автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Стабилизация нелинейных динамических систем с использованием оценки состояния системы асимптотическим наблюдателем

На правах рукописи

Голубев Алексей Евгеньевич

СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОЦЕНКИ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ АСИМПТОТИЧЕСКИМ НАБЛЮДАТЕЛЕМ

»

Специальность: 05.13.01 - Системный анализ, управление

и обработка информации

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете им. Н.Э. Баумана.

Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Кршценко А.П.

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н., проф. Григоренко H.JI.

к.ф.-м.н., доц. Бортаковский A.C.

Ведущая организация: Институт Проблем Управления

им. В.А. Трапезникова РАН

Защита диссертации состоится « 6* » _ 2005 года

в 3 часов О О мин. на заседании диссертационного совета Д 212.141.15 при Московском государственном техническом университете им. Н.Э. Баумана по адресу: 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью организации, просим высылать по адресу: 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, МГТУ им. Н.Э. Баумана, ученому секретарю совета Д 212.141.15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н., профессор ^

овета, /

Волков И.К.

У^оЯ)

Ш950&

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние десятилетия задачи управления динамическими системами с помощью обратных связей по выходу привлекают внимание достаточно большого числа кале отечественных, так и зарубежных исследователей. Это связано с тем, что при управлении различными техническими системами полный вектор состояния системы, как правило, неизвестен, а измерениям доступны лишь некоторые функции переменных состояния - выходы системы.

Одним из способов решения задач стабилизации систем в условиях неполноты измеряемой информации о состоянии является использование динамических обратных связей по выходу, основанных на оценке состояния системы при помощи наблюдателя - специальной динамической системы, состояние которой с течением времени достаточно быстро приближается к состоянию исходной системы. При этом состояние наблюдателя в произвольный момент времени рассматривается как оценка состояния системы в этот момент времени.

Предположим, что найдено решение задачи асимптотической стабилизации заданного положения равновесия динамической системы в виде обратной связи по состоянию и известна оценка состояния системы, получаемая с помощью наблюдателя. Заменим в обратной связи состояние системы на его оценку наблюдателем. Возникает вопрос, будет ли полученное таким образом управление в виде обратной связи по оценке состояния системы наблюдателем решением рассматриваемой задачи стабилизации.

Для линейных стационарных систем ответ на этот вопрос положителен и составляет содержание известного принципа разделения.

Для нелинейных систем в общем случае ответ положителен только для задач локальной асимптотической стабилизации положений равновесия (М. Vidyasagar; Л. Тзппаз).

Для задач асимптотической стабилизации в большом известны положительные ответы для нелинейных динамических систем с непрерывно дифференцируемой правой частью, допускающих построение наблюдателей с высокими коэффициентами усиления (Н.К. КЬаШ и др.; А. Тее1, Ь.

НАЦИОНАЛЬНАЯI БИБЛИОТЕКА,..

СПе

Для задач же глобальной асимптотической стабилизации положений равновесия в общем случае ответ отрицательный: известны примеры нелинейных систем, к которым принцип разделения для задач глобальной стабилизации неприменим (R. Freeman; F. Mäzene и др.), несмотря на глобальную стабилизируемость системы обратной связью по состоянию и возможность оценки состояния системы при помощи наблюдателя, работающего глобально.

Поэтому одной из важных фундаментальных проблем является выделение классов нелинейных динамических систем, для которых принцип разделения справедлив для задач глобальной асимптотической стабилизации, то есть возможна глобальная асимптотическая стабилизация системы с помощью раздельного построения стабилизирующей обратной связи по состоянию и наблюдателя, работающего глобально, для оценки состояния системы с последующей подстановкой оценки состояния в обратную связь.

Альтернативным использованию принципа разделения методом решения задач асимптотической стабилизации положений равновесия систем при помощи динамических обратных связей по выходу является непосредственная стабилизация специальной расширенной системы, состоящей из уравнений исходной системы и уравнений системы, описывающей динамику ошибки оценки состояния исходной системы наблюдателем, при помощи законов управления, имеющих вид функций состояния наблюдателя и выхода системы. Существенным прогрессом в этом направлении стало появление метода обратного хода по наблюдателю (М. Krstic, I. Kanellakopoulos, A.S. Morse; M. Krstic, I. Kanellakopoulos, P.V. Kokotovic).

Заметим, что алгоритм построения законов управления при помощи метода обратного хода по наблюдателю применим при решении задач глобальной асимптотической стабилизации для достав точно узкого класса нелинейных систем и в том виде, в котором он приведен в работах Крстича (М. Krstid и др.), позволяет находить стабилизирующие управления только для минимально-фазовых систем.

Следовательно, актуальными являются обобщение метода обратного хода по наблюдателю на случай решения задач глобальной асимптотической стабилизации для более широкого класса нелинейных динамических систем, в Томчисле в случае, когда система не

< -, "< ' ' 2 -

является минимально-фазовой, а также разработка новых методов стабилизации нелинейных систем при помощи обратных связей по выходу.

Целью работы является выделение классов нелинейных динамических систем, для которых принцип разделения справедлив для задачи глобальной асимптотической стабилизации заданного положения равновесия системы, а также разработка методов глобальной асимптотической стабилизации нелинейных систем при помощи динамических обратных связей по выходу.

Методы исследования. В работе применяются методы теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости и математической теории управления.

Научная новизна. Установлены классы аффинных систем со скалярными входом и выходом и классы многомерных нелинейных динамических систем, для которых принцип разделения выполняется для задачи глобальной асимптотической стабилизации заданного положения равновесия системы.

Разработан алгоритм решения задачи глобальной асимптотической стабилизации положений равновесия нелинейных систем при помощи динамических обратных связей по выходу, имеющих вид функций состояния наблюдателя и выхода исходной системы, являющийся обобщением алгоритма метода обратного хода по наблюдателю для задачи стабилизации систем, не являющихся минимально-фазовыми.

Полученные результаты являются новыми.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами численного моделирования.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе, являются развитием математической теории управления и позволяют решать задачи стабилизации для нелинейных динамических систем в условиях неполноты измеряемой информации о состоянии системы.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Достаточные условия справедливости принципа разделения для задачи глобальной асимптотической стабилизации положений равновесия аффинных систем со скалярными входом и выходом.

2. Достаточные условия справедливости принципа разделения для задачи глобальной асимптотической стабилизации положений равновесия многомерных нелинейных динамических систем.

3. Обобщение алгоритма метода обратного хода по наблюдателю для задачи глобальной асимптотической стабилизации положений равновесия нелинейных систем, не являющихся минимально-фазовыми.

4. Решение задач управления для однозвенного робота-манипулятора и для корабля с использованием принципа разделения и метода обратного хода по наблюдателю.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на VI международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», ИГГУ РАН, Москва, 2000; на 1-ой Московской конференции «Декомпозиционные методы в математическом моделировании», ВЦ РАН, Москва, 2001; на VII международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», ИПУ РАН, Москва, 2002; на втором международном конгрессе «Нелинейный динамический анализ», МАИ, Москва, 2002; на 5-ой международной научно-технической конференции «Process Control 2002», Пардубице, Чехия, 2002; на 15-ом международном конгрессе IFAC, Барселона, Испания, 2002; на летней школе при международном математическом центре имени С. Банаха, Варшава, Польша, 2002; на VIII международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», ИПУ РАН, Москва, 2004.

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в пяти статьях и семи тезисах докладов на конференциях.

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, выводов и списка литературы. Работа изложена на 156 страницах, содержит 2 таблицы и 29 иллюстраций. Библиография включает 187 наименований.

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ №99-0100863, №02-01-00704, №03-01-06353 (MAC), №05-01-00840, грантов государственной поддержки ведущих научных школ №00-15-96137, НШ-2094.2003.1, гранта поддержки научно-исследовательской работы аспирантов высших учебных заведений Министерства образования РФ №А03-3.16-208, проекта УР.03.01.018 по программе «Университеты России - фундаментальные исследования» Министерства образования РФ и проекта УР.03.01.141 раздела 1.2. «Университеты России» подпрограммы «Фундаментальные исследования» ведомственной научной программы «Развитие научного потенциала высшей школы» Федерального агентства по образованию РФ.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость полученных результатов, основные положения, выносимые на защиту, приведены данные о структуре и объеме диссертационной работы.

В первой главе для нелинейных динамических систем с управлением рассматриваются основные способы построения асимптотических наблюдателей, работающих глобально. Приводятся известные классы нелинейных динамических систем, допускающих построение асимптотических наблюдателей, работающих глобально.

В разделе 1.1 описывается класс нелинейных динамических систем с управлением и класс допустимых законов управления, рассматриваемые в работе.

В разделе 1.2 приводятся классы нелинейных систем, допускающих построение асимптотических наблюдателей с линейной динамикой ошибки оценки состояния системы, а также излагается так называемый геометрический метод построения асимптотического

наблюдателя (A.J. Krener, A. Isidori; A.J. Krener, W. Respondek; А.П. Кртценко, С.Б. Ткачев).

В разделах 1.3 - 1.7 рассматриваются различные способы построения асимптотических наблюдателей с нелинейной динамикой ошибки оценки состояния системы, в том числе так называемые наблюдатели Тхоу (F.E. Thau), Арсака-Южотовича (М. Arcak, P.V. Kokotovic), Тсиниаса (J. Tsinias) и наблюдатели с высокими коэффициентами усиления (J.P. Gauthier и др.).

В разделе 1.8 часть результатов, изложенных в первой главе, для удобства приводится в виде таблицы классов нелинейных динамических систем с управлением, допускающих построение асимптотических наблюдателей, работающих глобально, и достаточных условий устойчивости системы, описывающей динамику ошибки оценки состояния исходной системы наблюдателем.

