автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Приведение краевых задач к начальным и исследование концентрации напряжений в тонкостенных конструкциях мультипликативным методом

На правах рукописи

ПЕТРОВ Виталий Игоревич

ПРИВЕДЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ К НАЧАЛЬНЫМ И ИССЛЕДОВАНИЕ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ В ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЯХ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ МЕТОДОМ

05 13 18—математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2008

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете

им Н Э Баумана

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор

Виноградов Юрий Иванович

Официальные оппоненты

член-корреспондент Академии наук РТ, заслуженный деятель науки и техники РФ и РТ, доктор физико-математических наук, профессор Паймушин Виталий Николаевич

кандидат физико-математических наук, доцент Бережной Дмитрий Валерьянович

Ведущая организация - Московский авиационный институт (Государственный технический университет)

,со

Защита состоится // О У 2008 года в / У часов на заседании

диссертационного совета Д212 079 01 в Казанском государственном техническом университете им АН Туполева по адресу 420111, г Казань, ул К Маркса, 10

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского государственного технического университета им А Н Туполева

Автореферат разослан « ¿О » О 2- 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор * Данилаев П Г

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Прочность тонкостенных конструкций по напряженно-деформированному состоянию имеет ярко выраженную специфику при сравнении с их устойчивостью и колебаниями Весовое совершенство конструкций может быть достигнуто при равнопрочности их элементов Однако такая задача не может иметь решения хотя бы из-за бесконечного многообразия возможных, порой непредсказуемых, внешних воздействий

Если устойчивость и колебания - интегральные характеристики конструкций, то их напряженно-деформированное состояние опасно большими напряжениями в местах концентрации В этих местах, как правило, возникают микротрещины, перерастающие в магистральные и приводящие, в итоге, к разрушению конструкции

А М Доценко, В А Коргопольцев, М Н Коган, А Б Корнилов, А А Орлов, В Н Семенов, Л Л Теперин, М В Устинов экспериментально в ЦАГИ им проф НЕ Жуковского показали, что использование нанотехнологий в местах концентрации напряжений для предотвращения появления и развития трещин увеличивает ресурс тонкостенных конструкций по прочности до 3 раз Результаты эксперимента ярко определяют актуальность проблемы исследования концентрации напряжений с целью совершенствования технологий предотвращения разрушения тонкостенных конструкций

Если в качестве математических моделей исследований используются линейные дифференциальные уравнения механики деформирования оболочек, то актуальной проблемой остается построение эффективной методики исследования линейных дифференциальных уравнений механики деформирования оболочек и тонкостенных конструкций в местах концентрации напряжений с априори контролируемой погрешностью

Целью работы является приведение краевых задач к начальным и построение эффективной методики исследования концентрации напряжений в элементах тонкостенных конструкций мультипликативным методом с априори контролируемой погрешностью

Научную новизну работы составляют

- простейшие алгоритмы приведения краевых задач к начальным и исследование концентрации напряжений в оболочках мультипликативным методом с априори контролируемой погрешностью,

- перенос краевых условий к местам концентрации напряжений мультипликативным методом (доказана теорема), формирование соответствующих начальных условий и исследование концентрации напряжений в элементах тонкостенных конструкций мультипликативным методом с априори контролируемой погрешностью

- перенос краевых условий к местам концентрации напряжений сопряжением участков устойчивого счета и исследование концентрации напряжений в элементах тонкостенных конструкций мультипликативным методом с априори контролируемой погрешностью

- простейшие алгоритмы приведения краевых задач к начальным для оболочек из одного или двух участков устойчивого счета и исследование концентрации на-

пряжений мультипликативным методом с априори контролируемой погрешностью

- исследование концентрации напряжений в тонкостенных элементах транспортно пусковых стаканов летательных аппаратов

Достоверность основных научных результатов обеспечивается строгостью математических выкладок, доказательством теоремы о возможности приведения краевых задач к начальным у места концентрации напряжений, решением тестовых задач и сравнительными вычислительными экспериментами Прикладная ценность работы состоит в

- построенных программно реализованных алгоритмах приведения краевых задач к начальным у места концентрации напряжений в оболочках и тонкостенных элементах конструкций,

- построенном для использования на практике мультипликативном методе исследования напряжений в местах их концентрации,

- построенных и программно реализованных простейших алгоритмах приведения краевых задач к начальным и исследовании концентрации напряжений в тонкостенных элементах конструкций мультипликативным методом,

- возможности априори определять погрешности исследования концентрации напряжений,

- программно реализованных алгоритмах исследования концентрации напряжений в транспортно пусковых стаканах для летательных аппаратов,

- в результатах параметрического исследования концентрации напряжений в транспортно пусковых стаканах

Основные положения, выносимые на защиту

- Простейшие методы исследования концентрации напряжений в оболочках мультипликативным методом

- Приведение краевых задач к начальным у места концентрации напряжений мультипликативным методом

- Приведение краевых задач к начальным у мест концентрации напряжений сопряжением участков устойчивого счета

- Методика исследования концентрации напряжений в тонкостенных конструкциях на примере воздействия на транспортно пусковые стаканы локальных сил и моментов, внутреннего давления и давления при запуске летательных аппаратов

Апробация работы и публикации Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на 3-й, 4-й, 5-й и 6-й Международных конференциях "Авиация и космонавтика - 2004, 2005, 2006 и 2007" (Москва, 2004, 2005, 2006, 2007 г г ), Первой международной научно-технической конференции "Аэрокосмические технологии" (Москва - Реутов, 2004 г), Международной конференции "DYNAMICAL SYSTEM MODELLING AND STABILITY INVESTIGATION" (Киев, 2005 г ), XIV и XV Международных конференциях по вычислительной механике и современным прикладным системам (Алушта, 2005 и 2007 г г), Международном симпозиуме "Образование через науку" (Москва 2005 г), XII и XIII Международных симпозиумах "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" (Москва, 2006 и 2007 г г), 3-й Международной конференции "Ракетно-космическая техника фундаментальные и прикладные

проблемы" (Москва, 2007), кафедре "Аэрокосмические системы" МГТУ им Н Э Баумана

По теме диссертации опубликовано 17 работ

Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения и краткого обзора литературы, 6-ти глав и заключения Она изложена на 193 страницах машинописного текста Список литературы представлен 263 работами отечественных и зарубежных авторов

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проводится анализ физической проблемы прочности тонкостенных элементов конструкций в зависимости от концентрации напряжений

Выбираются математическая модель механики деформирования оболочек из слоистых композиционных материалов Я И Григоренко, А Т Василенко, а также математические модели деформирования изотропных оболочек В Л Би-дермана и В 3 Власова, которая в диссертации приводится к канонической форме

Приводится обзор специализированных и универсальных методов анализа математических моделей Выполняется сравнительный анализ их недостатков и достоинств для использования с целью эффективного решения задач исследования концентрации напряжений в тонкостенных элементах конструкций Рассмотрены методы Ритца-Тимошенко, Бубнова-Галеркина, Власова-Канторовича, Пап-ковича-Трефца, дифференциально-разностные методы Слободянского, Виноградова, вариационно-разностный метод, метод коллокаций, метод "прогонки" Гель-фанда-Локуциевского, методы переноса граничных условий Абрамова, Годунова, метод сопряжений участков Виноградова-Клюева, мультипликативный метод Виноградова, метод Виноградова А Ю и Виноградова Ю И решения дифференциальных уравнений, содержащих только чётные производные, метод граничных элементов (МГЭ), метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ)

Определяется общий недостаток известных методов они разработаны для определения напряжений во всей области деформирования тонкостенных конструкций и их элементов, а не в местах концентрации напряжений Алгоритмы методов не обладают возможностями априори оценивать погрешности в результатах, если не используется матричный ряд Тейлора решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, полученный Ю И Виноградовым Научно обосновывается выбор мультипликативного метода Виноградова и метода сопряжения участков Виноградова-Клюева для развития и адаптации их к эффективному исследованию концентрации напряжений в тонкостенных конструкциях

В итоге, во введении сформулированы актуальность проблемы построения эффективных методов анализа математических моделей, направления исследования, по которым получены основные результаты, научная новизна и практическая ценность выполненных исследований и приведены основные положения, выносимые на защиту

В первой главе работы приводятся математические модели механики деформирования оболочек

Известно, что каноническая форма представления разрешающих уравнений — творческая трудоемкая работа С другой стороны известно, что в подавляющем

большинстве работ, посвященных теории оболочек, разрешающие уравнения приводятся в перемещениях По этой причине предложен и реализован матричный алгоритм приведения разрешающей системы обыкновенных дифференциальных уравнений в перемещениях к канонической на ЭВМ

Если разрешающие уравнения механики деформирования оболочек в перемещениях представлены в виде

Г = Л(х)Г + д(х), (*)'=-£(*)> (1)

где 7 = ||мл,ми,уй,уи,и'п,м'Я5м'и,м'„|| - столбец функциональных коэффициентов рядов разложений составляющих перемещений и их производных для точек срединной поверхности оболочки по окружной координате, А(х) = ||аг ^ ||

(г,у = 1,2, ,8) - матрица, элементами которой являются коэффициенты системы дифференциальных уравнений, <2(х) - столбец параметров нагрузки, а физические соотношения представлены в виде

Т = С(х)¥, (2)

II ' 11г

где Т = Ьлп,уп,м>п,и>п,,5'п> , 61 „ - столбец функциональных коэффициентов разложений составляющих перемещений точек срединной поверхности оболочки, угла поворота к ней нормали в плоскости меридиана и разложений внутренних силовых факторов, возникающих в сечении оболочки, тогда из (1) и (2) следует, что

Т =В(х)Т + Р(х), (3)

»

где В(х) = С(х)А(х)в(х)~х-0(х)[0(х, Р(х) = в(х)<2{х)

В диссертации уравнения Я М Григоренко, А Т Василенко упрощаются при переходе к изотропным и совпадают с соответствующими, полученными В Л Бидерманом

Уравнения в перемещениях В 3 Власова, например, для цилиндрических оболочек с помощью символьной математики на ЭВМ приводятся предложенным алгоритмом к канонической матричной форме и сравнивается с соответствующими Я М Григоренко, А Т Василенко и В Л Бидермана Уравнения отличаются в некоторых элементах незначительно

Во второй главе приводятся формулы для вычисления решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с контролируемой и неконтролируемой погрешностью Поскольку погрешностями методов решения задач математической физики принято считать погрешности решений дифференциальных уравнений, то решения с контролируемой погрешностью являются аналитическими Если погрешности не контролируются, решения задач принято называть считать численными

Для вычисления решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (1) и (3) используется полученная Ю И Виноградовым формула в виде матричного ряда Тейлора

00 (ВАх )т

К%(А(х))= 2 --Р-, (4)

0 т=О и'

Ах п

где Ах{ =—> Лх = хп-х0, т, е^,^], »= 1,2, ,п, В=%А(т1)

Длины интервалов [х выбираются достаточно малыми, на которых

осредняются элементы - функции матрицы А(х) = А(т,)

Если дифференциальное уравнение (1) имеет постоянные коэффициенты А(х) = А, из (4) следует

(5)

Матричные ряды Тейлора (4) и (5) сходятся и погрешности вычислений определяются сравнением частичных сумм

Решение однородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений можно вычислять по приближенной формуле определения мультипликативного интеграла Вольтерра - аналога интегральной суммы для обычного интеграла К%(А(х)) = [Е+А(т„)Ахп-] [£+Дтг)Дхг] [Е+ А{тг)Ьх^Е+ЯЦ)^], (6) Ах

гдеДх;=—, Ах = хп-х(), т[ 1 = 1,2, ,п

Если дифференциальное уравнение (1) имеет постоянные коэффициенты А(х) = А, из (6) следует, что решение вычисляется с помощью матричного бинома Ньютона

К* (А) = (Е + ААх„Т, Ахп = (7)

Контролировать погрешности вычислений решений по формулам (6) и (7) можно только сравнением результатов при повторном счете с уменьшением участков Ах1 и Ахп, как говорят, численно

Необходимо еще иметь в виду, что при вычислении решений в направлении, противоположном принятому положительному, интервалы Ах значений аргумента будут отрицательными

Частное решение У* дифференциальных уравнений вычисляется по формулам

¥\хп)^±Кх"{А(х))Щ/^1 (8)

¡=1 ' 2

р, А(т*)Ах, . * дс

где Тг=Е+-г-+--^——+ . е,=ег(^)> Ахг=—' &х = х„-х0,

* 1

г = 1,2, ,«, г =—(х1_1 +х1) Здесь интервал Ах = хп-х() определяется поверхностью под нагрузкой, который делится промежуточными точками х1

Если используется мультипликативное свойство решения однородного дифференциального уравнения К{А{х)), формула (8) принимает вид

У*»=КпКл кж+кпк л +к„к л х.лк+ +

и-1 к-1

+кпкп_1+Еп,тсР1=т1д1Ах1

п п-1 ' г+1 I

(9)

Для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Л(х') = А, кЬ = К = К, Т = Т одинаковые для всех интервалов Тогда формула 1-1 1 1

(9) принимает вид

(Ю)

у*=\ к^та

-к

п- 2п

'тд2+ кто^+т^уа,

где верхний индекс у матриц К обозначает возведение в степень

Формулы (4) - (10) справедливы при вычислении решения в принятом положительном направлении независимой переменной х

Таким образом, общее решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (1) принимает вид

(11)

У(х) = Кхх"{А{х))Уп + У*

'0

В третьей главе строятся простейшие алгоритмы исследования концентрации напряжений в оболочках мультипликативным методом

Приведение краевых задач к начальным до счета Допустим, что решение линейного обыкновенного дифференциального канонического уравнения

Т

У =А(х)Г + в(х), (*) где

ип>Уп,м>п,м>п,Ты,Зп,М1п,()ы

(12)

(13)

найдено (11) и краевые условия задачи заданы

т т

до)к=\у1,уг, >Ук|| =\\>ь2' Л|| =ВХ,ЩКХ=0,

^я-НК+Г^+г' >ьп( =В2>пРИХ=1>

где п- порядок дифференциального уравнения

Упрощая форму записи, решение (11) представляется как связь между края ми 7(/) = К(Г)У(0) + У* и переписывается в виде

кп кп К2\ К22

П0)п_к

у

п-к

Учитывая краевые условия (13) последнее уравнение переписывается в виде системы из двух, которые позволяют определить недостающие начальные условия через краевые 7(0)п_к = К^1 Таким образом, краевая задача приводится к начальной, т е задаче Коши,

У{х) = К(х)У(0) + У*, где 7(0) = 17(0)^,7(0)^ (14)

Начальные условия задачи Коши для других краевых условий приводятся в диссертации

Исследование концентрации напряжений решением задачи Коши является мультипликативным Из условия, необходимого для математического моделирования внешнего воздействия на оболочку и осреднения переменных коэффициентов дифференциального уравнения (12), т е элементов матрицы А(х), выбирает-

* * * *

ся число промежуточных точек ХрЛ^ 'хо>х\> >хп-\>хп> >х/с >хп-\> на которые делится интервал ], равный Длине оболочки, рис 1

* * * *

хг х<> х/ х„.1 хп хк л,,.} х„ х

.—I-}-1-1-( I-1 ■■■■>-*-- »1

Рис 1

Мультипликативный алгоритм решения задачи Коши строится с использованием свойств решений (4) - (10), то есть свойств матриц функций Коши - Крылова-решения дифференциального уравнения (12)

7Ц) = ^У(0), ¥(х2) = КххЧ(Хх),

У(*,) = КХх>_¥(Х1_х), У(Х*0) = К^У(хг),

7(х,) = К\¥{х1)+У*\ = У(х* ) + У*\, х0 х0 х0

Г(х*п) = К$ Цх^+У^^х^ + У*,

хп-1 х0

*

у* = у*хп-\ . р р -Т о д„ х0

У(х) = КХтх*„) + Г*=У(хк) + Г*, (15)

