автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модифицированный метод построения приближенных аналитических решений задач нестационарного теплопереноса

На правах рукописи

Стефанюк Екатерина Васильевна

Модифицированный метод построения приближенных аналитических решений задач нестационарного теплопереноса

Специальность: 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 2006

Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика и информатика» Самарского государственного технического университета.

Научный руководитель - доктор физико - математических наук, профессор

Радченко Владимир Павлович

Официальные оппоненты: доктор физико - математических наук, профессор,

заслуженный деятель науки РФ Карташов Эдуард Михайлович

доктор физико - математических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ Формалев В.Ф.

Ведущая организация Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования «Самарский государственный университет» (СамГУ)

Защита состоится « ^ »_Л*_2006 г. в ¿<£час.

на заседании диссертационного совета Д 212.110.06

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского

Автореферат разослан « Ь » _ О^дУру^_2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.т.н., проф. ^---! ' Марсова Е.В.

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Разработка, исследование, обоснование адекватности математических моделей теплопереноса, а также совершенствование методов, алгоритмов и программного обеспечения для их реализации важны как в теоретическом, так и прикладном аспектах. Сущность методологии математического моделирования процесса теплопереноса состоит в замене реального физического явления его идеализированными «образами» - физической и математической моделями с последующим изучением их аналитическими и (или) численными методами.

Очевидно, что аналитические методы дают полную всеобъемлющую картину моделируемого процесса или явления в отличие от численных методов, которые требуют огромной вариативной проработки искомой задачи, каждый раз при новом наборе исходных данных.

В этом плане следует отметить, что получение точных аналитических решений линейных и нелинейных задач теплопроводности для однослойных и многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды, а также с переменными по координатам и во времени граничными условиями представляет серьезные математические трудности. Аналитические решения получены лишь для незначительного круга отдельных частных задач, к тому же, при весьма существенных допущениях. В связи с этим актуальность разработки новых эффективных аналитических (приближенных аналитических) методов решения краевых задач для моделирования процессов теплопереноса не вызывает сомнений.

Особое место среди приближенных аналитических методов занимают методы, в которых используется идея конечной скорости распространения теплового возмущения. К их недостаткам следует отнести априорный выбор температурного профиля, что порождает проблему однозначности решения и приводит к низкой его точности. Очевидный путь повышения точности интегральных методов — использования в температурных профилях полиномов более высокого порядка. В связи с этим возникает проблема поиска недостающих граничных условий, которые совместно с заданными позволили бы определять коэффициенты оптимального температурного профиля высокого порядка, учитывающего все физические особенности исследуемой задачи. Цель работы:

1. Разработка аналитических методов решения краевых задач на основе введения фронта температурного возмущения, с учетом конечной скорости распространения теплоты при использовании дополнительных граничных условий.

2. Разработка методов определения дополнительных граничных условий в задачах теплопроводности на основе интегрального метода с целью максимального учета физических свойств дифференциального оператора краевой задачи.

3. Разработка аналитических и приближенных аналитических методов решения краевых задач на основе вариационного метода Л.В. Канторовича применительно к моделированию процессов теплопроводности для однослойных и многослойных тел с переменными по координатам физическими свойствами среды, а также переменными во времени граничными условиями теплообмена.

4. Разработка приближенных аналитических методов решения задач теплопроводности на основе совместного использования метода разделения переменных (Фурье) и ортогонального метода Бубнова - Галеркина применительно к моделированию

процессов теплопроводности для многослойных конструкций, а также задач теплообмена при ламинарном течении жидкостей в трубах и плоских каналах. Научная новизна.

1. Разработан аналитический метод решения краевых задач на основе введения фронта температурного возмущения с учетом конечной скорости распространения теплоты, позволяющий получать высокоточные аналитические решения практически во всем диапазоне изменения временной координаты путем разделения процесса теплопроводности на две стадии по времени.

2. Разработан метод получения дополнительных граничных условий в задачах теплопроводности на основе интегрального метода теплового баланса, позволяющий существенно увеличить степень полинома, аппроксимирующего температурный профиль и максимально учесть физические свойства дифференциального оператора краевой задачи.

3. На основе ортогонального метода Л.В. Канторовича при использовании предложенных систем координатных функций, в любом приближении точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения, получены новые аналитические решения задач теплопроводности для многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды, а также с переменными во времени граничными условиями.

4. Путем совместного использования точных (Фурье) и приближенных аналитических методов (ортогональный метод Бубнова - Галеркина) получены новые аналитические решения задач теплопроводности для многослойных конструкций с использованием локальных систем координат, а также задач теплообмена при ламинарном течении жидкостей в трубах и плоских каналах.

На защиту выносятся:

1. Аналитический метод решения краевых задач теплопроводности на основе введения фронта температурного возмущения с учетом конечной скорости продвижения теплоты путем разделения теплового процесса на две стадии по времени при использовании дополнительных граничных условий.

2. Метод построения дополнительных граничных условий применительно к моделированию процесса теплопроводности на основе интегрального метода теплового баланса, позволяющего получать высокоточные решения практически во всем диапазоне времени нестационарного процесса за счет существенного увеличения степени аппроксимирующего температурный профиль полинома.

3. Результаты развития метода Л.В. Канторовича применительно к получению новых аналитических решений задач теплопроводности для многослойных конструкций на основе предложенных в диссертации систем координатных функций, в любом приближении точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения.

4. Результаты получения новых эффективных аналитических решений задач теплопроводности для многослойных конструкций при использовании локальных систем координат, а также задач теплообмена при ламинарном течении жидкостей в трубах и плоских каналах на основе совместного использования метода разделения переменных и ортогонального метода Бубнова - Галеркина.

5. Результаты математического моделирования по определению коэффициентов теплоотдачи на внутренних поверхностях барабанов паровых котлов путем решения обратных задач теплопроводности с использованием полученных в диссертации ана-

литических решений прямых задач теплопроводности путем совместного использования точных и приближенных аналитических методов.

6. Результаты математического моделирования по определению начала и продолжительности пленочного кипения топлива на стенках многослойных топливных коллекторов газотурбинных двигателей с использованием разработанных методов решения задач теплопроводности для многослойных конструкций. Практическая значимость работы:

1. Практическая значимость разработанных в диссертации аналитических и приближенных аналитических методов математического моделирования краевых задач в том, что полученные решения отличаются заметной простотой конструкции при точности, вполне достаточной для прикладных задач. Такие решения особенно полезны в случаях, когда решение температурной задачи является промежуточной стадией каких-либо других исследований, например, решения задач термоупругости, задач автоматизированного проектирования и управления, обратных задач теплопроводности. И, в частности, аналитические решения задач теплопроводности при ламинарном течении жидкостей, полученные в диссертации, были использованы при разработке компьютерных моделей и программных комплексов для теплосетей Самарской ТЭЦ и Привокзальной отопительной котельной г. Самары (акты о внедрении приведены в приложениях диссертации).

2. С использованием разработанных в диссертации методов путем решения обратной задачи теплопроводности найдены коэффициенты теплоотдачи на внутренней поверхности барабана парового котла БКЗ-420-140 НГМ Самарской ТЭЦ в процессах планового или аварийного останова, сопровождающихся сбросом давления. Показано, что при сбросе давления происходит частичное вскипание жидкости, находящейся в барабане котла, при котором коэффициенты теплоотдачи возрастают до значений, равных от = 470Вт/м2К .

3. Путем решения обратных задач теплопроводности выполнены расчеты по определению начала и продолжительности кипения топлива на стенках многослойных топливных коллекторов камер сгорания газотурбинных двигателей. Показано, что продолжительность кипения холодного (20°С) топлива, поступающего в нагретый топливный коллектор (до 200°С), составляет от 8 до 12 секунд. Величина коэффициентов теплоотдачи при этом составляет около 600Вт!м1 К. После прекращения пленочного кипения они возрастают до 2500 Вт/м2 К. Выданы рекомендации по уменьшению продолжительности кипения путем применения низкотеплопроводных материалов в качестве покрытий внутренних поверхностей трубок коллекторов, а также путем тур-булизации потока в областях трубопроводов, наиболее подверженных пленочному кипению.

Обоснованность выносимых на защиту научных положений, выводов и рекомендаций, а также достоверность результатов исследований подтверждается использованием математических моделей, адекватных реальным физическим процессам, протекающим в конкретных теплотехнических установках, а также сравнением полученных в диссертации результатов с точными аналитическими решениями и с данными натурных экспериментов, а также с результатами расчетов численными методами. Связь диссертационной работы с планами научных исследований. Представленная работа является обобщением теоретических и экспериментальных исследований, выполненных автором на кафедре «Прикладная математика и информатика» Самарского

государственного технического университета. Исследования проводились по планам госбюджетной тематики Минвуза РФ № 551/02 «Разработка методов определения собственных значений в краевых задачах теплопроводности», а также по планам НИОКРовских работ ОАО «Самараэнерго» за 2002 - 2004 г.г.

