автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модельные представления аналитических решений краевых задач теории теплообмена на основе введения дополнительных граничных условий

Стефанюк Екатерина Васильевна

Модельные представления аналитических решений краевых задач теории теплообмена на основе введения дополнительных граничных условий

Специальность: 05.13.18 —Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва 2010

004607977

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Самарском государственном техническом университете

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор

Радченко Владимир Павлович

Официальные оппоненты: Заслуженный деятель науки РФ,

доктор физико-математических наук, профессор Формалев Владимир Федорович

(Московский авиационный институт - государственный технический университет)

Доктор физико-математических наук, Денисова Ирина Павловна

(МАТИ - Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского)

Заслуженный деятель науки и техники РФ, доктор технических наук, профессор Рудобашта Станислав Павлович (Московский государственный агроинженерный университет им. В.П. Горячкина)

Ведущая организация: ОАО НПО «Стеклопластик»

Защита состоится « 23 » сентября 2010 г. В _14_ часов на заседании диссертационного совета Д 212.110.08 при ГОУ ВПО «МАТИ» - Российском государственном технологическом университете им К.Э.Циолковского по адресу: 121552, г.Москва, Оршанская ул, д. 3

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО МАТИ РГТУ им. К.Э. Циолковского

Автореферат разослан «7_» августа 2010 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета Д 212.110.08 /)

к. ф.-м. н. ¿«^ М.В. Спыну

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы

Существенным сдерживающим фактором усовершенствования ряда современных промышленных процессов и устройств является отсутствие аналитических методов исследования распределения температуры при сверхмалых значениях времени. К их числу относятся: обработка материалов короткими лазерными импульсами; высокоскоростное движение авиационных и космических аппаратов в атмосфере; распределение температуры в начальной стадии теплового удара; нагрев при динамическом распространении трещины; воспламенение взрывчатых веществ, инициируемых с помощью коротких импульсов лазерного излучения и многие другие быстропротекаю-щие нестационарные процессы.

Известно, что точные аналитические решения, полученные с помощью классических аналитических методов, представляются в форме бесконечных рядов, плохо сходящихся в окрестностях граничных точек и при малых значениях временнбй координаты. Исследования показывают, что сходимость точного решения задачи теплопроводности для бесконечной пластины при граничных условиях первого рода в диапазоне чисел Фурье ]0~'2< Ро < 1(Г7 наблюдается лишь при использовании от 2000 (^Ъ = 10~7) до пятисот тысяч (Ро = 10~12) членов ряда. В то же время, исследование кинетики теплового процесса при временах микросекундной длительности - исключительно важная в практическом отношении проблема.

В аналитической теории теплопроводности известны методы, в которых используется понятие глубины термического слоя (интегральные методы тепловою баланса). К ним, в частности, относятся интегральный метод теплового баланса, метод осреднения функциональных поправок, методы Швеца М.Е., Био М., Вейника А.И. и др. Несомненным их преимуществом является возможность получения простых по форме аналитических решений удовлетворительной точности как для регулярного, так и нерегулярного процессов теплопроводности. Однако их серьезным недостатком является низкая точность. Это связано с тем, что в основу интегральных методов положено построение так называемого интеграла теплового баланса, что равнозначно осреднению исходного дифференциального уравнения в пределах глубины термического слоя. Следовательно, очевидным путем повышения точности интегральных методов является улучшение выполнения исходного дифференциального уравнения. С этой целью в настоящей работе избрано направление аппроксимационного представления приближенного решения с определением любого числа его слагаемых. Для определения неизвестных коэффициентов таких полиномов основных граничных условий оказывается недостаточно. В связи с чем, возникает необходимость привлечения дополнительных граничных условий, определяемых из исходного дифференциального уравнения с использованием основных граничных условий и условий, задаваемых на фронте температурного возмущения.

В диссертации показана высокая эффективность дополнительных граничных условий при их использовании не только в интегральных методах теплового баланса, но и в ряде других методов,- в ортогональных методах Л.В. Канторовича и Бубнова-Галеркина, в методе разделения переменных и др. Физический смысл таких условий - выполнение исходного дифференциального уравнения и производных от

него в граничных точках и на фронте температурного возмущения , что, как показано в диссертации, приводит к выполнению исходного дифференциального уравнения во всем диапазоне изменения пространственной и временной координат. Причем, точность этого выполнения зависит от числа дополнительных граничных условий (числа приближений).

Цель работы

Целью работы является решение важной научной проблемы разработки нового направления получения аналитических решений краевых задач теплопроводности и тепломассопереноса, имеющей большое народно-хозяйственное значение в энергетике, машиностроении, авиационной и космической технике и других отраслях промышленности. Основой нового направления являются впервые введенные в расчетную практику дополнительные граничные условия, позволяющие получать эффективные приближенные аналитические решения сложнейших линейных и нелинейных краевых задач (аналитические решения которых в настоящее время не получены) благодаря ап-проксимационному представлению решения практически с заданной степенью точности.

Разработка алгоритмов и комплексов программ для реализации разработанных в диссертации аналитических и численных методов решения краевых задач теплопроводности и тепломассопреноса.

Для достижения указанных целей решались следующие основные задачи:

1. Обоснование необходимости применения и разработка модели построения дополнительных граничных условий, получаемых из основного дифференциального уравнения краевой задачи с использованием исходных (классических) граничных условий.

2. Применение дополнительных граничных условий с целью определения собственных чисел краевой задачи Штурма-Лиувилля при моделировании нестационарной задачи теплопроводности путем совместного использования метода разделения переменных и ортогонального метода Бубнова-Гаперкина.

3. Разработка математической модели получения аналитических решений краевых задач теплопроводности и тепломассопереноса на основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий.

4. Разработка методов построения изотерм и определение скоростей их перемещения по пространственной координате во времени на основе полученных в диссертации аналитических решений с использованием дополнительных граничных условий.

5. Разработка математической модели решения обратных задач теплопроводности с целью определения начальных и граничных условий теплообмена на основе использования полученных в диссертации аналитических решений прямых задач.

Научное направление

Научное направление заключается в использовании дополнительных граничных условий в краевых задачах теплопроводности и тепломассопереноса с целью значительного упрощения как процесса получения, так и вида окончательных выражений для аналитических решений. При этом имеется возможность нахождения аналитических решений с заданной степенью точности для многих сложных задач математической физики, точные (а в ряде случаев и приближенные) аналитические решения кото-

рых в настоящее время не получены. Построение дополнительных граничных условий основано на использовании исходного дифференциального уравнения и заданных (классических) граничных условий. Достигаемый эффект обусловлен тем, что выполнение таких условий эквивалентно удовлетворению исходного дифференциального уравнения во всем диапазоне изменения пространственных координат и времени.

Научная новизна:

1. Решена важная, имеющая большое практическое значение научная проблема по разработке нового направления математического моделирования аналитических решений краевых задач теплопроводности и тепломассопереноса, основывающегося на введении дополнительных граничных условий, позволяющих применять аппрокси-мационное представление приближенного решения с определением любого числа его слагаемых и, как следствие, получать аналитические решения краевых задач практически с заданной степенью точности.

2. Разработана математическая модель получения аналитических решений краевых задач теплопроводности и тепломассопереноса на основе определения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий, позволяющая получать аналитические решения с заданной степенью точности во всем диапазоне времени нестационарного процесса, в том числе и для сверхмалых значений пространственной координаты и времени.

3. Доказана необходимость применения и разработана модель построения дополнительных граничных условий, задаваемых в граничных точках краевой задачи, выполнение которых эквивалентно выполнению исходного дифференциального уравнения во всем диапазоне пространственной координаты и времени нестационарного процесса. В диссертации показано, что с увеличением числа приближений собственные числа, определяемые из характеристического уравнения, совпадают с собственными числами соответствующей краевой задачи Штурма-Лиувилля, что подтверждает выполнение исходного дифференциального уравнения по координате и времени.

4. На основе использования исходного дифференциального уравнения и основных граничных условий разработана модель построения дополнительных граничных условий, удовлетворение которых эквивалентно выполнению исходного дифференциального уравнения в граничных точках и на фронте температурного возмущения.

5. Разработаны методы решения обратных задач теплопроводности по восстановлению теплофизических коэффициентов, начальных и граничных условий теплообмена на основе полученных в диссертации аналитических решений прямых задач и экспериментальных данных по температурному состоянию конструкций.

6. На основе использования дополнительных граничных условий впервые с заданной степенью точности получены аналитические решения нелинейных уравнений динамического и теплового пограничных слоев при граничных условиях первого и третьего рода на стенке. На основе полученных решений уточнены критериальные уравнения, используемые для определения коэффициентов теплоотдачи и касательных напряжений в пограничном слое движущейся жидкости.

На защиту выносятся:

1. Результаты решения научно-технической проблемы разработки нового направления получения аналитических решений краевых задач теплопроводности и теп-ломассопереноса на основе введения дополнительных граничных условий, позволяющих получать аналитические решения практически с заданной степенью точности.

2. Результаты разработки математической модели построения аналитических решений краевых задач теплопроводности и тепломассопереноса на основе определения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий, позволяющего получать высокоточные аналитические решения задач теплопроводности во всем диапазоне времени нестационарного процесса, включая сверхмалые значения времени и пространственной координаты.

3. Впервые предложенный в диссертации метод построения дополнительных граничных условий, необходимых для как можно более точного выполнения исходного дифференциального уравнения при аппроксимационном (модельном) представлении решения.

4. Результаты разработки математической модели построения дополнительных граничных условий, используемых при моделировании процессов теплопроводности с введением фронта температурного возмущения, позволяющих выполнять исходное дифференциальное уравнение в граничных точках и на фронте температурного возмущения. Применение таких условий позволяет при минимальном числе приближений получать высокоточные решения во всем диапазоне числа Фурье.

5. Впервые полученные в диссертации аналитические решения нелиинейных дифференциальных уравнений динамического и теплового пограничных слоев (уравнения Прандтля и Польгаузена) при граничных условиях первого и третьего рода на стенке, а также результаты уточнения критериальных уравнений по касательным напряжениям и теплоотдаче в движущейся жидкости.

6. Результаты применения разработанных в диссертации методов получения аналитических решений для расчетов температурного состояния взрывчатого вещества при воздействии на него лазерного излучения с целью определения диапазона мощности, при которой происходит его воспламенение.

7. Результаты расчетов коэффициентов теплоотдачи на внутренних поверхностях барабана парового котла БКЗ-420-140 HTM Самарской ТЭЦ путем решения обратных задач теплопроводности с использованием полученных в диссертации аналитических решений прямых задач.

8. Результаты расчетов по определению начала и продолжительности пленочного кипения топлива и толщины коксовых отложений на внутренних стенках многослойных топливных коллекторов газотурбинных двигателей с использованием разработанных в диссертации методов решения прямых задач теплопроводности для многослойных конструкций.

9. Результаты расчетов температурного и термонапряженного состояния барабана парового котла БКЗ-420-140 HTM на переходных режимах работы с использованием метода конечных элементов.

Достоверность результатов работы

Достоверность полученных автором решений подтверждается соответствием математических моделей физическим процессам, протекающим в энергетических устройствах, сравнением полученных в диссертации результатов с точными аналитическими решениями, с приближенными решениями других авторов, с решениями, полученными численными методами, с результатами натурного эксперимета.

Практическая значимость работы

1. Разработанные в диссертации методы, полученные аналитические и численные решения были использованы при создании компьютерных моделей и программных комплексов для теплосетей г. Самары, Саратова, Ульяновска, Тольятти, Новокуй-бышевска, Балаково, теплосетей и циркуляционных систем Самарской ТЭЦ, ТЭЦ Волжского автомобильного завода, Тольяттинской ТЭЦ, Новокуйбышевских ТЭЦ-1 и ТЭЦ-2, ТЭЦ-23 ОАО "Мосэнерго" (акты о внедрении результатов работы приведены в приложениях диссертации).

