автореферат диссертации по химической технологии, 05.17.08, диссертация на тему:Исследование нелинейных процессов переноса в химически активных средах

На правах рукописи

¿(Ь&у"^--

Вязьмина Елена Андреевна

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА В ХИМИЧЕСКИ АКТИВНЫХ СРЕДАХ

05 17 08 - Процессы и аппараты химических технологий

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

00316 1Т1Ь

Москва - 2007 г

003161715

Работа выполнена в Институте проблем механики Российской академии наук

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

Полянин Андрей Дмитриевич

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор

Тимашев Сергей Федорович

доктор технических наук, профессор Холпанов Леонид Петрович

Ведущая организация - Московский государственный

университет инженерной экологии

Защита диссертации состоится «6» ноября 2007 г в 12 часов на заседании диссертационного совета Д 217 024 03 при Федеральном государственном унитарном предприятии «Научно-исследовательский физико-химический институт им ЛЯ Карпова» по адресу 105064, г Москва, ул Воронцово поле, д 10, корп 5

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГУП «НИФХИ им ЛЯ Карпова»

Автореферат разослан « 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат химических наук __Н В Язвикова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы Нелинейные процессы переноса импульса, тепла и массы в химически активных средах часто встречаются в различных областях физики, химии, биологии, но в первую очередь в химической технологии Основы теории процессов переноса были заложены более двух веков назад и базируются на исследовании свойств решений уравнений или систем уравнений сохранения, которые в большинстве своем являются нелинейными

Для нелинейных задач химической технологии, гидродинамики, теории тепло-и массопереноса общие решения удается получить крайне редко (в исключительных случаях) Основные причины этого связаны, как правило, с нелинейностью и сложностью самих уравнений (например, за счет одно или многокомпонентной кинетической функции химической реакции) или граничных условий, зависимостью коэффициентов переноса, входящих в уравнения, от координат или подлежащих определению функций (температуры и концентрации), сложностью формы границ и многими другими причинами

Точные решения нелинейных уравнений и систем уравнений переноса играют важную роль в формировании правильного понимания качественных особенностей многих явлений и процессов Они позволяют разобраться в механизме таких сложных нелинейных эффектов, как пространственная локализация процессов теплопереноса, множественность или отсутствие стационарных состояний при определенных условиях, существование режимов с обострением, наличие или отсутствие периодических режимов и многих других важных явлений Точные решения типа бегущей волны и автомодельные решения часто представляют собой асимптотики существенно более широких классов решений, соответствующих другим начальным и граничным условиям Указанное свойство позволяет делать выводы общего характера и прогнозировать динамику развития различных явлений и процессов в более сложных системах

Даже те точные решения уравнений переноса, которые не имеют ясного физического смысла, могут быть использованы в качестве тестовых задач при проверке корректности и оценке точности других методов Кроме того, допускающие точные решения модельные уравнения и задачи служат основой для разработки новых численных, асимптотических и приближенных методов, которые в свою очередь позволяют исследовать уже более сложные задачи, когда априори нельзя рассчитывать на получение точных решений

Уравнения массо- и теплопереноса и фильтрации, с помощью которых моделируются многие процессы химической технологии, содержат эмпирические зависимости от концентраций или температуры для скоростей химических реакций, коэффициентов теплопроводности и диффузии, коэффициентов фильтрации и тд Точные решения позволяют планировать эксперимент для определения этих коэффициентов или зависимостей путем искусственного создания подходящих (граничных и начальных) условий

При теоретическом рассмотрении задач химической технологии особую важность представляют точные решения нестационарных уравнений переноса, поскольку в реальных и промышленных условиях такие процессы встречаются гораздо чаще стационарных На их основе появляется возможность моделировать переходные и динамические режимы работы химических реакторов и аппаратов, а также определять оптимальное время контакта фаз, когда обеспечивается большая неравновесность и высокая скорость протекания химико-технологических процессов

Большое значение представляют собой исследования нелинейных уравнений и систем уравнений массо- и теплопереноса общего вида, когда коэффициенты переноса и кинетическая функция химической реакции произвольно зависят от концентраций или температур, поскольку полученные результаты обладают широким диапазоном применимости

Для обработки экспериментальных данных (а также данных, полученных путем численного моделирования) весьма полезно использовать новые обобщенные переменные, инвариантные относительно выбора системы единиц измерения и характерных масштабов (длины, скорости, времени и др ) При этом возникает важная задача о выборе таких переменных Удачное введение обобщенных переменных во многих случаях позволяет сразу получить простые эмпирические зависимости, пригодные для инженерных расчетов

Все сказанное выше и определяет актуальность выполненных исследований

Целью исследования являлось определение основных закономерностей переноса импульса, тепла и массы в неоднородных одно- и многокомпонентных химически активных средах на основе точных решений соответствующих нелинейных уравнений сохранения Основное внимание было сосредоточено на изучении нестационарных макрокинетических диффузионно-кинетических явлений и процессов нелинейной фильтрации Это, в свою очередь, потребовало, развития аналитических методов решения соответствующих уравнений и систем уравнений, поиска новых классов их точных решений, а также построения на их основе решений краевых задач, моделирующих эти явления

Научная новизна диссертационной работы связана, прежде всего, с поиском новых классов точных (а в некоторых случаях и общих) решений нелинейных и нестационарных диффузионно-кинетических уравнений и систем уравнений, описывающих перенос тепла и вещества в химически активных средах Особое внимание уделялось уравнениям общего вида, когда коэффициенты переноса и кинетическая функция химической реакции произвольно зависят от концентраций или температур Получены решения, содержащие произвольные функции, позволяющие анализировать временную и пространственную динамику распределения тепла или вещества при протекании химической реакции

Другие новые результаты связаны с разработкой точных методов решения нелинейных уравнений и систем уравнений химической технологии и теории массо- и теплопереноса Эти методы основаны на нелинейном (обобщенном) разделении переменных Разработанные методы позволили найти точные решения нестационарных задач теории нелинейной фильтрации для одно- и многокомпонентных сред, когда коэффициенты фильтрации зависят от концентрации дисперсных частиц в фильтруемой суспензии

Предложен новый метод обработки экспериментальных данных с помощью инвариантных переменных Метод протестирован на примере обработки степенных и экспоненциальных зависимостей, широко встречающихся в задачах химической технологии

Практическая значимость приведенных в диссертации результатов обусловлена четырьмя основными причинами Во-первых, несмотря на то, что последние десятилетия были отмечены бурным развитием вычислительной техники и численных методов исследований, с помощью которых проведено математическое моделирование многочисленных физических явлений, они не всегда обоснованы при

решении нелинейных задач переноса в связи с наличием различных осложняющих обстоятельств К таковым относятся - присутствие сингулярно малых параметров, особенностей в коэффициентах уравнений, неединственность решения, локализованность, обострение процессов и т д Точные решения нелинейных уравнений и систем уравнений массо- и теплопереноса позволяют выявлять качественные особенности сложных физико-химических явлений

B-вторых, результаты, полученные в работе, позволяют установить основные макрокинетические закономерности нелинейных процессов переноса в химически активных средах, которые могут быть использованы для моделирования диффузионно-кинетических процессов, нелинейной фильтрации в пористой среде, динамических режимов работы двухфазных, проточных и барботажных химических реакторов и т д

В третьих, полученные в диссертационной работе точные решения использованы для пополнения баз данных по точным решениям уравнений и систем уравнений переноса на сайте http //egworld ípmiiet ni Такие базы данных расширяют возможности применения методов компьютерной алгебры при моделировании процессов химической технологии и позволяют тестировать используемые численные методы

В четвертых, предложен метод обработки экспериментальных данных, основанный на введении инвариантных переменных Этот метод позволяет получать простые эмпирические соотношения, пригодные для инженерных расчетов в химической технологии

Апробация работы Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международных шучных конференциях «Математические методы в технике и технологиях» ММТТ-17, Кострома, 2004, ММТТ-18, Казань, 2005, ММТТ-19, Воронеж, 2006, ММТТ-20, Ярославль, 2007, XL VII и XL VIII научных конференциях МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», Долгопрудный, 2004, 2005, Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения-XV, Современные методы теории краевых задач», Воронеж, 2004, Воронежских зимних математических школах «Современные методы теории функций и смежные проблемы», Воронеж, 2005, 2007, Международной летней школе «Фундаментальные основы статистической физики -19», Левен, Бельгия, 2005, 8-й Международной зимней школе по физике неравновесных сложных систем, Реховот, Израиль, 2006, а также на семинарах по механике сплошной среды им Л А Галина ИПМех РАН, Москва, 2007, лаборатории гидродинамики Технического университета Дармштадта, Германия, 2006, лаборатории гидродинамики Технического университет Эйндховена, Голландия, 2006, лаборатории статистической физики Католического университета, Левен, Бельгия, 2006, лаборатории гидродинамики Эколь Политекник, Палезе, Франция, 2007

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 научных работ, список которых приведен в заключительной части автореферата

Структура и объем работы Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка используемой литературы и приложения Работа изложена на 118 страницах машинописного текста, содержит 32 рисунка и 11 таблиц Список используемой литературы включает 117 наименований

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, изложены основные цели, уравнения и задачи, которые решались при проведении исследований

