автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Равновесие по Нэшу при неопределенности

Р Г Б ОЙ 2 7.ЯНВ 1997

На правах рукописи

Макаркнна Татьяна Владимировна

РАВНОВЕСИЕ ПО НЭШУ ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования н математических методов в научных исследованнх (по математическим наукам)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико- математических наук

•Москва - 1997

Работа выполнена на кафедре математики физнко-ыатеыатнуеского факультета Орехово-Зуевского педагогического института

Научный руководитель -кандидат физико-математических наук, доцент Г.И. Житомирский

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.И. Благодатских кандидат технических наук, доцент В.Л. Серов

Ведущая организация:

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана

Защита состоится * l'f" o^tAspXi 1997 г. в 15 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета К 053.22.28 в Российском университете дружбы народов.

Адрес: 117923, Москва, ул. Орджоникидзе, 3.

С диссертацией можно ознакомится в Научной библиотека Российского университета дружбы народов по адресу: 117198', ул. Миклухо-Маклая, д.6.

Автореферат разослан

»/3 »мЛео/U- 1997 Г.

/ Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, • доцс»т -С.С. Спесивоз

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многие технические, экономические и социальные проблемы, возникающие и процессе деятельности человеческого общества, требуют построения математических моде -ей, в которых учитываются, по крайней мере, пять факторов. Во-первых, наличие нескольких взаимосвязанных управляемых систем, интересы которых не совпадают. Во-вторых, наличие возмущений, помех, ошибок измерений и другого вида неопределенностей, о которых известны лишь границы изменений, а какие-либо вероятностные характеристики отсутствуют. В-третьих, сами системы меняются с течением времени. В-четвертых, управление системами осуществляется по принципу обратной связи. В-пятых, необходимость учета запаздывания при передаче информации.

Одновременный учет всех указанных факторов является, несомненно, актуальным и может быть осуществлен в рамках дифференциально-разностных игр нескольких лиц при неопределенности.

Цель работы состоит в исследовании некоторых вопросов теории бескоалиционных игр при неопределенности таких, как формализация решений на основе концепции равновесия по Нэшу, их классификация, исследование существования п построение решенией, в том числе для позиционных линейно-квадратичных дифференциально-разностных игр при неопределенности.

Методика исследования. В доказательствах используются общие понятия и факты из теории игр, теории многокритериальных задач, выпуклого анализа, теории дифференциальных уравнений с запаздыванием времени, оптимального управления.

Научная нопнзна. Для бескоалиционных игр при неопределенности на основе концепции равновесия по Нэш" формализованы новые понятия решений, исследованы их свойства. Доказано существование таких решений п классе смешанных стратегий. В качестве примера рассмотрена одна из задач охраны окружающей среды от загрязнения.

Для дифференциально-разностных позиционных линейно-квадратичных игр при неопределенности формализованы новые решения, проведена их классификация. На основе динамического программирования получены достаточные условия существования, найден яциый вид решений и предложен способ построения выигрышей игроков по известный ситуации и неопределенности.

Основные результаты являются новыми.

Практическая н теоретическая ценность. Полученные и диссертации подходы можно использовать для общего исследования дифференциально-р зностных игр при неопределенности. Прелагаемые: способы построения иопых равновесий дают возможность решать некоторые конкретные задачи экономики, экологии (и качестве примера в диссертации приведено решение задачи охраны окружающей среды от загрязнения).

Лнробацнк работы. Результаты, составляющие содержание работы, обсуждались на региональных, всероссийских и международных конференциях, школах, семинарах. Они докладыпались на III Международной научной конференции "Многокритериальные задачи при неопределенности" (Орехово-Зуево, 190-1), IV школе "Математические проблемы экологии" (Чита, 1994), III Международной конференции жеишнн-ыатематнкоь (г.Воронеж, 1995), Между народном научном конгрессе студентов, аспиранток н молодых ученых "Молодежь и наука - третье тысячелетие" (Москва, 199G), Международной конференции "Математики, компьютер, образование" (Дубна,_ 199GJ, IV Международной конферен-¡!нн женщин-математиков "Математика. Модслиропанне. Экология." (Волгоград, 199G), IV Международной научной конференции "Многокритериальные и игровые задачи при неопределенности" (г.Орехово-Зуено, 199G), а также на научных семинарах Института Кибернетики Академии Наук Украины, Российского университета дружбы народов и Орехово-Зуевского педагогического института.