2. На основе полученных в диссертации решений прямых задач теплопроводности путем решения обратных задач были найдены коэффициенты теплоотдачи на внутренней поверхности барабана парового котла БКЗ-420-140 HTM Самарской ТЭЦ в процессах планового или аварийного останова, сопровождающихся сбросом давления.

3. Используя полученные в диссертации аналитические решения для многослойных конструкций, путем решения обратных задач теплопроводности выполнены расчеты по определению начала и продолжительности пленочного кипения топлива (керосин) на стенках многослойных топливных коллекторов камер сгорания газотурбинных двигателей, приводящего к отложению кокса на внутренних поверхностях стенок трубопроводов. На основе решения обратных задач была также выполнена оценка толщины коксовых отложений и разработаны рекомендации по снижению интенсивности процесса коксообразования.

4. Путем решения задачи теплопроводности с импульсным (гармоническим) изменением плотности теплового потока проведены исследования проблем воспламенения взрывчатых веществ при воздействии на них коротких импульсов потока лазерного излучения.

Связь диссертационной работы с планами научных исследований

Представленная работа является обобщением теоретических и экспериментальных исследований, выполненных автором в Самарском государственном техническом университете. Исследования проводились по планам госбюджетных тематик Минвуза РФ №551/02 (01.01.2002-31.12.2006 гг.) «Разработка методов определения собственных значений в краевых задачах теплопроводности». Исследования выполнялись также по планам НИОКР ОАО «Самараэнерго» за 2002-2006 гг.

Экономический эффект от внедрения, подтвержденный актами о внедрении, составляет 700 тыс. руб. Оценочный экономический эффект, подтвержденный соответствующими актами оценки, приведенными в приложениях диссертации, составляет 1,5 миллиарда рублей.

Личный вклад автора является определяющим на всех этапах исследований и заключается в постановке проблем исследований, непосредственном выполнении основной части работы, которая выполнена в соавторстве.

Апробация работы

Основные результаты работы были доложены и обсуждены на четвертой и пятой Международной Конференции "Обратные задачи: идентификация, проектирование и управление", Москва, МАИ, 2003, МЭИ, 2007; Пятом и Шестом Международном форуме по тепло - и массобмену, Минск, АНБ, 2004, 2008; Всероссийских научно-технических конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи", Самара, СамГТУ, (2003, 2004, 2005, 2007, 2008); на Четвертой Российской национальной конференции по теплообмену, Москва, МЭИ, 2006; на Четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием, секция «Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами», Самара, 2007; на Седьмой Международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов», Ульяновск, 2009; на Школе-семинаре молодых ученых под руководством академика А.И. Леонтьева, Жуковский, 2009; научно-техническом семинаре Московского авиационного института, Москва, МАИ, 2009.

Публикации

По результатам выполненных исследований опубликовано 54 научные работы, в том числе 17 статей в центральных и академических изданиях, таких как ТВТ, ИФЖ, Известия АН Энергетика, Журнал вычислительной математики и мат. физики, «Известия вузов. Математика», "Проблемы энергетики". Напечатано 5 книг, среди них две монографии и три учебных пособия, одно из которых издано с грифом Рособразования в издательстве «Высшая школа». В изданиях по перечню ВАК опубликовано 18 статей.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, восьми глав, выводов, списка используемой литературы, приложений: изложена на 315 страницах основного машинописного текста, содержит 137 рисунков, 20 таблиц. Список использованной литературы включает 297 наименований.

1. В первой главе диссертации представлен анализ известных работ по избранному направлению исследований. И, в частности, отмечено, что большой интерес представляют приближенные аналитические методы, позволяющие получать решения, хотя и приближенные, но в аналитической форме, с точностью, во многих случаях достаточной для инженерных приложений. Развитию этих методов посвящены работы Л.В. Канторовича, С.Г. Михлина, П.В. Цоя, H.H. Беляева, A.A. Рядно, Ю.Т. Глазунова, А.И. Вейника, М. Био, Т. Гудмена, М.Е. Швеца, Э.М. Карташова и других авторов.

Следует однако отметить, что, несмотря на определенный прогресс, существуют проблемы, пока еще не получившие окончательного решения. К их числу относятся:

1. Для большого числа нелинейных задач теплопроводности и гегшомассопере-носа в настоящее время не получены не только точные, но и приближенные аналитические решения.

2. Применительно к нестационарным задачам для получения решений при малых значениях временной и пространственной координат с помощью приближенных аналитических методов требуется использовать большое число приближений, что приводит к необходимости решения больших систем алгебраических линейных уравнений, матрицы коэффициентов которых, как правило, плохо обусловлены.

3. В ряде методов вместо системы алгебраических уравнений при большом числе приближений относительно собственных чисел краевой задачи получаются характеристические уравнения высокого порядка, решение которых, если оно возможно, приводит к низкой точности определения собственных чисел.

4. Низкая точность интегральных методов связана с тем, что при их использовании исходные уравнения осредняются и краевые задачи приводятся к различным интегральным уравнениям типа Вольтерра, Фредгольма, интегралу теплового баланса и др. Даже если точные решения этих уравнений находятся, исходные дифференциальные уравнения удовлетворяются лишь в среднем.

2. Во второй главе диссертации приводятся результаты разработки нового направления получения аналитических решений краевых задач теплопроводности и теп-ломассопереноса, основанного на использовании дополнительных граничных условий.

Настоящая глава посвящена спектральным задачам, лежащим в основе всей аналитической теории краевых задач теплопроводности и тепломассопереноса. Для их решения совместно с методом Фурье используется ортогональный метод Бубнова-Галёркина. Важной особенностью является введение дополнительных граничных условий, необходимость которых объясняется появлением дополнительного неизвестного параметра ц после разделения переменных в исходном дифференциальном уравнении. Дополнительные граничные условия выводятся из основного дифференциального уравнения путём его дифференцирования в граничных точках. Использование метода Бубнова-Галеркина значительно расширяет круг задач, решаемых с использованием метода Фурье, что связано с универсальностью метода Бубнова-Галеркина, при использовании которого на вид дифференциальных операторов не накладывается практически никаких условий.

В качестве конкретного примера рассмотрим задачу теплопроводности для бесконечно-протяжённой пластины при граничных условиях первого рода

Подставляя (5) в(1), получаем следующие два обыкновенных дифференциальных уравнения

^о>0; 0<р<1)

(1) (4)

©(р,0) = 1; (2) е©(0,Л>)/др = 0; (3) в(1,/ч>) = 0. Следуя методу Фурье, решение задачи (1) - (4) принимается в виде

(5)

<1(? (Ро)/с1Ро + цср (1ю) = 0; (6) с!2Ч'(р)/с}р2 +/^(р) = 0, (7)

где ц - некоторая постоянная.

Решение уравнения (6), как известно, имеет вид

<р{Го) = Аехр{-цРо). (8)

Граничные условия для уравнения (7) согласно (3), (4) будут

Ч"(0) = 0; (9) ¥(1) = 0. (10)

Решение задачи (7), (9), (10) разыскивается в виде следующего ряда ,

= (11)

где С. (г = 0,/1) - неизвестные коэффициенты; ЛГДр) = р'-координатные функции.

Например, при пяти членах ряда (11) к имеющимся граничным условиям (9), (10) необходимо добавить ещё три дополнительных граничных условия, которые находятся из условия (9) и из уравнения (7) путём выполнения этого уравнения, а также производных от него в граничных точках р = 0 и р = 1. Такие условия будут иметь вид

¥(0) = соий = 1; (12) Ч^'О^О; (13) ¥ш(0) = 0. (14)

Подставляя (11) в (9), (10), (12)-(14), получаем пять алгебраических линейных уравнений относительно пяти неизвестных С,. При этом каждое из неизвестных С0, С,, С2 входит лишь в одно уравнение, из которого они легко определяются. Все эти уравнения получаются из граничных условий при р = 0 (условия (9), (12), (14)). Относительно неизвестных С3, С4 необходимо решить два взаимосвязанных алгебраических линейных уравнения. В итоге для всех искомых неизвестных постоянных будем иметь следующие значения: С„ = 1; С, = 0; С, = -1,2; С3 = 0; С4=0,2.

Подставляя найденные значения С, в (11), получаем

ЧЧр) = 1-1,2р2+0,2р\ (15)

Для определения первого собственного числа найдём интеграл взвешенной невязки уравнения (7), т. е.

|[¥Я(Р) + /"Ч'(Р)]Ф = 0. (16)

о

Подставляя (15) в (16), относительно ц получаем характеристическое уравнение первой степени, из которого находим ц{ = 2,5. Точное значение первого собственного числа ц, = 2,46740110027.

Для уточнения первого собственного числа составим невязку уравнения (7) и потребуем ортогональность невязки к собственной функции (15), т. е.

|[Ч"'(Р) + Я^(Р)]Х1'(Р)Ф = 0. (17)

о

Подставляя (15) в (17), относительно ц получаем характеристическое уравнение 0,5038730158730159 р -1,243428571429 = 0.

Его решение /х,=2,46774193.

Для получения первых двух собственных значений вводятся следующие дополнительные граничные условия, получаемые из уравнения (7),

Ч'"(0) = -м; (18) ^"'(О)^2. (19)

Подставляя (11) при п = 6 во все граничные условия задачи, относительно С, получим семь алгебраических уравнений. Пять из этих уравнений разделяются и таким путём находятся неизвестные

С0= 1; С, =0; С2=-0,5/г, С, = 0; СА=р2/ 24.

Неизвестные С3, С6 находятся из системы двух алгебраических уравнений, составленных из граничных условий при р = 1.

С5 =39/^/8 + 1,4р-3; С6 =2-0,9^-59^/12.

Определяя интеграл взвешенной невязки уравнения (7), для нахождения собственных чисел получаем уравнение

1,3857142857ц-7,02380952• 10"2р2 + 5,952381 -Ю-1//3 -3 = 0.

Его решение = 2,4669819; я2 = 21,794472203; //.=93,7385.

Для уточнения первых двух собственных чисел требуется ортогональность невязки уравнения (7) к собственной функции (11) при и = 6. Собственные числа в этом случае будут р, = 2,46740110, р2 = 22,26983 .

Для получения решения при большем числе приближений используются следующие граничные условия

Ч/,'(0) = 0; Ч/|'(0) = -^3; ¥,7'(0) = 0; 4"™(0) = р4; Т£,г(0) = 0; 4^(0) = V;...

Например, для пяти собственных чисел получены следующие их значения

р, = 2,4674011002 ; ц2 = 22,206610 ; р3 = 61,6850235 ; р, = 120,90249 ;

= 201,0584. Точные значения третьего, четвёртого и пятого собственных чисел р3 =61,6850275; //,=120,90265; р5 = 199,8595.

Подставляя (8), (11) в (5), для каждого собственного числа будем иметь частные решения вида

©, (р^о) = Д.Ч'Др,, р)ехр (-р, .Ро). (; = М) (21)

Каждое частное решение точно удовлетворяет граничным условиям (3), (4) и приближённо (в пятом приближении) удовлетворяет уравнению (1) на отрезке 0 < р < 1. Однако ни одно из этих частных решений, в том числе и их сумма

®(Р, Ро) = ]Г Д Ч7, (р,, р) ехр(-д.^о), (22)

¡«1

не удовлетворяют начальному условию (2).

Для выполнения начального условия составляется его невязка и требуется ортогональность невязки к каждой собственной функции, т. е.

5

/

У,(р„р)Ф = 0. (У = 1,5) (23)

Определяя интегралы в (23), для нахождения коэффициентов А1 (¡ = 1,5) получаем систему пяти алгебраических линейных уравнений. Ее решение

Л, =1,274366 ; Л2 = -0,427128 ; Л3 = 0,257304 ; А4 =- 0,182685 ; 4=0,150535.