Первая глава диссертации представляет собой литературный обзор В ней рассмотрены основные нелинейные уравнения и системы уравнений переноса, проанализирован ряд физико-химических механизмов, обуславливающих возникновение таких нелинейностей, и приведены некоторые построенные на их основе модельные задачи химической технологии В этой главе кратко описаны основные методы решения таких уравнений Особое внимание сосредоточено на методе обобщенного и функционального разделения переменных и регулярной процедуре получения точных решений на его основе, поскольку в дальнейшем он был использован в диссертационной работе для решения конкретных задач Кроме того, в обзоре приводятся некоторые точные решения уравнений и систем уравнений, широко используемые при математическом моделировании процессов химической технологии, теории фильтрации и тепломассопереноса в неоднородных химически активных средах

Во второй главе, которая состоит из шести разделов, приведены новые точные решения некоторых нелинейных нестационарных уравнений массо- и теплопереноса в химически активных средах и уравнений фильтрации, полученные методом функционального разделения переменных

В первом разделе ищутся новые точные решения нелинейного уравнения нестационарной диффузии (теплопереноса) в неподвижной среде

где t - время, х - пространственная координата, уу - концентрация (температура), /М - коэффициент диффузии (теплопроводности), g(w) - скорость химической реакции (объемного тепловыделения) Многочисленные точные решения и групповая классификация уравнения (1) для функций /Сус) и £(м/) различного вида описаны в работах Л В Овсянникова (1959, 1978), В А Дородницына (1979, 1982), В А Галактионова с соавторами (1994, 1995), НХ Ибрагимова (1994 - 1995), АД Полянина и В Ф Зайцева (2002, 2004)

В диссертационной работе впервые показано, что нелинейное уравнение диффузии (1) имеет два класса точных решений с функциональным разделением переменных следующих видов

В результате исследования находятся зависимости , <р(1), ц/(1;) и условие взаимосвязи между функциями /(м')и g(w), для которых существуют решения указанного вида

В частности, для первого решения (2) установлено, что для функций / (-и/) и g (■№), определяемых формулами

— = — /Си>)— +е{ц>), 9? дх дх

(1)

= м:(г), г = <р{г)х2 + цг({),

(2)

/(*) = вШ, g{w)^2bz-^v.:(z)+bz-^v{z), М2)

где - произвольная функция, а и Ь - произвольные постоянные, а функция

г (м/) задается неявным выражением

существует решение с функциональным разделением переменных вида (2), где

(х+Вг)2 ЪВ, 4М+В2 2 а

Здесь В\, Вг Вг - произвольные постоянные Для наиболее распространенных экспоненциальной и степенной зависимостей кинетической функции £(м0 от концентрации (температуры) решения построены в явном виде В частном случае Ь=Вг=Ву=а полученное решение переходит в известное автомодельное решение нелинейного уравнения диффузии (теплопроводности) без химической реакции [когдаД>с) - произвольная функция, £(»>) =0]

Во втором разделе рассматривается уравнение диффузии (1) в случае радиальной симметрии

дуу _ 1 д Эг ~ г" дг

«-YM^

or

+ g(w) (3)

Здесь значения п~ 1 и п = 2 соответствуют двух и трехмерным задачам Точные решения этого нелинейного уравнения были найдены для случая квадратичной зависимости от радиальной координаты

w = w(z), z = <p(t)r2 + y/{i) (4)

Методом функционального разделения переменных показано, что уравнение (3), когда одна из функций /(w) или g(w) может быть произвольной, имеет несколько классов точных решений вида (4), одно из которых по своей структуре подобно рассмотренному ранее в первом разделе

В третьем разделе рассматривается уравнение, обобщенное для описания процесса нестационарной диффузии, когда коэффициент переноса и кинетическая функция химической реакции зависят не только от концентрации w, но и от температуры среды, которая меняется со временем

Точное решение этого уравнения найдено методом функционального разделения переменных в виде обобщенной бегущей волны w = w(z), где z = <p(t)x+y(t) В результате установлен вид зависимостей w(z), <p{t), \f/(i) Кроме того, получено условие взаимосвязи функций f{w) и g(w), при выполнении которого существует решение искомого вида

В четвертом разделе рассматривается нелинейное уравнение диффузии для сред со сложной реологией, которые описываются степенном законом Фика относительно градиента концентрации (подобные процессы имеют место в вязких, стеклоподобных расплавах и концентрированных растворах полимеров) Описаны несколько классов точных решений для случая произвольной кинетической функции

В пятом разделе рассматривается нелинейное уравнение околозвукового течения газа (в плоском и радиально-симметричном случаях) и получены новые классы его точных решений

В шестом разделе методом Титова-Галактионова получено точное решение нелинейного уравнения теории фильтрации

в котором коэффициент фильтрации / является произвольной функцией градиента концентрации дисперсной фазы в фильтруемой суспензии Здесь м/ - концентрация дисперсной фазы

Подробно рассмотрен случай степенной зависимости коэффициента фильтрации от градиента концентрации дисперсной фазы / = а(Э>с/сЪс)т, используемый при моделировании процессов фильтрации Найдено два точных решения, описывающих динамику распределения концентрации дисперсной фазы в суспензии, которые выражаются через элементарные функции

В третьей главе, которая состоит из трех разделов, получены новые точные решения ряда систем взаимосвязанных нелинейных уравнений, моделирующих процессы тепло- и массопереноса в двух- и многокомпонентных системах Как правило, анализ и решение таких систем представляет значительные трудности В диссертации ставилась задача разработать подходы, позволяющие изучать макрокинетику тепловых или диффузионных процессов в специальных случаях путем сведения исследуемых систем уравнений к линейным уравнениям в частных производных или же к системам обыкновенных дифференциальных уравнений С этой целью был использован метод функционального разделения переменных

В первом разделе приводятся общие решения некоторых классов нелинейных систем уравнений первого порядка К ним сводятся многочисленные задачи по моделированию конвективного массопереноса в двухфазных проточных реакторах и аппаратах без обратного перемешивания при наличии объемных химических реакций (когда продольной диффузией можно пренебречь) Рассмотрим систему уравнений конвективного переноса в двухфазных системах с химическими превращениями

где «И1»- концентрации переносимого компонента в различных фазах, т - время, £ -пространственная координата, д, и а2 - скорости конвективного движения взаимодействующих сред

Функции Р\(и,у>) и Е2(и,м>) описывают либо кинетику химической реакции, либо кинетику межфазного переноса В двухфазных задачах химической технологии, как правило, ¿?1(и,'И') = -Р2(и,-Ц'). Более сложные трехфазные или многофазные задачи, когда химические превращения протекают по последовательно-параллельной схеме избирательно в одной из фаз, в некоторых случаях моделируются такой системой уравнений с функциями ии Р2(и,и>) различного вида Путем перехода к характеристическим переменным

рассматриваемая система приводится к каноническому виду

^ = Ц («. V"), "§7 = ("> (5)

В диссертационной работе для системы уравнений (5) с кинетическими функциями вида ^(и,= и/(м>), Р2(и,м>) = ukg(w) была предложена замена переменных

и = ик, (6)

которая приводит ее к более простой системе

£= СТ

Здесь функция Ф(РГ) задается параметрически с помощью формулы Ф = ^(м/) и второго соотношения (6) (м> играет роль параметра)

Заменив V в первом уравнении системы (7) на левую часть второго уравнения этой системы, приходим к уравнению второго порядка для функции Ж Интегрируя его по получим уравнение

= |ф {уу)(1Ш + в(х), (8)

где 6{х) - произвольная функция Уравнение (8) может рассматриваться как обыкновенное дифференциальное уравнение относительно х (постоянная интегрирования в решении будет являться произвольной функцией времени)

Подробно рассмотрены частные случаи системы (5), когда функции /(у?) и £(>!>), задающие кинетику реакций, описываются экспоненциальными или степенными зависимостями Кроме того, приведены некоторые точные решения для системы уравнений (5), когда кинетические функции имеют вид ^(«,№) = /(а{и+Ьх\ч), ^;,2(м,w) = g(a2м+62v^,), а также рассмотрены и другие более общие случаи

Во втором разделе рассмотрены системы нелинейных диффузионно-кинетических уравнений, описывающих процессы нестационарного диффузионного массопереноса, сопровождающегося химическими реакциями, в двухкомпонентных средах

ди д2и . дуу _ Э2м> _ . .

