автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод эталонного моделирования для приближенного решения нелинейных задач гиперболического, параболического и эллиптического типов

на правах рукопи

ЧЕБОКСАРОВ АЛЕКСАНДР БОРИСОВИЧ

МЕТОД ЭТАЛОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО, ПАРАБОЛИЧЕСКОГО И ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО типов

05 13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степей) кандидата физико-математических наук

1111111111111

003165541

Ставрополь 2008

Работа выполнена в государственном образовательном учрежде! высшего профессионального образования «Ставропольский государственнь университет»

Научный руководитель

кандидат физико-математических наук, доцент Игропуло Виталий Сшлианович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Наац Игорь Эдуардович доктор физико-математических наук, профессор Янукян Эдуард Григорьевич

Ведущая организация.

Южно-Российский Государственный Технический Университет (Новочеркасский политехнический институт) г. Новочеркасск

Защита диссертации состоится 28 марта 2008 года в 14-30 на заседа совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 212 256.08 Ставропольском государственном университете по адресу 355009, Ставрополь, ул. Пушкина, д 1, ауд 214

С диссертацией можно ознакомиться в научной библио Ставропольского государственного университета

Автореферат разослан «__» февраля 2008 г

Ученый секретарь Совета по з& ците докторских и кандидатских диссертаций

Копыткова Л.Б

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы Математические модели, базирующиеся на дифференциальных уравнениях математической физики, играют существенную роль в исследовании многих явлений и процессов Важной задачей физического и математического моделирования является исследование сложнейших проблем, возникающих при воздействии на вещество полей большой интенсивности, ударных волн, мощных тепловых потоков и др. Теоретическое исследование таких физико-химических процессов и явлений возможно только при использовании нелинейных математических моделей. Линейные математические модели оказываются лишь определенными приближениями.

Для ряда нелинейных задач математической физики удается найти решения. Однако общих методов решения нелинейных уравнений в настоящее время пока не разработано Поэтому поиск методов получения приближенных аналитических решений таких уравнений представляется весьма актуальной задачей.

Анализ монографических и журнальных публикаций по изучаемой проблеме показал следующее-

1. За последние десятилетия внимание к нелинейному математическому моделированию нелинейных задач существенно возросло

2. Ядром большинства нелинейных моделей являются нелинейные дифференциальные уравнения Основная часть начальных и граничных условий таких математических моделей являются нелинейными по самой природе явлений. Нередко источником нелинейности модели становятся свойства среды

3. За последние годы разработано немало методов решения нелинейных дифференциальных уравнений с конкретными (частными) типами нелинейности В каждом из этих методов действуют весьма жесткие условия применимости

4. Расширение круга проблем, для исследования которых используются нелинейные математические модели, ограниченные возможности имеющихся теоретических методов решения нелинейных дифференциальных уравнений, делают важным поиск новых методов приближенного аналитического решения уравнений с достаточно широкой областью применимости

Эти аргументы подтверждают актуальность выполненного исследования.

Цель диссертационного исследования - исследовать возможность метода эталонного моделирования для нахождения приближенных асимптотических решений нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго и более высоких порядков.

Для достижения цели решены следующие задачи:

1. Проведен сравнительный анализ используемых в настоящее время методов решения нелинейных уравнений математической физики, выявлены достоинства и недостатки этих методов

2 Произведено обобщение метода эталонного моделирования для получения приближенных решений нелинейных уравнений математической физики, его расчетной схемы, определены условия применимости

3 Исследованы возможности метода при решении нелинейных дифференциальных уравнений второго и третьего порядка со степенными нелинейностямй

4 Метод апробирован путем получения приближенных решений тестовых нелинейных уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типов

Метод исследования. Поставленные в работе задачи решены на основе обобщения метода эталонного моделирования для нахождения приближенных решений основных типов нелинейных задач математической физики

Научная новизна и теоретическое значение результатов исследования заключается в следующем

- обобщен метод эталонного моделирования и при его помощи получены приближенные решения нелинейных дифференциальных уравнений основных типов (гиперболических, параболических и эллиптических),

- построена расчетная схема применения метода эталонного моделирования для нелинейных задач математической физики,

- определены критерии оценки области применимости разработанного метода для нелинейных задач гиперболических, параболических и эллиптических типов,

- с помощью нового метода решен ряд «тестовых» задач и показана надежность полученных результатов,

- обоснованы принципы и методика подбора «эталонных» задач для использования метода моделирования;

- предложены методы качественной физико-химической интерпретации моделей-эталонов;

- предложены и апробированы способы решения нелинейных уравнений со степенными видами нелинейности.

Практическая значимость Результаты исследования могут быть использованы

- для нахождения приближенных решений дифференциальных уравнений, составляющих ядро нелинейных математических моделей со степенными нелинейностями;

- для описания эффектов, связанных с учетом приближений различных порядков в асимптотических разложениях фазовой функции,

- при построении «приближенных» нелинейных моделей физико-химических явлений, связанных с решением стационарных проблем, проблем переноса, распространения волн в нелинейных средах различной физической природы

Достоверность и обоснованность полученных научных результатов

подтверждаются

- корректностью применения апробированных математических методов (теории операторов, дифференциальных уравнений, рядов, теории линейных и нелинейных уравнений математической физики),

- опубликованными результатами исследований других авторов (теорией эталонных уравнений акад А А Дородницына, исследованиями математических моделей теплопереноса, квазиклассического метода В.П. Маслова и др.),

- результатами, полученными при решении тестовых задач, согласующимися с экспериментальными и теоретическими данными других исследователей

На защиту выносятся следующие положения:

1 Основные положения и расчетная схема обобщенного метода эталонного моделирования для получения приближенных решений нелинейных уравнений математической физики гиперболического, параболического и эллиптического типа

2 Критерии применимости предложенного метода моделирования, их математические выражения и способы использования при решении конкретных задач Методика выбора моделей-эталонов

3 Технология применения метода при решении нелинейных уравнений второго и третьего порядка, анализ свойств различных типов решений

4. Результаты изучения особенностей применения метода моделирования для решения нелинейных уравнений математической физики гиперболического, параболического и эллиптического типа

Результаты исследования были доложены на

- 50-й научно-методической конференции «Университетская наука -региону» (г Ставрополь, 2005),

- 51-й научно-методической конференции «Университетская наука — региону» (г Ставрополь, 2006),

Седьмом Всероссийском Симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г Кисловодск, 2006),

- 52-й научно-методической конференции «Университетская наука -региону» (г Ставрополь, 2007),

- Всероссийской научной конференции «Физико-химические и прикладные проблемы магнитных дисперсных наносистем» (г Ставрополь, 2007),

-Межвузовской научно-практической конференции ППС, посвященной 100-летию основания ЮРГТУ, «Проблемы технических, естественных, социально-экономических и гуманитарных наук в условиях реформирования общества» (Георгиевск - Пятигорск, 2007).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 12 научных публикациях (из них 2 — в рецензируемом журнале). Во всех совместных статьях автором щэедложен метод аналитического решения, получены численные результаты, сделаны предложения к выводам и обобщениям.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, содержащего 152 наименования, и 7 приложений.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Введение. Во введении дано обоснование актуальности исследования, сделан краткий обзор литературы, сформулирована цель работы, ее научная новизна, теоретическая и практическая значимость результатов, приведены аргументы в пользу их достоверности и обоснованности, сформулированы основные положения, выносимые на защиту, дана информация об апробации материалов исследования и публикаций по теме работы.

Первая глава диссертации представляет собой обзор и анализ современного состояния нелинейного математического моделирования реальных (главным образом физических) явлений, сравнение методов теоретического исследования, сопоставление их достоинств и недостатков

В начале главы изложены известные на сегодня представления о природе нелинейности, ее физическое, геометрическое, динамическое (связанное с изменением свойств объекта) происхождение, имеющее место как в естественных условиях, так и в технологических процессах

Представлен сравнительный обзор основных методов поиска точных решений нелинейных дифференциальных уравнений, лежащих в основе математических моделей физических, химических, биологических явлений метод автомодельных переменных, специальные преобразования (Миуры, Беклунда, Коула-Хопфа, метода обратной задачи рассеяния), разделение переменных, метод дифференцирования Анализ расчетных схем методов, условий применимости, примеров применения (приложения 2,3) позволил оценить их достоинства и недостатки

Во второй части главы изложены результаты анализа приближенных методов решения нелинейных уравнений, наиболее широко используемые в математическом моделировании Теория возмущений, метод ВКБ, вариационный метод рассмотрены на примере решения конкретных задач

Общие выводы, представленные в специальных аналитических таблицах в конце главы, подтверждают необходимость поиска новых

методов приближенного решения нелинейных дифференциальных уравнений

Вторая глава диссертационного исследования посвящена разработке и апробации обобщенного метода эталонного моделирования для решения нелинейных уравнений математической физики В начале главы сформулированы аргументы в поддержку необходимости создания такого приближенного аналитического метода, характеризуемого ясным физическим смыслом используемых моделей, широкой областью применимости, относительно быстрой сходимостью разложений

Раздел 2.1 посвящен формулированию и обоснованию основных положений расчетной схемы, определению области и критериев применимости метода моделирования Все системные компоненты метода описаны и аргументировано на примере решения уравнения Бт-Гордона, для которого подобрана эталонная модель, получено уравнение, фазовая функция, критерии применимости. Решена также задача о прозрачности потенциального барьера для нелинейного уравнения Шредингера

Во второй части главы исследованы возможности метода эталонного моделирования в поиске приближенных решений некоторых нелинейных уравнений математической физики второго и третьего порядков с нелинейностями степенного вида для искомой функции и ее первой производной.