Собственные числа для различных приближений в сравнении с точными их значениями приведены в табл. I.

Таблица I

Число приближений Собственные числа

Л Мг Иг

1 2,4677419355 _ - - -

2 2,46740110 22,26983 - - -

3 2,4674011001 22,2066100 62,055342 - -

4 2,4674011002 22,2066098 61,685017 120,9039 -

5 2,4674011002 22,206610 61,685023 120,9024 201,058

Точные значения 2,4674011003 22,2066099 61,685026 120,9026 199,859

Следует отметить высокую точность определения собственных чисел по сравнению с другими методами совместного использования точных и приближенных методов - совместное использование интегральных преобразований Лапласа и метода Бубнова-Галеркина, методов Фурье и Бубнова-Галеркина (без использования дополнительных граничных условий). Все эта методы для одних и тех же задач приводят к примерно одинаковым результатам. В качестве конкретного примера в таблице 2 приведены собственные числа для четвертого и пятого приближений, полученные при решении задачи (1)-(4) путем совместного использования интегральных преобразований Лапласа и метода Бубнова-Галеркина.

Таблица 2

Число приближений Собственные числа

М, М. Я,

4 2,4674 22,:217 65,459 222,51 -

5 2,4674 22,207 61,696 139,45 409,02

Точные значения 2,4674 22,207 61,685 120,90 199,86

Отметим, что последние собственные числа как в четвертом, так и пятом приближениях почти в два раза отличаются от точных их значений. При использовании дополнительных граничных условий эти числа практически совпадают с точными.

При использовании тригонометрических координатных функций, заранее точно удовлетворяющих граничным условиям (3), (4), на основе изложенного выше метода в диссертации получено точное аналитическое решение задачи (1) - (4).

3. В третьей главе диссертации представлены результаты исследований, связанных с разработкой и развитием нового направления получения аналитических решений краевых задач, основанного на введении фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий.

Основную идею метода рассмотрим на примере решения задачи теплопроводности для бесконечной пластины в следующей математической постановке

(Ро>0; 0<г<1) (24)

о/ч> дЕ,

0(£,О)=О; (25) 0(О,^о) = 1; (26) д@{\,Ро)1д£ = 0. (27)

Яг(Ро)

Процесс нагрева разделим на две стадии по времени: 0 < Го < Го, и Го, < Го < со. Для этого введем движущуюся во времени границу (фронт температурного возмущения), разделяющую исходную область 0 < £ < 1 на две подобласти О<£<9,(ГЪ) и д,(Го)<£<1, где 9,(ГЬ) -функция, определяющая продвижение границы раздела во времени (рис. 1). При этом в области, расположенной за фронтом температурного возмущения, сохраняется начальная температура. Первая стадия процесса заканчивается при ДО- Рис. ]. Расчетная схема теплообмена

стижении движущейся границей центра пластины (£ = 1), т.е. когда Ро ----- Го,. Во второй стадии изменение температуры происходит по всему объему тела 0< 1. Здесь вводится в рассмотрение дополнительная искомая функция (Ро), характеризующая изменение температуры во времени в центре пластины.

Математическая постановка краевой задачи для первой стадии процесса имеет вид

^ = (0_<Го_<Го,; (28)

дРо ос,

©(0,Го) = 1; (29) <Э((7|,Го)=0; (30) дв(дх,Ро)1д£ = 0, (31)

где соотношения (30), (31) представляют условия сопряжения прогретой и не прогретой зон.

В связи с принятием допущения о равенстве температуры тела на фронте температурного возмущения £ = <7,(Го) его начальной температуре, обратим внимание на тот очевидный факт, что на первой стадии процесса задача (28) -(31) за пределами фронта температурного возмущения, т. е. на отрезке д,(Ро) < £ < 1, вообще не определена. В связи с чем, здесь нет необходимости выполнения начального условия вида (25) по всей толщине пластины (поэтому такое условие отсутствует в математической постановке задачи (28) - (31)).

Решение задачи (28) - (31) разыскивается в виде следующего полинома

(32)

где неизвестные коэффициенты ак ) находятся из граничных условий (29)-(31). После их определения соотношение (32) принимает вид

Интеграл теплового баланса для уравнения (28) имеет вид

ЗГо

Подставляя (33) в (34), получаем

Чг

5 = 6 е№о

(33)

(34)

(35)

Интегрируя уравнение (35), при начальном условии <7,(0) = 0 находим д,(Ро) = л/12/ч> . Время окончания первой стадии процесса (при 9,(^0,) = 1) будет = 0,083333.

Соотношение (33) определяет решение задачи (28) - (31) в первом приближении. Расхождение с точным решением составляет 6-8 %.

Повышение точности решения связано с увеличением степени полинома (32). Для определения неизвестных коэффициентов необходимо привлекать дополнительные граничные условия. Для их получения будем последовательно дифференцировать граничные условия (29)-(31) по переменной Ро, а уравнение (28)- по переменной £. Сравнивая получающиеся при этом соотношения, можно найти любое количество дополнительных граничных условий. Получаемые таким путем первое, второе и третье дополнительные граничные условия имеют вид

а2©(0,/=Ь)/а^=0; д2@(д„Ро)/д? = 0; дгв(д 1,Ро)/д? =0 . (36)

Во втором приближении, используя дополнительные граничные условия (36), совместно с заданными (29)-(31), можно найти уже шесть коэффициентов полинома (32), который в данном случае приводится к виду

2?,

(37)

Подставляя (37) в (34), находим

<7,^=10 ¿Ро. (38)

Интегрируя (38), при начальном условии (0) = 0 получаем д, = л/20Ро.

Соотношение (37) определяет решение задачи (28)-(31) во втором приближении. Анализ расчетов по формуле (37) в сравнении с точным решением позволяет заключить, что в диапазоне чисел Фурье 1 • 10~5 < Ро < Ро^ = 0,05 их отклонение составляет 1-2%.

Для получения решения в третьем приближении дополнительные граничные условия имеют вид

а4в(0.Д»)-0. д*@(д„Ро) Э'еЬ.Ду) ««

б? ' ' е? '

Соотношение (32) в третьем приближении будет

' £ ■ ^ ^ 1 + 3-2- + 3\

Ч\

(40)

Подставляя (40) в (34), находим

Ъд хйд, = 72 ¿Ро . (41)

Интегрируя последнее уравнение, при начальном условии <7, (о) = 0 получаем

д ,{Ро) = 12л/5РЪ/5. Время окончания первой стадии процесса Ро, = 0,03472.

Дополнительные граничные условия в четвертом приближении имеют вид

э^6 ' а^6 ' э^7

Решение задачи в четвертом приближении будет

©(£.*») = (42)

»»о

где д= 2%/4б2/-о / 7; Л0 = 1; Л, =-55/16; Л2=Л4=Л6=0; Л3 =165/16;

Л5 =-231/8; =825/8; Л8=-165; /4, =1925/16; Л,„ = -44; =105/16.

Были также получены решения в пятом, седьмом, десятом и четырнадцатом приближениях. Времена окончания первой стадии процесса для десятого и четырнадцатого приближений соответственно будут .Го, = 0,010992 и Fo1 = 0,00784.

Анализируя результаты, можно заключить, что обыкновенные дифференциальные уравнения относительно функции д{(Ро) в любом приближений имеют одинаковый вид и отличаются лишь коэффициентами, что существенно упрощает их решение.

Результаты расчетов для 3-го, 7-го, и 14-го приближений в сравнении с точным решением даны на рисунке 2. Их анализ приводит к заключению о том, что с увеличением числа приближений решение всякий раз уточняется. Так, уже в седьмом приближении значения температур в диапазоне чисел 5-10 9< Рой Ро{ отличаются от точных их значений не более чем на 0,002 %, а в четырнадцатом приближении - на 0,0004 %. Следует отметить трудности получения точного решения для столь малых чисел Фурье. В частности, расчеты показали, что при Ро = 10"7 для сходимости точного решения необходимо использовать около 2000 членов ряда. Для чисел Ро = 10"'; Ю-9; 10~'°; 10""; IО"12 сходимость точного решения наблюдается соответственно при следующих величинах чисел ряда: 5000; 10000; 50000; 200000; 500000.

С целью дополнительного более глубокого анализа получаемых с помощью интегрального метода решений проведем исследование закономерности изменения фронта температурного возмущения q^(,Fo) во времени в сравнении с точным решением. Графики перемещения <7, (Л?) по координате £, во времени даны на рис. 3.

Рис. 2. Изменение относительной избыточной температуры в пластине. 1 - третье приближение; 2-седьмое; 3 - четырнадцатое; 4-точное решение

4 д,.10'5

Рис. 3. Кривые перемещения фронта температурного возмущения <7,(/ч>) по координате | во времени Ро ■ 1, 2, 3, 4, 5, 7, 10,14 - номер приближения

Их анализ позволяет заключить, что с увеличением числа приближений время (.Го,) достижения фронтом температурного возмущения координаты 1 уменьшается. Так, например, в первом приближении оно составляет Го, = 0,0833. Расхождение с точным решением в точке £ = 1 в первом приближении составляет 2,48 %.

Время окончания первой стадии процесса во втором приближении Ро, = 0,05 . Погрешность второго приближения по отношению к точному решению составляет 0,31 %, в третьем приближении - 0,0295 %, в четвертом - 0,0028177 %, в четырнадцатом - 0,27853 8 • 10"'2 %.

Анализ полученных результатов позволяет заключить, что с увеличением числа приближений точность полученного решения возрастает, а величина Ро, приближается к нулевому значению (Го, -> 0). Полученный результат полностью согласуется с гипотезой о бесконечной скорости распространения теплового возмущения, лежащей в основе вывода параболического уравнения теплопроводности вида (24). Согласно этой гипотезе с момента начала действия граничного условия 0(0, Го)= 0 при £ = 0 температура на всем отрезке координаты 0 < £ < 1, в том числе и в центре пластины (£ = 1), уже не равна начальной температуре ©(¿;,0) = 1 и отличается от нее на некоторую (а в центре пластины на бесконечно малую) величину.

Вторая стадия теплового процесса, соответствующая времени Ро>Ро,, характеризуется изменением температуры уже по всему сечению пластины вплоть до наступления стационарного состояния. Для этой стадии понятие термического слоя теряет смысл, и в качестве дополнительной искомой функции принимается функция в(1,Ро)= д2(Ро), характеризующая изменение температуры от времени в центре пластины (рис. 1).

Математическая постановка задачи для второй стадии процесса имеет вид

(43)

дРо ОС,

©(0,Л>)=1 ; 0(1 ,Ро)=д2(Ро); д&{\,Ро)/д^ = 0. (44)

Задача (43), (44) не содержит начального условия, что связано со следующими обстоятельствами. При Го = Ро1 д,(Го,) = 1 и д2(Го,) = 0 . Граничные условия (44) в этом случае становятся идентичными граничным условиям (29)-(31), и, следовательно, математические постановки задач (43), (44) и (28)-(31) полностью совпадают. Таким путем происходит плавный переход от первой стадии процесса ко второй.

Как и в первой стадии, решение задачи (43), (44) разыскивается в виде полинома и-ой степени

2Х(<ьК*. (45)

»-о

Неизвестные коэффициенты Ьк (к = 0,1,2) находятся из граничных условий (44). После их определения и подстановки в (45) получаем

в(£,*Ь) = 1-(1-91К<2-£). (46)

Для нахождения решения в первом приближении составим невязку дифференциального уравнения (43) и проинтегрируем ее в пределах от £ = 0 до £ = 1, т. е.

(47)

о о¥о {

Подставляя (46) в (47) и определяя интегралы, относительно неизвестной функции д2 (Ро) приходим к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению

(48)

ого

Интегрируя уравнение (48), при начальном условии д2(Ро1) = 0 получаем

= 1-ехр[-3(Я>-Я»,)]. (49)

где /Ъ, = 0,0833 .