Во второй главе рассматривается задача асимптотической стабилизации заданного положения равновесия нелинейной динамической системы в условиях неполноты измеряемой информации о состоянии системы на основе использования принципа разделения.

В разделе 2.1 формулируется задача асимптотической стабилизации с использованием принципа разделения положения равновесия х = 0, и = 0 нелинейной динамической системы, имеющей вид

x = f(x,u), y = h(x), (1)

где х € Я" - вектор состояния системы, и Е Л"1 - управление, у £ R? - измеряемый выход системы, /(■, •) и h(-) - достаточно гладкие функции своих аргументов, /(О,0) = 0, h(0) = 0. Обсуждаются трудности, возникающие при решении рассматриваемой задачи стабилизации.

В разделах 2.2 и 2.3 приводятся известные классы нелинейных динамических систем, для которых принцип разделения выполняется для соответственно задачи локальной асимптотической стабилизации и задачи асимптотической стабилизации в большом заданного положения равновесия системы.

В разделе 2.4 устанавливаются классы аффинных систем со скалярными входом и выходом и классы многомерных нелинейных динамических систем, для которых принцип разделения выполняется

для задачи глобальной асимптотической стабилизации заданного положения равновесия системы.

В подразделе 2.4.1 рассматривается случай, когда нелинейная динамическая система (1) является аффинной и имеет вид

х = А(х) + В(х)и, у = Ь(х), (2)

где х € Я" - вектор состояния системы, Л(аг) и В(х) - гладкие векторные поля на Я", у £ Я - измеряемый выход системы, Н(х) € С°°(Д"), и € Я- управление, Л(0) = О, Л(0) = 0.

При построении асимптотического наблюдателя для системы (2) отдельно рассматривается система (2) без управления, имеющая вид

х = А(х), у = Н{х). (3)

На основе результатов, полученных в работах А.П. Крищенко, С.Б. Ткачева, формулируется следующая теорема.

Теорема 1. Для того, чтобы локально наблюдаемая в точке динамическая система (3) в некоторой окрестности этой точки была эквивалентна системе канонического вида для построения наблюдателя

X = Ах + Ф{Х\), У = Щхг),

где х = (Хъ • • • ,Хп)т € Я", А — (ау), г = 17", 3 = 1, га, - квадратная матрица порядка п с элементами о^ — 1, если з — г = 1, и а^ = 0, если ф 1, ф(х1) = {ф\{х\)> • • •, МХ1))Т,и допускала построение наблюдателя

* = Ах + ЬС(х -х) + ФШ, XI = Н-\у),

где С — (1,0,..., 0) - матрица-строка длины п, а вектор Ь € Я" коэффициентов усиления задает динамику ошибки е = х ~ X оценки состояния системы, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая гладкая функция р(т), т б Я, р(т) > 0, для которой векторное поле ¿?1(ж), являющееся в окрестности рассматриваемой точки решением уравнения ]У(х)В1(х) = (0,... ,0,р(к(х)))т, удовлетворяет в этой окрестности условиям [аА\ В^х), ас1*+1 В^х)] = 0, к = 0, п - 2. ■

Здесь W(x) - матрица наблюдаемости системы (3), ал^В^х) = Bi{x), adk/1 Вг(х) = [A{x),sAabi{x)}, fc = 0,n-2, где [•,•]- коммутатор векторных полей.

Если для динамической системы (3), соответствующей аффинной системе (2), выполнены условия теоремы 1 и для векторного поля В{х) системы (2) справедливы равенства

[ИГ1 аС1 Вг(х), В(х)] = 0, г = М, (4)

то векторное поле В(х) в новых переменных х постоянно, а система (2), записанная в переменных х, примет вид

X = Ах + ф(хг) + Ви, у = Н{хi), (5)

где В = (bi,..., 6„)т € Л", Ь{ = const, г = 1, п.

Асимптотическим наблюдателем для системы (5) является динамическая система

i = Ах + LC(x -х) + ФЫ + Ви, XI = Н~х{у). (6)

Если для динамической системы (3), соответствующей аффинной системе (2), выполнены условия теоремы 1 и для векторного поля В(х) системы (2) из соотношений (4) справедливы только первые п — 1 равенств, то есть

[(-I)-1 ad'/1 В1(х), В(х)} = 0, i = ММ, (7)

то векторное поле В{х) в новых переменных х зависит только от переменной хъ а в переменных х система (2) запишется следующим образом:

X = Ах + Ф{хi) + B(Xi)u, у = H(Xi). (8)

Асимптотическим наблюдателем для системы (8) является система

* = Ах + LC{x - X) + ФЫ + В(Хг)и, Xi = Я"1 (у). (9)

Предположение 1. 1) Для динамической системы (3), соответствующей аффинной системе (2), выполнены условия теоремы 1.

2) Замена переменных х = Ф(х), Ф(0) = 0, преобразует аффинную систему (2) к виду (5) или к виду (8), определена глобально и задает диффеоморфизм пространств Я" = {х} иЛЛ = {ж}. 3) Отображение Н : Я —)• Я обратимо.

При условии выполнения предположения 1 формулируются и доказываются следующие теоремы.

Теорема 2. Пусть 1) вектор-функция ф(хг) непрерывно дифференцируема и глобально липшицева, притом ф(0) = 0; 2) существует непрерывно дифференцируемая обратная связь и = кх(х), *!(0) = 0, по состоянию, глобально экспоненциально стабилизирующая положение равновесия х = 0, и = 0 системы (5). Тогда при управлении и = кг (х) система, составленная из уравнений системы

(5) и уравнений наблюдателя (6), глобально экспоненциально устойчива в точке х = 0, х = 0.

Теорема 3. Пусть для аффинной системы (2) 1) выполнено предположение 1; 2) во всем Я" справедливы равенства (4) и выполнены условия теоремы 2. Тогда при управлении и = 1(£)), где функция &!(•) из формулировки теоремы 2, система, составленная из уравнений исходной системы (2) и уравнений наблюдателя

(6), записанного в переменных х — Ф(х), глобально асимптотически устойчива в точке х = 0, х = 0.

Теорема 4. Пусть для аффинной системы (2) 1) выполнено предположение 1; 2) отображения Ф и Ф-1 глобально лишиицевы;

3) во всем Я" справедливы равенства (4); 4) вектор-функция ф(х 1) глобально липшицева, притом ^(0) = 0; 5) при управлении и = к{х), к(0) = 0, в виде непрерывно дифференцируемой обратной связи по состоянию положение равновесия х = 0, и = 0 аффинной системы (2) глобально экспоненциально устойчиво. Тогда при управлении и = к(х) система, составленная из уравнений исходной системы (2) и уравнений наблюдателя (6), записанного в переменных х = Ф(х), глобально асимптотически устойчива в точке 1 = 0, х = 0.

Теорема 5. Пусть 1) вектор-функции ф(х\) и ^(хО непрерывно дифференцируемы и глобально лишиицевы, притом ф(0) = 0; 2) существует ограниченная непрерывно дифференцируемая обратная связь и = &х(х), к\(0) = 0, по состоянию, глобально экспоненциально стабилизирующая положение равновесия х == 0, и = 0 системы (8). Тогда при управлении и = кг(х) система, составленная

из уравнений системы (8) и уравнений наблюдателя (9), глобально экспоненциально устойчива в точке х = О, X — 0.

Теорема 6. Пусть для аффинной системы (2) 1) выполнено предположение 1; 2) во всем Я" справедливы равенства (7) и выполнены условия теоремы 5. Тогда при управлении и = &1(Ф_1(ж)), где функция &!(•) из формулировки теоремы 5, система, составленная из уравнений исходной системы (2) и уравнений наблюдателя (9), записанного в переменных х = Ф(х), глобально асимптотически устойчива в точке х = 0, х = 0.

Теорема 7. Пусть для аффинной системы (2) 1) выполнено предположение 1; 2) отображения Ф и Ф-1 глобально липшицевы; 3) во всем Я" справедливы равенства (7) и вектор-функция В(х\) глобально лишпицева; 4) вектор-функция ф(хх) глобально липши-цева, притом ^(0) = 0; 5) при управлении и = к(х), к(0) = 0, в виде непрерывно дифференцируемой ограниченной обратной связи по состоянию положение равновесия х = 0, и = 0 аффинной системы (2) глобально экспоненциально устойчиво. Тогда при управлении и = к(х) система, составленная из уравнений исходной системы (2) и уравнений наблюдателя (9), записанного в переменных х = Ф(х), глобально асимптотически устойчива в точке х = 0, х = 0. ■

В подразделе 2.4.2 решается задача глобальной асимптотической стабилизации с использованием принципа разделения заданного положения равновесия нелинейной динамической системы, имеющей вид (1), с векторными входом и выходом.

Предположение 2. Существует непрерывная обратная связь и = к(х), к(0) = 0, по состоянию такая, что система (1) при управлении и — к(х) глобально асимптотически устойчива в точке х = 0 с функцией Ляпунова У(х), удовлетворяющей при всех х € Я" неравенствам

«1(1 «IX у{х) < оа(| х I), < -а3(\ x I),

где <*,(•), ¿ — 1,2, — некоторые функции класса К ос, аз(-) - функция класса К, определенная на [0, +оо), а | • | - евклидова норма в Я".

