автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка численно-аналитических методов решения задач тепломассопереноса и термоупругости для однослойных и многослойных тел

На правах рукописи

Кузнецова Анастасия Эдуардовна

РАЗРАБОТКА ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА И ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ ОДНОСЛОЙНЫХ И МНОГОСЛОЙНЫХ ТЕЛ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертация на соискаяие ученой степени кандидата технических наук

2 / НОЯ 2014

Самара 2014

005556029

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Самарский государственный технический университет» на кафедре «Теоретические основы теплотехники и гидромеханика»

Научный руководитель: докгор технических наук, доцент кафедры «Теоретические основы теплотехники и гидромеханика» ФГБОУ ВПО «Самарский государственный технический университет» Стефанюк Екатерина Васильевна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор,

зав. кафедрой «Высшая математика» ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный технический университет» Вельмисов Петр Александрович

кандидат технических наук, профессор, профессор кафедры «Конструкция и проектирование летательных аппаратов» ФГАОУВО «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (Национальный исследовательский университет)»

Шахов Валентин Гаврилович

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное образова-

тельное учреждение высшего профессионального образования «Самарский государственный университет»

Защита состоится 25 декабря 2014 г. в 10.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.217.03 ФГБОУ ВПО «СамГТУ» по адресу: 443100, г. Самара, ул. Га-лактионовская, 141, корп. №6, ауд. 33.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного технического университета по адресу: 443100, г. Самара, ул. Первомайская, 18, корп. №1.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью, просим направлять по адресу: 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244, Главный корпус СамГТУ, ученому секретарю диссертационного совета Д 212.217.03; факс (846)278 -44 - 00; E-mail: zoteev-ve@mail.ru.

Автореферат разослан «"/^ф , ■ 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Д 212.217.03 ^gte^Zs&zf

В. Е. Зотеев

Общая характеристика работы

Актуальность работы. В области исследования краевых задач тепломассопере-носа и термоупругости с переменными физическими свойствами среды (в том числе нелинейных и для многослойных конструкций) возможности математического моделирования в настоящее время существенно ограничиваются практическим отсутствием их точных аналитических решений.

Перспективным направлением исследований указанных задач является комбинация точных (разделения переменных, интегральных преобразований и др.) и приближенных (вариационных, взвешенных невязок и др.) методов. К числу преимуществ этого направления относится универсальность, простота реализации при высокой точности. При совместном использовании точных и приближенных аналитических методов в конечном итоге приходиться решать алгебраические уравнения высоких степеней (относительно собственных значений краевой задачи) и системы алгебраических уравнений (при выполнении начальных условий). Такая алгебраиза-ция краевой задачи позволяет более трудоемкую часть решения выполнять на современных средствах вычислительной техники и, в то же время, получать решения в аналитическом виде.

Основными пока ещё не решенными проблемами при использовании указанного направления исследований являются: плохая обусловленность матриц систем алгебраических уравнений; трудности решения алгебраических уравнений высоких степеней, от точности решения которых зависит точность выполнения исходного дифференциального уравнения краевой задачи; плохая сходимость бесконечных рядов точных аналитических решений, в случаях, когда такие решения удается получить.

Цель диссертационной работы состоит в разработке эффективных численно-аналитических методов математического моделирования задач тепломассопереноса и термоупругости с переменными свойствами среды, включая нелинейные задачи и задачи для многослойных тел, на основе совместного использования методов разделения переменных, Л.В. Канторовича, интегральных методов, Бубнова-Галеркина, обобщенной функции Хевисайда и дополнительных граничных условий.

Для достижения этой цели ставились следующие задачи.

1. Разработка численно-аналитического метода решения краевых задач теплопроводности для многослойных конструкций путем совместного применения теории обобщенных функций и интегрального метода, основанного на введении фронта температурного возмущения при использовании дополнительных граничных условий.

2. Разработка численно-аналитического метода решения краевых задач термоупругости для многослойных тел на основе использования метода Бубнова-Галеркина и предложенного в диссертации метода построения координатных систем, удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения.

3. Разработка приближенного аналитического метода решения задачи теплопроводности с нелинейностью в уравнении и в граничном условии путем введения фронта температурного возмущения с дополнительными граничными условиями.

4. Разработка точного аналитического метода решения дифференциального уравнения движения применительно к задаче о гидравлическом ударе в трубопроводе.

5. Получение точного аналитического решения гиперболического уравнения теплопроводности с учетом конечной скорости распространения теплоты при граничных условиях третьего рода.

6. Разработка математических моделей решения обратных задач теплопроводности с целью идентификации краевых условий и физических свойств среды, используя полученные в диссертации решения прямых задач.

Новые научные результаты диссертационной работы.

1. Посредством определения фронта теплового возмущения в интегральном методе разработан приближенный аналитический метод решения краевых задач теплопроводности для многослойных тел, позволяющий находить решения на всем отрезке времени нестационарного процесса с высокой точностью.

2. На основе применения метода Бубнова-Галеркина и предложенного в диссертации метода построения координатных систем, точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения, предложен численно-аналитический метод получения решения задач термоупругости для многослойных тел, отличающийся простотой аналитических выражений и высокой точностью получаемых результатов.

3. Путем введения фронта температурного возмущения, а также дополнительных граничных условий разработан приближенный метод решения краевых задач теплопроводности с нелинейностью в уравнении и граничном условии, позволяющий получать достаточно простые по конструкции аналитические решения с точностью, достаточной для инженерных приложений.

4. Получено точное аналитическое решение гиперболического уравнения движения, описывающего распределение скоростей в движущихся жидкостях в условиях гидравлического удара в трубопроводе.

5. Получено точное аналитическое решение уравнения теплопроводности с учетом конечной скорости распространения теплоты при граничных условиях третьего рода, моделирующего температурное состояние конструкций.

