автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Разработка приближенных аналитических методов расчета конвективно-кондуктивного теплообмена, теплопроводности и термоупругости в теплонапряженных элементах конструкций газотурбинных двигателей

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

РГБ ОД

2 6 йЮН 1995

На правах рукописи КУДИНОВ ВАСИЛИЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

РАЗРАБОТКА ПРИБЛИЖЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА КОНВЕКТИШО-КОНДУКШШОГО ТЕПЛООШЕНА, ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ТЕШОУПРУГОСТИ В ТЕПЛОНАПРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦИЙ ГАЗОТУРБИННЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ

Специальность 05.13.16. - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (в авиационной и космической технике)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1995

Работа выполнена в Самарском государственном техническом университете

Официальные оппоненты:

Заслукенннй деятель н^уки и техники Российской Федерации, доктор физико-математических наук, профессор КАРТАШОВ Э.М.

Доктор физико-математических наук, профессор КИЕЕЕВ В.И.

Доктор технических наук, профессор ЕЛИСЕЕВ В.Н.

Ведущая организация- Самарское конструкторское бюро машиностроения

Защита диссертации состоится

........ 1995 г. в . . . . часов

на заседании диссертационного совета ССД 053.04.11 при Московском государственном авиационном институте (техническом университете) по адресу: 125871, Москва, А-80, Волоколамское шоссе, д. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАИ

Автореферат разослан . Ш^ХгС^ ^ .1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических

наук, профессор А.Ю.Аржененко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Вадной народно-хозяйственной проблемой является повышение экономичности, надежности и продление сроков службы газотурбинных двигателей (ГШ, получивших широкое распространение в авиационной и космической технике. Газовые турбины работают в условиях частой смены режимов, вследствие чего резко снижается ресурс изделия в результате разрушения материалов от малоцикловой усталости. Повышение ресурса является важнейшей проблемой, которую необходимо решать при проектировании, изготовлении и эксплуатации ГТД. Для решения этой проблемы необходима разработка таких конструкций и режимов работы, которые обеспечивали бы оптимальное температурное состояние изделия, исходя из критериев малоцикловой усталости.

При проектировании оптимального температурного состояния наиболее эффективными оказываются аналитические (приближенные аналитические) решения.Аналитические решения явно содержат основные параметры среди, и в таком виде они наиболее приспособлены для решения обратных задач теплопроводности и термоупрутости, задач по автоматическому управлению, оптимизации, автоматизированного проектирования и др. Эти решения наиболее приспособлены для работы в диалоговом режиме с ЭНЛ, что существенно повышает эффективность их использования.

Следует однако подчеркнуть, что получение аналитических реиегтГ; задач теплопроводности для тел произвольных конфигураций с переменами коэффициентами теплообмена, многомерных задач теплопроводности д~я многослойных конструкций, нелинейных краевых задач теплопроводности. сопряженных задач конвективно-кондуктивного теплообмена и др.представляет серьезные математические трудности. В аналитической теории теплопроводности такие решения получены лишь для незначительного круга отдельных частных задач, к тому лее, при весьма существенных допущениях. Поэтому разработка эффективных приближенных аналитических методов решения указанных задач, ориентированных на широкое использование их з инженерной практике, является важной научной и инженерной проблемо";, а такие существенны;.! вкладом в развитие математических методов решения краевых задач.

Широкое распространение в ГТД получают композиционные материалы, составной частью которых являются многослойные конструкции. Определение требуемого сочетания свойств многослойных конструкций осуществляется путем проведения вычислительного эксперимента при работе в диалоговом режиме с ЭВМ. Таким путем могло создать матерцапн с унлкальнг.м набором различных свойств (теплофизических,.\-ехакических,электрических и др.). Для этой цели наилучшим образом подходят методы, позволяющие

тслучать приближенные аналитические решения. Однако для решения ука-еанных задач эти методы пока еще недостаточно разработаны. Их применение оообенно существенно сдерживается недостаточным количеством разработок, связанных с методами построения систем координатных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения.

Таким образом, проблема повышения надежности, экономичности и продления сроков службы газотурбинных двигателей требует глубокого изучения процессов теплопроводности и термоупругости, протекающих в них, широкого использования ЭШ, развития математической теории и повышения ее аффективного использования в прикладных целях.

Цель работы. Разработка и решение важной научной и инженерной проблемы создания эффективных аналитических (цриближенных аналитических) методов расчета процессов теплопроводности, конвективно-кон-дукаивного теплообмена и термоупругости применительно к решению важной народно-хозяйственной проблемы повышения экономичности, надеанос-ти и продления сроков службы газотурбинных двигателей, а также для создания новой техники.

Научная новизна. На основе выполненных автором исследований и разработок осуществлено решение важной научной проблемы создания новых эффективных приближенных аналитических методов и соответствующего 1ш программного обеспечения для решения задач теплопроводности, кон-вективно-кондуктивного теплообмена и термоупругости в многослойных конструкциях и конструкциях произвольной формы, использующихся! при разработке современных газотурбинных двигателей и авиационно-космических систем.

В процессе разработки и решения указанной проблемы получены следующие новые научные результаты:

1. Разработано новое направление аналитического решения многомерных линейных и нелинейных задач теплопроводности ,конвективно-кон-дуктивного теплообмена и термоупругости для многослойных конструкций с переменными свойствами, основанное на совместном использовании точных (Фурье,интегральных преобразований л др.) и приближенных аналитических (Л.В.Канторовича, Бубнова-Галеркина, наименьших квадратов

и др.) методов, позволяющее повысить эффективность программного обеспечения, а также получать максимально простого вида приближенные аналитические решения.

2. Разработаны методы аналитического решения линейных и нелинейных задач теплопроводности путем построения эквивалентных моделей, позволяющие получать адекватные аналитические решения и, в

частности, применительно к решению задач теплопроводности для многб-слойных конструкций разработаны теоретические основы метода приведения к однослойным, а для решения нелинейных задач представлены результаты разработки метода построения соответствующих линейных моделей.

3. Разработаны методы построения систем координатных функций, точно удовлетворявдих граничным условиям и условиям сопряжения, применительно к решению задач теплопроводности и термоупругости для многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды, а также с переменными по координатам и во времени коэффициентами теплообмена.

4. Разработан приближенный аналитический метод решения задач теплопроводности и термоупругости для тел произвольной формы с переменными по координатам коэффициентами теплообмена, основанный на совместном использовании метода конечных элементов, и предложенных в диссертации методов построения систем координатных функций, точно удовлетворявдих основному дифференциальному уравнению.

5. Разработаны теоретические основы метода получения вихревого т емпературного поля, возникающего при вращении источника теплоты по круговой орбите. Полученные результаты распространены на поля потенциалов другой природы и , в частности, обоснована возможность получения вихревого движения среды в топочных камерах и камерах сгорания ГЩ.

6. Разработан алгоритм и программа метода автоматического разбиения произвольных односвязных и многосвязных областей применительно к расчетам температурных полей и термических напряжений методом конечных элементов и вариационными методами.

7. Получены новые расчетные и экспериментальные данные о процессах теплопереноса и термоупругостл, о причинах и интенсивности коксо-образования, о числе циклов до разрушения и о ресурсе рабочих лопаток применительно к конструкциям газотурбинных двигателей, необходимые

для повышения их надежности, продления сроков службы и модернизации, а также для создания новой техники.

На защиту выносятся:

1. Результаты разработки и решения важной научной проблемы создания эффективных инженерных методов расчета задач теплопроводности,

конвективно-кондуктивного теплообмена, а также задач термоупрутости для многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды и переменными по координатам и ео времени коэффициентами теплообмена.

2. Результаты получения на основе разработанных методов аналлти-

ческих решений следующих типов краевых задач: двухмерные и трехмер-мерные задачи теплопроводности для многослойных тел с переменными в пределах кавдого слоя физическими свойствами среды и с переменными п координатам и во времени граничными условиями; нелинейные задачи теплопроводности для многослойных конструкций; задачи термоупругости для многослойных тел с переменными упругими характеристиками; задачи теплообмена |ддя теплообменников; типа "тру<5а в трубе" и многослойных плоских теплообменников (аналитические решения указанных задач отсутствуют в известной литературе).

3. Результаты разработки метода решения задач теплопроводности для многослойных конструкций путем приведения их к однослойным, базирующегося на получении однослойной модели, практически эквивалентной образцу в смысле оказываемого ею сопротивления процессу переноса теплоты, а также результаты разработки метода построения на основе полученной модели многослойных композиционных материалов с заданными свойствами.

4. Результаты получения новых расчетных данных по температура-ному состоянию воспламенителей камеры сгорания ГДД, а такие рекомендаций по изменению режимов работы с целью предотвращения кипения топлива и коксообразования на их стенках.

5. Результаты расчетов оптимального двумерного температурного поля сечения охлаздаемой лопатки ГЦЦ для обеспечения прочности материала по критериям малоцикловой усталости, а также исходя из максимально допустимых значений температурных напряжений.

6. Результаты разработки метода диагностики толщины коксовых отложений на стенках многослойных топливных коллекторов ГЩ, основанного на разработанных в диссертации аналитических методах решения задач теплопроводности для многослойных конструкций, с использованием результатов натурных экспериментов по температуре стенки кол-

л ектора.

7. Результаты разработки математической модели процессов теплообмена и коксообразования на стенках трубопроводов топливных систем газотурбинных и ракетных двигателей, а также результаты экспериментальных исследований влияния покрытий внутренних поверхностей * трубопроводов на скорость процесса коксообразования.

