автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Применение квазидиффузионного подхода для решения задач переноса нейтронов

российская академия наук

Институт математического моделирования

На правах рукописи

УДК 517.Э: 533.9

Д.Ю. Аннстратов

применение квазидиффузионного подхода для решения задач переноса нейтронов

Специальность 05 13 1Х теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1992

Работа выполнена в Институте математического моделирования (ИММ) Российской академии наук.

Научный руководитель: д.ф-м.н , профессор В.Я. Гольдин

Официальные оппоненты: д ф-м н. В. Е Трошиев

дф-м.н, Б.Н Четверушкин

Ведущая организация: Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН

^ А

Зашита состоится ^* 199^года в часов на

заседании специализированного совета К. 003.91.01 по зашнте диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Институте математического моделирования Российской академии наук по адресу Москва, Миусская пл. 4.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН.

Автореферат разослан " " 1992 года.

Ученый секретарь

специализированного совета

канд физ.-мат. наук

С. Р. Свиршевский

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1.1 Актуальность работы

Проектирование и анализ новых ядерных реакторов и их систем правления побуждает к созданию эффективных методов расчета роцессов выгорания и реакторной кинетики. Уравнение переноса -то основа математических моделей переноса нейтронов в ядерных еакторах, переноса излучения в плазме и т.д.. Ч::сленное решение равнения переноса является сложной задачей, которая связана с ольшим объемом вычислений. Во-первых, такие задачи обладают ольшой размерностью. Решение уравнения переноса представляет обой функцию многих переменных: времени, пространства, вправления полета и энергии. Во-вторых уравнение переноса - это [нтегро-днфференииальное уравнение из-за процессов деления и ассеяния. Метод итерации источника по многих случаях сходится явольно медленно. В-третьих, в определенных задачах оэффиииенты уравнения переноса зависят от состояния среды, а на остояние среды существенно влияют потоки частиц.

Несмотря на бурное развитие вычислительной техники н •громное число научных публикаций в области численных методов «шения уравнения переноса, эта задача до сих пор привлекает к ебе внимание исследователей обилием нерешенных проблем.

1.2 Цель работы

Целью данной работы является решение задач переноса [ейтронов, выгорания и реакторной кинетики на основе ¡вазидиффузнонного подхода и использование полученных методик ия математического моделирования нового типа безопасного »еактора.

1.3 Идея работы

Идея работы состоит в применении квазиднффузионного подхода 1ля решения многогруппового уравнения переноса нейтронов с 'четом анизотропии рассеяния и термализаини частиц, и 1спользования многогруппового уравнения переноса в [вазидиффузионной форме при решении задач выгорания и реакторной

кинетики.

1.4 Научная новизна

Научная новизна данной работы состоит в развитии квазидиффузионного метода решения многогруппового уравнения переноса и численного решения нестационарного уравнения переноса в квазидиффузионной форме совместно с уравнениями выгорания и реакторной кинетики, в построении новой разностной схемы с комплексными коэффициентами для решения нелинейных ОДУ первого порядка, в выявлении свойств двух подходов к аппроксимации методов решения уравнения переноса, используюших системы уравнений пониженной размерности: независимых и согласованных схем.

1.5 Практическая ценность работы

Практическая ценность работы заключается в развитии и разработке эффективных численных методов и в использовании этих методов при математическом моделировании нового типа безопасного реактора.

1.6 Основные положения выносимые на защиту

1. Исследован и развит квазидиффузионный метод решения многогруппового уравнения переноса и показано, что учет анизотропии рассеяния и процессов термализацин частиц очень слабо влияет на скорость сходимости итераций. Разработан метод решения однородных многогрупповых задач на нахождение критических параметров.

2. Развит численный метод решения уравнений выгорания и реакторной кинетики совместно с нестационарным многогрупповым уравнением переноса на основе квазидиффузионного подхода.

3. На примере квазидиффузионного метода показано, что при независимой аппроксимации улучшение метода решения части квазидиффузионных уравнений приводит к увеличению точности решения всей задачи в целом.

4. Показано, что в случае криволинейных геометрий в моментных уравнениях нелиней) ь'х потоковых методов может возникнуть малый параметр при старшей производной. Выявлены

:войства согласованных и независимых схем в таких задачах. Предложен способ коррекции независимых схем.