6. Используя полученные в диссертации аналитические решения и экспериментальные данные о температурном состоянии конструкций, предложен метод решения обратных задач теплопроводности по идентификации начального условия.

На защиту выносится:

1. Метод решения задач теплопроводности для многослойных тел посредством использования интегрального метода теплового баланса и обобщенной функции Хе-висайда.

2. Решения задач термоупругости для многослойных тел путем приведения их к однослойным с переменными свойствами среды, основанный на применении одинаковой системы неизвестных коэффициентов и координатных функций, удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения.

3. Метод решения краевых задач теплопроводности с нелинейностью в уравнении и в граничном условии третьего рода, основанный на совместном применении дополнительных граничных условий и интегрального метода.

4. Метод получения точного решения уравнения движения применительно к исследованию распределения скоростей и давлений при гидравлическом ударе в трубопроводах.

5. Точное аналитическое решение уравнения теплопроводности для граничных условий третьего рода, позволяющего проводить исследование температурного поля конструкции с учетом конечной скорости тепловой волны.

6. Метод решения обратной задачи теплопроводности по восстановлению начального условия краевой задачи на основе решения прямой задачи, найденного в диссертации.

Достоверность результатов работы подтверждается соответствием сформулированных автором математических моделей реальным физическим процессам, сравнением с классическими точными аналитическими решениями, с решениями других авторов, а также с результатами численных методов.

Практическая значимость работы.

1. Аналитические решения, полученные в диссертации, были использованы при разработке компьютерных моделей теплосетей Самарской и Безымянской ТЭЦ (акты о внедрении приведены в приложениях).

2. Применяя полученное в диссертации аналитическое решение задачи теплопроводности при граничных условиях третьего рода, а также найденные численным методом значения температур в одной из точек конструкции, путем решения обратной задачи восстановлены начальные условия краевой задачи.

Связь диссертационной работы с планами научных исследований. Исследования проводились согласно планам госбюджетных тематик Минвуза РФ №1.21.11 (01.01.2009 - 31.12.2012 гг.) «Разработка методов получения точных аналитических решений дифференциальных уравнений гиперболического типа», по направлению Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы», по тематическому плану НИР №551/02 «Разработка нового направления получения аналитических решений краевых задач математической физи-i ки на основе определения фронта температурного возмущения и дополнительных I граничных условий», а также при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках базовой части государственного задания ФГБОУ ВПО «СамГТУ» (код проекта: 1273).

Внедрение результатов работы. Результаты диссертации использовались при проведении энергоаудита СамГТУ в период с 01.02.2011 по 31.12.2012 гг., а также при выполнении работ с ВоТГК по разработке компьютерных моделей тепловых сетей Самарской и Безымянской ТЭЦ. Экономический эффект от внедрения результа-I тов работы, подтвержденный соответствующими актами, составляет 1940000 руб-| лей в год.

1 Апробация работы. Основные положения работы были обсуждены на IX Всероссийской научной конференции с международным участием (г. Самара, 2013), III Международной конференции по математической физике и ее приложениям (г. Самара, 2013), Международной научно-технической конференции «Математические методы и модели: теория, приложения и роль в образовании» (г. Ульяновск, 2014), IV Международной научно-технической конференции по математической физике и ее приложениям в технике (г. Самара, 2014).

Публикации. Содержание диссертации опубликовано в 21 печатной работе, из них 12 статей в журналах из перечня ВАК.

Личный вклад автора. В работах [I -3, 5,6, 13, 17, 19] диссертант принимал участие в постановках задач исследований, проводил расчетные работы. В работах [4, 8— 12,14- 16, 18, 20, 21] диссертанту в равной степени с соавторами принадлежат математические постановки задач, получение решений и анализ их результатов.

Структура и объем диссертации. Работа включает: введение, пять глав, выводы, список используемых источников и литературы, приложения; изложена на 125 страницах основного машинописного текста, включает 72 рисунка. Список использованной литературы включает 111 наименований.

В первой главе приведен обзор и анализ известных работ по направлению исследований, избранному диссертантом. Рассмотрены интенсивно развивающиеся в настоящее время приближенные аналитические методы, разработке которых посвящены труды JI.B. Канторовича, С.Г. Михлина, Э.М. Карташова, Н.М. Беляева, A.A. Рядно, Ю.Т. Глазунова, П.В. Цоя, Ю.С. Постольника, А.И. Вейника, Т. Гудмена, М. Био, Л.И. Кудряшова, Е.В. Стефанюк и других авторов. Исследованию проблем получения аналитических решений гиперболических уравнений теплопроводности посвящены труды Э.М, Карташова, A.B. Лыкова, К. Баумейстера, Л.А. Бровкина, А.Г. Шашкова, П.В. Цоя, Н.М. Цилермана, А.Г.Темкина, Д. Жоу, И.А. Чарного, В.А. Ковалева, Ю.Н. Радаева, В.А. Кудинова и других авторов. И, в частности, гиперболические уравнения применительно к исследованию распределения скоростей и давлений в условиях гидравлического удара получены И.А. Чарным путем линеаризации взаимосвязанной системы, включающей два нелинейных уравнения.

По результатам обзора работ в диссертации сделан вывод о том, что, несмотря на имеющийся прогресс, в области получения приближенных аналитических решений существуют пока еще следующие нерешенные проблемы.

1. Повышение точности приближенных аналитических методов зависит от числа приближений. Их увеличение приводит к решению больших систем алгебраических уравнений, матрицы которых плохо обусловлены.

2. В ряде методов использование большого числа приближений приводит к необходимости решения алгебраических (характеристических) уравнений высоких степеней, решение которых даже при использовании современной вычислительной техники весьма затруднительно.

