автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Нелинейные двойственные системы и построение наблюдателей

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО II ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.Э. БАУМАНА

НЕЛИНЕЙНЫЕ ДВОЙСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ И ПОСТРОЕНИЕ НАБЛЮДАТЕЛЕЙ

05.13.16 — Примененне вычислительной техники,

математического моделирования н математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

РГЗ од

На правах рукописи УДК 517.71

ТКАЧЕВ Сергей Борисович

Москва - 1998

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете >ш. Н.Э. Баумана.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,"

профессор А. П. Крпщенко

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Н. А. Бобылев

кандидат физико-математических наук, А- П. Носов

Ведущая организация: Вычислительный центр РАН

Защита состоится А//)Я 1998 года в У/ часов 00 мин. на заседании специализированного Ученого Совета Д 053.15.12 при Московском государственном техническом университете им. Н.Э. Баумана по адресу: 107005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Автореферат разослан 1998 г.

Ученый секретарь специализированного Совета, д.ф.м.н., профессор

Волков И.К.

у

Подапкано к печати 07.04.98 г. Заказ 69. Объем 1.0 п.л. Тираж 500 экз. Типография М1ТУ им. Н.Э. Баумана. 107005, Москва, 2-я Бауманска* ул., 5.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы.

Важным инструментом в исследовании свойств линейных динамических систем г управлением и с выходом является приведение их к различным каноническим видам. Под приведением к каноническому виду понимает« я попек такой невырожденной замены переменных, при котором и новых координатах динамическая < истема имеет ладанный пнд.

Для нелинейных систем приведение к каноническим видам также является важным инструментом исследования. Так, например, дли аффинных динамических спетом с управлением приведение к каноническому виду позволяет исследовать их управляемость, синтезировать термн-шиьное управление, решать задачи стабилизации, декомпозиции и факторизации. Для динамических систем е выходом исследование условий (локальной) наблюдаемости практически является исследованием возможности (локального) приведения к каноническому виду, знание которого дает возможность судить о приводимости Динамической системы к каноническому виду для построения наблюдателя с линеаризуемой динамиком ошибки.

. Ьшейнун) стационарную систему с выходом х = А;-, у — Cj\ х 6 5?". </ £ R'". где Л - матрица размером и х п, С - матрица размером т х п, и систему с управлением £ = .4' £ 4-С'ги. ( £ К", и 6 R'", налипают двойственными. Если первая система наблюдаема, то двойственная к ireit управляема, и наоборот. Между линейными двойственными системами есть связь на. уровне приводимости к каноническим видам: если система с выходом приводится к каноническому виду, то н двойственная к ней система с управлением приводится к каноническому виду. Верно и обратное.

Для аффинных динамических систем с управлением приводимость к каноническому виду исследовали Crockett R. W., Hunt, L.H., Sii R., Meyer G., Жевнин А.А., Крищенко А.П., Елкин В.П. Различные подходы к управляемости и наблюдаемости нелинейных систем рассматривал Нег-inaini R., Kroner А.Л,, Ковалев A.M., Жевнин А.А., Крнщенко А.II. Для нелинейных систем представляется интересным выделить класс аффинных динамических систем с управлением н систем с выходом, таких, что их свойства связаны между собой также.', как и у линейных двойственных систем: во-первых, должна быть связь между приводимостью к каноническим видам и во-вторых - между управляемостью и наблюдаемостью.

Для нелинеиной динамической системы с выходом актуальной является задача оценивания вектора состояния. Эту проблему рассматривали Best-le D., Zeitx М.. Kroner A..)., l.sidori A., liespondek W., Li ('.W.,"Tao

L.W.. Xia X., Gao \V., Старков K.E. и другие исследователи. Один из подходов заключается п построении специальной динамической системы — наблюдателя. В качестве системы канонического вида для построения наблюдателя удобно рассматривать систему, псе нелинейные слагаемые которой зависят только от выхода. Услорня приводимости системы к такому виду являются достаточно громоздкими. Поэтому представляет интерес возможность перехода к дво ственной задаче и замене проверки условий приводимости ^чализом свойств некоторой системы с управлением.

Работа поддерживалась грантом "Разработка методов исследования двойственных нелинейных систем" по программе "Университеты России' в 1994-1995 гг. и грантом РФФИ Х'96-01-01094.

Целью работы "чляется установление взаимосвязи управляемости и наблюдаемости нелинейных систем с входом и выходом, приводимости и:: к различным каноническим видам, развитие аналитических методов построения наблюдат елей и исследование их сзойств методами математического моделирования.

Научная новизна.

Предложены условия А:(х)-двойственности для нелинейной динамической системы с выходом м нелинейной аффинной динамической системы с управлением. Для линейных систем показана связь между двойственностью и /¿(л^-двойственностью. Получены необходимые и достаточные условия А-(х)-двойствешюсти нары нелинейных динамических систем. Получены условия существования fc(^-двойственных пар, установлена связь мексду приводимостью к каноническим видам, управляемостью и наблюдаемостью.

