автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование нелинейных сингулярно возмущенных нестационарных процессов тепло- и массопереноса

Введение

1. Асимптотики Пуанкаре функций Грина модельных линейных сингулярно возмущенных краевых задач нестационарного тепло-и массо-переноса.

1.1. "Лучевая" асимптотика функции Грина многомерной сингулярно возмущенной краевой задачи нестационарной теплопроводности в области произвольной формы.

1.2. Асимптотики функций Грина сингулярно возмущенных краевых задач в ограниченных областях вне пограничных слоев подвижных границ

1.2.1. Интегральное представление функции Грина и соответствующие линейные интегральные уравнения.

1.2.2. Асимптотические разложения решений системы линейных интегральных уравнений.

1.2.3. Асимптотические разложения функций Грина.

1.3. Погранслойная асимптотика функции Грина в области с подвижными границами.

2. Асимптотики Пуанкаре решений модельных линейных сингулярно возмущенных краевых задач нестационарного тепло-и массопереноса при произвольных начальных условиях.

2.1. Внеугловые асимптотики решения линейной сингулярно возмущенной задачи нестационарной теплопроводности в двумерной прямоугольной области

2.2. Угловой пограничный слой решения линейной сингулярно возмущенной задачи нестационарной теплопроводности в двумерной прямоугольной области.

2.3. Погранслойные асимптотические разложения решений линейных сингулярно возмущенных краевых задач тепло-и массопереноса в областях с подвижными границами.

2.4. Асимптотические разложения решений линейных сингулярно возмущенных краевых задач теплопроводности в точках, удаленных от подвижных границ

2.5. Асимптотическое разложение решения сингулярно возмущенной задачи типа Стефана, описывающей унос массы диэлектрика в импульсном электрическом разряде.

2.5.1. Постановка задачи.

2.5.2. Асимптотическое разложение Пуанкаре решения "задачи А".

2.5.3. Асимптотическое разложение Пуанкаре решения "задачи Stf.

2.5.4. Обсуждение полученного результата и возможные обобщения.207 2.6. Асимптотическое разложение Пуанкаре решения сингулярно возмущенной задачи Стефана.

3. Асимптотики Пуанкаре решений некоторых нелинейных сингулярно возмущенных модельных задач нестационарного тепло- и массопере-носа при произвольных начальных условиях.

3.1. Теоретические основы математического моделирования очаговых режимов теплового взрыва.

3.1.1. Решение "геометро-оптическим" асимптотическим методом модельной задачи об очаговом тепловом взрыве (одномерная модель).

3.1.2. Параметрический анализ очаговых режимов теплового взрыва при гауссовском начальном распределении температуры (одномерная модель).

3.1.3. Параметрический анализ взаимодействия системы очагов в одномерной модельной задаче об очаговом тепловом взрыве: исследование нелинейного усиления тепловых сдвиговых всплесков (тепловой резонанс)

3.1.4. Параметрический анализ двумерных очаговых режимов теплового взрыва "геометро-оптическим" асимптотическим методом.

3.2. Внеугловые асимптотики решений сингулярно возмущенных краевых задач нестационарной теплопроводности с нелинейными условиями на границе прямоугольной области.

3.3. Теоретические основы математического моделирования гетерогенного зажигания энергетических материалов.

3.3.1. Параметрический анализ влияния нелинейных граничных условий в модели гетерогенного зажигания энергетических материалов в виде протяженных цилиндров прямоугольного сечения.

3.3.2. Параметрический анализ влияния неравномерного начального распределения температуры в модельной задаче гетерогенного зажигания: исследование нелинейного усиления тепловых сдвиговых всплесков (тепловой резонанс).

3.4. Теоретические основы математического моделирования влияния излучения на нерегулярные многомерные тепловые поля.

3.5. Погранслойная асимптотика Пуанкаре решения многомерной нерегулярной задачи теплопроводности с нелинейными условиями на границе произвольной формы.

Основные результаты работы.

