автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование теплопроводности с использованием ортогональных методов взвешенных невязок и дополнительных граничных условий

На правах рукописи

Назаренко Сергей Анатольевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МЕТОДОВ ВЗВЕШЕННЫХ НЕВЯЗОК И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

Специальность 05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математически

ООЗ167253

Ульяновск 2008

Работа выполнена на кафедре «Теоретические основы теплотехники и гидромеханика» Самарского государственного технического университета

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор

зав кафедрой «Теоретические основы теплотехники и гидромеханика» СамГТУ Кудинов Василий Александрович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор,

зав кафедрой «Высшая математика» УлГТУ ' Вельмисов Петр Александрович

доктор технических наук, профессор кафедры «Теплотехника и тепловые двигатели» СГАУ Довгялло Александр Иванович

Ведущая организация Самарский Государственный Университет

Защита состоится «30» апреля 2008 г в 12 час на заседании диссертационного совета Д212 277 02 при Ульяновском государственном техническом университете по адресу 432027, г Ульяновск, ул Северный венец, 32, аудитория 211 С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке УлГТУ

Автореферат разослан ry?/?7/~V7~)Sy 2008 г

Отзывы (в двух экземплярах, заверенные печатью) просим высылать по адресу

432027, г Ульяновск, ул Северный венец, 32, диссертационный совет Д212 277 02

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212 277 02

д т н, профессор jtniS'j

Крашенинников В Р

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы.

Сущность методологии математического моделирования состоит в замене изучаемого явления его «образом» - математической моделью и в дальнейшем изучении ее аналитическими и численными методами Оно сочетает в себе достоинства как теории, так и эксперимента Изучение не самого явления, а его математической модели, дает возможность исследовать не только линейные, но и нелинейные явления, которые, как правило, не допускают какой-либо общей аналитической схемы и требуют каждый раз индивидуального подхода.

Одним из перспективных направлений математического моделирования задач теплопереноса является совместное использование точных (Фурье, интегральных преобразований и др) и приближенных аналитических (вариационных, взвешенных невязок и др ) методов Такой комплексный подход позволяет наилучшим образом использовать положительные стороны этих двух важнейших аппаратов прикладной математики, т к появляется возможность без проведения тонких и громоздких математических расчетов получать выражения, эквивалентные главной части точного решения, состоящего из бесконечного функционального ряда.

Особое место среди приближенных аналитических методов занимают методы взвешенных невязок (ортогональный метод Бубнова-Галеркина) Отличительной особенностью этих методов является их универсальность и простота реализации при достаточно высокой точности, возможность применения для решения задач, не связанных с вариационными принципами Эти методы в конечном итоге приводят к решению систем алгебраических линейных уравнений и в дальнейшем к нахождению собственных чисел из алгебраического полинома. Такая алгебраизация задачи позволяет наиболее трудоемкую часть получения решения переложить на современные средства вычислительной техники При всем этом окончательное решение является аналитическим в виде ряда с коэффициентами, экспоненциально стабилизирующимися во времени

Отличие этих методов от классических в том, что собственные числа в ортогональных методах взвешенных невязок находятся из выполнения основного дифференциального уравнения путем решения алгебраического полинома соответствующей степени (в зависимости от числа приближений) Граничные условия при этом выполняются точно путем решения системы алгебраических линейных уравнений Таким образом, в методах взвешенных невязок точность получаемого решения зависит лишь от точности выполнения исходного дифференциального уравнения и эта точность будет зависеть от числа приближений В классических методах заранее точно удовлетворяется исходное дифференциальное уравнение, а собственные числа находятся из граничных условий путем решения трансцендентных уравнений Следовательно, точность решения здесь зависит от точности выполнения граничных условий, которая в свою очередь зависит от числа приближений Отметим, что д ля одних и тех же задач (например, при несимметричных и неоднородных граничных условиях третьего рода) решение трансцендентного уравнения представляется значительно более сложной проблемой, чем решение соответствующей степени (по числу приближений) алгебраического полинома Весьма важным является тот факт, что при использовании методов взвешенных невязок основное дифференциальное уравнение (Бесселя, Штурма-Лиувилля и др) удовлетворяется путем составления его невязки и требования ортогональности невязки ко всем координатным (или собственным) функциям В связи с чем эти методы могут быть применены к любым дифференциальным уравнениям независимо от вида дифференциального оператора краевой задачи

Несмотря на очевидные преимущества методов взвешенных невязок, они пока еще недостаточно разработаны применительно к решению задач теплопроводности с переменными по координатам физическими свойствами среды, с переменными во времени граничными условиями и источниками теплоты, нелинейных задач теплопроводности, а также задач теплопроводности для многослойных конструкций

Цель работы

Разработка аналитического метода решения краевых задач нестационарной теплопроводности на основе введения дополнительных граничных условий, получаемых из дифференциального уравнения краевой задачи путем его дифференцирования применительно к граничным точкам области,

Мстодь* исследования

В диссертации использованы следующие методы разделение переменных (метод Фурье),

ортогональный метод Бубнова-Галеркина, метод Л В Канторовича, метод интегральных преобразований Лапласа

Научная новизна

1 Разработан новый подход к определению собственных чисел краевых задач Бесселя, Штурма-Лиувилля и др, основанный на интегрировании их невязки и требовании ортогональности невязки ко всем собственным функциям с последующим получением алгебраического полинома для нахождения собственных значений

2 Показана необходимость введения дополнительных граничных условий, связанная с появлением нового неизвестного параметра /л (собственные числа) в результате разделения переменных в исходном дифференциальном уравнении, и разработан метод их получения, основанный на дифференцировании исходного уравнения и применении получаемых соотношений к граничным точкам краевой задачи

3 Разработан аналитический метод решения обратных задач теплопроводное™ по идентификации физических свойств среды, граничных и начальных условий теплообмена, основанный на использовании аналитических решений, полученных на основе совместного использовании методов Фурье и ортогонального метода Бубнова-Галеркина

4 Разработан комплекс программ применительно к решению линейных и нелинейных задач теплопроводности для многослойных конструкций численными методами

Положения выносимые на защиту:

1 Результаты разработки нового подхода к определению собственных чисел краевых задач Бесселя, Штурма-Лиувилля и др, основанного на использовании ортогональных методов взвешенных невязок (метод Бубнова-Галеркина) и дополнительных граничных условий

2 Результаты разработки метода получения дополнительных граничных условий, определяемых из исходного уравнения краевой задачи путем его дифференцирования применительно к граничным точкам рассматриваемой области

3 Результаты разработки аналитического метода решения обратных задач теплопроводности, позволяющего идентифицировать физические свойства среды, граничные и начальные условия теплообмена на основе имеющегося аналитического (приближенного аналитического) решения краевой задачи.

4 Результаты разработки комплекса программ применительно к решению линейных и нелинейных задач теплопроводности для многослойных конструкций с использованием численных методов

5 Результаты расчетов коэффициентов теплоотдачи в набивках вращающихся регенеративных воздухоподогревателей путем решения обратной задачи теплопроводности на основе полученных в диссертации аналитических решений прямых задач

Достоверность

Достоверность результатов подтверждается использованием математических моделей, адекватных реальным физическим процессам, протекающим в конкретных теплотехнических установках, а также сравнением полученных в диссертации результатов с точными аналитическими решениями, с результатами расчетов численными методами и с данными натурных экспериментов

Практическая ценность работы

1 Представленная работа является обобщением теоретических и экспериментальных исследований, выполненных автором на кафедре « Теоретические основы теплотехники и гидромеханика» Самарского государственного технического университета Исследования проводились по планам госбюджетной тематики Минвуза РФ № 551/02 «Разработка методов определения собственных значений в краевых задачах теплопроводности», а также по планам ниокровских работ ОАО «Самара-энерго» за 2002 - 2005 г г Научные и практические результаты использованы на Самарской ТЭЦ, Безымянской ТЭЦ, Тольяттинской ТЭЦ, Самарской ГРЭС, Новокуйбышевской ТЭЦ-2, ТЭЦ ВАЗа, в Самарских тепловых сетях, Ульяновских тепловых сетях, Тольяттинских тепловых сетях, Саратовских тепловых сетях, тепловых сетях от Балаковской ТЭЦ-4 Экономический эффект от внедрения, подтвержденный актами о внедрении, приведенными в приложениях диссертации, составляет 1400 000 рублей

2 С использованием разработанных в диссертации методов путем решения обратной задачи

теплопроводности найдены коэффициенты теплоотдачи в набивках регенеративных воздухоподогревателей Новокуйбышевской ТЭЦ-2 (акт о внедрении работы приведен в приложениях диссертации)

3 Результаты работы были использованы при разработке компьютерных моделей теплосети Самарской ТЭЦ, цирксистемы Новокуйбышевской ТЭЦ-2, теплосетей от Привокзальной отопительной котельной г Самары (акты о внедрении приведены в приложениях диссертации)

Апробация работы

Основные результаты работы были доложены и обсуждены на Четвертой Международной конференции «Обратные задачи идентификация проектирование и управление» Москва, МАИ 2003, Пятом Минском Международном форуме по тепло- и массообмену Минск АНБ 2004, Всероссийской науч -тех конференции «Математические моделирование и краевые задачи» 2004г

Публикации

По результатам выполненных исследований опубликовано 20 научных работ, в том числе 6 статей в центральных академических изданиях, 5 статей в Вестнике Самарского государственного технического университета, а также напечатана одна монография и одно учебное пособие в соавторстве

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, выводов, списка используемой литературы, приложений изложена на 129 страницах основного машинописного текста, содержит 41 рисунок, 10 таблиц Список использованной литературы включает 93 наименования

1 В первой главе диссертации выполнен обзор работ по избранному направлению исследований В частности, было ошечено, что решения краевых задач, полученные с помощью точных аналитических методов, выражаются сложными функциональными рядами, которые, как правило, являются плохо сходящимися Такие решения малопригодны для инженерных приложений и особенно в случаях, когда решение температурной задачи является промежуточным этапом, например, при решении обратных задач, задач термоупругости, задач автоматизированного управления и др В этой связи наибольший интерес представляют приближенные аналитические методы, позволяющие получать решения, хотя и приближенные, но в аналитической форме, с точностью, во многих случаях достаточной для инженерных приложений Отметим, что такие методы применительно к нелинейным задачам, задачам теплопроводности для однослойных и многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды, а также с переменными по координатам и во времени граничными условиями, пока еще недостаточно разработаны

2. Вторая глава диссертации посвящена спектральным задачам, лежащим в основе всей аналитической теории краевых задач переноса. В настоящей работе для решения спектральных задач совместно с методом Фурье используются методы взвешенных невязок (ортогональный метод Буб-нова-Галеркина) Важной особенностью является введение дополнительных граничных условий, необходимость которых объясняется появлением дополнительного неизвестного параметра ц после разделения переменных в исходном дифференциальном уравнении Дополнительные граничные условия выводятся из основного дифференциального уравнения путем его дифференцирования в граничных точках

2.1 Метод дополнительных граничных условий в нестационарных задачах теплопроводности В качестве конкретного примера рассмотрим задачу теплопроводности для бесконечно -протяженной пластины при граничных условиях первого рода

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

(2 7)

(2 4)

(2 5)

(2 1)

где fi = Л2 - некоторая постоянная

Решение уравнения (2 6), как известно, имеет вид

<p(Fo) = Лехр(-Л2Го) (2 8)

Граничные условия для уравнения Штурма - Лиувилля (2 7) согласно (2 3), (2 4) будут