п К

ПхШ>КХ^У(хк) + У* = Пхк+1)+У\

¥{хп) = Кх» ?{х* )+У* = У(хп) + У* ■V-1 " 1

Очевидно, что искомые величины столбца У(х), характеризующие концентрацию напряжений в каждой последующей точке краевого интервала, определяются умножением слева решения задачи Коши в каждой предыдущей точке на матрицу значений функций Коши - Крылова К(х), вычисленную на интервале между этими точками Процесс рекуррентный и легко программируется

Представленные алгоритмы и вычислительные процедуры исследования концентрации напряжений справедливы, если начальные условия формируются на левом краю, а вычисления выполняются в принятом положительном направлении независимой переменной

Если начальные условия формируются на другом краю, а вычисления выполняются в противоположном направлении, то мультипликативные процедуры в выражениях (15) изменяются на противоположные, т к матрицы не обладают перестановочным свойством, те АВфВА

Приведение краевых задач к начальным с помощъюЭВМ Вычислительные алгоритмы формирования начальных условий на левом краю могут быть различными из-за противоречивости организации эффективного счета, рис 2

Рис 2

По алгоритму I перенос краевых условий на ненагруженные участки оболочки в два этапа, очевидно, приводит к увеличению затрат машинного времени Однако, при этом сокращаются длины участков, на которых вычисляются решения К(А(х)) дифференциальных уравнений, и, следовательно, - затраты машинного времени

По алгоритму II с затратами машинного времени все происходит наоборот Пусть система дифференциальных уравнений представлена в виде (12), а ее решение определяется по формулам (4) - (10)

Краевые условия записываются в матричной форме

НГх(0)7(0) = ^(0), Я,2(/)7(/) = Д,2(/), (16)

где Нг (0) и (I) - прямоугольные матрицы, ненулевые элементы которых в

виде единиц выбирают из столбцов 7(0) и 7(/) величины, на которые задаются краевые условия, Я^ (0) и (/) - столбцы, элементами которых являются заданные на краях величины

Требуется краевые условия НГ^(Г)У(Г) = ИГ^(Г) перенести на левый край и

сформировать начальные условия, соответствующие краевым

Алгоритм II Решение уравнения (12) на участке ^ имеет вид

7 = 7(/) = Правые краевые условия переносим в точку х*, исключая 7(/)

Х1

из условий (16) на правом краю Нг (х*)У(х*1) = 1<г (/) Решение уравнения (15) на

2 ' ' 2

* X* *

участке внешнего воздействия имеет вид ¥(х, ) = К 17(х„) + 7 { Исключая

I хо

У(х*) из условий перенесенных в точку х* аналогично предыдущему, переносим правые краевые условия в точку х^ 7/,^ (х*())У(х^) = (х^) Аналогично условия из точки х* переносятся на левый край Нг (0)7(0) = (0) и позволяют сформировать начальные условия соответствующей задачи Коши

-1 II Иг II Нг

7(0) = [ДО)] Я(0), где 0(0) = (0), Я,2(0)| , Д(0) = (0), ^(0)|

Концентрация напряжений исследуется мультипликативным методом (15) по алгоритму, графически показанному на рис 3

Рис 3

1 ъ

/

1 ! Я = 112 \ \ Я/ к = 300

кр 1

1 Г

1

О 0 2 04

г)

2 14 16

Рис 4 а) Расчетная схема б), в), г) - графики изменения напряжений 1 - для площадки с параметром Ь/Я = 0 025. 2 — лля плошадки с паоаметоом Ь/ К = 0 1

Ь / К = О 1 и 0 025

Рис 5 а), б) - расчетные схемы в), г) - графики изменения напряжений а+ /Яша IК в зависимости от параметров Ь/Я площадок локального воздействия

Аналогично реализуется алгоритм I

Математическое моделирование локальной нагрузки по площадкам, очерченным линиями главных кривизн оболочки и окружностью, и идеализации ее в виде сосредоточенной представлены в диссертации

Вычислительные эксперименты Вычислительные эксперименты выполнены с целью определения эффективности исследования концентрации напряжений в оболочках и элементах тонкостенных конструкций мультипликативным методом, с целью определения параметров оболочек, при которых счет устойчивый без каких - либо дополнительных математических процедур, например, ортогона-лизации и нормирования, с целью определения влияния краевых условий и размеров площадок внешнего воздействия на концентрацию напряжений Концентрация напряжений исследовалась в цилиндрических и сферических оболочках При жестком креплении оболочек по краям они нагружались локально по середине длины образующей Оболочки, закрепленные консольно жестко или шарнирно, локально нагружались у свободного края Начальные условия для соответствующих краевых формировались на правом краю

Критическая относительная длина 1кр / Я (1кр - критическая длина оболочки, Я - ее радиус) цилиндрической оболочки, до которой сохранялась устойчивость счета без каких-либо дополнительных математических процедур, равнялась 1,2, 0,9 и 0,86 дня ее относительной толщины Я/к (к - толщина оболочки) соответственно 100, 200 и 300 При этом размер, форма площадки нагружения и краевые условия на устойчивость счета не влияли

Критическую относительную длину оболочки удалось удвоить формированием начальных условий по середине длины образующей, т е в центре площадки локального нагружения При этом получено, что 1кр/ Я равнялось 2,4 1,8 и 1,72 при Я/Н соответственно - 100, 200 и 300, а это уже размеры многих реальных отсеков летательных аппаратов

Относительные размеры ЫЯ (Ь - сторона квадрата) площадок, очерченных линиями главных кривизн в вычислительных экспериментах принимались равными 0,025, 0,05 0,1, 0,15 и 0,2 Для площадок, очерченных окружностями, обеспечивалось соответствующее равенство квадратным Для указанных выше параметров оболочек краевые условия практически не оказывали влияние на концентрацию напряжений Такой результат имеет практическое значение для исследования концентрацию напряжений На рис 4 и рис 5 приводятся некоторые результаты исследования концентрации напряжений в цилиндрических и сферических оболочках Очевидно, что напряжения концентрируются под площадками внешнего воздействия на оболочку При других параметрах оболочек и площадок наблюдается то же самое Таким образом определяются размеры мест концентрации напряжений Форма площадок нагружения внешнего воздействия не оказывала влияния на характер концентрации напряжений В четвертой главе строится алгоритм приведения краевых задач к начальным у места концентрации напряжений мультипликативным методом, который обеспечивает устойчивость счета оболочек и тонкостенных конструкций с произвольными параметрами Перенос краевых условий к месту концентрации напряжений, формирование соответствующих

начальных условий и исследование напряжений мультипликативным методом оправдан эффективностью, так как длины участков устойчивого счета переноса велики и вычислительные затраты незначительны, а вычислительные сложности определения значений быстро изменяющихся функций при исследовании напряжений в местах их концентрации преодолеваются мультипликативным методом с использованием вычислительных процедур (15)

Доказана теорема Если решение линейного обыкновенного дифференциального уравнения удовлетворяет произвольным начальным условиям, то решение краевой задачи для произвольной точки краевого интервала является начальным для соответствующей задачи Коши

Из доказанной теоремы следует, что численное решение краевой задачи мультипликативным методом с использованием формул (4) - (10) является столбцом значений начальных условий для соответствующей задачи Коши

Алгоритм переноса краевых условий к месту концентрации напряжений или в центр площадки локального нагружения графически показан на рис 6

Рис 6

Графически он не отличается от алгоритма на рис 2 Однако принципиальное отличие состоит в необходимости использования процедуры построчной ор-тогонализации и нормирования переносимых краевых условий в точку формирования соответствующих начальных условий, при которой столбец искомых величин не изменяется Такая процедура не требует запоминания матрицы преобразования краевых условий и тем самым процесс переноса краевых условий и формирование соответствующих начальных с учетом большой длины участков устойчивого счета становится простым и высокоэффективным в реализации для исследования концентрации напряжений

В пятой главе формирование начальных условий у места концентрации напряжений выполняется путем сопряжения участков оболочки устойчивого счета При таком алгоритме исключается процедура ортогонализации и нормирования при формировании соответствующих условий для оболочек с произвольными параметрами

Теоретические основы алгоритма состоят в том, что оболочка [х0,хп] промежуточными точками х^,х2, >хп_1 Делится на участки устойчивого счета Для произвольного участка [х решение уравнения (1) определяется с использо-

ванием формул (4) - (10) и имеет вид

у^К^А^У^+У*^ (17)

Исключением в выражениях (2) и (17) столбца У получается связь между столбцами Т для начала и конца участка [х оболочки

тк1 = а{хк)К^_о{хнг1тш+о{хк) (18)

Решение для оболочки находится сопряжением всех ее участков [х _i>xl] (i-1,2, ,s) Для этого столбец Т делится на геометрический р и силовой q Т II 1 f II \\т

Т = \\р,я\\ , P = fn,vn,wn,wnj , q = \Tln,Sn,Qln,MXn\ Тогда, G(xK)KlG(XHr'=^ ^J, G(xk)Yl^=\\DvD2f

Матричное соотношение (18) переписывается в виде двух и преобразуется к

виду

%,=ВъРш+ВъРк,+МЪ> П9,

яК1=въРш+В^Рк1+И21,

где i - номер участка оболочки, В^-А^А^, В^А^, B3j = ~ ^ГъЛ Ь>

BAi=A22iA\2i> Nh = -AnDh> ^Г^-^г^ГгА Матрицы Вл(у = 1,2,3,4) характеризуют жесткость i -го участка оболочки

Используя геометрические р(хн1) = pQ, ,р(хк1) = P(\l+l) = Р,,

>P(xKj) = ps и силовые q(xfi l) = -R0, ,Фк1)-ч(\1+1) = MxK,s) = Rs

условия сопряжения участков оболочки приходят к системе матричных алгебраических уравнений

hlPQ + ~B1,2)P1~B2,2P2 + N2,l ~ Nl,2 = RV

%P,-\ + ~ ~ B2,l+\P,+l + N2,, ~ N\,i+\ = Ъ' (20)

%-lPs-2 + (\s-1 ~ Bl^Ps-l ~ B2,SP* + N2,s-l ~ NU-\ = VV

\sPS-l + \sPs + N2,S = Rs> где s - число участков оболочки

Систему алгебраических уравнений можно получить, используя не дифференциальное уравнение (1) в перемещениях, а каноническое дифференциальное уравнение (3) Его решение по формулам (4) - (10) с заменой А(х) на В(х) и Q(x) на F(x) приводит к связи между столбцами Т для начала и конца участка

оболочки TKl =К*' i(B(x))Tfil + YXX'^ В остальном алгоритм сохраняется

Каждое уравнение системы алгебраических уравнений (20) записывается для соответствующего сечения оболочки, включая краевые Если оболочка в г -ом сечении подкреплена шпангоутом, математическая модель деформирования которого Gp = 0 (G - матрица жесткости шпангоута, р - столбец перемещений и угла его закручивания, Ф - столбец усилий на шпангоут со стороны оболочки), то матрица жесткости G шпангоута учитывается в i -ом уравнении системы алгебраических уравнений (20)

V«-! +{в4,-В1!+Г°^-В2,А+1 = X,

Таким образом, решение краевой задачи сводится к решению системы алгебраических уравнений, а исследование влияния внешней нагрузки, краевых условий и подкрепления оболочки шпангоутами осуществляется вариантными решениями системы алгебраических уравнений (20) без повторного интегрирования системы дифференциальных уравнений (1) или (3)

Простейшие алгоритмы приведения краевых задач к начальным до счета легко строятся, принимая всю длину оболочки за один или два участка Они приведены в диссертации

Вычислительный эксперимент

Для цилиндрической консольно закрепленной оболочки, усиленной на свободном краю шпангоутом, на который действует радиальная сила, расчетная схема представлена на рис 7 Удлинение оболочки I/Я = 3 и ее относительная тол-

10 м,

08 04 0 -04 -08 -12 -16

-2 0

Рис 8

Рис 7

щина /?//* = 50 Шпангоут квадратного сечения ЗОкхЗО/г моделируется упругой кольцевой линией, совпадающей со средней поверхностью оболочки, и наделенной всеми жесткостными характеристиками В сечении = — формировались

" 5л

/

начальные условия Т(——), соответствующие заданным краевым Внутренние си-5л

ловые факторы в сечениях оболочки, характеризующие концентрацию напряже-/

определялись решением начальной задачи мультиплика-

ции, на участке

0,

5Я

тивным методом с помощью процедур (15) При этом принималось а) шпангоут наделен всеми жесткостными характеристиками, б) отсутствует жесткость шпангоута на изгиб из его плоскости, в) отсутствует жесткость при закручивании шпангоута, г) шпангоут обладает жесткостью только в своей плоскости

На рис 8 показано как изменяется безразмерный продольный изгибающий момент М - м — в оболочки в зависимости от принятых допущений В качест-

ве математической модели деформирования оболочки принималась общая мо-ментная техническая теория В 3 Власова

Результаты, полученные мультипликативным методом решения соответствующей начальной задачи, совпали с результатами А Ю Виноградова, полученными решением краевой задачи на основе разрешающего дифференциального уравнения, содержащего только четные производные Задача решалась как тестовая

В шестой главе приводятся результаты исследования концентрации напряжений в транспортно пусковом стакане (ТПС) для летательных аппаратов, который находится в эксплуатации Расчетная схема ТПС на рис 9 Ее параметры

- относительное удлинение цилиндрической оболочки 1ц \ принимаем равным

1,6, а относительная толщина Яц\Иц имеет значение 25,92,

- относительная толщина сферического днища - 86

Цилиндрическая оболочка выполнена из слоистого ортотропного композиционного материала Механические характеристики получены экспериментально

для пакета материала Вдоль образующей цилиндра Е^ =2,744 104МПа,

= 0,11 По окружной координате Е^ =3,332 104 МПа , /л^ =0,14, а

С = 0,392 103 МПа Экспериментальная погрешность, невыполнения равенства = ^2^12 составила 4,7% Сферическая оболочка выполнена из титана,

£ = 1,078 105 МПа, /г = 0,3, а в = 4,15 104 МПа

Положительные направления кинематических и силовых параметров в оболочках ТПС показаны на рис 10 На рис 9 и рис 10 приняты обозначения 1Ц,

Яц,кц - длина, радиус и толщина цилиндрической оболочки, и /г^- радиус и толщина сферической оболочки, - радиус абсолютно жесткого диска в полюсе

днища ТПС, - расстояние от оси ТПС до центра площадки внешнего локального воздействия на днище, ат — радиус круглой площадки локального воздействия, Р - сила, направленная вдоль оси ТПС, М - момент, действующий в мери-дианальной плоскости ТПС

Рис 9

Рис 10

В расчетах принимались следующие безразмерные параметры ТПС

ф- = 1,6, ^- = 25,92, -т^-= 86, §1=0,46, А = 0,765, За = 0,167 ^ ^ Кф Кч Кч Кд

Краевые условия Левый край - абсолютно жесткий диск ТПС, следовательно, их = 0, у = 0, <9 = 0 Правый край - заделка ТПС, следовательно,

их=0, щ = 0, у = 0, $ = 0

Расчеты выполнялись при локальном воздействие на днище ТПС одновременно сил Р и моментов М, а также только сил Р и только моментов М по площадкам, очерченным линиями главных кривизн и круглым площадкам, при внутреннем давлении в ТПС, расчетная схема на рис 11, и при запуске из ТПС ле-