3. В случаях, когда исходное дифференциальное уравнение путем его осреднения сводится к решению интегрального уравнения, отмечается низкая точность получаемых решений. Решению этой проблемы в значительной степени способствуют используемые в настоящей работе дополнительные граничные условия.

Во второй главе диссертации приведены результаты исследований задач теплопроводности с переменными по декартовой координате физическими свойствами, нелинейных краевых задач теплопроводности (в том числе с нелинейностью в уравнении и граничном условии), а также задач теплопроводности для многослойных конструкций. При решении указанных задач используются комбинации различных методов: метода Л.В. Канторовича и интегрального метода при использовании дополнительных граничных условий, теории обобщенных функций и интегральных методов, ортогональных методов Л.В. Канторовича и Бубнова-Галеркина и др.

Применение методов Л.В. Канторовича и интегрального метода рассмотрим на конкретном примере решения задачи теплопроводности для бесконечнопротяжен-

ной пластины в случае, когда коэффициент теплопроводности экспоненциально зависит от температуры. Постановка задачи будет

ЭО(5,Ро)_ Э ЭРо ~ Э^

К .

[Ро>0; 0<^<1]; (1)

0Й,Р)=1; (2) Э0(О, Ро)/Эг; = 0; (3) в(1,Ро) = 0, (4) где 0=(7--7;)/(Го-7^); Ро = ят/82; ^ = х/5; х - координата; т - время; 5 - толщина пластины; Т0 - начальная температура; 7] - температура стенки; V - коэффициент.

Полученные в работах А.В. Лыкова, В.Г. Коренева, А.Ф. Чудновского точные аналитические решения задачи (1) — (4) представляют сложные бесконечные ряды, включающие функции Бесселя первого и второго рода. Собственные числа находятся из характеристических уравнений, также включающих функции Бесселя обоих родов. Все это затрудняет применение указанных методов в прикладных целях.

В настоящей работе путем комбинации методов Л.В. Канторовича и интегрального метода при использовании дополнительных граничных условий найдены высокоточные аналитические решения задачи (1) — (4), позволяющие определять тепловое состояние тела практически на всем участке времени теплового процесса. В частности, при нахождении решений для малых значений времени применяется интегральный метод теплового баланса. При его использовании процесс теплообмена разделяется на две стадии по временной переменной 0 < Ро < Ро, и Ро, < Ро < ~. С этой целью вводится движущийся фронт температурного возмущения, разделяющий исследуемую область 0<£<1 на две подобласти: 0 < < «у, (Ро) и д,(Ро) < < 1, где <7,(Ро) - функция, характеризующая перемещение границы раздела во времени. Причем, в области, находящейся за пределами фронта возмущения, остается начальная температура. Первая стадия завершается после достижения фронтом возмущения центра пластины (§ = 1), когда Ро = РО[. Во второй стадии температура изменяется по всему объему тела 0 < £ < 1. Решение для этой стадии в диссертации получено путем использования ортогонального метода Л.В. Канторовича (см. ниже).

При использовании интегрального метода требуется, чтобы определяемое решение удовлетворяло некоторому осредненному в пределах толщины термического (прогретого слоя) уравнению - интегралу теплового баланса вида

" -у(|-р) Э9(р,Ро)"

ЭР .

где 9,(Ро) = Зд/ЗРоехру/ехру - неизвестная функция времени, характеризующая продвижение фронта возмущения во времени; р = 1 - % — безразмерная координата.

Во втором приближении получено следующее решение задачи (1) — (5)

,5Р. + 5Р1_5Р;+3£! Ч1 Я, 2 Чх

При этом были использованы дополнительные граничные условия, которые для любого числа приближений определяются по общим формулам вида

Э'(0,Ро)/Эр'=0; Э'(?,,Ро)/Эр'=0; Э'+1(?,,Ро)/Эр'+1 =0 (¿ = 2,4,6,...). (7)

7

I —с1р= 1

о 1^0 о а р

Ф, (5)

0(р,Ро) = 1-^ + 5^-5И7 + ^. (6)

Решение (6) позволяет выполнять исследование температурного состояния при малых величинах числа Fo 0,0001 <Fo<Fo,, где Foi - время, при котором фронт возмущения достигает координаты £ = 1 (р = 0).Для получения решения для меньших чисел Фурье необходимо увеличивать число членов аппроксимирующего полинома, для чего нужно использовать дополнительные граничные условия вида (7).

После того как фронт температурного возмущения достигает координаты £, = 1 (при Fo = Foi), понятие толщины термического слоя теряет смысл. Использование интегрального метода в диапазоне времени Fo, <Fo<°° становится затруднительным. Поэтому в данном диапазоне времени для решения задачи (1) - (4) был применен ортогональный метод J1.B. Канторовича. Решение в данном случае находятся в виде

efeFo)=l;/t(Fo)q>tfê), (8)

где /4(Fo) - неизвестные функции, зависящие от времени; коорди-

натные функции.

Определяя невязку уравнения (1) и требуя ее ортогональности к функциям каждого приближения, находим

¡■faOfeFo) Э I| dFo

<р,(ВД = 0 (/ = 1,и). (9)

Я,

После подстановки (8) в (9) и определения интегралов относительно /4(Ро) получаем систему дифференциальных уравнений, методы решения которых разработаны.

Решение по методу Л.В. Канторовича, например, во втором приближении имеет вид (при V =0)

6(5, Бо) = (1,552 е-24"р° + 3,302е-25-52Ро )(1 - )- (о,28 е'1м1Г" + 2,904е-25от°)(1 -). (10)

Анализируя соотношения (6), (10) можно заметить, что они представлены в виде произведения функций времени на некоторые координатные функции. Таким образом, применяя, по сути, родственные методы, можно получать достаточно простого вида аналитические выражения для исследования температурного состояния конструкции с переменными свойствами практически на всем участке времени нестационарного процесса. Точность решения в каждом методе зависит от числа приближений. Ввиду того, что теплообмен разбивается на две стадии во времени, то для получения высокой точности решений в каждой из этих стадий не требуется принимать большое число приближений. Так, в методе Л.В. Канторовича в диапазоне Ио, < Ро < ~ уже в третьем приближении получаются практически точные решения. Аналогично, в третьем приближении интегрального метода теплового баланса практически точные решения получаются в диапазоне 0,00001 < Ро < Ро,.

