автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Бескоалиционная игра трех лиц при неопределенности и с изменением цели у одного из участников

На правах рукописи

высокое

Мария Ивановна

БЕСКОАЛИЦИОННАЯ ИГРА ТРЕХ ЛИЦ ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И С ИЗМЕНЕНИЕМ ЦЕЛИ У ОДНОГО ИЗ УЧАСТНИКОВ

Специальность 05.13.17 — теоретические основы информатики

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2006

Работа выполнена на кафедре математики и механики Московского факультета в Российском заочном институте текстильной и легкой пр омышленности.

Научный руководитель:

заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор ЖУКОВСКИЙ Владислав Иосифович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ГОРЕЛИК Виктор Александрович

кандидат физико-математических наук, доцент МОЛОСТВОВ Виталий Серафимович

Ведущая организация: Московский государственный университет им. В. М. Ломоносова.

Защита диссертации состоится «&£>... » 2006 г.

в .г/$7часов на заседании Диссертационного Совета К 212.154.11 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, математический факультет МПГУ, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, Москва, Малая Пироговская ул., д. 1.

Автореферат разослан

года.

Ученый секретарь Диссертационного совета

ЧИКАНЦЕВА Н. И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальнось темы. Проблема принятия решений имеет особое значение, поскольку любая деятельность — это цепочка принятия решений. Задачи, связанные с выбором оптимального решения встречаются в экономике, экологии, военном деле, технике и т.д. По мере развития и математизации этих сфер человеческой деятельности соответствующие процессы принятия решений формализуются, как правило в виде математических моделей. Математическая модель отражает проблему принятия решений в абстрактной форме и помогает учесть большое число разнообразных характеристик, от которых зависит функционирование конкретного объекта управления. Анализ математической модели позволяет выбрать оптимальные решения поставленной задачи и обосновать этот выбор. В этом состоит одна из задач теоретических основ информатики и здесь значительную роль выполняет теория игр.

Теория игр возникла в начале XX века и первые ее результаты в общеизвестной монографии Джона фон Неймана и Оскара Моргенштер-на "Теория игр и экономическое поведение", опубликованной в 1944 году. На результатах и подходах теории игр основывается и исследование различного вида бескоалиционных игр при неопределенности.

Математические модели "классической" теории бескоалиционных игр охватывают обычно "идеальные" случаи. Однако в реальных системах таких "идеальных" объектов, как правило, не существует. Типичной является ситуация, когда относительно некоторых параметров системы или внешних воздействий известны лишь границы их изменения, внутри которых эти параметры могут принимать любое, заранее непредсказуемое значение. Поэтому решения приходится принимать, считаясь с воздействиями таких неконтролируемых факторов, называемых неопределенностями.

В теории принятия решений для однокритериальных задач созданы различные принципы построения оптимальных решений в задачах с неопределенностью. К ним относятся — принцип гарантированного результата (синоним: максиминной полезности или принцип Валь-да), принцип минимаксного сожаления (принцип Севиджа), принцип

пессимизма-оптимизма (принцип Гурвица) и др. В настоящей работе подход к принятию решений основывается на подходящей модификации принципа Вальда.

Все вышеперечисленные принципы были предложены в середине прошлого века для однокритериальных (скалярных) задач при неопределенности. Переход к более сложным бескоалиционным играм потребовал модификации этих принципов. Здесь особое значение приобретает активно развивающееся направление теории принятия решений, получившее название "многокритериальные задачи при неопределенности". Такие задачи исследуются В.А. Гореликом, В.И. Жуковским, B.C. Молоствовым, М.С. Никольским, М.Е. Са-луквадзе и др. Параллельно за рубежом ведутся работы F. Ferro, T.Tanaka, W.L. Chan и W.T. Lau, G.Y. Chen, J.G. Lin и многих других. Основные результаты исследования базируются на подходящей модификации принципа гарантированного результата. Такой подход, обеспечивающий определенные гарантии игрокам, применяется и в теории бескоалиционных игр при неопределенности. Впервые попытка обозначить теоретические основы бескоалиционных игр при неопределенности была предпринята в 90-х годах прошлого столетия в работах В.И.Жуковского. Предложенные им подходы стали основой исследований и в предлагаемой работе.

Для "классической" теории бескоалиционных игр принято, что каждый участник стремится лишь к "собственной выгоде". Но на самом деле, в реальных условиях, это не всегда так. Часто в экономических ситуациях конкуренты не только преследуют цель — достичь максимум прибыли для себя, но и, в силу различных причин (родственные отношения, личные симпатии, перспектива объединения, изменение окружающей обстановки), желают влиять на доходы своих партнеров: одним — помочь в получении большей прибыли, а другим, наоборот, препятствовать. Возникают и более сложные ситуации. В них участники конфликта сначала преследуют одни цели, а затем меняют их на другие. Это может быть вызвано, например, изменением личных симпатий, окончанием срока действия договоров и(или) заключение новых, перспективой объединения производств, измене-

нисм окружающей обстановки и тому подобное.

Наконец, наличие нескольких критериев у лиц принимающих решение, послужило причиной возникновения теории многокритериальных задач. Основы теории многокритериальной оптимизации предложены итальянским экономистом и социологом Вильфредом Паре-то (1848-1923). Одним из основных понятий этой теории является понятие оптимального по Парето (эффективного) решения, активно используемого в настоящей работе.

Диссертация как раз и посвящена таким бескоалиционным играм при неопределенности, в которых у отдельного игрока не одна цель, а несколько. Именно, рассматриваются бескоалиционные игры трех лиц при неопределенности как в статическом варианте с дополнительными целями одного из участников, так и дифференциальная бескоалиционная игра трех лиц с "переключением" во время игры интересов отдельного игрока — динамический вариант задачи.

На наш взгляд такие игры помогут более адекватно описать реальные экономические и социальные процессы, происходящие в обществе.

Целью работы является формализация и исследование гарантированных решений бескоалиционных игр трех лиц при неопределенности и с указанными особенностями. При этом предполагается, что о неопределенных факторах известна лишь область возможных значений, а какие-либо статистические характеристики отсутствуют (по тем или иным причинам).

Объектом исследования является теория бескоалиционных игр при неопределенности.

Предмет исследования — бескоалиционные игры трех лиц при неопределенности, в которых учитывается изменение отношения отдельного игрока к своим партнерам.

Проблема заключается в формализации решений таких бескоалиционных игр при учете неопределенных факторов, исследование свойств таких решений и способов построения.

В основу исследования положена следующая гипотеза: на основе модификации принципа гарантированного результата, понятий векторных оптимумов и равновесия по Кэшу можно определить возмож-

ные решения данного класса бескоалиционных игр при неопределенности, получить условия существования и предложить способ построения таких решений.

