автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процессов теплопроводности и термоупругости с переменными свойствами среды численно-аналитическими методами

На правах рукописи

Котова Евгения Валериевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ТЕРМОУПРУГОСТИ

С ПЕРЕМЕННЫМИ СВОЙСТВАМИ СРЕДЫ ЧИСЛЕННО - АНАЛИТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Самара 2013

10 ОКТ 2013

005534807

Работа выполнена в Федеральном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Самарский государственный технический университет» на кафедре «Теоретические основы теплотехники и гидромеханика»

доцент Стефанюк

Научный руководитель

- доктор технических наук, Екатерина Васильевна

Официальные оппоненты

- доктор физико - математических наук, профессор Жданов Александр Иванович ФГБОУ ВПО «СамГТУ», декан ФДДО

доктор технических наук, профессор Клюев Николай Ильич ФГБОУ ВПО «СамГУ» заведующий кафедрой «Математическое моделирование в механике»

Ведущая организация - ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный

технический университет», г. Ульяновск

Защита состоится 22 октября 2013 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 212.217.03 ФГБОУ ВПО «СамГТУ» по адресу: 443100, г.Самара, ул. Галактионовская, 141, корп. №6, ауд. 33.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного технического университета по адресу: 443100, г.Самара, ул. Первомайская, 18, корп. №1.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью, просим направлять по адресу: 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244, Главный корпус СамГТУ, ученому секретарю диссертационного совета Д 212.217.03; факс (846)278 - 44 -00 zoteev-ve@mail.ru.

Автореферат разослан сентября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук

В. Е. Зотеев

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Возможности математического моделирования в области тепломассопереноса и термоупругости в настоящее время ограничиваются практическим отсутствием точных аналитических методов решения нелинейных краевых задач, а также задач с переменными физическими свойствами среды, включая многослойные конструкции.

Одним из перспективных направлений математического моделирования краевых задач теплопереноса и термоупругости является совместное использование точных (Фурье, интегральных преобразований и др.) и приближенных (вариационных, ортогональных методов Л.В. Канторовича и Бубнова - Галеркина и др.) аналитических методов. Например, данное направление исследований позволило впервые получить замкнутые аналитические решения краевых задач теплопроводности и термоупругости для многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды.

В аналитической теории теплопроводности известны методы, в которых используется понятие глубины термического слоя (фронта температурного возмущения), представляющие собой одну из разновидностей совместного использования точных и приближенных аналитических методов. При их использовании решение краевой задачи представляется в виде решений двух взаимосвязанных задач, каждая из которых характеризует процесс теплообмена лишь в определенном диапазоне времени. Такой подход позволяет с помощью достаточно простых математических выражений, представляющих численно - аналитические решения каждой из этих задач, получать достоверную информацию о температурном состоянии конструкции практически во всем диапазоне времени нестационарного процесса, включая малые и сверхмалые его значения. При введении используемых в настоящей работе дополнительных граничных условий, с целью как можно более точного выполнения основного дифференциального уравнения, возникает необходимость решения цепочных систем алгебраических линейных уравнений. В связи с чем, получаемые таким путем решения классифицируются как численно - аналитические.

Настоящая работа посвящена развитию этих методов применительно к решению нелинейных краевых задач теплопроводности и термоупругости для многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды и других задач.

Цель диссертационной работы состоит в математическом моделировании процессов теплопроводности и термоупругости для однослойных и многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды на основе разработанных в диссертации эффективных численно — аналитических методов решения краевых задач с использованием интегральных методов теплового баланса, ортогональных методов Л.В. Канторовича и Бубнова - Галеркина, теории обобщенных функций, метода разделения переменных и других методов.

Для достижения указанной цели решались следующие задачи.

1. Разработка и развитие метода получения приближенных численно-аналитических решений краевых задач теплопроводности и термоупругости для многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды путем

представления их в виде однослойных с разрывными (кусочно - неоднородными) свойствами.

2. Развитие численно - аналитических методов, основанных на определении фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий применительно к решению задач теплопроводности с переменными физическими свойствами среды и внутренними источниками теплоты.

3. Получение численно - аналитических решений нелинейных задач теплопроводности на основе использования интегрального метода теплового баланса.

4. Построение систем базисных координатных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения, применительно к решению задач теплопроводности и термоупругости для многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами.

5. Теоретическая разработка метода идентификации коэффициентов теплоотдачи и толщины отложений на внутренних поверхностях труб путем решения обратных задач теплопроводности на основе использования полученных в диссертации аналитических и численно - аналитических решений прямых задач.

Научная новизна диссертационной работы.

1. На основе определения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий разработан метод получения численно-аналитических решений задач теплопроводности с переменными физическими свойствами среды, позволяющий, в отличие от существующих методов, получать решения с заданной степенью точности во всем диапазоне времени нестационарного процесса, в том числе, и для сверхмалых значений временной переменной.

2. Используя предложенный в диссертации численно-аналитический метод решения задач теплопроводности с переменными физическими свойствами среды, впервые получены решения нелинейных задач теплопроводности при различных зависимостях теплофизических свойств от температуры, позволяющие определять значения температур с заданной степенью точности.

3. Применительно к решению задач теплопроводности и термоупругости для многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды разработан метод построения систем базисных координатных функций, в любом приближении точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения, позволяющих моделировать многослойную конструкцию в виде однослойной с кусочно-неоднородными свойствами среды.

4. На основе интегрального метода теплового баланса с использованием математической теории обобщенных функций разработан метод решения нестационарных задач теплопроводности для многослойных конструкций, позволяющий, в отличие от известных методов, получать численно-аналитические решения для сверхмалых значений времени.

5. Посредством введения дополнительных граничных условий в интегральном методе теплового баланса впервые получены численно-аналитические решения задач теплопроводности с переменными физическими свойствами среды и внутренними источниками теплоты, позволяющие получать приближенные аналитические решения во всем диапазоне времени нестационарного процесса.

На защиту выносятся следующие результаты диссертации.

1. Численно-аналитические решения нелинейных задач теплопроводности, а также задач с переменными физическими свойствами среды, полученные на основе введения

фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий; оценки сходимости и погрешности решений.

2. Системы координатных функций, в любом приближении точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения, применительно к решению задач теплопроводности и термоупругости для многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды.

3. Метод решения нестационарных задач теплопроводности для многослойных конструкций, основанный на использовании теории обобщенных функций и дополнительных граничных условий.

4. Математические модели процессов теплопроводности и термоупругости для однослойных и многослойных тел в виде новых численно-аналитических решений применительно к задачам, для которых аналитические решения в настоящее время не получены.

5. Комплекс программ позволяющий производить расчет нестационарного одномерного температурного поля с учетом зависимости теплофизических свойств среды от температуры.

6. Результаты разработки метода решения обратных задач теплопроводности по идентификации коэффициентов теплоотдачи и толщины отложений па внутренних поверхностях труб на основе использования полученных в диссертации численно-аналитических решений прямых задач.

Достоверность результатов работы. Достоверность полученных автором диссертации решений подтверждается соответствием математических моделей реальным физическим процессам, протекающим в конкретных энергетических установках, сравнением полученных в диссертации результатов с точными аналитическими решениями, в частных случаях, с приближенными аналитическими решениями, полученными другими авторами, а также с решениями, найденными численными методами.

Практическая значимость работы.

1. Разработанные в диссертации методы, полученные аналитические и численные решения были использованы при создании компьютерных моделей для теплосетей Самарской ТЭЦ, Безымянской ТЭЦ г. Самары, теплосети и циркуляционной системы Новокуйбышевской ТЭЦ - 1 (акты о внедрении результатов работы приведены в приложениях диссертации).