- = - = + (9)

где £>, и £>2 - коэффициенты диффузии Подобные системы уравнений широко используются для моделирования макрокинетики процессов хемосорбции в неподвижных жидких средах, реакционно-диффузионных явлений в зернах катализатора, лежат в основе двухфазных моделей реакционных процессов в неоднородном кипящем слое, применяются при изучении кристаллизации перенасыщенных растворов и т д С помощью перехода к каноническим координатам к виду (9) также сводятся системы диффузионно-кинетических уравнений, описывающих конвективный массоперенос в жидких средах, движущихся с постоянной скоростью (если скорость движения обеих фаз одинакова)

В диссертационной работе продемонстрирована возможность нахождения новых точных решений систем уравнений (9) методом обобщенного разделения переменных Суть подхода заключается в том, что решения ищутся в виде

где на функции (£>,(/)> 9>2(0> накладываются соотношения,

представляющие собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, причем каждое уравнение системы (10) сводится к одному и тому же уравнению для функции

Применение этого метода продемонстрируем на примере решения системы уравнений (9) при £>, =£>■,=£>, когда Fi{u,w) = uf(bu-cw) + gl(bu-cw) и (и, -и>) = -и>/(Ьи-ст4>) + g2 (Ъи - см>), где /, , gг - произвольные функции, а Ъ, с -произвольные постоянные Использование описанной выше процедуры, приводит к обыкновенным дифференциальным уравнениям для функций фг($)> (г/,(0,

<р = <р/(Ьщ -сугг), <рх=с<р, <р2 = Ъ<р, = ~ ) + ях {Ьщ - су/2),

и линейному уравнению теплопроводности для функции

дг дх2

Таким образом, полученное решение помимо произвольных постоянных может содержать до трех произвольных функций

Рассмотренная система может быть использована для построения и решения двухфазной модели пузырькового кипящего слоя Считая, что и концентрация переносимого вещества в твердой фазе, а мV, соответственно, в пузырьковой, в ней надо положить /(6и-си>) = 0 и gí(bu-cw) = -g2(bu-cw) = a(u-■w), где а -

коэффициент массопередачи между твердой и пузырьковой фазой Приведены решения также некоторых других систем вида (9) В третьем разделе получены новые точные решения некоторых классов нелинейных систем из п уравнений произвольного порядка Для их анализа также использован метод обобщенного разделения переменных

Применение к таким системам процедуры, описанной в предыдущем разделе, позволяет свести их к системе обыкновенных дифференциальных уравнений и одному линейному уравнению в частных производных Предложенный подход существенно облегчает возможности математического моделирования процессов в многофазных реагирующих средах, заменив необходимость численного решения систем уравнений в частных производных на решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений

В четвертой главе, которая состоит из двух разделов, продемонстрирована возможность построения точных решений начально-краевых задач нелинейной фильтрации общего вида

В первом разделе получены новые точные решения нестационарных краевых задач, описывающих фильтрацию суспензии через первоначально чистую пористую среду Основная особенность рассматриваемого процесса заключается в учете захвата фильтруемых частиц пористой средой, забивке ими пор фильтра и постепенном уменьшении его поглощающей способности

Система уравнений, описывающая временную и пространственную динамику изменения относительной концентраций твердых частиц в фильтруемой суспензии и порах фильтра (в осадке) уу(г,х) внутри пористой среды, имеет вид

д(и + м/) ди . дт ,, ,11Ч

где /(>") - коэффициент фильтрации При этом должны выполняться следующие начальные и граничные условия

и = у> = 0 при ? = 0, и= 1 при х = 0 (12)

Введение функции потенциала

ГМ г!7

с последующим интегрированием первого уравнения от 0 до ? с учетом начального условия (12) приводит к квазилинейному уравнению первого порядка для функции м/ Его решение методом характеристик позволяет выписать точное решение краевой задачи (11), (12) в следующем виде

¿г V/ ..

и = -с > (14)

г/(г) ' сГ'^-х)'

где Ф"1 - функция обратная к (13) Заметим, что неизвестная функция ж определяется первым соотношением (14) в неявном виде Таким образом, точное решение задачи (11), (12) определяется соотношениями (13), (14) при х < г При х> t функции равны нулю

На основе полученных решений рассчитаны безразмерные зависимости концентраций твердых частиц в суспензии и от времени ? на выходе из фильтра (при л: = 1) и пространственные поля концентраций внутри фильтра т^Ос) (при * = 3) для различных зависимостей коэффициентов фильтрации от концентрации частиц в осадке линейной, квадратичной и корень квадратный Они представлены на рис 1

Из рис 1 следует, что во всех рассмотренных случаях концентрация суспензии на выходе из фильтра (при х = 1) со временем достигает значения 1, те фильтр перестает работать Времена достижения такого состояния сокращаются с ростом показателя степени в коэффициенте фильтрации При этом заполнение фильтра твердыми частицами становиться более равномерным Таким образом, можно утверждать, что чем больше показатель степени в коэффициенте фильтрации, тем выше эффективность процесса фильтрования и тем эффективнее используется фильтрующий материал

Полученные результаты обобщены на случай, когда в пористой среде имеется обратное перемешивание суспензии и в первое уравнение системы (11) входит слагаемое диффузионного типа Показано, что в этом случае также система уравнений фильтрации может быть сведена к решению одного уравнения для неизвестной функции концентрации твердых частиц в осадке

и

0,9

0,7

05

w

0,9

0,7

° 50 0,2 0,4 0,6 0,8 X

Рис 1 Зависимости безразмерных концентраций твердых частиц в суспензии и от времени Г на выходе из фильтра (при х = 1) и концентрации внутри фильтра IV от продольной координаты х (при 1=3) для различных зависимостей коэффициента фильтрации от концентрации частиц в осадке /(м') = 1 — м> (штрихпунктирная линия), /{ч/) = \-м>2

(сплошная линия) и / (>у) = 1 - (пунктирная линия)

Во втором разделе рассмотренная выше задача обобщена на случай фильтрации многокомпонентной суспензии Многокомпонентность может быть обусловлена как различием пропускной способности фильтра к частицам разного фракционного состава, так и различием физических механизмов поглощения частиц на фильтре, связанных с их природой и природой фильтрующего материала

Для п компонентной суспензии в рассматриваемом случае вместо системы уравнений (11) приходится иметь дело с системой, содержащей п+ 1 уравнение

—\и + | + — = 0, = ,у>Ли, г=1, ,п, (15)

где Т4// - концентрации частиц г-той фракции в осадке При этом в начальных условиях задается равенство нулю каждой из величин х>

В предположении, что все функции у, при г = 1, , п - 1 могут быть выражены через увп, получена система, состоящая из п - 1 обыкновенных дифференциальных

уравнений После подстановки ее решений в (15), приходим к системе (11), в которой

п—1 п

= (™„) + ™„ и = Используя в качестве параметра

'=1 1=1

можно определить общий коэффициент фильтрации В результате задача многокомпонентной фильтрации сводится к однокомпонентной

В диссертационной работе в качестве примера приведен расчет общего коэффициента двухкомпонентной фильтрации, когда один из индивидуальных коэффициентов постоянен, а другой зависит от концентрации линейно

В пятой главе, которая состоит из трех разделов, изложены основы нового метода обработки экспериментальных данных и результатов численного моделирования с целью получения эмпирических соотношений, пригодных для инженерных расчетов Следует заметить, что простые приближенные формулы часто более удобны для интерпретации и практического использования, чем таблицы и графики Показано, что в целях общности экспериментальные данные во многих случаях предпочтительно обрабатывать в специальных инвариантных координатах, которые сравнительно просто позволяют выявлять универсальные зависимости

В первом разделе рассматриваются различные аспекты обоснования метода Пусть у = у(х) - искомая зависимость, которая определяется экспериментальным путем Обобщенную переменную ищем в виде ФПотребуем, чтобы она была инвариантна относительно операций масштабирования по обеим переменным (х—>ах, у-^Ъу) и сдвига по независимой переменной (х-*х+с), где а, Ъ и с -постоянные В результате приходим к функциональному уравнению

общее решение которого имеет вид

ф = .р уу«

где Р{2) - произвольная функция Выбирая зависимость простейшего вида Р{2) = 2, приходим к соотношению

ф =»% (16) ш

Помимо (16) будем рассматривать также более простую обобщенную переменную первого порядка

4' = ^, (17)

У

которая инвариантна относительно операций масштабирования по обеим переменным, но не инвариантна относительно сдвига по независимой переменной

Инвариантные обобщенные переменные (16) и (17) полезно использовать для обработки экспериментальных данных и результатов численного моделирования

правой схемах вычисление второй производной ведется по трем точкам, а в центральной - по пяти

В результате обсчета исходных массивов точек в координатах (х, Ф) были получены новые массивы точек

х1,х1, ,хп1,хп, Ф, ф, ф ф

Исходя из них, определялось значение показателя степени к, которое сравнивалось с результатом аналитического расчета по формулам (19) Установлено, что наилучшее соответствие между аналитическими и численными расчетами показателя степени к достигается при использовании центральной разностной схемы Увеличение числа тестовых точек на заданном отрезке оси х во всех случаях приводит к улучшению точности Наибольшая погрешность для степенных функций наблюдается при малых х

В третьем разделе приведены некоторые конкретные примеры обработки экспериментальных данных с помощью предложенного метода для установления эмпирических зависимостей Массив экспериментальных точек представлялся с помощью соотношений (17) и (16) в виде (21) Далее с помощью метода наименьших квадратов вычислялись соответственно величины и Ф, по которым рассчитывался соответствующий показатель степени

По описанной выше методике обработаны экспериментальные данные Никурадзе (приведенные им в форме таблиц) по профилям скорости в пристенном слое для турбулентного течения вязкой жидкости в круглых гладких трубах при больших числах Рейнольдса с целью проверки степенной аппроксимации продольной скорости от расстояния от стенки степенными зависимостями Результаты для Re = 4 103 в координатных плоскостях (х,1?) и (х, Ф) представлены на рис 3

Из рис 3 видно, что для всех чисел Рейнольдса экспериментальные данные достаточно хорошо аппроксимируются прямыми = const и Ф = const Это показывает, что профили продольной скорости вблизи стенки трубы могут быть представлены в виде степенной зависимости и = ах", где показатель степени и = 0,164 для преобразования первого порядка (17) и и = 0,148 для преобразования второго порядка (16), что удовлетворительно соответствует оценкам, выполненным Никурадзе (и = 1/6 «0,167) Значительный разброс экспериментальных данных в плоскостях (x,W) и (х,Ф) обусловлен невысокой точностью вычисления производных ввиду недостаточно большого количества экспериментальных точек, которые далеко расположены друг от друга (при этом первая производная вычисляется лучше, что приводит к более точным результатам при использовании преобразования первого порядка) Однако даже такие достаточно грубые вычисления позволяют получить работоспособные аппроксимации для профиля скорости