В основе обобщенного метода эталонного моделирования лежит идея изучения свойств и поведения одной нелинейной системы, которая не поддаемся точному решению, с помощью другой качественно сходной и тоже нелинейной (здесь могут быть различные варианты) системы, имеющей точное решение Первую систему будем называть исследуемой, вторую — моделью

Пусть исследуемая система описывается уравнением

(/ + -!• т)и(х, 0 = 0,(1) а

где I - дифференциальный оператор, т- нелинейный оператор, связанный с условиями эволюции системы, а - параметр малости, и{х,1)- функция состояния исследуемой системы

Операторы I и т гаковы, что нелинейное уравнение (1) не решается

точно

Будем моделировать систему (1) с помощью другой (вообще говоря, нелинейной) системы, описываемой уравнением

¡7(5,0 = 0,(2)

а'

где Ь- дифференциальный оператор, формально совпадающий с I, М-нелинейный оператор, связанный с условиями эволюции модели, качественно сходный с т, О- функция состояния модели, 5 = -переменная модели. "

Оператор М таков, что уравнение (2) допускает точное аналитическое решение функция У(5(х,0) - решение уравнения (2) считается известной

Необходимо, имея точное решение и(8(х,1)) для модели, получить приближённое и(хД) для исследуемой системы

Система (2) может служить эталонной моделью исследуемой системы (1), если имеется качественное сходство операторов условий эволюции модели М и системы т Это качественное сходство достигается при выполнении конкретных требований одинаковости количества совпадении порядка кратности особых точек операторов Мят при их действии на одинаковые функции

Приближенное выражение для искомой функции и(х,0 ищется в виде

«(*,0 = и[8(х,1)] (3)

Полученное выражение является одним из основных соотношений метода эталонного моделирования, а функция $(х,1), которую называют фазовой функцией или функцией Миллера-Гуда позволяет найти приближенное решение уравнения (1)

Подставляя (3) в (1), получаем уравнение Шварца

где F(s) = MU, f (х) = ти,

Уравнение (4) называют уравнением Шварца, а выражение (5) -производной Шварца. (Аналогичное уравнение справедливо для временной составляющей фазовой функции)

Учитывая, что в уравнение (4) входят члены только четного порядка по параметру малости а, разложение S(x,t) производится по чётным степеням а

Такой ряд обладает более быстрой сходимостью, чем обычные ряды, к примеру, В КБ — приближения

Сохраняя в разложении только члены нулевого порядка по а, получают уравнение нулевого приближения метода моделирования:

где - верхние пределы - это текущие координаты

Для определения нижних пределов необходимо решить уравнения /(л1) = 0 и Р(501)-0 Поскольку 5'0 ^ то можно установить

соответствие

S(x,t) = S0(x,t) + a2S2(x,i) + a4S4(x,t) + (6)

(S0)2xF(S0)-f(x) = 0 (7)

Разделяя переменные и интегрируя, находят

JF>2(S0KS0 = ]/Уцх)ск, (8)

S,o(^) = 50) (9)

Функцию Миллера-Гуда определяют из интегрального уравнения (8) Как правило, интеграл в левой части (8) удается взять в аналитическом виде, если уравнение для модели (2) интегрируется точно

Найдя 50О) и (по той же схеме) построив фазовую функцию

, можно определить приближённо решение для исследуемой системы (1) с помощью формулы связи (3).

й(х,0 = Аг/[ЗЬ(*,0] (Ю)

Таким образом, расчётная схема (алгоритм) метода эталонного моделирования для нелинейных уравнений включает следующие этапы

1 Отыскание оператора м, определяющего условия эволюции модели, и исследование его качественного сходства с аналогичным оператором «исследуемой системы.

2 Получение дифференциального и интегрального уравнения для функции Х(х,/)в соответствующем приближении.

3 Решение этого уравнения и нахождение обобщённой функции Миллера-Гуда с необходимой степень точности

4 Определение искомой функции и(х,1) - приближённого решения уравнения для исследуемой системы

Для получения критериев применимости метода используют уравнение (4) В нулевом по а приближении было отброшено последнее слагаемое Такое возможно, если выполняется неравенство

(11)

Анализ условий применимости метода эталонного моделирования на основе неравенства (11) позволяет рассмотреть, по крайней мере, три варианта критериев

1 Энергия исследуемой системы много больше градиентов энергетических функций, определяющих условия эволюции исследуемой

системы Этот вариант аналогичен квазиклассическому приближению квантовой теории

2 При хорошем подборе моделирующей системы, близкой к исследуемой по функции Р(з), характеризующей условия эволюции, в широкой области изменения аргументов х, Б и I = 4ЛХ0 Метод эталонного моделирования будет работать как аналог теории возмущений

3 Случай малых энергий, при котором небольшое отличие модели от исследуемой системы можно также рассматривать как возмущение

В ходе эволюции системы ситуация может изменяться, исходя от одного критерия применимости к другому Поэтому метод эталонного моделирования продолжает работать и позволяет получать непрерывные приближенные решения исследуемой задачи

Далее во второй главе рассмотрена задача расчета прозрачности потенциального барьера, на который налетает частица массы р. Этот процесс описывается нелинейным уравнением Шредингера с потенциалом Эккарта:

Для оценки степени точности метода эталонного моделирования в таблице 1 приведены результаты вычислений коэффициента прозрачности для потенциала Эккарта с параметрами У0=1,8; У1=16,2, и0=5, полученные путём точных расчётов и приближенным методом Результаты отличаются лишь в третьем знаке после запятой

Таблица 1.

Сравнение точных и приближенных значений коэффициента прозрачности барьера

Энергия частицы „ аЧ2 Е в- Коэффициент прозрачности Д

Точное значение Приближенное значение

1,8 0,000 0,000

2,0 0,002 0,002

2,5 0,009 0,009

3,0 0,033 0,032

3,5 0,093 0,090

4,0 0,213 0,206

4,5 0,396 0,386

5,0 0,598 0,588

6,0 0,868 0,863

7,0 0,962 0,960

Рассмотрение в заключении главы решения методом эталонного моделирования уравнения второго порядка со степенными нелинейностями искомой функции и её первой производной позволило определить критерии существования вещественных решений, предложить критерий существования модельных решений, разработать алгоритм исследования их асимптотики и получить конкретные аналитические результаты.

Специальное внимание уделено изучению свойств и поведения решений нелинейного уравнения третьего порядка (Приложение 7) со степенной нелинейностью функции В частности, рассмотрены физически важные положительные продолжаемые решения Варианты асимптотики искомой функции, её первой и второй производных, позволили предложить критерии существования модельных решений для этого уравнения

Представленные во второй главе результаты исследований метода эталонного моделирования показали, что метод обладает широкий областью применимости, его расчетная схема работает при решении нелинейных уравнений второго и третьего порядков

И

Глава 3 диссертации посвящена применению метода эталонного моделирования для нахождения приближенных решений конкретных нелинейных задач гиперболического, параболического и эллиптического типов

В первом разделе получено решение нелинейного уравнения гиперболического типа для скалярной функции р(хЛ) (уравнения Клейна-Гордона)

<ри-(рхх+ш{<р) = 0,(12) где а{(р) - некоторая нелинейная функция <р, являющаяся (для конкретизации) производной потенциальной энергии Функция ю{гр) такова, что уравнение не принадлежит к классу интегрируемых и не имеет линеаризующего преобразования В соответствие с расчётной схемой метода приближённое выражение искомой функции <р(е,х) записано в виде

?(/,*)=[ад ту1'2 Ф[8(Х):т] (в)

В (13) S(x) и Т(() - координатная и временная составляющие так называемой фазовой функции (или обобщённой функции Миллера — Гуда), зная которые и точное решение Ф(S,T) для модели-эталона, можно получить приближенное решение уравнения (12)

Использование метода дает для <p(x,t) соотношение

<<x,t)=

С2схр

-8а-

|ф2Ж

-1/2

Ф[адЛ0]> (14)

которое позволяет определить решение уравнения (12) в первом по а приближении

В пункте 3 2 в качестве физической системы, в которой происходит конвективная диффузия, рассмотрен процесс погружения в жидкость капли суспензии Сосуд заполнен той же жидкостью, что и носитель суспензии

Постановка задачи о конвективной диффузии частиц наполнителя из падающей в жидкости капли суспензии состоит в определении концентрации частиц наполнителя с(г,/) в капле суспензии как функции радиальной координаты г и времени г

Для нахождения с(г,г) необходимо решить нелинейное уравнение диффузии

—с, + (и - £>Лс, (15)

где .0 - коэффициент диффузии, 5 - скорость падения капли с начальными и граничными условиями

Физический анализ, построение математической модели конвективного диффузного процесса, связанного с погружением капли суспензии в большой объем чистой жидкости потребовало рассмотрения диффузионных потоков в пограничном слое, учета особенностей процесса в точке «набегания», на боковых поверхностях и «корне» капли Результаты, полученные методом эталонного моделирования, позволили найти выражения для потока диффундирующих частиц, размеров пограничного слоя и выявить их зависимость от концентрации, коэффициента диффузии, скорости погружения

В пункте 3.3 метод эталонного моделирования применён для получения решения уравнения эллиптического типа. Аналогичные уравнения используются, в частности, в задачах квантовой механики.