2. Применяя полученные в диссертации аналитические решения для многослойных конструкций, путем решения обратных задач теплопроводности выполнены расчеты по определению начала и продолжительности пленочного кипения на стенках многослойных топливных коллекторов газотурбинных двигателей, а также толщины отложений на внутренних поверхностях трубопроводов.

3. Используя полученное в диссертации аналитическое решение задачи теплопроводности с импульсным (гармоническим) изменением теплового потока, проведены исследования процессов прогрева и воспламенения взрывчатых веществ при воздействии на них коротких импульсов потока лазерного излучения.

Связь диссертационной работы с планами научных исследований. Представленная работа является обобщением теоретических и экспериментальных исследований, выполненных автором в Самарском государственном техническом университете. Исследования проводились по планам госбюджетных тематик Минвуза РФ №1.21.11 (01.01.2009 - 31.12.2012 гг.).

Экономический эффект от внедрения результатов работы, подтвержденный актами о внедрении, приведенными в приложениях диссертации, составляет 4940000 рублей.

Апробация работы. Основные результаты работы были доложены и обсуждены на XIV Международной научно - практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии» (г. Томск, 2009); 14-ой Международной науч.- тех. конференции студентов и аспирантов ( г. Москва, 2008); Седьмой Международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (г. Ульяновск, 2009); Шестой, Седьмой, Восьмой и Девятой Всероссийских научных конференциях с международными участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2009 - 2013 гг.); 17-ой Международной науч.- тех. конференции студентов и аспирантов (г. Москва, 2011); Третьей международной конференции «Математическая физика и ее приложения» (г. Самара 2012), Одиннадцатой Международной научно - практической конференции «Компьютерные технологии в науке, практике и образовании» (KT - 2012), на научном семинаре «Механика и прикладная математика» Самарского государственного технического университета (рук. проф. Радченко В.П., 2013 г.)

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 29 печатных работах, из них 8 статей в рецензируемых журналах из перечня ВАК, напечатано 1 учебное пособие.

Личный вклад автора. В работах [1 - 4, 6,12,16] диссертанту принадлежит участие в постановках проблем исследований, непосредственное выполнение расчетной работы. В работах [5,7 - 11,13 - 15, 17 - 29] диссертанту в равной степени с другими авторами принадлежат постановки задач, получение решений и анализ результатов работы.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, выводов, списка используемой литературы, приложений; изложена на 147 страницах основного машинописного текста и 30 страницах приложений, содержит 39 рисунков. Список использованной литературы включает 90 наименований.

В первой главе диссертации представлен обзор и анализ известных работ по избранному направлению исследований. И, в частности, было отмечено, что точные аналитические решения выражаются громоздкими бесконечными функциональными рядами, плохо сходящимися в области малых значений временной и пространственной координат. Исследования позволяют заключить, что сходимость точного аналитического решения задачи теплопроводности для бесконечной пластины при граничных условиях первого рода в диапазоне чисел Фурье 10"12 < Fo < 10"' наблюдается лишь при использовании от 2000 (Fo = 10~7) до пятисот тысяч (Fo = 10~'2) членов ряда. В то же время, исследование динамики теплового процесса при временах микросекундной длительности для ряда технических процессов является исключительно важной проблемой.

В связи с этим, большой интерес представляют приближенные численно-аналитические методы, позволяющие получать решения, хотя и приближенные, но в аналитическом виде, с точностью, во многих случаях достаточной для инженерных приложений. Решению этих проблем посвящены работы Л.В. Канторовича, П.В. Цоя, Н.М. Беляева, A.A. Рядно, Ю.Т. Глазунова, А.И. Вейника, М. Био, Т. Гудмена, М.Е. Швеца, В.А. Ковалева, Ю.Н. Радаева, Л.И. Кудряшова, Е.В. Стефанюк и других авторов.

Приближенные аналитические методы могут быть разделены на две группы: вариационные (Ритца, Треффтца, Л.В. Канторовича, М. Био и др.) и методы взвешенных

невязок (Бубнова-Галеркина, коллокаций, наименьших квадратов, интегральные методы и др.).

Получило также распространение направление исследований, в котором точные и приближенные методы используются совместно: метод Фурье и вариационные методы; Фурье и Бубнова-Галеркина; методы интегральных преобразований и вариационные методы (или методы взвешенных невязок и др.).

Несмотря на определенный прогресс, достигнутый в области получения приближенных решений многих сложных краевых задач математической физики, существуют многие пока ещё не решенные проблемы, к числу которых относятся следующие:

1. Проблема получения решений при малых значениях временной и пространственной координат. Основное требование приближенных аналитических методов, связанное с увеличением числа приближений, приводит к необходимости решения больших систем алгебраических уравнений с плохо обусловленными матрицами.

2. В ряде приближенных методов (ортогональные методы взвешенных невязок, интегральные методы и др.) при большом числе приближений вместо системы алгебраических линейных уравнений получаются алгебраические (характеристические) уравнения высоких степеней, решения которых, если они возможны вообще, приводят к низкой точности определения их корней (собственных чисел).

3. При использовании интегральных уравнений (Фредгольма, Вольтерра, интеграла теплового баланса и др.) низкая точность получаемых решений связана с осреднением исходных дифференциальных уравнений краевой задачи при их сведении к соответствующим интегральным уравнениям. Разрешению этой проблемы в значительной степени способствуют дополнительные граничные условия, используемые в настоящей работе.

Во второй главе диссертации рассматриваются краевые задачи теплопроводности для бесконечной пластины с переменными по пространственной координате физическими свойствами среды. В диссертации разработан метод получения численно-аналитических решений указанных задач, основанный на использовании дополнительных граничных условий. При этом развиваются два направления использования дополнительных граничных условий. Первое основывается на совместном использовании метода Фурье и ортогонального метода Бубнова - Галёркина. Второе связано с определением фронта температурного возмущения, на основе которого решение исходной краевой задачи разделяется на два этапа по времени.

Эффективность каждого из этих направлений рассмотрим на примере решения следующей краевой задачи:

Э Т(х,1) _ Э Эх дх

(т>0, 0 < х < 5); (1)

дх

Т(х,0) - Г0; (2) ЭГ(0,т)/Эд: = 0; (3) Г(5,т) = Г, (4)

где Г-температура; х-координата; х-время; с-теплоемкость; р-плотность; Я.(х)-переменный по пространственной координате коэффициент теплопроводности. 5-толщина пластины; Г0 - начальная температура; Та -температура стенки при х = 5.

Найдем решение задачи (1) - (4) при линейной зависимости коэффициента теплопроводности от координаты х вида Л.(х) = Я,0(1 + »гх), где \ -величина коэффициента теплопроводности при х = 0; т-коэффициент, характеризующий интенсивность изменения коэффициента теплопроводности от координаты х.

Задача (1) - (4) в безразмерных переменных записывается в виде

_ э

ЭРо Э^

(Ро>0, 0<4<1); (5)

0&О) = 1; (6) Э0(О,Ро)/Э!; = О; (7) 0(1,Ро) = О, (8)

где 0 = (Г — ГСТ)/(Г0 — Гст); $ = Ро = ат/52; у = ш5. (9)

Разделяя переменные в задаче (5) - (8), приняв Ро) = ср(Ро)у(2;), находим

сЛр(Ро) / ¿/Ро + Цф(Ро) — 0; (10) 4

+ = (11)

^(0)/^ = 0; (12) ¥(1) = 0, (13)

где ц - некоторая постоянная.

Решение уравнения (10) известно и имеет вид

ср(Ро) = А ехр(-рРо). (14)

Решение краевой задачи Штурма - Лиувилля (11) - (13) разыскивается в виде ряда

(15>

¡=0

где а.(р.) - неизвестные коэффициенты; - координатные функции.