Предположение 3. Система (1) допускает построение такого асимптотического наблюдателя

£ = д(х, Н(х),и), д(0,0,0) = 0, (10)

что уравнение ошибки е = х — х оценки наблюдателем состояния системы имеет вид

é = g(x(t) + e,/i(x(í)),u) - f(x(t),u) =

= F{x{t), e, и), F(x(t),0, u) = 0, Vw e ВТ, Vi > 0, (11)

где F(-, •, •) непрерывная функция своих аргументов. Если для управления и из допустимого класса законов управления любое решение x(t) системы (1) определено при всех í ^ 0, то положение равновесия е = 0 системы (11) при данном управлении и и произвольном решении x(t) системы (1) с данным управлением глобально асимптотически устойчиво. Если для управления и из допустимого класса законов управления решение x(t) системы (1) определено только на конечном полуинтервале времени t е [0, Т), 0 < Т < +оо, то решения e(t) системы (11) при данных и и x{t) для любых наг чальных значений е(0) также определены на данном полуинтервале времени и ограничены на нем.

Формулируются и доказываются следующие теоремы.

Теорема 8. Пусть для системы (1) с непрерывной правой частью выполнены предположения 2, 3 и при всех х € Я", е € К1 справедливы неравенства

^(/(х - е, *(*)) - № *(*))) < ei(l * I) + е»(1 е I),

^f-F{x - е, е, *(«)) \х\) + ф2(\ е |),

где Qi(-) и 4>i(-), i = 1,2, - некоторые функции класса КТогда при управлении и = к(х) система, составленная из уравнений системы (1) и уравнений наблюдателя (10), глобально асимптотически устойчива в точке х = 0, х = 0, если <5(s) = аз(й) — gi(s) -s G [0, +oo), является функцией класса Кж.

Теорема 9. Пусть 1) функция f(x, и) в правой части системы (1) непрерывно дифференцируема и глобально липшицева по х равномерно по щ 2) выполняется предположение 3, притом функция F(x,e,u) глобально липшицева по е равномерно по и и х; 3) существует непрерывно дифференцируемая обратная связь и = к(х), fc(0) — 0, по состоянию, глобально экспоненциально стабилизирующая положение равновесия х = 0, и = О системы (1). Тогда при управлении и = к(х) система, составленная из уравнений системы (1) и уравнений наблюдателя (10), глобально асимптотически устойчива в точке х = 0, х = 0. ■

В разделе 2.5 часть результатов, изложенных во второй главе, для удобства представлена в виде таблицы классов нелинейных динамических систем, допускающих построение асимптотических наблюдателей, и достаточных условий справедливости принципа разделения для задач локальной асимптотической стабилизации, глобальной асимптотической стабилизации или асимптотической стабилизации в большом положений равновесия систем.

В третьей главе задача асимптотической стабилизации заданного положения равновесия нелинейной динамической системы в условиях неполноты измеряемой информации о состоянии системы решается с использованием метода обратного хода по наблюдателю.

В разделе 3.1 формулируется задача глобальной асимптотической стабилизации положения равновесия х = 0, и = 0 нелинейной динамической системы, имеющей вид

х = Ах + ф(хх) + В(хi)u, у = xi, (12)

где х = (xi,.. .,х„)т е К1 - вектор состояния системы; и G R -управление; у £ R - измеряемый выход системы; А — (oij), г = 1 ,п, j — 1,тг, - квадратная матрица порядка п с элементами aij = 1, если j — г = 1, и а^- = 0, если j — г ф 1; ф(х1) = (ф1(х1),.._.,фп(х1))Т, ф{{.) 6 С"(Д), ф{{0) = о, i = Т~п-, вектор-функция В(хi) = (0,..., 0, ¡3{хi), Ьф{х{),..., bmP{xi))r представляет собой п - мерный вектор; bj, j — l,m, - некоторые константы; п — r = m; функция /? : R R такова, что ¡3{у) ф 0 для любого у € R.

В разделе 3.2 излагается основанный на методе обратного хода по наблюдателю (М. Krsti6 и др.) алгоритм построения закона

управления, глобально асимптотически стабилизирующего заданное положение равновесия системы (12), являющейся минимально-фазовой.

В разделе 3.3 предлагаются алгоритмы построения законов управления в случае решения задачи стабилизации системы (12), не являющейся минимально-фазовой. В подразделах 3.3.1 и 3.3.2 рассматриваются соответственно одномерная и многомерная нулевая динамика. Предложенные алгоритмы являются обобщением алгоритма метода обратного хода по наблюдателю на случай решения задач стабилизации систем, не являющихся минимально-фазовыми.

В разделе 4.1 четвертой главы решается задача перевода од-нозвенного робота-манипулятора из произвольного углового положения в заданное. Уравнения движения рассматриваемого манипулятора имеют вид

¿i = х2, = Mi sinxi - fcifci - х3), , «

¿3 = х4, х4 = -biXí + kí{xi - х3) + u/J,

где xi, x<i - угловая координата и угловая скорость звена манипулятора соответственно; х3, х4 - угловая координата и угловая скорость вала двигателя; и - управляющий момент, создаваемый двигателем. Константы Mi, bi, ki, кг, J положительны, притом Mi = Mgl/I, к\ — k/I, k% = k/J, bi = d/J, где I, J - моменты инерции звена манипулятора и ротора двигателя соответственно, к - жесткость передаточного механизма, d - коэффициент демпфирования, М - масса звена манипулятора, Mgl sin х\ - момент силы тяжести, действующий на звено манипулятора.

Рассматриваются два случая: измерениям доступна только угловая координата Xj звена манипулятора и измерениям доступна только угловая координата хз вала двигателя. Синтез алгоритмов управления осуществляется с использованием принципа разделения и метода обратного хода по наблюдателю.

Результаты численного моделирования системы (13), например, при у — хз и управлении, основанном на принципе разделения, представлены на рис. 1 при значениях М = 0.21 кг, I = 0.0093 кг • м2, J = 0.0037 кг • м2, к = 0.18 Н ■ и ■ рад-1, d = 0.046 кг • м2 ■ с"1, I = 0.15 м, д — 10 м • с"2.

Рис. 1. Переходные процессы системы (сплошная кривая) и наблюдателя (пунктирная кривая)

В разделе 4.2 решается задача приведения корабля из произвольного положения на плоскости в заданное положение. Уравнения движения рассматриваемого судна имеют вид

ц = 7(77)1/, V = Аи + Вт, (14)

где V = (х,У,Ф)т € Л3, V = (и, «, г)т € Д3; т = (гЬ75,^)т е Д3; А — —М_1£), 5 = М-1 - постоянные матрицы размера 3x3,

(ссе^ —зш^ 0 \ эш^ сов ф 0 1. О О I)

Здесь х, у - координаты центра масс корабля в фиксированной декартовой системе координат, связанной с Землей; ф - угол рысканья; и и V - соответственно продольная и поперечная составляющая скорости корабля в системе координат, жестко связанной с корпусом; г - угловая скорость вращения корабля относительно вертикальной оси; г - вектор управляющих сил и момента, создаваемых

гребными винтами в кормовой части корабля и вспомогательными движителями; М = Мт > 0 и D > 0 - матрицы соответственно моментов инерции и коэффициентов демпфирования. Математическая модель (14) описывает динамику корабля при малых скоростях, например, при швартовке или при управлении положением корабля.

Предполагается, что измеряемый выход системы (14) имеет вид у = т]. Синтез алгоритма управления осуществляется с использованием принципа разделения.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Получены достаточные условия справедливости принципа разделения для аффинных систем со скалярными входом и выходом и для многомерных нелинейных динамических систем для задачи глобальной асимптотической стабилизации положения равновесия.

Алгоритм решения задачи глобальной асимптотической стабилизации положения равновесия нелинейной системы на основе метода обратного хода по наблюдателю обобщен на случай систем, не являющихся минимально-фазовыми.

Полученные результаты расширяют классы нелинейных динамических систем, для которых возможно решение задач асимптотической стабилизации в условиях неполноты измеряемой информации о состоянии системы на основе использования принципа разделения или метода обратного хода по наблюдателю.

Решены задачи управления для однозвенного робота-манипулятора и для корабля. Синтез алгоритмов управления осуществлен с использованием принципа разделения и метода обратного хода по наблюдателю.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Голубев А.Е., Кавинов A.B., Ткачев С.Б. Стабилизация положения равновесия аффинной системы с использованием наблюдателя // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тез. докл. VI межд. сем. - Москва, 2000. - С. 34.

2. Голубев А.Е., Кришенко А.П., Ткачев С.Б. Стабилизация аффинной системы обратной связью по выходу // Декомпозиционные методы в математическом моделировании: Тез. докл. 1-ой Моск. конф. - Москва, 2001. - С. 25-27.

3. Голубев А.Е., Кршценко А.П., Ткачев С.Б. Принцип разделения для аффинных систем // Дифференц. уравнения. - 2001.

- Т. 37, № 11. - С. 1468-1475.

4. Голубев А.Е., Ткачев С.Б. Стабилизация класса нелинейных систем при неполном измерении состояния // Нелинейный динамический анализ: Тез. докл. 2-го межд. контр. - Москва, 2002.

- С. 110.

5. Голубев А.Е. Сравнение двух методов стабилизации нелинейных систем с управлением // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тез. докл. VII межд. сем. - Москва, 2002. -С. 151-153.

6. Golubev А.Е., Krishchenko А.Р. Comparison of two nonlinear stabilization techniques // Proc. 5th Int. Scientific-Technical Conf. Process Control 2002. - Pardubice (Czech Republic), 2002. - P. 72.

7. Golubev A.E., Krishchenko A.P., Tkachev S.B. Separation principle for a class of nonlinear systems // Prepr. 15th IFAC World Congress. - Barcelona (Spain), 2002. - CD-ROM.

8. Стабилизация выхода неминимально-фазовых систем с помощью обратного хода по наблюдателю / А.Е. Голубев, Р. Йохан-сон, А. Робертсон, С.Б. Ткачев // Нелинейная динамика и управление. Сборник статей / Под ред. С.В. Емельянова, С.К. Коровина.