Рассмотрено низкоэнергетическое в - рассеяние электронов на нелинейном потенциале, имеющий вид

(16)

1 = 0

где А - удвоенное значение поляризуемости атома с порядковым номером г и (1 - параметр, определяемый из сшивания потенциала в точке г = гс Предполагается, что функция Б (г) при г О имеет вид

= 1 + к,г + к2гг + ,к„ = ~^(п)(0)

(18)

В качестве моделирующего потенциала И^,«^) выбран также нелинейный потенциал

где и В, определяемые из условий сшивания потенциала в точке 5С с точностью до первой производной, выражаются через свободный параметр £

Ввиду того, что параметры рассеянной частицы определяют из асимптотики волновой функции на бесконечности, а небольшая величина начальной энергии частицы не позволяет ей проникнуть глубоко в область действия поля атомов, предпочтение отдано тому модельному потенциалу, который ближе к исследуемому при больших г.

Значения длин рассеяния, полученные методом моделирования и в результате численного интегрирования, собраны в таблице 2

(19)

2(1+£)5] 'В «с

1% 2А /3

(20)

Таблица 2

Эффективные длины 8 — рассеяния электронов на модельных потенциалах

г Оценка с помощью метода эталонного моделирования Численное интегрирование уравнения Шредингера

1 2 1 2

2 1,194 1,077 1,236 1,063

10 -0,086 -0,295 -0,067 -0,278

Сравнение результатов показывает, что метод эталонного моделирования, использованный для приближенного решения нелинейного уравнения эллиптического типа, дает вполне удовлетворительные результаты Следует отметить, что эффективные длины рассеяния, полученные в приближении статического поля с относительно простыми потенциалами, хорошо согласуются с имеющимися экспериментальными данными для упругого рассеяния электронов на атомах Не иЛ/еи со строгими теоретическими расчетами для атома гелия.

Таким образом, результаты проведенных исследований показали, что приближенное решение сложной нелинейной проблемы можно получить, используя более простую задачу, обладающую качественным сходством с исследуемой по действующим физическим закономерностям, геометрии области задания, поведению величин, описывающих свойства среды Такие возможности дает метод эталонного моделирования

Полученные результаты позволяет сформулировать следующие основные выводы

1 Обобщение метода эталонного моделирования для нахождения приближенных решений нелинейных уравнений математической физики на основе принципов качественного сходства системы и модели (решение для которой считается известным) и алгоритм определения структуры и нахождения конкретного вида обобщенной фазовой функции (функции Миллера-Гуда) обладает ясной физической природой, универсальностью алгоритма, широкой областью применимости

18

2 Установлены три варианта критериев один из них работает, если энергия исследуемой системы много больше градиентов функций, определяющих условия эволюции исследуемой системы, второй - имеет место, если удается отыскать модель, близкую к изучаемой физической системе по условиям ее эволюции; третий - работает в случае малых энергий, когда влияние внешних факторов может рассматриваться как возмущение Это позволяет в каждой задаче выбрать оптимальную модель-эталон

3. Оказалось возможным показать применимость метода и его эффективность при решении нелинейных уравнений второго и третьего порядка, исследовать проблемы существования решений, их единственности, сходимость получающихся рядов, отработать технику расчетов.

4 Решение серии конкретных задач дает основания утверждать, что обобщение метода эталонного моделирования позволяет получать приближенные решения основных типов нелинейных уравнений математической физики

В работе приведены оригинальные решения следующих задач

- о двух точечных мгновенных источниках теплового возмущения в нелинейной среде с объемным поглощением;

- приближенное решение уравнения синус-Гордона;

- о рассеянии частицы в поле потенциала Эккарта,

уравнений второго и третьего порядка со степенными нелинейностями;

- уравнения Клейна-Гордона,

- нелинейного уравнения конвективной диффузии,

- о низкоэнергетическом рассеянии квантовых частиц в нелинейном центрально-симметричном поле

Полученные конкретные и общетеоретические результаты могут служить основой для применения обобщения метода эталонного моделирования к исследованию нелинейных проблем различной природы,

нахождению приближенных решений основных типов нелинейных дифференциальных уравнений математической физики

Основные результаты диссертации отражены в следующих публикациях автора:

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Чебоксаров, А.Б. Уравнение Бюргерса как базовый эталон группы нелинейных моделей / B.C. Игропуло, А.Б. Чебоксаров // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2006. - т.13. Вып.2.- С. 321323.

2. Чебоксаров, А.Б. Метод обобщенного моделирования для нелинейного параболического уравнения / В.С. Игропуло, А.Б. Чебоксаров // Вестник Ставропольского государственного университета. -т2006. - Вып.47.Часть 2. — С.84-87 «

"ЙГ?

3 Чебоксаров, А Б К рассмотрению физических свойств кристаллов со встречно-слоистыми доменами. / А Б. Чебоксарощ-'А И. Чернобабов // Научные труды. ПГТУ - Пятигорск. - 2002г - №19, ч. 4 - С 151-153

4 Чебоксаров, А Б. Эталонная модель нелинейной физической проблемы: создание, анализ особенностей / B.C. Игропуло, А.Б Чебоксаров // Физико-математические науки в Ставропольском государственном университете Мат-лы научно-методической конференции «Университетская наука — региону» - Ставрополь.-2005 -С.87-90.

5. Чебоксаров, А Б. Типы нелинейных уравнений математической физики и возможности их эталонного моделирования / ВС Игропуло, А Б Чебоксаров// Физико-математические науки на современном этапе развития СГУ Мат-лы научно-методической конференции «Университетская наука -региону» - Ставрополь - 2006. - С 48-50

6 Чебоксаров, А Б Постановка и решение задачи о течении вязкой среды при наклоне сосуда и температурах, близких к застыванию среды

/ А.Б Чебоксаров, С Г Кефалиди, Е Г Харченко // Научные труды ПГТУ -Пятигорск -2006г-№29,ч 2-С 182-185

7 Чебоксаров, А.Б Применение методов обобщенного моделирования к исследованию асимптотически приближенных решений нелинейного уравнения /ВС Игропуло, А Б Чебоксаров // Научно-инновационные достижения ФМФ в области физико-математических и технических дисциплин Материалы 52 научно-методической конференции «Университетская наука - региону» Ставрополь - 2007 -С 100-105.

8 Чебоксаров, А Б, Метод моделирования для решения нелинейного уравнения с дисперсией /ВС Игропуло, А.Б Чебоксаров // Материалы Всероссийской научной конференции «Физико-химические и прикладные проблемы магнитных дисперсных наносистем».- Ставрополь - 2007.-С. 390396

9 Чебоксаров, А.Б Вариационный метод решения дифференциальных уравнений высших порядков. / А Б. Чебоксаров // Научные труды ПГТУ -Пятигорск - 2007г. - №30, ч. 4 - С 174-178

10 Чебоксаров, А Б., Задача о колебаниях сфероида в вязкой жидкости. / А.Б Чебоксаров, С Г Кефалиди, ЕГ. Харченко // Научные труды. ПГТУ.-Пятигорск - 2007г -№30, ч. 4 - С 162-167

11 Чебоксаров, А Б, Измерение магнитного поля Ар звезды НД178892 / А.Б. Чебоксаров, Е.А. Толокольников // Научные труды ПГТУ - Пятигорск.-2007г. - №30, ч 4,- С 207-210

12 Чебоксаров, А Б Решение нелинейного уравнения эллиптического типа методом моделирования / А Б. Чебоксаров // Материалы межвузовской научно-практической конференции ППС, посвященной 100-летию основания ЮРГТУ Проблему технических, естественных, социально-экономических и гуманитарных наук в условиях реформирования общества Георгиевск -Пятигорск ЮРГТУ, КМВИ(Ф).- 2007г - С. 70-76.

Подписано в печать 22.02 08 Формат60х841/16 Углпечл1,34 Уч-издл1,12

Бумага овсетная Тираж ЮОэкз За|ш 346

отпечатано типография "Бланкиздат" г Ессетуки,ул Новая,5а,тел /факс (87934) 6-87-30

Введение.

Глава 1. Природа нелинейности задач математической физики и методы решения нелинейных уравнений.

1.1. Причины возникновения нелинейности и типы нелинейных задач.

1.2. Методы специальных преобразований для решения нелинейных уравнений. Метод обратной задачи рассеяния.

1.З. Методы обычного и обобщенного разделения переменных (метод дифференцирования).

1.4. Теория возмущений и квазиклассическое приближение.

1.5. Вариационный метод и численные решения нелинейных уравнений.

Выводы к главе 1.

Глава 2. Разработка метода моделирования для решения нелинейных уравнений математической физики.

2.1. Метод моделирования для решения нелинейных уравнений: основные положения, расчетная схема.

2.2. Критерии применимости метода моделирования.

2.3.Решение задачи о прозрачности нелинейного потенциального барьера.

2.4. Использование метода моделирования для решения уравнения u"-j3g(x)unum =0.

Выводы к главе 2.

Глава 3. Решение «тестовых» нелинейных задач математической физики методом моделирования.

3.1. Нелинейное волновое уравнение с дисперсией.

3.2 Нелинейное уравнение параболического типа (задача о конвективной диффузии).

3.3. Нелинейное уравнение эллиптического типа (низкоэнергетическое рассеяние квантовых частиц в центрально-симметрическом поле).

Выводы к главе 3.

Актуальность проблемы и краткий обзор литературы.

Математические модели, базирующиеся на дифференциальных уравнениях математической физики, играли и продолжают играть существенную роль в изучении качественных особенностей и получении количественных результатов для многих явлений и процессов в различных областях современного научного знания [64]. Существенной особенностью физического и математического моделирования сегодня является исследование сложнейших проблем, возникающих при воздействии на вещество электрических полей большой интенсивности, пучков частиц высокой энергии, лазерного когерентного излучения, ударных волн, мощных тепловых потоков и др. Моделирование таких физико-химических процессов и явлений возможно только при использовании нелинейных подходов. Линейные математические модели оказываются лишь определенными приближениями. Их можно использовать только в тех случаях, когда исследуемые величины в. рассматриваемом процессе изменяются в не очень широком диапазоне значений [35; 10; ,92; 90; 91; 5; 72; 97; 74; 56; 104; 12].