Соотношения (46), (49) представляют решение задачи (43), (44) в первом приближении. Отличие полученного решения от точного составляет 8 %.

Увеличение точности решения связано с увеличением числа членов ряда (45). Появляющиеся при этом дополнительные неизвестные коэффициенты Ьк могут быть найдены из дополнительных граничных условий, которые получаются аналогично методу, изложенному выше, и имеют вид

—ар—о, (50)

Соотношение (45) тогда будет

Подставляя (51) в (47), находим

И с/2а2 9 (¿а2 5 5 --Ц- + —^ + —

240 яТ-о 2 2 2

Общее решение уравнения (52) разыскивается в виде суммы двух функций

?2(Л>) = г?+<р, (53)

где г} - частное решение неоднородного уравнения (52) (г? = 1); <р - общее решение соответствующего однородного уравнения.

Характеристическое уравнение для однородного уравнения будет

ц2 +24,545455 ц + 54,545455= 0. (54)

Из его решения находим ц, = -2,471; ¡л2 = -22,074.

— = 0. (52)

Полученные собственные числа незначительно отличаются от собственных чисел краевой задачи Штурма-Лиувилля, точные значения которых ц, = 2,467401; ц2 =22,206609.

С учетом найденных частного и общего решений соотношение (53) принимает

вид

g2(Fo) = l-1,1261 ехр [- 2,4709 (Fo - Fo,)] + 0,1261 exp [- 22,0745 (Fo -Fo,)]. (55)

Подставляя (55) в (51), находим ©(£,Fo)= l-(l,772^-0, m? + 0,065£4 +0,05£3)exp [- 2,47l(Fo- Fo, )]-

- (o,728| - 4,239^3 + 4,93 5£4 -1,55f5 )exp [- 22,07<Fo - Fo,)], (56) где Fo, = 0,05 (найдено во втором приближении первой стадии процесса). Расхождение решения (56) с точным не превышает 0,5 %. Аналогично можно получить решение и в последующих приближениях.

4. В четвертой главе диссертации рассматриваются вопросы применения изложенного в третьей главе метода к исследованию моделей теплопроводности с переменными во времени граничными условиями и источниками теплоты. Приведены результаты исследования следующих моделей:

- модель теплопроводности с переменной во времени температурой стенки (температура стенки - линейная функция времени);

- модель теплопроводности с переменными во времени граничными условиями третьего рода (температура среды - линейная функция времени);

- модель теплопроводности с переменными во времени коэффициентами теплоотдачи;

- с переменными во времени граничными условиями 2-ого рода (тепловой поток - линейная функция времени);

- модель теплопроводности с переменными во времени внутренними источниками теплоты;

- модель теплопроводности с переменным начальным условием;

- модель теплопроводности с несимметричными граничными условиями.

Для каждой из рассмотренных задач приведены карты изотермических линий и графики скоростей движения изотерм.

Например, приближенное аналитическое решение задачи теплопроводности для пластины при граничных условиях 3-его рода при линейной зависимости коэффициента теплоотдачи от времени а(г) = а0(1 +/Зт) в первом приближении первой стадии процесса имеет вид

®{^Fo)=Bi(\ + PdFo)(qx -2£ + <f(l+PdFo) + 2\

где g,l(Fo)=2,6079Fo°'51" при Bi = 1, Prf = l.

Для различных Bin Pd в формуле для ?,(Fo) будут изменяться лишь числовые коэффициенты.

5. В пятой главе диссертации рассмотрены наиболее сложные модели краевых задач, включая нелинейные задачи, решения для которых до сих пор не получены. С использованием метода, изложенного в третьей главе, приведены результаты исследования нелинейных моделей теплопроводности н моделей с переменными по пространственной координате физическими свойствами среды. И, в частности, приведены результаты исследования следующих моделей:

- нелинейная модель теплопроводности при линейной и степенной зависимости коэффициента температуропроводности от температуры;

- нелинейная модель теплопроводности с внутренними источниками теплоты;

-модель теплопроводности с экспоненциальной зависимостью коэффициента

теплопроводности от пространственной координаты.

Решение нелинейной задачи теплопроводности для пластины с внутренним источником теплоты при линейной зависимости коэффициента температуропроводности а(Г) = а0(1 + рТ) в первом приближении первой стадии процесса записывается следующим образом

0(у,Гн) = Д Т + (РоРо - Д Т) (2 -у/д,)у/д,; Ро = со82/10;

9, (Fo)= ^4 + [ЗД77о(1 + РТ„ )(Д Т + PoFo) + РоlFoz ] /(ДГ + PoFof.

6. В шестой главе диссертации приводятся результаты исследований конвективного теплообмена в потоках жидкостей, выполненных с использованием изложенного в третьей главе метода решения краевых задач. Большое внимание уделено проблеме получения аналитических решений задач для динамического и теплового пограничных слоев.

Математическая постановка задачи для динамического пограничного слоя включает уравнения Прандтля с соответствующими граничными условиями

ди ди д2и до Зи„

(5?) ^ + ^ = <58>

где v = [i/p -кинематическая вязкость жидкости; их, иу - составляющие скорости по соответствующим координатным осям; х, у — координаты.

Граничные условия для уравнений (57) и (58) будут

u,U=w>-U>=0; (59) 4.U-M = и = const; (60)

?Ц о; (61)

ду l,=sll) V ' ду'

где <S(x) - толщина динамического пограничного слоя; и - скорость невозмущенного потока вдоль оси х.

Математическая постановка задачи для теплового пограничного слоя включает уравнение Польгаузена с соответствующими граничными условиями

а Их, у) iv dt(x,y)_J2 f(x,y).

дх у ду ду

дЦх, Д) = 0. д2 t(x,0)

ду ' ■ ду

«х)=о; (6i) Vf[^o=o, (62)

J ду ду2

/(*,<» = /„; (64) t(x,Д) = ^; (65) М^) = 0; (66) = (67)

где г - температура, - температура стенки, - температура среды; а - коэффициент температуропроводности; А(х) - толщина теплового пограничного слоя.

В теории пограничного слоя доказывается, что при V = а задачи (57) - (62) и (63) - (67) оказываются подобными, и, следовательно, распределения безразмерных скоростей и температур будут одинаковыми.

Задачи (57) - (62) и (63) - (67) являются нелинейными. Их точные решения в настоящее время не получены. Найдены лишь решения путем численного интегрирования дифференциальных уравнений (57), (58) и (63).

Для облегчения процесса получения аналитического решения уравнений (57), (58) путем их осреднения по координате у эти уравнения приводятся к одному интегральному уравнению вида (уравнение Кармана)

(68)

Путем аналогичного осреднения уравнения (63) оно приводится к интегральному уравнению Г.Н. Круясилина

= (69)

сбс 5 ду

где Т(х,у) = Г(х,у)-гя; Т^ =/ср -/сг.

Решения краевых задач с использованием уравнений Кармана и Г.Н. Кружилина с соответствующими граничными условиями вида (59) - (62) и (64) - (67) в известной литературе получены лишь в первом приближении. Отличие таких решений от результатов численного интегрирования (точные решения) находятся в пределах 4-10%. Причем, основная погрешность решения связана с неточным выполнением уравнений (57), (58) и (63) (граничные условия и уравнения (68), (69) в данном случае выполняются точно).

В настоящей работе путем применения дополнительных граничных условий получены аналитические решения задач (57) - (62), (63) - (67) практически с заданной степенью точности. Так, уже в четвертом приближении отличие получаемых решений от результатов численного интегрирования не превышает 0,01 %.

Применительно к решению динамической задачи дополнительные граничные условия для получения решения в четвертом приближении имеют вид

<™.

Аналитическое решение задачи для динамического пограничного слоя в четвертом приближении будет

+462Й6 -825Г—Т+825Г4■ ■ ~г>Г - -¿у

, , . , , ____, , , , +154 — -21 — , (71)

4 8 2 \8) \8) \8) \8) 4 \8) ^

8(х) = 8,25724 ^ух/и = 8,25724 (72)

Ввиду полной аналогии задач (57) - (62) и (63) - (67) при v = a (Рг = I) аналитическое решение задачи для теплового пограничного слоя имеет вид (71), где вместо 5(х) следует применять Д(х), определяемое по формуле

Д(х) = 8,017 х/фх/vlfTâ). (73)

Критериальное уравнение для определения коэффициентов теплоотдачи а с использованием формул (71) - (73) приводится к виду

Nu, = 0,3432 Jkë^ ■ УРг. (74)

где Nhx = ах/Л -КритерийНуссельта; Re^ = vx/v.

В диссертации приведено решение задачи (63) - (67) в случае, когда вместо граничного условия (64) задано граничное условие третьего рода вида

<^Цг(*,0) = 0. (75)

ду Я

Отметим, что аналитическое решение задачи (63), (65) - (67), (75) в настоящее время не получено даже в первом приближении. Решение путем численного интегрирования уравнения (63) найдено А. Азизом в 2009 г. (Aziz A. A similarity solution for laminar thermal boundary layer over a flat plate with a convective surface boundary condition Commun Nonlinear Sci Numer Simulât 14 (2009) 1064-1068).

Используя дополнительные граничные условия, в диссертации получено аналитическое решение задачи (63), (65) - (67), (75) в первом, втором, третьем и четвертом приближениях. Результаты расчетов безразмерных температур (см. табл. 3) показывают, что расхождение с точным решением (численное интегрирование, А. Азиз) не превышает 0,01 % (для табл. 3 ц = y-Ju/vx = 0; Рг = 0,72).

Таблица 3

Bi 0,05 0,1 0,4 0,8 5 10 20

0 по формуле(131) 0,1395 0,2449 0,5648 0,7219 0,9419 0,9701 0,9848

0 точное решение 0,1447 0,2528 0,5750 0,7302 0,9441 0,9713 0,9854

7. В седьмой главе диссертации приводятся результаты применения полученных в диссертации решений для решения обратных задач теплопроводности по определению коэффициентов теплоотдачи на внутренней поверхности барабана котла БКЗ-420-140 HTM, а также на внутренних поверхностях стенок многослойных конструкций коллекторов газотурбинных двигателей.

В процессах сброса давления при плановых или аварийных остановах парового котла происходит вскипание жидкости в его барабане, что приводит к существенному возрастанию коэффициентов теплоотдачи на границе жидкость-стенка. Ввиду понижения температуры жидкости при сбросе давления и возрастания коэффициентов теплоотдачи происходит переохлаждение внутренней поверхности стенки барабана котла в области отверстий, к которым присоединяются экранные трубы. В результате возникают градиенты температур, приводящие к появлению напряжений, превышающих предел прочности материала барабана, что в итоге приводит к появлению трещин в отверстиях барабанов котлов, устранение которых связано с большими затратами финансовых средств.

Путем решения обратной задачи теплопроводности на основе полученного в диссертации решения прямой задачи, а также с использованием экспериментальных данных по изменению температуры на внешней поверхности барабана котла в процессе сброса давления были найдены коэффициенты теплоотдачи на внутренней его поверхности. Их величина оказалась равной 470 Вт/(м2К).

По найденному значению коэффициентов теплоотдачи было рассчитано температурное состояние стенки барабана, с использованием которого были найдены температурные напряжения в стенке барабана котла в зоне отверстий, к которым присоединяются экранные трубы. Их анализ показал, что максимальных значений температурные напряжения достигают в основном на внутренней кромке отверстий. Исследование различных вариантов конфигурации внутренней кромки отверстий показали, что выполнение фаски на кромке отверстия глубиной до 1 см. (при толщине стенки 11 см.) позволяет более чем в 2 раза снизить величину напряжений, возникающих в нестационарном режиме сброса давления и, тем самым, практически устранить процесс трещи-нообразования. В частности, напряжения снижаются с 65 кг/мм2 до 30 кг/мм2. Отметим, что предел прочности на растяжение для материала барабана котла составляет 47 кг/мм2.