Научные и практические результаты использованы на Самарской ТЭЦ, Новокуйбышевской ТЭЦ-2, в Самарских тепловых сетях. Экономический эффект от внедрения, подтвержденный актами о внедрении, составляет 400 000 рублей. Апробация работы

Основные результаты работы были доложены и обсуждены на четвертой Международной Конференции "Обратные задачи: идентификация, проектирование и управление". Москва, МАИ. 2003; Пятом Международном форуме по тепло - и мас-собмену. Минск. АНБ. 2004; Всероссийских научно - технических конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара, СамГТУ. (2003, 2004); научном семинаре «Прикладная математика и механика» кафедры «Прикладная математика и информатика» СамГТУ (рук. д. ф.-м. н., проф. Радченко В.П., 2004-2006 г.г.). Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 18 научных работ, в том числе 3 статьи в центральных академических изданиях, 7 статей в Вестнике Самарского государственного технического университета, напечатана одна монография в соавторстве и одно учебное пособие в соавторстве. Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, выводов, списка используемой литературы, приложений: изложена на 185 страницах основного машинописного текста, содержит 61 рисунок, 8 таблиц. Список использованной литературы включает 91 наименование.

1. В первой главе диссертации выполнен обзор работ по избранному направлению исследований. В частности, было отмечено, что решения краевых задач, полученные с помощью точных аналитических методов, выражаются сложными функциональными рядами, которые, как правило, являются медленно сходящимися. Например, для нахождения решений краевых задач теплопроводности на начальном участке по времени в ряде случаев приходится использовать сотни, а иногда и тысячи членов ряда. Такие формулы малопригодны для инженерных приложений и особенно в случаях, когда решение температурной задачи является промежуточным этапом, например, при решении обратных задач, задач термоупругости, задач автоматизированного управления и др. В этой связи наибольший интерес представляют приближенные аналитические методы, позволяющие получать решения, хотя и приближенные, но в аналитической форме, с точностью, во многих случаях достаточной для инженерных приложений. Решению этих проблем посвящены работы Михлина С.Г., Мучника Г.Ф., Цоя П.В., Беляева H.H., Рядно A.A., Кудряшова Л.И. и других авторов. Отмечается, что несмотря на определенные успехи эти методы применительно к нелинейным задачам, задачам теплопроводности для однослойных и многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды, а так же с переменными по координатам и во времени граничными условиями пока еще не достаточно разработаны.

2. Во второй главе диссертации приводятся результаты разработки аналитического метода получения решений краевых задач теплопроводности на основе введения

фронта температурного возмущения с учетом конечной скорости распространения теплоты. Для увеличения степени аппроксимирующего полинома с целью получения высокоточных аналитических решений во всем диапазоне временной координаты вводятся дополнительные граничные условия. Такие условия определяются из исходного дифференциального уравнения и заданных граничных условий, включая условия на фронте температурного возмущения, путем их дифференцирования соответственно по эллиптической координате и по времени и сопоставления получающихся при этом выражений в применении к граничным точкам. Такой подход позволяет в аналитическом решении максимально учесть свойства дифференциального оператора краевой задачи.

2.1. Нестационарная теплопроводность в бесконечной пластине. В данной задаче конечная скорость распространения теплоты учитывается введением новой функции д1 = (/ч?), называемой глубиной проникновения (глубиной термического слоя). Такая модель процесса теплопроводности используется в ряде методов, таких как: интегральный метод теплового баланса; метод осреднения функциональных поправок; метод Швеца М.Е.; метод Био; метод Вейника и др. Недостатком этих методов является низкая точность решений. Очевидный путь повышения точности интегральных методов — аппроксимация температурной функции полиномами более высоких степеней. Однако такой путь не всегда приводит к повышению точности решения. И причина этого в том, основные граничные условия и условия на фронте температурного возмущения не являются достаточными для определения коэффициентов температурного профиля более высокого порядка. В связи с чем возникает необходимость привлечения недостающих (дополнительных) граничных условий. В настоящей работе такие дополнительные граничные условия получаются из основного дифференциального уравнения с использованием основных граничных условий и условий, задаваемых на фронте температурного возмущения.

В качестве конкретного примера найдено решение задачи теплопроводности для

бесконечной пластины в следующей математической постановке

(Л>0;0<,<1);

ого ар

©(/>, 0) = 0; Э0(О,Ро)/Эр = О; ©(1,.Ро) = 1,

где 0 = (Т — Т0)/(ТП — Т0) - относительная избыточная температура; Го = ат/Я2 - число Фурье.

Процесс нагрева разделится на две стадии: 0 < Го ^ Гох и Го1 < Го < ~, для чего вводится движущаяся во времени граница, разделяющая исходную область о ^ р < 1 на две подобласти 0 < р < ^ (Го) и (Го) < р < 1, где (Го) - функция, определяющая продвижение границы раздела во времени (глубина проникновения - глубина термического слоя).

Если от координаты р, отсчитываемой от центра пластины, перейти к новой переменной £ = 1 - р, отсчитываемой от поверхности, то задачу нагрева пластины для первой стадии процесса можно сформулировать следующим образом.

(2.1)

е(£,0) = 0; (2.2)

0 (0, Го) = 1. (2.3)

Ввиду того, что в рассмотрение введена величина ^(Го), необходимо добавить условия, выполняющиеся на фронте температурного возмущения:

ЩМ -о. (2.4)

Соотношения (2.4) представляют условия тепловой изоляции для подвижной границы.

Потребуем, чтобы искомое решение задачи (2.1)-(2.4) удовлетворяло не первоначальному уравнению теплопроводности (2.1), а осредненному по толщине термического слоя (интегралу теплового баланса):

?1(г0)эе(б/?«») е_ э©(№)

(2.5)

<?=о

0 ЭГо

Решение задачи (2.1) — (2.4) разыскивается в виде многочлена второй степени

е (£, Го) = а„ (Го) + а, (Го) £ + а2 (Го) £2, (2.6)

где а*, (£ = 0,1,2)-неизвестные коэффициенты, определяемые из граничных условий (2.3), (2.4). С учетом найденных коэффициентов ак соотношение (2.6) принимает вид

©(^>Го) = (1-^1)2. (2.7)

Подставляя (2.7) в (2.5), получим

эго ' ^ ; .

Отсюда для определения неизвестной функции цх (Го) будем иметь обыкновенное дифференциальное уравнение, решение которого имеет вид

<7, =л/12Го. (2.8)

Подставляя (2.8) в (2.7), получим искомое решение для первой стадии процесса, найденное интегральным методом теплового баланса.

Анализ результатов расчетов температур по формуле (2.7) позволил сделать заключение, что в диапазоне чисел Фурье 0,00001< Го <0,08 отклонение безразмерных температур от точных их значений находится в пределах 5-6 %.

Для повышения точности решения представим искомый температурный профиль в виде полинома п - ой степени

©(£,Го) = 2>4Ы<Г*. (2.9)

к=0

В случае если число коэффициентов ак(д{) больше трех, для их определения необходимо привлекать дополнительные граничные условия. Для этого последовательно дифференцируется уравнение (2.1) по переменной а граничные условия (2.3), (2.4) — по переменной Го. Из сопоставления полученных соотношений получаются следующие дополнительные граничные условия:

Э2©(£Го)

Э£2

= 0. Э2Э(#,Го)

= 0 Э3©(£Го)

¿=<7,

= 0. (2.10)

Используя дополнительные граничные условия (2.10) совместно с заданными (2.3), (2.4), находятся уже 6 коэффициентов полинома (2.9), и задается оптимальный температурный профиль во втором приближении в виде полинома пятой степени

©(#, го)=(1+ъфЧ1) (1 - )4 • (2.11)

Подставляя (2.11) в интеграл теплового баланса (2.5), относительно неизвестной функции ?,(Го) получим обыкновенное дифференциальное уравнение, решение которого имеет вид

Ч^у/Шъ. (2.12)

Положив цх = 1, найдем время окончания первой стадии процесса Го, = 0,05. Подставляя (2.12) в (2.11) получим решение задачи (2.1)-(2.4) во втором приближении, найденное с использованием дополнительных граничных условий

Результаты расчетов безразмерной температуры по формуле (2.11) в сравнении с точным решением, представлены на графиках рис. 2.1. Из их анализа следует, что в диапазоне чисел Фурье 0,0000001 < Го < 0,05 отличие решения по формуле (2.11) от точного не превышает 1,5 %.

Во второй стадии процесса Го, < Го < °° понятие глубины проникновения (глубины термического слоя) теряет смысл и в качестве обобщенной координаты выбирается температура в центре тела = (Го). Математическая постановка задачи в данном случае имеет вид

Э 0(£, Го) Э2©(£Го)

ЭГо

Э#2

0(0, .Го) = 1;

(Го>Го,; 0<£<1); 0(1, Го) = д2 (Го); 0'(1, Го) = 0.

0.001 0.002 0.003 0.004

Интеграл теплового баланса будет

0.005 0.006 0.007

Р и с. 2.1. Графики распределения относительной избыточной температуры:

--расчет

по формуле (2.15);

----точное

решение

¿=0

ЭГо ""

Первые три дополнительных граничных условия находятся в виде ©'(0, Го) = 0; ©"(£, Го) = /с/Го; Го) = 0;

Решение задачи во втором приближении будет

0(£ Го) = 1 - (1,772£ - 0,761£3 + 0,065£4 + 0,05£5) ехр[- 2,471(Го - Го,)] -- (0,728£ - 4,239£3 + 4,935£4 -1,55#5 )ехр[- 22,074(Го - Го, )], Го, = 0,05 - время окончания первой стадии процесса.

