автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Численно-аналитические методы построения нелинейных наблюдателей

На правах рукописи

Алексеенков Сергей Геннадьевич

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ НАБЛЮДАТЕЛЕЙ

05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2004

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете им. Н. Э. Баумана.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Крищенко А. П.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Григоренко Н. Л.

кандидат физико-математических наук, доцент Бортаковский А. С.

Ведущая организация: Вычислительный центр имени А. А. Дородницына РАН

Защита состоится года в часов на

заседании диссертационного совета Д 212.141.15 при Московском государственном техническом университете им. Н. Э. Баумана по адресу: 107005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью организации, просим высылать по адресу: 107005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, МГТУ им. Н. Э. Баумана, ученому секретарю совета Д 212.141.15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУ им. Н. Э. Баумана.

Автореферат разослан "_"_2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д. ф.-м. н., профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При решении задач управления динамической системой полный вектор состояния системы как правило неизвестен, а непосредственному измерению доступны лишь некоторые его компоненты или функции от них, называемые выходами системы. Для остальных переменных состояния непосредственные измерения могут быть затруднены, дороги или невозможны.

Одним из современных направлений нелинейной теории управления, получившим значительное развитие за последние двадцать пять лет, стала теория построения наблюдателей состояния нелинейных динамических систем. Под наблюдателем состояния понимается специальная динамическая система, на вход которой подаются выходы наблюдаемой динамической системы, и вектор состояния которой с течением времени асимптотически приближается к вектору состояния наблюдаемой системы.

Построение наблюдателя для динамической системы является одним из способов получения оценки ее вектора состояния. Решение такой задачи может иметь как самостоятельную ценность, так и быть частью решения более общей задачи управления динамической системой. Методы построения наблюдателей для линейных систем можно найти в работах Д. Г. Люенбергера. Для нелинейных систем проблема построения наблюдателей состояния в общем случае не решена.

Большое число работ, среди которых следует отметить работы Д. Бестля и М. Зейтца, А. Исидори, А. Кренера и В. Респондека, А. П. Крищенко и С. Б. Ткачева, посвящено технике построения наблюдателей, при которой исследуемая система с помощью нелинейной замены переменных преобразуется к виду, где все нелинейные слагаемые зависят только от выходов системы. Такой специальный вид получил название канонического вида для построения наблюдателей с нелинейной добавкой, зависящей от выхода. Соответствующую систему координат называют канонической.

Одной из основных трудностей в применении этого подхода является проблема нахождения замены переменных, связывающей исходную и каноническую системы. Даже в том случае, когда условия существования такой замены выполнены, найти ее в явном виде удается не всегда. Поэтому актуальным является создание методов построения наблюдателей в тех случаях, когда известно, что такая замена существует, однако выписать ее явно не удается.

В инженерной практике построение наблюдателя как правило не является отдельной задачей, и часто оценка неизвестных переменных

состояния динамической системы используется в законе управления. В работах М. Крстича, И. Канелакополоса и П. Кокотовича приводятся методы, позволяющие строить закон управления динамической системой в виде обратной связи по оценке состояния, однако такие методы применимы лишь к системам специального вида. Кроме того, известны примеры систем, в которых при независимом построении наблюдателя и стабилизирующей обратной связи результирующая нелинейная система оказывается неустойчивой. Поэтому актуальным является исследование возможностей использования наблюдателей при решении задач управления.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка численно - аналитических алгоритмов построения нелинейных наблюдателей для динамических систем со скалярным и векторным выходом и их использование при решении задач стабилизации.

Методы исследования. В работе применяются методы теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости, математической теории управления, дифференциальной геометрии и различные численные методы.

Научная новизна. Разработан численно - аналитический алгоритм построения наблюдателей для нелинейных динамических и аффинных систем со скалярными и векторными выходами.

Уточнены достаточные условия приводимости динамических систем 3-го порядка со скалярным выходом к каноническому виду для построения наблюдателя с линейной динамикой ошибки. Эти условия использованы при построении наблюдателя состояния для системы Рёсслера.

С помощью разработанного алгоритма построены наблюдатели состояния для динамической системы Ван-дер-Поля, системы Рёсслера и системы с векторным выходом, описывающей вращательное движение твердого тела вокруг центра масс в системе координат, связанной с главными осями инерции твердого тела.

Изучены свойства математической модели класса химических реакторов непрерывного действия идеального смешивания с управлением, в которых протекает химическая реакция 1-го порядка.

Для динамической системы, описывающей эту модель, построены численно - аналитические наблюдатели состояния, позволяющие оценивать неизвестную концентрацию реагента по измеряемой температу-

ре реагирующей смеси. Решена задача стабилизации части переменных состояния такого класса реакторов с использованием построенных наблюдателей.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами математического моделирования.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе, являются конструктивным развитием теории построения наблюдателей и позволяют строить наблюдатели состояния и закон управления на их основе для нелинейных динамических и аффинных систем со скалярным и векторным выходом в том случае, когда аналитические методы могут лишь гарантировать существование таких наблюдателей.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Численно - аналитический алгоритм построения наблюдателей для нелинейных динамических и аффинных систем со скалярным и векторным выходами.

2. Уточненные условия приводимости динамической системы 3-го порядка со скалярным выходом к каноническому виду для построения наблюдателя с линейной динамикой ошибки.

3. Построенные с помощью численно - аналитического алгоритма наблюдатели для систем Ван-дер-Поля, Рёсслера, химического реактора и системы, описывающей вращательное движение твердого тела вокруг центра масс в системе координат, связанной с главными осями инерции твердого тела.

4. Решение задачи стабилизации по части переменных состояния химического реактора с использованием численно - аналитического наблюдателя для оценки неизвестной концентрации реагента по измеряемой температуре реагирующей смеси в реакторе.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на VI международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", проходившем в ИПУ РАН в 2000 г., в Москве, на исследовательском семинаре "Анализ, управление и стабилизация динамических систем" в Международном математическом центре им. С. Банаха Института математики Польской АН (17 апреля - 2 мая 2001г., Варшава), на VII международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", ИПУ РАН, Москва, 2002; на пятой международной научно - технической конференции "Process Control 2002" в г. Коути-над-Десной, Чехия.

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в двух научных статьях [1, 2] и четырех тезисах докладов на конференциях

[з - 6].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 143 страницах, содержит 36 иллюстраций. Библиография включает 72 наименования.

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ №99-0100863, №01-01-06114 (MAC), №02-01-00704 и гранта поддержки ведущих научных школ №00-15-96137.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость полученных результатов, указаны основные положения, выносимые на защиту, структура и объем диссертационной работы.

В первой главе приводятся основные сведения из теории построения нелинейных наблюдателей для динамических систем, в том числе с использованием идей &(х)-двойственности.

Исходным объектом исследования является динамическая система со скалярным выходом

(1)

с гладкими в некоторой открытой области векторным полем

А(х) и функцией выхода h(x), для которой рассматриваются методики

построения следующих наблюдателей: наблюдателя с линейной динамикой ошибки, наблюдателя с высоким коэффициентом усиления, наблюдателя для липшицевых систем и наблюдателя Арсака-Кокотовича для систем с секторно ограниченной правой частью.