В седьмой главе диссертации приводятся также результаты решения задачи по определению начала и продолжительности пленочного кипения топлива (керосина) на стенках многослойных (тепловая изоляция - металлическая стенка - отложения кокса на внутренней стенке трубопровода) топливных коллекторов авиационных газотурбинных двигателей в процессе их запуска из горячего состояния. Данное исследование было связано с определением коэффициентов теплоотдачи на внутренней поверхности стенки. Они находились путем решения обратной задачи теплопроводности на основе полученного в диссертации решения прямой задачи при использовании экспериментальных данных по температуре на внешней поверхности металлической стенки трубопровода.

Исследования показали, что при отсутствии пленочного кипения коэффициенты теплоотдачи на границе жидкость-стенка при скорости течения топлива 4 м/сек достигают 2500 - 3000 Вт/(м2К). В случае, когда стенка оказывается существенно перегретой по отношению к жидкости, например, при останове двигателя и повторном запуске, коэффициенты теплоотдачи уменьшаются до 60-100 Вт/(м2К), что явно свидетельствует о наличии пленочного кипения (парового пузыря) на стенке. Исследования показали, что продолжительность кипения может достигать 8-12 сек. и прекращается при охлаждении стенки до величин, безопасных для возникновения кипения. Отметим, что в процессе кипения топлива происходит отложение кокса (углеродных составляющих топлива) на внутренних поверхностях стенок топливных коллекторов. Это, в свою очередь, приводит к уменьшению внутреннего диаметра трубок коллектора, что влечет уменьшение расхода топлива и, следовательно, к уменьшению мощности двигателя.

В диссертации даны рекомендации по радикальным мерам предотвращения пленочного кипения. К ним, в частности, относятся применение тепловой изоляции на внешней и внутренней поверхности трубопровода, а также закручивание потока (его турбулизация) на участках трубопровода, наиболее подверженных пленочному кипению.

Аналогично, путем решения обратных задач теплопроводности для ряда конструкций газотурбинных двигателей была также найдена толщина коксовых отложений 22

на внутренних поверхностях трубок топливных коллекторов. И, в частности, при диаметре трубок 10 мм толщина отложений, согласно проведенным исследованиям, может достигать 1-1,5 мм. При этом расхождение с экспериментальными данными, полученными путем вскрытия трубок коллекторов, составляет около 20 %.

8. В восьмой главе диссертации даны основные положения используемых в работе численных методов решения задач теплопроводности и тепломассопереноса. Рассмотренные методы были использованы для решения следующих краевых задач: для многослойной конструкции; с переменным начальным условием; нелинейной задачи теплопроводности при линейной зависимости коэффициента температуропроводности от температуры; задачи теплообмена при течении жидкости в плоском канале. Для решения указанных задач разработаны комплексы программ. Данные программные комплексы, реализующие метод конечных разностей, разработаны в среде разработки приложений Delphi (фирма-производитель программного продукта - Borland).

Программные комплексы, реализующие аналитические методы решения краевых задач, приведенных в третьей, четвертой, пятой и шестой главах диссертации, предусматривают выполнение необходимых математических расчетов, проведение сравнительного анализа полученных в диссертации результатов решения с результатами известных точных методов и построение соответствующих графиков. Данные программные комплексы реализуют единый для всех вышеперечисленных задач алгоритм. Унифицированная блок-схема данного алгоритма приведена в приложениях диссертации.

Данные программные комплексы разработаны с помощью математического пакета инженерных расчетов Mathcad 13 (фирма-производитель программного продукта-Mathsoft) для каждой краевой задачи. В качестве конкретного примера в приложениях диссертации приведено решение нелинейной задачи теплопроводности для первой и второй стадий процесса в первом и втором приближении.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Решена важная научная проблема, имеющая большое практическое значение, по разработке нового направления математического моделирования аналитических решений краевых задач теплопроводности и тепломассопереноса, основывающегося на введении дополнительных граничных условий, позволяющих в аппроксимационном представлении приближенного решения определять любое число его слагаемых и получать аналитические решения сложных линейных и нелинейных задач практически с заданной степенью точности.

2. Обоснована необходимость применения и разработана математическая модель построения дополнительных граничных условий, получаемых из исходного дифференциального уравнения краевой задачи с использованием основных граничных условий. Подчинение решения дополнительным граничным условиям эквивалентно выполнению исходного дифференциального уравнения во всем диапазоне изменения пространственной координаты и времени. В диссертации показано, что собственные числа, определяемые из характеристических уравнений, полученных на основе использования дополнительных граничных условий, при большом числе приближений практически совпадают с собственными числами соответствующей краевой задачи Штурма-Лпувилля, решение которой находится классическими методами. Следова-

23

тельно, решение с использованием дополнительных граничных условий с увеличением числа приближений приближается к точному.

3. Разработана математическая модель построения дополнительных граничных условий, выполнение которых эквивалентно удовлетворению исходного дифференциального уравнения в граничных точках области и на фронте температурного возмущения. Так как область перемещения'фронта температурного возмущения включает весь диапазон изменения пространственной координаты, то, следовательно, чем большее количество приближений (дополнительных граничных условий) будет использовано, тем лучше будет выполняться исходное уравнение внутри области. В диссертации показано, что с увеличением числа приближений скорость перемещения фронта температурного возмущения устремляется к бесконечному значению, что полностью согласуется с гипотезой о бесконечной скорости распространения теплового возмущения, положенной в основу вывода параболического уравнения теплопроводности (Фурье).

4. С использованием понятия фронта температурного (динамического) возмущения и дополнительных граничных условий впервые с заданной степенью точности построена математическая модель аналитических решений нелинейных краевых задач динамического и теплового пограничных слоев при граничных условиях первого и третьего рода на стенке. Показано, что уже в четвертом приближении получаемые решения отличаются от точных (численное интегрирование исходных нелинейных дифференциальных уравнений) не более чем на 0,01 %. На основе полученных решений уточнены критериальные уравнения, используемые для определения коэффициентов теплоотдачи и касательных напряжений в пограничном слое движущейся жидкости.

5. Используя разработанные в диссертации математические модели, получены аналитические решения следующих краевых задач, точные аналитические решения которых в настоящее время не найдены: нелинейные задачи теплопроводности при степенной зависимости физических свойств от температуры; нелинейные задачи с внутренним источником теплоты при линейной зависимости коэффициента температуропроводности от температуры; задачи теплопроводности с переменным по пространственной координате начальным условием; задачи теплопроводности с переменными во времени коэффициентами теплоотдачи; задачи теплопроводности для многослойных конструкций и др.

6. С использованием дополнительных граничных условий разработан итерационный способ нахождения решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяющий получать приближенные аналитические решения высокой точности для уравнений, точное интегрирование которых не представляется возможным.

7. Важной особенностью получаемых при использовании дополнительных граничных условий аналитических решений является полиномиальная зависимость температуры от пространственной координаты в отличие от классических точных аналитических решений, где такая зависимость выражается через тригонометрические функции. Полиномиальная зависимость позволяет получить решение в виде поля изотермических линий, а также определять скорости движения изотерм (изотах и других линий равного потенциала) по пространственной координате во времени.

8. На основе решения обратных задач теплопроводности с использованием полученных в диссертации решений прямых задач определены временные границы пленочного кипения на поверхностях стенок многослойных топливных коллекторов газо-24

турбинных двигателей, приводящего к отложению кокса на внутренних поверхностях трубопроводов. Показано, что процесс пленочного кипения обусловлен перегревом стенок коллектора и его продолжительность зависит от времени их охлаждения. Разработанные рекомендации - защита стенок от перегрева (наложение внешней изоляции) и турбулизация потока (применение завихрителей) позволили практически исключить возникновение пленочного кипения.

9. Путем решения обратных задач теплопроводности с использованием приведенных в диссертации решений прямых задач определены значения коэффициентов теплоотдачи на внутренних кромках отверстий в барабанах котла БКЗ-400-140 HTM. Показано, что в процессах плановых (или аварийных) остановов происходит сброс давления пара (воды), сопровождающегося вскипанием части жидкости, находящейся в барабане. В диссертации показано, что в процессе кипения коэффициенты теплоотдачи возрастают с 40 Вт/(м2К) до 470 Вт/(м2К) с одновременным понижением температуры жидкости на 40-50ЭС. Высокие значения коэффициентов теплоотдачи приводят к переохлаждению материала барабана на тонких кромках его отверстий, что, в свою очередь, способствует возникновению температурных напряжений, превышающих предел прочности для данного материала. По результатам выполненных исследований разработаны рекомендации по уровню и времени сбрасываемых давлений с целью уменьшения интенсивности кипения жидкости.

10. На основе использования метода конечных элементов найдены температурные напряжения в отверстиях барабана парового котла БКЗ-420-140 HTM Самарской ТЭЦ (в зоне присоединения к барабану экранных труб котла). Разработанные в диссертации рекомендации по снижению температурных градиентов в зоне отверстий и по изменению их конфигурации позволили более чем в два раза снизить величину температурных напряжений и, тем самым, существенно уменьшить вероятность появления дефектов в виде трещин на внутренних кромках отверстий барабана.

11. На основе аналитического решения задачи теплопроводности для многослойной конструкции с использованием экспериментальных данных по изменению температуры на внешней поверхности многослойной конструкции топливного коллектора газотурбинного двигателя путем решения обратной задачи теплопроводности найдена толщина коксовых отложений на внутренних поверхностях трубопроводов, составляющая 1-1,5 мм. Вскрытие трубок (обычный способ определения толщины коксовых отложений) показало, что расхождение расчетных данных с результатами эксперимента не превышает 20 %, что подтверждает эффективность такого метода оценки толщины коксовых отложений.

12. Разработанные в диссертации численные методы и комплексы программ к ним позволили найти решения многих задач и сравнить их с приведенными в диссертации аналитическими решениями.

13. Полученные в диссертации аналитические решения задач динамического и теплового пограничных слоев, а также задач теплообмена для жидкостей, движущихся в трубах, были применены при разработке компьютерных моделей теплосетей ТЭЦ и крупных городов (Самара, Ульяновск, Тольятти, Саратов, Новокуйбышевск, Балако-во). При этом были использованы данные, связанные с определением толщины пограничных слоев, необходимые для определения используемых в моделях величин коэффициентов теплоотдачи и гидравлических сопротивлений. Эти данные способствовали

построению компьютерных моделей, наиболее приближенных к реальным гидравлическим системам.

14. На основе многовариантных расчетов температурного состояния взрывчатых веществ, подверженных воздействию импульсного лазерного излучения, найдены частота колебаний и мощность излучения, при которых происходит прогрев и воспламенение вещества без его испарения, прекращающего процесс горения. Математическая модель включала граничное условие второго рода при гармоническом изменении мощности теплового потока. В данном случае моделировались отрезки времени мил-лисекундных длительностей. По результатам исследований для ряда взрывчатых веществ, инициируемых по стекловолокну, выданы рекомендации по величинам мощности теплового потока и частотам его колебаний во времени, при которых прогрев вещества осуществляется в заданном интервале температур.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

СТАТЬИ

1. Стефанюк Е.В. Управление потоком лазерного излучения при обработке материалов. // Известия вузов. Проблемы энергетики. № 5-6, Казань, 2009. С. 10-17.

2. Стефанюк Е.В., КудиновВ.А. Получение приближенных аналитических решений при рассогласовании начальных и граничных условий в задачах теории теплопроводности. // Известия вузов. Математика. № 4. Казань. 2010. С. 63-71.

3. СтефанюкЕ.В., КудиновВ.А. Получение аналитических решений задач теплопроводности при переменных во времени граничных условиях второго рода. // Известия вузов. Проблемы энергетики. № 3-4. Казань. 2009. С. 27-39.

4. Антимонов М.С., Стефанюк Е.В., Кудинов В.А. Аналитические решения задач теплопроводности для цилиндра и шара на основе определения фронта температурного возмущения. // Журнал вычислительной математики и математической физики, Т. 48, № 4, Москва, 2008 г. С. 681-692.

