автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Развитие и применение метода фиктивных канонических областей

На правах рукописи УДК 539 3

Гладкий Сергей Леонидович

РАЗВИТИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ФИКТИВНЫХ КАНОНИЧЕСКИХ ОБЛАСТЕЙ

05 13 18-Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□озоБОэтг

Пермь 2007

003060972

Работа выполнена на кафедре динамики и прочности машин Пермского государственного технического университета и на кафедре прикладной информатики и искусственного интеллекта Пермского государственного педагогического университета

Научный руководитель - доктор технических наук,

профессор Ясницкий Леонид Нахимович

Официальные оппоненты.

- доктор физико-математических наук, профессор Тарунин Евгений Леонидович;

- кандидат физико-математических наук Большаков Александр Юрьевич.

Ведущая организация - Научно-исследовательский институт механики Нижегородского государственного университета им Н И Лобачевского, г Нижний Новгород.

Защита состоится 5 июля 2007 г в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212 189.09 в Пермском государственном университете по адресу. 614600, г Пермь, ул Букирева, д. 15, зал заседаний Ученого Совета 111 У.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного университета

Автореферат разослан 2007 г

Ученый секретарь /}

диссертационного совета Лутманов С. В.

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. В истории развития методов решения краевых задач математической физики можно проследить два периода. Первый исторический период начался с основополагающих работ Ж.Л Д'Аламбера и Ж.Б Ж. Фурье, выполненных в XVIII - начале XIX вв С помощью метода разделения переменных им удалось получить ряд решений краевых задач для простейших областей, называемых каноническими - круга, квадрата, цилиндра, шара и пр.

Дальнейшее развитие метода Фурье было связано с попытками его применения к более сложным дифференциальным уравнениям за счет представления их решений через гармонические и бигармонические функции. Такие представления были предложены В .Кельвином и ПХ.Тайгом, М Дж Буссинеском, Б.Г Галеркиным, ПФЛапковичем, ГЛейбером, В.И.Блохом, Ю.А.Крутковым, К В.Соляник-Красса, М Г.Слободянским, В.М.Деевым и да.

Другое направление развития метода Фурье - применение к телам более сложных конфигураций за счет использования криволинейных систем координат. Здесь следует упомянуть основополагающие работы ILA Шифа, П.Ф Папковича, А ИЛурье, В.К Прокопова, ВХГринченко, Ю.Н.Подильчука и др.

Следующая идея - это идея использования известных решений в простых областях для получения решений в областях более сложных конфигураций. Реализация этой идеи происходила в двух направлениях. Первое - это преобразование координат, что реализуется, например, конформными отображениями, развитыми и примененными в работах Г.В.Колосова, Н ИМусхелншвили, М.АЛаврентьева и Б.В.Шабата, Г.Н.Савина, Д.И.Шермана, С.Г.Михлина, А.В.Угодчикова, Л.И.Волковыского, Е.А.Колчановой, В.Г.Баженова и др. Второе направление связано с расширением заданной расчетной области аналитическим продолжением решения за границу, возмущением формы границы, погружением заданной области в область более простой геометрической формы. Подобные идеи прослеживаются в работах Н.И.Безухова и ОЗ Лужина, Б.Г.Коренева, А.Н.Гузя, Ю.Н Немиша, И.НЛ1ардакова, И Н.Трояновского, И.Н.Труфанова, В .П.Матвеенко1, Л НЛсницкого, В А Елтышева, А.Ю Большакова2 и др.

' Шардаков ИЛ Метод геометрического погружения в теории упругости / И.Н Шардаков, Н А Труфанов, В П. Матвеенко -Екатеринбург УрОРАН, 1999 - 298 с

2 Большаков А Ю Напряженно-деформированное состояние трехмерного цилиндра / А Ю Большаков, В А Елтышев // Напряженно-деформированное состояние и прочность конструкций -Свердловск Изд УНЦ АН СССР, 1982 - С 3-7

По своей физической сути к этим методам близок метод источников, впервые встречающийся в работах С ПЛимошенко, Р.Миндлина и Д Чена, примененный X А Рахматулиным, Х.Валиджановым, всесторонне исследованный А А Роговым3 Идея применения фундаментальных решений для нахождения решения краевых задач встречается в классических работах по теории потенциала Ф.Фредгольма, Д.Гильберта, Ж Пуанкаре, Н И.Мусхелишвили, Ф Трикоми и др. Приближение источников к границам заданного тела приводит к сингулярности интегральных уравнений. Методы решения краевых задач, основанные на решении этих уравнений, развиваются в работах Н.Д Купрадзе, МА Алексвдзе, П.И. Перлина,В.ЗЛартонаидр Впоследствии за этой группой методов закрепился термин - методы граничных элементов (МГЭ), которые в настоящее время интенсивно развиваются и применяются саутгемптонской школой механиков, возглавляемой К Бреббия.

Все приближенные аналитические методы решения краевых задач можно разделить на три группы методы типа Треффца, Ритца и Рейсснера Во всех этих методах искомое решение представляется в виде ограниченных сумм базисных функций, коэффициенты при которых ищутся из некоторого условия. В методах типа Треффца каждая из базисных функций подбирается так, что она тождественно удовлетворяет дифференциальному уравнению краевой задачи, а коэффициенты ищутся из условия приближенного удовлетворения граничным условиям. Для метода Ритца, наоборот, базисные функции должны тождественно удовлетворять краевым условиям, а коэффициенты ищутся из условия приближенного удовлетворения дифференциальному уравнению В методе Рейснера на базисные функции не накладывается никаких ограничений и для отыскания коэффициентов формируется функционал Рейснера.

С точки зрения оценки точности получаемых результатов метод Треффца имеет преимущество Дело в том, что он приводит к аналитическим решениям, которые тождественно удовлетворяют дифференциальному уравнению краевой задачи во всей расчетной области Остается только вычислить невязки удовлетворения граничных условий на границе расчетной области и с помощью них оценить погрешность решения краевой задачи.

Второй этап развития методов решения краевых задач связан с появлением в начале 50-х гг. XX века электронно-вычислительных

з

Роговой А А Математическое обоснование метода законтурных массовых сил в теории упругости / А А Роговой // Механика деформируемых тел Ученые записки Пермского государственного ун-та -1974 -Выл 2, №273 - С 43-50

машин и распространением численных методов. Среди них наибольшую популярность приобрели метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ).

Как видно из приведенного выше обзора, к настоящему времени разработан значительный математический аппарат, предназначенный для решения краевых задач Однако не существует одного универсального метода, который обладал бы преимуществами во всех ситуациях Каждый метод имеет свою область применения, в которой он является более эффективным Поэтому разработка новых методов и усовершенствование существующих всегда были и остаются актуальными задачами.

В настоящее время одним из наиболее важных критериев эффективности методов решения краевых задач, определяющих их практическую ценность, является возможность точной оценки погрешности получаемых решений В работе рассматривается один из приближенных аналитических методов решения краевых задач - метод фиктивных канонических областей (ФКО). Метод ФКО является, по сути, развитием метода Треффца. Дело в том, что метод Треффца предложенный в 1926 г., несмотря на отмеченное уникальное свойство возможности простой и надежной оценки погрешности, долгое время оставался не пригодным для широкого практического применения. Нерешенной была проблема подбора базисных функций, обеспечивающих сходимость решений. В 1973 г. Л.НЯсницким4 была предложена геометрическая интерпретация метода Треффца, которая позволила разобраться в проблемах его сходимости и корректности, построить методику выбора базисных функций, впоследствии названную методом ФКО5. В том же году им была дана .первая формулировка теоремы сходимости (она же - теорема продолжимости) и ее первое доказательство в случае плоских краевых задач для уравнений Лапласа и Ламе, а также предложен способ оценки погрешности на основе принципа максимума. Впоследствии компьютерные программы, реализующие метод ФКО, были переданы сотруднику Института механики сплошных сред УрО РАН В.А.Елтышеву, который вместе со своими учениками развил и применил их для расчета напряженно-деформированного состояния тел цилиндрической формы, скрепленных

Ясницкий ЛН Об одном способе решения задач теории гармонических функций и линейной теории упругости / Л Н Ясницкий // Прочностные и гидравлические характеристики машин и конструкций - Пермь Изд Пермского политехнического ин-та, 1973 - С 78-83

5 Ясницкий Л Н Метод фиктивных канонических областей в механике сплошных сред / Л Н Ясницкий - М Наука, 1992 - 128 с

с оболочками6 В 1985 г. А Ю Большаковым и В А.Елтышевым7 была сформулирована и доказана теорема о сходимости решений, получаемых методом ФКО, в случае, если фиктивная и заданная области топологически эквивалентны. Однако основным критерием выбора фиктивных канонических областей оставалась теорема продолжимости, доказательство которой для общего объемного случая было выполнено в 1988 г С.Я Гусманом8 Доказательство было выполнено применительно к уравнению Лапласа и распространено на уравнения, решение которых выражается через гармонические функции

Таким образом, на сегодняшний день метод ФКО имеет практические приложения, его развитию и применению посвящены две докторские (Л.Н.Ясницкий, В.АЕлтышев) и несколько кандидатских (В.А Елтышев, А.Ю.Большаков, А А Осипанов, А В Колмогоров) диссертаций. Однако, несмотря на свои преимущества, теоретические и практические результаты, метод ФКО до сих пор не является широко распространенным Причиной этого, по мнению автора диссертации, является недостаточная теоретическая развитость метода ФКО и отсутствие его хорошей программной реализации Поэтому тема диссертационной работы, связанная с решением этих вопросов, является актуальной

Целью работы является развитие метода ФКО, создание реализующей его компьютерной программы и ее применение для решения практических задач, а именно- разработка новых алгоритмов, позволяющих повысить точность решений, получаемых методом ФКО;

- расширение возможностей и применение метода ФКО для решения новых классов краевых задач - задач термоупругости и нестационарных задач теплопроводности,

- создание библиотеки ФКО для плоских и осесимметричных задач теплопроводности, теории упругости и термоупругости;

6 Елтышев В А Напряженно-деформированное состояние оболочечных конструкций с наполнителем / В А Елтышев-М Наука, 1981 -167 с

Большаков А Ю О решении пространственных задач теории упругости методом Фурье / АЮ Большаков, В А Елтышев // Статические и динамические задачи упругости и вязкоупругости - Свердловск Изд УНЦ АН СССР, 1983 -С 83-88

Гусман С Я О критерии выбора базовых функций в методе фиктивных канонических областей / С Я Гусман, Л Н Ясницкий // Геометрическое моделирование и начертательная геометрия Тезисы докладов Уральской научно-технической конференции - Пермь Изд УрО АН СССР, 1988 -С 46-48

- разработка программы, реализующей метод ФКО с использованием современных технологий в области программирования, в том числе, элементов искусственного интеллекта;

- решение практических задач методом ФКО

Научная новизна работы заключается в следующем. Выполнено развитие метода ФКО в двух направлениях.

1. Метод ФКО распространен на новые классы краевых задач:

а) задачи термоупругости,

б) нестационарные задачи теплопроводности, в том числе с подвижными границами;

в) контактные задачи теории упругости.

2 Метод ФКО дополнен алгоритмами, позволяющими автоматизировать его применение и увеличить точность получаемых решений.