Ч»7(0) = 0, (29) ЧЧ1) = 0 (2 10)

Решение задачи (2 7), (2 9), (2 10) разыскивается в виде следующего ряда

п

4>(M,p)^C,N,(p), (211)

1=0

где С,, (; = 0,и) - неизвестные постоянные, определяемые из граничных условий задачи,

N,{p) = р' - координатные функции (алгебраический или тригонометрический полином)

Если ограничиться, например, пятью членами ряда (2 11) (п = 4 ), то будем иметь пять неизвестных коэффициентов С,, (i-0,4), а граничных условий только два (29), (210) В связи с чем,

необходимо добавить ещё три дополнительных граничных условия, которые находятся из условия (2 9) и из уравнения (2 7) Такие дополнительные граничные условия будут иметь вид

Y(0) = const = 1,(212) 4J,/Q) = 0, (2 13) Ч/Ш(0) = 0 (214) Подегавляя (2 11) в (29), (2 10), (2 12) - (2 14), получим пять алгебраических линейных уравнений относительно пяти неизвестных С,

Подставляя найденные значения С, в (2 11), получим

У(р) = 1-1,2р2 +0,2р4 (2 15)

Для определения первого собственного числа составим интеграл взвешенной невязки уравнения (2 7) и потребуем ортогональность невязки к функции (2 15), т е

1

|[ря0») += О (2 16)

о

Подставляя (2 15) в (2 16), относительно <и получим алгебраический полином

0,5038730158730159 м -1,243428571429 = 0 (2 17)

Его решение М\ = 2,4677419355 Точное значение первого собственного числа Mi =2,4674011

Для получения пяти собственных чисел используются следующие дополнительные граничные условия

4^(0) = 0, 4>иф) = -м\ 4>т(0) = 0, У™(0) = /, ¥аф) = 0, 4^(0) = -/i5 Подегавляя (2 8), (2 11) в (2 5), получим

5

@(p,Fo) = ^ГлД, {м„р)ыр(-М,Щ (2 18)

i=i

Для выполнения начального условия составляется его невязка и требуется ортогональность невязки к каждой собственной функции, т е

Vj{M„p)dp = 0 0=Т,5) (2 19)

о L »=1

Отсюда для нахождения коэффициентов А,, (г -1,5) получается система пяти алгебраических линейных уравнений После определения А1 решение задачи (2 1) - (2 4) в замкнутом виде находится из (2 18)

Собственные числа для различных приближений в сравнении с точными их значениями при-

ведены в табл 2 1

Таблица 21

Число приближений Собственные числа

Я /в у"4 М5

1 2,4677419355 — — — —

2 2,46740110 22,26983 — — —

3 2,4674011001 22,206610037 62,055342 — —

4 2,4674011002 22,206609833 61,6850177 120,9039012 —

5 2,4674011002 22,206610 61,6850235 120,90249 201,058

Точные значения 2,4674011003 22,2066099 61,685026 120,902654 199,8595489

Результаты расчётов безразмерных температур по формуле (2 18) в сравнении с точными их значениями представлены на графиках рис 2 1

ег

.....1/>""Г............ л 1/ *

/ а / Е / о/ „ 0,! т.....|....... 1

^__ / / / / У к 1—

Л У / , / И \

Р и с 21 Графики изменения относительной избыточной температуры в пластине ---точное решение, о - расчет по формуле (2 18) (пятое приближение)

11 « 43 4« ад

9,7 0,8

2.2. Тригонометрические координатные функции. Найдем решение задачи (2 1) - (2 4) с

использованием тригонометрических координатных функций В данном случае, как и выше, выполняем разделение переменных в уравнении (2 1) с получением уравнений (2 6), (2 7) Основные граничные условия для уравнения (2 7) имеют вид (2 9), (2 10)

Решение задачи (2 7), (2 9), (2 10) разыскивается в виде

п

(2 20)

где С,, (* = !,»)

неизвестные коэффициенты, А'",(р)—юэг-^-рг (г = Ъ~\)

координатные

функции

Для получения решения в первом приближении, исходя из (2 9), введем дополнительное граничное условие вида (2 12) Соотношение (2 20) благодаря принятым координатным функциям точно удовлетворяет основным граничным условиям (2 9), (2 10) Ограничиваясь одним членом ряда в соотношении (2 20), для нахождения коэффициента С, подставим (2 20) в (2 12) Отсюда С, = 1

Составляя невязку уравнения (2 7) и интегрируя её в пределах от р = 0 до р = 1, получим 1

= 0 (221)

0

Вычисляя интегралы, находим /¿1 =яг 2А = 2,4674011

Для получения решения во втором приближении введём еще одно дополнительное граничное условие вида = Для коэффициентов С,, ограничиваясь двумя членами ряда (2 20), получим следующие формулы

А ~ _ Р

1

Составляя интеграл взвешенной невязки уравнения (2 7), будем иметь .2

я~ „ я 9 2„ 3 [ к 3

——С] cos—р — ~яС2 cos—np + p 1С] cos —С2 cos —яг р

dp = 0

Определяя интегралы, для нахождения собственных чисел получим алгебраический полином, корни которого щ = 2,4674011003 , /л2 = 22,206609902 Полученные корни с точностью до 7

- го знака после запятой совпадают с точными их значениями

Для получения решения при большем числе приближений используются те же самые граничные условия, что и в задаче п 2 1

Для нахождения неизвестных коэффициентов А,, (г = 1, п ) составляется невязка начального условия (2 2) и требуется ортогональность невязки к каждой координатной функции, т е 1Г п

J2>

(ji,) cos г—р-\

cosj—pdp = 0 (j = 2i-\)

(2 22)

0 1.1=1

Ввиду ортогональности косинусов система уравнений (2 22) приводится к виду 1 1

А^СРг) |ак2 г^рЛр = р<*р

0

0

Отсюда находим А, = ±

тСг^,)

г,(г = 2г-1)

где знак «плюс» - для г = 1, 5, 9, 13, , знак «минус» - для г = 3, 7, 11, 15,

Используя изложенный выше подход, для задачи (2 1) - (2 4) можно также получить и точное аналитическое решение В данном случае никакие дополнительные граничные условия не рассматриваются Решение задачи (2 7), (29), (2 10) разыскивается в виде (2 20), где все коэффициенты Сг

принимаются равными 1

Составляя невязку уравнения (2 7) и требуя ортогональность невязки ко всем координатным функциям, получим

1 / Л

у п 2 п

О V г=1 '=1

Ввиду ортогональности косинусов соотношение (2 23) примет вид

cosj~pdp = 0 (j - г = 2г-1) (2 23)

1

0

„ 21 2 я „ 2 я —cos г— p + p,C,cos г—р i 4 2 у п i

dp-0

(2 24)

Определяя интегралы в (2 24), найдем

М1=,г2Л2!4 0 = Цп,г = 21-1) (225)

Собственные числа, полученные по формуле (2 25), полностью совпадают с точными их значениями

Для нахождения коэффициентов А1, (г = 1,и) используется начальное условие (2 2) Для этого составляется его невязка и требуется ортогональность невязки ко всем координатным функциям, т

I

jU^G«, р)-l}Nj(p)dp = 0 0 = 2<-1)

(2 26)

0

Определяя интегралы, используя свойство ортогональности косинусов, получим

4¡ = ±Mrn ,

Соотношение (2 5) в данном случае принимает вид

Е- (-1)г_14 ( л )

—cosí г~р\ехр

i=l ^ Анализ результатов показывает, что в диапазоне чисел Фурье 0,001 < Fo < со полученное здесь решение при п = 20 практически совпадает с точным

2.3 Метод дополнительных граничных условий в задачах теплопроводности для многослойных конструкций Рассмотрим применение рассмотренного выше метода дополнительных граничных условий к решению задачи теплопроводности для двухслойной бесконечно - протяженной пластины при граничных условиях 3-го рода в следующей математической постановке

^ (Fo>0 ,х, г = 1,2, х0 = 0 , х2=\) (228)

dFo а аг

©,(х,0) = 1, (2 29) e©¡(0,Fo)/c!r = 0, (2 30)

Ql(xuFo) = Q2(xl,Fo), (2 31) Л, d®x{xx,Fo)ldx = Xlm1{xl,Fo)ldx, (2 32)

de2(l,Fo)/dx + Bie2(l,Fo) = 0 (233) Следуя методу разделения переменных, задача (2 28) - (2 33) приводится к следующим двум обыкновенным дифференциальным уравнениям

rí(Fo) + m(Fo) = 0, (2 34) + = (2 35)

а

Решение уравнения (2 34) имеет вид (2 8)

Граничные условия и условия сопряжения для уравнения (2 35) будут Ч-/(0) = 0, (2 36) Т1(х1) = Ч'2(х1), (2 37)

= (2 38) Y2/(1) + ^¥2(1) = 0 (2 39)

Решение уравнения (2 35) принимается в виде

и

(*) = W ' (' = ^ } (2 40) ¿=0

где Сfa - неизвестные коэффициенты, (х) - координатные функции

В качестве координатных для первого и второго слоя примем функции

Л'Н(х) = хА\ (¿ = 0,2,4,6, ) (241)

Хк2(х) = *к (¿ = 0,1,3,5, ) (2 42)

Неизвестные коэффициенты C¿¡ ,(k = Q,n , г = 1,2) находятся из граничных условий (236)-(2 39) и дополнительных граничных условий В качестве первого дополнительного условия возьмем условие 4*1(0) = consi = 1, вытекающее из граничного условия (2 36) Другие дополнительные граничные условия (в точке х = 0) будут иметь вид

%И(0) = -Ма21ах , Ч-/я(0) = 0, 4f(0) = /Аг2/а1, <(0) = 0, <(0) = -M3aJax,

Т,и/(0) = 0, %т(0) = /г4а2/я1, 4f*(0) = 0, 4-^(0) = ~/л5а2/ах , (2 43)

итд

Для получения дополнительного граничного условия в точке х = 1 продифференцируем соотношение (2 33) по Fo, а уравнение (2 28) по jc Сравнивая полученные соотношения, будем иметь следующее дополнительное граничное условие

en j- B'^vl1 Oí = 0 (2 44>

2 2 г ж

--Fo

{r = 2i-\) (2 27)

Для нахождения коэффициентов С/,-, подставим (2 40) в (2 36) - (2 39), (2 43) - (2 44) При этом в соотношении (2 40) для первого слоя ограничимся 5-ю членами ряда, а для второго слоя -четырьмя В итоге будем иметь 9 алгебраических линейных уравнений (по числу основных и дополнительных граничных условий) с 9-ю неизвестными , (к = 0,4) и 2, ( к = 0,3)

Найдем решение задачи (2 28) - (2 33) при следующих исходных данных щ = 0,002л<, 112 = 0,006м , <71 =12,5 10~6ж2/с , аг =6 КГ6м2/с , Л1 = 45,24Вяг/(м к), Л2 = 16,24Вт/(м к), Вг = 2, а = а2=6 \0~~6м2/с

После определения коэффициентов С к, составляется интеграл взвешенной невязки уравнения (2 35)

О

Ж

к=0

з2т

дх2

4 1 ff 3 2 3 dx+ JlfZ^^^I^^2

к=0

к=0

¿=0

dx = 0 (2 45)

Определяя интегралы в соотношении (2 45), относительно параметра ц получим алгебраический полином, корни которого будут щ = 1,044343 , Ц2 - 22,316056 , щ - 43,816549 Соотношение (2 8) принимает вид 3