тательного аппарата, расчетная схема на рис 12 Исследовалась концентрация напряжений при локальном воздействии по площадкам различной величины, у места излома геометрии оболочки, т е у места сопряжения цилиндрической и сферической оболочек, у места скачка жесткости, т е у места сопряжения сферической оболочки и днища ТПС с абсолютно жестким диском в его полюсе Концентрация напряжений в ТПС исследовалась а) мультипликативным методом Виноградова решения краевых задач, б) приведением краевых задач к начальным с формированием начальных условий у мест концентрации напряжений, в) простейшими методами приведения краевых задач к начальным Результаты параметрических исследований концентрации напряжений различными алгоритмами сравнивались Они совпали

Очевидно, что алгоритмы приведения краевых задач к начальным и исследование концентрации напряжений мультипликативным методом просты в реализации, требуют меньшего количества оперативной памяти, а по затратам машинного времени эффективнее методов решения краевых задач на один - два порядка Результаты исследования концентрации напряжений получаются с априори контролируемой погрешностью

В качестве примера на рис 13 показано изменение безразмероного напряжения лат<у!Р в ТПС в сечениях

яаЪу / Р

50' 50' 5050 5-к б /

5 Л, 0 \ 5 \ 0 \ 5 \ 0 V 5 ' 0' 1/ з/Яд

Рис 13

Рис 14

Ксг/Р

у наружной поверхности вдоль его меридиана я/Яд, проходящего через

центр круглой площадки локального воздействия на его днище одновременно силы Р и момента М Расчетная схема на рис 9 Результаты, полученные для площадок, очерченных линиями главных кривизн, и равных круглым, практически не отличались На рис 13 а - результаты получены простейшими методами приведения краевых задач к начальным, когда рассматривалось только днище ТПС, расчетная схема на рис 14, материал — титан, б — результаты получены мультипликативным методом Виноградова и приведением краевой задачи к начальной с формированием начальных условий у места концентрации напряжений, т е в сечении сопряжения цилиндрической и сферической оболочек ТПС, ТПС - его цилиндрическая и сферическая оболочки - из титана, в - отличие от б только в том, что цилиндрическая оболочка ТПС выполнена из композиционного материала, как это есть в действительности На рис 13 вертикальными линиями обозначены размер площадки локального воздействия и сечение сопряжения цилиндри-ег/р

0,00 0,44 0,88 1,32 1,76 2,20 2,65 3,09

Рис 15 Рис 16

ческой и сферической оболочек ТПС На рис 15 показана зависимость безразмерного максимального напряжения Р^а / Р у внешней поверхности ТПС от относительной величины площадки ^ внешнего воздействия Здесь - величина площадки для радиуса ат1Яд =0 167 На рис 16 показана зависимость изме-

нения безразмерного напряжения а I р в сечениях ТПС у наружной поверхность ТПС у наружной поверхности вдоль образующей Расчетная схема - рис 11 Цилиндрическая часть ТПС из композиционного материала

На рис 17 показано изменение безразмерного напряжения а/Р в сечениях а/р

136 25 ООО -136 25 -272 50 -408 75 -545 00

0 00 0 62 123 1 85 2 47 3 09 Рис 17

ТПС у наружной поверхности вдоль образующей Расчетная схема - рис 12 Цилиндрическая часть ТПС из композиционного материала

В диссертации приведены многочисленные результаты изменения внутренних силовых факторов и кинематических параметров для ТПС, которые позволяют определять размеры мест концентрации напряжений, их изменение и максимальные значения Результат необходим для эффективного использования нано-технологии с целью увеличения прочности материала ТПС в местах концентрации напряжений, тес целью увеличения прочностного ресурса использования ТПС

О погрешностях. Погрешности методов анализа математических моделей физических явлений принято относить к погрешности решения дифференциальных уравнений При исследовании концентрации напряжений в оболочках тонкостенных конструкций математические модели в виде дифференциальных уравнений с частными производными приводились к обыкновенным методом Фурье разделения переменных, а искомые величины определялись сходящимися тригонометрическими рядами При этом погрешности оцениваются сравнением частичных сумм Если решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений определялись с использованием сходящихся матричных рядов Тейлора, то погрешность также оценивается сравнением частичных сумм Таким образом, результаты исследования концентрации напряжений получаются с априори заданной погрешностью

Вычислительные эксперименты и исследования концентрации напряжений в ТПС, выполненные в диссертации, показали, что затраты машинного времени на решение каждой задачи исследования не превышали 1-ой минуты При таких малых затратах машинного времени погрешности оценивались не в %, а сохранением без изменения значений трех цифр как при вычислении рядов Тейлора, так и при вычислении сумм тригонометрических рядов Для этого оказалось достаточным удерживать не более 50 членов тригонометрических рядов

Основные результаты и выводы.

В диссертации приводится выбор математических моделей механики деформирования оболочек Научно обоснованно выбираются методы Виноградова и Виоградова-Клюева для их модификации с целью адаптации к исследованию концентрации напряжений в тонкостенных конструкциях

1 Предложен матричный алгоритм приведения разрешающей системы дифференциальных уравнений механики деформирования оболочек в перемещениях, как наиболее часто встречающейся в литературе, к канонической форме с помощью символьной математики на ЭВМ Приводится пример его реализации

2 Построены простейшие алгоритмы исследования концентрации напряжений в оболочках мультипликативным методом Суть одного из них состоит в приведении краевых задач к начальным до счета и формировании соответствующих начальных условий на одном из краев Исследование концентрации напряжений осуществляется решением задачи Коши мультипликативным методом Суть другого состоит в том, что начальные условия, соответствующие краевым, формируются с помощью ЭВМ на одном из краев оболочки, а исследование концентрации напряжений осуществляется, как и в предыдущем алгоритме, решением задачи Коши Вычислительные эксперименты позволили установить критические параметры оболочек, до значений которых счет устойчивый без использования, например, ортогонализации и нормирования решений Параметрические исследования показали, что краевые условия и форма площадок локального воздействия на оболочки практически не влияли на величину и характер распределения напряжений в местах их концентрации

3 Предложен алгоритм приведения краевых задач к начальным у мест концентрации напряжений мультипликативным методом, построенный на основании доказанной теоремы Концентрация напряжений исследуется мультипликативным методом Алгоритм обеспечивает устойчивость счета для оболочек с произвольными параметрами и для тонкостенных конструкций

4 Предложен алгоритм приведения краевых задач к начальным у мест концентрации напряжений сопряжением участков оболочек Устойчивость счета обеспечивается выбором соответствующих величин участков оболочек, а концентрация напряжений в них исследуется решением задачи Коши мультипликативным методом

5 Построены простейшие алгоритмы исследования концентрации напряжений в оболочках и тонкостенных конструкциях путем сокращения числа сопрягаемых участков и приведения краевых задач к начальным до счета

6 Выполнено исследование концентрации напряжений в транспортно пусковых стаканах при локальном нагружении его сферического днища, при внутреннем давлении и нагружении во время старта летательного аппарата

Построенные в диссертации эффективные алгоритмы являются основами методов приведения краевых задач к соответствующим начальным и исследования концентрации напряжений в оболочках и тонкостенных конструкциях решением задачи Коши мультипликативным методом с априори заданной погрешностью В совокупности методы образуют эффективную методику исследования концентрации напряжений с контролируемой погрешностью

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1 Виноградов Ю И , Гусев Ю А , Золотухин В С Специальный численный метод исследования концентрации напряжений в оболочках с контролируемой погрешностью // Тез Докладов 3-й международной конференции "Авиация и космонавтика - 2004", Москва, 2004 -С 54

2 Виноградов Ю И , Гусев Ю А , Золотухин В С Приведение краевых задач теории оболочек к начальным // Научные материалы Первой международной научно-технической конференции "Аэрокосмические технологии", посвященной 90-летию со дня рождения академика В Н Челомея, Москва-Реутов, 2004 -С 92-93

3 Виноградов Ю И, Золотухин В С Приведение краевых задач к начальным с использованием краевых условий перенесенных сопряжением участков устойчивого счета к местам концентрации напряжений в оболочках // Тез Докладов Международной конференции "DYNAMICAL SYSTEM MODELLING AND STABILITY INVESTIGATION" (DSMSI-2005), Киев, 2005 -С 256

4 Виноградов Ю И , Золотухин В С Исследование напряжений в оболочках мультипликативным переносом краевых условий к месту их концентрации и приведением краевых задач к начальным // Тез Докладов Международной конференции "DINAMICAL SYSTAM MODELLING AND STABILITY INVESTIGATION" (DSMSI-2005), Киев, 2005 -С 255

5 Виноградов Ю И , Золотухин В С Высокопроизводительные методы исследования концентрации напряжений в оболочках на основе математических моделей механики их деформирования и приведения краевых задач к начальным // Тез Докладов XIV Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным системам, Алушта, 2005 -С

6 Виноградов Ю И , Золотухин В С Метод исследования концентрации напряжений в тонкостенных элементах аэрокосмических систем // Тез Докладов Международного симпозиума "Образование через науку", Москва МГТУ им НЭ Баумана, 2005 -С 516

7 Виноградов Ю И , Петров В И * Исследование локальной прочности тонкостенных конструкций методом Коши // Тез Докладов 4-й международной конференции "Авиация и космонавтика - 2005", Москва, 2005 -С 161

8 Виноградов Ю И , Гусев Ю А , Золотухин В С Методы исследования концентрации напряжений в оболочках // Вестник Московского авиационного института, 2005, т 12, №3 -С 61-65

9 Виноградов Ю И Петров В И Методы исследования концентрации напряжений в тонкостенных элементах аэрокосмических систем // Сб докладов Международного симпозиума "Образование через науку", Москва МГТУ им НЭ Баумана, 2006 -С 132-140

10 Петров В И Исследование концентрации напряжений в оболочках с априори контролируемой погрешностью // Материалы XII Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред", Москва, 2006 -С 256-258

11 Виноградов Ю И , Петров В И Высокопроизводительные методы исследования концентрации напряжений в оболочках на основе математических моделей механики их деформирования и приведения краевых задач к начальным // Известия РАН Математическое моделирование, 2006, т 18, №9 -С 121-128

12 Виноградов Ю И Гусев Ю А , Петров В И Мультипликативный метод Коши исследования концентрации напряжений в оболочках // Тез докладов 5-й международной конференции "Авиация и космонавтика - 2006", Москва, 2006 -С 110-111

13 Петров В И Концентрация напряжений в тонкостенных конструкциях // Материалы XIII Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред", Москва 2007 -С 211-212

14 Виноградов Ю И , Петров В И Простейшие мультипликативные алгоритмы исследования напряжений в оболочках // Тез докладов XV Международной конференции по вычислительной механики и современным прикладным системам, Алушта 2007 -С 122

15 Виноградов Ю И , Петров В И Параметрические исследования концентрации напряжений в оболочках с контролируемой погрешностью // Тез докладов 6-й международной конференции "Авиация и космонавтика - 2007", Москва, 2007, -С 36

16 Виноградов Ю И , Петров В И Исследование концентрации напряжений в транспортно пусковом стакане // Труды 3-й Международной конференции "Ракетно-космическая техника фундаментальные и прикладные проблемы", Москва, МГТУим НЭ Баумана, 2007

17 Виноградов Ю И , Гусев Ю А , Никитенко В В , Петров В И Локальная прочность тонкостенных конструкций // Известия РАН МТТ, Москва 2007, № 5 -С 158-169

* Ф И О Золотухин Виталий Сергеевич изменил на Петров Виталий Игоревич

Введение и краткий обзор литературы.

01. Физическая постановка задачи.

02. Математические модели.

03. Методы анализа.

Глава 1. Математические модели механики деформирования оболочек.

1.1 Математическая модель механики деформирования слоистых оболочек Я.М.Григоренко и А.Т.Василенко.

1.1.1 Матричная каноническая форма представления дифференциальных уравнений для слоистых оболочек.

1.1.2 Матричная каноническая форма представления дифференциальных уравнений для изотропных оболочек.~.

1.2 Математическая модель механики деформирования изотропных оболочек В.З.Власова.

1.2.1 Разрешающая система уравнений общей моментной технической теории В.З.Власова.

1.2.2 Матричная форма уравнений механики деформирования цилиндрической, канонических и сферических оболочек.

1.3 Приведение разрешающих систем дифференциальных уравнений в перемещениях к канонической форме.

Глава 2. Решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в матричной форме.

2.1 Матричный ряд Тейлора.

2.2 Мультипликативный интеграл Вольтерра и матричный бином Ньютона.

2.3 Частное решение.

Глава 3. Простейшие алгоритмы исследования концентрации напряжений в оболочках мультипликативным метом.

3.1 Приведение краевых задач к начальным до счета.

3.2 Приведение краевых задач к начальным с помощью ЭВМ.

3.3 Математическое моделирование локальной нагрузки.

3.4 Идеализация локальной нагрузки сосредоточенной.

3.5 Вычислительные эксперименты.

3.5.1 Определение относительной критической длины оболочки.

3.5.2 Удвоение относительной критической длины оболочки.

3.5.3 Параметрические исследования концентрации напряжений в цилиндрических и сферических оболочках.

Глава 4. Приведение краевых задач к начальным у мест концентрации напряжений мультипликативным методом.

4.1 Теорема.

4.2 Алгоритм формирования начальных условий.

Глава 5. Приведение краевых задач к начальным у мест концентрации напряжений сопряжением участков оболочек.

5.1 Теоретические основы алгоритма.Т.

5.2 Матричная форма уравнений механики деформирования шпангоута.

5.3 Алгоритм вариантных расчетов при исследовании концентрации напряжений в оболочках и тонкостенных конструкцях.

5.4 Простейшие алгоритмы приведения краевых задач к начальным.

5.5 Вычислительный эксперимент.

Глава 6. Исследование концентрации напряжений в транспортно-пусковых стаканах (ТПС) летательных аппаратов.

6.1 Локальное воздействие на днище ТПС по круглым площадкам.

-46.2 Локальное воздействие на днище ТПС по площадкам, очерченным линиями главных кривизн.

6.3 ТПС под внутренним давлением.

6.4 ТПС при запуске летательных аппаратов.

О погрешностях.

Механика деформирования тонкостенных конструкций, в основании которой находится теория оболочек, пластин, тонкостенных шпангоутов и стрингеров, сформировалась как наука в трудах многих ученых, а в нашей стране, главным образом, на трудах В.Э. Власова, 100 лет со дня рождения которого широко отмечалось научной общественностью в 2006 году.

Проблемы прочности тонкостенных конструкций в широком смысле (прочности по напряженно-деформированному состоянию, устойчивости и определению собственных частот колебаний) постоянно возникают при проектировании, например, летательных аппаратов. Критические нагрузки устойчивости и собственные частоты - интегральные характеристики тонкостенных конструкций. Определяются они в задачах на собственные значения.

Проблемы прочности тонкостенных конструкций по напряженно-деформированному состоянию имеют ярко выраженную специфику. Весовое совершенство конструкций может быть достигнуто при равнопрочности всех их элементов. Однако задача такого совершенствования не может, иметь г окончательного решения в виду бесконечного многообразия возможных конструкций одного, например, целевого назначения, условий изготовления, эксплуатации и бесконечного числа возможных, порой непредсказуемых, внешних воздействий.

0.1. Физическая постановка задачи.

Практика эксплуатации тонкостенных конструкций показывает, что разрушение начинается в местах концентрации напряжений в их элементах с образования и катастрофического развития трещин. Явление это не интегральное и носит ярко выраженный локальный характер для конструкции. Из опыта испытаний и эксплуатации тонкостенных конструкций места концентрации напряжений, как правило, известны. Они обусловлены скачками же-сткостей, изломами геометрии тонкостенных элементов и, главным образом, локальными внешними воздействиями и локальной передачей усилий в конструкциях. Избежать локальных воздействий и локальной передачи нагрузок на тонкостенные элементы не удается. В таких случаях мы сталкивается с проблемой концентрации напряжений и определение их становиться неизбежным. Задача расчета сводится к определению размеров мест концентрации напряжений, характера распределения напряжений и, что часто бывает самым главным, к определению максимальных значений напряжений в этих местах.