Публикации. Основные результаты изложены к статья* (2, 3, 5, 6] и Tejiicax [1, '1, 7, 8], некоторые из них вь лолныш и соавторстве. Утверждения; вошедшие н диссертацию, получены аитором самостоятельно.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и дву> глав, разбитых па 10 параграфов. Объем работы 10-1 страницы маши-полисного текста. Библиография содержит 57 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Do введении обосновывается выбор темы диссертации и кратко из ложены основные результаты работы.

Л пйраой главе рассматривается бескоалиционная игра п лиц npi неопределенности '

r=<N,{{A'i}ieH>y},(/i(i,y))i£N>> (1

где U = {1,2, ...,п} - множество номеров'игроков; в игре (1) каждьг »-им игрок выбирает и использует свою стратегию х; б Л"; С К"' (t (

G М), п результате складывается ситуация х = G X С Rn

(п = £ 77£); предполагаем, что A"¡ - компактное подмножество в Rn|; ¡eN

А' = П Хг, нсопределсь.юсти у G Y G comp Rm; скалярная функция ¿eN

выигрыша fi(x,y) для i-ro (i G M) игрока непрерывна на X х У; я-мернын вектор /(¡с,у) = (fi(x,y),..., fn(x,y)) = (/.(-»2/)):'eN-

При принятии решений и игре (1) игроками учитываются два обстоятельства:

- бескоалиционный "'характер" игры,

- наличие возмущений, помех н других неопределенностей.

Б диссертации предлагаются два подхода к формализации решения игры (1). Первый из них представляет собой аналог ссдмоой точки антагонистической игры с векторной функцией выигрыша, второй - модифицирует понятие векторного максимхша, предложенного D.K. Жуковским для многокритериальных динамических задач при неопределенности1 .

Определенно 1. Ситуацию х' = (sj,..., ж®) G А' назовем рав-иовесисм Иэиш-СлЫтсра игры (1), если существует неопределенность Vs G Y такая, что

Io. /Дг'Н*.-,Ы < G Xit i G N; ''

2o. система неравенств

fi{x\y) </,(*',Уз), »GN,

несовместна при всех у G У.

Здесь и далее используется обозначение

(x*||zj) = .....О =

Утверждение 1. Если х" - равновесие Пэша-Слей гера игры (1), 2/J - соответствующая неопределенность, то

fi{x',ys) > max min min f¡{x¡,xNx{,y)t i G N, *i£Xt »er (

где хщ = (xi,...,x,_i,arí+i,xn) G = П X¡.

Пусть от - множество всех пар {x',ysj, удовлетворяющих определению 1.

'Zbukovekiy V.l. and Salukredie М.Е. The Vector-Valued Mtucimin. Boston, New York, London: Academic Presa, Inc., 1994. 404 p.

Утверждение 2. Множество ал= {(г'.у^)} янляется компактным подмножеством (быть может, пустым) в^хК,

Д лес предлагаются два способа сведения бес эалициошюй игры при Неопределенности (1) к известным в общей теории игр задачам. Первый сводит нахождение равновесия Нэша-Слейтера к построению ссдловой точхн" следующей антагонистической игры со скалярной функцией выигрыша

<1хУДхГ1Ф(г,у,2)«)>. (2)

где Ф(х,у,г,у) = £ [/¿(¿¿.яж.-.у) - /.(ж,и)), вектора х;, зг, б Хц а у, •еН

V б У, тогда а:^ € ЛГ^, а б X, г = (ги...,гп) б X.

В игре (2) первый (минимизирующий) игрок выбором своей стратегии (я,!/) б Л" х У стремится достичь возможно меньших значений Ф(х,у,2,у), второй (максимизирующий Ф(х,у,2,р)) распоряжается выбором (г,и) б X х У.

Теорема 1. Если (х'^Уз,- седловая точка игры (2), т.е.

Ф(г%У5,г,г)< Ф(х',у3,г°У) < Цх>у,2°У)

при любых х,г б X, у,у б У, то хс есть равновесие Нэша-Слейтера игры (1).