Все предлагаемые в работе алгоритмы реализованы в компьютерной программе REGIONS и продемонстрированы при решении конкретных краевых задач.

¿Достоверность полученных результатов подтверждается использованием современных методов математического моделирования, систем аналитических вычислений, сравнением результатов, полученных методом ФКО, с результатами, полученными другими методами

Научная и практическая ценность работы. В рамках работы метод ФКО распространен на решение новых классов краевых задач -задач термоупругости и нестационарных задач теплопроводности, в том числе с изменяющимися границами. Предложен и реализован алгоритм решения контактных задач теории упругости методом ФКО.

Разработаны новые алгоритмы, которые позволяют существенно повысить точность решений, получаемых методом ФКО, и расширяют его возможности.

Разработанная автором программа REGIONS может применяться для решения методом ФКО практических задач: линейных плоских и осесимметричных стационарных задач теплопроводности, статических задач теории упругости и термоупругости, а также плоских нестационарных задач теплопроводности.

С помощью программы REGIONS решен ряд практически важных инженерных задач, что подтверждено прилагаемыми актами внедрений.

Программа REGIONS используется при обучении студентов в вузах г Перми и для решения практических задач.

Апробация работы. Отдельные разделы диссертации докладывались автором на.

1 X Всероссийской конференции молодых ученых "Математическое моделирование в естественных науках". Пермь, 2001

2 VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике. Пермь, 2001.

3 Всероссийской научно-технической конференции "Аэрокосмическая техника и высокие технологии" Пермь, 2002.

4 XL международной научной студенческой конференции. "Студент и научно-технический прогресс" Математика Новосибирск, 2002

5. XXIV конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В Ломоносова. Москва, 2002

6 XII Всероссийской конференции молодых ученых "Математическое моделирование в естественных науках" Пермь. 2003

7 Ш Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием Ростов-на-Дону, Азов, 2003.

8 13-ой зимней школе по механике сплошных сред Пермь, 2003

9 IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике Нижний Новгород, 2006.

10. Международной научно-методической конференции "Актуальные проблемы математики, механики, информатики" Пермь, 2006

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 работ (6 статей и две монографии).

Программа REGIONS зарегистрирована в Реестре программ для ЭВМ РФ (свидетельство № 2006611607)

Личный вклад автора. Автор предложил способ распространения метода ФКО на задачи термоупругости. Метод ФКО впервые применен автором для решения нестационарных задач теплопроводности. Диссертантом предложен и реализован итерационный алгоритм решения контактных задач теории упругости, адаптированный для метода ФКО. Приведенные в работе три алгоритма оптимизации решений и метод игнорирования S -окрестности также

разработаны автором (два алгоритма - совместно с научным руководителем) Программа REGIONS полностью разработана автором Все решения краевых задач, приведенные в работе, также получены лично автором с помощью данной программы

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и четырнадцати приложений, содержит 65 рисунков, 5 таблиц, список цитируемой литературы из 165 наименований

Содержание работы

Во Введении выполнен краткий исторический обзор развития методов решения краевых задач. Выделены два этапа, первый связан с развитием аналитических методов решения, второй - с численными методами, получившими распространение со второй половины ХХ-го века в связи с появлением и развитием компьютеров Из выполненного обзора делается вывод, что существует множество методов решения краевых задач, однако каждый метод решения имеет свою область применения, где он обладает преимуществами перед другими методами Поэтому, разработка новых методов решения краевых задач и усовершенствование существующих является актуальной задачей.

В настоящее время одним из главных критериев при разработке методов решения краевых задач, по мнению автора, является возможность надежной оценки точности получаемых решений.

Метод ФКО, предложенный Л.Н Ясницким в 1973 г, является одним из приближенных аналитических методов решения краевых задач, который позволяет надежно оценивать точность полученных результатов, и в то же время решать задачи с достаточно сложной геометрией области Таким образом, данный метод является перспективным методом решения краевых задач и его развитие является актуальной задачей.

Целью работы ставится развитие метода ФКО и применение его для решения практических задач

Первая глава "Метод фиктивных канонических областей" содержит два раздела. В первом разделе "Теоретические основы метода фиктивных канонических областей" дается формулировка краевой задачи- найти функцию U(x), удовлетворяющую в пределах

некоторого тела D а R3 дифференциальному уравнению в частных производных

LU(x)=R{x), xeD, (ll)

и на поверхности S тела D граничным условиям

В U(x) |s = В*(х\ х е S, (12)

где L и В - заданные линейные дифференциальные операторы с

постоянными коэффициентами, R(x) и В*(х) - заданные функции

координат х . В работе рассматриваются только корректные по Адамару задачи- решение задачи (1.1)-(12) существует, единственно и непрерывно зависит от исходных данных (устойчиво по исходным данным)

Согласно методу ФКО, решение краевой задачи ищется в виде конечной суммы

и{х) = ик(х)+^с„и„(х), (13)

и=1

где £/Ä(x) - любое частное решение уравнения (1 1), сп - постоянные

коэффициенты, ип (jc) - базисные функции, каждая из которых тождественно удовлетворяет однородному уравнению

It/(3c)=0 (14)

Базисные функции выбираются следующим образом существуют такие области, называемые каноническими, для которых известны решения (например, полученные на первом этапе применения метода разделения переменных Фурье) в виде бесконечного ряда

Г er. 0-5)

л=0

Такие решения часто называют общими решениями9 в том смысле, что подбором коэффициентов сГп из них можно выделить частные решения, удовлетворяющие достаточно произвольным краевым условиям на границе канонической области V аКъ с любой точностью

9

Полянин АД Справочник по линейным уравнениям математической физики / АД Полянин -М ФИЗМАТЛИТ, 2001 -576 с

Согласно методу ФКО тело О погружается в пересечение нескольких канонических областей Ух ОУ2 ГЛ..., как показано на рисунке 1.1 Решение краевой задачи для исходного тела И ищется в виде суммы решений, относящихся к этим каноническим областям В каждом таком решении ограничивают число слагаемых. Неизвестные коэффициенты

сп находятся из условия приближенного удовлетворения краевым условиям (1 2).

Рис, 1.1 Исходное тело £> с границей 5" вписано в каноническую область V и в пересечение трех канонических областей У1 , У2 и У3

Таким образом, метод ФКО является приближенным аналитическим методом. Решение краевой задачи, полученное методом ФКО, тождественно удовлетворяет дифференциальному уравнению и приближенно — краевым условиям

На базе приведенной геометрической интерпретации сформулирована и доказана теорема продолжимости: отыскание

коэффициентов сп разложения (13) является корректной по Адамару

задачей в том и только в том случае, если искомое решение может быть продолжено в пересечение выбранных канонических областей.

Теорема продолжимости сформулирована и доказана для плоского случая ЛН Ясницким. Для пространства произвольной размерности доказательство выполнено С.Я. Гусманом.

Главным преимуществом метода ФКО является возможность надежной оценки точности полученных решений. Это обусловлено тем, что дифференциальное уравнение удовлетворяется тождественно.

Для задач, в которых выполним принцип максимума, может быть найдено точное значение максимальной погрешности решения Поскольку максимальное значение искомой функции в этом случае реализуется на границе, то максимальная погрешность удовлетворения граничным условиям будет максимальной погрешностью решения

В любом случае, при решении задач методом ФКО, всегда существует возможность восстановить ту краевую задачу, решение которой методом ФКО удается получить точно. Для этого достаточно вычислить полученные в результате решения методом ФКО значения искомой функции на границе 5 исходного тела И и принять эти значения в качестве нового (скорректированного) граничного условия-

В и(х) |5 = В~(х\ (1.6)

Таким образом, вместо решения исходной краевой задачи (1 1)-(12) метод ФКО позволяет получить точное аналитическое решение краевой задачи (1.1)-(1 6) Как доказано в теории метода ФКО, если выполняется условие приведенной выше теоремы продолжимости, то

разность между В а В стремится к нулю при N —> оо.

Во втором разделе "Некоторые типы краевых задач, решаемые методом фиктивных канонических областей"

рассмотрены краевые задачи, для которых применим метод ФКО, и основные типы граничных условий для данных задач.

В стационарной задаче теплопроводности искомой функцией является температура, которая при отсутствии тепловых источников удовлетворяет уравнению Лапласа

V2 Т = О, (17)

где Т - температура, V2 - оператор Лапласа. Для данной задачи рассмотрены следующие граничные условия условие первого рода, условие симметрии, условие третьего рода, условие идеального контакта и условие контакта с термическим сопротивлением Для плоских и осесимметричных стационарных задач теплопроводности автором создана библиотека решений, относящихся к соответствующим каноническим областям (кольцо, слой, сфера, цилиндр и др.) Большинство решений взято из литературы, частично они получены автором

В статической задаче линейной теории упругости искомой функцией является вектор перемещений £/, который удовлетворяет векторному уравнению Ляме

¡лЫ] + + = Р, (18)

где Р - вектор объемных (массовых) сил, Л и /л - константы Ляме. Для данной задачи возможны следующие граничные условия, кинематические, статические, смешанные, условие симметрии, условие совместности, условие сопряжения с натягом. Наиболее распространенными массовыми силами являются сила тяжести и центробежные силы. Для плоских и осесимм етри чных статических задач теории упругости автором создана библиотека решений для соответствующих канонических областей (кольцо, слой, сфера, цилиндр и др.), а так же частных решений уравнений равновесия для рассмотренных видов массовых сил. Большинство решений взято из литературы, частично решения получены автором.

Вторая глава "Развитие метода фиктивных канонических областей" содержит четыре раздела.

В первом разделе "Оптимизация решений в методе фиктивных канонических областей" содержится описание и примеры использования трех алгоритмов оптимизации решений и метода игнорирования £ -окрестности, разработанных автором (два из них -совместно с научным руководителем)

1. Алгоритм оптимизации расположения ФКО предназначен для уточнения расположения выбранных фиктивных областей с целью обеспечения максимальной точности при определенном числе слагаемых Алгоритм заимствует идею, используемую при создании экспертных систем, он основан на представлении о том, как бы эту задачу стал решать эксперт - человек, имеющий опыт применения метода ФКО Выбранные ФКО последовательно перемещаются на некоторое расстояние в направлении, обеспечивающем минимальную погрешность (направление определяется методом золотого сечения) Если на данном расстоянии нет точки с меньшей погрешностью -расстояние изменяется Таким образом делается некоторое число итераций для всех ФКО. Результаты применения алгоритма показали его эффективность при оптимизации расположения небольшого числа ФКО (не более трех) Решена задача, в которой применением данного алгоритма удалось повысить точность решения в 10 раз.

2. Алгоритм оптимизации базисных разложений предназначен для исключения "лишних" слагаемых Под "лишними" понимаются такие слагаемые, которые не нужны для удовлетворения граничным условиям конкретной краевой задачи Формально они не должны оказывать влияние на решение, и коэффициенты при данных функциях должны обращаться в ноль. Однако, в силу того, что отыскание коэффициентов (формирование и решение СЛАУ) ведется численно, в

результате можно получить значительное снижение точности В простейших случаях такие слагаемые легко увидеть и удалить до начала решения. В сложных задачах это сделать достаточно трудно.

