автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численно-аналитические методы решения задач теплопроводности на основе ортогональных методов взвешенных невязок

На правах рукописи

00345238 <

Антимонов Максим Сергеевич

Численно-аналитические методы решения задач теплопроводности на основе ортогональных методов взвешенных невязок

Специальность: 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 3 и о О

Ульяновск 2008

003452387

Работа выполнена на кафедре «Теоретические основы теплотехники и гидромеханика» Самарского государственного технического университета

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Кудинов Василий Александрович.

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Веяьмисов Петр Александрович

кандидат технических наук, доцент Стулин Владимир Васильевич

Ведущая организация

- Самарский государственный

аэрокосмический университет имени академика СП Королева

Защита состоится «03» декабря 2008 г. в 15ч00м на заседании диссертационного совета Д 212.277.02 при Ульяновском государственном техническом университете по адресу: 432027, г. Ульяновск, ул Северный Венец, 32 (ауд. 211, Главный корпус).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного технического университета.

Автореферат разослан «2£» / О 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, профессор ' В.Р. Крашенинников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы

При моделировании тепловых процессов, протекающих в установках энергетической и химической промышленное™, тепловых и прочностных расчетах конструкций авиационной и космической техники большое значите имеют процессы протекающие на начальном нерегулярном режиме теплообмена, вследствие больших значений градиентов температуры (плотности теплового потока), термических напряжений в конструкциях и т д

Вместе с этим, известно, что решения задач теплопроводности, полученные с помощью классических аналитических методов, представляются в форме бесконечных рядов, плохо сходящихся в окрестностях граничных точек и при малых значениях временной координаты Исследования, выполненные автором настоящей диссертации, показывают, что сходимость точного аналитического решения нестационарной задачи теплопроводности для бесконечной пластины при граничных условиях первого рода в диапазоне чисел Фурье 10"12 <Fc>£lO"7 наблюдается лишь при использовании от 1000 (Fo = 10"7) до пятисот тысяч (Fo = 1<Х'2) членов ряда.

Эта проблема еще в большей степени характерна и дм вариационных методов (Ригца, Трсффца. JI В Канторовича и др), а также методов взвешенных невязок (ортогональный метод Бубнова-Галеркина, метод моментов, коллокаций и др) Эти методы для получения решений нестационарных задач теплопроводности при малых значениях временной координаты практически неприменимы в виду того, что при большом числе приближений относительно неизвестных коэффициентов искомого решения получаются большие системы алгебраических линейных уравнений. Матрицы коэффициенте таких систем, являясь заполненными квадратными матрицами с большим разбросом коэффициентов по абсолютной величине, как правило, плохо обусловлены В связи с чем, с увеличением числа приближений точность решения может не улучшаться, а ухудшаться

К методам, позволяющим избежать указанных трудностей, относятся интегральные методы теплового баланса Однако их широкое применение сдерживается недостаточной точностью получаемых решений Всякие попытки увеличения точности не приводили к существенным результатам.

В этой связи, тема диссертации, посвященная получению эффективных численно-аналитичсеких решений краевых задач нестационарной теплопроводности на основе использования ортогональных методов JI В Канторовича и Бубнова-Галеркина, является актуальной

Цель работы

Получение эффективных численно-аналитических решений краевых задач нестационарной теплопроводности па основе использования ортогональных методов Л В Канторовича и Бубнова-Галеркина, имеющих простой и удобный для инженерных приложений вид

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи.

1 Развитие метода JI В. Канторовича применительно к решению

нестационарных задач теплопроводности для многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды.

2. Разработка общих принципов построения систем коордшатных

функций, точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения при любом числе приближений

3 Получение аналитических решений нестационарных задач

теплопроводности на основе введения фроша температурного возмущения и дополнительных граничных условий

4 Разработка способа построения дополнительных граничных условий, позволяющих при незначительном числе приближений с высокой точностью получать аналитические решения во всем диапазоне изменения числа Фурье.

5 Разработка комплекса программ, реализующих методы нахождения численно-аналитических решений нестационарных задач теплопроводности на основе интегрального метода теплового баланса с привлечением дополнительных граничных условий и позволяющих для заданных краевой задачи и количества приближений получить решение в аналитической форме

Методы исследований

В диссертации использованы следующие методы' ортогональные методы Л В. Канторовича и Бубнова-Галеркина, интегральный метод теплового баланса; численные методы переменных направлений, расщепления и прогонки.

Научная новизна положений выносимых на защиту

1 Разработана методика получения аналитических решений нестационарных задач теплопроводности для многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды, а также с переменными во времени граничными условиями теплообмена.

2 Разработаны общие принципы построения систем координатных функций, в любом приближении точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения применительно к решению нестационарных контактных задач теплопроводности

3 Разработаны новые подходы к получению численно-аналитических решений нестационарных задач теплопроводности на основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий

4 Разработаны основные направления получения дополнительных граничных условий применительно к решению задач теплопроводности с использованием интегральных методов теплового баланса.

5 Разработаны способы построения изотерм, движущихся по пространственной координате во времени, а также определены безразмерные скорости их движения.

Достоверность

Достоверность результатов работы подтверждается использованием математических моделей, адекватных реальным физическим процессам, протекающим в рассматриваемых устройствах, а также близостью результатов решений, полученных в диссертации, с решениями других авторов (в том числе и с точными аналитическими решениями, с результатами расчетов численными методами, с данными натурных экспериментов)

Практическая ценность работы

Практическая значимость разработанных в диссертации численно-аналитических методов решения задач теплопроводности заключается в том, что полученные решения отличаются заметной простотой конструкции при точности, вполне достаточной для прикладных задач Такие методы решения могут особенно полезны в случаях, когда решение температурной задачи является промежуточной стадией каких-либо других исследований, например, решения задач термоупругосга, задач автоматизированного проектирования и управления, обратных задач теплопроводности

В частности, на основе использования полученных в диссертации приближенных аналитических решений путем решения обратной задачи теплопроводности найдена

температура взрывчатого вещества в точке его касания со шнек-винтом в процессе снаряжения изделий.

Научные и практические результаты использованы на Самарской ТЭЦ, Безымянской ТЭЦ, Тольяггинской ТЭЦ, Самарской ГРЭС, Новокуйбышевской ТЭЦ-2, Самарских, Ульяновских, Тольятпшских и Саратовских тепловых сетях Экономический эффект от внедрения, подтвержденный актами о внедрении, приведенными в положениях диссертации, составляет около 1 млн рублей

Связь диссертационной работы с планами научных исследований.

Представленная работа является обобщением теоретических и экспериментальных исследований, выполненных автором на кафедре «Теоретические основы теплотехники и гидромеханика» Самарского государственного технического универыгтета Исследования производились по планам госбюджетной тематики Минвуза РФ №551/02 «Разработка методов определен™ собствешшх значений в краевых задачах теплопроводности», а также по планам НИОКР ОАО «Самараэнерго» (ОАО «Волжская ТГК») за 2004-2007г.г

Апробация работы

Основные результаты работы были доложены и обсуждены на IV Российской научно-практической конференции «Повышение эффективности теплоэнергетического оборудования», Иваново, Ивановский государственный эпергетический университет, 2005, Четвертой Российской национальной конференции по теплообмену, Москва, МЭИ, 2006, Тринадцатой Международной научно-технической конференции студентов и аспирантов, Москва, МЭИ, 2007, Пятой Всероссийской научной конференции с международным участием, Самара, СамГТУ, 2008

Публикации

По результатам выполненных исследований опубликовано 9 научных рабог, в том числе 1 статья в издании из перечня ВАК

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов, списка используемой литературы, приложений Работа изложена на 174 страницах основного машинописного текста, содержит 48 рисунков, 6 таблиц, 2 приложения, список используемой литературы включает 121 наименование.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе диссертации представлен обзор, исследование и анализ приближенных аналитических методов решения краевых задач. И, в частности, рассмотрены методы Ритца, Треффца, Л В. Канторовича, коллокаций, Бубнова-Галеркипа Показаны преимущества этих методов, область рационального применения, их недостатки Был сделан вывод о том, что общим недостатком всех этих методов является плохая обусловленность матриц коэффициентов систем алгебраических линейных уравнений, получаемых в процессе использования указанных методов. Данное обстоятельство не позволяет получать решения при большом числе приближений (несколько десятков) и, следовательно, при малых значениях временной координаты.

Вторая глава диссертации посвящена разработке схемы получения аналитических решений задач теплопроводности для многослойных конструкций с использованием координатных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения Основная идея методики нахождения систем координатных

функций заключается в последовательном их построении при переходе от одного слоя к другому и при использовании всякий раз метода неопределенных коэффициентов. Применение данного подхода оказалось возможным лишь благодаря принятию глобальной системы неизвестных функций времени (одинаковых для всех контактирующих тел) Важным моментом, упрощающим процесс построения координатных систем, является применение локальных систем координат (различных для каждого отдельного слоя).

Преимущества такого способа построения координатных систем, будем называть его методом последовательного построения координатных функций, заключаются в следующем.

1 Можно построить координатные функции для линейных граничных условий и условий сопряжения практически любой степени сложности, в том числе и переменных по координатам и во времени. При этом имеется возможность учитывать различные особенности граничных условий и условий сопряжения, которые могут иметь место в отдельных слоях многослойной системы. Можно, например, учесть контактные термические сопротивления, описываемые различными математическими формулами на отдельных контактах слоев Решение в данном случае в явном виде содержит все основные параметры задачи (физические свойства среды и граничные условия теплообмена).

2 Можно построить координатные функции как на основе алгебраических, так и тригономефических полиномов, причем, эти функции имеют настолько простой вид, что вопросы их дифференцирования и интегрирования в большинстве случаев легко решаются на аналитическом уровне.

3 Дня наиболее встречающихся в практических задачах граничных условий и условий сопряжения приводятся общие формулы, по которым можно построить координатные функции для любого числа контактирующих тел и при любом количестве приближений, не вникая при этом в детали построения этих формул

4. Уже в первом-втором приближениях полученные решения хорошо согласуются с точными практически во всем диапазоне регулярного режима

К недостаткам принятого метода решения следует отнести трудности получения решения на начальном (нерегулярном) этапе временного интервала нестационарного процесса Эти трудности имеют место для всех вариационных методов, не связанных с методами, в которых используется предварительное разделение области на конечные элеменш, подобласти, регионы и пр Для получения решения в начальные момешы времени приходится делать большое число приближений, однако при большом п матрица коэффициентов при неизвестных системы алгебраических линейных уравнений, являясь заполненной квадратной матрицей, оказывается, как правило^ плохо обусловленной. Поэтому такие системы следует решать с высокой точностью промежуточных вычислений.