Следуя работам А. П. Крищенко и С. Б. Ткачева оказалось удобным описывать проблему нахождения замены переменных, преобразующей динамическую систему (1) к каноническому виду для построения наблюдателя

/о ... о о ^ 1 ... о о

о

0 /

(Мп)\

Ш«)

= Щ + Щп),у = Н%), (2)

в терминах свойств специально построенной вспомогательной аффинной системы

х = А(х) + В(®)«, и 6 К, (3)

которую называют к (я)-двойственной для системы (1) при выполнении условий Ьв^дМ2) = 0) г ~ 0,71- 2,= Нх)> Где -

производная Ли функции /(х) по векторному полю X. Наблюдатель для системы (2) имеет вид

7) = Ът, + С (г/п - Н-Щ + Ф {II'1 (у)),

(4)

где г) = (г)ит)п)т.

В этом случае динамика ошибки оценивания е = т] — £ описывается системой линейных дифференциальных уравнений

е = (Б + СС)е,

где С = (0,...,0,1). Выбором вектора-столбца О можно обеспечить экспоненциальное затухание ошибки оценивания.

Вопрос о приводимости динамической системы (1) к каноническому виду для построения наблюдателя рассматривается в рамках следующей теоремы (А. П. Крищенко, С. Б. Ткачев).

ТЕОРЕМА 1. Динамическая система (1) эквивалентна динамической системе (2) и допускает построение наблюдателя (4) тогда и только тогда, когда существует такая гладкая скалярная функция р(т), что

к(х) — р(/г(а;))-двойственной аффинной динамической системы (3) коммутативна. Здесь аЛдВ = [А, а<1д-1 В], а<1дВ = [А, В] и ас1д В = В -коммутаторы векторных полей А и В. СЛЕДСТВИЕ. Замена переменных

(5)

преобразующая динамическую систему (1) к виду (2) такова, что выполняются следующие соотношения

<ЭТ ... .. ¿у

тгу{х)]х=т' Ж

=р(у), (6)

где У(г) = (а(1° В (ж),(—1)п-1 ас!д-1 В (ж)) - матрица управляемости ¿(^-двойственной АУДС (3).

В случае п=2 для системы (1) необходимые и достаточные условия преобразования к каноническому виду для построения наблюдателя (2) известны и приведены в диссертационной работе.

При п = 3 система (1) в новых переменных ^ = ¿д-1/г(х) записывается в каноническом наблюдаемом виде

¿1 = ¿2 = ¿з = /(г), у = г\. (7)

Необходимым условием для преобразования системы (7) к каноническому виду для построения наблюдателя (2) является условие принадлежности функции /(г) к специальному классу:

/(г) = а(гх) + Ь(г 1)22 4- 0(21)2\ + ¿(г^ + ф^гз + 5(21)2223,

где 0(21), 6(21), 0(21), ¿(21), е(21), 0(21) - гладкие функции.

В работе для получения достаточных условий построена ¿(21) -двойственная аффинная система и из условия коммутативности ее алгебры Ли Аз получены следующие достаточные условия существования преобразования системы (7) к виду (2):

^ = + 3ф1), ^ = ^(21)е(2!) +0(21), ^ = ^(21)0(21).

Далее в первой главе приводится обобщение метода построения наблюдателя с линейной динамикой ошибки на случай динамической системы с векторным выходом

х = А(х), у = Л(®), х <Е 1", у (Е 1т, (8)

аффинной динамической системы со скалярным выходом

х = А(х) + В(х)и, у = Л(х), х е К", у € К, (9)

и векторным выходом

х = А(х) + В(х)м, у = Л(х), х е Кп, у е 1т, и € 1Р, (10)

где все функции и векторные поля являются гладкими в П С К".

Вторая глава посвящена построению нелинейных наблюдателей состояния с использованием подхода, основанного на свойствах к(х)-двойственных систем.

Для динамической системы Ван-дер-Поля

¿1 = Х2, ¿2 = -XI + е(1 - х2)х2, (11)

с выходом у = х 1 построен аналитический наблюдатель состояния, имеющий вид

¿1= ъ-е(х1-Ь)+дгХ1-т + е{У~\),

х3 3

¿2 = 91 (хх - у) - У + е(1 - х?) (¿2 - 1 - -д1)+9г{х х - у) + е(у - .

Для динамической системы Рёсслера

¿1 = -12 ~х3, ¿2 = XI + 0X2, ¿3 = С + Хз(хх ~~ Ь), о, 6,с 6 М (12)

в работе был найден такой скалярный выход у = А(х) — хз, по которому удалось построить аналитический наблюдатель состояния

¿1 = -¿2-У + (ЬМ - 1п|х3|)(а2- 1 - (за + адз)),

х2 = ¿1 + ах2 + (1п - 1п |х3|)(2а - а3 + дх + ад2 + (а2 - 1)з3),

¿з = с|1 + х3(х! - Ь) + (1п \у\ - 1п |х3|)(а - з3)х3.

Рассмотрена работа класса химических реакторов непрерывного действия идеального смешивания, в которых проходит экзотермическая химическая реакция первого порядка типа А-ь В. Динамическая система, описывающие протекающие процессы, для удобства изложения преобразована к безразмерному виду

¿1 = -Х1е~УХ1 + А(х0 - хх), х2 = ххе-1/1' + Р(у0 - х2), ^^ у = И(х) = х2,

и для нее построен наблюдатель состояния

¿1 = 2 (р-1^) - 1р~\у)) <7ц(х2) + а12(хи х2> у), ¿2 = 2 (^_1(х2) - <?"%)) 0-21(£2) + <722(¿1, ¿2, у),

где (р-\х2) - ^(у) = 0.5 / е^'Й - 0.5 / е^сИ = 0.5 /е^Л.

1/(п2 1//п2 К

Затем были изучены свойства аффинной динамической системы

¿1 =-Х1е-1/х* + \{хо-Х1) + ^(хо-Х1)и, ^

х2 = х\е~х!Х1 + Р(у0 - х2) + ^ (7 - х2) и, у = %) = х2,

описывающей работу рассмотренного выше класса химических реакторов с управлением. В качестве управляющего воздействия была выбрана объемная скорость подачи реагента в реактор. Для такой системы был построен наблюдатель

¿1= 2(<р Х(х2) — у>_1(у)) о"и(®а) + V) + ^ (^о —

[2А(^-1(«а) - <р-\у))+Х2 ~ У] ¿2=2 (уГ^хг) - у~1{у)) аг\(хг) + о-а{х\М,у) + \ - у)

(15)

работающий при любом управлении, изучены его свойства и построена стабилизирующая обратная связь по оценке состояния, получаемой с его помощью.

Для динамической системы с векторным выходом, описывающей вращательное движение твердого тела вокруг его центра масс

XI = 01X2X3, хг = 02X1X3, хз = азХ1Х2,

У\ = хь у2 = х3, 01 > 0, о2 < 0, аз > О, в работе построен аналитический наблюдатель состояния

(и)

X 2=91 (<Р1 (¿1, X 2) - VI (г/1. Уг))+аШУ2,

ь=«аънмач-М -

где ^г(') ~ некоторые функции. Указанная система является наблюдателем в областях ¿1 ,/аз + ¿з\/®1 < 0 и ¿1^/03 + Хз^/аГ > 0.