Для реализации поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы потребовалось решить следующие задачи:

- формализовать понятие бескоалиционной игры трех лиц при неопределенности с "расширением" цели отдельного игрока;

- формализовать решение указанной бескоалиционной игры на основе объединения понятий равновесности по Нэшу (из теории бескоалиционных игр), векторных оптимумов ( из теории многокритериальных задач) и аналога седловой точки ( из теории принятия решений в сложных управляемых системах при неопределенности); исследовать свойства такого решения и условия существования;

- для дифференциальной бескоалиционной игры трех лиц при неопределенности и с переключением во время игры интересов отдельного игрока ввести определение гарантированного решения, выявить достаточные условия существования и алгоритм построения;

- найти явный вид ситуации и неопределенности, реализующих гарантированные решения, для линейно-квадратичного динамического варианта игры;

- рассмотреть приложение к конкретным экономическим задачам.

Методологическую основу работы составляют методы и подходы теории многокритериальных задач при неопределенности, теории игр, выпуклого анализа, дифференциальных игр, теории оптимального управления, динамического программирования, теории матриц и квадратичных форм.

Научная новизна. В работе впервые исследуется бескоалиционная динамическая игра при неопределенности, в которой во время игры происходит переключение интересов отдельного игрока. Формализация понятий решения данной игры основывается на концепции равновесности по Нэшу и определениях векторных оптимумов, при этом также используется аналог векторной седловой точки.

Практическая значимость работы. Результаты диссертации могут быть применены к различным прикладным задачам прогнози-

рования и планирования в экономике, экологии, механике управляемых систем. В качестве приложения рассматриваются две математические модели функционирования трех фирм на рынке.

Основные положения, выносимые на защиту:

- формализовано понятие гарантированного равновесия для бескоалиционных игр трех лиц при неопределенности и с "расширением" цели второго игрока;

- предложены достаточные условия существования указанного решения в чистых и смешанных стратегиях при обычных в теории игр ограничениях;

- для линейно-квадратичных игр найдены явный вид ситуации и неопределенности, реализующих указанное равновесие;

- для бескоалиционной дифференциальной игры трех лиц при неопределенности и с переключением интересов второго игрока во время игры формализовано понятие решения; с помощью динамического программирования установлены достаточные условия существования;

- для линейно-квадратичного случая указанной дифференциальной игры найден явный вид ситуации и неопределенности, реализующих указанное равновесие.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения -XVI". "Современные методы теории краевых задач" (Воронеж, 2005), на XIII международной конференции "Математика. Экономика. Образование" (Ростов-на-Дону, 2005), на пятнадцатой Крымской осенней математической школе-симпозиуме "Spectral and Evolutionary Problems" (Simferopol, 2005), на международной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования" (Воронеж, 2005), на семинаре "Риски в сложных системах управления" факультета ВМиК МГУ (Москва, 2005) и на научно-методическом семинаре кафедры информатики и дискретной математики МПГУ (Москва, 2006).

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 8 печатных работ. В статьях [7,8] диссертанту принадлежат доказательства приведенных в них утверждений. Перечень публикаций в конце

автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на 9 параграфов, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 129 печатных страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранной темы исследований, дан краткий обзор литературы на основе работ отечественных и зарубежных авторов, определена цель работы, выдвинута гипотеза, положенная в основу исследований, сформулированы задачи, которые необходимо решить для реализации поставленной цели и проверки выдвинутой гипотезы, указана методологическая основа исследования, научная новизна и практическая значимость диссертационной работы, приведено краткое содержание по главам и основные результаты.

Первая глава ("Бескоалиционная игра трех лиц при неопределенности") состоит из пяти параграфов (§ 1-§ 5) и посвящена исследованию статического варианта бескоалиционной игры с "расширением" цели отдельного игрока и при неопределенности.

В § 1 описывается указанная выше бескоалиционная игра трех лиц

Г = ({1,2,3}, 2,з, У,Ш*,1/)}<= 1,2.з),

где 1,2,3 — номера игроков; каждый из них выбирает свою стратегию

€ -X; С Л"' (г = 1,2,3); в результате образуется ситуация а; = (а:г, хг, хз)е.Х = Х\хХ2Х Хз] одновременно и независимо от действий игроков реализуется некоторая неопределенность у £ У С К.™1; на парах (х,у) 6 X х У определена функция выиграша г-го игрока /¿(х, у) (» = 1,2,3), значение которой называется выигрышем г-го игрока.

В "привычной" бескоалиционной игре цель игроков — достичь максимально возможных своих выигрышей. В отличие от обычных требований в игре Г, во-первых, игрок 2 не только стремится увеличить свой выигрыш, но одновременно возможно увеличить выигрыш первого и уменьшить выигрыш третьего; во-вторых, игрокам

при выборе своих стратегий известны только границы множества не-. ■■ определенностей У и они вынуждены считаться с возможностью реализации любой неопределенности у 6 У, далее / — (/ь/2,/3)-

Определение 1. Пару (хк ,у1) £ ХхУ назовемЪ-гарантирован-ной К-равновесной в игре Г, если

1°) /1(гь*?,а£,У£) < МгК,Уь) Уц 6 ХЦ 2°) Мх?,х?,х3,У1) < /з(®*,у£) Ух3 е

3°) стратегия € Хч является К.-максималъной в 3-х критериальной задаче

(Х2,{А(Х?',Х2,ХЗС>У£),/2(Х?,Х2,Х?,У1),-/3(Х?)Х2,Х?,У1)});

4°) неопределенность уь € У является Ь -минимальной в задаче

(у;

К,Ъ = 3,Р,В,С,А2(А1).

Пару (хк, /(хк,уь)) £ X х И3 назовем Ь-гарантированным К.-равновесием игры Г.

В определении максимальность по К (минимальность по Ь) означает: при К = Б (Ь = Э) максимальность (минимальность) по Слейтеру, при К = Р (Ь = Р) максимальность (минимальность) по Парето, при К = В (I/ = В) максимальность (минимальность) по Борвейну, при К = С (Ь = в) максимальность (минимальность) по Джоффриону, при К = А2 (Ь = А1) Аг-максимальность (Ах-минимальность) при заданных постоянных 3 х 3-матрицах Аг (г = 1,2) с положительными элементами.

В § 2 выявлены связь между приведенными решениями и свойства введенных равновесий.

В §3 устанавливаются достаточные условия существования С-гарантированной С-равновесной и А1-гарантированной А2-равно-весной пар. Приведем достаточные условия существования А)-га-рантированной Аг-равновесной пары. Для этого рассмотрим вспомогательную бескоалиционную игру четырех лиц (без неопределенности)

Гв = {{1,2,3,4},{ХиХ2,Х3,У},{Щх,у)}<=1ХЗА).