Цель диссертационной работы - математическое моделирование нелинейных сингулярно возмупденных нестационарных процессов теплои массопереноса при помопди разработанного автором "геометрооптического" ("лучевого") асимптотического метода.Класс практически важных проблем нелинейного нестационарного тепло- и массопереноса, которые описываются решениями сингулярно возмущенных краевых задач, поставленных для уравнений параболического типа, достаточно широк [112], [ИЗ], [173], [175] — это задачи, описывающие: разнообразные импульсные тепловые режимы, в том числе импульсное тепловое воздействие лазерного излучения на конденсированные среды; быстропротекающие процессы; начальные стадии нестационарного процесса; импульсные теплофизические измерения; процессы при импульсной дуговой сварке и наплавке; нанесение плазменных покрытий; импульсное облучение ионами; эрозию в электрических контактах; закалку; импульсное магнитное воздействие; воздействие канала молнии; импульсный электрический разряд; обработку металлов давлением; тепловые поля в активных элементах твердотельных лазеров; нагрев массивных тел; тепловые процессы nppi торможении; тепловые процессы при шлифовании; термическое разрушение горных пород; затвердевание массивных бетонных сооружений (например, плотин); импульсный отжиг полупроводников; импульсный нагрев керамики; оптимизацию тепловых и диффузионных процессов; тепловые методы неразрушающего контроля; образование и развитие пузырьков пара. Особо отметим задачи, описывающие зажигание реагирующих конденсированных сред [55], задачи очагового теплового взрыва [152] и задачи с неизвестной (свободной) границей [182].Очевидно, что вышеприведенные перечисления можно продолжить — например, при помощи цитирования большого числа работ математического плана, в которых указываются те области биологии, техники, физики, химии, энергетики, экологии и проч., которые являются источниками моделей подобного типа [50], [173], [175], [182].Из приведенного выше списка задач тепло-и массопереноса следует, что их можно определить как существенно нестационарные задачр! тепло-и массопереноса - т.е. нерегулярные задачи тепло-и массопереноса [138]. С физической точки зрения это означает, что в решениях нерегулярных задач тепло-и массопереноса обязательно необходимо учитывать влияние начальных условий. В регулярных задачах влиянием начальных условий пренебрегают [115]. с математической точки зрения это означает, что, если в таких задачах должным способом перейти к безразмерным переменным, то в дифференциальных уравнениях параболического типа при старших производных появятся малые безразмерные параметры. Такие краевые задачи называют сингулярно возмущенными [50], [82], [136], [175].В нашем изложении термины: "нерегулярные задачи тепло-и массопереноса" и "сингулярно возмущенные задачи нестационарного теплои массопереноса" будем считать эквивалентными. Для подавляющего большинства указанных выше модельных задач найти точное аналитическое решение невозможно; поэтому проблема разработки приближенных аналитических методов решения таких задач является важной и актуальной.К настоящему моменту приближенные аналитические методы (в том числе и асимптотические методы) решения таких задач либо имеют физический уровень строгости и недостаточную общность, либо, наоборот, при достаточной общности и математической строгости позволяют сделать лишь качественные выводы весьма общего типа о свойствах решений нелинейных нерегулярных нестационарных задач тепло-и массопереноса. К числу последних работ следует отнести работы, посвященные построению равномерных асимптотических разложений решений сингулярно возмущенных задач [50], в которых, по существу, получены асимптотические разложения в смысле Эрдейи [147], поскольку в асимптотических разложениях, приведенных в [50] коэффициенты разложений являются функциями малых параметров.Как известно, асимптотические методы получения приближенных значений решений дифференциальных уравнений делятся на два больших класса: регулярные и сингулярные асимптотические методы [29].Выражаясь несколько неточно, можно сказать, что регулярные асимптотические методы используют в ситуациях, когда малому изменению параметра, входящего в математическую модель, соответствует малое изменение решения этой модели. В таких случаях говорят, что исходная математическая модель является регулярно возмущенной. Примеры решения регулярно возмущенных нелинейных задач тепло- и массопереноса можно найти в монографии [105], а примеры решения регулярно возмущенных линейных задач содержатся в [205]. Отличительной чертой асимптотического анализа регулярно возмущенных математических моделей является простая структура асимптотических разложений решений таких моделей, которая может быть построена сразу во всей области изменения переменных исходной краевой задачи.Сингулярно возмущенные математические модели содержат особые многообразия, при приближении к которым (ИЛР1 при прохождении через которые) структура асимптотических разложений качественно меняется. К числу таких многообразий для решений сингулярно возмупденных нестационарных задач тепло- и массопереноса относятся: узкие слои вблизи внешних границ ("внешние пограничные слои"), узкие слои вблизи границ раздела слоев в многослойных задачах ("пограничные слои границы раздела слоев"), окрестности точек (или ребер) заострения границ ("угловой пограничный слой") и проч. Внутри указанных особых многообразий структура асимптотических разложений имеет весьма сложный вид. Как следует из результатов автора, асимптотические разложения внутри этих структур представляются кратными рядами по степеням малых параметров, одним из которых является малый параметр, стоящий при старшей производной в уравнении нестационарной теплопроводности, а другими - соответствующие " погранслойные" переменные.Сложность асимптотического анализа решений сингулярно возмущенных математических моделей состоит в отсутствии единой методики выявления структуры асимптотических разложений, что приводит к разнообразным способам "угадывания" вида структуры асимптотических разложений решений (так называемого "анзаца" [16]), основанных, в частности, на физической интуиции. При построении асимптотических разложений решений сингулярно возмущенных краевых задач, поставленных для уравнений с частными производными, широко используются идеи, имеющие свои истоки в задачах механики жидкости и газа [17], [47], [65], [79], [81], [122], [162], [200], [220], [224], [229].Согласно этим идеям область, в которой исследуется решение, разбивается на "зоны" (подобласти); в каждой из "зон" устанавливается своя структура асимптотического разложения; эти структуры согласовываются ("сшиваются") при помощи специальных алгоритмов; таким образом строятся неравномерные асимптотические разложения.Эта идея — идея неравномерных асимптотических разложений — нашла свое наиболее известное воплощение в теории пограничного слоя Прандтля [197], [229]. Таким образом, к числу достоинств неравномерных асимптотических разложений, в первую очередь, следует отнести простоту итоговых формул и удобство их физической интерпретации.Отметим, что, имея асимптотические разложения в каждой из "зон", можно по известным правилам [47], [122], [162] построить асимптотическое разложение, равномерно пригодное во всей области изменения переменных. Заметим, что идея "неравномерных" асимптотических разложений широко используется при анализе решений обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры [162], например, при исследовании релаксационных колебаний [157].Приведем примеры некоторых математических моделей, которые описываются решениями сингулярно возмуш;енных уравнений параболического типа и которые могут быть решены "геометро-оптическим" асимптотическим методом.Задача об очаговом тепловом взрыве является одной из задач теории теплового взрыва [77], [152]—[154].Постановка задачи о тепловом взрыве заключается в следующем: задана область, внутри которой находится реагирующее вещество; известны кинетические закономерности тепловыделения, известен механизм теплопередачи внутри области, заданы начальные и граничные условия. Необходимо определить основные характеристики явления, например, критические условия и период индукции. Таким образом, основные черты классической модели теплового взрыва можно сформулировать следующим образом [154]: 1. Реакция, протекающая в рассматриваемой области, является одностадийной и необратимой. 2. Теплопередача в зоне реакции осуществляется путем теплопроводности. Движение реагирующего вещества и связанный с ним конвективный механизм передачи тепла отсутствует. 3. Исходное вещество и продукты реакции находятся в одном фазовом состоянии, т.е. протекание реакции не сопровождается какими-либо фазовыми превращениями. 4. Граница рассматриваемой области непроницаема для вещества. Теплообмен на границе происходит по известному закону, например, по закону Ньютона. 5. Величины, характеризующие физические свойства вещества (теплопроводность, теплоемкость, плотность), химическую реакцию (энергия активации, предэкспоненциальный множитель, тепловой эффект) и условия протекания процесса (давление, температура окружающей среды, формы и размеры области, коэффициент теплопередачи) в ходе процесса не изменяются.Заметим, что эта простейшая модель явления получила распространение при рассмотрении теплового взрыва как в газообразных, так и в конденсированных средах.Очаговые режимы теплового взрыва Если во взрывчатой системе в начальный момент времени реакция протекает, в силу определенных обстоятельств, существенно неодновременно во всем объеме, то возникновение теплового взрыва может носить очаговый характер. В литературе рассматривались разнообразные типы задач об очаговом тепловом взрыве; их можно, достаточно условно, разделить на следующие классы: А) задачи с Побразным начальным распределением температуры - [34], [35], [57], [70], [100], [101], [103], [153]; Б) задачи с произвольным начальным распределением температуры - [36]-[38], [102]; В) задачи в веществе, способном к автокаталитическому превращению - [101], [102]; Г) задачи, учитывающие деформацию очага разогрева- [100], [103]; Д) задачи о взрыве системы очагов разогрева - [11], [137]; Е) задачи о повторном воспламенении - [78].Детально оба подхода проанализированы в [183]. Резюмируя полученные к настоящему моменту результаты и в случае I), и в случае II), можно кратко сказать так: в случае I) в подавляющем числе работ (за исключением работ автора) получены асимптотические разложение в смысле Эрдейи [147]; см., например, [50], [216]. В случае II) в работах [34]-[3б], [57], [70], [100], [102], [103] получены асимптотики решений дифференциального уравнения (1) такого типа, при котором коэффициенты полученных асимптотик удовлетворяют не тем вспомогательным дифференциальным уравнениям, которым они должны были бы удовлетворять согласно результатам, полученным в итоге корректных с математической точки зрения рассуждений [50], [183], [216].Итак, с точки зрения получения математически корректным способом асимптотических разложений в смысле Пуанкаре решений дифференциальных уравнений типа (1), при помощи решений которых описываются, в частности, режимы очаговых тепловых взрывов, проблема к моменту написания данной работы не была полностью решена.Принципиально важным в предложенном автором алгоритме использования "геометро—оптического" асимптотического метода для решения задач теории очагового теплового взрыва является его общность, позволяющая с единых методических позиций решать разнообразные задачи очагового теплового взрыва (см. А-Е). Например, при помощи этого метода можно решить задачи для очага произвольной многомерной формы при произвольном начальном распределении температуры.Большим преимуществом предложенного метода является его корректность. Последнее означает, что в рамках этого метода для получения приближенного аналитического решения исходной нелинейной сингулярно возмущенной задачи не требуется привлечения тех или иных упрощающих предположений, что является непременным атрибутом любой из работ тех авторов, которые работают на физическом (или инженерном) уровне строгости [11], [38], [88], [141]. Заметим также, что "геометро—оптический" асимптотический метод может быть с успехом применен для решения проблем теплового зажигания реакционноспособных конденсированных сред [183], [273].Задачи тепловой теории воспламенения реагирующих конденсированных веществ По своей природе зажигание является существенно нестационарным процессом, поскольку описывает динамику перехода от одного устойчивого состояния конденсированного вещества (к-вещества), (т.е., от исходного состояния к-вещества, при котором скорость химической реакции ничтожно мала) к другому (т.е., к горению, сопровождающемуся протеканием химической реакции с большими скоростями).Следуя в основном подходам, изложенным в работах [3], [4], [7], [9], [55], [77], [150], [152], [154], [267], мы будем рассматривать твердофазную нестационарную модель зажигания к-веществ. В этой модели предполагается, что ответственными за зажигание являются суммарноэкзотермические процессы, протекающие в конденсированной фазе вещества. Возможные фазовые переходы — испарение, плавление и абляция не учитываются. Наибольшее распространение тепловая теория зажигания к-веществ получила при описании зажигания гомогенных систем, у которых исходное вещество и продукты реакции находятся в одной фазе, а также нелетучих и труднолетучих систем, реагирующих в конденсированной фазе.Параметры Аг - число Аррениуса и Td - число Тодеса [152] характеризуют температурную чувствительность и экзотермичность реакции; для нормальных, невырожденных режимов воспламенения к-веществ справедливы неравенства [152]: А г < 1 , ТЙ<С1. (13) Величина во(^) -начальный температурный напор окружающей среды, характеризующий роль стадии инертного прогрева вещества.Реп1ение краевой задачи (7)-(13) связано с преодолением больших математических трудностей и до недавнего времени без привлечения дополнительных упрощающих физических предположений краевая задача (7)-(13) исследовалась численными методами. Оказалось, что, в зависимости от начальных условий (Н.У.) и граничных условр1Й (Г.У.) существуют два различных режима теплового воспламенения квеществ - режим самовоспламенения (или режим теплового взрыва) и режим зажигания.При САМОВОСПЛАМЕНЕНИИ вся масса к-вещества прогревается до температуры окружающей среды, после чего в точках, наиболее удаленных от поверхности к-вещества, начинается воспламенение. При ЗАЖИГАНИИ воспламенение к-вещества происходит тогда, когда не вся масса к-вещества, а только его поверхностные слои успевают прогреться до температуры окружающей среды, т.е., зажигание осуществляется либо на поверхности к-вещества, либо вблизи неё.Необходимо подчеркнуть, что место начала воспламенения квещества, конечно же, зависит от значения критерия ФранкКаменецкого Fk: в интервале от Fk-^p до Fk' все вещество успевает прогреться до температуры окружающей среды и воспламенение его начнется в центре (режим самовоспламенения). При Fk > Fk' место начала воспламенения начинает перемещаться к поверхности квещества - т.е., происходит переход режима воспламенения в режим зажигания. При Fk ^ F'k'^p место начала воспламенения находится вблизи поверхности к-вещества ( или на его поверхности) - при этом осуществляется режим зажигания. Крайне важно подчеркнуть, что при этом критерий Франк-Каменецкого Fk принимает достаточно большие значения [1], [9], [55], [152]: 100 <Fk < 1000.Задаваясь соответствующими Н.У. и Г.У. [138] с помощью решения системы (14) можно описать большинство задач, возникающих в теории зажигания к-веществ. Общепризнано, что точного аналитического решения эта система не имеет, поэтому для анализа закономерностей процесса заж:игания в каждом частном ее случае используются либо численные расчеты на ЭВМ, либо приближенные аналитические методы. Следует подчеркнуть, что приближенные аналитические методы до недавнего времени строились на "инженерном" уровне строгости и при их конструировании всегда использовались физические представления об особенностях процесса зажигания к-вещества, вытекающие из анализа нестационарной природы этого явления.Как уже отмечалось выше, зажигание представляет собой предельный режим воспламенения, когда к-вещество не успевает полностью прогреться, а вблизи поверхности в прогретом слое к-вещества происходит воспламенение. В этом режиме толщина прогретого слоя намного меньше размеров к-вещества - поэтому процесс зажигания относится к числу процессов с явно выраженным эффектом пограничного слоя [47], [229]. Проделанный различными авторами качественный анализ особенностей процесса зажигания к-веществ показывает, что зажигание наступает тогда, когда теплоприход от химической реакции станет сравним с теплоприходом от внешнего источника. На основе этой характерной особенности разными авторами на инженерном уровне строгости были предложены приближенные методы решения задач зажигания к-веществ [55].Считается [55], что закономерности зажигания, когда основная роль отводится реакциям в твердой фазе (твердофазная модель зажигания), хорошо изучены. Эти закономерности изучаются при помощи решений типовых задач тепловой теории зажигания.В.Н. Вилюнов в своей монографии [55] отмечает, что "хотя приближенные методы развиты на физическом уровне' строгости, достоверность их подтверждается тщательным сравнением с численными расчетами на ЭВМ. В принципе, существует возможность их аналитического обоснования, но эти вопросы находятся на стадии постановки".Хотя с момента написания этих строк до момента написания этой работы прошло более десяти лет, тем не менее, ситуация осталась без изменения - и в настоящее время отсутствует математически корректный достаточно общий приближенный аналитический метод решения типовых задач теории теплового зажигания к—веществ.В монографии [55] приведены типовые задачи тепловой теории зажигания к-вепдеств, причем почти для каждой из них указаны разные приближенные аналитические методы их решения, развитые на физическом уровне. Подчеркнем, что любая из этих задач может быть решена "геометро-оптическим" асимптотическим методом.Типовые задачи тепловой теории залсигания реагирующих к-веществ [55] Для экономии объема мы перечислим типовые задачи, поставленные для неограниченной пластины (типовые задачи для тел, не являющиеся пластинами, формулируются аналогично). а) Залсигание реагирующих к—веществ неподвижной горячей средой с высокой теплопроводностью (Г.У. первого рода). б) Заж:игание реагирующих к—веществ световыми потоками тепла (Г.У. второго рода) том числе: Зажигание реагирующих к-веществ световыми потоками тепла с поверхности и Заж:игание реагирующих полупрозрачных к—веществ лучистой энергией. в) Зажигание реагирующих к-веществ конвективными потоками тепла (Г.У. третьего рода). г) Заж;игание реагирующих к-веществ средой с плохой теплопроводностью (Г.У. четвертого рода). д) Гетерогенно—гомогеннгья модель залсигания смесевой реагирующей к-системы (нелинейные граничные условия экспоненциального типа). е) Гетерогенное зажигание газифицирующихся реагирующих к—веществ (нелинейные Г.У. экспоненциального типа и наличие конвективного слагаемого в уравнении теплопроводности). ж) Учет влияния геометрической формы тела реагирующих к—веществ на характеристики заж:игания (учет "неканонической" формы к—вещества) Математические модели задач а)-ж) приведены в [183].Значения £{Т) могут изменяться в пределах О < б{Т) < 1 и незначительно зависят от температуры.В силу вышеизложенного, граничные условия (Ст.-Б.) приобретают следуюш;ий вид: X ? ^ ^ = -a-e(T)-T\p,t), pes, t > 0.Уравнение теплового баланса в этом случае преобразуется к виду: \ ^ ^ = -a[s(T)T\p,t)-siT,)T^(p,t)l pes, t>0.В модельной тепловой задаче (16) граничные условия второго рода при х = а, x = b^y=:d выбраны для определенности; "геометрооптический" асимптотический метод позволяет находить приближенные аналитические решения Т{х, у, t) при любых комбинациях граничных условий при х = а^х = Ъшу = (1 — как линейных, так и нелинейных. Далее, область Qt в виде прямоугольника выбрана для простоты изложения; "геометро-оптический" асимптотический метод позволяет находить асимптотики Пуанкаре решения Т(а:, у, t) и в том случае, если 0,1 — произвольная область с достаточно гладкой границей S [270]; возможен также учет внутренних источников теплоты qy — как линейных, так и нелинейных [175]. Напомним, что малость параметра £ — atk/Н'^ может быть следствием: либо малости коэффициента температуропроводности а, либо больших значений пространственного масштаба Н^ либо малости временного масштаба tk- Подробный перечень работ, в которых исследовались нерегулярные задачи теплообмена с нелинейными граничными условиями типа Стефана-Больцмана содержится в [173], [175].Сингулярно возмущенная задача типа Стефана, описывающая унос массы диэлектрика в импульсном электрическом разряде.