Во второй главе приведены также исследования, связанные с получением аналитических решений краевых задач теплопроводности для многослойных тел. Трудности получения их точных решений связаны с тем, что требуется выполнять условия сопряжения, а это приводит к необходимости решения цепочного трансцендентного уравнения для нахождения собственных значений краевой задачи. Решение такого уравнения может быть получено лишь численными методами.

В настоящей работе применительно к решению указанной задачи была использована комбинация следующих методов: на начальном временном участке применена теория обобщенных функций в сочетании с интегральным методом теплового баланса. На заключительном этапе нестационарного процесса был применен ортогональный метод Л.В. Канторовича в сочетании с разработанной в диссертации системой координатных функций, позволяющих точно выполнять граничные условия и условия сопряжения.

Математическая постановка задачи, например, для двухслойной пластины имеет вид (см. рис. 1)

т

Рис. 1. Схема двухслойной конструкции

(И)

0,Й,О) = 1; (12) 30,(0,Ро)/Э£ = 0; (13) 02(1,Ро) = О; (14) 01й„Ро)=е2й1,Ро); (15) Я.1ЭЭ1Й1,РО)/Э5 = Х2Э92Й1,РО)/Э5, (16) где 0=(7]-7;т)/(Го-Гст); =х/5; И о = ят/6г; а - наименьший из коэффициентов температуропроводности а. (/ = 1,2).

Решение задачи (11) - (16), по методу Л.В. Канторовича, записывается в виде

0Й,Ро) = 1/,(Ро)фиЙ), (17)

*=1

где (Ио) — неизвестные функции, зависящие от времени; срь (£;)- координатные функции, которые находятся по формулам

Ф»®= 1-

Ф„Й)=1-Г4 (* = 1,я). (18)

Как видно из (17), в данном случае принята одинаковая для всех тел система неизвестных функций времени. Благодаря этому появляется возможность построения различных для каждого слоя координатных функций вида (18), которые точно удовлетворяют всем граничным условиям. Метод построения таких систем координатных функций приведен в диссертации.

Для определения неизвестных функций времени /, (Ро) определяется невязка уравнения (11) и требуется ее ортогональность к координатным функциям каждого из контактирующих тел. В итоге относительно /,(Ро) получаем (как и выше) систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Получающиеся в

результате интегрирования этой системы константы интегрирования находятся из начального условия (12).

Если положить X, = Х2\ а, = а2 (однослойная пластина), то решение задачи (11) — (16) приводится к виду (10).

Решение задачи (11) — (16) по рассмотренному выше методу эффективно лишь для заключительной стадии процесса теплопроводности (в стадии регулярного режима, когда вся многослойная система участвует в процессе теплообмена). Для получения решения на начальном участке временной переменной используется метод, основанный на совместном применении теории обобщенных функций и интегрального метода с писпользованием дополнительных граничных условий. Здесь, как и выше, процесс нагрева разбивается на две стадии по времени, из которых рассматривается лишь первая стадия, математическая постановка задачи для которой будет

чЭ9(г,т) = 1 Э2в(г,т) Эт ~ Х(г) дг2

= (т>0; 0 <*<*„); (19)

в(0,т)=1; (20) ©(?„т) = 0; (21) Эе(9„т)/Эг = 0, (22)

где С{£) - объемная теплоемкость.

Переменная г связана с координатой х следующим соотношением

0" = 0Д,2...). (23)

1, Цх)

Величина 1/Л,(х) с использованием функции Хевисайда может быть записана следующим образом

1 -=-!-+£

~ ±|Я(дс-*,). (24)

Ц*) \

Решение задачи (19) — (22) находится в виде

©М = 2А(*,У. (25)

4=0

где - неизвестные функции, которые в первом приближении находятся из ус-

ловий (20) - (22); 9,(т) - функция, определяющая продвижение фронта температурного возмущения во времени т.

После определения (¡¡г,) соотношение (25) принимает вид

е(г>т)=[1-г/?1(т)]\ (26)

Подставляя (26) в (19) и, определяя интеграл в пределах толщины термического слоя, находим

= (27)

а от 5 дг

Определяя интегралы в (27), относительно ^(т) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение при начальном условии = 0. После определения ¡7,(т) решение в первом приближении находится из (26).

Для увеличения точности решения необходимо увеличивать числа членов ряда (25). Неизвестные коэффициенты 6,(9,) находятся из дополнительных граничных условий.

Преимущества такого метода получения решения в том, что использование функции Хевисайда позволяет задачу (11) - (16) свести к однослойной задаче вида (19) — (22), но с разрывными (кусочно-однородными) свойствами среды.

Очевидно, что задача (19) - (22) представляет меньшие трудности для получения решения по сравнению с задачей (11) - (16), ввиду того, что условия сопряжения входят в уравнение (19) и автоматически выполняются в результате его интегрирования.

Таким образом, разделение процесса теплообмена на две стадии по времени и представление многослойной системы в виде однослойной с кусочно-однородными свойствами среды путем комбинации различных методов (Л.В. Канторовича, интегрального метода теплового баланса и теории обобщенных функций) и при использовании координатных систем, которые удовлетворяют граничным условиям и условиям сопряжения, удается получить достаточно простого вида аналитичекие решения, позволяющие выполнять исследование температурного состояния во всем диапазоне времени изменения температуры, с точностью, определяемой числом приближений принятых решений.