Предложенный алгоритм заимствует идею из искусственного интеллекта, а именно - наблюдение за поведением характеристик системы при поочередном исключении ее элементов При решении краевой задачи методом ФКО определяющей характеристикой является функционал граничных условий, который представляет собой интеграл по поверхности от квадрата разности между полученным решением и заданными граничными значениями

После решения задачи вычисляется значение функционала 3 с учетом всех найденных коэффициентов. Затем последовательно исключается каждое из слагаемых, и вычисляется значение функционала

Jl , где 1 - номер исключенного слагаемого Если данное значение

функционала мало отличается от первоначального, например, выполняется условие

где д - малая положительная величина, данное слагаемое подлежит исключению. В работе эффективность алгоритма продемонстрирована на решении задачи — в результате применения алгоритма точность решения повысилась в 100 раз

3 Алгоритм оптимизации весовых коэффициентов позволяет автоматически изменить весовые коэффициенты граничных условий на различных участках поверхности с целью равномерного распределения невязок граничных условий Весовые коэффициенты вводятся при формировании разрешающей СЛАУ методом наименьших квадратов. Для этого граница разбивается на N участков, и функционал (2.1) представляется в виде суммы

(21)

5

где и(х) - полученное методом ФКО решение (13)

(2 2)

N

(2 3)

где кг - весовой коэффициент на г-ом участке поверхности. При

увеличении весового коэффициента к1 , граничное условие на г-ом

участке поверхности удовлетворяется точнее, а точность удовлетворения граничных условий на других участках снижается.

Алгоритм оптимизации весовых коэффициентов является итерационным и заимствует идею правила Хэбба, используемого при обучении персептрона На каждой итерации решается задача с заданными весовыми коэффициентами. На каждом участке границы

вычисляются невязки граничных условий £1 ,1 — 1, N и их среднее значение

Коэффициенты изменяются по одной из следующих формул

к] = А:/"1 —, (2.5 а)

или

*/=*/"'-ет\ (2.5б)

где и к'~1- весовые коэффициенты на участке границы I на итерациях / и у—1 соответственно, Ц— коэффициент скорости обучения Итерации повторяются до тех пор, пока отклонения всех невязок от среднего значения не станут меньше заданной величины. В работе приведен пример решения задачи, в которой использованием данного алгоритма удалось уменьшить максимальное значение погрешности в 4 раза

4. Метод игнорирования Б -окрестности предназначен для оптимизации решений с разрывными граничными условиями. При решении задач методом ФКО в случае наличия разрывов в граничных условиях возникает эффект, подобный эффекту Гиббса при разложении разрывных функций в ряды Фурье Это приводит к большой погрешности вблизи особой точки (точки разрыва граничных условий). Для исключения эффекта предложен метод, заключающийся в игнорировании граничных условий в некоторой малой окрестности точки разрыва при формировании разрешающей СЛАУ. Обычно в таких задачах (где имеют место большие градиенты искомой функции) рядом с особой точкой помещают сингулярную ФКО (то есть ФКО, решение (15) для которой содержит особенность) При этом существует

оптимальный размер (диаметр) окрестности игнорирования 6 в зависимости от степени сингулярности и расстояния до особой точки ФКО. Так, при большой Б -окрестности мы допускаем произвольные условия, а при ее стремлении к нулевой получаем эффект Гиббса Такая зависимость может быть построена расчетным путем для различных классов задач и использована в дальнейшем, что и было сделано для плоской задачи теплопроводности. Предложенный метод обладает простотой в программной реализации, что важно при разработке универсальных программ. При этом метод позволяет полностью устранить эффект Гиббса вблизи особой точки и повысить точность на остальных участках границы, что продемонстрировано в работе на примере решения тестовой задачи

В разделе делается вывод о том, что применение всех предложенных и реализованных автором алгоритмов оптимизации и алгоритма метода игнорирования 8 -окрестности позволяет существенно увеличить точность решений краевых задач методом ФКО

Второй раздел называется "Решение нестационарных задач теплопроводности методом фиктивных канонических областей" Нестационарное распределение температуры в твердом теле описывается дифференциальным уравнением, которое при отсутствии источников тепла имеет вид

у2Г--— = 0, (2.5)

а 8т

где г - время, а - коэффициент температуропроводности. При применении метода ФКО к краевым задачам для уравнения (2.5) необходимо иметь общие решения данного уравнения для набора канонических областей. В приложении диссертации приведены общие решения уравнения (2.5) для плоской нестационарной задачи теплопроводности в декартовой и цилиндрической системах координат (СК) Все решения получены автором методом разделения переменных Фурье. Из данных решений могут быть сформированы решения для таких канонических областей как круг, кольцо, круговая полость и слой

Кроме того, в диссертационной работе показана возможность применения метода ФКО для решения нестационарных задач теплопроводности с изменяющимися во времени границами, что продемонстрировано на решении модельной задачи.

В третьем разделе "Решение статических несвязанных задач линейной термоупругости методом фиктивных канонических областей" дана постановка статической несвязанной задачи

термоупругости- уравнение равновесия в перемещениях записывается следующим образом

ц&и + {Л + = Р + а(ЗЛ + 2/л) $гас1Г, (2.6)

где Т - температура, а - коэффициент температурного расширения Это уравнение отличается от векторного уравнения Ляме (1.7) дополнительным свободным членом, зависящим от температуры Таким образом, уравнения термоупругости даже при отсутствии массовых сил Г являются неоднородными. Общее решение однородного уравнения (2 6) совпадает с решением однородного уравнения Ляме Но для решения краевых задач термоупругости методом ФКО необходимо найти так же частное решение неоднородного уравнения

/лАи + (Л + //)егаёШу(/ = «(32 + 2//) ^аёТ. (2.7)

В общем случае это сделать нельзя Автором предложен следующий подход Если задача теплопроводности решена методом ФКО, то ее решение - температура имеет вид конечной суммы

(28)

И=1

Тогда частное решение (см. (13)) уравнения (2 7) можно представить также в виде суммы

£/«(*)= IX 4,(*), (2-9)

п=1

в которой функции Лп (Зг) находятся из уравнений

ц+ (Л + /^гаёсИуЛп=а(ЗЛ + 2/г) дгаё*и, (2 ю)

полученных в результате подстановки (2 8) и (2.9) в (2 7). Таким образом, можно решать несвязанные задачи термоупругости, используя распределения температур, полученные как решение методом ФКО соответствующих задач теплопроводности.

Для решения плоских и осесимметричных задач термоупругости

автором получены необходимые частные решения (х) уравнений

термоупругости, соответствующие общим решениям уравнений теплопроводности Для плоских задач (плосконапряженное (ПНС) и плоскодеформированное (ПДС) состояния) получены решения в декартовой и цилиндрической СК, для осесимметричных - в цилиндрической и сферической системах. Данные решения позволяют применять все базовые канонические области (кольцо, круг, бесконечный слой, цилиндр, сферу и т.д.) для решения задач

термоупругости Все решения заложены в базу ФКО разработанной программы REGIONS, реализован алгоритм решения задач термоупругости.

В работе приведен пример решения плоской задачи термоупругости для поперечного сечения ракетного твердотопливного двигателя Максимальная погрешность удовлетворения граничным условиям не превышает 0,01%

Последний раздел называется "Решение контактных статических задач линейной теории упругости методом фиктивных канонических областей". Дается постановка плоской контактной задачи теории упругости. Особенностью таких задач является то, что условия контакта не известны, и должны быть вычислены в процессе решения Автором предложен итерационный контактный алгоритм, адаптированный для метода ФКО Согласно алгоритму, сначала формируется бесконтактная часть разрешающей СЛАУ, то есть коэффициенты матрицы и вектора правой части, отвечающие за граничные условия вне области контакта На каждой итерации формируется контактная часть СЛАУ (отвечающая за граничные условия в области контакта), полная СЛАУ - путем суммирования контактной и бесконтактной частей; решается итоговая СЛАУ; рассчитываются контактные усилия. Итерационный процесс завершается, если разница усилий на последовательных итерациях станет меньше заданной величины Особенность разработанного алгоритма в том, что на каждой итерации необходимо рассматривать только условия на границах контакта, что позволяет существенно сократить время одной итерации. Применение алгоритма продемонстрировано при решении задачи о контакте диска и хвостовика лопатки в замковом соединении турбины

Третья глава называется "Применение метода ФКО". В первом разделе "Программа REGIONS" приводится описание и анализ применения разработанной автором программы REGIONS, основой которой является метод ФКО.

Программа REGIONS реализована на языке Delphi в системе визуального программирования Delphi 2006, обладает современным настраивающимся интерфейсом, использует графику OpenGL и несколько DLL, написанных автором на языке Fortran.

Программа может применяться для решения девяти типов краевых задач- плоская стационарная задача теплопроводности, плоская статическая задача теории упругости и термоупругости (ПНС и ПДС), осесимметричная стационарная задача теплопроводности,

осесимметричная статическая задача теории упругости и термоупругости, плоская нестационарная задача теплопроводности. Для всех типов анализа существует несколько базовых типов ФКО На их основе пользователь может создавать собственные типы ФКО.

Геометрия области краевой задачи создается с помощью разработанного автором графического редактора На границе области могут быть заданы любые граничные условия, рассмотренные в главе 1 Разработанный автором транслятор формул позволяет задавать граничные условия в виде произвольной функции В качестве начальных условий для нестационарных задач может быть использовано уже полученное решение стационарной или нестационарной задачи Предусмотрена возможность задания весовых коэффициентов граничных условий пользователем на любой части границы (по умолчанию они заданы единичными)

Для решения СЛАУ программа предлагает семь различных процедур три реализованы автором на языке Delphi, четыре импортированы из математической библиотеки IMSL в виде DLL

В программе предусмотрена возможность вычисления точности решений, реализованы предложенные алгоритмы оптимизации решений, существует внутренний язык программирования Встроенные дополнительные алгоритмы математического анализа (аппроксимация, интерполяция, вычисление определенных интегралов и т д) позволяют проводить промежуточные вычисления и дополнительную обработку результатов непосредственно в среде программы, не прибегая к использованию дополнительного программного обеспечения

Далее, в этом же разделе диссертации, проводится сравнение программы REGIONS и программы ANSYS, основанной на методе конечных элементов Сравнение проводится на классах задач, для которых предназначена программа REGIONS. Решены три задачи:

- задача Ляме, имеющая точное аналитическое решение,

- задача о стационарном распределении температуры в поперечном сечении твердотопливного двигателя;

- плоская задача теории упругости о растяжении пластины с круглым боковым вырезом (концентратором напряжений)

В таблице 3.1 приведены результаты решений задачи о растяжении пластины с круглым боковьм вырезом. Как видно из приведенной таблицы, методом ФКО задачу удалось решить с погрешностью 0,02% за 20 сек Максимальная точность решения этой задачи 0,3 % с помощью ANSYS была достигнута за 119 секунд.

Таким образом, метод ФКО позволил достичь значительно более высокой точности решения краевой задачи за меньшее время Аналогичные результаты были получены для других тестовых задач.

