автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Приближенное решение сингулярно возмущенных краевых задач нестационарной теплопроводности

/

Бирский государственный педагогический институт

Латыпов Ильмир Ибрагимович

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

05.13.18-теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители: доктор физико-математических наук, профессор Кравченко В.Ф., кандидат физико-математических наук, доцент Несененко Г.А.

На правах рукописи

Бирск - 1999

Оглавление

Оглавление 2

Введение 5

1. Асимптотическое разложение функции Грина сингулярно возмущенной краевой задачи уравнения теплопроводности с подвижными достаточно гладкими криволинейными границами 9

1.1. Постановка задачи...................... 9

1.2. Интегральное представление решения краевой задачи . 13

1.3. Решение системы интегральных уравнений плотностей

тепловых потенциалов.................... 14

1.4. Асимптотическое разложение функции Грина второй

краевой задачи......................... 19

1.4.1. Асимптотическое разложение функции Грина в области Лудаленных" от границ точек....... 19

1.4.2. Асимптотическое разложение функции Грина в ' '

"пограничном" слое.................. 20

1.4.3. Асимптотическое разложение функции Грина в "промежуточном" слое............... 32

1.4.4. Проверка выполнимости граничных условий и согласованности асимптотических разложений ... 33

1.5. Асимптотическое разложение функций Грина некоторых

краевых задач......................... 36

1.5.1. Функция Грина первой краевой задачи для области с подвижными линейными границами..... 36

1.5.2. Функция Грина второй краевой задачи для области с подвижными линейными границами..... 38

1.5.3. Функция Грина третьей краевой задачи для области с подвижными линейными границами..... 39

1.5.4. Асимптотика функции Грина второй краевой задачи для полуограниченной области с криволинейной подвижной границей............. 41

1.5.5. Асимптотика функции Грина второй краевой задачи для области с криволинейной подвижной и постоянной границами................ 44

1.5.6. Численный расчет распределения функции Грина ~ 45

2. Асимптотика решения сингулярно возмущенной второй краевой задачи уравнения теплопроводности с нелиней-

ными граничными условиями 59

2.1. Граничные условия типа Стефана-Больцмана на подвижной криволинейной границе .............. 59

2.1.1. Определение тепловых потенциалов........ 60

2.1.2. Асимптотика решения краевой задачи

в "пограничном" слое................. 75

2.1.3. Асимптотика решения краевой задачи

в "промежуточном" слое.............. 82

2.2. Граничные условия экспоненциального типа на подвижных криволинейных границах................' 85

3. Приближенное решение сингулярно возмущенных краевых задач тепло и-массопереноса 89

3.1. Приближенное решение линейной сингулярно возмущенной краевой задачи с линейными граничными условиями на постоянной границе и различными внутренними тепловыми источниками................... 89

3.2. Приближенное решение сингулярно возмущенной краевой задачи с нелинейным граничным условием в полуограниченной области................... 103

3.2.1. Распределение температуры в полу ограниченном теле, излучающем тепло по закону Стефана - Больц-мана........................... 103

3.2.2. Приближенное решение сингулярно возмущенной краевой задачи с нелинейным граничным условием экспоненциального типа для полуограниченного тела.......................... 111

3.2.3. Численный расчет распределения температуры в полуограниченном теле с нелинейным граничным условием........................ 112

3.3. Приближенный расчет распределения температурного поля активного элемента твердотельного лазера..... 134

3.3.1. Температурное поле активного элемента лазера

при интенсивном охлаждении............ 136

3.3.2. Температурное поле активного элемента лазера , _ при охранном нагреве ................ 143

3.3.3. Температурное поле активного элемента лазера

при конвективном теплообмене........... 147

3.4. Приближенное решение нелинейной сингулярно возмущенной краевой задачи тепловой защиты пористым охлаждением ............................-149

3.5. Моделирование процесса испарения термически тонкой пластины............................ 154

3.6. Асимптотика решения нелинейной сингулярно возмущенной краевой задачи тепломассообмена ........ 161

Основные результаты и выводы 169

Литература 171

Введение

Актуальность проблемы. Различные задачи техники, прикладной математики и теоретической физики приводят к необходимости нахождения решений краевых задач сингулярно возмущенных уравнений параболического типа в областях со сложной геометрией.