Другой способ отыскания равновесия Нэша-Слейтера сводится к построению ситуации равновесия но Нэшу специальной бескоалиционной игры, эффективно конструируемой по исходной (1). Для этого бескоалиционной игре при неопределенности (1) поставим в соответствие вспомогательную бескоалиционную игру (без неопределенностей)

<пи{п+1),{{Х^п,У},(11(х,у),...,/п{х,у)1/п+1(х,у)) > . (3)

В отличие от игры (1), здесь добавлен еще один игрок (п + 1-ый), который выбором своей стратегии у £ У стремится достичь возможно большего значения своей функции выигрыша

Л+Л*. У) = !>)•

; ;еР1

Теорема 2. Если пара (з'.уз) является ситуацией равновесия пс Чэшу бескоалиционной игры (3), то хе есть равновесие Нэша-Слейтера игры (1).

11а основании этих двух Подходов установлено существование решения Нэша-Слейтера в смешанных стратегиях и выделены частные видь; игры (1), в которых данное решение достигается в чистых стратегиях

Наконец, рассматривается следующая задача экологии - задача охраны окружающей среды от загрязнения.

Каждое из трех промышленных предприятий (игроки 1-3), пользующихся для технических целей водой из некоторого природного водоема, располагает двумя чистым)! стратегиями: использование очистных сооружений для отработанной воды (стратегия 0) млч сбрасывание ее л водоем без очистки (стратегия 1). При этом первые два ire знают стратегии третьего и его стратегии являются неопределенным фактором (неопределенностью) для первых двух. Предполагается, что особенности водоема и технических процессов на первых двух предприятиях та-• ковы, что если неочищенную воду сбрасывает только одно предприятие, вода в водоеме остается пригодной для использования, и предприятия убытка не несут. Если же неочищенную поду сбрасывают не менее двух предприятий, то каждый пользователь несет убытки в размере трех (денежных) единиц. Стоимость использования очистных сооружений • обходится каждому предприятию и одну (денежную) единицу.

Тогда математическую модель взаимодействия предприятий можно представить л виде следующей бескоалиционной игры двух лиц при неопределенности

<{l,2},{Xi,X3,Y},(A(xl,x„i/))i=i,1>, ' (4)

где 1 и 2 - номера игроков; множество А',- стратегий Xi для i-ro игрока есть Xi = {0,1}; множество У неопределенностей у будет У '= {0,1}. Наконец, функция выигрыша г-го игрока

Î0, если (®{ = 1) Л (|/f | < 1), -1, ссли(г, =0)Л(|/Г|<1), -3, если (®i = 1) А (|ЙГ| > 2), -4, если (х; = 0) Л (|Л'| > 2).

Здесь К - множество номеров предприятий, сбрасывающих неочищенную воду; ! ЙГ| - их число.

На основании теоремы 2 бескоалиционной игре двух лиц при неопределенности (4) поставим в соответствие бесгоалициопиую игру трех лиц (без неопределенности) в смешанных стратегиях

T=<{l,2,3},{{vi}i^a,{fi}},{fi{vl,v3,ii))^w>i (5)

где добавлен третий игрок с функцией выигрыша

j

, V2, Ц) = ~ Y, /Л"! • Ъ, I*)-

В игре (5) каждая смешанная стратегия игрока полностью опи-сыпается вероятностью выбора им своей второй чистой стратегии x^ = 1.

Таким образом, множество всех смешанных стратегий этого игрока можно представить как сегмент [0,1], а множество всех ситуаций и смешанных стратегиях - как единичный 3-мернын куб. Следовательно, в игре (5) множества смешанных стратегий игроком имеют вид

{*} = «¿14 е [0.Щ (< = 1.2), {/'} = {616 6 [0,1]}.

В диссертации найдено равновесие Нэша-Слейтера игры (5), исследованы его свойства, описывается все множество таких решений, обсуждаются их позитивные и негативные стороны.

Формализацию решения игры (1) (па основе аналога векторного мак-снмииа) проведем в три этапа.