Неизвестные коэффициенты а, находятся из граничных условий (12), (13). Ввиду того что число коэффициентов а, (/ = 1, п) может быть больше двух, возникает необходимость использования дополнительных граничных условий. Для их нахождения используется уравнение (11). Записывая это уравнение и производные от него различного порядка применительно к точке ^ = 0, можно получить какое угодно число дополнительных граничных условий. Например, первые четыре такие условия имеют вид

г/"(0) = -ц; У(0) = 2\\1; у'" (0) = -6У2Ц + ¡г; у^ (0) = 24У1 - бцЧ*. (16)

Подставляя (15) в основные (12), (13) и дополнительные (16) граничные условия, относительно неизвестных коэффициентов а(йх)(< =0, п) получаем цепочную систему алгебраических линейных уравнений, из которой коэффициенты а, (ц) легко находятся для любого числа приближений.

После определения коэффициентов а (р.) и подстановки их в (15) составляется интеграл взвешенной невязки уравнения (11), из которого относительно собственных чисел получаем степенное алгебраическое (характеристическое) уравнение, степень которого равна принятому в задаче числу приближений т. После определения из решения этого уравнения собственных чисел (к = 1, т) приближенное аналитическое решение задачи (5) - (8) записывается в виде

А ехр(""Ц*р°) • 2 а, (м* 1 > (П)

¿=0 J

где неизвестные коэффициенты Ак находятся из начального условия (6). Для этого составляется его невязка и требуется ортогональность невязки ко всем собственным функциям В итоге для определения коэффициентов А1с получаем систему

алгебраических линейных уравнений, число которых равно числу приближений.

Анализ результатов расчетов по формуле (17) во втором приближении (/я = 2) в сравнении с решением, полученным в работах Е.В. Стефанюк1, позволяет заключить,

1 Стефанюк, Е.В. Дополнительные граничные условия в краевых задачах теплопроводности^Е.В. Стефанюк - Самара. Самар. гос. техн. ун-т, 2008.212 с. 8

что в диапазоне числа Фурье 0,088 <Ро<~ их расхождение не превышает 2%. Для повышения точности решения необходимо увеличивать число членов ряда (17).

Рассмотренный выше метод наиболее эффективен в диапазоне чисел Фурье 0,001 <Ро<~>. Для получения решений при меньших значениях времени необходимо значительно увеличивать число приближений (число членов ряда (17)). Однако в этом случае возникают трудности решения алгебраических уравнений высоких степеней относительно собственных чисел краевой задачи.

Для получения решений при малых и сверхмалых значениях времени в диссертации применен метод, основанный на введении фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий (относится к группе интегральных методов теплового баланса). Основную идею метода рассмотрим на примере решения краевой задачи теплопроводности для бесконечной пластины при экспоненциальной зависимости коэффициента теплопроводности от пространственной переменной Л(х) = ехр(-тх). Математическая постановка задачи при симметричных граничных условиях первого рода в данном случае имеет вид

эе(5,Ро)_ э ЭРо

в(§,0) = 0; (19)

е

Т-Т„ „ ал .. * г х

^,Э0(|Ро) . (ро>()) 0< (18)

30(О,Ро)/Э^ = О; (20) в(1,Ро) = 1, (21)

где 8=^—^.; Ро = ^; У = т5; $ =

т<*-т„ 5 5 ^

Посредством введения движущейся во времени границы (фронта температурного возмущения) исходная область разделяется на две подобласти: прогретую

О^^СРо) и непрогретую ^.(Ро) < ^ < 1, где д,(Ро)-функция, определяющая закономерность продвижения подвижной границы по координате £, во времени Ро. Соответственно этому процесс нагрева разделяется на две стадии во времени 0< Ро < Ро, и Ро, ^Ро < °°, где Ро,-время достижения подвижной границей координаты ¡; = 1 (рис. 1).

После того как фронт температурного возмущения достигает координаты ^ = 1, первая стадия теплообмена заканчивается (понятие фронта температурного возмущения теряет смысл), и начинается вторая стадия, когда теплообмен происходит по всей толщине пластины. Здесь в рассмотрение вводится новая дополнительная искомая функция д2(Ро) = 0(1,Ро), характеризующая изменение температуры во времени в точке £ = 1.

Математическая постановка задачи для первой стадии процесса после введения новой независимой переменной ^ = 1-р приводится к виду

Э©(р,Ро) _ Э

I ЭО(р,Ро) Эр .

Л (0<Ро<Ро1, 0<P<<MFO)); (22)

ЭРо др

в(0,Ро) = 1; (23) в(д„Го) = 0; (24) Э0(9„Ро)/Эр = 0. (25) Решение задачи (22) - (25) принимается в виде

Э(р,Ро) = £в4(*,)р', (26)

4-0

где неизвестные коэффициенты оД^) (к = 0,1, 2) в первом приближении находятся из граничных условий (23) - (25). Соотношение (26) после их определения принимает вид

в(р,Ео) = (1-р/9,)\ (27)

Подставляя (27) в (22) и интегрируя полученное соотношение в пределах толщины термического слоя, относительно неизвестной функции qí (Ро) приходим к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению

д^/= бехр(-у). (28)

Интегрируя уравнение (28), при начальном условии ^,(0) = 0 находим

<?,(Ро) = 2Л/ЗЕоехр\' / ехр V. (29)

Соотношения (26), (29) представляют решение задачи (22) - (25) в первом приближении. Для повышения точности необходимо увеличивать число членов ряда (26). Появляющиеся при этом дополнительные неизвестные коэффициенты находятся из дополнительных граничных условий, определяемых с использованием заданных граничных условий (23) - (25) и дифференциального уравнения (22). Отметим, что в каждом последующем приближении вводится три новых дополнительных граничных условия. Общие формулы для них при любом числе приближений имеют вид

Э'0(О,Ро)/Эр'=О; Э'в(<7,,Бо)/Эр' = 0; Э'>,0(?1,Ро)/Эр'>1 =0, (/ = 2,4,6,...) (30) где / - число приближений.

Найдем решение задачи (22) - (25) во втором приближении. Формулы (30) в этом случае принимают вид

Э20(О,Ро)/Эр2 = 0; д,0(д1,¥о)/др2 =0; Э30(9„Ро)/Эр3 =0. (31) Используя основные (23) - (25) и дополнительные (31) граничные условия, можно найти уже шесть неизвестных коэффициентов ак (д,) (к = 0,5) ряда (26). Для их определения будем иметь цепочную систему шести алгебраических линейных уравнений, из которой они могут быть найдены. После определения коэффициентов ак (ц,) соотношение (26) во втором приближении принимает вид

в(р.Ро)«1-|Р+54-54+|4. (32)

2?, <7, <?, 29|5 Подставляя (32) в (22) и вычисляя интеграл в пределах от р = 0 до р = ?,(Ро), относительно неизвестной функции <?,(Ро) получаем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение

= 10 ехр(-у)^о. (33)

Интегрируя уравнение (33), при начальном условии <7,(0) = 0 находим

<7,(Ро) = 2Л/5Роехру /ехру. (34)

Положив в (34) <7,(Ро,) = 1, находим время окончания первой стадии процесса во втором приближении Ро, = 0,13592 (при V = 1). Результаты расчетов перемещения фронта температурного возмущения по координате р во времени Ро позволяют заключить, что с увеличением числа приближений величина времени Ро,, при котором фронт температурного возмущения достигает координаты р = 1, уменьшается. И в пределе при п —» Ро, 0. Этот результат находится в полном соответствии с гипотезой о бесконечной скорости распространения теплоты, лежащей в основе вывода параболического уравнения (22).

Соотношения (32), (34) представляют решение задачи (22) - (25) во втором приближении. Анализ результатов расчетов по формуле (32) позволяет заключить, что во втором приближении происходит значительное уточнение решения задачи (22) — (25).