Предложен подход к построению наблюдателей на основе ¿^-двойственности. Введен расширенный канонический вид для построения наблюдателя, полечены условия приводимости к нему динамической системы с выходом. Предложены методы построения наблюдателя по части переменных и наблюдателя для АУДС с выходом.

На основе А:(х)-двойст»енности построены наблюдатели для систем Рёеслера а Лоренца, а также для угловых скоростей вращения твердого тела вокруг центра масс. Методами математического моделирования показана их работоспособность. -

Для системы Рёсслера методами математического моделирования показана возможность стабилизации положений равновесия с испольг ва-нием оценки вектора соетояйия, получаемой наблюдателем.

Все полученные, результаты являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность.

Результаты, полученные в диссертации, позволяют проводить совместный анализ свойств /,-(ж)-двойствешшх аффинной динамиче( кой системы с управлением (приводимость к каноническому виду, управляемость) и динамической системы с выходом (наблюдаемость, возможность построения наблюдателя), строить наблюдатели для динамических систем с выходом и аффинных систем с управлением и выходом.

На защиту выносятся следующие положепия.

1. Условия Ц-(:г)-двойстиенности нелинейных систем и спяль между существованием канонических видов, управляемостью и наблюдаемостью ¿(^-двойственных систем.

2. Расширенный канонический вид для построения наблюдателя, необходимые и достаточные условия его существования.

3. Методы построения наблюдателя для аффинной динамической системы с управлением ц выходом.

4. Построенные наблюдатели для систем Рёсслера, Лоренца и угловых скоростей твердого тела, вращающегося вокруг центра масс, результаты их анализа методами математического моделирования.

5. Решение задачи стабилизации положения равновесия системы Рё<ч-лера с управлением с использованием наблюдателя. (

Апробация результатов работы.

Результаты диссертационной работы докладывались автором в Киеве. в 1991 г. на научно-технической конференции "Проблемы управления и навигации авиационно-космических систем", на второй международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы фундаментальных наук" в 1994 г. в МГТУ и на научно-технической конференции, посвященной 1С5-летию МГТУ им. Н.Э. Баумана, в 1995 г., на 4-м международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" в ИПУ РАЯ в 1996 г., в Москве, на международной научно-практической конференции "Управление большими системами" в ИПУ РАН в 1997 г., ва научных семинарах ВМК МГУ и в ВЦ РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка, литературы. Работа изложена на 147 страницах и включает 12 рисунков. Библиография содержит 72 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

По видении обсуждается принцип дшшствсшюгти для пшенных ст< • цнонарных систем и возможности обобщения этого принципа на нел) псиные системы. Приведен обзор по проблеме построения наблюдат«' для нелинейных динамических систем с выходом. Обоснована актуал' ность установления связи между приводимостью нелинейных (пстем различным каноническим видам, и>; управляемостью и наблюдаемость)!

Первая глава носи* в основном справочный характер. В ней пр! водятся основные понятия дифференциально» геометрии, используемы при анализе нелннейиых динамических систем с управлением и с выхо дом. }1елннеииуи> стационарную динамическую систему (ЛС)

' х = Л(х), ц = к{х), Г€К", Ц1)бГ(»), иск",

Л(х) = («,(х),...,«п(х))т, а.(.) € С°°(«), »=1,...,»«, (1)

где О — открытое множество, со скалярным выходом у ассоциируют с " Э

векторным полем А = уа.Ы-—, действующим в области фазового пространства системы. С выходом системы связывают точную 1-форму

Аффинную динамическую систему с управлением (АУДС) х = А(х) +- В(х)и, х € Я", «6 К1,

А(х) = (в,(г),...,а„(:г))т, В(х)^(Ь1(х),...,Ьп(х))т, (2)

М-)М-) € С°°(П}, »' =ПС К",

со скалярным управлением ассоциируют с: парой векторных полей А — ^ д " О

У^ «¡(а:)-г— и В — ^ в О. Эти векторные поля и 1-форма <Щх)

,=] ,=1 1 являются гладкими, поскольку гладкими являются коэффициенты «¡(х), Ь,(х) и функция й(ж). Применение методов дифференциальной геометрии для исследования свойств динамических систем (1), (2) связано с анализом векторных полей А, В к 1-формы

Векторное поле можно интерпретировать как дифференциальный оператор. Тогда производная функции /(х) 6 по векторному по-

лю, например, А, называемая производной Ли, есть гладкая функция

Lлj(x) — . Производные более высоких порядков задают со-

¡=1

отношениями 1\Цх) = ¿„(¿^'/(г)), к > I, ЬУ(х) = /(г). 4

Коммутатором (скобкой Ли) [А, В] двух векторных полей А и В является векторное поле

Для него используют обозначение ;«1д В. Коммутаторы более высоких порядков задают рекуррентными соотношениями яс1д В = [Л, ad*"1 В), к > 1, и полагают <ч<1д В = В.

