффективности фильтрации плоских изображений // Вероятностные модели и обработка случайных сигналов и полей: Сб. научн. тр. Киев: УМК ВО,1991, с. 115-122.

14. Васильев К.К., Герчес В.Г. Исследование эффективности фильтрации изображений при треугольной развертке // Методы обработки сигналов и полей: Сб. научн. тр. Ульяновск: УлПИ,1992, с. 33-44.

15. Васильев К.К., Герчес В.Г. Калмановская фильтрация изображений // Методы обработки случайных полей: Сб. научн. тр. Ульяновск: УлПИ, 1990, с. 105-111.

16. Васильев К.К., Герчес В.Г. Рекуррентные методы обработки изображений // Тез. докл. НТК «Научно-технический прогресс и инженерное образование», ч.З, Ульяновск: УлПИ, 1990, с. 11-12.

17. Васильев К.К., Герчес В.Г. Погрешности измерения корреляционных функций случайных полей // Тез. докл. Всесоюзной НТК «Идентификация, измерение характеристик и имитация случайных сигналов», Новосибирск: НЭТИ, 1991, с. 127.

18. Васильев К.К., Герчес В.Г. Применение методов фильтрации изображений в адаптивных системах связи // Тез. докл. НТ школы-семинара «Цифровая обработка сигналов в системах связи93и управления», Ростов Великий, МГП ВНТО РЭС им. А.С.Попова, 1991, с.12.

19. Васильев К.К., Герчес В.Г. Эффективность обнаружения точечных сигналов на фоне мешающих изображений // Тез. докл. Украинской респ. школы-семинара «Вероятностные модели и обработка случайных сигналов и полей», Черкассы: ЧФКПИ, 1991, с.15.

20. Васильев К.К., Герчес В.Г. Эффективность рекуррентного оценивания случайных полей // Статистический синтез и анализ информационных систем. / Сб. докл. 12-го НТ семинара; М.: Моск. техн. ун-т связи и информатики, 1992, с. 100-102.

21. Васильев К.К., Кадеев Д.Н. Алгоритмы обнаружения и оценивания параметров сигналов на многомерных сетках // Статистические методы обработки сигналов. Новосибирск: НЭТИ, 1991, с. 60-69.

22. Васильев К.К., Крашенинников В.Р. Методы фильтрации многомерных случайных полей. Саратов: СГУ, 1990. - 128 с.

23. Васильев К.К., Крашенинников В.Р. Тензорная фильтрация случайных полей при марковских смещениях. В сб.: Методы статистической обработки изображений и полей. - Новосибирск: НЭТИ, 1986, с. 113-126.

24. Васильев К.К., Попов О.В. Оптимальные и квазиоптимальные алгоритмы компенсации мешающих изображений // Тезисы докладов международной научной конференции «Результаты и перспективы исследования планет» Ульяновск: УлГТУ, 1997, с. 78-79.

25. Васильев К.К., Попов О.В. Авторегрессионные модели случайных полей с кратными корнями // Труды 4-й конференции «Распознавание образов и анализ изображений: новые94информационные технологии» Новосибирск, 1998, Ч. 1, с. 258260.

26. Васильев К.К., Спектор A.A. Статистические методы обработки многомерных изображений // Методы обработки сигналов и полей. Сб. научн. тр. Ульяновск: УлПИ, 1992, с. 3-18.

27. Васюков В.Н. Квазиоптимальный алгоритм двумерной фильтрации // Методы статистической обработки изображений и полей, Новосибирск, 1984, с. 14-18.

28. Ванштейн J1.A., Зубаков В.Д. Выделение сигналов на фоне случайных помех. — М.: Сов. радио, 1960.

29. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1968.

30. Гимельфарб Г.Л., Залесный A.B. Гиббсовские случайные поля как вероятностные модели изображений на нижнем уровне вычислительного зрения. // Методы обработки сигналов и полей. Сб. научн. тр. Ульяновск: УлПИ, 1995, с. 22-34.

31. Гинзбург В.М. Формирование и обработка изображений в реальном времени. М.: Радио и связь, 1986 - 232 с.

32. Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов. М.: Мир, 1988, 488 с.

33. Девис М.Х.А. Линейное оценивание и стохастическое управление / Пер. с англ. М.: Наука, 1984, 208 с.

