автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Критерии и алгоритмы проверки асимптотической устойчивости решений дифференциальных и разностных уравнений

Г;

На правах рукописи

Матвеева Оксана Изотовна

Критерии и алгоритмы проверки

асимптотической устойчивости

решений дифференциальных и разностных уравнений

05.13.18 - Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических ив

Якутск 2000

Работа выполнена в Якутском государственном университете им М. К. Аммосова

Научный руководитель - доктор технических наук Ю. И. Трофимцев

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Г. В. Демиденко, доктор технических наук, профессор Э. А. Бондарев.

Ведущая организация - Кемеровский государственный университет

Защита состоится декабря 2000 г. в часов на за-

седании диссертационного совета К 064.57.02 в Якутском государственном университете:

677000, г.Якутск, ГСП, ул.Белинского, 58, ауд. 326, КФЕН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Якутского государственного университета.

Автореферат разослан

ноября 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При моделировании систем различной природы с помощью дифференциальных и разностных уравнений наиболее часто используются линейные и квазилинейные уравнения. Например, квазилинейными уравнениями описываются химические реакции, физические процессы, развитие популяций, экономические процессы, системы массового обслуживания.

При качественном исследовании моделей большой интерес представляет изучение устойчивости решений уравнений, в частности, условия асимптотической устойчивости и оценки ее областей. Описанию какого-либо процесса сопутствуют возмущающие факторы, которые имеют различную природу и могут быть случайными или даже неизвестными. Они, например, возникают в процессе измерений и за счет неизбежной погрешности измерительных приборов приводят к неточным исходным данным. Возмущающие факторы могут быть непрерывными, но очень малыми и фактически неподдающимися измерениям. В этом случае соответствующие разностные и дифференциальные уравнения будут несколько отличаться от истинных. Поэтому для исследователя важно знать, насколько существенными могут быть отклонения результатов, полученных в процессе исследования теоретической модели, от получаемых на практике. Поскольку возмущающие факторы существуют практически всегда, то проблема устойчивости имеет важное теоретическое и прикладное значение.

Исследованиям устойчивости, основы которых заложил в конце 19-го века А. М. Ляпунов, посвящены монографии Е. А. Барбашина, Н. Н. Красовского, С.К.Годунова, Ю. JI. Далецкого и М. Г. Крейна, Б. П. Демидовича, В. И. Зубова, И. Г. Малкина, А. А. Мартынюка, С. Лила и В. Лакшмикантана, Н. Руша, П.Абетса и М. Лалуа, Л. Чезари, Н.Г. Четаева, В. Я. Якубовича и В. М. Старжинского, R. Р. Agarwal, S. N.Elaydi, V. L. Kocic, G. Ladas и др.

В последнее время разработаны критерии асимптотической устойчивости линейных уравнений, которые реализуются на компьютере. Этот вопрос изучается в работах С.К.Годунова, А.Я.Булгакова, Г. В. Демиденко и других математиков.

В настоящей диссертации получены критерии и алгоритмы асимптотической устойчивости решений некоторых классов разностных и периодических дифференциальных уравнений.

Целями работы являются:

1. разработка алгоритмов проверки на асимптотическую устойчивость линейных разностных и дифференциальных уравнений на основе новых критериев и оценок;

2. создание пакета программ для реализации алгоритмов на компьютере;

3. получение оценок областей асимптотической устойчивости квазилинейных разностных и дифференциальных уравнений.

Методика исследований. В диссертации используются методы математического анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений и вычислительной линейной алгебры. При получении критериев асимптотической устойчивости решений разностных и дифференциальных уравнений были использованы свойства матричных рядов и несобственных матричных интегралов со специальными весами.

Научная новизна. В работе получены следующие результаты:

1. разработаны новые критерии асимптотической устойчивости линейных разностных и дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами;

2. на основе разработанных критериев построены алгоритмы асимптотической устойчивости и разработан комплекс прикладных программ, численно реализующих алгоритмы на компьютере;

3. получены новые оценки областей асимптотической устойчивости решений квазилинейных разностных и дифференциальных уравнений;

4. оценена скорость сходимости к нулю решений обоих видов квазилинейных уравнений.

Практическое значение работы. Результаты диссертации носят как теоретический, так и прикладной характер. Разработанные алгоритмы и оценки могут быть использованы при качественном анализе моделей, описываемых разностными и дифференциальными уравнениями.