Анализ результатов расчетов показал, что полученные автором значения температур в диапазоне чисел 0,05 < Го < °° практически совпадают с точными.

2.2. Переменные во времени граничные условия второго рода. Рассмотрим методику построения оптимального температурного профиля для решения интегральным методом задач нестационарной теплопроводности в случае переменных граничных условий второго рода.

где

(Fo>0; 0<P< 1);

(2.13)

При задании на поверхности классических тел граничных условий второго рода задача нестационарной теплопроводности в безразмерной форме записывается в виде дЩр^о) 1 Э ( с ЭЭ(А^О)4 ЭЛ> рс Э/?^ др

©(р,0) = 0; дв(0,Го)/др = 0; -дЭ(1,Го)/др + /а(Го) = 0, (2.14) где с = 0 - пластина, с = 1 - цилиндр, с = 2 - шар; /Г/(7ч>) = д{Ро)Я/Л (Тс - Т0) -критерий Кирпичева.

Ограничимся рассмотрением первой стадии теплового процесса. Вводя новую независимую переменную £ = 1 -р и выбирая в качестве обобщенной координаты глубину теплового возмущения д^о), краевую задачу (2.13) - (2.14) сведем к виду

1

dQ(<!;,Fo) _

dFo (1 -£)е

dQ(£,Fo)

(0<£<<7,;0 £F0<F0l); (2.15)

0(^,0) = 0; (2.16) - Э©(0, = Ю (^о); 0(^,Го) = О; Эв(?„Л>)/Э£ = 0. (2.17)

Решение задачи во втором приближении ищется в виде

0(^о) = ао + в, + аг{%!Ч\У + *з(£/<7.)3 + «4 (£/<?> +а5Шд,)5. (2.18)

Недостающие граничные условия для определения коэффициентов температурного профиля (2.18) в данном случае имеют вид

330(O,Fo)

+ с

Э£3

d2Q(qi,Fo) =

32©(0,Fo) + Э20(О, Fo)

м

d3Q(q„Fo)

-

dKi (Fo) dFo

= 0.

(2.19)

Подставляя температурный профиль (2.18) в граничные условия (2.17), (2.19), получим систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов ак (к = 0,5 ). С учетом найденных коэффициентов ak(Fo) для с = 0 и Ki(Fo) - const температурный профиль принимает вид

B(£,Fo) = qlKi

ч ■ . 10 WJ 2\Ях)

(2.20)

Подставляя температурный профиль (2.20) в интеграл теплового баланса вида

О оРо

получим обыкновенное дифференциальное уравнение для определения 9,(^0), решение которого будет

<7, = Vl5.ro. (2.22)

Значения температур, полученные по формуле (2.20), в диапазоне 10~18 <Ро< /го1 = 0,06, отличаются от точных их значений не более чем на 1,5 %.

2.3. Нелинейные задачи нестационарной теплопроводности. В данном пункте показывается, что изложенная выше методика применения метода дополнительных граничных условий эффективна и при решении нелинейных краевых задач нестационарной теплопроводности. Математическая постановка задачи имеет вид

Э&(у,т) _ Э Эг ду

a(Q)

дв(у,т)

(0<т<г.; 0£у< q(z));

(2.23)

©0\0) = 0; (2.24)

0(O,z-) = l; ©(?,*) = 0; Э9(д,т)/Эу = 0, (2.25) где а(0) = а0+оВ; а - некоторый коэффициент.

Представим искомый температурный профиль полиномом п - ой степени

еСу,г) = 2>*(?)У\ (2.26)

*=0

где ak{q) {к = 1,2,3) — коэффициенты, определяемые из граничных условий (2.25). Подставляя найденные коэффициенты в (2.26), температурный профиль получим в виде квадратичной параболы

е(у,т) = {1-у/д)2. (2.27) Подставляя (2.27) в интеграл теплового баланса

d_ dz

\®{.y,T)dy

= -fl( 1)

эе(о,г)

ду

(2.28)

находим

9 = Л/12а0)7. (2.29)

Формулы (2.27) и (2.29) определяют решение искомой нелинейной задачи в первом приближении.

Дифференцируя граничные условия (2.25) по времени и привлекая дифференциальное уравнение (2.23), получим следующие дополнительные граничные условия:

Э2е(0,г) Э>>2

+ ß

Э0(О,г)

ду

= 0; (2.30)

ду ду

где Р = а/( 1 + а).

Определяя шесть первых коэффициентов температурного профиля (2.26) из условий (2.25) и (2.30), получим

e(*r) =

1 + 4 (1 + 4*)

где 4 = (l-Jl + Sß/4/ß).

Я J

1-^

(2.31)

Потребовав, чтобы искомое решение удовлетворяло интегральному условию (2.28), получим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка относительно q(r), из решения которого при начальном условии q(0) = 0 находим

q =у/-120а(1)х¥т/(5 + 2 У), (2.32)

0 0,4 0,8 1,2 1,6 у* 2,0 где а(1) = (1 + «)а0.

Рис. 2.2 Графики изменения Формулы (2.31) и (2.32) определяют искомое ре-погрешности расчета безраз- шение рассматриваемой нелинейной задачи для первой мерной температуры стадии теплового процесса во втором приближении. На рис. 2.2 представлены результаты оценки погрешности решений, полученных в первом, во втором и третьем приближениях для а = 0,5. Результаты расчетов сравнивались с аналитическим решением Янга (Jang К.Т. Appl. Mech., 25, 146 (1958)). Также эти методом в диссертации были решены следующие задачи:

1. Теплопроводность в цилиндре при граничных условиях 1-го рода (п. 2.2. дис.).

2. Пластина, цилиндр и шар, переменные во времени граничные условия 1-го и 3-го рода (п. 2.3. дис.).

3.Пластина, переменные начальные условия (п. 2.5. дис.).

4. Переменные во времени внутренние источники теплоты (п. 2.6. дис.).

5. Нелинейные задачи теплопроводности (п. 2.7. дис.).

3. Совместное использование методов Л.В. Канторовича и Бубнова-Галеркина. Согласно методу, изложенному во второй главе, полученное решение представляет из себя два аналитических выражения, каждое из которых описывает температуру на соответствующем интервале по времени. Несмотря на то, что этот метод позволяет получать высокоточные решения для начальных временных участков краевых задач, его применение в случаях, когда решение температурной задачи является промежуточной стадией другого исследования (решение задач термоупругости, обратных краевых задач и т.д.) представляет неудобства. В связи с чем более удобным применительно к решению таких задач является решение, полученное путем совместного использования методов Канторовича и Бубнова-Галеркина.

В третьей главе диссертации представлены результаты получения аналитических решений задач теплопроводности для однослойных и многослойных конструкций путем совместного использования методов Л.В. Канторовича и Бубнова - Галеркина. Приводятся результаты разработки метода построения систем координатных функций, в любом приближении точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения, путем сведения многослойной конструкции к однослойной с кусочно -однородными физическими свойствами среды.

3.1. Системы координатных функций в задачах теплопроводности для многослойных конструкций. Широкое распространение в технике получают композиционные материалы из многослойных конструкций. Для определения требуемого сочетания их свойств наилучшим образом подходят приближенные аналитические методы. Среди них следует отметить методы, в которых многослойные конструкции рассматриваются как один слой, но с переменными (разрывными) физическими свойствами среды. При использовании этих методов в одних случаях строятся системы координатных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения, а в других — для описания разрывных свойств среды используется асимметричная единичная функция.

Сведение многослойной конструкции к однослойной значительно упрощает как процесс получения аналитических решений, так и получаемые для них формулы. Однако основной трудностью здесь является построение соответствующих систем координатных функций. И если они построены, то дальнейший процесс получения решения выполняется известными методами (Л.В. Канторовича, Бубнова - Галеркина и др.).

Рассмотрим задачу теплопроводности для многослойной пластины в следующей математической постановке:

Эе,(д:^о) а, д2Э,(х,Го) дГо а дх2

(^>0; <*<*,; I = 1,2; х0 =0; х2 =1); (3.1)

в,(х,0) = 1;

Э0,(О,Го)/Эл: = О; Э,(х1,Го) = в2(х,,Го); ¿1 д0,(х,,Го)/дх = Л2 дЭ2(х,,Го)/дх;

(3.2)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

Э02 (1, Ео)/дх + В102 (1, = 0. (3.6)

Решение задачи (3.1) - (3.6) разыскивается среди функций вида

в,(х,Л>) = /.(ЙКМ + ¿Л (Ро)<ри{х), (3.7)

2

где ( £ = 1,л ) — неизвестные функции времени; ^>и(х) — координатные функции.