Нахождению приближенных решений сингулярно возмущенных задач нестационарной теплопроводности посвящено большое число публикаций, поскольку при помощи сингулярно возмущенных краевых задач моделируются многие важные в практическом отношении процессы [112], [113], [173], [175]. Напомним, что отличительной чертой сингулярно возмущенных краевых задач нестационарной теплопроводности является наличие малого параметра е > О при старших производных, который, как правило, появляется в результате введения тем или иным способом безразмерных переменных. Например, если коэффициент температуропроводности а материала мал и если материал подвергается кратковременному импульсному тепловому воздействию, то Е = {ai)/H^, где t я Н соответственно временной и пространственный масштабы [175]. Очень часто при помощи сингулярно возмущенных краевых задач нестационарной теплопроводности описывают такие процессы тепло- и массообмена, которые приводят к изменению фазового состояния вещества [86], [97], [140], [142], [182], [201], [217]. В [204] при помощи численного эксперимента оценивалась скорость уноса массы диэлектрика в импульсном электрическом разряде. Эта задача является составной частью проблемы расчета эрозионных импульсных плазменных двигателей (электрических ракетных двигателей), которые наиболее перспективны для систем ориентации и стабилизации космических аппаратов [64]. На протекание физических процессов в импульсных источниках плазмы эрозионного типа большое влияние оказывают особенности поступления в плазму массы вещества, сублимирующей с поверхности твердого диэлектрика под воздействием сильноточного импульсного электрического разряда [64]. Используя модель, изложенную в [204], будем считать, что в момент времени t = О, когда температура диэлектрика равна Т^(0 и граница ^{t) между его поверхностью и вакуумом находится в начале координат, на поверхность диэлектрика под воздействием импульсного электрического разряда начинает поступать тепловой поток плотности q{t).При достаточной интенсивности этого теплового потока температура поверхности диэлектрика через некоторое время tp достигает температуры разрушения Тр. Будем считать, что испаряющийся материал сразу удаляется из области вблизи изолятора; тогда в момент времени t поверхность изолятора находится в точке с координатой ^{t) > 0. Для простоты изложения считаем, что в начальный момент времени изолятор представляет собой неограниченную пластину (стержень) толщиной (5 > О, хотя предложенный автором "геометро-оптический" асимптотический метод позволяет решать сингулярно возмущенные краевые задачи нестационарной теплопроводности для тел любой конфигурации [175].Беря за основу данные А,ЛЯ фторопласта из [204], полагая i =40 мкс [204] и (У = б, 3 • 10^ м [64], получаем е = 10"^. Итак, действительно, модельная задача из [204] является сингулярно возмущенной краевой задачей нестационарной теплопроводности с (формально) неизвестной подвижной границей, если ее записать в указанной выше безразмерной системе координат. Мы предполагаем выполненными условия существования и единственности решения краевой задачи (17)-(22).Общая схема применения "лучевого" ("геометро—оптического") асимптотического метода Известно, что одним из эффективных способов выяснения структуры асимптотических разложений решений некоторых краевых задач, поставленных для уравнений в частных производных, является использование "геометро^оптических" аналогий, в основе которых лежит применение обобп];енного принципа Ферма—Гамильтона [16], [124], [203], [220]. Так, в "геометрической" теории дифракции волновых полей (после разделения временной и пространственных переменных в исходном волновом уравнении) решение основных задач коротковолновой дифракции сводится к нахождению асимптотического разложения решения уравнения Гельмгольца Aw -Ь к'^и = О при к —^ оо в некоторой области изменения пространственных переменных с известными граничными условиями. Для этого постулируется, что колебания распространяются от точки источника О к точке наблюдения Р вдоль определенного числа выделенных траекторий, которые иначе называются трассами, или оптическими лучами. Поле в точке наблюдения равно сумме полей, распространяющихся от О к Р вдоль оптических лучей, соединяюш;их эти точки. Оптический путь определяется как траектория, удовлетворяюпдая обобщенному принципу Ферма—Гамильтона, т.е., как такая траектория, вдоль которой время распространения колебаний экстремально. Эта траектория удовлетворяет дополнительным условиям, возникающим из-за наличия границы области. Hanppiмер, при расчете поля, отраженного от гладкой поверхности, требуется, чтобы оптический путь имел точку на отражающей поверхности.В этом случае обобщенный принцип Ферма—Гамильтона приводит к обычным законам отражения: оптический путь состоит из отрезка первичного луча между источником О и точкой отражения П и отрезка отраженного луча, соединяющего точку П с точкой Р. Если точка наблюдения Р находится в пограничных слоях, то в нее приходят лучи с близкими длинами и поэтому, чтобы получить правильные выражения для суммарного волнового поля, приходится использовать такие специальные функции, как функции Эйри, функции Фока, функцрш Пирси [196], [220]. Из сказанного выше вытекает первостепенная роль лучевых построений в "геометрической" теории дифракции. В рамках этой теории решение любой дифракционной задачи начинается с построения оптических лучей — т.е. с построения конгруэнции лучей: первичных, отраженных, преломленных и проч. Затем следует найти поле, распространяющееся вдоль каждого луча. Здесь главной проблемой является расчет взаимодействия поля с телом. Приведенные сведения о "геометрической" теории дифракции крайне фрагментарны; подробности можно найти в указанных выше монографиях.Для устанрвления структуры асимптотических разложений в смысле Пуанкаре решений нерегулярных нелинейных задач тепло-и массопереноса в областях со сложными, в том числе и с подвижными границами автор, по аналогии с "геометрической" теорией дифракции волновых полей, ввел в рассмотрение пространственно—временные лучи, приходящие в точку, в которой исследуется решение исходной краевой задачи [175]. Эти пространственно—временные лучи естественным образом разбивают пространственно—временную область, в которой ищется решение, на "зоны тени" и "зоны света". "Зоны света", в свою очередь, разбиваются на такие "зоны", как "ядро зоны света" и "погранслойные зоны" [175]. Автором установлено, что для каждой из "зон" асимптотика в смысле Пуанкаре решения нерегулярной краевой задачи тепло-и массопереноса имеет свою структуру, которая достаточно просто, и с единых методических позиций определяется при помощи асимптотического анализа интегрального представления решения, записанного с использованием функций (или, если это необходимо, матриц) Грина — поскольку такое интегральное представление учитывает вклад в решение соответствующей краевой задачи таких ее компонентов, как: начальные условия, граничные условия и тепловые источники. Использование введенных в рассмотрение пространственно— временных лучей позволяет и качественно, и, что самое важное, количественно определить вклад в асимптотику в смысле Пуанкаре решения в каждой из "зон" начальных условий, граничных условий и тепловых источников, что существенно упрощает получение асимптотики в смысле Пуанкаре решения краевой задачи.Подчеркнем, что "зонный" характер асимптотических разложений в смысле Пуанкаре решений нерегулярных нестационарных краевых задач нелинейного тепло-и массопереноса, рассматриваемых как явные аналитические формулы для нахождения приближенных аналитических выражений решений задач тепло-и массопереноса, является новым в приближенных методах аналитической теории тепло-и массопереноса. В самом деле, при применении аналитических методов для решения краевых задач тепло-и массопереноса как правило используется одна и та же формула для расчетов как вблизи границ области, так и вдали от них [91], [92], [138], [139]. Кроме того, интегральные представления решений краевых задач тепло-и массопереноса в тех редких случаях, когда известно явное представление соответствующих функщш Грина, содержат интегралы, под знаком которых стоят произведения функций (задающих начальные условия, граничные условия и тепловые источники) на соответствующие функции Грина. Ясно, что в подавляющем числе случаев вопрос о вычислении таких интегралов остается открытым — так как для реальных (а не для учебных) случаев задания произвольных: начальных условий, граничных условий и тепловых источников нахождение в явном виде соответствующих первообразных невозможно. Таким образом, практическая реализация методов аналитического тепло- и массопереноса в случае произвольных функций, задающих начальные условия, граничные условия и тепловые источники, требует, если оставаться на позициях аналитического подхода, использования тех или иных методов приближенного аналитического вычисления интегралов (в общем случае — многомерных интегралов).Среди таких приближенных аналитических методов вычисления интегралов ведущее место по праву принадлежит так называемому методу Лапласа — частному случаю метода перевала [31], [116], [162], [193], [199], [218], [230]. Выражаясь несколько неточно, можно сказать, что метод Лапласа каждому интегралу, содержащему малый параметр, (в тех случаях, когда метод Лапласа применим) ставит в соответствие асимптотический ряд в смысле Пуанкаре, включающий в себя в качестве общего множителя, значение подынтегральной функции в некоторой точке (или в некоторых точках) из области интегрирования. Очень важным свойством метода Лапласа является его общность — т.е., (в тех случаях, когда он применим) при помощи этого метода с единых методических позиций находятся асимптотические разложения в смысле Пуанкаре как одномерных, так и многомерных интегралов. Именно в силу вышеотмеченных преимуществ метода Лапласа автор включил его использование в рамках предложенного им "геометро—оптического" асимптотического метода. Итак, подчеркнем еще раз, что в рамках "геометро—оптического" асимптотического метода [175], [183] асимптотический анализ интегральных представлений решений нерегулярных краевых задач осуществляется при помощи метода Лапласа, что позволяет получить соответствующие асртмптотические разложения в смысле Пуанкаре [147].Остановимся вкратце на еше одном аналитическом методе, использующем интегральные представления решении краевых задач нестационарной теплопроводности — имеется ввиду метод интегральных преобразований. Как известно, применение метода интегральных преобразований к решению дифференциальных уравнений с заданными граничными и начальными условиями осуществляется следующим образом [214]: 1) выбирают подходящее для данной задачи интегральное преобразование; 2) умножают заданные дифференциальное уравнение и граничные условия на выбранное ядро и после этого интегрируют полученное выражение в соответствующих пределах по переменной, подлежащей исключению; 3) при вычислении интегралов используют граничные (или начальные) условия для определения внеинтегральных слагаемых при пределах интегрирования; 4) решают "вспомогательное" уравнение относительно преобразования искомой функции; 5) по преобразованной функции при помощи соответствующей формулы обращения находят искомую функцию.В описанном выше алгоритме применения интегральных преобразований самым сложным является последний пункт — нахождение искомой функции при помощи соответствующей формулы обращения.Как уже отмечалось выше, при решении конкретных задач математической физики встречающиеся интегралы "могут быть вычислены в замкнутой форме только в очень редких случаях, и поэтому часто приходится пользоваться приближенными методами вычисления интегралов для получения численных значений, которые в конце концов и являются целью в задачах физического характера" [214].В качестве одного из методов приближенного вычисления интегралов многие авторы рекомендуют метод получения их асимптотических разложений [18], [68], [92], [138], [214]. Наиболее последовательно и обстоятельно идея использования асимптотических разложений при применении интегральных преобразований (главным образом — преобразования Лапласа) для решения задач нестационарной теплопроводности проведена в известной монографии [138]. В параграфе [138], озаглавленном "некоторые аналитические свойства преобразования Лапласа и асимптотические оценки" А.В. Лыков приводит основы метода асимптотических разложений, описывает приемы асимптотических разложений интегралов — в том числе и метод Лапласа, указывая, что он является частным случаем метода перевала. Затем А.В. Лыков отмечает, что его интересует алгоритм, позволяющий по некоторому асимптотическому разложению изображения судить об асимптотическом поведении оригинала.В частности, он отмечает, что "наиболее ценными для нас были бы теоремы, которые позволили бы по известному изображению -F(5), исходя из его аналитических свойств, т.е. по положению и характеру особых точек, определить без вычисления соответствующего контурного интеграла асимптотическое поведение оригинала / (г ) при т —>• оо".Далее А.В. Лыков отмечает, что "было бы интересно, наряду с изложенными методами определения асимптотического поведения функции времени при г —)• оо по аналитическим свойствам ее преобразования Лапласа, иметь возможность исследовать поведение ее решения и при малых значениях времени". Для этого он, в частности, предлагает использовать тэта—функции (которые являются решениями уравнения теплопроводности), представимые рядами, хорошо сходящимися при больших значениях переменной г и известную формулу суммирования Пуассона. А.В, Лыков замечает, что применение формулы суммирования Пуассона к рядам, представляющим тэта—функции, позволяет переписать их в виде рядов, "чрезвычайно быстро сходящихся при малых г".Используя изложенные выше идеи, А.В.Лыков на протяжении всей своей монографии [138] при рассмотрении аналитических решений типовых задач нестационарной теплопроводности для тел канонической формы в обязательном порядке приводит решения двух типов: один тип решения удобен при расчетах при больших значениях времени г, а другой — при малых значениях времени т. При этом он подчеркивает, что применение расчетной формулы, удобной при больших значениях времени, для расчетов температурных полей при малых значениях времени, приводит к неоправданному усложнению расчетов. Примеры применения части идей, высказанных А.В. Лыковым содержатся во введении монографии [183].Из этих примеров видно, что потребности задач практической направленности совершенно естественно приводят к необходимости использования асимптотических разложений в смысле Пуанкаре, а не асимптотических разложений в смысле Эрдейи. Перечень работ, в которых содержатся асимптотические разложения в смысле Пуанкаре как функций Грина, так и решений сингулярно возмущенных краевых задач, поставленных для уравнений параболического типа, можно найти в [173], [175], [183].При обсуждении полученных результатов и сравнении их с результатами, полученными другими авторами, неоднократно используются термины "асимптотические разложения в смысле Пуанкаре" и "асимптотические разложения в смысле Эрдейи". Поэтому вкратце приведем основные сведения об асимптотических разложениях Пуанкаре (включая их свойства) и об асимптотических разложениях Эрдейи и укажем основные отличия их друг от друга.Основные понятия и определения асимптотических разложений Пуанкаре Определение "асимптотическая последовательность" [218].Другие примеры можно найти в [17], [18], [31], [47], [82], [116], [136], [138], [144], [157], [162], [193], [199], [218], [230].Отметим, что приведенные в качестве примера последовательности называют "степенными асимптотическими последовательностями".Асимптотические последовательности обладают следующимр! свойствами [218].Замечание 1. Некоторые авторы вместо термина "асимптотическая последовательность" употребляют термин "шкала" [193].Пусть: хо — предельная точка множества М; функции / (х) , ^п[х) определены на множестве М; {(^ '^„(х)} — асимптотическая последовательность при X —)• Хо; {а„} — числовая последовательность.Замечание 2. Некоторые авторы асимптотическое разложение в смысле Пуанкаре называют "классическим асимптотическим разложением" [199]. Для краткости в данном тексте будет употребляться термин "асимптотики Пуанкаре".Свойства асимптотических разлолсений в смысле Пуанкаре [218] Асимптотический ряд в смысле Пуанкаре дает последовательность асимптотических формул для функции /(яг), причем каждая последующая формула уточняет предыдущую: f(x) - ао • сро{х) = о{(ро{х)), f(x) - ао-сро{х)-aiipi(x) = o{(pi{x)).Известно, что возможны три варианта для асимптотического ряда функции f{x): 1) ряд сходится к функции f{x); 2) ряд сходится к функции д{х) ф f{x); 3) ряд расходится.Отметим, что расходящийся асимптотический ряд при х -^ XQ позволяет вычислить значение функции f{x) в данной точке х лишь с некоторой относительной ошибкой е = е{х); при этом lim е{х) = 0.Одним из важнейших свойств асимптотических разложений в смысле Пуанкаре является их единственность. Справедливо следующее утверждение: Т е о р е м а 0.1. Асимптотическое разложение в смысле Пуанкаре данной функции по данной асимпт,отической последовательности лвляет,ся единственным.Доказательство Теоремы 0.1 содержится, например, в [218].Из Теоремы 0.1 вытекают формулы для вычисления коэффициентов On асимптотического разложения (28): а„ = lim хем I п-\ \ (30) Замечание 3.Две различные функции могут иметь одно и то же асимптотическое разложение в смысле Пуанкаре.Например, -1- + е п=о i + s: n=o Асимптотические ряды в смысле Пуанкаре, как и обычные сходящиеся ряды, можно складывать и умножать на постоянную.Т е о р е м а 0.2 [218]. Пусть справедливы следующие асимптотические разлоэюенил в смысле Пуанкаре: оо со / (^) л ап-^п{х){х -)• хо, а; G М), д[х) Y. Ьп-^п(х){х -^ XQ,X е М).Вопрос о возможности интегрирования асимптотических разложений в смысле Пуанкаре устанавливается следующей теоремой [218].Дифференцирование асимптотического разложения в смысле Пуанкаре допустимо, если известно, что df[x^ у)/ду — непрерывная по переменной у функция и существует равномерное по у асимптотическое разложение в смысле Пуанкаре функции д/{х,у)/ду.Тогда на основании Теоремы 0.3 можно проинтегрировать асимптотическое разложение д/[х^у)/ду и воспользоваться свойством единственности асимптотического разложения в смысле Пуанкаре. Для дальнейшего изложения важным является следующее обстоятельство: если асимптотическое разложение в смысле Пуанкаре получено при помощи метода Лапласа, то его можно дифференцировать любое число раз по входящему в это асимптотическое разложение параметру [218]; причем это утверждение справедливо для интегралов любой размерности.Замечание 5.Частным случаем асимптотических рядов в смысле Пуанкаре являются степенные асимптотические ряды — т.е. ряды вида оо оо ^ апХ^ {х —>• оо) или ^ ап{х — XQ)"' {Х —)• XQ). (34) Известно, что асимптотические степенные ряды в смысле Пуанкаре можно перемножать и делить. Эти свойства устанавливает следующая [218] теорема.Определение "асимптотическое разложение в смысле Эрдейи" [147],[193],[218].Условное обозначение: оо fix) Е ^ п W , iifnix)}, X -^ XQ. (40) п=0 Если ясно, о какой асимптот^ической последоват,елъности {(^„(д;)} идет, речь, то в (40) она не указывает^сл.Некоторые авторы называют асимптотическое разложение в смысле Эрдейи "обобщенным асимптотическим разложением" [193], [230], другие авторы называют его "слабоасимптотическим разложением" [199]; используют также термин "составные" асимптотические разложения [47], [162].М.Ван—Дайк отмечает [47]: "имеются два возражения по поводу работы с составными разложениями. Во-первых, с ними трудно производить действия; очевидно, что такая обычная операция, как приравнивание одинаковых степеней е, должна быть пересмотрена и ... составные ряды не определяются однозначно. Во-вторых, они излишне сочетают в себе сложности как прямых разложений, т а к и области неоднородности". Ф.Олвер отмечает неединственность "обобщенного" асимптотического разложения (сохранены обозначения из [193]): "функция f{z) может или не иметь ни одного обобщенного разложения, или иметь I бесчисленное множество таких разложений: нам достаточно лишь преобразовать любое из разложений, добавив к некоторым членам разложения произвольные кратные следуюпдих членов. Вследствие этого не существует никакого аналога формулы (7.04) (т.е. формулы (30) в данном тексте Г.А.Н.) для вычисления членов разложения. Далее, нельзя сделать вывод об эффективности разложения только по виду шкалы".Дальнейшие критические замечания по поводу асимптотических разложений Эрдейи содержатся в монографии [199].Приступим к изложению основных результатов, полученных в диссертации, сопоставляя их с аналогичными результатами, полученными другими авторами.При описании общей схемы применения "геометро-оптического" асимптотического метода уже отмечалось, что в его основе лежит асимптотический анализ интегральных представлений решений, записанных с помощью функций (или, если это необходимо, матриц) Грина - поскольку такое интегральное представление имеет наиболее общий характер и позволяет учесть вклад в решения соответствующих краевых задач всех их основных компонентов: начальных условий, граничных условий, тепловых источников и, что особенно важно, такое интегральное представление позволяет учесть неканонический вид области, в которой ищется решение.В монографической литературе неоднократно отмечалось, что метод функций Грина обладает весьма большой общностью и универсальностью [8], [25], [91], [92], [223]: его можно применять для записи в интегральной форме решений краевых задач при достаточно общей постановке в одно- двух- и трехмерных случаях и, вообще говоря, в гг-мерных случаях; в ограниченных, полуограниченных и неограниченных областях; при неоднородных начальном, граничных условиях, для уравнений, включающих тепловой источник (как линейный, так и нелинейный), а также при нелинейных граничных условиях. При этом наиболее ценным по сравнению с методом Фурье является следующее обстоятельство: метод функций Грина позволяет учесть не только неканоническую форму области, в которой ищется решение; но он также позволяет решать задачи с подвижными (в том числе и с неизвестными подвижными) границами произвольной нелинейной формы.