Обоснованность и достоверность научных положений и выводов подтверждаются проверкой математической строгости постано-

вок задач и математических предложений, а также апробацией работы в научных докладах и публикациях.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинарах "Избранные вопросы современного анализа" кафедры дифференциальных уравнений Новосибирского государственного университета, "Дифференциальные уравнения с частными производными" в Якутском государственном университете, и были представлены на Международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" в Челябинске (1999 г.), на Международной конференции "Математика в восточных регионах Сибири" в Улан-Удэ (2000 г.), на Третьей Международной конференции "Дифференциальные уравнения и приложения" в Санкт-Петербурге (2000 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 117 страниц, включая 13 рисунков и 1 таблицу. Список литературы содержит 70 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор литературы по теме диссертации, и излагаются ее основные результаты.

В каждой из глав сначала получены критерии асимптотической устойчивости линейных систем, на которых основываются алгоритмы. Далее приведен ряд новых оценок, используемых в алгоритмах и при оценке областей асимптотической устойчивости квазилинейных уравнений. Последние части глав содержат алгоритмы, реализуемые с помощью написанного нами комплекса прикладных программ и интегрированного пакета " Mathematica-З" на компьютере. Завершаются главы примерами расчетов.

В первой главе рассматриваются системы разностных уравнений следующего вида

xi+i = Axi + ц<р{х{), г = 0,1,2,..., (1)

где А — квадратная п х п матрица, д — комплексный параметр, tp : Еп -> Еп — непрерывная вектор-функция, удовлетворяющая условию

1И*)|| < 9М1+Ш, ^>0, q = const. (2)

Целью первой главы является исследование асимптотической устойчивости нулевого решения систем вида (1). Глава состоит из 6 параграфов.

Вначале рассматриваются только линейные системы разностных уравнений

х,-+1 = Ах1, ¿ = 0,1,2,..., (3)

(случай ц — Согласно спектральному критерию нулевое решение системы (3) будет асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы А лежат в единичном круге {|Л| < 1}. В силу критерия Ляпунова нулевое решение системы (3) является асимптотически устойчивым тогда и только тогда, когда дискретное уравнение Ляпунова

II - А*НА — С, С = С* > 0, (4)

имеет единственное решение Н = Н* 0. Учитывая явную формулу решения уравнения (4) при С = I, критерий Ляпунова можно переформулировать следующим образом: для асимптотической устойчивости нулевого решения системы (3) необходимо и достаточно, чтобы сходился матричный ряд

Н{А) = Е(А*)кАк. (5)

к=0

При теоретических исследованиях эти критерии равноценны. Однако хорошо известно, что задача вычисления собственных значений несамосопряженных матриц является плохо обусловленной, т. е. для спектра несамосопряженных матриц характерна большая чувствительность к малым возмущениям матричных элементов. Поэтому использование спектрального критерия для практического исследования асимптотической устойчивости нулевого решения реальной задачи может приводить к ошибкам качественного характера. В связи с этим на практике при изучении асимптотической устойчивости решений системы (3), как правило, используется критерий Ляпунова, сводящийся к проверке сходимости матричных рядов вида (5) и не требующий знания спектра матрицы А. Отметим, что в настоящее время имеются алгоритмы, основанные на этом критерии и позволяющие проводить исследования асимптотической устойчивости на компьютере с гарантированной точностью.

В первых двух параграфах мы рассматриваем еще один способ для практического изучения асимптотической устойчивости нулевого решения линейной системы разностных уравнений (3). Этот способ основан на проверке сходимости матричных рядов следующего вида

оо

£(1 + А)"2,,(Л*)*Л*, 0 < р < 1/2. (6)

*=о

Если этот ряд сходится, его сумму будем обозначать символом НР(А). Матричный ряд (6) является аналогом матричных интегралов

со

/(1 + ЩА\\)-^е1А'еы<И, р> 0, (7)

о

зведенных в работе Г. В. Демиденко (Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, № о).

Матрица НР(А) является эрмитовой и положительно определений. В тривиальном случае, когда А — нулевая матрица, Яр(0) = I. Если А — ненулевая матрица, то справедливо следующее свойство монотонности норм НР(А).

Теорема 1. Если матричный ряд (6) сходится, то при д > р иатричный ряд

оо

¿2(1 + к)-2<>(А*)кАк

к=0

также сходится, при этом

||ЯР(А)|| > \\НЯ(А)\\-

В следующей теореме содержится еще один критерий асимптотической устойчивости нулевого решения системы (3), который связан : матричными рядами вида (6).

Теорема 2. Нулевое решение системы (3) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда при некотором р £ (0,1/2] ряд (6) сходится.