К сингулярно возмущенным уравнениям параболического типа сводятся многочисленные задачи нестационарного тепломассопереноса, например, такие как: тепловой удар, начальные стадии прогрева, пусковые и аварийные режимы [2,3,4,7,20,21], лазерная обработка материалов [50,55], оптимизация нагрева массивных тел; тепловые процессы в активных элементах твердотельных оптических квантовых генераторов [36]. К появлению малых параметров в краевых задачах уравнений параболического типа приводят так же задачи химической физики,..математической теории горения и взрыва [14], лазерной термохимии [25], сорбции, тепловой защиты [49], обратные задачи теплопроводности.

Несмотря на значительное число публикаций по сингулярно возмущенным задачам, которые достаточно полно приведены в библиографических справочниках [46,47], проблема решения таких типов задач остается актуальной.

Это прежде всего связано с отсутствием единой методики решения, пригодной как к линейным, так и нелинейным краевым задачам. Многие процессы нерегулярного тепло-и массопереноса описываются математическими моделями, включающими области с подвижными границами. Поэтому учет влияния подвижных границ на приближенное решение таких задач становится необходимым.

Кроме того, эти краевые задачи характеризуются различного- рода нелинейностями. Причем, нелинейности могут быть как в дифференциальном уравнении (нелинейности теплофизических коэффициентов, нелинейности внутреннего теплового источника), так и в краевых условиях. Для большинства таких задач проблема нахождения точного аналитического решения сильно затруднена, а то и вовсе невозможна, поэтому приближенное решение таких сингулярно возмущенных краевых задач является важной и актуальной.

Целью диссертационной работы является приближенное аналитическое решение модельных сингулярно возмущенных краевых задач параболического типа с нелинейными граничными условиями на подвижных во времени границах; разработка алгоритма и написание

программ численного расчета температурных полей соответствующих краевых задач и проведение численного эксперимента.

Метод исследования. Для приближенного решения рассматриваемых краевых задач используется "лучевой" асимптотический метод (частный случай метода перевала), разработанный и обоснованный Г.А. Несененко [41,63].

Научная новизна. Автором получены впервые и выносятся на защиту:

- приближенное решение модельных сингулярно возмущенных краевых задач нестационарной теплопроводности второго рода с нелинейными граничными условиями типа Стефана-Больцмана и экспоненциального типа на подвижных достаточно гладких криволинейных границах (в виде асимптотических разложений в смысле Пуанкаре в "пограничной" и "промежуточной" зонах). (Теоремы 2.2.1, 2.3.2 с доказательствами) ;

- асимптотическое разложение в смысле Пуанкаре функции Грина второй краевой задачи для области с подвижными достаточно гладкими криволинейными границами (Теоремы 1.2.2, 1.3.3 с доказательствами);

- обобщения аналитических выражений функций Грина краевых задач различного рода для областей с линейными подвижными границами в виде, пригодных для численного расчета при малых временах; численные расчеты распределений функций Грина для этих областей (параграф 1.5);

- приближенные решения модельных сингулярно возмущенных краевых задач с нелинейными граничными условиями на постоянных и подвижных границах, с различными внутренними тепловыми источниками (параграф 3.1);

- найденные приближенные решения ряда теплофизических задач с нелинейными граничными условиями на линейных подвижных границах, с внутренними тепловыми источниками: распределение температурного поля активного элемента твердотельного лазера при различных режимах охлаждения, задача тепловой защиты пористым охлаждением, испарение термически тонкой пластины (параграфы 3.3, 3.4, 3.5, 3.6).

Практическая значимость. Полученное асимптотическое разложение функции Грина второй краевой задачи для области с подвижными криволинейными границами используется для приближенного решения соответствующих сингулярно возмущенных краевых задач с нелинейными граничными условиями.

Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных кра-

евых задач с нелинейными граничными условиями на подвижных границах позволяют:

- выявить вклады начального и граничных условий, подвижной границы, тепловых источников в распределение температурного поля в рассматриваемой области;

- провести численный расчет и параметрический анализ решения краевой задачи в широком диапазоне изменения физических параметров;

- моделировать реальные физические процессы и получить распределение искомой величины.