В силу вышеизложенного становится понятным, почему в диссертационной работе в первую очередь (раздел 1) обсуждается способ получения асимптотик Пуанкаре функций Грина как многомерных сингулярно возмущенных краевых задач нестационарной теплопроводности в областях произвольной (т.е. неканонической) формы, так и в одномерных областях с подвижными границами.Вкратце отметим тесную связь способа получения асимптотики функции Грина с методом тепловых потенциалов [25], [92], [223], который, в свою очередь, тесно связан с теорией интегральных уравнений [142], [223].В пункте 1.1, озаглавленном "Лучевая" асимптотика функции Грина многомерной сингулярно возмущенной краевой задачи нестационарной теплопроводности в области произвольной формы [188]" рассматривается уравнение теплопроводности ди Tt = ^^"' с малым параметром е —> О, который появляется [175], если задачу распространения тепла решают в безразмерных координатах. В этом случае £ = atk/H"^, где а > О — коэффициент температуропроводности, tk — временной масштаб, Н — пространственный масштаб. Таким образом, случаю б —)• О соответствуют возможности: a)tk -> О, 6)Н -^ оо, e)tk/H^ -> О, г)а -> 0.Цель пункта 1.1 работы -— получить и обосновать асимптотическое разложение при £: ^ О функции Г(х, t] ^, г). Предполагается, что отрезок, соединяющий точки о; и ^, не имеет общих точек с поверхностью 5.В п. 1.2, озаглавленном: "Асимптотики функций Грина сингулярно возмущенных краевых задач в ограниченных областях вне пограничных слоев подвижных границ" изложен метод получения асимптотических разложений в смысле Пуанкаре функций Грина V[x^t]y^s) типовых краевых задач сингулярно возмущенного одномерного уравнения теплопроводности в областях, ограниченных с обеих сторон подвижными границами. Асимптотика функций Грина Г(а:, t\ у, s) находится в предположении, что точки с координатами {t^x) и {s^y) лежат вне пограничных слоев подвижных границ области. В основе метода лежит работа автора [165], обобщенная позже в его же работах [167], [168].Чтобы найти асимптотическое разложение в смысле Пуанкаре при £ —)• О функции Грина Г/(а:, t; t/, 5), определенной при помощи равенства (56), надо предварительно найти асимптотическое разложение в смысле Пуанкаре функций Pi{si) и ^ 2(51), являющихся решением системы линейных интегральных уравнений (58).В п.1.2.2, озаглавленном: "Асимптотические разложения решений системы линейных интегральных уравнений", система (58) - система одномерных линейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода — решается методом последовательных приближений с нахождением асимптотики Пуанкаре каждого приближения.В итоге доказывается следующее утверждение: Т е о р е м а 1.5.Коэффициенты с\ {t), к = 1,2 асимпт,от,ических разложений (59) не являются функциями малого парамет,ра £ > О и вычисляются в явном виде.В начале п. 1.2.3, озаглавленном "Асимптотические разложения функций Грина" рассмотрены следующие ограничения.Очевидно, что график UQ{SI) - отрезок прямой, соединяющий точки с координатами {s,y) и {t,x); график uk{si) - двузвенная ломаная, соединяющая точки с координатами (s,y), (sj,A^A:(5I)) И {t,x), к = 1]2.Т е о р е м а 1.6.Как известно, функция r{x,t;y,s) является решением следующей краевой задачи [92], [165]: дТ 5^Г r{x,t;y,s) = 0, х = N2{t),r(x,t-y,s) ^0, а: ^ - о о ; (65) (s, у)] (t, х) eMt = {(5, у); {t, х) -.-GoKy < N2{s); -оо <х < N2(t),0 < s <t <1}.Задачей является выяснение условий на расположение точек с координатами {s,y) и {t,x) относительно графика функции N2(31), s < Si < t^ при выполнении которых не является экспоненциально малым асимптотическое разложение при £ —)• О функции Г/(а:, t] у, s) = Г(х, t; у, s) - G[x, t; у, s), (66) где Г(х, t; у, s) - решение краевой задачи (65), а G(x, t; у, s) - фундаментальное решение уравнения теплопроводности. При этом ставим задачу нахождения и обоснования вида (структуры) асимптотического разложения в смысле Пуанкаре функции Г/(х,^; т/, s), а также задачу разработки алгоритма вычисления в явном виде коэффициентов этого асимптотического разложения при условии независимости от их малого параметра £ > 0.Асимптотическое разложение функции Ti{Xjt;y,s) находится по схеме, изложенной в п. 1.2.Т е о р е м а 1.10.В пункте 2.1 находятся внеугловые асимптотики решения линейной сингулярно возмупченной задачи нестационарной теплопроводности в двумерной прямоугольной области.Для решения сингулярно возмущенной краевой задачи (69) применен разработанный автором "геометро-оптический" асимптотический метод [175].Следуя основной идее "геометро—оптического" асимптотического метода [175], [186] разобьем область Qt = {{x,y,t)}:a<x<b, с < у < d, О < t < 1} на нижеследующие "зоны".Аналогичным образом определяются погранр1чные слои тех частей границы области Г2, которые заданы уравнениями: у = с; х = а; х = Ь, а также три оставшихся угловых пограничных слоя.Для функций Ti{x,y,t) в зоне [А^) установлены оценки. ^В/„ „. ,N ^ / TV Tf{x,y,t) = o{e''),N>0i = l,4.Нахолсдение асимптотического разлолсения в смысле Пуанкаре решения T{x,y,t) в случае принадлежности точки с координатами {x,y,t) "верхнему" пограничному слою.Основное отличие результатов данной работы от результатов, представленных в [32], [33], [40]-[46], [50], [192] состоит в том, что автором получены асимптотические разложения в смысле Пуанкаре [147] в то время, как в отмеченных выше работах получены асимптотические разложения в смысле Эрдейи [147], которые, как известно [47], [193], [199] имеют ряд существенных недостатков по сравнению с асимптотиками в смысле Пуанкаре.Отметим, что асимптотика решения сингулярно возмущенного уравнения эллиптического типа в прямоугольнике исследовалась в [40] и [83]. В работе [40] получены асимптотики в смысле Эрдейи с помощью метода погранфункций, а в работе [83] - тоже получены асимптотика: в смысле Эрдейи, но с помощью метода сращивания асимптотических разложений.Цель пункта 2.2. "Угловой пограничный слой решения линейной сингулярно возмущенной задачи нестационарной теплопроводности в двумерной прямоугольной области" — нахождение асимптотического разложения в смысле Пуанкаре нерегулярного нестационарного температурного поля в том случае, когда точка с координатами {x^y^t) принадлежит одному из угловых пограничных слоев двумерной прямоугольной области. Основные обозначения и определения данного раздела работы совпадают с теми, которые приведены в пункте 2.1.Единственное отличие состоит в том, что в п.2.2 рассматривается комбинация граничных условий I и II рода, в то время, как в п.2.1 рассматривалась комбинация граничных условий II и III рода.Пусть выполнены следующие условия: 1) функция Т^(х,у) имеет частные производные по аргументам х и у любого порядка и разлагается в двойной ряд Тейлора, сходящийся к функции, по которой он построен, в любой точке (а;, г/) G О,; 2) функции Q2{t) и T^it) имеют производные любого порядка и разлагаются в ряды Тейлора в любой точке t G [0,1]; сходящиеся к функциям, по которым они построены; 3) функции Qi{t) и Tf{t) непрерывны на [0,1]; 4) справедливо соот,ношение: 5) точка с координатами (x,y,t) удовлет,воряет, условию: {x,y,t) G т.е. выполняется условие (83).Тогда при е —)• О справедливо асимпт,стоическое разлооюение в смысле Пуанкаре решения T(x,y.,t) сингулярно возмущенной краевой задачи (79) вида (86). Коэффициент,ы асимптотического разложения (86) не зависят, от малого параметра е > О w вычисляются в явном виде.Сравнение с результатами, полученными другими авторами.Задачи нестационарной теплопроводности в многомерных областях с угловыми точками, рассматривались во многих работах, например, в [26], [27], [41]-[46], [48], [50], [88], [91], [92], [112], [113], [160], [190], [192], [206], [226]. Важной и сложной проблеме исследования свойств решений уравнений в частных производных в окрестности угловых точек границ областей посвящены многочисленные публикации [114].Отметим, что в большинстве указанных выше работ либо использовались такие методы (метод Фурье, метод интегральных преобразований), которые не позволяют непосредственно получить асимптотику решения сингулярно возмущенной краевой задачи нестационарной теплопроводности в окрестности угловой точки, либо в них только устанавливался вид интегрального представления решения в виде тепловых потенциалов - без дальнейшего нахождения асимптотических разложений.Поскольку целью пункта 2.2 работы является исследование асимптотики Пуанкаре решения в угловом пограничном слое, то анализ таких работ исключен; будут анализироваться только те работы, в которых рассматривались асимптотические разложения.Частично этот анализ содержится в пункте 2.1 данной работы, в котором доказано, что в работах представителей школы А.Б.Васильевой и В.Ф.Бутузова [32], [41-46], [190], [192] получены асимптотические разложения в смысле Эрдейи [147] ("обобщенные" асимптотические разложения [193]) сингулярно возмущенных задач нестационарной теплопроводности, в том числе и задач, рассматриваемых в областях, содержащих угловые точки. Напомним, что, как известно, [47], [193], [199] асимптотики в смысле Эрдейи имеют ряд существенных недостатков по сравнению с асимптотиками в смысле Пуанкаре.Сначала проанализируем работы отечественных исследователей, посвященные нахождению асимптотик решений краевых задач, поставленных для нестационарного уравнения теплопроводности в областях с угловыми точками. Приятными исключениями в этой серии работ являются работы [160] и [206], в которых найдены асимптотики в смысле Пуанкаре функций Грина первой и второй краевых задач во внешности многоугольника и многогранника.Модельной задачей в исследованиях, проведенных в [160] и [206], является задача об асимптотике при i —> О функции Грина (обозначаемой авторами черезp^(i, х, у)) первой (ей соответствует знак "плюс") и второй (ей соответствует знак "минус") краевых задач для двумерного уравнения теплопроводности, решения которого рассматриваются во внешности клина раствором о;. В [160] доказана (сохранены обозначения статьи) Теорема 1. Положим (р = 27т — а, di = Ох, с?2 = 0^. Тогда равномерно по ж, 7/, о;,/5, 7 6 области |27г — а\ > тт + £, di > s', с?2 > £', (е > 0,е' > О - фиксированные постоянные) имеют место асимптотические соотношения: причем пост,оянные С^{а^ (3,^) задаюгася явными формулами.Очевидно, что асимптотика (87) является одним из редких примеров асимптотики в смысле Пуанкаре в том случае, когда в качестве малого параметра выступает аргумент t. Ясно также, что в силу условий теоремы 1 эта асимптотика справедлива в области, лежащей как вне пограничных слоев, примыкающих к сторонам клина, так и вне "углового" пограничного слоя, расположенного в окрестности вершины клина.Предполагается, что на дО имеется коническая точка О. Это означает, что в окрестности О область G совпадает с сектором {хеК" : \х\ < 1, х1\х\ е П} , где Q - область с гладкой границей на единичной сфере.В своих комментариях В.А. Козлов отмечает, что "ряд (92) (в нашей нумерации Г.А.Н.) плохо сходится при больших значениях р".В основе изложенного в [285] метода лежит предположение о том, что в окрестности угловой точки прямоугольника П функция (р{х^ i/, t) может быть приближена выражением вида: ip{x,y,t) = -хуА{т,1)-{-о{х;у). (96) в свою очередь, для функцр1и А{т, I) выписаны свои аппроксимирующие выражения. В итоге с помощью функции А (г, /) вводятся новые переменные, в которых анализируется задача, эквивалентная задаче (95).Эта эквивалентная задача для одних значений параметра D^ позволяет записать асимптотику ее решения при £ —> О, а для других значений параметра Da асимптотика не находится.В последнем случае анализ проблемы проводится путем численного эксперимента; приводятся три графика вида <f = (р{х, у) при фиксированных значениях т и Da- Из этих графиков следует, что с ростом значений параметра Da координаты "горячей точки" в прямоугольнике смещаются из его центра к угловой точке. Авторы [285] отмечают, что их результаты качественно совпадают с результатами работы [27].Из излолсенного вьппе следует вывод: в работах других авторов, посвященных исследованию асимптотических разложений нестационарных температурных полей в областях с угловыми точками, получены: либо асимптотики в смысле Эрдейи в угловых пограничных слоях, либо получены асимптотики в смысле Пуанкаре вне угловых пограничных слоев.В п.2.3, озаглавленном: "Погранслойные асимптотические разложения решений линейных сингулярно возмущенных краевых задач в областях с подвижными границами" предлагается и обосновывается метод получения асимптотических разложений решений одномерных линейных сингулярно возмущенных краевых задач теплопроводности вблизи подвижных границ. Для простоты изложения рассматривается первая краевая задача с однородными граничными условиями. Основой метода является асимптотический анализ интегрального представления решения, записанного с использованием функции Грина. Поскольку асимптотическое разложение решения краевой задачи носит локальный характер, то естественно применение погранслойного асимптотического разложения функции Грина, полученного и обоснованного в п.1.3.Остановимся на тех критериях, которые другие авторы кладут в основу определения понятия "толщина теплового пограничного слоя".Формулы (97) и (98) предложены специалистами в области механики, эти формулы хорошо описывают эффект теплового удара и качественно согласуются с формулами, приведенными ранее автором. Так, Со в формуле (98) - это типичная "растянутая переменная" ("погранслойная переменная"), а ширина погранслоя 5т имеет порядок 5^ = 0(е^/^), £ - ^ 0 , (99) поскольку в [84] ia « £, где а - коэффициент температуропроводности.Еще один критерий определения пограничного слоя ("скин-слоя"') для решения краевой задачи уравнения теплопроводности (точнееуравнения диффузии) изложен в монографии Г. Кнопфеля [99]. Формулы, определяющие ширину "скин-слоя" (пограничного слоя), также согласуются с принятым в диссертационной работе критерием ширины погранслоя для решений краевых задач сингулярно возмущенного уравнения теплопроводности в области с неподвижной границей.Помимо вышеописанных вариантов введения понятий "тепловой пограничный слой" ("скин-слой") в литературе имеются и другие рассуждения о "тепловом пограничном слое" [73].Таким образом, доказано такое утверждение о погранслойном асимптотическом представлении в смысле Пуанкаре функции T(x,t): I 1\^[ТЛ — Т \ ,n + m>3,neN,meN, (104) Т е о р е м а 2.4.Коэффициенты разлож:ения не являются функциями малого параметра е > О вычисляются в явном виде.В п.2.4, озаглавленном: "Асимптотические разложения реп1ений линейных сингулярно возмущенных краевых задач теплопроводности в точках, удаленных от подвижных границ" установлены и обоснованы асимптотические разложения в смысле Пуанкаре решений основных типовых сингулярно возмупценных линейных краевых задач нестационарной теплопроводности в точках, удаленных от нелинейных подвижных границ. Искомые асимптотики находятся в результате асимптотического анализа интегральных представлений решений, записанных с помопдью соответствуюш;их функций Грина.Асимптотическое разложение в смысле Пуанкаре интегралов, стоящих справа в (106), находится в предположении, что точка с координатами {t,x) удалена от обеих подвижных границ области Mf. Уточним это предположение.Тогда при £ —> О справедливо асимптотическое разложение в смысле Пуанкаре решения T{x.,t) задачи (105) вида (111)Коэффициенты d\ (x,i) разложения (111) не являются функциями малого параметра £ > О и вычисляются в явном виде (см. (109)).Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые были проведены в п.2.3 и п.2.4, доказываем следующее утверждение: Т е о р е м а 2.7.Коэффициенты асимптот^ических разложений (118)-(119) не являют,ся функциями малого параметра е > О и вычисляют,ся в явном виде.Указанные в формулировке теоремы 2.7 равенства и условия А, Б и С имеют такой вид.Коэффициенты асимптотических разложений (118), (120) и (127) не являются функциями малого парамет,ра £" > О и вычисляются в явном виде.Обсуждение полученного в п.2.5.2 и п.2.5.3 результата и возможные обобщения содержится в п.2.5.4, в котором указано, что в диссертационной работе получено при Е —>• О асимптотическое разложение Пуанкаре решения задачи типа Стефана (17)-(22), которое при 5 <С 1 можно рассматривать как приближенное аналитическое решение этой задачи.Как известно [105], приближенные аналитические решения нестационарных задач тепло- и массопереноса обладают тем преимуществом перед итогами численных экспериментов, что они позволяют в любой точке объекта и в любой момент времени оценить исследуемый режим. отразить влияние всех факторов, учесть их значимость и выделить главные из них, т.е. провести аналитический многопараметрическир! анализ исследуемых режимов. В краевой задаче (17)-(22), можно варьировать: функцию, задающую начальное распределение Т^{(); функцию д{т), задающую тепловой поток; толщину пластины 5; продолжительность импульса t] температуру разрушения диэлектрика Тр] а также параметры, описывающие теплофизические свойства диэлектрика (вместо фторопласта можно взять другой материал) .Выше отмечалось, что краевая задача (17)-(22), отличается от краевой задачи, рассмотренной в [204] тем, что в [204] вместо g(r) рассматривалась нелинейная функция д^{т) = д[т) — АТ^, где Т„ - температура поверхности диэлектрика, А = const. Замена в формулировке * краевой задачи (17)-(22) функции д{т) на g's('?'), превращает эту задачу в типичную нелинейную задачу со свободной границей, причем на свободной (неизвестной) границе при этом задаются нелинейные граничные условия типа Стефана-Больцмана [182]. Предложенный автором "геометро-оптический" асимптотический метод позволяет находить приближенные аналитические решения и таких нелинейных задач со свободной границей [182], [274].Следует отметить, что имеется модель испарения изоляторов в импульсных ускорителях плазмы [6], отличная от модели, изложенной в [204]. Основное отличие математической модели, изложенной в [6] это рассмотрение в граничных условиях на подвижной границе нелинейности экспоненциального типа (в то время, как в [204] рассматривалась нелинейность степенного типа). Модель, предложенная в [6]. исследовалась численными методами. Если в этой модели ввести безразмерные переменные так, как это сделано в данном пункте, то при старшей производной в уравнении нестационарной теплопроводности появится малый безразмерный параметр. Наличие нелинейности экспоненциального типа в полученной таким образом сингулярно возмущенной задаче со свободной границей не является препятствием для успешного применения "геометро-оптического" асимптотического метода [175], [182], [274]. Более того, общность "геометро-оптического" асимптотического метода такова, что он позволяет находить приближенные аналитические решения нерегулярных нестационарных температурных полей в многослойных конструкциях с нелинейными условиями разного типа на внешних подвижных границах [180].Как подчеркнуто в названии данного пункта, в нем найдено асимптотическое разложение Пуанкаре решения сингулярно возмущенной краевой задачи нестационарной теплопроводности. Напомним, что в работах других авторов, посвященных той же тематике [50], [192] найдены асимптотические разложения Эрдейи (в смысле Эрдейи) [147] решений сингулярно возмущенных краевых задач нестационарной теплопроводности, так как коэффициенты разложений в этих работах являются функциями малых параметров.Задача (130), (131) отличается от "Задачи Stf , рассмотренной в п.2.5 граничным условием (условием Стефана) (131). Подчеркнем, что присутствие в условии (131) слагаемого вида (132; является обязательным атрибутом всех не упрощенных задач с неизвестной подвижной границей (т.е. так называемых задач Стефана) [24], [67], [91], [97], [105], [112], [113], [138], [182], [201], [217], [223], [268]. [274], [280]. Именно наличие этого слагаемого делает задачи Стефана нелинейными. Отсутствие слагаемого (132) в постановке "Задачи Stf в п.2.5 (и, соответственно в граничном условии (22)) объясняется тем, что в [204] использовалась упрощенная модель тепловой эрозии диэлектрика. Отметим, что в моделях эрозии диэлектрика, рассматриваемых авторами [6], слагаемое типа (132) присутствует.Т е о р е м а 2.9. (Ее формулировка во Введении сокращена).Неизвестная подвижная граница Q{C,) задается равенствами Д34у), (IZb). Если (С, О ^ ^'ПГРСЛ — Q{(y\, то справедливо асимптотическое равенсппво (133). Коэффициенты всех указанных асимптот^ичесих разложений не являются функциями малого параметра s > О и вычисляются в явном виде.Завершается пункт 2.6 обсуждением полученного результата. Из этого обсуждения следует, что в Теореме 2.9 установлен новый достоверный научный результат, который может быть расширен на задачи Стефана в более общей постановке, чем задача (130), (131).В разделе 3, озаглавленном "Асимптотики Пуанкаре решений некоторых нелинейных сингулярно возмуп];енных модельных задач, нестационарного тепло-и массопереноса при произвольных начальных условиях" на примерах решения модельных нелинейных задач, указанных в начале введения, излагаются основные этапы применения "лучевого" (иначе: "геометро-оптического") асимптотического метода для нахождения асимптотик Пуанкаре решений некоторых нелинейных сингулярно возмуп];енных задач нестационарного тепло-и массопереноса.Для вычисления в явном виде коэффициентов асимптотики в смысле Пуанкаре (142) применяется метод неопределенных коэффициентов. Подчеркнем, что его применение допустимо, так как коэффициенты с?о((^ , т), c?i(^, г), с?2(^ , г) В (142) были получены при помощи метода Лапласа. Из теории асимптотических разложений известно, что асимптотики, полученные при помощи метода Лапласа, можно дифференцировать [218].