Если положить у = 0, то задача (22) - (25) сводится к задаче теплопроводности с постоянными физическими свойствами, решение которой можно сравнить с известным точным аналитическим решением. И, в частности, при V =0 было получено решение задачи (22) - (25) в первом, втором, пятом, десятом и четырнадцатом приближениях. Их анализ позволяет заключить, что в диапазоне чисел Фурье 5 • 10"' < Ро < Бо, значения температур, полученных по формуле (26), отличаются от точных их значений во втором приближении на 0,31%, в пятом на 0,03%, в седьмом на 0,002% и в четырнадцатом на 0,0004%.

Во второй главе рассмотрены также вопросы, связанные с нахождением приближенных численно-аналитических решений задач теплопроводности для многослойных конструкций. Трудности получения аналитических решений подобных задач объясняются необходимостью выполнения условий сопряжения в виде равенства температур и тепловых потоков в точках контакта слоев. В диссертации для получения аналитических решений указанных задач используются ортогональные методы взвешенных невязок. Принципиальным отличием от известных методов их решения является принятие глобальной (одинаковой для каждого слоя) системы неизвестных функций времени, что позволяет многослойную конструкцию представлять как однослойную с переменными (кусочно-однородными) физическими свойствами среды.

Применительно к решению задач теплопроводности для многослойных конструкций разработана методика построения систем координатных функций, в любом приближении точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения, независимо от числа контактирующих тел.

Основную идею метода рассмотрим на примере решения задачи теплопроводности для трехслойной пластины в следующей математической постановке:

Э0Д,Ро) _ а, Уе,(5,Ро)

ЭРо а 1 '

(Ро>о, Ы1'т'

ед,0) = 1; (36) Эв1(0,Ро)/Э^ = 0; (37) 0„(1,Ро) = О;, (38) 0,(^,Ро) = ©,,Й„Ро); (39) Х,Э0,.Й„Ро)/Э^ = ^,Э0,+1(4„Ро)/Э^; (40) где 0, =х./5; Ро = <гт/52; а - наименьший из коэффициентов

температуропроводности а, (/ = 1 ,т); т - число слоев; 5 - суммарная толщина многослойной системы; т - время.

Решение задачи (35) - (40), следуя методу Л.В. Канторовича, отыскивается в виде

ед,Ро)=£л(Ро)Фий) (41)

I

где /4(Ро) - неизвестные функции времени; <ри(4) ~ координатные функции.

Согласно разработанному в диссертации методу координатные функции, например, для трехслойной пластины, имеют вид

|К2к _

ф„®=1- (42)

\ Кг) Л1

Составляя невязку уравнения (35) и требуя ортогональности невязки ко всем координатным функциям фи(4)> относительно неизвестных функций времени /¡(Ро)получа-ем систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

1 — Аз. ^ КГ V '

к.

Например, для двух членов ряда (41) получаем

где Ь,, Ь2, Ьъ, Ь,, /,, /2, ¡,, /4 - некоторые постоянные.

После определения неизвестных функций /,(Ро) и /3(Ро) из решения системы

уравнений (43) соотношение (41) принимает вид _

©Д^оМсДе"* +С2А,е*°)<?и +С203е^)ф2, ((=1,4 (44)

где С,, С2 - константы интегрирования, определяемые из начального условия (36); А,, А, - некоторые константы; г„ гг — собственные числа.

Для оценки температурного состояния многослойных конструкций при сверхмалых значениях времени в диссертации разработан метод, основанный на использовании обобщенных функций. Этот метод позволяет получать аналитические решения задач теплопроводности для многослойных конструкций лишь для первой стадии нестационарного процесса (для нерегулярного режима теплообмена). Основную идею метода рассмотрим на примере решения нестационарной задачи теплопроводности для многослойной пластины в следующей математической постановке (см. рис. 2)

чЭ©^х)1 (т>0>05х2 ); (45)

дх J

0(О,т) = 1; (47) Э0(х„,т)/Эх = О, (48)

Эх дх

Чх)-

0(*,О)=О; (46)

где 0 = (Г-Г„)/(7^-7,о) - относительная избыточная температура; х -координата; - температура стенки при д: = 0; Т„ - начальная температура; т - время; и-число слоев; 5,-толщина 1- го слоя; Х(х) - коэффициент теплопроводности; С(х) = с(х)р(х) -объемная теплоемкость; с(х) - теплоемкость; р(х) - плотность.

Рис. 1 - Расчетная схема теплообмена

Рис. 2 — Расчетная схема теплообмена

Теплофизические характеристики и С(х) многослойного тела, представленного в виде одного слоя, с помощью асимметричной единичной функции описываются следующими зависимостями:

Х(х) = \+£{Хы-Х,)Н(х-х,У> (49) С(.г) = С, + 2(С+,-С,)Я(*-х), (50) ¿=1 ¡«1 где Н{х—х)— асимметричная единичная функция, определяемая формулой

, . ГО при х<х,;

Я(х-х,.) = | (51)

[1 при х>хг

С целью упрощения уравнения (45) введем новую независимую переменную г = г(х) соотношением

2(хНтГ\Л' (' = <>.1,2,...) (52)

где —г-г по аналогаи с (49) определяется следующим образом:

Цх)

Цх) А,, \)

Математическая постановка задачи (45) - (48) для переменной г принимает вид

0(г,О) = О; (55) 0(О,1) = 1; (56) Э0(2„,-с)/Эг = О. (57)

Очевидно, что уравнение (54) является более простым для интегрирования, чем уравнение (45).

Для получения численно-аналитического решения задачи (54) - (57) был применен рассмотренный выше метод, основанный на определении фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий.

В третьей главе диссертации рассмотрены вопросы, связанные с получением численно-аналитических решений нелинейных задач теплопроводности. В частности, используя метод, основанный на введении фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий, дана методика получения численно-аналитического решения нелинейной задачи теплопроводности (при линейной зависимости коэффициента температуропроводности от температуры а(Г)=<з0(1 + рГ)) практически с заданной степенью точности во всем диапазоне времени нестационарного процесса, включая и сверхмалые его значения.

Математическая постановка нелинейной задачи теплопроводности для первой стадии процесса имеет вид

ого ду ау

0(О,Ро) = Д Т; (59) 9(^0) = 0;~ (60) Э0(?1,Ро)/Эу = О, (61) где Д Т = - Та; Тп - температура стенки при х = 0; Г0 - начальная температура; Ро = = ат/5!; а - коэффициент температуропроводности при Т=Т0 (Гс <7^); 0 = (Г-Го);

Решение задачи (58) - (61) отыскивается в виде

ео>,Ро)=2>к (?,)/. (62)

_ *=0

где Ьк(дк) (к =0,п) — неизвестные коэффициенты, определяемые из граничных условий (59) - (61). Соотношение (62) после их нахождения принимает вид

0(^Ро) = ДГ(1-у/9|(^))2. (63)

(0<РО<РО[, 0<^<?1(Ро)); (58)

Вычисляя интеграл взвешенной невязки уравнения (58) в пределах от у = 0 до у — 1, относительно неизвестной функции (Ро) получаем следующее нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение

1^0)^2(1 + 137;) 3 ^о ?,(Ро)

Интегрируя уравнение (64), при начальном условии <?, (0) = 0 находим

9,(Ро)=Л/12(1+рг;)Ро. (65)

Соотношения (63), (65) определяют решение задачи (58) - (61) в первом приближении. Результаты расчетов в сравнении с результатами, полученными численным методом прогонки, позволяют заключить, что их расхождение составляет 5 - 6%. Для повышения точности решения необходимо увеличивать число членов ряда (62), используя при этом дополнительные граничные условия, способ получения которых указан выше.

В третьей главе диссертации приведены также решения следующих краевых задач:

- нелинейной нестационарной задачи теплопроводности при экспоненциальной зависимости коэффициента температуропроводности от температуры;

- нелинейной нестационарной задачи теплопроводности с внутренними источниками теплоты (при линейной зависимости коэффициента температуропроводности от температуры;

- стационарной нелинейной задачи теплопроводности для многослойных конструкций, при решении которой использована математическая теория обобщенных функций.