5. Предложена двухстадийная схема с комплексными гаэффнииентами для решения нелинейных ОДУ первого порядка. При !остроении комплексной схемы использовался новый подход, который хнован на использовании семейства неявных методов отличного от ниагонально-неявных методов Рунге-Кутта.

6. С помошью математического моделирования подтверждены хновные положения концепции безопасного реактора в рамках усматриваемых моделей.

1.7 Апробация работы

Материалы диссертации докладывались на научном семинаре Г-го отдела ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, на Всесоюзных семинарах 'Численные методы решения уравнения переноса" (Тарту, 1986, 1988, 1990), на международной конференции IMACS "Mathematical Modelling and Applied Mathematics" (Москва-Вильнюс, 1990), на иеждународной конференции "Advances in Mathematics, Computations »nd Reactor Physics" (Pittsburgh, PA, U.S.A., 1991), на американско-советском совешании-семинаре "Frontiers in Numerical Transport Theory" (Texas A&M University, College Station, Texas, U.S.A., 1991), на международном симпозиуме "Численные методы решения уравнения переноса" (Москва, 1992)

1.8 Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 10 печатных работах, список которых приведен в конце автореферата.

1.9 Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и :писка литературы. Работа изложена на 96 страницах и содержит 15 рисунков, 14 таблиц и 66 ссылок на литературу.

2. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы вопросы, которые рассматриваются

в работе, дан обзор литературы по теме диссертации, показана новизна и практическая значимость данной работы; изложены основные результаты исследований и положения выносимые на защиту.

В главе 1 приводятся рассуждения и численные примеры, позволяющие сравнить два подхода к аппроксимации методов решения уравнения переноса, использующих системы уравнений пониженной размерности: независимые и согласованные схемы. Сделаны некоторые выводы о преимуществах каждого из них. Известно, что согласованная аппроксимация необходима для устойчивости некоторых методов ускорения. Однако, для устойчивости квазидиффузионного и нелинейных потоковых методов, а также некоторых линейных методов согласованная аппроксимации уравнения переноса и моментных уравнений не нужна. Для таких методов можно использовать как независимую так и согласованную аппроксимацию. При согласованной аппроксимации такие методы являются просто методами ускорения. В результате независимой аппроксимации получаются быстросходяшиеся методы решения задачи переноса, позволяющие не только ускорить итерации, но и получать более точное решение задачи.

На примере квазидиффузионного метода показано, что в рамках независимой аппроксимации улучшение метода решения части уравнений квазидиффузии приводит к более точному решению всей системы квазидиффузионных уравнений. Продемонстрировано, что независимые схемы позволяют повысить точность численного решения по сравнению с точностью численного решения самой схемы для уравнения переноса, которая используется в данной независимой схеме. Как известно, точность согласованной схемы равна точности разностной схемы для уравнения переноса. Использование согласованных схем приводит только к ускорению сходимости итераций.

Если используются независимые схемы, то между решениям» взятыми из уравнения переноса и моментных уравнений существует расхождение на грубых сетках. Точность этих решений зависит от качества аппроксимации уравнений. Приведен пример, в которок моментные уравнения дают решение лучше, чем уравнение переноса.

Независимые схемы дают больше возможностей по сравнению с согласованными схемами Все зависит от способа аппроксимации уравнений

Для того чтобы получить разностную схему для уравнения переноса, обладающую полезными свойствами схемы для моментных уравнений, в главе 1 предложен подход, позволяюший построить схему для уравнения переноса согласованную с данной схемой для моментных уравнений. Однако, пока не получена схема с желаемыми свойствами.

В главе 1 также показано, что в случае криволинейных геометрий в моментных уравнениях первого и второго потоковых методов может возникнуть малый параметр при старшей производной. Приведен пример таких задач Для решения линейных задач с малым параметром можно использовать согласованные схемы, так как малый параметр не существует в задаче для уравнения переноса. Рассмотрены также вопросы связанные с решением нелинейных задач переноса, когда уравнение переноса решается совместно с другими уравнениями. При решении нелинейных задач с помошью первого и второго потоковых методов обычно используют замораживание функционалов в течение итераций или шагов по времени. Результаты показали, что в задачах с малым параметром при старшей производной в моментных уравнениях согласованные схемы неустойчивы по отношению к вариации значений функционалов. Если согласованная схема используется с замороженными значениями функционалов, то численное решения разрушается. Для решения задач с малым параметром по независимым схемам предложена специальная коррекция схем, которая позволяет избежать решение задачи с малым параметром Независимые схемы с коррекцией дают правильные решения как линейных так и нелинейных задач переноса.