Эффективность метода Л. В. Канторовича рассмотрим на примере решения задачи теплопроводности для многослойных пластины, цилиндра и шара при переменных в пределах каждого слоя теплофизических коэффициентах в следующей математической постановке

МР)

дГ,(р, ал

(1)

(К> >0; р„, <р<р„1 = \,т, р„ = 0, рм ~ 1)

дГ,(0, Р'о)/др - В:, [7|(0, /Ъ) - Гг,(Л>)] = 0,

(2) (3)

А[ЭТ,(р^Ро)!др] = [ЭТм(р„Ро)/др\;

(< = 1,т-1);

(4)

ЦАО) = Г0,(р); (5)

аг.(1,л)/Э/?-в«2[г,2(Л)-г.(1,л)] = о, (6)

где р = (г - й„ )/(/?„ - К0) - безразмерная координата; /?0, Кт - соответственно внутренний и наружный радиусы полого цилиндра или оболочки (для многослойной пластины Д0 - 0 ); т — число контактирующих тел; е = О, 1, 2 - соответственно для пластины, цилиндра и шара; а - наименьший из коэффициентов температуропроводности а, (г = 1,т); Й = Д„ - Я,, 7".,, - температуры сред; А, = ог,Д/Л ; й/, =а2ЯЧ - критерии Био; Ро = ат1$ - число Фурье; Л, 0 = 1,т) - коэффициенты теплопроводности

Приближешюе решение задачи (1) - (6), следуя методу приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям (методу Л В Канторовича), разыскивается в виде

= 0=ЦИ) (?)

к-2

где /¿(Го) (к = \,п) - неизвестные функции времени, <рь(р) - координатные функции, удовлетворяющие однородньш граничным условиям и однородным условиям сопряжения, 0,(р) " функции, удовлетворяющие неоднородным граничным условиям и неоднородным условиям сопряжения

Так как в задаче (1) - (6) условия сопряжения однородные, то функции Ф,(р) будут одинаковыми для всех тел Они будут определяться в виде полинома Ф(р)-А+Вр, где неизвестные постоянные А и В находятся из неоднородных граничных условий (2) и (6) Из координатных функций первого приближения фи(р) вначале определяется функция для

последнего т-иого слоя Она принимается в виде <р,т(р) = + р1, где неизвестная постоянная F находится из однородного граничного условия (6) (при Гс2(/го )=0) Координация функция для (т—1)-го слоя принимается в виде (^„.„(р) - С + йр1, где постоянные С и £) находятся из условий сопряжения между т-ным и (/я-1)-м слоями Координатная функция для (т-2)-го слоя находится в том же виде, что и функция <р^А)(р), где постоянные С и £> определяются из

условий сопряжения между (т- 1)-м и (т-2)-м слоями т. д. Таким путем можно построить координатные функции для любого числа слоев

Координатная функция для первого тела принимается в виде полинома <Ръ (Р) = Л + Вр+Ср2 ■ гдс постоянные А, В, С определяются из однородного граничного условия (2) (при Т^(Го) = 0) и условий сопряжения (3), (4) между 1-м и 2-м слоями

Координатные функции <рь(р)(к = 2,п) могут бьпь найдены по следующей общей

формуле:

(1 = Ст) ; (к = Хт),

где Н(г]) — функция Хевисайда (единичная функши), определяемая выражением

[ 1,0 < <7 < °о, ¡7 = (1 - /),

[О, - со < Г) < О

Эти функции и их производные обращаются в нуль на границах и на всех контактах слоев В диссертации рассмотрены также методы получения координатных функций, удовлетворяющих граничным условиям и условиям, сопряжения не только в первом, но и во всех последующих приближениях. Общая формула для их получения имеет вид (симметричные граничные условия 3-го рода)

%,(*)=— + !['-#(' + 1----~~)х1-1-1 (/ = 1,и,А = 2, п)

ы> Л.-/-1 Л.-/ Л

где п - число приближений.

Соотношешю (7) при найденных таким путем Ф(р) и <ри(р)(к = \^п) точно удовлетворяет гршшчньм условиям и условиям сопряжения. Неизвестные функции времени /,(Л>) находятся так, чтобы как можно лучше удовлетворялось уравнение (1). Для этого составляется его невязка при Т1(р,Ро) = Тш{р,Ро)

а

а1

ар'

5 1 / -« дТ (р,Ро)

-т~МР)Р -;-

др 8р

,, ,5Тт(р,Ро) а)? , Г1 „

-Мр)-——+ — г(р,го)*о

др а

и требуется ортогональность невязки ко всем координатным функциям <ри(р)

ии^П, ,/„»/:>Т'Л(Ро),г;2(1-0),^--д,(Ро),р

а

Р„(РКР = 0;

(/ = 1 ,т, к = } = 1,в) . В итоге получается система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

ЪNJJ;(Fo) + MJJk(Fo)] + NJ + MJ[т;¿Fo) + T:,(Fo) + q¡(Fo)] = 0 ; (9)

4-1

0=й)

где

ЛГ.

М

^ =11

«¿Дар Ф ар

(10)

^ = Ё I {—^Р^ + ^^ШРЭР'^^]^)^ , (11)

м <•,-] ( а

а, д ар' др1

„.д6±ру др

м, = I ^(Р)^Р'. (' = ь™. М=1,и)

(12)

Для определещм постоянных СД/ = 1 ,т), получающихся в результате интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений (9), составляется интеграл взвешенной невязки начального условия (5):

I I [О,(Р) + ¿Л (0)Р,(Р) - Та(рЩ,(р)йр = 0 , (=1

(I = \,т,],к - 1,я).

После нахождения постоянных интегрирования приближенное решение задачи (1) — (6) в общем случае находится в виде (7)

При использовании метода конечных элементов существенные преимущества дает применение локальных, систем, координат (различных для каждого элемента). Они позволяют получать коордшапше функции наиболее простого вида.

хг Лгг» -

0-1 0-г а» - . , О-т

А Л .А (Ггп

«Г

** *<п

Рис 1 Схема применения локальных систем координат для многослойной пластины

Рассмотрим применение локальных систем координат при решении задачи теплопроводности для многослойной пластины (рис 1). Математическая постановка задачи в безразмерных переменных имеет вид

с^о а дг]\ '

®,(7„0) = 1, 50,(0,=0,

х ае,(д.,^) г аэ,,,(0,рО)

(13)

(14)

(15)

(16)

- + (Л„, Ро) = 0 ,

(17)

(18)

Ч

где ^ =х,!8 " безразмерная координата 1-ого слоя, 9 = (7]-Г„)/(Г0-ГМ) - относительная избыточная температура, /7о = ат182 - число Фурье, д - безразмерная толщшш г-

того слоя, <5 - суммарная толщина М1 югослойной системы, В1 = а81А ' критерий Биа Решение задачи (13)—(18) разыскивается в виде

к-1

где <рк1 ) - координатные функции

Коордштные функции первого приближения, точно удовлетворяющие граничным условиям и условиям сопряжения, находятся по формулам

Ь) = Ви+т}\; = + +/;2,, (; = 2,т)

где постоянные Ви(1 = 1,/и) определяются из следующих рекуррентных соотношений

у=0 (.1 лл_) VI М Лт Лу Ш

Ва = Вп + Д2„ В„ = В„_, + В2МЛ,-, + Д2,_„ (; = 3^),

¿»I 4

Например, для контакта двух тел коордшишые функции согласно этим формулам будут иметь вид

¥.„(7,) = -2^-Д1(-1 + Д3)-Д2(-|+Д2)-Д2,+^„ (19)

«^Ъ ) = + ) + 2 А-Л, (//, - ~ Л2)+Л (20)

л^ Вг

Координатные функции второго и последующих приближений определяются по общей формуле вида

где Н(£) =0 при £=0, #(£) = 1 при £ >0; £ =; -1; к - число приближений

Дальнейшее решение задачи выполняется как и выше с использованием метода Л В Канторовича.

В третьей главе диссертации рассмотрены принципы получения аналитических решений нестационарных задач теплопроводности на основе определения фронта температурного возмущения и введения дополнительных граничных условий

В аналитической теории теплопроводности известны методы, в которых используется понятие глубины термического слоя (интегральный метод теплового баланса, методы Био, Швеца, Вейника, Посгольника и др.) Несомненным их преимуществом является возможность получения простых по форме аналитических решений удовлетворительной точности как для регулярного, так и нерегулярного процессов теплопроводности. Однако их серьезным недостатком является низкая точность Причина в том, что получаемое решение, точно удовлетворяя начальному и граничным условиям, основному дифференциальному уравнению удовлетворяет лишь в среднем. Это связано с тем, что в основу метода положено построение так называемого интеграла теплового баланса, что равнозначно осреднению исходного дифференциального уравнения в пределах глубины термического слоя Следовательно, очевидным путем повышения точности интегральных методов является улучшение выполнения исходного дифференциального уравнения. С этой целью в диссертации избрано направление аппроксимации температурной функции полиномами более высоких степеней Для определения неизвестных коэффициентов таких полиномов основных граничных условий оказывается недостаточно В связи с чем возникает необходимость привлечения дополнительных граничных условий, определяемых из исходного дифференциального уравнения с использованием основных граничных условий и условий, задаваемых на фронте температурного возмущения.

В качестве конкретного примера применения интегрального метода с использованием дополнительных граничных условий найдем решение задачи теплопроводности для бесконечной пластины в следующей математической постановке

дРо др

©(/7,0) = 0; (22) = 0 ; (23) ®(1,й>) = 1, (24)

др

где в = (Т-Та)/(ТЛ: -Г0) - относительная избыточная температура; ^о=аг/й2 -число Фурье, р = г/К - безразмерная координата, 7"0 - 1ачальная температура; Тъ -температура стенки при г = Л; а - коэффициент температуропроводности; Я - половина толщины пластины; г - координата; г - время.