Наблюдаемое кораспределенне (Ю порождается 1-формами семейства И = {<Ih,(lLAh,.., ,dL\h,. ..}. Если в некоторой окрестности точки х0 '6 О выполнено условие dim dO — п, где п — размерность пространства состояний ДС (1), то говорят, что в точке г0 ДС (1) удовлетворяет ранговому условию наблюдаемости. В дальнейшем, говоря о локальной наблюдаемости ДС, будем подразумевать, что выполнено ранговое условие наблюдаемости. Если система локально наблюдаема п каждой точке 1' 6 П, то система называется локально наблюдаемой в S1. Для исследования наблюдаемости ДС (1) в координатной форме используют матрицу

u(T.)=(L\h(X),LlAh(x)\...,Lr,h(x))T. ' (3)

По строкам матрицы IV записаны координаты 1-форм Л/(.г), ¿Ь\к(х),.. ¿Ьд-1/1(1) в базисе ¿г;, г = 1,..., п. Если система (1) локально наблюдаема в Я и отображение (3) инъективно, то (1) будет наблюдаемой в П.

АУДС (2) называют управляемой в области $7 € К", если для любых двух точек ¿о, х1 € П существует отрезок времени [0,(1] и определенное на нем управление и(<), такое, что соответствующее ему решение х(1, хп) системы (2) удовлетворяет условиям: х(<) 6 Г2 для £ в [0,^], =.Г).

Обозначим через матрицу управляемости АУДС (2)

—---матрицы лкоои. из определения коммутатора а следует,

ох и

что к-п столбец матрицы управляемости является столбцом координат векторного поля (—I)*-1 ас1д~' В в базисе -—, I — 1,,.. ,п. -

V{x)^(B0,-B\...,{-l)n-lBn~i),

Если ДС (1) является (локально) наблюдаемой, то существует (локальная) система координат, в которой (1) имеет вид

¿1 = Z2, ¿2 = «J, •■ á„_i = z„, ¿„ = /(г), y~Zi (4)

называемый каноническим (наблюдаемым) видом. Замена переменных г,-; = L^lh(x), к — 1,... ,п, приводит ДС (1) к каноническому виду. Дли АУДС (2) каноническим называют вид

¿1 = ^2, ¿2 - га, ..., ¿,,-i-z„, i» = /(«)+p(2)V (5)

где г = ( ti ,..., .:„). Для того, чтобы в области О АУДС (2) приводилась к каноническому виду (5), необходимо и достаточно, чтобы существовав функция ip(x) € 6,ои(П), удовлетворяющая в fl системе уравнений

adAB<p{x) =Q, к-0,1,...,п- 2, (6)

причем соотношения

= к = 1,...,п, (7)

являлись бы невырожденной заменой переменных в S1. Для каждого решения <р(х) системы (6) можно вычислить функцию /3(г) — а<1'|~' Вр(л). Эта функции характеризует решение системы уравнении (6) и определяет функцию'(/(г) в каноническом виде (5): g(z) — (-1)"<р(х)\ j гДе z — — замена переменных (7).

Во второй главе рассматривается связь свойств ДС (1) и АУДС (2) в скалярном случае (и € R1). Б разделе 2.1 вводится понятие к[х)-двоиственности для ДС (1) и АУДС (2), где к{х) £ С°°(П) — скалярная функция.

Определение 1. Системы (1) и (2) называются ¿(^-двойственными в области П, если в Í2 выполнены условия . '

LBlrAh(x)=0, г =0,1,-.. ,п-2, LBL"/C1h{x) = k(x).

D координатной форме условия ^^-двойственности можно выразить через матрицу наблюдаемости W, матрицу управляемости V a матрицу í)h

Якоби —- отображения у — h(x). Для того, чтобы ДС (1) а АУДС (2)

рх

были ¿(¿^-двойственными в области П, необходимо и достаточно выполнения в Q одного из двух, эквивалентных условий:

а)Щ1)ВМ = (0)...,ОД(х))г; 6) gv(«)«-(0,...,0,fc(x)).

В разделе 2.2 установлена связь между двойственностью и Цх)-двойс-твенностью для линейных систем. Показано, что ДС

/01 0

0 0 1

0 0 0 \ -а„ -(*„-! у = (1,0, ..., ())г = Сг

где «{,...,»„ — коэффициенты характеристического многочлена А" -+• «(А"-1 + ... + о„ матрицы А, с одной стороны является двойственно!'!, а с другой — 1-двойственной в смысле определения 1 к ЛУД С £ — А' £ 4 С1 и.