Предложенным методом обработаны экспериментальные данные для зависимости длины окрашенной трассы 1 за счет присутствия фотохромных соединений в жидкости от энергии импульсного лазерного излучения Е, которым они первоначально облучаются для создания их вторичного свечения Показано, что экспериментальные точки а обобщенных координатах (Е, Ф) достаточно близко расположены от прямой линии с постоянным значением Ф«2, что позволяет использовать степенную аппроксимацию с показателем к = -1

В инженерной практике часто встречаются трехпараметрические степенные и двухпараметрические экспоненциальные зависимости

у = А{х+С)к, у = Лехр(Ь:), (18)

где А, С и к - постоянные, определяемые из экспериментальных данных Для кривых (18) переход к обобщенной переменной (16) в плоскости (х, Ф ) приводит к прямым линиям, параллельным оси х со значениями Ф = (к-1)/к, Ф = 1, (19)

соответственно Параметрические области значений к для указанных зависимостей в координатах (х, Ф) приведены на рис 2

Для сложных экспериментальных (численных) зависимостей, состоящих из разных участков, переход от одной степенной зависимости в плоскости (х, у ) Рис. 2 Параметрические области значений к другой соответствует переходу между & в координатах (х,Ф) для степенных и параллельными линиями в плоскости экспоненциальных зависимостей (х, Ф) Такие экспериментальные (или

численные) данные могут быть интерполированы, например, кусочно-гладкими линейными зависимостями или другими элементарными функциями Формулы (18) могут быть использованы, если кривая в плоскости (х, Ф) медленно меняется при изменении х, что соответствует слабой зависимости коэффициента к от х

Если в плоскости (х,Ф) определена зависимость Ф = /(х), то исходная зависимость в координатах (х, у) восстанавливается из решения дифференциального уравнения (16) при Ф = /(х) Общее решение этого уравнения имеет вид

у(х) = А,ехр

где А] и Аг - постоянные, определяемые их экспериментальных (численных) данных в двух точках

Во втором разделе приведены результаты оценок точности предложенного метода на примере тестовой обработки степенных и экспоненциальных зависимостей Этот этап исследования необходим для выбора наилучших апроксимационных формул для вычисления первых и вторых производных в (16) по имеющимся экспериментальным данным

В координатах (х, у) выбранные для теста зависимости у = у{х) представлялись в виде двух массивов точек

Х|, х2, , хл,

Исследовались широко известные в вычислительной математике левая, правая и центральная разностные схемы, а также их комбинации Напомним, что в левой и

к< о

экспоненциальная зависимость k>1

к =1, линейная зависимость 0<£<1

dx

x-F(X) + A2

F(x)=jf(x)dz

(20)

0.2

0,15

0,1

0,1 0,2 0,3

X

ф

-5

-10

0 0,1 0,2 0,3 X

Рис. 3 Экспериментальные данные Никурадзе для турбулентного течения вязкой жидкости в круглых гладких трубах для К.е = 4 103 в плоскостях (х, Т ) и (х, Ф ), где х - расстояние от стенки (в сантиметрах) Сплошные линии - закон скорости Никурадзе (А^=1/6), штрих-пунктирые - обработка экспериментальных точек методом наименьших квадратов

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1 Методом функционального разделения переменных получены новые точные решения различных классов нелинейных уравнений тепло- и массопереноса с объемной химической реакцией для плоского и радиально-симметричного случаев Рассмотренные классы уравнений содержат произвольные кинетические функции, поэтому полученные решения обладают значительной общностью Найдены новые точные решения нелинейного уравнения диффузии для сред со сложной реологией, которые описываются степенном законом Фика относительно градиента концентрации

2 С помощью замены переменных получены интегралы и общие решения некоторых нелинейных систем уравнений первого порядка, описывающих конвективный перенос в двухфазных системах с химическими превращениями, когда скорость реакции произвольным образом зависит от одной из компонент Предложена модификация метода обобщенного разделения переменных, позволяющая исследовать системы диффузионно-кинетических уравнений Получены новые классы точных решений нелинейных уравнений массо- и теплопереноса с объемной реакцией Рассмотрены как двухфазные, так и многофазные системы

3 Полученные результаты пополняют информационную базу данных по точным решениям нелинейных уравнений и систем уравнений теории тепло- и массопереноса с химическими реакциями и могут использоваться для тестирования численных, асимптотических и приближенных аналитических методов, используемых в химической технологии

4 Исследованы нестационарные задачи о фильтрации суспензии через первоначально чистую пористую среду Особенность рассматриваемого процесса заключается в учете захвата фильтруемых частиц пористой средой и постепенном уменьшении его поглощающей способности Получены точные решения этой задачи для случаев одно- и многокомпонентной суспензии Показано, что при выборе фильтрующего материала с более высокими показателями степени в коэффициенте фильтрации эффективность использования фильтрующего материала возрастает

5 Предложен новый метод обработки экспериментальных данных и результатов численного моделирования, основанный на введении инвариантных переменных Вид этих переменных определялся путем решения соответствующих функциональных уравнений Показано, что трехпараметрические степенные и двухпараметрические экспоненциальные зависимости, которые часто встречаются в инженерной практике, при переходе к инвариантной переменной преобразуются в прямые линии, параллельные оси абцисс Это автоматически позволяет выявлять зависимости указанного типа и получать простые приближенные формулы Проведено тестирование метода и выбрана разностная схема для вычисления производных, позволяющая достичь максимальной точности Эффективность метода проиллюстрирована путем обработки экспериментальных данных 1) по профилям скорости в пристенном слое для турбулентного течения вязкой жидкости в круглых трубах и 2) по длине окрашенной трассы в жидкости, содержащей фотохромные соединения

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

1 Полянин А Д, Вязьмина Е А Новые классы точных решений нелинейных уравнений теплопроводности (диффузии) общего вида // Докл АН - 2005 - Т 404 -№2 -С 173-176

2 Вязьмина Е А , Полянин А Д Новые классы точных решений нелинейных диффузионно-кинетических уравнений и систем общего вида// Теор основы хим технологии - 2006 - Т 40 - № 6 - С 595-603

3 Полянин А Д , Вязьмина Е А Новые классы точных решений нелинейных систем уравнений реакционно-диффузионного типа // Докл АН - 2006 - Т 409 - № 4 -С 455-460

4 Вязьмина Е А , Бедриковецкий П Г , Полянин А Д Новые классы точных решений нелинейных систем уравнений теории фильтрации и конвективного массопереноса // Теор основы хим технологии - 2007 - Т 41 - № 5 - С 580-588

5 Вязьмина Е А , Полянин А Д Решение нелинейного уравнения диффузии методом функционального разделения переменных // Матер Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - XV, Современные методы теории краевых задач» - Воронеж Изд-во ВГУ, 2004 - С 52-53

6 Вязьмина Е А, Полянин А Д Новые точные решения нестационарного уравнения диффузии с объемной химической реакцией в случае радиальной симметрии// Сб трудов XL VII научн конф «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» - Москва-Долгопрудный Изд-во МФТИ, 2004-Ч III-С 183-186

7 Вязьмина Е А , Полянин А Д Новое точное решение нелинейного уравнения диффузии для сред со сложной реологией // Матер Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы» - Воронеж Изд-во ВГУ, 2005 - С 63-64

8 Вязьмина ЕА, Полянин АД О точных решениях нестационарного нелинейного уравнения диффузии в случае радиальной симметрии // Сб трудов Междукар научн конф «Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-18» - Казань Изд-во КГТУ, 2005 - Т 1 - С 49-50

9 Вязьмина Е А, Полянин А Д Новые точные решения нелинейного диффузионно-кинетического уравнения общего вида// Сб трудов XLVIII научн конф «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» - Москва-Долгопрудный Изд-во МФТИ, 2005 - Ч III - С 240-243

10 Вязьмина Е А Применение метода Титова-Галактионова для решения нелинейных уравнений математической физики // Сб трудов Междунар научн конф «Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-19» - Воронеж Изд-во ВГТА, 2006 - Т 1-С 58-61

11 Вязьмина ЕА Применение метода Титова-Галактионова для решения нелинейного уравнения фильтрации // Матер Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы» - Воронеж Изд-во ВГУ, 2007 - С 50-51

12 Вязьмина Е А О новых точных решениях нелинейного нестационарного уравнения диффузионно-кинетического типа// Сб трудов Междунар научн конф «Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-20» - Ярославль Изд-во ЯГТУ, 2007 - Т 1-С 71-74

Подписано в печать 19 09 2007 г Формат 60x90/16 Тираж 100 экз Заказ №82-09

Отпечатано в ООО "Центр полиграфических услуг "Радуга" Тел 739-56-80 www raduga-pnnt ru www radugapnnt ru

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ,

ГИДРОДИНАМИКИ И ТЕОРИИ ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА.

1.1. Некоторые нелинейные уравнения в моделях химической технологии.

1.1.1. Нелинейные уравнения гидродинамики.

1.1.2. Нелинейные уравнения диффузии.

1.1.3. Диффузионные уравнения для реологически сложных сред.

1.2. Некоторые системы нелинейных уравнений в моделях химико-технологических процессов.