Здесь для первых трех игроков множества стратегий Х{ те же, что и в игре Г, множество стратегий у четвертого дополнительного игрока совпадает с множеством неопределенностей У из игры Г; функции выигрыша первого и третьего игроков имеют вид ^(а:, у) — ¡\{х, у), Рз{х,у) = /з (х,у).

Будем считать, что априори заданы две постоянные ЗхЗ-матрипы

л * (!) (2)

А1 и А2 с положительными элементами а,у и ау соответственно.

Введем функции А{х,у) = аЦ)Мх,у) + а.<£1/2(х, у) ~а^)/з{х,у) (г = 1,2,3); функцию выигрыша второго игрока представим в виде = где постоянные А>0(г6{1,2,3}), £ Д>0.

Обозначим через /¿(г, 2/)=£г3=1 а|г1>/;(г, у) (г—1,2,3), а функцию выигрыша "дополнительного" 4-го игрока определим следующим образом: у) = £?=1[-7;Да:, у)], где постоянные 7<>0 (г = 1,2,3), Е?=-л 7¿>0•

Утверждение 1. Если существуют постоянные /3* > 0, 7i > О з з

(¿=1,2,3) такие, что £> 0, £ 7; > О, и пара (хе,уе) яв-

1 .1 1=1

ляется равновесной по Нэшу в игре Гв, то пара (хе,уе) будет А1 -гарантированной А-^-равновесной для игры Г.

В § 4 сформулированы и доказаны теоремы существования в-га-рантированного в-равновесия и А1-гарантированного Аг-равновесия. Теорема 1. Пусть в игре Г

1°) множества Xi ({=1,2,3) иУ - выпуклые непустые компакты; 2°) функции /г(х,у) (» = 1,2,3) непрерывны на X х У; 3°) функция /\{х,у) вогнута по 6 Х\ при любом фиксированном наборе (яг, ®з, у) 6 Х^ х А'з х У и по Х2 6 Х2 при любом фиксированном наборе (х1,хз,у) 6 Х1 х Хз х У; функция /г(х,у) вогнута по х2 6 Хъ при любом фиксированном наборе (х1,хз,у) £ Х\ х Хз х У; функция /з(х,у) вогнута по хз £ Хз при любом фиксированном наборе (х1,х2,у) € Хх х Х2 х У и выпукла по € при любом фиксированном наборе («1, хз, у) £ Х\Х ХзхУ; функции /¿(х, у) (г = 1, 2,3) выпуклы по у & У при каждом х £ X.

Тогда в игре Г при любом выборе постоянных 3 х 3-матриц Аг (г =1,2) с положительными элементами существует А1-гарантированное А ^-равновесие, и поэтому существуют и все остальные равновесия при Ъ = в, Р, В, С, А1 и К = Э, Р, В, С, А2.

Установлены так же условия существования гарантированных решений для смешанного и квазисмешанного расширений игры Г.

В § 5 для линейно-квадратичного варианта игры Г найден явный вид Э-гарантированной 8-равновесной пары (х5,у$)- В качестве приложения построена пара (г5, у$) в двух различных математических моделях конкуренции трех фирм на рынке.

Вторая глава "Дифференциальная бескоалиционная игра трех лиц при неопределенности" включает четыре параграфа (§6-§9). Рассматривается дифференциальная игра трех лиц со следующими особенностями: во-первых, игра бескоалиционная; в о-вторых, в априори заданный момент времени второй игрок меняет свое отношение к партнерам: до этого момента он "помогает" первому и "мешает" третьему игроку, а'после этого момента, наоборот, "препятствует" первому игроку в достижении его цели, и "поддерживает" третьего; в-третьих, в этой игре все три игрока должны учитывать возможность реализации любой допустимой неопределенности.

В § 6 описываются элементы игры, правила ведения и формализуется понятие гарантированного равновесия.

В § 7 на основе подходящей модификации метода динамического программирования устанавливаются достаточные условия существования введенного гарантированного равновесия.

В § 8 для линейно-квадратичного варианта игры выявлены коэфи-циентные условия, при которых решение существует, и, при выполнении таких условий, найден явный вид пары, реализующей гарантированное равновесие.

Рассматриваем дифференциальную бескоалиционную линейно-квадратичную игру трех лиц при неопределенности с "переключением" во время игры интересов второго игрока:

Т0 = {{1,2,3}, Е, {^><=1,2,3, {З^и, г, £0, х0)}«=1.2,з),

где {1,2,3} — множества порядковых номеров игроков; изменение управляемой системы £ описывается линейным векторным дифференциальным уравнением

х = + + и2 + Щ + г, ж(«о) = ж0,

(1)

здесь фазовый вектор х = (х\.хп) £ Rn; щ £ Rn - управляющее воздействие г-го игрока, z £ Rn - неопределенный фактор; время t £ [<о> i?], где постоянные д > to > 0. Задан момент íj £ (to, ti) переключения интересов второго игрока. Элементы nxn-матрицы A(t) предполагаются непрерывными. Множество ¡Ai стратегий U¡ у г-го игрока есть

Ui = {Ui + = Qi{t)x VQi(-) € Спхп[0,г5)} (г = 1,2,3);

при этом считаем, что элементы n х n-матрицы Qi{t) непрерывны всюду на [0,0], кроме может быть точки ti, где они могут иметь разрывы лишь первого рода, причем в точке íj непрерывны справа. Ситуация U = {U\, U2, lh) 6 U = U\ х Ui х ¿4- Множество неопределенностей Z имеет аналогичный вид:

Z = {Z -т- z(t, x)\z{t, х) = P(t)x VP(-) G Cnx„[0, 0)}.

Игра происходит следующим образом. Каждый из игроков выбирает и использует свою конкретную стратегию Г/; £ Iii (г = 1,2,3). В результате образуется ситуация U = (U\, U2, Uz)-r-+(ui(t,x),u2(t,x),u3(t,x)). Одновременно и независимо от действий игроков реализуется некоторая допустимая неопределенность Z 4-4-z(t,x). Затем определяем решение x(t) системы (1) при щ = tí,(í, z) (г = 1,2,3) и z — z(t,x). С помощью x(í) строим реализации выбранных игроками стратегий u¿[í] = Ui(t,x(t)) (i = 1,2,3) и реализацию неопределенности z[t] = z(t,x{t)). На полученных тройках (a:(i),u[í],í[<] |ío < t < ti) (где u[t] = (ui[í],íx2[í],«3[t])) определена функция выигрыша игроков, заданная квадратичным функционалом

Ji{UtZ,t9,x0) = u^DijU^t] + z[t}Diz[t]}dt (i = 1,2,3),

Ji° j=i

где постоянные n x тг-матрицы DXJ, Di симметричны; штрих сверху означает операцию транспонирования.