A.M. Доценко, В.А. Коргопольцев, М.Н. Коган, А.Б. Корнилов, A.A. Орлов, В.Н. Семенов, JI.JI. Теперин, М.В. Устинов экспериментально в ЦАГИ им. проф. Н.Е. Жуковского показали, что использование нанотехноло-гий в местах концентрации напряжений для предотвращения появления и развития трещин увеличивает прочностной ресурс тонкостенных конструкций до 3-х раз.

Концентрация напряжений как физическое явление требует математического моделирования и анализа математических моделей в виде дифференциальных уравнений. Если в качестве математических моделей использовать линейные дифференциальные уравнения механики деформирования оболочек, то актуальной проблемой остается построение эффективной методики исследования линейных дифференциальных уравнений механики деформирования оболочек в местах концентрации напряжений с априори задаваемой погрешностью.

0.2. Математические модели.

Ограничимся исследованием замкнутых в окружном направлении оболочек, которые находят широкое применение в качестве элементов тонкостенных конструкций, сооружений, машин и аппаратов. Это позволяет нам использовать метод Фурье разделения переменных в дифференциальных уравнениях с частными производными механики деформирования оболочек и свести математическую модель к линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям. Задача построения метода исследования такой математической модели упрощается.

Фундаментальные основы теории оболочек приводятся в работах В.З. Власова [84-87], С.П. Тимошенко [239], А.Л. Гольденвейзера [96, 97], В.В. Новожилова [180-182], А.Н.Лурье, И. Геккелера и получили развитие в работах многих других авторов, приведенных в списке литературы. Изучение напряженно-деформированного состояния оболочек при силовых и^ температурных воздействий получило развитие в работах И.А. Биргера [23], В.Л. Бидермана [19-22], В.В. Болотина [24], И.Н. Векуа [41], Я.М. Григорен-ко и А.Т. Василенко [107-112], А.Д. Коваленко, В.В. Мяченкова, [175, 176], К.Ф. Черных и многих других авторов, также приведенных в списке литературы.

В качестве математической1 модели механики деформирования оболочек нами принимаются дифференциальные уравнения, полученные-для анизотропных слоистых оболочек Я.М. Григоренко и А.Т. Василенко [108]. Они обладают в сравнении с многими другими известными тем свойством, что позволяют исследовать концентрацию напряжений в анизотропных, орто-тропных и изотропных оболочках классических форм. Важным является и то, что эти уравнения уточнены повторным выводом Ю.А. Гусевым [114]. Им обнаружено и исправлено более 10 существенных опечаток.

В диссертации используются также математические модели механики деформирования, полученные для изотропных оболочек в канонической форме В.Л. Бидерманом, а также полученные нами на ЭВМ с помощью символьной математики для изотропных оболочек в канонической форме на основе уравнений В.З. Власова. Сравнение математических моделей, например, механики деформирования изотропных цилиндрических оболочек, показывает, что они различны. Избегая громоздкости, ограничимся сравнением их характеристических уравнений

Я8 + а316 + а2Я4 + а{Х2 +а0= О разрешающих обыкновенных дифференциальных уравнений, полученных методом Фурье разделения переменных для цилиндрических оболочек

- В.З. Власовым а0 = п4{п2 -1)2, а{ = -4п6 + 8и4 - 2цп4 - 2п2, а2 = 6п2(п2 -!) + (! +4к4), а3=-4п2 + /л\

- Б.Г. Галеркиным а0 = п6(п2 -1), ах = -4 л6 + (5 - 3/ф4 - (1 - 2/л)п2, а2 = 6п4-(4-/и)п2+ 4к4, а3 = -4п2 +2//;

- А.Л. Гольденвейзером а0=п4(п2-1)2, а1=-4п2(п2 -I)2, а2=6п4-Ъп2+2п2/л2+4к4, а3=-4п2;

- В.М. Даревским а0 = п4(п2-1)2, а^-Лп2^2-!)2, а2=6п4 -1п2 +п21л2 +4к4, а3=-4п2;

- В. Флюгге

2п4 - (4 - /и)п2 + (2 - //)!, а2 = 6и2(и2-1) + 4А:4, аъ=-2{2п2-ц), где за )л —, // - коэффициент Пуассона, п - номер гармоники в методе Фурье разделения переменных. я0 = гс4(и2-1)2, -2п2

На различие математических моделей и, следовательно, коэффициентов в соответствующих характеристических уравнениях обратил внимание, вероятно впервые, в 1964 году Д.А. Рояк [220]. Однако анализ различных математических моделей с целью установления наиболее совершенной, адекватной реальному объекту, нам представляется непродуктивным. Более результативным и менее трудоемким представляется сравнительный количественный вычислительный эксперимент. Ожидается, что количественные параметрические исследования, обязательно с контролируемой погрешностью, дадут количественно мало отличающие результаты. Отличия, как показали наши некоторые решения для цилиндрической оболочки, не превышали 5%, что и предсказывал В.З. Власов [84]. Очевидно, что вычислительный эксперимент сталкивается с проблемой контроля погрешностей в результатах.

Требуется ответ и на другие вопросы, связанные с математическими моделями. Один из вопросов связан с правомерностью использования теории оболочек для исследования в них концентрации напряжений. Такой вопрос возникает при локальном воздействии на оболочки. Ответ дали В.И. Леонов и Х.С. Хазанов [153]. Они показали, что математические модели теории оболочек могут использоваться при исследовании в них напряжений, если радиус круглой площадки внешнего воздействия более половины толщины оболочки. Если площадка воздействия меньше, то концентрацию напряжений под ней и в малой её окрестности, не превышающей толщины оболочки, необходимо исследовать, решая трехмерную задачу.

Возникает вопрос о правомерности математических моделей при исследовании концентрации напряжений у мест крепления, скачков жесткости или изломов поверхностей оболочек. Если учесть, что определению напряжений у мест заделки края оболочки или сопряжения цилиндрической оболочки со сферическим днищем с использованием дифференциальных уравнений механики деформирования оболочек учат студентов [244], то становится ясно, что вопрос решен давно и положительно.

Справедливости ради, необходимо вспомнить принцип Сен-Венана. Согласно принципа, проблемным является погранслой оболочки, размер которого не превышает толщины оболочки, где напряженное состояние трехмерное. Однако, из теории и практики известно, что место концентрации напряжений, где есть опасность возникновения микротрещин и развития магистральных, часто превышает десятки толщин оболочки. Поэтому погранс-лоями справедливо пренебрегают.

Отметим, что математические модели известных авторов использовались в исследованиях без каких либо изменений.

Необходимо обратить внимание еще на то, что в диссертации используется понятие концентрации напряжений, а не их локализации или понятие краевого эффекта:

- концентрироваться - собираться, скапливаться в каком-нибудь месте;

- локализоваться - сосредотачиваться в каком-нибудь, определенном месте, не выходя за его пределы.

Очевидно, что эти понятия синонимичны. Однако понятие "концентрироваться" у механиков ассоциируется не только с ограничением места, но и с I определенными по величине напряжениями, значительно превышающими те, которые находятся за пределами этих мест. По этой причине мы используем понятие "концентрироваться", включая в него знание не только места, но и значений больших напряжений.

0.3. Методы анализа.

Для научно обоснованного выбора метода анализа выбранной математической модели механики деформирования оболочек выполняется сравнение тех из них, которые получили широкое распространение при решении прикладных задач или являются новейшими и наиболее эффективными для исследования напряженно-деформированного состояния оболочек и тонкостенных конструкций.

Метод Ритца-Тшюшенко. Предложен В. Ритцем и распространён С.П. Тимошенко на задачи строительной механики. Он позволяет получить приближенное решение в перемещениях на основе вариационного принципа Ла-гранжа. Идея метода, определяющая его приближенный характер, связана с тем, что искомые перемещения отыскиваются в классе заранее заданных функций, которые выбираются на основе опыта, интуитивно или на основе решений более простых задач. Для построения приближенного решения перемещения" представляются в виде рядов заданных функций, коэффициенты которых определяются при решении системы алгебраических уравнений, полученной по принципу Лагранжа. При этом необходимо помнить требования к задаваемым функциям. Они должны быть дифференцируемыми и удовлетворять геометрическим граничным условиям задач. Возникает и чисто математический вопрос, связанный с полнотой заданных функций и сходимостью рядов к точному решению. Метод Ритца излагается в работе [215]. Свое развитие он получил в работе [239], посвященной изучению устойчивости упругих систем. Прочностной расчет многослойных пластин с помощью метода Ритца выполнялся в работе В.В. Болотина, Ю.Н. Новичкова [24]. Здесь же определяются частоты собственных колебаний многослойных плит.

Метод Бубнова-Галеркина. Метод был построен И.Г. Бубновым и широко использовался при решении различных задач строительной механики Б. Г. Галеркиным. Метод основан на принципе возможных перемещений и сведении задач к решению систем алгебраических уравнений. Искомые перемещения, как и в методе Ритца-Тимошенко, ищутся в форме рядов в классе заданных функции. Заданные функции должны удовлетворять геометрическим граничным условиям и быть непрерывными. Если приравнять нулю возможную работу на каждом из заданных перемещений, то получаем метод, принятый называть обобщенным методом Бубнова-Галеркина. Если же при выборе заданных функций потребовать, чтобы они удовлетворяли и статическим граничным условиям, то полученный таким образом метод называется методом Бубнова-Галеркина. При этом коэффициенты рядов решений могут определяться в соответствии с методом Ритца-Тимошенко или в соответствии с методом Бубнова-Галеркина. Теоретические основы и определение области применения метода Бубнова-Галеркина изложены в монографиях [143, 211, 232, 248]. Метод получил широкое применение для расчета оболочек и тонкостенных конструкций на прочность, устойчивость и колебания. Этим методом решались краевые задачи в работах [10, 143]. Необходимо отметить, что в задачах определения напряженно-деформированного состояния при нестационарном нагружении методы Ритца-Тимошенко и Бубнова-Галеркина, базирующиеся на глобальных базисных функцях, обладают существенными' недостатками. Решения, полученные с помощью этих методов, сильно зависят от конкретного вида базисных функций, аппроксимирующих перемещения.

Метод Власова-Канторовича. Метод был сформулирован В.З. Власовым для построения приближенного расчета тонкостенных пространственных систем и в те же годы JI.B. Канторовичем применительно к расчету изгиба пластики. Метод позволяет свести решение задачи не к системе алгебраических уравнений, а к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Трудоемкость расчета при этом возрастает, а точность увеличивается. По методу неизвестные перемещения (как правило, для двух функций) задаются в виде суммы произведений двух функций. Одно из семейств функций зависит только от одной координаты, а второе, зависящее от другой координаты, определяется в результате счета. Полная энергия при этом превращается в функционал. Минимум функционала в соответствии с принципом Лагранжа реализовывается уравнениями Эйлера-Лагранжа, а естественные граничные условия определяют обобщенные статические граничные условия. Метод Власова-Канторовича часто называется еще методом приведения уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Метод позволяет свести трехмерную задачу к системе двумерных уравнений.

Методы Ритца-Тимошенко, Бубнова-Галеркина и Власова-Канторовича обладают общими существенными признаками, которые определяют их приближенный характер: искомые перемещения ищутся в классе заранее заданных (аппроксимирующих) функций в виде рядов, постоянные коэффициенты которых определяются при решении системы алгебраических уравнений. Методы континуальные и при решении краевых задач определяют решения на всей области деформирования пластин, оболочек или тонкостенных конструкций, что не соответствует задачам исследования' напряжений только в местах их концентрации.

Метод Папковича-Треффца. — метод решения задач в напряжениях. Компоненты напряжений представляются в виде рядов с неизвестными постоянными коэффициентами, которые определяются из системы алгебраических уравнений, составленной с использованием принципа наименьшей работы. ПО'методу функции аппроксимирующие напряжения выбираются виде частных интегралов уравнении равновесия, удовлетворяющих условиям1' на поверхности. Для этого достаточно ввести три функции напряжений. Коэффициенты рядов решений согласно принципу наименьшей работы определяются из условия минимума дополнительной потенциальной энергии, которое приводит к системе алгебраических уравнений.

Приближенное решение задачи в напряжениях может быть построено и методом приведения к обыкновенных дифференциальным уравнениям, аналогично методу Власова-Канторовича. На основании принципа наименьшей работы из условия минимума дополнительной энергии можно записать систему дифференциальных уравнений типа Эйлера-Лагранжа-Острограцкого. Если аппроксимирующие функции для напряжений будут выбираться зависящими от двух координат, то уравнения Эйлера-Лагранжа будут обыкновенными, а если функции будут одномерными, то соответствующие уравнения будут включать две независимые переменные.

Дифференциально-разностный метод (метод прямых или полос). Вероятно впервые метод сформулирован М.Г. Слободянским [234] и развивался С.Г. Михлиным [172, 173], И.С. Березиным, Н.П. Жидковым [17, 18], А.П. Филиным [245, 246] и др [110]. По методу по одной из независимых переменных в двумерных задачах и по двум независимым переменным в трехмерных задачах производные заменяются разностными выражениями. Такая процедура обеспечивает замену краевой задачи для дифференциальных уравнений в частных производных краевой задачей для обыкновенных дифференциальных уравнений. Обыкновенные дифференциальные уравнения интегрируются пошаговыми методами [6], чаще всего методом- Рунге-Кутта четвертого порядка. Краевые условия по направлениям аппроксимации производных конечными разностями реализуются с использованием разностных аппроксимаций производных в краевых условиях. По направлению .численного интегрирования используются алгоритмы переноса краевых условий методом Коши, например, в произвольную точку краевого интервала встречной прогонкой. При этом преодолевается проблема устойчивости счета, например ортонормированием [94].

Дифференциально-разностный метод Виноградова. Впервые идея метода изложена в работе [66] и развивалась в работах [56]. Идея метода сводит дифференциальные уравнения в частных производных к обыкновенным, а далее устойчивость счета по независимой переменной в обыкновенных дифференциальных уравнениях достигается делением заданного интервала на участки устойчивого счета, определением решений на каждом из участков по формулам, сопряжением участков устойчивого счета и сведением решения краевой задачи к решению системы алгебраических уравнений. На систему алгебраических уравнений накладываются граничные условия. Решение алгебраических уравнений приводит к определению искомых величин, характеризующих напряженно-деформированное состояние тонкостенных конструкций.

Вариационно-разностный метод. Авторов установить не удалось. Метод представляет собой сочетание вариационного и конечно-разностного методов и применяется для решения как одномерных, так и двумерных задач. По методу производные искомой функции, входящие в подынтегральное выражение функционала полной энергии, записываются^ в форме конечных разностей, а соответствующий интеграл заменяется суммой. Далее на основании соответствующего вариационного принципа определяются значения искомой функции в узлах сетки, соответствующие экстремуму дискретного аналога функционала. Алгебраические уравнения, из которых определяются эти значения, получаются из минимума дискретного аналога функционала полной энергии по значениям искомых функций в узлах сетки. Так как дискретный аналог функционала полной энергии зависит квадратично от значения искомой функции в узлах сетки, то условия минимума обеспечивают линейность алгебраических уравнений.

Метод коллокаций. Автора метода установить не удалось. Метод отноI сится к численным, так как его применение связано с сеточной аппроксимацией упругого тела. Решение задач этим методом дает результат в виде некоторых функций, удовлетворяющих заданным уравнениям в узловых сетках (точках коллокации) и граничным условиям. Таким образом метод коллока-ции является методом приближенного решения дифференциальных уравнений и заключается в сведении этого решения к решению систем алгебраических уравнений.