Обсуж:дение полученного результата.3. Отметим, что в случае Э^(^) = var возможно возникновение нескольких "горячих точек" (сравни с результатом из работы [151]) ^i таких, в которых выполнено условие А это означает, что в "нулевом приближении" температурный напор неограниченно возрастает в нескольких "горячих точках". Такрхм образом, возникает ситуация, которая в публикациях на эту тему получила название "системы горячих очагов" [11], [137], [152]. Подчеркнем, что, используя аналитическое выражение (143), можно провести параметрический аналитический анализ взаимодействия "системы горячих очагов" ("горячих точек"), задавая те или иные конкретные аналитические зависимости для функции в^(^), при помощи которой задаются начальные условия задачи Коши (137). Эффект нелинейного взаимодействия 2-х "горячих точек" исследован в диссертационной работе в пункте 3.1.3.Сравнение полученного результата с результатами, содерлсащимися в работах других авторов было проведено в [183].В итоге детального анализа: данных численных экспериментов о П-образном очаговом тепловом взрыве; итогов применения метода сращиваемых асимптотических разложений для исследования П— образного очагового теплового взрыва; данных численных экспериментов о влиянии начального распределения на очаговый тепловой взрыв: итогов применения метода сращиваемых асимптотических разложений для исследования влияния начального распределения на очаговый тепловой взрыв можно сказать, что полученный в диссертационной работе результат относительно времени воспламенения Тд качественно согласуется с результатами, полученными другими авторами-—в тех работах, в которых возможно провести это сравнение.Исследования зарубежными авторами разруп1ающихся реП1ений ("blow-up", "runaw^ay") уравнений параболического типа с нелинейными тепловыми источниками.В работе [244] исследуются "взрывные" ("разрушающиеся") решенрш уравнения вида ф^ = у2ф + Л(г, t)exp{Ф) (146) в окрестности точки с координатами {rj, tj) такой, что Ф(г/,^7) = +00.Сравнивая формулу (149) с полученным нами результатом (143), мы видим, что (149) и (143) в первом приближении качественно совпадают, так как из (143) следует (/3 = 1): е{^,т)^-1п[ехр{-е'{0)-г1 а из (149) следует: Ф —ln{ti — t).Т V ^ Ответ на вопрос: "какр1м образом происходит разрушение?" дается следующей теоремой: Т е о р е м а . Пусть п > 3. Тогда для f{u) = ехр(и) решение u[x^t) задачи (182) удовлетпворлет соотношению u(x,t) + ln{T- -t) -^0, t-^T- (151) равномерно на \х\ < С{Т — i)^/^.Очевидно, что формула (151) согласуется с полученной нами формулой (143).Аналогичный [253] результат содержится в работе [247].В работе [266] результаты, полученные в [234]—[236] для случая областей с сферической симметрией, обобщены на случай п < 2 и областей произвольной гладкой формы.Итак, можно сказать, что формула (143) находится в полном соответствии как с формулой (153), так и с формулой (154), которые получены для тепловых нелинейных источников более общего вида, чем тепловой источник экспоненциального вида: Q{u) = ехр{и).Итоги проведенного параметрического анализа иллюстрируются графиками, приведенными на Ри.3.1-Рис.3.14. В рамках параметрического анализа проведено сравнение полученного результата (143) с так называемой "формулой Тодеса" [213]; исследовано влияние количества членов асимптотического разложения (143); изучено влияние на результат значений числа Аррениуса Аг и значений безразмерного параметра £. Установлен набор параметров исходной задачи Коши (137), приводящий к появлению решения типа "сдвиговых тепловых всплесков" ("останавливающихся бегущих тепловых волн").В п.3.1.3 при помощи приближенного аналитического решения вида (143) продолжено изучение свойств решения задачи Коши (137). Сначала дается краткий обзор работ, в которых изучались решения полулинейных уравнений теплопроводности типа "бегущая волна", а затем изучаются свойства приближенного аналитического решения (143) в том случае, когда начальное распределение в^(^) задается согласно формуле r.O(c^ _ [иИ - То]Е Тп{х) = ехр I-(^ )Ъ"'1-{ч^: Данные проведенного параметрического анализа иллюстрируются графиками на Рис.3.15 - Рис.3.25.В пункте 3.2, озаглавленном "Внеугловые асимптотики решений сингулярно возмущенных краевых задач нестационарной теплопроводности с нелинейными условиями на границе прямоугольной области" излагается и обосновывается способ получения погранслойных асимптотик Пуанкаре решений нерегулярных задач теплопроводности с нелинейными граничный условиями в простейшей двумерной области прямоугольнике. Этот раздел является теоретическим обоснованием алгоритмов решения: модельной двумерной задачи о гетерогенном зажигании конденсированных реакционноспособных материалов, являюпдихя цилиндрами с прямоугольным поперечным сечением и модельной двумерной задачи, учитываюпдей влияние излучения, заданного законом Стефана-Больцмана, на нерегулярные тепловые поля.Отметим, что многочисленные задачи, имеющие большое практическое значение, приводят к необходимости определения нерегулярных нестационарных температурных полей с нелинейными граничными условиями [105], [112], [ИЗ], [173], [175].Пункт 3.2. работы является продолжением работ [125]-[130], [169], [171], [173], [175], [177], [180], [181], [184], [186], [270], характеризующихся наличием в постановке задачи нелинейных граничных условий.Проведенный автором библиографический анализ показал [173], [175] что в подавляющем большинстве случаев практически важных задач нелинейные граничные условия задаются либо с помощью степенной функции Б(Г) = С '^^ Г"^, т е л , (156) либо с помощью функции экспоненциального (аррениусовского) типа B{T)=d^hxp{-T*/T}, (157) гле С в 1 Т* — постоянные, т — действительное число.Как показано в [175], для решения T(x,y,t) краевой задачи типа (155) справедлив "принцип погранслойных поправок", из которого следует, что при е —> О асимптотическое разложение в смысле Пуанкаре [147] решения T{x^y,t) не зависит от вида граничных условий, заданных при у = с — для точек с координатами (х, у, i ) , не лежащих в пограничном слое стороны прямоугольника, заданной равенством: у = с.Таким образом асимптотика в смысле Пуанкаре решения Т{х^уЛ) краевой задачи (155) зависит от нелинейных граничных условий при у = с только в следующих случаях (х, у, t) е ''ПГРСЛ. - с", (158) (х, у, t) е ''УГЛЛГРСЛ.Ь и с", (159) (х, у, t) е ''УГЛ.ПГРСЛ.с и а". (160) В пункте 3.2. работы найдена асимптотика в смысле Пуанкаре решения Т(з;, у, t) в случае выполнения условия (158). Асимптотика Т(а;, у. t) в случае выполнения условий (159) и (160) находится аналогично.Для нахождения при £ —> О асимптотического разложения в смысле Пуанкаре решения T{x,y,t) краевой задачи с нелинейными граничными условиями применяется разработанный автором [175] "геометро—оптический" асимптотический метод.Нахож;дение погранслойного асимптотического разложения в смысле Пуанкаре решения T{x,y,t) в случае нелинейных граничных условий степенного типа. Будем предполагать, что точка с координатами {x,y,t) удовлетворяет условию: {x,y,t) G ""ПГРСЛ. — с", что, согласно [186] означает ус = о{е'^''^),£-^^,а<х <Ъ,а-а = 0[е), b-b = 0{s), е-)• О (164) при t е [S, l]j ОУО. Для нахождения асимптотики в смысле Пуанкаре решения Т(х, у. t) в случае выполнения условия (164) необходимо найти асимптотики в смысле Пуанкаре функций Т^^(х, у, t) и Т^{х, у, t) и оценки для функций T^{x,y,t),k = 1,2,4 при £ -^ 0.Функция р{х, t) должная быть такой, чтобы выполнялось нелинейное граничное условие при у = с; из него в случае (156) следует [223]: dT{x,y,t)/dy = C^^\T{x,y,t)r, у = с. (167) Изложенный ниже алгоритм справедлив при любом действительном ЧР1сле т. Для простоты изложения предполагается, что справедливо равенство m = 4, (168) поскольку в этом случае нелинейные граничные условия (156) соответствуют широко используемым в задачах практической направленности условиям типа Стефана—Больцмана [105], [112], [ИЗ], [173], [175].Согласно (167) и (168), для функции T{x,y,t) должно выполняться равенство (167) при т = А] отсюда в силу результатов, приведенных в [223], можно получить нелинейное интегральное уравнение для функции р{х^ t).Таким образом, нами доказана Т е о р е м а 3.2. Пуст,ъ выполнены следующие условия: 1) функция Т^{х. у) имеет част^ные производные по аргумент,ам х и у любого порядка и разлагается в двойной ряд Тейлора, сходящийся к функции, по которой он построен, в любой точке (х^у) G П; 2) функции Qkit). fc = 1,3 непрерывны на [0,1]; 3) точка с координатами {x,y,t) удовлетворяет условию (158).Тогда для случая нелинейных граничных условий т,ипа Стефана— Болъцмана ((167), т = 4) при е —>• О справедливо асимптотическое разлоэюение в смысле Пуанкаре реихения T{x,y,t) сингулярно возмущенной краевой задачи (155) вида (174)- Коэффициенты асимптотического разложения (174) "^^ зависят от малого параметра £ > О и вычисляются в явном виде.Погранслойное асимптотическое разложение в смысле Пуанкаре решения Т(а;, г/, t) в случае нелинейных граничных условий экспоненциального типа.Асимптотика Пуанкаре репхения Т(х, у, t) в случае нелинейных граничных условий экспоненциального (аррениусовского) типа (157) находится аналогично вышеуказанному алгоритму.Из него следует: А) автору не известны работы, содержащие "коротковременные" асимптотики в смысле Пуанкаре двумерного (по пространственным переменным) нерегулярного (т.е. нестационарного сингулярно возмущенного) температурного поля с нелинейным граничным условием степенного типа. Отметим, что статья [134] содержит асимптотическое разложение в смысле Эрдейи [147] нерегулярного температурного поля вращающегося цилиндра в случае нелинейных граничных условий типа Стефана-Больцмана; Б) результаты публикаций других авторов, посвященных "коротковременной" асимптотике решений одномерных (по пространственной переменной) задач нестационарной теплопроводности при нелинейных граничных условиях степенного типа либо согласуются с утверждением Теоремы 3.2, либо совпадают.Случай нелинейных граничных условий экспоненциального типа. Задачи нестационарной теплопроводности с нелинейными граничными условиями экспоненциального типа рассматривались во многих работах [55], [85], [173], [175]. За исключением работ автора, в подавляющем большинстве указанных выше работ краевые задачи решались либо численными методами, либо с помощью тех или иных "инженерных" методик. Поэтому проведение сравнения результатов Теоремы 3.3 с аналогичными результатами, полученными другими авторами, практически невозможно.В п.3.3, проводится параметрический анализ влияния нелинейных граничных условий в модели гетерогенного зажигания энергетических материалов в виде протяженных цилиндров прямоугольного сечения.Подставляя асимптотику функции р{^,т)^ задаваемую (189), под знак соответствующего интеграла, получаем такое соотношение для функцрш o f ( ,^77, т): X Применяя метод Лапласа [218] в (190) и используя функции Уиттекера так, как это сделано в п.3.2, из (190) получаем асимптотику Пуанкаре функции Gf (^, 77,т): Коэффициенты асимптотического разложения (191) не являются функциями малого параметра е > О и вычисляются в явном виде.Заметим, что формула (192) получена при помощи рассуждений, совпадающих с теми, которые приведены в Теореме 3.3. Поэтому (192) математически обоснована.В итоге удалось выявить наличие такой комбинации параметров исходной краевой задачи, которая при справедливости (193) приводит к появлению в "ПГРСЛ-с" ее решения в виде "тепловых сдвиговых всплесков" ("останавливающихся бегущих тепловых волн") (см.Рис.3.31Рис.3.36).Область Q предполагается ограниченной и одно связной с достаточно гладкой границей С = dQ.Подставляя асимптотику (208) под знак интеграла, определяющего функцию T^(x,y,t) и действуя аналогично нахождению асимптотики интеграла Tf{x, у, t) из п.3.2 (с учетом специфики нахождения асимптотики интеграла Т^^'(x,y,t) из данного пункта), приходим к выводу, что справедлива асимптотика вида: .exp{-2^)_|c-(...).-(f)^ (.0, где коэффициенты разложения не являются функциями малого параметра £ > О и вычисляются в явном виде.Пуст,ъ выполнены следующие условия: 1) функция Т^{х,у) имеет частные производные по аргументам х и у любого порядка и разлагает^ся в двойной ряд Тейлора, сходящийся к функции, по которой он построен, в любой т,очке {х,у) G П; 2) точка с координатами [x,y,t) принадлеэюит. пограничному слою границы областей Q, т.е. выполняется условие (205); 3) поверхност,ъ dQ х [0,1] - поверхность типа Ляпунова [25] и она задается функциями, имеющими производные любого порядка.Тогда для случая нелинейных граничных условий типа СтефанаБолъцмана (198) справедливо асимптот^ическое разложение Пуанкаре решения T{x,y,t) сингулярно возмущенной нелинейной краевой задачи (195)-(197) вида (210). Коэффициенты асимпт,от,ического разложения (210) не являют^ся функциями малого параметра е > О и вычисляются в явном виде.Алгоритм нахождения асимптотики Пуанкаре решения T{x,y.,t) нерегулярной нелинейной краевой задачи (195)-(197) в случае справедлр!вости нелинейных граничных условий (199) фактически тот же, что и в случае нелинейных граничных условий (198).Только в этом случае функция p{x,y,t) удовлетворяет нелинейному интегральному уравнению вида: p(a:^ у') 4^) ехр { - Г [Т^'\х\ у\ t)^ t (Тх + e\ \\p[i{o),7]{a),T)Vn[x\y\t-i[a),r]{a),T)da\dT 0 \0 -1 (211) Как и в случае п.3.2, асимптотика Пуанкаре решения нелинейного интегрального уравнения (211) имеет вид (208), в котором вместо функций Ri(x,y) стоят функции Ri{x,y). Функции Ri{x,y) не зависят от малого параметра е > О и вычисляются в явном виде.Итак, справедлива Т е о р е м а 3.5.Завершая введение, приведем основные черты общего алгоритма нахождения асимптотических разложений в смысле Пуанкаре решений нелинейных нерегулярных задач тепло-и массопереносав областях произвольного вида (в том числе и в областях со свободными подвижными границами) "геометро-оптическим" асимптотическим методом [87], [118]—[121], [125]—[131], [165]-[188], [270]—[275]: 1) Б поставленной конкретной задаче нерегулярного нелинейного тепло-и массопереноса вводятся безразмерные переменные так, что в дифференциальных уравнениях параболического типа при старших производных появляется малый безразмерный сомножитель - малый параметр; 2) решение исследуемой нелинейной краевой задачи записывается в интегральной форме при помош;и функции Грина - если область, в которой исследуется решение, является однослойной, или при помощи матрицы Грина, если область многослойная. Если краевая задача содержит нелинейные граничные условия, то интегральное представление ее решения содержит неизвестные функции Pkit) , для которых находятся соответствуюпцие нелинейные интегральные уравнения; 3) если явный вид функции Грина (или элементов матрицы Грина) для соответствующей линейной краевой задачи в виде комбинации истокообразных (фундаментальных) решений уравнения теплопроводности не известен, то функция Грина (или элементы матрицы Грина), в свою очередь, записывается в интегральной форме, содержащей неизвестные функции pk{t) при помощи специальным образом подобранной комбинации тепловых потенциалов простого и двойного слоев, учитывающей форму подвижных границ; 4) для функций Pk(t) находятся соответствующие линейные интегральные уравнения типа Вольтерра второго рода, которые затем решаются методом последовательных приближений, причем для каждого приблр!жения находится его асимптотика. В итоге получаются асимптотические разложения в смысле Пуанкаре функций Pk{t), причем достоверность полученных таким образом асимптотик обеспечивается при помощи специальным образом подобранной комбинации тепловых потенциалов простого и двойного слоев (см. пункт 3 алгоритма); 5) находится асимптотика в смысле Пуанкаре функции Грина (или элементов матрицы Грина), для чего аср1мптотики функций Pk{t) подставляются под знаки соответствующих интегралов в выражениях, задающих функцию Грина (или элементы матрицы Грина); затем при помощи метода Лапласа [218] или его модификации, разработанной автором [170]—[172], [175], находится асимптотика Пуанкаре каждого из интегралов, определяющих функцию Грина (или элементы матрицы Грина): 6) находится асимптотика разложения в смысле Пуанкаре решения исходной нелинейной сингулярно возмущенной краевой задачи, для чего асимптотика функции Грина (или асимптотика элементов матрицы Грина) подставляется под знаки интегралов в выражениях, задающих решение исследуемой краевой задачи; при этом при помопди метода Лапласа или его модификации находится асимптотика в смысле Пуанкаре каждого из интегралов, определяющих решение. Если исходная краевая задача содержала нелинейный тепловой источник, то интегральное представление ее решения является нелинейным интегральным уравнением, которое решается методом последовательных приближений с нахождением асимптотики в смысле Пуанкаре каждого приближения.Если исходная краевая задача содержала нелинейные граничные условия, то предварительно находятся асимптотические разложения функций Pk{t) , для чего сначала устанавливаются нелинейные интегральные уравнения для функций р^; (t) , которые затем решаются методом последовательных приближений с нахождением для каждого nppiближения его асимптотики в смысле Пуанкаре. Найденные асимптотики функций Pkit) подставляются под знаки соответствующих интегралов в выражениях, задающих вид решения исследуемой краевой задачи, а затем применяется метод Лапласа или его модификация (конец описания алгоритма).Эти коэффициенты не зависят от малого параметра.Применение "геометро-оптического" асимптотического метода для решения задач нерегулярного нелинейного тепло-и массопереноса позволяет выявить новые эффекты, поэтому этот метод можно рассматривать как математически корректную реализацию следующих эвристических принципов [175]: "принципа неощущаемости границы", "принципа погранслойных поправок", "принципа отражения", "принципа просачивания". Так как в рамках этого метода выяснены условия, при которых эти "принципы" реализуются, а также условия, при которых они не реализуются, то это дает новые возможности для параметрического анализа моделей нерегулярного нелинейного тепло-и массопереноса. Именно таким образом в диссертационной работе установлен новый для нелинейных нерегулярных тепловых полей факт "теплового резонанса".1. Асимптотики Пуанкаре функций Грина модельных линейных сингулярно возмущенных краевых задач нестационарного тепло-и массопереноса Как отмечалось во Введении, "геометро-оптический" асимптотический метод основан на математически корректном асимптотическом анализе интегральных представлений реигений нерегулярных задач тепло-и массопереноса, записанных с помощью соответствующих функций Грина.Принципиально важным является следующее обстоятельство: при этом используются не точные явные аналитические представления функций Грина, а их асимптотические разложения в смысле Пуанкаре, что существенно упрощает алгоритм.В монографической литературе неоднократно отмечалось, что метод функций Грина обладает весьма большой общностью и универсальностью [8], [25], [91], [92], [223]: его можно применять для записи в интегральной форме решения краевых задач при достаточно общей постановке в одно- двух- и трехмерных случаях и, вообще говоря, в гг-мерных случаях; в ограниченных, полуограниченных и неограниченных областях, односвязных и многосвязных областях; в многослойных областях сложной формы; при неоднородных начальном, граничных условиях; для уравнений, включающих тепловой источник (как линейный, так и нелинейный), а также при нелинейных граничных условиях. При этом наиболее ценным по сравнению с методом Фурье является следующее обстоятельство: метод функций Грина позволяет учесть не только неканоническую форму области, в которой ищется решение; но он также позволяет решать задачи с подвижными (в том числе и с неизвестными подвижными) границами произвольной нелинейной формы.В силу вышеизложенного становится понятным, почему в работе в первую очередь обсуждается способ получения асимптотики Пуанкаре функций Грина сингулярно возмущенных краевых задач нестационарной теплопроводности в областях произвольной (т.е. неканонической) формы.Вкратце отметим тесную связь способа получения асимптотики функции Грина с методом тепловых потенциалов [25], [92], [223], который, в свою очередь, тесно связан с теорией интегральных уравнений [143],^223].При рассмотрении функций Грина нерегулярных задач теплопроводности в областях с подвижными границами сначала в этом разделе устанавливаются и обосновываются асимптотики Пуанкаре функций Грина основных типовых сингулярно возмущенных задач в том случае, когда координаты точек, в которых находится функции Грина, расположены щ вне пограничных слоев соответствующих областей. Этот пункт носит в основном методологический характер, описывая модификацию метода тепловых потенциалов для нахождения асимптотик Пуанкаре функций Грина (вне пограничных слоев).Затем в этом разделе устанавливаются и обосновываются погранслойные асимптотические разложения в смысле Пуанкаре функций Грина нерегулярных задач теплопроводности в областях с подвижными границами. Способ нахождения погранслойных асимптотик функций Грина основан на комбинации модифицированного метода тепловых потенциалов с видоизмененным методом Лапласа (частным случаем перевала).Изменение метода Лапласа вызвано необходимостью учета слияния стационарной точки функции, стоящей в показателе экспоненты, с концом интервала интегрирования, в котором эта функция имеет полюс. Для учета этого явления автором введен новый модельный интеграл метода Лапласа, который можно выразить через модифицированные функции Бесселя с полуцелым индексом.