5. СтефанюкЕ.В., КудиновВ.А. Дополнительные граничные условия в нестационарных задачах теплопроводности. // Теплофизика высоких температур. Т. 47. № 2. Москва, 2009. С. 269-282.

6. Стефанюк Е.В., Кудинов В.А, Получение аналитических решений уравнений гидродинамического и теплового пограничного слоя на основе введения дополнительных граничных условий. //Теплофизика высоких температур. Т. 48. № 2. Москва. 2010. С. 290-302.

7. Аверин Б.В., Кудинов В.А., Стефанюк Е.В. Температурные напряжения в многослойном полом сферическом теле при его нагреве постоянными источниками. // Теплофизика высоких температур. Т. 44. № 5. Москва, 2006. С. 700-716.

8. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Анализ нелинейной теплопроводности на основе определения фронта температурного возмущения. // Теплофизика высоких температур. Т. 44. № 3. Москва, 2006. С. 577-585.

9. Стефанюк Е.В., Кудинов В.А. Задачи теплопроводности для пластины, цилиндра и шара на основе определения фронта температурного возмущения. // Тепловые процессы в технике. № 4. Москва. 2009. С. 204-213.

10. Стефанюк Е.В. Аналитические решения задач теплообмена при ламинарном течении жидкости в трубах. // Вестник СамГТУ. Сер. Физ.-мат. науки. Вып. 42. Самара. 2006. С. 41-45.

11. Стефанюк Е.В. Аналитические решения задач теплопроводности при переменных во времени источниках теплоты. // Вестник СамГТУ. Серия «Технические науки», № 1(23) - 2009. С. 204 - 213.

12. Стефанюк Е.В., Радченко В.П. Теплопроводность в пластине при переменных во времени граничных условиях третьего рода. Температура среды - экспоненциальная функция времени. // Вестник СамГТУ. Сер.: Физ.-мат. науки. Вып. 26. Самара. 2004. С. 21-26.

13. Стефанюк Е.В., Кудинов В.А. Аналитические решения задач теплопроводности при переменных во времени коэффициентах теплоотдачи. // Вестник СамГТУ. Серия Физ.-мат. науки. № 2(17). Самара. 2008. С. 171-184.

14. Стефанюк Е.В., Аверин Б.В., Кудинов И.В. Получение аналитического решения уравнений гидродинамического пограничного слоя на основе введения дополнительных граничных условий. // Известия Самарского научного центра РАН. Специальный выпуск. «Актуальные вопросы тепло- и массообмена, энергоэффективность, исследование вихревых закрученных потоков». 2008. С. 39-46.

15. Стефанюк Е.В., Кудинов И.В., ЛаргинаЕ.В. Построение приближенных аналитических решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений на основе использования дополнительных граничных условий. //Вестник СамГТУ. Серия Физ.-мат. науки. № 1 (18). Самара. 2009. С. 122-132.

16. Дикоп В.В., Стефанюк Е.В., Волков Е.В. Расчет напряженно - деформированного состояния в отверстиях барабанов котлов. // Вестник СамГТУ. Вып. 20. Серия «Тех. науки». Самара. 2004. С. 152-155.

17. Кудинов В. А., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А., Дикоп В.В. Применение метода координатных функций для решения обратных задач теплопроводности. // Вестник СамГТУ. Вып. 20. Серия «Тех. науки». Самара. 2003. С. 161-168.

18. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Анализ нелинейного теплоперсноса на основе определения фронта температурного возмущения. // Теплофизика высоких температур. № 4. Москва, 2005. С. 1-9.

19. Кудинов В.А., Дикоп В.В., Назаренко С.А., Стефанюк Е.В. Метод координатных функций в нестационарных задачах теплопроводности для многослойных конструкций. //Вестник СамГТУ. Вып. 19. Серия«Физ-мат. науки». Самара. 2003. С. 12-15.

20. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В. Задачи теплопроводности на основе определения фронта температурного возмущения. // Изв. АН Энергетика. № 5. Москва, 2008. С. 141-157.

21. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В. Решения задач теплопроводности при переменных во времени граничных условиях на основе определения фронта температурного возмущения. // Изв. АН Энергетика. № 1. Москва, 2007. С. 55-68.

22. Аверин Б.В., Кудинов В.А., Назаренко С.А., Стефанюк Е.В. Метод дополнительных граничных условий в задачах теплопроводности на основе интеграла теплового баланса. // Изв. АН Энергетика. № 4. 2005. С. 119-127.

23. Кудинов В.А,, Дикоп В.В., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Метод координатных функций в несимметричных задачах теплопроводности. // Вестник СамГТУ

27

серия «Математическая». Выпуск 22. «Дифф. уравнения и их приложения». № 2. Самара. СамГТУ. 2003. С. 136-142.

24. Стефанюк Е.В. Переменные во времени граничные условия в задачах теплопроводности для многослойных конструкций. // Аспирантский вестник Поволжья. № 2 (8) 2004 г. С. 63-67.

25. Кудинов В.А., Дикоп В.В., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Об одном методе решения нестационарных задач теплопроводности для многослойных конструкций. // Инженерно-физический журнал. Т. 78. № 2.2005. С. 24-28.

26. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В., Антимонов М.С. Интегральные методы в задачах теплопроводности с переменным начальным условием. //Межвуз. сб. научн. тр. «Дифф. уравнения и их приложения». № 1. Самара. СамГТУ. 2006.

27. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В. Аналитические решения задач теплопроводности с переменным начальным условием на основе определения фронта температурного возмущения. //Инженерно-физический журнал. Т. 80, №3. 2007. С. 27-35.

28. Кудинов В. А., Стефанюк Е.В., Антимонов М.С. Аналитические решения задач теплообмена при течении жидкости в плоскопараллельных каналах на основе определения фронта температурного возмущения. //Инженерно-физический журнал. Т. 80, № 5. 2007. С. 176-186.

29. Стефанюк Е.В. Точные аналитические решения задач теплопроводности на основе определения фронта температурного возмущения. //Вестник СамГТУ, серия «Математическая». Самара. № 2 (6). 2007 г. С. 54-71.

30. Стефанюк Е.В., Кудинов В.А. Анализ распределения изотерм и скоростей их движения в задачах теплопроводности с граничными условиями третьего рода. // Вестник СамГТУ, серия «Математическая» . № 2 (6). Самара. 2007 г. С. 72-93.

31. Кудинов В.А., Стефанюк Е.В., Аверин Б.В., Поворина А.И. Метод дополнительных граничных условий в стационарных двумерных задачах теплопроводности с источниками теплоты. // Вестник СамГТУ, серия «Математическая». № 1 (5). Самара. 2007 г. С. 61-64.

32. Кудинов В.А., Стефанюк Е.В. Получение аналитических решений задач теплопроводности на основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий. Обзор. //Вестник СамГТУ, серия «Математическая». № 1 (7). Самара. 2008 г. С. 4-25.

33. Стефанюк Е.В., Кудинов И.В., Ларгина Е.В. Обобщенные функции в задачах теплопроводности для многослойных конструкций. //Вестник СамГТУ, серия «Математическая». № 2 (8). Самара. 2008 г. С. 41-56.

34. Кудинов В.А., Стефанюк Е.В. Аналитический метод решения задач теплопроводности на основе определения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий. // Инженерно-физический журнал. Т. 82, № 3. 2009. С. 540-558.

35. Кудинов В.А., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А., Дикоп В.В. Метод координатных функций для решения обратных задач теплопроводности. // Доклад на Четвертой Международной конференции «Обратные задачи: идентификация, проектирование и управление». Москва. МАИ. 2003.

36. Кудинов В.А., Стефашок Е.В., Назаренко С.А., Дикоп В.В. Метод координатных функций в нестационарных задачах теплопроводности. //Труды Пятого Минского Междунар. форума по тепло - и массообмепу. Т. 1. Минск. 2003. С. 246-248.

37. Аверин Б.В., Кудинов В.А., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Дополнительные граничные условия в задачах теплопроводности для цилиндрической и сферической симметрии на основе интеграла теплового баланса. //Труды Всеросс. научн. конф. «Математическое моделирование и краевые задачи». Ч. 3. Самара. 2003. С. 9-12.

38. Аверин Б.В., Кудинов В.А., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Тепловое и напряженно-деформированное состояние трехслойной панели с решетчатым заполнителем при воздействии солнечного излучения. // Труды Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Ч. 2. Самара. 2004. С. 15-18.

39. Кудинов В.А., Стефашок Е.В., Котов В.В., ПоворинаА.И. Метод определения начала и продолжительности пленочного кипения на стенках многослойных топливных коллекторов ГТД. //Труды второй всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» Ч. 2. Самара. 2005. С. 150-153.

40. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефашок Е.В., Антимонов М.С. Аналитические решения краевых задач с учетом конечной скорости распространения теплоты [Текст]. // Труды Четвертой Российской национальной конференции по теплообмену. Т. 7. Теплопроводность, теплоизоляция. Москва, МЭИ. С. 245-247.

41. Кудинов В.А., Стефанюк Е.В. Аналитические решения задач теплопроводности на основе определения фронта температурного возмущения. //Труды Пятой Международной конференции «Обратные задачи: идентификация, проектирование и управление». Казань-Москва, МЭИ. 2007. С. 1-10.

42. Стефанюк Е.В., Кудинов В.А. Дополнительные граничные условия в краевых задачах теплопроводности. //Тезисы докладов и сообщений. Том 1. VI Минский международный форум по тепло- и массообмену. Минск, 2008., С. 290-291.

43. Стефанюк Е.В., Кудинов В.А., Аверин Б.В., Антимонов М.С. Аналитические решения задач теплопроводности с переменными во времени коэффициентами теплоотдачи. // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды пятой Всероссийской научной конференции с международным участием. Ч. 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи. - Самара: СамГТУ, 2008. С. 164-167.

44. Стефанюк Е.В., Кудинов И.В., Ларгина Е.В. Математическое моделирование теплопроводности в многослойных конструкциях на основе теории обобщенных функций. // Труды Седьмой Международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов». Ульяновск 2009. С. 254:

45. Стефанюк Е.В., Кудинов И.В. Математическое моделирование гидродинамического и теплового пограничных слоев с учетом дополнительных граничных условий. // Труды Седьмой Международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов». Ульяновск 2009. С. 255.

46. Стефанюк Е.В. Математическое моделирование теплопроводности на основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий. // Труды Седьмой Международной конференции «Математическое моделирование фи-

зических, экономических, технических, социальных систем и процессов». Ульяновск 2009. С. 255-256.

47. Стефанюк Е.В., Кудинов И.В., Ларгина Е.В. Построение аналитических решений уравнений динамического и теплового пограничных слоев. // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды шестой Всероссийской научной конференции с международным участием. Ч. 2: Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами. - Самара: СамГТУ, 2009, с. 187-191.

48. Стефанюк Е.В., Кудинов И.В. Аналитические решения уравнений динамического и теплового пограничного слоя при граничных условиях первого и третьего рода. //Труды XVII Школы-семинара молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН А.И. Леонтьева. «Проблемы газодинамики и тепломассообмена в аэрокосмических технологиях». Т. 2, с. 139-142. Жуковский, 2009.

49. Стефанюк Е.В., Кудинов И.В., Ларгина Е.В. Габдушев Р.Ж. Аналитические решения задач теплопроводности с переменным начальным условием. // Повышение энергоэффективности зданий и сооружений: межвузовский сборник научных трудов. Вып. 4/ Самарск. гос. арх.-строит. ун-т. Самара. 2009. С. 52-68.