Таблица 3 1. Результаты решений задачи о растяжении пластины с круглым боковым вырезом

Программа REGIONS, метод ФКО

Число слагаемых Время решения, сек Коэффициент концентрации Погрешность, %

600 20 3,0514 0,02

Программа ANSYS, метод КЭ

Число степеней свободы Время решения, сек Коэффициент концентрации Погрешность, %

936 1 2,8859 5,42

8350 2 3,0802 0,94

23876 6 3,0481 0,11

46172 13 3,0264 0,82

69616 30 3,0179 1,10

100568 61 3,0367 0,48

139798 119 3,0424 0,30

Во втором разделе "Применение внутреннего языка программирования программы REGIONS для исследования НДС плашки" проведено исследование напряженно-деформированного состояния плашки для изготовления детали "шпонка" Целью исследования является нахождение зависимости максимального главного напряжения от геометрических параметров и параметров нагружения Для этого написана программа на внутреннем языке программирования, которая автоматически изменяет геометрию и нагрузки и запускает процедуру решения краевых задач для каждого набора параметров. По проведенной таким образом серии расчетов построена номограмма зависимости первого главного напряжения от параметров геометрической формы и нагрузки. Данная номограмма была использована при проектировании инструмента для изготовления детали "шпонка", что подтверждено актом.

В третьем разделе " Задача определения рациональной формы отверстия" метод ФКО применен для определения рациональной формы отверстия в диске турбины При проектировании газотурбинного двигателя в промежуточном диске турбины высокого

давления были сделаны круглые отверстия для подвода охлаждающего воздуха. В результате вблизи отверстий возникла недопустимо высокая концентрация напряжений Проблема состояла в том, чтобы определить параметр овальности отверстия, который бы снизил коэффициент концентрации до приемлемого уровня При этом площадь отверстия должна оставаться одинаковой для сохранения потока охлаждающего воздуха Для решения этой проблемы была проведена серия расчетов, состоящих в многократном решении модельной краевой задачи о концентраторе напряжений вблизи овального отверстия. Для автоматизации расчетов применялась программа на внутреннем языке программы REGIONS В результате получено необходимое значение параметра овальности Результаты решения были использованы при проектировании турбины, что подтверждено актом использования

В разделе "Моделирование процесса получения искусственно-керамических покрытий и определение рациональной формы электрода" построена математическая модель процесса получения искусственно-керамического покрытия цилиндра двигателя внутреннего сгорания. Для исследования зависимости характеристик покрытия и получения рациональной геометрической формы электрода, основываясь на данной модели, был решен ряд задач о распределении потенциала электромагнитного поля Для автоматизации расчетов использовалась программа на внутреннем языке REGIONS Результаты компьютерного моделирования были обобщены в виде математической формулы, отражающей зависимость производительности процесса искусственно-керамического покрытия от параметров геометрии. Кроме того, рассчитаны геометрические параметры рациональной геометрии реакционной зоны, выявлена возможная проблемная область, то есть место, где покрытие может быть неравномерным. На основе расчетов предложена геометрическая форма реакционной зоны, обеспечивающая более высокое качество искусственно-керамического покрытия.

В последнем разделе "Применение метода ФКО для верификации конечноэлементного расчета" программа REGIONS применена для оценки точности решения краевой задачи, полученного методом конечных элементов (МКЭ)

При проектировании рессоры автомобиля возникла необходимость определения максимальных перемещений при ее нагружении Данная задача решалась двумя независимыми расчетчиками методом конечных элементов в программе ANSYS. Однако, полученные результаты разошлись между собой на значительную величину (-6,6%).

С помощью программы REGIONS было получено аналитическое решение данной задачи с точностью удовлетворения граничным

условиям 0,01% По результатам этого решения была построена новая конечноэлементная модель, для которой получаемые значения полностью согласуются с аналитическим решением Впоследствии верифицированная конечноэлементная модель использовалась при решении задачи нагружения рессоры в нелинейной постановке.

Заключение

В ходе работы получены следующие основные результаты

1 Метод ФКО распространен новые классы краевых задач - задач термоупругости, нестационарных задач теплопроводности, контактных задач

2 Для повышения универсальности и точности метода ФКО предложены и реализованы новые алгоритмы и методы:

- алгоритм оптимизации расположения ФКО

- алгоритм оптимизации базисных разложений с помощью исключения лишних слагаемых

- алгоритм оптимизации весовых коэффициентов граничных условий.

- метод игнорирования £- окрестности, для повышения точности решений в задачах с разрывными граничными условиями.

3. Создана компьютерная программа REGIONS, предназначенная для решения методом ФКО плоских и осесимметричных стационарных задач теплопроводности, плоских и осесимметричных статических задач теории упругости и термоупругости, плоских нестационарных задач теплопроводности Все предложенные в диссертации алгоритмы реализованы в программе REGIONS

4. С помощью программы REGIONS решен ряд практических

задач.

- расчет НДС инструмента (плашки) для изготовления детали "шпонка";

- задача определения рациональной формы отверстия в ободе диска газотурбинного двигателя,

- задача моделирования процесса получения искусственно-керамических покрытий и определения рациональной формы электрода,

- задача верификации конечноэлементного расчета

Программа REGIONS применяется в учебном процессе в вузах г. Перми

В приложениях к диссертации приводятся

- уравнения стационарной теплопроводности для плоских задач - в декартовой и цилиндрической СК, для осесимметричных - в цилиндрической и сферической системах, а также их общие решения,

- уравнения теории упругости (уравнения равновесия, физические и геометрический соотношения) в декартовой и цилиндрической СК для ПНС и ПДС, в цилиндрической и сферической системах для осесимметричного случая, а также их общие решения и частные решения для некоторых видов массовых сил (сил тяжести и центробежных сил),

- уравнения термоупругости: для ПНС и ПДС - в декартовой и цилиндрической СК, для осесимметричных задач - в цилиндрической и сферической СК, их частные решения, соответствующие общим решениям задач теплопроводности, полученные автором,

- уравнения нестационарной теплопроводности для плоских задач в декартовой и цилиндрической СК и их общие решения, полученные автором,

- геометрическая интерпретация приведенных общих решений

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1 Гладкий СЛ. О возможностях метода фиктивных канонических областей для решения задач теории упругости / СЛ. Гладкий, Н.И. Симакнна, Л H Ясницкий И Вестник ПГТУ Динамика и прочность машин - Пермь : Перм. гос. техн. ун-т, 2000 - № 1. -С 114-122.

2. Гладкий С Л. Алгоритмы оптимизации базисных разложений в методе фиктивных канонических областей / С. Л. Гладкий, Л H Ясницкий // Вестник ПГТУ. Динамика и прочность машин -Пермь Перм. гос. техн ун-т, 2001 -№3.-С 131-141

3. Гладкий СЛ. Решение задач линейной термоупругости методом фиктивных канонических областей / С.Л Гладкий, Л H Ясницкий // Вестник ПГТУ. Динамика и прочность машин. -Пермь : Перм гос. техн. ун-т, 2003. - № 4 - С. 79-90.

4. Гладкий СЛ. Компьютерное моделирование и оптимизация процесса получения искусственно-керамических покрытий / СЛ. Гладкий, H А. Степанов, Л.Н Ясницкий // Вестник ПГТУ Динамика и прочность машин. - Пермь • Перм. гос. техн ун-т,

2005. - № 5 -С. 142-149.

5 Гладкий СЛ. Об оценке погрешности метода фиктивных канонических областей / С Л Гладкий, Л.Н. Ясницкий // Известия Академии наук. Механика твердого тела - Москва, 2002 -№6 -С.69-75.

6 Гладкий С.Л Интеллектуальное компьютерное математическое моделирование / СЛ. Гладкий, H.A. Степанов, Л.Н Ясницкий. -Пермь: из-во Пермского государственного университета, 2005. -158 с

7. Гладкий С.Л Верификация численных расчетов методом фиктивных канонических областей / СЛ. Гладкий, Н.Ф Таланцев, Л Н. Ясницкий // Вестник Пермского университета Математика, механика, информатика. - Пермь • из-во Пермского государственного университета, 2006 -№4 - С 18-27.

8 Гладкий С Л Интеллектуальное моделирование физических проблем / СЛ. Гладкий, H.A. Степанов, Л.Н Ясницкий. -Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»,

2006.-200 с

Демонстрационная версия программы REGIONS помещена на сайте http //www pspu ru/regions/

Подписано в печать 31.05 2007 Формат 60x84/16 Уел печ л. 1,4 печ л Тираж 100 экз Заказ № 308

Отпечатано на ризографе в ООО «Полиграф-комплекс», 614990, г. Пермь, ул. Генкеля, 4

Введение

1 Метод фиктивных канонических областей

1.1 Теоретические основы метода фиктивных канонических областей

1.2 Некоторые типы краевых задач, решаемые методом фиктивных канонических областей

1.2.1 Стационарная задача теплопроводности

1.2.2 Статическая задача линейной теории упругости

2 Развитие метода фиктивных канонических областей

2.1 Оптимизация решений в методе фиктивных канонических областей

2.1.1 Оптимизация расположения фиктивных канонических областей

2.1.1.1 Демонстрация на численном примере

2.1.2 Оптимизация базисных разложений

2.1.2.1 Демонстрация на численном примере

2.1.3 Оптимизация весовых коэффициентов

2.1.3.1 Демонстрация на численном примере

2.1.4 Оптимизация решений с разрывными граничными условиями: метод игнорирования е -окрестности

2.2 Решение нестационарных задач теплопроводности методом фиктивных канонических областей

2.3 Решение статических несвязанных задач линейной термоупругости методом фиктивных канонических областей

2.4 Решение контактных статических задач линейной теории упругости методом фиктивных канонических областей

2.4.1 Постановка задачи и контактный алгоритм

2.4.2 Задача о замковом соединении лопатки и диска

3 Применение метода фиктивных канонических областей

3.1 Программа REGIONS

3.1.1 Сравнение программы REGIONS с программой, реализующей численный метод

3.2 Применение внутреннего языка программирования программы REGIONS для исследования НДС плашки

3.3 Задача определения рациональной формы отверстия

3.4 Моделирование процесса получения искусственно-керамических покрытий и определение рациональной формы электрода

3.4.1 Процесс ИК-покрытия и его математическая модель

3.4.2 Первый вариант процесса ИК-покрытия

3.4.3 Второй вариант процесса ИК-покрытия

3.4.4 Третий вариант процесса ИК-покрытия

3.5 Применение метода фиктивных канонических областей для верификации конечноэлементного расчета

Одним из наиболее важных направлений развития математической физики является разработка методов решения краевых задач. С решением краевых задач связано большинство проблем прочности, надежности и долговечности объектов ответственного назначения (военных и гражданских сооружений, транспортных средств, объектов энергетики и т.д.), поэтому, особую актуальность это направление приобрело в XXI веке.

В истории развития методов решения краевых задач математической физики можно проследить два периода. Первый исторический период, продлившийся примерно до середины XX в., начался с основополагающих работ Ж.Л. Д'Аламбера и Ж.Б.Ж. Фурье, выполненных в XVIII - начале XIX вв. С помощью метода разделения переменных им удалось получить ряд решений дифференциальных уравнений в частных производных для простейших областей, называемых каноническими - круга, квадрата, цилиндра, шара и пр. Дальнейшие усилия математиков в этой области на протяжении последующих полутора веков в основном сводились к развитию метода разделения переменных и изобретению других приемов, позволяющих получить решение той или иной краевой задачи для других дифференциальных уравнений, для других областей с другими краевыми условиями. Каждое такое решение было своего рода событием в математическом мире, и методы математического моделирования были доступны узкому кругу математиков-профессионалов, деятельность которых по существу представляла собой творческий процесс.