8..Результаты разработки алгоритма и лрогралшы метода автоматического разбиения произвольных односвязных и многосвязных областей применительно к расчетам температур и термических напряжений аналитическим и численными методами, а также ленточного метода автоматического разбиения произвольных областей для расчетов темпера-

турных напряжений по формуле Биргера-Малинина.

9. Результаты разработки математической модели, алгоритмов и программ расчета процессов теплового воспламенения твердых топлив, порохов и взрывчатых веществ при переменных во времени граничных условиях,

10. Результаты разработки вычислительных алгоритмов и программных средств, имеющих гибкую модульную структуру и позволяющих наиболее эффективно использовать предложенные в диссертации методы решения краевых задач математической физики.

11." На защиту также выносятся выявленные закономерности исследованных процессов и практические рекомендации по устранению дефектов, совершенствованию конструкций и режимов эксплуатации газотурбинных двигателей.

Представленная работа является обобщением теоретических и экспериментальных исследований, выполненных автором на кафедре "Теплофизика и управление теплоэнергетическими процессами" Самарского государственного технического университета. Исследования проводились по комплексной программе Минвуза РСФСР "Система автоматизированного проектирования", по плану министерства ашационной промышленности, . а такав по плану комплексной научно-технической программы Минвуза РСЯСР "Надежность конструкций".

Практическая ценность. Разработанные автором приближенные аналитические методы, обеспеченные алгоритмами и программными средствами используются различными научными организациями и промышленными предприятиями страны. К их числу относятся: Самарское конструкторское бюро машиностроения; самарские заводы Зщ>ан, Металлист, авиационный моторостроительный им. М.В.Фрунзе; Снзранское специальное конструкторское бюро "Луч"; Всесоюзный научно-исследовательский институт разработки и эксплуатации нефтепромысловых труб (г.Самара); Подольский научно-исследовательский технологический институт; научно-исследовательский институт проолем конверсии и высоких технологий (г.Самара); Красноармейский научно-исследовательский институт механизации; Московский научно-исследовательский институт механизации. Результаты внедрения подтверждены соответствующими актами, приведенными в приложениях диссертации. С помощью предложенных в диссертации методов разработана оптимальная по критериям малоцикловой усталости конструкция топливного коллектора, внедренного на моторостроительном загоде им. М.В.£рунзе на двигателях, выпускаемых серийно. В Самарском конструкторском бюро машиностроения внедрены четыре методики по расчетам температурных полей и термических напряжений совместно с паке-

уами прикладных программ для ЭШ. Суммарный екояомичбский эффект, . полученный от внедрения результатов работы «подтвержденный актами о внедрении, приведенными в приложениях диссертации, составляет более 16 миллионов рублей (в ценах 1990 г.).

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты работы были доложены и обсуддены на Всесоюзной конференции "Повышение долговечности и надежности машин и приборов", Самара, 1981 г., Научно-техническом семинаре "Развитие фашинных методов и средств решения паевых задач",Донецк, 1983 г..Научно-техническом семинаре "Прикладные методы расчета физических полей", Крым,Симеиз ,пос.Кащтели,1984 г. .Научно-техническом семинаре "Машинные методы решения краевых задач",Р$га,1985 г.. Всесоюзном совещании "Аналитические методе расчета процессов тепло-я массссереноса", Душанбе, 1986 г., Научно-техническом семинаре "Применение машинных методов решения краевых инженерных задач", Одесса, 1987. г., УХ Всесоюзном семинаре "Обратные задачи и идентификация процессов теплообмена".Москва, 1987 г., УП конференции "Теплофизика ' технологических процессов", Тольятти, 1Э88:г., Научно-техническом се-^шнаре "Практическая реализация машинных методов решения краевых •■¡адач", Пенза, 1989 г., Научно-техническом совете Душанбинского по- -литехнического института, 1989 г., Научно-техническом семинаре специализированного Совета Д 063.37.02 при Казанском государственном технологическом университете, Казань, 1993 г., Меадународной конференции "Идентификация динамических систем и обратные задачи", Санкт-Петербург, 1994 г., Первой Российской национальной конференции по теплообмену", Москва, 1994 г., Научно-техническом семинаре машиностроительного факультета Московского Государственного технического университета им. Н.Э.Баумана, Москва, 1994 г, Научно-техническом семинаре Московского государственного авиационного института, Москва, 1995 г.

ПУБЛИКАЦИИ. По результатам выполненных исследований опубликовано 80 научных работ (в том числе 30 работ в центральных изданиях), напечатана одна книга, два учебных пособия, получено три авторских свидетельства на изобретения.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертационная работа состоит из введения, девяти глав, выводов, списка используемой литературы, приложений; изложена на 360 страницах основного машинописного текста, содержит ИЗ рисунков и 15 таблиц. Список использованной литературы включает 179 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

I. РАЗРАБОТКА АНАЛИТИЧЕСКОГО МЕТОДА РАСЧЕТА ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ, КОНВЕКТИВНО-КОНДЖГИВНОГО ТЕПЛООШЕНА И ТЕШОУПРУГОСТИ В МНОГОСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ гтд

Применительно к решению краевых задач математической физики для многослойных конструкций в настоящей работе развивается научное направление, основывающееся на совместном использовании точных (Фурье, интегральных преобразований и др.) и приближенных (вариационных, взвешенных невязок и др.) аналитических методов. Такой комплексный подход позволяет без проведения тонких и громоздких математических расчетов в простой форме получать выражения, эквивалентные главной части из бесконечного функционального ряда решения. Для практических расчетов, как правило, используется именно эта частичная сумма нескольких слагаемых.

Основные положения метода рассмотрим на примере решения нестационарной задачи теплопроводности для многослойных пластины, цилиндра и шара в следующей матёматической постановке

(i)

(Fo ? О; f^Äp&pt; L=i(m , po = 0; b=l);

TL(j»,0)=TOLep); ЧП dTt (O. K,)/3p - Bi-iljiCciFo)- Tci(Fo)] = о; (5) Tc(pL,K,)=TW(pi,Fo); (4) /Ч1ат\(pi,Fo)/3p] » Л L4[aTUi ra)/dp]; <5> зтт (i,R,)/ap-Bi-2lTc2(Fo)-TfT1(o1Po)] = o( (6)

где p = (r- R0)/( Rm - R0) _ безразмерная координата; R 0 , - соответственно внутренний и наружный радиусы полого.цилиндра или оболочки (для многослойной пластины R0 = 0); m - число контактирующих тел; е = 0,1,2 - соответственно для пластины, цилиндра и шара;

CL - наименьший из коэффициентов температуропроводности о.^ Vn); •4R» R„--R0 ; Tei , Тег - температуры сред; 814= ^¡p; - числа Био; Fa = число Зурье.

Приближенное решение задачи (1)-(6), следуя ортогонально.*,ту методу Л.В.Канторовича, разыскивается в виде

ТШ (fM~VL(f)+UroWu(?)+i:tK(ro)4iK(p) ; CL-iS.) , (7)

— кг г

где тк (Р» ), (к =i,n ) - неизвестные функции времени; ^¡.к. (р ) -координатные функции, удовлетворяющие однородным граничным условиям

и однородным условиям сопряжения; (р) - функции, удовлетворяй^ неоднородным граничным условиям и неоднородным условиям сопряжения.

Важной отличительной особенностью используемого автором метода решения 1фаевых задач является принятие глобальной системы неизвестных функций времени (1ч>) (одинаковых для кавдого контактирующего тела), то есть для неизвестных функций времени тало одно, но с пе ременными и, более того, с разрывными физическими свойствами среды. Разрывность физических свойств учитывается с помощью различных для каждого отдельного слоя координатных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения. Вопросы построения координатных систем являются здесь определяющими, так как от удачного их выбора во многом зависит дальнейшее решение задачи - трудоемкость получения решения, его точность и общий вид.

В диссертации предлагается несколько методов построения координатных систем, основанных на совместном использовании некоторых по ложений метода конечных элементов и метода неопределенных коэффициентов. Основная их идея заключается в последовательном ¡построении, координатных функций при переходе от одного слоя к другому и при использовании всякий раз метода неопределенных коэффициентов. Применение этого метода оказалось возможным лишь благодаря использованию глобальной системы неизвестных функций времени. Особенно полезным в данном случае оказалось применение локальных систем координат (различных для каждого отдельного слоя), широко используемых в методе ко печных элементов для получения наиболее простого вида функций формы. Именно с этой целью они применяются и здесь - для получения наиболее простого вида координатных функций.

Так как в задаче (I) - (6) условия сопряжения однородные, то функции Фс (р) будут одинаковыми для всех тел и будут определяться в виде следующего полинома 'Ф (Р ) = Л + Вр , где постоянные Л и В находятся из неоднородных граничных условий. Из координатных функций первого приближения Ч* ^ (р ) вначале определяется функция для последнего ( т -го) слоя. Она принимается в виде ЧЧт (р) = где неизвестная постоянная Г находится из однородного граничного условия (6) (при Тег = 0). Координатная функция для ( "V- 1)-го слс находится в виде (.т-1) < р.) 1= С + Ир* , где постоянные С и Ъ находятся из условий сопряжения менду т -ым и (т-1) -ым слоем. Кос динатные функции для последующих слоев находятся в том же виде, что и функция (т.!) (р )• Таким путем можно построить координатные фу! ции для любого числа контактирующих тел. Отличие состоит лишь в нахождении координатной функции первого тела. Она принимается в виде

полинома ) = Яtвp♦Cpгf где постоянные Л , В , С определяются из однородного граничного условия (3) (приТС1= 0) и условий сопряжения мевду 1-ым и 2-ым слоем.