Основные результаты работы

1. Установлено, что исследование нелинейных сингулярно возмущенных (т.е. нерегулярных) нестационарных процессов тепло-и массопереноса, основанное на математически корректном асимптотическом анализе интегральных представлений решений, записанных с помощью соответствующих функций Грина, является эффективным и достаточно общим инструментом математического моделирования этих процессов. Этот метод позволяет учесть влияние нелинейных граничных условий, нелинейных тепловых источников, неизвестных подвижных границ, произвольных начальных условий, а также кривизны границы произвольной формы.

2. Обосновано разбиение областей, в которых исследуются нерегулярные нестационарные задачи тепло-и массопереноса, на " зоны", в которых асимптотические разложения Пуанкаре решений этих задач имеют разную структуру.

3. Установлено, что внутри таких "зон", как: "пограничный слой" и "угловой пограничный слой" асимптотические разложения Пуанкаре решений нелинейных нерегулярных нестационарных задач тепло-и массопереноса представляются аналитическими выражениями, содержащими кратные ряды по степеням малых параметров. Одним из них является малый параметр, стоящий при операторе Лапласа в уравнении нестационарной теплопроводности, а другими малыми параметрами являются соответствующие "погранслойные переменные".

4. Разработаны и обоснованы теоретические основы единого подхода к нахождению в каждой из "зон" асимптотических разложений Пуанкаре функций Грина основных сингулярно возмущенных нестационарных задач тепло-и массопереноса с произвольным начальным распределением. Найдена асимптотика Пуанкаре функции Грина нерегулярной многомерной первой краевой задачи теплопроводности в ограниченной области произвольной формы.

5. Найдены и обоснованы асимптотические разложения Пуанкаре решения модельной линейной нерегулярной двумерной задачи нестационарной теплопроводности в следующих "зонах" прямоугольной области: "ядро зоны света области задания начальных условий"; "пограничный слой стороны прямоугольника", "угловой пограничный слой двух сторон прямоугольника", "пограничный слой криволинейной границы произвольной формы".

6. Найдено и обосновано асимптотическое разложение Пуанкаре решения нерегулярной задачи Коши полулинейного уравнения нестационарной теплопроводности с нелинейным тепловым источником аррениусовского типа и произвольным начальным распределением. С помощью этого асимптотического разложения проведен параметрический анализ процессов очагового теплового взрыва в случае реакций нулевого порядка. В рамках указанного параметрического анализа найдены условия, приводящие к возникновению явления "останавливающихся бегущих тепловых волн" ("тепловых сдвиговых всплесков") как в одномерном, так и в двумерном случаях. В случае одномерной модели установлен набор параметров, при котором в случае системы очагов ("горячих пятен") возникает эффект нелинейного "теплового резонанса".

7. Найдены и обоснованы погранслойные асимптотические разложения Пуанкаре решений многомерной нерегулярной задачи нестационарной теплопроводности с нелинейными граничными условиями степенного и экспоненциального типов на одной из сторон прямоугольника при произвольном начальном распределении температуры. С помощью этих разложений проведен параметрический анализ: а) процесса гетерогенного зажигания протяженного цилиндра прямоугольного поперечного сечения в предположении реакций нулевого порядка и б) нерегулярного температурного поля протяженного цилиндра прямоугольного сечения с нелинейными граничными условиями типа Стефана-Больцмана. В рамках указанного параметрического анализа изучено влияние на процесс гетерогенного зажигания нелинейных граничных условий и неравномерного начального распределения температуры. Установлен вид начального распределения, приводящий к появлению "останавливающихся бегущих тепловых волн" ("тепловых сдвиговых всплесков"). Найден набор параметров, при котором в пограничном слое границы области, на который задано нелинейное граничное условие аррениусовского типа, возникает эффект нелинейного "теплового резонанса", аналогичный "тепловому резонансу" в задаче об очаговом тепловом взрыве. Установлено, что неравномерное начальное распределение температуры в случае нелинейных граничных условий типа Стефана-Больцмана оказывает такое же качественное влияние, как и в случае нелинейных граничных условий экспоненциального (аррениусовского) типа. Найден набор параметров, приводящий к "тепловому резонансу" в случае нелинейных граничных условий типа Стефана-Больцмана.

8. Найдена асимптотика Пуанкаре решения нерегулярной двумерной задачи теплопроводности с нелинейными условиями на криволинейной границе произвольной формы. Показано, что коэффициенты этой асимптотики зависят от кривизны границы. Рассмотрены, случай нелинейных граничных условий экспоненциального (аррениусовского) типа и случай нелинейных граничных условий типа Стефана-Больцмана.

9. Обосновано разбиение на "зоны" областей с подвижными криволинейными границами, в которых исследуются нерегулярные нестационарные задачи тепло-и массопереноса, учитывающие изменение фазового состояния вещества.

10. Разработаны теоретические основы единого подхода к нахождению в каждой из "зон" областей с подвижными криволинейными границами асимптотических разложений Пуанкаре функций Грина основных нерегулярных задач тепло-и массопереноса, учитывающих изменение фазового состояния вещества.

11. Найдены асимптотические разложения Пуанкаре решения модельной линейной нерегулярной задачи нестационарной теплопроводности с произвольным начальным распределением в следующих "зонах" области с подвижными границами: "ядро зоны света области задания начальных условий в области с подвижными границами" и "пограничный слой подвижной криволинейной границы".

12. Приведено решение модельной сингулярно возмущенной задачи типа Стефана, описывающей унос массы диэлектрика в импульсном электрическом разряде при произвольном начальном распределении температуры диэлектрика.

13. Приведена асимптотика Пуанкаре решения модельной сингулярно возмущенной задачи со свободной (неизвестной) подвижной границей. Установлено что, свободная граница удовлетворяет "закону одной второй".

14. Представлен комплекс программ, позволяющий в рамках "геометро-оптического" асимптотического метода учитывать влияние нелинейных тепловых источников, нелинейных граничных условий и произвольных начальных условий на двумерные сингулярно возмущенные нестационарные поля тепло-и массопереноса.

1. Абрамов В.Г., Гонтковскал В. Т., Мержанов А.Г. К теории теплового воспламенения. Сообщения 1, 2 // Изв. АН СССР Сер. Химия — 1966 — N 3 — С.429—437, N 5 — С.823—827.

2. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. — М.: Наука, 1979 — 830 с.

3. Аверсон А.Э. Теория зажигания j j Тепломассообмен в процессе горения — Черноголовка: ОИХФ АН СССР, 1980 — С.16—35.

4. Алдушин А.П., Мартемьянова Т.М., Мержанов А.Г. и др. Автоколебательное распространение фронта горения в гетерогенных конденсированных средах // Физика горения и взрыва — 1973 — Т.9, N 5 — С. 613—626.

5. Алексеев Ю.А., Васильев В.И. и др. Исследования электромагнитных импульсных плазменных двигателей эрозионного типа в ИАЭ им. И.В. Курчатова — М.: ИАЭ, 1990 — 24 с.

6. Алиев А.В. Анализ исследований по воспламенению твердых топлив // Современные проблемы внутренней баллистики РДТТ Ижевск: Ин-т прикладн. механики. Ур.О РАН, 1996 — С.58 — 84.

7. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач — М.: Наука, 1988 — 286 с.

8. Амосов А.П., Сеплярский B.C. Тепловая теория воспламенения и горения — Куйбышев: КПтИ, 1990 — 86 с.

9. Аннин Б.Д., Жигалкин В.М. Поведение материалов в условиях сложного нагружениия -— Новосибирск: СО РАН, 1999 — 341 с.

10. Афанасьев С.Ю., Сеплярский B.C., Амосов А.П. Расчет критических условий воспламенения системы очагов разогрева // Физика горения и взрыва — 1990 — Т.26, N 3 — С.16—20.

11. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос — М.: Наука, 1992 — 541 с.

12. Бабич В.М. Асимптотическое решение задачи о точечном источнике диффузии в движущейся среде при малости диффузионных коэффициентов // ЛОМИ АН СССР / Препринт Р-3-36 —Л., 1986 — 41 с.

13. Бабич В.М., Кирпичников а Н.Я. Метод пограничного слоя в задачах дифракции коротких волн — Л.: Изд-во ЛГУ, 1974 — 124 с.

14. Баранцев Р.Г., Энгелъгарт В.Н. Асимптотические методы в механике газа и жидкости — Л.: Изд-во ЛГУ, 1987 — 88 с.

15. Бартман А.Б., Перелъман T.JI. Новый асимптотический метод в аналитической теории переноса— Минск: Наука и техника, 1975 — 119 с.

16. Барвинок В.А. Управление напряженным состоянием и свойства плазменных покрытий — М.: Машиностроение, 1990 — 284 с.

17. Барзыкин В.В., Розенбанд В.И. Воспламенение. Библиография — М.: ФИХФ АН СССР, 1966 — 98 с.

18. Бахарев М.С., Миркин Л.И. и др. Структура и прочность материалов при лазерных воздействиях — М.: Изд-во МГУ, 1988 — 224 с.

19. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра — М.: Наука, 1965 — 294 с.

20. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены — М.: Наука, 1966 — 295 с.

21. Белоносов С.М., Овсиенко В.Г., Карачун В.Л. Применение интегральных представлений к решениям задач теплопроводности и динамики вязкой жидкости Киев: Вища школа, 1989 - 163 с.

22. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы теории теплопроводности — М.: Высшая школа, 1982. Часть 1, Часть 2 — 327 е., 304 с.

23. Берман В. С. Исследование нестационарных процессов в химически активных средах// А/р . д.ф.-м.н. — М.: Ин-т прикл. мех. АН СССР. 1981 — 29 с.

24. Берман В. С., Шевцова В.М. Зажигание плоского клина накаленной поверхностью // Прикладная матем. и мех. — 1981 — Т.45, N 4 — С.680—685.

25. Блисс Г.А. Лекции по вариационному исчислению — М.: ИЛ, 1950347 с.

26. Богаевский В.Н., Повзнер А.Я. Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений —- М.: Наука, 1987 — 255 с.

27. Борн М., Вольф Э. Основы оптики — М.: Наука, 1970 — 855 с.

28. Брейн Н.Г. Асимптотические методы в анализе М.: ИЛ, 1961247 с.

29. Булычева О.Н., Васильева А.Б., Сушко В.Г. Асимптотические разложения по малым параметрам решений некоторых задач для параболических уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики — 1991 — Т.31, N 9 — С.1328—1337.

30. Буркина Р.С., Вилюнов В.Н. О возбуждении реакции в "горячей точке" // Физика горения и взрыва — 1980 — Т.16, N 14 — С.75—79.

31. Буркина Р. С., Вилюнов В.Н. Асимптотика задач теории горения

32. Томск: Изд-во ТГУД982 100 с.

33. Буркина Р.С., Вилюнов В.Н. Очаговое тепловое воспламенение при произвольном начальном распределении температуры // Химическая физика — 1982 — Т.2, N 3 — С.419—422.

34. Буркина Р.С., Князева А.Г. Влияние начального распределения температуры и выгорания на очаговое тепловое воспламенение // Инженерно—физический сборник — Томск: Изд-во Томск. Ун-та, 1987, N 2 — С. 30—35.

35. Буркина Р. С., Князева А.Г. Исследование очагового воспламенения и режима его вырождения // Физика горения и взрыва — 1992 — Т.28, N 3 — С. 3—8.

36. Буслаев B.C. Вариационное исчисление — JL: Изд-во ЛГУ, 1980287 с.

37. Бутузов В.Ф. Асимптотика решения уравнения fi2Au — k2(x,y)u = f(x, у) в прямоугольной области // Дифференц. уравнения — 1973 — Т.9, N 9 — С. 1654—1660.

38. Бутузов В. Ф. Сингулярно возмущенные краевые задачи с угловым пограничным слоем // А/р. д.ф.-м.н. — М.: МГУ, 1979 — 20 с.

39. Бутузов В.Ф., Бучнев В.Ю. Об асимптотике решения одной сингулярно возмущенной параболической задачи в двумерном случае // Дифференц. уравнения — 1989 — Т.25, N 3 — С.453—461.