Было проведено исследование поведения наблюдателя в каждой области и указан способ получения оценки вектора состояния системы при переходе наблюдателя через границу между областями, суть которого заключается в том, что фиксируется точка входа наблюдателя в заданную -окрестность множества и из этой точки запускается копия исследуемой системы. Состояние этой вспомогательной системы и принимается за оценку состояния исходной системы. Наблюдатель запускается снова в точке выхода этой "копии" из указанной е-окрестности.

Поведение построенных наблюдателей было исследовано методами математического моделирования. Исследования подтвердили работоспособность построенных наблюдателей, их пригодность для получения оценки вектора состояния рассматриваемых систем и возможность использования получаемых оценок при решении задач управления. Приведены примеры фазовых портретов рассмотренных систем и построенных для них наблюдателей.

В третьей главе разрабатывается численно - аналитическая процедура построения нелинейных наблюдателей состояния для динамических и аффинных систем со скалярным выходом.

Показано, что даже если преобразование (5), приводящее систему (1) к каноническому виду для построения наблюдателя (2), существует, задача нахождения его аналитического выражения представляется достаточно сложной, а в некоторых случаях и неразрешимой проблемой.

Преимущество численно - аналитического алгоритма заключается в том, что он позволяет построить нелинейный наблюдатель, не решая уравнения в частных производных (6).

Идея метода состоит в использовании матрицы Якоби (6) преобразования (5) для пересчета векторных полей из исходной системы координат в каноническую и обратно.

Предполагается, что динамическая система (1) имеет в рассматриваемой области -двойственную аффинную систему и динамическая система со входом у

£ = А{х,у) (17)

является для нее наблюдателем, преобразуемым диффеоморфизмом (5) к виду (4). При выполнении этих условий с помощью предлагаемой процедуры для динамической системы (1) удается построить численно - аналитический наблюдатель.

Без потери общности можно считать, что вектор состояния системы (1) имеет вид

Точку запуска наблюдателя = (¡г®,..., х°, .....х°) выберем так,

чтобы в начальный момент времени для вектора (х°,..., выполнялось

У° = Л(х?, ...,«?) = Цх°ь ...,£?) = Л(я°) - у0. (18)

В этом случае вектор (х®+1,...,х®) может быть выбран произвольно. Определим преобразование координат х = Т(т]) так, чтобы

При этом

х° = Т(0,..., 0, = T(rf)

(19)

(20)

Учитывая, что в канонической системе координат динамическая система и наблюдатель имеют вид (2) и (4) соответственно, в начальный момент времени будет справедливо соотношение

ч(0.....0,$ = Ф(О = *(1Й) = Й0,...ДчЙ).

Вычислив производную по Еремени от выражения (5), получим

i дТ.

х = —т? = V{x)T}.

Следовательно в исходной системе координат

¿(0) = V(x°)f(0,...,0 Л) = Л(£°).

(21)

(22)

Воспользовавшись следствием к теореме 1 и учитывая, что в начальный момент времени справедливо соотношение (20), будем иметь

m

f

(23)

где р(у) =p(h(x)) = к{х), у0 = h(x[.....ж?).

Для вычисления значения нелинейной добавки Ф(£п) в произвольный момент времени положим = (0,..., 0, £„)т и рассмотрим нелинейное уравнение = Т_1(х»),

Для заданного £„ это уравнение может быть разрешено относительно х, при помощи одного из глобально сходящихся квазиньютоновских

методов. В работе использовался итерационный процесс, задаваемый соотношением

хк+1 _ хк +

-(Ч?)

-1

с начальным приближением (19) и а € (0; 1]. Условия сходимости итерационной процедуры можно проверить непосредственно перед ее

Для вычисления значение Т~1(хк) использовалась формула

где йх — (с1х\,... ,йх„)т, и интеграл не зависит от пути интегрирования, поскольку под знаком интеграла стоит матрица Якоби отображе-

Исходная система (1) в канонических координатах имеет специальный вид (2). Подставив найденное решение х, = Т(£,) = Т(0.....О, £„)

Таким образом, для вычисления нелинейности Ф(£п) получим формулу

Окончательно численно-аналитический алгоритм построения наб-

Шаг 1. Стартовая точка для запуска наблюдателя и начальное условие для определения замены переменных х = Т{т}) выбираются в соответствии с условиями (18) и (19).

Шаг 2. Выбирается шаг интегрирования и с использованием выражения (22) наблюдатель (17) интегрируется от начального мо-

Шаг 3. Неизвестные значения £„ и Ф(£п) на каждом шаге интегрирования вычисляются по формулам (23) и (24) соответственно.

Шаг 4- С выбранным шагом канонический наблюдатель (4) интегрируется на один шаг вперед.

Шаг 5. С использованием связи (21) наблюдатель (17) интегрируется в исходной системе координат на один шаг вперед. Процедура продолжается с шага 3.

В случае, если все компоненты векторных полей аЛд В, г = 0,..., п, являются функциями только выхода исходной системы, шаг 3 приведенной процедуры можно упростить и на каждом шаге интегрирования вычислять нелинейную добавку по формуле

где - якобиан отображения

С помощью предложенного алгоритма в работе построены численно - аналитические наблюдатели для рассмотренных выше динамических систем Ван-дер-Поля (11), Рёсслера (12) и системы, описывающей динамику процессов, протекающих в классе химических реакторов без управления (13). Приведены результаты математического моделирования работы построенных наблюдателей и проведено их сравнение с результатами работы аналитических наблюдателей, построенных во второй главе.

В некоторых случаях при большом времени интегрирования происходит накопление вычислительных ошибок, в тоже время особенность предлагаемого алгоритма заключается в том, что в момент запуска наблюдателя эти ошибки отсутствуют.

Поэтому для уменьшения влияния численных ошибок на точность оценивания предлагается организовать процедуру получения оценки вектора состояния системы на основе нескольких наблюдателей, запускаемых последовательно в разные моменты времени. Показано, что при такой схеме численно - аналитические наблюдатели обеспечивают близкие по точности и скорости получения оценок вектора состояния результаты в сравнении с аналитическими наблюдателями.

При выполнении предположения В(а:) = В(£п) ^ , которое эквивалентно выполнению в исходной системе координат условий

[ гАА В, В ] = 0, к = 0,п-2,

предложенный численно - аналитический алгоритм обобщается на случай аффинной динамической системы (9) со скалярным выходом. Для этого входящие в шаги 2 и 3 формулы меняются следующим образом.

Шаг 2. Выбирается шаг интегрирования At и с использованием выражения, аналогичного (22): £(0) = А(х°) + В(х0)и, наблюдатель интегрируется от начального момента времени to до to + At.

Шаг 3. Неизвестное значения £„ на каждом шаге интегрирования вычисляется по формуле (23). Для вычисления используется соотношение, аналогичное (24)

Щп) + = v-V)HO + B(x*)u).