50. Стефанюк Е.В., Габдушев Р.Ж., Кудинов И.В., Колесникова А.С. Анализ решений уравнений теплопроводности при конечной и бесконечной скорости распространения теплоты. // Повышение энергоэффекгивности зданий и сооружений: межвузовский сборник научных трудов. Вып. 4/ Самарск. гос. арх.-строит. ун-т. Самара. 2009. С. 69-76.

МОНОГРАФИИ:

51. Стефанюк Е.В. Дополнительные граничные условия в краевых задачах теплопроводности: монография Самара: Самарский государственный технический университет, 2008. - 212 с.

52. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Аналитические методы теплопроводности: монография. Самара: Самарский государственный технический университет, 2004. -209 с.

УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ:

53. Кудинов В.А., Карташов Э.М., Стефанюк Е.В. Теплотехника: учеб. пособие. Самара: Самарский государственный технический университет, 2008. - 488 с.

54. Кудинов В. А. Аверин Б.В., Стефанюк Е.В. Теплопроводность и термоупругость в многослойных конструкциях: учеб. Пособие. М.: Высш. шк., 2008. - 391 с.

55. Кудинов В.А. Аверин Б.В., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Теплопроводность и термоупругость в многослойных конструкциях: учеб. пособие для вузов. Самара: Самарский государственный технический университет, 2006. - 304 с.

Автореферат отпечатан с разрешения диссертационного совета Д 212.110.08 при ГОУ ВПО «МАТИ» - Российском государственном технологическом университете им К.Э. Циолковского (протокол № 3_ от « ) » 3_ 2010г.)

Заказ № 726. Тираж 100 экз. Отпечатано на ризографе

ГОУ ВПО «Самарский государственный технический университет» Отдел типографии и оперативной полиграфии 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБЗОР РАБОТ В ОБЛАСТИ РАЗРАБОТКИ АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

2. МЕТОД ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

В НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧАХ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

2.1. Неограниченная пластина алгебраические координатные функции)

2.2. Тригонометрические координатные функции

2.3. Неограниченная пластина (граничные условия третьего рода)

2.4. Бесконечный цилиндр (граничные условия первого рода)

2.5. Бесконечный цилиндр (граничные условия третьего рода)

2.6. Шар (граничные условия первого рода)

2.7. Шар (граничные условия 3-го рода)

2.8. Задачи теплопроводности при несимметричных граничных условиях третьего рода

2.9. Метод дополнительных граничных условий в задачах теплопроводности для многослойных конструкций

3. ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА ОСНОВЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФРОНТА ТЕМПЕРАТУРНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

3.1. Неограниченная пластина (граничные условия первого рода)

3.2. Цилиндр, шар (граничные условия первого рода)

3.3. Пластина, цилиндр, шар (граничные условия третьего рода)

3.4. Граничные условия второго рода

3.5. Задачи теплопроводности с внутренними источниками теплоты (граничные условия первого рода)

3.6. Внутренние источники теплоты при граничных условиях второго рода

3.7. Внутренние источники теплоты при граничных условиях третьего рода

3.8. Двумерные задачи теплопроводности с источником теплоты

3.9. Анализ решений уравнений теплопроводности при конечной и бесконечной скорости распространения теплоты

3.10. Приближенные аналитические решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений

4. ПЕРЕМЕННЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

И ИСТОЧНИКИ ТЕПЛОТЫ

4.1. Температура стенки - линейная функция времени

4.2. Граничные условия третьего рода с переменной во времени температурой среды

4.3. Граничные условия третьего рода с переменными во времени коэффициентами теплоотдачи

4.4. Переменные во времени граничные условия второго рода

4.5. Переменные во времени внутренние источники теплоты

4.6. Переменное начальное условие

4.7. Несимметричные граничные условия

5. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

5.1. Коэффициент температуропроводности - линейная функция температуры

5.2. Коэффициент температуропроводности степенная функция температуры

5.3. Нелинейные задачи теплопроводности с внутренними источниками теплоты

5.4. Задачи теплопроводности с переменными физическими свойствами среды

6. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН В ПОТОКАХ ЖИДКОСТЕЙ

6.1. Общие сведения о пограничном слое. Гидродинамическая теория теплообмена

6.2. Динамический пограничный слой

6.3. Тепловой пограничный слой

6.4. Аналитические решения уравнений динамического пограничного слоя

6.5. Аналитические решения уравнений теплового пограничного слоя при граничных условиях первого рода на стенке

6.6. Аналитические решения уравнений теплового пограничного слоя при граничных условиях третьего рода на стенке

6.7. Теплообмен при течении жидкостей в плоскопараллельных каналах

7. ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО И ТЕРМОНАПРЯЖЕНОГО СОСТОЯНИЯ КОНСТРУКЦИЙ ПУТЕМ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

7.1. Расчет коэффициентов теплоотдачи в барабане парового котла путем решения обратной задачи теплопроводности

7.2. Метод определения начала и продолжительности пленочного кипения на стенках многослойных топливных коллекторов ГТД

7.3. Аналитический метод диагностики толщины коксовых отложений на внутренних поверхностях трубопроводов

7.4. Основные положения метода конечных элементов применительно к расчету температурных напряжений в элементарной конструкции

7.5. Расчет напряженно-деформированного состояния барабана парового котла БКЗ-420-140 HTM

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы:

Известно, что точные аналитические решения краевых задач математической физики в настоящее время получены лишь для отдельных частных случаев и, к тому же, при весьма существенных допущениях (неучет нелинейности, переменности физических свойств и граничных условий и проч.). Кроме того, решения, полученные с помощью классических аналитических методов, представляются в форме бесконечных рядов, плохо сходящихся в окрестностях граничных точек и при малых значениях временной координаты. Исследования показывают, что сходимость точного аналитического решения нестационарной задачи теплопроводности для бесконечной пластины при граничных условиях первого рода в диапазоне чисел Фурье 10"12< Го < 10"7 наблюдается лишь при использовании от 1000 (Го = 10~7) до пятисот тысяч (Го = 10"12 ) членов ряда.

Эта проблема еще в большей степени характерна и для вариационных методов (Ритца, Треффтца, Л.В. Канторовича и др.), а также методов взвешенных невязок (ортогональный метод Бубнова-Галеркина, метод моментов, коллокаций и др.). Эти методы (или их совместное использование с точными аналитическими методами) для получения решений нестационарных задач теплопроводности при малых значениях временной координаты практически неприменимы в виду того, что при большом числе приближений относительно неизвестных коэффициентов искомого решения получаются большие системы алгебраических линейных уравнений. Матрицы коэффициентов таких систем, являясь заполненными квадратными матрицами с большим разбросом коэффициентов по абсолютной величине, как правило, плохо обусловлены. В связи с чем, весьма актуальной является проблема разработки новых более эффективных методов получения точных (или приближенных) аналитических решений краевых задач математической физики.

В аналитической теории теплопроводности известны методы, в которых используется понятие глубины термического слоя (интегральные методы теплового баланса). При их использовании процесс нагрева (охлаждения) тел формально разделяется на две стадии. Первая из них характеризуется постепенным продвижением фронта температурного возмущения от поверхности к центру, а вторая - изменением температуры по всему объему тела вплоть до наступления стационарного режима. Перемещение фронта температурного возмущения учитывается введением новой функции д{ (Го), называемой глубиной проникания (глубиной термического слоя). Такая модель процесса теплопроводности используется в ряде методов: интегральном методе теплового баланса, методе осреднения функциональных поправок, методах Швеца М.Е., Био М., Вейника А.И. и др.

Несомненным их преимуществом является возможность получения простых по форме аналитических решений удовлетворительной точности как для регулярного, так и нерегулярного процессов теплопроводности. Причем, они могут быть применены к задачам теплопроводности, точные аналитические решения которых в настоящее время не получены (нелинейные, с переменными во времени граничными условиями и источниками теплоты, задачи для многослойных конструкций и др.). Однако их серьезным недостатком является низкая точность. Всякие попытки повышения точности оказались неэффективными. Причина в том, что получаемое решение, точно удовлетворяя начальному и граничным условиям, основному дифференциальному уравнению удовлетворяет лишь в среднем. Это связано с тем, что в основу интегральных методов положено построение так называемого интеграла теплового баланса, что равнозначно осреднению исходного дифференциального уравнения в пределах глубины термического слоя (в пределах толщины пластины для второй стадии процесса). Следовательно, очевидным путем повышения точности интегральных методов является улучшение выполнения исходного дифференциального уравнения. С этой целью в настоящей работе избрано направление аппроксимационного представления приближенного решения с определением любого числа его слагаемых. Для определения неизвестных коэффициентов таких полиномов основных граничных условий оказывается недостаточно. В связи с чем, возникает необходимость привлечения дополнительных граничных условий, определяемых из исходного дифференциального уравнения с использованием основных граничных условий и условий, задаваемых на фронте температурного возмущения. Следовательно, в данном случае возникает необходимость включения граничных точек по пространственной координате в область определения основного дифференциального уравнения.

Физический смыл дополнительных граничных условий состоит в том, что их выполнение равносильно выполнению исходного дифференциального уравнения в граничных точках и на фронте температурного возмущения. Так как перемещение фронта температурного возмущения охватывает весь диапазон изменения пространственной переменной (0<£<1), следовательно, с увеличением числа приближений получаемые решения приближаются к точным аналитическим решениям, что подтверждается полученными в диссертации результатами.

Для задач, не связанных с определением фронта температурного возмущения (вторая стадия процесса, метод Фурье с дополнительными граничными условиями), дополнительные граничные условия определяются лишь в граничных точках пространственной координаты. Их применение в данном случае равнозначно выполнению исходного дифференциального уравнения, а также соотношений, полученных после взятия производных от него различного порядка, в граничных точках краевой задачи. В диссертации показано, что такой метод решения приводит к характеристическим уравнениям, из которых находятся собственные числа, совпадающие с собственными числами краевой задачи Штурма-Лиу вил ля.

Важнейшее преимущество такого способа получения аналитических решений краевых задач заключается в том, что он индифферентен к типу уравнения краевой задачи. Всякий раз составляется невязка этого уравнения (т. е. оно осредняется) и с помощью дополнительных граничных условий появляется возможность улучшать выполнение не осредненного, а исходного дифференциального уравнения. Таким путем можно получать аналитические решения краевых задач практически с заданной степенью точности во всем диапазоне времени нестационарного процесса ( 0 < < оо ) без каких-либо ограничений на величину числа Фурье в области малых его значений.

Особо отметим тот факт, что в основе используемого в диссертации метода не лежит понятие конечной скорости распространения теплового возмущения. В данном случае решается параболическое уравнение нестационарной теплопроводности, выведенное из условия бесконечной скорости распространения теплоты. Полученные в диссертации результаты позволяют заключить, что вопрос скорости распространения теплоты связан с точностью получаемых решений. В частности, показано, что с увеличением числа приближений время перемещения фронта температурного возмущения по пространственной координате приближается к нулевому значению, а получаемое при этом аналитическое решение приближается к точному. Следовательно, использование такого метода решения подтверждает факт бесконечной скорости распространения теплового возмущения, лежащий в основе вывода параболического уравнения теплопроводности Фурье.

Цель работы:

Целью работы является решение важной научно-технической проблемы разработки нового направления получения аналитических решений краевых задач математической физики, основывающегося на введении дополнительных граничных условий, позволяющих в аппроксимационном представлении приближенного решения определять любое число его слагаемых и получать аналитические решения сложных линейных и нелинейных нестационарных краевых задач, аналитические решения которых в настоящее время не получены, практически с заданной степенью точности.

Создание комплекса программ для реализации разработанных в диссертации аналитических методов решения краевых задач теплопроводности, а также для реализации численных методов с целью сравнения результатов для задач, не имеющих точных аналитических решений.

Для достижения указанных целей решались следующие основные задачи:

1. Обоснование необходимости применения и разработка методов построения дополнительных граничных условий, получаемых из основного дифференциального уравнения краевой задачи с использованием исходных (классических) граничных условий.