40. Бутузов В.Ф., Деркунова Е.А. Асимптотика решения уравнениятеплопроводности с нелинейным источником тепла в тонком стержне // Журн. вычисл. матем. и матем. физики — 1996 — Т.36, N 6 — С.68—85.

41. Бутузов В.Ф., Уразгилъдина Т.А. Асимптотическое решение задачи о распространении тепла в тонких телах // Украинск. матем. журн. — 1987 — Т.39, N 1 — С.13—21.

42. Бутузов В.Ф., Уразгилъдина Т.А. Асимптотика решения краевой задачи для уравнения теплопроводности с мощным нелинейным источником в тонком стержне // Дифференц. уравнения — 1995 — Т.31, N 3 — С.472—482.

43. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости — М.: Мир, 1967 — 310 с.

44. Василевский К.К. Нестационарный нагрев конического стержня // Инженерно—физич.журнал — 1966 — T.ll, N 6 — С.725—728.

45. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы — М.: Наука, 1987 — 239 с.

46. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений — М.: Высшая школа, 1990 — 208 с.

47. Васильева А.Б., Горшкова О.Н. Об одной сингулярно возмущенной задаче химической кинетики // Вестник Моск. Ун-та. Сер. 15 Вычисл. матем. и киберн. —1984 — N 1 — С.27—32.

48. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. — М.: ИЛ, 1949, 4.1 — 798 с.

49. Вилюнов В.Н. Теория зажигания конденсированных веществ Новосибирск: Наука, 1984 — 189 с.

50. Вилюнов В.Н. Зажигание тонкой пластины конденсированного вещества горячим телом при продолжительном воздействии тепла // Труды НИИ ПММ при Томск. Ун-те — 1973 — Т.З — С.22—31.

51. Вилюнов В.Н., Буркина Р. С. К теории очагового теплового взрыва при наличии термического сопротивления // Материалы VI Всес. Симп. по горению и взрыву. Горение конденс. и гетероген. систем. Алма— Ата, 1980 — Черноголовка: ОИХФ АН СССР, 1980 — С.18—21.

52. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи математических наук — 1957 — Т.12, N 5 — С.З—122.

53. Волъперт А.И., Худяев С.И. Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики — М.: Наука, 1975 — 394 с.

54. Власова Е.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики — М.: Изд-во МГТУ им.Н.Э.Баумана, 2001699 с.

55. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений — М.: ГИФМЛ, 1963 — 1100 с.

56. Григорьев Ю.М. Тепловой взрыв // Тепломассообмен в процессах горения — Черноголовка: ОИХФ АН СССР, 1980 — С.13-16.

57. Григорьев Ю.М., Максимов Э.И., Мержанов А.Г. Закономерности воспламенения частиц гомогенных взрывчатых веществ в нагретом газе // Научно-технические проблемы горения и взрыва — 1965 — N 1 — С. 93-102.

58. Гришин С.Д., Лесков Л.В. Электрические ракетные двигатели космических аппаратов — М.: Машиностроение, 1989 — 216 с.

59. Гупало Ю.П., Полянин А.Д., Рязанцев Ю.С. Массотеплообмен реагирующих частиц с потоком — М.: Наука, 1985 — 336 с.

60. Данилейко Ю.К., Маненков А.А., Нечитайло B.C. Исследование объемного лазерного разрушения и рассеяния света в кристаллах и стеклах // Труды ФИАН СССР — 1978 — Т.101 — С.31—74.

61. Данилюк И.И. О задаче Стефана // Успехи математических наук1985 — Т.40, N 5 — С.133-185.

62. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа — М.: ГИФМЛ, 1958 — 207 с.

63. Дик И.Г., Толстых А.В. Воспламенение продуваемого слоя // Физика горения и взрыва — 1994 — Т.30, N 2 — С.З—7.

64. Добрего К.В., Жданок С.А. Очаговое воспламенение излучающего оптически прозрачного газа // Физика горения и взрыва — 1984 — Т.25, N 3 — С.16—21.

65. Егоров М.Е., Матвеев В.В. К тепловой теории гетерогенного зажигания газифицирующих конденсированных веществ // Физика горения и взрыва — Т.20, N 3 — С.38—43.

66. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник. Дифференциальные уравнения с частными производными — М.: Междунар. Прогр. Образования, 1996 — 495 с.

67. Зарубин В. С. Инженерные методы решения задач теплопроводности — М.: Энергоатомиздат, 1983 — 326 с.

68. Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике — М.: Изд-во МГТУ им.Н.Э.Баумана, 2001 — 495 с.

69. Зеленяк Т.Н. О качественных свойствах решений параболических задач // Применение функциональных методов к краевым задачам математической физики — Новосибирск, 1972 — С.63—71.

70. Зельдович Я.Б. Теория зажигания накаленной поверхностью // Журн. эксперимен. и теоретич. физики — 1939 — Т.9, N 12 — С.1530— 1534.

71. Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И. и др. Математическая теория горения и взрыва — М.: Наука, 1980 — 478 с.

72. Земских В.И., Лейпунский О.И. Повторное воспламенение конденсированных реагирующих веществ // Физика горения и взрыва — 19871. Т.23, N 2 — С.З—10.

73. Зино И.Е., Тропп Э.А. Асимптотические методы в задачах теории теплопроводности и термоупругости — JL: Изд-во ЛГУ, 1978 — 224 с.

74. Зоммерфелъд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики — М.: ИЛ, 1950—456 с.

75. Ильин A.M. Пограничный слой. // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.34

76. М.: ВИНИТИ, 1988 — С.175-213.

77. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач — М.: Наука, 1989 — 334 с.

78. Исаков F.H. Тепломассоперенос и воспламенение в гетерогенных системах. — Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999 — 139 с.

79. Искакова К. С. Об одной обратной задаче стефановского типа в теории электроконтактной дуги при малых значениях времени //Уравнения с разрывными коэффициентами и их приложения. — Алма-Ата: Наука, 1985 — С.34—43.

80. Калиниченко В.И., Несененко F.A. Об асимптотике решения первой краевой задачи уравнения теплопроводности // Украинск. математич. журнал — 1975 — Т.27, N 1 — С.89—94.

81. Калашников В.В., Кудинов В.А., Лаптев Н.И. и др. Теория теплообмена и теплового взрыва однослойных и многослойных композиций взрывчатых веществ Самара: СГТУ, 1995 - 83 с.

82. Канель Я.И. Существование решения типа бегущей волны для системы уравнений Белоусова-Жаботинского // Дифференциальные уравнеяия — 1990 — Т.26, N 4 — С.652—660.

83. Карлов Н.В., Кириченко Н.А., Лукълнчук Б.С. Лазерная термохимия. Основы и применения — М.: Центрком, 1995 — 367 с.

84. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел — М.: Наука, 1964 — 487 с.

85. Карташов Э.М. Аналитические методы в теплопроводности твердых тел — М.: Высшая школа, 2001 — 550 с.

86. Катеков К.А. Метод отражений для обобщенного уравнения теплопроводности // Изв. АН Каз. ССР. Сер. физ.-мат. — 1970 — N 1 — С.74—77.

87. Ким Е.И., Омелъченко В. Т., Харин С.Н. Математические модели тепловых процессов в электрических контактах — Алма-Ата: Наука, 1977 — 236 с.

88. Кернер Б. С., Осипов В.В. Автосолитоны — М.: Наука, 1991 — 198 с.

89. Кнопфелъ Г. Сверхсильные импульсные магнитные поля — М.: Мир, 1972 — 391 с.

90. Князева А.Г. Воспламенение П-образного очага разогрева в деформируемой среде // Физика горения и взрыва — 1993 — Т.29, N 4 — С.З—13.

91. Князева А.Г., Буркина Р.С. К задаче об очаговом тепловом воспламенении в веществе, способном к автокаталитическому превращению // Томск: ТГУ, 1986 9 с. Рук. деп. в ВИНИТИ, N 6809 — В 86.

92. Князева А.Г., Буркина Р.С. Очаговое тепловое воспламенение при автокатализе // Макроскопическая кинетика и химич. газодинамика. Матер. Всесоюзн. школы-семинара—Томск: ТГУ, 1989 — С.94—

93. Коздоба JI.A. Методы решения нелинейных задач теплопроводности — М.: Наука, 1975 — 227 с.

94. Козлов В.А. Асимптотика при t —> 0 решений уравнения теплопроводности в области с конической точкой // Матем. сборник — 19881. Т.136, N 3 — С.384—395.

95. Козлов В.А. О коэффициентах в асимптотике решений начально—краевых параболических задач в областях с конической точкой // Сиб. мат. журн. 1988 - Т.29, N 2 — С.75—89.

96. Козлов В.А. Асимптотические свойства решений эллиптических и параболических краевых задач в областях с особенностями границы // А/р на соискание. д.ф.-м.н. — Л.:ЛОМИ АН СССР, 1989 — 19 с.

97. Козлов В.А., Мазья В.Г. Об особенностях решений первой краевой задачи для уравнения теплопроводности в областях с коническими точками. I, II // Известия ВУЗов. Математика — 1987 — N 2 — С.38— 46, N 3 — С.37—44.

98. Колесов Ю.С., Колесов B.C., Федик И.И. Автоколебания в системах с распределенными параметрами — Киев: Наукова Думка, 1979162 с.

99. Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов П.С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме // Бюллетень МГУ. А. Математика и механика — 1937 — T.l, N 6 — С.1—26.

100. Коляно Ю.М. и др. Термомеханика. Указатель отечественной и зарубежной литературы за 1965—1976 гг. в двух книгах — Львов: Львовская научная библиотека АН УССР, 1980 — 360 е., 334 с.

101. Кондратьев Г.М. Регулярный тепловой режим. — М.: ГИТТЛ, 1954 — 406 с.

102. Копсон Э.Т. Асимптотические разложения. — М.: Мир, 1968 — 159 с.

103. Коробейников В.П. Принципы математического моделирования.

104. Владивосток: Дальнаука, 1996. — 150 с.

105. Котович А.В., Несененко Г.А. Учет взаимного влияния "горячих точек" при решении задач об очаговом тепловом взрыве // Инженерно-физический журнал — 2000 — Т.73, N 1 — С.189—192.

106. Котович А.В., Несененко Г.А. Параметрический анализ очаговых режимов теплового взрыва "геометро-оптическим" асимптотическим методом // Инженерно-физический журнал. — 2000. — Т.73, N 1.1. С.193-197.

107. Котович А.В., Несененко Г.А. Многомерные нерегулярные задачи нестационарной теплопроводности с нелинейными граничными условиями // Известия РАН. Энергетика — 2001 — N 6 — С.115—130.

108. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике — М.: Мир, 1972 — 274 с.

109. Кошелев В.Н., Саичев А.И. Обобщение метода отражений для параболических уравнений с однородными граничными условиями на переменной границе // Изв. ВУЗов Радиофизика — 1985 — Т.28, N 6 — С.731—734.

110. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред — М.: Наука, 1980 — 304 с.

111. Кравченко В.Ф., Несененко Г.А. Асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи теплопроводности с нелинейным условием экспоненциального типа на подвижной границе // Радиотехника и электроника — 1997 — Т.42, N 11 — С.1358—1368.

112. Кравченко В.Ф., Несененко Г.А. Асимптотическое решение нестационарной задачи теплопроводности с нелинейным условием экспоненциального типа на подвижной границе // Докл. РАН — 1998 — Т.358, N 3 — С.315—318.

113. Кравченко В.Ф., Несененко Г.А. Взаимодействие концентрированных потоков энергии с твердотельными многослойными структурами // Радиотехника и электроника — 1999 — Т.44, N3 — С.347—358.

114. Кравченко В.Ф., Несененко Г.А. Метод граничных интегральных уравнений для определения погранслойной асимптотики решения нелинейной сингулярно возмущенной краевой задачи теплопроводности // Докл. РАН — 1999 — Т.364, N 1 — С.27—31.

115. Кравченко В.Ф., Несененко Г.А., Латыпов И.И. Применение интегральных уравнений к сингулярно возмущенной нестационарной краевой задаче теплопроводности с движущимися границами // Дифференциальные уравнения 1999 — Т.35, N 9 — С.1171—1178.

116. Куликов А.Н. Анализ устойчивости бегущих волн // Нелинейные колебания в задачах экологии — Ярославль: Яр. ГУ, 1985 — С.103—107.

117. Курдюмов С.П. Собственные функции горения нелинейной среды и конструктивные законы построения ее организации // Современные проблемы математической физики и вычислительной математики — М.: Наука, 1982 — С.217—243.

118. Летавин М.И., Мишурис Г.С. Нестационарный температурный погранслой в сечении вращающегося цилиндра // Дифференц. уравнения.— 1991. — Т.27, N 9. — С.1596—1603.

119. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент — М.: "Янус", 1995. — 519 с.

120. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений — М.: Наука, 1981 — 398 с.

121. Лоскутов Г. С. О зажигании реакционноспособной среды совокупностью нагретых частиц // Тепло- и массообмен в инертных и реагирующих газах — Томск: ТГУ, 1977 — С.83—93.

122. Лыков А.В. Теория теплопроводности — М.: Высшая школа, 1967 — 600 с.

123. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло-и массопереноса — М.: Госэнергоиздат, 1963 — 535 с.

124. Любое Б.Я., Соболь Э.Н. Развитие тепловой модели поверхностного испарения металлов под действием концентрированных потоков энергии // Физика и химия обработки материалов — 1979 — N 1 — С.12—26.

125. Любченко И.С., Марченко Г.Н. Тепловая теория зажигания реагирующих конденсированных веществ // Успехи химии — 1987 — Т.56, N 2 — С.216—240.

126. ЦЗ. Мазъл В.Г. Граничные интегральные уравнения //Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Т.27 — М.: ВИНИТИ. 1988 — С.131—228.144■ Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии — М.: Мир, 1983 — 397 с.

127. Маслов В.П., Данилов В.Г., Волосов К.А. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса. Эволюция диссипативных структур — М.: Наука, 1987 — 352 с.

128. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики — М.: Наука, 1976 — 296 с.

129. Математическая энциклопедия. Том 1 — М.: Изд-во "Советская энциклопедия", 1977 — 1152 с.

130. Мержанов А.Г. Тепловые волны в химии // Препринт / Черноголовка: ОИХФ АН СССР, 1978 — 30 с.

131. Мержанов А.Г., Абрамов В.Г., Гонтковская В.Т. О закономерности перехода от самовоспламенения к зажиганию // ДАН СССР — 1963 — Т.148, N 1 — С. 156—159.

132. Мержанов А.Г., Аверсон А.Э. Современное состояние тепловой теории зажигания // Препринт / ОИФХ АН СССР — М.: 1977 — 63 с.

133. Мержанов А.Г., Барзыкин В.В., Абрамов В.Г. Теория теплового взрыва: от Н.Н.Семенова до наших дней // Химическая физика — 19961. Т.15, N б — С.З—44.

134. Мержанов А.Г., Озерковская Н.И., Шкадинский К.Г. Динамика теплового взрыва в послеиндукционный период // Физика горения и взрыва — 1999 — Т.35, N 6 — С.65—70.

135. Мержанов А.Г., Хайкин Б.И. Теория волн горения в гомогенных средах — Черноголовка: Ин-т структурной макрокинетики РАН, 1992161 с.

136. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания М.: Наука, 1975 - 247 с.

137. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики — М.: Наука, 1981 — 400 с.

138. Молчанов С.А. Диффузионные процессы и риманова геометрия// Успехи математич. наук — 1975 — Т.20, N 1- С.3-59.

139. Молчанов С.А., Сидорович Ю. "Тепловая дифракция" на многоугольнике // Demonstratio Mathematika — 1983 — V.16, N 3 — P. 581 — 599.

140. Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей — М.: Наука, 1994 — 191 с.

141. Найфэ А. Введение в методы возмущений — М.: Мир, 1984 — 535 с.

142. Несененко Г.А. Об асимптотике функции Грина уравнения теплопроводности с малым параметром // Математический сборник — 19721. Т.87, N 2 — С.204—215.

143. Несененко Г.А. Про асимптотику функцп Грша р1вняння теплопров1Дност1 з малим параметром // Допов1 д\ АН УРСР. Сер. А — 1973 — N2 — С.181—184.

144. Несененко Г.А. Об асимптотике при си —у 0 функции Грина первой краевой задачи для уравнения aTt = а2Т -f V(x, t)T в случае подвижной границы// Математическая физика — Киев: Наукова Думка, 1974, вып. 16 — С. 152—159.