Процесс нагрева разделим на две стадии по времени: 0<Ро< Го, и Го, 5 Го < <» . Для этого введем движущуюся во времени границу (фронт температурного возмущения), разделяющую исходную область 0<р<1 на две подобласти 0<р<д,(Го) и

1, где - функция, определяющая продвижение границы раздела во

времени (рис 2 а)

При этом в области, расположенной за фроотом температурного возмущения, сохраняется начальная температура. Первая стадия процесса заканчивается при достижении движущейся границей центра пластины, т. е когда 1~о = Ро,. Во второй стадии изменение температуры происходит по всему объему тела 0 < р < 1 (рис. 2 б).

Важная особенность излагаемого ниже метода заключается в том, что исходная задача (21) - (24) представляется в виде двух взаимосвязанных краевых задач для уравнещ1я параболического тина (уравнения Фурье) Обе задачи содержат дополнительные искомые функции, вводимые в полном соответствии с физическим смыслом исходной краевой задачи Для первой стадии процесса (первая краевая задача) такой дополнительной искомой функцией является функция ?,(/го), обозначающая фронт температурного возмущения. Его физический смысл - движущаяся по координате р во времени нулевая изотерма (изотерма начального условия) (см рис 7)

Для второй стадии процесса (вторая краевая задача) дополнительной искомой функцией является изменяющаяся во времени температура в центре тела 0(1,/Ъ) = ?г(Го) При этом начальным условием для второй краевой задачи является распределите температуры в конце первой стадии процесса первой краевой задачи, т.е при Го = /ч>, В связи с чем, при Ео = Лг, математические постановки первой и второй краевых задач полностью совпадают

С целью упрощения процесса получения решения заменим координату р, отсчитываемую от центра пластины, новой переменной отсчитываемой от

поверхности. Задача нагрева пластины для первой стадии процесса в данном случае примет вид

0

1.0

О

Я

Рис 2 Расчетная схема теплообмена

Ш> ~ а? '

(0 < /•<? й /ч>,, 0:5 ££?,(#>))

0(О,й>) = 1 ; (26) 0(?,,Го) = О , (27) ^^"Ко, (28)

где соотношения (27), (28) представляют условия тепловой изоляции подвижной границы.

В результате введения фронта температурного возмущения задача (25) - (28) свелась к задаче со свободной подвижной границей, на которой в течение всего времени первой стадии процесса 0 йРой выполняется условие (27), устанавливающее равенство температуры тела в точке £, = его начальной температуре и условие

адиабатной стенки (28), согласно которому тепловой поток не распространяется за пределы фронта температурного возмущения В дальнейшем решение задачи (25) - (28) сводится к определению закономерности продвижения фронта температурного возмущения по координате £ в зависимости от времени Го. При этом на первой стадии процесса задача (25) - (28) за пределами фронта температурного возмущения вообще не определена В связи с чем, здесь нет необходимости выполнения начального условия вида ©(<?,()) = 0 по всей толщине пластины (поэтому такое условие отсутствует в задаче (25) -(28)) В данном случае вполне достаточным является выполнение граничного условия (27), согласно которому для всех £ = д,(Го) температура тела равна начальной температуре Все это позволяет существенно упростить процесс получения аналитического решения задачи (25) - (28) по сравнению с ее решением в постановке (21) - (24) с помощью классических аналитических методов.

Еще одним упрощением задачи (25) - (28) является отсутствие граничного условия вида (24) ввиду того, что оно не оказывает влияния на процесс теплопроводности в первой его стадии.

Отметим, что задача (25) - (28) не относится к классу задач, в которых учитывается конечная скорость продвижения тепловой волны. Их решение сводится к интегрированию гиперболического (волнового) уравнения теплопроводности. Введенный в задаче (25) - (28) фронт температурного возмущения по физическому смыслу является аналогом движущейся изотермы (но не тепловой волны) Ввиду того что на фронте температурного возмущения в процессе его движения по координате £ поддерживается

начальная температура 0(<7, = 0 , то, следовательно, он является аналогом нулевой

изотермы (см ниже соотношения (60), (63) и графики на рис 7-10).

Решение задачи (25) - (28) разыскивается в виде следующего полинома

е«.Л>) = £ (29)

После определения коэффициентов ак(к = 0,1, 2) из граничных условий (26) - (28) соотношение (29) принимает вид

в(£,.Р0) = (ь|-| . (30)

Для нахождения неизвестной функции ^ (в первом приближении составим

невязку уравнения (25) и проинтегрируем ее в пределах глубины термического слоя (что равнозначпо построению интеграла теплового баланса - осреднению уравнения (25))

""ав( «У'а'ек.к»)., ап> { д?

Подставляя (30) в (31), после определения интегралов получим

= (32)

Интегрируя (32), при начальном условии ^(0) = 0 найдем

<7l=^/Í2ЛJ (33)

Соотношения (30), (33) определяют решение задачи (25), (28) для первой стадии процесса в первом приближении

Положив <7, (Ро,) = I, из (33) находим время окончания первой стадии процесса =1/12 »0,0833.

Результаты расчетов в первом приближении в сравнении с точным решением приведены на рисунке 3. Их анализ позволяет заключить о том, что расхождение с точным решением составляет 3 - 4 % . При этом основная погрешность возникает из-за неточного выполнения дифференциального уравнения (25). Отметим, что граничное условие (26) и условия иа фронте температурного возмущения (27), (28) выполняются точно

Очевидным путем повышения точности решения является увеличение степени аппроксимирующего полинома (29). Для определения появляющихся при этом дополнительных неизвестных коэффициентов необходимо привлекать дополнительные граничные условия Для их получения будем последовательно дифференцировать граничные условия (26) - (28) по переменной Го, а уравнение (25) по переменной д. Сравнивая получающиеся при этом соотношения, можно найти необходимое количество дополнительных граничных условий И, в частности, для получеши решения задачи (25) -(28) во втором приближении первые три дополнительных граничных условия имеют вид

а?

ô20(O,fb) _ q d2e(£,Fo)

df d?

<=«<Л>

Во втором приближении, используя дополнительные граничные условия (34) совместно с заданными (26) - (28), можно найти уже шесть коэффициентов полинома (29) и задать температурную функцию в виде полинома пятой степени.

©(¿,Д>) = | 1 + ^-5-II1—) • (35)

Подставляя (35) в (31), относительно q (Fo)приходим к следующему обыкновешюму дифференциальному уравнению

4(Fo) = 10 dFo q,(Fo)

Интегрируя (36), при начальном условии ?,(0) = 0 получим

37)

Положив в (37) q, (/-'о, ) = 1, найдем Fo = Fo, = 0,05.

Соотношения (35), (37) определяют решение задачи (25) - (28) с дополнительными граничными условиями (34) во втором приближении Результаты расчетов по формуле (35) в сравнении с точным решением приведены на графиках рис 3, 4 Их анализ позволяет заключить, что в диапазоне чисел Фурье 1-Ю"5 <Fo£Fo, =0,05 отклонение полученного по формуле (35) решения от точного составляет около 1 %.

Применяя рассмотренный выше способ, можно получить какое угодно число дополнительных граничных условий. Например, для получения решения в третьем приближении следующие три дополнительные граничные условия имеют вид (отметим, что в каждом приближении необходимо использовать три новых дополнительных граничных условия в дополнение ко всем предыдущим)

a4e(0,Fo) Э'0(?„Н еЩд,,Fo) af 3f4 вС

0,95 0,

Ис =0,00001 .

У I Ро = 0,00005 у ««

т /' ______ _ Ж .. // И о =0,0001^-' .....//

/ // /у

......................... / Р / V /.■ / /

..........." V 7, // . / / .

1 ! .........//..... /7

1 /

^^ I /' /Д

и ...........!) .......У / 1 А А !

0,03

0 0,006 0,012 0,018 0,024 {

Рис.3. Изменение относительной избыточной температуры в пластине. — — - первое приближение, ° - второе приближение;- - точное решение

Дополнительные граничные условия (34, (38) совместно с заданными (26) - (28) позволяют найти девять неизвестных коэффициентов ак (к =0,8) из (29). Подставляя найденные из решения соответствующей системы уравнений значения коэффициентов а, в (29), приходим к следующему соотношению для определения температуры в третьем приближении

Г с СЛ6

(39)

(40)

в(ьс ,Я>)= 1 + 3-^- ч б

<?.А Ъ)

Подставляя (39) в (31), найдем

5 </91(/ч>) 3

24 ¿Ро ¡у, (Л?) Интегрируя, при начальном условии д, (0) = 0 получим

Время окончания первой стадии процесса Рох = 0,03472 .

Таким путем можно получить решение и в любом последующем приближении. Например, решение задачи (25) - (28) в пятом приближении записывается в виде

Х ' 64 д, 32 64 д* 16 9|7 64

е

+1001

28665 .„¿и ------— + 455^--

8085 +

(41)

9Г 32 </,11 64 £ 9Г

Анализ полученных результатов позволяет заключить, что обыкновенные дифференциальные уравнения относительно функции д^Ро) в любом приближении имеют одинаковый вид и отличаются лишь коэффициентами, что существенно упрощает их решение.

Результаты расчетов для 3-го, 7-го и 14-го приближений в сравнении с точным решением даны на рисунках 4, 5.

Рис. 4. Изменение относительной избыточной температуры в пластине. — • — - третье приближение; — — - седьмое, ............ - четырнадцатое;- - точное решение

¡■11

\

\ \

\ \

В.ЭСИ от 0.0D8 0.01 Fo

Рис. 5. Изменение невязки уравнения (3.5) от безразмерного времени Ро в точке £ = 0,5 - ° " седьмое приближение

=0,0154762); □

четырнадцатое приближение (р0^ =0,00784)

Их анализ приводит к заключению о том, что с увеличением числа приближений решение всякий раз уточняется. Так, уже в седьмом приближении значения температур в диапазоне чисел 5-10"'<fo< Fo, отличаются от точных их значений не более чем на

0,002%, а в четырнадцатом приближении - на 0,0004 %. Следует отметить трудности получения точного решения для столь малых чисел Фурье ввиду необходимости использования большого числа членов ряда точного решения. В частности, расчеты показали, что при ЯЬ = 10~7для сходимости точного решения необходимо использовать около 1000 членов ряда. Для чисел Fo= 10~8; Ю^9; 10"'°; 10~"; 10~12 сходимость точного решения наблюдается соответственно при следующих величинах чисел ряда: 5000; 10000; 50000; 200000; 500000. Отмстим, что для полученных здесь решений какие-либо ограничения временного характера практически отсутствуют.