Метод "прогонки " Гелъфанда - Локуциевского. Впервые изложен в виде дополнения к книге [95]. Метод относится к методам переноса краевых условий, в основе которых лежат численные пошаговые методы интегрирования линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. И. Бабушка, Э. Витасек, М. Прагер [6] отмечают, что при интегрировании жестких дифференциальных уравнений, к которым относятся и уравнения механики деформирования тонкостенных конструкций, возникают вычислительные трудности, связанные с неустойчивостью счета. Метод не всегда обеспечивает устойчивость счета. Особенно это проявляется при решении задач устойчивости и колебаний оболочек [21]. Метод Гельфанда-Локуциевского развивается в работах [47]: строятся его модификации, а также дискретный аналог, по существу алгоритма - новый метод.

Метод Абрамова переноса граничных условий. Метод предложен A.A. Абрамовым [2]. Всегда обеспечивает устойчивость счета при решении краевых задач механики деформирования.оболочек. Недостатком метода является увеличение в два раза порядка разрешающей системы обыкновенных дифференциальных уравнений с появлением сложных математических функций в преобразованных правых частях уравнений и, следовательно, неоправданный рост времени счета и необходимой оперативной памяти ЭВМ. При этом также теряется простой и понятный физический, смысл входящих в разрешаюч i » щую систему уравнений неизвестных. В работе [49] показано, что> устойчивость счета обеспечивается пошаговым ортонормированием в процессе интегрирования дифференциальных уравнений. -Метод Годунова. Метод численного решения краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые предложен С.К. Годуновым [94]. Он получил развитие применительно к решению задач прочности, устойчивости и колебаний пластин, оболочек и тонкостенных конструкций в работах В.Л. Бидермана [19-22], В.В Болотина, Ю.Н. Но-вичкова [24], Я.М. Григоренко, А.Т. Василенко, Е.И. Беспаловой [111], В.И. Мяченкова, И.В. Григорьева, В.П. Мальцева [175, 176] и др. На основании метода созданы и опубликованы пакеты прикладных программ для решения краевых задач теории оболочек и механики деформирования тонкостенных конструкций. Устойчивость счета при решении краевых задач обеспечивается предложенной С.К. Годуновым процедурой ортогонализации и нормиро ; • . .■ -17- ^ . : вания решений в. процессе интегрирования систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта.

Метод Виноградова-Клюева. Метод численного и аналитического решения краевых задач механики деформирования тонкостенных конструкций сопряжением участков устойчивого счета. Метод предложен Ю.И. Виноградовым и развит Ю.И. Клюевым для решения задач устойчивости и колебаний оболочек и тонкостенных конструкций [57-65, 67, 68]. Метод можно считать численным, если решения» линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами определяются» с помощью матричного бинома Ньютона, а с переменными коэффициентами - с помощью^ мультипликативного интеграла Вольтерра, аналога- интеграла как суммы* бесконечно малых [92]. Метод можно считать аналитическим., если решение:линейных: обыкновенных дифференциальных уравнению определяется? с помощью матричного рядя: Тейлора. Сопряжение участков устойчивого счета' приводит к системе алгебраических уравнений. При решении'системы алгебраических уравнений4учитываютсязаданные краевые условия и нагрузка на оболочку или; тонкостенную конструкцию. Таким образом; вариантные крае. ? Л.вые задачи при различных внешних воздействиях решаются при повторном решении алгебраических уравнений; в результате которых определяются искомые величины задач с априори назначенной погрешностью.

Мультипликативный метод Виноградова. Метод предложен Ю.И. Виноградовым [51]. Эффективные алгоритмы строились в работах А.Ю. Виноградова [45, 54, 55] и работах Ю.А. Гусева [114]. Идея метода состоит в переносе краевых условий; в произвольную точку краевого интервала с помощью решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений механики деформирования оболочек, записанных в канонической форме. Решения дифференциальных уравнений определяются, с помощью матричного бинома Ньютона, определения мультипликативного интеграла Вольтерра или матричного ряда Тейлора. При этом определяются значения функций Коши

Крылова, которые удовлетворяют произвольным начальным условиям задач и обладают мультипликативными свойствами. Устойчивость счета достигается построчным ортонормиронием краевых условий при значениях аргумента превышающих критические. В отличие от ортонормирования предложенного С.К. Годуновым ортонормирование по Ю.И. Виноградову не касается искомых величин задачи, что принципиально упрощает алгоритм метода и повышает его эффективность, сокращая затраты машинного времени и оперативной памяти ЭВМ и позволяют получать результаты с априори назначенной погрешностью.

Метод Виноградова А.Ю. и Виноградова Ю.И. Метод разработан Ю.И. Виноградовым и А.Ю. Виноградовым для решения краевых задач на основе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих только чётные производные [42]. Многие прикладные задачи изгиба балок,"изотропных, ортотропных, трехслойных пластин, круговых цилиндрических оболочек с уравнениями механики их деформирования Власова, Гольденвейзера, Новожилова, Флюгге, Бейларда, Даревского, Тимошенко-Лява, Доннелла-Власова-Лурье и также варианты полубезмоментных теорий, задачи механики деформирования оболочек на основе моментной технической теории; общей моментной теории, теории пологих оболочек математически моделируются после разделения переменных линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями, содержащими только четные производные [21, 177, 184]. Метод решения таких задач построен на идее сведения разрешающего дифференциального уравнения, содержащего только четные производные, к системе дифференциальных уравнений, каждое из которых второго порядка, и записи её в матричной форме. Решение такого матричного однородного уравнения определяется по известным [92] формулам через матричные синусы и косинусы, если дифференциальное уравнение имеет постоянные коэффициенты. Если коэффициенты переменные, то они осредняются на участках и строятся соответствующие алгоритмы решения краевых задач. Построено несколько модификаций метода, предлагаются рекуррентные формулы для сокращения затрат машинного времени на построение общего решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Методы Гельфанда-Локуциевского, Абрамова, Годунова, Виноградова-Клюева, Виноградова и Виноградовых предусматривают сведение дифференциальных уравнений с частными производными механики деформирования замкнутых в окружном направлении оболочек методом Фурье разделения переменных к обыкновенным, записи их в виде системы уравнений, каждое из которых первого или второго порядка и представлении системы в матричной форме. Методы строились и развивались, преодолевая проблему устойчивости счета и добиваясь повышения их эффективности (простоты реализации, сокращения затрат машинного времени и необходимого объема, оперативной памяти ЭВМ и, что особенно важно, контроля за погрешностями счета).

Методы Гельфанда-Локуциевского, Абрамова, Годунова при решении задач механики деформирования оболочек и тонкостенных конструкций использовали, главным образом, метод Рунге-Кутта четвертого порядка численного интегрирования линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. По этой причине их относят к численным методам, погрешности которых определяется погрешностями численного интегрирования и контролю не поддаются.

Сравнивая метод Гельфанда-Локуциевского с методами Абрамова и: Годунова, замечаем, что в методе Гельфанда-Локуциевского, как и в методе Абрамова, переносится известное матричное уравнение условий на краю, в противоположность тому, что в методе Годунова переносится уравнения условий, которые известны и не известны на краю. В методах переносятся разные уравнения краевых условий. Следовательно, по смыслу переноса краевых условий метод Гельфанда-Локуциевского ближе к методу Абрамова, чем к методу Годунова.

Однако метод Гельфанда-Локуциевского и Годунова объединяет тот факт, что для начала вычислений они требуют начальные значения прого-ночной матрицы и вектора. Для метода Абрамова этого не требуется.

Устойчивость счета в методе Годунова достигается ортогонализацией и нормированием векторов фундаментальной системы решений дифференциальных уравнений после их определения численным интегрированием в конце каждого участка критической длины. Такая дискретная ортогонализация и нормирование увеличивают затраты машинного времени и требования к оперативной памяти ЭВМ, естественно, усложняя составление программ решения краевых задач.

В работе [49] показано, что в методе Абрамова элементы прогоночной матрицы гарантированы от неограниченного роста. Показано, что при изменении аргумента векторы-строки прогоночной матрицы поворачиваются ^в пространстве, не изменяя своей длины и взаимонаправленности. Таким образом, в методе Абрамова при численном интегрировании происходит фактически пошаговое ортонормирование.

Анализ численных методов Гельфанда-Локуциевского, Абрамова и Годунова показывает, что их алгоритмы решения краевых задач разработаны для определения напряженно-деформированного состояния во всей области тонкостенных конструкций, что не соответствует требованиям задач определения напряжений в местах их концентрации.

Методы Виноградова-Клюева, Виноградова и Виноградовых принципиально отличаются от других тем, что для дифференциальных уравнений решения определяются по формулам без учета краевых условий. Общим существенным признаком этих формул является то, что с их помощью определяются значения функций Коши-Крылова, удовлетворяющих произвольным начальным условиям задач. Если в основе алгоритмов используется матричный бином Ньютона и интеграл Вольтерра для определения решений обыкновенных дифференциальных уравнений, то методы будут относиться к численным, так как при этом нет возможностей определения погрешностей методов. Если в основе тех же алгоритмов используются матричный ряд Тейлора или матричные сходящиеся ряды для определения матричных синусов и косинусов для определения решений обыкновенных дифференциальных уравнений, то методы будут относиться к аналитическим, т.к. при этом решения дифференциальных уравнений определяются с помощью сходящихся рядов с контролируемой погрешностью. Эффективностьf этих методов в сравнении с методами Гельфанда-Локуциевского, Абрамова и Годунова по программной реализации очевидно проще, затраты, машинного времени сокращаются при решении одних и тех же задач на один-два порядка, значительно сокращаются требованиям оперативной памяти ЭВМ и, что принципиально важно, эти методы позволяют решать задачи механики деформирования тонкостенных конструкций с априори заданной погрешностью. Однако их алгоритмы построены для определения^ напряженно-деформированного состояния во всей области краевого интервала.

Метод граничных элементов (МГЭ). Широко используется при решении задач теории упругости. Основой МГЭ является интегральное представление решения системы дифференциальных уравнений, описывающих поведение исследуемого объекта. Впервые такое представление в теории потенциала было получено А.Г.Грином [103]. Применительно к задачам теории упругости В.Д .Купрадзе [150] ввел некоторые интегральные уравнения на основе упругих потенциалов простого и двойного слоя, доказал существование решений этих уравнений и предложил приближенный метод решения статических задач для однородных упругих тел. Развитие метод получил в работах В.З. Партона, П.И. Перлина на основе упругих потенциалов. Прикладное значение решения задач статики теории упругости определено в работах Cruse Т.А., Rizzo F.Y. [147, 148]. В монографях [16, 28, 144, 168] суммируется опыт применения МГЭ в самых различных разделах механики. Достоинством МГЭ являются понижение размерности решаемой задачи за счет поиска неизвестных только на границе исследуемой области и возможность определения параметров напряженно-деформированного состояния во внутренних точках тела, а не в местах их концентрации.

Метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ). Универсальные численные методы. Используются при создании программных комплексов для решения многомерных задач параметрического анализа. В основе МКР - разностная аппроксимация производных с образованием разностных сеток при решении краевых и начально-краевых заач. В основе МКЭ, широко распространенном при исследовании механики деформирования оболочек и тонкостенных конструкций, - аппроксимация искомых величин с помощью конечного числа выбранных локализованных функций, чаще всего полиномов. Теоретическое обоснование МКР дано в работах С.К. Годунова, B.C. Рябенького [95], JI.B. Канторовича, В.Г. Крылова [135], А.А Самарского [226-231]. Этим методом решались краевые задачи статики, устойчивости и колебания пластин, оболочек и тонкостенных конструкций в работах Э.И. Григолюка, В.М. Толкачева [106], В.А. Иванова, Б.В. Гулина

132], В.П. Баженова и др. [7-9, 32, 36; 216, 217]. Фундаментальные результа ты теории МКЭ получены в работах О.Зенкевича [127-129], С.Г.Михлйна [172, 173], К.Ректориса [213], J.T. Oden [188, 189], Стренг, Фикс Дж. [235]. Этим методом решались задачи механики деформирования оболочек и тонкостенных конструкций в работах А.И. Голованова [98-100], М.С. Корниши-на [141], Бате К., Вилсон Е. [11], Постнов В.А.[202-206], Р.Б. Рикардса [214] и др. [195, 219, 237]. Список таких работ велик и продолжает быстро увеличиваться. Развитие универсальных МКР и МКЭ идет по пути решения многомерных задач в автоматическом режиме путем распараллеливания алгоритма и организации вычислительного процесса в диалоговом режиме с использованием многопроцессорной техники, с обработкой многомерных массивов данных и визуализацией результатов счета. Программные комплексы совершенствуются в направлении расширения их возможностей и упрощения использования. В то же время мало внимания уделяется проблеме контроля за погрешностями счета [25, 26, 34, 102, 118, 121, 130; 131, 139, 159, 190, 221, 222, 253]. Универсальные МКР и МКЭ, как и выше описанные, которые можно отнести к специализированным, реализованные в программных комплексах, аппроксимируют оболочки или тонкостенные конструкции во всех их элементах, что не требуется при исследовании напряжений в местах их концентрации. Они особенно не надежны при повышенных требованиях к точности исследования концентрации напряжений* и определении их максимальных значений.

Конечно*разностные методы построения приближенных решений дифференциальных уравнений используют конечно-разностные аппроксимации производных. В основе других, например, метода конечных элементов, метода Ритца-Тимошенко, метода Бубнова-Галеркина и метода . Власова>

Канторовича лежат попытки аппроксимировать решения дифференциальных уравнений конечными линейными комбинациями1 заданных функций: поли номов, тригонометрических функций и т.п.

В каждом из этих случаев центральной вычислительной проблемой является решении системы линейных алгебраических уравнений. Хотя для них системы строятся по узловым точкам заданного интервала изменения аргумента, природа решений этих систем совершенно различная. В конечно-разностных методах это - приближения к значениям решения дифференциальных уравнений в точках сетки. В других же — это коэффициент представления приближенного решения.

В смешанных численных методах, например, дифференциально-разностных методах Слободянского и Виноградова, численно-аналитических, таких как методы граничных элементов, и других используется различная природа известных подходов с целью объединения их свойств для повышения эффективности решения задач механики деформирования оболочек и тонкостенных конструкций.

Группа методов Гельфанда-Локуциевского, Абрамова, Годунова, Виноградова и Виноградовых, алгоритмы решения краевых задач которых связаны с переносом краевых условий в произвольную точку краевого интервала, по своей сути основаны на замене краевой задачи для одномерного процесса решением ряда задач с начальными условиями, то есть, решением ряда задач методом Коши. Идея решения, краевых задач методом начальных параметров весьма простая: известные краевые условия'или условия, дополненные в символическом виде неизвестными начальными параметрами, переносятся в произвольную точку краевого интервала. Совокупность начальных условий позволяет определить напряженно-деформированное состояние в произвольной- точке. Метод начальных параметров используется в строительной механике тонкостенных конструкций в виде различных модификаций, предложенных в разное время Коши, Клебшем, П.Ф. Папковичем [192], Ш.Е.Микеладзе [169], В.З. Власовым [84-87] и* другими. Метод начальных параметров при замене краевой задачи совокупностью задач Коши не обеспечивает устойчивости счета для1 жестких дифференциальных уравнений механики деформирования тонкостенных элементов конструкции. При этом добиться удовлетворительной точности численных расчетов становится весьма затруднительным.

Выполненный обзор численных и аналитических методов решения краевых задач по их научной основе и сравнительный анализ по эффективности позволяет выбрать мультипликативный метод Виноградова и метод Виноградова-Клюева для решения краевых задач с целью их развития для исследования концентрации напряжений в оболочках и тонкостенных конструкциях.