®МРо)^АкЧ>к1{х,П)ъщ>{~-ПР°), (г = 1,2 ) (2 46)

где Ак находятся из начального условия Для этого составляется его невязка и требуется ортогональность невязки к каждой собственной функции Уд, (х,/л), т е

1[ 3

Чу1 | Л]Г1ЛкЧк2(х,Мк)-

х, з

f УлП1 (х,Рк)-1

oU=l

fj2(x,Mj)dx = 0 (2 47)

J ж, l

( j- = 1,2,3 )

Определяя интегралы в (2 47), относительно неизвестных коэффициентов (¿ = 1,2,3) получим систему трех алгебраических линейных уравнений Из решения этой системы находим А] = 1,119281, /12 = -0,500714, А} = 0,404640

Результаты расчетов по формуле (2 46) в сравнении с данными [*], с расчетом по методу конечных разностей (метод прогонки), с расчетом по формуле (3 180) в шестом приближении (см диссертацию), а также с расчетом по методу с использованием локальных систем координат [12], представлены на графиках рис 2 3

ifl

№

tfi

OA

1 } I

i

t I

t ! лр I J* *8

JlJ - г.ч s » ^ "T4""........—

Р и с 2 3 Графики распределения температуры в двухслойной пластине — -метод прогонки, о - по данным [*], х - по формуле(2 46) (третье приближение), Д -по формуле (3 180) (шестое приближение), □ - по формуле (4 23) (шестое приближение) из [12],

* - Беляев Н М, Рядно А А Методы нестационарной теплопроводности М Высш шк 1978

ftd ftf ИЛ 9Я 0,4 м

Fo

2 4 Нестационарные обратные задачи теплопроводности. Выше было получено аналитическое решение задачи теплопроводности для пластины в виде соотношения (2 18) Аналогичное по форме соотношение было получено в диссертации применительно к шару при граничных условиях 3-го рода

т

е(р,Го) = ^Л1Х!(м1,р) ехр(-Л Ро) (2 48)

(=1

Формула (2 48) ввиду ее простоты (не содержит специальных функций) удобно использовать для решения обратных задач теплопроводности В случае, если, например, из эксперимента, значения температур на поверхности шара оказываются известными в некотором диапазоне числа Фурье, то из соотношения (2 48) путем решения обратной задачи теплопроводности могут быть найдены либо физические свойства среды, либо линейные размеры тела, либо условия теплообмена с внешней средой (коэффициент теплоотдачи а), а также могут быть восстановлены начальные условия

Рассмотрим последовательность определения любого из перечисленных выше параметров Предположим, что экспериментальные значения температуры известны на поверхности шара (/5 = 1) При этом, если эти значения температур полностью соответствуют точным их значениям, получаемым для данной конкретной задачи из (2 48), то, очевидно, из (2 48) может быть найдено точное значение любого искомого параметра

Однако в любом реальном конкретном случае на точность решения обратной задачи оказывают влияние следующие факторы неточность измерения температуры как по координате р, так и во времени, неточность задания геометрических характеристик тела, физических свойств среды (у, а, X), а также начальных и граничных условий теплообмена (7д, Тер > а) При этом степень

влияния неточного задания каждого из этих параметров на точность решения обратной задачи необходимо исследовать отдельно

Рассмотрим конкретный пример восстановления коэффициента температуропроводности, предполагая, что на поверхности шара известны значения температуры, соответствующие их значениям, получаемым по формуле (2 48) в диапазоне <Го< Ро^ Аппроксимируем эту температуру следующим алгебраическим полиномом

п

0(1,/<Ъ) = ^6,/ч>!, (2 49)

1=0

где 6; - коэффициенты аппроксимации

Подставляя (2 49) в (2 48) и интегрируя полученное соотношение в пределах от .Го] до Ро2, будем имел.

рог п р02 м

| Х4^0'^0" | (2 50)

Роу '=0 Л, '=1

Соотношение (2 50) относительно любого из перечисленных выше параметров является трансцендентным уравнением, решение которого не представляет затруднений Точность восстановления коэффициента температуропроводности в данном случае будет полностью определяться точностью аппроксимации температуры во времени соотношением (2 49)

Найдем решение обратной задачи при следующих исходных данных

<5 = 0,002«, Я = 36Вт/(м К), Го = 100°С, Тср = 0°С , а = 400Вт/(м2 К) (2 51)

Первоначально найдем изменение температуры во времени по формуле (2 48), используя ис-ходныеданные(2 51), приняв коэффициент температуропроводности а-6 10 м /с

Ввиду трудности оценки точности экспериментальных данных, рассмотрим как зависит точность решения обратной задачи от точности апщэоксимации температуры во времени соотношением (2 49) При этом будем полагать, что экспериментальные данные совпадают с значениями температуры, получаемой по формуле (2 48) Проведем оценку погрешности решения обратной задачи для

нескольких временных интервалов, отличающихся их длительностью

Величина невязки е уравнения (2 50) в зависимости от диапазона числа Фурье (на котором аппроксимируются экспериментальные данные) и числа членов ряда (2 49) представлена в таблице 2 2 (й = 0,4)

Таблица 2 2

Число членов 3 4 5 6 7 8 9 10

ряда (2 49)

2йРо<10 V 1.87 2,26 5,45 6,25 5,17 1,2 2,8

е ю2 103 104 106 Ш7 108 108 109

1<Л>:П0 6,74 3,17 9,49 2,82 2,82 1,81 2,62 1,83

£ 102 103 1()5 108 108 1010 10» 10»

0,5£Ро<10 2,55 1,35 6,5 2,82 2,22 4,32 1 1,41

£ 103 102 Ю4 Ю4 103 Ю4 ю3 103

0,1</ч>£10 8,24 4,65 4,94 8,61 -3,23 0,59 5,9 7,34

£ 102 103 103 102 102 103

Анализ полученных результатов позволяет заключить о том, с увеличением диапазона числа Фурье, в пределах которого аппроксимируются экспериментальные данные, точность решения обратной задачи при одинаковом числе членов ряда (2 49) существенно уменьшается ввиду ухудшения точности аппроксимации кривой изменения температуры рядом (2 49) С увеличением числа членов ряда (2 49) при одном и том же диапазоне изменения числа Фурье точность решения обратной задачи до определенного п возрастает Однако при значительном увеличении числа членов рада (249) (п > 10) невязка £ возрастает Этот факт следует объяснить тем, что в данном случае для нахождения коэффициентов Ьг ряда (2 49) приходится решать большие системы алгебраических линейных

уравнений, матрицы которых являются заполненными квадратными матрицами с большим разбросом коэффициентов по абсолютной величине Такие матрицы, как правило, плохо обусловлены

Рассмотрим последовательность восстановления начального условия по известным экспериментальным значениям температуры на поверхности шара (р = 1) Так как соотношение (2 48) не содержит начального условия в явном виде, то изложенный выше подход к решению обратной задачи в данном случае неприменим Информация о начальном условии задачи содержится в коэффициентах А,, (1 = 13) Поэтому последовательность восстановления начального условия должна сводится к определению этих коэффициентов

Предположим, что экспериментальные значения температуры известны в некотором диапазоне времени 0,01 < Л> < 0,05 на поверхности шара ( р = 1) и соответствуют их значениям, получаемым по формуле (2 48) Выбирая на этом временном отрезке пять произвольных точек (по числу членов ряда (2 48) и неизвестных коэффициентов Аг, (г = 1,5 )) и подставляя значения температур в

этих точках в левую часть соотношения (2 48), относительно коэффициентов А{ получим пять алгебраических линейных уравнений Решение этой системы приводит к следующим значениям А1 (Вг = 04) Ау = 1,115894243948 , Ах = -ОД76676337148 , = ОД 00792427917 ,

А/\ = -0,0675784693828 , А$ = 0,0297883408696 Эти коэффициенты полностью совпадают с коэффициентами прямой задачи, найденными для данного числа Вг из (2 48) (см диссертацию)

Такие же коэффициенты А1 получены и для случая, когда по координате р были взяты пять точек (р = 0,2,0,4,0,6,0,8,1,0 ) при одном и том же числе Л? = 0,01 В этом случае, как и выше, решались пять алгебраических линейных уравнений с пятью неизвестными А1

Следует отметить, что восстановление начального условия возможно лишь по температурам, взятым на стадии нерегулярного теплового режима По температурам в области регулярного теплообмена начальное условие не может быть восстановлено, т к эти температуры не зависят от него

В любых конкретных реальных условиях точные значения температуры невозможно определить экспериментальными методами Кроме того на точность восстановления начального условия

будут влиять те же факторы, которые были перечислены выше Для того чтобы уменьшить влияние неточности экспериментальных температур, полученных на поверхности шара, эти температуры необходимо иметь на каком-то отрезке времени нерегулярного теплового режима Допустим, что экспериментальные данные по изменению температуры на поверхности шара известны в диапазоне числа Фурье 0,01 <Ро< 0,1 при Вг = 4 (в качестве экспериментальных берутся значения температуры, полученные из соотношения (2 48)) Разобьем данный временной интервал на 5 отрезков (по числу неизвестных А,) На каждом отрезке по времени аппроксимируем известную из эксперимента

температуру рядом (2 49) Подставляя ряд (2 49) с найденными коэффициентами , (г = 15) в соотношение (2 48) и записывая полученное выражение для каждого временного отрезка, относительно пяти неизвестных коэффициентов А, получим систему из пяти алгебраических линейных уравнений Из решения этой системы находим

А\ = 1,71554464 , А2 = -1,220084 , А3 = 0,603141, (2 52)

Ац = -3,150692, А5 = -4,795431 Значения неизвестных коэффициентов А, (Вг = 4), при решении прямой задачи теплопроводности, имеют следующий вид

А\ = 1,71554278640593 , А2 = -1,21002712952026 , Аз = 0,85153924327565 , (2 53) Ац = -0,614589211262661, А5 = 0,278200286798138 Для проверки точности решения обратной задачи по восстановлению начального условия по формуле (2 48) найдем значения температуры в центре шара (р = 0), используя при этом коэффициенты (2 52) Результаты расчетов приведены в таблице 2 3, где для сравнения приведены также значения температуры, полученные из решения прямой задачи (при использовании в качестве А, коэффициентов вида (2 53))

Таблица 2 3

Ко ®(0,Ко) 0(0,Ко)

Решение прямой задачи по формуле (2 48) Решение прямой по формуле (2 48)

с коэффициентами А,, (/ = 1,5 ) вида (2 53) с Л,, (/ = 1,5 ) вида (2 52)

0,04 0,997066 0,959509

0,045 0,994102 0,970178

0,05 0,989591 0,973775

0,07 0,954421 0,950351

0,08 0,927539 0,925176

0,09 0,896089 0,894627

0,1 0,861426 0,860472

0,2 0,508541 0,508499

0,3 0,280693 0,280691

0,4 0,153741463 0,153741453

0,5 0,08413100 0,08413108

Анализ полученных результатов позволяет заключить о том, что в диапазоне 0,04 < Ро < 0,05 совпадение результатов удовлетворительное (расхождение 1 - 3 %) При Л? >0,5 расхождение не превышает 1 % Причем, с увеличением числа Фурье точность возрастает и, например, при Ро = 0,5 , безразмерные температуры совпадают с точностью до 8 - го знака после запятой Подобный результат можно объяснить достаточно хорошим совпадением трех первых коэффициентов А1 из (2 52) и (2 53) Для увеличения точности восстановления начального условия необходимо увеличивать число членов ряда (2 48) (точность решения прямой задачи) и диапазон времени, на котором должны быть известны экспериментальные значения температуры