Этот алгоритм применяется для построения численно - аналитического наблюдателя для аффинной динамической системы (14), описывающей работу рассмотренного выше класса химических реакторов с управлением. Методами математического моделирования исследуются свойства полученного наблюдателя.

В работе рассмотрена проблема построения стабилизирующей обратной связи в случае, когда вектор состояния системы известен не полностью. С использованием концепции обратной задачи динамики решена задача управления работой реакторов указанного выше класса, где в закон управления вместо истинного значения вектора состояния подставляется его оценка, получаемая наблюдателем.

Доказаны утверждения, позволяющие использовать следующий подход к построению управления в этом случае. Основная идея предлагаемого подхода состоит в построении управления, стабилизирующего не рассматриваемую систему (14), а построенный для нее наблюдатель (15). При этом наблюдатель рассматривается как система с неизвестным входом у. Показано, что при выполнении определенных условий, закон управления стабилизирующий положение равнове-сияжг наблюдателя(15): lim ||i(t) —хг|| = 0, будет решать задачу стабилизации положения равновесия хг системы (14): lim ||x(t) — xr|| = 0.

Преимущество такого подхода заключается в том, что управление строится для системы с известным вектором состояния, а недостаток в том, что управление должно оставаться стабилизирующим при любом входе. Указанный подход был применен к решению задачи обеспечения заданного уровня концентрации продукта реакции на выходе из химического реактора.

Математическое моделирование работы класса реакторов показало, что на начальном этапе управления реактором, когда получена грубая оценка неизвестной компоненты вектора состояния, характер переходных процессов будет лучше в случае использовании управления, построенного для наблюдателя. На более поздних этапах, когда получаемая с помощью наблюдателя оценка становится более точной, лучший результат решения задачи стабилизации обеспечивается использованием управления, построенного для исследуемой системы.

Четвертая глава посвящена модификации предложенной в третьей главе численно - аналитической процедуры для случая динамических систем (8) с векторным выходом. Отдельно рассмотрены динамические системы с двумерным выходом. Показывается, что предлагаемая процедура обобщается на случай аффинной системы (10) с векторным выходом, если векторные поля В3(х) этой системы удовлетворяют

условиям ВДх) = , где = (&,..., &т)т, ] = Т7р, кото-

рые равносильны выполнению системы равенств

где В; (я) - векторные поля к(х)-двойственной к системе (8) аффинной системы.

С помощью численно-аналитического алгоритма построен наблюдатель состояния для динамической системы (16) с векторным выходом, описывающей вращательное движение твердого тела вокруг центра масс.

Для повышения точности оценивания использовалась схема получения оценок состояния, основанная на семействе последовательно запускаемых наблюдателей. Точность оценивания в этом случае была значительно выше по сравнению со случаем, когда использовался один наблюдатель.

Методами математического моделирования было проведено сравнение скорости и точности получения оценок вектора состояния с помощью построенных аналитического и численно - аналитического наблюдателей, которое показало, что если траектория системы целиком остается в одной из областей или то оценки получаемые наблюдателями, очень быстро становятся весьма точными и ведут себя одинаково. В случае, если траектории системы переходит из одной области в другую, точность оценивания с помощью численно-аналитического наблюдателя, оставаясь по-прежнему высокой, тем не менее становится ниже точности, обеспечиваемой аналитическим наблюдателем.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Сформулируем основные выводы и результаты проведенных исследований.

1. Разработан численно - аналитический алгоритм построения наблюдателей для нелинейных динамических и аффинных систем со скалярным и векторным выходом.

2. Уточнены условия приводимости динамической системы 3-го порядка со скалярным выходом к каноническому виду для построения наблюдателя. Эти условия использованы при построении наблюдателя для системы Рёсслера.

3. С помощью разработанного алгоритма построены наблюдатели состояния для системы Ван-дер-Поля, системы Рёсслера и системы с векторным выходом, описывающей вращательное движение твердого тела вокруг центра масс.

4. Изучены свойства математической модели класса химических реакторов непрерывного действия идеального смешивания с управлением, в которых протекает химическая реакция 1-го порядка. Для динамической системы, описывающей эту модель, построены численно - аналитические наблюдатели состояния, позволяющие оценивать неизвестную концентрацию реагента по измеряемой температуре реагирующей смеси. Решена задачи стабилизации части переменных состояния такого класса реакторов с использованием построенных наблюдателей.

5. Математическое моделирование работы построенных численно -аналитических наблюдателей и сравнение оценки вектора состояния, получаемой с их помощью, с оценкой, получаемой с помощью аналитических наблюдателей, в большинстве случаев показало близкие результаты.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ

1. Алексеенков С. Г., Ткачев С. Б. Оценка концентрации продукта химической реакции с использованием наблюдателя // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Естественные науки.-2001.-Ш.-С.93-104.

2. Алексеенков С. Г., Ткачев С. Б. Управление работой химического реактора с использованием нелинейного наблюдателя // Нелинейная динамика и управление. Сборник статей / Под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина.-М.: Физматлит.-2003.-Вып. 3.-С.179-190.

3. Алексеенков С. Г., Ткачев С. Б. Оценка концентрации продукта химической реакции с использованием нелинейного наблюдателя // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов VI международного семинара.-М., 2000.-С. 103.

4. Alexeenkov S. G., Tkachev S. В. Analytical and numerical algorithms for output control of chemical reactors // Process Control 2002: Proceedings of the 5th International Scientific - Technical Conference. -Pardubice, 2002.-P. 78.

5. Алексеенков С. Г., Ткачев С. Б. Численно-аналитическая процедура построения наблюдателя для нелинейной динамической системы. // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов VII международного семинара.-М., 2002. -С. 70.

6. Tkachev S. В., Alexeenkov S. G. Numerical algorithms for nonlinear observer-based control // Physics and Control: Proceedings of International Conference.- Saint-Petersburg (Russia), 2003.-P. 1278-1283.

Принято к исполнению 04/11/2004 Исполнено 10/11/2004

Заказ № 429 Тираж 100 экз

ООО «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 Москва, Балаклавский пр-т, 20-2-93 (095)747-64-70 (095) 318-40-68 www autoreferat ru

«2Ü О 1У

РНБ Русский фонд

2005-4 18308

ВВЕДЕНИЕ

1. НАБЛЮДАТЕЛИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

1.1. Наблюдатели с линейной динамикой ошибки.

1.1.1. Построение наблюдателей на основе

А; (ж)-двойственности.

1.1.1.1. Динамические системы со скалярным выходом

1.1.1.2. Динамические системы 2-го порядка со скалярным выходом.

1.1.1.3. Динамические системы 3-го порядка со скалярным выходом.

1.1.1.4. Динамические системы с векторным выходом

1.1.1.5. Динамические системы с 2-мерным выходом

1.1.2. Аффинные системы.

1.1.2.1. Аффинные системы со скалярным выходом

1.1.2.2. Аффинные системы с векторным выходом

1.2. Наблюдатели с высоким коэффициентом усиления

1.2.1. Канонический вид для построения наблюдателей с высоким коэффициентом усиления.

1.2.2. Наблюдатели с высоким коэффициентом усиления для аффинных систем

1.2.3. Наблюдатели с высоким коэффициентом усиления в общем случае.