Отметим некоторые обстоятельства, которые будем учитывать при формализации гарантированного решения:

-во-первых, игра разбивается на два периода (этапа), первый продолжается от начального момента íq до íi, второй - от ti до момента окончания игры

-во-вторых, оба периода "связаны" одним и тем же решением х^), £ € системы (1), причем правый конец x(tl) этого решения на

первом этапе определяет начальную позицию (¿ьх^)) на втором;

-в-третьих, учитывал, что функция выигрыша М^, 2,1о,Хо) у г-го игрока имеет интегральный вид , ее представим в виде суммы

Ми> г, «0, го) = И, ¿0, хо) + 42)(г/, г, <1, х(ь)) (г = 1,2,3),

здесь

= /¿{Е^ЦЮАмМ + *МА ф]}А;

-в-четвертых, будем также использовать сужения множества стратегий г-го игрока 1А, на [¿о, ¿1) и [¿1,1?), которые обозначим и Ы\2^ соответственно (г = 1,2,3)

= {с//1' = с?!1^)* уд'1^.) е спя„[о,«,)}

г42) = {г//2) -ьи!2)(г,х)|г42)(г,х) = я?]{1)х уд|2)(-) е С7ПК»[*1,*)}.

Аналогично определяются сужения множества неопределенностей 2 на [¿о, ¿1) и [¿1,1?) (обозначаем 2^ и соответственно).

Определение 2. Пару (О, ./[¿о, хо]) £ УхЯ3 назовем гарантированным <1-равновесием (П\Р) дифференциальной игры Гд, если существует неопределенность 2 £ 2 такая, что при любом выборе начальной позиции (¿о>хо) 6 [0,41) X

1°) = Ми,г,1 о, а*) (г = 1,2,3),

2°) имеют место условия тпа.х^(иии2,Оз,2,10,х0) - .Ь{й,2,г0,х0),

и, __ _ _ _

3°) на первсш этапе [¿0^1] игры Гу^ при каэк:с?о.м С/^1' € и всех ситуациях £Л2' Е и неопределеутостях ¿^ £ несовместна система из трех неравенств

2Ы, £0, хо) + 42\ит, ¿V, 1и х(2)(^)) >

> хо) + ¿м, <ь х(«о),

> «о, хо) + 42) {им, ¿V, ¿1, ад),

J3(1)(^(1)t t/2(1). Z™, Ц, a:«) + ¿W, tu xW{tl)) <

< J<»>, to, ar„) + ji2>(C^(a>, ¿<»>,¿„5(4,)),

из которых, no крайней мере, одно строгое;

на втором этапе игры Гд для всех U^ € Ынесовместна

система неравенств

Jf'(!7}2\zmttuХ(и)) < 4знтзкii,s(ii)), jiW.^MV,*!, *(«»)) > ^(D^Vb^i)),

jfW^M^^b^i)) > Jf (CW.^.ix^it!)),

из которых, no крайней мере, одно строгое;

4°) при всех Z £ Z несовместна система неравенств

Ji(U,Z,t0,x0) < Ji(U,Z, t0,x0) {г = 1,2,3)

из которых хотя бы одно строгое;

в 1\\Р ситуация U = {U\,U2,U3) , стратегии игроков и неопределенность

0 = j U!1} при t 6 [to,«!), 2 = ( 21» при t € [to.ii),

' \ при t € [¿i,i?) (г = 1,2,3), 1 При t € [ib 0),

а вектор

J[t0, хо] = (JPHOM^M, ¿о, Х0)+j/2) (¡7<2>, Z(V, tu s(tx))|i = 1,2,3).

На основе подходящей модификации метода динамического программирования устанавливаются достаточные условия существования гарантированного ¿i-равновесия. При этом используем обозначения

Dai = «1-Dii + Oi2D2i - Dai = aiDi + a2D2 - a^Di,

D^ = -ADh + p2D2i + ftDji, D0A = -ДА + /32А + АД»,

D7, = 7i-Di, + 72 Ан + 73-D31, = 7IA + 72 A + 73 A,

где a = (ai,a2,as), 0 = (/3i,/32,Aj), 7 = (7ьТ2,7з) € A = {w = = (w\,iij2iu>3)\u>i > 0 (t = 1,2,3)}. Введем функции

+ E?=1 <4r) + + E?=,[i4,)],-D»«lr) +

+ E?=1 + гИ] + ЕЫ^ГА^Г' + + E^i uir» + iW] + ElL,^]'Aiujr) +

.t4a). Vi">) = äfi +

+ E?=1 «12) + *(2)] + + [z^DfuzW,

и вектора-столбцы уМ^к/Ч vjT\ v}r\ V5(2)), UW = (и[г),и£г,,и£')) (r = l,2)

f Fd) при ieM.il], 1 У<2> при i € [ibi5 + J), где S — сколь угодно малое положительное число.

Далее будем использовать обозначение (u^(t, х, V^)||u|r') =

(u[r)(t, х, VW),..., uj:\(t, x, VW),4},u(irMt, W).....u(3ri(t, x, V(r))).

Утверждение 2. Предположим, что существуют

- вектор-функции = (^'(t,®, V^),u{2r)(t,x, V(r>), 4r)(i,x,F«)) n *«(«,*, VM) (r = 1,2),

- постоянные вектора а,/3,7 £ А,

- непрерывно дифференцируемые на (— <5, i1-t-J)xR™ скалярные функции

(fc=l,2,3,4) и непрерывно дифференцируемые на (t\ — 8, i)xR" скалярные функции Vj2\t,x) (j = 1,2,3,4,5) такие, что

1°) при всех х 6 R" Уу(2)(т?,х) = 0, Vita)(i 1,в) = nCl}(« 1»(* = 1,2,3,4; j = l,2,3,4,5); 2°) для любых t £ [0,ii], х £ R" и V^ € R4

maxWfji, x, uW(t, x, V<1>)||t41), ^(i, x, W), K(1)) =

= ^(t.i.uWit,!, VM),ZM(t,x,VW),vtl)) (i = 1,2,3), min Wi1](t, x, u(')(i, x, VW), zW, V4(1>) =

для любых t £ [ii.tf], x e R" и Vm £ R4

- ^(¿.яг.и«2)^,», Vt1)),^2)^!,^2»),^4) (i = 1,3),

max Wf >(i, x,«(')(«, x, VW)||t42», z<2>(t,x, V<2>), V5(2)) =

= *,u<2>(t, x, У<2>), *<2>(i, x, W), V<2>),

min Wl2){t, x, uW(t, x, Г(2>), z™, Vp}) =

= Wf >(f, x,u<2>(i, x, V<2>), zW(t, x, V(%V4m);

3°) при всех t e [0,ti] MieR" wi1^*,X, tif«^,^»(t, Я»,г, V^JC*. ®)), ®>) =0 (¿ = 1,2,3,4),