3 В третьей главе диссертации приводятся результаты получения аналитических решений задач теплопроводности для однослойных и многослойных тел путем совместного использования точных (Фурье, интегральных преобразований Лапласа) и ортогональных методов взвешенных невязок

31 Совместное использование интегрального преобразования Лапласа и метода Галеркина Рассмотрим двумерную задачу нестационарной теплопроводности об охлаждении тела при наличии внутренних источников тепла в следующей постановке

+ (31) г = 0, „ = «оЫ, (32) (33)

г обозначение

00

т(х,у,р) = ^и{х,у,т)е~/1х , (3 4)

СрР

Вводя для изображения по Лапласу обозначение

О

вместо (3 1)-(3 3) в изображениях получим

рТ(х,у,р)-»0(х,у)=ачЬ{Х,у,р)+^^, (3 5)

СрР

гдТ(х,у,р) дп

= (3 6)

Здесь

00

а

Т

О

Приближенное решение задачи (3 5)-(3 6), следуя методу Галеркина, разыскивается в виде

Т„{х,у,р) = ^Ск{р)рк{х,у), (3 7)

к=1

где <рк (х, у) - координатные функции, которые удовлетворяют условиям (3 6), а

оо

Ск(р)= ^Ск(т)е-Ртс1т- (3 8)

О

- коэффициент - изображение

В соответствии с методом Галеркина составим невязку уравнения (3 5)

виЙМ^гМ ,ип(р),х,у,р]=аЧ2Тп-рТп+ио+-^-*0 (39)

СрР

Потребуем ортогональность невязки ко всем координатным функциям <рг

Л£пЧ>1 (х, ф = О {г = 1, и)

(3 10)

о

Подставляя (3 7) в (3 9), а (3 9) в (3 10), имеем п п _

Чу СрР

= 0 (3 11)

к=1 о к=1 о й

Отсюда получаем следующую систему алгебраических уравнений относительно С\ (р)

п

гк + В1кр)ск{р}= Д(р), (3 12)

Ы1

где

6>0 +

Чу

СрР)

<ргс1х<1у (3 15)

Ак = О 13) ВЛ = ^<рк<РАс1у , (3 14)А(р)= |1

б в Решение (3 12) найдем по правилу Крамера

п

г=1

Здесь д(р) - основной определитель системы (3 12)

(Лп + йц/г) Й1й + 51„р)

Д(р)=

{Ап]+Вп\р) (Ат + Вппр) - алгебраические дополнения определителя д(р)

Применяя к функции (3 16) теоремы разложения и умножения изображений, в области оригиналов получим следующее выражение для С^(г)

(3 16)

(3 17)

г=1 о 1»г=1 )

(3 18)

где рт{т = 1,2, ,«) = 0 - простые корни уравнения д(р)=0 и являются величинами отрицательными

На основании (3 7) и-ое приближение задачи в оригиналах записывается в виде

п

ип{х,У,*)=^£ск{т)П{х,у) (3 19)

к=\

3 2 Нелинейные задачи теплопроводности для многослойных конструкций Изучение нелинейных процессов представляет большой практический интерес, так как подавляющее большинство процессов, протекающих в природе, нелинейны Учет нелинейности значительно усложняет математическую постановку задачи Точные решения известны лишь для весьма малого круга наиболее простых задач, в связи с чем весьма актуальной является проблема получения хотя бы приближенных решений таких задач

Найдем решение нелинейной задачи теплопроводности для многослойной пластины при идеальном тепловом контакте на границах слоев Математическая постановка задачи при линейной зависимости коэффициента теплопроводности каждого слоя от температуры Л,(т)=Яо,(1 +

(¡ = 1,т) будет иметь вид

дРо

Я„

дТ,(х,Ро)

дх

-Яг[] + /ЙГ,(*,Л>)]

е2т,(х,го)

дхА

(Ро>0,хг-1 <х<хг, 1 = 1,т, х0 = 0, хт =1)

Ъко )=тт,

дх

дх дх

ТтМ=Тс ,

(г = 1,яг-1)

(3 20)

(3 21) (3 22)

(3 23) (3 24)

где Яг = а,/а , (г = \т) - безразмерный коэффициент температуропроводности, Тс - температура стенки, х, = х, /хт - относительная координата, хт - толщина многослойной пластины,

Ро - ат/х}п - число Фурье, ТН1 - начальная температура

Решение краевой задачи (3 20)-(3 24), следуя методу Канторовича, разыскивается в виде

Тг{*,Л)=ГС+/(№)?,(*), = (3 25)

где (рг (х) - координатные функции, определяемые из следующей общей формулы

/и-г / \

(3 26)

к=0 4

Выражение (3 25) в случае, когда в качестве координатных взяты функции, получаемые из формулы (3 26), точно удовлетворяет граничным условиям (3 22), (3 24) и условиям сопряжения (3 23) Для нахождения неизвестной функции времени в нулевом приближении приходим к следующему нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению

Ш&1 = Ых1\Ро)±Я2/{Ро), (3 27)

ОГО

^ *

где N

х=1 х , 1=1

т х•

Общее решение уравнения (3 27) имеет вид

-^Щ-х = Сехр(-^0), (3 28)

у + ДРо)

где V = -N2/^1, ^ =

Для определения постоянной интегрирования С необходимо найти функцию /(/ч)) при Л> = 0 Функцию /(о) найдем, используя начальное условие (3 21)

Ш ■Г1

Отсюда /(0)=(гнг -ГС)/ЛГ

Формула для постоянной интегрирования будет С - /(о)/[у + /(о)]

Решение задачи (3 20)-(3 24) при одинаковой начальной температуре всех контактирующих тел в нулевом приближении примет вид

где АТ = Тш - Тс

Решение задачи в первом приближении записывается формулой

ТЬ(х,Ео) = Тс+ ^тМ-^оЫх) ( } 1П ' с Д^зу^Л'ДГ^-ехрС-иКо)] х ;

где

т '

'=4-1

II - йх I

X.,1 1

1=1 X ,

Если положить /? = 0, Л»1 = -^02 = =А)/и> а01 = а02 = = «От , то формула (3 30), записанная дая относительной избыточной температуры, полностью совпадает с формулой для решения линейной задачи в первом приближении

3.3 Совместное использование интегральных преобразований Лапласа и ортогонального метода Бубнова-Галеркина в задачах теплопроводности для многослойных конструкций Методы интегральных преобразований обладают рядом преимуществ по сравнению с классическими методами (Фурье, функций источников, тепловых потенциалов и др) Они стандартны, позволяют получать решение в удобном для численных расчетов виде Процесс получения аналитического решения благодаря использованию стандартных приемов значительно сокращается и упрощается Весьма эффективным оказалось совместное использование интегральных преобразований Лапласа с ортогональными методами и методами взвешенных невязок Рассмотрим краевую задачу для многослойной конструкции

Математическая постановка задачи в области изображений по Лапласу будет

(,-ЦЙ) (331)

(3 32)

ГД^ЬГ^Сх,,*), (3 33)

4х

с1х

(3 34) (3 35)

где '¡\{х^)= (х,Го)ехр(-

0

Приближенное решение краевой задачи (3 31)-{3 35) разыскивается в виде

Т "

Г,Ы= ~+2/А(*Ы*). (3 36)

* к=1

где - неизвестные коэффициенты изображения, ^¡с(к = 1,п, 1 = 1,т) - координатные функции. определяемые таким образом, чтобы точно удовлетворялись граничные условия и условия сопряжения Для первого приближения они имеют вид (3 26)

Неизвестные коэффициенты изображения щ (5), при которых выражение (3 105) дает наилучшее приближение к точному решению задачи, определяются методом Бубнова-Галеркина Составляя невязку основного дифференциального уравнения и требуя ортогональность невязки к координатным функциям №(л), получим следующую систему алгебраических линейных уравнений

относительно неизвестных коэффициентов ад. (5)

л

]Г + (')= М- 0 = £") (3 37)

иы

/Н

& 1=1

После определения из решения системы алгебраических уравнений (3 37) неизвестных коэффициентов Щ^) и формального обращения в область оригиналов приближенное решение задачи в общем случае находится в виде

п

тХх^о)=Тср+^ак{Ро)п^) (3 38)

4=1

Найдем решение задачи теплопроводности для двухслойной пластины в первом приближении Из (3 37) относительно неизвестного коэффициента щ (5) получим алгебраическое линейное уравнение вида

+ (3 39)

Переходя к оригиналам, используя формулы обращения, получим

Решение уравнения (3 39) будет

Лц + Яц®

Соотношение (3 38) в первом приближении имеет вид

Г5г(х,^)=Гс;)+^-ехрГ-41^Л1г(х) (340)

ВП I в\\ )

4. В четвертой главе диссертации приводятся результаты получения аналитических решений задач теплообмена при ламинарном и турбулентном течении жидкостей в трубах

4.1. Использование метода дополнительных граничных условий для расчета теплообмена в плоском канале при постоянной температуре стенки Рассмотрим задачу о теплообмене при вязкостном течении жидкости в плоскопараллельном канале в случае постоянной температуры стенки Примем следующие допущения течение жидкости и процесс теплообмена стационарны, жидкость несжимаема, ее физические свойства постоянны (т е не зависят от температуры и давления), течение жидкости стабилизировано, т е профиль скорости не изменяется по длине, во входном сечении теплообменного участка температура жидкости постоянна по сечению и равна <д, температура внутренней поверхности стенки трубы на участке теплообмена постоянна и равна !с, причем 1С =£ /(). в потоке отсутствуют внутренние источники тепла, а количество тепла, выделяющееся

вследствие диссипации энергии, пренебрежимо мало, изменение теплового потока вдоль оси трубы, обусловленного теплопроводностью, мало по сравнению с изменением теплового потока вдоль оси, обусловленного конвекцией

Математическая постановка задачи теплообмена в плоской трубе при граничных условиях первого рода с учетом принятых выше допущений имеет вид (одномерная задача)

(,>о, о*,<и (41)

ду2 V ) дх

©Су,0) = 1, (42) = (43) еа*) = 0, (44)

ду

8 1 77

где у = 4/г$, * = Ре = <всрЫа

3 Ре п г

Следуя методу разделения переменных, решение задачи (4 1) - (4 4) разыскивается в виде

®(у,х) = <р(хту) (4 5)

Подставляя (4 5) в (4 1), получим следующие два обыкновенных дифференциальных уравнения

¿<р(х)1 ¿х + Л2 <р{х) = 0, (4 6)

d24>(y)/ dy2 + Л2 [\- у2у>{у) = 0, (4 7)

Решение уравнения (4 6) известно и имеет вид

<р(х) = Аехр(-Л2х), (4 8)

2

где Л - некоторая постоянная

где А - неизвестный коэффициент

Уравнение Штурма-Диувилля (4 7) представим в виде

ч>"(:у)+ма-у2)У(у) = о, (4 9)

где /х-/?