Теорема 2 дает еще один способ для практической проверки асимптотической устойчивости нулевого решения системы (3), который не требует знания спектра матрицы А, основан только на проверке сходимости рядов вида (6) и при вычислениях на компьютере может оказаться более эффективным, чем способ, основанный на проверке сходимости матричного ряда (5). Это связано с ограниченностью разрядной сетки компьютера. Поэтому целесообразна разработка алгоритма для проверки на компьютере сходимости матричных рядов вида (6). В пятом параграфе мы даем описание одного варианта такого алгоритма, а в шестом — приводим ряд численных примеров.

В третьем и четвертом параграфах мы рассматриваем квазилинейные системы разностных уравнений (1). Хорошо известно, что если нулевое решение линейной системы (3) является асимптотически устойчивым, то при и> > 0 нулевое решение нелинейной системы (1) будет также асимптотически устойчивым. Отметим, что для нелинейных систем (1) имеется существенная отличительная особенность. А именно: если нулевое решение линейной системы (3) асимптотически устойчиво, то для любого начального вектора гг0 Е Еп решение системы (3) удовлетворяет оценке

где Я — сумма ряда (5), и ^(Я) >0 — минимальное собственное число матрицы Я. Следовательно, для любого яд € Еп имеет место сходимость

\\xiW -> 0, г-*оо. (8)

Для решений нелинейной системы (1) такая сходимость будет справедлива, если норма начального вектора ||жо|| достаточно мала. Иными словами, нулевое решение нелинейной системы (1) не является равномерно асимптотически устойчивым. Однако наличие параметре ц перед нелинейным слагаемым в правой части (1) позволяет надеяться, что может быть при достаточно малых |/л| « 0 для решения системы (1) будет иметь место сходимость (8) при любых начальных данных из заданного шара

Я(0,р) = {а:6^п:|М| < р}.

Основной целью третьего и четвертого параграфов является доказательство этого факта и получение условий на возможный разброс параметра /1, при котором будет иметь место сходимость (8).

. Теорема 3. Пусть р, и > 0 и

_ 1 /СГ!(Я)\ 1/2+^/2/

||я" ИР + ЦЯЦ-1

аг(Н)

Если

1Ы1 < Р, И < Ро, то для решения {ж;} системы (1) имеет место сходимость (8). Теорема 4. Пусть ш=0и

Если < щ, то при любом £о € Е„ для решения {а;,} системы (1) имеет место сходимость (8).

Отметим, что при доказательстве этих теорем мы получаем также оценки скорости сходимости ||аг,|| —> 0 при г оо.

В пятом параграфе предлагается новый алгоритм для численного исследования асимптотической устойчивости нулевого решения системы (3), который основан на проверке сходимости матричных рядов НР{А). При этом используются следующие оценки.

Теорема 5. Пусть все собственные значения А^ матрицы А принадлежат открытому единичному кругу {|А| < 1}. Тогда имеют место оценки

|Ау|2<Лр(||Яр(Л)||), з = 1,...,п, 0 < р < 1/2, (9)

где

Лр(||Яр(А)||) = тах{1/2; 1 - [ехр((2рГ(2р)||Яр(А)||+ (1п(2))*)*) + 1]"1},

Г(в) — гамма-функция;

М2< Л1/2(||Я1/2(А)||), з = 1,...,п, (10)

где

Л1/2(||Я1/2(А)||) = 1-е-«я'/^1. Из (9) и (10) следует, что

|А,-| < улр(Лр) < 1, з = 1,...,п, 0 < р < 1/2. (11)

Алгоритм заключается в получении верхних оценок норм матричных рядов (6) НР(А), 0 < р < 1/2, используя которые, определяем принадлежность спектра исследуемой матрицы А открытому единичному кругу {|А| < 1}.

Рассмотрим некоторую матрицу А размерности п х п. Предполагаем, что ||Яр(Л)|| < hp, где hp - число в пределах разрядной сетки компьютера. Тогда должны быть выполнены оценки (9) или (10). По теореме 2.3 из § 2, т.к. Ap(hp) < 1, то найдется к* > п такое, что

{{Цйр))к' + (^Ш)к'~1к*(\\А\\ + АДМ)

+ + + < 1/2.

Если наше предположение верно, тогда должна быть справедлива оценка • i

IIA** II < (уЩм)к' + (Ж)] + v/Л^М)

+ ... + V)"-1 (||А|| + v/лдм)"-1 < 1/2. (12)

Если для матрицы А неравенство (12) не выполнено, то имеем альтернативу.

а) либо часть ее спектра выходит за пределы круга {|А| < 1},

б) либо спектр расположен внутри единичного круга, но достаточно близко к границе {|А| = 1}, так что, хотя и ||#Р(А)|| < оо, но \\НР(А)\\ > hp.