при всех t £ [£i, ч9] и x £ R" Wj2)(ttx,u(2>(t,x, V0>(i,я)), *<2>(i, x, V(2)(i,x)), v/2)(t,x)) = 0 (j = 1,3,4,5),

длякаждой возможной пары (U{2\ Zm) eU^xZW, i/(2)4-u(2)(i, x), ¿(2>+i(2)(f,x) будет iy2(2)(i,x,«<2>(i,x), ¿<2)(t, x), V2(2)(t, x)) = 0;

4°) вектор-функции u\r\t, x, Vr'(i, x)) = Ui(t,x) (i = 1,2,3), 2*r'(i,x,V'r'(t,x)) = z^(t,x) (r — 1,2) таковы, что стратегии U-j-Ui(t,x) (г = 1,2,3) и неопределенность Z^ -r-z^(t,x) удовлетворяют включениям t7/r) еК$т) (г = 1,2,3) и Z^eZW (т = 1,2). Тогда ситуация и неопределенность

_ I ом = ff3(1)) при t е [о,*!), = J zw при t 6 [0,*,),

\ i/(2) = (£/1(2),c72(2),t7f)npHi6tt1,i9), 1 ^npHtefi,,^),

таковы, Ч77г<? при любом выборе начальной позиции (to,xo)G 6 [0,ii) х Rn порождают гарантированное ti-равновесие игры Г в

(U,J(U,Z,t0,x0)).

Утверждение 3. Предположим, что

1°) существуют постоянные вектора а,/3,7 £ А такие, что матрицы

Dn < 0, Da2 < 0, Dt32 < 0, £>зз < 0, Dyi > О,

D > 0(<) означает, что квадратичная форма с матрицей D определенно положительна (определенно отрицательна);

2°) специальная система матричных уравнений типа Риккати имеет продолжимое на интервал игры решение (г = 1,2,3,4; j = 1,2).

Тогда пара (0,2) 6 Ы х 2, реализующая гарантированное равновесие (V, 3(0,2,10,2:0)) дифференциальной игры Г о, существует и умеет вид

П _ -П~№(1)х,-ВйЩ1](г)х) при г е [io.ii), и - £/<*> = (и?\ иР) 4- (при г € [¿1,1?),

Г 2<1> -^^'(г)* при £ 6 [«о, Ь), [ 2™ ~ при I £ [«!,,?).

В § 9 используя метод малого параметра выделен класс задач, в которых специальная система матричных уравнений типа Риккати из утверждения 3 имеет продолжимое решение.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации:

- на основе понятий равновесие по Нэшу, векторных оптиму-мов и аналога седловой точки формализовано ¿-гарантированное К-равновесие бескоалиционной игры трех лиц при неопределенности с "расширением" цели отдельного игрока, установлено его существование в чистых и смешанных стратегиях и неопределенностях;

-для бескоалиционной линейно-квадратичной игры при неопределенности, в которой второй игрок имеет дополнительные цели, найден явный вид ситуации и неопределенности, реализующих 5-гарантированное ^-равновесие, получены коэффициентные условия существования;

- на основе метода динамического программирования для бескоалиционной дифференциальной игры трех лиц при неопределенности с переключением во время игры интересов одного из игроков предложен алгоритм построения ситуации и неопределенности, порождающих гарантированное ^-равновесие, введенное специально для данной игры;

- для линейно-квадратичного позиционного варианта найден явный вид ситуации, реализующей указанное гарантированное решение.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Высокое М.И. Бескоалиционная дифференциальная линейно-квадратичная игра с переключением цели отдельного игрока // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: Материалы конференции. Воронеж: ВГТА, 2005. С.60. ОД п.л.

2. Высокое М.И. Бескоалиционная игра при неопределенности и с учетом изменения цели ее участника // Математика. Экономика. Образование. Тез.докл. XIII Междунар. конф. Ростов-на Дону, 2005. С.133. 0,1 п.л.

3. Высокое М.И. Бескоалиционная игра при неопределенности с учетом "симпатий" отдельного игрока // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции. Воронеж: ВГУ, 2005.С.62-63. 0,1 п.л.

4. Высокое М.И. Конфликтная динамическая система с изменением цели одного участника // Новое в науке и производстве текстильной и легкой промышленности: Сборник научных трудов / Российский заочный институт текстильной и легкой промышленности. М. 2005.С.217-222. 0,3 п.л.

5. Высокое М.И. Об одной бескоалиционной игре // Современные методы теории краевых задач. "Понтрягинские чтения XVI". Тез. докл. Воронеж: ВГУ, 2005. С.43-44. 0,1 п.л.

6. Высокое М.И. Об одной дифференциальной игре трех лиц / Известия Института математики и информатики. Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. университета, 2005. Выпуск 2(32). С.35-50. 0,9 п.л.

7. Высокое М.И., Житенева Ю.Н. Бескоалиционная игра с текущим изменением "симпатий" одного из игроков // Spectral and Evolution Problème: Proceedings of the Fifteenth Crimean Autumn Mathematical School-Simposium. Simferopol, 2005. Vol.15. C,175-181. 0,4 п.л. (авт. вклад 50%).

8. Жуковский В.И., Высокое М.И. Бескоалиционная игра с расширением цели отдельного игрока // Сборник докладов Международной науч. конференции "Проблемы управления и энергетики". Тбилиси, 2004. N8. С.35-37. 0,2 п.л. (авт. вклад 50%).

Подп. к печ. 13.06.2006 Объем 1 п.л. Заказ №. 131 Тир 100 экз.

Типография Mill У

Введение.

Глава 1. Бескоалиционная игра трех лиц при неопределенности

§1. Постановка задачи.

§2. Свойства гарантированных решений.

§3. Достаточные условия.

§4. Существование

Развитие общества сопровождается неизбежными конфликтами. Конфликт — это не только борьба двух, но и любое столкновение нескольких, может и не враждующих сторон. Конфликты неизбежны в экономике, экологии, в механике управляемых систем. Исследование математических моделей принятия оптимальных решений при конфликтах составляет содержание теории игр.

Теория игр возникла в начале XX века и первые ее результаты в монографии Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна "Теория игр и экономическое поведение", опубликованной в 1944 году (на русском языке [47]). Первые этапы развития теории игр были посвящены исследованию "статических" игр, в них не учитывалась динамика объекта управления. Однако уже во второй половине XX века, в связи с запросами динамики управляемых объектов, начинает активно развиваться теория динамических игр [1], [41], [48],[19], [21-23], [34], [35], [37], [39], [49], [52], [57].

Одно из направлений теории игр — бескоалиционные игры, которым и посвящена данная работа. В таких играх каждый игрок действует самостоятельно (не имея возможности объединяться с партнерами в выборе своего поведения) с целью достичь возможно лучшего осуществления своей цели.