Для ряда нелинейных задач математической физики удается найти точные или приближенные решения. Однако законченной теории и общих методов решения нелинейных уравнений в настоящее время не разработано [5; 97]. Учитывая, что использование нелинейных математических моделей позволяет выявить нетривиальные эффекты в исследуемых природных и технических процессах, поиск новых методов получения точных или приближенных решений таких уравнений представляется весьма актуальной задачей [73; 101; 112]. Так, при исследовании высокотемпературных тепловых процессов с учетом действия таких механизмов переноса энергии, как электронная или лучистая теплопроводности, необходимо принимать во внимание зависимость плотности, удельной теплоемкости и коэффициента теплопроводности от температуры.Это существенно осложняет поиск решений соответствующих уравнений:[72; 56].

Мощность тепловых источников;, распределенных в объеме среды, также: может зависеть от температуры, если учитывать процессы диссоциации^ и ионизации молекул, фазовые переходы, излучение, горение,. химические* реакции и другие: экзо- и; эндотермические процессы, протекающие: в нагретой среде: Процессы такого рода описываются квазилинейными:параболическими уравнениями:

Как известно' нелинейность модели явления^ может быть обусловлена нелинейностью' уравнения — внутренней? нелинейностью! или; (и) нелинейностью' граничных: условий; — внешней! нелинейностью: Число найденных точных решений-этих уравнений весьма1: ограничено [92; 90; 72; 97; 74; 56; 104], что- связано во многом? с невозможностью применения принципа: суперпозиции для нелинейных задач [108;: 92; 104]. Вместе с: тем сегодня разработан? ряд эффективных методов исследования: нелинейных, математических моделей: ш решения? соответствующих дифференциальных уравнений; ' .

Дадим краткий; обзор наиболее: часто используемых методов решения нелинейных уравнений, возможностей применимости этих методов: Г.Метод автомодельных переменных [108; 92; 90; 56;.67]. Сущность метода состоит в нахождении- таких новых переменных (для каждого уравнения' своих!),, при которых: исходное уравнение в частных, производных, превращается: в; обыкновенное, дифференциальное уравнение и затем решается: стандартными'методами: При этомполучается .приближенное или численное; решение; Примером:: может служить - решение, классической задачи- Стефана [97; 74], задачи о сильном взрыве [35; 72], задачи о сходящейся- ударной волне [35; 108; 56] и др. Однако для использования этого- метода: необходимо;, чтобы, моделируемый процесс в. различные моменты времени оставалсяшодобным самому себе, испытываяшишь, сжатие или растяжение по пространственным переменным. При этом система параметров,-определяющих, процесс, содержала не более двух величин с независимыми! размерностями, отличными от длины и времени. Условием использования- метода автомодельных переменных является отсутствие в моделируемом- явлении характерного размера и характерной временной величины. Это требование существенно ограничивает его возможности.

2. Метод обычного разделения переменных [2; 44; 69; 135].

Интегрирование отдельных классов нелинейных дифференциальных уравнений первого, второго и более высоких порядков, имеют решения; с так называемым, обычным разделением переменных.

В последние годы, в частности в работах [15; 16]-; были представлены, решения некоторых типов параболических и гиперболических уравнений с квадратичной, нелинейностью- с использованием более сложного способа разделения? переменных, а также решения, соответствующие перестановке независимых переменных х, t.

В простых случаях удается; полностью- разделить переменные и получить, обыкновенные дифференциальные уравнения для- функций -компонент решения. Так, уравнение: теплопроводности со степной нелинейностью имеет точное решение в виде произведения функций разных аргументов; Волновое уравнение, с нелинейностью; экспоненциального вида имеет точное решение в виде суммы.функций разных аргументов. Уравнение теплопроводности в анизотропной среде с источником логарифмического', типа имеет точное решение в виде произведения функций?разных аргументов* [108; 72; 15]. 3. Метод нетривиального разделения переменных [15; 16; 86];

Имеется: немало примеров? разделения- переменных в нелинейных уравнениях, которое происходит не так, как в уравнениях; линейных. Так, в уравнении с кубической нелинейностью для разделения переменных возникает необходимость введения трех функций (при двух независимых переменных). При этом появляется возможность, получить несколько вариантов решений функционально-дифференциальных уравнений.

Уравнение третьего. порядка с кубической нелинейностью удается решить методом разделения переменных, используя особый механизм. Представив решение в виде суммы и подставив его в исходное уравнение, можно получить уравнение с одинаковыми по величине, но разными по знаку слагаемыми, которые при сложении нелинейных членов сокращаются. Это позволяет найти решение основной задачи.

4. Методы функционального разделения переменных [82; 86; 131; 121; 125].

Ряд нелинейных уравнений математической физики может быть получен из линейных путем замены искомой функции и перехода к новой' независимой переменной. При выполнении этих требований полученные нелинейные уравнения будут иметь точные решения.

Выражения, содержащие в себе как частные случаи все наиболее распространенные решения — это:

-решения типа бегущей волны;

-автомодельные решения;

-решения в виде суммы- или произведения двух функций разных аргументов;

-многие инвариантные решения.

Следует назвать еще метод расщепления- с редукцией к функциональному уравнению с двумя переменными и, так называемый, метод дифференцирования [121; 125].

Существует и используется упрощенная схема построения точных решений уравнений некоторых типов (в частности, с квадратичной нелинейностью). Если решения-не зависят явно-от координат, то в случае, когда система координатных функций описывается линейными уравнениями с постоянными коэффициентами, решения таких уравнений чаще всего выражаются через элементарные функции.

Для поиска точных решений с обобщенным разделением переменных используются конечные последовательности комбинаций^ этих функций.

Система функций, зависящих от времени, определяется путем решения соответствующих нелинейных уравнений.

Изложенный упрощенный подход не обладает той общностью, которой обладают другие, названные в кратком обзоре методы . Однако явное задание системы координатных функций существенно упрощает процедуру построения точных решений. Заметим, что при этом отдельные решения могут быть потеряны [86; 121].

Важную роль в решении нелинейных уравнений математической физики играют приближенные методы: теория возмущений, квазиклассическое приближение (метод ВКБ), вариационные методы, прямое численное интегрирование.

Основная идея теории возмущения для нелинейных задач [112; 70 и др.] та же, что и для линейных: поиск малых поправок к точному решению линейной задачи, которые позволяют учесть влияние- нелинейности. Разложение искомого решения в ряд по степеням малого параметра, который выбирается специально для каждой задачи, нахождение поправок, определение сходимости ряда требует выполнения обычных условий: малости нелинейного возмущения, выяснения физического смысла поправок и преодоления существенных расчетных сложностей. Такие условия позволяют использовать метод в задачах, в которых «фактор нелинейности» много меньше базового «линейного фактора» решаемого уравнения.

Квазиклассическое приближение (метод ВКБ), разработанное и широко используемое в рамках квантовой теории- [108; 53; 138; 37], позволяет получить приближенные решения некоторых нелинейных уравнений математической, физики, в частности, нелинейного уравнения Шрёдингера (НУШ). Вместе с тем, требование малости градиентов» внешних полей в сравнении с энергией объекта выполняется далеко не всегда. Это особенно проблематично в нелинейных задачах. Существенной проблемой оказывается быстрота сходимости ВКБ-разложения, которая может потребовать вычисления большого числа слагаемых. В-каждой конкретной задаче возникает необходимость изучения зависимости сходимости от начальных данных задачи, разделения солитонных и несолитонных решений.

Довольно часто [60; 89; 37; 142; 132] при поисках приближенных решений нелинейных проблем используют возможности различных вариационных методов; опирающихся на исследование виртуального бесконечно малого изменении вида вариационного функционала. Опираясь на выражение усредненного лагранжиана системы, решая уравнение Лагранжа, подыскивая адекватную пробную функцию (для нелинейных задач это довольно сложная проблема, не имеющая установленного алгоритма решения), удается получить довольно близкие к правильным решения.

В последние десятилетия $ в, связи с развитием' компьютерных технологий расширяется использование численных методов для решения нелинейных проблем [5; 72; 104; 98; 8; 111]. К наиболее часто применяемым относятся стандартный и модифицированный метод Ньютона, метод Рунге-Кутта, дифференциальная прогонка, методы переменных направлений, сеток и др. Однако, условием успеха этих методов * в нелинейных задачах является, как правило, знание «расположения» решения, что позволяет уточнить имеющееся грубое приближение к искомому значению.

Таким, образом, анализ монографических и журнальных публикаций по изучаемой проблеме показал следующее:

1 .За последние десятилетия внимание к нелинейному математическому моделированию существенно возросло, поскольку исследуемые физико-химические явления, создаваемые технические устройства являются фундаментально нелинейными.

2.Ядром большинства нелинейных моделей являются нелинейные дифференциальные уравнения в континуальной или конечно-разностной форме. Основная часть начальных и граничных условий таких математических моделей являются нелинейными по природе явлений или структуре технических систем. Нередко источником нелинейности модели становится среда, в которой протекает явление, поскольку значение характеристик изучаемого процесса (энергия, амплитуда и др.) выводят его в-зону нелинейности параметров среды.

З.В последние двадцать-тридцать лет разработано немало методов решения нелинейных дифференциальных уравнений различного вида. Краткий обзор наиболее часто- используемых методов дан выше и будет представлен в развернутом виде в главе 1 и Приложениях. Очевидно, однако- что большинство предлагаемых подходов пригодны для уравнений с конкретными (частными).типами нелинейности. Более того, в каждом из этих методов действуют весьма жесткие ограничения, суживающие область его применения.