34. Джайн А.К. Успехи в области математических моделей для обработки изображений // ТИИЭР, 1981, Т. 69, №5, с. 9-39.95

35. Драган Я.П., К.К. Васильев и др. Состояние и перспективы развития вероятностных моделей случайных сигналов и полей. -Харьков: ХИРЭ, 1993, 156 с.

36. Казаринов Ю.М., Соколов А.И., Юрченко Ю.С. Субоптимальные алгоритмы линейной фильтрации в дискретном масштабе времени // Зарубежная радиоэлектроника. 1987, №8.

37. Касти Дж., Калаба Р. Методы погружения в прикладной математике /Пер. с англ.: Под ред. С.П. Чеботарева. М., 1976, 223 с.

38. Катковник В.Я. Линейные оценки и стохастические задачи оптимизации. М.: Наука, 1976, 488 с.

39. Катомин Н.П. Синтез и анализ некоторых квазиоптимальных двумерных дискретных линейных фильтров // Радиотехника и электроника. 1981, Т.26, №2, с. 333-362.

40. Крашенинников В.Р. Волновые модели многомерных случайных полей // Методы обработки сигналов и полей: Сб. научн. тр. -Ульяновск: УлПИ, 1987, с. 5-13.

41. Крашенинников В.Р., Ташлинский А.Г. Простейшая векторная модель многомерного авторегрессионного случайного поля // Методы обработки сигналов и полей в условиях помех. -Новосибирск, 1988, с. 9-18.

42. Кузовков Н.Т., Салычев О.С. Инерциальная навигация и оптимальная фильтрация. М.: Машиностроение, 1982, 216 с.

43. Кучеренко К.И., Очин Е.Ф. Двумерные медианные фильтры для обработки изображений // Зарубежная радиоэлектроника. 1986, №6.

44. Кловский Д.Д., Сойфер В.А. Обработка пространственно-временных сигналов (в каналах передачи информации). М.: Связь, 1976, 208 с.96

45. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. -М.: Наука, 1986, 304 с.

46. Коростелев А.П. Стохастические рекуррентные процедуры (локальные свойства). М.: Наука, 1984, 208 с.

47. Карлин С. Основы теории случайных процессов. М.: Мир, 1971, 536 с.

48. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М„ 1976, Кн. 2, 392 с.

49. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М., 1976, Кн. 3, 288 с.

50. Леман Э. Теория точечного оценивания / Пер. с англ. М.: Наука, 1991, 448 с.

51. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя: Пер. с англ. / Под ред. Я.З. Цыпкина. М.: Наука, 1991, 432 с.

52. Малышев В.А., Минлос P.A. Гиббсовские случайные поля. Метод кластерных разложений. М.: Наука, 1988, 288 с.

53. Миньсу Ш., Дайхун Ч. Алгоритм обнаружения объекта, основанный на графе смежности областей // ТИИЭР, 1984, №7, с. 263.

54. Обработка сигналов в радиотехнических системах: Уч. пособие / Долматов А.Д., Елисеев A.A., Лукошкин А.П., Оводенко A.A., Устинов Б.В.; Под ред. А.П.Лукошкина. Л.: Изд-во Ленингр. унта, 1987, 400 с.97

55. Параев Ю.Н. Введение в статистическую динамику процессов управления и фильтрации. М.: Сов. радио, 1976, 184 с.

56. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия. М.: Изд-во МГУ, 1990, 384 с.

57. Попов О.В. Алгоритм калмановской фильтрации изображений // Вестник Ульяновского государственного технического университета. -Ульяновск: УлГТУ, 1999, №2, с. 36-38.

58. Попов О.В. Анализ авторегрессионных моделей случайных полей с кратными корнями // Труды Ульяновского научного центра «Ноосферные знания и технологии» Российской академии естественных наук. Ульяновск: УНЦ РАЕН, 1999, т.2, вып. 1, с. 122-128.

59. Прикладная теория случайных процессов и полей / Васильев К.К., Драган Я.П., Казаков В.А. и др.; Под ред. Васильева К.К., Омельченко В.А. Ульяновск: УлГТУ, 1995, 256 с.

60. Прэтт У. Цифровая обработка изображений / Пер. с англ.; Под ред. Д.С. Лебедева. М., 1982, Кн. 1, 312 с.

61. Прэтт У. Цифровая обработка изображений / Пер. с англ.; Под ред. Д.С. Лебедева. М., 1982, Кн. 2, 480 с.

62. Пулькин С.П. Вычислительная математика. М.: Просвещение, 1974.