I этап. Каждой ситуации х в X поставим в соответствие множество

минимальных по Олейтеру решений уз{х) многокритериальной задачи

(то есть система неравенств

/¿(г,!/) < Д(г,Ы*)), »'€М,

несовместна для любых ¡/¿-(ж) 6 и у € У).

II этап. Для каждого измеримого електора у,х{-) 6 ¥"$(•) построим бескоалиционную игру

гдз д?(х) = Мх,уа(х)),Ух £ X.

Рассмотрим смешанное расширение Ги игры Га, т.е. бескоалиционную игру

• Га

где множество N определено выше, {и} - множество смешанных ситуаций *>(•) = ... ^п(')! смешанная стратегия ¡л для ¿-го (г £ М) игрока отождествляется с вероятностной мерой на множестве X,-; функция выигрыша у? (и) для ¿-го игрока имеет вид •

Р.» = / Л°(*)<М*) = I <Мх,)-" I д°(х)(11Уп{хп). X Хх х„

III этап. Пусть {i/} - множество ситуаций равновесия по Нэшу во всех играх Га. Тогда для каждой фиксированной ситуации и' £ {i/e} множество Л„. индексов а, для которых и' является равновесием по Нэшу, не пусто. Введем обозначение G(v') — |J ga{ve), где ga(v) =

— (5Г(")> • • •»'Jn(u)) " рассмотрим многокритериальную задачу

Ге =< {i/'},G(v') >

с многозначным векторным критерием G(-): и' —► G{v').

Определение 2. SENS-решеннсм (Slater-Equilibrium-Nash-Slater) в смешанных стратегиях бескоалиционной игры при неопределенности (1) будем называть максимальное по Слсйтеру решение й' многокритериальной задачи Ге.

Теорема Д. Если А",- и У есть компакты и /,(х,у) непрерывны (г G 6 Г»), то в игре (1) существует SENS-ретенне в смешанных стратегиях.

Вторая глава посвящена бескоалиционной линейно-квадратичной дифференциально-разностной позиционной игре двух лиц при неопределенности.

Рассматривается следующая дифференциально-разностная игра двух лиц при неопределенности

< {1,2},Е,{иии3,2},ши,г,и,х,(Ш-1.1> • . (в)

В такой игре изменение управляемой системы Е описывается векторным линейным дифференциальным уравнением с постоянным запаздыванием времени г > О

^ = Л(«)*М + B{t)x[t - г] + Щ + и3 + г, (7)

а функция пынгрыша t-ro игрока определена квадратичным функционалом

т

Ji{U, Z, i.,x.(tf)) = x'{T\Cix[T] +1{a'IiJG^W + «',[<)DaUl|t|+

t.

+ti'JlilDjattaW + *,|flLi«W}<itl (i = 1,2)! (8)

Вектора x 6 R", u; 6 Rn, z 6 Rn, щ - управляющее воздействие i-го игрока (» = 1,2); г - неопределенный фактор; элементы матриц A(t), B{t) непрерывны на (—т,Г], а постоянные п х n-матрнцы Дь

D¡3) L¡ (i = 1,2) симметричны; фиксированы моменты начала t, > 0 и окончания Т > i. игры; задацы начальные условия:

x[í, += z,(i)), —т < i? < О, (9)

где z.(i?) G С„[—7,0]. (Здесь и далее С„[-т,0] есть множество непрерывных на [—г,0] п-вектор-фунхцнн а для матрицы D > 0(< 0)

• означает, что квадратичная форма u'Du определенно положительна (отрицательна)); величина запаздывания r=const> 0.

Множество стратегий ¿-го игрока

о

Ui = {Ui ~v,(í,х(И))K(Í,х(0)) = (ЛМО) + J tf)x(t/)rf<>,

—г

nxn—матрицы Qi1\i),Qil\i,'ú) непрерывны при t Е [0,Т],1? 6 [-т,0]},

(¿ = 1,2),

множеству ситуаций U = (ÍA, Г/2) 6 U — U\ х Щ.