Координатные функции последующих приближений 4**1 ( р ),(•> 2,п) находятся по общей формуле айда I

(1-1)] г(к-1) __

. •Мрнр^кр'-А-О ? (8)

где Н (7 ) - функция Хевисайда (единичная функция), определемая выражением Н ( ^ ) = I при 0 ^ 7<с"° ; Н (*}) = О при-ео<^<0. Эти функции обращаются в нуль на границах и на всех контактах слоев.

Общая формула для координатной системы первого приближения записывается в виде

?**>■ "^¡А^'Ч - "

В случае граничных условий второго рода (адиабатная станка) слева и третьего - справа формула для координатной системы упрощается и принимает вид

"«(,.)-¥ (э)

Например, для контакта двух тел координатные функции, получаемые по этой формуле, будут

ю /Аг .% Л Л» „г _ , . К*2 п2 I

На основе формулы (9) можно также записать общую формулу для координатных функций, удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения не только в первом, но и в любом последующем приближении

Ь»0 г. — — %

(«-=!, т ; к«2,п).

В качестве координатных можно также использовать функции, составленные из тригонометрических полиномов. Общая формула такой координатной системы имеет вид

(1= 1,т ; к- 1,п).

Например, для контакта 3-х тел координатные функция, получаемые по этой формуле, будут

Преимущества такого сопособа построения координатных систем в получения приближенных аналитических решений заключаются в следувдеы I. Можно построить координатные функции для линейных граничных условий и условий сопряжения практически любой степени сложности» в том числе и переменных во времени. Можно, например, учесть контактные термические сопротивления, описываемые различными математическими формулами на отдельных контактах слоев. 2. Координатные функции имех настолько простой вид (наиболее простые функции получаются в случае применения локальных систем координат), что вопрооы их дифференцирования и интегрирования во всех случаях легко решаются на аналитическом уровне. 3. Описанная выше процедура построения координатных систем достаточно просто алгоритмируется при раочетах на ЭШ, так как для каждых используемых в диссертации граничных условий построены ос щие формулы, по которым можно определить координатные функции для Л1 б ого числа контактирующих тел и при любом количестве приближений, не вникая при этом в детали построения этих формул. 4. Можно построить координатные функции как в виде алгебраических, так и тригонометрических полиномов, причем, уже в первом-втором приближении получаемые решения удовлетворительно согласуется с точными практически во.:. всем диапазоне регулярного режима.

Следует отметить некоторое преимущество тригонометрических координатных функций перед алгебраическими полиномами. При их использовании и особенно при большом числе приближений матрицы коэффициентов систем алгебраических линейных уравнений имеют меньший разброс коэффициентов по абсолютной величине ввиду периодического изменения свойств тригонометрических функций в зависимости от числа приближений. К тому же, ввиду ортогональности тригономерических функций многие интегралы от них и от их производных оказываются равными нулю. Все это оказывает положительное влияние на обусловленность матрицы.

Соотношение (7) при найденных' таким путем функциях Ф С р) и координатных функциях 1Р к!. ( р ),( к - 1, п ) точно удовлетворяет граничным условиям и условиям сопряжения. Неизвестные функции времени

(Го ) находятся так, чтобы как можно лучше удовлетворялось уравнение (I). Длй этого составляется его невязка при ТЧ (Р»|'Ь)=.Т{л(р|К

й требуется ортогональность невязки ко всем координатным функциям1*^ 91 г

Отсвда получается система обыкновенных дифференциальных уравнений пер в ого порядка вида

£ Клик.)* м^с^Н^мДт;, (Ро)+тс'г(Рь)+<}-(Ро)>о д-^;

где ; Н) - некоторые лостоянные.

Методы решения таких систем уравнений хорошо разработаны и, в частности, имеются стандартные программы для ЗЕМ.

Для определения постоянных Ск (к- 1,п ), получающихся в резуль тате интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений, составляется интеграл взвешенной невязки в начальном условии

Ом*-,

ри

После нахождения постоянных интегрирования приближенное решение задачи в общем случае находится из (7У.

1.1. Построение систем координатных функций на основе применения локальных систем координат

Если использовать локальные системы координат, то можно получит еще более простые системы координатных функций. Схему применения таких координат рассмотрим на примере решения нестационарной трехмерной задачи теплопроводности для многослойного прямоугольного параллелепипеда. Математическая постановка задачи (см.рис.1) имеет вид

Рлс.1. Схема применения локаль ных систем координат для многослойного прямоугольного пара ллелепшеда.

Э8¿ (ц ^ йа., ^ем 4

"ёйГ " "а" -щг + + ^ ^ *•

(о* Х|. < ; 0 6« ; О £ 2. ; ¿Тт) ;

01 (XI, ",2,0)

®1(х1, о, 2,Ра) ■= Рь;- 81(Ч^0,Ро)=в1(Х1.У14 К»)=0;

оад

(Лт, V, 2, Ро) 4 В1 (у)[вп, (Ат, У, X, й)- <}] = О.

Решение задачи (10)-(16) разыскивается в виде

бтЛ^. , Ч= * * ^(Хс,«М (у) Ъ (г)^-? к (Го) сСхОЧМу} (17)

где Ьс (Ро ), (к =¿¡Тп ) - неизвестные функции времени; Vц ( , У); Чкс( ).( К = 2,л ); к = 2,п ) координатные

функции.

В случае применения локальных систем координат безразмерная координата ,(1= 1,т) в кавдом слое изменяется от нуля до Наличие нуля в пределах интегрирования для каждого слоя упрощает не только процесс построения координатных функций, но и процесс опре- > деления интегралов, а в результате и вид окончательного аналитического решения.

Координатные функции, точно удовлетворяющие граничным условиям и условиям сопряжения, определяются по формулам:

ЧаСХ!.«)-»«*-*** ; С- (18)

Для определения коэффициентов Эц , » 3)*£ построены следующие рекурреитвце соотношения

Например, для контакта двух тел координатные функции согласно

(Ю)

(11)

(12)

(14)

(15) (16)

■этим формулам будут иметь вид V,. (XI, у )= - (ь^у + 4,) - Ы-ЩуГ^У И + *? ;

(х*. у)—— лг + г-^Ах (Хг- -¿5)- ♦ х%.

Координатные функции второго и последующих приближений относительно независимых переменных определяются по общей формуле вида

2(к-1) 2(х-1)Н(1-1) _

где Н =0 при 55 =0; Н = I при ^ > 0; ^ = 1-1 ; к - число приближений.

При использовании координатных функций вида (18) соотношение (17) точно удовлетворяет всем граничным условиям и условиям сопряжения. Неизвестные функции времени 4 к ( Ро) находятся так, чтобы как можно лучше удовлетворялось уравнение (10). Для этого требуется ортогональность его невязки, ко всем координатным функциям. Отсюда будем получать системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

С помощью изложенного выше метода впервые были получены приближенные аналитические решения следующих типов краевых задач: двумерная задача теплопроводности для многослойного бесконечно-протяжен ного бруса с переменными по боковым граням коэффициентами теплообмена; .двумерная задача теплопроводности для многослойной трубы с переменными' в окружном направлении коэффициентами теплообмена; задачи теплопроводности для многослойных конструкций с нестационарными коэффициентами теплообмена; нелинейные задачи теплопроводности для многослойных конструкций;. трехмерные задачи теплопроводности для многослойных параболоида вращения и конуса. Разработанный в диссерташ'И метод был распространен также применительно к решению других типов дифференциальных уравнений, отличных от уравнения теплопроводности. И, в частности, рассмотрены методы получения приближенных аналитических решений задач теплообмена для жидкостей, движущихся в многослойных плоских теплообменниках или теплообменниках типа труба в трубе (см.п.2). Представлены решения задач термоупругости для многослойных конструкций при переменных в пределах каждого слоя физических свойствах среды (см.п.З). Изложенный выше метод был распространен также применительно к решению задач тепломассопереноса для многослойных конструкций, возникающих при решений проблем новообразования топлива в топливных коллекторах ПД (см.п.4).

Построение однослойных моделей задач теплопроводности для мно-

гослойнкх конструкций, а также линейных моделей нелинейных задач теп." опроводнорти во многом оказалось возможным благодаря использованию полученных в диссертации приближенных аналитических решений (см. п.5 и п. 5.1).

2.ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ. ЗАДАЧ ТЕПЛООШЕНА ПРИ ТЕЧЕНИИ ВДДКОСТЕЙ В ТРУБАХ И КАНАЛАХ

Рассмотренный выше метод был распространен применительно к решению задач теплообмена для потоков жидкости, движущихся в многослойных плоских теплообменниках или теплообменниках типа труба в трубе. При решении этих задач принимаются следующие допущения: течение жидкостей ламинарное, стабилизированное; теплопроводностью вдоль течения цренебрегается; считается, что жидкости разделены тонкими перегородками, теплопроводность которых не учитывается. Математическая постановка задачи для многослойного плоского теплообменника имеет вид

Т\ (г, х,о)= ТН|. ч Т\. (Г, од) = Т01. ; дТ1 (0,х,т)/Эг == О; Тт (Гт,Х,г) = Тст ; (19)

т л- * Т1- т гг X Л. ЗТ^гг.хд) . ЭТиПГцуг?