Во второй главе приводятся также результаты получения аналитического решения нелинейного уравнения теплопроводности с учетом нелинейности не только в уравнении, но и в граничном условии третьего рода. Математическая постановка задачи при нелинейной зависимости коэффициентов теплопроводности и температуропроводности от температуры записывается в виде

где 0 = Г - Г0; ^ = дг/5; Ро = ат/82; В1 = а6'/а0ср; а(Г) = а„(1 + рГ); Х(Т)= Х.„(1 + уГ).

Применительно к задаче (28) - (31) используется интегральный метод при использовании дополнительных граничных условий.

В этой же главе приведено также решение нелинейной задач при степенной зависимости температуропроводности от температуры.

Во второй главе приведены исследования, связанные с разработкой метода решения обратных задач теплопроводности по восстановлению начального условия, основанного на использовании полученных в диссертации аналитических решений прямых задач, а также результатов экспериментальных (численных) исследований температурного состояния конструкции.

Математическая постановка прямой задачи записывается в виде

(30)

(28)

(31)

(FO>0; 0<5<1);

©Й,0)=0; 30(O,Fo)/8£ — Bi,[e(0,Fo) + Д] = 0; (32)

Э0(1, Fo) / Э^ + Bi2 [0(1, Fo) -1] = 0.

Применяя метод разделения переменных и дополнительные граничные условия, получено аналитическое решение задачи (32) вида

efé,Fo)= Fl + F^ + ¿ A„V„(5)exp(-v.Fo). (33)

Используя результаты численного решения (метод прогонки) задачи (32), выполнена аппроксимация температуры как функции времени в точке £=0,006 по формуле

Г(0,006; т) = 88,3 -1,103т ■+ 0,00024 х2 - 3,08 Гс3, (34)

где Т = 0(Г2 -Г0) + Т0; Т0 = 100 °С; Т2 = 20 °С.

Подставляя (34) в левую часть (33) и интегрируя полученное соотношение в пределах времени аппроксимации, относительно неизвестной величины начального условия получаем алгебраическое линейное уравнение. Анализ его решения позволяет заключить, что отклонение начального условия, найденного из решения обратной задачи теплопроводности, от его значения, использованного при получении численного решения прямой задачи, составляет 0,01 %. Столь высокая точность идентификации начального условия объясняется высокой точностью аналитического и численного решения прямой задачи теплопроводности.

В случае использования для решения обратной задачи экспериментальных данных ввиду их значительно меньшей точности по сравнению с численным решением точность идентификации начального условия будет уменьшаться. В диссертации выполнено исследование влияния искажения (зашумления) численного решения на величину получаемого из решения обратной задачи начального условия. Так, искажение температуры на 10% приводит примерно к такой же неточности определения начального условия.

Следует особо отметить, что восстановление начального условия из аналитического решения прямой задачи возможно лишь в области нерегулярного режима теплообмена. Значения температур, получаемых из аналитического решения в области регулярного режима, практически не зависят от начального условия (решение "забывает" начальное условие).

Во второй главе приведены также результаты решения задачи о теплообмене в жидкости в плоскопараллельном канале (задача Гретца-Нуссельта).

В третьей главе диссертации приводятся результаты исследований задач термоупругости для однослойных ( с переменными физическими свойствами) и многослойных тел. Математическая постановка задачи, например, для двухслойного полого цилиндра записывается следующим образом

d2U, 1 dU, U. 1 + v, dT „

(i = l,2; r,_, <г<г,; г0 =0);

а+у^+^-о+уЛад

аг г

г=0

Г -Г,

= 0;

£/,(г|) = 1/1(г1);

(Х + У.^ + уД-О + У,)«,?;

с/г г

аг г

(36)

(37)

(38)

где граничные условия (36) обозначают равенство нулю нормальных напряжений на внешних поверхностях цилиндра, а условия (37), (38)являются условиями сопряжения, представляющими равенство радиальных напряжений и перемещений в точке контакта слоев г = г,.

В соотношениях (35) — (38) обозначено: £/, , Тп а; - соответственно перемещение, температура, коэффициент Пуассона и коэффициент линейного расширения г - го слоя.

Напряжения в каждом слое находятся из формул Е;

=

=

(1 + у,)(1-2У()

Е,

(1 + у,)(1-2У,)

аг г аг г

(39)

(40)

где ап , сте, (/ = 1,2)— радиальное и окружное напряжения.

Для решения задачи (35) - (38) применяется ортогональный метод Бубнова - Га-леркина. При этом используется глобальные системы неизвестных коэффициентов (одинаковые для каждого слоя) при различных для каждого слоя координатных функциях. В диссертации разработан метод построения координатных систем, которые удовлетворяют граничным условиям и условиям сопряжения. Таким путем многослойная система оказывается приведенной к однослойной с переменными (кусочно - неоднородными) физическими свойствами среды.

Таким образом, как и при решении температурных задач, использование одинаковой системы неизвестных коэффициентов и координатных систем, удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения, позволяет свести многослойную конструкцию к однослойной с кусочно — однородными физическими свойствами среды, процесс получения решения для которой по сравнению с исходной задачей существенно упрощается. Такой путь приводит к возможности получения аналитических решений задач теплопроводности и термоупругости для многослойных тел, нахождение точных аналитических решений которых не представляется возможным.

Полученные в диссертации приближенные и точные решения краевых задач теплопроводности и термоупругости для многослойных тел были использованы для расчетов температурных напряжений в двухслойном полом цилиндре при тепловом ударе на его внешней поверхности.