Повышение точности решения с увеличением числа приближений происходит за счет увеличения точности выполнения уравнения (25), что подтверждается анализом изменения его невязки (см. рис. 5). Отмстим, что невязка уравнения (25) для любой точки координаты £ определяется лишь, начиная с момента времени, когда фронт температурного возмущения достигает этой точки и, заканчивая моментом времени окончания первой стадии процесса в данном приближении, т. е. f0 - f0]. Из анализа

полученных результатов следует, что величина невязки в четырнадцатом приближении не превышает £ = 0,008. При этом во всех точках по координате где в данный момент времени находится фронт температурного возмущения, уравнение (25) удовлетворяется

точно, включая точки £=0 и £ = 1, что достигается благодаря выполнению дополнительных граничных условий.

Метод дополнительных граничных условий можно применить и для второй стадии процесса нагрева (охлаждения) Вторая стадия теплового процесса, соответствующая времени Ро 2 Ко,, характеризуется изменением температуры уже по всему сечению пластины вплоть до наступления стационарного состояния Для этой стадии понятие термического слоя теряет смысл, и в качестве дополнительной искомой функции принимается функция 0(1,Ро) = ^(^о), характеризующая изменение температуры от времени в центре пластины.

Если, как и выше, перейти к новой независимой переменной £ = 1 - р, то математическая постановка задачи для второй стадии процесса будет иметь вид

сг<~№,Ро)

SFo

(Fo>Fol, 0<£<1) (42)

6(0,Fo) = l, (43) 0(1,Fo) = <j2(Fo); (44) = 0, (45)

Отметим, что начальным условием в задаче (42) - (45) является условие

BitaaQ(f,Fo,)=(l -í)2, получаемое id соотношения (30) при Fo=Fo, {q¡(Fo¡) = 1) Однако в его

специальном удовлетворении нет необходимости, т к оно выполняется в ходе решения задачи (42) -(45) Это связано с тем, что математические постановки задач (25) - (28) и (42) - (45) при Fo- Fo, (q2{Fol) = 0) пояюсгью совпадают Следовательно, и их решения для данного момента

времени также будут полностью идентичными Таким образом, здесь выполняется плавное сопряжение решений для первой и второй стадий процесса без необходимости специального выполнения начального условия, что значительно упрощает получение решения во второй стадии

Как и в первой стадии, решение задачи (42) - (45) будем искать в виде полинома п - ой степени

0(í,FO) = ¿6t(?2)í1 (46)

к-О

Неизвестные коэффициенты Ьк (к =0,1,2) находятся из граничных условий (43) - (45). После их определения и подстановки в (46) получим

e^,Fo) = ]-(\-q2№-{). (47)

Положив в (47) Fo — Fo[> учитывая что q2(Fo,) = 0, соотношение (47) будет иметь вид

e(£,F0l) = (l-í)2 (48)

Формула (48) полностью совпадает с соотношением (30) при Fo = Fo¡. Это означает, что начальное условие в задаче (42) - (45), имеющее вид (48), выполняется.

Для получения решения в первом приближении составим невязку дифференциального уравнения (42) и проинтегрируем ее в пределах от f = 0 до £ = 1, т. е.

Í^'H^V («>

о SFo i д?

Подставляя (47) в (49) и определяя интегралы, относительно неизвестной функции g2(Fo) приходим к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению

BFo

Разделяя переменные и интегрируя, при начальном условии q2(Fo¡) = 0 получим

92(Го) = 1-ехр[-3(Го-Го,)]. (50)

Подставляя (50) в (47), найдем

©(<?, Го) = 1 - е(2 - £ )ехр[-3(Го - Го,)], (51) где Го, = 0,0833 (найдено в первом приближении первой стадии процесса при ?,(Го,) = 1).

Результаты расчетов по формуле (51) в сравнении с точным решением даны на рис. 6. Их анализ позволяет заключить о том, что максимальное отличие температур, полученных по формуле <51), от точных их значений составляет 8 %. Анализ решения (51) показывает, что оно точно удовлетворяет начальному условию (48) и граничным условиям (43) - (45), а также интегралу теплового баланса (49). Следовательно, основная неточность решения происходит от неточного выполнения дифференциального уравнения (42). В самом деле, как это следует из соотношения (49), уравнение (42) удовлетворяется лишь в среднем по толщине пластины.

Рис. 6. Изменение относительной избыточной температуры во второй стации процесса. — — первое приближение; Л

второе приближение; -

- точное решение

Для увеличения точности решения необходимо привлекать дополнительные граничные условия. Для их определения исходные граничные условия дифференцируются по переменной Го, а уравнение (42) по переменной £ Сравнивая получающиеся при этом соотношения применительно к точкам ¿=0 и £ = qi{Fo), для получения решения во втором приближении будем иметь следующие три дополнительных граничных условия 52в(0,Го) аг0(1,Го)_а^ ¿)3в(1,Го)

3£2 ' дС с1Ро дс3

Используя основные (43) - (45) и дополнительные (52), (53), (54) граничные условия, можно определить уже шесть коэффициентов ряда (46).

Подставляя (46) во все перечисленные граничные условия, относительно неизвестных коэффициентов Ьк {к = 0,5) получим систему шести алгебраических линейных уравнений. Определяя из решения этой системы коэффициенты и подставляя их в соотношение (46), найдем

--(зг-Щ3 + 16£'-5?)-=9£-. (55)

8 '¿Го

Подставляя (55) в (49), для определения неизвестной функции q2 (Го) будем иметь следующее неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

(56)

Его решение

240 ¿Го2 8 ¿Го 2 2

(Го) = 1 - 1,1261ехр[-2,4709(Го-Го, )]+ +0,1261 ехр [-22,0745 (Го - Го,)].

Подставляя (57) в (55), найдем окончательное выражение для решения задачи (42) - (45) во втором приближении второй стадии процесса

0(#,Го) = !-(!,772^-0,761^+0,065^+0,05^)ехр[-2,471(Го-Го,)]-

-(0,728ье-4,239|3 + 4,935£4 -1,55<,с5)ехр[-22,074(Го-Го,)], (58)

где Го, =0,05 (найдено во втором приближении первой стадии процесса при д,(Го,) = 1).

Результаты расчетов безразмерных температур по формуле (58) в сравнен™ с точным решением представлены на графиках рис. 6. Их анализ позволяет заключить о том, что полученное здесь решение во всем диапазоне изменения Фурье второй стадии процесса практически совпадает с точным. Отметим, что коэффициенты, расположенные под знаком экспоненты, незначительно отличаются от первых двух собственных чисел краевой задачи Штурма - Лиувилля, точные значения которых имеют вид = 2,4674 , /а = 22,2066 .

Характерной особенностью полученных здесь аналитических решений является полиномиальная зависимость температуры от координаты £ в отличие от классических точных аналитических решений, где такая зависимость выражается через тригономефические функции. Полиномиальная зависимость позволяет получить решение в виде поля изотермических линий.

Принцип построения изотерм рассмотрим на примере первого приближения первой и второй стадий процесса. Выражая координату £ как функцию температуры

О(£,Го) и времени Го, соотношения (30) и (51) можно привести к виду

£ = (1-7©(£Г0))>Д2ГЬ; (59)

^ = + (60)

где Е = ехр[~3(Го - Го,)].

Соотношения (59), (60) позволяют для любых конкретных © (£, Го) гсогы построить графики зависимости температур от £ и Го (графики изотерм) (см. рис. 7).

Рис. 7. Графики движения изотерм 6(£,Fo ) = const по координате g в зависимости от времени Fo (первое приближение, Fo, =0,0833)

Отметим, что нулевая изотерма ®(^,Fo) = 0 совпадает с графиком движения фронта температурного возмущения по координате £ е зависимости от времени Fo . В самом деле, при ©(i, Fo) = 0 выражение (59) принимает вид соотношения £=Vl2Fb , полностью совпадающего с формулой (33), характеризующей перемещение фронта температурного возмущения. Отсюда следует, что по физическому смыслу фронт температурного возмущения является аналогом изотермы, движущейся во времени по координате В данном случае это есть нулевая изотерма - изотерма начального условия.

Первые производные по времени от соотношений (59), (60) позволяют определить безразмерные скорости движения изотерм u = d£/dFo по координате f в

зависимости от времени, а вторые производные - ускорения a-d2^ldFo2. Формулы скоростей для первой и второй стадий процесса соответственно будут

v = -Jy¥o(yi®-l); (61)

1> = 3(1-6)/[2а/Я2-£ + £0]. (62)

Графики скоростей движения изотерм, найденных по формулам (61), (62), даны на рис. 8. Их анализ позволяет заключить, что максимальные скорости изотермы имеют вблизи точки £ = 0. По мере удаления от этой точки скорости существенно уменьшаются, достигая некоторого минимума в центральной области пластины. Затем при приближении к точке £ = 1 скорости изотерм вновь значительно возрастают. Графики ускорений изотерм по форме (качественно) практически соответствуют графикам скоростей и отличаются от них лишь количественно.

Ввиду невысокой точности первого приближения (и особенно во второй стадии процесса) изотермы, определяемые по формулам (59), (60), имеют небольшой излом при Fo = Fo, = 0,0833, т. е. в точке сопряжения решений для первой и второй стадий процесса (см. рис. 7). В связи с чем, на графиках рис. 8 в этой точке имеет место некоторый скачок в эпюрах скоростей, который уже во втором приближении практически не наблюдается, также как и излом в изотермах (см. рис. 9, 10).

Рис. 8. Графики скоростей изотерм у = / ¿ро, движущихся по координате £ во времени (первое приближение, Ро, = 0,0833 )

Ро, 0.) 0,2 0,3 Ро 0,4

Рис. 9. Графики распределения изотерм /<о) = сопз1 (второе приближение, Го, =0,05)

Рис. 10. Графики изменения скоростей изотерм (второе приближение, Ро, = 0,05)

Чтобы построить изотермические линии в координатах /-о применительно к последующим приближениям, для каждых конкретных 0(£,/о) и Ко относительно £, необходимо решать алгебраический полином. Ввиду того что каждому £ н согласно полученным аналитическим решениям соответствует лишь одно значение температуры 0(£,Л>), то алгебраический полином имеет лишь один корень, удовлетворяющий соответствующим решениям вида (35), (39), (41), (58).