Граничные условия для уравнения (4 9) согласно (4 3), (4 4) будут

vP/(0) = 0, (410) ¥(1) = 0 (4 11)

Решение задачи (4 9) - (4 21) разыскивается в виде следующего ряда

и

(4 12)

¡=0

— ж

где С;, (i = \,п) - неизвестные коэффициенты, N, (у) = cos г—у, (г = 2г -1) - координатные функции

Для получения решения в первом приближении введем следующее дополнительное граничное условие, согласующееся с (4 10)

¥(0) = const = 1 (4 13)

Соотношение (4 12) благодаря принятым координатным функциям точно удовлетворяет основным граничным условиям (4 10), (4 11)

Ограничиваясь одним членом ряда в соотношении (4 12), для нахождения коэффициента С] подставим (4 12) в (4 13)

С\ cos— v = l 1 2

Отсюда С] = 1

Соотношение (4 12) в первом приближении примет вид

¥00 = cosy (414)

Составляя невязку уравнения (4 9) и интегрируя ее в пределах от у = 0 до у = 1, получим 1

j-Vcos^j-I/^a-*2) smj^jU = 0 (4 15)

о

Вычисляя интегралы, находим

Ml = 4т—= ~2>9233368 2 |-4яг + 7Г^+81

\ /

Точное значение первого собственного числа краевой задачи Штурма - Лиувилля равно

= 2,8277628 Собственная функция находится из (4 12)

Для получения решения в последующих приближениях к граничным условиям (4 10), (411), (4 13) вводятся следующие дополнительные граничные условия

Ч>1!(0) = -/1, Ч/Ж(0) = 0, 4>IV(0) = M2+2M, Ц>г{0) = 0,

4>и(0)--

Ут(0) = м4 + 44р3+6Ом2, Ч-'^гО, (416)

4'A'(0) = -/¿5-100/í4 - 8441u3, <¥ja(Q) = 0

Для определения коэффициентов С,, (¡ = 1,8) воспользуемся пятью дополнительными граничными условиями, полученными из дифференциального уравнения (4 9) с чётными производными После подстановки (4 12) во все эти граничные условия получается система из восьми алгебраических линейных уравнений с 8 - ю неизвестными Сг, из решения которой находим С,

После подстановки найденных значений С,, (¡ = 1,8 ) в (4 12) составляется интеграл взвешенной невязки уравнения (4 9), и требуется ортогональность невязки к функции (4 12), т е и

V 1—1

Я

COSi' — y 2

dy¿

i=1

П

г=1

cosr—ydy = 0 2

(417)

Корни полинома, получаемые из соотношения (4 17) имеют вид щ = 2,82777456569, А2 = 32,0985485889, = 92,2982235513, = 180,569965663 Точные значения первых четырех собственных чисел следующие

щ = 2,8277628 , М2 = 32,147282 , « = 93,474913 , = 186,80496 Подставляя собственные функции, определяемые из (4 12), в (4 5), получим

0,(у,*) = 4С,Cu,)eos г—уехр(-^,х)

(г = 2г-1, ¡ = 1,2,3,4)

(418)

Соотношение (4 18) для каждого собственного числа является частным решением уравнения (4 9) Каждое частное решение точно удовлетворяет граничным условиям (4 3), (4 4) и приближенно (в зависимости от числа членов ряда (4 12)) уравнению (4 1) Однако ни одно из этих частных решений, в том числе и их сумма не удовлетворяют начальному условию

71

(4 19)

i=l

Для того чтобы соотношение (4 19) удовлетворяло начальному условию (4 2), составляется его невязка и требуется ортогональность невязки ко всем собственным функциям, т е

[А,%(м„у)-11^(п.У)Ф = 0 (j = 2г-1) (4 20)

0

Ввиду ортогональности косинусов неизвестные А, в системе уравнений (4 20) разделяются (в каждое уравнение входит лишь одно неизвестное) Любое из этих уравнений будет иметь вид

1 1

Г 'у л С ц _

A¡ Icos г—уdy= Icosr—ydy (i = \,n , г = 2г-1)

0 0 Определяя интегралы, находим

А; ~±А!гя , (4 21)

где знак «плюс» при r = 1, 5, 9, 13, «минус» г = 3, 7, 11 15,

А\ = 1,13384585 , А2 = -0,301688261, А3 = 0,1897588159 , А4 = -0,1767360986 Соотношение (4 19) в данном случае принимает вид

п . ^

(г = Ъ-1) (4 22)

(=1

Анализ результатов расчетов по формуле (4 22) показывает, что в диапазоне 0,2<х<т полученное здесь решение при п = 4 отличается от точного не более чем на 4 %

4 2 Расчет теплообмена с учетом теплоты трения Допустим, что жидкость заключена между двумя плоскими стенками, одна из которых движется относительно другой с некоторой постоянной скоростью щ (течение Куэтта) Требуется найти распределение температуры в жидкости с учетом теплоты трения Исследование таких задач необходимо при изучении гидродинамики и теплообмена в пограничном слое обтекаемых тел

Математическая постановка задачи в данном случае имеет вид

(о<г<«>, 0<#<1) (4 23)

дг ср а

Г(^,0)=Г0, (4 24) Г(0,2)=ГЬ (4 25) г{1,г)=Г2, (4 26) где г = х/Рек , £ = у! к ,Рг = ыф1 а - критерий Пекле

Решение краевой задачи (4 23) - (4 26), следуя методу ортогональному методу Л В Канторовича, в первом приближении разыскивается в виде

Г(г,£)= -Т^+Ц + Л(г)и(& <427>

где/](г) - неизвестная функция, координатная функция

Составим невязку уравнения (4 23) и потребуем ортогональность невязки к координатной функции

(428)

о о о

Разделяя переменные в уравнении (4 28) и интегрируя, получим

Л(г)=Сех(429)

где С- постоянная интегрирования

Соотношение (4 27) с учетом (4 28) примет вид

т{г, 4) = %(т2 - 7} )+ 7\ + С ехр^

Для нахождения постоянной интегрирования составляется невязка начального условия и требуется ортогональность невязки к координатной функции Формула для нее будет

(4 30)

р {Т2-ТМ№

М 1

о о

4.3 Температура стенки - линейная функция координаты, направленной вдоль течения потока Рассмотрим задачу теплообмена для жидкости, движущейся в круглой трубе, при линейном изменении температуры стенки от координаты х Математическая постановка задачи на уча-

стке гидродинамически установившегося течения имеет вид

2 ~)дТ _д2Т 1 дТ

М)

(0£р<1)

1 & др2 Р дР

#^ = 0, (4 33) т(хЛ)=Гст + Ах,

др

Ре = 2й>срЯ/а , р = г/Я , к = Т()-Тст

(4 31) (4 34)

Г(0,Р)=Г0> (4 32)

где А = кРеЯ, х = ——— , гс - ¿.шСП1\ Ре Н ср

Решение задачи (4 31)-(4 34), следуя ортогональному методу Канторовича, в первом приближении разыскивается в виде

Т = (4 35)

Соотношение (4 35) точно удовлетворяет граничным условиям (4 33), (4 34) Неизвестная функция /\(х) находится из решения следующего обыкновенного дифференциального уравнения

35 дх ' 5

Разделяя переменные и интегрируя, будем иметь

35

Ы

х + С,

где С - постоянная интегрирования

Отсюда для неизвестной функции /\{х) получается формула

Подставляя (4 36) в (4 35), получим Т = Тст + Ах +

-Л+С ехр( - ~ *

м

(4 36)

(4 37)

Постоянная интегрирования С находится из начального условия (4 32) Для этого составляется невязка соотношения (432) и требуется ортогональность невязки координатной функции

1-^

1Г

Тст-ТаЦ-\л + с\\-р2

о

1-р* ¿р = 0

После определения интегралов получается одно алгебраическое линейное уравнение с одним неизвестным Его решение

1 ' (4 38)

С=-А-±(Тст-Т0) Подставляя (4 38) в (4 37), в окончательном виде получим решение задачи (4 31)-(4 34)

Т = Тс+Ах + \-~А +

(4 39)

Основные выводы и результаты работы

1 Разработан новый подход к определению собственных чисел краевых задач Бесселя, Штурма - Лиувилля и др, основанный на использовании ортогонального метода Бубнова - Галерки-на и дополнительных граничных условий Собственные числа находятся путем составления невязки исходного дифференциального уравнения и требования ортогональности невязки ко всем собственным функциям с последующим решением получающегося при этом алгебраического полинома От-

мечается высокая точность определения собственных чисел Так, уже в пятом - шестом приближении получающиеся аналитические решения в диапазоне чисел 0,005 < /ч> < <» практически совпадают с точными

2 Показана необходимость и разработан метод получения дополнительных граничных условий применительно к решению задач теплопроводности путем совместного использования метода разделения переменных (Фурье) и ортогонального метода Бубнова - Гаперкина Необходимость в таких условиях связана с появлением нового неизвестного параметра р (собственные числа) после разделения переменных в исходном дифференциальном уравнении Дополнительные граничные условия находятся из основного дифференциального уравнения путем его многократного дифферент цирования по эллиптической независимой переменной и применения получающихся выражений в граничных точках краевой задачи

3 На основе полученных в диссертации аналитических (приближенных аналитических) решений разработан аналитический метод решения обратных задач теплопроводности по идентификации физических свойств среды, граничных и начальных условий теплообмена Сформулированы необходимые условия и исходные предпосылки для восстановления начальных условий краевой задачи И, в частности, показано, что они могут быть восстановлены по информации о температурном состоянии конструкции лишь на начальном участке временной координаты (в стадии нерегулярного теплового режима)

4 Получены аналитические и приближенные аналитические решения линейных и нелинейных задач теплопроводности для однослойных и многослойных тел, задач теплообмена при ламинарном и турбулентном течении жидкости в однослойных и многослойных плоских и круглых каналах при совместном использовании точных (Фурье, интегральных преобразований) методов и ортогональных методов взвешенных невязок Полученные решения позволяют получать достаточную для инженерных приложений точность, имеют простой вид рядов с коэффициентами, экспоненциально стабилизирующимися во времени Такие решения максимально приспособлены для решения обратных задач теплопроводности, задач термоупругости, задач автоматизированного проектирования и управления

5 С использованием полученных в диссертации аналитических решений задач теплопроводности с переменными во времени граничными условиями путем решения обратных задач найдены коэффициенты теплоотдачи в новых конструкциях чугунных набивок вращающихся регенеративных воздухоподогревателей тепловых электрических станций Показано, что на величину коэффициентов теплоотдачи существенное влияние оказывает форма профиля ребра решетчатой набивки И, в частности, наибольших значений они достигают там, где имеет место наименьшая толщина гидродинамического пограничного слоя, выполняющего роль термического сопротивления

6 Полученные в диссертации аналитические решения задач теплообмена при ламинарном и турбулентном течении жидкости в трубах были использованы при разработке компьютерных моделей теплосетей, позволяющих определять температуру и давление в любой точке сложной разветвленной трубопроводной системы Акты о внедрении полученных результатов приводятся в приложениях диссертации

Основные публикации по теме диссертации

Научные статьи, опубликованные в изданиях по списку ВАК

1 Кудинов В А, Дикоп В В, Габдушев Р Ж , Назаренко С А Определение собственных чисел краевой задачи Штурма-Лиувиля Вестник СамГТУ Вып 16 Сер "Физ-мат науки" Самара 2002 С 46-48

2 Кудинов В А, Дикоп В В , Назаренко С А, Габдушев Р Ж Определение собственных чисел в задаче теплопроводности для бесконечного цилиндра Вестник СамГТУ Вып 16 Сер "Физмат науки" Самара 2002 С 49-52

3 Кудинов В А, Дикоп В В, Назаренко С А, Стефанюк Е В Метод координатных функций в нестационарных задачах теплопроводности для многослойных конструкций Вестник СамГТУ Вып 20 Сер "Физ-мат науки" Самара2003 С 12-15