Отметим, что неизвестные функции времени принимаются здесь одинаковыми для всех контактирующих тел при различных для каждого тела координатных функциях. Решение строится так, чтобы координатные функции первого приближения <ра(х) удовлетворяли граничным условиям и условиям сопряжения. Способ их построения заключается в следующем. Вначале определяется координатная функция для т - го тела. Эта функция находится методом неопределенных коэффициентов так, чтобы выполнялось граничное условие (3.6). Формула для ее определения будет

<рт (х) = (Я/ + 2 )/Вг - х2. (3.8)

Координатная функция для (*и-1) - го слоя разыскивается в виде

<рт.у^) = Е,+Е2х\ (3.9)

где Е1 и Ег — неизвестные коэффициенты, определяемые из условий сопряжения между т - ым и (т-1) - ым слоем. После нахождения из решения двух алгебраических линейных уравнений коэффициентов Е1 и Ег соотношение (3.9) принимает вид <Рт-х (*) = (Я' + 2)/А" + (Ля /Лп_, - \)х2т- Лт ¡Лт_х х2. (3.10)

Формула для координатной функции (т-2) - го слоя, определяемая таким образом, чтобы выполнялись условия сопряжения между (т-1)-ым и (т-2)- ым слоем, записывается в виде

Таким путем можно построить координатные функции для любого числа контактирующих тел. Отсюда можно записать общую формулу для координатной системы первого приближения

= ^ + + (3.12)

где Н(т]) — функция Хевисайда (единичная функция), определяемая выражением

Г 1 при 0 < п < оо;

Я(77)= где Т] — I + к — т .

1 о при -оо<77<0,

На основе формулы (3.12) можно записать общую формулу для координатных функций, удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения не только в первом, но и в любом последующем приближении

= ^ + + (1 = 1^; * = 2^), (3.13)

Вг /=о А*-/)

где п — число приближений.

Например, для двухслойной пластины координатные функции, получаемые по формуле (3.13), будут иметь вид

Если использовать координатные функции вида (3.13), то соотношение (3.7) будет точно удовлетворять граничным условиям и условиям сопряжения задачи (3.3) — (3.6). Неизвестные функции времени /к(Го) (к = 1,л) находятся так, чтобы наилучшим образом удовлетворялось уравнение (3.1). Для этого составляется его невязка и требуется ортогональность невязки ко всем координатным функциям, т.е.

±\±

'=1 X, . *=1

а го а ох

<рЛх)с!х = 0 (у = 1,л). (3.15)

Определяя интегралы в (3.15), относительно неизвестных функций времени получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Частные решения системы уравнений (3.15) разыскиваются в виде

Л(Го) = £>дехр(^Го), (3.16)

где И]к ( у = к = 1, п ), ц — некоторые неизвестные постоянные.

Подставляя (3.16) в (3.15), получим систему однородных алгебраических линейных уравнений, из которой находятся собственные числа /лк и коэффициенты (j = k = l,n),c учетом которых соотношение (3.16) примет вид

/,(^) = 2>,*ехрО«,Го) 0 = М). (3.18)

*=1

Соотношения (3.18) являются частными решениями системы уравнений (3.15). Для нахождения ее общего решения умножим частное решение, отвечающее корню , на произвольную постоянную С,; решение, отвечающее цг — на С2 и т.д. Тогда соотношение (3.18) примет вид

©Дх.Го) = ехр(^ Го)^(х). (3.19)

¡=\ *=1

Для определения постоянных Ск (к~1,п) составляется невязка начального условия (3.2) и требуется ортогональность невязки ко всем координатным функциям <Рь(х), т.е.

X/

<р1(х)с!х = 0. 0 = 1, л) (3.20)

X £ ехрС"* • °) (*) -1

_у=1 *=1

Соотношение (3.20) относительно Ск является системой алгебраических линейных уравнений. После определения Ск окончательное решение задачи (3.1) — (3.6) находится из (3.19).

Результаты расчетов по формуле (3.19) в шестом приближении представлены на графиках рис. 3.1. Анализ результатов расчетов дан в п. 4.1.

Р и с. 3.1. Графики распределения температуры в двухслойной пластине:

--метод прогонки;

о - по данным [*]; х - по данным [16]; А - по формуле (3.19) (шестое приближение); □ - по формуле (4.18) (шестое приближение). * — Беляев Н.М., Рядно A.A. Методы нестационарной теплопроводности. М.: Высш. шк. 1978.

Также этим методом в диссертации были решены следующие задачи:

1. Теплопроводность в пластине при граничных условиях 1-го рода (п. 3.1. дис.).

2. Пластина. Переменные во времени граничные условия 1-го рода (п. 3.2. дис.).

3. Пластина. Переменные во времени граничные условия 3-го рода. (Температура среды - линейная и экспоненциальная функция времени) (п. 3.3. дис.).

4. Расчет коэффициентов теплоотдачи в барабане парового котла (п. 3.5. дис.).

5. Определение начала и продолжительности пленочного кипения на стенках многослойных топливных коллекторов ГТД (п. 3.6. дис.).

6. Диагностика толщины коксовых отложений на внутренних поверхностях трубопроводов (п. 3.7. дис.).

4. В четвертой главе диссертации представлены результаты исследований задач теплопроводности путем совместного использование методов Фурье и Бубнова -Галеркина. Выше (см раздел 2) применительно к решению задач теплопроводности был рассмотрен метод решения путем совместного использования методов JI.B. Канторовича и Бубнова - Галеркина. Такой подход при нахождении неизвестных функций времени fk(Fo) приводит к необходимости решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Более простые решения большого числа рассмотренных выше задач при практически одинаковой степени точности можно получить путем совместного использования метода разделения переменных и ортогонального метода Бубнова - Галеркина. Такой подход в конечном итоге приводит к решению систем алгебраических линейных уравнений.

В качестве конкретного примера рассмотрим последовательность совместного использования метода Фурье и ортогонального метода Бубнова-Галеркина применительно решению задач теплопроводности для многослойных конструкций, с использованием локальных систем координат. При решении задач теплопроводности для многослойных конструкций требуется находить системы координатных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения. Применение локальных систем координат позволяет существенно упростить координатные функции ввиду того, что безразмерная координата в каждом слое изменяется от нуля до Д, (i = l,m), где Д( — безразмерная толщина i - го слоя; /и — число слоев.

Математическая постановка задачи для двухслойной пластины в безразмерных переменных с использованием локальных систем координат имеет вид (рис. 4.1):

Рис. 4.1 . Схема применения локальных систем координат

ого а ох-

в|(х(,0) = 1; 30,(0,Го) =0. в1(А1.Л>) = в1(0,Л,); (4.2)

ох,

эе.сд,.^) Э91(^); =0< (43)

Эх, дх2 ох2

Следуя методу разделения переменных, решение задачи (4.1) - (4.3) разыскивается в виде

в,(х,,Го) = ^(Го)%(х1) (¿ = 1,2). (4.4)

Подставляя (4.4) в (4.1), получим

<р\ (Го) + ц<р{ (Fo) = 0; (4-5)

+ = (4.6)

а

где ц = V2 — некоторая постоянная.

Решение уравнения (4.5) имеет вид

<Рт = А ехр(-//и Л,). (4.7)

Граничные условия и условия сопряжения для уравнения (4.1) будут Т1'(0) = 0; Т,(Д,) = Т2(0); Я1Т|'(А,) = Я2Ч'2'(0); Т2'(Д2) + ^2(Д2) = 0. (4.8) Решение уравнения (4.6) с граничными условиями (4.8) разыскивается в виде

= (/ = 1,2), (4.9)

*=0

где Си — неизвестные коэффициенты; (*,.)—координатные функции, определяемые соответственно для первого и второго слоев по следующим формулам

_ АГ„(х1) = Ви+А"; Ь) = £>2к+Е2кр1к, (4.10)

где В1к, Огк, Е1к (к = 0,т) — коэффициенты, определяемые для каждого приближения из граничных условий (4.8).

Для нахождения собственных чисел //„ (п = 1,6) найдем интеграл взвешенной невязки уравнения Штурма - Лиувилля (4.6), т.е.

| ^т/'ОО + ^Ч'Л*,) Л, + |[т2"(*2) + /^2(;с2)К =0. (4.11)

О J О

Отсюда для определения собственных чисел получим систему однородных алгебраических уравнений. Однородная система имеет нетривиальное решение, в случае если определитель ее равен нулю. Раскрывая определитель, для нахождения собственных чисел получим алгебраический полином, корни которого имеют следующий вид =0,99126521; цг = 14,46488062; =75,03638586; //4 =180,8239908; //5 =435,183729; М6 =918,18214275.

Соотношение (4.4) с учетом найденных значений коэффициентов Си (к = 0,5 / = 1,2) и собственных чисел цп (я = 1,6) принимает вид

вД х,.,Го) = ±

Ап ехр(//я Fо)^ Сы (//„ )Ми (х,)

(/ = 1,2, е = 6). (4.12)

Для определения неизвестных коэффициентов Ап (п-1,е) составляется невязка начального условия и требуется ортогональность невязки ко всем собственным функциям, т.е.

О |_я=1 V. *=1 )

о *=1 У

у +

%;(Х2)Ж2=0 0 =1^). (4-13)

После определения интегралов соотношение (4.13) относительно неизвестных коэффициентов А„ (и = 1,е) представляет систему е = б алгебраических линейных уравнений.