Для решения задачи (19) совместно используются двукратное интегральное преобразование Лапласа-Карсона и метод Бубнова-Галеркина. Преобразование Лапласа-Карсона вводится по формуле

оо«о

Т* = РБ | ехр[-(РРо +

о о

и в области изображений задача решается методом Бубнова-Галеркина. ПерЕое приближение принимается в виде

Т1*(р18,р) = Тег*в1 (4,р)ЧЛ(р) ;■ ( I

где ( 5, Р ) - неизвестный коэффициент; (р) - координатные функции, точно удовлетворяющие граничным условиям и условиям, сопряжения. Такие функции находятся по общим формулам, представленным в первом разделе. В области оригиналов решение задачи принимает вид

п., СМ при 2 Го > (

I Тст^ ехР ("£*) при * * К, ,

где , Ра, . . ., % - некоторые постоянные. Верхняя строка формулы (20) совпадает с приближенным решением задачи (19) при равенстве нулю

.конвективных членов в уравнении анергии, т.е. с_решением нестационарг-ной задачи. Нижняя строка совпадает с решением задачи теплообмена без учета производной по времени, т.е. с решением стационарной задачи. Такое разделение физически обосновано в работах других авторов. Последующие приближения выполняются отдельно для стационарной и нестационарной задач.

При использовании интегральных преобразований наибольшие трудности в некоторых случаях представляет переход от изображения искомой функции к ее оригиналу. Такая ситуация возникает при отсутствии в известной литературе стандартных формул перехода. Как правило, это связано с тем, что решения в изображения!х имеют сложный вид.из-за использования сложных и громоздких систем координатных функций. Ввиду того, что в диссертации разработаны методы получения максимально простых по виду координатных функций, то переход к оригиналам при любых граничных условиях без каких-либо затруднений осуществляется по стандартным формулам перехода, приведенным в известной литературе ( см. .например»работы Диткина В.А..Прудникова А.П.).

Методы решения задач теплообмена были использованы при расчетах температурного состояния топливных коллекторов и воспламенителей камеры сгорания ПД (см.п.4).

3. ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕШОЛ1РУГОСТИ ДШ МНОГОСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЙ С ПЕРШЕННИШ СВОЙСТВАМИ

Методы построения координатных систем,изложенные выше, были применены к решению задач термоупругости для многослойных конструкций, с переменными в пределах каждого слоя упругими характеристиками. Математическая постановка задачи для многослойного круглого диска (цилиндра) с центральным отверстием имеет вид

Tp /lEi dp p)Ui"TT dp

--ц--p--rm^L0ÎL(pi»i) Ti(pUi) =

-Ц- tVfc,-jg--rm?ui^ui(puOTL44Cpl44),0; (24)

MfuO-"^ (P¿*0 . (25)

где и - перемещение; р = г / rm ; Гщ - толщина многослойной системы; m - число слоев.

Отличительной особенностью задачи (21) - (25) по сравнению с температурными задачами является значительно более сложное основное дифференциальное уравнение, а также граничные условия и условия сопряжения л, к тому же, условия сопряжения здесь являются неоднородными. Все это делает весьма затруднительным получение решения задачи при использовании традиционных подходов ввиду сложности построения систем координатных функций и громоздкости получаемых для них формул. Изложенные выше методы получения приближенных аналитических ' решений и построения систем координатных функций без каких->либо затруднений были применены и для решения задачи (21)-(25).

йвддуя ортогональному методу Бубнова-Галеркина решение задачи (21)-(25) разыскивается в виде

U„i = 9t(p)+Q1Va(j))+¿jaKi?Ki(p) ; (26)

где Ф«. (Р) определяются так, чтобы удовлетворялись неоднородные граничные условия (22)-(23) и неоднородное условие сопряжения (24). Крординатные функции первого приближения V л (Р) находятся из выполнения однородных граничных условий и всех условий сопряжения .Координатные функции последующих приближений kL (f ); ( * = 2, n ) обращаются в нуль на границах и на всех контактах слоев. Для нахождения этих функций используются методы, изложенные выше. При таком выборе функций ( р) и Чkl (Я) соотношение (26) будет точно удовлетворять граничным условиям и условиям сопряжения. Неизвестные коэффицие! ты ак, ( к = 1,0 ) находятся методом Бубнова-Галеркина путем составления невязки дифференциального уравнения (21) и требования ортогональности невязки ко всем координатным функциям Ч'кс (f ); ( к = 1,л ] . т.е.

L-1 }

fin

Для числа слоев ш 3 целесообразно совеместно с ортогональным методом Бубнова-Галеркина применять метод наименьших квадратов. Требование минимума суммы квадратов невязок приводит к следущему выражению

n m ft

E £[( £ni(Q1,a2,a3,...,Qn?p)l|jl(p)dp]2=0; Cj«M).

Lsl pl-1

После нахождения производных по неизвестным получается система из п алгебраических линейных уравнений с п неизвестными ак .

В диссертации получены также точные аналитические решения задач термоупругости для многослойных конструкций, но с постоянными в пределах кавдого слоя упругими свойствами. Представлены сравнения приближенных аналитических и точных решений.

4. РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ И АНАЛИТИЧЕСКОГО МЕТОДА РАСЧЕТА ТЕШЮ-И МАССООШЕНА В ПРОЦЕССЕ К0КС00БРА30ВАНИЯ В ТОПЛИВНЫХ КОЛЛЕКТОРАХ ГТД

При построении математической модели процессов теплообмена в : топливных коллекторах ГТД турбулентный поток разделялся на три зоны: ламинарный пограничный слой; переходная зона; турбулентное ядро, Эквивалентные коэффициенты теплопроводности переходной зоны и турбулентного ядра определялись по известным зависимостям. В результате задача определения температурного состояния потока жидкости сводилась к решению задачи, состоящей из трех слоев, имеющих различные теплофизические свойства и профили скоростей. Математическая постановка задачи имеет вид

(Го70; Обр ¿1; i = 1,2,3 ; ра = О; p3-l) }

Tt (p,Z,Oj= Thi , Tj.Cp.o.fb)- Tot; aTL(0,Z,Fo)/aj0 - 0 >

Tilfi.i.Rj-T^^R); At-dp '

где fi=rv/fa; Z=x/Per3; Pe-r3W^/a; Wepler,. 4^/14)"] ;

L = 1,2,3 - соответственно для турбулентного ядра, переходной зоны и ламинарного похраничного слоя; Wepi.- средняя скорость.

Для решения задачи (27) был применен метод решения, изложенный в п.2. Полученное решение было использовано для исследования процесса коксообразования топлива применительно к топлдвнкм коллекторам ГТД.

В диссертации используется модель коксообразования, предложенная Джиованетти А., согласно которой образование кокса происходит только в присутствии растворенного в топливе кислорода. Процесс протекает в две стадии. На первой стадии в результате реакции кислорода с углеводородами топлива получаются химически активные радикалы, при дальнейшей реакции которых с углеводородами топлива, образуются микрочастицы кокса.

В диссертации рассматриваются две математические модели процесса коксообразования. Первая модель, предназначенная для аналитического исследования, содержит большее число допущений, чем вторая, предназначенная для исследования численными методами. Допущения, принятые в первой модели, заключаются в следующем: процесс образования кокса не зависит от времени; температура топлива остается постоянной по длине канала и изменяется лишь по радиусу; скорость принимается равной средней скорости соответствующей зоны. Исследование с помощью аналитических методов оказалось возможным благодаря использованию методов построения систем координатных функций точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения. Это исследование позволило дать качественную оценку процесса коксообразования, а также выявить степень влияния каждого отдельного параметра на этот процесс. Это исследование было как бы подготовительным этапом для последуще-го получения более точных количественных характеристик с помощью численных методов.

Исследование процесса коксообразования численными методами производилось без учета допущений, принятых при аналитическом исследовании. Математическая постановка задачи в данном случае имеет вид

(28)

(Х>0; «г. ; ¡-=1,2,3);

Сс^С.о с„(г,0 )=сец); с51(г,0 :)-С*о;

)/Эг =0; аСк!.(0.х )/бг=0; ас5!_(0,х )/дг~0 ; С^СП-'.х )= Сс^Оч,* ); Свс((Ч,Х )=С*и1(г1(х: );

Эг*7 '

т\ а суда,х .) - ас51(г1,х ) „ ас^41(гцх ) 3>П-^-- -5?-'3)51 —дг—-д?-;

где С $ _ концентрации соответственно кислорода .промежуточных

радикалов и частиц кокса; , Ке1 -коэффициенты, характеризуюпщэ зависимость скорости химической реакции от температуры (закон Арреня-уса). "

Для решения задачи (28) был применен метод прогонки. Результаты расчетов представлены на графиках рис. 2.

Ш"

10

«г3

ю

¡0

—^

•

Рис.2. Графики изменения относительных концентраций кислорода.радикалов и отложений кокса. X — Сц, /Сс),0; 2-Ся /Сц0 ; 3- Сз/С*, .

Х=Х/£- ; Е - длина канала.

0,25

0,5

о;

Из анализа графиков можно заключить, что концентрация кислорода вблизи середины канала убывает до нуля. Концентрация активных радикалов увеличивается и достигает максимума вблизи X = 0,2 и зато;? убывает вместе с убылью кислорода до нуля. Концентрация отложений кокса имеет максимум на участке интенсивного уменьшения концентрации кислорода и активных радикалов. Полученные данные свидетельствуют о том, что образование твердых частиц кокса существенно зависит от количества растворенного е топливе кислорода.