4 Кудинов В А, Дикоп В В , Стефанюк Е В , Назаренко С А Об одном методе решения нестационарных задач теплопроводности для многослойных конструкций Инженерно-физический журнал Т 78 №3 2005 С 21-27

5 Кудинов В А, Стефанюк Е В , Назаренко С А, Дикоп В В Применение метода координатных функций для решения обратных задач теплопроводности Вестник СамГТУ Вып 20 Сер "Тех науки" Самара 2004 С 161-168

6 Кудинов В А, Аверин Б В, Стефанюк Е В, Назаренко С А Анализ нелинейного теплопе-реноса на основе определения фронта температурного возмущения Теплофизика высоких температур №4 2005 С 1-9

Публикации в других изданиях

7 Кудинов В А, Диков В В, Габдушев Р Ж, Назаренко С А Аналитические решения краевых задач нестационарной теплопроводности Изв АН Энергетика №6 2003 С 128-134

8 Кудинов В А, Дикоп В В, Стефанюк Е В, Назаренко С А Метод координатных функций в несимметричных задачах теплопроводности Меясвуз сб научн тр "Дифф уравнения и их приложения" №2 Самара СамГТУ2003 С 136-141

9 Аверин Б В, Кудинов В А, Назаренко С А Калашников В В Нагрев однослойной плоской стенки импульсными внешними и внутренними источниками теплоты Межвузовский сборник научных трудов «Дифф уравнения и их приложения» №2 Самара СамГТУ 2003 С 80-88

10 Кудинов В А, Стефанюк Е В, Назаренко С А, Дикоп В В Метод координатных функций для решения обратных задач теплопроводности Доклад на Четвертой Международной конференции "Обратные задачи идентификация, проектирование и управление" Москва МАИ 2003

11 Кудинов В А., Стефанюк Е В, Назаренко С А, Дикоп В В Метод координатных функций в нестационарных задачах теплопроводности Труды Пятого Минского Междунар форума по тепло- и массообмену Т 1 Минск 2004 С 246-248

12 Аверин Б В , Кудинов В А, Стефанюк Е.В, Назаренко С А Дополнительные граничные условия в задачах теплопроводности для цилиндрической и сферической симметрии на основе интеграла теплового баланса Тр Всеросс научн конф "Математическое моделирование и краевые задачи" Ч 3 Самара 2004 С 9-12

13 Аверин Б В, Кудинов В А, Стефанюк Е В, Назаренко С А Тепловое и напряженно-деформированное состояние трехслойной панели с решетчатым заполнителем при воздействии солнечного излучения Тр Всеросс научн конф "Математическое моделирование и краевые задачи" Ч 2 Самара. 2004 С 15-18

14 Аверин Б В , Кудинов В А, Назаренко С А, Стефанюк Е В Метод дополнительных граничных условий в задачах теплопроводности на основе интеграла теплового баланса Изв АН Энергетика №4 2005 С 119-127

15 Кудинов В А, Аверин Б В, Стефанюк Е В , Назаренко С А Аналитические решения задач теплопроводности с переменным начальным условием на основе определения фронта температурного возмущения Инженерно-физический_журнал Т 80 № 3 2007 С 27-35

16 Кудинов В А, Аверин Б В , Стефанюк Е В , Назаренко С А Аналитические методы теплопроводности Самара. Самар гос техн ун-т 2004 209 с

17 Кудинов В А, Аверин Б В, Стефанюк Е В, Назаренко С А Теплопроводность и теро-мупругостъ в многослойных конструкциях Самара Самар гос техн ун-т 2006 304 с

Подписано в печать 20 марта 2008

Формат бумаги 60x84 1/16 Печать плоская Уел Издл 2 0 Тираж 150 экз Заказ № 128

Отпечатано в издательско-полиграфическом центре Самарского государственного технического университета 443100, Самара, ул Молодогвардейская, 244

Общая характеристика работы

1. Обзор работ в области разработки аналитических методов решения краевых задач.

2. Метод дополнительных граничных условий в нестационарных задачах теплопроводности.

2.1. Неограниченная пластина (алгебраические координатные функции).

2.2. Тригонометрические координатные функции.

2.3. Неограниченная пластина (граничные условия третьего рода).

2.4. Бесконечный цилиндр (граничные условия первого рода).

2.5. Бесконечный цилиндр (граничные условия третьего рода).

2.6. Шар (граничные условия первого рода).

2.7. Шар (граничные условия третьего рода).

2.8. Задачи теплопроводности при несимметричных граничных условиях третьего рода.

2.9. Нестационарные обратные задачи теплопроводности.

2.10. Метод дополнительных граничных условий в задачах теплопроводности для многослойных конструкций.

3. Совместное использование точных методов и ортогональных методов взвешенных невязок

3.1. Совместное использование интегрального преобразования Лапласа и ортогонального метода Бубнова-Галеркина.

3.2. Приближенные решения нелинейных задач теплопроводности.

3.3. Задачи теплопроводности с источниками теплоты (граничные условия 1-го рода).

3.4. Нелинейные задачи теплопроводности для многослойных конструкций.

3.5. Совместное использование интегральных преобразований Лапласа и ортогонального метода Бубнова-Галеркина в задачах теплопроводности для многослойных конструкций.

3.6. Разработка комплексов программ применительно к решению нелинейных задач теплопроводности, задач теплопроводности для многослойных конструкций численными методами.

4. Аналитические решения задач нестационарного теплообмена при течении жидкостей в трубах и плоских каналах

4.1. Использование метода дополнительных граничных условий для расчета теплообмена в плоском канале при постоянной температуре стенки.

4.2. Стержневое и ламинарное течение в плоскопараллельном канале.

4.3. Расчет теплообмена с учетом теплоты трения.

4.4. Температура стенки - линейная функция координаты, направленной вдоль течения потока.

4.5. Расчет теплообмена при течении жидкости в многослойных плоских теплообменниках.

4.6. Приближенное решение нестационарной задачи теплообмена для турбулентного потока жидкости.

Актуальность проблемы.

Сущность методологии математического моделирования состоит в замене изучаемого явления его «образом» - математической моделью и в дальнейшем изучении ее аналитическими и численными методами. Оно сочетает в себе достоинства как теории, так и эксперимента. Изучение не самого явления, а его математической модели, дает возможность исследовать не только линейные, но и нелинейные явления, которые, как правило, не допускают какой-либо общей аналитической схемы и требуют каждый раз индивидуального подхода.

Одним из перспективных направлений математического моделирования задач теплопереноса является совместное использование точных (Фурье, интегральных преобразований и др.) и приближенных аналитических (вариационных, взвешенных невязок и др.) методов. Такой комплексный подход позволяет наилучшим образом использовать положительные стороны этих двух важнейших аппаратов прикладной математики, т.к. появляется возможность без проведения тонких и громоздких математических расчетов получать выражения, эквивалентные главной части точного решения, состоящего из бесконечного функционального ряда.

Особое место среди приближенных аналитических методов занимают методы взвешенных невязок (ортогональный метод Бубнова-Галеркина). Отличительной особенностью этих методов является их универсальность и простота реализации при достаточно высокой точности, возможность применения для решения задач, не связанных с вариационными принципами. Эти методы в конечном итоге приводят к решению систем алгебраических линейных уравнений и в дальнейшем к нахождению собственных чисел из алгебраического полинома. Такая алгебраизация задачи позволяет наиболее трудоемкую часть получения решения переложить на современные средства вычислительной техники. При всем этом окончательное решение является аналитическим в виде ряда с коэффициентами, экспоненциально стабилизирующимися во времени. i .

Отличие этих методов от классических в том, что собственные числа в ортогональных методах взвешенных невязок находятся из выполнения основного дифференциального уравнения путем решения алгебраического полинома соответствующей степени (в зависимости от числа приближений). Граничные условия при этом выполняются точно путем решения системы алгебраических линейных уравнений. Таким образом, в методах взвешенных невязок точность получаемого решения зависит лишь от точности выполнения исходного дифференциального уравнения и эта точность будет зависеть от числа приближений. В классических методах заранее точно удовлетворяется исходное дифференциальное уравнение, а собственные числа находятся из граничных условий путем решения трансцендентных уравнений. Следовательно, точность решения здесь зависит от точности выполнения граничных условий, которая в свою очередь зависит от числа приближений. Отметим, что для одних и тех же задач (например, при несимметричных и неоднородных граничных условиях третьего рода) решение трансцендентного уравнения представляется значительно более сложной проблемой, чем решение соответствующей степени (по числу приближений) алгебраического полинома. Весьма важным является тот факт, что при использовании методов взвешенных невязок основное дифференциальное уравнение (Бесселя, Штурма-Лиувилля и др.) удовлетворяется путем составления его невязки и требования ортогональности невязки ко всем координатным (или собственным) функциям. В связи с чем эти методы могут быть применены к любым дифференциальным уравнениям независимо от вида дифференциального оператора краевой задачи.

Несмотря на очевидные преимущества методов взвешенных невязок, они пока еще недостаточно разработаны применительно к решению задач теплопроводности с переменными по координатам физическими свойствами среды, с переменными во времени граничными условиями и источниками теплоты, нелинейных задач теплопроводности, а также задач теплопроводности для многослойных конструкций.

Цель работы

Разработка аналитического метода решения краевых задач нестационарной теплопроводности на основе введения дополнительных граничных условий, получаемых из дифференциального уравнения краевой задачи путем его дифференцирования применительно к граничным точкам области

Методы исследования

В диссертации использованы следующие методы: разделение переменных (метод Фурье), ортогональный метод Бубнова-Галеркина, метод JI.B. Канторовича, метод интегральных преобразований Лапласа.

Научная новизна

1. Разработан новый подход к определению собственных чисел краевых задач Бесселя, Штурма-Лиувилля и др., основанный на интегрировании их невязки и требовании ортогональности невязки ко всем собственным функциям с последующим получением алгебраического полинома для нахождения собственных значений.

2. Показана необходимость введения дополнительных - граничных условий, связанная с появлением нового неизвестного параметра ц (собственные числа) в результате разделения переменных в исходном дифференциальном уравнении, и разработан метод их получения, основанный на дифференцировании исходного уравнения и применении получаемых соотношений к граничным точкам краевой задачи.

3. Разработан аналитический метод решения обратных задач теплопроводности по идентификации физических свойств среды, граничных и начальных условий теплообмена, основанный на использовании аналитических решений, полученных на основе совместного использовании методов Фурье и ортогонального метода Бубнова-Галеркина.

4. Разработан комплекс программ применительно к решению линейных и нелинейных задач теплопроводности для многослойных конструкций численными методами.

Положения выносимые на защиту:

1. Результаты разработки нового подхода к определению собственных чисел краевых задач Бесселя, Штурма-Лиувилля и др., основанного на использовании ортогональных методов взвешенных невязок (метод Бубнова-Галеркина) и дополнительных граничных условий.1 i

2. Результаты разработки метода получения дополнительных граничных условий, определяемых из исходного уравнения краевой задачи путем его дифференцирования применительно к граничным точкам рассматриваемой области.

3. Результаты разработки аналитического метода решения обратных задач теплопроводности, позволяющего идентифицировать физические свойства среды, граничные и начальные условия теплообмена на основе имеющегося аналитического (приближенного аналитического) решения краевой задачи.

4. Результаты разработки комплекса программ применительно к решению линейных и нелинейных задач теплопроводности для многослойных конструкций с использованием численных методов.