Множество неопределенностей (помех, возмущений, ошибок измерений'н т.п.) вводится аналогичным образом:

о

Z ~ {Z -i- z(/,x(tf))|z(t,x(tf)) = Р<1'(0®(0) + I P(3\t,ti)x{i))dV,

—т

ti x u — матрицы P(1)(l),P(J)(í,i?) непрерывны при i е [0,Г],1? е [-т,0]}

Здесь и далее обозначается ж(т?).е С„ [ — т, 0] - отрезок траектории системы Е "длнни'залаз.цивания", через - x[t + &},l. < t < Т,-т < < t? < 0, тогда x[l\ — z[í + 0] - 2((0), - г] — x¡(~r). Кроме то-

• го, в (8) функции «;[;] = = e¡(í,a:[i'+ !?]), г[1] = *(*,*,(i?)) = = z(¿,a:[¿+i?]), где art(i?) = x[í-f-tf), t € [í„ 7'j, г? € [-r,0j - решение (7), (9) при выбранных игроками стратегиях U, -г t^(í,x(t?)) н реализовавшейся независимо от них исопредсленностн Z — z(l,x(i))).

Определение 3. Ситуацию Ue <Е U назовем равновесием Кэша' Слсйтера игры (6), если существует неопределенность Zs Е Z такая что при любом выборе начальной позиции (U,x,{i?)) £ [0,7') х (7„[—т,0 Io. ситуация Uc = (í/f.i/j) являе'тся равновесной по Нэшу i дифференциально-разностной игре

< {1,2}, E(Z = Zs),m^,(MU,Zs,i.tx.(mi^ >•

которую получаем из (б), фиксируя ситуацию U -■= У; 2°. неопределенность Zs минимальна по Слейтсру в двухкритериальной задаче

< = Z,t.,x.W)),MU\Z,U,x.(m >,

которую получаем из (0), фиксируя ситуацию f/ = Г/'. Аналогично формализуются еще три решения игры (G) (равновесие Нэта-Парето, Нэша-Борвейна, Нэша-Джоффриона) и установлена связь между ними. Все четыре поеденных решения игры (G) являются гарантирующими (в "векторном смысле").

Утперждеиие 3. Если в игре (6) существуют

= и« mm.MUitU3tZ,t,tx,(-0)) =

= min 2, *.,*.(*)),

l "it^i

JHl.,iг.(0)] = max min J2{UltU2,ZtU,x.{d)) =

(ui./J

= min

lffl,Z)

то

'MUi,Ui,ZK,tt,x.{4)) > (» = 1.2JÄ- = S,P,B,G).

Утверждение 4. Каждое нз решений (W, Zj;) (FC — StP,D,G) игры (6) динамически устойчиво.

D диссертации выделен класс дифференциально-разностных игр вида (G), для которого установлены "коэффициентные услопия" существования равновесий Ноша-Джоффриона н найден их явный вид. Утверждение 5. Пусть ' 1°. Dn <0,£>2З*<0; .

2°. существует постоянная а € (0,1) такая, что

L(a) = rtlj + (1 - а)Ьг > 0;

3°. матрицы er(t), Ai(t,i7), i 6 [0,Г], 11,р 6 [-т,0] (» =

= 1,2,3) есть решение специальной "гибридной" системы дифференциальных уравнений, содержащей матричные системы обыкновенных уравнений и уравнении с частными производными.

Тогда равновесие Нэд1а-Джоффриопа ({/¡",i/j) дифференциально -разностной игры (G) существует и имеет вид

Щ = -DJ 0) + ¿jb'MxWdtij (i = 1,2),

а соответствующая неопределенность Zg есть

. Za ~ zn(t,x(i?)) = ГГ\<х) ^(t)x(0) + i f j .

Затем рассматривается следующая бескоалиционная лнненио-киа-дратичная дифференциально-разностная позиционная игра двух лиц при неопределенности

< > . (10)

Здесь управляемая система И описывается векторным линейным диф ферепциальным уравнением с постоянным запаздыванием

= Л(0*[<] + B{t)x[l - г] + и, + «„ (11)

x[t, + 1?] = .z.(tf), -г < 1? < 0,

где фазовый вектор х 6 Rn, управляющие воздействие t-ro игрока € £ Rn (i = 1,2); элементы nxn-матр.чц A[t), B(l) непрерывны на \—r,T\, фиксированы моменты начала I. > 0, окончания игры Т > t. и начальная позиция (1,,х,(0)) € [О,Г) х Сп{—г,0]. Множество стратегий »-игрока (i = 1,2) то же, что и в игре (G). Множество неопределенностей