Результаты расчетов позволили такле сделать вывод о существенной зависимости количества отложений от температуры топлива. Скорость течения топлива оказывает незначительное влияние на процесс образования кокса. Видимо, это можно объяснить тем, что скорость диффузии кислорода значительно превышает скорость течения топлива. Этим так же можно объяснить увеличение интенсивности новообразования при увеличении расхода топлива, т.к. возрастает концентрация кислорода. Исследования показали, что процесс образования кокса происходит на небольшом участке по длине трубопровода (примерно 1/4 иасть длины).

Именно на этом участке расходуется веоь кислород и на оставшейся длине трубопровода реакция в жидкости практически прекращается. Результаты численных исследований удовлетворительно согласуются о результатами натурных испытаний, также приведенных в диссертации.

5. РАЗРАБОТКА МЕТОДА ПОСТРОЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ОДНОСЛОЙНЫХ МОДЕЛЕЙ ПРШЕНИТЕШЮ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ШШОПРОВОДНОСГШ ДНЯ МНОГОСЛОЙНЫ! КОНСТРУКЦИЙ

£ связи с трудностями получения точных аналитических решений задач теплопроводности для многослойных конструкций, нелинейных задач теплопроводности и др. весьма актуальной является проблема разработки каки^-либо новых методов решения указанных задач. К их-числу следует отнести методы, основывающиеся на построении эквивалентных (адекватных) моделей. Основное требование здесь заключается в построении такой модели, для которой математическая постановка задачи была бы проще, чем для исходной многослойной задачи (задачи для образца) и, в то же время, эта модель должна быть полностью эквивалентна образцу по тепловому сопротивлению, оказываемому ею процессу переноса теплоты.

В диссертации рассматриваются два различных направления к построению таких моделей. Первое из них связано с построением однослойг ных моделей задач теплопроводности для многослойных конструкций [28] , а второе - с построением эквивалентных линейных моделей применительно к решению нелинейных задач теплопроводности {34] . Рассмотрим более подробно первое из этих двух направлений решения краевых задач.

Основная цель построения эквивалентных однослойных моделей заключается в возможности использования графиков точного решения для однослойных тел при определении температурного состояния исходной многослойной конструкции (образца). Кроме того, по известной модели ... может быть восстановлен образец с наперед-заданными свойствами. В связи с чем, появляеются определенные возможности конструирования многослойных композиционных материалов.

Наиболее трудной проблемой, которую здесь требуется решать, является построение модели, полностью эквивалентной образцу по оказываемому ею сопротивлению процессу переноса теплоты во всем диапазоне времени нестационарного процесса. В работах автора диссертации

[21,23,28] впервые было показано, что для полной эквивалентности образца и модели, последняя должна иметь переменную во времени толщину или (при постоянной толщине) переменные во времени теплофизические свойства среды. Эквивалентность в данном случае выполняется по темпер, турному состоянию и по количеству теплот, отдаваемых образцом и мо-

делью за равные отрезки времени. В частности, однослойная модель строится таким образом, чтобы выполнялось равенство температур на гра;-ницах и точках контакта слоев образца и эквивалентных слоев модели во всем диапазоне времени нестационарного процесса. Для построения такой модели были использованы методы получения приближенных аналитических решений задач теплопроводности для многослойных конструкций, изложенные выше.

( Применительно к трехслойной конструкции на ¡рс. 3 показано изменение толщины однослойной модели во времени, при которой она оказывается практически эквивалентной исходной трехслойной системе. Если толщину модели принять постоянной, то для выполнения условия эквивалентности переменными во времени должны быть ее теплофизичес-кие свойства. Такая зависимость для эквивалентного коэффициента температуропроводности представлена на рис.4.

В упомянутых выше работах автора также было показано, что изменение толщины модели (или ее теплофизических сеойств) является линейным в стадии регулярного режима и нелинейным на начальном нерегулярном этапе нестационарного процесса (см.рис.3,4). В диссертации дается строгое математическое доказательство этого положения, полученного путем проведения вычислительного эксперимента. Доказательство основывается на законе сохранения энергии, согласно которому количества теплот, отдаваемых образцом и моделью за одинаковые отрезки времени,должны быть равными, т.е. эквивалентность образца и модели должна' выполняться не только по температурному полю, но и по тепловым потокам.

В диссертации представлены два подхода к построению однослойных моделей. В первом случав модель в соответствующем масштабе строится непосредственно на графиках точного решения для однослойных конструкций. На графиках рис.5 кривые 1,2,...,6 являются линиями, ограничивающими толщину модели во времени для двухслойной пластины. Кривые для чисел Ро = 1,5; 0,8; 0,6;...,0,005 представляют здесь точные решения для однослойной пластины. Штриховыми линиями обозначены кривые изменения положения точки контакта эквивалентных слоев модели во времени. Из анализа графиков можно заключить, что наибольшее влияние на интенсивность изменения толщины модели оказывает параметр Н = Лг/А1.

При втором подходе к построению модели нет необходимости ее размещения на графиках точного решения для однослойных тел. В этом случае производится корректировка числа фурьЬ модели ( ^ м ), т.е. находится такое Го , при котором температурное поля образца и мо-

дели будут одинаковыми во всем диапазоне времени нестационарного про цесса. При этом тсяцина модели и ее коэффициент температуропроводности принимаются постоянными и равными их значениям в стационарном режиме. Таким образом, постоянство толщины модели и ее физических свойств компенсируется изменением (корректировкой) числа Фурье. Графики зависимости чисел Ром и £о'„ представлены на рис.6. При определении температурного состояния образца по графикам тонного решения для однослойной пластины вместо Iч>* следует использовать Ро'п-Например, для X = 20 с вместо РЬМ= 0,5 следует использовать По величине Ро'и на графиках точного решения для однослойных конструкций находится температурное поле модели.

0,011 [и] 0,0 ю 0,009

0,008 0,075

у

/

Г

щ о,г а,з м Гоп о,е Рис.3.График изменения толщины модели сУэ от времени

0,8 М>

Рис.5. Графики изменения толщины модели во времени (кривые 1,2,3,:: :,6).=0,8; Н»А*/л1; I-Н =0,4; 2- Н =0,3; 3- н =0,2; 4- Н =0,1; 5- Н =0,05; 6-Н=0,005.

г 5

аэюс

А

з

\ — г От \-

1 1

о го 40 (О 90 Х[с1120

Рис.4. График изменения коэффициента температуропроводности модели от времени

Ро

и 0,в

.4

// /

// -Рои

/ V

¿0 40 х Ге] ео

Рис.6. Графики зависимостей РЬМ и Ро'и от времени.

5

Ввиду графоаналитического получения решения в данном случае открываются определенные перспективы для построения многослойных конструкций с заданными свойствами. По известной модели здесь имеется возможность восстановления одной или нескольких искомых функций одновременно в большом числе точек многослойной конструкции, что затруднительно сделать, пользуясь известными методами решения таких задач (обратные задачи теплопроводности). В диссертации приводится пример построения трехслойного образца с заданным температурным перепадом на стенках 2-го слоя в течение всего времени нестационарного процесса.

6. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПУТШ ПОСТРОЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ

При решении нелинейных задач особую трудность представляет интегрирование нелинейных дифференциальных операторов. Среди аналитических методов их решения известны методы, в которых используются линеаризующие подстановки, в результате которых задача становится линейной. При решении нелинейных задач численными методами, как правило, применяются итерационные алгоритмы.

В настоящей работе итерационный алгоритм используется при построении линейной модели нелинейной задачи. Основную его идею рассмотрим на примере решения нелинейной задачи теплопроводности для бесконечно-протяженной пластины с симметричными граничными условиями 1-го рода при линейной зависимости коэффициента теплопроводности от температуры Л = А„( 1+рТ). Метод построения модели основан на замене температуры нелинейного члена дифференциального уравнения выражением для приближенного аналитического решения соответствующей линейной задачи. Такое решение, полученное путем использования ортогонального метода Л.В.Канторовича, имеет вид Тл ( х , Го )=Тст + {,25 ехр (- 2,5 Ро) (I- х2). Нелинейное уравнение в этом случае будет

= £1-вк*На(е*р(-2.5ГоН 1-3x2)] вхрС-2,5 к,), аго ах» Г1 (29)

где Н4= 2,5ТстаТ; нг = 3,125^' ; дТ = Т0-Тст.

Полученное уравнение является линейным, т.к. вместо нелинейного члена имеет свободный член, зависящий от координаты х и временя Го. С помощью используемых в диссертации методов получено приближенное аналитическое решение этого уравнения, которое имеет вид

Т(Х1Го)«Тст+ АТ[о.ег5£АТ (С хр(-2,5й»)-л) ♦

1,*5(|-г5^ТегРо)] ехр(г,5ГоХ*-хг).

(30)

Благодаря простоте полученного решения можно сделать второй шаг итерации. Для этого соотношение (30) вновь подставляется в нелинейный член исходного нелинейного уравнения. Вновь получим линейное дифференциальное уравнение с источником теплоты, зависящим от координаты и времени. Решение этого уравнения будет более точным приближением к решению исходной нелинейной задачи. Таким же путем можно сделать и третий шаг итерации. Как показали исследования, процесс итераций в данном случае сходится.