На рис. 2-4 даны графики изменения окружных ов и радиальных ог напряжений при тепловом ударе на внешней (г = /-,) поверхности второго слоя. Например, для разных вариантов расчёта температура на поверхности была равной

250;500;750;1000°С. На рис. 2, 3 приведены результаты расчетов для случая, когда температура для второго слоя принималось линейно меняющейся от нуля в точке контакта (г = г2) до величины температуры на поверхности. Температура по толщине первого слоя равна 0°С. Физические свойства принимались следующими: а! = 15-10~6ЛГ~1; а, =3-КГ5ЛГ1; Е1 =10,5 ■ 104М77а; Е2 =40,5-104МПа.

Рис. 2. Распределение окружных напряжений

и температуры. -

- напряжения сте;

—°--распределение

температуры

Рис. 3. Распределение радиальных напряжений и температуры.

- - напряжения

сг; —°— - распределение температуры

Анализ полученных результатов приводит к заключению, что окружные напряжения в точке контакта (г = г2) имеют скачок (рис. 2). Причем на внешней поверхности наблюдаются отрицательные окружные напряжения, а на внутренней - положительные. Для радиальных напряжений характерно наличие излома на кривых в точках контакта слоев (рис. 3).

На рис. 4 дано распределение окружных напряжений для двухслойного цилиндра в случае, когда температура во втором слое одинакова по толщине и при равной 0°С температуре первого слоя. Такое температурное состояние может наблюдаться, когда теплопроводность второго слоя существенно больше теплопроводности первого. Окружные напряжения на границе контакта слоев имеют скачок. Причем на внешнем слое цилиндра наблюдаются отрицательные напряжения, а на внутреннем — положительные.

0,038

0,044 г, м гг = 0,05

Рис. 4. Распределение окружных напряжений и

температуры. - -

напряжения оц; —°— -распределение температуры

В третьей главе диссертации приведены также результаты расчётов температурных напряжений в отверстиях барабана котла БКЗ - 420 - 140 НГМ Самарской ТЭЦ, возникающих при плановых или аварийных сбросах давления пара, сопровождающегося понижением температуры воды в барабане. Задача решалась в трёхмерной постановке при использовании метода конечных элементов. По результатам выполненных исследований даны рекомендации по безопасным, исходя из величин термических напряжений, не превышающих предела прочности материала режимам сброса давления.

Рис. 5. Измепение температуры в отверстии и по толщине стенки барабана, / "С; размеры в мм

050

Рис. 6. Распределение окружных напряжений ( а„, кг/мм2) в отверстии ^ барабана парового котла

В четвёртой главе приведены результаты детальных исследований точного аналитического решения гиперболического уравнения о распределении давления жидкости в трубопроводе в условиях гидравлического удара. Постановка задачи записывается в виде

ЭРо г ЭРо2 Э^2

ЯЙ,0)=1; 3?fë,0)/âFo = 0; 3P(0,Fo)/3Ç = 0; />(l,Fo) = 0, (41)

û „с2/ „х

2

где Р = — ; Fo =--; Ç = -; Fo,. =- ...

■&о 2al2 l ' 4a l

Точное аналитическое решение задачи (41) имеет вид

НЧ, ро) = ¿k exp(zltFo) + c,t exp(z2tFo)]cosir^ÇJ (r = 2k-l;k= ï^), (42)

г \ ] Z2k

Z\k У

ГДе^ (2Рог) 0-12),^- 4 ^

Результаты расчётов позволяют заключить, что изменение давления происходит в виде волны гидравлического возмущения со скачком скорости на ее фронте, вызывающий гидравлический удар, характеризующийся скачком давления.

В четвёртой главе даны результаты исследования точного аналитического решения гиперболического уравнения теплопроводности, учитывающего конечную скорость распространения теплоты. Постановка задачи для пластины с граничными условиями третьего рода записывается следующим образом

(Ро>0; 0<5<1); (43)

©Й,0) = 1; Э0(£,О)/ЭРо = 0; Э0(О,Ро)/Э£ = 0; Э0(1,Ро)/Э£ = В10(1,Ро), где е = (Т-Тсг)/(Т0-Тсг); Е, = х/8; Ро = ат/82; В1 = а8/1.

В диссертации получено следующее точное аналитическое решение задачи (43)

ео

Ро) = Хк* ехр(гиРо)+с24 ехр(г2,Ро)]соз(у^), (44)

где V* - собственные числа задачи Штурма - Лиувилля; с„, с,, - коэффициенты, определяемые из начальных условий задачи.

Анализ результатов расчётов по формуле (44) позволяет заключить о волновом характере распространения температуры с изломом на фронте тепловой волны, который при В1 —» °о (тепловой удар) переходит в скачок температуры. Отметим, что релаксационные составляющие в граничном условии третьего рода в данном случае не учитываются.

В четвертой главе приведены также результаты математического моделирования гидродинамики и теплообмена в турбулентном пограничном слое с использованием полуэмпирической теории турбулентности Прандтля.

В пятой главе диссертации приведены алгоритмы и программы расчёта термических напряжений.

Основные выводы и результаты работы.

1. Разработан метод нахождения аналитических решений краевых задач теплопроводности для многослойных тел, основанный на совместном применении интегрального метода и теории обобщённых функций, позволяющий благодаря использованию функции Хевисайда представлять многослойное тело в виде однослойного с переменными свойствами.

2. Предложен метод решения краевых задач теплопроводности для многослойных тел, в котором используется глобальная система неизвестных функций времени

16

и локальные для каждого слоя координатные функции, в каждом приближении удовлетворяющие граничным условиям и условиям сопряжения. Такой путь получения решения позволяет свести многослойную конструкцию к однослойной с переменными (разрывными) физическими свойствами.

3. Путем введения фронта температурного возмущения в интегральном методе теплового баланса получено приближенное аналитическое решение нелинейной задачи теплопроводности с нелинейностью в основном дифференциальном уравнении и граничном условии третьего рода.