= РМ(1)Х(0) + J PW{t,ti)x{4)dV,

— Г

для любых u(i,x(t?)) = (ui(<,x(tf)),«s(<,s(tf))), где I/; -f- ti;(i,x(i?)),i/; е € Ui (t = 1,2), матрицы pW{t),pW{t,i?) непрерывны при t е [0,Т],

Можно предложить следующую "игровую" интерпретацию используемого здесь класса неопределенностей (контрстратегий - в терминологии теории дифференциальных игр). Пусть выбор неопределенностей есть результат действий фиктивного игрока, который, не имея "своей"

функции выигрыша, стремится "максимально навредить" первому и 1'юрому. Не зная его возможностей, естественно этого дополнительно-'о игрока наделить более широкими информационными возможностями, ю сравнению с первым и вторым. Именно, можно считать, что кроме >салнзующейся позиции, он может мгновенно узнавать или угадывать )салиэующиеся управления первого и второго. Тогда его способ упра-)лспия учитывает как складывающуюся позицию игры, так и страге-■ии "действующих" игроков. Данный подход можно обосновать и тем, 1то, не зная о действиях дополнительного игрока, игроки 1 и 2 принимают свои решения, считая, что их противник имеет "наибольший фостор действий", который только возможен в рамках используемого сласса неопределенностей.

Функция выигрыша »-го игрока в игре (10) задана квадратичным функционалом

т

+г,\1\Ь{г\(\+2г'ЩМ1щ[1)}(11 (¿ = 1,2), (12)

дась «,•[<] = = + 0]), г[*] = х^-О))) -

= г(<,х[*+1?],и(*,х[*+01), где х^г)) = +0],/ 6 [¿.,Г],г> 6 [-г.О) - ре-нение системы (11) при выбранных игроками стратегиях ¿/¡+«¿(¿,1(1?)); I х п-матрицы С;, (г,] = 1,2) постоянны и симметричны, М; -

юстоянны (г = 1,2).

Отличие игры (10) от (б): здесь неопределенности (помехи, воэмуще-1ия) "не действуют" непосредственно на управляемую систему Е-г(11), I оказывают влияние лишь на выигрыши игроков.

Формализацию решения игры (10) (аналог векторного максимина) фоведем в три этапа.

I этап. Каждой ситуации и — ,£ И поставим в соответствие тожество минимальных по Слейтеру неопределенностей + "{■&),и) (Я* £ 2и) двухкритериальной задачи

< Б + (9> . (13)

II этап, Для каждого Е построим бескоалиционную шфференциально-разностную игру

которую получаем из (10), фиксируя неопределенность = Zf.

Пусть U' = (£/,',Щ) 4- (ut(i,z(i?)),«5(i,x(i7))) = u'(t,x{ß) € W - одна из ситуаций равновесия по Нэшу игры (14).

Обозначим через {({/', Z^.)} множество всех пар, удовлетворяющих требованиям второго этапа.

III этан, Рассмотрим двуЛкрнтернальную задачу

< V ,Zl.)),(Ji{U\Zl.,l.,x.{-d)))i=ia > . (15)

Определение 4. Ситуацию 0' назоы.м SENS-рсшсиисм игры (10) если существует неопределенность Z?, такая, что пара ((/',Z?,) ccti максимальное но Слейтеру решение двухкритсриальной задачи (15) т.е. для любых € {(tf'.Z*,)}, («.,*.(*)) € [0,'Г) х Сп[~т,0

несовместна система неравенств

Ми\2$,1.,х.№>М0*,2&,1.,х.{ 0)) (¿=1,2).

Утверждение 0. Если Li > 0 (i = 1,2), то при любых i/ 6 И 1 (t,,x,(\))) € (0,Т) х Cn[-r,0] множество Z* минимальных по Слейтеру неопределенностей Z*(a) двухкритсриальной задачи (13) имеет вид

зг«? и W(*)h (w:

а£[0,1|

где

Zfo) ~zs(t,x(t?),«,.<*) = -¿"'(«^(«K ■.' .