Впервые такой метод решения для полупространства был применен О.Виденбургом, который использовал точное аналитическое решение соответствующей линейной задачи для замены температуры нелинейного члена дифференциального уравнения. Однако ввиду сложности точного аналитического решения линейной задачи, выражение для решения нелинейной задачи получается настолько сложным, что нахождение второго и последующего приближений оказывается затруднительным. Более простое решение для полупространства, основанное на идее О.Виденбурга, а также путем совместного использования интегральных преобразований Лапласа и вариационных методов получено П.В.Цоем.

Используя решение (30) для одной конкретной нелинейной задачи теплопроводности, построены графики зависимостей чисел Фурье нелинейной и соответствующей линейной задач для различных значений величин р и Н=Тст/Т„ 1(рис..7).|Их построение осуществлялось следующим образом. Каждому значению числа Фурье нелинейной задачи находилось такое числ Фурье соответствующей (при тех же граничных условиях) линейной задачи, чтобы их температуры совпадали. На основе полученных графиков при использовании некоторых положений теории подобия можно найти решение любой другой нелинейной задачи (при линейной зависимости А от температуры) при любой модификации исходных данных. Таким образом, линейная модель нелинейной задачи оказывается построенной в виде уравнения (2.9) со свободным членом п -ой итерации и графиков рис.7, определяющих решение любой кошфетной нелинейной задачи. Аналогичные графики могут быть построены и для других нелинейных уравнений и граничных условий, причем, с учетом изменения от температуры не только коэффициента теплопроводности А , но произведения теплоемкости и плотности ср .

7. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОЛУЧЕНИЯ ВИХРЕВОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ

При использовании рассмотренных выше методов решения краевых задач для многослойных конструкций в диссертации приводятся решения

Риг 7 Графики зависимостей чисел Фурье линейной и нелинейной зала® 1-р = 0.001; Z-fi - 0.0075; 3-g ~ 0,01 4-0 - 0.03; 3-/Î « 0.05; 6-/Î - 0.07; 7-/Î - 0.1; 6-ft • 0.15. 9-ft = 0.3; 10-^î - 0.5.

задач теплопроводности с источниками теплоты, вызывавшими изменение температуры на границе по гармоническому закону. Используя эти ре-тения, были получены вихревые температурные поля и тепловые потоки. В частности, было показано, что при вращении до окружности цилиндра источника теплоты таким образом, чтобы в каждой точке окруяаоотя температура стенки изменялась во времени по гармоническому закону, внутри цилиндра будут возникать два вихревых тепловых потока, потенциалы поля в которых движутся в противоположных направлениях (см. рис.8). Вихревые потоки возникают при выравнивании максимумов (вершины синусоид) и минимумов (впадины синусоид) потенциалов температурного поля (рассматривается квазистационарный режим, т.е.Ко-»^).

Рис.8. Схема получения вихревого температурного поля. I-орбита источника; 2- направление вращения источника; 3-вихревые линии движения максимумов и минимумов потенциалов.

с

На рис.9 дано распределение изотерм для случая, когда источник теплоты делает один полный оборот по окружности вращения в прел положении, что тепловая волна к этому моменту времени достигает цен тра цилиндра 0', где происходит затухание температурных колебаний. Ввиду того, что тепловой поток имеет направление, перпендикулярное изотермическим линиям, то форму спирали будут иметь лишь линии теплового потока, по которым двинутся потенциалы максимумов и минимумов температурного поля при его гармоническом колебании (см.кривую 3 на рис.9).

Анализируя температурное поле можно заключить, что все изотер мы начинаются и!заканчиваются на границе. Изотерма нулевой температуры состоит из (двух вихревых линий, соединяющихся в центре Щ5линдг ра. Эти линии полностью совпадают, если одну из них повернуть относительно центра окружности на 180°.

Распределение вихревых тепловых потоков (рис.8) и изотерм(рис. было получено на основе решения соответствующей задачи теплопроводности с изменяющимися во времени (по гармоническому закону) 1ранич-ными условиями 1-го рода. В результате исследований было показано,

что вихревые линии при определенных допущениях совладают с архимедов;. вой спиралью. Уравнение для ее построения в полярной системе координат имеет вид р = аУ/Ях. , где а - шаг спирали; Т - полярный угол; р - радиус-вектор. В связи с чем, открываются возможности построения вихревых линий распределения потенциалов каких-либо физических полей (температур, концентраций.давлений и др.) при вращении источников соответствующих потенциалов по круговой орбите без привлечения сложного математического аппарата. Однако следует отметить, что при построении вихревых линий движения потенциалов любого физического поля шаг спирали а. будет переменной от р!адиуса-вектора величиной. Поэтому построение вихревых линий оказывается возможным лишь в случае, если эта зависимость будет извеотной.

В диссертации приводится пример расчета вихревого движения газа в конкретной топочной камере (камере сгорания) при вращении по ее боковой поверхности источника среди в предположении линейного закона изменения шага спирали от радиуса-вектора. Уравнение архимедовой спирали в данном случае имеет вид р - ис«р/(й>- ц0р1Р), где и0 -конечная скорость движения среды (газа); р - коэффициент;, со - угловая скорость движения источника.

Результаты расчетов вихревого движения среды в топочной камере представлены на графиках рис.10. На основе полученных результатов выданы рекомендации по созданию вихревого движения в топках парогенераторов, камерах сгорания газотурбинных и ракетных двигателей, в трубопроводах для транспортировки жидкостей и газов. Вихревое движение в данном случае не связано с конструктивными особенностями ка-мери, в которой оно осуществляется, и зависит лишь от способа переключения (вращения) источников полей потенциалов, расположенных по

Рис.9. Вихревое температурное поле в случае затухания температурных колебаний в центре. 1-направ-ление вращения источника; 2- изотермы; 3- направление тепловых потоков при выравнивании макдаумов и минимумов потенциалов температурного поля.

«

ощ>ужности вихревой камеры.

Рис.10. Результаты расчета вихревого движения среды для конкретной топочной камеры. I- горелочные устройства; 2- направление переключения горелоч-ных устройств; 3- вихревая линия движения среды.(/« = I м/с; р = 0,1;

= 6,28 /с; и = и0( 1 +рр).

Вихревые температурные поля могут возникать во многих технологических процессах, например, при обработке поверхностей цилиндрических и сферических изделий (резка,шшфование,точение и пр.) с последующим охлаждением^ При высокой амплитуде гармонических колебаний на малых расстояниях могут возникать значительные температурные градиенты, способствующие появлению больших значений температурных напряжений. Следует также иметь ввиду, что при обработке материалов в одних и тех же точках изделия за короткое время происходит частая смена режимов. Вследствие этого может наблвдаться появление дефектоЕ или снижение запасов прочности'по критериям малоцикловой усталости, зависящей от размаха температурных напряжений за цикл.

8. РАЗРАБОТКА АНАЛИТИЧЕСКОГО МЕТОДА РАСЧЕТА ТЕМПЕРАТУРНОГО СОСТОЯНИЯ СОСТАВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОШЫ

Рассмотренные выше методы получения приближенных аналитически решений, когда искомое решение благодаря особой конструкции координатных функций точно удовлетворяет граничным условиям и условиям сопряжения, наиболее эффективны для областей классической формы. Для тел произвольной конфигурации эти методы не получили распространения в основном из-з& трудностей построения систем координатных функций, удовлетворяющих'граничным условиям произвольного контура. Для реше-4 ния этих задач большое распространение получили численные методы (дд температурных задач) и методы конечных элементов (для задач термоупругости). Эти методы позволяют получать хорошо обусловленные матриц! коэффициентов систем алгебраических линейных уравнений ввиду того, что эти матрицы являются положительно определенными, сильно разреже* ними ленточного типа, симметричными относительно главной диагонали.

В то же время приближенные аналитические методы, как правило, приводят к плохо обусловленным матрицам. В связи с чем, весьма актуальйой является проблема разработки методов, объединяющих эти два важнейших аппарата прикладной математики с целью улучшения обусловленности матриц приусловии получения решения в аналитическом виде.

В настоящей работе с этой целью применяется метод двумерной сплайн-аппроксимации [II] .основная идея которого заключается в следующем. Исследуемая произвольная область разбивается на 7, элемент. . тов произвольной формы. Аналитическое решение разыскивается в таком виде, что оно благодаря особой конструкции координатных функций точно удовлетворяет основному дифференциальному уравнению. Неизвестные коэффициенты решения находятся из выполнения граничных условий и условий сопряжения медцу элементами.

Основную идею метода более подробно рассмотрим на примере решения двумерной задачи теплопроводности в следующей математической по-

с тановке _

(¡-=¿,2);

Решение задачи (31)-(33) разыскивается в виде н __

(9/0-Ео-к1 4*1(7,5); ('«■-*■ г),

где - неизвестные коэффициенты; Я"*;. ( , §) - гармонические координатные функции (сплайн-функции). Соотношение (34) точно удовлетворяет уравнению (31). Коэффициенты О-и находятся из выполнения граничных условий и условий сопряжения (32),(33). Для их определения получим систему алгебраических линейных уравнений с гМ неизвестными 0-к1 . Матрица коэффициентов при неизвестных является сильно разреженной ленточного типа. Число обусловленности ее значительно меньше заполненной матрицы с таким же числом неизвестных.

Для исследования нестационарных задач совместно используются метод прямых и вариационные методы. Используя метод прямых, уравнение нестационарной теплопроводности представляется в конечных разностях по временной координате.