При известных коэффициентах Ая решение задачи (4.1) — (4.2) в замкнутом виде находится из (4.12). Результаты расчетов по формуле (4.12) представлены на графиках рис. 3.1. Анализ результатов позволяет заключить об удовлетворительном совпадении безразмерных температур, полученных всеми отмеченными здесь методами. Следует особо подчеркнуть примерно одинаковую точность решения со всеми остальными методами при использовании метода дополнительных граничных условий, несмотря на то, что решение здесь получено лишь в третьем приближении. Объяснение этого факта следует искать в том, что благодаря использованию дополнительных граничных условий удается при меньшем числе приближений лучше удовлетворить дифференциальному уравнению (4.1).

Также этим методом в диссертации были решены следующие задачи:

1. Теплопроводность в пластине при граничных условиях 1-го рода (п. 4.1. дис.).

2.Теплообмен в плоском и цилиндрическом канале при ламинарном течении жидкости (п. 4.7,4.8. дис.).

Основные выводы и результаты работы

1. В диссертации представлены результаты разработки эффективного аналитического метода решения краевых задач, основанного на разделении процесса теплообмена на две стадии по времени. Используя идею конечной скорости распространения теплового возмущения, в рассмотрение вводятся понятия глубины проникания (глубины термического слоя) и фронта температурного возмущения, фиксирующего глубину проникания теплоты. Решение основной проблемы таких методов - недостаточной точности — оказалось возможным благодаря применению дополнительных граничных условий, физический смысл которых — точное выполнение исходного дифференциального уравнения в граничных точках и на фронте теплового возмущения в тех точках пространства, в которых он находится в данный момент времени.

2. Разработан метод построения дополнительных граничных условий применительно к решению задач на основе интегральных методов теплового баланса. Основное их назначение в том, чтобы исходное дифференциальное уравнение при минимальном числе приближений как можно лучше удовлетворялось на границах тела и на фронте температурного возмущения, область изменения которого охватывает всю область независимой эллиптической координаты. В связи с чем, для их получения используются исходное дифференциальное уравнение и заданные граничные условия. Дополнительные граничные условия находятся путем дифференцирования исходного дифференциального уравнения по независимой эллиптической координате, а заданных граничных условий (включая условия на фронте температурного возмущения) по вре-

17

мени и сопоставления получающихся при этом результатов. Таким путем в дополнительных граничных условиях удается избавиться от временной координаты, в связи с чем, они имеют простой вид и легко удовлетворяются решением в виде степенного ряда по пространственной координате.

3. На основе ортогонального метода Л.В. Канторовича получены новые аналитические решения задач теплопроводности для многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами, а также с переменными во времени граничными условиями теплообмена. Разработаны принципы построения систем координатных функций, в любом приближении точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения. В основу построения положен рекуррентный метод, когда координатные функции строятся последовательно, переходя от одного слоя к другому, используя всякий раз метод неопределенных коэффициентов.

4. При решении задач теплопроводности для многослойных конструкций с использованием ортогонального метода Л.В. Канторовича принимается глобальная система неизвестных функций времени. Это означает, что многослойная система рассматривается здесь как один слой с разрывными (кусочно-однородными) физическими свойствами среды. Условия сопряжения в точках разрыва удовлетворяются точно благодаря особой конструкции координатных функций. Такой метод решения позволяет значительно упростить как процесс получения решения, так и окончательные формулы для него. При этом появляется возможность получения аналитических решений для задач, не поддающихся решению с помощью классических аналитических методов.

5. Применительно к решению задач теплопроводности для однослойных и многослойных конструкций весьма эффективным направлением получения приближенных аналитических решений является совместное применение точных (Фурье) и приближенных аналитических (ортогональный метод Бубнова - Галеркина) методов. В отличие от метода Л.В. Канторовича, где процесс получения решения сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций времени, здесь в конечном итоге приходится решать однородные (или неоднородные) системы алгебраических линейных уравнений, а затем алгебраический полином относительно собственных значений краевой задачи. Такая алгебраи-зация процесса решения позволяет широко использовать современные средства вычислительной техники. При этом окончательное решение является аналитическим, к тому же, в простом и удобном для инженерных приложений виде.

В применении к одним и тем же задачам при использовании одинакового числа приближений метод Л.В. Канторовича и метод совместного применения точных и приближенных аналитических методов приводят к одинаковым результатам. Следует однако заметить, что метод Л.В. Канторовича является более универсальным, так как он может быть применен к дифференциальным уравнениям, не допускающим выполнения разделения переменных, для которых совместное применение методов Фурье и Бубнова - Галеркина не представляется возможным.

6. Полученные в диссертации аналитические решения были использованы для нахождения коэффициентов теплоотдачи на внутренней поверхности барабана парового котла БКЗ-420-140НГМ, а также на внутренних стенках многослойных топливных коллекторов камер сгорания газотурбинных двигателей. Коэффициенты теплоотдачи находились из решения обратных задач теплопроводности на основе экспериментальных данных об изменении температур стенок во времени. Аппроксимируя экспе-

риментальные данные алгебраическим полиномом по временной координате и подставляя его в аналитическое решение прямой задачи, относительно искомых коэффициентов получаются трансцендентные уравнения , решение которых не представляет затруднений.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах

1. Кудинов В.А., Дикоп В.В., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Метод координатных функций в несимметричных задачах теплопроводности. Межвуз. сб. научн. тр. "Дифф. уравнения и их приложения". № 2. Самара. СамГТУ. 2003. С. 136-141 (35%).

2. Кудинов В.А., Дикоп В.В., Назаренко С.А., Стефанюк Е.В. Метод координатных функций в нестационарных задачах теплопроводности для многослойных конструкций. Вестник СамГТУ. Вып. 20. Сер. "Физ - мат. науки". Самара. 2003. С. 12-15 (40%).

3. Кудинов В.А., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А., Дикоп В.В. Применение метода координатных функций для решения обратных задач теплопроводности. Вестник СамГТУ. Вып. 20. Сер. "Тех. науки". Самара. 2003. С. 161-168 (25%).

4. Кудинов В.А., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А., Дикоп В.В. Метод координатных функций для решения обратных задач теплопроводности. Доклад на Четвертой Международной конференции "Обратные задачи: идентификация, проектирование и управление". Москва. МАИ. 2003 (30%).

5. Кудинов В.А., Стефанюк Е.В., Дикоп В.В., Волков Е.В. Расчет напряженно -деформи-рованного состояния в отверстиях барабанов котлов. Вестник СамГТУ. Вып. 20. Сер. "Тех. науки". Самара. 2003. С. 152-155 (40%).

6. Кудинов В.А., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А., Дикоп В.В. Метод координатных функций в нестационарных задачах теплопроводности. Труды Пятого Минского Междунар. форума по тепло - и массообмену. Т. 1. Минск. 2003. С. 246-248 (25%).

7. Аверин Б.В., Кудинов В.А., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Дополнительные граничные условия в задачах теплопроводности для цилиндрической и сферической симметрии на основе интеграла теплового баланса. Тр. Всеросс. научн. конф. "Математическое моделирование и краевые задачи". Ч. 3. Самара. 2003. С. 9-12 (40%).

8. Аверин Б.В., Кудинов В.А., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Тепловое и напряженно-деформированное состояние трехслойной панели с решетчатым заполнителем при воздействии солнечного излучения. Тр. Всеросс. научн. конф. "Математическое моделирование и краевые задачи". Ч. 2. Самара. 2003. С. 15-18 (15%).

9. Кудинов В.А., Дикоп В.В., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Об одном методе решения нестационарных задач теплопроводности для многослойных конструкций. Инженерно-физический журнал. Т. 78. № 2. 2005. С. 24-28 (50%).

10. Стефанюк Е.В. «Переменными во времени граничными условиями в задачах теплопроводности для многослойных конструкций». Аспирантский вестник Поволжья. №2 (8) 2004 г. С.63-67. (100%)

11. Аверин Б.В., Кудинов В.А., Назаренко С.А., Стефанюк Е.В. Метод дополнительных граничных условий в задачах теплопроводности на основе интеграла теплового баланса. Изв. АН Энергетика. № 3. 2005. С. 119-127 (30%).

12. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Анализ нелинейного теплопереноса на основе определения фронта температурного возмущения. Теплофизика высоких температур. № 4. 2005. С. 1—9 (40%).

13. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В., Антимонов М.С. Интегральные методы в задачах теплопроводности с переменным начальным условием. Межвуз. сб. на-учн. тр. "Дифф. уравнения и их приложения". № 1. Самара. СамГТУ. 2006. С (45%).

14. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Аналитические методы теплопроводности. Самара: Самар. гос. техн. ун - т. 2004. 209 с. (30%)

15. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Теплопропровод-ность и термоупругость в многослойных конструкциях. Учеб. пос. для вузов. Самара: Самар. гос. техн.'ун - т. 2006. 304 с. (30%).