Первый вопрос, который возникает по поводу любой игры или любого класса игр, заключается в выборе для этой игры (класса игр) принципа оптимальности. После выбора принципа оптимальности необходимо ответить еще на два вопроса: "Существует ли данное оптимальное решение? Как его найти?". Ответы на все эти три вопроса и составляют содержание теории игр, в частности, игр бескоалиционных.

Наличие неопределенности занимает особое место в конфликтных ситуациях. Неполнота или неточность информации об условиях реализации своей стратегии (своего выбора) и есть неопределенность. Она возникает в процессе принятия решений и может быть вызвана различными причинами [16], [17], [26], [29], [35], [28], [33].

Если о неопределенностях априори известны необходимые статические характеристики, то игра при неопределенности ( с помощью перехода к математическим ожиданиям) обычно сводится к игре без неопределенности. В диссертации же используются только такие неопределенности, о которых известны лишь границы изменения, и может реализоваться любая из возможных (в заданных границах), а какие-либо статистические характеристики отсутствуют (по тем или иным причинам).

Для однокритериальных задач при неопределенности в 50-х годах прошлого века были созданы несколько принципов, на основе которых могут быть построены оптимальные решения [43]. К ним относятся — принцип гарантированного результата (максиминной полезности или принцип Вальда), принцип минимаксного сожаления (принцип Севиджа), принцип пессимизма-оптимизма (принцип Гурвица) и др. В настоящей работе подход к принятию решений основывается на подходящей модификации принципа Вальда.

Все вышеперечисленные принципы были предложены для однокритериальных задач при неопределенности. Переход к более сложным бескоалиционным играм требует модификации применяемых принципов. В связи с этим особое значение приобретает активно развивающееся направление теории принятия решений, получившее название "многокритериальные задачи при неопределенности". В России такие задачи исследовались В.А. Гореликом [18], В.И. Жуковским и B.C. Молоствовым [29], М.С. Никольским [48], М.Е. Салуквадзе [31] и др. Параллельно за рубежом ведутся работы F. Ferro [64, 65], T.Tanaka [70-72], W.L. Chan и W.T. Lau [60], G.Y. Chen [61], J.G. Lin [68]. Основные результаты исследования базируются на принципе гарантированного результата. Такой подход обеспечивает определенные гарантии ЛПР (лицу, принимающему решение) по всем критериям. Впервые попытка обозначить теоретические основы бескоалиционных игр при неопределенности была предпринята в книге Жуковского В.И. [26]. Предложенные там подходы стали основой исследований в предлагаемой работе.

Диссертация посвящена бескоалиционным играм трех лиц при неопределенности. В первой главе рассматривается "статический" вариант игры, с расширением цели одного игрока. Предполагаем, что в такой игре второй игрок стремится не только к "собственной выгоде" (как принято в бескоалиционных играх), но и желает "помочь" первому игроку и "препятствует" третьему в достижении их целей. Возникновение игр данного вида связано ' с тем, что в настоящее время в большинстве экономических задач становится неэффективным действовать в одиночку, не обращая внимания на остальных участников игры, пусть и находящихся с тобой в конфликте.

Во второй главе диссертации исследуется динамический вариант. Здесь рассматривается бескоалиционная дифференциальная игра трех лиц с переключением во время игры интересов одного участника (второго игрока), т.е. второй игрок до априори заданного момента времени "поддерживает" первого игрока и "препятствует" третьему, в оставшееся время действует наоборот: "мешает" первому и "помогает" третьему.

Целью работы является формализация и исследование гарантированных решений бескоалиционных игр трех лиц при неопределенности и с указанной особенностью. При этом предполагается, что о неопределенных факторах известна лишь область значений, а какие-либо вероятностные характеристики отсутствуют (по тем или иным причинам).

Объектом исследования является теория бескоалиционных игр при неопределенности.

Предмет исследования — бескоалиционные игры трех лиц при неопределенности, в которых учитывается отношение одного из участников к своим партнерам.

Проблема заключается в формализации решений таких бескоалиционных игр при учете неопределенных факторов, исследование свойств решений и способов построения.

В основу исследования положена следующая гипотеза: на основе модификации принципа гарантированного результата, понятий векторных оп-тимумов, равновесия по Нэшу и, следуя [73], можно определить возможные решения данных бескоалиционных игр, получить условия существования и предложить способ их построения.

Для реализации поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы потребовалось решить следующие задачи:

- формализовать понятие бескоалиционной игры трех лиц при неопределенности с "расширением" цели отдельного игрока;

- формализовать решение указанной бескоалиционной игры на основе понятия равновесности по Нэшу (из теории бескоалиционных игр), векторных оптимумов (из теории многокритериальных задач) и аналога седловой точки (из теории принятия решений в сложных управляемых системах); исследовать свойства такого решения и условия существования;

- для бескоалиционной дифференциальной игры трех лиц при неопределенности и с переключением во время игры интересов отдельного игрока ввести понятие гарантированного решения, выявить условия существава-ния и алгоритм построения;

- найти явный вид ситуации и неопределенности, реализующих гарантированные решения для линейно-квадратичных задач;

- рассмотреть приложение к конкретным экономическим задачам.

Методологическую основу работы составляют методы и подходы теории многокритериальных задач при неопределенности, теории игр, выпуклого анализа, теории матриц и квадратичных форм, дифференциальных уравнений, теории оптимального управления и динамического программирования.

Научная новизна. В работе впервые исследуется бескоалиционная игра при неопределенности, в которой происходит переключение интересов отдельного игрока. Формализация понятий решения данной игры основывается на концепции равновесности по Нэшу и векторных оптимумов; объединение, которых базируется на аналоге векторной седловой точки.

Практическая значимость работы. Результаты диссертации могут быть применены к различным прикладным задачам прогнозирования и планирования в экономике, экологии, механике управляемых систем. В качестве приложения исследована математическая модель функционирования трех фирм на рынке.

Основные положения, выносимые на защиту:

- формализовано понятие гарантированного решения для бескоалиционных игр трех лиц при неопределенности и с расширением цели второго игрока;

- предложены достаточные условия существования указанных решений в чистых, смешанных и квазисмешанных стратегиях при обычных в теории игр ограничениях;

- для линейно-квадратичных игр найдены явный вид ситуации и неопределенности, реализующих указанное решение;

- для бескоалиционной дифференциальной игры трех лиц при неопределенности и с переключением интересов второго игрока во время игры формализовано понятие решения; с помощью динамического программирования установлены достаточные условия существования;

- для линейно-квадратичного случая динамического варианта игры найден явный вид ситуации и неопределенности, реализующих указанное гарантированное решение.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XVI " "Современные методы теории краевых задач" (Воронеж, 2005), на XIII международной конференции "Математика. Экономика. Образование" (Ростов-на-Дону, 2005), на пятнадцатой Крымской осенней математической школе-симпозиуме "Spectral and Evolutionary Problems" (Simferopol, 2005), на Международной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования" (Воронеж, 2005), на семинаре факультета ВМиК МГУ "Риски в сложных системах управления" (Москва, 2005), на научно-методическом семинаре кафедры информатики и дискретной математики МПГУ (Москва, 2006).