В четвертой главе диссертации рассматриваются краевые задачи термоупругости для многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды. Получение численно-аналитических решений подобных задач оказалось возможным благодаря использованию метода построения систем координатных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения, заданных в виде равенства напряжений и перемещений в точках контакта слоев.

Основную идею метода рассмотрим на примере решения задачи термоупругости для двухслойного длинного полого цилиндра {т = 2) с постоянными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды. При этом отметим, что без каких - либо изменений этот метод может быть применен и к решению задач термоупругости для многослойных конструкций с переменными свойствами. Математическая постановка задачи в безразмерном виде записывается следующим образом:

(14, 1 ¿Ю, Л „ Т а0, „ ф р ф р им ф

, „ А с^д^Т 0 "I =0 ( ^ ±г с^а^т.

.1Ф 1 Р и. 1

д.—^-ЬУ,—— 0, =0; (68)

4 Ф Р и, 21

'Ф 'р иа V Ф 2 р с/, X/( }

__0,(р3) = е2(р2), (70)

где Р,= (1 + у,)/(1 - V/); / = 1 ,т;т -число слоев.

В задаче (66) - (70) использованы следующие безразмерные переменные и параметры:

где {/, - перемещение / - того слоя; Г - температура; г - радиальная координата; £ , V,., а,, (/ = 1,2) - соответственно модуль упругости, коэффициент Пуассона, коэффициент линейного расширения; С/,, Г, аи— масштабные перемещение, температура и напряжение.

Отметим, что в задаче (66) - (70) соотношения (67), (68) обозначают равенство нулю радиальных напряжений на внутренней (г = г,) и внешней (г = /',) поверхностях цилиндра. Условия (69), (70) выражают равенство напряжений и перемещений в точке контакта слоев (г = гг).

Решение задачи (66) - (70) отыскивается в виде

«,(р)=ф,(р)+1ад>и(р); (71) <>г(р)=ф,(р)+1№Лр)' (72) к=1 к-1

где Ф|(р) = /^ + ^р + /^рг , Ф,(р) = ^4р— функции, неизвестные коэффициенты которых (/ = 1,4) определяются так, чтобы выполнялись неоднородные граничные условия (67) и (68), неоднородное условие сопряжения (69) и однородное условие сопряжения (70); Фц = В)к + Вгкр + Вгкрк, Ф24 = 1 + Вирк (к = 2, и) - координатные функции, неизвестные коэффициенты 5Л (/ = 1,4; к = 2,п) которых находятся из однородных граничных условий (67), (68) и однородных условий сопряжения (69), (70), то есть при равенстве нулю всех членов, находящихся в произведении с 0,(р) и ©2(р); дк

(к — 2,п)~ неизвестные коэффициенты (одинаковые для каждого слоя), определяемые из выполнения дифференциальных уравнений (66).

Для определения неизвестных коэффициентов (к = 2, и) составим невязки уравнений (66) и потребуем ортогональности невязок ко всем координатным функциям

Ф,* (Р) И Фа (р) = 2, я), ТО есть

1

<ЗгЬ, 1 с!Ъ. й „ Т ¿0, | , , , ар р ар р С/, ар 1

+ | "ТТ-"1"—Т^—Г-р2И2а1гз77—Н" Фу(р)Ф = 0 0=к = 2,гг). п, Ф Р Ф Р Ф 1

(73)

Подставляя (71), (72) в (73), после вычисления интегралов относительно неизвестных коэффициентов (к = 2, и) будем иметь систему и-2 алгебраических линейных уравнений. После определения из решения этой системы коэффициентов дк по известным перемещениям (71), (72) радиальные и окружные напряжения находятся из соотношений

о„. = п,£,

' Ф р им

Л>,(р) Л(р) сц.а.гТ ч Ф Р и*

/о,; (74)

/а. (/=1,2). (75)

Таким образом, используя глобальную систему неизвестных коэффициентов построены системы координатных функций, позволяющих решениями вида (71), (72) точно удовлетворить неоднородным граничным условиям и условиям сопряжения в задаче (66) - (70). Неизвестные коэффициенты находятся из выполнения уравнений. (66) путем использования ортогонального метода Бубнова - Галеркина. Для их определения необходимо решать систему алгебраических линейных уравнений вида (73), число уравнений которой равно числу неизвестных коэффициентов ^ (числу приближений). От числа неизвестных зависит точность выполнения уравнений (66).

Применительно к многослойным конструкциям с постоянными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды в диссертации получены точные аналитические решения задач термоупругости.

В пятой главе диссертации приведен алгоритм решения задач теплопроводности основе определения фронта температурного возмущения на примере решения нелинейных краевых задач. Даны основные положения используемого в работе численного метода решения задач теплопроводности, который был использован для решения нелинейной задачи при линейной зависимости коэффициента температуропроводности от температуры. Для решения указанной задачи разработан комплекс программ, приведенный в приложениях диссертации.

Основные выводы и результаты работы.

1. На основе определения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий получено численно-аналитическое решение задачи теплопроводности с переменными физическими свойствами среды, позволяющее выполнять оценку температурного состояния конструкции практически с заданной степенью точности во всем диапазоне времени нестационарного процесса, в том числе и для сверхмалых его значений.

2. Применительно к задаче теплопроводности с переменными физическими свойствами среды наиболее простое численно-аналитическое решение получено путем совместного использования метода Фурье и ортогонального метода Бубнова - Галеркина, а также дополнительных граничных условий. Этот метод наиболее эффективен во второй стадии процесса теплообмена, и, в частности, в диапазоне числа Фурье 0,01<Ро<°° получаемые численно-аналитические решения практически совпадают с точными.

3. Разработаны теоретические основы метода получения численно-аналитических решений нестационарных задач теплопроводности для многослойных конструкций (в том числе и с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды). Получение таких решений оказалось возможным благодаря использованию глобальной системы неизвестных функций времени (одинаковой для каэвдого контактирующего тела), что позволяет представлять многослойную конструкцию в виде однослойной с переменными (кусочно-неоднородными) свойствами среды.

4. Для решения задач теплопроводности для многослойных конструкций разработан рекуррентный метод построения систем координатных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения. Отличительной особенностью метода является возможность последовательного построения координатных функций для каждого слоя, начиная с последнего, при использовании метода неопределенных коэффициентов.

5. Относительно полунения решений нестационарных задач теплопроводности для многослойных конструкций для малых и сверхмалых значений временной переменной разработан численно-аналитический метод, основанный на определении фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий, а также при использовании теории обобщенных функций (асимметричная единичная функция). Использование асимметричной единичной функции позволяет представлять многослойную конструкцию в виде однослойной с переменными (кусочно-однородными) свойствами среды.

6. На основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий впервые получено численно-аналитическое решение нелинейной нестационарной задачи теплопроводности при линейной и экспоненциальной зависимостях коэффициента температуропроводности от температуры в области малых и сверхмалых значений времени. Факт получения решения в 20-ом приближении свидетельствует о возможности достижения заданной степени точности. Аналогичные решения были получены и для нелинейных задач с внутренними источниками теплоты.

7. Разработаны новые модифицированные модели краевых задач термоупругости, для многослойной конструкции с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды, основанные на представлении многослойных конструкций в виде однослойной с переменными (кусочно - неоднородными) свойствами среды.

8. Применительно к задаче термоупругости с постоянными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды разработана методика получения точных численно-аналитических решений, основанная на сведении исходной системы уравнений термоупругости, включающей уравнения равновесия, совместности деформаций, физические уравнения и др., к одному уравнению относительно искомой функции перемещения.

9. Используя полученные в диссертации численно-аналитические решения прямых задач, путем решения обратных задач для ряда конструкций найдены граничные условия теплообмена (коэффициенты теплоотдачи на внутренних поверхностях труб), толщины отдельных слоев многослойных конструкций (различного рода отложения на внутренних поверхностях энергетических установок) и другие параметры.