Объяснение распределешио скоростей, показанному на рис 8, 10, можно получить га аналша формул (61), (62). И, в частности, из формулы (61) следует, что с уменьшением числа Фурье (/-о -> 0) скорости изотерм неограниченно возрастают. Анализ формулы (62) позволяет заключить о том, что с приближением числа Фурье к значению, при котором соответствующая изотерма достигает координаты £ = 1 (см рис 7), скорость изотермы также неограниченно возрастает. Исходя из формулы (62), неограниченное возрастание скорости может быть лишь в случае, когда знаменатель этой формулы приближается к нулю В самом деле, определяя, например для 0 = 0,3, величину числа Фурье, при котором знаменатель формулы (62) обращается в нуль, получим Ро = 0,20213 Из рис. 7 следует, что именно при этом числе Фурье изотерма 0 = 0,3 достигает центра пластины = 1) Аналогичная ситуация имеет место и для любых других изотерм

Найдем тепловой поток, приходящийся на единицу площади ограничивающей поверхности пластины.

8г

я4\2агП?

Из последнего соотношения следует, что величина теплового потока прямо пропорциональна коэффициешу теплопроводности тела, разности между температурой стенки и начальной температурой и обратно пропорцнопальна Следовательно, в начальный момент времени тепловой поток бесконечно велик Бесконечно большая величии теплового потока приводит к бесконечно большим скоростям движения изотерм С увеличением времени тепловой поток уменьшается, приводя к соответствующему уменьшению скоростей изотерм.

Таким образом, бесконечные скорости движения изотерм вблизи точек £ = 0 и £ = 1 объясняются заданием в этих точках идеализированных граничных условий -граничное условие первого рода (тепловой удар) при £ = 0 и условие отсутствия теплообмена (условие адиабатной стенки) при £ = 1. В реальных практических случаях данные условия не могут быть реализованы точно - степень приближения к ним зависит от конкретных условий теплообмена

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

На основе использования ортогональных методов Л. В. Канторовича и Бубнова-Галеркина получены эффективные численно-аналитические решения краевых задач нестационарной теплопроводности, имеющих простой и удобный для инженерных приложений вид, в том числе"

1 На основе использования ортогонального метода Л. В. Канторовича

получены численно-аналитические решения нестационарных контактных задач теплопроводности с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды, а также с переменными во времени граничными условиями теплообмена и источниками теплоты Решения, предоставляющие алгебраические полиномы с коэффициентами, экспоненциально стабилизирующимися во времени, имеют простой и удобный для инженерных приложений вид

2. Применительно к решению нестационарных задач теплопроводности

для многослойных конструкций разработаны общие принципы построения систем координатных функций, в любом приближении точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения. В основе разработанной методики лежит ступенчатое построение координатных функций с использованием метода неопределенных коэффициентов Особенно эффективным данный подход оказался при использовании локальных систем координат (различных для каждого отдельного слоя) ввиду того, что пространственная координата в каждом слое изменяется от нуля до безразмерной толщины (-го слоя

3 Получены эффективные численно-аналитические решения нестационарных задач теплопроводности на основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий. Благодаря разбиению процесса теплопроводности на два взаимосвязанных процесса были получены решения для всего диапазона времени изменения температуры без каких-либо ограничений на величину числа Фурье в области малых его значений. Такой подход позволяет получать достаточно простые по форме аналитические решения с любой заданной степенью точности. Так, для задачи тепповодности для бесконечно-протяженной пластины при граничных условиях первого рода уже в седьмом приближении значения температур в диапазоне чисел Фурье 5- 1(Г''< /чэ < Яз, отличаются от точных их значений не более чем на 0,002%, а в четырнадцатом приближении - на 0,0004 %

4 Получение высокоточных аналитических решений задач теплопроводности на основе введения фронта температурного возмущения оказалось возможным благодаря использованию дополнительных граничных условий, позволяющих увеличить степень аппроксимирующего алгебраического полинома В диссертации предлагается способ построения дополнительных граничных условий для любого числа приближений

5 Полученные на основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий аналитические решения задачи теплообмена при ламинарном течении жидкости в плоскопараллельных каналах были использованы в компьютерных моделях теплосетей для расчета температурного состояния теплоносителя

6 На основе использования полученных в диссертации приближенных аналитических решений путем решения обратной задачи теплопроводности найдена температура взрывчатого вещества в точке его касания со шнек-вшггом в процессе снаряжения изделий. Было показано, что температура взрывчатого вещества в этой точке значительно (на 1/3) превышает температуру во всей его массе, которая ввиду низкого коэффициента теплопроводности материала незначительно изменяется в процессе шнекования. Получешцле результаты были использованы для разработки безопасных по критерию воспламенения режимов шнекования.

7 На основе полученных в диссертации численно-аналитических решений задач теплопроводности разработан способ построения изотерм с последующим определением скоростей (и ускорений) их перемещения по пространственной координате во времени. Полученные результаты позволили заключить о том, что при граничных условиях первого рода (тепловой удар) начальные скорости движения изотерм при £->0 и Во -» 0 устремляются к бесконечным значениям. К бесконечным значениям устремляется также скорости движения изотерм при их приближении к стенке, на которой выполняются условия отсутствия теплообмена.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Научные статьи, опубликованные в изданиях из списка ВАК'

1. Антимонов М.С, Кудинов В.А, Стефанюк Е.В Аналитические

решения задач теплопроводности для цилиндра и шара на основе определения фронта

22

температурного возмущения. Журнал вычислительной математики и математической физики, Т. 48, № 4,2008. С. 681-692.

Публикации в других изданиях:

2. Кудинов В.А, Аверин Б.В, Стефанюк Е.В., Антимонов МС. Интегральные методы в задачах теплопроводности с переменным начальным условием. Вестник СамГТУ. Сер. «Математическая», №45. Самара, 2006, С 53-62.

3. Кудинов В.А., Аверин БВ, Стефанюк ЕВ, Анпишоное М.С. Аналитические решения задач теплообмена при течении жидкости в плоскопараллельных каналах на основе определения фронта температурного возмущения. Инженерно -физический журнал, Т. 80, №5,2007. С.176-186.

4. Антимонов М.С., Поворина А.И. Применение локальных систем координат в задачах теплопроводности для многослойных тел. Научно-информационный межвузовский журнал «Аспирантский вестник Поволжья» №1. Самара; СамГМУ, 2004. С.52-55.

5. Пономарев ЮС., Кудинов В.А, Антимонов МС, Поворина А.И. Гидравлические и температурные режимы работы теплосети Самарской ТЭЦ Материалы IV Рос. науч.-пракг. конф. «Повышение эффективности теплоэнергетического оборудованию). - Иваново- ИГЭУ, 2005. С. 107-110.

6. Кудинов В А, Аверин Б.В, Стефанюк ЕВ., Антимонов М.С. Аналитические решения краевых задач с учетом конечной скорости распространения теплоты Труды Четвертой Российской национальной конференции по теплообмену, т. 7. Радиационный и сложный теплообмен. Теплопроводность, теплоизоляция. - М: Издательский дом МЭИ, 2006. С 245 - 247.

7 Антимонов МС., Кудинов ИВ, Еремин А.В. Аналитические решения

задач теплопроводности на основе введения фронта температурного возмущения. Радиоэлектроника, электротехника и энергетика; Тринадцатая Междунар. науч-техн. конф студентов и аспирантов: Тез. докл.:В 3-х т. - М.: Издательский дом МЭИ, 2007 Т.З. С.5.

8. Антимонов М.С., Кудинов КВ. Расчет нелинейного теплопереноса при экспоненциальной зависимости коэффициента температуропроводности от температуры. Радиоэлектроника, электротехника и энергетика: Тринадцатая Междунар. науч.-техн. конф студентов и аспирантов: Тез докл.:В 3-х т - М.: Издательский дом МЭИ, 2007. Т.З. Сб.

9 Стефанюк Е.В., Кудинов В А., Аверин Б.В., Антимонов МС.

Аналитические решения задач теплопроводности с переменными во времени коэффициентами теплоотдачи Труды Пятой Всероссийской научн. конф. с междунар. участием. Часть 3: дифференциальные уравнения и краевые задачи. - Самара: СамГТУ, 2008. С.164-167.

7Л

Ангимонов Максим Сергеевич

Численно-аналитические методы решения задач теплопроводности на основе ортогональных методов взвешенных невязок

Автореферат

Подписано в печать

Формат бумаги 60x84 1/16. Печать плоская Тираж 100 экз Заказ 708

Отпечатано в издательско-полиграфическом центре Самарского государственного технического университета 443100, Самара, ул Молодогвардейская, 244

Введение

1. Обзор, исследование и анализ приближенных аналитических методов решения краевых задач

1.1. Метод Ритца

1.2. Метод Треффтца

1.3. Метод Л. В. Канторовича

1.4. Метод коллокаций

1.5. Метод Бубнова - Галеркина

2. Получение численно-аналитических решений задач теплопроводности на основе методов Л.В. Канторовича и Бубнова-Галеркина

2.1. Схема применения метода Л.В. Канторовича к решению нестационарных задач теплопроводности

2.2. Использование метода Л.В. Канторовича при несимметричных граничных условиях 3-го рода

2.3 Приближенные методы исследования теплопроводности в нерегулярном тепловом режиме

2.4. Схема применения метода Л.В.Канторовича к решению нестационарных задач теплопроводности для многослойных конструкций

2.5. Применение локальных систем координат

2.6. Решение обратных задач теплопроводности применительно к снаряжению взрывчатых веществ с помощью пресс-инструмента

3. Задачи теплопроводности на основе определения фронта температурного возмущения

3.1. Бесконечно-протяженная пластина (граничные условия первого рода)

3.2. Цилиндр, шар (граничные условия первого рода)

3.3. Переменные во времени внутренние источники теплоты

3.4. Теплообмен при течении жидкости в плоскопараллельных каналах

3.5. Двумерные задачи теплопроводности с источником теплоты

Общая характеристика работы.