16. Стефанюк Е.В., Радченко В.П. Теплопроводность в пластине при переменных во времени граничных условиях третьего рода. Температура среды — экспоненциальная функция времени// Вестник СамГТУ. Сер.:Физ.-мат. науки. Вып. 26. Самара. 2004. С. 21-26. (80%).

17. Стефанюк Е.В. Аналитические решения задач теплообмена при ламинарном течении жидкости в трубах// Вестник СамГТУ. Сер. Физ.-мат. науки. Вып. 42. Самара. 2006. С. 41-45 (100%).

18. Кудинов В.А., Стефанюк Е.В., Котов В.В., ПоворинаА.И. Метод определения начала и продолжительности пленочного кипения на стенках многослойных топливных коллекторов ГТД.// Труды второй всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» ч. 2. Самара. 2005. С. 150-153. (40%).

Заказ № 28/10/06 Подписано в печать 03.10.2006 Тираж 80 экз. Усл. пл. 1,25

ООО "Цифровичок", тел. (495) 797-75-76; (495) 778-22-20 www.cfr.ru; е-таИ:info@cfr.ru

Введение.

1. Обзор работ в области разработки аналитических методов решения краевых задач.

2. Аналитические решения задач теплопроводности на основе определения фронта температурного возмущения.

2.1. Бесконечно-протяженная пластина при граничных условиях первого рода.

2.2. Бесконечный цилиндр при граничных условиях первого рода.

2.3. Переменные во времени граничные условия первого и третьего рода.

2.4. Переменные во времени граничные условия второго рода.

2.5. Переменные начальные условия.

2.6. Переменные во времени внутренние источники теплоты.

2.7. Нелинейные задачи теплопроводности.

3. Совместное использование методов JI.B. Канторовича и Бубнова-Галеркина.

3.1. Неограниченная пластина (граничные условия перового рода).

3.2. Переменные во времени граничные условия 1 рода.

3.3. Задачи теплопроводности с переменными во времени граничными условиями третьего рода. Температура среды - линейная функция времени.

3.4. Системы координатных функций в задачах теплопроводности для многослойных конструкций.

3.5. Расчет коэффициентов теплоотдачи в барабане парового котла путем решения обратной задачи теплопроводности.

3.6 Метод определения начала и продолжительности пленочного кипения на стенках многослойных топливных коллекторов ГТД.

3.7 Аналитический метод диагностики толщины коксовых отложений на внутренних поверхностях трубопроводов.

4. Совместное использование методов Фурье и Бубнова - Галеркина.

4.1. Бесконечная пластина (граничные условия 1-го рода).

4.2. Применение локальных систем координат в задачах теплопроводности для многослойных конструкций.

4.3. Расчет теплообмена в плоском канале при ламинарном течении жидкости.

4.4. Расчет теплообмена в цилиндрическом канале при ламинарном течении жидкости.

Выводы.

Общая характеристика работы Актуальность проблемы. Разработка, исследование, обоснование адекватности математических моделей теплопереноса, а также совершенствование методов, алгоритмов и программного обеспечения для их реализации важны как в теоретическом, так и прикладном аспектах. Сущность методологии математического моделирования процесса теплопереноса состоит в замене реального физического явления его идеализированными «образами» - физической и математической моделями с последующим изучением их аналитическими и (или) численными методами.

Очевидно, что аналитические методы дают полную всеобъемлющую картину моделируемого процесса или явления в отличие от численных методов, которые требуют огромной вариативной проработки искомой задачи, каждый раз при новом наборе исходных данных.

В этом плане следует отметить, что получение точных аналитических решений линейных и нелинейных задач теплопроводности для однослойных и многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды, а также с переменными по координатам и во времени граничными условиями представляет серьезные математические трудности. Аналитические решения получены лишь для незначительного круга отдельных частных задач, к тому же, при весьма существенных допущениях. В связи с чем, важной научной и инженерной проблемой является разработка новых эффективных аналитических (приближенных аналитических) методов решения краевых задач.

В последнее время все большее применение получают приближенные аналитические методы (вариационные, взвешенных невязок, наименьших квадратов, кол-локаций и др.). Эти методы более универсальны и менее сложны, чем точные, в то же время они обладают преимуществом последних в том, что позволяют получать достаточно простого вида решения, хотя и приближенные, но в аналитической форме.

Среди приближенных аналитических методов в последнее время все большее распространение получают ортогональные методы JI.B. Канторовича и Бубнова -Галеркина. Важнейшей особенностью этих методов является их универсальность, заключающаяся в возможности их применения практически к любым дифференциальным операторам, так как при их использовании составляется невязка дифференциального уравнения и требуется ортогональность невязки ко всем координатным функциям. Несмотря на достигнутые успехи в практическом использовании этих методов, они пока еще недостаточно разработаны применительно к решению задач теплопроводности с переменными физическими свойствами среды, с переменными во времени коэффициентами теплоотдачи, задач теплопроводности для многослойных конструкций, а также задач теплообмена при ламинарном течении жидкостей в трубах и плоских каналах.

Особое место среди приближенных аналитических методов занимают методы, в которых используется идея конечной скорости распространения теплового возмущения, согласно которой весь процесс нагрева или охлаждения формально разделяется на две стадии. Первая из них характеризуется постепенным распространением фронта температурного возмущения от поверхности тела к его центру, а вторая изменением температуры по всему объему тела. С помощью этих методов уравнение в частных производных удается свести к обыкновенному дифференциальному уравнению с заданными начальными условиями, решение которого довольно часто можно получить в замкнутом аналитическом виде. К их недостаткам следует отнести априорный выбор температурного профиля, что порождает проблему однозначности решения и приводит к низкой его точности. Очевидный путь повышения точности интегральных методов путем использования в температурных профилях полиномов более высокого порядка не всегда приводит к положительным результатам. Во многих случаях с увеличением степени полинома температурный профиль оказывается все дальше от истинного. Причиной этого является тот факт, что основные граничные условия и условия плавности на фронте теплового возмущения не являются достаточными для определения коэффициентов полинома. В этой связи возникает проблема поиска недостающих граничных условий, которые совместно с заданными позволили бы определять коэффициенты оптимального температурного профиля высокого порядка, учитывающего все физические особенности исследуемой задачи.

Цель работы:

1. Разработка аналитических методов решения краевых задач на основе введения фронта температурного возмущения, с учетом конечной скорости распространения теплоты при использовании дополнительных граничных условий.

2. Разработка методов определения дополнительных граничных условий в задачах теплопроводности на основе интегрального метода теплового баланса, позволяющих значительно увеличить степень алгебраического полинома, аппроксимирующего температурный профиль, и тем самым существенно улучшить выполнение исходного дифференциального уравнения по координате и во времени.

3. Разработка аналитических и приближенных аналитических методов решения краевых задач, на основе вариационного метода JI.B. Канторовича применительно к решению задач теплопроводности для однослойных и многослойных тел с переменными по координатам физическими свойствами среды, а также переменными во времени граничными условиями теплообмена.

4. Разработка приближенных аналитических методов решения задач теплопроводности на основе совместного использования метода разделения переменных (Фурье) и ортогонального метода Бубнова - Галеркина применительно к решению задач теплопроводности для многослойных конструкций, а также задач теплообмена при ламинарном течении жидкостей в трубах и плоских каналах.

Научная новизна.

1. Разработан аналитический метод решения краевых задач на основе введения фронта температурного возмущения с учетом конечной скорости распространения теплоты, позволяющий получать высокоточные аналитические решения практически во всем диапазоне изменения временной координаты путем разделения процесса теплопроводности на две стадии по времени.

2. Разработан метод получения дополнительных граничных условий в задачах теплопроводности на основе интегрального метода теплового баланса, позволяющий существенно увеличить степень полинома, аппроксимирующего температурный профиль и максимально учесть физические свойства дифференциального оператора краевой задачи.

3. На основе ортогонального метода JI.B. Канторовича при использовании предложенных в диссертации систем координатных функций, в любом приближении точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения, получены новые аналитические решения задач теплопроводности для многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды, а также с переменными во времени граничными условиями.

4. Путем совместного использования точных (Фурье) и приближенных аналитических методов (ортогональный метод Бубнова - Галеркина) получены новые аналитические решения задач теплопроводности для многослойных конструкций с использованием локальных систем координат, а также задач теплообмена при ламинарном течении жидкостей в трубах и плоских каналах.

На защиту выносятся:

1. Результаты математического моделирования аналитического метода решения задач теплопроводности на основе введения фронта температурного возмущения с учетом конечной скорости продвижения теплоты путем разделения теплового процесса на две стадии по времени при использовании дополнительных граничных условий.

2. Результаты математического моделирования метода построения дополнительных граничных условий применительно к задачам теплопроводности на основе интегрального метода теплового баланса, позволяющего получать высокоточные решения практически во всем диапазоне времени нестационарного процесса за счет существенного увеличения степени аппроксимирующего температурный профиль полинома.

3. Результаты развития метода JI.B. Канторовича применительно к получению новых аналитических решений задач теплопроводности для многослойных конструкций на основе предложенных в диссертации систем координатных функций, в любом приближении точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения.