Если для исследуемой матрицы неравенство (12) выполнено, продолжим наши вычисления.

Матричный ряд НР(А) представляется в следующем виде

к'-1 оо

НР{А) = £ (1 + к)-Ъ{А*)кАк + Е (1 + к)-2"(А*)кАк к=0 к=к'

= Н1р(А) + НЦА).

Показывается, что

НЦА) < 1-НЦА).

Тогда

НР(А) < ^Нр(А).

Следовательно, для оценки нормы ||ЛР(А)|| вычисляется конечная сумма Нр (А). Если

< V . (13)

то предположение относительно спектра матрицы А было верным, и все собственные значения матрицы А принадлежат открытому единичному кругу, при этом выполнена оценке (11).

Если для матрицы А неравенство (13) не выполнено, то имеем ту же альтернативу (см. выше). В этом случае, если позволяет разрядная сетка компьютера, можно увеличить значение hp и повторить рассуждения.

В параграфе 6 приведен ряд численных примеров. Расчеты проводились с использованием пакета прикладных программ Mathematica 3.0 и пакета, реализующего алгоритм пятого параграфа.

Рис.1 иллюстрирует монотонное убывание норм ||//"р(Л){|, установленное в теореме 1.1.

На рис. 2 приведена область асимптотической устойчивости системы разностных уравнений (1) для конкретных А и <p(xj), лежащая ниже изображенной поверхности (ш = Ь — ||i?||).

Во второй главе рассматриваются системы дифференциальных уравнений вида

(IT

^ = B(t)x, t > 0, (14)

И

dx

~={A + nB(t))x + p<p(t,x), t> 0, (15)

где А — квадратная п х п матрица, спектр которой принадлежит левой полуплоскости

С_ = {А ЕС : Re А < 0}, B{t) -пхп матрица с непрерывными Г-периодическими элементами

B(t + T) = B(t), fi, и — комплексные параметры; (р : Еп+\ —» Еп,

y>(t + T, *) = *>(*,*),

IHi,z)||<g||x||1+", w> 0, q = const. (16)

Hp

В первых двух параграфах рассмотрены системы линейных дифференциальных уравнений вида (14), для которых, в силу критерия Ляпунова, нулевое решение асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда сходится матричный ряд

£(Х*(-Г))к(Х(Т))к. (17)

*=о

Вместо ряда можно рассмотреть интеграл

оо

¡Х*(з)Х{з)(1з, (18)

о

где - матрицант данной системы.

Нами получены следующие критерии асимптотической устойчивости нулевого решения системы (14), отличающиеся от критериев (17) и (18).

Теорема 6. Нулевое решение системы (14) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда при некотором р Е (0,1/2] сходится ряд

оо

Е(1 + к)-2"(Х*(Т))к(Х(Т))к, 0 < р < 1/2, (19)

к—0

или существует интеграл

оо

/(1-М)-2рА'*(5)Х(5)сЬ, 0 < Р < 1/2. (20)

о

Из свойства монотонности норм рядов (19) и интегралов (20)

|ХР|| > ||Х9||, ||£р|| > ||£,||

при д > р, следует, что использование рядов (19) или интегралов (20) при численных расчетах может оказаться более эффективным, чем использование ряда (17) или интеграла (18). В теореме 2.2 второй главы диссертации показана эквивалентность норм ||ХР|| и ||£р||, поэтому достаточно иметь один алгоритм.

В третьем параграфе рассмотрена линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

— = {А + цВМ)х, £ > 0, (21)

являющаяся линеаризацией квазилинейной системы (15). Получены оценки значений параметра /х, при которых решение х(1) системы (21) асимптотически устойчиво для любых хо £ Еп, и оценка скорости убывания нормы решения.

В четвертом параграфе рассмотрены квазилинейные системы дифференциальных уравнений (15). Основными результатами здесь являются следующие теоремы.

Теорема 7. Пусть р = 0, ш > О, /> > 0 и

= _1_

Щ 2ГЧ\\Щ I \\Щ ) '

Тогда при |г/| < нулевое решение системы (15) асимптотически устойчиво, при этом для любых

х(0) = х0 е Е„, ||а;о|| < р,

имеет место оценка

(Нх{1),х{1)) < (Нх0,х0)е-т~н

х [1 -2Ш\Н\\^1-и/2(П){Пх0,х0}^}~Уы. Теорема 8. Пусть ш > 0, р > О,

«Ы = 1№1-2Нтах№)||>0

и

_ а{ц) /сг^^у+ы/г Щ-2рч\\\Н\\) "

Тогда, если |г/| < и^, то нулевое решение системы (15) асимптотически устойчиво, и для любых

х(0) = х0 е £„, ||асо|| < Р,

выполняется неравенство

(ЧхЦ),х(!)) < (Нх0,х0)е-а№

о"! ('Н)а{11)

В пятом параграфе описывается алгоритм проверки сходимости матричных рядов вида (19). В шестом параграфе приведен ряд численных примеров.