Перейдем к краткому изложению содержания диссертации. Диссертация состоит из двух глав, разбитых на девять параграфов.

В первой главе (§§1-5) вводятся гарантированные решения в бескоалиционной игре трех лиц с "симпатиями" и "антипатиями" второго игрока. Именно в §1 определяются основные составляющие элементы такой бескоалиционной игры, описывается процесс принятия решения, определяются цели (на достижение которых направлен процесс управления), рассматриваются различные виды гарантированных решений, формализованных на основе понятий минимума по Слейтеру, Парето, Борвейну, Джоффриону и А-минимума ( из теории многокритериальных задач), понятия равновесия по Нэшу ( из теории бескоалиционных игр) и аналога седловой точки ( из теории принятия решений в сложных управляемых системах).

Далее в §2 исследуются свойства гарантированных решений, устанавливается связь между решениями.

Затем в §3 получены достаточные условия существования гарантированного по Джоффриону решения и А-гарантированного равновесия.

В §4 приводятся теоремы существования для смешанного расширения и квазирасширения игры.

Наконец в §5 представлены экономические модели конкуренции трех фирм.

Содержание второй главы (§§6-9) составляет формализация гарантированных решений и исследование этих решений в бескоалиционных дифференциальных играх трех лиц при неопределенности и изменением отношения отдельного игрока к своим партнерам в процессе игры.

В §6 определяются основные элементы такой игры, формализуется понятие гарантированного решения.

Далее в §7 на основе метода динамического программирования установлены достаточные условия существования гарантированного решения.

Затем в §8 найдены коэффициентные ограничения, при которых существует гарантированное решение линейно-квадратичного варианта дифференциальной игры, и при выполнении таких ограничений построен явный вид пары ситуация-неопределенность, порождающей гарантированное решение.

Наконец, в §9 с помощью метода малого параметра выделен класс линейно-квадратичных дифференциальных игр, в которых существует гарантированное решение.

Основные результаты опубликованы в работах [7], [8], [9], [10], [И], [12], [13], [27].

Основные результаты.

- на основе понятий равновесие по Нэшу, векторного оптимума-и аналога седловой точки формализовано L-гарантированное К-равновесие бескоалиционной игры трех лиц при неопределенности с "расширением" цели отдельного игрока, установлено существование в чистых, смешанных и квазисмешанных стратегиях;

-для бескоалиционной линейно-квадратичной игры при неопределенности, в которой второй игрок имеет дополнительные цели, найден явный вид ситуации, реализующей .^-гарантированное 5-равновесие, получены коэффициентные условия существования;

- на основе метода динамического программирования для бескоалиционной дифференциальной игры трех лиц при неопределенности с переключением во время игры интересов одного из игроков предложен алгоритм построения ситуации, реализующей гарантированное ti-равновесие, введенное специально для данной игры;

- для линейно-квадратичного позиционного варианта найден явный вид ситуации, реализующей указанное гарантированное решение.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Мир реальности слишком сложен и запутан, поэтому экономисты и математики при составлении математических моделей абстрагируются от реальности. Но порой эти модели дают неточное описание действительности. Для того, чтобы приблизиться к реальности, в бескоалиционных играх, желательно учитывать: во-первых, стремление каждого участника к достижению наилучшего результата "для себя", во-вторых, на протяжении всей игры учитывать отношения партнеров друг к другу, в-третьих, неопределенные факторы, о которых игрокам известна лишь область возможных значений (даже любое действие, оказывающее влияние на будущее имеет неопределенный исход).

В диссертации как раз и предложен подход, учитывающий эти обстоятельства.

На наш взгляд, он более адекватно описывает реальные экономические и социальные процессы, происходящие в обществе, нежели классические подходы.

1. Айзеке Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1965. 479 с.

2. Бардин А.Б. Векторный риск: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. СПбГУ, 1992. 14 с.м

3. Вилкас Э.И. Оптимальность в играх и решениях. М.: Наука, 1990. 256 с.

4. Воробьев Н.Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. М.: Наука, 1984. 495 с.

5. Воробьев Н.Н. Современное состояние теории игр // Успехи матем. наук. 1970.25, вып.2.С.81-140.

6. Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. М.: Наука, 1985. 271 с.

7. Высокое М.И. Бескоалиционная дифференциальная линейно-квадратичная игра с переключением цели отдельного игрока // Современные проблемы прикладной математики и математического моделиро-вания:Материалы конференции. Воронеж: ВГТА, 2005.С.60.

8. Высокое М.И. Бескоалиционная игра при неопределенности и с учетом изменения цели ее участника // Математика. Экономика. Образование. Тез.докл. XIII Междунар. конф. Ростов-на Дону, 2005. С.133.

9. Высокое М.И. Бескоалиционная игра при неопределенности с учетом "симпатий" отдельного игрока // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции. Воронеж: ВГУ, 2005.С.62-63.

10. Высокое М.И. Об одной бескоалиционной игре // Современные методы теории краевых задач. "Понтрягинские чтения XVI". Тез. докл. Воронеж: ВГУ, 2005. С.43-44.

11. Высокое М.И. Об одной дифференциальной игре трех лиц / Известия института математики и информатики. Выпуск 2(32). Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. университета, 2005. С.35-50.

12. Высокое М.И., Житенева Ю.Н. Бескоалиционная игра с текущим изменением "симпатий" одного из игроков // Spectral and Evolution Problems: Proceedings of the Fifteenth Crimean Autumn Mathematical School-Simposium. Vol.15, Simferopol, 2005. C.175-181.

13. Габасов P., Кириллова Ф.М. Основы динамического программирования. Минск: БГУ, 1975. 242 с.

14. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1954. 496 с.

15. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971. 383 с.

16. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М.: Наука, 1976. 354 с.

17. Горелик В.А., Горелов М.А., Кононенко А.Ф. Анализ конфликтных ситуаций в системах управления. М.: Радио и связь,1991.

18. Горелик В.А., Кононенко А.Ф. Теоретико-игровые модели принятия решений в эколого-экономических системах. М.: Радио и связь, 1982. 145 с.

19. Горелик В.А., Ушаков И.А. Исследование операций. М.: Машиностроение, 1986. 288 с.

20. Дифференциальные игры со многими участниками: Указатель литературы за 1968-1983 гг./Под ред. В.И. Жуковского и

21. Д.Т. Дочева. Болгария, Русе: Центр по математике, 1985. 114 с.

22. Дифференциальные игры со многими участниками: Указатель литературы за 1984-1988 гг./Под ред. В.И. Жуковского и

23. В.Н. Ушакова. Свердловск: УрО АН СССР, 1990. 139 с.