Результаты главы 1 опубликованы в работах [1-5].

В главе 2 представлено развитие и дальнейшее исследование свойств квазидиффузионного метода решения нестационарного многогруппового уравнения переноса нейтронов с учетом анизотропии рассеяния. В работе рассмотрены задачи, в которых имеют место переходы с увеличением энергии при рассеянии (термалнзаиия частиц). В члене деления учитывается зависимость

функции распределения нейтронов деления по группам от энергии нейтронов, вызвавших деление. Рассматриваются вопросы аппроксимации осредненной квазидиффузионной системы уравнений. Описан метод решения однородных задач на нахождение критических параметров. Предложен метод построения тестов для Р-групповых задач на основе Р одногрупповых задач.

Численные результаты показали, что различие между числами итераций при решении задач с изотропным и анизотропным рассеянием мало, и, что метод обеспечивает быструю сходимость, несмотря на присутствие процессов термализации (переходы при рассеянии с увеличением энергии) и учет зависимости функции распределения нейтронов деления по группам от энергии нейтронов, вызвавших деление. Показана эффективность алгоритма при нахождении критических параметров. Видно, что использование осредненной квазидиффузионной системы уравнений эффективно при решении однородных задач.

Результаты главы 2 опубликованы в работах [6-8].

В главе 3 рассмотрены вопросы связанные с решением задач выгорания и реакторной кинетики. Проектирование и анализ новых ядерных реакторов и их систем управления побуждает к созданию эффективных методов расчета процессов выгорания и реакторной кинетики. Обычно при расчетах выгорания функцию распределения нейтронов определяют из решения однородной задачи, при этом определяется концентрация некоторого вещества, которое обеспечивает поддержание реактора в критическом состоянии, т.е. управление. В главе 3 рассматривается новая постановка задачи, £ которой уравнения выгорания как и уравнения реакторной кинетики решаются совместно с нестационарным многогрупповым уравнении* переноса, при этом нас интересуют квазирегулярные процессы < Новая постановка задачи выгорания была вызван« необходимостью провести анализ новой концепции безопасногс реактора на быстрых нейтронах. В основе метода решения тако( задачи лежит квазидиффузионный подход. Этот метод аналогиче( использованию квазидиффузионного подхода при решении зада» радиационной газовой динамики. Очередное приближение значен^ концентраций ядер изотопов и предшественников запаздываюши:

нейтронов получается из решения уравнения выгорания и реакторной кинетики совместно с эффективной одногрупповой системой кваэидиффузнонных уравнений Для этого уравнения выгорания и реакторной кинетики преобразуются к необходимому виду с помощью специальных дробно-линейных функционалов. Для решения окончательной системы уравнений используется метод прямых. Сначала производится дискретизация по пространству, что приводит к жесткой системе нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений по времени. Полученная система ОДУ аппроксимируется с помощью схемы с комплексными коэффициентами. В результате получаем нелинейную систему алгебраических уравнений. Решение этой системы осуществляется с помощью линеаризации около значений с предыдущего шага. Система квазидиффузионных уравнений содержит производные по пространственной переменной, в отличие от уравнений выгорания и реакторной кинетики. В результате матрица системы дискретнзированных уравнений имеет специфическую структуру. При обрашении матрицы системы используется метод, учитывающий структуру матрицы. Этот метод применим для многомерных геометрий.

Результаты опубликованны в работе [9].

В области решения жестких ОДУ развиваются исследования применения схем с комплексными коэффициентами. Сейчас широко используется схема Розенброка. Эта схема основана на диагонально-неявных методах Рунге-Кутта. Схема Розенброка обладает вторым порядком аппроксимации. Ее замечательное свойство заключается в том, что для линейного случая схема приводит к положительной монотонной аппроксимации экспоненты, имеющей второй порядок. В главе 3 предлагается новая двухстадийная схема с комплексными коэффициентами для системы нелинейных ОДУ первого порядка. В линейном случае схема эквивалентна схеме Розенброка с комплексными коэффициентами. При построении предлагаемой комплексной схемы, использовался новый подход, который основан на использовании семейства неявных методов отличного от диагонально-неявных методов Рунге-Кутта. Новая схема имеет второй порядок аппроксимации по I, как и схема Розенброка, но значительно точнее при одной и той же величине шага по /. При одинаковых со схемой Розенброка затратах на

ю

вычисления новая схема заметно точнее описывает мягкие компоненты в сравнении со схемой Розснброка, производя при этом вычисления с вдвое большим шагом В этих условиях жесткие компоненты обе схемы описывают одинаково.