4. Результаты получения новых эффективных аналитических решений задач теплопроводности для многослойных конструкций при использовании локальных систем координат, а также задач теплообмена при ламинарном течении жидкостей в трубах и плоских каналах на основе совместного использования метода разделения переменных и ортогонального метода Бубнова - Галеркина.

5. Результаты математического моделирования коэффициентов теплоотдачи на внутренних поверхностях барабанов паровых котлов путем решения обратных задач теплопроводности с использованием полученных в диссертации аналитических решений прямых задач теплопроводности путем совместного использования точных и приближенных аналитических методов.

6. Результаты математического моделирования по определению начала и продолжительности пленочного кипения топлива на стенках многослойных топливных коллекторов газотурбинных двигателей с использованием разработанных в диссертации методов решения задач теплопроводности для многослойных конструкций.

Практическая значимость работы:

1. Практическая значимость разработанных в диссертации аналитических и приближенных аналитических методов математического моделирования краевых задач в том, что полученные решения отличаются заметной простотой конструкции при точности, вполне достаточной для инженерных приложений. Такие решения особенно полезны в случаях, когда решение температурной задачи является промежуточной стадией каких-либо других исследований, например, решение задач термоупругости, задач автоматизированного проектирования и управления, обратных задач теплопроводности. И, в частности, аналитические решения задач теплопроводности при ламинарном течении жидкостей, полученные в диссертации, были использованы при разработке компьютерных моделей теплосетей Самарской ТЭЦ и привокзальной отопительной котельной г. Самары (акты о внедрении приведены в приложениях диссертации).

2. С использованием разработанных в диссертации методов путем решения обратной задачи теплопроводности найдены коэффициенты теплоотдачи на внутренней поверхности барабана парового котла БКЗ-420-140 НГМ Самарской ТЭЦ в процессах планового или аварийного останова, сопровождающихся сбросом давления. Показано, что при сбросе давления происходит частичное вскипание жидкости, находящейся в барабане котла, при котором коэффициенты теплоотдачи возрастают до значений, равных а = 470 Вт / м2К.

3. Путем решения обратных задач теплопроводности выполнены расчеты по определению начала и продолжительности кипения топлива на стенках многослойных топливных коллекторов камер сгорания газотурбинных двигателей. Показано, что продолжительность кипения холодного (20°С) топлива, поступающего в нагретый топливный коллектор (до 200°С), составляет от 8 до 12 секунд. Величина коэффициентов теплоотдачи при этом составляет около 600Вт/м2К. После прекращения пленочного кипения они возрастают до 2500Вт/м2К. Выданы рекомендации по уменьшению продолжительности кипения, путем применения низкотеплопроводных материалов в качестве покрытий внутренних поверхностей трубок коллекторов, а также путем турбулизации потока в областях трубопроводов, наиболее подверженных пленочному кипению.

Обоснованность выносимых на защиту научных положений, выводов и рекомендаций, а также достоверность результатов исследований подтверждается использованием математических моделей, адекватных реальным физическим процессам, протекающим в конкретных теплотехнических установках, а так же сравнением полученных в диссертации результатов с точными аналитическими решениями и с данными натурных экспериментов, а также с результатами расчетов численными методами.

Связь диссертационной работы с планами научных исследований. Представленная работа является обобщением теоретических и экспериментальных исследований, выполненных автором на кафедре «Прикладная математика и информатика» Самарского государственного технического университета. Исследования проводились по планам госбюджетной тематики Минвуза РФ № 551/02 «Разработка методов определения собственных значений в краевых задачах теплопроводности», а также по планам ниокровских работ ОАО «Самараэнерго» за 2002 - 2004г.г.

Научные и практические результаты использованы на Самарской ТЭЦ, Новокуйбышевской ТЭЦ-2, в Самарских тепловых сетях. Экономический эффект от внедрения, подтвержденный актами о внедрении, приведенными в приложениях диссертации, составляет 400 ООО рублей.

Апробация работы. Основные результаты работы были доложены и обсуждены на четвертой Международной Конференции "Обратные задачи: идентификация, проектирование и управление". Москва, МАИ. 2003; Пятом Минском Международном форуме по тепло - и массобмену. Минск. АНБ. 2004; Всероссийской научно - технической конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара, СамГТУ. 2004.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 20 научных работ, в том числе 5 статьи в центральных академических изданиях, 8 статей в Вестнике Самарского государственного технического университета, напечатана одна монография в соавторстве и одно учебное пособие в соавторстве.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, выводов, списка используемой литературы, приложений: изложена на 184 страницах основного машинописного текста, содержит 62 рисунка, 8 таблиц. Список использованной литературы включает 91 наименование.

Выводы.

1. В диссертации представлены результаты разработки эффективного аналитического метода решения краевых задач, основанного на разделении процесса теплообмена на две стадии по времени. Используя идею конечной скорости распространения теплового возмущения, в рассмотрение вводятся понятия глубины проникания и фронта температурного возмущения, фиксирующего глубину проникания теплоты.

1. Аверин Б.В. Математическое моделирование температурных полей и термических напряжений в многослойных радиопрозрачных укрытиях мощных передающих антенн: Автореф. канд. дисс. М.: Московская академия тонкой химической технологии, 1999.22 с.

2. Аверин Б.В., Колотилкин Д.И., Кудинов В.А. Задача Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения второго порядка с разрывными коэффициентами. //ИФЖ, т.73, № 4, 2000. с.748-753.

3. Айзен A.M., Редчиц КС. Расчет стационарной нелинейной теплопроводности через многослойные стенки с источниками тепла. Теплофизика и теплотехника. //Ин-т Техн. теплофизики АН УССР, 1974, Вып. 27. С. 133-138.

4. Акаев А.В., Дульнев Г.Н. К вопросу о повышении точности первых приближений метода Л.В. Канторовича в применении к краевым задачам стационарной теплопроводности // Изв. АН СССР. Сер. Энергетика и транспорт, 1972, № 1. С. 154 -158.

5. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988. 297 с.

6. Аметистов Е.В. Основы теории теплообмена: Учебное пособие. М.: Издательство МЭИ, 2000. - 247 с.

7. Бендерский Б.Я. Техническая термодинамика и теплопередача. Курс лекций с краткими биографиями ученых: Учебное пособие. Москва - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005. - 264 с.

8. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы нестационарной теплопроводности. М.: Высш. школа, 1978. 328 с.

9. Био М. Вариационные принципы в теории теплообмена. М.: Энергия. 1975.

10. Волков А.Г. Радиопрозрачные укрытия для мощных передающих фазированных антенных решеток. Автореф. канд. дисс. М.: НИРФ, 1984. 18 с.

11. Булавин П.Е., Кащеев В.М. Решение неоднородного уравнения теплопроводности для многослойных тел. //ИФЖ, т. 12, № 9. 1964.

12. Вейник А.И. Приближенный расчет процессов теплопроводности. М. JL: Госэнергоиздат, 1959.184 с.

13. Вигак В.М. О построении решения уравнения теплопроводности для кусочно-однородного тела. //Докл. АН УССР, Сер. А, 1980, №1. С. 30.

14. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979.320 с.

15. Галонен JI.M. Нестационарная задача теплопроводности неоднородных слоистых плит. //ИФЖ. 1963, т. 6, №12. с. 81-84.

16. Григорьев Л.Я., Манъковский О.Н. Инженерные задачи нестационарного теплообмена. Д.: Энергия, 1968. 83 с.

17. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1959. 470 с.

18. Гудмен Т. Применение интегральных методов в нелинейных задачах нестационарного теплообмена // Проблемы теплообмена, Сб. науч. тр. М.: Атомиздат. 1967, С. 41-96.

19. Гейтвуд Б.В. Температурные напряжения применительно к самолетам, турбинам и ядерным реакторам ИЛ. М.: 1959.

20. Дульнев Г.Н., Заричняк ЮЛ. Теплопроводность смесей и композиционных материалов. Л.: Энергия, 1974.266 с.

21. Заричняк ЮЛ., Муратова E.JI. Расчет теплового сопротивления составных конструкций из теплоизоляционных материалов // Механика композиционных материалов. 1979, №6.

22. Зарубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности. М.: Энергоатомиздат, 1983. 328 с.

23. Зарубин B.C. Температурные поля в конструкции летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1978. 184 с.

24. Иванов А.В. Операционное решение задач теплопроводности для слоисто-однородных тел. //ИФЖ,. 1958, т. 1, №2. С. 13-21.

25. Каган В.К., Эсмендяев С.А. Решение уравнения теплопроводности для двухслойного цилиндра и тепловой расчет двигателей постоянного тока. //ИФЖ, т. 27, №1. 1974.

26. Канторович JI.B. Использование идеи метода Галеркина в методе приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям. //Прикл. мат. и механ. 1942, т. 6, № 1.С. 31-40.

27. Канторович JI.B., Крылов В.И. Приближённые методы высшего анализа. JL: Физматгиз, 1962. 708 с.

28. КарслоуГ, ЕгерД. Теплопроводность твёрдых тел. М.: Наука, 1964. 488 с.

29. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твёрдых тел. М.: Высш. школа, 1985.480 с.

30. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твёрдых тел. М.: Высш. школа, 2001. 550 с.

31. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. М.: Мир. 1978.

32. Коган М.Г. Применение методов Галеркина и Канторовича в теории теплопроводности // Исследование нестационарного тепло- и массообмена: Сб. тр. Минск, 1966. С. 42-51.

33. Коган М.Г. Решение нелинейных задач теории теплопроводности методом Канторовича // ИФЖ. 1967, т. 12, № 1. С. 72 81.

34. Коган М.Г. Нестационарная теплопроводность в слоистых средах. //ЖТФ, 1957, т. 27, №3. С. 522-531.

35. Коляно Ю.М. Применение обобщенных функций в термомеханике кусочно-однородных тел. //В кн. Математические методы и физико-механиеские поля. Киев: Наукова думка. 1978. Вып. 7. С. 7-11.

36. Коляно Ю.М., Процюк Б.В. Термоупругость полого слоистого цилиндра. //Физика и химия обработки материалов. 1977, №3. С. 12-17.

37. Коляно Ю.М., Процюк Б.В. Термоупругость многослойного цилиндра. //Докл. АН УССР. Сер. А. 1976, №8. С. 718-721.

38. Коляно Ю.М., Попович B.C. Нестационарное температурное поле в состыкованных пластинах. //Физика и химия обработки материалов. 1975, №5. С. 16-23.

39. Коляно Ю.М., Попович B.C. Термоупругость многослойных тел. //Докл. АН УССР. Сер.А. 1975, №12. С.1112.

40. Коляно Ю.М. Температурные поля и напряжения в телах с разрывными параметрами (обзор). //ИФЖ. 1987, т. 53, №5. С. 860-867.

41. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1977. 831 с.

42. Композиционные материалы. Справочник. Под ред. Васильева В.В. и Терно-польского Ю.М. М.: Машиностроение, 1990.

43. Кудинов В.А. Метод координатных функций в нестационарных задачах теплопроводности. //Изв. АН Энергетика (обзор). 2004, №3. С. 82 104.

44. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Аналитические методы теплопроводности. Самара. Самар. гос. техн. ун-т. 2004. 209 с.

45. Кудинов В.А., Карташов Э.М., Калашников В.В. Аналитические решения задач тепломассопереноса и термоупругости для многослойных конструкций. Учеб. пос. для втузов. М.: Высшая школа, 2005. 340 с.

46. Кудряшев JI.K, Меньших Н.Л. Приближённые решения нелинейных задач теплопроводности. М.: Машиностроение, 1979. 232 с.

47. Лазарян В.А., Конашенко С.И. Обобщенные функции в задачах механики. Киев: Наукова думка, 1974. 190 с.

48. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высш. школа, 1967. 600 с.

49. Лыков А.В. Тепломассоперенос: Справочник. М.: Энергия, 1978. 480 с.

50. Теплотехника: Учебник для вузов / В.Н. Луканин, М.Г. Шатров, Г.М. Кам-фер и др. Под ред. В.Н. Луконина. М.: Высшая школа 1999. - 671 с.

51. Махоркин И.Н. Термоупругость кусочно-однородных сферических тел. // В кн. Математические методы в термомеханике. Киев: Наукова думка, 1978. С. 163173.

52. Махоркин И.Н. Температурные напряжения в многослойном сферическом теле. //Физико-химическая механика материалов. 1977, №5. С. 124.

53. Меерович КГ. Температурное поле в многослойных системах с переменными физическими свойствами. //ИФЖ, 1967, т. 12, № 4. С. 484 490.

54. Меерович КГ., Мучник Г.Ф. Нестационарное температурное поле в многослойных системах. //ТВТ, 1963, №2. С. 291-298.

55. Мучник Г.Ф., Зайдеман КА. Нестационарная теплопроводность в многослойных средах. 1. Общие решения для плоских систем. //ИФЖ, 1962. № 12. С. 71 -76.

56. Мучник Г.Ф., Зайдеман И.А. Нестационарная теплопроводность в многослойных средах. III. Трехслойные и четырехслойные системы. //ИФЖ, 1963, т.6, №3. С. 86-94.

57. Новицкий В.В. Дельта-функция и ее применение в строительной механике // Сб. «Расчет пространственных конструкций». Вып. 7. Гостройиздат. 1962.

58. Образцов К.Ф., Онанов Г.Г. Строительная механика скошенных тонкостенных систем. М.: Машиностроение, 1973. 659 с.

59. Онанов Г.Г. Уравнения с сингулярными коэффициентами типа дельта-функция и ее производных. //Докл. АН СССР, 1970, т. 191, №5. С. 997-1000.

60. Павловский Г.К Теплопроводность в двухслойной пластине при граничных условиях третьего рода. //ИФЖ, 1962, т. 5, №4. С. 86-88.

61. Основы идентификации и проектирования тепловых процессов и систем: Учебное пособие Ю.М. Алифанов, П.Н. Вабищевич, В.В. Михайлов и др. М.: Логос, 2001.-400 с.

62. Пехович А.И., Жидких В.М. Расчеты теплового режима твердых тел. Л.: Энергия, 1976.

63. Петухов Б.С. Теплообмен и сопротивление при ламинарном течении жидкости в трубах. М.: Энергия, 1967. 412 с.

64. Подстригач Я.С., Ломакин В.А., Коляно Ю.М. Термоупругость тел неоднородной структуры. М.: Наука, 1984. 368 с.

65. Постнов В.А., Хархурин И .Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. М.: Судостроение, 1974. 342 с.

66. Постолъник Ю.С. Метод осреднения функциональных поправок в задачах теплопроводности // Тепло- и массоперенос: Сб. тр. Минск, 1972, т. 8. С. 23 29.

67. Пристрем A.M., Данилович Н.И., Лабунов В.А. Аналитический подход к расчету распределения температуры в многослойных структурах при нагреве сканирующим лазерным излучением непрерывного действия. //ИФЖ, 1987, т. 53, № 6. С. 1000-1010.

68. Процюк Б.В. О решении задач теплопроводности и термоупругости для многослойных тел. //Докл. АН УССР. Сер. А, 1977, №11. С. 1019-1021.

69. Редчиц И.С. Нелинейная нестационарная теплопроводность через многослойную плоскую стенку с неидеальными тепловыми контактами. //Респ. межвед.сб. «Теплофизика и теплотехника». Вып. 29, Киев. Изд-во АН УССР, 1975. С. 139148.

70. Самарский А.А. Уравнения параболического типа с разрывными коэффициентами. //Докл. АН СССР. 1958, т. 121, №2. С. 225-228.

71. Тихонов А.И., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Физ-матгиз. 1951.

72. Теория тепломассообмена. Учебник для вузов. Под ред. А И. Леонтьева. М.: Высшая школа, 1979. 495 с.

73. Тамуров Н.Г. Расчет нестационарных температурных полей в двухслойной пластине. ИФЖ, 1962, т.5, № 12. С. 108-112.

74. Тимошенко С.П., ГудъерДж. Теория упругости. М.: Наука, 1979. 569 с.

75. Тимофеев Ю.А. Об одном приближенном методе расчета температурных полей кусочно-однородных тел. //Дифференциальные уравнения. 1980, т.16, № 8. С. 1492-1503.

76. Фейджу, Дэвис, Рамкришна. Распределение тепла в композитных твердых телах с внутренним тепловыделением. //Теплопередача, т. 101, №1, 1979. С. 161-167.

77. Фенъ Г.А., Шевляков Ю.А. Температурные напряжения в двухслойной свободно опертой по контуру пластинке. //Прикл. Механика. 1968, т. 4, №1. С. 94-102.

78. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. М.: Физматлит, 2004. 400 с.

79. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. 279 с.

80. Христиченко А.И. Об одном способе решения задач теплопроводности двух- и трехслойных систем. //Теплофизика высоких температур. 1965, т.З, №2. С. 272-275.

81. Хуан, Чжан. Нестационарный, периодический и стационарный режимы теплопроводности в слоистых композитах. //Теплопередача, т. 102, №4. 1980.

82. Цой П.В. Методы решения отдельных задач тепломассопереноса. М.: Энергия, 1971.382 с.

83. Шорин С.Н. Теплопередача. М.: Высшая школа, 1964. 490с.

84. Швец М.Е. О приближенном решении некоторых задач гидродинамики пограничного слоя. //Прикладная математики и механика. Т. 13. №3, 1949.

85. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Изд-во иностр. лит., 1956.

86. Tranter C.J. Some triple integral equations // Pro. Math. Soc. Glasgow, 1960.

87. Sneddon I. Mixed boundary value problems in potential theory. Amsterdam; Noth-HOLL. Fubl. Com., 1966. 283 p.

88. Srivastav R. Dual series relations 11. Dual relations involving Dini series // Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 1968. Ser. A. V. 66. P. 131-143.

89. Love E.R. Some integral equations involving hypergcometric function // Proc. Math Soc. Edinburgh. 1967. Ser. 2. V. 15. N 3.

90. Gottlieb D., Orszag S A. Numerical ahalysis of Spectral methods; theory and applications // SI AM. Philadelfia. 1977.

91. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Самарский государственный технический университет