5. Результаты расчетов коэффициентов теплоотдачи в набивках вращающихся регенеративных воздухоподогревателей путем решения - обратной задачи теплопроводности на основе полученных в диссертации аналитических решений прямых задач.

Достоверность

Достоверность результатов подтверждается использованием математических моделей, адекватных реальным физическим процессам, протекающим в конкретных теплотехнических установках, а также сравнением полученных в диссертации результатов с точными аналитическими решениями, с результатами расчетов численными методами и с данными натурных экспериментов.

Практическая ценность работы

1. Представленная работа является обобщением теоретических и экспериментальных исследований, выполненных автором на кафедре « Теоретические основы теплотехники и гидромеханика» Самарского государственного технического университета. Исследования проводились по планам госбюджетной тематики Минвуза РФ № 551/02 «Разработка методов определения собственных значений в краевых задачах теплопроводности», а также по планам ниокровских работ ОАО «Самараэнерго» за 2002 - 2005 г.г. Научные и практические результаты использованы на Самарской ТЭЦ, Безымянской ТЭЦ, Тольяттинской ТЭЦ, Самарской ГРЭС, Новокуйбышевской ТЭЦ-2, ТЭЦ ВАЗа, в 7

Самарских тепловых сетях, Ульяновских тепловых сетях, Тольяттинских тепловых сетях, Саратовских тепловых сетях, тепловых сетях от Балаковской ТЭЦ-4. Экономический эффект от внедрения, подтвержденный актами о внедрении, приведенными в приложениях диссертации, составляет 16080 ООО рублей.

2. С использованием разработанных в диссертации методов путем решения обратной задачи теплопроводности найдены коэффициенты теплоотдачи в набивках регенеративных воздухоподогревателей Новокуйбышевской ТЭЦ-2 (акт о внедрении работы приведен в приложениях диссертации).

3. Результаты работы были использованы при разработке компьютерных моделей теплосети Самарской ТЭЦ, цирксистемы Новокуйбышевской ТЭЦ-2, теплосетей от Привокзальной отопительной котельной г. Самары (акты о внедрении приведены в приложениях диссертации).

Апробация работы

Основные результаты работы были доложены и обсуждены на Четвертой Международной конференции «Обратные задачи: идентификация проектирование и управление». Москва, МАИ. 2003; Пятом Минском Международном форуме по тепло- и массообмену. Минск. АНБ. 2004; Всероссийской науч.-тех. конференции «Математические моделирование и краевые задачи». 2004г.

Публикации

По результатам выполненных исследований опубликовано 20 научных работ, в том числе 6 статей в центральных академических изданиях, 5 статей в Вестнике Самарского государственного технического университета, а также напечатана одна монография и одно учебное пособие в соавторстве.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, выводов, списка используемой литературы, приложений: изложена на 129 страницах основного машинописного текста, содержит 41 рисунок, 10 таблиц. Список использованной литературы включает 93 наименования.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработан новый подход к определению собственных чисел краевых задач Бесселя, Штурма - Лиувилля и др., основанный на использовании ортогонального метода Бубнова - Галеркина и дополнительных граничных условий. Собственные числа находятся путем составления невязки исходного дифференциального уравнения и требования ортогональности невязки ко всем собственным функциям с последующим решением получающегося при этом алгебраического полинома. Отмечается высокая точность определения собственных чисел. Так, уже в пятом -шестом приближении получающиеся аналитические решения в диапазоне чисел 0,005 <fo< оо практически совпадают с точными.

2. Показана необходимость и разработан метод получения дополнительных граничных условий применительно к решению задач теплопроводности путем совместного использования метода разделения переменных (Фурье) и ортогонального метода Бубнова - Галеркина. Необходимость в таких условиях связана с появлением нового неизвестного параметра // (собственные числа) после разделения переменных в исходном дифференциальном уравнении.

Дополнительные граничные условия находятся из основного дифференциального уравнения путем его многократного дифференцирования по эллиптической независимой переменной и применения получающихся выражений в граничных точках краевой задачи. 1 • •' ^ 1

3. На основе полученных в диссертации аналитических (приближенных аналитических) решений разработан аналитический метод решения обратных задач теплопроводности по идентификации физических свойств среды, граничных и начальных условий теплообмена. Сформулированы необходимые условия и исходные предпосылки для восстановления начальных условий краевой задачи. И, в частности, показано, что они могут быть восстановлены по информации о температурном состоянии конструкции лишь на начальном участке временной координаты (в стадии нерегулярного теплового режима).

4. Получены аналитические и приближенные аналитические решения линейных и нелинейных задач теплопроводности для однослойных и многослойных тел, задач

124 теплообмена при ламинарном и турбулентном течении жидкости в однослойных и многослойных плоских и круглых каналах при совместном использовании точных (Фурье, интегральных преобразований) методов и ортогональных методов взвешенных невязок. Полученные решения позволяют получать достаточную для инженерных приложений точность, имеют простой вид рядов с коэффициентами, экспоненциально стабилизирующимися во времени. Такие решения максимально приспособлены для решения обратных задач теплопроводности, задач термоупругости, задач автоматизированного проектирования и управления.

5. С использованием полученных в диссертации аналитических решений задач теплопроводности с переменными во времени граничными условиями путем решения обратных задач теплопроводности найдены коэффициенты теплоотдачи в новых конструкциях чугунных набивок вращающихся регенеративных подогревателей тепловых электрических станций. Показано, что на величину коэффициентов теплоотдачи существенное влияние оказывает форма профиля ребра решетчатой набивки. И, в частности, (наибольших значений они достигают там, где имеет место наименьшая толщина гидродинамического пограничного слоя, выполняющего роль термического сопротивления.

6. Полученные в диссертации аналитические решения задач теплообмена при ламинарном и турбулентном течении жидкости в трубах были использованы при разработке компьютерных моделей теплосетей, позволяющих определять температуру и давление в любой точке сложной разветвленной трубопроводной системы. Акты о внедрении полученных результатов приводятся в приложениях диссертации

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах

1. Кудинов В.А., Дикоп В.В., Габдушев Р.Ж., Назаренко С.А. Определение собственных чисел краевой задачи Штурма-Лиувиля. Вестник СамГТУ. Вып. 16. Сер. "Физ-мат. науки". Самара 2002. С. 46-48.

2. Кудинов В.А., Дикоп В.В.,.НазаренкоС.А., Габдушев Р.Ж. Определение собственных чисел в задаче теплопроводности для бесконечного цилиндра. Вестник СамГТУ. Вып. 16. Сер. "Физ-мат. науки". Самара 2002. С. 49-52.

3. Кудинов В.А., Дикоп В.В., Назаренко С.А., Стефанюк Е.В. Метод координатных функций в нестационарных задачах теплопроводности для многослойных конструкций. Вестник СамГТУ. Вып. 20. Сер. "Физ-мат. науки". Самара 2003. С. 12-15.

4. Кудинов В.А., Дикоп В. В., Стефанюк Е.В., Назаренко С. А. Об одном методе решения нестационарных задач теплопроводности для многослойных конструкций. Инженерно-физический журнал. Т. 78. № 3. 2005. С. 21-27

5. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Аналитические решения задач теплопроводности с переменным начальным условием на основе определения фронта температурного возмущения. Инженерно-физическийжурнал. Т. 80. №3.2007. С. 27-35.

6. Кудинов В.А., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А., Дикоп В.В. Применение метода координатных функций для решения обратных задач теплопроводности. Вестник СамГТУ. Вып. 20. Сер."Тех. науки". Самара 2004. С. 161-168.

7. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Анализ нелинейного теплопереноса на основе определения фронта температурного возмущения. Теплофизика высоких температур. №4. 2005. С. 1-9.

8. Кудинов В.А., Диков В.В., Габдушев Р.Ж., Назаренко С.А. Аналитические решения краевых задач нестационарной теплопроводности. Изв. АН Энергетика. №6. 2003.С. 128 -134.

9. Кудинов В.А., Дикоп В.В., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Метод координатных функций в несимметричных задачах теплопроводности. Межвуз. сб. научн. тр. "Дифф. уравнения и их приложения".№ 2. Самара.' СамГТУ.2003. С.136-141.

10. Аверин Б.В., Кудинов В.А., Назаренко С.А. Калашников В.В. Нагрев однослойной плоской стенки импульсными внешними и внутренними источниками теплоты. Межвузовский сборник научных трудов «Дифф. уравнения и их приложения» №2. Самара. СамГТУ.2003. С. 80-88.

11. Кудинов В.А., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А., Дикоп В.В. Метод координатных функций для решения обратных задач теплопроводности. Доклад на Четвертой Международной конференции "Обратные задачи: идентификация, проектирование и управление". Москва. МАИ. 2003.

12. Кудинов В.А., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А., Дикоп В.В. Метод координатных функций в нестационарных задачах теплопроводности. Труды Пятого Минского Междунар. форума по тепло- и массообмену. Т. 1. Минск. 2004. С. 246248.

13. Аверин Б.В., Кудинов В.А., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Дополнительные граничные условия в задачах теплопроводности для цилиндрической и сферической симметрии на основе интеграла теплового баланса. Тр. Всеросс. научн. конф. "Математическое моделирование и краевые задачи" Ч. 3. Самара. 2004. С. 9-12.

14. Аверин Б.В., Кудинов В.А., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Тепловое и напряженно-деформированное состояние трехслойной панели с решетчатым заполнителем при воздействии солнечного излучения. Тр.!Всеросс. научн. конф. "Математическое моделирование и краевые задачи" Ч. 2. Самара. 2004. С. 15-18.

15. Аверин Б.В., Кудинов В.А., Назаренко С.А., Стефанюк Е.В. Метод дополнительных граничных условий в задачах теплопроводности на основе интеграла теплового баланса. Изв. АН Энергетика. №4. 2005.С. 119 -127.

16. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Аналитические методы теплопроводности. Самара. Самар. гос. техн. ун-т. 2004. 209 с.

17. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Теплопроводность и теромупругость в многослойных конструкциях. Самара: Самар. гос. техн. ун-т. 2006. 304 с.

1. Аверин Б.В. Математическое моделирование температурных полей и термических напряжений в многослойных радиопрозрачных укрытиях мощных передающих антенн: Автореф. канд. дисс. М.: Московская академия тонкой химической технологии, 1999. 22 с.

2. Аверин Б.В., Колотилкин Д.И., Кудинов В.А. Задача Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения второго порядка с разрывными коэффициентами. ИФЖ, т.73, № 4, 2000. с.748-753.

3. Айзеп A.M., Редчиц КС. Расчет стационарной нелинейной теплопроводности через многослойные стенки с источниками тепла. Теплофизика и теплотехника. Ин-т Техн. теплофизики АН УССР, 1974, Вып. 27. С. 133-138.

4. Акаев А.В., Дулънев Г.Н. К вопросу о повышении точности первых приближений метода Л.В. Канторовича в применении к краевым задачам стационарной теплопроводности // Изв. АН СССР. Сер. Энергетика и транспорт, 1972, № 1. С. 154 158.

5. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988. 297 с.

6. Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов. М.: Маi 'шиностроение, 1979. 216 с.

7. Арамонович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1964. 286 с.

8. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы нестационарной теплопроводности. М.: Высш. школа, 1978.328 с.

9. Био М. Вариационные принципы в теории теплообмена. М.: Энергия. 1975.

10. Волков А.Г. Радиопрозрачные укрытия для мощных передающих фазированных антенных решеток. Автореф. канд. дисс. М.: НИРФ, 1984. 18 с.