В разделе 2.3 получены условия существования А-(г)-дпон<;твеш101"1 АУДС, ее приводимости к каноническому виду и управляемости. Показано, что если ДС (1) (локально) наблюдаема п !2, то для любой фунмпш к(х) В С'°°(П) £(ж)-двойственная АУДС (2) ь П существует, однозначно определена пвО (локально) существует система координат, в которой АУДС (2) имеет канонический вид. При этом матрица наблюдаемости Ц'(х) (локально) наблюдаемой ДС (1) совпадает с матрицей Якоби одного из преобразований любой ¿(^-двойственной АУДС к каноническому виду. Установлено, что если динамическая система (1) наблюдаема и области П, 1ш(и)) Кп, где и/ — отображение (3), и к(х) / Он О, то А:( г)-двойственная АУДС управляема в П.

В разделе 2.4 приведены условия существования <г(х)-днойственной ДС и ее наблюдаемости. Показано, что если в области Г! существует система координат, в которой АУДС (2) запишется в каноническом виде, то для любой функции к'1 (г) € С^Б.1) для АУДС (2) в 52 существует к(х^ двойственная ДС (1), где к{х) = (~ (у(х))/?(х), 0(х) -а<1д-1 а (функция (р(х) определяет приведение АУДС к каноническому виду. Если в некоторой окрестности точки хп АУДС (2) приводится к каноническому виду, то для любой функции к, (т ) 6 С™ (II1) £(х)-двойственная ДС, где к(х) — (-1)"~1&1 (<р(х))/}(х), при (уэ(лч>)) ф 0 является локально наблюдаемой в окрестности точки хи и приводится к каноническому виду. Если указанные условия выполнены для всех тс чек из П и отображение и"1 : О К", == (¿¿^(^(х)),... ,Ь'\~>'у(<,>(х)))г, р7(г)

где —-— = кЛг), инъективно, то ¿(х)-двойственная ДС является наел"

блюдаемой п Г!.

В-разделе 2.5 полученные для стационарного случая результаты обоб-щаются-на нестационарный случай. Нестационарной АУДС х — А{х,)) +

0 0

г = А г

(8)

-«, /

1

Л(х,1)и, рассматриваемой в области О X Т, взаимно однозначно со" д д

ответствуют гладкие векторные ноля А — I)---Н — и В =

I (/■С | Оь

д д ¿»¡(я, ¿)-г—. Отметим, что иоле В не содержит компоненты —. Не-

I — ] С/ОС

стационарной ДС к — А(х,Ь), у = }>.{т,Л), соответствует векторное поле

А и 1 форма <1п = —7,-и*, Н--т^—- (11,. Матрицу наблюдаемости

,,,, .V дш(х,Ь) дш{х,г)

И (г, п = —--, где —¿г—- — матрица Якоби относительно х ото-

дх дх

(сражения

К", ф, I) = (/'>(*, г), 1\Цх,«),..., Ь^Цх, <))г, н матрицу управляемости

где В°(х,<)

можно рассматривать как ¿-параметрические. Для приведения нестационарных систем к различным каноническим видам использовались только отображения, сохраняющие время: х — С)(х, 4 = С учетом указанных особенностей понятие к{х, ¿)-дпойствснности, условия к{х, <)-двойственности в координатах, условиях существования нестационарной ЛУДС, к(х,1)-двойственной к ДС, приводимости нестационарной АУДС к каноническому виду н ее управляемости, а также условия существования нестационарной ДС, ¿(х, ^-двойственной к АУДС, ее наблюдаемости (приводимости к каноническому виду) практически повторяют соответствующие понятия и условия для стационарных систем.

Раздел 2.С посвящен частично ¿(а.)-двойственным системам со скалярным входом и выходом. Введение таких систем связано с тем, что если ранговое условие наблюдаемости не выполнено, то привести ДС к каноническому виду не удается. При этом, если в некоторой окрестности точки 2() пшк№(ге) = т < п, то можно оценить т независимых функций от г: Ь"АЬ\Н{х)...., Будем говорить, что система (1) локально наблюдаема по т обобщенным переменным. Канонический вид для АУДС (2) также существует не всегда, однако возможен случай, о-гда выделяется подсис.-ема каноническою вида. В этем случае говорят о приведении АУДС к квазиканолическому виду. л

Для ДС и АУДС с указанными особенностями введено понятие частичной А:(а:)-двойственности, получены необходимые и достаточные условия частичной fc(rr)-двойственности, условия существования АУДС, частично ¿(х)-двойствонной к ДС, ее приводимости к квазиканошгю-скому виду и управляемости по части переменных. Доказаны условия существования ДС, частично &(2')-двойственнон к АУДС, се наблюдаемости по части переменных (приводимости к квазиканошг' ' кому виду). Доказаны вспомогательные утверждения о декомпознруемостн динамических систем, наблюдаемых по части переменных.

В третьей главе изучается векторный случай, т.е. вводятся ДС с векторным выходом:

х=А(х), у = h(x), х € R", ц 6 R"',

— («I (х),..., а„(х))т, . (9)

h(x) = (Л,(»),... ,лт(i)), hj{x) е с°°(<л), о с к".