2. Применение дополнительных граничных условий с целью определения собственных чисел краевой задачи Штурма-Лиувилля при моделировании нестационарной задачи теплопроводности путем совместного использования метода разделения переменных и ортогонального метода Бубнова-Галеркина.

3. Разработка математической модели получения аналитических решений краевых задач теплопроводности и тепломассопереноса на основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий.

4. Разработка методов построения изотерм и определение скоростей их перемещения по пространственной координате во времени на основе полученных в диссертации аналитических решений с использованием дополнительных граничных условий.

5. Разработка алгоритмов и программ, реализующих предложенные в диссертации аналитические методы решения, а также численные методы решения сложных линейных и нелинейных задач, не имеющих в настоящее кремя точных аналитических решений.

6. Разработка математической модели решения обратных задач теплопроводности с целью определения граничных условий теплообмена (коэффициентов теплоотдачи) на основе использования полученных в диссертации аналитических решений прямых задач.

Научное направление:

Научное направление, развиваемое автором диссертации: использование дополнительных граничных условий в краевых задачах математической физики с целью значительного упрощения как процесса получения, так и окончательных выражений для аналитических решений. При этом имеется возможность нахождения аналитических решений с любой заданной степенью точности для многих сложных задач математической физики (нелинейных, с переменными физическими свойствами, переменными по координатам и во времени граничными условиями и источниками теплоты, многослойных и др.), точные аналитические решения которых в настоящее время не получены. Подобный эффект оказывается возможным благодаря тому, что дополнительные граничные условия, включаемые в математическую постановку задачи, содержат дополнительную информацию о физической сущности рассматриваемого процесса. Их построение основано на использовании исходного дифференциального уравнения и заданных (классических) граничных условий. Достигаемый эффект обусловлен тем, что выполнение дополнительных граничных условий, отличающихся простотой конструкции, эквивалентно удовлетворению исходного дифференциального уравнения в фиксированных точках пространства и времени, и чем большее количество приближений (дополнительных граничных условий) будет использовано, тем лучше будет выполняться исходное уравнение во всем диапазоне изменения пространственных координат и времени. Отсюда следует, что существенное упрощение процесса получения решений краевых задач и окончательных выражений для их решений при использовании дополнительных граничных условий связано со значительным возрастанием исходной информации о краевой задаче, содержащейся в ее математической постановке, причем, информации, полученной из исходного дифференциального уравнения краевой задачи и заданных граничных условий.

Научная новизна:

1. Решена важная научно-техническая проблема разработки нового научного направления математического моделирования аналитических решений краевых задач математической физики, основывающегося на введении дополнительных граничных условий, позволяющих применять аппроксима-ционное представление приближенного решения с определением любого числа его слагаемых и, как следствие, получать аналитические решения практически с заданной степенью точности.

2. Разработана математическая модель получения аналитических решений краевых задач теплопроводности и тепломассопереноса на основе определения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий, позволяющая получать аналитические решения с заданной степенью точности во всем диапазоне времени нестационарного процесса, в том числе и для сверхмалых значений пространственной координаты и времени.

3. Доказана необходимость применения и разработана модель построения дополнительных граничных условий, задаваемых в граничных точках краевой задачи, выполнение которых эквивалентно выполнению исходного дифференциального уравнения во всем диапазоне пространственной координаты и времени нестационарного процесса. В диссертации показано, что с увеличением числа приближений собственные числа, определяемые из характеристического уравнения, совпадают с собственными числами соответствующей краевой задачи Штурма-Лиувилля, что подтверждает выполнение исходного дифференциального уравнения по координате и времени.

4. На основе использования исходного дифференциального уравнения и основных граничных условий разработана модель построения дополнительных граничных условий, удовлетворение которых эквивалентно выполнению исходного дифференциального уравнения в граничных точках и на фронте температурного возмущения. Так как область перемещения фронта температурного возмущения включает весь диапазон изменения пространственной координаты, то, следовательно, чем большее количество дополнительных граничных условий будет использовано, тем лучше будет выполняться исходное уравнение внутри области.

5. Разработаны методы решения обратных задач теплопроводности по восстановлению теплофизических коэффициентов, начальных и граничных условий теплообмена на основе полученных в диссертации аналитических решений прямых задач и экспериментальных данных по температурному состоянию конструкций.

6. На основе использования дополнительных граничных условий впервые с заданной степенью точности получены аналитические решения нелинейных уравнений динамического и теплового пограничных слоев при граничных условиях первого и третьего рода на стенке. На основе полученных решений уточнены критериальные уравнения, используемые для определения коэффициентов теплоотдачи и касательных напряжений в пограничном слое движущейся жидкости.

На защиту выносятся:

1. Результаты решения автором научно-технической проблемы разработки нового направления получения аналитических решений краевых задач математической физики на основе введения дополнительных граничных условий, позволяющих получать аналитические решения практически с заданной степенью точности.

2. Результаты разработки математической модели построения аналитических решений краевых задач теплопроводности и тепломассопереноса на основе определения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий, позволяющей получать высокоточные аналитические решения задач теплопроводности во всем диапазоне времени нестационарного процесса, включая сверхмалые значения времени и пространственной координаты.

3. Впервые полученный метод построения дополнительных граничных условий, необходимых для как можно более точного выполнения исходного дифференциального уравнения при аппроксимационном (модельном) представлении решения. Полученные в диссертации граничные условия приводят к характеристическим уравнениям, собственные числа которых эквивалентны собственным значениям соответствующей задачи Штурма-Лиувилля.

4. Впервые полученная математическая модель построения дополнительных граничных условий, используемых при моделировании процессов теплопроводности с введением фронта температурного возмущения, позволяющих выполнять исходное дифференциального уравнение в граничных точках и на фронте температурного возмущения. Применение таких условий позволяет при минимальном числе приближений получать высокоточные решения во всем диапазоне числа Фурье.

5. Впервые полученная в диссертации математическая модель построения аналитических решений нелинейных дифференциальных уравнений динамического и теплового пограничных слоев (уравнения Прандтля и Поль-гаузена) при граничных условиях первого и третьего рода на стенке, а также результаты уточнения критериальных уравнений по касательным напряжениям и теплоотдаче в движущейся жидкости.

6. Впервые полученные автором результаты расчетов коэффициентов теплоотдачи на внутренних поверхностях барабана парового котла БКЗ-420-140 HTM Самарской ТЭЦ путем решения обратных задач теплопроводности с использованием полученных в диссертации аналитических решений прямых задач.

7. Впервые полученные результаты расчетов по определению начала и продолжительности пленочного кипения топлива и толщины кокосовых отложений на внутренних стенках многослойных топливных коллекторов газотурбинных двигателей с использованием разработанных в диссертации методов решения прямых задач теплопроводности для многослойных конструкций.

8. Результаты расчетов температурного и термонапряженного состояния барабана парового котла БКЗ-420-140 HTM Самарской ТЭЦ на переходных режимах работы.

Достоверность разработанных автором математических моделей подтверждается соответствием математических моделей физическим процессам, протекающим в энергетических устройствах, сравнением полученных в диссертации результатов с точными аналитическими решениями, с приближенными решениями других авторов, с результатами натурного эксперимента.

Практическая значимость работы:

1. Полученные в диссертации аналитические решения отличаются заметной простотой конструкции при точности, вполне достаточной для инженерных приложений. Подобные решения особенно полезны в случаях, когда решение температурной задачи является промежуточной стадией каких-либо • других исследований, например, решения обратных задач теплопроводности, задач термоупругости, задач автоматизированного проектирования и управления и др. И, в частности, аналитические решения задач теплового и динамического пограничных слоев были использованы при разработке компьютерных моделей и программных комплексов для теплосетей Самарской ТЭЦ и Привокзальной отопительной котельной г. Самары (акты о внедрении результатов работы приведены в приложениях диссертации).

2. На основе полученных в диссертации решений прямых задач теплопроводности путем решения обратных задач были найдены коэффициенты теплоотдачи на внутренней поверхности барабана парового котла БКЗ-420-40 HTM Самарской ТЭЦ в процессах планового (или аварийного) останова, сопровождающихся сбросом давления. При сбросе давления происходит частичное вскипание жидкости, приводящее к увеличению коэффициентов теплоотдачи на границе жидкость - стенка до величин равных а = 470 Вт/(м2К).

3. Используя полученные в диссертации аналитические решения для многослойных конструкций, путем решения обратных задач теплопроводности выполнены расчеты по определению начала и продолжительности пленочного кипения топлива (керосин) на стенках многослойных топливных коллекторов камер сгорания газотурбинных двигателей, приводящего к отложению кокса на внутренних поверхностях стенок трубопроводов. Показано, что длительность кипения топлива, имеющего температуру 20°С и поступающего в нагретый (до 200°С) топливный коллектор, находится в пределах от 8 до 12 секунд. Величина коэффициентов теплоотдачи при этом составляет около 600 Вт/(м2К). После прекращения пленочного кипения (в результате л охлаждения стенки коллектора) они возрастают до 2500 Вт/(м К). По результатам выполненных исследований выданы рекомендации по исключению или уменьшению продолжительности пленочного кипения путем применения низкотеплопроводных материалов в качестве покрытий внутренних поверхностей трубок коллекторов, а также путем турбулизации потока в областях трубопроводов, наиболее подверженных пленочному кипению.

Связь диссертационной работы с планами научных исследований

Представленная работа является обобщением теоретических и экспериментальных исследований, выполненных автором в Самарском государственном техническом университете. Исследования проводились по планам госбюджетных тематик Минвуза РФ №551/02 (01.01.2002-31.12.2006 гг.) «Разработка методов определения собственных значений в краевых задачах теплопроводности»; (01.01.2006-31.12.2007 гг.) «Разработка нового направления получения аналитических решений линейных и нелинейных задач теплопроводности и термоупругости на основе введения фронта температурного возмущения»; (01.01.2008-31.12.2008 гг.) «Разработка нового направления получения аналитических решений задач теплопроводности на основе определения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий»; (01.01.2009-31.12.2010 гг.) «Разработка нового направления получения аналитических решений задач теплопроводности на основе теории обобщенных функций и дополнительных граничных условий». Исследования выполнялись также по планам НИОКР ОАО «Самараэнерго» за 2002-2006 гг.

Научные и практические результаты использованы на Самарской ТЭЦ, Новокуйбышевской ТЭЦ-2, в Самарских тепловых сетях. Полученный экономический эффект от внедрения, подтвержденный актами о внедрении, составляет 400 000 рублей.

Личный вклад автора является определяющим на всех этапах исследований и заключается в постановке проблем исследований, непосредственном выполнении основной части работы, которая выполнена в соавторстве.

Апробация работы

Основные результаты работы были доложены и обсуждены на четвертой и пятой Международной Конференции "Обратные задачи: идентификация, проектирование и управление", Москва, МАИ, 2003, МЭИ, 2007; Пятом и Шестом Международном форуме по тепло - и массобмену, Минск, АНБ, 2004, 2008; Всероссийских научно-технических конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи", Самара, СамГТУ, (2003, 2004, 2005, 2007, 2008); на Четвертой Российской национальной конференции по теплообмену, Москва, МЭИ, 2006; на Четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием, секция «Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами», Самара 2007; на Седьмой Международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов», Ульяновск, 2009; на Школе-семинаре молодых ученых под руководством академика А.И. Леонтьева, Жуковский, 2009.

Публикации

По результатам выполненных исследований опубликованы 53 научные работы, в том числе 17 статей в центральных академических изданиях, 13 статей в Вестнике Самарского государственного технического университета. Напечатаны две монографии и три учебных пособия, одно из которых с грифом Рособразования в издательстве «Высшая школа». В изданиях по перечню ВАК опубликовано 18 статей.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, восьми глав, выводов, списка используемой литературы, приложений: изложена на 321 странице основного машинописного текста, содержит 142 рисунка, 20 таблиц. Список использованной литературы включает 97 наименований.