1.2.1. Нелинейные модели фильтрации.

1.2.2. Диффузионно-кинетические модели с учетом многокомпонентных химических превращений.

1.2.3. Двухфазные модели массопереноса.

1.3. Некоторые методы точных решений нелинейных уравнений в частных производных.

1.3.1. Понятие точного решения нелинейного уравнения.

1.3.2. Групповые методы.

1.3.3. Метод обобщенного разделения переменных.

1.3.4. Метод Титова-Галактионова.

1.3.5. Метод функционального разделения переменных.

1.4. Точные решения нелинейных уравнений их систем (обзор некоторых основных результатов).

ГЛАВА 2. НОВЫЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, ГИДРОДИНАМИКИ И ТЕОРИИ ТЕПЛО-И МАССОПЕРЕНОСА.

2.1. Нестационарный массоперенос в неоднородных средах, сопровождаемый объемной реакцией.

2.1.1. Решение, квадратичное по координате.

2.1.2. Решение, экспоненциально зависящее от координаты.

2.2. Нестационарный массоперенос в неоднородных средах, с объемной химической реакцией, в случае радиальной симметрии.

2.3. Нестационарный массоперенос в неоднородных средах, с объемной химической реакцией (обобщенный случай).

2.4. Нестационарный массоперенос в средах со сложной реологией.

2.4.1. Решение типа обобщенной бегущей волны.

2.4.2. Решение специального вида.

2.5. Околозвуковое течение сжимаемого газа.

2.6. Процесс нелинейной фильтрации.

ГЛАВА 3. НОВЫЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ

УРАВНЕНИЙ.

3.1. Модель двухфазного массопереноса без обратного перемешивания (системы нелинейных уравнений первого порядка).

3.2. Диффузионно-кинетические процессы в многокомпонентных средах (системы нелинейных уравнений второго порядка).

3.3. Некоторые обобщенные нелинейные модели в химической технологии, химии и биологии (системы уравнений произвольного порядка).

ГЛАВА 4. НЕЛИНЕЙНЫЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ В

ПОРИСТОЙ СРЕДЕ.

4.1. Однокомпонентная система.

4.2. Многокомпонентная система.

ГЛАВА 5. МЕТОД ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ И

РЕЗУЛЬТАТОВ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ С ПОМОЩЬЮ ИНВАРИАНТНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ.

5.1. Введение инвариантных переменных.

5.1.1. Простой путь введения инвариантных переменных.

5.1.2. Введение инвариантной переменной с помощью функционального уравнения.

5.2. Тестирование метода на модельных примерах.

5.2.1. Разностные схемы.

5.2.2. Способ уточнения обработки данных.

5.2.3. Прямой способ проверки применимости степенной зависимости.

5.3. Примеры обработки экспериментальных данных.

5.3.1. Закономерности турбулентного движения жидкости.

5.3.2. Использование фотохромных соединений в экспериментальной гидродинамике.

5.3.3. Электрохимический метод измерения турбулентности в жидкостях.

Нелинейные процессы переноса импульса, тепла и массы в химически активных средах часто встречаются в различных областях физики, химии, биологии, энергетики, но в первую очередь, в химической технологии. Например, к ним относятся гидромеханические процессы фильтрования с забивкой пор или уплотнением осадка, тепловые процессы при высокой движущей силе теплопередачи (при горении или нагреве продуктов сгорания) и массообменные процессы при наличии химических превращений или протекающие в условиях самопроизвольной конвекции. Часто среды, рассматриваемые в химической технологии, обладают сложными реологическими свойствами, которые зависят от их состава и меняются в процессе взаимодействия.

Последовательное физико-химическое изучение основ процессов переноса началось около двух веков назад. Поскольку эта область науки находится на стыке физики, химии, механики, математики и имеет огромное прикладное значение для развития практически всех областей техники и технологии, многие выдающиеся ученые внесли свои вклад в создание ее математической теории. Среди советских ученых это были в первую очередь Н.Н. Семенов, Я.Б. Зельдович, Д.А. Франк-Каменецкий, Л.Д. Ландау, С.С. Кутателадзе, А.В. Лыков и многие другие. Опубликованы десятки монографий и тысячи статей, посвященных развитию теоретических основ химической технологии.

Основы математической теории переноса базируются на исследовании свойств решений уравнений или систем уравнений сохранения, которые в большинстве своем являются нелинейными. По этой причине развитие теории во многом определялось развитием математических методов решения нелинейных дифференциальных уравнений как обыкновенных, так и в частных производных. Более того, необходимость применения указанной теории на практике часто ставит перед математиками проблемы, которые в силу их сложности не могут быть решены в настоящее время, что стимулируют разработку новых, более совершенных подходов к решению таких задач.

Первоначально математическая теория переноса развивалась на основе исследования линейных или линеаризованных дифференциальных уравнений, которые описывали целый круг важных явлений теплопередачи и диффузии в инертных средах при малых движущих силах. То же относилось и к гидродинамическим процессам в вязких средах при малых скоростях их движения. Были получены важнейшие результаты па основе точных решений соответствующих краевых и начальных задач, которые до сих пор широко используются при расчете промышленных аппаратов и реакторов. С другой стороны, именно результаты практического использования линейной теории продемонстрировали ее ограниченность и потребовали рассмотрения соответствующих нелинейных задач.

Возникновение и развитие теории пограничного слоя позволило перейти к рассмотрению нелинейных проблем гидродинамики и теории тепло- и массопереноса. Этот подход основан на идее асимптотических методов, так как в задачи гидродинамики и тепло- и массопереноса часто входят малые или большие параметры (числа Рейнольдса и Пекле), разложение по которым приводит к упрощению первоначально поставленной задачи. Привлекательность этого подхода связана с его физической обоснованностью и возможностью получения в асимптотических случаях точных результатов. Однако для промежуточных значений параметров вопрос сходимости используемых разложений чаще всего остается открытым. В практических целях чаще всего применяются приближенные методы решения задач переноса, точность которых обычно неопределенна.

Последние десятилетия были отмечены бурным развитием вычислительной техники и численных методов исследований, с помощью которых проведено математическое моделирование многочисленных химико-технологических процессов. Для важных практических задач это были, по сути, численные эксперименты, позволяющие набрать статистические данные и на их основе установить физико-химические закономерности изучаемых явлений. Важно отметить, что обычно полученные численные результаты интенсифицируют развитие как экспериментальных, так и математических методов, направленных на изучение причин закономерностей, обнаруженных численными методами.

Однако важно отметить, что, несмотря на несомненные успехи в практическом использовании, численные методы при применении их к решению дифференциальных уравнений носят всегда приближенный характер. Это вызвано тем обстоятельством, что в этом случае всегда делается замена непрерывных математических задач их дискретными моделями. Применение численных методов к нелинейным задачам часто бывает затруднено наличием целого ряда специфических обстоятельств, таких как присутствие сингулярно входящих малых параметров, особенностей в коэффициентах уравнений, близость исследуемой области к особой точке, неоднозначность выбора корня и т.д.

Применение аналитических математических методов для решения нелинейных уравнений и задач химической технологии, гидродинамики, теории тепло- и массопереноса осложнено тем обстоятельством, что общее решение удается получить очень редко (в исключительных случаях). Основные причины связаны, как правило, с нелинейностью и сложностью самих уравнений (например, за счет одно или многокомпонентной кинетической функции химической реакции) или граничных условий, зависимостью коэффициентов переноса, входящих в уравнения, от координат или подлежащих определению функций (температуры и концентрации), сложностью формы границ и многими другими причинами. В этих случаях обычно приходится ограничиться поиском и анализом частных решений, которые принято называть точными решениями.

Точные решения нелинейных уравнений и систем уравнений переноса играют важную роль в формировании правильного понимания качественных особенностей многих явлений и процессов. Они позволяют разобраться в механизме таких сложных нелинейных эффектов, как пространственная локализация процессов теплопереноса, множественность или отсутствие стационарных состояний при определенных условиях, существование режимов с обострением, наличие или отсутствие периодических режимов и многих других важных явлений. Точные решения типа бегущей волны и автомодельные решения часто представляют собой асимптотики существенно более широких классов решений, соответствующих другим начальным и граничным условиям. Указанное свойство позволяет делать выводы общего характера и прогнозировать динамику развития различных явлений и процессов в более сложных системах. Простые решения широко используются для иллюстрации теоретического материала и некоторых приложений в учебных курсах университетов и технических вузов (по теории тепло- и массопереноса, химической технологии, гидродинамике, газовой динамике и др.).

Даже те частные точные решения дифференциальных уравнений, которые не имеют ясного физического смысла, могут быть использованы в качестве тестовых задач при проверке корректности и оценке точности различных численных, асимптотических и приближенных аналитических методов. Кроме того, допускающие точные решения модельные уравнения и задачи служат основой для разработки новых численных, асимптотических и приближенных аналитических методов, которые, в свою очередь, позволяют исследовать уже более сложные задачи, не имеющие точного аналитического решения. Точные методы и решения необходимы также для разработки и совершенствования соответствующих разделов баз данных и компьютерных программ, предназначенных для аналитических вычислений, например, таких как системы MATHEMATICA, MAPLE и др.