1.3. Наблюдатели для липшицевых систем.

1.4. Наблюдатель Арсака-Кокотовича для систем с секторно ограниченной правой частью

1.5. Выводы.

2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ НАБЛЮДАТЕЛЕЙ . 38 2.1. Примеры построения, наблюдателей для динамических систем со скалярным выходом.

2.1.1. Система Ван-дер-Поля.

2.1.1.1. Моделирование работы наблюдателя для системы Ван-дер-Поля

2.1.2. Химический реактор без управления.

2.1.2.1. Схема работы химического реактора без управления

2.1.2.2. Динамика химического реактора.

2.1.2.3. Наблюдатель для химического реактора

2.1.2.4. Моделирование работы наблюдателя для химического реактора.

2.1.3. Система Рёсслера.

2.1.3.1. Моделирование работы наблюдателя для системы Рёсслера.

2.2. Примеры построения наблюдателей для аффинных динамических систем со скалярным выходом.

2.2.1. Химический реактор с управлением.

2.2.1.1. Схема работы химического реактора с управлением

2.2.1.2. Динамика химического реактора с управлением

2.2.1.3. Наблюдатель для химического реактора с управлением.

2.2.1.4. Ограниченность траектории системы реактора и наблюдателя.

2.2.1.5. Построение стабилизирующего управления для химического реактора.

2.2.1.6. Моделирование работы наблюдателя для химического реактора с управлением.

2.3. Примеры построения наблюдателей для динамических систем с векторным выходом

2.3.1. Движение твердого тела вокруг центра масс

2.3.1.1. Уравнения движения.

2.3.1.2. Преобразование к расширенной канонической форме для построения наблюдателя

2.3.1.3. Наблюдатель для угловой скорости вращательного движения твердого тела вокруг центра масс.

2.3.1.4. Моделирование работы наблюдателя для угловой скорости вращательного движения твердого тела вокруг центра масс.

2.4. Выводы.

3. ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕДУРЫ ПОСТРОЕНИЯ НАБЛЮДАТЕЛЕЙ ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ СО СКАЛЯРНЫМ ВЫХОДОМ.

3.1. Наблюдатели для динамических систем без управления со скалярным выходом.

3.2. Построение численно-аналитических наблюдателей для динамических систем со скалярным выходом.

3.2.1. Численно-аналитическая процедура построения наблюдателя для системы Ван-дер-Поля.

3.2.2. Численно-аналитическая процедура построения наблюдателя для химического реактора без управления

3.2.3. Численно-аналитическая процедура построения наблюдателя для системы Рёсслера.

3.3. Наблюдатели для аффинных динамических систем со скалярным выходом.

3.4. Построение численно-аналитических наблюдателей для аффинных динамических систем со скалярным выходом 103 3.4.1. Численно-аналитическая процедура построения наблюдателя для химического реактора с управлением

3.5. Управление работой химического реактора с использованием наблюдателя.

3.5.1. Принцип разделения.

3.5.1.1. Линейные динамические системы.

3.5.1.2. Нелинейные динамические системы

3.5.2. Метод функций Ляпунова.

3.5.3. Использование наблюдателя для построения управления

3.5.3.1. Аффинные системы

3.5.3.2. Системы с управлением общего вида

3.5.4. Управление работой химического реактора по наблюдателю

3.6. Выводы.

4. ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕДУРЫ ПОСТРОЕНИЯ НАБЛЮДАТЕЛЕЙ ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ВЕКТОРНЫМ ВЫХОДОМ

4.1. Наблюдатели для динамических систем без управления с векторным выходом.

4.2. Примеры построения численно-аналитических наблюдателей для динамических систем без управления с векторным выходом.

4.2.1. Численно-аналитическая процедура построения наблюдателя для динамической системы, описывающей движение твердого тела вокруг центра масс

4.3. Наблюдатели для аффинных систем с векторным выходом

4.4. Выводы.

ВЫВОДЫ.

При решении задач управления динамической системой полный вектор состояния системы как правило неизвестен, а непосредственному измерению доступны лишь некоторые его компоненты или функции от них, называемые выходами системы. Для остальных переменных состояния непосредственные измерения могут быть затруднены, дороги или даже невозможны.

Одним из современных направлений нелинейной теории управления, получившим значительное развитие за последние двадцать пять лет, стала теория построения наблюдателей состояния нелинейных динамических систем. Под наблюдателем состояния понимается специальная динамическая система, на вход которой подаются выходы наблюдаемой динамической системы, и вектор состояния которой с течением времени асимптотически приближается к вектору состояния наблюдаемой системы.

Построение наблюдателя для динамической системы является одним из способов получения оценки ее вектора состояния. Решение такой задачи может иметь как самостоятельную ценность, так и быть частью решения более общей задачи управления динамической системой.

Хорошо известна теория построения наблюдателей для линейных систем [1, 2].

Для нелинейных систем проблема построения наблюдателей состояния в общем случае не решена. Первые попытки построения наблюдателей для нелинейных систем базировались на локальной линеаризации и использовании результатов линейной теории [3]. Недостаток такого подхода заключается в том, что область работы построенного наблюдателя ограничена окрестностью точки линеаризации, и размер этой области, как правило, неизвестен.

В общем случае для нелинейных систем предпочтительней строить нелинейный наблюдатель, область работы которого известна.

Сравнительный анализ некоторых методов построения нелинейных наблюдателей приведен в работе [3]. Основным требованием, предъявляемым к наблюдателям, является обеспечение заданной динамики убывания ошибки оценивания. Желательно, чтобы в некоторой системе координат убывание было экспоненциальным. Наблюдатели с такой динамикой ошибки называют экспоненциальными. Известны общие требования к динамическим системам, которые допускают построение экспоненциальных наблюдателей. Подробно эта проблема освещена в работах [4-7].

Исследования, проводимые в области построения наблюдателей для нелинейных систем, можно разделить на три направления.

Первое направление состоит в построении наблюдателя для некоторого приближения рассматриваемой системы [8 - 12]. При таком подходе область работы наблюдателя зависит от того, в какой области построенное приближение аппроксимирует исследуемую систему с достаточной точностью, а на ошибку оценивания большое влияние оказывает точность, с которой выполнено приближение. Построенный по такой технике наблюдатель, как правило, оказывается локальным и проблемы оценки области его работы аналогичны проблемам, возникающим при линеаризации.

Второе направление заключается в построении наблюдателей для систем специального вида. Как правило, это динамические системы с липшицевой правой частью [13 - 17] или однородные системы [19].

Например, в работах [16, 17] предложен метод построения наблюдателей для динамических систем с глобально липшицевой правой частью. Наблюдатель для таких систем строится таким образом, что уравнение, описывающее динамику ошибки оценивания, за счет выбора больших коэффициентов усиления, становится экспоненциально устойчивым в начале координат. Такие наблюдатели получили название наблюдателей с большим коэффициентом усиления. Основным недостатком такого подхода является требование глобальной липши-цевости рассматриваемой системы. Кроме того, из-за больших значений коэффициентов усиления система наблюдателя может получится достаточно "жесткой" и плохо приспособленной для численного интегрирования.