Список основных публикаций. В рецензируемых журналах пз перечня ВАК:

1. Кудинов, И.В. Построение приближенных аналитических решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений на основе использования дополнительных граничных условий [Текст] / И.В. Кудинов, Е.В. Стефанюк, Е.В. Ларгина (Е.В. Котова) // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Серия: Физ. - мат. науки. 2009. №1(18). С. 122-132.

2. Стефанюк, Е.В Дополнительные граничные условия в задачах теплопроводности с переменными физическими свойствами среды [Текст] / Е.В. Стефанюк, И.В. Кудинов, Е.В. Ларгина (Е.В. Котова) // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Серия: Физ. - мат. науки. 2010. №5(21). С. 291-296.

3. Кудинов, В.А. Получение аналитических решений задач теплопроводности с переменными физическими свойствами среды [Текст] / В.А. Кудинов, Е.В. Ларгина

(E.B. Котова) // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Серия: Техн. науки. 2011. №2 (30). С. 186-192.

4. Кудинов, В.А. Получение точных аналитических решений задач термоупругости для многослойных цилиндрических конструкций [Текст] / В.А. Кудинов, A.B. Еремин, Е.В. Котова // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Серия: Физ. - мат. науки. 2012. №2 (27). С. 188-191.

5. Кудинов, В.А. Ортогональные методы в задачах теплопроводности с переменными физическими свойствами среды [Текст] / В.А. Кудинов, Е.В. Котова, А.Э. Кузнецова, И.В. Кудинов // Известия вузов. Проблемы энергетики. №11 - 12, Казань, 2012. С. 49-59.

6. Кудинов, В.А. Ортогональные методы в задачах теплопроводности для многослойных конструкций [Текст] / В.А. Кудинов, Е.В. Котова, А.Э. Кузнецова, A.B. Еремин // Известия высших учебных заведений и энергетических объединений СНГ. Энергетика. № 3, Минск, 2013. С. 44-59.

7. Кудинов В.А., Кудинов И.В., Котова Е.В., Кузнецова А.Э. Обобщенные функции в задачах теплопроводности для многослойных конструкций [Текст] / В.А. Кудинов, И.В. Кудинов, Е.В. Котова, А.Э. Кузнецова // Теплофизика высоких температур, 2013, т. 51, № 5, С. 1-11.

8. Кудинов, В.А. Аналитические решения задач термоупругости для многослойных конструкций с переменными свойствами [Текст] / В.А. Кудинов, А.Э. Кузнецова, Е.В. Котова, A.B. Еремин // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Серия: Физ. - мат. науки. 2013. №1 (30). - С.215-221

В других изданиях:

9. Кудинов, И.В. Аналитический метод решения задач теплопроводности на основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий [Текст] / И.В. Кудинов, Е.В. Ларгина (Е.В. Котова) // XIV Международная научно -практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии» Т. 3. Тезисы докладов. Томск: Томский политехнический университет, 2008. С. 367-369.

10. Кудинов, И.В. Дополнительные граничные условия в нестационарных задачах теплопроводности [Текст] / И.В. Кудинов, Е.В. Стефанюк, Е.В. Ларгина (Е.В. Котова) // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика. 14-ая Международной науч. - тех. конференция студентов и аспирантов. 'Г. 3. Москва: МЭИ, 2008. С. 15-16.

11. Стефанюк, Е.В. Обобщенные функции в задачах теплопроводности для многослойных конструкций [Текст] / Е.В. Стефанюк, И.В. Кудинов, Е.В. Ларгина (Е.В. Котова) // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Серия: Математическая. 2008. №2 (8). С. 4156.

12. Стефанюк, Е.В. Математическое моделирование теплопроводности в многослойных конструкциях на основе теории обобщенных функций [Текст] / Е.В. Стефанюк, И.В. Кудинов, Е.В. Ларгина (Е.В. Котова) // Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов. Сборник трудов Седьмой Международной конференции. Ульяновск: УлГУ. 2009. С. 254.

13. Стефанюк, Е.В. Построение аналитических решений уравнений динамического и теплового пограничных слоев [Текст] / Е.В. Стефанюк, И.В. Кудинов, Е.В. Ларгина (Е.В. Котова) // Труды шестой Всероссийской научной конференции с международ-

ным участием. Ч. 2: Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами. Самара. СамГТУ. 2009. С. 187-191.

14. Аверин, Б.В. Обобщенные функции в нелинейных задачах теплопроводности для многослойных конструкций [Текст] / Б.В. Аверин, И.В. Кудинов, Е.В. Ларгина (Е.В. Котова), A.B. Еремин // Повышение энергоэффективности зданий и сооружений: межвузовский сборник научных трудов. Вып. 4. Самарск. гос. арх. - строит, ун-т. Самара. 2009. С. 45-51.

15. Кудинов, И.В. Теплообмен в плоском канале с учетом диссипации энергии [Текст] / И.В. Кудинов, Е.В. Ларгина (Е.В. Котова), A.B. Еремин, М.Н. Будыльников // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Серия: Математическая. 2009. №2 (10). С. 38-47.

16. Кудинов, И.В. Дополнительные граничные условия в задачах теплопроводности с переменными физическими свойствами среды [Текст] / И.В. Кудинов, В.В. Котов, Е.В. Ларгина (Е.В. Котова), Е.Ю. Биктагирова // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Серия: Математическая. №2 (10). 2009.48-55.

17. Стефанюк, Е.В. Аналитические решения задач теплопроводности с переменным начальным условием [Текст] / Е.В. Стефанюк, И.В. Кудинов, Е.В. Ларгина (Е.В. Котова) // Повышение энергоэффективности зданий и сооружений: межвузовский сборник научных трудов. Вып. 4/ Самарск. гос. арх. - строит, ун - т. Самара. 2009. С. 52-68.

18. Кудинов, И.В Теплообмен в плоском канале с учетом диссипации энергии при переменной вязкости среды как функции от температуры [Текст] / И.В. Кудинов, Е.В. Ларгина (Е.В. Котова), A.B. Еремин, М.Н. Будыльников // Труды седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Ч. 2: Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами. Самара: СамГТУ, 2009. С. 187-191.

19. Ларгина, Е.В. Математическое моделирование теплопроводности при переменных физических свойствах среды [Текст] / Е.В. Ларгина (Е.В. Котова), И.В. Кудинов, В.В, Котов, Е.Ю. Биктагирова//Труды седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Ч. 2: Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами. Самара: СамГТУ, 2010. С. 163-167.

20. Ларгина, Е.В. Аналитические решения задач теплопроводности для бесконечной пластины с внутренними источниками теплоты при ГУ второго рода [Текст] / Е.В. Ларгина (Е.В. Котова), В.В. Котов II Повышение энергоэффективности зданий и сооружений: межвузовский сборник научных трудов. Вып. 6. Самарск. гос. арх. — строит, ун-т. Самара, 2011. С. 93-101.

21. Кудинов, В.А. Исследование теплообмена в пластине с внутренними источниками теплоты на начальном участке временной координаты [Текст] / В.А. Кудинов, Е.В. Ларгина (Е.В. Котова), В.В. Котов, A.B. Загацкий // В сб.: Радиоэлектроника, электротехника и энергетика. Тез. докл. 17 - ой Международной науч. - тех. конференции студентов и аспирантов т. 3, Москва, МЭИ, 2011. С. 340-342.

22. Кудинов, В.А. Теплообмен в пластине с внутренними источниками теплоты при граничных условиях второго рода [Текст] / В.А. Кудинов, Е.В. Ларгина (Е.В. Котова), М.С. Тимофеев. Прикладная математика и механика: сборник научных трудов. Вып. 9, УлГТУ Ульяновск, 2011. С. 272-283.