Таким образом, из краткого обзора литературы по теме исследования следует, что математические модели механики деформирования оболочек для исследования в них концентрации напряжений разработаны.

Актуальной:проблемой является построение специализированных методов исследования; напряжений в, местах их концентрации с априори контролируемой погрешностью;

Целью работы*является приведение краевых задач к начальным и построение эффективной методики исследования концентрации напряжений' в; элементах тонкостенных конструкций: мультипликативным методом с: контролируемой погрешностью.

Научную новизну, работы.составляют:

- простейшие алгоритмы приведения; краевых задач1 к начальным и исследование: концентрации напряжений в оболочках мультипликативным- методом? с априори контролируемой погрешностью,

- перенос краевых условий: к местам концентрации напряжений мультипликативным методом, (доказана,теорема); формирование: соответствующих начальных условий и исследование концентрации напряжений в элементах тонкостенных, конструкций- мультипликативным? методом* с: априори? контролируемой погрешностью,

- перенос краевых условий к.местам< концентрации напряжений сопряжением: участков устойчивого счета и исследование концентрации напряжений в элементах тонкостенных конструкций: мультипликативным, методом с априори контролируемойшогрешностью,

- простейшие алгоритмы приведения краевых задач к начальным: для оболочек из одного: или двух участков устойчивого счета и исследование концентрации напряжений мультипликативным методом с априори контролируемой погрешностью.

- исследование концентрации напряжений в тонкостенных элементах транс-портно пусковых стаканов летательных аппаратов:

Достоверность основных научных результатов обеспечивается ■ строгостью математических выкладок, доказательством теоремы о возможности приведения краевых задач к начальным у места концентрации напряжений, решением тестовых задач и сравнительными вычислительными экспериментами.

Прикладная ценность работы состоит в:

- построенных программно реализованных алгоритмах приведения краевых задач к начальным у места концентрации напряжений в оболочках и тонкостенных элементах конструкций,

- построенном для использования на практике мультипликативном методе исследования напряжений в местах их концентрации,

- построенных и программно реализованных простейших алгоритмах приведения краевых задач к начальным и исследовании концентрации напряжений в тонкостенных элементах конструкций мультипликативным методом,

- возможности априори определять погрешности исследования концентрации напряжений,

- программно реализованных алгоритмах исследования концентрации- напряжений в транспортно пусковых стаканах для летательных аппаратов,

- в результатах параметрического исследования концентрации напряжений в транспортно пусковых стаканах.

Основные положения, выносимые на защиту.

- Простейшие методы исследования концентрации напряжений в оболочках мультипликативным методом.

- Приведение краевых задач к начальным у места концентрации напряжений мультипликативным методом.

- Приведение краевых задач к начальным у мест концентрации напряжений сопряжением участков устойчивого счета.

- Методика исследования концентрации напряжений в тонкостенных конструкциях на примере воздействия на транспортно пусковые стаканы локальных сил и моментов, внутреннего давления и давления при запуске летательных аппаратов.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на 3-й, 4-й, 5-й и 6-й Международных конференциях "Авиация и космонавтика - 2004, 2005, 2006 и 2007" (Москва, 2004,

2005, 2006, 2007 г.г.); Первой международной научно-технической конфе ренции "Аэрокосмические технологии" (Москва - Реутов, 2004 г.); Международной конференции "DYNAMICAL SYSTEM MODELLING AND STABILITY INVESTIGATION" (Киев, 2005 г.); XIV и XV Международных конференциях по вычислительной механике и современным прикладным системам (Алушта, 2005 и 2007 г.г.); Международном симпозиуме "Образование через науку" (Москва 2005 г.); XII и XIII Международных симпозиумах "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" (Москва, 2006 и 2007 г.г.); 3-й Международной конференции "Ракетно-космическая техника: фундаментальные и прикладные проблемы" (Москва, 2007), кафедре "Аэрокосмические системы" МГТУ им. Н.Э. Баумана.

По теме диссертации опубликовано 17 работ.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения и краткого обзора литературы, 6-ти глав, заключения, списка литературы, включающего 263 наименования. Объем работы составляет 167 страниц машинописного текста и 38 страниц рисунков.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В диссертации обсуждаются математические модели механики деформирования оболочек. Дается обоснованный выбор математической модели Я.М. Григоренко и А.Т. Василенко механики деформирования слоистых анизотропных оболочек, записанных в канонической форме, и технической моментной теории В.З. Власова механики деформирования изотропных оболочек как простейшей.

Предлагается матричный алгоритм приведения разрешающей системы дифференциальных уравнений в перемещениях как наиболее часто встречающейся в литературе к канонической форме с помощью символьной математики на ЭВМ. Приводится пример реализации алгоритма.

Исследования ограничиваются определением концентрации напряжений в замкнутых в окружном направлении оболочках и в аналогичных элементах тонкостенных конструкций.

2. Обсуждаются математические основы универсальных численных методов конечных разностей и конечных элементов, методов Ритца-Тимошенко, Бубнова-Галеркина, Власова-Канторовича, Папковича-Треффца, дифференциально-разностных методов Слободянского и Виноградова, вариационно-разностного метода, метода прогонки Гельфанда-Локуциевского, Абрамова и Годунова, метода Виноградова-Клюева, мультипликативного метода Виноградова, метода Виноградова А.Ю. — Виноградова Ю.И. и метода граничных элементов.

В сравнении обсуждаются достоинства и недостатки методов. Указывается на их общий недостаток, предусматривающий исследование напряженно-деформированного состояния оболочек и тонкостенных конструкций во всей области объектов при решении краевых задач.

Делается научно обоснованный выбор мультипликативного метода Виноградова и метода Виноградова-Клюева решения краевых задач механики деформирования оболочек и тонкостенных конструкций для их модификации с целью адаптации к задачам исследования концентрации напряжений в тонкостенных элементах конструкций, которые позволяют получать результаты с априори контролируемой погрешностью.

Уравнения в частных производных механики деформирования оболочек методом Фурье разделения переменных приводятся к обыкновенным, для которых решения определяются по формулам.

3. Решения дифференциальных уравнений, записанных в виде систем, каждое уравнения которых первого порядка, и представленных в матричной форме, определяются с помощью матричного ряда Тейлора, полученного Ю.И. Виноградовым. Определяются они с контролируемой погрешностью сравнением частичных сумм. При этом строятся аналитические алгоритмы исследования концентрации напряжений.

Решения дифференциальных уравнений в матричной форме могут определятся и с помощью мультипликативного интеграла Вольтерра или матричного бинома Ньютона. При этом- алгоритмы исследования концентрации напряжений являются численными.

Решения дифференциальных уравнений находятся в виде функций Ко-ши-Крылова или их значений, обладающих замечательным свойством удовлетворять произвольным начальным условиям.

4. Построены простейшие в реализации алгоритмы исследования концентрации напряжений в оболочках.

Суть одного из них состоит в том, что с помощью решения дифференциальных уравнений способного удовлетворять произвольным начальным условиям, устанавливается связь между крайними сечениями оболочки в матричной форме. Полученное матричное уравнение восьмого порядка делится на два матричных алгебраических уравнения. Учитываются заданные краевые условия. Матричные алгебраические уравнения решаются относительно неизвестных параметров состояния оболочки на одном из краев и формируются на этом краю начальные условия, соответствующие заданным краевым. Концентрация напряжений затем исследуется мультипликативным методом.

Суть другого простейшего алгоритма исследования концентрации напряжений состоит в том, что в матричной форме записываются условия на краях оболочки. С помощью решения дифференциальных уравнений механики деформирования оболочек условия на одном из краев переносятся на другой. Формируются соответствующие начальные условия для исследования концентрации напряжений мультипликативным методом.

Важной с вычислительной точки зрения особенностью простейших методов является то, что для их реализации не используются математические процедуры, например ортогонализации и нормирования, для обеспечения устойчивости счета. При этом установлены критические значения параметров оболочек, до которых счет устойчивый.

Для широкого диапазона параметров оболочек и локального воздействия исследованиями установлено, что напряжения концентрируются под площадками внешнего воздействия на оболочки и их малых окрестностях. При этом краевые условия для параметров оболочек, приближающихся к критическим, практически не влияли на величину концентрации напряжений. Такой результат придает практическую значимость простейшим методам исследования концентрации напряжений в оболочках.

5. Построен алгоритм исследования концентрации напряжений в оболочках и тонкостенных конструкциях со значениями параметров, превышающими критические, когда для простейших алгоритмов устойчивость счета обеспечить не удается. Доказана теорема о возможности переноса краевых условий к местам концентрации напряжений с помощью функций Коши

Крылова - решения матричного дифференциального уравнения механики деформирования оболочек. Краевые условия переносятся к местам концентрации напряжений мультипликативным методом Виноградова через участх ки, например, для цилиндрической оболочки — «1. При этом устойчивость Л счета обеспечивается построчным ортонормированием матриц без искажения значений искомых величин и, следовательно, без необходимости запоминать ортонормированные матрицы. С помощью перенесенных краевых условий у мест концентрации напряжений формируются соответствующие начальные условия. Напряжения исследуются мультипликативным методом.

6. Предложен алгоритм исследования концентрации напряжений в тонкостенных элементах конструкций с произвольными параметрами, устойчивость счета которого при переносе краевых условий к местам концентрации напряжений и формировании соответствующих начальных обеспечивается сопряжением участков устойчивого счета. Излагаются теоретические основы алгоритма. Приводятся уравнения механики деформирования шпангоутов, обладающих всеми жесткостными характеристиками. Предлагается математическая модель подкрепления оболочек шпангоутами. Алгоритмы вариантных исследований концентрации напряжений в оболочках и тонкостенных элементах конструкций реализуются на этапе решения системы алгебраических уравнений и использовании мультипликативного метода.

Предлагаются простейшие алгоритмы приведения краевых задач к начальным, когда используется один или два участка устойчивого счета для исследования концентрации напряжений мультипликативным методом.

Тестовый вычислительный эксперимент подтвердил эффективность алгоритма, основанного на сопряжении участков устойчивого счета. Расчетная схема эксперимента представляла собой цилиндрическую консольно закрепленную оболочку, на свободном краю усиленную шпангоутом, к которому приложена радиальная сосредоточенная сила. Параметрические исследования концентрации напряжений в оболочке у сопряжения её со шпангоутом мультипликативным методом привели к тем же результатам, которые получены методом решения дифференциальных уравнений механики деформирования оболочек, содержащих только четные производные, и приведены в литературе.

7. Приводятся результаты исследования концентрации напряжений в транспортно пусковых стаканах для летательных аппаратов. Транспортно пусковой стакан представляет собой цилиндрическую оболочку, сопряженную со сферическим днищем, в полюсе которого закреплен жесткий диск.

Методом Коши исследовалась концентрация напряжений в сферической оболочке - днище при локальном нагружении силой, направленной вдоль оси транспортно пускового стакана, и моментом, действующим в плоскости его осевого сечения. Площадки локального нагружения имели равные площади и ограничены окружностью и линиями главных кривизн.

Мультипликативным методом исследовалась концентрация напряжений у сопряжения цилиндрической и сферической оболочек при нагружении транспортно пускового стакана внутренним давлением.

Мультипликативным методом исследовалась концентрация напряжений в сферическом днище у сопряжения его с абсолютно жестким диском при запуске летательного аппарата.

Материал транспортно пускового стакана:

- титан;

- цилиндрическая оболочка - композиционный материал, сферическая оболочка - титан.

При исследовании концентрации напряжений использовались алгоритмы формирования начальных условий у мест концентрации напряжений и простейшие алгоритмы исследования концентрации напряжений в оболочках мультипликативным методом.

При вычислительных экспериментах затраты машинного времени не превышали 1 минуты. При таких малых затратах машинного времени его экономия лишалась смысла. На этом основании решения матричных дифференциальных уравнений с помощью матричного ряда Тейлора вычислялись до тех пор, пока при сравнении частичных сумм не изменялись три значащих цифры для каждого номера гармоники разложения искомых величин в тригонометрические ряды.

В тригонометрических рядах для искомых величин удерживалось 50 членов. При сравнении частичных сумм для искомых величин оставались неизменными три значащие цифры. Таким образом, контролировалась погрешность результатов при исследовании концентрации напряжений.

В итоге совокупность простейших методов исследования концентрации напряжений в оболочках мультипликативным методом, а также методов формирования начальных условий у места концентрации напряжений переносом краевых условий и сопряжением участков устойчивого счета для ис- * пользования мультипликативного метода при исследовании напряжений в тонкостенных элементах конструкций достигает цели работы, построения эффективной методики исследования концентрации напряжений в элементах тонкостенных конструкций мультипликативным методом с априори контролируемой погрешностью.

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П., Савченков В.И. Численные методы в теории упругости и теории оболочек. -Красноярск: Изд-во Красноярского университета, 1986. - 383 с.

2. Абрамов A.A. О переносе граничных условий для систем линейных дифференциальных уравнений (вариант метода прогонки) // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1961. -Т.1. -№3. С. 542-545.

3. Андреев JI.B., Зюзин В.А., Муляр Ю.М. Применение метода начальных параметров к расчету сложных оболочечных конструкций // Гидроаэромеханика и теория упругости. -Днепропетровск: Изд-во Днепропетровского университета, 1971. -С.17-23.

4. Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Исследования изгиба пластин сложной формы под действием температурного поля и нормального давления методом граничных элементов // Прикладные задачи напряженного состояния упругих тел, Саратов, 1987. -С.50-54.

5. Babuska I., Aziz A.K. Survey lectures on the mathematical foundation of the finite element method with application to partial differential equations // Edt. A.K.Aziz new York: Academic Press, 1972. -P.359.

6. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. -М.: Мир, 1969. -368 с.

7. Баженов В.Г., Чекмарев Д.Т. О конечно-разностном решении волновых уравнений теории оболочек типа Тимошенко // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Всесоюз. межвуз. сб. / Горьковский университет, Горький, 1981. -С.41-50.

8. Баженов В.Г., Шинкаренко А.П. Вариационно-разностный метод решения двумерных задач динамики упругопластических оболочек // Прикладные проблемы прочности и пластичности, Горький, ГГУ, 1976. -Вып.№. -С.14-21.

9. Баженов В.Г., Журавлев Е.А. Вариационно-разностный метод решения нелинейных осесимметричных задач динамики слоистых оболочек // Прикладные проблемы прочности и пластичности, 1979. -Вып.13. -С.36-45.

10. Бастатский Б.И. Модификация метода Бубнова-Галеркина в задачах теории пологих оболочек//Строительная механика и расчет сооружений. -М., 1985.-№5.-С. 4-8.

11. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. -М.: Стройиздат, 1982. -494 с.

12. Бахвалов Н.С. Численные методы. Анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Мир, 1984. -496 с.

13. Бахвалов Н.С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами // ДАН СССР, 1975. -Т.221. -№3. -С.516-519.

14. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.: Наука, 1987. -600 с.

15. Беллман Р. Введение в теорию матриц. -М.: Наука, 1976. -352 с.

16. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. -М.: Мир, 1984. -494 с.

17. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. -М.: Физматгиз, 1962.-Т.1.-464 с.

18. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. -М.: Физматгиз, 1962. -Т.2. -635 с.

19. Бидерман В Л. Применение метода прогонки для численного решения задач строительной механики // Изв. АН СССР Механика твердого тела. -М., 1967.-№5.-С. 62-66.

20. Бидерман В.Л. Некоторые вычислительные методы решения задач строительной механики, приводимых к обыкновенным дифференциальнымуравнениям. -В кн.: Расчеты на прочность. -М.: Машиностроение, 1976.-С. 8-36.

21. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций. -М.; Машиностроение, 1977. -488 с.