На рис.3 изображена область асимптотической устойчивости решения системы дифференциальных уравнений

с1х

— — Ах + х), £ > О, М

для конкретных А и <р(х^) в зависимости от V = и р.

На рис. 4 приведена область асимптотической устойчивости решения системы вида

(1х

— = Ах + {1В(1)х + иср(1,х), t>0, в зависимости от т = |/х[, V = \и\ и р.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Предложены новые, более эффективные при вычислениях, способы для практического изучения асимптотической устойчивости нулевого решения линейных систем (3) и (14), основанные на проверке сходимости матричных рядов (6) и (19) и интегралов (20).

2. Разработаны алгоритмы и комплекс прикладных программ для проверки на компьютере сходимости матричных рядов (6) и (19).

3. Получены новые оценки областей асимптотической устойчивости решений квазилинейных разностных и дифференциальных уравнений.

4. Установлены оценки скорости сходимости к нулю решений обоих видов квазилинейных уравнений.

0.000014 0.000012 0.00001

8x10 6x10

-6

4x10

2x10

-6

0.05

0.1

0.15

0.2

Рис.3.

Рис.4. 16

Публикации по теме диссертации

1. Матвеева О. И. Об асимптотической устойчивости решений периодических систем // Международная конференция "Дифференциальные и интегральные уравнения". - Челябинск: Челябинский госуниверситет, 1999.С. 78.

2. Матвеева О. И. Апериодические колебания в электромагнитном поле // Мат. заметки ЯГУ, 2000. Т. 7, вып. 1. С. 105-109.

3. Матвеева О. И. Апериодические колебания, описываемые квазилинейными уравнениями // Международная конференция "Математика в восточных регионах Сибири". - Улан-Удэ: Бурятский госуниверситет, 2000. С. 66-67.

4. Matveeva O.I. On asymptotic stability of solutions of différence équations // The Third International Conférence "Differential Equations and Applications". - Saint Petersburg: Saint Petersburg State Technical University, 2000. P. 70.

5. Матвеева О. И. Асимптотическая устойчивость линейных разностных уравнений. Якутск, 2000. 13 с. (Препринт / Научно-исследовательский институт прикладной математики и информатики Якутского госуниверситета; N 1).

Введение.:.

Глава I. Системы разностных уравнений

§1. Матричные ряды Нр

§2. Асимптотическая устойчивость решений линейных разностных уравнений.

§3. Асимптотическая устойчивость решений квазилинейных разностных уравнений

§4. Границы изменения параметра.

§5. Алгоритм для исследования асимптотической устойчивости решений линейных разностных уравнений.

§6. Примеры.

Глава II. Периодические дифференциальные уравнения.

§1. Матричные ряды Хр.

§2. Интегралы Ср.

§3. Асимптотическая устойчивость линейных систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, зависящих от параметра.

§4. Асимптотическая устойчивость решений квазилинейных периодических систем с параметрами.

§5. Алгоритм для исследования асимптотической устойчивости решений периодических дифференциальных уравнений.96.

§6. Примеры.

При моделировании систем различной природы с помощью дифференциальных и разностных уравнений наиболее часто используются линейные и квазилинейные уравнения. Например, квазилинейными уравнениями описываются химические реакции, физические процессы, развитие популяций, экономические процессы, системы массового обслуживания.

При качественном исследовании моделей большой интерес представляет изучение устойчивости решений уравнений, в частности, условия асимптотической устойчивости и оценки ее областей. Описанию какого-либо процесса сопутствуют возмущающие факторы, которые имеют различную природу и могут быть случайными или даже неизвестными. Они, например, возникают в процессе измерений и за счет неизбежной погрешности измерительных приборов приводят к неточным исходным данным. Возмущающие факторы могут быть непрерывными, но очень малыми и фактически неподдающимися измерениям. В этом случае соответствующие разностные и дифференциальные уравнения будут несколько отличаться от истинных. Поэтому для исследователя важно знать, насколько существенными могут быть отклонения результатов, полученных в процессе исследования теоретической модели, от получаемых на практике. Поскольку возмущающие факторы существуют практически всегда, то проблема устойчивости имеет важное теоретическое и прикладное значение.