4г.Расширение круга.проблем, дляшсследования-которых используются нелинейные математические модели, ограниченные возможности, теоретических методов решения нелинейных дифференциальных уравнений, относительно узкие границы, применимости известных методов можно рассматривать как серьезное обоснование необходимости поиска новых (возможно, приближенных) ^ методов решения нелинейных дифференциальных уравнений с достаточно широкой областью применимости.

Эти аргументы подтверждают актуальность выполненного исследования.

Объектом исследования являются нелинейные модели физических явлений, их основное ядро - нелинейные дифференциальные уравнения математической физики.

Исследования^ автора показали1, что,- опираясь на известные методы точного и' приближенного решения" нелинейных уравнений математической физики, оказалось, возможным разработать в достаточной степени универсальный метод моделирования; позволяющий получать надежные решения нелинейных уравнений, обладающий стандартной расчетной схемой, широкой областью применимости, хорошей сходимостью:

Предметом исследования - являются дифференциальные уравнения математической физики с различными типами нелинейности.

Цель исследования — исследовать возможность метода эталонного моделирования для нахождения приближенных асимптотических решений нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго и более высоких порядков.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1.Провести сравнительный анализ используемых в настоящее время точных и приближенных методов решения нелинейных уравнений математической физики; выявить достоинства и недостатки,этих методов.

2.Разработать метод моделирования для получения приближенных решений нелинейных уравнений математической физики, определив его основные положения, расчетную схему, условия применимости, характер сходимости, существования3решений'.

3.Исследовать возможности метода при решении нелинейных дифференциальных^ уравнений второго и третьего порядка с различными типами нелинейности.

4.Апробировать метод путем получения приближенных решений тестовых нелинейных уравнений гиперболического, параболическогоj и эллиптического типов.

Научная новизна и теоретическое значение результатов исследования заключается в следующем:

-разработан метод моделирования для нахождения приближенных решений нелинейных дифференциальных уравнений основных типов, составляющих ядро нелинейных математических моделей ряда, физико-химических и технических явлений и процессов;

-построена расчетная схема метода моделирования для нелинейных задач математической физики и дано обоснование ее решения;

-определены критерии оценки области применимости разработанного метода для нелинейньж математических моделей,различных видов;

-с помощью нового метода решен ряд «тестовых» задач и показана надежность получаемых результатов; предложены:

-алгоритм проверки сложных математических моделей • на «фундаментальную» нелинейность;

-принципы и методики подбора «эталонных» задач для? использования метода моделирования;

-качественные физико-химические и технические интерпретации моделей-эталонов;

-способы: решения нелинейных уравнений с различными типами нелинейности.

Практическая значимость. Результаты исследования? могут быть использованы:

-для. нахождения! приближенных решений: дифференциальных уравнений; составляющих ядро нелинейных^ математических моделей^ с различными видами нелинейности;

-для содержательной интерпретации эффектов при учете приближений различных порядков, в асимптотических; разложениях, как фазовой функции, так и содержательных характеристик моделируемых-систем и явлений;,

-при построении «приближенных» нелинейных моделей,' различных физико-химических явлений, связанных, с решением стационарных проблем, проблем переноса, распространения воли в нелинейных средах различной физическойшрироды.

Достоверность и обоснованность полученных научных результатов подтверждаются:

-корректностью - применения апробированных: математических методов (теории; операторов, дифференциальных уравнений; рядов, теории линейных, и,нелинейных уравнений математической физики);

-опубликованными результатами исследований других авторов (теорией эталонных уравнений акад. А. А. Дородницына [23]; исследованиями математических моделей теплопереноса, ВКБ-метода В.П. Маслова [7] и др.; методами создания и исследования нелинейных математических моделей [97; 74; 15; 16; 82; 86; 131; 121; 125], непосредственно примыкающими к изложенным в диссертации или вытекающими из результатов защищаемой работы;

-результатами, полученными при решении тестовых задач, согласующимися с экспериментальными и теоретическими данными других исследователей.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Основные положения и расчетная схема обобщенного метода эталонного, моделирования для получения приближенных решений нелинейных уравнений математической физики гиперболического, параболического и эллиптического типа.

2. Критерии применимости предложенного метода моделирования; их математические выражения и способы использования при решении конкретных задач. Методика выбора моделей-эталонов.

3. Технология применения метода эталонного моделирования при решении одномерных уравнений второго и третьего порядка со степенными нелинейностями, анализ свойств различных типов решений.

4. Результаты изучения особенностей применения метода эталонного моделирования для решения нелинейных уравнений математической физики гиперболического, параболического и эллиптического типа.

Результаты исследования были доложены на:

-50-й научно-методической конференции «Физико-математические науки в Ставропольском государственном университете» (г. Ставрополь, 2005);

- 51-й научно-методической конференции «Университетская наука -региону» (г. Ставрополь, 2006);

-Седьмом Всероссийском Симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Кисловодск, 2006);

-52-й научно-методической конференции «Научно-инновационные достижения физико-математического факультета в области физико-математических и технических дисциплин» (г. Ставрополь, 2007);

-Всероссийской научной конференции «Физико-химические и прикладные проблемы магнитных дисперсных наносистем» (г. Ставрополь, 2007).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 12 научных публикациях. Во всех совместных статьях автором работы конкретизирована постановка задач, предложены методы аналитического решения, получены численные результаты, сделаны предложения к выводам и обобщениям.

Краткое содержание работы.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений.

Во введении дано обоснование актуальности исследования, сделан краткий обзор литературы, сформулирована цель работы, ее научная новизна, теоретическая и практическая значимость результатов, приведены аргументы в пользу их достоверности и обоснованности; сформулированы основные положения, выносимые на защиту, дана информация об апробации материалов исследования и публикаций по теме работы.

Первая глава диссертации представляет собой обзор и анализ современного состояния нелинейного математического моделирования реальных (главным образом физических) явлений, сравнение методов их исследования, сопоставление достоинств и недостатков.

В начале главы приведены известные на сегодня представления о природе нелинейности, ее физическое, геометрическое, динамическое (связанное с изменением свойств объекта) происхождение, имеющее место как в естественных условиях, так и в технологических процессах. Предложена и обоснована по аналогии с линейными математическими моделями система классификации нелинейных моделей по следующим основаниям: виду моделируемого процесса, источнику и типу нелинейности. В качестве примера-эталона (приложение 1) рассмотрена математическая модель, процесса распространения тепловых возмущений от двух мгновенных источников в среде с поглощением.

Представлен сравнительный обзор» основных методов поиска точных решений нелинейных дифференциальных уравнений*, лежащих в основе математических моделей физических, химических, биологических явлений: В' обзор включен метод автомодельных переменных, специальные преобразования ^ (Миуры, Беклунда, Коула-Хопфа; МОЗР), разделение переменных, метод дифференцирования. Анализ расчетных схем методов, условий применимости, примеров применения» (приложения 2,3) позволил сопоставить возможность и результативность, надежность и полноту, степень разработанности общего алгоритма, оценить их достоинства и недостатки.

Во второй части главы изложены» результаты анализа приближенных методов решения нелинейных уравнений, наиболее широко используемые в математическом моделировании. Базойфассмотренияи основой обобщенных выводов являются- конкретные модели и уравнения. Так, метод теории возмущений рассмотрен на примере решения квазилинейной задачи теплопроводности. Квазиклассическое приближение, его идеи, алгоритм, достоинства и недостатки раскрыты в процессе поиска приближенного решения нелинейного уравнения Шрёдингера (НУШ). Структура, возможности и проблемы вариационного метода проиллюстрированы» в ходе решения уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ) (приложение4). Завершается параграф анализом возможностей численных методов для интегрирования нелинейных уравнений. Общие выводы состоят в том, что приближенные и численные методы позволяют получать решения конкретных уравнений, но не создают универсальных возможностей (приложение 5).

Общие выводы, которые можно сделать на основе аналитического обзора нелинейных моделей, сравнения точных и приближенных методов их решения, представленные в таблицах в конце главы, подтверждают необходимость и возможность разработки нового обобщенного' метода, обладающего широкой областью применимости, четкой расчетной процедурой и надежностью и прозрачностью алгоритмических действий.

Вторая глава диссертационного* исследования1 посвящена обоснованию, разработке и апробации метода моделирования для решения нелинейных уравнений математической физики. В' небольшой по объему вводной части сформулированы, аргументы в поддержку необходимости создания; такого приближенного аналитического метода, характеризуемого ясным физическим смыслом используемых моделей, применимостью в широком диапазоне значений, относительно быстрой сходимостью разложений.

Параграф 2.1. посвящен формулированию и обоснованию основных положений расчетной схемы, определению области и критериев применимости метода моделирования. Все системные компоненты метода описаны и содержательно аргументированы на примере уравнения Sin-Гордона (2.2.), для которого подобрана эталонная модель, получено уравнение и сама фазовая^ функция-, найдены соотношения» для< критериев применимости метода (2.39-2.41). В качестве конкретного примера (2.3.), подтверждающего надежность метода, рассмотрена задача расчета прозрачности потенциального барьера для нелинейного уравнения Шрёдингера.

Во второй части главы на достаточно строгом математическом уровне исследованы возможности метода моделирования в поиске приближенных решений некоторых нелинейных уравнений математической физики. Введены понятия продолжаемых, колеблющихся и особых решений. Рассмотрены уравнения с частными производными второго и третьего порядков, содержащие нелинейности степенного вида для искомой функции и ее первой производной. Полученные результаты могут быть использованы для создания и исследования математических моделей нелинейных волновых процессов, переноса энергии и вещества, кантовых явлений, распространения и взаимодействия солитонов и пр.