4. Разработаны новые математические модели термоупругости для многослойных тел, основанные на представлении многослойной системы в виде однослойной с разрывными свойствами среды, что оказывается возможным благодаря использованию глобальной системы неизвестных коэффициентов и различных для каждого слоя координатных функций, которые в каждом приближении точно удовлетворяют граничным условиям и условиям сопряжения.

5. Выполненные в диссертации исследования температурных напряжений показали, что при воздействии теплового удара на внешней поверхности однослойного цилиндра окружные температурные напряжения имеют противоположные знаки на внешней и внутренней поверхностях. В точке нахождения фронта температурного возмущения наблюдается излом кривых окружного напряжения (в случае двухслойного цилиндра в точке контакта слоев наблюдается скачок окружных напряжений, величина и направление которого зависят'от соотношения физических свойств сло-ёв).

6. Показано, что при воздействии теплового удара на внешней поверхности двухслойного цилиндра окружные температурные напряжения имеют противоположные знаки на внешней (отрицательные - напряжения сжатия) и внутренней (положительные— напряжения растяжения) поверхностях. В точке контакта слоев наблюдается скачок окружных напряжений, величина и направление которого зависят от соотношения физических свойств слоев. Полученный результат позволяет сделать вывод, что окружные температурные напряжения растяжения могут достигать значительных величин на внутренних поверхностях цилиндрических тел, несмотря на отсутствие на них тепловой нагрузки.

7. Максимальные значения величин окружных напряжений растяжения, а также их скачка в точке контакта слоев, наблюдаются в случае, когда температура внешнего слоя постоянна по его толщине (высокотеплопроводный материал) и превышает температуру внутреннего слоя. Этот факт позволяет сделать заключение о том, что удаление различного рода отложений (накипь, кокс и прочее) на внутренних поверхностях трубопроводов посредством создания в слое отложений больших значений окружных напряжений, превышающих предел прочности их материала, возможно путём создания теплового удара на наружных поверхностях трубопроводов.

8. Исследование полученного в диссертации точного аналитического решения гиперболического уравнения движения в условиях гидравлического удара в трубопроводе позволяет заключить, что изменение скорости имеет вид волны, на фронте которой наблюдается скачок скорости, приводящий к скачку давления, вызывающего гидравлический удар.

9. Получено точное аналитическое решение гиперболического уравнения теплопроводности, учитывающего конечную скорость распределения теплоты при задании граничных условий третьего рода. Анализ полученного решения позволил заключить о волновом характере распределения температуры с изломом температурной кривой на фронте тепловой волны, который при Bi (тепловой удар) переходит в скачок температуры, что подтверждается классическими решениями гиперболического уравнения теплопроводности при использовании граничных условий первого рода.

10. Путем решения обратной задачи теплопроводности были идентифицированы коэффициенты теплоотдачи на внутренних поверхностях труб тепловых сетей. На их основе, используя гидродинамическую аналогию Рейнольдса, были найдены коэффициенты гидравлического сопротивления (трения), которые затем были использованы при построении компьютерных моделей тепловых сетей и циркуляционных систем тепловых электрических станций.

Список основных публикаций.

В рецензируемых журналах из перечня ВАК:

1. Кудинов В.А. Ортогональные методы в задачах теплопроводности для многослойных конструкций [Текст] / В.А. Кудинов, Е.В. Котова, А.Э. Кузнецова, А.В. Еремин // Известия высших учебных заведений и энергетических объединений СНГ. Энергетика. № 3, Минск, 2013. С. 44-59.

2. Кудинов В.А. Ортогональные методы в задачах теплопроводности с переменными физическими свойствами среды [Текст] / В.А. Кудинов, Е.В. Котова, А.Э. Кузнецова, И.В. Кудинов // Известия вузов. Проблемы энергетики. №11 - 12, Казань, 2012. С. 49-59.

3. Кудинов В.А. Обобщенные функции в задачах теплопроводности для многослойных конструкций [Текст] / В.А. Кудинов, И.В. Кудинов, Е.В. Котова, А.Э. Кузнецова // Теплофизика высоких температур, 2013, т. 51, № 6, С. 912-922.

4. Кузнецова А.Э. Термоупругость в многослойных конструкциях с переменными физическими свойствами среды [Текст] / А.Э. Кузнецова // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Серия Техн. науки. 2014. № 1(41). - С. 142-151.

5. Кудинов В.А. Температурные напряжения в многослойном полом цилиндре при тепловом ударе на его внешней поверхности [Текст] / В.А. Кудинов, А.В. Еремин, Е.В. Стефанюк, А.Э. Кузнецова // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. Казань, 2014. № 1. С. 30-35.

6. Kudinov I.V. Generalized Function in Thermal Condaction Problems for Multi-layered Constructions [Текст]. / I.V. Kudinov, V.A. Kudinov, E.V. Kotova, A.E. Kuznetsova// ISSN 0018-151X, High Temperature, 2013, Vol. 51, No. 6, pp. 830-840.

7. Кудинов В.А. Аналитические решения задач термоупругости для многослойных конструкций с переменными свойствами [Текст] / В.А. Кудинов, А.Э. Кузнецова, Е.В. Котова, А.В. Еремин // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Серия: Физ. - мат. науки. 2013. №1(30). - С. 215-221.

8. Еремин А.В. Нестационарный теплообмен в цилиндрическом канале при ламинарном течении жидкости [Текст]. / А.В. Еремин, Стефанюк Е.В., А.Э. Кузнецо-

в а. А.Ю. Рассыпнов // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Серия: Фщ. - мат. науки. 2013. №4(33).-С. 122-130.

9. Кудинов И.В. Получение точного аналитического решения гиперболического уравнения при гидравлическом ударе в трубопроводе [Текст] / И.В. Кудинов, A.B. Еремин, С.В. Колесников, А.Э. Кузнецова // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Серия: Техн. науки. 2013. №3(39). - С. 203-210.