Исследованиям устойчивости, основы которых заложил в конце 19-го века А.М.Ляпунов [25], посвящены монографии Е. А. Барба-шина, Н. Н. Красовского, С. К. Годунова, Ю. JI. Далецкого, М. Г. Крей-на, Б.П. Демидовича, В.И.Зубова, И. Г. Малкина, А. А.Мартынюка, С. Лила и В. Лакшмикантана, Н. Руша, П. Абетса и М. Лалуа, Л. Чезари, Н.Г. Четаева, В.Я.Якубовича и В.М.Старжинского, R. Р. Agarwal, S.N.Elaydi, V.L.Kocic, G.Ladas и других математиков [1-3, 7-10, 13, 15-24, 26-29, 33-35, 38, 39, 41-43, 47, 49, 50, 52, 53, 55, 56, 58, 59, 61, 62, 65, 66, 69].

Теория устойчивости решений разностных уравнений развивалась с некоторым запаздыванием, но сейчас этот вопрос изучен в ряде работ (см., например, [42, 43, 53, 55, 56, 58, 59, 61, 62, 65, 66]), и количество публикаций по этой тематике постоянно растет (см., например, [5, 6, 44, 54, 57, 60, 64, 67, 68, 70]).

В последнее время разработаны критерии асимптотической устойчивости линейных уравнений, которые реализуются на компьютере. Этот вопрос изучается в работах С. К. Годунова, А. Я. Булгакова, Г. В. Демиденко и др. [5, 6, 10, 11, 14, 54, 56].

В настоящей диссертации получены критерии и алгоритмы асимптотической устойчивости решений некоторых классов разностных и периодических дифференциальных уравнений.

Целями работы являются:

1. разработка алгоритмов проверки на асимптотическую устойчивость линейных разностных и дифференциальных уравнений на основе новых критериев и оценок;

2. создание пакета программ для реализации алгоритмов на компьютере;

3. получение оценок областей асимптотической устойчивости квазилинейных разностных и дифференциальных уравнений.

Методика исследований. В диссертации используются методы математического анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений и вычислительной линейной алгебры. При получении критериев асимптотической устойчивости решений разностных и дифференциальных уравнений были использованы свойства матричных рядов и несобственных матричных интегралов со специальными весами.

Научная новизна. В работе получены следующие результаты:

1. разработаны новые критерии асимптотической устойчивости линейных разностных и дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами;

2. на основе разработанных критериев построены алгоритмы асимптотической устойчивости и разработан комплекс прикладных программ, численно реализующих алгоритмы на компьютере;

3. получены новые оценки областей асимптотической устойчивости решений квазилинейных разностных и дифференциальных уравнений;

4. оценена скорость сходимости к нулю решений обоих видов квазилинейных уравнений.

Практическое значение работы. Результаты диссертации носят как теоретический, так и прикладной характер. Разработанные алгоритмы и оценки могут быть использованы при качественном анализе моделей, описываемых разностными и дифференциальными уравнениями.

Обоснованность и достоверность научных положений и выводов подтверждаются проверкой математической строгости постановок задач и математических предложений, а также апробацией работы в научных докладах и публикациях.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинарах "Избранные вопросы современного анализа" кафедры дифференциальных уравнений Новосибирского государственного университета, "Дифференциальные уравнения с частными производными" в Якутском государственном университете, и были представлены на Международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" в Челябинске (1999 г.), на Международной конференции "Математика в восточных регионах Сибири" в Улан-Удэ (2000 г.), на Третьей Международной конференции "Дифференциальные уравнения и приложения" в Санкт-Петербурге (2000 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ.

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. В каждой из глав сначала получены критерии асимптотической устойчивости линейных систем, на которых основываются алгоритмы. Далее приведен ряд новых оценок, используемых в алгоритмах и при оценке областей асимптотической устойчивости квазилинейных уравнений. Последние части глав содержат алгоритмы, реализуемые с помощью написанного нами комплекса при

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации исследована качественная картина поведения решений разностных и обыкновенных дифференциальных уравнений, являющихся одними из основных инструментов при моделировании различных природных и технических процессов. Все теоретические результаты работы направлены на их применение при алгоритмизации и проведении численных расчетов. Разработанные алгоритмы и комплексы прикладных программ позволяют проверять на асимптотическую устойчивость решения линейных разностных и дифференциальных уравнений. Для квазилинейных разностных и дифференциальных уравнений получены практически применимые оценки областей асимптотичекой устойчивости решений.

В первой главе диссертации проведены исследования асимптотической устойчивости нулевого решения систем разностных уравнений вида

Х{+1 = АХг + ¿=1,2,. (0.1) с комплексным параметром ¡1.