Эти возможности метода моделирования раскрываются в главе 3, где представлены решения «тестовых» нелинейных задач математической физики: волнового уравнения Клейна-Гордона, уравнения диффузии, стационарного БУШ. Полученные методом- моделирования решения сопоставлены с результатами прямого численного интегрирования соответствующих уравнений:

В заключении сформулированы и- обобщены основные идеи и результаты, полученные в диссертационном исследовании, определены дальнейшие перспективы работы в данном направлении.

Список литературы включает 152 наименования научных изданий отечественных и зарубежных авторов. В приложениях представлены: математическая модель процесса распространения» тепловых возмущений от двух мгновенных источников в среде с поглощением (приложение 1);

-примеры применения точных методов решения нелинейных уравнений (приложения 2, 3,4);

-некоторые детали расчетов, необходимых для получения численных решений нелинейных уравнений (приложение 5);

-доказательство существования решений нелинейного уравнения (приложение 6);

-исследование свойств и поведения приближенных решений нелинейного уравнения третьего порядка (приложение 7).

Выводы к главе 3.

Применение метода эталонного моделирования к решению уравнений математической физики гиперболического (3.1), параболического (3.2.) и эллиптического (3.3.) типов- позволило подтвердить достаточно широкие его возможности. Это касается как типов уравнений, так и характера нелинейности проблем.

При получении- приближенного решения > уравнения Клейна-Гордона была использована комбинированная^ фазовая функция, включающая* как координатную, так и временную' составляющие. Ограниченность объема работы позволила представить результаты сравнительного анализа .процессов распространения1 волн в «модельной» и исследуемой- средах, сделать заключения* о соотношении волновых чисел, амплитуд и их- зависимости' от характера нелинейности моделируемого нелинейного коллоида.

Физический анализ, построение математической модели конвективного диффузного процесса, связанного с погружением капли суспензии в большой объем чистой жидкости потребовало рассмотрения диффузионных потоков в пограничном слое, учета особенностей* процесса в точке «набегания», на боковых поверхностях и «корне» капли. Результаты, полученные методом моделирования, позволили найти выражения для потока диффундирующих частиц, размеров пограничного слоя и выявить их зависимость от концентрации, коэффициента диффузии, скорости погружения.

Немало новых, интересных результатов дало применение1 метода моделирования к решению стационарного уравнения Шрёдингера с нелинейными центрально-симметрическими потенциалами. Количественные результаты - значение длин- рассеяния, сопоставление- их с данными экспериментов, прямого численного интегрирования показали хорошее совпадение и, тем самым, подтвердили надежность и эффективность предлагаемого метода, моделирования для- решения нелинейных уравнений математической физики.

Заключение:

Изучение проблемы создания* и исследования нелинейных математических моделей физических явлений позволило- конкретизировать источники нелинейности, связав их с нелинейностью некоторых физических закономерностей, сложной- геометрией области задания, изменением свойств объектов, под воздействием протекающих процессов, с различным сочетанием указанных факторов. В: работе показано,- что- приближенное решение сложной нелинейной- проблемы, можно получить, используя более простую задачу, обладающую качественным сходством с исследуемой'- по действующим физическим закономерностям, геометрии области задания, поведению величин, описывающих свойства среды. Такие возможности дает предложенный в работе метод<эталонного моделирования.

Сравнительный анализ точных и приближенных методов решения) нелинейных уравнений, составляющих ядро математических моделей сложных физических явлений, показал следующее:

-общим недостатком, точных методов (разделения' переменных, дифференцирования, специальных преобразований и др.) является ограниченная область применимости, негибкость алгоритмов, необходимость интуитивных поисков- автомодельной переменной, вида специального преобразования, способа разделения переменных;

-использование известных приближенных методов требует специального анализа нелинейных критических особенностей, корректировки алгоритмов; анализа сходимости разложений, специального анализа физического смысла поправок к «нулевому приближению».

Обобщение полученных результатов» позволяет сформулировать следующие основные выводы:

1. Проведено обобщение метода* эталонного моделирования для нахождения приближенных решений нелинейных уравнений математической физики на основе принципов качественного сходства системы и модели (решение для которой считается' известным) и составлен алгоритм определения структуры, и нахождения конкретного вида обобщенной фазовой: функции (функции Миллера-Гуда) обладающие ясной физической природой; универсальностью алгоритма; широкой областью.применимости.

2. Установлены, три-варианта критериев применимости обобщенного метода эталонного моделирования: один из них; работает, если; энергия исследуемой; системы* много больше' градиентов функций; определяющих условия; эволюции»: исследуемой< системы; второй — имеет место, если удается отыскать модель, близкую к изучаемой физической; системе по условиям ее эволюции;; третий - работает в случае малых энергий, когда; влияние внешних факторов; может рассматриваться; как возмущение. Это позволяет в каждой задаче выбрать оптимальную модель-эталон.

3; Показана применимость, метода и его- эффективность при' решении; дифференциальных, уравнений второго и третьего;, порядка; со степенными нелинейностями. Исследованы проблемы существования решений, их единственности; сходимость получающихся рядов, отработана; техника, расчетов.

4. Решение серии конкретных: задач; дает основания утверждать, что; обобщение метода эталонного моделирования позволяет получать приближенные решения основных типов нелинейных уравнений» математической физики;

В работе приведены оригинальные решения следующих задач: -о двух точечных мгновенных источниках теплового; возмущения t в нелинейной среде с объемным поглощением;

-приближенное решение уравнения синус-Гордона; -о. рассеянии частицы в поле потенциала Эккарта;

- уравнений? второго и третьего порядка со степенными нелинейностями;

-уравнения Клейна-Гордона;

-нелинейного уравнения конвективной диффузии;

-о низкоэнергетическом рассеянии квантовых частиц в нелинейном центрально-симметричном поле.

Полученные конкретные и общетеоретические результаты могут служить основой для применения разработанного метода эталонного моделирования к исследованию нелинейных проблем различной природы, нахождению приближенных решений нелинейных дифференциальных уравнений математической физики.

1. Абловиц, М., Солитоны и метод обратной задачи / М. Абловиц, Х.Сигур // Мир. Москва. - 1987 г. - С. 479 .

2. Агошков, В.И., Методы решения задач математической физики / В.И. Агошков П.Б.Дубовский, В.П. Шутяев // Физматлит. Москва. 2001 г.

3. Адамчук, А.С. Введение в прикладную,математическую физику / А'.С. Адамчук. // СевКавГТУ. Ставрополь. - 2004 г. - С. 199.

4. Андреев, В.К., Применение теоретико- групповых методов в гидродинамике / В.К Андреев, О.В Капцов., B.Bl Пухначев, А.А.' Родионов // Наука — Новосибирск 1994 г. — С.319.

5. Ахмедиев, ILH;, Нелинейные импульсы, и пучки Солитоны. / II.IL Ахмедиев, А.Анкевич // Физматлит. - Москва. - 2003 г. - С. 304.

6. Бабиков, В.В. Метод фазовых функций в квантовой механике /

7. B.В.Бабиков // Наука. Москва. - 1988 г. - С. 255.'

8. Баренблатт, Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. / Г.И. Баренблатт // Гидрометеоиздат. Москва. - 1978 г. - 208 с.

9. Беллман, Р. Квазилинеаризация и нелинейные уравнения / Р. Беллман, Р. Калаба // Мир. Москва. - 1968 г. - 273 с.

10. Бурбаки, Н: Функции действительного переменного. Элементарная теория. / Н.Бурбаки // Наука. — Мосьсва. 1965 г.— 424 с.

11. By, Т.Ю. Квантовая теория рассеяния / ТЛО. By, Т. Омура // Наука. — Москва. 1969 г. - 452 с.

12. Галактионов, В.А. О новых точных решениях параболических уравнений с квадратичными нелинейностями / В.Л.Галактионов, Посашков С.А. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1989 г. - т.29. № 4. - С.497-506

13. Галактионов, В.А. Обобщенное разделение переменных для дифференциальных уравнений с, полиномиальными правыми частями / С.А Посашков., С.Р Свирщевский. // Дифференциальные уравнения. — 1995 г. -т.31. №2. С. 253-261

14. Градштейн; И.С., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М Рыжик // Физматлит. Москва. - 1986 г.- 927 с.

15. Громак, В.И. Аналитические свойства решений уравнений Пенлеве / В .И Громак, Н.Л.Лукашевич //.Государственный университет. -Минский.- 1990 г. 160 с.

16. Давыдов; А.С. Квантовая механика. / А.С. Давыдов: // Физматгиз. -Москва. 1963 г.-748 с.

17. Данилов, Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. / Ю.А.„ Данилов Постмаркет. — Москва. 2001 г. - 184 с.

18. Демидов, Д.Е. Математическое моделирование нелинейных процессов массопереноса при фильтрации разноплотной жидкости. — Автореф. дис канд. физ-мат. наук., Казань, 2006 г. — 18 с.

19. Джакалья, Г. Методы теории возмущения для нелинейных систем. / Г. Джакалья Наука. Москва. - 1979 г. - 320 с.

20. Дородницын, А.А. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка / А.А Дородницын // Успехи математических наук. Москва. - 1952 г. — Т. 7. — С.3-96

21. Друкарев, Г.Ф. Столкновения электронов с атомами и молекулами. / Г.Ф Друкарев // Наука. Москва. - 1978 г. - 256 с.

22. Дульнев, Г.Н. Процессы переноса в неоднородных средах. / Г.Н Дульнев,. В.В. Новиков//Энергоатомиздат. Ленинград. - 1991 г. — 248 с.