Результаты опубликованны в работе [10|

В главе 4 представлены результаты математического моделирования безопасного реактора на быстрых нейтронах, основанного на новых принципах Идея нового безопасного реактора была предложена чл-корр Л П Феоктистовым в 1988 г. Безопасный реактор - это саморегулирующаяся система, автоматически поддерживающая состояние близкое к критическому и обеспечивающая медленное изменение плотности нейтронов Начальное критическое состояние реактора обеспечивается исходной активной зоной, состоящей из смеси и?:й Ри2-)Ч или и238 и235. Активная зона окружена большой зоной, состоящей из природного или обедненногс урана В реакторе возникает волна образования и выгорания плутония, а также происходит сильное выгорание (40-50%). Эти качества реактора обеспечивают безопасность и позволяют е перспективе освободить ядерную энергетику от переработки топлива, уменьшить опасность радиоактивных загрязнений на всеу цикле.

В главе 4 разработана математическая модель реактора. Проведено моделирование, при этом для решения задач переноса нейтронов, выгорания и реакторной кинетики использовались методь и подходы разработанные и исследованные в данной работе. Математическая модель реактора основана на системе уравнений, состоящей из нестационарного многруппового уравнения переноса ^ уравнений выгорания и реакторной кинетики. Однако, на начально\ этапе моделирования расчеты проводились в более простол« приближении. Начальные параметры критической сборки вычисляются в многогрупповом диффузионном приближении. Собственная функции однородной задачи и критические параметры рассчитывались пс метода-м и разностных схемам, изложенным в главах 1 и 2. Пp^ расчетах процессов выгорания, происходящих в реакторе с течение», времени перенос нейтронов рассматривался в эффективнои одногрупповом приближении Для получения одногрупповых сеченш

^пользовалась собственная функция начальной критической сборки 1 качестве осредняюшей функции. Для решения нестационарной •ффективной одногрупповой диффузионной системы уравнений овместно с уравнениями выгорания и реакторной кинетики ^пользовалась методика изложенная в главе 3. Производной от ютока по времени в диффузионных уравнениях пренебрегаем, так ;ак нас интересуют квазирегулярные режимы с Лю0. Все расчеты |роводились в одномерной геометрии. Вычисления собственной функции проводились в 26-ти групповом приближении. Все фиведенные в главе 4 расчеты проводились на основе 26-ти рупповых констант БНАБ. Для получения констант использовался юмплекс программ иЗСОЫБ. Па начальной стадии моделирования ¡езопасного реактора при вычислении нейтронных макросеченнй не 'читываются эффекты самоэкранировки.

На первом этапе моделирования ставился вопрос о ;ачественной проверке процессов в реакторе, о принципиальной юзможности их сушествовения. Все сделанные приближения юзволяют достаточно хорошо описать качественную картину явлений 1 реакторе.

В рамках рассматриваемых моделей математическое юделирование выявило следующие свойства безопасного реактора в [ерегулируемом режиме работы:

1. В реакторе автоматически поддерживается состояние ¡лизкое к критическому.

2. Реактор характеризуется высоким выгоранием.

3. В реакторе реализуется волна образования и горения (лутония.

4. Небольшие внешние возмущения в реакторе гасятся самим >еактором без внешнего воздействия.

5 рамках рассматриваемых моделей результаты моделирования юдтвердили основные положения концепции безопасного реактора.

Результаты главы 4 были представлены в докладе на международном симпозиуме "Численные методы решения уравнения 1ереноса", 26-28 мая, 1992, Москва.

В заключении сформулированы основные выводы, которые можно :делать на основе проведенных исследований.

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основе проведенных исследований можно сделать следующие основные выводы:

1. Квазидиффузионный метод эффективен при решении многогруппового уравнения переноса нейтронов с учетом анизотропии рассеяния и переходов с увеличением энергии. Итераиии сходятся быстро, а учет анизотропии рассеяния и процессов термализаиии частиц очень слабо влияет на скорость сходимости итераций. Квазиднффузионный метод эффективен при решении однородных многогрупповых задач переноса нейтронов на нахождение критических параметров.

2. Квазидиффузионный подход позволяет решать задачи выгорания и реакторной кинетики.