Получены следующие результаты.

1.1. Предложен новый способ для практического изучения асимптотической устойчивости нулевого решения линейной системы (случай ¡л = 0). Этот способ основан на проверке сходимости матричных рядов вида оо

1 + к)-2р{А*)кА\ 0 <р < 1/2. (0.2)" а;=0

В ряде случаев этот способ является более эффективным при вычислениях на компьютере, чем существующие в настоящее время.

1.2. Разработан алгоритм и комплекс прикладных программ для проверки на компьютере сходимости матричных рядов (0.2).

1.3. Получены новые оценки областей асимптотической устойчивости решений квазилинейных разностных уравнений. Установлены границы изменения параметра при которых для решения {хг} квазилинейной системы (0.1) имеет место сходимость х{\\ 0, г оо, (0.3) для любых начальных данных из заданного шара В(0,р).

1.4. Установлены оценки скорости сходимости к нулю (0.3) решений квазилинейных разностных уравнений.

Во второй главе диссертации проведены исследования асимптотической устойчивости нулевого решения двух периодических систем дифференциальных уравнений следующего вида = В(ь)х, г > о, (0.4) и пт = {А + цВ(1))х + г;<р^,х), £ > 0. (0.5)

И/С

Получены следующие результаты.

II.1. Предложены два новых способа для практического изучения асимптотической устойчивости нулевого решения линейной системы (0.4). Эти способы основаны на проверке сходимости матричных рядов оо

1 + к)~2р(Х*(Т))к(Х(Т))к, 0 <Р< 1/2 (0.6) к=0 и интегралов оо

1 + 5)-2рх*(5)х(5)сг5, о < р < 1/2, о где Х(£) — матрицант системы (0.4).

И.2. Разработан алгоритм и комплекс прикладных программ для проверки на компьютере сходимости матричных рядов (0.6).

П.З. Получены новые оценки областей асимптотической устойчивости решений квазилинейных дифференциальных уравнений.

Установлены границы изменения параметров /¿, г/, при которых для решения ж(£) квазилинейной системы (0.5) имеет место сходимость

И0||-»-О, £ —» +оо, (0.7) для любых начальных данных ^о из заданного шара В(0,р).

II.4. Установлены оценки скорости сходимости к нулю (0.7) решений квазилинейных дифференциальных уравнений.

1. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967.

2. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.

3. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иностр. лит., 1954.

4. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука. 1996.

5. Булгаков А.Я., Годунов С.К. Круговая дихотомия матричного спектра // Сиб. мат. журн. 1988. Т. 29, № 5. С. 59-70.

6. Булгаков А.Я., Демиденко Г.В. Новый критерий принадлежности матричного спектра замкнутому единичному кругу и приложения в теории устойчивости // Сиб. журн. индустр. матем. 2000. Т. 3, N 1. С. 47-56.

7. Вайман М.Я. Устойчивость нелинейных механических и электромеханических систем. М.: Машиностроение, 1981.

8. Валеев К.И., Финин Г.С. Построение функции Ляпунова. Киев: Наукова думка, 1981.

9. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.

10. Годунов С.К. Обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та. 1994.

11. Годунов С.К. Современные аспекты линейной алгебры. Новосибирск: Научная книга, 1997.

12. Голуб Дж., Ван Лоан Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999.

13. Далецкий Ю.Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

14. Демиденко Г.В. Об одном классе спектральных характеристик матриц // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, № 5. С. 1032-1051.

15. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

16. Дубошин Г.Н. Основы теории устойчивости движения. М.: Изд-во МГУ, 1952.

17. Зубов В.И. Методы А.М.Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1957.

18. Зубов В.И. Теория колебаний. М.: Высшая школа, 1979.

19. Каменков Г.В. Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика. М.: Наука, 1971.

20. Каменков Г.В. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1972.

21. Кузьмин П.А. Малые колебания и устойчивость движения. М.: Наука, 1973.

22. Ла Салль Ж.П., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964.

23. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982.

24. Летов A.M. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. М.: Физматгиз, 1962.

25. Ляпунов A.M. Собрание сочинений. Т. 2. М.: Изд-во АН СССР, 1956.

26. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.

27. Мартынюк A.A. Устойчивость движения сложных систем. Киев: Наукова думка, 1975.

28. Мартынюк A.A. Практическая устойчивость движения. Киев: Наукова думка, 1983.

29. Мартынюк А.А, Лакшмикантан В., Лила С. Устойчивость движения: Метод интегральных неравенств. Киев: Наукова думка, 1989.