матрицы L(a) = aL\ + (1 - a)L3, M[a) = aM\ + (1 - a)Af3.

Утверждение С приводит к следующей процедуре построения liccг множества минимальных по Слейтеру неопределенностей задачи (13 при условии Li > 0 (» = 1,2).

Пусть в игре (13) фиксирована некоторая ситуация U = (C/i.tTj)--r(t»1(<,s(i?)),uj(:,x(i?))), U & U. Для этой ситуации множество мини мальных но Слейтеру неопределенностей состоит из неопределенне стей вида

о

e(i°w*(o) + / QVwmw* .

—г

причем каждому числу а 6 [0,1] отвечает "своя" неопределенност Z^(a), а все множество получаем, когда а "пробегает" все значен» от 0 до 1.

ZZ(a) + -L-l{a)M-x{a)

IIa этапе II построения SENS-решения найдем явный вид игры (14). С этой целью в функциях выигрыша (12) заменим г на z3 из (16). В такой преобразованной игре новые функции выигрыша примут вид

т

Л(£/, - *'[Г]<7,*(Г] + JКМадаМ*]*

I. .

-HiiMDntuMJcft (< = 1,2), (17)

где

Dü(а) = Di 1 + M'(a)L-\a)LiL-l(a)M(a) - M'{a)L'l{a)Mi-

-М1Ь-\а)М{а) (¿==1,2).

Далее рассматриваем бескоалиционную дифференциально-разностную игру двух лиц (14) (без неопределенности), где система множества стратегий игроков Ui (i = 1,2) те же, что и и игре (10), а функции выигрыша игроков Ji(U,Z^,t,,x,(i?))(» = 1,2) имеют вид (17). Утверждение 7. Пусть 1°. Dn <0,D„(a) <0,Va6 [0,1];

2°. матрицы e:(i,a), AjM.a), S?(<,tf ,/?,a), i S [0,T], 0,/> S [-r,0] (i = 1,2) есть решение специальной "гибридной" системы дифференциальных уравнений. .

Тогда при любом выборе начальной позиции (i., г,(тЗ)) 6 [0,Т)х xCft[—г,0], равновесная то Нэшу ситуация игры (14) имеет вид Ue = (Iгде

Щ+ и?(«,*(0),а) = -ßn\a) ^Qt(t,aM0) + i|AI(<,t?,a)x(i))^j ,

Щ xW,а) = -D,-,1 ^0;(i,e)x(O) + Ц A;(<Aa)x(t?)etfj , (18) (при любых а G (0,1]).

, Перейдем к этапу III построения SENS-решения. Для этого найдем выигрыши обоих игроков в игре (14) п ситуация U' = из (18).

Именно, имеет место

Утперждение 8. Если выполнены условия 1° и 2° утверждения О, то выигрыши игроков в игре (14) в ситуации V из (18) будут

и и

IМI х'.{*)Е1(1.,4,р,а)х.(р)Лр+

—т —т

О —т

где п х п-матрицы Нч7,р,о), Л;((,17а), 0;(<,а); ( £ [0,7'], г>,р € 6 [—т, 0] (1 = 1,2) есть решение специальной "гибридной" системы дифференциальных уравнений.

Теорема 4. Пусть для дифференциально-разностной игры (10)

1°. матрицы > 0, (* = 1,2), < 0,

2°. при всех а 6 [0,1] матрица Йц(а) < 0,

3°. а' максимальна по Слейтсру в двухкритериальной задаче

<

[0,1 \,(jd* J\,.(i3)Ei(i.,0ip,a)x,{p)dp+

+*'.(0) J^ hi(t.,i),a)x,(ti)dd + x't(0)Qi(l„a)x.(0)').mi j > .

Тогда при любых начальных позициях (t.,x.(t7)) G |0,Г) х С„[—г,0] a) SENS U' = (0't0j) игры (10) иисет вид

о

в;(1,а*)х(0) + - J AKi.tf.a*)x{d)dti

1 0

е;«,о*)х(о) + i j

Ь) векторная гарагтия при этом будет

о и

Ji{V\Zl.ti„x.{-d))= JdtJ x',(i?)Ej(i,, р, a*)x,{p)dp+

— Г —Г

О

+х'.(0) У Ai(t.,0,a*)x.(*)M + х'.(0)ё,(<.,а*)х.(0) (» = 1,2).