В настоящее время при теоретическом рассмотрении задач химической технологии особый интерес представляют точные решения нестационарных уравнений переноса, поскольку в реальных и промышленных условиях такие процессы встречаются гораздо чаще стационарных. В основе моделей таких процессов лежат уравнения или системы уравнений в частных производных, содержащие временную и, по крайней мере, одну пространственную координату. Приближенные и асимптотические методы решения таких задач в настоящее время развиты недостаточно (часто отсутствует строгое математическое обоснование). Использование численных методов предъявляет высокие требования к техническим и програмным возможностям вычислительных средств и хорошего понимания рассматриваемых процессов. Все это обуславливает как научную, так и практическую ценность точных решений таких уравнений и систем там, где возможно их получение. На их основе появляется возможность моделировать переходные и динамические режимы работы химических реакторов и аппаратов, а также определять оптимальное время контакта фаз, когда обеспечивается большая неравновесность и высокая скорость протекания химико-технологических процессов.

Важно отметить, что многие уравнения экспериментальной и теоретической физики, химии, биологии и химической технологии содержат эмпирические параметры или функции. Например, уравнения массо- и теплопереноса содержат эмпирические зависимости от концентраций или температуры для скоростей химических реакций, коэффициентов теплопроводности и диффузии и т.д. Точные решения позволяют планировать эксперимент для определения этих параметров или функций путем искусственного создания подходящих (граничных и начальных) условий.

Большое значение представляют собой исследования нелинейных уравнений и систем уравнений массо- и теплопереноса и химической технологии общего вида, когда, например, коэффициенты переноса и кинетическая функция химической реакции произвольно зависят от концентраций или температуры, поскольку полученные результаты обладают широким диапазоном применимости. В этом случае удается получить целые классы решений, выраженные через произвольную функцию. В простейшем случае такие решения могут быть применены для анализа конкретных однотипных задач, отличающихся либо законами переноса, либо химических превращений. В более сложных ситуациях могут ставиться задачи поиска для произвольных функций, при которых решение будет удовлетворять тем или иным заранее заданным свойствам.

Для обработки экспериментальных данных (а также данных, полученных путем численного моделирования) весьма полезно использовать новые обобщенные переменные, инвариантные относительно выбора системы единиц измерения и характерных масштабов (длины, скорости, времени и др.). При этом возникает важная задача о выборе таких переменных. Удачное введение обобщенных переменных во многих случаях позволяет сразу получить простые эмпирические зависимости, пригодные для инженерных расчетов. Следует заметить, что простые приближенные формулы, как правило, более удобны для интерпретации и практического использования, чем таблицы и графики.

Таким образом, суммируя все сказанное выше, можно подчеркнуть, что в современных условиях углубление теоретических основ химической технологии напрямую требует развития математических методов решения нелинейных уравнений и систем уравнений, лежащих в основе моделей таких процессов. С другой стороны, для прикладных целей весьма полезна разработка новых математических методов анализа экспериментальных и численных результатов, а также установления на их основе простых соотношений, пригодных для инженерных расчетов. Все это и определяет актуальность выполненных в работе исследований.

Целью проведенных исследований являлось определение основных закономерностей переноса импульса, тепла и массы в неоднородных одно- и многокомпонентных химически активных средах на основе точных решений соответствующих нелинейных уравнений сохранения. Основное внимание было сосредоточено на изучении нестационарных макрокинетических диффузионно-кинетических явлений и процессов нелинейной фильтрации. Это, в свою очередь, потребовало, развития аналитических методов решения соответствующих уравнений и систем уравнений, поиска новых классов их точных решений, а также построения на их основе решений краевых задач, моделирующих эти явления.

Структура диссертационной работы связана с основными научными направлениями исследований. Прежде всего, с поиском новых классов точных (а в некоторых случаях и общих) решений нелинейных и нестационарных диффузионно-кинетических уравнений, описывающих перенос тепла и вещества в химически активных средах. Особое внимание уделялось уравнениям общего вида, когда коэффициенты переноса и кинетическая функция химической реакции произвольно зависят от концентраций или температур. Получены решения, содержащие произвольные функции, позволяющие анализировать динамику распределения тепла или вещества при протекании химической реакции.

Второе направление исследований связано с разработкой точных методов решения нелинейных систем уравнений химической технологии и теории массо- и теплоперено-са. Эти методы основаны на нелинейном (обобщенном) разделении переменных. Разработанные методы позволили найти точные решения нестационарных задач теории нелинейной фильтрации для одно- и многокомпонентных сред, когда коэффициенты фильтрации зависят от концентрации дисперсных частиц в фильтруемой суспензии.

Третьим направлением исследований являлась разработка нового метода обработки экспериментальных и численных данных с помощью перехода к специальным инвариантным переменным, позволяющего во многих случаях с помощью регулярной математической процедуры строить простые соотношения, пригодные для инженерных расчетов. Предложенный метод был протестирован на примере обработки как модельных степенных и экспоненциальных зависимостей, полученных численно, так и реальных экспериментальных данных по гидродинамике турбулентного пограничного слоя.

Практическая значимость приведенных в диссертации результатов обусловлена четырьмя основными причинами:

Во-первых, несмотря на то, что последние десятилетия были отмечены бурным развитием вычислительной техники и численных методов исследований, с помощью которых проведено математическое моделирование многочисленных физических явлений, они не всегда применимы к нелинейным задачам переноса в связи с наличием различных осложняющих обстоятельств. Полученные в диссертационной работе точные решения уравнений и систем уравнений переноса позволяют обойти эти трудности и подробно изучить физико-химические причины, вызывающие исследуемые явления.

В-вторых, результаты, полученные в работе, позволяют установить основные макро-кинетические закономерности нелинейных процессов переноса в химически активных средах, которые могут быть использованы для моделирования диффузионно-кинетических процессов, нелинейной фильтрации в пористой среде, динамических режимов работы двухфазных проточных и барботажных химических реакторов и т.д.

В третьих, полученные в диссертационной работе точные решения использованы для пополнения баз данных по точным решениям уравнений и систем уравнений переноса на сайте http://eqworld.ipmnet.ru. Такие базы данных расширяют возможности применения методов компьютерной алгебры при моделировании процессов химической технологии.

В четвертых, предложен метод обработки экспериментальных данных, основанный на введении инвариантных переменных. Этот метод позволяет получать простые эмпирические соотношения, пригодные для инженерных расчетов в химической технологии.

Некоторые из основных результатов исследований, изложенных в диссертационной работе, получены при выполнении грантов РФФФ № 04-02-17281 и 05-07-90297. Они опубликованы в 12 печатных работах. Автору настоящей диссертационной работы постановлением Президиума Российской академии наук от 26 декабря 2006 года была присуждена Медаль Российской академии наук с премией для студентов высших учебных заведений за цикл работ "Новые классы точных решений нелинейных реакционно-диффузионных уравнений общего вида".

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Методом функционального разделения переменных получены новые точные решения различных классов нелинейных уравнений тепло- и массопереноса с объемной химической реакцией для плоского и радиально-симметричного случаев. Рассмотренные классы уравнений содержат произвольные кинетические функции, поэтому полученные решения обладают значительной общностью. Найдены новые точные решения нелинейного уравнения диффузии для сред со сложной реологией, которые описываются степенном законом Фика относительно градиента концентрации.

2. С помощью замены переменных получены интегралы и общие решения некоторых нелинейных систем уравнений первого порядка, описывающих конвективный перенос в двухфазных системах с химическими превращениями, когда скорость реакции произвольным образом зависит от одной из компонент. Предложена модификация метода обобщенного разделения переменных, позволяющая исследовать системы диффузионно-кинетических уравнений. Получены новые классы точных решений нелинейных уравнений массо- и теплопереноса с объемной реакцией. Рассмотрены как двухфазные, так и многофазные системы.

3. Полученные результаты пополняют информационную базу данных по точным решениям нелинейных уравнений и систем уравнений теории тепло- и массопереноса с химическими реакциями и могут использоваться для тестирования численных, асимптотических и приближенных аналитических методов, используемых в химической технологии.

4. Исследованы нестационарные задачи о фильтрации суспензии через первоначально чистую пористую среду. Особенность рассматриваемого процесса заключается в учете захвата фильтруемых частиц пористой средой и постепенном уменьшении его поглощающей способности. Получены точные решения этой задачи для случаев одно-и многокомпонентной суспензии. Показано, что при выборе фильтрующего материала с более высокими показателями степени в коэффициенте фильтрации эффективность использования фильтрующего материала возрастает.

5. Предложен новый метод обработки экспериментальных данных и результатов численного моделирования, основанный на введении инвариантных переменных. Вид этих переменных определялся путем решения соответствующих функциональных уравнений. Показано, что трехпараметрические степенные и двухпараметрические экспоненциальные зависимости, которые часто встречаются в инженерной практике, при переходе к инвариантной переменной преобразуются в прямые линии, параллельные оси аб-цисс. Это автоматически позволяет выявлять зависимости указанного типа и получать простые приближенные формулы. Проведено тестирование метода и выбрана разностная схема для вычисления производных, позволяющая достичь максимальной точности. Эффективность метода проиллюстрирована путем обработки экспериментальных данных: 1) по профилям скорости в пристенном слое для турбулентного течения вязкой жидкости в круглых трубах и 2) по длине окрашенной трассы в жидкости, содержащей фотохромные соединения.

1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа,- М.: Наука, ГРФМЛ, 1987.- 840 с.

2. Хинце И.О. Турбулентность.- М.: ГИФМЛ, 1963.- 680 с.