Актуальность проблемы

Известно, что решения задач теплопроводности, полученные с помощью классических аналитических методов, представляются в форме бесконечных рядов, плохо сходящихся в окрестностях граничных точек и при малых значениях временной координаты. Исследования, выполненные автором настоящей диссертации, показывают, что сходимость точного аналитического решения нестационарной задачи теплопроводности для бесконечной пластины при граничных условиях первого рода в диапазоне чисел Фурье 10~12 < Ро < 10~7 наблюдается лишь при использовании от 1000 ^о=10~7) до пятисот тысяч (^о = 10~12) членов ряда.

Эта проблема еще в большей степени характерна и для вариационных методов (Ритца, Треффца, Л. В. Канторовича и др.), а также методов взвешенных невязок (ортогональный метод Бубнова-Галеркина, метод моментов, коллокаций и др.). Эти методы получения решений нестационарных задач теплопроводности при малых значениях временной координаты практически неприменимы в виду того, что при большом числе приближений относительно неизвестных коэффициентов искомого решения получаются большие системы алгебраических линейных уравнений. Матрицы коэффициентов таких систем, являясь заполненными квадратными матрицами с большим разбросом коэффициентов по абсолютной величине, как правило, плохо обусловлены. В связи с чем, с увеличением числа приближений точность решения может не улучшаться, а ухудшаться.

К методам, позволяющим избежать указанные трудности, относятся интегральные методы теплового баланса. Однако их широкое применение сдерживается недостаточной точностью получаемых решений. Всякие попытки увеличения точности не приводили к существенным результатам.

В настоящей работе развивается метод, относящийся к группе интегральных методов теплового баланса, позволяющий получать аналитические решения краевых задач с заданной степенью точности во всем диапазоне времени нестационарного процесса 0 < /ч? < оо без каких-либо ограничений на величину числа Фурье в области его малых значений. Основная идея метода заключается в разделении процесса теплопроводности на две стадии по времени. Первая стадия включает отрезок времени, при котором фронт температурного возмущения, двигаясь от поверхности, достигает центра тела. Вторая стадия включает время последующего теплообмена вплоть до наступления стационарного режима.

Разделение процесса теплопроводности на два взаимосвязанных процесса позволяет существенно упростить последовательность получения решения задачи, т.к. в данном случае оказывается возможным применение метода аппроксимационного представления приближенного решения с определением любого числа его слагаемых. При определении неизвестных коэффициентов полинома возникает необходимость использования дополнительных граничных условий, физический смысл которых состоит в том, что их выполнение равносильно выполнению исходного дифференциального уравнения в граничных точках и на фронте температурного возмущения (т.е. внутри области). Причем, точность выполнения уравнения полностью определяется количеством дополнительных граничных условий, от которого, в свою очередь, зависит число членов аппроксимирующего полинома (число приближений).

При получении аналитических решений в настоящей работе удается избежать применения линейной суперпозиции частных решений с целью выполнения начального условия. Именно на этом этапе получения классического решения происходит его максимальное усложнение, приводящее к использованию бесчисленного числа членов ряда при нахождении решения при малых значениях числа Фурье. Представление исходной краевой задачи в виде двух взаимосвязанных процессов, рассматриваемых раздельно и связанных лишь условием сопряжения при Го = Рол ( где Ро1 - время окончания первой стадии процесса), позволяет избежать указанных трудностей при возможности получения решения практически с любой заданной степенью точности при использовании незначительного числа приближений (три-пять приближений).

В этой связи, тема диссертации, посвященная получению эффективных численно-аналитических решений краевых задач нестационарной теплопроводности на основе использования ортогональных методов Л. В. Канторовича и Бубнова-Галеркина, является актуальной.

Цель работы

Получение эффективных численно-аналитических решений краевых задач нестационарной теплопроводности на основе использования ортогональных методов Л. В. Канторовича и Бубнова-Галеркина, имеющих простой и удобный для инженерных приложений вид.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Развитие метода Л. В. Канторовича применительно к решению нестационарных задач теплопроводности для многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды.

2. Разработка общих принципов построения систем координатных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения при любом числе приближений.

3. Получение аналитических решений нестационарных задач теплопроводности на основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий.

4. Разработка способа построения дополнительных граничных условий, позволяющих при незначительном числе приближений с высокой точностью получать аналитические решения во всем диапазоне изменения числа Фурье.

5. Разработка комплекса программ, реализующих методы нахождения численно-аналитических решений нестационарных задач теплопроводности на основе интегрального метода теплового баланса с привлечением дополнительных граничных условий и позволяющих для заданных краевой задачи и количества приближений получить решение в аналитической форме.

Методы исследований

В диссертации использованы следующие методы: ортогональные методы Л. В. Канторовича и Бубнова-Галеркина; интегральный метод теплового баланса; численные методы переменных направлений, расщепления и прогонки.

Научная новизна

1. Разработана методика получения аналитических решений нестационарных задач теплопроводности для многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды, а также с переменными во времени граничными условиями теплообмена.

2. Разработаны общие принципы построения систем координатных функций, в любом приближении точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения применительно к решению нестационарных контактных задач теплопроводности.

3. Разработаны новые подходы к получению численно-аналитических решений нестационарных задач теплопроводности на основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий.

4. Разработаны основные направления получения дополнительных граничных условий применительно к решению задач теплопроводности с использованием интегральных методов теплового баланса.

5. Разработаны способы построения изотерм, движущихся по пространственной координате во времени, а также определены безразмерные скорости их движения.

Положения, выносимые на защиту

1. Результаты получения аналитических решений нестационарных контактных задач теплопроводности с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды и с переменными во времени граничными условиями теплообмена.

2. Результаты разработки принципов построения систем координатных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения, используемых для получения аналитических решений нестационарных задач теплопроводности для многослойных конструкций.

3. Результаты разработки новых подходов к получению численно-аналитических решений нестационарных задач теплопроводности, основанных на введении фронта температурного возмущения, с использованием дополнительных граничных условий.

4. Результаты разработки общего направления получения дополнительных граничных условий, позволяющих получить высокоточные аналитические решения при использовании интегральных методов теплового баланса.

5. Результаты разработки способов построения изотерм и определения скоростей и ускорений их перемещения по пространственной координате во времени.

6. Результаты расчетов температурного состояния взрывчатого вещества в точке его касания со шнек-винтом в процессе снаряжения боеприпасов путем решения обратной задачи теплопроводности на основе использования полученных в диссертации аналитических решений.

Достоверность

Достоверность результатов работы подтверждается использованием математических моделей, адекватных реальным физическим процессам, протекающим в рассматриваемых устройствах, а также сравнениям результатов решений, полученных в диссертации, с решениями других авторов (в том числе и с точными аналитическими решениями, с результатами расчетов численными методами, с данными натурных экспериментов).

Практическая ценность работы

Представленная работа является обобщением теоретических и экспериментальных исследований, выполненных автором на кафедре «Теоретические основы теплотехники и гидромеханика» Самарского государственного технического университета. Исследования производились по планам госбюджетной тематики Минвуза РФ №551/02 «Разработка методов определения собственных значений в краевых задачах теплопроводности», а также по планам НИОКР ОАО «Самараэнерго» за 2004-2007г.г. Научные и практические результаты использованы на Самарской ТЭЦ, Безымянской ТЭЦ, Тольяттинской ТЭЦ, Самарской ГРЭС, Новокуйбышевской ТЭЦ-2, Самарских, Ульяновских, Тольяттинских и Саратовских тепловых сетях. Экономический эффект от внедрения, подтвержденный актами о внедрении, приведенными в положениях диссертации, составляет около 1 млн. рублей.

Апробация работы

Основные результаты работы были доложены и обсуждены на IV Российской научно-практической конференции «Повышение эффективности теплоэнергетического оборудования», Иваново, Ивановский государственный энергетический университет, 2005; Четвертой Российской национальной конференции по теплообмену, Москва, МЭИ, 2006; Тринадцатой

Международной научно-технической конференции студентов и аспирантов, Москва, МЭИ, 2007; Пятой Всероссийской научной конференции с международным участием, Самара, СамГТУ, 2008.

Публикации

По результатам выполненных исследований опубликовано 9 научных работ, в том числе 1 статья в издании из перечня ВАК.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов, списка используемой литературы, приложений. Работа изложена на 174 страницах основного машинописного текста, содержит 48 рисунков, 6 таблиц, 2 приложения, список используемой литературы включает 121 наименование.

Основные выводы и результаты работы

На основе использования ортогональных методов Л. В. Канторовича и Бубнова-Галеркина получены эффективные численно-аналитические решения краевых задач нестационарной теплопроводности, имеющие простой и удобный для инженерных приложений вид, в том числе:

1. На основе использования ортогонального метода Л. В. Канторовича получены численно-аналитические решения нестационарных контактных задач теплопроводности с переменными пределах каждого слоя физическими свойствами среды, а также с переменными во времени граничными условиями теплообмена и источниками теплоты. Решения, предоставляющие алгебраические полиномы с коэффициентами, экспоненциально стабилизирующимися во времени, имеют простой и удобный для инженерных приложений вид.

2. Применительно к решению нестационарных задач теплопроводности для многослойных конструкций разработаны общие принципы построения систем координатных функций, в любом приближении точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения. В основе разработанной методики лежит ступенчатое построение координатных функций с использованием метода неопределенных коэффициентов. Особенно эффективным данный подход оказался при использовании локальных систем координат (различных для каждого отдельного слоя) ввиду того, что пространственная координата в каждом слое изменяется от нуля до безразмерной толщины /-го слоя.

3. Получены эффективные численно-аналитические решения нестационарных задач теплопроводности на основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий. Благодаря разбиению процесса теплопроводности на два взаимосвязанных процесса были получены решения для всего диапазона времени изменения температуры без каких-либо ограничений на величину числа Фурье в области малых его значений. Такой подход позволяет получать достаточно простые по форме аналитические решения с любой заданной степенью точности. Так, для задачи тепловодности для бесконечно-протяженной пластины при граничных условиях первого рода уже в седьмом приближении значения температур в диапазоне чисел Фурье 5-10"9<Fo< Fo\ отличаются от точных их значений не более чем на 0,002%, а в четырнадцатом приближении - на 0,0004 %.

4. Получение высокоточных аналитических решений задач теплопроводности на основе введения фронта температурного возмущения оказалось возможным благодаря использованию дополнительных граничных условий, позволяющих увеличить степень аппроксимирующего алгебраического полинома. В диссертации предлагается способ построения дополнительных граничных условий для любого числа приближений.