Согласно методу разделения переменных Фурье, искомая функция нескольких переменных и граничные условия раскладывается в бесконечные ряды на поверхности области краевой задачи. Коэффициенты ряда Фурье для искомой функции находятся из условия равенства соответствующих слагаемых двух рядов. Таким образом, решение краевой задачи получается в виде бесконечного ряда. Данное решение является точным аналитическим решением краевой задачи. Однако, метод Фурье (в своей оригинальной формулировке) применим лишь для линейных краевых задач (поскольку решение ищется в виде суммы) и для областей канонической формы.

Дальнейшее развитие метода Фурье связано с его применением к телам более сложных конфигураций за счет введения криволинейных систем координат. Здесь следует упомянуть основополагающие работы П.А.Шифа [165], П.Ф.Папковича [98,99], А.И.Лурье [82, 83], В.К.Прокопова [103,104], В.Т.Гринченко [45], Ю.Н.Подильчука [105] и др.

Другое развитие метода Фурье - применение его к более сложным дифференциальным уравнениям за счет представления их общих решений через гармонические и бигармонические функции. Такие представления были предложены В.Кельвином и П.Г.Тайтом [164], М.Дж.Буссинеском [162], Б.Г.Галеркиным [22], П.Ф.Папковичем [98,99], Г.Нейбером [94], В.И.Блохом [10, И], Ю.А.Крутковым [73], К.В.Соляник-Красса [121,122], М.Г.Слободянским [118,119], В.М.Деевым [49,50] и др.

Следующая идея - это идея использования известных решений в простых областях для получения решений в областях более сложных конфигураций. Реализация этой идеи происходила в двух направлениях. Первое - это преобразование координат, не нарушающее форму дифференциального уравнения краевой задачи. Такое ненарушение обеспечивается выполнением условий Коши-Римана, что реализуется, например, конформными отображениями, развитыми и примененными в работах Г.В.Колосова [65], Н.И.Мусхелишвили [91,92], М.А.Лаврентьева и Б.В.Шабата [77], Г.Н.Савина [115], Д.И.Шермана [139], С.Г.Михлина [88,90], А.В.Угодчикова, Л.И.Волковыского [19, 130], Е.А.Колчановой [66, 67] и др. Второе направление связано с расширением заданной расчетной области, аналитическим продолжением решения за границу, возмущением формы границы, погружением заданной области в область более простой геометрической формы. Подобные идеи прослеживаются в работах Н.И.Безухова и О.В.Лужина [7], Б.Г.Коренева [68], А.Н.Гузя и Ю.Н.Немиша [46], И.Н.Шардакова, И.Н.Трояновского, И.Н.Труфанова, В.П.Матвеенко [137, 138], Л.Н.Ясницкого [147] и др.

По своей физической сути к этим методам близок метод источников, встречающийся в работах С.П.Тимошенко [127], Р.Миндлина и Д.Чена [87], примененный Х.А.Рахматулиным [106], Х.Валиджановым [17], и всесторонне исследованный А.А.Роговым [108-110]. Согласно этому методу заданное тело рассматривается как часть бесконечного пространства, в точках которого за пределами заданного тела помещаются точечные источники (сосредоточенные силы), интенсивность которых подбирается из условия выполнения граничных условий задачи. Следует заметить, что идея применения фундаментальных решений (описывающих воздействия источников) для нахождения решения краевых задач встречается в классических работах по теории потенциала Ф.Фредгольма, Д.Гильберта, Ж.Пуанкаре, Н.И.Мусхелишвили, Ф.Трикоми и др. С этой точки зрения метод источников можно считать одним из методов теории потенциала. Приближение источников к границам заданного тела приводит к сингулярности разрешающих интегральных уравнений. Методы решения краевых задач, основанные на решении сингулярных интегральных уравнений, развиваются в работах Н.Д. Купрадзе [76], М.А. Алексидзе [1,2], П.И. Перлина, В.З.Партона [100,101] и др. Впоследствии за этой группой методов закрепился термин - методы граничных элементов, которые в настоящее время интенсивно развиваются и применяются саутгемптонской школой механиков, возглавляемой К.Бреббия [16,161, 164].

Приближенные аналитические методы решения краевых можно разделить на три группы: методы типа Треффца, Ритца и Рейснера [24, 52,129]. Данные методы имеют много общего. Согласно этим методам искомое решение представляется в виде суперпозиции набора базисных функций, коэффициенты при которых ищутся из некоторого условия. В методах типа Треффца каждая из базисных функций удовлетворяет дифференциальному уравнению краевой задачи, а коэффициенты ищутся из условия приближенного удовлетворения граничным условиям. Для методов типа Ритца, наоборот, базисные функции должны тождественно удовлетворять краевым условиям, а не дифференциальному уравнению. В методе Рейснера на базисные функции не накладывается никаких ограничений и для отыскания коэффициентов формируется функционал Рейснера.

Все эти методы в общем случае являются приближенными, и точность решения зависит от выбора базисных функций (то есть от таланта и опыта исследователя, применяющего данный метод). В некоторых случаях удается подобрать такие базисные функции, что дифференциальное уравнение и граничные условия будут удовлетворены тождественно, тогда данные методы приводят к точному решению краевой задачи. При дальнейшем анализе этих методов решения краевых задач, исследователи пришли к выводу, что все они являются частными случаями метода взвешенных невязок (MBH) [9,16] и отличаются лишь выбором системы базисных функций. Сложность выбора таких функций для решения конкретной задачи с приемлемой точностью является основным недостатком этих аналитических методов. Правила выбора не являются формализуемыми, что не дает возможности применять методы широкому кругу исследователей.

С точки зрения оценки точности полученных результатов метод Треффца имеет преимущество, поскольку приводит к аналитическому решению, которое тождественно удовлетворяет дифференциальному уравнению краевой задачи. Поэтому он допускает простую и надежную оценку точности решения краевой задачи по невязкам удовлетворения граничным условиям [36,147].

Второй этап развития методов решения краевых задач связан с появлением в начале 1950-х гг. XX века электронно-вычислительных машин. На свет появилась новая область математики, называемая дискретной. Оказалось, что процесс интегрирования дифференциальных уравнений можно свести к множеству элементарных арифметических операций и выполнение этих операций поручить компьютеру. На смену классическим аналитическим методам пришли численные алгоритмы. Появление персональных компьютеров (ПК) обусловило широкое распространение универсальных пакетов прикладных программ, оснащенных удобными сервисными средствами. Таким образом, математическое компьютерное моделирование стало общедоступным.

Наибольшее распространение в области решения краевых задач получили так называемые сеточные численные методы. Их общей чертой является то, что задача нахождения искомой функции из некоторого функционального пространства, определенной в непрерывной области изменения аргумента, заменяется задачей отыскания сеточной функции из другого пространства, определенной на дискретном множестве значений аргумента. Уравнения краевой задачи также заменяются их дискретными аналогами в функциональном пространстве сеточной функции. Такая замена позволяет свести исходную задачу с бесконечным числом степеней свободы к задаче с конечным числом неизвестных. Последняя, обычно, дает систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), относительно неизвестных значений сеточной функции. Отличаются сеточные методы выбором вида сеточных функций и способами построения разрешающих сеточных уравнений. Данные различия обуславливают область применения, преимущества и недостатки соответствующего метода.

Первым сеточным методом решения краевых задач, получившим широкое распространение, является метод конечных разностей (МКР) [114,116,126,128]. В данном методе область непрерывного изменения аргумента заменяется конечным множеством узлов, а искомая функция - сеточной функцией. Краевая задача обычно рассматривается в дифференциальной постановке. Дифференциальный оператор заменяется конечно-разностным аналогом. Вид конечно-разностного оператора зависит от выбора аппроксимации производных их разностными аналогами. Краевые условия также заменяются их разностными аналогами, в итоге имеем систему алгебраических уравнений относительно значений сеточной функции в узлах. МКР получил широкое распространение в решении краевых задач для дифференциальных уравнений эллиптического, параболического и гиперболического типов (стационарных и нестационарных задач теплопроводности, задач о колебаниях и т.д.). Для различных задач разработаны разные схемы, обладающие своими преимуществами. В общем случае их можно разделить на явные и неявные. Неявные схемы почти всегда являются безусловно устойчивыми, но приводят к алгебраическим системам высоких порядков. Явные схемы, обычно, условно устойчивы, что требует решения нестационарной задачи с малым шагом по времени. Несмотря на достаточную универсальность, МКР имеет ряд недостатков [116, 128]. Например, ■ схемы МКР достаточно сложно реализуемы для трехмерных задач. Для областей сложной конфигурации обычно требуется неравномерная сетка со сгущениями, которая также усложняет реализацию разностной схемы. Для задач с неоднородными свойствами для обеспечения устойчивости необходимо применять специальные разностные схемы.

Еще одним численным методом является метод граничных элементов (МГЭ) [9,16, 161, 163]. Он основывается на использовании фундаментальных решений, то есть решений дифференциальных уравнений задачи для единичного точечного источника в бесконечном (или полубесконечном) пространстве. Для краевой задачи выводятся граничные интегральные уравнения (ГИУ), связывающие значения искомой функции внутри области с заданными значениями функции и/или ее производных на границе.

Существуют различные способы получения ГИУ. Обычно прибегают к использованию какого-либо вариационного принципа. Идея использования интегральных уравнений в аналитической форме была предложена еще до появления МГЭ Фредгольмом и развита Купрадзе [1, 2, 76, 100, 101]. Однако получаемые ГИУ могут быть решены в аналитической форме только в редких случаях, для областей простой формы. Идея МГЭ, как численного метода, заключается в дискретном представлении ГИУ, что приводит в итоге к системе линейных уравнений относительно неизвестных значений в конечном множестве узлов границы. С этой точки зрения МГЭ тоже является сеточным методом. МГЭ (как и все сеточные методы) может рассматриваться как частный случай МВН [9, 16], когда в качестве аппроксимирующих функций используются фундаментальные решения. Это дает следующее преимущество: полученное решение удовлетворяет дифференциальному уравнению внутри области (хотя и не удовлетворяет на границе). Характерным для МГЭ является уменьшение размерности задачи на единицу т.к. в процессе формирования разрешающей системы линейных алгебраических уравнений рассматривается только граница. Также МГЭ эффективен для задач с бесконечными областями, т.к. условия на бесконечности могут быть удовлетворены "естественным образом". Здесь следует отметить ограничение на класс задач, где эти преимущества сохраняются. Это линейные задачи с однородными по области свойствами материала. Для областей с неоднородными свойствами и нелинейных задач получить фундаментальное решение не удается, в этом случае используют решение соответствующее однородным свойствам и линейной задаче соответственно. Однако, дифференциальное уравнение уже не удовлетворяется тождественно. К тому же требуется дискретизация не только границы, но и самой области. При наличии высоких нелинейностей применение метода теряет свои преимущества.