22. Бидерман В.Л. Прикладная теория механических колебаний. -М.: Высшая школа, 1972. -416 с.

23. Биргер И.А. Стержни, пластинки и оболочки. -М.: Наука, 1992. -392 с.

24. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. -М.: Машиностроение, 1980. -375 с.

25. Бреббия К., Теллес Ж., Броубел Л. Методы граничных элементов. > -М.: Мир, 1987. -524 с.

26. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. -М.: Мир, 1982." -248 с.

27. Бублик Б.Н. Численное решение задач динамики пластин и оболочек. -К.: Наукова думка, 1969. -147 с.

28. Вазов В.Р., Форсайт Г.Е Разностные методы решения дифференциальных уравнений. -М.: ИЛ, 1969.

29. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. -М.: Машиностроение, 1988. -272 с.

30. Ван Тассел Д. Стиль, разработка, эффективность, отладка и испытание программ. -М.: Мир, 1985. -332 с.

31. Вайнберг Д.В., Ждан В.З. Матричные алгоритмы в теории оболочек. -К.: КГУ, 1967. -165 с.

32. Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. -М.: Стройиздат, 1977. -159 с.

33. Вайнберг Д.В., Синявский А.Л. Расчет оболочек. -К.: Изд-во Гос-стройиздат УССР, 1961. -119 с.

34. Вахитов М.Б., Сафарнев М.С., Халилулин В.И. Расчет консольных пластин методом прямых // Труды КАИ,-Вып.166. -Казань, 1974. -С.52-61.

35. Вахитов М.Б. Интегрирующие матрицы аппарат численного решения дифференциальных уравнений строительной механики // Изв. ВУЗов. Авиационная техника, 1966. -№3. -С. 50-61.

36. Вахитов М.Б., Фирсов В.А. Численные методы решения одномерных задач строительной механики летательных аппаратов. -Казань: КАИ, 1985. -66 с.

37. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. -М.: Наука, 1982. -286 с.

38. Виноградов А.Ю., Виноградов Ю.И. Метод решения краевых задач механики деформирования пластин и оболочек для дифференциальных уравнений только с четными производными // Докл. РАН, 1993. -Т.330. -№1. -С. 41-42.

39. Виноградов А.Ю. Численное решение задач механики деформирования пластин и оболочек на основе уравнений с четными производными // Труды XVI Международной конференции по теории оболочек и пластин. -Т.З. Н.Новгород: Изд-во НГУ, 1994. -С. 53-57.

40. Виноградов А.Ю., Виноградов Ю.И. Совершенствование метода прогонки Годунова для задач строительной механики // Изв. РАН Механика твердого тела, 1994. -№4. -С. 187-191.

41. Виноградов А.Ю. Вычисление начальных векторов для численного решения краевых задач // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1995. -Т.З5. -№1. -С. 156-159.

42. Виноградов А.Ю. Дискретный аналог метода Гельфанда-Локуциевского для краевых задач теории оболочек и пластин // Труды XVI Международной конференции по теории оболочек и пластин, Казань: Изд-во КГТУ, 1995.

43. Виноградов А.Ю. Модификация метода Годунова // Труды Международной научно-технической конференции "Современные проблемы машиноведения", Гомель: ГПИ им. П.О.Сухого, 1996. -С. 39-41.

44. Виноградов. А.Ю. Методы переноса краевых условий для дифференциальных уравнений теории оболочек // Диссертация на соискание учетной степени к.ф. -м.н. -М., 1996. -163 с.

45. Виноградов А.Ю., Виноградов Ю.И. Функции Коши-Крылова и алгоритмы решения краевых задач теории оболочек // ДАН РФ, 2000. -Т.375.-№3.-С. 331-333.

46. Виноградов А.Ю. Перенос краевых условий для дифференциальных уравнений теории оболочек только с четными производными // Изв. РАН МТТ, 2001.

47. Виноградов А.Ю., Виноградов Ю.И., Гусев Ю.А, Клюев Ю.И. Перенос краевых условий функциями Коши-Крылова и его свойства // Изв. РАН МТТ, 2001.

48. Виноградов А.Ю. Дифференциально-разностный метод и его возможности // Тез. докладов 4-й Всероссийской научной конференции "Краевые задачи и математическое моделирование", Новокузнецк, 2001.

49. Виноградов Ю.И. Напряженно-деформированное состояние цилиндрической оболочки при сосредоточенном нагружении // Изв. ВУЗов Машиностроение. -М., 1973. -№11. -С. 5-9.

50. Виноградов Ю.И., Клюева Г.П. Матричный алгоритм численного метода решения задач о локальном и сосредоточенном нагружении оболочеквращения. -В кн.: Расчет тонкостенных элементов конструкций. Труды МВТУ. -1976. -№206. -С. 67-77.

51. Виноградов Ю.И. Жесткость цилиндрических оболочек при локальном нагружении. -В кн.: Жесткость машиностроительных конструкций: Тез. докладов Всесоюзной научно-технической конференции. -Брянск, 1976. -С. 47-51.

52. Виноградов Ю.И. Изгиб оболочки и методы его вычисления при сосредоточенном нагружении. -В кн.: Шестой Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике: Тез. докладов. -Ташкент, 1986. -С. 167.

53. Виноградов Ю.И., Клюев Ю.И. Тонкостенные осесимметричные конструкции из композиционных материалов (численный метод решения задач статики и динамики) // Механика композиционных материалов и конструкций. ИПРИМРАН. -1984. -Т.4. -№1. -С.57-72.

54. Виноградов Ю.И., Клюев Ю.И. Устойчивость и динамика конструкций при начальных напряжениях // Механика композиционных материалов и конструкций. ИПРИМ РАН. -1998. -Т.4. -№2. -С.49-60.

55. Виноградов Ю.И., Гусев Ю.А., Золотухин B.C. Специальный численный метод исследования концентрации напряжений в оболочках с контролируемой погрешностью // Тез. Докладов 3-й международной конференции "Авиация и космонавтика 2004", Москва, 2004. -С.54.

56. Виноградов Ю.И., Золотухин B.C. Метод исследования концентрации напряжений в тонкостенных элементах аэрокосмических систем // Тез. Докладов Международного симпозиума "Образование через науку", Москва: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. -С. 516.

57. Виноградов Ю.И., Петров В.И. Исследование локальной прочности тонкостенных конструкций методом Коши // Тез. Докладов 4-й международной конференции "Авиация и космонавтика 2005", Москва, 2005. -С. 161.

58. Виноградов Ю.И., Гусев Ю.А., Золотухин B.C. Методы исследования концентрации напряжений в оболочках // Вестник Московского авиационного института, 2005, т. 12, № 3. -С. 61-65.

59. Виноградов Ю.И. Петров В.И. Методы исследования концентрации напряжений в тонкостенных элементах аэрокосмических систем // Сб. докладов Международного симпозиума "Образование через науку", Москва: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. -С. 132-140.

60. Виноградов Ю.И. Гусев Ю.А., Петров В.И. Мультипликативный метод Коши исследования концентрации напряжений в оболочках // Тез.докладов 5-й международной конференции "Авиация и космонавтика 2006", Москва, 2006.-С. 110-111.

61. Виноградов Ю.И., Петров В.И. Простейшие мультипликативные алгоритмы исследования напряжений в оболочках // Тез. докладов XV Международной конференции по вычислительной механики и современным прикладным системам, Алушта 2007. -С 122.

62. Виноградов Ю.И., Петров В.И. Параметрические исследования концентрации напряжений в оболочках с контролируемой погрешностью // Тез. докладов 6-й международной конференции "Авиация и космонавтика -2007", Москва, 2007, -С 36.

63. Виноградов Ю.И., Петров В.И. Исследование концентрации напряжений в транспортно пусковом стакане // Труды 3-й Международной конференции "Ракетно-космическая техника: фундаментальные и прикладные проблемы", Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. -С.

64. Виноградов Ю.И. Гусев. Ю.А. Никитенко В.В. Петров В.И. Локальная прочность тонкостенных конструкций // Известия РАН МТТ, 2007, №. -С 158-169.

65. Власов В.З. Избранные труды, -М.: Изд-во АН СССР, 1962. -Т.1. -528 с.

66. Власов В.З. Строительная механика тонкостенных пространственных систем. -М.: Госстройиздат, 1949.

67. Власов-В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. -М.: Гостехиздат, 1949. -784 с.

68. Власов В.З. Тонкостенные пространственные системы. -М.:Гостехиздат, 1958. -472 с.

69. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. -М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. -512 с.

70. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. -М.: Наука, 1984. -320 с.90."Гавурин М.К. Лекции по методам вычислений. -М.: Наука, 1971. -248 с.

71. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. -М.; Мир, 1984.428 с.

72. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. -М.: Наука, 1988. -548 с.

73. Гельфанд И.М., Локуциевский О.В. Метод "прогонки". Дополнение к книге С.К.Годунова, В.С.Рябенького Введение в теорию разностных схем. -М., Физматгиз, 1962. -С. 283-309.

74. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи математических наук, 1961. -Т.16. -Вып.3.(99). -С.171-174.

75. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. -М.: Наука, 1973. -400 с.

76. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. -М.: Наука, 1976. -510 с.

77. Гольденвейзер А.Л. К вопросу о расчете оболочек на сосредоточенные силы // Прикладная математика и механика. -Т8. -№2, 1954. -С. 181-186.

78. Голованов А.И. Конечные элементы тонких не пологих оболочек. Способы построения//Прикладные проблемы прочности и пластичности. -Н.Новгород, 1991. -С.58-65.

79. Голованов А.И. Расчет составных оболочек произвольной геометрии // Проблемы механики оболочек. -Калинин,1988. -С.33-40.

80. Голованов А.И., Корнишин М.С. Введение в метод конечных элементов статики тонких оболочек. -Казань: Казанский физико-технический институт, 1989. -269 с.

81. Green G. An assay on the application of mathematical anlusis to the theory of electricity and magnetism/ZNottingham, 1828.4

82. Григолюк Э.И., Кабанов B.B. Устойчивость оболочек. -М.: Наука, 1978. -360 с.

83. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. -М.: Наука, 1988. -231 с.

84. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. О расчете цилиндрических оболочек, загруженных по линиям//Прикладная математика и механика, 1967. -Т.31. -Вып.6. -С.1141-1146.

85. Григоренко Я.М. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной жесткости. -К.: Наукова^ думка, 1973. -288 с.

86. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Задачи статики анизотропных неоднородных оболочек. -М.: Наука, 1992. -336 с.

87. Григоренко Я.М, Василенко А.Т., Голуб Г.П. Статика анизотропных оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. -К.: Нукова думка, 1987. -216 с.

88. Григоренко Я.М., Крюков H.H. Решение линейных и нелинейных краевых задач теории пластин и оболочек на основе метода линий// Прикладная механика, 1993. -№4. -С.3-11.

89. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Беспалова Е.И. и др. Численное решение краевых задач статики ортотропных оболочек с переменными параметрами. -К.: Наукова думка, 1975. -183 с.

90. Гусев. Ю.А. Мультипликативные алгоритмы переноса краевых условий в задачах механики деформирования оболочек // Диссертация на соискание ученой степени к.ф.-м.н. -М., 2003. -176 с.

91. Гурьянов Н.Г. Замкнутая цилиндрическая оболочка под действием сосредоточенной силы // Исследования по теории пластин и оболочек. -Казань: Изд-во Казанского государственного университета, 1970. -№6. -С.29-36.

92. Dabrowski Otton, Szmigielski Roman. Solution of shallow shells by boundary element method. Problem of corners. -Mrch. teor.: Stosow. -1988, 26, №4. -P.603-610.

93. Даревский B.M. Определение перемещений и напряжений в цилиндрической оболочке при локальных нагрузках. -В сб. Прочность и динамика авиационных двигателей. -М.: Машиностроение, 1964. -Вып.1. -С.23-83.

94. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М.: Физматгиз, 1966. -664 с.

95. Демьянович Ю.С. К вопросу об изгибе цилиндрической оболочки сосредоточенной силой. -В сб. Исследование по упругости и пластичности. -Л.: Изд-во ЛГУ, 1968. -Вып.2. -С.121-131.

96. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. -М.: Мир, 1984. -309 с.

97. Du I., Huí D. Frequency-load interaction of imperfect angle-ply cylindrical panels under compression and pressure// AIAA Journal, 1977. -25. -13. -P.484-491.

98. Elsbemd G.F., Leissa A.W. The vibration of non-circular cylindrical shells with initial stresses//J. Sound and Vibr., 1973/ -29. №3. -P.309-329.

99. Жигалко Ю:П. Расчет тонких упругих цилиндрических оболочек на локальные нагрузки (обзор литературы, метод и результаты). -В сб. Исследования по теории пластин и оболочек. -Казань: Изд-во Казанского университета, 1966. -Вып.4. -С.3-41.

100. Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и механики сплошных сред. -М.: Недра, 1974. -240 с.

101. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: Перевод с английского. -М.: Мир, 1975. -544 с.

102. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. -М.: Мир, 1986. -318 с.

103. Зибаров А.В., Бабаев Д.В., Миронов А.А. Система визуализации Mirage // Тезисы докладов XI международной конференции по вычислительной механике и современны прикладным программным системам, Москва-Истра, 2001. С. 199-200.

104. Зибаров А.В., Бабаев Д.Б., Миронов А.А., Синютин А.Н., Лохов

105. B.C. Технологии распараллеливания и распределения вычислений//Тезисы докладов XI международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, Москва-Истра, 2001.1. C.201-202.

106. Ильгамов М.А., Иванов В.А., Гулин Б.В. Прочность, устойчивость и динамика оболочек с упругим заполнителем. -М.: Наука, 1977. -351 с.

107. Калиткин Н.Н. Численные методы. -М.: Наука, 1978. -512 с.

108. Kamenskii G.A., Myshkis A.D. On the mixed type functional-differential equations // Nonlinear Analysis. TMA. -1887/ -V.30-, No.5, pp.25772584.

109. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. -М., -Л.: Физматгиз, 1962. -695 с.

110. Кармишин А.В., Лясковец В .А., Мяченков В.И., Фролов А.Н. Статика- и динамика тонкостенных обол очечных конструкций. -М.: Машиностроение, 1975. -375 с.

111. Conte S.D. The numerical solution of linear boundary vaiue problems. -Siam Review, 1966. -Vol.8.

112. Коноплев Ю.Г. Устойчивость цилиндрических панелей. -Казань: Изд-во Казанского государственного университета, 1976. -20 с.

113. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. Для научных работников и инженеров. -М.: Наука, 1984. -831 с.

114. Котов Е.А. Построение базисных функций для решения осесим-метричных задач нелинейной теории оболочек вращения методом Бубнова-Галеркина. -В кн.: Прочность материалов и элементов судовых конструкций. -Л.: Наука, 1985.-С. 50-57.

115. Крауч С., Старфилд С. Методы граничных элементов в механике твердого тела. -М.: Мир, 1987. -328 с.

116. Крылов А.Н. О расчете балок, лежащих на упругом основании. -Л.: АН СССР, 1931.-154 с.

117. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы. -М.: Наука, 1976. -Т.1. -304 с.

118. Cruse Т.A., Rizzo F.J. A direct formulation and numerical solution of the general transient elastodynamic problem. -Int. J. Math. Anal. Appics, 1968, 22. -P.244-259.

119. Cruse T.A., Rizzo F.J. (eds.) Boundary integral equations method: computational applications in applied mechanics. ADM 11. -New York: Am Soc. Mech/Engrs, 1975.

120. Кулаков B.M., Толкачев B.M. Изгиб пластины произвольного очертания // ДАН СССР, 1976. -Т.230, -Ч. -С.56-59.

121. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости, -М.: Физматгиз, 1963. -472 с.