30. Матвеева О.И. Об асимптотической устойчивости решений периодических систем // Международная конференция "Дифференциальные и интегральные уравнения". Челябинск: Челябинский госуниверситет. 1999. С. 78.

31. Матвеева О.И. Апериодические колебания, описываемые квазилинейными уравнениями // Международная конференция "Математика в восточных регионах Сибири". Улан-Удэ: Бурятский госуниверситет. 2000. С. 66-67.

32. Матвеева О.И. Апериодические колебания в электромагнитном поле // Мат. заметки ЯГУ, 2000. Т. 7, вып. 1. С. 105-109.

33. Матвеева О.И. Асимптотическая устойчивость решений квазилинейных разностных уравнений. Якутск, 2000, 13 с. (Препринт / Научно-исследовательский институт прикладной математики и информатики Якутского госуниверситета; М? 1).

34. Матросов В.Н., Козлов Р.И. Метод функций Ляпунова в динамике нелинейных систем. Новосибирск: Наука, 1983.

35. Мельников Г.И. Динамика нелинейных механических и электромеханических систем. Л.: Машиностроение, 1975.

36. Перов А.И. Об интегральных неравенствах // Тр. семинара по функц. анализу. Воронеж. 1957, № 5. С. 87-97.

37. Перов А.И. Несколько замечаний относительно дифференциальных неравенств // Изв . ВУЗов. Математика. 1965. Т. 47, № 4.

38. Плисс В.А. Некоторые проблемы теории устойчивости движения в целом. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1958.

39. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.; Л.: Наука, 1964.

40. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981.

41. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980

42. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.

43. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.

44. Слюсарчук В.Е. Нелинейные разностные уравнения с асимптотически устойчивыми решениями // Укр. матем. журн. 1997. Т. 49, №. 7. С. 981-987.

45. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970.

46. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.; Л.: Физматгиз, 1963.

47. Фурасов В.Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизация. М.: Наука, 1977.

48. Хорн Р., Джонсон П. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

49. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964.

50. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965.

51. Шилов Г.Е. Математический анализ. II специальный курс. М.: Наука, 1965.

52. Якубович В.Я., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972.

53. Agarwal R.P. Difference Equations and Inequalities. Theory, Methods and Applications. Marcel Dekker Inc., New York, 1992.

54. Bulgak H. Pseudoeigenvalues, spectral portrait of a matrix and their connections with different criteria of stability // Error Control and Adaptivity in Scientific Computing. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1999. P. 95-124.

55. Edelstein-Keshet L. Mathematical Models in Biology. Random House, New York, 1988.

56. Elaydi S.N. An Introduction to Difference Equations. SpringerVerlag, New York, 1996.

57. Elaydi S.N., Kocic // J. Difference Equ. Appl. 1996. V. 2, №. 1. P. 87-96.

58. Goldberg S. Introduction to Difference Equations. Dover, New York, 1986.

59. Kelley W.G., Peterson A.C. Difference Equations. Academic, New York, 1991.

60. Krause U. Stability trichotomy, path stability, and relative stability for positive nonlinear difference equations of higher order // J. Difference Equ. Appl. 1995. V. 1, №. 4. P. 323-346.

61. Kocic V.L., Ladas G. Global Behavior of Nonlinear Difference Equations of Higher Order with Applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1993.

62. Lakshmikantham V., Trigiante D. Theory of Difference Equations: Numerical Methods and Applications. Academic, New York, 1988.

63. Matveeva O.I. On asymptotic stability of solutions of difference equations//The Third International Conference "Differential Equations and Applications". Saint Petersburg: Saint Petersburg State Technical University. 2000. P. 70.

64. Medina R. Asymptotic properties of solutions of nonlinear difference equations //J. Comput. Appl. Math. 1996. V. 70, №. 1. P. 57-66.

65. Mickens R. Difference Equations. Van Nostrand Reinhold, New York, 1990.

66. Miller K.S. Linear Difference Equations. W.A. Benjamin, New York, 1968.

67. Papaschinopoulos G., Schinas C.J. Stability of a class of nonlinear difference equations // J. Math. Anal. Appl. 1999. V. 230, №. 1, P. 211-222.

68. Peng M., Huang L., Xu Q. Oscillation and stability for a class of nonlinear difference equations of higher order //J. Math. Study. 1997. V. 30, №. 3. P. 303-307.

69. Yoshizawa T. Stability Theory by Lyapunov's Second Method. Math. Soc. Japan, Tokyo, 1966.

70. Zhou Z., Zhang Q. Uniform stability of nonlinear difference systems // J. Math. Anal. Appl. 1998. V. 225, №. 2. P. 486-500.