11. Булавин П.Е., Кащеев В.М. Решение неоднородного уравнения теплопроводности для многослойных тел. ИФЖ, т.12, № 9. 1964.

12. Вейник А.И. Приближенный расчет процессов теплопроводности. М. Л.: Госэнергоиз-дат, 1959. 184 с.

13. Вигак В.М. О построении решения уравнения теплопроводности для кусочно-однородного тела. Докл. АН УССР, Сер. А, 1980, №1. С. 30.

14. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979. 320 с.

15. Галонен JI.M. Нестационарная задача теплопроводности неоднородных слоистых плит. ИФЖ. 1963, т. 6, №12. с. 81-84.

16. Григорьев Л.Я., Маньковский О.Н. Инженерные задачи нестационарного теплообмена. JL: Энергия, 1968. 83 с.

17. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1959. 470 с.

18. Гудмен Т. Применение интегральных методов в нелинейных задачах нестационарного теплообмена// Проблемы теплообмена, Сб. науч. тр. М.: Атомиздат. 1967, С. 41-96.

19. Гейтвуд Б. В. Температурные напряжения применительно к самолетам, турбинам и ядерным реакторам ИЛ. М.: 1959.

20. Дульнев Г.Н., Заричняк Ю.П. Теплопроводность смесей и композиционных материалов. Л.: Энергия, 1974. 266 с.

21. Заричняк Ю.П., Муратова Б.Л. Расчет теплового сопротивления составных конструкций из теплоизоляционных материалов // Механика композиционных материалов. 1979, №6.

22. Зарубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности. М.: Энергоатомиз-дат, 1983. 328 с.

23. Зарубин B.C. Температурные поля в конструкции летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1978. 184 с.

24. Иванов А.В. Операционное решение задач теплопроводности для слоисто-однородных тел. ИФЖ,. 1958, т. 1, №2. С. 13-21.

25. Каган В.К, Эсмендяев С.А. Решение уравнения теплопроводности для двухслойного цлиндра и тепловой расчет двигателей постоянного тока. ИФЖ, т. 27, №1. 1974.

26. Канторович Л.В. Использование идеи метода Галеркина в методе приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Прикл. мат. и механ. 1942, т. 6, № 1. С. 31 — 40.

27. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближённые методы высшего анализа. Л.: Физматгиз, 1962. 708 с.

28. Карслоу Г, ЕгерД. Теплопроводность твёрдых тел. М.: Наука, 1964. 488 с.

29. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твёрдых тел. М.: Высш. школа, 1985. 480 с.

30. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твёрдых тел. М.: Высш. школа, 2001. 550 с.

31. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. М.: Мир. 1978.

32. Коган М.Г. Применение методов Галеркина и Канторовича в теории теплопроводности // Исследование нестационарного тепло- и массообмена: Сб. тр. Минск, 1966. С. 42 — 51.

33. Коган М.Г. Решение нелинейных задач теории теплопроводности методом Канторовича // ИФЖ. 1967, т. 12, № 1. С. 72-81.

34. Коган М.Г. Нестационарная теплопроводность в слоистых средах. ЖТФ, 1957, т. 27, № 3. С. 522-531.

35. Коляно Ю.М. Применение обобщенных функций в термомеханике кусочно-однородных тел. В кн. Математические методы и физико-механиеские поля. Киев: Наукова думка. 1978. Вып. 7. С. 7-11.

36. Коляно Ю.М., Процюк Б.В. Термоупругость полого слоистого цилиндра. Физика и химия обработки материалов. 1977, №3. С. 12-17.

37. Коляно Ю.М., Процюк Б.В. Термоупругость многослойного цилиндра. Докл. АН УССР. Сер. А. 1976, №8. С. 718-721.

38. Коляно Ю.М., Попович B.C. Нестационарное температурное поле в состыкованных пластинах. Физика и химия обработки материалов. 1975, №5. С. 16-23.

39. Коляно Ю.М., Попович B.C. Термоупругость многослойных тел. Докл. АН УССР. Сер.А. 1975, №12. С.1112.

40. Коляно Ю.М. Температурные поля и напряжения в телах с разрывными параметрами (обзор). ИФЖ. 1987, т. 53, №5. С. 860-867.

41. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1977. 831 с.

42. Композиционные материалы. Справочник. Под ред. Васильева В.В. и Тернополъского Ю.М. М.: Машиностроение, 1990.

43. Кудинов В.А. Метод координатных функций в нестационарных задачах теплопроводности. Изв. АН Энергетика (обзор). 2004, №3. С. 82 104.

44. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Аналитические методы теплопроводности. Самара. Самар. гос. техн. ун-т. 2004. 209 с.

45. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Теплопропроводность и термоупругость в многослойных конструкциях. Учеб. пос. для вузов. Самара: Самар. гос. техн. ун т. 2006.

46. Кудинов В.А., Карташов Э.М., Калашников В.В. Аналитические решения задач тепломас-сопереноса и термоупругости для многослойных конструкций. Учеб. пос. для втузов. М.: Высшая школа, 2005. 340 с.

47. Кудряшев Л.И., Меньших H.JI. Приближённые решения нелинейных задач теплопроводности. М.: Машиностроение, 1979. 232 с.

48. Лазарян В.А., Конашенко С.И. Обобщенные функции в задачах механики. Киев: Наукова думка, 1974. 190 с.

49. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высш. школа, 1967. 600 с.

50. Лыков А.В. Тепломассоперенос: Справочник. М.: Энергия, 1978. 480 с.i um i i 1

51. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массопереноса. М.: Госэнергоиздат, 1963.535 с.

52. Махоркин И.Н. Термоупругость кусочно-однородных сферических тел. // В кн. Математические методы в термомеханике. Киев: Наукова думка, 1978. С. 163-173.

53. Махоркин И.Н Температурные напряжения в многослойном сферическом теле. Физико-химическая механика материалов. 1977, №5. С. 124.

54. Меерович И.Г. Температурное поле в многослойных системах с переменными физическими свойствами. ИФЖ, 1967, т. 12, № 4. с. 484 490.

55. Меерович И.Г., Мучник Г.Ф. Нестационарное температурное поле в многослойных системах. ТВТ, 1963, №2. С. 291-298.

56. Мучник Г.Ф., Зайдеман И.А. Нестационарная теплопроводность в многослойных средах. 1. Общие решения для плоских систем. ИФЖ, 1962. № 12. С. 71 76.

57. Мучник Г.Ф., Зайдеман И.А. Нестационарная теплопроводность в многослойных средах. III. Трехслойные и четырехслойные системы. ИФЖ, 1963, т.6, №3. С. 86-94.

58. Новицкий В.В. Дельта-функция и ее применение в строительной механике // Сб. «Расчет пространственных конструкций». Вып. 7. Гостройиздат. 1962.

59. Образцов И.Ф., Онанов Г.Г. Строительная механика скошенных тонкостенных систем. М.: Машиностроение, 1973. 659 с.

60. Онанов Г.Г. Уравнения с сингулярными коэффициентами типа дельта-функция и ее производных. Докл. АН СССР, 1970, т. 191, №5. С. 997-1000.

61. Павловский Г.И. Теплопроводность в двухслойной пластине при граничных условиях третьего рода. ИФЖ, 1962, т. 5, №4. С. 86-88.

62. Паркус Т. Неустановившиеся температурные напряжения. М.: Физматгиз, 1963. 252 с.

63. Пехович А.И., Жидких В.М. Расчеты теплового режима твердых тел. JL: Энергия, 1976.

64. Петухов Б.С. Теплообмен и сопротивление при ламинарном течении жидкости в трубах. М.: Энергия, 1967. 412 с.

65. Подстригач Я.С., Ломакин В.А., Коляно Ю.М. Термоупругость тел неоднородной структуры. М.: Наука, 1984. 368 с.

66. Постнов В.А., Хархурин И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. М.: Судостроение, 1974. 342 с.

67. Постольник Ю.С. Метод осреднения функциональных поправок в задачах теплопроводности // Тепло- и массоперенос: Сб. тр. Минск, 1972, т. 8. С. 23 29.

68. Пристрем A.M., Данилович Н.И., Лабунов В.А. Аналитический подход к расчету распределения температуры в многослойных структурах при нагреве сканирующим лазерным излучением непрерывного действия. ИФЖ, 1987, т. 53, № 6. С. 1000-1010.

69. Процюк Б.В. О решении задач теплопроводности и термоупругости для многослойных тел. Докл. АН УССР. Сер. А, 1977, №11. С. 1019-1021.

70. Редчиц И.С. Нелинейная нестационарная теплопроводность через многослойную плоскую стенку с неидеальными тепловыми контактами. Респ. межвед. сб. «Теплофизика и теплотехника». Вып. 29, Киев. Изд-во АН УССР, 1975. С. 139-148.

71. Самарский А.А. Уравнения параболического типа с разрывными коэффициентами. Докл. АН СССР. 1958, т. 121, №2. С. 225-228.

72. Тихонов А.И., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Физматгиз. 1951.

73. Теория тепломассообмена. Учебник для вузов. Под ред. А.И. Леонтьева. М.: Высшая школа, 1979. 495 с.

74. Тамуров Н.Г. Расчет нестационарных температурных полей в двухслойной пластине. ИФЖ, 1962, т.5,№ 12. С. 108-112. 1

75. Тимошенко С.П., ГудьерДж. Теория упругости. М.: Наука, 1979. 569 с.

76. Тимофеев Ю.А. Об одном приближенном методе расчета температурных полей кусочно-однородных тел. Дифференциальные уравнения. 1980, т.16, № 8. С. 1492-1503.

77. Фейджу, Дэвис, Рамкришна. Распределение тепла в композитных твердых телах с внутренним тепловыделением. Теплопередача, т. 101, №1, 1979. С. 161-167.

78. Фенъ Г.А., Шевляков Ю.А. Температурные напряжения в двухслойной свободно опертой по контуру пластинке. Прикл. Механика. 1968, т. 4, №1. С. 94-102.

79. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. М.: Физматлит, 2004. 400 с.

80. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. 279 с.

81. Христиченко А.И. Об одном способе решения задач теплопроводности двух- и трехслойных систем. Теплофизика высоких температур. 1965, т.З, №2. С. 272-275.

82. Хуан, Чжан. Нестационарный, периодический и стационарный режимы теплопроводности в слоистых композитах. Теплопередача, т. 102, №4. 1980.

83. Цой П.В. Методы решения отдельных задач тепломассопереноса. М.: Энергия, 1971. 382с.

84. Шорин С.Н. Теплопередача. М.: Высшая школа, 1964. 490с.

85. Швец М.Е. О приближенном решении некоторых задач гидродинамики пограничного слоя. Прикладная математики и механика. Т. 13. №3, 1949.

86. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Изд-во иностр. лит., 1956.

87. JangК.Т. Appl. Mech., 25, 146 (1958).

88. Pohlhausen К.Z. Angew. Math. Mech., 11252 (1921)

89. Landahl H.D. Bull. Math. Biophys., 15, 49 (1953)

90. Landahl H.D. Bull. Math. Biophys., 15, 376 (1953)

91. Landahl H.D. Bull. Math. Biophys., 19, 171 (1957)

92. MaceyR.1. Bull. Math. Biophys., 21,19 (1959)

93. Rashevsky N. «Mathematical Biophysics». Third Ed., Vol. 1, Chapter 1 Dover, New York,1960.