- М.: Физматлит, 2002. - Вып. 2. - С. 115-124.

9. Голубев А.Е. Глобальная стабилизация нелинейных динамических систем с использованием принципа разделения / / Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тез. докл. VIII межд. сем. - Москва, 2004. - С. 44-45.

10. Голубев А.Е. Глобальная стабилизация нелинейных динамических систем при экспоненциальной оценке вектора состояния // Вестник Ml ТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2004.

- № 2. - С. 38-60.

11. Output tracking for a class of nonlinear nonminimum-phase systems using observer backstepping / A. Golubev, R. Johansson, A. Robertsson, S. Tkachev // Vestnik. J. Bauman Moscow State Technical University. Natural Sciences and Engineering. - 2005. - P. 63 - 80.

12. Голубев A.E., Кршценко А.П., Ткачев С.Б. Стабилизация нелинейных динамических систем с использованием оценки состояния системы асимптотическим наблюдателем (обзор) // Автоматика и телемеханика. - 2005. - № 7. - С. 3-42.

Подписано к печати 3 I О.ОЗаказ № 31 4 Объем 1,0 п.л. Тираж 100 экз. Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана.

IM 8 3 96

РНБ Русский фонд

2006^4 15080

ВВЕДЕНИЕ

1. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАБЛЮДАТЕЛИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С УПРАВЛЕНИЕМ

1.1. Постановка задачи

1.2. Наблюдатели с линейной динамикой ошибки оценки состояния

1.2.1. Наблюдатели для аффинных систем

1.2.2. Наблюдатели для некоторых классов нелинейных систем.

1.3. Наблюдатель Тхоу.

1.4. Наблюдатели с высокими коэффициентами усиления

1.5. Наблюдатель Арсака-Кокотовича

1.6. Наблюдатель Тсиниаса.

1.7. Другие методы построения асимптотических наблюда

• те лей.

1.8. Сводная таблица классов нелинейных систем, допускающих построение асимптотических наблюдателей

1.9. Выводы.

2. ПРИНЦИП РАЗДЕЛЕНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

2.1. Постановка задачи

2.2. Принцип разделения для задачи локальной стабилизации

2.3. Принцип разделения для задачи стабилизации в большом

2.4. Принцип разделения для задачи глобальной стабилизации

2.4.1. Принцип разделения для аффинных систем со скалярными входом и выходом.

2.4.2. Принцип разделения для многомерных нелинейных систем.

2.5. Сводная таблица классов нелинейных систем, для которых выполняется принцип разделения.

2.6. Выводы.

3. СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА ОБРАТНОГО ХОДА ПО НАБЛЮДАТЕЛЮ.

3.1. Постановка задачи

3.2. Стабилизация минимально-фазовых систем.

3.3. Стабилизация неминимально-фазовых систем.

3.3.1. Стабилизация систем с одномерной нулевой динамикой

3.3.2. Стабилизация систем с многомерной нулевой динамикой

3.4. Выводы.

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ СТАБИЛИЗАЦИИ

4.1. Стабилизация однозвенного робота-манипулятора

4.2. Стабилизация корабля.

4.3. Выводы.

Актуальность темы. В последние десятилетия задачи управления динамическими системами с помощью обратных связей по выходу привлекают внимание достаточно большого числа как отечественных, так и зарубежных исследователей (см., например, [1 - 137]). Это связано с тем, что при управлении различными техническими системами полный вектор состояния системы, как правило, неизвестен, а измерениям доступны лишь некоторые функции переменных состояния -выходы системы.

Известно, что использование статических обратных связей по выходу [44] позволяет получать решения задач стабилизации в условиях неполноты измеряемой информации о состоянии системы только для определенных классов динамических систем, например, систем, обладающих свойством пассивности или свойством пассифицируемос-ти статической обратной связью по выходу [60, 138 - 140], и в общем случае не дает желаемого результата.

Альтернативой использованию статических обратных связей по выходу является расширение динамики системы на основе данных о значениях выхода за счет построения наблюдателя - специальной динамической системы, состояние которой с течением времени достаточно быстро приближается к состоянию исходной системы, и использование динамических обратных связей по выходу, имеющих вид функций состояния наблюдателя и выхода исходной системы. При этом состояние наблюдателя в произвольный момент времени рассматривается как оценка состояния системы в этот момент времени.

При построении наблюдателя основная проблема состоит в том, чтобы обеспечить заданную динамику уменьшения ошибки оценки состояния системы - рассогласования между состоянием системы и состоянием наблюдателя в один и тот же момент времени. Обычно желательным является асимптотическое или экспоненциальное по времени убывание ошибки.

Предположим, что найдено решение задачи асимптотической ста-# билизации заданного положения равновесия динамической системы в виде обратной связи по состоянию и известна оценка состояния системы, получаемая с помощью наблюдателя. Заменим в обратной связи состояние системы на его оценку наблюдателем. Возникает вопрос, будет ли полученное таким образом управление в виде обратной связи по оценке состояния системы наблюдателем решением рассматриваемой задачи стабилизации.

Для линейных стационарных систем ответ на этот вопрос положителен и составляет содержание известного принципа разделения [141, 142]. Именно пусть для линейной стационарной системы найдена линейная обратная связь по состоянию, глобально асимптотически стабилизирующая при известном векторе состояния заданное положение равновесия системы. Предположим, что построен асимптотический наблюдатель, дающий оценку вектора состояния системы и работающий глобально. Тогда при соответствующей обратной связи по оценке вектора состояния системы наблюдателем глобальная асимпто-% тическая устойчивость системы сохраняется.

Для нелинейных систем в общем случае ответ положителен только для задач локальной асимптотической стабилизации положений равновесия. В работе [1] показана справедливость принципа разделения для задач локальной асимптотической стабилизации нелинейных слабо детектируемых систем с непрерывно дифференцируемой правой частью, локально асимптотически стабилизируемых непрерывно дифференцируемой обратной связью по состоянию. В работе [5] эти результаты обобщены на случай, когда правая часть системы непрерывна, а стабилизирующие управления принадлежат классу непрерывных обратных связей по состоянию.

Для задач же глобальной асимптотической стабилизации положений равновесия в общем случае ответ отрицательный: известны примеры нелинейных систем, к которым принцип разделения для задач глобальной стабилизации неприменим, несмотря на глобальную ста-билизируемость системы обратной связью по состоянию и возмож ность оценки состояния системы при помощи асимптотического наблюдателя, работающего глобально. Причина этого - возможное явление неограниченного возрастания за конечное время решений системы с управлением, получаемым заменой в стабилизирущей обратной связи по состоянию состояния системы на его оценку наблюдателем [25, 32, 143, 144].

В работе [32] для нелинейных динамических систем сформулированы следующие ключевые вопросы, касающиеся задачи глобальной асимптотической стабилизации системы с помощью раздельного построения стабилизирующей обратной связи по состоянию и наблюдателя для оценки состояния системы с последующей подстановкой оценки состояния в обратную связь.

1. Пусть найден закон управления в виде обратной связи по состоянию, глобально асимптотически стабилизирующий заданное положение равновесия системы, и построен наблюдатель, дающий оценку вектора состояния системы и работающий глобально. Будет ли система при управлении, получаемом заменой в стабилизирущей обратной связи по состоянию состояния системы на его оценку наблюдателем, глобально асимптотически устойчива?

2. Пусть построен наблюдатель, работающий глобально. Существует ли такой закон управления в виде обратной связи по состоянию, глобально асимптотически стабилизирующий заданное положение равновесия системы, что управление, получаемое заменой в стабилизирущей обратной связи по состоянию состояния системы на его оценку наблюдателем, обеспечивает глобальную асимптотическую устойчивость замкнутой системы?

3. Имеется закон управления в виде обратной связи по состоянию, глобально асимптотически стабилизирующий заданное положение равновесия системы. Существует ли такой наблюдатель, работающий глобально, что управление, получаемое заменой в стабилизирущей обратной связи по состоянию состояния системы на его оценку наблюдателем, обеспечивает глобальную асимптотическую устойчивость замкнутой системы?

4. Существуют ли такие наблюдатель, работающий глобально, и закон управления в виде обратной связи по состоянию, глобально асимптотически стабилизирующий заданное положение равновесия системы, что система при управлении, получаемом заменой в стабилизирущей обратной связи по состоянию состояния системы на его оценку наблюдателем, глобально асимптотически устойчива?

Известно (см., например, [32, 143, 145]), что в общем случае для нелинейных систем ответ на первый вопрос отрицательный, даже если имеется экспоненциальное по времени убывание ошибки оценки состояния системы наблюдателем. Согласно работе [32] ответ остается отрицательным даже в случае, когда имеется сходимость за конечное время ошибки оценки состояния к нулю, так как решения системы при управлении, получаемом заменой в стабилизирущей обратной связи по состоянию состояния системы на его оценку наблюдателем, могут неограниченно возрастать за конечное время прежде, чем ошибка оценки состояния обратится в ноль.

В работах [32, 144] приведен пример построения нелинейной динамической системы, для которой ответ на второй вопрос также отрицателен для класса управлений, состоящего из всех непрерывных обратных связей по состоянию, и, таким образом, дан отрицательный в общем случае ответ на второй вопрос для данного класса обратных связей.

В работе [25] на конкретных примерах систем показано, что равномерная наблюдаемость при произвольном управлении [146] и глобальная асимптотическая стабилизируемость заданного положения равновесия нелинейной системы непрерывной обратной связью по состоянию в общем случае не гарантирует глобальную асимптотическую стабилизируемость системы динамической обратной связью по выходу. Невозможность стабилизации положений равновесия рассмотренных в работе [25] примеров нелинейных систем при помощи динамических обратных связей по выходу объясняется отсутствием у этих систем свойства «наблюдаемости неограниченного роста решений за конечное время» [25]. Наличие у динамической системы данного свойства означает, что если какое-либо решение системы неограниченно возрастает за конечное время, то и функция-выход системы, рассматриваемая на данном решении, неограниченно возрастает за данное время.