Пожалуй, самым широко используемым сеточным методом является метод конечных элементов (МКЭ) [23,58,97,113,136]. Метод основан на разбиении исходной области на множество ячеек (конечных элементов). В каждом элементе вводится аппроксимирующая функция, выраженная через значения искомой функции в узлах элемента с помощью функций формы. Обычно в качестве последних выступают полиномы. На основе какого-либо общего закона (обычно в виде вариационного принципа) формируется разрешающая СЛАУ относительно значений функции в узлах конечноэлементной сетки. Разбиение области на конечные элементы позволяет эффективно применять метод для задач с высокой нелинейностью и неоднородностью свойств, поскольку можно рассматривать материал однородным в пределах каждого элемента. К недостаткам метода можно отнести высокую размерность разрешающих СЛАУ (по сравнению, например, с МГЭ). Обусловленность разрешающих систем для МКЭ ухудшается с увеличением числа конечных элементов (уменьшением размера элемента), что может привести к большой погрешности в решении при малых погрешностях исходных данных.

Некоторые исследователи в настоящее время говорят о наступлении нового периода в развитии методов решения краевых задач. Третий период связывают с очередной компьютерной революцией, обусловленной успехами в сфере искусственного интеллекта. Интеллектуализация компьютеров позволяет надеяться, что аналитические методы решения краевых задач вновь займут достойную позицию в данной области математического компьютерного моделирования.

Как видно из приведенного краткого обзора методов решения краевых задач, к настоящему времени разработан значительный математический аппарат, позволяющий в настоящее время решать широкий круг проблем. Однако, не существует одного универсального метода, который обладал бы преимуществами во всех ситуациях. Каждый метод имеет свою область применения, в которой он является более эффективным. Поэтому разработка новых методов и усовершенствование существующих остается актуальной задачей.

В настоящее время одним из наиболее важных критериев эффективности методов решения краевых задач, определяющих их практическую ценность, является возможность точной оценки погрешности получаемых решений. В работе рассматривается один из аналитических методов решения краевых задач - метод фиктивных канонических областей (ФКО). Метод ФКО является, по сути, развитием метода Треффца. Он позволяет надежно оценивать точность полученных решений, и в то же время решать краевые задачи для областей сложной формы.

Метод ФКО был предложен в 1973 году Л. Н. Ясницким [147] как геометрическая интерпретация решения задач методом Треффца. Дело в том, что метод Треффца (предложенный в 1926 г. [129]), несмотря на отмеченное уникальное свойство, долгое время оставался не пригодным для широкого практического применения. Нерешенной была проблема подбора базисных функций, удовлетворяющих решаемым дифференциальным уравнениям и обеспечивающих сходимость метода. Только в редких случаях путем увеличения числа функций удавалось уменьшить до приемлемых значений погрешность удовлетворения краевым условиям и получить более-менее приемлемые решения краевых задач. Успех применения метода Треффца зависел от опыта и интуиции математика, а порой и просто от везения. Геометрическая интерпретация Л.Н.Ясницкого [147] позволила разобраться в проблемах сходимости и корректности, построить методику выбора базисных функций, впоследствии названную методом ФКО. В работе [147] помимо геометрической интерпретации была дана первая формулировка теоремы сходимости (продолжимости) и ее первое доказательство в случае плоских краевых задач для уравнений Лапласа и Ламе. Здесь же предложен способ оценки погрешности на основе принципа максимума.

В 1973 г. методика выбора базисных функций к методу Треффца вместе с компьютерными программами были переданы сотруднику Института механики сплошных сред УрО РАН В.А.Елтышеву. В его руках метод ФКО получил дальнейшее развитие и эффективное применение для расчета напряженно-деформированного состояния круговых цилиндров, скрепленных с оболочками [13-15]. В 1985 г. А.Ю.Большаковым и В.А.Елтышевым [14] была сформулирована и доказана теорема о сходимости метода ФКО в случае, если фиктивная и заданная области топологически эквивалентны. Однако основным критерием выбора фиктивных канонических областей оставалась теорема продолжимости [147], исчерпывающее доказательство которой для общего объемного случая было выполнено в 1988 г. С.Я.Гусманом [47].

Однако, не смотря на имеющиеся теоретические и практические результаты и преимущества, метод ФКО не является широко распространенным. Причиной этого, по мнению автора диссертации, является недостаточная теоретическая развитость метода ФКО и отсутствие его хорошей программной реализации. Целью настоящей работы является развитие метода ФКО, создание реализующей его компьютерной программы и ее применение для решения практических задач, а именно:

- разработка новых алгоритмов, позволяющих повысить точность решений, получаемых методом ФКО;

- расширение возможностей и применение метода ФКО для решения новых классов краевых задач - задач термоупругости и нестационарных задач теплопроводности;

- создание библиотеки ФКО для плоских и осесимметричных задач теплопроводности, теории упругости и термоупругости;

- разработка программы, реализующей метод ФКО, с использованием современных технологий в области программирования, в том числе, элементов искусственного интеллекта;

- решение практических задач методом ФКО.

Заключение

В диссертационной работе выполнен краткий исторический обзор развития методов решения краевых задач, из которого следует:

1. Существует множество методов решения краевых задач, которые имеют свои преимущества и недостатки, обуславливающие область применения каждого из них.

2. Универсального метода, оптимального во всех случаях не существует.

3. Разработка новых методов и усовершенствование существующих остается актуальной задачей.

4. По мнению автора диссертации, одним из главных критериев выбора метода решения в настоящее время является надежность получаемых результатов.

5. Метод ФКО, с этой точки зрения, является перспективным, поскольку позволяет сравнительно легко выполнять надежные оценки точности решений, и в то же время решать задачи с достаточно сложной геометрией.

Метод ФКО распространен на решение новых классов краевых задач - задач термоупругости, нестационарных задач теплопроводности, контактных задач:

1. Для решения задач термоупругости автором получены частные решения уравнений термоупругости, соответствующие общим решениям задач теплопроводности. Для плоских задач (ПНС и ПДС) получены частные решения в декартовой и цилиндрической системах координат, для осесимметричных - в цилиндрической и сферической системах. Все эти решения также заложены в программу, реализован алгоритм решения задач термоупругости на основе решений задач теплопроводности.

2. Для решения нестационарных плоских задач теплопроводности автором получены общие решения соответствующих дифференциальных уравнений в декартовой и цилиндрической системах координат. Показана возможность решения методом ФКО нестационарных задач с изменяющимися границами. Эта возможность также реализована в программе REGIONS и продемонстрирована на примере решения модельной задачи.

3. Показана возможность решения методом ФКО контактных задач теории упругости. Разработан итерационный контактный алгоритм, предназначенный для метода ФКО. Особенностью алгоритма является то, что на каждой итерации необходимо формировать матрицу разрешающих уравнений, отвечающую только за условия на контактной границе, что позволяет существенно экономить время вычислений. Приведен пример решения контактной задачи.

Для повышения универсальности и точности метода ФКО предложены и реализованы новые алгоритмы и методы:

1. Алгоритм оптимизации расположения ФКО выполняет размещение выбранных фиктивных областей таким образом, чтобы невязка граничных условий (значение функционала) была минимальной.

2. Для исключения из решения ненужных слагаемых, наличие которых может давать дополнительную погрешность, предложен алгоритм, который основан на анализе значений граничных функционалов при поочередном исключении слагаемых из полученного решения. Как показывает пример, это позволяет существенно повысить точность решения при одинаковом числе слагаемых.

3. Алгоритм оптимизации весовых коэффициентов для МНК, обеспечивает равномерное распределение невязок граничных условий по границе области. Часто это бывает необходимо сделать при наличии различных видов граничных условий, например, когда в задаче теории упругости заданы условия в перемещениях и напряжениях. Реализована возможность оптимизации, как по максимальным значениям невязок, так и по среднеинтегральным. Работа алгоритма продемонстрирована на примере.

4. В задачах с разрывными граничными условиями почти всегда возникают проблемы вблизи точек разрыва. Автором предложен метод игнорирования s -окрестности, который позволяет существенно улучшить качество решения в таких точках, не снижая точность на остальных участках границы. Проведен ряд расчетов для определения оптимальных значений е -окрестности в плоских задачах теплопроводности.

Идеи алгоритмов исключения слагаемых и оптимизации весовых коэффициентов заимствованы из сферы искусственного интеллекта. Применение всех алгоритмов и метода игнорирования е -окрестности позволяет существенно повысить точность решений, получаемых методом ФКО.

Все предложенные в диссертации алгоритмы реализованы в программе REGIONS, предназначенной для решения краевых задач методом ФКО. Программа REGIONS применена для решения ряда практических задач:

1. Расчет НДС инструмента (плашки) для изготовления детали "шпонка";

2. Задача определения рациональной формы отверстия в ободе диска газотурбинного двигателя;

3. Задача моделирования процесса получения искусственно-керамических покрытий и определения рациональной формы электрода;

4. Задача верификации конечноэлементного расчета.

Кроме того, программа REGIONS применяется в учебном процессе в вузах г. Перми.

1. Алексидзе М.А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям / М.А. Алексидзе. -М.: Наука, 1978. 315 с.

2. Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач / М.А. Алексидзе. М.: Наука, 1991. - 351 с.

3. Араманович А.Г. Уравнения математической физики / А.Г. Араманович,

4. B.И. Левин. М.: Наука, 1969. - 287 с.

5. Арсенин В.Я. Математическая физика / В.Я. Арсенин. М. : Наука, 1966. -367 с.

6. Бартеньев О.В. Фортран для профессионалов. Математическая библиотека IMSL / О.В. Бартеньев. М.: Диалог МИФИ, 2000. - 448 с.

7. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. -М.: Наука, 1987.-630 с.

8. Безухов Н.И. Приложение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач / Н.И. Безухов, О.В.Лужин. М. : Высшая школа, 1974. -200 с.

9. Бейтмен Г. Таблицы интегральных преобразований. Т. 2 : Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. -М.: Наука, 1970.-328 с.

10. Бенерджи П. Методы граничных элементов в прикладных науках / П. Бенерджи, Р. Баттерфилд. М.: Мир, 1984. - 496 с.

11. Блох В.И. Функции напряжений в теории упругости / В.И. Блох // Прикл. математика и механика. 1950. - Т. 14, № 4. - С. 415-422.

12. Блох В.И. Об использовании плоскостных гармонических функций в решениях трехмерных задач теории упругости изотропного тела / В.И Блох // Известия вузов. Математика. 1960. - № 2. - С. 19-29.

13. Боли Б. Теория температурных напряжений / Б. Боли, Дж. Уэйнер. М.: Мир, 1964.-517 с.

14. П.Большаков А. Ю. Напряженно-деформированное состояние трехмерного цилиндра / А.Ю. Большаков, В.А. Елтышев // Напряженно-деформированное состояние и прочность конструкций. Свердловск : Изд. УНЦ АН СССР, 1982.1. C. 3-7.

15. М.Большаков А.Ю. Об общности одного решения теории упругости / А.Ю. Большаков // Краевые задачи упругих и неупругих систем. -Свердловск : Изд. УНЦ АН СССР, 1985. С. 73-75.

16. Большаков А.Ю. О решении пространственных задач теории упругости методом Фурье / А.Ю. Большаков, В.А. Елтышев // Статические и динамические задачи упругости и вязкоупругости. Свердловск : Изд. УНЦ АН СССР, 1983. -С.83-88.

17. Бреббия К. Методы граничных элементов / К. Бреббия, Ж. Теллес, Л. Вроубел. -М.: Мир, 1987.-525 с.