5. Полученные на основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий аналитические решения задачи теплообмена при ламинарном течении жидкости в плоскопараллельных каналах были использованы в компьютерных моделях теплосетей для расчета температурного состояния теплоносителя.

6. На основе использования полученных в диссертации приближенных аналитических решений путем решения обратной задачи теплопроводности найдена температура взрывчатого вещества в точке его касания со шнек-винтом в процессе снаряжения изделий. Было показано, что температура взрывчатого вещества в этой точке значительно (на 1/3) превышает температуру во всей его массе, которая ввиду низкого коэффициента теплопроводности материала незначительно изменяется в процессе шнекования. Полученные результаты были использованы для разработки безопасных по критерию воспламенения режимов шнекования.

7. На основе полученных в диссертации численно-аналитических решений задач теплопроводности разработан способ построения изотерм с последующим определением скоростей (и ускорений) их перемещения по пространственной координате во времени. Полученные результаты позволили заключить о том, что при граничных условиях первого рода (тепловой удар) начальные скорости движения изотерм при £ —> 0 и Го —> 0 устремляются к бесконечным значениям. К бесконечным значениям устремляется также скорости движения изотерм при их приближении к стенке, на которой выполняются условия отсутствия теплообмена.

1. Аверин Б.В., Колотилкин Д.И., Кудиное В.А. Задача Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения второго порядка с разрывными коэффициентами. ИФЖ, т. 73, №4, 2000. С.748-753.

2. Айзен A.M., Редчиц И.С. Расчет стационарной линейной теплопроводности через многослойные стенки с источниками тепла. Теплофизика и теплотехника. Ин-т Техн. Теплофизики АН УССР, 1974, Вып. 27. С. 133-138.

3. Айзен А. М., Редчиц И. С, Федоткин И. М. Инженерный метод расчета стационарной теплопроводности через многослойные стенки с источниками в случае неидеального теплового контакта//ТВТ. 1974. № 3. С. 675-680.

4. Акаев А., В., Дулънев Г. Н. К вопросу о повышении точности первых приближений вариационного метода JI. В. Канторовича в применении к краевым задачам стационарной теплороводности//Изв. АН СССР. Сер. Энергетика и транспорт. 1972. № 1. С. 154-158.

5. Алексидзе М. А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям. М.: Наука, 1978. 351 с.

6. Тепловая теория воспламенения: Учеб. пособ./А. П. Амосов; Куйбыш. политехи., ин-т. Куйбышев, 1982. 94 с.

7. Алифанов О. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988. 297 с.

8. Алифанов О. М., Балашова И. Е. Выбор приближенного решения обратной задачи теплопроводности//ИФЖ. 1985. Т. 48. № 5. С. 851-860.

9. Беликов В. И., Шаронова О. В., Бойко Г. П. Определение эффективного значения температуропроводности плоской сложной системы//Теплообмен и гидродинамика: Сб. науч. тр. Красноярск, 1981. С. 3543.

10. Беляев Н. М., Рядно А. А. Методы нестационарной теплопроводности. М.: Высш. школа, 1978. 328 с.

11. Био М. Варианционные принципы в теории теплообмена. М.: Энергия. 1975.

12. Беляев Н. М., Рядно А. А. Методы теории теплопроводности: Учеб. пособ. для вузов: В 2 ч. Ч. 2. М.: Высш. школа, 1982. 304 с.

13. Боли Б., Увйнер Дж. Теория температурных напряжений. М.: Мир, 1964. 517 с.

14. Инженерный расчет нагрева многослойной пластины при граничном условии 1-го рода/Л. А. Бровкин, Л. А. Гузов//Изв. вузов СССР. Сер. Энергетика. 1985. №. 9. С. 94-97.

15. Вегтик А.И. Приближенный расчет процессов теплопроводности. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1959. 184 с.

16. Теплопроводность многослойного плоского тела в стадии регулярного режима/Ю. В. Видин, Ю. А. Пшеничнов//Изв. АН СССР. Сер. Энергетика и транспорт. 1973. № 4. С. 148-151.

17. Внленский В. Д. Некоторые общие закономерности нестационарного теплообмена при ламинарном течении жидкости в канале//ТВТ. 1966. Т. 4. №5. С. 838—845.

18. Волынский Б. А., Бухман В. Е. Модели для решения краевых задач. М.: Физматгиз, 1960. 451 с.

19. Гудмен Т. Т. Применение интегральных методов в нелинейных задачах нестационарного теплообмена/Шроблемы теплообмена: Сб. тр. М.: Атомиздат, 1967. С. 41-96.

20. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и 7-преобразования. М.: Физматгиз, 1958. 286 с.

21. Дилигенский Н. В., Михеев Ю. В., Чертков Б. 3. Методы возмущений в задачах нестационарного нагрева тонких тел подвижными концентрированными источниками энергии/Теплофизика и оптимизациятепловых процессов: Сб. науч. тр. Вып. 3. Куйбышев, 1977. С. 11-16.

22. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Физматгиз, 1961. С. 10-90.

23. Диткин В. А., Прудников А. П. Операционное исчисление по двум переменным и его приложение. М.: Физматгиз, 1958. С. 30-80.

24. Елисеев В. Н. Обобщенное решение трехмерной задачи теплопроводности для тел с объемным поглощением лучистой энергии//Труды МВТУ. № 205. 1976. С. 5-43.

25. Елисеев В. Н., Петражицкый Б. Г. Процесс теплоотдачи в горизонтальном цилиндре, заполненном жидкостью, при косинусоидальном распределении температуры границы//Изв. вузов. Сер. Машиностроение. № 5. 1988.

26. Епифанов В. М., Ефремов Д. В., Антонов А. Н., Яновский Л. С. Создание теплообменников авиационных ГТД, использующих хладоресурс топлива//Тез. докл. XXXVII Всесоюз. науч.-техн. сессии АН СССР по проблемам газовых турбин. Николаев, 1990. С. 50-52.

27. Жук И. П. К расчету температурного поля в многослойной стен-ке//ИФЖ. 1962. № Ю. С. 100-103.

28. Зарубин В. С. Инженерные методы решения задач теплопроводности. М.: Энергоатомиздат, 1983. 328 с.

29. Зарубин В. С., Осадчий Я. Г. Нестационарная теплопроводность в многослойной пластине//Изв. вузов СССР. Сер. Машиностроение. 1978. № З.С. 76-82.

30. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.541 с.

31. Камаев Ю. П., Дилигенский Н. В. Вычисление норм при оценке сингулярных приближений/Деплофизика и оптимизация тепловых процессов: Сб. науч. тр. Вып. 3. Куйбышев, 1977. С, 4-11.

32. Кайданов А. И. О выборе координатных функций при решениикраевых задач методом Галеркина//ИФЖ, 1970. Т. 18, № 2. С. 309-315.

33. Калиткин H. Н. Численные методы. М.: Наука. 1978.

34. Канторович Л. В. Использование идеи метода Галеркина в методе приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям//Прикл. мат. и мех. 1942. Т. 6, № 1. С. 31-40.

35. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. Л.: Физматгиз, 1962. 708 с.

36. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука 1964.488 с.

37. Карташов Э. М. Аналитические методы в теплопроводности твердых тел. М.: Высш. школа, 1985. 480 с.

38. Карташов Э. М. Аналитические методы решения краевых задач теплопроводности с разнородными граничными условиями на линиях: Обзор. Ч. 1//Изв. АН СССР. Сер. Энергетика и транспорт. 1986. № 5. С. 125-150.

39. Карташов Э. М. Аналитические методы решения смешанных граничных задач теории теплопроводности: Обзор. Ч. И//Изв. АН СССР. .Сер. Энергетика и транспорт. 1986. № 6. С. 116-129.

40. Карташов Э. М. Расчеты температурных полей в твёрдых телах на основе улучшенной сходимости рядов Фурье-Ханкеля: Обзор. Ч. Н//Изв. АН СССР, Сер. Энергетика и транспорт. 1993. № 3. С. 106-125.

41. Киреев В. И., Войновский А. С. Численное моделирование газодинамических течений. М.: МАИ. 1991. 391 с.

42. Численные методы решения задач математической физики: Учеб. пособ./В. И. Киреев. М.: МАИ, 1992. 52 с.

43. Коган М. Г. Нестационарная теплопроводность в слоистых средах//ЖТФ. 1957. 27, № 3. С. 522-531.

44. Коган М. Г. Решение нелинейных задач теории теплопроводности методом Канторовича//ИФЖ. 1967. Т. 12, № 1. С. 72-81.

45. Коган М. Г. Применение методов Галеркина и Канторовича втеории теплопроводности//Исследование нестационарного тепло- и массо-обмена: Сб. науч. тр. Минск: Наука и техника,. 1968. С 45-51.

46. Коздоба Л. А., Чарный Н. Д. Эквивалентность тепловых режимов и эффективные характеристики однородных и многослойных оболочек// Промышленная теплоэнергетика. 1984. Т 6.М2. С, 14-21.

47. Коздоба Л. А. Принцип эквивалентности в теории теплопроводности/ Тепломассообмен-VII. Т. 7. Минск: Ин-т тепло- и массообмена АН БССР, 1984. С. 34-39.

48. Коздоба Л. А. Вычислительная теплофизика, Киев: Наукова думка, 1992.224 с.

49. Кудинов В. А., Карташое Э. М., Калашников В. Аналитические решения задач тепло-массопереноса и термоупругости для многослойных конструкций.Учеб. пос. для вузов. М.: Высшая школа. 2005. 340 с.

50. Кудинов В. А., Аверин Б. В., Стефанюк Е. .В. Теплопроводность и термоупругость в многослойных конструкциях. Учеб. пос. для вузов. М.: Высшая школа. 2008.390 с.

51. Кудинов В. А., Метод координатных функций в нестационарых задачах теплопроводности. Изв. АН Энергетика (обзор). 2004. № 3. С. 82-104.

52. Кудинов В. А., Дикоп В. В., Назаренко С. А., Стефанюк Е. В. Об одном методе решения нестационарных задач теплопроводности для многослойных конструкций. Инженерно-физический журнал. Т. 78. № 2.2005. С. 24-28.

53. Кудинов В. А., Аверин Б. В., Стефанюк Е. В., Назаренко С. А. Анализ нелинейной теплопроводности на основе определения фронта температурного возмущения. Теплофизика высоких температур. Т. 44. №.3.2006. С. 577-585.