Отметим, что результаты, полученные в работе [25], в частности, подразумевают отрицательные в общем случае ответы на третий и четвертый вопросы.

Поэтому одной из важных фундаментальных проблем является выделение классов нелинейных динамических систем, для которых справедливы утвердительные ответы на какие-либо из сформулированных выше вопросов, касающихся задачи глобальной асимптотической стабилизации заданного положения равновесия системы с помощью раздельного построения стабилизирующей обратной связи по состоянию и наблюдателя для оценки состояния системы с последующей подстановкой оценки состояния в обратную связь.

Альтернативным использованию принципа разделения методом решения задач асимптотической стабилизации положений равновесия систем при помощи динамических обратных связей по выходу является непосредственная стабилизация специальной расширенной системы, состоящей из уравнений исходной системы и уравнений системы, описывающей динамику ошибки оценки состояния исходной системы наблюдателем, при помощи законов управления, имеющих вид функций состояния наблюдателя и выхода системы. Существенным прогрессом в этом направлении стало появление метода линеаризации системы динамической обратной связью по выходу, предложенного в работе [7], и метода обратного хода по наблюдателю [9, 143].

Первый метод [7] использует линеаризацию системы динамической обратной связью по выходу и основан на преобразовании нелинейной системы с помощью замены переменных и динамической обратной связи по выходу к линейной наблюдаемой минимально-фазовой системе и последующей стабилизации полученной линейной системы при помощи линейной обратной связи по оценке состояния системы наблюдателем. Отметим, что данный метод применим при решении задач глобальной асимптотической стабилизации для достаточно узкого класса нелинейных систем.

Метод обратного хода по наблюдателю, рассмотренный в работах [9, 143], также позволяет находить стабилизирующие управления, имеющие вид функций состояния наблюдателя и выхода системы, и может быть использован при решении задач стабилизации положений равновесия динамических систем. Этот метод применим при решении задач глобальной асимптотической стабилизации для того же класса нелинейных систем, что и метод линеаризации системы динамической обратной связью по выходу, однако, представляет больший интерес с практической точки зрения, так как позволяет получать более широкий класс законов управления. Заметим, что алгоритм построения законов управления при помощи метода обратного хода по наблюдателю в том виде, в котором он приведен в работах [9, 143], позволяет находить стабилизирующие управления только для минимально-фазовых систем.

Следовательно, актуальными являются обобщение указанных выше методов на случай решения задач глобальной асимптотической стабилизации для более широкого класса нелинейных динамических систем, в том числе в случае, когда система не является минимально-фазовой, а также разработка новых методов стабилизации нелинейных систем при помощи обратных связей по выходу.

Цель работы. Целью диссертационной работы является выделение классов нелинейных динамических систем, для которых принцип разделения справедлив для задачи глобальной асимптотической стабилизации заданного положения равновесия системы, а также разработка методов глобальной асимптотической стабилизации нелинейных систем при помощи динамических обратных связей по выходу.

Методы исследования. В работе применяются методы теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости и математической теории управления.

Научная новизна. Установлены классы аффинных систем со скалярными входом и выходом и классы многомерных нелинейных динамических систем, для которых принцип разделения выполняется для задачи глобальной асимптотической стабилизации заданного положения равновесия системы.

Разработан алгоритм решения задачи глобальной асимптотической стабилизации положений равновесия нелинейных систем при помощи динамических обратных связей по выходу, имеющих вид функций состояния наблюдателя и выхода исходной системы, являющийся обобщением алгоритма метода обратного хода по наблюдателю для задачи стабилизации систем, не являющихся минимально-фазовыми.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами численного моделирования.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе, являются развитием математической теории управления и позволяют решать задачи стабилизации для нелинейных динамических систем в условиях неполноты измеряемой информации о состоянии системы.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Достаточные условия справедливости принципа разделения для задачи глобальной асимптотической стабилизации положений равновесия аффинных систем со скалярными входом и выходом.

2. Достаточные условия справедливости принципа разделения для задачи глобальной асимптотической стабилизации положений равновесия многомерных нелинейных динамических систем.

3. Обобщение алгоритма метода обратного хода по наблюдателю для задачи глобальной асимптотической стабилизации положений равновесия нелинейных систем, не являющихся минимально-фазовыми.

4. Решение задач управления для однозвенного робота-манипулятора и для корабля с использованием принципа разделения и метода обратного хода по наблюдателю.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на VI международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», ИПУ РАН, Москва, 2000; на 1-ой Московской конференции «Декомпозиционные методы в математическом моделировании», ВЦ РАН, Москва, 2001; на VII международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», ИПУ РАН, Москва, 2002; на втором международном конгрессе «Нелинейный динамический анализ», МАИ, Москва, 2002; на 5-ой международной научно-технической конференции «Process Control 2002», Пардубице, Чехия, 2002; на 15-ом международном конгрессе IFAC, Барселона, Испания, 2002; на летней школе при международном математическом центре имени С. Банаха, Варшава, Польша, 2002; на VIII международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», ИПУ РАН, Москва, 2004.

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в пяти статьях [101, 116, 135 - 137] и семи тезисах докладов на конференциях [89, 90, 108, 115, 134, 147, 148].

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, выводов и списка литературы. Работа изложена на 156 страницах, содержит 2 таблицы и 29 иллюстраций. Библиография включает 187 наименований.

Основные выводы и результаты работы

Сформулируем основные выводы и результаты проведенных исследований.

1. Получены достаточные условия справедливости принципа разделения для аффинных систем со скалярными входом и выходом и для многомерных нелинейных динамических систем для задачи глобальной асимптотической стабилизации положения равновесия.

2. Алгоритм решения задачи глобальной асимптотической стабилизации положения равновесия нелинейной системы на основе метода обратного хода по наблюдателю обобщен на случай систем, не являющихся минимально-фазовыми.

3. Полученные результаты расширяют классы нелинейных динамических систем, для которых возможно решение задач асимптотической стабилизации в условиях неполноты измеряемой информации о состоянии системы на основе использования принципа разделения или метода обратного хода по наблюдателю.

4. Решены задачи управления для однозвенного робота-манипулятора и для корабля. Синтез алгоритмов управления осуществлен с использованием принципа разделения и метода обратного хода по наблюдателю.

1. Vidyasagar М. On the stabilization of nonlinear systems using state detection IEEE Trans, on Autom. Control. 1980. V. 25. P. 504-

2. Byrnes C.I., Isidori A. New results and counterexamples in nonlinear feedback stabilization Systems and Control Letters. -1989. 12. P 437-

3. Tsinias J., Kalouptsidis N. Output feedback stabilization IEEE Trans, on Autom. Control. 1990. V. 35, 8. P. 951-

4. Tsinias J. Optimal controllers and output feedback stabilization Systems and Control Letters. 1990. 15. P. 277-

5. Tsinias J. A generalization of Vidyasagars theorem on stabilizability using state detection Systems and Control Letters, 1991. 17. P 37-

6. Tsinias J. A theorem on global stabilization of nonlinear systems by linear feedback Systems and Control Letters. 1991. 17. P. 357-

7. Marino R., Tomei P. Dynamic output feedback linearization and global stabilization Systems and Control Letters. 1991. 17. P 115-

8. Byrnes C.I., Isidori A. Asymptotic stabilization of minimum phase nonlinear systems IEEE Trans, on Autom. Control. 1991. V. 36, 1 0 P 1122-1

9. Kanellakopoulos I., Kokotovic P.V., Morse A.S. A toolkit for nonlinear feedback design Systems and Control Letters. 1992. 1 8 P 83-92. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

10. Praly L. Lyapunov design of a dynamic output feedback for systems linear in their unmeasured state components Proc. 2nd IFAC Nonlinear Control Systems Design Symposium. Bordeaux (France), 1992.-P. 31-36.

11. Tornambe A. Output feedback stabilization of a class of non-minimum phase nonlinear systems Systems and Control Letters. 1992. 1 9 P 193-204.

12. Esfandiari F., Khalil H.K. Output feedback stabilization of fully linearizable systems Int. J. Control. 1992. V. 56. P. 10071037.

13. Gauthier J.P., Kupka I. A separation principle for bilinear systems with dissipative draft IEEE Trans, on Autom. Control. 1992. V. 37, 12. P. 1970-1974.

14. Tsinias J. Sontags input to state stability condition and global stabilization using state detection Systems and Control Letters. 1993. 20. P. 219-226.

15. Ailon A., Ortega R. An observer-based set-point controller for robot manipulators with flexible joints Systems and Control Letters. 1993. 21. P. 329-335.

16. Marino R., Tomei P. Global adaptive output-feedback control of nonlinear systems. Part I: hnear parametrization IEEE Trans, on Autom. Control. 1993. V. 38, 1. P. 17-32.

17. Marino R., Tomei P. Global adaptive output-feedback control of nonlinear systems. Part II: nonlinear parametrization IEEE Trans, on Autom. Control. 1993. V. 38, 1. P. 33-48.

18. Khahl H.K., Esfandiari F. Semiglobal stabilization of a class of nonlinear systems using output feedback IEEE Trans, on Autom. Control. 1993. V. 38, 9. P. 1412-1415.

19. Praly L., Jiang Z.P. Stabilization by output feedback for systems with IBS inverse dynamics Systems and Control Letters. 1993. 21. P 19-33.