Наконец последнее направление заключается в приведении исследуемой системы к специальному виду, для которого техника построения наблюдателя либо известна, либо предлагается авторами работ [20 -37].

Большое число работ [24 - 37] посвящено технике построения наблюдателей, при котором исследуемая система с помощью нелинейной замены переменных приводится к виду, где все нелинейные слагаемые зависят только от выходов системы. Такой специальный вид получил название канонического вида для построения наблюдателей с нелинейной добавкой, зависящей от выхода [25, 26], а соответствующую систему координат называют канонической. Для системы, записанной в таком виде, можно применить линейную технику построения наблюдателя, обеспечивающую, по крайней мере в канонических координатах, экспоненциальное убывание ошибки оценивания. Эта идея была предложена независимо друг от друга в работах [24, 25] и [26]. Дальнейшее развитие этого «подхода, связанное с рассмотрением систем с векторным выходом и преобразованием в пространстве выходов, приводится в работе [27] и позднее, несколько с иных позиций, в публикациях [35, 36]. В этих работах широко используется математический аппарат дифференциальной геометрии.

Одной из основных трудностей в применении этого подхода является проблема нахождения замены переменных, связывающей исходную и каноническую системы. Даже в том случае, когда условия существования такой замены выполнены, найти ее в явном виде удается не всегда. Поэтому актуальным является создание методов построения наблюдателей в тех случаях, когда известно, что такая замена существует, однако выписать ее явно не удается.

Традиционно различают два вида наблюдателей: наблюдатели для динамических систем с управлением и без управления. Присутствие управления в исследуемой системе может существенно усложнить процедуру построения наблюдателя, а методы, разработанные для систем без управления, оказаться непригодными. Определения наблюдаемости для динамических систем с управлением [17] и без управления [51] также отличаются. Так, например, в работе [17] приведено определение равномерной наблюдаемости динамической системы при произвольном управлении. Там же приведены необходимые и достаточные условия такой наблюдаемости. Поэтому закономерный интерес представляют методы, позволяющие строить наблюдатель для динамической системы с управлением на основе наблюдателя для системы без управления.

В тоже время в инженерной практике построение наблюдателя как правило не является отдельной задачей, и часто оценка неизвестных переменных состояния динамической системы используется в законе управления.

Для нелинейных систем, записанных в так называемой нижней треугольной форме, был разработан метод обратного хода, или метод обратного обхода интегратора [38, 39], позволяющий строить стабилизирующее управления в случае, когда состояние системы известно. На основе этого метода в работах [39, 40] был предложен метод обратного хода по наблюдателю, который представляет собой многошаговую рекурсивную процедуру построения наблюдателя состояния системы, стабилизирующей обратной связи, использующей получаемую оценку и функции Ляпунова для исследуемой системы. К сожалению метод обратного хода применим только к системам специального треугольного вида и обобщить его для более широкого класса систем не удается.

При использовании оценки вектора состояния вместо его точного значения для управления системой, например, в задаче стабилизации, возникает вопрос о правомерности такого подхода.

Для линейных систем известен принцип разделения [41], который позволяет строить наблюдатель состояния системы и использовать получаемую им оценку в законе стабилизации в виде обратной связи по состоянию. При этом наблюдатель и стабилизирующее управления могут строится независимо друг от друга.

Для нелинейных систем в общем случае этот принцип не справедлив, и при независимом построении наблюдателя и стабилизирующей обратной связи результирующая система может оказаться неустойчивой [42].

Существуют различные обобщения принципа разделения на нелинейные системы. Например, в работах [43, 44] показана справедливость принципа разделения при решении задачи глобальной стабилизации для класса нелинейных систем специального вида. В работе [45] принцип разделения применяется к билинейным системам. Ряд публикаций [46 - 49] посвящен применению принципа разделения к решению задачи полуглобальной асимптотической стабилизации локально лип-шицевых систем. Принцип разделения для аффинных систем рассматривается в работе [50]. Однако ограничения, накладываемые принципом разделения на класс рассматриваемых систем, являются существенными.

Поэтому актуальным является исследование возможностей использования наблюдателей при решении задач управления динамическими системами.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка численно - аналитических алгоритмов построения нелинейных наблюдателей для динамических систем со скалярным и векторным выходом и их использование при решении задач стабилизации.

Методы исследования. В работе применяются методы теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости, математической теории управления, дифференциальной геометрии и различные численные методы.

Научная новизна. Разработан численно - аналитический алгоритм построения наблюдателей для нелинейных динамических и аффинных систем со скалярными и векторными выходами.

Уточнены достаточные условия приводимости динамических систем 3-го порядка со скалярным выходом к каноническому виду для построения наблюдателя с линейной динамикой ошибки. Эти условия использованы при построении наблюдателя состояния для системы Рёсслера.

С помощью разработанного алгоритма построены наблюдатели состояния для динамической системы Ван-дер-Поля, системы Рёсслера и системы с векторным выходом, описывающей вращательное движение твердого тела вокруг центра масс в системе координат, связанной с главными осями инерции твердого тела.

Изучены свойства математической модели класса химических реакторов непрерывного действия идеального смешивания с управлением, в которых протекает химическая реакция 1-го порядка.

Для динамической системы, описывающей эту модель, построены численно - аналитические наблюдатели состояния, позволяющие оценивать неизвестную концентрацию реагента по измеряемой температуре реагирующей смеси. Решена задача стабилизации части переменных состояния такого класса реакторов с использованием построенных наблюдателей.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами математического моделирования.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе, являются конструктивным развитием теории построения наблюдателей и позволяют строить наблюдатели состояния и закон управления на их основе для нелинейных динамических и аффинных систем со скалярным и векторным выходом в том случае, когда аналитические методы могут лишь гарантировать существование таких наблюдателей.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Численно - аналитический алгоритм построения наблюдателей для нелинейных динамических и аффинных систем со скалярным и векторным выходами.

2. Уточненные условия приводимости динамической системы 3-го порядка со скалярным выходом к каноническому виду для построения наблюдателя с линейной динамикой ошибки. л

3. Построенные с помощью численно - аналитического алгоритма наблюдатели для систем Ван-дер-Поля, Рёсслера, химического реактора и системы, описывающей вращательное движение твердого тела вокруг центра масс в системе координат, связанной с главными осями инерции твердого тела.

4. Решение задачи стабилизации по части переменных состояния химического реактора с использованием численно - аналитического наблюдателя для оценки неизвестной концентрации реагента по измеряемой температуре реагирующей смеси в реакторе.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на VI международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", проходившем в ИПУ РАН в 2000 г., в Москве, на исследовательском семинаре "Анализ, управление и стабилизация динамических систем" в Международном математическом центре им. С. Банаха Института математики Польской АН (17 апреля - 2 мал 2001г., Варшава), на VII международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", ИПУ РАН, Москва, 2002; на пятой международной научно - технической конференции "Process Control 2002" в г. Коути-над-Десной, Чехия.

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в двух научных статьях [65, 66] и четырех тезисах докладов на конференциях [69 - 72].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, выводов и списка литературы. Работа изложена на 143 страницах, содержит 36 иллюстраций. Библиография включает 72 наименования.