23. Дульнев, Г.Н., Теплопроводность смесей и композиционных материалов. / Г.Н. Дульнев, Ю.П. Заричняк // Энергия. Ленинград. -1974.-293 с.

24. Жирнов, Н.И. Известия вузов СССР. / Н.И Жирнов // Физика. 1966 г. -Вып.5.- С.41

25. Жирнов, Н.И., Известия вузов СССР. / Н.И. Жирнов, B.C. Игропуло // Физика. 1971 г. -Вып.7.- С.149

26. Журавлев, В.М. Точные решения уравнения нелинейной диффузии в двумерном координатном пространстве / В.М Журавлев // Теор. и матем. физика. 2000 г. - т. 124. №2. - С.265-278

27. Жучкова, Е.А. Исследование активных сред методами теории динамических систем. Автореф. дис. канд. физ-мат. наук., М.: 2006 г. -24 с.

28. Зельдович, Я. Б. Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. / Я.Б. Зельдович // Физматлит. Москва. - 1966 г. - 688 с.

29. Игропуло, B.C. Уравнение Бюргерса как базовый эталон группы нелинейных моделей /B.C. Игропуло, А.Б. Чебоксаров // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2006 г. т. 13. Вып.2. — С.321

30. Ильичев, А.Г. Уединенные волны в средах с дисперсией и диссипацией (обзор) / А.Г. Ильичев // Известия РАН, Механ. жидк. и газов. 2000 г. №2. - С.3-27

31. Калоджеро, Ф. Метод фазовых функций в теории потенциального рассеяния. / Ф. Калоджеро//Мир. Москва. - 1972 г.-292 с.

32. Камке, Е. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. / Е. Камке // Наука. Москва. - 1966 г. - 260с.

33. Капцов, О.В. Построение точных решений уравнения Буссинеска / О.В. Капцов // Прикл. мех. и техн. физика . 1998*г. - т.39. - 33. -С.74-78

34. Каплан, Л.Г., О кинематике вязкого газа при стационарном вихретоке/ Л.Г. Каплан, П.А. Откидычев// материалы 51 научно-методической конференции преподавателей СГУ. Ставрополь. — 2006 г. - С.246-250

35. Карчевский, М.М., Разностные схемы для нелинейных задач математической физики. / М.М. Карчевский, А.Д. Ляшко.//Казань: изд-во-Каз. гос. Ун-та, 1976 г. 192 с.

36. Кащеев, В.Н. Эвристические методы получения решений нелинейных уравнений солитоники./ В.Н Кащеев. // Зинатне, — Рига, 1990 г. - 189 с.

37. Каюмов, Т.К. К асимптотике нелинейного обыкновенного уравнения третьего порядка Краевые задачи для уравнений математической физики. / Т.К. Каюмов //Фан. Ташкент. - 1980 г. - С. 102-133

38. Климов, Д.М. Испытание Ковалевской-Пенлеве уравнений мелкой воды с использованием пакета Maple / Д.М. Климов, В.Г. Байдулов, В.А. Городцов // Доклады РАН. 2001 г. - т.376. №5. - С.600-604

39. Котляр, Я.М. Методы и задачи теплообмена./ Я.М Котляр.// Машиностроение. Москва. - 1987 г. — 316 с.

40. Крылов, Н.В. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка./ Н.В Крылов.// Наука. Москва. - 1985 г. - 376 с.

41. Куфнер, А. Нелинейные дифференциальные уравнения./ А. Куфнер, С. Фучик// Наука. Москва. - 1988 г. - 304 с.

42. Кулаков, А.В. Введение в физику нелинейных процессов./ А.В. Кулаков, А.А. Румянцев.// Наука. Москва. - 1988 г. - 159 с.

43. Кунин, С. Вычислительная физика ./С. Кунин// Мир. Москва .- 1992 г.-518 с.

44. Ладыженская, О.А., Линейные и квазилинейные уравнениягэллиптического типа./ О.А. Ладыженская, Н.Н Уральцева.// Наука. -Москва. 1973 г. - 576 с.

45. Ландау, Л.Д. Квантовая механика (нерелятивистская теория)./ Л.Д. Ландау, Е.М Лифшиц. //Физматлит. Москва. - 2001 г. - 803 с.

46. Ланцош, К. Вариационные принципы механики / К. Ланцош // Мир. — Москва. 1965 г.-408 с.

47. Левич, В.Г. Физико-химическая гидродинамика./ В.Г. Левич // Физматгиз. Москва. - 1959 г. — 699 с.

48. Лионс, Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач./ Ж.Л. Лионе //Мир. Москва. - 1972 г. - 587 с.

49. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа. / Л.Г. Лойцянский.// Наука. Москва. 1973 г. - 848 с.

50. Лучка, А.Ю. Возникновение и развитие прямых методов математической физики./ А.Ю. Лучка, Т.Ф. Лучка. // Наукова думка.t1. Киев.- 1985 г.-239 с.

51. Лыков, А.В. Теория теплопроводности. / А.В Лыков. // Высшая школа. -Москва. 1997 г.-599с.

52. Марчук, Г.И. Сопряженные уравнения и анализ сложных систем. / Г.И Марчук.// Наука. Москва. - 1992 г. - 336 с.

53. Марри, Д. Ж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии.

54. Лекции о моделях./ Д. Ж. Марри. // Мир. Москва. - 1983 г. - 397 с.t

55. Маркеев, А.П. Теоретическая механика / А.П. Маркеев // Наука. — Москва. 1990 г. - 414 с.

56. Маслов, В.П. Асимптотические методы решения псевдодифференциальных уравнений./ В.П. Маслов//. Наука. — Москва. 1987 г.-406 с.

57. Мае лов, В.П.,. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса. / В.П. Маслов, В.Г. Данилов, К.А Волосов //Наука. Москва. - 1987 г. - 352 с.

58. Самарский, А.А. Математическое моделирование. Нелинейные дифференциальные уравнения математической физики. / А.А. Самарский // Наука. — Москва. 1987 г. - 277 с.

59. Эндрюса, Дж. Математическое моделирование / Дж. Эндрюса, Р. Мак-Лоуна // Мир. Москва. - 1979 г. - 277с.

60. Мейрманов, A.M. Задача Стефана. / А.М Мейрманов // Наука, Сиб. отд-ние. Новосибирск. - 1986 г. - 238 с.

61. Михлин, С.Г. Курс математической физики. / С.Г. Михлин // Лань. -СПб. 2002 г.-576 с.

62. Мотт, Н. Теория атомных столкновений. / Н. Мотт, Г. Месси // Мир. -Москва. 1969 г. - 756 с.

63. Нестеров, С.В. Примеры нелинейных уравнений Клейна-Гордона, разрешимых в элементарных функциях. / С.В Нестеров // Прикладные вопросы математики (Труды Моск. Энергетического института). -Москва. 1978 г. - С.443-448

64. Николенко, Н.В. Метод нормальных форм Пуанкаре в задачах интегрируемых уравнений эволюционного типа / Н.В. Николенко // УМН.- 1986.г.-т.41.№5.-С.109-152

65. Ньюэлл, А. Солитоны в математике и физике. / А. Ньюэлл //Мир. -Москва. 1989 г.-326 с.

66. Ньютон, Р. Теория рассеяния волн и частиц. / Р. Ньютон // Мир. -Москва. 1969 г. - 607 с.

67. Овсянников, JI.B. Групповые свойства уравнений нелинейнойтеплопроводности / JI.B. Овсянников // Доклады АН СССР! 1959 г. — т.125. №3. - С. 54-66

68. Петрашень, М.И. Приближенное решение уравнения Шреденгера/ М.И. Петрашень// Ученые записки ЛГУ. Ленинград. - 1949 г. -Серия- физика, вып. 7. - С.59

69. Полянин, А.Д. Обобщенное и функциональное разделение переменных в математической физике и механике / А.Д. Полянин, А.И. Журов // Доклады РАН. 2002 г.- т.382. - № 5

70. Полянин, А.Д. Точные решения нелинейных уравнений механики и математической физики / А.Д. Полянин, А.И Журов // Доклады PAHV. -1998 г. — т.360. №5. С.640-644

71. Полянин, А.Д. О точных решениях нелинейных уравнений тепло- и массопередачи / А.Д. Полянин, А.И. Журов // Теор. основы хим. технол. 2000 г. - т.34. № 6. - С.563-573

72. Пухов; Г.Е. Приближенные методы математического моделирования, основанные на применении дифференциальных Т-преобразований. / Г.Е. Пухов // Наукова думка. Киев. - 1988 г. - 210 с.

73. Пухначев, В.В. Групповые свойства уравнения Навье-Стокса в плоском случае / В.В. Пухначев // Прикл.мех. и техн. физика. 1960 г. - №1. - с.83-90

74. Ректорис, К. Вариационные методы в математической физике и технике / К. Ректорис // Мир. — Москва. 1985 г. — 590 с.

75. Рихтмайер, Р. Принципы современной математической физики. / Р.' Рихтмайер // Мир. Москва. - 1982 г. - Т. 1. - 488с.

76. Рихтмайер; Р. Принципы современной математической физики. / Р. Рихтмайер // Мир. Москва. - 1982 г. - Т.2. - 381с.

77. Рождественский, Б.Л. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике / Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко // Физматлит. Москва. - 1978 г. - 688с.

78. Розенцвейг, Р. Феррогидродинамика. / Р. Розенцвейг // Мир. — Москва. 1989 г.-356 с.