(ч,^), (35)

где С = 1/д Го .

На какдом шаге по времени задача решается вариационным методом

(31)

(32)

(33)

(34)

Треффтца. Решение уравнения (35) разыскивается в виде суммы двух функций, одна из которых является -частным решением неоднородного уравнения (35), вторая - общим решением соответствующего однородного урав-н ения вида

ог.^-^к (36)

Наибольшую трудность представляет нахождение общего решения уравнения (36). Это уравнение довольно часто встречается в задачах математической физики (колебания стержней, мембран , пружин; диффузия газа и др. Большой интерес представляет нахождение координатных функций, удовлет воряющих этому уравнению. Для облегчения построения таких координатных функций вводятся новые комплексные переменные вида 7. а ^ + Ц* у Уравнение (36) в комплексных переменных будет

Зга г.* 4 (37)

Уравнению (37) удовлетворяет функция

гг* +

0* (г,**) = - с°г° * |т£ [ [ сМг?(Г -

00 о О 00

„ „ С1 г'г"*1 сУ2 г"*2 ^

СО _п , _ . м— | 11— т • •

г 2г + ^

Делая обратную замену переменных, получим

о Г 1 с1 ♦

0к(7Л) = 2 Ь С +25- п+1 2.24 (п*1')(п+2)

с5 с* , 1

где ъп= ( 7 + )1

Если Еместо 2Л последовательно принимать действительную часть и коэффициент при мнимой части комплексной функции 2П , то при п =1,2,3,... будем получать функции 1 ), удовлетворяющие ура! нению (36). Например, для трех приближений и для четырех членов ряда внутри квадратных скобок эти функции будут

Ч,й.ч 1 •= ^[ 1 ■<7г+♦ 15Г5» ^ •

Рассматриваемую произвольную область также можно разбить не некоторое число элементов и применить метод двумерной сплайн-аппроксимации, описанный выше.

В диссертации приводятся также примеры построения координатных функций и для неоднородного уравнения вида (36), а также для уравнения Пуассона с переменным по координатам свободным членом (см.п.9).

9. ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМ КООРДИНАТНЫХ ФУНКЦИЙ »УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ.

НЕОДНОРОДНОМУ БИТАШОНИЧБСКСМУ УРАВНЕНИЮ

I

Математическая постановка задачи термоупругости (плоская деформация) для тел произвольной формы имеет вид

9Р(ГГ)-°- (38)

Общее решение уравнения (38) разыскивается в виде Р= + где является частным решением уравнения Пуассона

= - ЫЕ7/Ц-р), (39)

а Р» - общим решением однородного бигармонического уравнения у* р*«о.

Большую трудность для нахоздения аналитического решения представляет уравнение (39). Его решение находится следующим образом. Допустим, что температурное поле в фиксированный момент времени нестационарного процесса аппроксимировано аналитическим выражением вида Т(к,у)*!Е|с1кЧ,к (х, ч) , где - координатные функции, получаемые из комплексной функции вида 2* = х(х+1 ч)**1 ; (к = 0,1,2,...).

Решение уравнения (39) с учетом выражения для Т ( х , у ) принимается в виде ы

Уравнение (39) будет выполняться, если

к+З

Ч*к(«.У) , 1)=Х(**1У) ■

Способ определения ко.\шлексных координатных функций % ( х , У ) и 7к (*. У) основан на использовании метода неопределенных коэффициентов. Неизвестные коэффициенты Ск-через известные а.к находятся

из формулы _

с*«- а Е ак/4 (к+г)(к+3(*- п) •

В данном случае так::;е моано применять вариант метода двумерно?! сплайн-аппроксимации, изложенного выше.

10. АВТОМАТИЧЕСКОЕ РАЗБИЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНЫХ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ

Применительно к решению задач термоупругости методом конечных элементов в диссертации представлены результаты разработки метода

автоматического разбиения .произвольных односвязных и многосвязных областей [18] . Существующие методы автоматического разбиения, как правило, представляют многостадийную процедуру, включающую предварительное разбиение области на подобласти, сгущение сетки в местах пред полагаемой концентрации напряжений, многократную перенумерацию узлов с целью получения минимальной ширины ленты. В настоящей работе рассматривается метод, позволяющий уменьшить число стадий процедуры разбивки области.

Основную его. .идею рассмотрим на примере разбиения произвольной области, представленной на рис.II,12. В рассматриваемой области проводятся-так называемые секущие линии (отмечены цифрами 11... ,40, которые могут быть как прямолинейными, так и в виде кривых (рис.П). Они задаются в ЭШ координатами х и У точек, нумерация которых во всех сечениях начинается с единицы. Каждая секущая линия с помощью ЭШ автоматически разбивается на одинаковое число узловых точек, расстояния меаду которыми могут быть как одинаковыми, так и различными (на рис.12 каждая линия разбита на 7 узловых точек). Наховдеяие координат узловых точек производится посредством параболической интерполяции с использованием интерполяционных формул Ньютона

2 )= 2 (Р<д К^Ро,,)), ¿(Р!.,/)] (Рп- Ро) ♦

где р - безразмерный параметр, физический смысл которого - длина ломаной; 7. ( ^ ) - радиус-вектор узловых точек.

У

27

• *4 2$ гг

30У /\га

Г 45

•*■/ и Г> £

пУ;

V3 *\ ус* г

\и

У

ю\

V5 е

г*\

в\ 7 х-

И

Рис.П. Схема предварительного разбиения произвольной области. г'.г'з'^'-секущие линии;число точек,задаваемых в ЭШ-25 (отмечены цифрами без иддексов).

Рис.12. Схема автоматического разбиения области. Число узловыз точек -28; число элементов- 36; ширина ленты - 16.

Таким путем область разбивается на четырехугольные элементы. ' Объединение точек в треугольные элементы производится так, чтобы диагональ в четырехугольнике была короткой, Все операции по нумерации точек, объединения их в треугольные элементы, нумерации элементов производятся автоматически. Важнейшее преимущество такого способа разбиения заключается в его высокой алгоритмичности, в существенной простоте проведения таких операций, как разделение секущих линий на узловые точки, нумерация узловых точек, составление элементов и их нумерация. Весьма важным является то, что разность наибольшего и наименьшего номеров узлов, определяющая ширину ленты, оказывается одинаковой для каждого элемента и известной наперед. То есть имеется возможность устанавливать требуемую (исходя из возможностей ЭШ) ширину ленты1 Сгущение сетки регулируется расстояниями между секущими линиями и числом узловых точек, на которые разбивается каддая линия и может быть предусмотрено в любой части области.

После автоматического разбиения области задача решается методом конечных элементов. Математическая постановка задачи включает: уравнения равновесия, уравнение неразрывности, физические уравнения, геометрические уравнения,соответствующие граничные условия:.

Общая программа метода конечных элементов, имеющая гибкую модульную структуру (дана в приложениях диссертации), включает пакет из девяти прикладных подпрограмм (модулей), написанных на алгоритмическом языке Фортран 88. Программа внедрена на некоторых промышленных предприятиях страны, что подтверждается соответствующими актами о внедрении, приведенными в приложениях диссертации.

' С помощью метода конечных элементов был решен, большой крут 6а-дач по определению температурных напряжений в охлаждаемых лопатках, топливных коллекторах, воспламенителях камеры сгорания и в других элементах ГТД. В частности, на основе проведения многовариантных расчетов была разработана конструкция топливного коллектора, имеющего минимальные температурные напряжений ( не превышающие предела прочности для данного материала) на наиболее опасных его участках.

ВЫВОДЫ

1. Осуществлено решение важной научной и инженерной проблемы разработки эффективных приближенных аналитических методов расчета задач теплопроводности, конвективно-кондуктивного теплобмена и термоупругости применительно к решению важной народнохозяйственной проблемы повышения экономичности, надежности и продления сроков службы ИД.

2. Разработано новое направление решения многомерных линейных и нелинейных задач теплопроводности и термоупругости для многослой-

ных конструкций, а также задач конеективно-кондуктивного теплообмена, в основе которого левит совместное использование точных аналитических методов (Фурье, интегральных преобразований и др.) и методов взвешенных невязок (Бубнова-Галеркина, Л.В.Канторовича, наименьших квадра- -тов в др.).

3. Предложены и детально разработаны методы построения систем координатных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения применительно к решении краевых задач для многослойных конструкций,базирующиеся на совместном использовании метода неопределенных коэффициентов и локальных систем координат. В их основе лежит последовательное построение координатных функций при переходе от одного слоя к другому. При таком подходе имеется возможность удовлетворять многим особенностям краевых условий и условий сопряжения (например, учесть контактные термические сопротивления, описываемые различными формулами на различных контактах слоев) и, в то же время, получать координатные фукции максимально простой формы.

4. Применительно к разработанным методам созданы алгоритмы и пакеты прикладных программ для ЭШ, которые внедрены на ряде промышленных предприятий страны. Программы имеют гибкую модульную структуру и поэтому они удобны для составления расчетных алгоритмов большого числа различного класса краевых задач.

5. Еа основе предложенных в диссертации методов решения краевых задач разработан метод решения задач теплопроводности для многослойных конструкций путем приведения их к однослойным, позволяющий получать однослойную модель, практически эквивалентную исходной многослойной системе (образцу). Впервые было показано, что для точного соответствия образца и модели, модель должна иметь переменные во времени толщину или тешюфизические свойства. В диссертации приводится строгое математическое доказательство данного утверждения, основывающееся на законе сохранения энергии.