Выводы

Сформулируем основные выводы и результаты проведенных исследований.

1. Разработан численно - аналитический алгоритм построения наблюдателей для нелинейных динамических и аффинных систем со скалярным и векторным выходом.

2. Уточнены условия приводимости динамической системы 3-го порядка со скалярным выходом к каноническому виду для построения наблюдателя. Эти условия использованы при построении наблюдателя для системы Рёсслера.

3. С помощью разработанного алгоритма построены наблюдатели состояния для системы Ван-дер-Поля, системы Рёсслера и системы с векторным выходом, описывающей вращательное движение твердого тела вокруг центра масс.

4. Изучены свойства математической модели класса химических реакторов непрерывного действия идеального смешивания с управлением, в которых протекает химическая реакция 1-го порядка. Для динамической системы, описывающей эту модель, построены численно - аналитические наблюдатели состояния, позволяющие оценивать неизвестную концентрацию реагента по измеряемой температуре реагирующей смеси. Решена задачи стабилизации части переменных состояния такого класса реакторов с использованием построенных наблюдателей.

5. Математическое моделирование работы построенных численно -аналитических наблюдателей и сравнение оценки вектора состояния, получаемой с их помощью, с оценкой, получаемой с помощью аналитических наблюдателей, в большинстве случаев показало близкие результаты.

1. Luenberger D. G. Observing the state of linear system // IEEE Trans. Milit. Electr.- 1964.- V. 8, № 1.- P. 74-80.

2. Андреев Ю. H. Управление конечномерными линейными объекта-ми.-М.:Наука,1976.-424с.

3. Wallcot В. L., Corless М. J., Zak S. H. Comparative study of nonlinear state-observation techniques // Int. J. Control. 1987. - V. 45, № 6.-P. 2109-2132.

4. Xia X., Gao W. On exponential observers for nonlinear systems // Systems and Control Letters.- 1988. V. 11, № 3.- P. 319-325.

5. Hu Xiaoming. On state observers for nonlinear systems // Systems and Control Letters.-1991.-V. 17, № 6.- P. 465-473.

6. Deza F., Bossanne D., Busvele E. Exponential observers for nonlinear systems // IEEE Trans. Autom. Contr.- 1993.- V. 38, № 3.- P. 482484.

7. Byrnes C. J., Pandian S. V. Exponential observer design // Nonlinear Control Systems Design Symposium: Proc. of IFAC Symposium. -Bordeaux, 1992.- P. 606-609.

8. Nicosia S., Tomei P., Tornambe A. An approximate observer for a class of nonlinear systems // Systems and Control Letters.- 1987.-V. 12, № 1.- P. 43-51.

9. Tornambe A. Asymptotic observers for nonlinear systems // Inter. J. Syst. Sci.- 1992.- V. 23, № 3. P. 435-442.

10. Cell F., Gautheier J. P., Kosakos D. Syntethis of nonlinear observers: a harmonic-analysis approach // Math. Syst. Theory. 1989.- V. 22, № 4.- P. 291-322.

11. Tsinias J. Observer design for a nonlinear systems // Systems and Control Letters.- 1989.- V. 13, № 2.- P. 135-142.

12. Tsinias J. Further results on observer design problem // Systems and Control Letters.- 1990.- V. 14, № 3.- P. 411-418.

13. Rajamani R. Observers for Lipschitz nonlinear systems. // IEEE Transactions on Automatic Control.-1998.-V. 43, №1.-P.397-401.

14. Qingha Z., Aiping X. Global adaptive observer for a class of nonlinear systems // Conference on decision and control: 40th IEEE proc.-Orlando, 2001.-P.3360-3365.

15. Tarqui Boubekeur, Hammouri Hassan, Mondher Farza. Observer design for a class of multi-output nonlinear systems Application to a distillation column. // Conference on Decision and Control: 40th IEEE proc.-Orlando, 2001.-P.3352-3357.

16. Deza F., Busvele E., Gauthier J.P. High gain estimator for nonlinear systems // Systems and Control Letters.- 1992.- V. 18, № 4.- P. 295299.

17. Gauthier J.P., Hammouri H., Othman S. A simple observer for nonlinear systems: application to bioreactors // IEEE Trans. Autom. Contr.- 1992.- V. 37, № 6.- P. 875-880.

18. Shim H., Son Y. I., Seo J. H., Semi-global observer for multi-output nonlinear systems // Systems and Control Letters.-2001.-V. 42, №3.-P.233-244.

19. Yiquang H., Huashu Q., Pengnian C. Global observer design for a class of homogeneous systems. // Conference on Decision and Control: 40th IEEE proc.-Orlando, 2001.-P.2962-2967.

20. Hauksdottir A. S., Fenton R. E. State observers and state-feedback controllers for a class of nonlinear systems // Int. J. Control.- 1988.-V. 48, № 3.- P. 833-855.

21. Raghavan S., Hedrick J.K. Observer design for a class of nonlinear systems. // Int. J. Control.-1994.-V. 59, P. 515-528.

22. Старков K.E. О построении наблюдателей для полиномиальных систем // Автоматика и телемеханика.- 1991.- № 2.- С.64-73.

23. Старков К. Е. Наблюдатели для полиномиальных систем: алгебраические методы построения // Автоматика и телемеханика.-1993. № 12.- С.43-53.

24. Bestle D., Zeitz М. Canonical form observer design for non-linear observers with linearizable error dynamics // Int. J. Control.- 1981.-V. 23, P. 419-431.

25. Bestle D., Zeitz M. Canonical form observer design for non-linear time-variable systems // Int. J. Control.- 1983.- V. 38, № 2.- P. 419431.

26. Krener A.J., Isidori A. Linearization by output injection and nonlinear observers // Systems and Control Letters.- 1983.- № 3.-P. 47-52.

27. Krener A. J., Respondek W. Nonlinear observers with linearizable error dynamics. // SIAM J. Control and Optimization.-1985.-V. 23, №2.- P.197-216.

28. Li C. W., Tao L. W. Observing nonlinear time-variable systems through a canonical form observer // Int. J. Control.- 1986.- V. 44, P. 1703-1713.

29. Zeits M. The extended Luenberger observer for nonlinear systems // Systems and Control Letters.- 1987.- V. 9, № 2.- P. 149-156.

30. Birk J., Zeits M. Extended Luenberger observer for non-linear multivariable systems // Int. J. Control.- 1988.- V. 47, № 6.- P. 18231836.

31. Xia X., Gao W. Nonlinear observer design by observer canonical forms 11 Int. J. Control.- 1988.- V. 47, № 4.- P. 1081-1100.

32. Krener A. J., Kang W. Observation of rigid body from measurement of a principle axis // Conference on Decision and Control: 28th IEEE proc.-Orlando, 1989.- V. 4.- P. 2254-2258.

33. Xia X., Gao W. Nonlinear observer design by observer error linearization // SI AM J. Control and Optimization.- 1989.- V. 27, № l.-P. 199-216.

34. Hammouri H., Gauthier J. P. Global time-variable linearization up to output injection // SIAM J. Control and Optimization.-1992.- V. 30, № 6.- P. 1295-1310.