20. Berghuis H., Nijmeijer H. Global regulation of robots using only position measurements Systems and Control Letters. 1993. 2 1 P 289-293.

21. Berghuis H., Nijmeijer H. A passivity approach to controller-observer design for robots IEEE Trans, on Robotics and Automation. 1993. V. 9, 6. P. 740-754.

22. Pomet J.В., Hirschorn R.M., Cebuhar W.A. Dynamic output feedback regulation for a class of nonlinear systems Math, of Control, Signals and Systems. 1993. 6. P. 106-124.

23. Teel A., Praly L. On output feedback stabilization for systems with IIS inverse dynamics and uncertainties Proc. 32nd IEEE Conf. on Decision and Control. San Antonio (Texas), 1993. P. 1942-1947.

24. Teel A., Praly L. Global stabilizability and observability imply semiglobal stabilizability by output feedback Systems and Control Letters. 1994. 22. P. 313-325.

25. Mazenc P., Praly L., Dayawansa W.P. Global stabilization by output feedback: examples and counterexamples Systems and Control Letters. 1994. 23. P. 119-125. 26. Lin W. Bounded smooth state feedback and a global separation principle for non-affine nonhnear systems Systems and Control Letters. 1995. 26. P. 41-53.

26. Teel A., Praly L. Tools for semiglobal stabilization by partial state and output feedback SIAM J. Control and Optimization. 1995. V. 33, 5. P. 1443-1488.

27. Kucera V., De Souza C. A necessary and sufficient condition for output feedback stabilizability Automatica. 1995. V. 31, 9. R 1357-1359.

28. Nicosia S., Tomei P. A global output feedback controller for flexible joint robots Automatica. 1995. V. 31, 10. P. 1465-1469.

29. Freeman R. Global internal stabilizability does not imply global external stabilizability for small sensor disturbances IEEE Trans, on Autom. Control. 1995. V. 40, 12. P. 2119-2122.

30. Дружинина M.B., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Методы адаптивного управления нелинейными объектами по выходу Автоматика и телемеханика. 1996. 2. 3-33.

31. Jankovic М. Adaptive output feedback control of nonlinear feedback linearizable systems Int. J. Adaptive Control and Signal Processing. 1996. V. 10. P. 1-18.

32. Jouan P., Gauthier J.P. Finite singularities of nonlinear systems, output stabilization, observability and observers J. Dynamical and Control Systems. 1996. V. 2, 2. P. 255-288.

33. Khalil H.K. Adaptive output feedback control of nonlinear systems represented by input-output models IEEE Trans, on Autom. Control. 1996. v.,41, 2. P. 177-188.

34. Battilotti S. Global output regulation and disturbance attenuation with global stability via measurement feedback for a class of nonlinear systems IEEE Trans, on Autom. Control. 1996. V. 41, 3. P 315-

35. Freeman R., Kokotovic P.V. Tracking controllers for systems linear in the unmeasured states Automatica. 1996. V. 32. P. 735-

36. Khalil H.K., Strangas E.G. Robust speed control of induction motors using position and current measurement IEEE Trans, on Autom. Control. 1996. V. 41, 8. P. 1216-1

37. Mahmoud N.A., Khalil H.K. Asymptotic regulation of minimum phase nonlinear systems using output feedback IEEE Trans, on Autom. Control. 1996. V. 41, 10. P. 1402-1

38. Tsinias J. Versions of Sontags input to state stability condition and output feedback global stabilization J. Mathematical Systems, Estimation and Control. 1996. V. 6, 1. P. 1-

39. Battilotti S., Lanari L., Ortega R. On the role of passivity and output injection in the output feedback stabilization problem: application to robot control Europ. J. Control. 1997. V. 3, 3. P. 92-

40. Jankovic M. Adaptive nonlinear output feedback tracking with a partial high-gain observer and backstepping IEEE Trans, on Autom. Control. 1997. V. 42, 1. P. 106-113. 38. 39. 40. 41. 42. 43.

41. Syrmos V., Abdallah C Dorato P., Grigoriadis K. Static output feedback a survey Automatica. 1997. V. 33. P. 125-137.

42. Никифоров B.O. Робастное управление линейным объектом по выходу Автоматика и телемеханика. 1998. 9. 87-

43. Бурдаков Ф. Синтез управления упругим роботом при неопределенности математической модели методом непрямой компенсации Известия академии наук. Теория и системы управления. 1998. 1 С 149-155. 46.

44. Jiang Z.P. A note on robust adaptive output feedback control Proc. 4th IFAC Nonlinear Control Systems Design Symposium. Enschede (The Netherlands), 1998. P. 20-

45. Battilotti S. Semiglobal stabilization of uncertain block-feedforward systems via measurement feedback Proc. 4th IFAC Nonlinear Control Systems Design Symposium. Enschede (The Netherlands), 1998.-P. 342-

46. Besancon G. State-affine systems and observer-based control Proc. 4th IFAC NonHnear Control Systems Design Symposium. Enschede (The Netherlands), 1998. P. 399-404. 48. 49.

47. Isidori A. Semiglobal practical stabilization of uncertain nonminimum-phase nonlinear systems via output feedback Proc. 4th IFAC Nonlinear Control Systems Design Symposium. Enschede (The Netherlands), 1998. P. 643-648.

48. Marino R.j Tomei P. Robust adaptive tracking by measurement feedback for a class of nonlinear systems Proc. 4th IFAC Nonlinear Control Systems Design Symposium. Enschede (The Netherlands), 1998.-P. 673-678.

49. Peresada S., Tonielli A. Exponentially stable output feedback control of induction motor Proc. 4th IFAC Nonlinear Control Systems Design Symposium. Enschede (The Netherlands), 1998. P. 726731.

50. Robertsson A., Johansson R. Nonlinear observers and output feedback control with application to dynamically positioned ships Proc. 4th IFAC Nonlinear Control Systems Design Symposium. Enschede (The Netherlands), 1998. P. 818-823.

51. Battilotti S. A general theorem on the semiglobal stabilization of uncertain nonlinear systems via measurement feedback Proc. 4th IFAC Nonlinear Control Systems Design Symposium. Enschede (The Netherlands), 1998. P. 848-853.

52. Battilotti S. Robust output feedback stabilization via a small-gain theorem Int. J. Robust and Nonlinear Control. 1998. V. 9. P 211-

53. Geromel J.C., De Souza C Skelton R.E. Static output feedback controllers: stability and convexity IEEE Trans, on Autom. Control. 1998. V. 43, 1. P. 120-

54. Ding Z. Global adaptive output feedback stabilization for nonlinear systems of any relative degree with unknown high-frequency gains IEEE Trans, on Autom. Control. 1998. V. 43. P. 1442-1

55. Fossen T.I., Grovlen A. Nonlinear output feedback control of dynamically positioned ships using vectorial observer backstepping IEEE Trans, on Contr. Syst, Technol. 1998. V. 6, J 1. Y P. 121-

56. Robertsson A., Johansson R. Comments on "Nonlinear output feedback control of dynamically positioned ships using vectorial observer backstepping" IEEE Trans, on Contr. Syst. Technol. 1998. V. 6, 3. P. 439-

57. Jiang Z., Hill D. Passivity and disturbance attenuation via output feedback for uncertain nonlinear systems IEEE Trans, on Autom. Control. 1998. V. 43, 7. P. 992-

58. Besancon G., Battilotti S., Lanari L. On output feedback tracking control with disturbance attenuation for Euler-Lagrange systems Proc. 37th IEEE Conf. on Decision and Control. Tampa (Florida), 1998. P. 3139-3143. 56. 57. 58. 59. 60. 61.

59. Atassi A.N., Khalil H.K. A separation principle for the control of a class of nonlinear systems Proc. 37th IEEE Conf. on Decision and Control. Tampa (Florida), 1998. P. 855-860.

60. Atassi A.N., Khalil H.K. A separation principle for the stabilization of a class of nonlinear systems IEEE Trans, on Autom. Control. 1999. V. 44, 9. P. 1672-1687.

61. Loria A., Panteley E. A separation principle for a class of EulerLagrange systems In: New Directions in Nonlinear Observer Design. London: Springer-Verlag, 1999. 320 p.

62. Arcak M., Kokotovic P.V. Observer-based stabihzation of systems with monotonic nonlinearities Asian J. Control. 1999. V. 1. P 42-48.

63. Robertsson A., Johansson R. Observer backstepping for a class of nonminimum-phase systems Proc. 38th IEEE Conf. on Decision and Control. Phoenix (Arizona), 1999. P. 4866-4871.

64. Padilla S., Alvarez J., Castellanos E. Linear measurement feedback control of nonlinear plants Proc. 14th IFAC World Congress. Beijing (China), 1999. P. 225-229. 68. Tan Y., Kanellakopoulos I. Adaptive nonlinear observer/controller design for uncertain nonhnear systems Proc. 14th IFAC World Congress. Beijing (China), 1999. P. 237-242.

65. Jiang Z.P. Nonlinear disturbance attenuation with global stability via output feedback Proc. 14th IFAC World Congress. Beijing (China), 1999.-P. 315-320.

66. Chen P., Qin H., Zhu Q.M. Dynamic output feedback stabilization of partially linear composite systems Proc. 14th IFAC World Congress. Beijing (China), 1999. P. 345-350.

67. Chen W., Chu X., Shi S., Liu X. Robust adaptive output-feedback control of a class of uncertain nonlinear systems Proc. 14th IFAC World Congress. Beijing (China), 1999. P. 375-380.

68. Marino R., Tomei P. Adaptive output feedback tracking for a class of nonlinear systems with time-varying parameters Proc. 14th IFAC World Congress. Beijing (China), 1999. P. 381-

69. Johansson R., Robertsson A. The Yakubovich-Kalman-Popov lemma and stability analysis of dynamic output feedback systems Proc. 14th IFAC World Congress. Beijing (China), 1999. P. 393-398. 73.