23. Кудинов, И.В. Обобщенные функции в задачах теплопроводности для многослойных конструкций [Текст] / И.В. Кудинов, Е.В. Котова, А.Э. Кузнецова, М.С. Тимофеев // Повышение энергоэффективности зданий и сооружений: межвузовский

сборник научных трудов. Вып. 7. Самарск. гос. арх. - строит, ун-т. Самара, 2012. С. 86-102.

24. Котова Е.В., Кузнецова А.Э., Губарева К.В., Тихонова Е.Ю. Методы взвешенных невязок в задачах теплопроводности для многослойных конструкций [Текст] / Е.В. Котова, А.Э. Кузнецова, К.В. Губарева, Е.Ю. Тихонова И Повышение энергоэффективности зданий и сооружений: межвузовский сборник научных трудов. Вып. 7. Самарск. гос. арх. - строит, ун-т. Самара, 2012. С. 136-148.

25. Кузнецова, А.Э. Методы взвешенных невязок в задачах теплопроводности с переменными физическими свойствами среды [Текст] / А.Э. Кузнецова, Е.В. Котова, К.В. Губарева, А.Г. Ипатов // Повышение энергоэффективносги зданий и сооружений: межвузовский сборник научных трудов. Вып. 7. Самарск. гос. арх.-строит. ун-т. Самара, 2012. С. 76-85.

26. Кудинов, В.А. Получение аналитических решений задач термоупругости для многослойных тел с переменными свойствами [Текст] / В.А. Кудинов, A.B. Еремин, Е.В. Котова // Третья международная конференция «Математическая физика и ее приложения»: материалы конференции. Самара: СамГТУ, 2012. С. 52-53

27. Котова, Е.В. Обобщенные функции в задачах теплопроводности для многослойных конструкций [Текст] / Е.В. Котова, А.Э. Кузнецова, A.C. Колесникова // Математическое моделирование и краевые задачи. Тр. Девятой Всерос. науч. конф. с ме-ждун. участием. Ч. 2. Самара: СамГТУ, 2013, с. 39-43.

28. Стефашок, Е.В. Управление тепловым потоком с целью поддержания заданной температуры поверхности [Текст] / Е.В. Стефанюк, Е.В. Котова // Тр. XI Международной научно - практической конференции «Компьютерные технологии в науке, практике и образовании» (KT - 2012). Тезисы докладов. Самара: СамГТУ, 2012. С. 15-18

Учебные пособия:

29. Кудинов, И.В. Аналитические решения задач теплопроводности с переменными физическими свойствами среды [Текст] / И.В. Кудинов, Е.В. Стефанюк, A.B. Еремин, Е.В. Котова // Учебное пособие. Самара: СамГТУ, 2013. - 132 с.

Заказ № 808 Формат 60 х 84 1/16 Уч. изд. л. 1,00. Тираж 100 экз. Отпечатано в типографии Самарского государственного технического университета 443100, Самара, Молодогвардейская, 244, корпус 8. Автореферат отпечатан с разрешения диссертационного совета Д 212.217.03 ФГБОУ ВПО «Самарский государственный технический университет» (протокол № 5 от 30 августа 2013 г.)



Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Самарский государственный технический университет»

На правах рукописи

04201362580 Котова Евгения Валериевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ТЕРМОУПРУГОСТИ С ПЕРЕМЕННЫМИ СВОЙСТВАМИ СРЕДЫ ЧИСЛЕННО - АНАЛИТИЧЕСКИМИ

МЕТОДАМИ

Специальность: 05. 13.18 - Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степени кандидата технических наук

Научный руководитель доктор технических наук

Жи И_Стефанюк Е.В.

I ^

Самара 2013

Содержание

Общая характеристика работы...........................................................4

1. Обзор работ в области разработки аналитических методов решения краевых задач с переменными физическими свойствами среды..............9

2. Задачи теплопроводности для однослойных и многослойных тел с переменными физическими свойствами среды................................. 14

2.1. Бесконечная пластина (коэффициент теплопроводности - линейная функция координаты).......................................................... 14

2.2. Бесконечная пластина (коэффициент теплопроводности экспоненциальная функция координаты)..................................20

2.3. Интегральный метод теплового баланса в задачах теплопроводности

с переменными физическими свойствами среды.........................26

2.4. Использование ортогонального метода Л.В. Канторовича

в задачах теплопроводности с переменными физическими свойствами среды...............................................................................29

2.5. Теплообмен в пластине с внутренними источниками теплоты при граничных условиях второго рода...........................................34

2.6. Многослойная пластина с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды.............................................44

2.7. Обобщенные функции в задачах теплопроводности для многослойных конструкций...................................................53

2.8. Нестационарные обратные задачи теплопроводности..................73

2.9. Аналитический метод диагностики толщины отложений на внутренних поверхностях трубопроводов.................................76

2.10. Аналитический метод определения коэффициентов теплоотдачи путем решения обратных задач теплопроводности.....................77

3. Нелинейные задачи теплопроводности для однослойных и многослойных тел..........................................................................................79

3.1. Бесконечная пластина (коэффициент температуропроводности -линейная функция температуры).............................................79

3.2. Коэффициент температуропроводности - экспоненциальная функция температуры......................................................................88

3.3. Нелинейные задачи теплопроводности с внутренними источниками теплоты............................................................................91

3.4. Стационарная нелинейная теплопроводность в многослойной пластине...........................................................................93

3.5. Расчет температурного состояния конструкций при воздействии лазерного излучения............................................................97

4. Аналитические решения задач термоупругости для однослойных и

многослойных конструкций........................................................ 100

4.1. Приближенные аналитические решения задач термоупругости для

диска и цилиндра с переменными свойствами...........................100

4.2. Точные аналитические решения задач термоупругости для многослойных конструкций с постоянными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды......................................106

4.3. Приближенные аналитические решения задач термоупругости с переменными в пределах каждого слоя физическими

свойствами......................................................................110

5. Комплекс программ для решения нестационарных задач

теплопроводности..................................................................... 116

5.1. Реализация метода решения задач теплопроводности на основе определения фронта температурного возмущения в среде МаШсас!

на примере решения нелинейных краевых задач......................... 116

5.2. Блок - схема решения задач теплопроводности основе определения фронта температурного возмущения на примере решения нелинейных краевых задач...................................................133

5.3. Реализация конечно-разностных методов с использованием метода прогонки для решения нелинейных нестационарных задач теплопроводности..................................................................................136

Выводы.....................................................................................139

Библиографический список................................................................ 141

Приложения.............................................................................. 148

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Возможности математического моделирования в области тепломассопереноса и термоупругости в настоящее время ограничиваются практическим отсутствием точных аналитических методов решения нелинейных краевых задач, а также задач с переменными физическими свойствами среды, включая многослойные конструкции.

Одним из перспективных направлений математического моделирования краевых задач теплопереноса и термоупругости является совместное использование точных (Фурье, интегральных преобразований и др.) и приближенных (вариационных, ортогональных методов Л.В. Канторовича и Бубнова - Галеркина и др.) аналитических методов. Например, данное направление исследований позволило впервые получить замкнутые аналитические решения краевых задач теплопроводности и термоупругости для многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды.

В аналитической теории теплопроводности известны методы, в которых используется понятие глубины термического слоя (фронта температурного возмущения), представляющие собой одну из разновидностей совместного использования точных и приближенных аналитических методов. При их использовании решение краевой задачи представляется в виде решений двух взаимосвязанных задач, каждая из которых характеризует процесс теплообмена лишь в определенном диапазоне времени. Такой подход позволяет с помощью достаточно простых математических выражений, представляющих численно - аналитические решения каждой из этих задач, получать достоверную информацию о температурном состоянии конструкции практически во всем диапазоне времени нестационарного процесса, включая малые и сверхмалые его значения. При введении используемых в настоящей работе дополнительных граничных условий, с целью как можно более точного выполнения основного дифференциального уравнения, возникает необходимость решения цепочных систем алгебраических линейных уравнений. В связи с чем, получаемые таким путем решения классифицируются как численно - аналитические.