35. Крищенко А. П., Ткачев С. Б. Нелинейные &(ж)-двойственные системы // Автоматика и телемеханика.-1995.- №2. С. 21-34.

36. Крищенко А. П., Ткачев С. Б. Нелинейные к(х)-двойственные системы и синтез наблюдателей // Дифференц. уравнения.- 1999.Т. 35; № 5.- С. 648-663.

37. Arthur J. Krener, Ming Qing Xiao, A Necessary and Sufficient Condition for the Existence of a Nonlinear Observer with Linearizable Error Dynamics // Conference on Decision and Control: 40th IEEE proc.-Orlando, 2001.-P.2936-2941.

38. Kanellakopoulos I., Kokotovich P., Morse S., A toolkit for nonlinear feedback control. // System and Control Letters.-1992.-№18.- P. 8283.

39. Krstic M., Kanellakopoulos I., Kokotovic P., Nonlinear and adaptive control design.- New York: John Wiley & Sons, Inc., 1995.-563p.

40. Голубев A. E., Йохансон P., Робертсон А., Ткачев С. Б., Стабилизация выхода неминимально-фазовых систем с помощью обратного хода по наблюдателю. // Нелинейная динамика и управление.

41. Сборник статей / Под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина.-М.: Физматлит.-2002.-Вып. 2.-С.115-124.

42. Машиностроение. Энциклопедия / Ред. совет: К. В. Фролов (пред.) и др.-М.:Машиностроение. Автоматическое управление. Теория. Т. 1-4 / Е. А. Федосов, А. А. Красовский, Е. П. Попов и др. Под общ. ред. Е. А. Федосова. 2000.-688с.

43. Freeman R. Global internal stabilizabilitydoes not imply global external stabilizability for small sensor disturbances // IEEE Trans. Automat. Contr.-1955.-V. 40, Ж2.-Р. 2119-2122.

44. Tsinias J. A theorem on global stabilization of nonlinear systems by linear feedback // Systems and Control Letters.-1991.-№17.-P.357-362.

45. Tsinias J. Sontag's' input to state stability condition' and global stabilization using state detection // Systems and Control Letters.-1993.-№20.-P. 219-226.

46. Gauthier J. P., Kupka I., A separation principle for bilinear systems with dissipative drift // IEEE Trans. Automat. Contr.-1992.-№37 (12) .-P. 1970-1974.

47. Khalil H. K., Esfandiari F. Semiglobal stabilization of a class of nonlinear systems using output feedback. // IEEE Trans. Automat. Contr.-1993.-№38(9).-P. 1412-1415.

48. Teel A., Praly L. Global stabilizability and observability imply semi-global stabilizability by output feedback // Systems and Control Letters.- 1994.- № 22.- P. 313-325.

49. Atassi A. N., Khalil H. K. A separation principle for the stabilization of a class of nonlinear systems // IEEE Trans. Automat. Contr.-1999.- V. 44, № 9.- P. 1672-1687.

50. Shim H., Teel A. R. Further results on the nonlinear separation principle: the general'asymptoticaly controllable'case // Nonlinear Control Systems'01: Proc. of V IFAC Symposium. -Saint-Petersburg, 2001.-V.5.

51. Голубев A. E., Крищенко А. П., Ткачев С. Б. Принцип разделения для аффинных систем // Дифференциальные уравнения.-2001.-Т. 37, №11.- С. 1468-1475.

52. Nijmeijer Н., Schaft A. Nonlinear dynamical control systems.-New-York: Springer, 1990.-467p.

53. Hou M., Pugh A. C., Observer with linear error dynamics for nonlinear multi-output systems // Systems and Controls Letters.-1999.-№37.-P. 1-9.

54. Крищенко А.П., Ткачев С.Б. Двойственные нелинейные системы // Доклады РАН.- 1993.- Т.333, № 5.- С. 598-599.

55. Tkachev S. В., Krischenko А. P., Nonlinear K(x)-dual Systems and Observer Design, // Nonlinear Control Systems'01: Proc. of V IFAC Symposium. -Saint-Petersburg, 2001.-V.5.-P. 1447 1452.

56. Tsinias J. A generalization of Vidyasagar's theorem on stabilizability using state detection // Systems and Control Letters.- 1991.- № 17.-P. 37-42.

57. Жевнин А. А., Крищенко А. П. Управляемость нелинейных систем и синтез алгоритмов управления // Доклады АН СССР.-1981.- Т. 258, № 4.- С. 805-809.

58. Gauthier J. P., Kupka I. Deterministic observation theory and applications.- Cambrige: University Press, 2001.-226p.

59. Thau F. E. Observing the state of non-linear dynamic systems // Int. J. Control.- 1973.- №. 17.- P. 471-479.

60. Arcak M., Kokotovicand P. V. Nonlinear observers: A circle criterion design // Conference on Decision and Control: 38th IEEE proc.-Phoenix, 1999.-P. 4872-4876.

61. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи.-М.: Мир, 1990.-512с.

62. Nicolis G., Prigogine I. Exploring complexity. An introduction.-New York: W. H. Freeman and Co, 1989.-342p.

63. Вольтер В. В., Сальников И. Е. Устойчивость режимов работы химический реакторов.- М.: Химия, 1972.-125с.

64. Zhou D. Н., Frank P. М., Nonlinear adaptive observer based component fault diagnosis of nonlinear systems in closed-Loops // Press, of 14th World Congress of IFAC. 1999. P. 25-30.

65. Krishchenko A.P. Stabilization of equilibrum points of chaotic systems // Phisics Letters A.- 1995.- V. 203.-P.350-356.

66. Алексеенков С. Г., Ткачев С. Б. Оценка концентрации продукта химической реакции с использованием наблюдателя // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Естественные науки.-2001.- №2.-С.93-104.

67. Алексеенков С. Г., Ткачев С. Б. Управление работой химического реактора с использованием нелинейного наблюдателя // Нелинейная динамика и управление. Сборник статей / Под ред. С.

68. B. Емельянова, С. К. Коровина.-М.: Физматлит.-2003.-Вып. 3.1. C.179-190.

69. Крутько П. Д., Обратные задачи динамики управляемых систем: нелинейные модели.-М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.328 с.

70. Деннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений М.: Мир, 1988.-283 с.

71. Алексеенков С. Г., Ткачев С. Б. Оценка концентрации продукта химической реакции с использованием нелинейного наблюдателя // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов VI международного семинара.-М., 2000.-С. 103.

72. Alexeenkov S. G., Tkachev S. В. Analytical and numerical algorithms for output control of chemical reactors // Process Control 2002: Proceedings of the 5th International Scientific Technical Conference.-Pardubice, 2002.-P. 78.

73. Алексеенков С. Г., Ткачев С. Б. Численно-аналитическая процедура построения наблюдателя для нелинейной динамической системы. // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов VII международного семинара.-М., 2002.-С. 70.

74. Tkachev S. В., Alexeenkov S. G. Numerical algorithms for nonlinear observer-based control // Physics and Control: Proceedings of International Conference.-Saint-Petersburg (Russia), 2003.-P. 1278 -1283.