18. Валиджанов X. Решение первой краевой задачи теории упругости методом источников / X. Валиджанов // Известия АН УзССР. Сер. техн. наук. 1972. -№ 1. - С. 45-47.

19. Векуа И.Н. О полноте системы гармонических функций в пространстве / И.Н. Векуа // Доклады АН СССР. 1953. - Т. 90, № 4. - С. 495^98.

20. Волковысский Л.И. Сборник задач по теории функций комплексного переменного / Л.И. Волковысский, И.Г. Араманович, Г.Л. Лунц. М.: Физматгиз, 1975. - 150 с.

21. Ворович И.И. Функциональный анализ и его приложения в механике сплошной среды: учебное пособие / И.И. Ворович, Л.П. Лебедев. М. : Вузовская книга, 2000. - 320 с.

22. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ / Б.З. Вулих. М.: Наука, 1967. -416 с.

23. Галеркин Б.Г. К вопросу об исследовании напряжений и деформаций в упругом изотропном теле / Б.Г. Галеркин // Доклады АН СССР. Сер. А. 1930. - № 14. -С. 353-358.

24. Галлагер Р. Метод конечных элементов / Галлагер Р. М.: Мир, 1984. - 428 с.

25. Гершуни Г.З. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости / Г.З. Гершуни, Е.М. Жуховицкий. М.: Наука, 1972. - 392 с.

26. Гладкий С.Л. О возможностях метода фиктивных канонических областей для решения задач теории упругости / С.Л. Гладкий, Н.И. Симакина, Л.Н. Ясницкий // Вестник ПГТУ. Динамика и прочность машин. Пермь : Перм. гос. техн. ун-т, 2000. -№ 1.-С. 114-122.

27. Гладкий С.Л. Алгоритмы оптимизации базисных разложений в методе фиктивных канонических областей / С.Л. Гладкий, Л.Н. Ясницкий // Вестник ПГТУ. Динамика и прочность машин. Пермь : Перм. гос. техн. ун-т, 2001. -№3.-С. 131-141.

28. Гладкий С.Л. Решение задач линейной термоупругости методом фиктивных канонических областей / С.Л. Гладкий, Л.Н. Ясницкий // Вестник ПГТУ. Динамика и прочность машин. Пермь : Перм. гос. техн. ун-т, 2003. - № 4. -С. 79-90.

29. Гладкий С.Л. Аналитическая система решения краевых задач математической физики / С.Л. Гладкий, Л.Н. Ясницкий // Аэрокосмическая техника и высокие технологии: Всероссийская научно-техническая конференция. Пермь, 2002. -С. 81.

30. Гладкий С.Л. О проектировании изделий ответственного назначения / С.Л. Гладкий, Н.И. Симакина, Л.Н. Ясницкий // Аэрокосмическая техника и высокие технологии: Всероссийская научно-техническая конференция. Пермь, 2002.-С. 82.

31. Гладкий С.Л. Опыт тестирования системы ANSYS / С.Л. Гладкий, В.А. Ощепков, Л.Н. Ясницкий // Материалы XL международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Математика. Новосибирск, 2002. - С. 82-83.

32. Гладкий C.JI. Об оценке погрешности метода фиктивных канонических областей / C.JI. Гладкий, JI.H. Ясницкий // Известия Академии наук. Механика твердого тела. Москва, 2002. - № 6. - С. 69-75.

33. Гладкий C.JI. Процедура решения контактных задач методом фиктивных канонических областей / C.JI. Гладкий // Труды III Всероссийская конференции по теории упругости с международным участием. Ростов-на-Дону, Азов, 2003. -С. 102.

34. Гладкий C.JI. Аналитическое решение задач термоупругости методом фиктивных канонических областей / C.JI. Гладкий // Тезисы докладов 13-ой зимней школы по механике сплошных сред. Пермь, 2003. - с. 102.

35. Гладкий C.JI. Интеллектуальное компьютерное математическое моделирование / C.JT. Гладкий, H.A. Степанов, JT.H. Ясницкий. Пермь: из-во Пермского государственного университета, 2005. - 158 с.

36. Гладкий С.Л. Экспертная система для точного решения краевых задач механики / С.Л. Гладкий, Л.Н. Ясницкий // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Тезисы докладов. Нижний Новгород, 2006. - Т. 3. -С. 67.

37. Гладкий С.Л. Интеллектуальное моделирование физических проблем / С.Л. Гладкий, H.A. Степанов, Л.Н. Ясницкий. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2006. - 200 с.

38. Годунов С.К. Разностные схемы: введение в теорию / С.К Годунов. М. : Наука, 1977.-439 с.

39. Гринченко В.Т. Равновесие и установившиеся колебания упругих тел конечных размеров / B.T. Гринченко. Киев: Наук, думка, 1978. - 264 с.

40. Гузь А.Н., Немиш Ю.Н. Методы возмущений в пространственных задачах теории упругости / А.Н. Гузь, Ю.Н. Немиш. Киев: Вища школа, 1982. - 352 с.

41. Гюнтер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики / Н.М. Гюнтер. М. : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1953. - 416 с.

42. Деев В.М. О формах общего решения пространственной задачи теории упругости, выраженных при помощи гармонических функций / В.М. Деев // Прикл. математика и механика. 1959. - Т. 23. -№ 6. - С. 132-133.

43. Деев В.М. Однородные общие решения в статической задачи теории упругости / В.М. Деев, H.A. Нечепоренко // Украинский математический журнал. 1971. -Т. 23, № 6. - С. 44-56.

44. Дезин А. Общие вопросы теории граничных задач / А. Дезин. М. : Наука, 1980. -208 с.

45. Демидович Б.П. Численные методы анализа / Б.П. Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувалова. М. : Наука, 1967. - 368 с.

46. Дьяконов В.П. Математическая система Maple V / В.П. Дьяконов. М. : Солон, 1998.-400 с.

47. Елтышев В.А. Высокоточный алгоритм расчета напряженно-деформированного состояния твердотопливных зарядов сложной трехмерной конфигурации / В.А. Елтышев // Сборник научных трудов 12-ой НПИ ПВВКИУ PB. Пермь, 1995.-С. 22-31.

48. Елтышев В.А. Методика расчета составных анизотропных конструкций типа оболочка массивное тело сложной пространственной формы / В.А. Елтышев // Сборник трудов "Расчеты на прочность". - М. : Машиностроение, 1990. - С. 5365.

49. Елтышев В.А. Напряженно-деформированное состояние оболочечных конструкций с наполнителем / В.А. Елтышев. М. : Наука, 1981. - 167 с.

50. Елтышев В.А. Развитие вариационного метода Треффца применительно к решению пространственных задач теории упругости / В.А. Елтышев // Вестник ПГТУ. Динамика и прочность машин / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 2001. -№ 3. - С. 56-65.

51. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. М. : Мир, 1975.-541 с.

52. Зоммерфилд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики / А. Зоммерфилд. Москва : Наука, 1950. - 456 с.

53. Канторович JI.B. Функциональный анализ / JT.B. Канторович. М. : Наука, 1984. -752 с.

54. Карслоу Г. Теплопроводность твердых тел / Г. Карслоу Д. Егер. М. : Наука, 1964.-488 с.

55. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел / Э.М. Карташов. М. : Высшая скола, 2001. - 550 с.

56. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика / JI. Коллатц. -М. :Мир, 1969.-448 с.

57. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин. М. : Наука, 1976. - 543 с.

58. Колосов Г.В. Применение комплексных диаграмм и теории функций комплексного переменного к теории упругости / Г.В. Колосов. М., Л.: ОНТИ, 1939.-224 с.

59. Колчанова Е.А. Об одном методе решения пространственныой задачи теории упругости / Е.А. Колчанова. // Краевые задачи упругих и неупругих систем. -Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985. С. 52-64.

60. Коренев В.Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности, решаемые в бесселевых функциях / В.Г.Коренев. М. : Физматгиз, 1960. -458 с.

61. Корольков И.В. Метод решения краевых задач с границами сложной конфигурации / И.В. Корольков // Известия ВУЗов. Машиностроение. 1979. -№ 11.-С. 22-26.

62. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного анализа / Н.Е.Кочин. -М. .-Наука, 1965.-425 с.

63. Краснов M. OpenGL графика в проектах Delphi / М.Краснов. СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 352 с.

64. Краснов M.JI. Интегральные уравнения / M.JI. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. -М. : Наука, 1968. 192 с.

65. Крутков Ю.А. Тензор функций напряжений и общие решения в статике теории упругости / Ю.А. Крутков. M., JI. : Изд-во АН СССР, 1949. - 200 с.

66. Куликовский А.Г. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений / А.Г. Куликовский, Н.В. Погорелов, А.Ю. Семенов. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 608 с.

67. Культин Н.Б. Программирование на Object Pascal в Delphi 5 / Н.Б. Культин. -СПб.; БХВ-Петербург, 1999.-464 с.

68. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости / В.Д. Купрадзе. М. : ФИЗМАТЛИТ, 1963,- 472с.

69. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. М. : Гостехиздат, 1958. - 678 с.

70. Ландау Л.Д. Теория упругости / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. М. : Наука 1965. -204 с.

71. Левин В.И. Дифференциальные уравнения математической физики / В.И. Левин, Ю.И. Гросберг.-М„ Л. :ГТТИ, 1951.-576 с.

72. Леонтьев В.Л. Ортогональные финитные функции и численные методы / Леонтьев В.Л. Ульяновск: УлГУ, 2003. - 178 с.

73. Линейные уравнения математической физики / Под редакцией С.Г. Михлина. -М. : Наука, 1964.-368 с.

74. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости / А. И. Лурье. М. : Гостехиздат, 1955.-492 с.

75. Лурье А.И. Теория упругости / А.И. Лурье. М. : Наука, 1970. - 940 с.

76. Ляв А. Математическая теория упругости / А. Ляв. М., Л. : издательство НКТП, 1935.-676 с.

77. Марчук Г.И. Введение в проекционно-сеточные методы / Г.И. Марчук. М. : Наука, 1981.-416 с.

78. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики / Г.И. Марчук. М. : Наука, 1989.-608 с.

79. Миндлин Р. Сосредоточенная сила в упругом полупространстве / Р. Миндлин, Д. Чен // Механика. Сб. сокращ. переводов иностр. периодич. литер. Москва, 1952.-Вып.4.-с.118-133.

80. Михлин С.Г. Курс математической физики / С.Г. Михлин. М. : Наука, 1968. -576 с.

81. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных / С.Г. Михлин. М. : Высшая школа, 1977. - 432 с.

82. Михлин С.Г. Решение сейсмологических проблем плоской теории упругости и плоской бигармонической проблемы / С.Г. Михлин // Труды Сейсмологического ин-та АН СССР. 1934. - № 37. - c.l 1 -26.

83. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мусхелишвили. М. : Наука, 1966. - 707 с.

84. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и их приложения в математической физике / Н.И. Мусхелишвили. М. : Наука, 1968. - 511 с.

85. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк. М. : Наука, 1969.-528 с.

86. Нейбер Г. Концентрация напряжений / Г. Нейбер. М. : Гостехиздат, 1947. -204 с.

87. Немиш Ю.Н. Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела / Ю.Н. Немиш. Киев: Наукова думка, 1989. - 312 с.