63. Победря Б.Е. Лекции по тензороному анализу. М., 1986, 264 с.

64. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов: Пер. с англ. М.: Мир, 1978.

65. Розанов Ю.А. Марковские случайные поля. М., 1981, 256 с.

66. Розанов Ю.А. Случайные поля и стохастические уравнения с частными производными. М.: Физматлит, 1995, 256 с.

67. Самсонов А.Н. Квазиоптимальная рекуррентная фильтрация марковского случайного поля // Методы обработки сигналов и полей: Сб. научн. тр. Ульяновск: УлПИ, 1990, с. 30-36.

68. Сачков В.Н. Введение в комбинаторные методы дискретной математики. М.: Наука, 1982, 384 с.

69. Сейдж Э., Меле Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении. Пер. с англ. Под ред. Проф. Б.Р. Левина. М., «Связь», 1976, 496 с.

70. Синева И.С., Левина И.Ю. Марковские случайные поля в анализе и обработке изображений: обзор // Сб. докл. 1-й Международной Конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применения» М.: Связь и бизнес, 1998, Т. 2, с. 219-226.

71. Соколов Н.В. Введение в теорию многомерных матриц. — Киев: Наукова думка, 1972, 176 с.

72. Спектор A.A. Двухэтапная фильтрация случайных полей при действии помех // Методы обработки цифровых сигналов и полей в условиях помех. Новосибирск, 1987, с. 3-9.

73. Спектор A.A. Многомерные дискретные марковские поля и их фильтрация при наличии некоррелированного шума // Радиотехника и электроника. 1985, Т.30, №5, с. 965-972.

74. Спектор A.A. Рекуррентная фильтрация дискретных гауссовских полей при действии гауссовских помех // Тез. докл. II99

75. Всесоюзного семинара секции «Теория информации» ЦП ВНТО РЭС им. А.С. Попова 4.1, Ульяновск : УлПИ, 1989, с. 61-62.

76. Спектор А.А., Малов Ю.Э. Исследование точности рекуррентной фильтрации изображения // Методы обработки сигналов и полей: Сб. научн. тр. Ульяновск: УлПИ, 1987, с. 38-44.

77. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982, 624 с.

78. Хабиби А. Двумерная байесовская оценка изображений // ТИИЭР, 1972, Т.60, №7, с. 153-159.

79. Чураков Е.П. Итеративные алгоритмы оценивания параметров случайных процессов и полей. Автометрия, 1975, №4, с. 31-36.

80. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1985,4.1, 336 с.

81. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1985,4.2, 400 с.

82. Ширяев А.Н. Статистический последовательный анализ. М.: Наука, 1976, 272 с.

83. Ярославский Л.П. Введение в цифровую обработку изображений. М., 1979, 312 с.

84. Ahmed M.S., Tahboub К.К. Recursive Wiener Filtering for Image Restoration // IEEE Trans., 1986, Vol. assp 34, Apr., pp. 990-993.

85. Besag J. On the statistical analysis of dirty pictures. J Royal Statistical Soc., Serie B, Vol. 48, No 3, 1986, pp. 259-302.

86. Dikshit S.S. A Recursive Kalman Window Approach to Image Restoration // IEEE Trans., 1984, Vol. com 32, Jan., pp. 125-139.

87. Kadeev D.N. Applicative Procedure for Simulating Nonuniform Images // Pattern Recognition and Image Analysis, Vol. 6, No. 1, 1996, p.150.100

88. Mikheev P.Y., Khirug S.S., Yakin G.Yu. A Method for the Representation of Multizone Images // Pattern Recognition and Image Analysis, Vol. 6, No. 1, 1996, pp.87-88.

89. Quinn M.J. Designing Efficient Algorithms for Parallel Computers. N.Y.: Mc. Graw Hill B.C., 1987. 288 p.

90. Vasil'ev K.K., Popov O.V. Autoregression Models of Random Fields with Multiple Roots // Pattern Recognition and Image Analysis, Vol. 9, No. 2, 1999, pp.327-328.

91. Vasil'yev K.K., Skrynnikov A.V. Application of Spectral Methods for Recurrent Image Processing // Pattern Recognition and Image Analysis, Vol. 6, No. 1, 1996, pp.104-105.

92. Woods J.W. Two-dimensional Kalman filtering //Topics in Applied Physics, Berlin, 1981, v.42, pp.155-208.