24. Дифференциальные игры со многими участниками: Указатель литературы за 1988-1994 гг./Под ред. В.И. Жуковского и

25. B.И. Ухоботова. Челябинский ун-т, 1995. 123 с.

26. Дюбин Г.Н., Суздаль В.Г. Введение в прикладную теорию игр. М.: Наука, 1981. 336 с.

27. Житенева Ю.Н. О бескоалиционных играх с "союзниками" и "противниками": Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. МПГУ, 2002. 16 с.

28. Жуковский В.И. Введение в дифференциальные игры при неопределенности. М.: Международный НИИ проблем управления, 1997. 461 с.

29. Жуковский В.И., Высокое М.И. Бескоалиционная игра с расширением цели отдельного игрока // Сборник докладов Международной науч. конференции "Проблемы управления и энергетики" N8, Тбилиси, 2004.1. C.35-37.

30. Жуковский В.И., Жуковская J1.B. Риск в многокритериальных и конфликтных системах при неопределенности. М.: Едиториал УРСС, 2004. 272с.

31. Жуковский В.И., Молоствов B.C. Многокритериальная оптимизация систем в условиях неполной информации. М.: Международный НИИ проблем управления, 1990. 112 с.

32. Жуковский В.И., Молоствов B.C. Многокритериальное принятие решений в условиях неопределенности. М.: Международный НИИ проблем управления, 1988. 132 с.

33. Жуковский В.И., Салуквадзе М.Е. Риски и исходы в многокритериальных задачах управления. Москва-Тбилисси: Интелекти, 2004. 358с.

34. Жуковский В.И., Тынянский Н.Т. Равновесные управления многокритериальных динамических систем. М.: МГУ, 1984. 224 с.

35. Жуковский В.И., Чикрий А.А. Линейно-квадратичные дифференциальные игры. Киев: Наукова Думка, 1994. 320 с.

36. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: Мир, 1964.

37. Клейменов А.Ф. Неантагонистические позиционные дифференциальные игры. Екатеринбург: Наука, 1993. 185 с.

38. Колемаев В.А. Математическая экономика: Учебник для ВУЗов. М.: ЮНИТИ, 1998. 240 с.

39. Кононенко А.Ф. О равновесных позиционных стратегиях в неантагонистических дифференциальных играх.//Докл. АН СССР. 1976. 231, N2. С. 285-288.

40. Кононенко А.Ф., Халезов А.Д., Чумаков В.В. Принятие решений в условиях неопределенности / Под ред. Л.Г. Турина. М.: Вычислительный центр АН СССР, 1991. 79 с.

41. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 455 с.

42. Ли Э. Б., Маркус JI. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 574 с.

43. Льюс Р.Д., Райфа X. Игры и решения. М.: Иностр. лит-ра, 1961. 642 с.

44. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975. 247 с.

45. Морозов В.В., Сухарев А.Г., Федоров В.В. Исследование операций в задачах и упражнениях. М.: Высш. школа, 1986. 288 с.

46. Мушик Э., Мюллер П. Методы принятия технических решений. М.: Мир, 1990. 206 с.

47. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970. 708 с.

48. Никольский М.С. О гарантированных оценках в дифференциальных играх с векторным критерием качества // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1980. N 2. С.37-43.

49. Никольский М.С. Первый прямой метод JI.C. Понтрягина в дифференциальных играх. М.: МГУ, 1984. 187 с.

50. Петросян JI.A. Устойчивость решений в дифференциальных играх со многими участниками//Вестник ЛГУ. 1977. N11. С. 46-52.

51. Петросян JI.A., Захаров В.В. Введение в математическую экологию. Ленинград: ЛГУ, 1987. 253 с.

52. Петросян Л.А., Томский Г.В. Динамические игры и их приложения. Изд-во ЛГУ, 1982. 187 с.

53. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982. 254 с.

54. Понтрягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1961. 212 с.

55. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983.372 с.

56. Смирнова JI.B. Принцип Гурвица в сложных управляемых системах: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. МПГУ, 1998. 13 с. t

57. Basar Т. On the uniqueness of the Nash solution in linear-quadratic differential games // Int. J. Game Theory. 1976. Vol 5, N 2-3. P. 996-999.

58. Blackwell O. An analog of the minimax theorem for vector payoffs // Pasific J. Math. 1956. N 6. P.l-8.

59. Borwein J. Proper efficient points for maximization with respect to cones // SIAM J. Control and Optimiz. 1957. Vol. 15, N 1. P. 57-63.

60. Chan W.L., Lau W.T. Vector saddle-point and distributed parameter differential games//Comput. and Math. Appl.1989. 18, N1-3. P. 195-207.

61. Chen G.Y. A generalized section theorem and minimax inequality for a vector-valued mapping//Optimization. 1991. 22. P. 745-754.

62. Chen G.Y., Quan Z. Minimax methods for open-loop equilibra in N-person differential games. Part II: Duality and Penalty Theory//

63. J. Comput. Math. 1992. 10, N4. P. 305-320.

64. Dolezal J. Open-loop and closed-loop eqilibrium solution for multistage games // Banach Center Publ. Vol. 1. Proc. Conf., Zakopanne, 1974. Warszava:PWN, 1976. P. 73-81.

65. Ferro F. Minimax theorem for vector-valued functions//J. Optimiz. Theory and Appl. 1989. 60. P. 19-31.

66. Ferro F. A Minimax theorem for vector-valued functions. Pt. 2// J. Optimiz. Theory and Appl. 1991. 68, N1. P. 35-48.

67. Geoffrion A.M. Proper efficiency and the theory of vector maximization // J. Math. Anal, and Appl. 1968. Vol. 22, N 3. P. 618-630.

68. Hurwicz L. Optimality criteria for decision making under ignorance: Cowles Commission Descussion Paper. Statistcs, 1951. 370 c.

69. Lin J.G. Maximal vectors and multi-objective optimization // J. Optimiz. Theory and Appl. 1976. Vol. 18, N 1. P. 41-68.

70. Nash J.F. Non-cooperative games//Annals of Math. 1951. 54. P. 286295.

71. Tanaka T. Cone-convexity of vector-valued function // The Science Reports of the Hirosaki University. 1990. 37. P.170-177.

72. Tanaka T. Generalized quasiconvexities cone saddle points and minimax theorem for vector-valued function // J/ Optimiz. Theory and Appl. 1994. 81, N 2. P.335-337.

73. Tanaka T. Two types of minimax theorems for vector-valued functions//J. Optimiz. Theory and Appl. 1991. 68,N2. P. 321-334.

74. Zhukovskiy V.I., Salukvadze M.E. The vector-valued maximin. New York etc.: Academic Press, 1994. 404 p.