и АУДС с ректорным управлением:

х = А(х) -I- Bj(x)vj, х 6 k", uj £ R1,

А(Х) = Ыт),...,а-п(х))т, ■ Ej(x) = (М*),--..М*))Г. (10)

а,-(я),Ьу(л:) € C°°(fi). О С R".

Количество входов и выходов у ДС и АУДС одинаково. Предполагается, что все выходы ДС функционально независимы, а векторные поля Bj,j = 1 ,...,m, линейно независимы над C°°(Q).

В разделе 3.1 приведены сносные езедения о ранговых условиях наблюдаемости, рассмотрена матрица наблюдаемости U'(x) в векторном случае и определен мультииндекс наблюдаемости. Приведена матрица V(i) управляемости АУДС (10). В разделе 3.2 приведены известные сведения о приводимости ДС (9) я АУДС (10) к каноническим видам.

В разделе 3.3 рассматривается ЛГ(х)-дпойственность систем с векторном входом и выходом. Пусть в области П задана квадратная матрица К(х) порядка я;, элементами которой ¿¡Дх) являются гладкие в il функции. Нелинейная система (9) с выходом и АУДС (10) называются Л"(.;:)-двойственными е области Г2, если в П выполнены условия

ЬВ/1'ХЫП =0, г = 0,1,.. .,«,• - 2, Ьв^Т'/ф) = м*), i',j = l,...,m, г») +п2 Н---.4- пт=^п.

Получены условия существования матрицы А'(х) для ДС (9) и АУДС (10), при которой они будут А'(г-)-двойственными и алгоритм ее нахождения. Приведены условия Л'(^-двойственности в матричном виде.

Они являются прямым обобщением на векторный случай условий, полученных для скалярного случая.

В разделе 3.4 получены условия существования А'(х)-двойственной АУДС, ее приводимости к каноническому виду и управляемости. Показано. что если ДС (9) локально наблюдаема в точке х б П, то в некоторой окрестности U точки х для любой матрицы К(х) € C°°(U) К{х)-двойствашая Л УД С вида (10) существует, однозначно определена и в V существует локальная система координат, в которой эта АУДС имеет канонический вид. Если ДС (9) наблюдаема в О, то этот результат для АУДС будет глобальным. Доказано, что если ДС (9) наблюдаема в il, Im(u/) = R". <М(Л"(х)) ф 0 в Ü, то Л'(х)-двойственная АУДС управляема в П. Указана подматрица матрицы наблюдаемости W(x) ДС, совпадающая с .матрицей Якоби одного из (локальных) преобразований любой А"(.г)-двонстгенноц АУДС к каноническому виду.

В разделе 3.5 получены условия существования А'(г)-двойственной ДС ц ее локальной наблюдаемости. Из работ Крищенко А.П. известно, что приведение АУДС к каноническому виду определяется набором функций г = 1,... ,т, и мультииндексом приводимости п = (п;,... ,nm). Описано множество допустимых преобразовании у(<р), таких, что набор функций 7;(р(а;)), » = 1, ...,т, определяет приведение ЛУД С к каноническому виду с сохранением мультииндекса приводимо-

дч

сти. Пусть Ki — множество матриц Якоби — таких преобразований, а

ß — матрица размера т х т, элементы которой ßij(x) = ас1д-1 Bjipi(x). Установлено, что если в некоторой окрестности точки Хц существует система координат, в которой АУДС (10) запишется в каноническом виде, то для любой матрицы Ki{<p) £ K-j для АУДС (10) существует и однозначно определена i\" (г)-двойственная ДС вида (9), гдр к^{х) = (_l)n.-ik\(<p(x))ß'{х),' k]{tp(x)) — i-я строка матрицы Iii, ß'{x) — j-й столбец .матрицы ß. Доказано, что при det(ft"i(v3)) ф 0 А'(х)-дпойствен-ная ДС локально наблюдаема в точке то и в некоторой ее окрестности приводится к каноническому виду.

В четвертой главе предлагается подход к построению наблюдателей на основе Ä (.г)-двойственности для скалярного и векторного случаев.

В работах Bestie D., Zeitz М., Krener A.J. и Isidori А. для ДС

/ 0 ... 0 0 \ ( щ{у) \

Му)

Vo ... 1 о)

i =

1 ... 0 о ч +

введен канонически» вид наблюдателя с нелинейной добавкой Ф(//), зависящей от выхода: ;) = Бц-^г С(Сг] — у) + ^(р), гд:; С—вектор-столбец. Ошибка е = т/ — £ этого наблюдателя удовлетворяет линейному уравнению ё = (Б + СС)е. Динамика ошибки задается выбором вектора С.