Настоящая работа посвящена развитию этих методов применительно к решению нелинейных краевых задач теплопроводности и термоупругости для многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды и других задач.

Цель диссертационной работы состоит в математическом моделировании процессов теплопроводности и термоупругости для однослойных и многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды на основе разработанных в диссертации эффективных численно - аналитических методов решения краевых задач с использованием интегральных методов теплового баланса, ортогональных методов Л.В. Канторовича и Бубнова - Галеркина, теории обобщенных функций, метода разделения переменных и других методов.

Для достижения указанной цели решались следующие задачи.

1. Разработка и развитие метода получения приближенных численно-аналитических решений краевых задач теплопроводности и термоупругости для многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды путем представления их в виде однослойных с разрывными (кусочно - неоднородными) свойствами.

2. Развитие численно - аналитических методов, основанных на определении фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий применительно к решению задач теплопроводности с переменными физическими свойствами среды и внутренними источниками теплоты.

3. Получение численно - аналитических решений нелинейных задач теплопроводности на основе использования интегрального метода теплового баланса.

4. Построение систем базисных координатных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения, применительно к решению задач теплопроводности и термоупругости для многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами.

5. Теоретическая разработка метода идентификации коэффициентов теплоотдачи и толщины отложений на внутренних поверхностях труб путем решения обратных задач теплопроводности на основе использования полученных в диссертации аналитических и численно - аналитических решений прямых задач.

Научная новизна диссертационной работы.

1. На основе определения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий разработан метод получения численно-аналитических решений задач теплопроводности с переменными физическими свойствами среды, позволяющий, в отличие от существующих методов, получать решения с заданной степенью точности во всем диапазоне времени нестационарного процесса, в том числе, и для сверхмалых значений временной переменной.

2. Используя предложенный в диссертации численно-аналитический метод решения задач теплопроводности с переменными физическими свойствами среды, впервые получены решения нелинейных задач теплопроводности при различных зависимостях теплофизических свойств от температуры, позволяющие определять значения температур с заданной степенью точности.

3. Применительно к решению задач теплопроводности и термоупругости для многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды разработан метод построения систем базисных координатных функций, в любом приближении точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения, позволяющих моделировать многослойную конструкцию в виде однослойной с кусочно-неоднородными свойствами среды.

4. На основе интегрального метода теплового баланса с использованием математической теории обобщенных функций разработан метод решения нестационарных задач теплопроводности для многослойных конструкций, позволяющий, в отличие от известных методов, получать численно-аналитические решения для сверхмалых значений времени.

5. Посредством введения дополнительных граничных условий в интегральном методе теплового баланса впервые получены численно-аналитические решения задач теплопроводности с переменными физическими свойствами среды и внутренними источниками теплоты, позволяющие получать приближенные аналитические решения во всем диапазоне времени нестационарного процесса.

На защиту выносятся следующие результаты диссертации.

1. Численно-аналитические решения нелинейных задач теплопроводности, а также задач с переменными физическими свойствами среды, полученные на основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий; оценки сходимости и погрешности решений.

2. Системы координатных функций, в любом приближении точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения, применительно к решению задач теплопроводности и термоупругости для многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды.

3. Метод решения нестационарных задач теплопроводности для многослойных конструкций, основанный на использовании теории обобщенных функций и дополнительных граничных условий.

4. Математические модели процессов теплопроводности и термоупругости для однослойных и многослойных тел в виде новых численно-аналитических решений применительно к задачам, для которых аналитические решения в настоящее время не получены.

5. Комплекс программ позволяющий производить расчет нестационарного одномерного температурного поля с учетом зависимости теплофизических свойств среды от температуры.

6. Результаты разработки метода решения обратных задач теплопроводности по идентификации коэффициентов теплоотдачи и толщины отложений на внутренних поверхностях труб на основе использования полученных в диссертации численно-аналитических решений прямых задач.

Достоверность результатов работы. Достоверность полученных автором диссертации решений подтверждается соответствием математических моделей реальным физическим процессам, протекающим в конкретных энергетических установках, сравнением полученных в диссертации результатов с точными аналитическими решениями, в частных случаях, с приближенными аналитическими решениями, полученными другими авторами, а также с решениями, найденными численными методами.

Практическая значимость работы.

1. Разработанные в диссертации методы, полученные аналитические и численные решения были использованы при создании компьютерных моделей для теплосетей Самарской ТЭЦ, Безымянской ТЭЦ г. Самары, теплосети и циркуляционной системы Новокуйбышевской ТЭЦ - 1 (акты о внедрении результатов работы приведены в приложениях диссертации).

2. Применяя полученные в диссертации аналитические решения для многослойных конструкций, путем решения обратных задач теплопроводности выполнены расчеты по определению начала и продолжительности пленочного кипения на стенках многослойных топливных коллекторов газотурбинных двигателей, а также толщины отложений на внутренних поверхностях трубопроводов.

3. Используя полученное в диссертации аналитическое решение задачи теплопроводности с импульсным (гармоническим) изменением теплового потока, проведены исследования процессов прогрева и воспламенения взрывчатых веществ при воздействии на них коротких импульсов потока лазерного излучения.

Связь диссертационной работы с планами научных исследований. Представленная работа является обобщением теоретических и экспериментальных исследований, выполненных автором в Самарском государственном техническом университете. Исследования проводились по планам госбюджетных тематик Минвуза РФ №1.21.11 (01.01.2009 -31.12.2012 гг.).

Экономический эффект от внедрения результатов работы, подтвержденный актами о внедрении, приведенными в приложениях диссертации, составляет 4940000 рублей.

Апробация работы. Основные результаты работы были доложены и обсуждены на XIV Международной научно - практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии» (г. Томск, 2009); 14-ой Международной науч.- тех. конференции студентов и аспирантов ( г. Москва, 2008); Седьмой Международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (г. Ульяновск, 2009); Шестой, Седьмой, Восьмой и Девятой Всероссийских научных конференциях с международными участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2009 - 2013 гг.); 17-ой Международной науч.- тех. конференции студентов и аспирантов (г. Москва, 2011); Третьей международной конференции «Математическая физика и ее приложения» (г. Самара 2012), Одиннадцатой Международной научно - практической конференции «Компьютерные технологии в науке, практике и образовании» (КТ - 2012), на научном семинаре «Механика и прикладная математика» Самарского государственного технического университета (рук. проф. Радченко В .П., 2013 г.)

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 29 печатных работах, из них 8 статей в рецензируемых журналах из перечня ВАК, напечатано 1 учебное пособие.

Личный вклад автора. В работах [62 - 65, 67,73,77] диссертанту принадлежит участие в постановках проблем исследований, непосредственное выполнение расчетной работы. В работах [66,68 - 72,74 -76, 78 - 90] диссертанту в равной степени с другими авторами принадлежат постановки задач, получение решений и анализ результатов работы.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, выводов, списка используемой литературы, приложений; изложена на 147 страницах основного машинописного текста и 30 страницах приложений, содержит 39 рисунков. Список использованной литературы включает 90 наименований.

ГЛАВА 1

ОБЗОР РАБОТ В ОБЛАСТИ РАЗРАБОТКИ АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ПЕРЕМЕННЫМИ ФИЗИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ СРЕДЫ

Математическое моделирование физических процессов благодаря своей универсальности применяется во многих областях научного познания (технике, экономике, социологии и др.). Более того можно со всей определенностью утверждать, что их эффективное развитие связано с возрастающей ролью математики.

Следует, однако, отметить, что существующие точные аналитические методы математического моделирования далеко не удовлетворяют потребностям практики, так как при их использовании в математические постановки многих прикладны