10. Кудинов В.А., Кузнецова А.Э... Еремин A.B., КотоваЕ.В. Аналитические решения квазистатических задач термоупругости с переменными физическими свойствами среды [Текст] / В.Л. Кудинов, А.Э. Кузнецова, A.B. Еремин, Е.В. Котова // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Серия: Физ. - мат. науки. 2014. №2(35). - С. 130-

11. Колесников C.B. Исследование температурного и термонапряженного состояния барабанов котлов тепловых электрических станций [Текст] / C.B. Колесников, Е.В. Стефанюк, А.Э. Кузнецова, А.Н. Бранфилева, Л.С. Абишева // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Серия: Техн. науки. 2013. №4(40). - С. 158-164.

12. Колесников C.B. Использование компьютерной модели для исследования совместной работы насосов с регулируемым приводом [Текст] / C.B. Колесников, В.А. Кудинов, А.Э. Кузнецова, А.Н. Бранфилева, М.П. Скворцова // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Серия Техн. науки. 2014. № 1(41). - С. 127-135.

13. Кудинов И.В. Краевые задачи с нелинейностью в уравнении и граничном условии [Текст] / И.В. Кудинов, Е.В. Стефанюк, А.Э. Кузнецова, A.C. Колесникова // Математическое моделирование и краевые задачи. Тр. Девятой Всерос. науч. конф. с междун. участием. Ч. 2. Самара: СамГТУ, 2013, с. 43-47.

14. Кудинов И.В. Аналитические решения нелинейных задач теплопроводности при степенной зависимости теплофизических свойств от температуры [Текст] / Е.В. Стефанюк, А.Э. Кузнецова, К.В. Губарева, М.С. Тимофеев //Математическое моделирование и краевые задачи. Тр. Девятой Всерос. науч. конф. с междун. участием. Ч. 2. Самара: СамГТУ, 2013, с. 58-62.

15. Кудинов И.В. Обобщенные функции в задачах теплопроводности для многослойных конструкций [Текст] / И.В. Кудинов, Е.В. Котова, А.Э. Кузнецова, М.С. Тимофеев //Повышение энергоэффективности зданий и сооружений: межвузовский сборник научных трудов. Вып. 7. Самарск. гос. арх. - строит, ун - т. Самара, 2012.

16. КотоваЕ.В. Методы взвешенных невязок в задачах теплопроводности для многослойных конструкций [Текст] / Е.В. Котова, А.Э. Кузнецова, К.В. Губарева, Е.Ю. Тихонова // Повышение энергоэффективности зданий и сооружений: межвузовский сборник научных трудов. Вып. 7. Самарск. гос. арх. - строит, ун - т. Самара, 2012. С. 136-148.

17. Кузнецова А.Э. Методы взвешенных невязок в задачах теплопроводности с переменными физическими свойствами среды [Текст] / А.Э. Кузнецова, Е.В. Котова, К.В. Губарева, А.Г. Ипатов // Повышение энергоэффективности зданий и сооружений: межвузовский сборник научных трудов. Вып. 7. Самарск. гос. арх. - строит, ун-т. Самара, 2012. С. 76-85.

135.

В других изданиях:

С. 86-102.

t i

18. КотоваЕ.В. Обобщенные функции в задачах теплопроводности для много слойных конструкций [Текст] / Е.В. Котова, А.Э. Кузнецова, A.C. Колесникова / Математическое моделирование и краевые задачи. Тр. Девятой Всерос. науч. конф. междун. участием. Ч. 2. Самара: СамГТУ, 2013, с. 39-43.

19. Кудинов И.В. Математическое моделирование упругих продольных волн жидкости с учетом ее релаксационных свойств [Текст] / И.В. Кудинов, А.Э. Кузне цова., Л.С. Абишева, А.Н. Бранфилева. Труды Международной научно-техническо конференции «Математические методы и модели: теория, приложения и роль в об разовании». г. Ульяновск, 2014 .

20. Стефанюк Е.В. Теплообмен с учетом конечной скорости распространения те плоты при граничных условиях третьего рода. [Текст] / Е.В. Стефанюк, А.Э. Кузне цова, М.П. Скворцова, Л.С Абишева. Труды четвертой международной конференци «Математическая физика и ее приложения», г. Самара, СамГТУ, 2014, с. 220-221.

21. Стефанюк Е.В. Тепловой турбулентный пограничный слой. [Текст] / Е.В Стефанюк, А.Н. Бранфилева, A.B. Еремин, А.Э. Кузнецова, М.П. Скворцова. Труд четвертой международной конференции «Математическая физика и ее приложе ния».

г. Самара, СамГТУ, 2014, с. 338-339.

22. Кудинов В.А., Еремин A.B., Кузнецова А.Э., Кудинов И.В., Колесников C.B. Котова Е.В., Губарева К.В. Свидетельство о государственной регистрации програм мы для ЭВМ № 2013618415 «Получение численного решения нестационарной зада чи теплопроводности для двухслойной пластины при граничных условиях 3-го ро да», 2013.

23. Кудинов В.А., Еремин A.B., Кузнецова А.Э., Кудинов И.В., Колесников C.B. Котова Е.В., Губарева К.В. Свидетельство о государственной регистрации програм мы для ЭВМ № 2013616579 «Решение нестационарной задачи теплопроводное для бесконечно-протяженной пластины при граничных условиях 3-го рода», 2С13.

Заказ № 900 Формат 60 х 84 1/16 Уч. изд. л. 1,00. Тираж 100 экз. Отпечатано в типографии Самарского государственного технического университет-443100, Самара, Молодогвардейская, 244, корпус 8. Автореферат отпечатан с разрешения диссертационного совета Д 212.217.03 ФГБОУ ВПО «Самарский государственный технический университет» (протокол № 7 от 23 октября 2014 г.)