С АУДС (2) связывается алгебра Ли Л„, порождении векторными полями ас^В, к = О,... ,п — 1. Показано, что и вестные (Кгепсг А.Л., ЬМоп А.) условия эквивалентности ДС (1) и (11) г терминах 1-двойственности имеют следующий вид: для того, чтобы локально наблюдаемая ДС (1) в некоторой окрестности точки х0 приводилась к виду (11), необходимо и достаточно, чтобы в окрестности точки ;гс 1-двойственная АУДС имела коммутативную алгебру Ли Ап.

В разделе 4.2 расширен класс систем, для которых возможно построение наблюдателя. Для локально наблюдаемой ДС существует только одна 1-двойственная система. Если у этой АУДС алгебра Ли Л„ не является коммутативной, то ДС не приводится к каноническому "виду (11). В то же время для любой функции к(х) 6 С°°{И) для ДС (1) существует /'(г)-двойственная АУДС. Может оказаться, что существует такая функция к(х), для которой алгебра Ли Л„ £(г)-двойственной АУДС коммутативна. Возникает вопрос, не. приводит ли это к возможности преобразования ДС (1) к такому каноническому виду, который при к(х) — 1 совпадал с"ы с (11)? Ответ на этот вопрос положителен. Для этого вводится динамическая система

е = +*«.), у = (12)

— расширенный канонический вид для построения наблюдателя. Если для #(£„) существует обратная функция £„ = Н~1(у), то для (12) строится наблюдатель

П = Пг, + С{,1л ~Н-х(у)) + Я>(Н-1(у)). (13)

Показано, что локально наблюдаемая ДС (1) в окрестности точки х0 допускает построение наблюдателя (13), если и только если существует такая Гладкая функция одной переменной Р(т), Р(т) > 0 (или Р(т) < 0), что для к(х) = Р(к{х)) алгебра Ли Лп Л(а;)-двойствснноп АУДС коммутативна. Установлено, что если отображение £ = 5(ж) преобразует ДС к виду (12), то матрица Якоби обратного отображения х = 2"(£), записанная в переменных х, совпадает с матрицей управляемости V (х) Р(Л(г))-двойственной АУДС.

Для АУДС с коммутативной алгеброй Ли Л„, приводящейся к в некоторой окрестности точки хо к каноническому виду, описан класс к(х)~-двойственных ДС, допускающих .построение наблюдателя.

В разделе 4.3 аналитически решена задача о приведении системы второго порядка к расширенному виду наблюдателя.

В разделе 4.4 показана связь полученных результатов с известными результатами (Кгепег АЛ., ЕевроиЛек \У.) о приводимости ДС к виду (11) парой преобразований в пространстве выходов и в пространстве состоянии.

В разделе 4.5 на нестационарный случай обобщаются результат..!, полученные для стационарного.

В разделе 4.0 рассмотрено построение наблюдателя для стационарной ДС с векторным выходом. Если индексы наблюдаемости всех выходов равны между собой, утверждения в векторном случае являются прямым обобщением соответствующих утверждении для случая скалярного. Приведен пример, показывающий невозможность обобщения утверждении скалярного случая на векторный при различных индексах наблюдаемости. Для частного случая двух пыходов, индексы наблюдаемости которых р; аичаются на 1, получены условия существования наблюдателя и разработан метод поиска выходов ДС, по которым строится наблюдатель, базирующийся на переходе к А'(г)-двойственной АУДС с коммутативной алгеброй Ли \ДП. " ' .

В разделе 4.7 для скалярного случая получены условия существования наблюдателя по части переменных.

В разделе 4.8 установлено, что АУДС х — А[х) + Ви, у = Ъ(х) со скалярным выходом и управлением в окрестности точки г0 допускает построение наблюдателя, если динамическая система х = А{х), у = к(х) допускает построение наблюдателя и векторное поле В АУДС (2) удовлетворяет соотношениям [В, (— I)'-1 а<1^' В\ = 0, г = 1,..., п — 1, где В — векторное поле К(Ь(х))-двойствениой АУДС с коммутативной алгеброй Ли Ап. Предложен подход к построению наблюдателя для АУДС, основанный на поиске такой системы координат, в которой векторное поле В АУДС является постоянным и не влияет на динамику ошибки наблюдателя.

В разделе 4.9 на основе Цг)-двойствепности для системы Рёсслера найден выход, по которому построен наблюдатель. В разделе 4.10 найдена пара выходов, по которым построен наблюдатель для системы Лоренца. В разделе 4.11 построен наблюдатель для угловых скоростей вращения твердого тела вокруг центра масс. Измеряемыми величинами являются две угловые скорости, а оцениваемой 'величиной — третья.

В пятой главе приведен^ результаты численного моделирования работы наблюдателей для систем Рёсслера и Лоренца с хаотической динамикой, а также наблюдателя для угловых скоростей вращения твер- ' дого тела.