3. Кутепов A.M., Полянин А.Д., Запрянов З.Д., Вязьмин А.В., Казенин Д.А. Химическая гидродинамика,- М.: Квантум, 1996.- 336 с.

4. Шульман З.П. Конвективный тепломоссопереносреологически сложныхжидкостей-М.: Энергия, 1975.- 352 с.

5. Смольский Б.М., Шульман З.П., Гориславец В.М. Реодинамика и теплообмен нелинейно-вязкопластичных материалов.- Минск: Наука и техника, 1970.- 448 с.

6. Шульман З.П., Верковский В.М. Пограничный слой ненътоновских жидкостей.-Минск: Наука и техника, 1966.- 240 с.

7. Огибалов П.М., Мирзаджанзаде А.Х. Нестационарные движения вязко-пластичных сред.- М.: Изд. МГУ, 1970.- 416 с.

8. Atomic diffusion in semiconductors. / Ed. D. Shaw.- London, New York: Plemun Press, 1973.- 178 p.

9. Бретшнайдер С. Свойства газов и жидкостей (инженерные методы расчета).-Л.: Химия, 1966.- 536 с.

10. Рид Р., Праусниц Дж., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей.- Л.: Химия, 1982.- 592 с.

11. Anderson J.L. Prediction of the concentration dependence of macromolecular diffusion coefficients. // Ind. Engng. Chem. Fundam.- 1973.- v. 12,- No. 4.- p. 488-490. *

12. Пери Дж. Справочник инженера-химика.- Л.: Химия, 1969.- Т. 1,- 640 с.

13. Шервуд Т., Пикфорд Р., Уилки Ч. Массопередача,- М.: Химия.- 1982.- 696 с.

14. Pascal Н. A nonlinear model of heat conduction. //J. Phys: Math. Gen.- 1992.-V. 25.- p. 939-948.

15. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике-М.: Наука, 1987.- 502 с.

16. Murray J.D. Mathematical Biology.- Berlin: Springer, 1989.- 574 p.

17. Berryman J.G., Holland C.J. Nonlinear diffusion problem arising in plasma physics. // Phys. Rep. Lett.- 1978.- V. 40.- p. 1720-1722.

18. Lacey A., Ockendor J.R., Tureotte D.L. Earth planet. // Sci. Lett.- 1981.- V. 54.-p.139-143.

19. Galaktionov V.A. Quasilinear heat equations with first order sign invariants and new explicit solutions, nonlinear analys, theory. // Math. Appl.- 1994. V. 23.- p. 1595-1621.

20. Saied E.A., Hussein M.M. Similarity solutions for nonlinear model of the heat equation, j j Nonlinear Math. Phys.- 1996.- V. 3. No. 1-2.- p. 219-225.

21. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел.- М.: Наука, 19*64.- 488 с.

22. Полянин А.Д., Вязьмин А.В., Журов А.И., Казенин Д.П. Справочник по точным решениям уравнений тепло• и массопереноса- М.: Факториал, 1998.- 368 с.

23. Israel W. Covariant fluid mechanics and thermodynamics. / In An Introduction Lecture Notes in Mathematics, No. 1385 Berlin: Springer, 1987.- 457 p.

24. Saied E.A., Abd El-Rahman R.G. On the porous medium equation with modified Fourier's low: symmetries and integralbility. // J. Phys. Soc. Japan.- 1999.- V. 68.- No. 2.-p. 360-368.

25. Zeldovich Ya., Raizer Yu. Physics of shock waves and hight-temperature hydrodynamics phenomena- New York: Academic, 1967.- V. II.- 497 p.

26. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны.- М.: Мир, 1977,- 623 р.

27. Dresner L. Thermal expulsion of Helium from a quenching. Cable-in-conduit conductor. // Proc. 9-th Symp. on Engng Problems of Fusion Research.- Piscataway, USA, 1981.- V. 1.p. 618-621.

28. Dresner L. Similarity solutions of nonlinear partial differential equations New York: Pitman, 1983.- 211 p.

29. Kamin S., Rosenau P. Communs Pure. // Appl. Math.- 1981 V. 34,- p. 831-838.

30. Kamin S., Rosenau P. Communs Pure. // Appl. Math.- 1982 V. 35.- p. 113-122.

31. Алынина E.A., Калиткин H.H., Корякин П.В. Диагностика особенностей точного решения при расчетах с контролем точности. // Журн. выч. мат. и мат. физики,- 2005.Т. 45,- № 10,- с. 1837-1847.

32. Herzig J.P., Leclerc D.M., Le Goff P. Flow of suspensions through porous media. — Applications to deep filtrations. // Ind. Eng. Chem.- 1970.- V. 62.- No. 5,- p. 8-35.

33. Alvarez A.C., Bedrikovetsky P., Hime G., Marchesin D., Rodriguez J.R. A fast inverse solver for the filtration function for flow of water with particles in porous media. // J. Inverse Probl.- 2006.- V. 22.- p. 69-88.

34. Logan D.J. Transport modeling in hydrogeochemical systems.- New York: Springer, 2001.328 p.

35. Перлмуттер Д. Устойчивость химических реакторов Л.: Химия, 1976.- 256 с.

36. Данквертс П.В. Газо-жидкостные реакции.- М.: Химия, 1973.- 296 с.

37. Берман B.C. Исследование нестационарных процессов в химически активных средах. // Дисс. соиск. учен. степ, доктора физ.-мат. наук.- М.: Институт проблем механики, 1981,- 327 с.

38. Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б., Махвиладзе Г.М. Математическая теория горения и взрыва.- М.: Наука, 1980.- 480 с.

39. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии- М.: Мир, 1983.- 397 с.

40. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика.-М.: Наука, 1984.- 304 с.

41. Берман B.C., Галин Л.А., Чурмаев О.М. К анализу простой модели барботраж-ного реактора. // Изв. АН СССР, Мех. жидкости и газа 1979,- № 5,- с. 681-702.

42. Пеньковский В.И. Одномерная задача растворения и вымывания солей при фильтрации с большими значениями Пекле. // Прикл. механика техн. физика.-1969,- № 2.-с 104-112.

43. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод,- М.: Наука, 1977.-с. 520-523.

44. Рачинский В.В. Введение в общую теорию динамики сорбции и хроматографии.-М.: Наука, 1964.- 138 с.

45. Цабек Л.К. Инвариантные решения уравнений равновесной динамики сорбции и равновесной кинетики сорбции. // Инж.-физ. журнал.- 1972.- Т. 22.- № 2.-"С. 161-168.

46. Арис Р. Анализ процессов в химических реакторах.- Л.: Химия, 1967.- 328 с.

47. Галин Л.А., Чурмаев О.М. Некоторые вопросы движения пузырьков газа в слое жидкости при наличии диффузии и химических реакций. // Прикл. механика техн. физика,- 1971.- №1.- с. 56-72.

48. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.- М.: Наука,1977.- 736 с.

49. Тихонов А.Н., Жуховицкий А.А., Забежинский Я.Л. Поглощение газа из тока воздуха слоем зернистого материала. // Журнал физ. химии.- 1946.- Т. 20.- Вып. 10.-с. 986-993.

50. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения М.: Физматлит, 2002.- 432 с.

51. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи М.: Наука, 1980.- 320 с.

52. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений,- М.: Наука,1978,- 400 с.

53. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, М.: Мир, 1989.- 639 с.

54. Ibragimov N.H. (ed.) CRC Handbook of Lie group to differential equations. V. 1.

55. Boca Raton, CRC Press, 1994,- 429 p.

56. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов, А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике,- Новосибирск: Наука, 1994.- 319 с.

57. Буллаф Р., Кодри Ф. (ред.) Солитоны.- М.: Мир, 1983.- 408 с.

58. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и исследования нелинейных эволюционных уравнений.- М.: Мир, 1985.472 с.

59. Ablowitz M.J., Clarkson Р.А. Solitons, non-linear evolution equations and inverse scattering.- Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1991- 516 p.

60. Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Handbook of nonlinear partial differential equations-Boca, Raton: Chapman k Hall, CRC Press, 2003.- 840 p.

61. Grundland A.M., Infeld E.A family of non-linear Klein-Gordon equations and their solutions. // J. Math. Phys.- 1992.- V. 33.- No. 12.- p. 2498-2503.

62. Miller J. (Jr.), Rubel L.A. Functional separation of variables for Laplace equations in two dimensions. // J. Phys. A.- 1993.- V. 26.- No. 10.- p. 1901-1913.

63. Zhdanov R.Z. Separation of variables in the non-linear wave equation. //J. Phys. A.- 1994,- V. 27.- No. 2,- p. L291-L297.

64. Svirshchevskii S.R. Lie-Backlund symmetries of linear ODEs and generalized separation of variables in nonlinear equations. // Phys. Lett. A.- 1995.- V. 199.- No. 2.- p. 344-348.

65. Doyle Ph.W., Vassiliou P.J. Separation of variables for the l-dimensionStl non-linear diffusion equation. // Int. J. Non-Linear Mech.- 1998.- V. 33.- No. 2.- p. 315-326.

66. Polyanin A.D., Zhurov A.I., Vyazmin A.V. Generalized separation of variables in nonlinear heat and mass transfer equations. // J. Non-Equilib. Therm.- 2000.- V. 25.-No. 3/4.- p. 251-267.

67. Полянин А.Д. Неполное разделение переменных в нестационарных задачах механики и математической физики. // Докл. РАН.- 2000.- Т. 45.- № 12,- с. 680-684.