54. Кудинов В. А., Аверин Б. В., Стефанюк Е. В. Аналитические решения задач теплопроводности с переменным начальным условием на основе определения фронта температурного возмущения. Инженерно-физический журнал. Т. 80, № 3.2007. С. 27-35.

55. Кудинов В. А., Стефанюк Е. В., Антимонов М. С. Аналитические решения задач теплообмена при течении жидкости в плоскопараллельных каналах нак основе определения фронта температурного возмущения. Инженерно-физический журнал. Т. 80, №5.2007. С. 176-186.

56. Кудинов В. А., Аверин Б. В., Стефанюк Е. В. Решения задач теплопроводности при переменных во времени граничных условиях на основе определения фронта температурного возмущения. Известия АН. Энергетика № 1. 2007. С. 55-68.

57. Кудршев Л. И., Меньших Н. Л. Приближенные решения нелинейных задач теплопроводности. М.: Машиностроение, 1979. 232 с.

58. Кулик М. М., Шаповалов Г. Е. Неустановившаяся теплопередача через многослойную плоскую пластину//Изв. АН СССР, Сер. Энергетика и автоматика. 1961. № 2. С. 72-77.

59. Колесников Л. М. Энергоперенос в неоднородных средах (математическая теория). Минск: Наука и техника. 1974. 302 с.

60. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М.: Высш. школа, 1967. 559с.

61. Лыков А. В., Михайлов Ю. А. Теория тепло- и массопереноса. М.: Госэнергоиздат, 1963. 535 с.

62. Мальков В. А., Фаворский О. Н., Леонтьев В.М. Контакный теплообмен в газотурбинных двигателях и энергоустановках. М.: Машиностроение, 1978. 144 с.

63. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980. 536с.

64. Математическая теория горения и взрыва//Я. Б. Зельдович, Г. И. Бареяблатт, В. Б. Лнбрович, Г. М. Махвиладзе. М.: Наука, 1980. 478 с.

65. Мацееитый Ю.М., Мултановский А. В. Идентификация в задачах теплопроводности. Киев; Наукова думка, 1982. 237 с.

66. Мацееитый Ю. М., Цаканян О.С. Гибридные вычислительные системы для исследавания физических полей. Киев: Наукова думка, 1983. 295 с.

67. Меерович И. Г. Температурное поле в многослойных системах с переменными физическими свойствамй//ИФЖ. 1967. Т. 12, № 4. С. 484-490.

68. Мержанов А. Г., Дубовш}кгш Ф. И. Современное состояние теории теплового взрыва//Успехи химии. 1966. Т. 35, вып. 4. С. 656-682.

69. Мержанов А. Г., Аверин А. Э. Современное состояние тепловой теории зажигания. М., 1970. 64 с. (Препринт ин-та хим. физ. АН СССР).

70. Михлин С., Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 510 с.

71. Михлин С. Г., Смолиг(кий X. Я. Приближенные методы решения дифференциальных иинтегральных уравнений. М.: Наука, 1964. 383 с.

72. Минятов А., В. Нагревание бесконечного цилиндра, заключенного в оболочки//ИФЖ. 1960. 30, вып. 6. С. 611-615.

73. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно наставленных задач. М.: Наука. 1987. 240 с.

74. Мукоед Н. Я., Журавленко В. Я. Решение задач теплопроводности в многослойных средах методом суммарных представлений//Тепло-физика и теплотехника. Киев: Наукова думка, 1974. Вып. 26. С. 110-112.

75. Мучник Т. Ф., Рубашов И. В. Методы теории теплообмена. М.: Высш. школа, 1970. 288 с.

76. Петухов B.C. Теплообмен и сопротивление при ламинарном течении жидкости в трубах. М.: Энергия, 1967. 412 с.

77. Пехович А. К, Жидких В. М. Расчеты теплового режима твердых тел. JL: Энергия, 1976. 362 с.

78. Постное В. А., Хархурим И. Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. JL: Судостроение, 1974. 342 с.

79. Процессы горения в химической технологии и металлургии/ Под ред. А. Т. Мержанова. Черноголовка: ОИХФ АН СССР, 1975. 292 с.

80. Полежаев Ю. В., Юревич Ф. Б, Тепловая защита. М.: Энергия, 1976: 392 с.

81. Подстригач Я. С., Коляно Ю. М. Обобщенная термомеханнка. Киев: Наукова думка, 1975. 312 с.

82. Подстркгач Я. С.,Коляно Ю. М. Термоупругость тел при переменных коэффициентах теплоотдачи. Киев: Наукова думка, 1977.158 с.

83. Постолъник Ю. С. Метод осреднения функциональных поправок задачах теплопроводности//Тепло- и массоперенос. Т. 8. Минск, 1972. С 23-29.

84. Рвачев В. Л., Слесаренко А. П. Алгебрлогики и интегральные преобразования краевых задач. Киев: Наукова дудка, 1976. 287 с.

85. Рвачев В. Л., Слесаренко А. 77. Алгебрологэтеские и проекционные методы в задачах теплообмена. Киев: Наукова думка, 1978. 138 с.

86. Рапопорт Э. Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. М.: Металлургия, 1994. 277 с.

87. Резник С. В. Радиационно-кондуктивный теплообмен в крупногабаритных космических конструкциях//Тепломассообмен-ММФ-92: Матер. II Минск, междунар. форума. Минск: АНК ИТМО АНБ, 1992, Т. 2. С. 195-198.

88. Рутнер Я. Ф., Карташов Э. М. Решение одной обратной задачи Стефана//Теплофизика и оптимизация тепловых процессов: Сб. науч. тр. Куйбышев, 1977. С. 29- 33.

89. Рутнер Я. Ф., Хоролъский В. М. Температура от распределенных источников тепла//Новое в теории расчета и конструированиядеформирующего и формообразующего инструмента: Сб. науч. тр. Куйбышев, 1974. С. 15-20.

90. Ройзен Л. И. Приближенный метод исследования задач теплопроводности многослойных тел//Теплофизика высоких температур. 1981. Т. 19, №4. С. 821-831.

91. Самарский А. А., Тулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1979.430 с.

92. Смирнов В. И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1974, Т. 3, 4.2.672 с.

93. Саломатов В. В., Гончаров Э. И. К расчету теплопроводности при нестационарном коэффициенте теплообмена//Изв. АН СССР. Сер. Энергетика и транспорт. 1968. № 6. С. 154-159.

94. Спэрроу Е. М., Хаджи-Шейх А. Исследование нестационарного и стационарного процессов теплопроводности в телах произвольной формы с произвольно заданными начальными и граничными условиями//Теплопередача. 1968. №1. С. 109-115.

95. Самарин Ю. П., Клебанов Я. М. Обобщенные модели в теории ползучести конструкций. Самара: Поволж. отд. Инженерной академии РФ, Самарский гос. техн. ун-т, 1994. 197 с.

96. Темкин А. Г. Обратные методы теплопроводности. М.: Энергия, 1973. 464 с.

97. Приближенные методы решения задач теплопроводности: Учеб. пособ./А. В. Темников, В. И. Игонин, В. А. Кудинов; Куйбыш. политехи, ин-т. Куйбышев, 1982. 90 с.

98. Трухний А. Д. Расчет температур в лопатках турбин при импульсных режимах изменения температуры газа//Теплоэнергетика, 1972. № 2. С. 40-44.

99. Тихонов А. П., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. 724 с.

100. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркниа. М.: Мир, 1988.352 с.

101. Формалев В. Ф. О краевых условиях в сопряженных задачах пограничного слоя и теплопроводности в анизотропных телах//Математические методы механики жидкости и газа. Днепропетровск: ДГУ, 1985. С. 80.

102. Формалев В. Ф. Метод расщепления в задачах идентификации двумерных тепловых потоков в телах сложной формы//ИФЖ. 1983. Т. XLV.

103. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. 279 с.

104. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Численное решение систем алгебраических уравнений. М.: Мир, 1969. С. 30-90.

105. Франс Д. М. Аналитическое решение задач о стационарной теплопроводности для тел неправильной формы//Теплопередача. 1968. № 1. С. 55-59.

106. Франк-Каменецкий Д. А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. 2-е изд. М.: Наука. 1967. 492 с.

107. Хохулин В. С. Метод исследования теплового режима конструкций сложной конфигурации//ИФЖ. 1975. Т. 29, № 1. С. 140-144.

108. Цой П. В. Методы решения отдельных задач тепломассопереноса. М.: Энергия, 1971.382 с.

109. Цой П. В. Методы расчета задач тепдомассопереноса. М.: Энергоатомиздат, 1984. 423 с.

110. Цирельман Н. М. Прямые и обратные задачи тепломассопереноса. Энергоатомиздат, 2005,392 с.

111. Шелудъко Г. А. Адаптивный метод определения вещественных корней алгебраических трансцендентных уравненнй//Журн. выч. мат. и мат. физ. 1970. 10, №4. С. 1016-1021.

112. Шиммел М. М., Бек; Доналдсон. Эффективный коэффициент теплопроводности многослойного композитного материала/Теплопередача. 1977. №3. С. 130-1136.

113. Швец M. Е. О приближенном решении некоторых задач гидродинамики пограничного слоя//Прикл. мат. и мех. 1949. Т. 13, № 3.

114. Яновский Л. С., Каменецкий Б. Я. Теплоотдача при вынужденном течении в обогреваемых трубах углеводородных топлив сверхкритического давления//ИФЖ. 1991. Т. 60, № 1. С. 45-50.

115. Яновский Л. С. Некоторые закономерности образования отложений на гладких и оребренных поверхностях нагрева, охлаждаемых органическими теплоносителями/Теплоэнергетака. 1991. № 3. С 59-60.

116. Яненко Я, Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск; Наука, 1987. 195 с.

117. FornbergB., Whitham G. В. Ргос. Roy. Soc. 1978. V. А289. P. 373-404.

118. Gottlieb D., Orszag S. A. Numerical analysis of spectral methods: theory and applications//SIAM. Philadelffa. 1977.

119. Shupp R. E., Helms H. E., Fadden P. W., Brown T. R. Evaluation of internal heat transfer coefficients for impingement cooled turbine airfoils//Journal of aircraft. 1969. Vol. 6, № 3. P. 203-208.