79. Рудых, Г.А. О новых точных решениях одномерного уравнения нелинейной диффузии с источником (стоком) / Г.А. Рудых, Э.И Семенов //Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1998 г.- т.38. №6. - С.971-977

80. Рудых, Г.А. Неавтомодельные решения многомерного уравнения нелинейной диффузии / Г.А. Рудых, Э.И. Семенов // Матем. заметки. -2000 г.- т.67. вып. 2. -С.250-256

81. Самарский, А.А., Режимы с обострением в задачах для квазилиенйных параболических уравнений / А.А. Самарский, В.А. Галактионов, С.П. Курдюмов, А.П: Михайлов //. Наука. - Москва.- 1987 г. - 412 с.

82. Самарский, А.А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. / А.А. Самарский, А.П. Михайлов // Физматлит.- Москва. -2002 г. 320 с

83. Самарский, А.А. Вычислительная теплопередача. / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич // Эдиториал УРСС.- Москва.- 2003 г. 784с.

84. Самарский А.А. Теория разностных схем / А.А. Самарский // Наука. — Москва.- 1977 г.

85. Скрыпник, И.В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач / И.В Скрыпник. // Наука. Москва. -1990 г.-442 с.

86. Стойкова, Г.А. Об асимптотике одного нелинейного дифференциального уравнения / Г.А. Стойкова // АИНИТИМ.- № 2889-76, деп. 1976 г.

87. Табор, М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. / М. Табор // Эдиториал УРСС. Москва. - 2001 г. - 320 с.

88. Новиков, С.П. Теория солитонов: метод обратной задачи. / С.П. Новиков, В.Е . Захаров, С.В. Манаков, Л.П. Питаевский // Наука. -Москва.- 1980 г. 320 с.

89. Толпаев, В.А. Математические модели двумерной фильтрации в анизотропных, неоднородных и многослойных средах. / В.А. Толпаев // Автореф. дис. докт. физ-мат. наук., Ставрополь, 2004 г. 39 с.

90. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н .Тихонов, А.А. Самарский // Физматлит. Москва.- 2001 г. - 724 с.

91. Уизем, Дж. Линейные и нелинейные волны. / Дж. Уизем // Мир.-Москва- 1977 г. 622с.

92. Фаддеев, Л.Д. Математическая физика: Энциклопедия. / Л.Д. Фаддеев // Большая российская энциклопедия. Москва - 1998 г. - 619 с.

93. Федоренко, Р.П. Введение в вычислительную физику. / Федоренко Р.П. // Изд-во МФТИ. - Москва.- 1994 г. - 528 с.

94. Федотов, Е.М. Разностные схемц для нелинейных нестационарных задач. / Е.М. Федотов // изд-во Каз. гос. Ун-та.-Казань.- 1987 г.-217 с.

95. Фущич, В.И. Симметричный анализ и точные решения нелинейных уравнений математической физики. / В.И. Фущич // Наукова думка. Киев - 1989 г. - 334 с.

96. Чантурия, Т.А. Об асимптотическом представлении решений нелинейного уравнения второго порядка / Т.А. Чантурия // ДУ. 1979 г.-Т. 4. №6. - С.968-975

97. Червяков, Н.И. Применение вельвлет — анализа в задачах распознования изображений/ Н.И. Червяков, И.В. Дьяченко// Материалы 50 научно-методической конференции преподавателей СГУ. Ставрополь. - 2005 г. - С. 134-137

98. Чулков, А.С. Построение и исследование математической модели трехсолитонного взаимодействия в жидкостях и газах. / А.С. Чулков // Автореф. Дис. канд. физ-мат. наук. — Ставрополь. 2006 г. - 13 с.

99. Чулков, С.П. О сходимости и существовании формальных решений квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных. / С.П. Чулков // Автореф. Дис. канд.физ-мат. Наук.-Москва. 2005 г. - 12с.

100. Янке, Э. Специальные функции (формулы, графики, таблицы) / Э. Янке, Ф. Эмде; Ф. Леш //. Наука. Москва. - 1968 г. - 344с.

101. Barashenkov I.V., Zemlyanay E.V., Bar М. Traveling solutions in the parametrically driven nonlinear Schrodinger equation / Zemlyanay E.V., Bar M. // Препринт ОИЯИ. изд-во ОИЯИ -Дубна.- 2000 г. - El7-2000-147

102. Benilow E.S., Grimshaw R., Kuznetsova E.P. The generation of radiating waves in a singularly perturbed Korteweg-de Vriis equation / Grimshaw R., Kuznetsova E.P. // Physica D, 1993 r. - v.69. - p.270-278

103. Bluman G.W., Kumei S. On the remarkable nonlinear diffusion equation //J.Math.Phys., 1980. v.21.- № 5. - p. 1019-1023

104. Clarkson P. A., Kruskal M.D. New similarity reductions of the Boussinesq equation || J.Math.Phys.,1989,Vol.30, № 10,p.p.2001-2213

105. Conte R. Invariant Painleve analysis for partial differential equations //Phys. Lett. Ser.A, 1989,v.l40. № 7,8,p.p. 383-390

106. Conte R., Musette M. Linearity inside nonlinearity: Exact solutions to the complex Ginzburg-Landau equation7/Physica D, 1993,v.69,p.p.l-17

107. Fibich G., Papanicolau G. Self-focusing in the perturbed and unperturbed nonlinear Schrodinger equation in critical dimensions / Papanicolau G.// SI AM J. Appl. Math.- 1999 г.-v. 60. -p.183-240

108. Galaktionov V.A. Ordered invariant sets for nonlinear evolution equations of KdV-type / Galaktionov V.A. // Журн. вычисл. матем. и матем.физики; — 1999 г. — т.39. №9. — С. 1564-1570

109. Gupta S.B., Sil. N. // Indian J. Phys, v.40, 1956, p. 333-344129. 11" ichev A. Stabilite of solitary waves in nonlinear composite media // Physica D, 2001. v.150. p.264-277

110. Miller S.G., Good R.H; Phys. Rev.,1953; v.91, p.174

111. Miller J(Jr.), Rubel L.A. Functional separation of variables for Laplace equations in two dimensions. II J. Phys. A , 1993 , Vol.26, pp.1901 1913. "'V

112. Mohammed Assad A.-R. On the variational methods for bound-state and scattering problems // Physics reports, 1982 -v.84. -№ 3. p/313-428

113. O'Malley T.F., Spruch L., Rosenberg L.// J.Math.Phys., 1961, v.2, p.491-497135 . Polyanin A.D., Zaitsev V.f., Moussiax A. Handbook of First Order Partial Differential Equations.-London,Taylor,Francis^2002.-520p

114. Perring J.Ki, Skyrme Т.Н. R. A model unified field equation // Nucl. Phys., 1962,vol.3 l,p.p.500-555

115. Rogers С., Ames W.F. Nonlinear Boundary Value Problems in Science and Engineering. New-York: Academic Press, 1989. - 497 p.

116. Segur H., Ablowitz M.J. Asymptotic solutions and conservation laws for the nonlinear Schrodinger equation, part I // J.Math.Phys.,1976,Vol. 17, p.p 710-713

117. Schiff L.F. Nonlinear meson theory of nuclear forces // Phys.Rev.,19511, vol.84, p.p. 1-11140. Seaton M.J. Electron collisions // Rivista del Nuovo Cimtnto, v.F,

118. Numero speciale,1969, p.392-434141*. SulemC., Sulem P.-L. The nonlinear Schrodinger equation: Self focusing and wave collapse. New-York: Springer, 1999. - 412 p

119. Srivastava G.P., Hamilton R.A. H. Complementary variational principles //Physics reports, 1978. v.38C, № 1.- p.3-187

120. Zhdanov R.Z., Separation of variables in the nonlinear wave equation // J. Phys. A, 1994 , VoK27, pp.L291 L297.

121. Ohme P.A. Annali di Matematica-// Pure ed Appl.Italia. 1975

122. Чебоксаров, А.Б. Метод обобщенного моделирования для нелинейного" параболического уравнения / А.Б. Чебоксаров, B.C. Игропуло // Вестник Ставропольского государственного университета. 2006. - Вып.47.Часть 2. - С.84-87

123. Чебоксаров, А.Б. К рассмотрению физических свойств кристаллов со встречно-слоистыми доменами. / А.Б. Чебоксаров, А.И. Чернобабов // Научные труды. ПГТУ.- Пятигорск. 2002г.- №19, ч. 4 — С.151-153.

124. Чебоксаров, А.Б. Постановка и решение задачи»о течении вязкой среды при наклоне сосуда и температурах, близких к застыванию среды. / А.Б. Чебоксаров, С.Г. Кефалиди, Е.Г. Харченко // Научные труды. ПГТУ.- Пятигорск. 2006г.-№29, ч. 2.- С. 182-185.

125. Чебоксаров, А.Б., Метод, моделирования для решения нелинейного уравнения с дисперсией / А.Б. Чебоксаров, B.C. Игропуло

126. Материалы Всероссийской научной конференции «Физико-химические и прикладные проблемы магнитных дисперсных наносистем».- Ставрополь.- 2007.

127. Чебоксаров, А.Б. Вариационный метод решения дифференциальных уравнений высших порядков. / А.Б. Чебоксаров // Научные труды. ПГТУ .-Пятигорск. 2007г. - №30, ч. 4.- С. 174-178.

128. Чебоксаров, А.Б., Задача о колебаниях сфероида в вязкой жидкости. / А.Б. Чебоксаров, С.Г. Кефалиди, Е.Г. Харченко // Научные труды. ПГТУ,- Пятигорск.- 2007г. -№30, ч. 4.- С. 162-167.

129. Чебоксаров, А.Б., Измерение магнитного поля Ар звезды НД178892 / А.Б. Чебоксаров, Е.А. Толокольников // Научные труды. ПГТУ.- Пятигорск.- 2007г. №30, ч. 4.- С. 207-210.