3. Независимые схемы дают возможность повысить точность численного решения задачи переноса.

4. В задачах в криволинейных геометриях может возникнуть малый параметр при старшей производной в моментных уравнениях потоковых методов Для решения линейных задач с малым параметром можно использовать согласованные схемы. Однако в таких задачах согласованные схемы неустойчивы по отношению к вариации значений функционалов, и если согласованная схема используется с замороженными значениями функционалов, то численное решение разрушается. Независимые схемы с коррекцией дают правильные решения как-линейных, так и нелинейных задач.

5. Предложенная двухстадийная схема с комплексными коэффициентами для решения нелинейных ОДУ первого порядка значительно точнее схемы Розенброка при одном шаге по I. При одинаковых со схемой Розенброка затратах на вычисления новая схема заметно точнее описывает мягкие компоненты в сравнении со схемой Розенброка, производя при этом вычисления с вдвое большим шагом. В этих условиях жесткие компоненты обе схемы описывают одинаково.

6. Математическое моделирование выявило следующие свойства безопасного реактора в нерегулируемом режиме работы:

а. В реакторе автоматически поддерживается состояние близкое к критическому.

b. Реактор характеризуется высоким выгоранием.

c. В реакторе реализуется волна образования и горения плутония.

й Небольшие внешние возмущения в реакторе гасятся самим реактором без внешнего воздействия.

Таким образом, в рамках рассматриваемых моделей подтверждены хновные положения концепции безопасного реактора.

БЛАГОДАРНОСТИ

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору В.Я. Гольдину за его внимание и помошь в заботе. Автор также благодарит A.B. Воронкова и В.И. Журавлева ia любезно предоставленный комплекс программ USCONS, З.Т. Суржикова и П. Д. Ширкова за полезные обсуждения результатов >аботы.

СПИСОК РАБОТ СОИСКАТЕЛЯ

. D.Yu. Anistratov, V.Ya. Gol'din. Nonlinear Methods for Solving Particle Transport Problems, Transport Theory and Statistical Physics, в печати.

!. Д.Ю. Анистратов, В.Я. Гольдин, Сравнение нелинейных потоковых методов численного решения уравнения переноса, Препринт ИПМ им. Д.В.Келдыша АН СССР, № 130, 1989.

¡. Д.Ю. Анистратов, В.Я. Гольдин, Сравнение нелинейных потоковых 1етодов численного решения уравнения переноса, тезисы кесоюзного семинара "Численные методы решения уравнения 1ереноса", 15-18 мая 1990, Тарту, 11-12.

. Д.Ю. Анистратов, В.Я. Гольдин, Сравнение разностных схем :вазндиффузнонной системы уравнения переноса, ВАНТ, серия: Методики и программы численного решения задач математической )изики, выпуск 2, 17-23, 1986.

. Д.Ю. Анистратов, В.Я. Гольдин, Сравнение разностных схем вазидиффузионной системы уравнения переноса, тезисы Всесоюзного еминара "Численные методы решения уравнения переноса", 0-23 мая 1986, Тарту, 13-15.

. Д.Ю. Анистратов, В.Я. Гольдин, Решение многогруппового равнения переноса методом квазиднффузии, Препринт ИМП им. 1.В. Келдыша АН СССР, № 128, 1986.

. Д.Ю. Анистратов, В.Я. Гольдин, Решение многогруппового

уравнения переноса методом квазидиффузин, тезисы Всесоюзного семинара "Численные методы решения уравнения переноса", 17-20 мая 1988, Тарту, 19-22.

8. D.Yu. Anistratov V.Ya. Gol'din, Quasi-Diffusion Method for Solving the Multigroup Transport Equation, Abstracs, IMACS, International Conference on Mathematical Modelling and Applied Mathematics, June 18-23, 1990, Moscow-Vilnius, 115-116.

9. D.Yu. Anistratov, V.Ya. Gol'din, Numerical Solution of the Time-dependent Transport Equation Coupled with the Burnup and Reactor Kinetics Equations, тезисы докладов международного симпозиума "Численные методы решения уравнения переноса , 26-28 мая, 1992, Москва, Ядерное общество, 33-36.

10. Д.Ю.Анистратов, В.Я. Гольдин, Двухстадийная схема с комплексными коэффициентами для систем нелинейных ОДУ первого порядка, Математическое моделирование, т. 4, N 2, 45-49, 1992.