Приведенные в работе приближенные решения краевых задач, моделирующих тепловые процессы в активном элементе твердотельного лазера, пористом защитном материале, термически тонкой пластине, позволяют исследовать проблему как на качественном, так и количественном уровне.

Разработанные алгоритмы и программы для ПЭВМ позволяют получить численный расчет приближенных решений краевых задач в исследуемых областях для различных значений теплофизических параметров. Результаты численного эксперимента могут быть представлены в виде таблиц и графиков.

Апробация работы. Результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на:

1 / конференциях по дифференциальным уравнениям с частными производными (С.-Петербург, 1991,1992);

2/ конференции по методам малого параметра (Одесса: ОГУ, 1991); 3/ конференции по теплофизическим проблемам (Тамбов: ТПУ, 1992); 4/ семинарах по методам и алгоритмам параметрического анализа (М.: МГЗПИ, МГОПИ, 1990, 1991, 1992);

5/ международной научной конференции "Теплообмен -ММФ-96", III Минский Международный Форум ( Минск, 1996);

6/ конференциях по нелинейным краевым задачам математической физики (Киев: Ин-т матем. АН Украины, 1993, 1996); 7/ международном семинаре "Нелинейное моделирование и управление", РАЕН (Самара: СГУ, 1997);

8/ международной конференции по моделированию и устойчивости систем (Киев: КУ, 1997); " ' 9/ семинаре по математическому моделированию (Бирск: БГПИ, 1997, 1998, 1999).

Публикации. Основной материал диссертации опубликован в 12 статьях и 4 тезисах.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация со-

стоит из введения, трех глав, выводов и списка литературы. Материал изложен на 178 страницах машинописного текста, включая 41 рисунок и библиографию из 82 наименований.

Основные положения сформулированы в виде теорем с доказательствами, уточнения и пояснения даны в виде замечаний. Нумерация теорем и замечаний сделана по главам и параграфам, например, Теорема 2.1.3. - относится к 1-му параграфу 2-ой главы, 3 теорема в этой главе.

Глава 1.

Асимптотическое разложение функции Грина сингулярно возмущенной краевой задачи уравнения теплопроводности с подвижными достаточно гладкими криволинейными границами

1.1. Постановка задачи

Пусть функция Т(£, г]) решение П-ой краевой задачи уравнения теплопроводности для неограниченной плоской пластины с изменяющейся с течением времени толщиной

<9Т(£,т)_ 2<92Г(£,т)

дт ар ' 1 ;

Г(£,г)-Г0(О, т->0, (1.2)

= £ = (1.3)

= £ = (1.4)

(£, = (К, Г) : ф\(т) < £ < ф2(т), 0 < г < то} , (1.5)

где ^-пространственная переменная -"толщина" пластины; а-коэффи-циент температуропроводности материала пластины; Л-коэффициент теплопроводности материала пластины; дг- - тепловой поток от г-рабочего тела к пластине, в общем случае ^ = % т)] 5 г' = 1, 2.

Запишем данную задачу в безразмерных координатах, для этого введем пространственный (£о) и временной (то) масштабы

я = * = -. (1.6)

Ч

Тогда

т) = <9Г(£(Ж),т(г)) _ 0* = 1аТ(£(х),гМ) дт дt дт т0

(1.7)

от, т) = dT(gx),r(t)) дх = i dm(x)lT(t))

<9£ дх <9£ Co дх

<э2г(с,т) = i d2T(gx),r(t)) ^

дх2 £2 '

dt r0 Co öx2

(1.8) (1.9)

или

1 } -Fo'—ht1' (1-Ю)

<92 сЬ2

где Ро -критерий Фурье [32], определяемый выражением

При этом краевые условия (1.3), (1.4) приобретут следующий вид:

М*) = М*) = г^ОО,

со 4о

Если ввести в рассмотрение критерий Bio

Вц = tfip -Вг'2-д2|, (1.12)

то краевые условия (1.11) запишутся в виде

^ = -ти х = ^ = +Яг2, а: =

(1.13)

Итак, исходная краевая задача (1.1)—(1.5) в безразмерных координатах запишется следующим образом:

ад - (1 и)

т ~ дх* ' 1 ;

Т(х^) = Т0(х), г^О, (1.15)

¿ь = Г"' ^^ (1Л6)

ю

дх = x = **(*)> (1-17)

Я, t) en' ^ {(ж, /) : (flit) < X < ip2(t), 0 < i < 1}. (1.18)

Ставится задача нахождения приближенного аналитического решения краевой задачи (1,1)—(1.5) /или (1.14)—(1.18)/ с нелинейными граничными условиями на подвижных достаточно гладких границах (Рис. 1).