68. Полянин А.Д. Преобразования и точные решения уравнений пограничного слоя, содержащие произвольные функции. // Докл. РАН.- 2001.- Т. 379.- № 3.- с. 334-339.

69. Полянин А.Д. Точные решения уравнений Навье-Стокса с обобщенным разделением переменных. // Докл. РАН,- 2001.- Т. 380.- № 4.- с. 491-496.

70. Полянин А.Д., Журов А.И. Обобщенное и функциональное разделение переменных в математической физике и механике. // Докл. РАН 2002.- Т. 382.- № 5-с. 606-611.

71. Polyanin A.D. Handbook of linear partial differential equations for engineers and scientists. Supplement B Boca Raton: Chapman & Hall, CRC Press, 2001,- 785 p.

72. Дородницын В.А. Групповые свойства и инвариантные решения уравнений нелинейной теплопроводности с источником или стоком,- М.: Инст. прикл. математики АН СССР, 1979,- Препринт № 57.- 28 с.

73. Дородницын В.А. Об инвариантных решениях уравнения нелинейной теплопроводности с источником. // Журн. вычисл. матем. матем. физики.- 1982. Т. 22, № 6, с. 1393-1400.

74. Ibragimov N.Kh. Transformation groups applied to mathematical physics Dordrecht: Springer, 2002,- 412 p.

75. Galaktionov V.A., Posashkov S.A. On Invariant sets and explicit solutions of nonlinear evolution equations with quadratic nonlinearities. // Differ. Integr. Eq.- 1995. V. 8,- p. 19972024.

76. Galaktionov V.A. Invariant subspaces and new explicit solutions to evolution equations with quadratic nonlinearities. // Proc. R. Soc. Edinburgh.- 1995.- No. 2.- p. 225-448.

77. Rudykh G.A., Semenov E.I. On new exact solutions of a one-dimensional nonlinear diffusion equation with a source (sink). // Zhurn. Vychisl. Matem. Matem. Fiziki.-1998.-V. 38.- No. 6.- p. 971-977.

78. Овсянников JI.B. Групповые свойства уравнений нелинейной теплопроводности. // Докл. АН СССР.- 1959.- Т. 125.- № 3.- с. 492-495.

79. Samarskii А.А., Galaktionov V.A., Kurdyumov S.P., Mikhailov A.P. Blowup in problems for quasilinear parabolic equations.- Berlin: Walter de Gruyter, 1995.- 477 p.

80. Vorob'ev E.M. Weak and partial symmetries of nonlinear PDE in two independent variables. // Nonlin. Math. Phys.- 1996,- V. 3,- No. 3?4.- p. 330-335.

81. Nikitin A.G., Wiltshire R.J. Symmetries of systems of nonlinear reaction-diffusion equations. // Proc. 3-rd Int. Conf. "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics". Kyiv: Institute of Mathematics, Ukraine.- 2000.- V. 30.- Pt. 1.- p. 47-59.

82. Schmidt A.V. Analysis of reaction-diffusion systems by the method of linear determining equations. // Сотр. Math. Math. Phys.- 2007.- V. 47.- No. 2,- p. 249-261.

83. Nikitin A.G., Wiltshire R.J. Systems of reaction-diffusion equations and their symmetry properties. // J. Math. Phys.- 2001.- V. 42.- No. 4,- p. 1667-1688.

84. Barannyk T. Symmetry and exact solutions for systems of nonlinear reaction-diffusion equations. // Proc. Inst. Math. NAS Ukraine.- Kyiv: Ukraine.- 2002 V. 43.- Pt. 1.- p. 80-85.

85. King J.R. Some non-local transformations between nonlinear diffusion equations. //

86. J. Phys. A: Math. Gen.- 1990,- V. 23.- p. 441-464.

87. Cank J. The mathematics of diffusion.- Oxford: Oxford University Press, 1975.- 178 p.

88. Estevez P.G., Changzheng Qu., Shunli Zhang. Separation of variables of generalized porous medium equation with nonlinear source. //J. Math. Anal. Appl.- 2002.- V. 275.-p. 44-49.

89. Маслов В.П., Данилов В.Г., Волосов К.А. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса- М.: Наука, 1987.- 352 с.

90. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям.- М.: Факториал, 2001.- 576 с.

91. Cherniha R., King J.R. Lie symmetries of nonlinear multidimensional reaction-diffusion systems: I. // J. Phys. A: Math. Gen.- 2000.- V. 33.- p. 267-282.

92. Cherniha R., King J.R. Lie symmetries of nonlinear multidimensional reaction-diffusion systems: II. // J. Phys. A: Math. Gen.- 2003.- V. 36.- p. 405-425.

93. Полянин А.Д. Точные решения нелинейных систем уравнений теории тепломассопереноса реагирующих сред и математической биологии. // Теор. основы хим. технологии.- 2004,- Т. 38.- № 6.- с. 661-674.

94. Полянин А.Д., Вязьмина Е. А. Новые классы точных решений нелинейных диффузионно-кинетических уравнений и систем общего вида. / / Теор основы хим. технологии-2006.- Т. 40.- № 6.- с. 595-603.

95. Полянин А.Д., Вязьмина Е.А. Новые классы точных решений нелинейных уравнений теплопроводности (диффузии) общего вида. // Докл. АН.-2005.- Т. 404.-.№ 2-с. 173-176.

96. Вязьмина Е.А., Полянин А.Д. Решение нелинейного уравнения диффузии методом функционального разделения переменных. // Матер. Воронежской вес. мат. школы "Современные методы теории краевых задач".- Воронеж: ВГУ, 2004.- с. 52-53.

97. Kersner R. On some properties of weak solutions of quasilinear degenerate parabolic equations. // Acta Math. Acad. Sci. Hung.- 1978.- V. 32,- No. 3-4.- p. 301-330."

98. Вязьмина Е.А. Новые точные решения нелинейного диффузионно-кинетического уравнения общего вида. //Сб. труд. XLVIII науч. конф. "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук".- Москва, Долгопрудный: МФТИ.- 2005.- Ч. III.-с. 240-243.

99. Вязьмина Е.А. Новые классы точных решений нелинейного нестационарного уравнения диффузионно-кинетического типа. // Сб. труд. Междунар. науч. конф. "Математические методы в технике и технологиях — ММТТ-20".- Ярославль: ЯГТУ, 2007,Т. 1.- с. 71-74.

100. Вязьмина Е.А., Полянин А.Д. Новое точное решение нелинейного уравнения диффузии для сред со сложной реологией. // Матер. Воронежской зим. мат. школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы".- Воронеж: ВГУ, 2005.-с. 63-64.

101. Svirshchevskii S.R. Invariant linear subspaces and exact solutions of nonlinear evolutions equations. // Nonlin. Math. Phys.- 1996,- V. 3,- No. 1-2,- p. 164-169.

102. Титов C.C. Аэродинамика. /Под ред. Т.П. Иванова,- Саратов: Изд-во Саратовского университета, 1987.- с. 104-110.

103. Вязьмина Е.А. Применение метода Титова-Галактионова для решения нелинейных уравнений математической физики. // Сб. труд. Междунар. науч. конф. "Математические методы в технике и технологиях — ММТТ-19".- Воронеж: ВГТА, 2006.- Т. 1,-с. 58-61.

104. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики.- М.: Физматлит, 2005 256 с.

105. Вязьмина Е.А. Применение метода Титова-Галактионова для решения нелинейного уравнения фильтрации. // Матер. Воронежской зим. мат. школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы",- Воронеж: ВГУ, 2007.-е. 50-51.

106. Вязьмина Е.А., Бедриковецкий П.Г., Полянин А.Д. Новые классы точных решений нелинейных систем уравнений теории фильтрации и конвективного массопереноса. // Теор. основы хим. технологии.- 2007.- Т. 41, № 7.-е. 580-588.

107. Полянин А.Д., Вязьмина Е.А. Новые классы точных решений нелинейных систем уравнений реакционно-диффузионного типа. // Докл. АН.- 2006.- Т. 409.- № 4.-с.455-460.

108. Гухман А.А. Применение теории подобия к исследованию процессов тепломассообмена.- М.: Высшая школа, 1967.- 302 с.

109. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике.- М.: Наука, 1981,- 448 с.

110. Дильман В.В., Полянин А.Д. Методы модельных уравнений и аналогий в химической технологии.- М.: Химия, 1988.- 304 с.

111. ИЗ. Систер В.Г., Дильман В.В., Полянин А.Д., Вязьмин В.А. Комбинированные методы химической технологии и экологии.- Калуга: Изд-во Н. Бочкаревой, 1999.- 336 с.

112. Демидович В.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа,- М.: Физматгиз, 1963.- 400 с.

113. Никурадзе И. Закономерности турбулентного движения жидкостей в гладких трубах. / Проблемы турбулентности, сб. статей под ред. М.А. Великанова, Н?Т. Швейковс-кого.- М.-Л.: Объед. научно-техническое издат. НКТП СССР, 1936.- с.75-150.

114. Миллионщиков М.Д. Вырождение однородной изотропной турбулентности вязкой жидкости. // Докл. АН СССР.- 1939.- Т. 22.- No. 5- с. 175-180.

115. Mitchell J.E., Henratty R.J. A study of turbulence at a wall using an electrochemical wall shear stress meter. // J. Fluid Mech.- 1966.- V. 26.- No. 1.- p. 199-221.