— Т

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1) введены новые понятия гарантированных решений для бескоалиционной игры п лиц при неопределенности;

2) установлены сионства гарантирующих решений бескоалиционной игры при неопределенности;

3) доказано существование введенных решений в классе смешанных стратегии;

4) данные решения построены для одной модели охраны окружающей среды от загрязнения;

5) устаноплешл удобные для приложений коэффициентные критерии существования гарантирующих равновесий лннейно-квадратнчной дпфферемциалыю-разпостной позиционной игры при неопределенности, найден явным вид таких решений.'

Основные результаты диссертации отражены в следующих опубликованных работах:

1. Житомирский Г.И., Макаркнна Т.П. Охрана от загрязнения окружающей среды// Математические проблемы экологии: Тез. докл.

- Чита, 1994. - С.42-43.

2. Макаркнна Т.В. К модели охраны окружающей среды// Сложные динамические системы: Сб.науч.тр. - Псков: Псковский пед. нн-т. -1991. - C.1G3-1G8. ■ .

3. Макаркнна Т.В. "Статические" игры при неопределенности// §3.4. из кн. Жуковского H.H. и Чикрия A.A. "Линейно-квадратичные дифференциальные игры". - Киев: Ilayкоза думка, 1994. - С. 232-281.

4. Makarkina T.V. About one solution for dilferential-diflerence game under nncertainty//Tlie IV-th Inter. Workshop "Multiple criteria and game problem? under uncertainty": Abstracts. - Orekhov'o-Zuevo. Russia. 1990.

- P.G5. .

5. Житомирский Г.И., Макаркнна T.B. СПП-решеинс одной бескоалиционной игры при неопределенности // Сложные управляемые системы: Сб. науч. тр. - М.: РосЗИТЛП, 199G. - С.17-20.

6. Макаркнна Т.В. Решение Нэша-Джоффриона в одной дифференциально- разностной игре при неопределенности//Сложные управляемые системы: Сб.науч.тр. - М.: РосЗИТЛП, 199G. - С. 30-33.

7. Макаркнна Т.В., Голанова H.H. Об одной задаче экологии // Международная конференция "Математика, компьютер, образование": 'Гез. докл. - Дубна, 199G. - С. 87.

8. Макаркииа Т.В. Равновесие Цэша-Джоффриона в одной дифференциально-разностной игре // IV Международная конференция женщин-математиков "Математика. Моделирование. Экология": Тез. докл. - Волгоград, 1996. - С.88.

Makarkina Tatjana Vladimirovna (Russia) Nasi) equilibrium under uncertainty

Л new solutions for non-cooparctivc games under uncertainty was introduced on the basis of the conseption of Nash equilibrium. Two approaches arc using under formalization of solutions: the first is the analogue of the saddle point in antagonistic gam'c with the vector function of payoiT; the second is the principle of guarantee result. The first chapter is devote the "static"version of problem, the second chapter is devote a lincar-qiidraticdilTcrcntial-difTcrcncc games. Л researches arc on Scam оГ the theory of multicritcria problems, the theory of non-cooperative games, the theory of differential positional games and the theory of acceptance solutions under uncertainty. Suggested wayes of construction a new equilibriums gave a possibility solve specific problems of economics, ecology and mechanics of controllable systems.

Мпкпркина Татьяна Владимировна (Россия) Panuonccne по Нашу при неопределенности

Для бескоалиционных игр при неопределенности па основе концепции равновесия по Нашу введены новые решения. При фомализацни решений используются два подхода: первый представляет собой аналог ссдловой точки антагонистической игры с векторной функцией выигрыша, второй'- принцип гарантированного результата. Первая глава посвящена "статическому" варианту задачи, вторая - позиционным линейно-квадратичным дифференциально-разностным играм. Исследования лежат на стыке теории многокритериальных задач, теории бескоалиционных игр, теории дифференциальных позиционных игр и теории принятия решений при неопределенности. Предлагаемые способы построения новых равновесий дают возможность решать конкретные задачи экономики, экологии и механики управляемых систем.