Смысл перехода к безразмерным координатам заключается в том, что в большинстве практических задач критерий Фурье Fo оказывается малым, что позволяет для большого класса функций (pi(t), % — 1,2 найти приближенно - аналитическое решение поставленной задачи (1.14)—(1.18) [47].

При этом за основу берется "геометро-асимптотический" или "лучевой" асимптотический метод решения краевой задачи уравнения теплопроводности [43], где под решением понимается нахождение асимптотического разложения при Fo —» 0 решения соответствующей задачи. Асимптотическое разложение при этом понимается в смысле Пуанкаре [58].

Определение. Асимптотическое разложение в смысле Пуанкаре-это разложение вида _

оо

f(x) ~ Е ап ■ <Рп(х), (х -»■ Ж0),

п=О

где «„-постоянные. При данной асимптотической последовательности функций {(рп(х)} асимптотическое разложение однозначно определяется самой функцией f{x).

Основными положениями используемого асимптотического метода являются [42,44]:

1) Представление решения исследуемой ( линейной или нелинейной )

краевой задачи в интегральной форме с использованием функции Грина [53,54].

2) Запись интегрального представления функции Грина при помощи

функции источника в виде "тепловых потенциалов" с использованием асимптотики решения соответствующего интегрального уравнения [27,28,40].

3) Получение и обоснование асимптотического разложения функции

Грина (при помощи модификации метода Лапласа)[38,40].

Рис. 1.

4) Применение модифицированного метода Лапласа к интегральному представлению решения исходной краевой задачи (с использованием асимптотического разложения соответствующей функции Грина) [44].

Представление функции Грина при помощи функции источника в виде "тепловых потенциалов" является существенным моментом при решении краевых нестационарных задач уравнения теплопроводности при малых значениях параметра Фурье Го ( или числа Фурье Го ); 1 [32].

Используя приведенную схему, функцию Грина и приближенное решение краевой задачи получаем в виде асимптотических разложений по степеням малых параметров. Надо отметить, что вид асимптотического разложения как функции Грина, так и решения краевой задачи зависит от "близости" рассматриваемой точки к границе области. В соответствии с введенным понятием "близости" точки к границе, область делится на "пограничную", "промежуточную" ж "удаленную" от границ зоны. В терминологии Г. А. Несененко [47] поиск приближенного решения производится в области "света" и относится к "общему случаю ".

И в каждой из этих зон для асимптотического анализа соответствующих интегралов применяется метод Лапласа. Причем, в области уда-

ленных от границы точек используется классический вариант метода Лапласа, где эталонный интеграл имеет вид [30]

оо

I = J Xpe~x'x2dx, А > 0.

о - -

В остальных зонах применяется метод Лапласа с некоторой модификацией, которая заключается в том, что в качестве эталонного интеграла выбирается интеграл

°° Г 1

1Э= xv~l ехр < —7 ■ х--> dx: 7, ¡3 > 0.

б 1 xj

Это следует из того, что в этих зонах анализируются интегралы вида

Is = /s^exp j-^jds, 0 < Fo << 1,

где значение аргумента s, при котором достигается наименьшее "значение S [s] (при F о —> 0) и выполняется условие "близости" точки к границе, сливается с полюсом данной функции, который совпадает с концом интервала интегрирования ( т.е. s —> t, Fo 0 ), и поэтому классический метод Лапласа с эталонным интегралом вида I применить нельзя. В [40] предложено при асимптотическом анализе интегралов вида Is применять в качестве эталонного интеграл вида /э.

В соответствии с вышеизложенными основными положениями "лучевого" метода в диссертационной работе производится поиск приближенного аналитического решения краевых задач уравнения теплопроводности.

1.2. Интегральное представление решения краевой задачи

Согласно схеме нахождения асимптотики решения краевой задачи необходимо получить асимптотическое разложение функции Грина, соответствующей однородной краевой задачи. Для этого в с