88. Новацкий В. Вопросы термоупругости / В. Новацкий. М. : Изд. АН СССР, 1962.-364 с.

89. Норри Д. Введение в метод конечных элементов / Д. Норри, Ж. Де Фриз. М. : Мир, 1981.-304 с.

90. Папкович П.Ф. Об одной форме решения плоской задачи теории упругости для прямоугольной полосы / П.Ф. Папкович // Доклады АН СССР. 1940. - Т. 27, №4.-С. 335-339.

91. Папкович П.Ф. Два вопроса теории изгиба тонких упругих плит / П.Ф. Папкович // Прикл. математика и механика. 1941. - Т. 5, № 3. - с. 359-374.

92. Партон В.З. Методы математической теории упругости / В.З. Партон, П.И. Перлин. М.: Наука, 1981.-688 с.

93. Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости / П.И. Перлин, В.З. Партон. М.: Наука, 1977.-312 с.

94. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики / А.Д. Полянин. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 576 с.

95. Прокопов В.К. Равновесие упругого осесимметрично нагруженного толстостенного цилиндра / В.К. Прокопов // Прикл. математика и механика. -1949.-Т. 13, № 2. С.135-144.

96. Прокопов В.К. Однородные решения теории упругости и их приложения в теории тонких пластинок / В.К. Прокопов // Механика твердого тела: Тр. II Всесоюз. съезда по теоретич. и прикл. механике. 1966. - Т. 3. - С. 253-259.

97. Пространственные задачи теории упругости и пластичности: граничные задачи статики упругих тел / под ред. Ю.Н. Подильчука Киев: Наук, думка, 1984.-Т. 1.-304 с.

98. Рахматулин Х.А. О проблеме теории распространения волн в сплошных средах / Х.А. Рахматулин // Вестник МГУ. Математика и механика. 1970. -№ 3. - с. 97-106.

99. Рейснер Э. О некоторых вариационных теоремах теории упругости / Э. Рейснер. М.: Изд. АН СССР, 1961. - 580 с.

100. Роговой A.A. Математическое обоснование метода законтурных массовых сил в теории упругости / A.A. Роговой // Механика деформируемых тел. Ученые записки Пермского государственного ун-та. 1974. - Вып.2, № 273. -С. 43-50.

101. Роговой A.A. О решении плоской задачи теории упругости методом источников / A.A. Роговой // Методы решения задач теории упругости и вязкоупругости. Свердловск: Изд. УНЦ АН СССР, 1974. - С. 3-14.

102. Роговой A.A. О решении осесимметричных задач теории упругости методом источников / A.A. Роговой // Методы решения задач теории упругости и вязкоупругости. Свердловск: Изд. УНЦ АН СССР, 1974. - С. 15-25.

103. Розин Л.А. Вариационная постановка задач для упругих систем. / Л.А. Розин. Ленинград: ЛГУ, 1978. - 223 с.112. . Розин Л.А. Задачи теории упругости и численные методы их решения / Л.А. Розин. Санкт-Петербург: Изд-во СПбГТУ, 1998. - 532 с.

104. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам /Л.А. Розин. -М.: Стройиздат, 1977. 129 с.

105. Русаков C.B. Разностные сплайн-схемы для задач тепло- и массопереноса / C.B. Русаков. Иркутск: Иркутский университет, 1990. - 123 с.

106. Савин Г.Н. Концентрация напряжений около отверстий / Г.Н.Савин. -М. : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951. -496 с.

107. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем / A.A. Самарский. -М. : Наука, 1971.-552 с.

108. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов / JL Сегерлинд. -М. : Мир, 1979.-392 с.

109. Слободянский М.Г. Общие формы решений уравнений упругости для односвязных и многосвязных областей, выраженные через гармонические функции / М.Г. Слободянский // Прикл. математика и механика. 1954. - Т. 18, № 1. - С. 55-74.

110. Слободянский М.Г. Об общих и полных формах решения уравнений упругости / М.Г. Слободянский // Прикл. математика и механика. 1959. - Т. 23, № 3. - С. 468-482.

111. Соболев СЛ. Уравнения математической физики / СЛ. Соболев, А.Н. Тихонов. М. : Наука, 1966. - 443 с.

112. Соляник-Красса К.В. Осесимметричная задача теории упругости / К.В. Соляник-Красса. М. : Стройиздат, 1987. - 368 с.

113. Соляник-Красса К.В. Функции напряжений осесимметричной теории упругости / К.В. Соляник-Красса // Прикл. математика и механика. 1952. - Т. 21, №2.-С. 285-286.

114. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под. ред. М. Абрамовица. М.: Наука, 1979. -832 с.

115. Тарунин E.JI. Нелинейные задачи тепловой конвекции / E.JI. Тарунин. -Пермь: ПГУ, 2002.-214 с.

116. Тимошенко С.П. Теория упругости / С.П. Тимошенко. М.: Наука 1975. -576 с.

117. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, A.A. Самарский. М. : Наука, 1951.-451 с.

118. Треффц Е. Математическая теория упругости / Е.Треффц. М., Л.: ОНТИ, 1934,- 172 с.

119. Угодчиков A.B. Решение краевых задач плоской теории упругости на цифровых и аналоговых машинах / A.B. Угодчиков, М.И. Длугач, А.Е. Степанов. -М.: Высшая школа, 1970. 528 с.

120. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольц. М.: Наука, 1966. - Т. 1.-608 с.

121. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольц. М.: Наука, 1966. - Т. 2. - 800 с.

122. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольц. М.: Наука, 1966. - Т. 3. - 656 с.

123. Форсайт Дж. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений / Дж. Форсайт, К. Молер. М.: Мир, 1969. - 167 с.

124. Цыпкин А.Г. Математические формулы / А.Г. Цыпкин, Г.Г. Цыпкин. -М.: Наука, 1985.-128 с.

125. Чернявский А.О. Метод конечных элементов. Основы практического применения / А.О. Чернявский // Справочник. Инженерный журнал. Москва, 2003.-№ 10, № 11.

126. Шардаков И.Н. Метод геометрического погружения для решения краевых задач теории упругости / И.Н. Шардаков, И.Е. Трояновский, И.Н. Труфанов. -Свердловск : Препринт ИМСС УНЦ АН СССР, 1984. 66 с.

127. Шардаков И.Н. Метод геометрического погружения в теории упругости / И.Н. Шардаков, H.A. Труфанов, В.П. Матвеенко. Екатеринбург: УрОРАН, 1999.-298 с.

128. Шерман Д.И. Основные плоские и контактные (смешанные) задачи статической теории упругости / Д.И. Шерман // Механика в СССР за тридцать лет.-М., Л.: Наука, 1950.-с. 192-225.

129. Эйлер J1. Дифференциальное исчисление / Л. Эйлер. М., Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1949. - 580 с.

130. Эйлер JI. Интегральное исчисление / Л.Эйлер. М. : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. - Т. 1. - 416 с.

131. Эйлер Л. Интегральное исчисление / Л. Эйлер. М. : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957. - Т. 2. - 368 с.

132. Эйлер Л. Интегральное исчисление / Л. Эйлер. М. : Государственное издательство физико-математической литературы, 1958. - Т. 3. - 448 с.

133. Янке Е. Специальные функции / Е. Янке. М.: Наука, 1964. - 344 с.

134. Ясницкий Л.Н. Введение в искусственный интеллект: учебное пособие по спецкурсу / Л.Н. Ясницкий. М.: издательский центр "Академия", 2005. - 176 с.

135. Ясницкий Л.Н. Метод фиктивных канонических областей в механике сплошных сред / Л.Н. Ясницкий. М.: Наука, 1992. - 128 с.

136. Ясницкий Л.Н. Об одном способе решения задач теории гармонических функций и линейной теории упругости / Л.Н. Ясницкий // Прочностные и гидравлические характеристики машин и конструкций. Пермь: Изд. ППИ, 1973.-С. 78-83.

137. Ясницкий Л.Н. Напряженно-деформированное состояние полушарового тела / Л.Н. Ясницкий // Геометрическое моделирование и начертательная геометрия: тезисы докладов Уральской научно-технической конференции. -Пермь: Изд. УрО АН СССР, 1987. С. 102.

138. Ясницкий Л.Н. О выборе базовых разложений и сходимости метода погружения / Л.Н. Ясницкий // Геометрическое моделирование и начертательная геометрия: тезисы докладов Уральской научно-технической конференции. -Пермь: Изд. УрО АН СССР, 1987. С. 103-104.

139. Ясницкий Л.Н. Аналитический метод решения краевых задач теории упругости для тел сложной конфигурации / Л.Н. Ясницкий // Прочностные и динамические характеристики машин и конструкций. Пермь: Изд. ППИ, 1988. -С. 16-23.

140. Ясницкий JI.H. Вычислительные аспекты применения метода фиктивных канонических областей в краевых задачах механики сплошных сред / J1.H. Ясницкий // Физические проблемы технологии. Вып. А. Пермь: Пермское книжное издательство, 1989. - С. 64-89.

141. Ясницкий JI.H. Суперпозиция базисных решений в методах типа Треффца / J1.H. Ясницкий // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1989. - №2 -С. 95-101.

142. Ясницкий J1.H. К расчету напряженного состояния эллипсоидальной оболочки постоянной и переменной толщины на основе решений теории упругости для сферических областей / Ясницкий JI.H. // Прикладная механика. -1989.-т. 25, №6-С. 111-114.

143. Ясницкий JI.H. Новый метод решения граничных задач механики деформируемого тела / JI.H. Ясницкий // Смешанные задачи механики деформируемого тела: тезисы 4-й Всесоюзной конференции. Одесса: Изд. АН СССР, 1989,-4.2.-С 146.

144. Ясницкий JI.H. Композиция расчетной области в методе фиктивных канонических областей / JI.H. Ясницкий // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1990. -№ 6. - С. 168-172.

145. Ясницкий JI.H. Возможности и перспективы применения методов искусственного интеллекта в механике сплошных сред / JI.H. Ясницкий // Вестник ПГТУ. Динамика и прочность машин. Пермь : Перм. гос. техн. ун-т, 2001.-№3.-С. 150-164.

146. Ясницкий JI.H. Принципы построения экспертной системы для аналитического решения краевых задач / JI.H. Ясницкий // Математика программных систем. Межвузовский сборник научных трудов. Пермь : издательство ПГУ, 2001. - С. 105-114.

147. Boundary element method XVI / Editor С. A. Brebbia. Southampton, Boston : Computational Mechanics Publications, 1994. - 602 p.

148. Boussinesq M.J. Application des potentials а Г etude de lequolibre et du movement des solides élastiques / M.J. Boussinesq. Paris: Gauthiers - Villars, 1885. -280 p.

149. Brebbia C.A. Boundary Element Techniques: Theory and Applications in Engineering / C.A. Brebbia et. al. Boston : Springer-Verlag, 1984. - 510 p.

150. Kelvin W. Treatise on natural philosophy / W. Kelvin, P.G. Tait. Cambridge: Univ. press, 1879.-328 p.

151. Schiff P.A. Sur l'équilibré d'un cylinre elastique / P.A. Schiff // J. Math. Pures et appl. Ser. 3. 1883. - V.9. - № 6. - p. 407-421.