70. Mazenc F., Astolfi A. Robust output feedback stabilization of the angular velocity of a rigid body Proc. 14th IFAC World Congress. Beijing (China), 1999. P. 405-410.

71. Зубер И.Е. Синтез регулятора для нестационарной модели автономного транспортного средства Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2000.

72. Электронный журнал. (http://www.neva.ru/journal)

73. Besancon G. Global output feedback tracking control for a class of Lagrangian systems Automatica. 2000. V. 36. P. 1915-1921.

74. Besancon G., Hammouri H. Some remarks on dynamic output feedback control of non-uniformly observable systems Proc. 39th IEEE Conf. on Decision and Control. Sydney (Australia), 2000. CD-ROM.

75. Aamo O.M., Arcak M., Fossen T.I., Kokotovic P.V. Global output tracking control of a class of Euler-Lagrange systems Proc. 39th IEEE Conf. on Decision and Control. Sydney (Australia), 2000. CD-ROM.

76. Maggiore M., Passino K. Robust output feedback control of incompletely observable nonlinear systems without input dynamic extension Proc. 39th IEEE Conf. on Decision and Control. Sydney (Australia), 2000. CD-ROM. m

77. Polushin I. On the output feedback control of passive nonlinear systems with input perturbations Proc. 39th IEEE Conf. on Decision and Control. Sydney (Australia), 2000. CD-ROM. Astolfi A., Colaneri P. Static output feedback stabilization of linear and nonlinear systems Proc. 39th IEEE Conf. on Decision and Control. Sydney (Australia), 2000. CD-ROM. 81.

78. Praly L., Kanellakopoulos I. Output feedback asymptotic stabilization for triangular systems linear in the unmeasured state components Proc. 39th IEEE Conf. on Decision and Control. Sydney (Australia), 2000. CD-ROM.

79. Arcak M., Kokotovic P.V. Robust output-feedback design using a new class of nonlinear observers Proc. 39th IEEE Conf. on Decision and Control. Sydney (Austraha), 2000. CD-ROM.

80. Jiang Z.P., Arcak M. Robust global stabilization with input unmodeled dynamics: an ISS small-gain approach Proc. 39th IEEE Conf. on Decision and Control. Sydney (Austraha), 2000. CDROM.

81. Maggiore M., Passino K. Output feedback control of stabilizable and incompletely observable systems: theory Proc. Amer. Control Conf. Chicago (Illinois), 2000. P. 3641-3645.

82. Isidori A. A tool for semiglobal stabilization of uncertain nonminimum-phase nonlinear systems via output feedback IEEE Trans, on Autom. Control. 2000. V. 45, 10. P. 1817-1827.

83. Isidori A., Teel A., Praly L. A note on the problem of semiglobal practical stabilization of uncertain nonlinear systems via dynamic output feedback Systems and Control Letters. 2000. 39. P 165-171.

84. Shim Н., Seo J.H. Nonlinear output feedback stabilization on a bounded region of attraction Int. J. Control. 2000. V. 73, 5. P 416-426.

85. Голубев A.E., Кавинов A.В., Ткачев С Б Стабилизация положения равновесия аффинной системы с использованием наблюдателя Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов VI международного семинара. Москва, 2000. 34.

86. Голубев А.Е., Крищенко А.П., Ткачев С Б Стабилизация аффинной системы обратной связью по выходу Декомпозиционные методы в математическом моделировании: Тезисы докладов 1-ой Московской конференции. Москва, 2001. С 25-27.

87. Arcak М., Kokotovic P.V. Observer-based control of systems with slope-restricted nonlinearities Proc. Amer. Control Conf. Arlington (VA), 2001. P. 384-389.

88. Arcak M., Kokotovic P.V. Observer based control of systems with slope restricted nonlinearities IEEE Trans, on Autom. Control. 2001. V. 46, 7. P. 1146-1150.

89. Arcak M., Kokotovic P.V. Nonlinear observers: a circle criterion design and robustness analysis Automatica. 2001, V. 37. P. 1923-1930.

90. Besancon G. A note on constrained stabilization for nonlinear systems in feedback form Proc. 5th IFAC Nonhnear Control Systems Design Symposium. St. Petersburg (Russia), 2001. P. 289-293.

91. Shim H., Teel A. Further results on the nonlinear separation principle: the general asymptotically controllable case Proc. 5th IFAC Nonlinear Control Systems Design Symposium. St. Petersburg (Russia), 2001. P. 1543-1548.

92. Battilotti S. Lyapunov design of global measurement feedback controllers for nonlinear systems Proc. 5th IFAC Nonlinear Control Systems Design Symposium. St. Petersburg (Russia), 2001. P. 1561-1

93. Maggiore M., Passino K. Sufficient conditions for the solution of the semiglobal output tracking problem using practical internal models Proc. 5th IFAC Nonlinear Control Systems Design Symposium. St. Petersburg (Russia), 2001. P. 1572-1

94. Johansson R., Robertsson A. Observer-based strict positive real (SPR) feedback control system design Proc. 5th IFAC Nonlinear Control Systems Design Symposium. St. Petersburg (Russia), 2001. P 1601-1

95. Chen P., Qin H., Huang J. Local stabilization of a class of nonlinear systems by dynamic output feedback Automatica. 2001. V. 37. P 969-981. 97. 98. 99. 100. Lin W., Qian C. Semi-global robust stabilization of MIMO nonlinear systems by partial state and dynamic output feedback Automatica. 2001. V. 37. P. 1093-1101.

96. Голубев A.Е., Крипденко A.П., Ткачев С Б Принцип

97. Serrani А. Towards universal nonlinear output regulation Proc. 40th IEEE Conf. on Decision and Control. Orlando (Florida), 2001. P 59-64.

98. Battilotti S. New results in the global stabilization of nonlinear systems via measurement feedback with application to nonholonomic systems Proc. 40th IEEE Conf. on Decision and Control. Orlando (Florida), 2001. P. 1360-1365. m

99. Praly L. Asymptotic stabilization via output feedback for lower triangular systems with output dependent incremental rate Proc. 40th IEEE Conf. on Decision and Control. Orlando (Florida), 2001. P 3808-3813.

100. Besancon G., Hammouri H. A semi-global output feedback stabilization scheme for a class of non uniformly observable systems Prepr. 15th IFAC World Congress. Barcelona (Spain), 2002. CD-ROM.

101. Besancon G., Battilotti S., Lanari L. A new separation result for Euler-Lagrange-Hke systems Prepr. 15th IFAC World Congress. Barcelona (Spain), 2002. CD-ROM.

102. Efimov D.V. Universal formula for output asymptotic stabilization Prepr. 15th IFAC World Congress. Barcelona (Spain), 2002. CD-ROM.

103. Golubev A.E., Krishchenko A.P., Tkachev S.B. Separation principle for a class of nonlinear systems Prepr. 15th IFAC World Congress. Barcelona (Spain), 2002. CD-ROM.

104. Prat S., Astolfi A. Local static output feedback stabilization of a class of minimum-phase nonlinear systems Prepr. 15th IFAC World Congress. Barcelona (Spain), 2002. CD-ROM.

105. Arcak M. A global separation theorem for a new class of nonlinear observers Proc. 41st IEEE Conf. on Decision and Control. Las Vegas (Nevada), 2002. P. 676-681.

106. Qian C Lin W. Output feedback stabilization of planar systems with uncontroUable/unobservable linearization Proc. 41st IEEE Conf. on Decision and Control. Las Vegas (Nevada), 2002. P. 4324-4329.

107. Loria A., Morales J.L. A cascades approach to a nonlinear separation principle Proc. 41st IEEE Conf. on Decision and Control. Las Vegas (Nevada), 2002. P. 695-700.

108. Qian С Lin W. Stabilization of a class of nonlinear systems by linear output feedback IEEE Trans, on Autom. Control. 2002. V. 47. P 1710-1715.

109. Qian C Lin W. Smooth output feedback stabilization of planar systems without controllable/observable linearization IEEE Trans, on Autom. Control. 2002. V. 47. R 2068-2073.

110. Голубев A.Е., Ткачев С Б Стабилизация класса нелинейных систем при неполном измерении состояния Нелинейный динамический анализ: Тезисы докладов 2-го международного конгресса. Москва, 2002. 110.

111. Стабилизация выхода неминимально-фазовых систем с помощью обратного хода по наблюдателю А.Е. Голубев, Р. Иохансон, А. Робертсон, С Б Ткачев Нелинейная динамика и управление. Сборник статей Под ред. С В Емельянова, С К Коровина. М.: Физматлит, 2002. Вып. 2. 115-124.

112. Johansson R., Robertsson А. Observer-based strict positive real (SPR) feedback control system design Automatica. 2002. V. 38. P 1557-1564.

113. Yang В., Lin W. Output feedback stabilization of a class of homogeneous and high-order nonlinear systems Proc. 42nd IEEE Conf. on Decision and Control. Maui (Hawaii), 2003. P. 37-42.

114. Qian C Lin W. Nonsmooth output feedback stabilization and tracking of a class of nonlinear systems Proc. 42nd IEEE Conf. on Decision and Control. Maui (Hawaii), 2003. P. 43-48.

115. Maithripala D.H., Berg J.M., Dayawansa W.P. Nonlinear dynamic output feedback stabilization of electrostatically actuated MEMS Proc. 42nd IEEE Conf. on Decision and Control. Maui (Hawaii), 2 0 0 3 P 61-66.

116. Coutinho D.F., Trofino A., Barbosa K.A. Robust linear dynamic output feedback controllers for a class of nonlinear systems Proc. 42nd IEEE Conf. on Decision and Control. Maui (Hawaii), 2003. P 374-379.