6. Благодаря максимальной простоте приближенных аналитических решений, полученных в диссертации, построена линейная модель нелинейной задачи теплопроводности. В основе метода лежит построение графикоз зависимостей чисел Фурье нелинейной и соответствующей линейной задач, с помощью которых можно найти решение бесчисленного множества нелинейных задач при любой модификации исходных данных, используя при этом графики точного решения линейных задач.

7. Используя приведенные в диссертации приближенные аналитические решения, разработаны теоретические основы получения вихревого температурного поля. В частности, было показано, что при Еращении источ-

ника теплоты по дуговой орбите, внутри окружности образуются вихрб-вые поля тамператур и тепловых потоков. В диссертации делается вывод о возможности распространения полученных результатов на поля потенциалов другой природы. В частности, даны рекомендации по организации вихревого движения в топках парогенераторов, камерах сгорания газо- j турбинных и ракетных двигателей, в трубопроводах для транспортиров- j ки жидкостей и газов и других устройствах. !

8. Теоретически разработан и внедрен на практике метод получе- j ния приближенных аналитических решений задач теплопроводности и тер- ! моупругости для составных и однородных тел произвольной формы, ocho- i ванный на совместном использовании теории двумерной сплайн-аппроксимации и методов конечных элементов. В данном случае имеется возмоа>-ность получать сильно разреженные ленточного типа матрицы коэффициентов систем алгебраических уравнений. Применительно к этому методу разработаны методы построения систем координатных функций, точно удовлетворяющих основному дифференциальному уравнению краевой задачи, основанные на применении теории функций комплексных переменных.

9. Теоретически разработан и внедрен в промышленности метод автоматического разбиения произвольных многосвязных областей, ориентированный на использование в методе конечных элементов, а также при расчетах температурных напряжений по формуле Биргера-Матшнина. Метод характеризуется высокой алгоритмичностью и незначительным количеством исходной информации, задаваемой в ЗБЛ.

10. На основе предложенных в диссертации методов решения краевых задач для многослойных конструкций разработаны математические модели процессов теплообмена и коксообразования применительно к топливным коллекторам газотурбинных и ракетных двигателей.

11. Разработаны математические модели теплового воспламенения для многослойных композиций твердых топлив, порохов и взрывчатых веществ при переменных во времени гранитных условиях.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1.Темников А.В.,Игонин В.И..Кудинсв В.А. Приближенные методы решения задач теплопроводности.-Учеб.пос.Куйбышев,IS82, 90 с.

2. КудиноЕ В.А.,Темников A.B. Применение метода Канторовича

к исследованию нестационарной теплопроводности при переменных коэффициентах теплопереноса.- Тез.Всесоюз.науч.-тех.конф."Методы и средства машинной диагностики газотурбинных двигателей и их элементов", т.2, Харьков, i960.

3. Кудинов В.А. ,Емец Б.В. Исследование нестационарных сопряжен пых задач теплообмена с переменными по координатам и во времени уело виям однозначности.- Тез.Всесоюз.науч.-тех.конф."Развитие машинных методов и средств решения краевых задач", Донецк, 1983.

4. Кудинов В.А. и др. Совместное применение метода разделения переменных и вариационных методов для решения нестационарных контакт ных задач теплопроводности.- В сб.'Моделирование и оптимизация процессов теплообмена в теплоэнергетике", Куйбышев, КПтИ, 1985. С.46-53

5. Кудинов В.А. Способ построения координатных систем при решении задач нестационарной теплопроводности для многослойной пластины,- Известия АН СССР. Энергетика и транспорт, 1986, й 5;С.150-154.

6. Кудинов В.А. Об одном методе решении нестационарных задач теплопроводности для многослойных тел.- ИМ,1986, т. и . С.162-163.

7. Темников А.В.,Кудинов В.А. Применение вариационных методов Канторовича и Спэрроу к исследованию задач термоупругости.- Тез.докл Всесоюз.конф. "Повышение долговечности и надежности машин и приборов - Куйбышев, 1981. С.365-366.

8. Кудинов В.А.,Росляков А.Д. Построение координатных систем при решении задач теплопроводности для многослойных конструкций.-Изв.вузов СССР. Авиационная техника, 1986, Л 3. С. 66-69.

9. Кудинов В.А. и др. Приближенные решения задач теплопроводности для многослойных конструкций при переменных ео времени граничных условиях.-ИФЖ, 1986, т.1. XI. С. 162-163.

10. Кудинов В.А. Приближенные решения нестационарных сопряженных задач теплообмена при ламинарном течении жидкостей в каналах.-ИФЖ, 1986, т.51. *5. С. 795-801.

11. Кудинов В.А. Использование двумерной сплайн-аппроксимации для решения краевых задач.- Изв.вузов СССР. Энергетика, 1987, Л 2. С.78-83.

12. Кудинов В.А. и др. Приближенные методы решения задач теплопроводности и термоупругости для многослойных конструкций.- Тез.Все-союз.совещ."Аналитические методы расчета процессов тепло-и массопе-реноса", 1986. Душанбе. С.19-20.

13. Кудинов В.А. Автоматическое задание информации в методе конечных элементов.- Тез.докл.Всесоюз.семинара "Обратные задачи и идентификация процессов теплообмена", Москва,МЭИ, 1987.

14. Кудинов В.А..Росляков А.Д. Приближенный расчет теплообмена при турбулентном течении лавдкости.- В сб."Теплофизика и оптимизация тепловых процесов", Куйбышев, 1987.

15. Кудинов В.А. и др. Ленточный способ автоматического раз-

биения произвольной области при расчете температурных напряжений.-Изв.вузов. Авиационная техника, Н 3,1989. С.98-101.

16. Кудинов В.А..Росляков А.Д. Приближенные методы решения нестационарных задач теплопроводности для многослойных конструкций.-Изв.вузов СССР. Энергетика, 1987, Л 12. С. 63-67.

17. Кудинов В.А. и др. Приближенные решения нелинейных задач нестационарной теплопроводности для многослойных тел.- Изв.вузов

I СССР. Авиационная техника, Л 4, 1988. С.68-72. »

18. Кудинов В.А. и др. Автоматическое построение сетки в двумерной области произвольной формы.- Проблемы прочности, Л 10,1988. С.120.

19. Кудинов В.А. Приближенное решение нелинейной задачи теплопроводности для многослойной пластины. - Теплофизика высоких температур, т.26, вып.5: 1988. С.1035.

20. Кудинов В.А. и др. Приближенное решение нестационарных за. дач теплопроводности для многослойных тел с переменными свойствами.

ИФЖ, т.56, Л I, 1989. С.150-151.

21. Кудинов В.А. и др. Метод эквивалентных сопротивлений в задачах теплопроводности для многослойных тел. ИФК, т.56, 11 I, 1969. С.151-152.

22. Кудинов В.А. и др. Теплопроводность в многослойной стенке трубы при переменных коэффициентах теплоотдачи. ИФЖ, т.Л I, 1989. С.152.

23. Кудинов В.А. и др. Расчет температурных полей в многослойных конструкциях методом приведения к однослойным;- Изв.вузов СССР. Энергетика.-Минск, 1989, Деп.(44705-689.

24. Кудинов В.А. и др. Приближенные решения .двумерных задач нестационарной теплопроводности для многослойных конструкций.- 1Ш, •т.61,» 2, 1991. С.329.

25. Кудинов В.А. и др.Аналитические решения нестационарных трехмерных задач теплопроводности для многослойных тел. Изв.АН СССР. Энергетика и транспорт, 1992, № 3. С. 151-157.

26. Кудинов В.А. и др. Некоторые рекомендации по предотвращению кипения топлива в воспламенителях камеры сгорания ГТД. - Изв. вузов СССР. Авиационная техника. У% 4, 1992. С.96-100.

27. Кудинов В.А. и др. Методы БубноЕа-Галеркина и конечных элементов в расчетах трехмерных задач теплопроводности для многослойных конструкций.- Изв.вузов СССР. Энергетика, И 5-6,1992.

С.81-84.

28. Кудинов В.А. Метод сведения задач теплопроводности для многослойных конструкций к однослойным.- Изв.РАН.Энергетика, 1993,№ 3. С. 135-142.

29. Кудинов В.А. и др. Методы конечных элементов и наименьших квадратов в задачах теплопроводности для многослойных конструкций.-ИФЖ, т.66, й 5. 1994. С.634-635.

30. Кудинов В.А..Кудинов A.A. Теплообмен в многослойных конструкциях. Инженерные методы.- Саратов:Изд-во Сарат.ун-та, 1992.136 с.

31. Кудинов В.А..Салманов А.Н..Лаптев Н.И. Идентификация теплового источника по известному вихревому температурному полю.- Труды второй международной конференции "Идентификация динамических систем и обратные задачи." - Санкт-Петербург, т.2, 1994.

32. Кудинов В.А. Теоретические основы получения вихревого температурного поля.- Труды Первой Российской национальной конференции по теплообмену.- Москва, т.Х (часть 2), 1994. C.I4-I9.

33. Кудинов В.А. и др. Метод получения однослойных моделей для многослойных конструкций.- Труды Первой Российской национальной конференции по теплообмену. - Москва, т. X (часть 2), 1994. С.20-24.

34. Кудинов В.А. и др. Решение нелинейных задач теплопроводности путем построения линейных моделей. Изв.РАН. Энергетика, 1995,

Л 2. С. 96-100.