D paniw 5.1 приведены результаты моделирования работы наблюдатели для системы Рёсслера:

г, = х'¿ - х3, i2 = .г, + п.г2, х'л = с + J-:j(.r, - Ii), у = j':l.

lililí избранных а = 0.32, t> = 4.5, с = 0.3 имеет М'сто хаотическая динамика. Рассматривали« ь различные точки старта системы и наблюдателя. Например, точка старта системы выбиралась в узлах < еткн го следующими параметрами: .г| менялось от -4 д«> 4 с шагом 2; jот -1 до 4 с шагом 2; х3 - - от -1 до 4 с шагом 2. Для каждого узла сетки моде-лиров;иось пить вариантов работы наблюдателя. Сначала точки <;тарта наблюдателя и системы брались совпадающими. В зтом случае наблюдатель должен обладать свойством "тождественности", т.е. траектории , системы и наблюдателя должны совпадать в пределах точности расчета. Затем в качестве точек старта наблюдателя последовательно брались (г, - 10. хг - 10), (х-, -10, х2 +10), (i, +10, х2 - 10) и (i-, +10, j-t +10). Собственные числа, определяющие динамику ошибки, были приняты одинаковыми и равными —1. Интегрирование велось втеченни 10 секунд. Если ошибка оценки по x¡ и x-¿ при t = 10 не превосходила по абсолютной величине 0.1, работа наблюдателя признавалась удовлетворительной.

Пщ моделировании были обнаружены 7 узлов сетки, таких, что начинающиеся в них траектории системы Рссслера являются "жесткими" и быстро удаляются от области притяжения аттрактора, что вызывало трудности численного интегрирования. Для нежестких траекторий ■установлено, что построенный наблюдатель, во-первых, обладает свойством "тождественности", и, во-вторых, при всех рассмотренных точках старта.наблюдателя абсолютная ошибка оценки в момент t = 10 по абсолютной величине не превосходит 0.1.

Исследовалась область допустимых отклонений начальных оценок по x¡ и х-1 при фиксированной точке старта системы (2.0,2.0,2.0). Точка старта наблюдателя выбиралась в узлах сетки со следующими параметрами: ,?| менялось от -98.0 до 92.0 с шагом 10.0; — от -98.0 до 92.0 с шагом 10. Величина х3 была взята равной 2. Установлено, что при всех рассмотренных точках старта наблюдателя к моменту t = 50 ошибки наблюдателя становились меньше 0.1. Более широкий диапазон точек старта наблюдателя не рассматривался, поскольку при значительном удалении от области притяжения аттрактора, для траекторий наблюдателя возникали трудности численного интегрирования.

Приведены результаты моделирования работы алгоритмов стабилизации положений равновесий системы Рёсслера с управлением во втором И в третьем уравнениях с использованием нелинейной обратной связи по

состоянию, где для получения оценки вектора состояния использовался построенный наблюдатель. Покачано, что при отсутствии ограничений на управление задача стабилизации с использованием наблюдателя реша-сто: при всех рассмотренных начальных данных. Исследованы свойства алгоритмов стабилизации при ограничениях на управление.

Например, пуст ь точка старта системы (2,2,2), управление — во втором уравнении, ограниченно на управление — |м| < 10. Собственные ч.;-сла наблюдателя взяты одинаковыми и равными -4, собственные числа, определяющие динамику замкнутой системы — равными -3. Точка старта наблюдателя оралась в узлах сетки: ii — от -3.0 до в.5 с шагом 0.5; х-2 — от -3.0 до 6.5 с шагом 0.5. Величина х= была взята равной 2. Интегрирование велось до 20 секунд. Задача стабилизации считалась решенной, если к моменту £ = 20 траектория системы приходила в положение равновесия. Расчеты показали, что система стабилизируется при всех рассмотренных точках'старта наблюдателя. При более жестком ограничении ла управление — |u| < 1, задача стабилизации гарантированно решается для всех точек сетки при t = 100.

В разделе 5.2 приведены результаты моделирования наблюдателя для системы Лоренца, записанной в виде

il = —рх 1 + рх2, V2 = Х[ - Х2 - ГХ3 — XiX2,

х3 = г(х, + х2) - х3 ■\-х1х2 + и, У1-хиу2-х2.

При р = 10 и г = 5.19G1 система обладает хаотической динамикой. Например, исследовалась область допустимых отклонений начальных оценок по х3 при фиксированной точке старта системы. Выла взята точка старта (2.0,2.0,2.0). Точка старта наблюдателя выбиралась в узлах сетки по х3 от -3.0 до 7.0 с шагом 0.5. Собственные числа, определяющие динамику наблюдателя, были приняты одинаковыми и равными -1. Интегрирование велось в течении 10 секунд. Установлено, что при всех рассмотренных точках старта наблюдателя к моменту t = 10 ошибки наблюдателя становились меньше 0.1.