122. Куранов Б.А., Гусев С.С. Применение метода суперэлементов для расчета сложных машиностроительных конструкций/ТРасчеты на прочность. -М.: Машиностроение, 1983. -Вып.26. -С.174-182.

123. Курант Р., Фридрихе, Леви Г. О разностных уравнениях математической физики//Успехи математических наук, 1940. -Вып.8. -С. 112-125.

124. Леонов В.И., Хазанов Х.С. Напряженное состояние цилиндрической оболочки, нагруженной через круглую площадку нормальными поверхностными силами // Труды КУАИ, вып. 60, 1973.

125. Ли C.B., Пиан Т.Х. Усовершенствование метода расчета конечных элементов для пластинок и оболочек с помощью смешанного подхода//РТК, 1978. -Т.16. -№1. -С.38-45.

126. Лукасевич С. Локальные нагрузки в пластинах и оболочках. -М.: Мир, 1982. -542 с.

127. Loo Wen-da, Gao Shi-qiao. The effect local geometric imperfections of rotational shell on its natural frequencies and models// Appl. Math. And Mech., 1987.-Vol.8.-№11. -РЛ013-1018.

128. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на ФОРТРАНе. -М. : Мир, 1977.-584с.

129. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. -М.: Наука, 1975. -400 с.

130. Мартыненко С.И. Универсальная многосеточная технология для численного решения дифференциальных уравнений в частных производных на структурированных сетках// Вычислительные методы и- программирование, 2000. -Т.1, раздел 1. -С.85-104.

131. Мартыненко С.И. Программное обеспечение для универсальной многосеточной технологии: строительные блоки и диагностические инструменты// Вычислительные методы и программирование, 2001. -Т.2, раздел 4. -С.1-6.

132. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. -М.: Наука, 1973. -352 с.

133. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. -М.: Наука, 1989. -608 с.

134. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. -М.: Наука, 1981. -416 с.

135. Masataka Т. Introduction to boundary element method/ /J. Jap. Soc. Simulat. Technol. -1987. -6. -l2. -P.77-83.

136. Masinda J. Application of the boundary element method to elasticity and thermoelasticity problems. "Monogr. and Mem. Nat. Res. Inst. Mach. Des/ Praha-Bechavice", 1986, '36. -P.58.

137. Метод конечных элементов в механике твердых тел/Под общей редакцией А.С.Сахарова и И.Альтенбаха. -Киев: Вища школа, головное изд-во, 1982.

138. Методы расчета оболочек. -Т.4. Теория оболочек переменной жесткости/ Под редакцией Григоренко Я.М., Василенко А.Т. -К.: Наукова думка, 1981.-544 с.

139. Метод граничных интегральных уравнений. Вычислительные аспекты и приложения в механике. -Серия: Механика. Новое в зарубежной науке. -М.: Мир, 1978. -210 с.

140. Микеладзе Ш.Е. Новые методы интегрирования дифференциальных уравнений. -М.: ГТИИ, 1951.-291 с.

141. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. -М.: Мир, 1981. -216 с.

142. Mitchell S.A., Vavasis S.A. Quality Mesh Generation in Higher Dimension. 12th ACM Symposium on Computational Geometry, 1996, pp.48-57.

143. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. -М.: Наука, 1966.-432 с.

144. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. -М.: Наука, 1970. -512 с.

145. Моссаковский В.И., Макаренков А.Г., Никитин П.И. и др. Прочность решетных конструкций. -М.: Высшая школа, 1990. -359 с.

146. Мяченков В.И., Григорьев И.В. Расчет составных оболочечных конструкций на ЭВМ: Справочник. -М.: Машиностроение, 1981. -216 с.

147. Мяченков В.И., Мальцев В.П. Методы и алгоритмы расчета пространственных конструкций на ЭВМ ЕС. -М.: Машиностроение, 1984. -280 с.

148. Нерубайло Б.В. Локальные задачи прочности цилиндрических оболочек. -М.: Машиностроение, 1983. -248 с.

149. Нерубайло Б.В. Применение вариационного метода В.З.Власова к расчету круговой цилиндрической оболочки на местную нагрузку//Изв. ВУЗов Авиационная техника, 1967. -№1. -С.45-50.

150. Нерубайло Б.В., Сибиряков В.А. Напряжения в круговой цилиндрической оболочке при радиальном локальном воздействии. -В сб. Прочность и устойчивость авиационных конструкций.//Труды МАИ, 1971. -Вып. 180. -С.25-44.

151. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. -Л.: Судпромгиз, 1962. -432 с.

152. Новожилов В.В. Вопросы механики сплошной среды. -Л.: Судостроение, 1989. -400 с.

153. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. -Л.: Политехника, 1991. -656 с.

154. Noor А.К., Anderssen С.М. Mixed models and reduced selective Integration displacement models for nonlinear shell analysis// Proc/ ASME winter annual meeting/ -Washington: AMD, 1981. -Vol.48. -P.l 19-146.

155. Образцов И.Ф., Булычев Л.А., Васильев B.B., Елпатьевский А.Н., Жеков К.А., Иванов Ю.И., Коновалов Б.А., Матюшев Ю.С., Шклярчук Ф.Н. Строительная механика летательных аппаратов. -М.: Машиностроение, 1986. -536 с.

156. Образцов И.Ф. Вариационные методы расчета пространственных конструкций. -М.: Машиностроение, 1966. -190 с.

157. Оден Д. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М.: Мир, 1976. -464 с.

158. Oden J.T., Carey G.F. Finite elements. Mathematical aspects. -Englwood Cliffs, N.Y.Prentice-Hall, -1983. vol.4. -195 p.

159. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. -М.: Мир, 1991.-364 с.

160. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1986. -288 с.

161. Папкович П.Ф. Строительная механика корабля, ч.21 -Л.: Судпром-гиз, 1941.-960 с.

162. Паймушин В.Н. К вариационным методам решения нелинейных пространственных задач сопряжения деформируемых тел//ДАН СССР, 1983. -Т.273, -№5. -С.1083-1086.

163. Паймушин В.Н., Андреев C.B. К нелинейной теории трехслойных оболочек со слоями переменной толщины и сложной геометрии. -Казань: Изд-во КГУ, 1981. -Вып. 16. -С.29-36."

164. Паймушин В.Н., Фирсов В.А. Оболочки из стекла. Расчет напряженно-деформированного состояния. -М.: Машиностроение, 1993. -208 с.

165. Паймушин В.Н., Сидоров И.Н. Вариант метода граничных интегральных уравнений для решения задач статики изотропных оболочек произвольной геометрии//Изв. АН СССР Механика твердого тела, 1991. -№11. С.160-169.

166. Паймушин В.Н., Сидоров И.Н., Сулейманов И.М. Построение граничных интегральных уравнений различных вариантов теории оболочексложной геометрии//Изв. РАН Механика твердого тела, 1997. -№4 -С.133-143.

167. Петров.В.И. Исследование концентрации напряжений в оболочках с априори контролируемой погрешностью // Материалы XII Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред", Москва, 2006. -С. 256-258.

168. Петров В.И. Концентрация напряжений в тонкостенных конструкциях // Материалы XIII Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред", Москва 2007. -С.

169. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Изд-во Московского университета, 1981. -344 с.

170. Попов Г.Я. Метод ортогональных многочленов в контактных задачах теории упругости//ПММ, 1969. -Т.ЗЗ. -Вып.З. -С.543-547.

171. Постнов В.А., Хархурин И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. -Л.: Судостроение, 1974. -342 с.

172. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. -Л.: Судостроение, 1977. -280 с.

173. Постнов В.А., Родионов A.A. Метод суперэлементов в расчете инженерных сооружений. -Л.: Судостроение, 1979. -288 с.

174. Постнов В.А., Суслов В.П. Строительная механика корабля и теория упругости. В 2-х т. -Л.: Судостроение, 1987. -Т.1: Теория упругости и численные методы решения задач строительной механики корабля. -288 с.

175. Постнов В.А., Ростовцев Д.М., Суслов В.П., Кочанов Ю.П. в 2-х т. -Л.: Судостроение, 1987. -Т.2: Изгиб и устойчивость стержней, стержневых систем, пластин и оболочек. -416 с.

176. Прокопович М.Е., Слезингер И.Н., Штейнберг М.В. Расчет цилиндрических оболочек. -К.: Будщивильник, 1967. -240 с.

177. Пшеничнов Г.И. Метод декомпозиций решения уравнений и краевых задач//ДАН СССР, 1985. -Т.282. -№4. -С.792-794.

178. Работнов Ю.Н. Изгиб цилиндрической оболочки сосредоточенной силой// Докл. АН СССР, 1946. -Т.52. -№4. -С.110-114.

179. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов: Справочник/ В.И.Мяченков, В.П.Мальцев, В.П.Майборода и др.; Под общей редакцией В.И.Мяченкова. -М.: Машиновтроение, 1989. -520 с.

180. Рвачев B.JI. Об удовлетворении краевым условиям в методе Буб-нова-Галеркина с помощью Я-функций//Сб. статей Успехи механики деформируемых сред. -М.; Наука, 1975. -С.488-501.

181. Reddy T.N., Chao W.C. Large-deflection and large-amplitude free vibrations of laminated composite-material plates//Comput. and struct., 1981. -43. -P.341-342.

182. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. -М.: Мир, 1985. -589 с.

183. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. -Рига: Зинатне, 1988. -284 с.

184. Ritz W.H. J. Reine angew. Math., 1908. -T.135; Ann Physik, IV, 28, 737, 1909; Gesamm Werke, 1941. -S.228.

185. Рихтмайер P.Д. Разностные методы решения краевых задач. -М.: ИЛ, 1960.

186. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. -М.: Мир, 1972.-418 с.

187. Розин Л.А. О связи метода конечных элементов с методами Бубнова- Галеркина и Ритца// Строительная механика сооружений. -Л., 1971. -С.6-27.

188. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М.: Стройиздат, 1977. -129 с.- 189220. Рояк Д.А. Расчет весьма длинной цилиндрической оболочки по методу наложения // Инженерный журнал, Т.4, вып.1, 1964.

189. Сайтов И.Х. Метод декомпозиции оболочечных систем применительно к интегральной формулировке решения фрагмента//Теория и методы исследования пластин и оболочек сложной формы: Межвуз. сб. -Казань: КАИ, 1987. -С.69-75.

190. Сайтов И.Х., Ларионов Н.Г. Матричная форма интегрально-разностного метода в решении двумерных краевых задач теории пологих оболочек // Вопросы прочности тонкостенных авиационных конструкций. Межвуз сб. -Казань, КАИ, 1987. -С. 109-115.

191. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. -М.: Наука, 1971.-550 с.

192. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. -М.: Наука, 1975.- 190228. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решений сеточных уравнений. -М.: Наука, 1978. -592 с.

193. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. -М.: Наука, 1989. -432 с.

194. Самарский A.A. Теория разностных схем -М.: Наука, 1989. -616 с.

195. Самарский A.A. Всесоюзная школа молодых ученых. Теория и прикладные проблемы вычислительной математики и математической физики // Ж.ВМиМФ, 1983. -Т.23. -№1. -С.246-247.

196. Свирский И.В. Методы типа Бубнова-Галеркина и последовательных приближений. -М.: Наука, 1968. -200 с.

197. Skubachevskii A.L. Elliptic functional differential equations and applications. Basel- Boston-Berlin: Birkhauser, 1997.

198. Слободянский М.Г. Способ приближенного интегрирования уравнений с частными производными и его применение к задачам теории упругости. -ПММ, 1939, т.З, вып. 1. -С. 75-82.

199. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. -М.:Мир,1877. -349 с.

200. Стеклов В.А. Основы теории интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. -М., -JL: Гос.издательство, 1927. -419 с.

201. Суперэлементный расчет подкрепленных оболочек/3.И.Бурман, О.М.Аксенов, В.И. Лукашенко, М.Т.Тимофеев. -М.: Машиностроение, 1982. -256 с.

202. Терегулов И.Г. К построению уточненных теорий пластин и оболочек // Прикладная математика и механика, 1962. -Т.26. -№2. -С.346-358.

203. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.: Наука, 1971.-807 с.

204. Ting L., Yuan S.W. On radial deflection of a cylinder of finite length with various end conditions. Journal of the Aeronautical Sciences, 1958. -Vol.25. -4. -P.230-234.

205. Толкачев В.М. Метод компенсирующих нагрузок в теории изгиба пластин // Изв. АН СССР Механика твердого тела, 1988. -№1. -С.155-160.

206. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформированного твердого тела. -Казань: Изд-во Казанского университета, 1986. -295 с.

207. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1983. -352 с.

208. Федосьев В.И. Сопротивление материалов. -М.: Наука, 1974. -559 с.

209. Филин А.П. Элементы теории оболочек. -JL: Стройиздат, 1975. -256 с.

210. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела, Т.П. -М.: Наука, 1978. -616 с.

211. Флюгге В. Статика и динамика оболочек. -М.: Госстройиздат, 1963.-306 с.

212. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. -М.: Мир, 1988. -352 с.

213. Хижняк В.К., Шевченко В.П. Действие сосредоточенных сил на анизотропные оболочки// Изв. АН СССР Механика твердого тела, 1972. -№4. -С.123-128.

214. Халилулин В.И., Рахматкулов Н.У. К расчету монолитных крыльев с -произвольно расположенными подкрепляющими элементами//Вопросы прочности и долговечности элементов авиационных конструкций: Межвуз. сб., Куйбышев, 1983. -С.3-10.

215. Holt P.J., Webber J.P. Finite element for honeycomb sandwich plates and shells//Aeron. J., 1980. -Vol.84. -№831. -P.l 13-123; №832. -P.157-167.

216. Хорн P., Джонсон Ч. Матричный анализ. -M.: Мир, 1989. -655 с.

217. Хьюз Д., Мичтом Д. Структурный подход к программированию. -М.: Мир, 1980. -278 с.

218. Чернышев Г.Н. О действии сосредоточенных сил и моментов на упругую тонкую оболочку произвольного очертания/ЛТрикладная математика и механика, 1963. -Т.27. -Вып.1. -С. 126-134.

219. Чернышев Г.Н. Расчет сферических оболочек на действие сосредоточенных сил//Изв. АН СССР Механика, 1963. -№1. -С.99-108.

220. Чернышев Г.Н. Асимптотические методы в теории оболочек (Сосредоточенные нагрузки)//Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок, Москва. -С.799-810.

221. Чернышев Г.Н. Прогиб под сосредоточенной силой в оболочках положительной кривизны//Прикладная математика и механика, 1967. -Т.31. -№5, -С.883-886.

222. Чернина B.C. Статика тонкостенных оболочек вращения. -М.: Наука, 1968. -455 с.

223. Шевляков Ю.А., Шевченко В.П. Пологая сферическая оболочка под действием сосредоточенных сил и моментов//Прикладная механика,1965. -Вып.2. -С.74-77.

224. Шевляков Ю.А., Шевченко В.П. К вопросу о действии сосредоточенных воздействий на пологие оболочки. -В сб. Концентрация напряжений. -К.: Наукова думка, 1965. -Вып.1. -С.326-337.

225. Шевляков Ю.А., Шевченко В.П. О действии сосредоточенных сил и изгибающих моментов на пологую цилиндрическую оболочку//Прикладная механика, 1966, -Т.2. -Вып.1. -С.120-123.

226. Шевченко В.П. К решению граничных задач круговых цилиндрических оболочек при локальных нагрузках. -В кн. Теория оболочек и пластин. -М.: Наука, 1973. -С.763-767.

227. Шевченко В.П. К вопросу о действии сосредоточенных моментов на упругие тонкие оболочки произвольной кривизны. -В сб. Теоретическая и прикладная механика. -Киев-Донецк: Вища школа, 1977. -Вып.8. -С.42-47.