145. Несененко Г.А. Пограничный слой в нестационарных температурных полях твердых тел — М.: МОПИ, МГЗПИ, 1991 — 104 с.

146. Несененко Г.А. Пограничный слой в нелинейных температурных полях многослойных тел с подвижными границами — М.: Альфа, 1993102 с.

147. Несененко Г.А. Применение асимптотических методов в математическом анализе. 4.II. Асимптотические разложения интегралов, описывающих решения уравнений параболического типа — М.: Альфа, 199385 с.

148. Несененко Г.А. Методы решения сингулярно возмущенных краевых задач нестационарного тепло- и массообмена со свободными границами // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники — 1999 — N 12 — С.3-25.

149. Несененко Г.А. Решение задач тепловой теории зажигания реагирующих конденсированных сред "геометро—оптическим" асимптотическим методом. — М.: Альфа, 1999, 4.1 139 с.

150. Несененко Г.А. "Лучевой" асимптотический метод в задачах нерегулярной нестационарной теплопроводности для областей с движущимися границами // Известия РАН. Энергетика 2000 - N 3 - С.83-96.

151. Несененко Г.А. Метод граничных интегральных уравнений в решениях двумерных сингулярно возмущенных задач нестационарной теплопроводности с нелинейными граничными условиями // Дифференциальные уравнения — 2000 — Т.36, N 9 — С. 1160-1171.

152. Несененко Г.А., Тюрин Ю.Н. Лучевая асимптотика функции Грина уравнения теплопроводности с малым параметром// Математический сборник — 1984 — Т. 124, N 3 — С.320—334.

153. Нестеров А.В. О построении асимптотик решений некоторых классов сингулярно возмущенных уравнений//А/р на соискание • • • д.ф.-м.н.-М.-.МГУ, 1993 32 с.

154. Нестерова Т.Н. О решении параболического уравнения с малым параметром в прямоугольнике // Дифференциальные уравнения с малым параметром — Свердловск: Уральск.научный центр АН СССР, 1984 -С.50-60.

155. Нефедов Н.Н. Контрастные структуры в нелинейных сингулярно возмущенных задачах// Диссертация на соискание • • • д.ф.-м.н.-М.: МГУ, 1994 220 с.

156. Оле ер Ф. Асимптотика и специальные функции М.:Наука, 1990- 528 с.

157. Орлов Б.В., Мазинг Г.Ю. Термодинамические и баллистические Xосновы проектирования ракетных двигателей на твердом топливе — М.: Машиностроение, 1979. — 392 с.

158. Полежаев Ю.В., Юревич Ф.Б. Тепловая защита. — М.: Энергия, 1976. — 392 с.

159. Постои Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения — М.: Мир, 1980 — 607 с.

160. Прандтлъ Л. Теория несущего крыла. 4.1. Движение жидкости с очень малым трением — M.-JL: ГНТИ, 1931 С.5-11.

161. Радкевич Е.В. Асимптотические разложения решений задачи Стефана j j Динамика сплошной среды — 1990. — N 95. — С.102—113.

162. Риекстынъш Э.Я. Асимптотические разложения интегралов Т.Т.1,2,3 — Рига: Зинатне, 1974, 1977, 1981 — 390 е., 463 е., 370 с.

163. Рождественский К.В. Метод сращиваемых асимптотических разложений в гидродинамике крыла JL: Судостроение, 1979 - 208 с.

164. Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана — Рига: Звайзгне, 1967 — 457 с.

165. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П. и др. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений — М.: Наука, 1987 — 477 с.

166. Селиванов В.В., Зарубин B.C., Ионов В.Н. Аналитические методы механики сплошной среды — М.: Изд-во МГТУ, 1994 — 383 с.

167. Сидорович Ю. Тепловая дифракция на многограннике // Вестник МГУ. Сер.1 Матем., мех. — 1985 — N 3 — С.38—41.

168. Сеплярский Б.С., Афанасьев С.Ю. Анализ нестационарной картины воспламенения очага разогрева // Физика горения и взрыва — 19891. Т.26, N6 — С.9-13.

169. Смоляр В.А. Обобщение метода изображений в теории теплопроводности и диффузии на случай граничных условий третьего рода // Дифференц. уравнения с частными производными в прикладных задачах

170. Киев: Ин-т матем. АН УССР,1982 — С.128—131.

171. Солитоны (ред. Буллаф Р., Кодри Ф.) — М.: Мир, 1983 — 408 с.

172. Тихонов А.Н. Об остывании тел при лучеиспускании, следующем закону Стефана-Больцмана j j Изв АН СССР. Отделение математических и естественных наук — 1937. — N 3. — С.461—479.

173. Тихонов А.Н. Методы малого параметра и их применение // Дифферент уравнения — 1985 Т.21, N 10 - С. 1659—1661.

174. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики — М.: Наука, 1966 — 724 с.

175. Тодес О.М. Адиабатический тепловой взрыв // Журнал физ.хим.- 1933 Т.4, N 1 - С.71-79.2Ц- Трантер К.Дж. Интегральные преобразования в математической физике — М.: ИЛ, 1956 — 204 с.

176. Трахтенберг Б.Ф. Особенности применения метода источников для решения тепловых задач при обработке металлов давлением // Теплофизика технологических процессов — Куйбышев: КбПтИ, 1970 — С.209-214.

177. Треногин В.А. Об асимптотике решения почти линейных параболических уравнений с параболическим погранслоем // Успехи математич. наук — 1961 — Т.16, N 1 — С.163 —169.

178. Углов А.А., Смурое И.Ю. и др. Моделирование теплофизических процессов импульсного лазерного воздействия на металлы — М.: Наука, 1991 — 278 с.

179. Федорюк М.В. Метод перевала — М.: Наука, 1977 — 368 с.

180. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений — М.: Наука, 1983 — 352 с.

181. Фок В.А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн — М.: Советское радио, 1970 — 517 с.

182. Формалев В.Ф. Тепломассоперенос в анизотропных телах // Теплофизика высоких температур — 2001 — Т.39, N 5 С.810—832.

183. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике — М.: Наука, 1967 — 691 с.

184. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа — М.: Мир, 1968 — 427 с.224■ Фридрихе К.О. Асимптотические явления в математической физике // Математика — 1957 — Т.1, N2 — С.79—85.

185. Худяев С.И. Оценки интегралов с помощью средних и некоторые их применения // Журнал вычислит, матем. и матем. физики — 19821. Т.23, N 2 — С.280—295.

186. Шевцова В.М. Исследования по теории зажигания и нестационарного распространения волны горения // А/р.к.ф.-м.н. — Долгопрудный: МФТИ, 1980 — 14 с.

187. Шишкин Г.И. Сеточная аппроксимация метода аддитивного выделения особенностей для сингулярно возмущенного уравнения параболического типа // Жунал вычислительной математики и математической физики. — 1994. — Т.34, N 5 — С. 720—738.

188. Шкадинский К.Г., Хайкин Б.И., Мержанов А.Г. Распространение пульсирующего фронта экзотермической реакции в конденсированной фазе // Физика горения и взрыва — 1971 — Т.7, N 1 — С.19—28.

189. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя — М.: Наука, 1969 — 742 с.

190. Эрдейи А. Асимптотические разложения — М.: ГИФМЛ, 1962 — 127 с.

191. Лнке ЕЭмде Ф., Леш Ф. Специальные функции — М.: Наука. 1964 — 344 с.

192. Aronson D.G.Linear parabolic differential equations containing a small parameter // J. Rat. Mech. Anal. — 1956 — V.5, N 6 — P.1003—1014.

193. Baranski F., Musialek J. On the Green's functions for the heat equation over m-dimension cubcid // Demonstr. Math. 1981 — V.14, N 2 — P.371—382.

194. Bebernes J, Eberly D. Mathematical problems from combustion theory Berlin: Springer, 1989 -178 p.

195. Bebernes J, Fulks W. The small heat-loss problem// J. of Differential Equat 1985 - V.57, N 3 - P.324-332.

196. Bebernes J., Kassoy D. Characterizing self-similar blow-up // Mathematical modelling in combustion and related topics. Proc. NATO Advanced Workshop (1987, Lyon,France) Martinus Nijhoff Publishers, 1988 - P.383-392.

197. Boddington J., Feng C.G.} Gray P. Thermal explosion and times to ignition in systems with distributed temperatures.I. Reactant consumption ignored // Proc. Roy. Soc. London Ser. A — 1983 — V.385, N.1702 — P.289—311.

198. Boddington J.} Feng C.G., Gray P. Thermal explosion and times to ignition in systems with distributed temperatures.il. The influence of reactant consumption // Proc. Roy. Soc. London Ser. A — 1984 — V.391, N.1801 — P. 269—294.

199. Boddington J., Gray P., Kay S.R. Thermal explosion in systems with distributed temperatures.III. // Proc. Roy. Soc. London Ser. A — 1986 — V.406, N.1829 — P.213—228.

200. Boley B.A. A method for the construction of Green's functions // Quart. Appl. Math. — 1956 — V.14, N 3 — P.249-257.

201. Chuang Y.K., Szekely J. On the use of Green's function for solving melting or solidification problems// Int. J. Heat Mass Transfer 1971 - V.14.1. N 5 P. 1286-1294.

202. Cohen J.K., Lewis R. A ray method for the asymptotic solution of the diffusion equations // J. Inst. Math. Appl. — 1967 — V.3 , N 2 — P.266-290.

203. Colton D. Solution of boundary value problems by the method of integral operators —- London : Pitman, 1976 — 220 p.

204. Dold J. W. Analysis of the early stage of thermal runaway // Quart J. Mech. Appl. Math. 1985 - V.38, N 3 - P.361-387.

205. Dold J.W. Analysis of thermal runaway in ignition process j I SI AM J.Appl.Math. -1989 V.49, N2 - P.459-480.

206. Dold J. W. Observation on the nature of reaction runaway in reaction-diffusion systems // Nonlinear waves in active media. Proc.Euromech Colloquium, N 241, Tallinn, Sept. 27-30, 1988 Springer Verlag: Berlin etc, 1989- P.210-217.

207. Eberly D., Troy W.C. Existence of logarithmic-type solutions to the Kapila-Kassoy problem in dimension 3 through 9 // J. Differential Equat -1987 V.70, N 3 - P.309-324.

208. Five P.C. Singular perturbation and wave front techniques in reaction-diffision problems //"Asymptotic methods and singular perturbations". Proc. Symp. in Appl. Math. AMS and SIAM. N-Y, April 11-12, 1976 Providence: R.J., 1976, V.10 —P.23—50.

209. Freidlin M.I. Geometric optics approach to reaction-diffusion equations // SIAM J.Appl.Math. —1986 — V.46, N 2 — P.222—232.

210. Friedman A. Blow-up of solutions of nonlinear parabolic equation // Nonlinear diffusion equations and their equilibrium states.I.- Springer Verlag: N.Y. etc, 1988 P.301-318.

211. Friedman A. Blow-up of solutions of nonlinear heat and wave equations // Lect. Notes in Pure & Appl. Math., V.130 -Dekker: N.Y., 1991 -P.217-224.

212. Friedman A., Lacey A.A. The blow-up time for solutions on nonlinear heat equations with small diffusion // SIAM J.Math.Anal. — 1987 — V.18, N 3 — P.711—721.

213. Friedman A., Mcleod M. Blow-up of positive solutions of semilinear heat equations // Indiana Univ.Math.J. — 1985 — V.34, N 3 — P.425—447.254■ Friedman M.N. On critical hot spot size // Comb. Flame— 1968 — V.12, N 3 — P.281—284.

214. Gavalas G.R., Yortsos Y.K. Short-time asymptotic solutions of heat equations with spatially varying coefficients // J. Inst. Math. Appl. — 19801. V.26, N 3 — P.209—219.

215. Grundy R.E., Peletier L.A. Short-time behaviour of a singular solution to the heat equation with absorption // Proc. Roy. Soc. Edinburg "A" — 1987 — V.107, N 3/4 — P.271—288.

216. Handelsmann R.A., Olmstead W.E. Asymtotic solution to a class of nonlinear Volterra integral equation // SIAM J. Appl. Math.—1972. V.22, N 3. - P.373—384.

217. Hawlitschek K. Green funktionen fur warmeleiter mit beweglichen randern 11 ZAMP — 1978 — V.29, N 5 — P.815—821.

218. Henderson K.L., Bold J. W. Transition from thermal runaway to propagating flames 11 SIAM J. Appl. Math. — 1991 — V.51, N 5 — P.1304-1314.

219. Kassoy D.R. Extremely rapid transient phenomena in combustion, ignition and explosion// "Asymptotic method and singular perturbations". Proc. Symp. in Appl. Math. AMS and SIAM. N-Y, April 11-12, 1976 — Providence: R.J., 1976, V.10 — P.61—72.

220. Kassoy D.R., Poland J. The thermal explosion confined by constant temperature boundary. I., II // SIAM J.Appl. Math. — 1980-1981, — V.39, N 3 — P.412—430, — V.41, N 2 — P.231-246.

221. Keller J.B. Oblique derivative boundary conditions and the image method // SIAM J. Appl. Math. — 1981 — V.41, N 2 — P.294—300.

222. Keller J.B., Olmstead W.E. Temperature of a nonlinear radiating semi-infinite solid // Quart. Appl. Math. — 1971. — V.29, N 1. — P.559— 566.

223. Lacey A.A. The spatial dependence of supercritical reacting systems // IMA J. Appl. MAth. — 1981 — V.27, N 1 — P.71-84.

224. Letcher J.S. On boundary layers in the theory of heat conduction in solids 11 SIAM Rev. — 1969 V.ll, N 1 — P.20-29.

225. Liu W. The blow-up rate of solutions of semilinear heat equations j j J. of Differential Equat. 1989 - V.77, N 1 - P.104-122.

226. Merzhanov A. G., Averson A. E. The present state of the thermal ignition theory. An invite review. // Comb. Flame —1971 — V.16, N 1, — P.89—124.

227. Mitropol'sky Yu.A., Berezovsky A.A. Free and nonlocal boundary problems in metallyrgy, medicine and ecology. Mathematical models and con-sructive methods solution. — Kyiv: Ukranian Academy of Science. Institute of mathematics, 2000. — 163 p.

228. Musialek J. On the Green function of the heat equation and for the plane rectangular welge // Rocz. Polon. Tow. Math. Ser.l — 1981 — V.22, N 2 — P.301-303.

229. Nesenenko G.A. Boundary layer of the heat equation in several variables with nonlinear boundary conditions as power type functions // ZAMM — 1989 — Bd.69, N 1 — P.51—52.

230. Nesenenko G.A. The boundary layer of Green's function in the problems of thermal shock composites//Proc. Third. Intern. Sympos. "Mechanics of Polymer Composites" — Prague: Inst. Theor. & Appl. Mech. Czech. Acad. Sci, 1991 — P. 19-24.

231. Pao C. Positive solutions of a nonlinear boundary value problem of parabolic type // J. of Differential Equat. — 1976 — V.22, N 1 — P.145-163.

232. Polk J.F. Asymptotic approximations to the solution of heat equation // Rocky Mountain J. Math. — 1976 — V.6, N 4 — P.697—708.

233. Polk J.F. Boundary and interior layers in parabolic equation // Proc. BAIL Conf.l., Dublin, Ireland, 1980. 3-6 June. — Boole press limited: Dublin, 1980 — P.397—402.

234. Spurk J.H. On the solution of heat conduction equation for small Fourier number // ZAMM — 1970 — V.50, N 9 — P.537—575.

235. Tao L.N. The analyticity of solution of the Stefan problem // Arch. Rat. Mech. Anal. — 1980 — V.72, N 3 — P.285—301.

236. Tao L.N. A method for solving moving boundary problems // J.

237. Appl.Math — 1986 — V.46, N 2 — P.254—264.

238. Tao L.N. Heat conduction with nonlinear boundary conditions // ZAMP — 1981 — V.32, N 2 — P.144—155.

239. Thomas P.H. Comparison of some hot spot theories // Comb. Flame1959 — V.9, N 4 — P.369—372.284• Thomas P.H. An approximate theory of "hot spot" criticality // Comb. Flame — 1973 — V.21, N 1 — P.99—101.

240. Vazquez—Espi C., Linan A. The effect of square corners on the ignition of solids // SIAM J. Appl. Math. — 1993 — V.53, N 6 — P.1567— 1590.