117. Jiang Z.P., Mareels I., Hill D.J., Huang J. A unifying framework for global regulation via nonlinear output feedback Proc. 42nd IEEE Conf. on Decision and Control. Maui (Hawaii), 2003. P. 10471052.

118. Praly L., Jiang Z.P. On global output feedback stabilization of uncertain nonlinear systems Proc. 42nd IEEE Conf. on Decision and Control. Maui (Hawaii), 2003. P. 1544-1549.

119. Shiriaev A., Johansson R., Robertsson A. Sufficient conditions for dynamical output feedback stabilization via the circle criterion Proc. 42nd IEEE Conf. on Decision and Control. Maui (Hawaii), 2 0 0 3 P 4682-4687. 125. Do K.D., Jiang Z.P., Pan J. Global output-feedback tracking control of a VTOL aircraft Proc. 42nd IEEE Conf. on Decision and Control. Maui (Hawaii), 2003. P. 4914-4919.

120. Karafyllis I., Kravaris C. Robust output feedback stabilization and nonlinear observer design Proc. 42nd IEEE Conf. on Decision and Control. Maui (Hawaii), 2003. P. 5847-5852.

121. Davison D.E., Hwang E.S., Li X. Generalization of the separation principle beyond constant-gain state-feedback control Proc. Amer. Control Conf. Denver (Colorado), 2003. P. 3228-3233.

122. Qian C Schrader С В Lin W. Global regulation of a class of uncertain nonlinear systems using output feedback Proc. Amer. Control Conf. Denver (Colorado), 2003. P. 1542-1547.

124. Зубер И.Е. Синтез терминального управления по выходу нелинейной системы Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2004. JYe.

125. Электронный журнал. (http://www.neva.ru/journal)

126. Голубев А.Е. Глобальная стабилизация нелинейных динамических систем с использованием принципа

127. Голубев А.Е. Глобальная стабилизация нелинейных динамических систем при экспоненциальной оценке вектора состояния Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2004. 2 С 38-60.

128. Output tracking for а class of nonlinear nonminimum-phase systems using observer backstepping A. Golubev, R. Johansson, A. Robertsson, S. Tkachev Vestnik. J. Bauman Moscow State Technical University. Natural Sciences and Engineering. 2005. P. 63-80.

129. Голубев А.Е., Крищенко А.П., Ткачев Б. Стабилизация нелинейных динамических систем с использованием оценки состояния системы асимптотическим наблюдателем (обзор) Автоматика и телемеханика. 2005. 7. 3-42.

130. Byrnes C.L, Isidori А., Willems J.C. Passivity, feedback equivalence and the global stabilization of minimum phase nonlinear systems IEEE Trans, on Autom. Control. 1991. V. 36, 11. P. 12281240.

131. Fradkov A., Hill D. Exponential feedback passivity and stabilizability of nonlinear systems Automatica. 1998. V. 34, 6. P. 697703.

132. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000. 549 с.

133. Уонэм М. Линейные многомерные системы управления: Геометрический подход. М.: Наука, 1980. 376 с.

134. Машиностроение. Энциклопедия Ред. совет: К. В. Фролов (пред.) и др. Автоматическое управление. Теория. Т. 1-4 Е. А. Федосов, А. А. Красовский, Е. П. Попов и др. Под общ. ред. Е. А. Федосова. М.: Машиностроение, 2000. 688с.

135. Krstic М., Kanellakopoulos L, Kokotovic P.V. Nonlinear and adaptive control design. New York: John Wiley and Sons, 1995. 563 p.

136. Freeman R., Kokotovic P.V. Robust nonlinear control design. Statespace and Lyapunov techniques. Boston: Birkhauser, 1996. 257 p.

137. Khalil H. K. Nonlinear systems. 2nd edition. New York: PrenticeHall, 1996. 750 p.

138. Gauthier J.P., Bernard G. Observability for any u{t) of a class of nonlinear systems IEEE Trans, on Autom. Control. -1981. V. 26. P 922-926. щ

139. Голубев А.Е. Сравнение двух методов стабилизации нелинейных систем с управлением Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов VII международного семинара. Москва, 2002. 151-153.

140. Golubev А.Е., Krishchenko А.P. Comparison of two nonlinear stabilization techniques Proc. 5th Int. Scientific-Technical Conf. Process Control 2

141. Pardubice (Czech Republic), 2002. P. 72.

142. Krener A.J., Respondek W. Nonlinear observers with linearizable error dynamics SIAM J. Control and Optimization. 1985. V. 23, 2 P 197-216.

143. Крищенко A.П., Ткачев С Б Нелинейные к(х)-двойственные системы и синтез наблюдателей Дифференц. уравнения. 1999. Т 35, 5 С 648-663.

145. Криш;енко А.П., Ткачев С Б Нелинейные к(х)-двойственные системы Автоматика и телемеханика. 1995. 2. С 21-34.

146. Thau F.E. Observing the state of non-linear dynamic systems Int. J. Control. 1973. 17. P. 471-479.

147. Raghavan S., Hedrick J.K. Observer design for a class of nonlinear systems Int. J. Control. 1994. V. 59, 2. P. 515-528. f>

148. Rajamani R. Observers for Lipschitz nonlinear systems IEEE Trans, on Autom. Control. 1998. V. 43, N2 3. P. 397- 401.

149. Starkov K.E. On the Thau observers construction for nonlinear systems with a time-varying linearization Proc. lASTED International Conf. MIC2

150. Innsbruck (Austria), 2002. P. 392395.

151. Gauthier J.P., Hammouri H., Othman S. A simple observer for nonlinear systems. Applications to bioreactors IEEE Trans, on Autom. Control. 1992. V. 37, 6. P. 875-880.

152. Gauthier J.P., Kupka I. Observability and observers for nonlinear systems SIAM J. Control and Optimization. 1994. V. 32, 4. P 975-994.

153. Gauthier J.P., Kupka I. Deterministic observation theory and applications. Cambridge University Press, 2001. 226p.

154. Isidori A. Nonlinear control systems. 3rd edition. London: SpringerVerlag, 1995. 550 p.

155. Arcak M,, Kokotovic P.V. Nonlinear observers: a circle criterion design Proc. 38th IEEE Conf. on Decision and Control. Phoenix (Arizona), 1999. P. 4872-4876.

156. Tsinias J. Observer design for nonlinear systems Systems and Control Letters. 1989. 13. P. 135-142.

157. Tsinias J. Further results on the observer design problem Systems and Control Letters. 1990, 14. P. 411-418.

158. Song R.Y., Ishijima S., Kojima A. Design of nonlinear observer by a backstepping approach Electrical Engineering in Japan. 1997. V 121, 3 P 53-59.

159. Fossen T.I., Strand J.P. Passive nonlinear observer design for ships using Lyapunov methods: full-scale experiments with a supply vessel Automatica. 1999. V. 35. P. 3-16.

160. Shim H., Seo J.H. Passivity framework for nonlinear state observer Proc. Amer. Control Conf. Chicago (Illinois), 2000. P. 699-705.

161. Shim H., Seo J. H. Recursive observer design beyond the uniform observability Proc. 39th IEEE Conf. on Decision and Control. Sydney (Australia), 2000. CD-ROM.

162. Краснова A., Уткин В.A., Михеев Ю.В. Каскадный синтез наблюдателей состояния нелинейных многомерных систем Автоматика и телемеханика. 2001. 2. 43-64.

163. Krasnova S.A. Decomposition state observer design for nonlinear systems Proc. 5th IFAC Nonlinear Control Systems Design Symposium. St. Petersburg (Russia), 2001. P. 997-1002.

164. Краснова A. Каскадный синтез наблюдателя состояния для нелинейных систем при наличии внешних возмуцдений Автоматика и телемеханика. 2003. 1. 31-54.

165. Зубер И.Е. Экспоненциально устойчивый наблюдатель для управляемых и наблюдаемых нелинейных систем Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2004. 2. 34-38.

166. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 212 с.

167. Старков К.Е. Условия равномерной наблюдаемости одного класса полиномиальных систем Автоматика и телемеханика. 1996. -№4.-0.38-45.

168. Агсак М., Kokotovic P.V. Feasibility conditions for circle criterion designs Systems and Control Letters. 2001. V. 42, 5. P. 405-412.

169. Hahn W. Stability of motion. New York: Springer-Verlag, 1967. 290 p.

170. Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987. 256 с.

171. Isidori А. Nonlinear control systems

172. London: Springer-Verlag, 1999. 293 p.

173. Nijmeijer H., Schaft A. Van der. Nonlinear dynamical control systems. New-York: Springer, 1990. 467 p.

174. Sontag E.D. Smooth stabilization implies coprime factorization IEEE Trans, on Autom. Control. 1989. V. 34. P. 435-443.

175. Sontag E.D. Further facts about input to state stabilization IEEE Trans, on Autom. Control. 1990. V. 35. P. 473-477.

176. Sontag E.D. Remarks on stabilization and input-to-state stability Proc. IEEE Conf. on Decision and Control. Tampa (Florida), 1989.-P. 1376-1378.

177. Sontag E.D., Wang Y. On characterizations of input-to-state stability property Systems and Control Letters. 1995. 24. P. 351359.

178. Крищенко A.П. Стабилизация программных движений нелинейных систем Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1985.-№ 6 С 103-112.

179. Жевнин А.А., Крищенко А.П. Управляемость нелинейных систем и синтез алгоритмов управления Доклады АН СССР. 1981. Т 258, 4 С 805-809.

180. Fossen T.I, Guidance and Control of Ocean Vehicles. New York: Wiley, 1994. 300р. f)