В разделе 5,3 моделировалась работа наблюдателя для угловой скорости вращения твердого тела вокруг центра масс. Рассматривалась система

xi = air2x3, х2 = агхлх3, х3 = a3xix3, у} = хь у2 = х3,

h~ h h~ h 1\ ~ h r T T

где (i) = —--, u2 — —f—-, a3 — —--, J1,72,/3 — моменты инерции,

h h h I\ > I2 > I3. Для исследования области допустимых отклонений точки

старта наблюдателя от точки старта системы были проведены следующие расчеты. Точка старта системы — (-3.00,5.00,0.90). Собственные

числа, определяющие динамику наблюдателя, были приняты одинаковыми и равными —3. Интегрирование велось до 10 секунд. Точка старта наблюдателя по переменной х-2 изменялась от 0.0 до 10.0 с шагом 0.5. Для всех проведенных расчетов к моменту <=10 ошибка оценки для .г2 была меньше 0.01.

ВЫВОДЫ

1. В диссертации для нелинейных динамических систем с выходом (ДС) и аффинных динамических систем с управлением (АУДС) установлен класс систем, у которых связаны свойства приводимости к каноническим видам, наблюдаемости и управляемости. Показана связь с двойственностью линейных систем.

2. Особенностью нелинейного случая является наличие гладкой функции к(х), относительно которой определяются двойственные нары систем, поэтому был введен термин "¿(;г)-двойственность". Для линейных систем двойственность может рассматриваться как 1-двойственность в смысле введенного в работе определения. ВIII линейном случае возникает необходимость рассматривать отдельно приводимость к каноническим видам и взаимосвязь управляемости и наблюдаемости нелинейных к(:г)-дво1к твенных систем.

3. Результаты, в отличие от линейного случая, не вполне симметричны и в.основном являются локальными, хотя при дополнительных требованиях обобщаются в области. Так, для (локально) наблюдаемой ДС получены условия существования ¿(^-двойственной АУДС, приводимости её к каноническому виду и управляемости, а для АУДС, (локально) приводимой к каноническому виду, получены условия существования ¿(^-двойственной ДС и ее (локальной) наблюдаемости.

Результаты, полученные для скалярного стационарного случая, удалось обобщить на нестационарный случаи (Ця, <)-двойственность) и на случай частичной А(г)-двойственности пары динамических систем, а также на векторный случай. В векторном случае вместо функции к(х) в определении двойственности появляется квадратная матрица К(х), элементами которой являются гладкие функции.

4. Между двойственными системами найдена новая взаимосвязь: на основе ¿(^-двойственности для скалярного и векторного случаев предложен новый подход к построению наблюдателей для нелинейных ДС.

Использование похода, основанного на построении для ДС к(х)-двойственной АУДС с коммутативной алгеброй Ли Лп, позволяет находить выходы и строить по ним наблюдатели для нелинейных систем.

5. Получаемая наблюдателем оценка вектора с оетояння системы может. быть использована в алгоритмах стабилизации положений равновесия. При лтом оказывается, что несмотря на локальный характер некоторых утверждений, на основе которых строились наблюдатели и горитмы стабилизации, для конкретных систем они могут работать в большом или даже глобально.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Численные методы дифференциально-геометрнче< кого подхода к проблемам нелинейной теории управления/ A.II. Крнщсико, В.П. Куш-нарев, А.Н. Наларенко, С. Б. Ткачев // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. - 1991. - Л'! 1. - С. 24-34.

2. Ткачев С. Б. Численная процедура построения нелинейного наблюдателя / / Проблемы управления и навигации авиационно-космических систем: Тезисы докладов научно-технической конференции. Киев, 1991.

С. 12- 15.

3. Крищенко А.П., Ткачев С.Б. Двойственные нелинейные системы // Доклады РАН. - 1993. - Т. 333, № 5. - С. 508-509.

4. Ткачев С. Б. Расширенная форма наблюдателя для нелинейных систем // Актуальные проблемы фундаментальных наук: Труды Второй Международной научно-технической конференции. В 2-х т. - М.. 1994. - Т. 1. - С. 06. .

5. Крищенко А.П.. Ткачев С.Б. Нелинейные к(х)-двойетвснныс системы // Автоматика и телемеханика. - 1995. - .V-' 2. С. 21-34.

6. Ткачев С. Б. Нелинейные чаетичнр ^(.»(-двойственные системы // Научно-техническая конференция, посвященная 165-летию МГТУ им. Н.Э. Баумана: Тезисы докладов. В 2-х ч. - М., 1995. - 4.1. - С. 171.

7. Ткачев С. Б. Построение нелинейных наблюдателей на основе концепции ¿^-двойственности // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов IV международного семинара. М.. 199С. - С. 58-59.

8. Ткачев С. Б. Построение канонического наблюдателя для системы Рёселера // Дифференциальные уравнения. - 1990. - Т.32, .\>8. С. 1Ы7.

9. Ткачев С. Б. Построение нелинейных наблюдателей по части переменных // Управление большими системами: Материалы международной научно-практической кот^/ренцин. - М., 1997. - С. 318.